•.'.·;¡;· ··;··.~ ·.: •. '~- .. . ,··•... ·-· ,. ....... - .· <· o :·<· z oN, .· .·-<·· .... ~ ... 0:: . ~: <.· ·.~ ;~ ... t.:...:.' :, .;·: . ...... .. t:J• . ·:·~·:Ey .> ··~..... ' ' ·'~·· ··''' .·; . ~· CAPITULO I NiJMEROS NATURALES INDICE 1 PAGINA .Los_núm.~~os .~tw'~~§,..SOD·1os que· usamos-par-a-.contar, CC?D CAPITULO ~~~posible excepción gel número cero, p_rimero~_Q_~.!~ ~~~~-P.-ª!Wª~ l. NUMEROS NATURALES ..•.•.•. · • · · · · • • • · • • · · • · 3 que nº__s.J!e!~. intery~~ ep. el ~..9.f~~.Q.. Q_e_t.Ql!!!!: Il. ADTCION Y SUBSTRACCION ..• · · · · • · · • • · • • • · · · · 9 l. Notación decimal. En el sistema decimal, para escribir IIl. MULTIPLICACION Y DIVISION . . . . . . · · • · • • · · • · · · 18 los números empleamos diez 'Cifras, qúe son: IV. NOTACION LITERAL .•..••..•••....•..•••.... -31 o, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. V. MULTIPLOS Y POTENCIAS .•..•. · ·. · • • · • • • • · · · · • 37 , Los diez primeros números de la serie natural se. ~~C..dben con VI. NUMEROS PRIMOS ••...• · · • •. • · • · • • · • • • • • • • • • · 44 t una sóla cifra y recibé~··el nombre de dígito_s. !)icho-de otr~'iii~d.o: 55 las diez cüras mencionadas representan los· primeros· números_na- · VII. FRACCIONES COMUNES •. • • ·• • · • • • • · · • · · • · · • • • 1 tgr~~~,Jlamados cligi!o~. qu_e__~~;n: ._qero (.0); ung_.. (}), -do.t._ci)~ 67 VIII. CALCULO CON FRACCIONES ••. • · • • • · • • • • • • • • · • · ~·(ªJ, .. c~!ro (4), pinco (5), seis .(6), siet~ (7), ocho (8)-_!. IX. 81 nueve (9). A los dígitos siguen, en la serie natural, los Q.úmeros FRACCIONES DECIMALES •• · • • • • • • ,. · • • • • • · • · · • • 1 X. EL TANTO POR CIENTO ..•.• ~ • • · • • • • · • • • · • • • • · • 93 que se-escriben con dos cifras: diez (1o)' once ( 11 )' doce ( t2)' ... 107 h8:sta llegar a noventa r nueve (99). Después siguen los números XI. RAIZ CUADRADA ~ .•• · ••.•••.•.•••••..••• •.••..• de tres cüras: ciento (100), ciento uno (1O1) ,... hasta llegar a XII. SEGMENTOS Y ANGULÓS • · · • • · • • • • • • • • • • • • • · · · 113 novecientos noventa r nueve (999) . Siguen después los números XIII. RAZONES y 'PRQPORCIONES •.•••.••••.••.•••••• 121 de cuatro cüras; etc., etc. . XIV. 132 Todo· número de varj~s cifras se escribe _de izquierda a dere.- SISTEMA METRICO -DECIMAL ••..•.••• •.• ••.•••. ,. 139 cha,-y-ia._íiltimi -arra. escrita (la .Ae-la derecha) ~~j;~ésenú~)as XV, N UMEROS CON SIGNO ••· · · •••••••· · ••••••· ••· "unidades; la cifra anterior a ésa representa las decenas; la que esiá XVI. ECUACIONES· Y PROBLEMAS •• · • · • • · • • • • • • • • • • • • 147 ·a su izqul.erda, las centenas_. ~!1:..~!-~s.~~-~~~.~~'--~.A~~~ha _a iz- quierda, se leen: los millare~, las decenas d~ Tl!flla~, .. l'!~- ~'!_~t~nas de millar, los millones, las decenas de millón, _etc., J~tc. Ejemplo. El número 1 602 354 tiene 4 unidades, 5 decenas, 3 centenas, · LA SEGUNDA EDICIÓN DE ESTA OBRA DIFIERE POCO DE LA ANTERIOR: CON LIGE~S MODIFICACIONES DE REDACCIÓN, SE HA 2 millares, O decenas de millar, 6 centenas de millar y 1 millón. RESPETADO EL. PÍ..AN ORIGINAL. Y AUMENTADO EL NÚMERO DE Las cüras que intervien~n en la escri~a de_un n(unero re- EJERCICIOS. SE TOMARON EN CUENTA LAS SUGESTIONES DE DIS- presentan unidades de diversos órdenes, según sea su colocación TINGUIDOS COLEGAS, COMO LOS PROFESOREs: DoMINGO AGUILAR en la escritura. Así: las unidades son únidades de primer orden; CHÁVEZ, ANTONIO ANTOLÍN FERNÁNDEZ, JosÉ GuADALUPE GoooY, EsTEBAN MmoR C., JuvENTINO NARANJo, JoRGE NA- 3 VARRO ·CARLOS ÜLGUÍN LuNA, ENRIQUE PIMIENTA, ETC. '/ '· fi. ·'·:.~. ·.l'.' lJ,~' ·. '!>' '$·' ~ ;~; :. ' 4 ZUBIETA & . SANCHEZ : AIUTMETICA RAZONADA las decenas son unidades de segundo orden; las centenas son uni- CAPITULO I : NUMEROS NATURALES que el segundo tiene 8 decenas. Concluimos que el segundo número es ma- 5 ,. J dades de· tercer orden; _etc. La ausenci~ ge -~dades _de ~o de ~~os yor que el primero, lo que escribimos así: 385 >328. ~ ·:'~ órdenes se indica poniendó·-o_.-en el Íugar ~~~~sp~~di~_~te. (Por Cuando. un número es mayor que otro, se .dic·e que éste es ejemplo~ éñ--ei nt'Ültero 1os31a cifra o indica que no hay centenas menor -q~~- el -priiñero~·-- ( Ejemplor-3'28-es-me~or .qti~-385, porijüe o sea unidades de tercer orden). Las nueve cifras restantes, las que ei. 385 es mayor que 328). Se_ ~sa-· signo·< para exprés·áf-:-que -un . son· distintas de o, se ·llarri·al!_.fifm ~ii(tzcaiiV.as;]lilrqti~i~s:u ~iiniero es menor que otro. o lo i>i~e·¿~-cie" en orden de .magñ1bia. ·~am.enrtrepreseñtañ.jiiudades· del orden. correspondiente al lugar Se escribe;-- por éjemplo: 328<385. que.. o.cupan"en_. la. escti'tu.ia de los número~. . 1 ' ' .. --- '-· ..... .... - . ----, Diez unidades de un orden dado forman una unidad del or- 2. Lectura de los números. Los números de una sola cifra den inmediato superior. P.or ejemplo, diez unidades fonnan una se leen por sus nombres: cero, uno, dos, tres,·.~. - ··- ----. decena, diez decen~s forman. una centena, diez- centenas forman Las decenas se leen como sigue: diez, veinte, treinta, cuarenta, un millar, etc. Según esto, si la cifra. O se pone a la derecha de un cincuenta, sesenta, setenta, ochenta y noventa. .número, se obtien.e otro número diez veces mayor. Porque la cifra Las centenas se leen _así: ciento,_ doscientos,. tr:~~i~IJ.~os, cua- trocien~os, .ql,f.inientos, seiscientos, setecientos, ochocientos y nove- de las unidades del primer número, viene a ser la cifra de las cientos. '!_ecena~ .del se~do·~~ero; ~a_cifra.de)as decenas del priip~:r:Q, Los millares se leen: mil, dos mil, tres mil, ... y¡~ne ·a ser la cifra de l~s. c~ntenas-.4~l se~do; etc. At leer un ·número de varias cifras, se pone la palabra "y" Ejemplos. . Poniendo O a la derecha del número 26, se obtiene 260, que entre las dece~as y las unidades, como sigue: es diez veces mayor que 26; poniendo O a la derecha del número 260, se ob. Ejemplos: el número 39 se lee treinta r nueve; el número 581 se lee tiene 2600, que es diez veces mayor que 260; e!C. ',: quinientos ochenta r uno; el número 1 345 se lee mil trescientos cuarenta . \La notació~ deºim~~-~os pe~i!e dar._un cri~erio sencillo p~~a r cinco;·... ~.~-.~~ . ·,; :.; ,( c~~!~_gºs·. !l.~~ro~. y_ cl~~i~~ _c~ál_. de e!los e~ el mayq~~ .. I~~. Son abreviaturas o contracciones· las palabras que siguen: ;':_: ~: ~!it~rio es el siguie~te: once (diez y uno), doce (diez y dos), trece (diez y tres), catorce · ( 1) Si un número tie~ unidades de orden _más alto que las (diez y cuatro), quince (diez y cinco), dieciséis (diez y seis), die- de otro nú'inero, entorice~ ·el prf.mero es mayor que el segundo.. cisiete (diez y siete), dieciocho .(diez y ocho)' diecinueve (diez y nueve), veintiuno (veinte y uno), veintidós (veinte y dos) , ... . ( 2) Si dos números se escriben con ,igual número de cifras, Ejemplos: el número 41.1 se lee cuatrocientos once; el número 1318 se compa~amos--caaa cifra del primero con la correspondiente del lee mil trescientos dieciocho; 12 521 se lee doce mEl quinientos veintiuno; etc. seguñdo, empezando. por la izquierda, hasta encontrar dos cifras ~ diferentes: el que tenga la mayor será el nlÍmero mayor. Los lugares ocupados por la cifra O se omiten en la lectura. Ejemplo. El número 1038 es mayor que· 87?, porque el primero tiene Ejemplos: 180 se lee ciento ochenta; 506 se lee quinientos seis; etc. ~idades de. cuarto orden (millares), mientras que el segundo sólo llega a Para facilitar la lectura de núm~ros de más de tres cifrás, se las de' tercer orden (centenas), comie~apor- sepárar· éstas' en períodos de tres, empezando por la · Ejemplo. Sean los números· 328 y 385, ambos de tres cifras.- Estos nú- derecha, ~!_ltendi~ndose que. el.último período (el de la izq1:1ierda) " meros tienen iguát' la primera cifra de la izqUierda, la de las centenas; pero al . puede constar solamente de una cifra o dos. El primer periodo de '·\<-- , -··. pa~ar a la cifra siguiente, vemos que el prim~ro sólo tiene 2. decenas, mientras la derecha es el de las unidades y el que sigue a su izquierda, el {!:.~.·~~. .;~. .:' ':! ~.... . l • .. ,~ ~A ' ~ .. ~;.:.:;,:~;~~··~·¡· .· $~¿~~~;~~~~::: .·' . •:·3-: ;~ :.: ..- .. 6 ZUBIETA & SANCHEZ : ARITMÉTICA RAZONADA CAPITULO '¡ : NUMEROS NATU.RALBS 1 de los millares: .ambos períodos forman la clase de las unidades. = = ~jemploS: n = 2 ; m 3 ; xx .20 ; ccc =· 300 ; MM 2000. = El período de los millares se lee como el de las unidades, (2) Toda letra coloctula a ltz..!!e.recluztJ.e otr!l._71JD1or, agrega su v'azor al agregando la palabra mil al terminar de leer el período. ~ ~sa ~a TTlfl10r. . . .. · · ·· .. -----. --... ·Ejemplos: El número 13 019 se lee trece mil diecinueve; el ·nlÍmero · Ejemplos: VI= 6; XV= 15; CX =110. 718 423 se lee setecier:tos dieciocho mil cuatrocientos veintitrés; etc. (~) Resta su valor a una ietra otra .menor, colocaJa a su izquierda, ·com.o st~: la I antes de V r de X; la X antes de L r de C· la e antes de · Los. c;Ios períodos de la derecha forman la clase; de las unida- D r de M. . ' de~;_íOs dos períodos que siguen fornian la clase de los millones; los dos siguientes forman la clase de los billones; etc. Esta diVisión = Ejemplos: IV= 4 ; IX 9 ; XL 40 ,· XC ~ 90 '· CD ..V = AJ\O '• ••• = énpenodos y clases se ilustra en .el esquema que sigue, donde se ( 4) No se repiten las letras V, L r D; tampoco se escriben delante tl8 ha-coiisfderado un número de catorce cifras: otra letra nitzror. . - - :87 643 258 796 458 Ejeniplos: No se escribe 10 =: VV; tampoco se escribe 95 .= VC; ni se pone 950 = LM; etc. . . . (5). No.~cribir más de tre~. l)~C~ consecutivas uruz mi~ letra, ni poner a su zzquzerda otra que no la preceda en el orden _que _"indica la regla (3). · · · Ejemplo: 450 se escribe CoL; pero no cccci ni LD. (6) Toda letra cólocada entre dos ~ores que ella reSta su valor a la Cada..clase.se)ee como la de las unidades, agregando la pala- que está a su derecha. . ' bra millones, si se trata de la clase de los millones; o la palabra · billones, si se tra~ de la clase de los billones; etc. XXIV= 24; CXL 140. Ejemplos: XIX= 19; = Todo núm,m:,Q_ g~ ·:rpA~ .<i.e.._seis cifras se lee por clases, de. iz- . (7) Una raya horir.ontal, colocada sobre una letra o grupo de letras aumenta mil_~ces su valor. quierda a derecha, como se hace con el nfunéro con~iderado 'énel ' ~squem:a.:·ariierlor; que se lee·así: ochenta r siete billones, seiscien- Ejemplos: V = 5000 ; XX CD =204()0 ; M =1000000. ',l~,· io~ c~enta r tres_ mil doscientos cincuenta r ocho ·millones, sete. -·cientQs.. izolleJ'I,tq r seis mil cuatrocientos cincuenta r ocho.. ·EJERCICIOS · --- No insistiremos más en detalles que sÓlo puede enseñar la ,l. Expliear l?s principios en que ~e basa la n~tacióri decimal: ¿cuántas práctica de la lectura de los números. I . . ,91~1~ son.J~s ·af~as con que se escnben los números? ~ ¿cuáles son las ~~~~~~d~-~~~tos,.?.r~ene$ .ql;le fJ>.nn~~ . un. n~ero?- ·¿~JJ!U.es el papel r' S._ ~otaci6n roma.na.. Aparte de la notación decimal, qu~ hemos con- de·Ia clfr.a..O.~_la ~pntura de los n~~s?- ¿cuántas unidades de un orden siderado ha~ ah~ra, ~st~ _ofl'a de uso menos frecuente, que heredamos de los d~d~ fonnan una ~e~ ~rden ~~~to.superior? ~¿qué sÚcede si la clb.O.se romanos. En esta notación, ciertas. letras (mayü'sculas) tienen valores fijos, ~~~--~ ~~ ~~éha. ~ un número? Poner ejemplos de todo esto. como vemos en seguida: · 2. Escribir los nlÍmeros formados como sigue: (a) por 5 decenas; (b) por I = 1, · V =5, X = 10, L = 50, 7 .~~~as; (e) P?~- ~.~ centenas; (d) por·3o5 millares; (e) ¡X>r 45 decenas de ~-~; (f) PQtJ10 centenas de.millar; (g) p~~ 1~1 millones;·:.. · · · · C = 100, D = 500, M= 1000. Los nlÍmeros se escriben de acuerdo con estas convenciones: 1 S. Escrib~ los nlÍmeros formados así: (a) por 13 millares y 2 decenas; 1 ~~~ . - ··-- __ . .. Y.. 2. unid. (bo)• nor 4 06 millares. ·.. , (e). por 3 mili--·-- ades· ........ ··-···----·.-·(a)· por ones y 8.....centenas, · (~) Pueden repetirse las letras 1, X, C r M; al repetirlas se repite su 20~. millones y 22 .centenas; (e) por 9 millones, .9 millares y 55 decenas; (f) ttalar. por f mill6jl; ·1 millar y 1 unicladr ... - .....:.:<t••-"'•.. --''r•••, .. . , .· 1 :1 . . ~~~~~~:~::!.::2 ~.: ~·."'}":.·/· .. . 1 . . .. ·. ·8 ZUBmTA & SANCHEZ ·:· ~TICA RAZONADA . ~ 1 _,..--4. .Explicar: ¿cómo se usa la notación decinlal para comparar dos nú- meros .t~~Jfu:~9J.4.t~'f,~~~~,~;~~1ii~i~~tu$ái~~si~-·direrlo pará "caipparar'l()s números: (a) 984 y 1 001; (b) 287 y"275; (e) 2 301 y 2 305. CAPITULO II .· ~ 5. Contestai-: ¿cu~!ª-QA~P~ q~e.:un .II.~~~ ~s,~~en,~~,q~e.~tro? ¿Qué ~,g..~~ca que un numero prec~(! ~. -~tro en orden de magnitud? Entender h. ADICION Y SUBSTRACCION ·< que el signo ·<·expresa ·el.omen ·de los números en la serie natural. . . 6. Lectura de los números en la notaci6n decimal: ¿cómo se leen las .En este capítulo estudiamos la primera operación fundamen- .unida.des, las decen~s, las centenas, los millares; •.. ? ¿cómo se leé un número tal de la aritmética -la adición- y su inversa, la substracción. de varias cifras? Mencionar abreviaturas y contracciones que se usan al leer los· números. Separar las cifras. de un número en períodos y clases, para faci- litar· su lectura.· Poner· ejemplos 4e todo esto. 4. Adición. .Esta OP.~!!!c.ión_t!.e~e _p~r --~bjeto sumar. dos 0 . llamac!Q~y..m~MPS, ·para obtener la su1na de ellos. . más nÚIÍleros, ------·· - .... _._______ "1. Escribir en la notación decimal los números qu(! siguen: (a) quinien- . ~ tos ochen~ y uno; (b). seiscientos cincuenta; (e) novecientos nueve; (d) tres ·'- Dril ochocientos veintidós; (e) once mil once; (f) seiscientos un mil tresciéntos TABLA DE SUMAR ocho; (g) dos millones trescientos mil seis; (h) un millón once mil once; . · ~ (i) once millones mil once; (j) un millón mil y uno. . ' o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ,-.~. 8. Leer en alta voz (y escri~ir con palabras) los números que siguen: 905; 7038; ··t4522; 93076; 108106; 509005; 900109; 1001001; 18200055; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 22003007; 305208406; 13086400258397. Poner otros ejemplos. 9. Enunciar los principios en que se basa la notación romana. Escribir '1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 . en caracteres romanos los números: 28, 35, 41, 98, 155, 231, 572, 1010, 1948, ¡.- . : ·t957, 2381, 20708 y 55505. 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. Leer los números romanos que siguen: · XIX; XXXIV; XLIX; 4 5 6 7 8 9 . 10 11 12 13 LXII; LXXXI; XCill; DXITI; DXCVI; MCMXL; MCMLVII. Escribirlos en la notación decimal 5 6 7 8 9 10 •tt 12 13 14 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 8 9 10 11 12 t3 14 15 16 t· '!.-' t ¡_.··. ¡·. 8 9 9 10 10 11 11' 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 ,..., El proceso lógico y usual para definir la adició~ de los.núme- t..::.:' ros naturales, es el si~ente: · .. ···: 1 _. .·~ t;~;:,, 9 . ,·;·.. · :· >":·.: .. t ·: :¡~. • --~ • -----~~:o.;!..l--.:'!.!J~•o 'P'Ii..-.,.~~~ : ¡··--·.::··· . .· •• 1 10 ZUBIETA & SANCHEz : AlU'I'MÉTICA RAZONADA l) CAPITULO D : ADICION Y SUBSTRACCIÓN 1 .¡ ----------------------------------------~1 (.1) s~ ~efi.ne_pri.mera .la_ -~WIJ!l.~. f!.os dígitQ~'- mediante la T tabla de sumar· - -- ~--·- ~~n l~.. :~a, se esciibe solamente la cifra .. de .la der~cha y se .----·----,.... ,_ ; . ' ··pasa la otra cifra a la columna siguiente. Así lo hacemos en el ( 2) en seguida, la dejinición.se- hace extensir¿a al caso de dos ejemplo que sigue: · S!!_rntLJUlof{[e VaTÍ!M_ cif!_~; . . -------- · . Ejemplo. Sumar los números 398 y 584. , (3) fi:_77!!:k!l~te;.la. definición se extiende a todos los casos en Se suma la primera columna, 8 + -4 = 12; se pone 2 y ~ haya· más de dos números por SlflJYlT. . se pasa el 1 a la columna· siguiente. Se suma la segunda 398 + 584 + = + columna, 9. 8 17: se agrega 1 y se obtiene 1 17.=. 18 .La S\l!!ta_deddos__digitos _es,tá da.da por la tabla 4e stimar, que se pone 8 y se pasa el 1 a la columna siguiente. Se Sllnta 1~ se 'Q.Sa de este IJ:l~~<;>: el primer 5\llllando se ·elige ·eritrand(fpor la 982 tercera columna, 3 +5 = 8; .se agrega 1 y se obtiene izqUierda·; él segundo se elige entrando por· arriba; Hcsuma se + = 1 8 9; se pone 9. · Se comprueba la operación escribiendo separadamente (una debajo de encuentra donde·se cruzan el renglón y·la-columna de ios suman- otra) las sumas de las columnas, y sumando de nuevo, como se ve en seguida: dos elegidos. · suma de las unidades: 8 +4= 12 Ejemplos. La suma 3 -4 + = 7 está donde se cruzan ·el-renglón del suma de las decenas: 9 + 8 - 17 número 3 (primer sumando) y la columna del -4 (segundo s\unando). La suma de las centenas: 3 +5=8 = tabla nos dice tam\lién que O+ 5 5, porque el renglón superior, donde está o ·• Suma total: 982 el número O~ y .la columna del 5, ·se cruzan precisamente en el lugar donde está el número 5. · El método descrito se aplica al cálculo de sumas con cualquier Si .identificamos-cada-cifra..con el.~*m.ero qq.~ _r_epr.es.em_a, la número _de sumandos, teniendo cuidado de que la~- ci!z'as__q_l!~_re tabla de sumar define entonces la suma de dos- cifras y solamente ~resentan unidades del mismo orden queden alineadas en una de dos cigas. Si queremos sumar tres cifras, debemcis obtener. la misma columna. Para sumar las cifras de cada columna, se co- süfua.de las dos primeras y adicionar a esa sulila la· tercera cifra. mienza por sumar las dos primeras; a la suma de ellas se le adi- ciona la tercera cifra; a la suma obtemda se le adiciona la cüra + Ejemplo. Para sumar las cifras 3, -4 y 6, a la suma 3 .-4 = 7 de las que sigue; etc. Así lo hacemos en el siguiente ejemplo. dos primeras, se le adiciona la· tercera cifra. La suma requerida se calcula + + = + = de este modo: (3 4) 6 7 6 13. Nótese bien el uso del paréntesis· Ejemplo. Hacer la suma (de cuatro sumandos) que sigue: en la expresión (3 4) + + 6, para indicar que: a la suma 3 + -4 de los dos Para hacer la suma de ·la primera columna, se comienza primeros sumandos se le adiciona 6, que es el tercer sumando. 8318 256 + por sumar las dos primeras cifras: 8 6 = 14; a 1~ suma Para surnar._dos números de varias cifras, se suma.cada.~_wa r 5084 + obtenida se le adiciona la cifra siguiente: 14 4 . =. 18. a . la suma obtenida se le. adiciona la cifra que sigue; del primero c~~Ja .correspondiente del segundo (es decir: unida· 1· . + 398 + = 18 8 26. Se escribe el 6 y se pasa el 2 a la colunma dés con 'uilidades, decenas con decenas; etc.). En la práctica, el 14056 siguiente, etc. segundo sumando se escribe debajo del primero, de modo que Comprobación: estén en una misma columna las cifras que representan unidades ~------·· del mismo orden; se -suman entonces las cifras de cada· columna,. suma de- las . unid~d~: 26 empezando por las unidades (columna de la dere~ha), y se es- -~1 . su.ma de las deceñas: 23 suma de las centenas: 8 cribe la suma obtenida debajo de la columna correspondiente. ·_-Siüña-delos'ñiiñares: 13 Si al suma~--~~- -~~l~a (que no sea la última) ltay df)s cifras -·---~ ;------ Suma total: 14056 • 1 .¡ j .. ,. .~ .... __ l ...........,_.._...___,._-~-~ l' ~ 12 ZUBIETA & SANCHEZ : AIUTMÉTICA RAZONADA CAPITUU> U ADICION Y SUBsTRACCIÓN 13 1 ~~··'"- .. ~ ..,.-.-...---.,~·~~.... ,..... ·...... .. ..._ ....... .. .. "~ ~ ~ -- l. 1 · 5. Propiedades de la. adición. L~__@!..l!.~eros ~quier ..!!!-anera el f!Tt!~n. d{4_ellos, asociar r los sumandos en., · ¡~ede_· s~r igy-ªLª--~~- ~~--~l!o~_.. Esto sucede, y solamente slleeae, cualquierforma,-~Sin"que cambie la suma.". - ' 1; cuando uno de..los .. stu.n-ªnd9S.J~.~.. Q;.. en.ton,c.~s la _sun.!.~ ..es ·~güal al Ejemplos: 3 + + 2 + ? -- 3 + (8 + 2) + 7. 8 ~- otr9~.sumando. .... .:S..t. u :·.o Tv ,u ¿.t,.q-1~t .fl ¿_.:... J.l i.1Pí ('t-.;·_:; ___3_+.8 + 2 + 7 = (3 + 7) + (2 + 8). ·~:___ E~p~os:--..0-+- 7 ·. 7; ___ .. . 23 + 0= 23; etc. Para probar la validez de la· propiedad conmutativa de la - ...... - . •• - • • o • --··- ----··-·- .... 1 ' adición, basta examinar la tabla de sumar y· ver que la propiedad 1 Cuando ninguno de los sumandos es O, la suma es siempre se cumple cada vez que se suman dos cüras. La propieda~ se hace mayor que· cualquiera de los swnandos. extensiva inmediatamente a la suma de dos núineros de varias De lo dicho se infiere que: la suma de dos o más números cifras; puesto que tal suma se o~tiene sumando separadatnente naturales nunca puede ser menor que alguno de los sumandos. las cifras de las unidades, las cüras de las decenas, etc., etc. Al sumar dos números, los sumandos pueden tomarse en dos . ór~~nes-diférentes; pero. en ambos "éasos 'se -obtiene la rii.isma'sUiña: Ejemplo. Si queremos sumar los números 387 y 438, podemos colocar ~-Estóélice'la:propig~~q"'cqri'ri~~atíva· de la a4icióp, q~e se 'éñUíié1~ los sumandos en dos órdenes diferentes, como lo hacemos en seguida: ]~~~ndo:~-No .cambia la §lJ."!a de dos números cuando se_ invierte . PRIMER CASO SEGUNDO CASO · llel orden de los sumandos. · · ; 387 438 + + 387 ~~~:~l 438 .. ~ la tabla -~~_ar, _la ~~--~~ las~.rri~~E~eU!__~sma en ambos - La smn.a de tres números --------·--·-··-····---- ... -.. se ..obtiene .. ..así: .. -- a la suma primeros se le adiciona el ~e.r~erp. ·La misn:ta suma se obtien~, si al .. de .los dos ' ' ' casos, porq~e _1~ t!l~!~ 1.1_os-~ce__ que 7 + 8 - _8 .+ 7 =. 15; _taijil?.~éii-lasuma de .Jas decenas es la misma en ambos casos, p~~ue según la tabla, ~--±~-ª = + 3 8 . _:t~te~c. Así en ambos casos seobtiene la suma sigl.tiente: primer ·súmando se le adiciona la su"'!la de los otros dos; esto dice la propiedad asociativa de la adición, que ilustraremos luego·. suma de las unidades: 15 suma de las decenas: J t __ ·Ejemplo. Sean los sumandos 8, 1~ y 1~: · suma de las centenas: 7 Wa.sumª_deJQ!. do~. primeros le ~os el tercero, obtenemos: Suma total: 825 (8+ + = + 12) 13 20 13 ~ .33. .. . ---- .... De manera parecida podríamos ·convencernos de la validez de .\ sr+ +· 8 aipri;ne~ "5w:Da~do le -~gregamos la suma de los otros dos, obtenemos: + (12 t3) -:- 8 25 _·. ·a3.--, ...... · ~- · -- -·----- ·- ---i . la _P!:~~!e4ª~ ·ª~~~~va-d'e··Ia-&Iicl.ón: ·------- .... ------- -----·-.......... __. . . \ ~·~te' _ejemplo~ vemos_ que --~e._cumple la propied.ad asociativa de la \{ldición, pues ~enemos: . -· · --· · · ·· EJERCICIOS .\·. -·~ .. . ''· (8 + 12) + 13 = 8 + (12 + 13). 1. Explicar el proceso para definir la adición de los números naturales~ - • -:;-::: __ :·:.~.~~__;.._,#••\ .• ·.~-- ..... .-.;a·.,.. ;.,---·' mediante la tabla de sumar: ¿cómo .se define la~ suma de dos dígitos? ¿cómo . ¡ . -Nótese bien que la propiedad conmutativa menciona dos su- smnamos dos números de varias cifras? ¿cómo calcular una s\una de tres o más . ·· ·mandos y la propiedad se refiere al orden en que se toman esos smnandos? Poner ejemplos de todo esto. sumandos; mientras. que la propiedad asociativa menciona tres su- .2. Calcular las sumas que siguen, explicando: mandos y la propiedad se ·refiere a la manera de asociarlos. . un·a cons~cuencia de .las dos propiedades anteriores es la ~i- ' 586 7809' 79587 98542 guierite:eñ~-üna suma de varios sw:nandos, podemos alterar ~'!.. + 3476 + 2988 + 95849 + 208799 -----.. - ---~~· ~~;~"T;:''' 'i.' '· f¡ / ~. f :\ ',', :· , 14. ZUBIETA &SANCHEZ : ABITMÉTICA RAZONADA J 15 .S\~<~~ ~.· . , , 1 CAPITULO Il : ADICION y SUBsTRACCIÓN F.~::,;·. , ~~ 4~o-, .. 596 905 1589 8386 386 98 . 6. Substracción. Esta operación s en hallar la dife- - 8739 9489 +28548 + 28482 + 2859 + 22879 rencia de dos números, o. sea, o que le falta al menor de elJos ~a~a ser i~al al otro; F.J...miny.endo es el número al cual se le resta el o~el.nombre de substraendo. El resultado de la ope- S. Escribir en colunma para sumar. lo siguiente: . ·'\ ' radon es un número, llamado resta o aiferencia. El signo -indica + (a) 596 + 3076 + 74459. 287 + 7905~ + 3572. la operación. (b) 708 + 8509 + 28641 + 999 + 55888 + 19733. (e) 896 + 873+5 + +879 + 909 + 7584 + 734 + 10099: Ejemplo. Si al número 9, (minuendo) le restamos 5 (substraendo), obtenemos 4 (resta. o diferencia). Es decir:· 9 - 5 = 4. Esta igualdad se _,. (d) 2~68 + 567 + 59472 + 518 + 7689 + 13987 28775. + a cumple, porque si la resta (que es 4) le agregamos el substraendo (que es 5), 4. Propiedad de la adición:· ¿en qué casó la suma de dos números es igual. obtenemos el íninuendo (que es 9). Esto es: 4 + 5 = 9. ~;· a uno de los sumandos? ¿Puede ser la suma de dos números naturales menor ;f::· ·~ .que al~o de los sumandos? Si ninguno ~e los sumandos es cero ¿cómo esTa Para restar dos números de varias cifras, escribimos el stibs- suma con relación a cualquiera de ellos? Poner ejempl~s. ~º deba)o del min~ndo, de modo que las ~ifras correspon- dientes queden en una misma columna (es decir: las unidades de- s.· Contestar: .¿qué dice la propiedad conmutativa de la adición? ¿Qué bajo de las unidades, _las def~~debajo de las decenas, etc.). A dice la propiedad asociativa? Poner ejemplos de estas dos propiedades. cada cifra del minuendo, empezando por la derecha, le restamos · 6. Usando ·paréntesis~ escribir las dos formas diferentes de obtener la l la ci#a correspondiente del~, y e$cribimos la resta de~· suma de los tres números 9,.7 y 8, sin alterar el orden e~ que se mencionan~ p:i.'~. ~ ~omo se ve en segiii"éíi: . · ~:;:~~ ··' 7. Dados los números 6, 9 y 5. Si a la súma de los dos primeros le agre- 1 Ejemplo. Al número 896 restarle 642. ·. : gamos el· tercero, obtenemos el mismo resultado que si al primero le agrega- " ... mos la suma· de los otros dos. ¿Qué propiedad ilustra este ejemplo? minuendo 896 Al 6 le restamos 2 y obtenemos 4; al 9 substraendo - 642 le _restamos 4 y obtenemos 5; al 8 le .. · t- ..• 8. Calcular ·}a suma 698 + 7+5 + 849 de lop dos modos siguientes: restamos 6 y obteneinos 2. a) ~ubstitliyendo los dos primeros sum~dos por la suma de ellos. diferencia: 254 ·•fi.:~ b) Substituyendo los dos últimos por su suma efectuada. 11:~~.;:: ' . · Cuando alguna cifra del substraendo es mayor que la corres- · 9. Utilizar las propiedades co~utativa y asociativa de la adición para .~· ~ ~ndiente del~1:1endo, se toñia UI!a unidad -d~lni !v~ ~ ._ Wcular mentalmente las sw_nas sigwentes:. ~oU-J'iWC--2:~e a su izquierda, ~o vemos en este otro . 3+7+2+8; 5+8+5+8; 2+6+9+3; 25 +50+ 75 +?O; ~ + 2 + 1 + 4; 15 + 6 + 4 + 23 + 7. Veamos la primera colunina (derecha) : a la cifra 3 del ....i.- 10. Analizar la validez de la propiedad conmutativa de la adición en el minuendo Jio le podemos restar 4. Tomamos una unidad (:aso en que los sumandos son 123 y +56. También cuando los sumandos son . de la cifra siguiente ..(del minuendo) y restamos: · ... 1 1 ~~06 y 1089. 13-4 = 9. Ponemos 9. Al pasar a la segunda columna, 8763 11. En urta suma con cualquier nUm.ero de sumandos, podemos asociarlos -58 54 tenemos en cuenta que de la cifra 6 (del minuendo) de cualquier manera y altérar su orden, sin que cambie la suma. Explicar: hemos tomado 1 y nos qllf~da 5; debemos restar 5-5 = O ¿cómo se usa· esta propiedad para comprobar la operación de sumar? Según .· 2 9 o9 y poner O. De parecida manera procedemos con las dos esto, cÓmprobar las sumas del ejercicio § 3. columnas siguientes. ~.·Decir ¿qué alteraci~n experimenta la suma de dos números cuando La operación puede compJ9barse-siexn_nre,__!umando a la resta . ~-----. . l ~o ~e los sum~dos aumenta 9 unidades? llu~ la respuesta con ejemplos. · el Súbstraendo: la sum~minuendo. -- ! ~ ·--- l ~_..,j CAPITULO U : ADICION Y SUBSTBACCION 17 :t6 ZUBIETA & SANCHÉz : AIUTMÉTICA ·RAZONADA : Ejemplos: 8 - 8 =O; 27 - 'J,7 = O; etc. •' EjeDJplo. Restar y comprobar lo siguiente: Ininuendo: 8752 ¡· (4) Si a la·suma de dos números se .les rest"a uno dé los su- mandos, se obtiene el otr-a sumando. sub~aendo: -- 2385 Ejemplos: (8 +.13)- B= 13 resta: 6367 1 (8+ 13) -13= 8 ~b~endo: 1- 2385 Esta propiedad es consecuencia también de la propiedad fundamental ~uendo: 6752 que hemos considerado: la de ser la substracción la operación inversa de la · Vemos .así que la suma de la resta.y el substraendo es igual al minuendo, + adición. En efecto, la diierencia (8 13)- 8 debe ser 13, porque la diferen- lo que ~ignifica que la operación está comprobada. , · . cia. (13) ha de ser tal que, sumándole el substraendo (8), debe obtenerse el + minuendo (8 13). 7. Propiedades de la substracción. La substracción es la operación inversa de la adición. En otras palabras: la substracción EJERCICIOS consiste en encontrar un número que, sumado con el substraendo, . L ¿Qué número hay que agregar a 7 para obtener 15? Usar la respueSta reproduzca el minuendo. para obtener la diferencia 15- 7 = .1:? Ejemplo. Para obtener la diferencia '8 -- 5 =3, debemos encon- . 2. ¿Qué número sumado a ·a produce 8? Usar la respuesta para obtener trar un número (en este caso, 3) que sumado con 5 (substraendo) produzca 8 la diferencia 8 - 8 = .:. ? (minuendo). En otras palabras: la igualdad 8 - 5 = 3 equivale a la igtial· S. En cada una de las igualdades siguientes escribir el valor apropiado = dad 8 3 + 5. · de z, aplicando la tabla de sumar: La propiedad anterior (que simplemente enuncia la defini· % + 7 ·= 15 ; ·~ = 8 + % 17 ;" + 9 %= 13 ; ~j ción de la substracción) se puede enunciar así: Si a la diferencia % +3 =3; o = 7 +% 9; .l o + %=o; (1 10 +% = 13;' de dos números se le suma el substraendo~ se obtiene el minuendo. 4. Obtener cada una de las diferencias siguientes, explicando el procedi.. Ejemplo. Si a la diferencia 8 - 5 le sumamos 5 ·(substraendo), ob- · miento seguido y comprobando siempre: tenemos .S (minuendo). En otras palabras: (8- 5) + 5 = 8. (a) 657-243; (b) 67000-34978; (e) 806423 ~ 69004; De tal propiedad (de ser la substracción la operación inversa (d) 56005-899; (e) 1830649- 398768; (f) 285301-281896. de la adición) podemos obtener las tres cons~cuencias siguientes: · 5. Expresar en lenguaje u~al el significado de la igualdad: ( 1) La substracción es imposible cuando el minuendo es me- (9 + 5) -- 5 = 9. O en general: (m + n) - n m. = nor que el substraendo, porque no es posible encontrar un número 6. ¿Es posible o no la substracción 4-- 7? ¿Por qué? (diferencia) que sumado con otro (substraendo) produzca una 7. Si la diferencia de dÓs números es igual al minuendo, ¿cuánto vale el suma menor que él (minuendo). 1 substraendo? ¿En qué caso la diferencia de dos números vale cero? Poner ejemplos. ( :~ :. 1 (2) Cuando el substraendo es cero, la diferencia es igual al ¡. 8. Encontrar el sumando que falta en: minuendo. ¡.· 35 + 67 + ... = 150. Explicar el procedimiento seguido. · Ejemplo: 18 - O= 18, porque 18 = 18 1- O. ¡. 9. ¿Qué alteraciones experimenta la diferencia 87-- 35, si al minuendo Es decir: minuendo = diferencia + substraendo. 1 1 se le aumentan 10 unidades y al substraendo se le. aumenta el mismo número de unidades? Comprobar la respuesta. ( 3) La diferencia de dos números puede valer cero: Esto su- 1 10. Explicar: ¿Cómo se comprueba la exactitud de la operación de restar? cede r solamente sucede, cuando el minuendo y el substraerido 1 ,~- Dustrar con· ejemplos. son iguales. r \ CAPITULO m : MULTJPIJCACION Y DIVISION 19 TABLA DE MULTIPLICAR CAPITULO III 1 2 3 4 5 6 7 8 9 MULTIPLICACION Y DIVISION 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 8. Multiplicación. Esta operación consiste en multiplicar dos números, llamados actores ara obtener su producto. . ."' 3 3 6 9 12 15 18 21 24 .27 . e e e la multiplicación de los números naturales me- diante las tres condiciones s1gwentes: 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 (1) Si uno de los factores es O, entonces el.}iroducto vale O. 5 5 lO 15 20 25 30 35 ....-- ~ 40 4S Ejemplos: OX 5 = O; . 23 X O=O; etc. •. \... --·----·----- 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 ( 2) Si uno de los factores es la u1ililiill;--entonces el producto es igual al otro fac~or. .. . . 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 Ejem.P!_o: 1 X 7 =7J ..- ...23~. 8 8..... 16 24 32 40 48 56 64 72 (3) ~ll!!E!:_tiplicador ( priml!r factor) '!!.distinto deor de t' entonces el producto es una suma en la que el segundo factor figl!.Ta 9 9 18 21· 36 45 54 63 72 81 coPia· suiñíiJJ!!!! tantas veces como unidades tiene el primer factor o multiplicador. --. ~e lee esta tabla como lo hicimos con la tabla de·sumar. Ejem- ~ Ejemplo: 3 X 5 =5 + 5 + 5 =15. plo: :para hallar el producto 3 X 4 --: 1~, localizamos el primer (El primer factor;Iramaaffmüttiplicador, indica cuántas ve- factor en la columna de la izquierda y el segundo factor, en el ces el otro factor se toma como sumando. El segundo factor, lla- renglón superior; el producto se encuentra donde se cruzan el ren- mado. multiplicando, se toma como .sumando tantas veces como glón y la columna correspondientes a los factores elegidos. La unidades tiene el multiplicador.) . tabla contiene todos los productos de dos dígitos, excepto aquéllos Basándose en la anterior definición, .podemos construir la en que uno de los factores es O; porque, como antes se dijo, tale~ · tabla ele multiplicar, como lo hacemos en seguida con el número 2: productos valen Oy no es necesario ponerlos en la tabla. Para multiplicar un niUnero de una sola cifra por uno de vª- 2X0=0+0=0 + 2 X 5= 5 5 = 10 rias cifra~e multiplica el primer~--~ 2X1=1+1=2 + = 2 X 6·= 6 6 12 cad~ una de las cifras de!_<?tr~, comenzando por la. derecha y se 2X2=2+2=4 + 2 X 7 = 7 7 =14 suman. ios-proCluctos pardales obtenidos. El multiplicador se escribe 2X3=3+3=6 2X 8=8 +8=16 2X4=4+4=8 2X 9= 9 + 9 =18. debaJO del multiplicando y, a} baceilaOperación, se tiene en cuen- ta que cada producto parcial representa unidades del mismo orden Proseguimos de este modo y obtenemos la siguiente: que la cifra del multiplicando que se multiplica. 18 ··-··· ··~ . ']~~~}~j;; ···.\~~· 20 ZU!5IETA & SANCHEZ : ARITMÉTICA RAZONADA CAPITULO m : MULTIPLICACION Y DIVISION 21 Ejemplo. Multiplicamos 7 X 358 como sigue: Ejemplos: OX 8 = O; 27 X O= O; etc. 358 (multiplicando) X 7 (multiplicador) El producto dos números puede ser igual a uno de ellos. 56 (= 7 X 8) Esto_~~ y solamente suce e ~do uno de los factorés esia 35 (= 7 X 5) unidad; entonces el producto es gua! ar otro factor. -~ 21 -2506 -- (= 7 X 3) Ejemplos: 1 X 27 = 27 ; 87 X 1 = 87 ; etc. . · (producto) ~ropiedad conmutativa de ia multiplicación: No cambia el En.. la práctica, los productos parciales y la sum~~.~-~-$.fL~~l~an producto de· das_números cuando se invierte el orde~- simultáneamente. Así: · · tores. ----~ 358 . 7 X 8 = 56; se escribe 6 y se reserva 5 para agregarlo al producto siguiente, que es 1 X 5 = 35; se agrega 5 y . -- Ejemplo: 7 X 12 = 12 X 7. X 7 . se obtiene 40; se pone O y se reserva 4 para agregarlo Propiedad asociativa de la multiplicación: Se obtiene el pro- 2506 al producto siguiente, que es 1 X ·3 = 21; se agrega 4 ducto-de tres factore mUltiplicando el próauctO"ae los dos prime- y se obtiene 25. ·ros por eÍ tercero; el m!smo resultado se o tzene sz e primer aéior Es fácil darse cuenta de que la aplicaci6n de esta regla equivale a tomar como sumando el factor escrito arriba, ·~antas veces como unidades tiene el se multiplica por efproducto de los otro~ do~. ~~ otro factor o multiplicador. Si en el ejemplo citado, se toma como sumando 1 Ejemplo: (4 X 7) X~ = 28 X 5 = 140 veces el número 358, se obtiene_por suma 2 506, o sea: el producto ~unciado. 4 X. (7 X 5) =4 X 35 = 140 es decir: (4 X 7) X 5 = 4 X (7 X 5) Para multiplicar dos números de varias cifra e i za Nótese bien que el paréntesis asocia -los factores que .se multiplican pri- por escribir el m · p 1ca or ebajo del m~tiplicando, de modo mero. Así, en (4 X 7) X 5 se multiplica primero 4 X 7, este producto se mul- que estén en una misma columna las cifras que representan uni:> tiplica después·por 5; mientras que, en 4 X (1 X 5), el factor 4 se multiplica dácles del mismo orden. Cada cifra del multiplicador, comehzan- por el producto efectuado ~ X 5. do por la derecha, se multiplica sucesivamente por todas las cifras Estas propiedades de la multiplicación, la conmutativa y la del multiplicando, y la primera cifra de cada producto parcial se asociativa, son del todo análogas a las correspondientes propieda- coloca directame~te debajo. de la cifra usada del multiplicador. des de la adición. Pero ahora ten e~os una propiedad, nueva y muy Los productos parciales (tantos como .cifras hay en el multiplica- importante: la propiedad distributiva de la multiplicación con res- dor) se colocan en renglones diferentes y la suma de ellos es el pecto a la adición, que dice así: El producto de un núm~ro por una producto buscado. · suma es igual a la suma de los productos que se obtienen al ,..,. Ejemplo: 598 (multiplicando) multiplicar ese número por cada uno de los sumandos de la suma X 84 (multiplicador) considerada. 2392 4784 Ejemplo: 3 X (1O + 7) = 3 X 1O 3 X 1. + 50232 (producto) O sea: 3 X ( 17 ) = 30 + 21 =51 ~~ está implkit~!~-Jl~ni~ 9. Propiedades de la multiplicación. ·ru producto de dos ~ d~.}~__!llul~plicación por medio de la adi_d6n. Basándonos en números puede valer O. Esto sucede y solamente sucede cuándo esa definición, y en propiedades co~ de la adición, podemos algunoderos factores es O. . · escribir: ' t q A 22 ZUBIETA & SANCHEZ : ABriMÉT!CA RAZONADA _. CAP~ m : MULTIPLtCACION Y ~IVISION ./ 23 3 X (10 +7) = (10 +7) + (10 + 7) + (10 +7) '1982 ,1 3584 18701 >'/ 28237 = (10 + 10 + 10) + (7 + 7 + 7) X 56. X 87 X 94. X 89 =3 X 10 + 3 X7. -.. .• 28793 ,· 20~597 97.6089 •.. . 485764 ·Acabamos de establecer la validez de la propiedad distribu- \ X 978 X 3.95 X 689 X 679 tiva en un caso particular, por un método que es general y se apP,- . ca a cualquier otro ·caso. Esta propiedad vale también cuando e1 4. Propiedades de la multiplicación: ¿En qué caso el producto de dos factor que multiplica· a la suma está éolocado a la derecha. números vale cero? Si uno de los factores es la unidad ¿cuánto vale el pro- . Ejemplo: (10 + 7) X 3 = 10 X 3 + 7 X 3. ducto? Si el producto es igual a uno de los factores ¿cuál es el otro factor? llustrar con ejemplos. Para terminar, demostremos que la 'prqpiedad conmutativa y . 5. Enunciar las propiedades conmutativa y asociativa ~e la multiplica- la asociativa se deducen ambas de la propiedad distributiva y de la ci6n. Poner ejemplos ilustrativos de estas dos· propiedades. definició~ de 1a multiplicación, por un método general que apli- caremos a los dos casos particulares que siguen: 6. Calcular de dos maneras· diferentes el producto de los tres números 8, 9 y 12, sin alterár ·el orden en que se mencionan. ¿Qué propiedad ilustra este (.1) Propiedad conmutativa ejemplo? · . 2X 5 =2 X (5 X 1) =(5 X 1) + (5 X 1) "1. Decir· ¿qué nueva propiedad está implícita en la definición misma· de =5 X (1 +1) la multiplicación mediante la adición? Ejemplos .que ilustren la propiedad dis~ =5X2 tributiva de la multiplicaci6n respecto de la ~dición.. (2) Propiedad asociativa 8. Establecer la propiedad , distributiva en los tres casos que siguen: J 2X (4X5) = (4X5) (4X5) + (a) 3 X (2 + 5) = ; (b) 4 X (3 + 6) = ; (e) 5 X (4 + 8) = =(4+4)X5· ~· · ¿Qué p~piedad de la adición interviene en ésta demoStración? = (2X4).X5 1. 9~ Calcular de dos maneras los productos que siguen: EJERCICIOS . 9 X (8 +22) = ; 35 X (48 +69) = ; 86 X (57+ 73) = . L Enunciar las condiciones que definen el producto de aos números na- 10. Cuando en una expresión (como 2 + 4 X 5) aparecen los signos + turales: ¿qué producto se obtiene si el multiplicador es O? ¿qué producto, si el y X, si no hay paréntesis que indiquen lo contrario, las multiplicaciones de- multiplicador es 1? ¿cómo se obtiene el producto cuando el multiplicador es . ben ha~erse primero. Ejemplo: 2 ·+ 4 X 5 = 2 + 20 = 22. Calcular lo .11 distinto de Oy ·1? Poner ejemplos. s~guiente: ¡l 2. Explicar ¿cómo construimos la tabla de multiplicar? Usar la defini- ¡1 ción de la multiplicación para calcular los productos: 3 X 1 = 3, 3 X 2 6. = 2X4 +5 = ; 2 +3 X ~ = ; 3 X 5 + 2 X 10 =. lll 3.X 3 =9, ... 10. ~ivisión. Tomemos dos números naturales: al primero . ~ S. Hacer cada una de las multiplicaciones que siguen, explicando eJ le ll~rlt~eiPos dividendo; al segundo, divisor. Al primer número le 1 . !f p~ento: i restaÍhos· el segundo; a la diferencia que resulta le reStamos tam· ¡1 ''¡ 789 549 1386 28839 bién el segundo número; a la nueva diferencia le restamos también 1~ X6 X8 X 9 X7 el segundo número; . . . Así proseguimos, restando siempre el se· gundo número (divisor), hasta obtener una diferencia menor que 11 ' l. ese número; entonces termina el proceso. El número de veces que l' .~ j• ~~i(l{¡:- ,1~, 24 · CAPITULO m : MULTIPLICACION Y DIVISION ~:' .:.-· se restó el.divisor se llama cociente y la última düerencia obtenida, J.~\· ·~¡.·.: . ' • • dividendo; .a su izquierda, el divisor. Se separa en el dividendn menor que el divisor, se llania residuo. . •' (entrando por 1~ izquierda) el primer grupo de cifras que forma Es claro que el mismo residuo se obtiene, si restamos al divi- :~.·¡·.: ;,¡ " \ un número mayor que el divisor; se divide ese número entre el di- dendo el pro<tucto del divisor por el cociente, lo que se expresa { : ~ visor y se obtiene la primera cüra del cociente, que se escribe (so- ;:\.· escribiendo: dividendo - (divisor X cociente) =·residuo. bre la galera) encima de la última cifra del grupo separado, por representar unidades del mismo orden. Se multiplica por el divisor •:. dividendo :;:: divisor X cociente + residuo. la cifra obtenida del cociente, y el producto se resta al número EjemPJo. Supongamos que el dividendo es 23 y el divisor es 7. Al divi- dividido (fonnado por el grupo de cüras que se tomó del dividen- dendo le restamos el divisor y obtenemos: do). La diferencia que resulte debe ser menor que el divisor, en 23.- 7 ~ 16. caso contrario se ensayará una cüra mayor para el cociente. A la derecha de la diferencia obtenida se baja la siguiente cifra del A la diferencia obtenida, le restamos el divisor: dividendo y el número así formado se div1de ahora entre el diviso:r 16- 7 = 9. para obt.e~er la siguiente cifr~ del cocien!e; la cual se multiplic~ A la nueva diferencia le restamos también el di'1sor: :¡ por el diVIsor y el producto se resta al numero que fue ·dividido. El proceso se repite hasta agotar todas las cüras del dividendo. La 9-7=2. última diferencia ob~enida (menor que el divisor) es el residuo. A esta última diferencia 2, ya no le podemos restar 7, porque 2 es menor que 7. El proceso ha terminado. Ejemplo: dividir 6 067 entre 72. Notemos que 3 veces se rest6 el divisor 7, y que la última diferencia obte- 84 (cociente). nida fue 2. Es decir: 3 es el cociente y 2 es el residuo. ·'· . 72/ 606f Es claro .que, en vez de restar 3 veces 7, podemos restar al dividendo el -576 producto 3 X 7 ::::: 1 X 3 para obtener el residuo. ASí: 307 23-7X3=2. -288 o sea: 23 = 1 X 3 2. + 19 (residuo) (dividendo= divisor X cociente + residuo). Comprobación. Se multiplica divisor por cociente y al producto se le- En la práctica, para dividir 23 entre 1, hacemos el cálculo mentalmente, suma el_ residuo, el resultado debe ser igual al dividendo. Asi: · así: De la tabla de multiplicar recordamos los productos 1 X .1 = 1, 72 (divisor) = 1 X 2 14, 1 X 3 = 21, 7 X 4 = 28, donde el primer factor es siempre el X 84 (cociente) divisor. Observamos que 23 (el dividendo) queda comprendido entre los p~ 288 duetos 1 X 3 (= 21) y 7 X 4 (= 28), lo que nos dice bien que el cociente 576 debe ser 3. Restamos al dividendo el producto 7 X 3 ( = 21) del divisor por = el cociente, y la diferencia que resulta ( 2) es el residuo. 6048 + 19 (residuo) No ,analizaremos más el proceso de la división. Nos confor· 6067 (dividendo) maremos con recordar al lector la regla .siguiente, que se risa en la práctica: . Cuando el residuo vale cero, se dice que la división es exacta. Para dividir un número de varias cür~s entre otro, se comien- . Entonces y sólo entonces el dividendo es igual al producto del di- za por dibujar· una galera / , dentro de la cual se escribe el visor por el cociente. .J. T.._-:_·-· . m :· CAPITULO MULTIPLICACION Y DIVISION 27 1 11. Propiedades de la división. Nos limitaremos a men· dividendo = divisor X cociente + O clonar solamente las cU.atro propiedades que siguen: El número O que figura como sumando puede suprimirse, ( 1) lA división es imposible cuando el divisor es cero. = junto con el signo +, obteniendo: dividendo divisor X cociente. En efecto, cuarido el divisor es O, el proceso que ·consiste en - Para expresar que una división es exacta (residuo = O) deci· restar sucesivamente el divisor no termina ·nunca, porque nunca mos, simplemente, que el dividendo es divisible entre el divisor. -se obtiene un residuo menor que el divisor. En otras palabras: un número natural es divisible entre otro cuan- do, al dividir el primer número entre el segundo, se obtiene una Ejemplo. ~i 8 fuera el dividendo y Oel divisor, tendríamos:· división exacta. Entonces el dividendo es igual a1 producto del di· 8- O= 8 (primera diferencia) visor por el cociente. . 8- O= 8 (segunda diferencia) Todavía podemos expresar Ia.misma idea, diciendo: ·un nú· 8- O= 8 (tercera diferencia) mero. natural es divisible entre· otro, cuando existe un número natural (cociente) que multiplicado pór el segundo número (di· Repitiendo el proceso, vemos que cada diferencia· obtenida vale 8, es de- visor) reproduce al primero (dividendo). cir: nunca obtenemos una diferencia menor que el divisor, O. Esto significa que el proceso no termina, 1~ que prueba la imposibilidad de dividir 8 entre O. Ejemplo: 60 es divisible entre 12, porque .60 = 12 X 5. Es decir: existe un ~limero, 5, que multiplicado por 12 reproduce a 60. (2) Cuando el dividendo es menor que el divisor, el cociente . . vale Or el residuo es igual al dividendo. Ejemplo:. O es divisible entre 2, porque O= 2 X O. Es decir: existe un ' · número natural, O, que multiplicado por 2 reproduce a O. Ejemplo: dividir 5 entre 21. En la fórmula de la división (dividendo·= divisor X cociente +residuo) Fácilmente se convence uno de que Oes divisible entre cual· ponemos 5 como dividendo y 21 como div_isor, y obtenemos: quier otro número, excepto O. Ver las propiedades ( 1) y (3). 5 = 21 X cociente + residuo. EJERCICIOS Esta igualdad se cumple solamente cuando ponemos O como cociente· y · 5 como residuo. Entonces tenemos: · L Exp~car· el proceso de la división,' mediante la substracción. Ejemplo: si al número 48 le restamos 9, a la diferencia que resulta también le resta· . 5=21 +5 = O+5 = 5. XO mos 9, ..• ¿cuál es el cociente y cuál el residuo en esta división? (3) Cuando el dividendo es O r el divisor es otro número 2. Contestar: ¿qué número multiplicado por 7 da el producto inmediata· (distinto de cero), el cociente vale Or también el residuo. . mente menor que 60? ¿Qué cociente y qué residuo se obtienen al dividir 60 entre 7? Esta propiedad es consecuencia inmediata de la anterior, por· que si el dividendo es Oy el divisor es otro nÚii1.e!o, entonces el di· 3. ¿Cuál es el mayor número de veces que 77 cqntiene a 8? ¿Cuáles son videndo es menor que el divisor; por lo tanto, el cociente debe ser O el cociente y el residuo si 77 se divide entre 8? Comprobar la operación. y el residuo igual al dividendo O. = 4. ·Fórmula fundamental de la. división: ¿cómo se comprueba la opera· ción? Caso de la división exacta: ¿dividendo = divisor X cociente? Poner ( 4) En una división exacta, el dividendo es igual al producto ejemplos. del divisor por el cociente. · Si en una división el, residuo resulta· ser igual a cero, decimos 5. ¿Qué número, m~ltiplicado por d~produce 96? Usar la respuesta para que la división es exacta y la fórmula de la división nos da: obtener el cociente de la división de 96 entre 8. Poner otros ejemplos. 28 ZUBIETA,. & SANCHEZ : AlU~~CA llAZONADA 6. En. cada una de las igualdades que .siguen, determinar el valor de :r mediante la· tabla de multiplicar: 3 X X =21; 7 X x= 56; XX1=1; ZX9=36; 1=1Xx o=5 X X ; 45=xX5; PROBLEMAS DE APUCACION 4B=:rX6; X+5=7 En los problemas que siguen, se usan las cuatro operaciones elementales X+7=0; %+6=1; %+1=4¡ 6+:r=1 8 + X= 4 ; 18 + % = 3 ,· 36 .....-x= · ·9 . que acabamos de estudi~. Resolverlos y comprobar resultados. · . L Un comerciante tiene 8 cajas conteniendo cada una 12 docenas de . . ?· Las siguie~tes divisiones son exactas. Hacerlas sin escribir diferencias naranjas. ¿Cuántas naranjas tiene en total? n1 di~~endos paraales. Escribir el cociente sobre la galera y comprobar la ~eraaon en ~da caso: 2. Un boticario tiene 12 cajas con 4 divisiones cada· una; en cada di-· visión de cada caja hay 6 frascos de medicina. ¿Cuántos frascos hay en las 4j 11748 ; 6/ 59022 ; 12 cajas? . 1/ 48013 ; . 9/ 91965 . _8. Hacer las divisiones que siguen, explicando el procedimiento Có ... 3. En un rancho viven 4 hennanos. Cada uno tiene 7 vacas· y cada vaca S ., ? eomprobar en cada caso: e comprueba 1a operac10n · l mo o produce 13 litros de leche diariamente. ¿Cuántos ·~itros de leche produce el rancho en 15 días? (a) 65J5'Br; (b) 98} 35872 ; (e) 546/ 561987 en 4. Esta mañana el meréado encontré 7. fuercaderes. Cada uno tenía 7 sacos; en cada .saco había 7 gátos; cada gato tenía· 7 gatitos. ¿Cuántos gatitQs (d) 879¡ 864301 {e) 905/ 805903 había? ¿Cuántos eran. en total: mercaderes, sacos, gatos y gatitos? (f) 999/ 991086 (g) 6074¡ 56546879 5. Si compro 9 duraznos a 22~ cada uno y 13 peras a 28~ cada ~a (h) 8809/ 82569805 ¿cuánto debo pagar por duramos y peras? . 9. Sin hace~ la división, decir cuántas cifras tiene e1 cociente en cada uno "6. ¿Cuántos lib~os de $24 podemos comprar con $864? de los casos que Siguen: · '1. Un comerciante cambió 23 garrafones de vino por 736 botellas de 78¡ 58753 ; cerveza. ¿Cuán~ botellas de cerveza. le dieron por cada garrafón de vino? 89/ ~8654 ; 345/ 270400 8. Una cooperativa tiene 39 socios. Al hacer una liquidación se reparten 10. ¿Es posible o no dividir 5 entre O? ¿Por qué? las ganancias que son: $34125. Si todos los socios reciben igual cantidad, ¿cuántos pesós recibe cada uno? . lL Explicar:. cuando el dividendo es menor que el divisor ¿cuáles son el COCiente y· e~ res1duo? _¿Qué cociente y qué residuo cumplen la igualdad: 9. Un comerciante compra y vende 84 toros y 239 vacas. En esa opera- = + 4 9 X COCiente residuo? ¿Cuáles cumplen: O == 8 X cociente residuo? + ción pierde $48 por cada toro y gana $59, por cada vaca. ¿A cuánto asciende· su g~ancia? 12. ¿Cuándo se dice que un número es 'divisible ·entre otro? Poner ejem- 10. Un señor repartió 105 canicas entre sus dos hijitos, de modo que plos de números que sean divisibles entre 8, entre 12, entre 19, entre 23, etc. el mayor·recibió do~ veces lo que el menor. ¿Cuántas c~cas recibió el hijo menor y cuántas el mayor? '~-· 11. Manolo y Juanito tienen entre ambos 335 canicas. Si Manolo tiene 15 ' más que Juanito ¿cuántas canicas tiezie cada uno? · 12. Un ranchero tiene 70 reses, entre vacas y toros. Si son 22 vacas más que toros ¿cuántas vacas y cuántos toros tiene este señor? 13. Se quiere formar la suina de$ 290 con. billetes d~ $5 y de $10. Si los de $ 5 son cuatro más que los de $ t O ¿cuántos son de cada clase? 29 -1" 30 ZUBÍETA e!;; SANCHEZ : ARITMÉTICA RAZONADA 14. Un padre repartió $ 252 entre sus tres hij.os, d.e modo que al mediano J le tocara el doble que al menor, mientras que el mayor recibió tanto como 1 los otros dos juntos. ¿Cuánto le tocó a cada hijo? · . 15. Un hombre dejó una herencia de $ 94 794 para repartirla entre sus tres hijos, de modo que al segundo le tocara el doble q:1e al primero, y al CAPITULO IV tercero el doble que al segundo. ¿Cuánto heredó cada uno? 16. Una compañía compró un terreno de 584 hectiíreas, a $ 239 la hec- NOTACION LITERAL tárea. Después de cierto tiempo, vendió la mitad del terreno en $ 95 850 y el resto, a $ 298 la hectárea. ¿Cuánto invirtió la companía en la compra del 12. Notación literal. Para designar números naturales ar- terreno y cuánto ganó al venderlo tOdo? · bitrarios, usamos letras, como m, ri, ·p, q, . . . Cada letra puede 17. Una cooperativa agrícola tiene 24 socios que culti~an 42 hectáreas representar indistintamente a cualquier número natura[ Por de terreno. Al recoger una cosecha, cada hectárea produjo 6 824 Kg. de maíz. ejemplo, 1a letra m puede valer O, puede valer 34, o cualquier ¿Cuántos kilogramos le toca a cada socio, si se reparten por igual la coseché!? otro número. _18. Si una vaca cuesta $689, un novillo $847 y un toro $1375, ¿cuál es el -Dii-emos- brevemente "el número m" para referirnos al nú- prec1o de un rebaño form:.~do por 348 vacas, 297 novillos y 49 toros? mero representado por la letra m que, como ya se dijo, puede ser 19. Un ~ombre re~ibe una herencia de $85068; debe dar la tercera parte cualquier número natural. de esa herenc10 a su muJer y la cuarta parte a una hermana que tiene. ¿Cuánto le toca a cada quién? El u_:;o de letras para designar números es indispensable en la aritmética, para facilitar ciertos razonamientos acérca de las 20. Un comerciante adquirió 24 relojes, 35 candelabros y 47 jarrones, pagando por todo $10388. Al venderlos, ganó $57 en cada reloj, $29 en cada propiedades de los números_o de las operaciones definidas con candelabro y $36 en cada jarrón. ¿Cuál fué su ganancia y a cuánto ascendió ellos. También se usan letras para designar las incógnitas ( nú- la venta total? . mero~ descoñoddosrqüe figuran en un prQblema: - --- 21. Un volante está girando 378 vueltas por minuto. ¿Cuántas vueltas Mucho podemos decir acerca de un número, sin conocerlo. Por ejemplo, da el volante en 29 minutos? ¿Cuántas vueltas da en una hora? una persona ignora la edad (número de aüos) de su vecino; pero puede decir . 22. Un día tiene 24 horas, una hora tiene 60 minutos y cada · minuto mucho acerca de esa edad desconocida de su vecirio. En efecto, si n representa tlene 60 segundos. Contestar: ¿cuántos se~dos hay en 11 días + 13 horas la edad actual del vecino, hace un año su edad era n - 1 y dentro de 5 años + 46 minutos + 40 segundos? ( . (si vive) su edad será n + 5; si el vecino tiene una hija de 15 _ailos, enton- ces n es mayor que 15 (n > 15) y la edad que tenía el vecino cuando nació 23. Sabemos que un billón es un millón de millones; pero pocas personas se dan cuenta de lo que esto significa. Hacer· un cálculo para convencerse su hijar era n - 15 años; etc. 1 de que un millón de segundos son menos de 12 días; mientras qu~ un billón · de segundos son más de 30 mil a1ios. ' La expresión m ·-,...--- --· +_ ~--ª-~~!gna la suma de los números m y ~· - -· --- 24. ¿Cuántos días hay en 30 mil años, suponiendo que todos los años son Estos numeros son los sumandos; m ·- + n es la suma. La diferencia de los números m y n es el número m - n. comu~es o _de 365 días? ~~uántos días hay en 30 mü años, suponiendo que cada s1glo llene 25 años blSlestos de 366 días y 75 años comunes de 365 días? En esta expr~sión m es el minuendo, ñ es el substraendo. El producto de los números m y n es el número m X n. Los 25. Se sabe que de cada cuatro años, hay tres años comunes y uno bisiesto· pero se exceptúan los años que terminan los · siglos, que son comunes salv~ números m y n son los factores del producto m X n. los que son múltiplos .de 400; de modo que de cada 400 años, son 303 años El cociente que r~sulta de dividir m entre n (suponiendo que c?munes y 97 ai10s bisiestos. Se pregunta: ¿cuántos días hay en 32 mil años la .división es exacta) se escribe m -:-- n, o también así: m/n. Aquí, Sl cada período de 400 años tiene 97 bisiestos y 303 cumunes? ' m es el dividendo, n es el divisor. 31 32 ZUBJETA & SANCBEZ : ABITMÉTICA BAZONADA CAPITULO IV : NOTACION· UTERAL 33 Observamos que toda igualdad tiene la forma sigruente: Ejempl~ Vemos @.l;l seguida los que siguen: (m+ n)- p:.la suma de dos números, menos otro número. ·- -primer miembro == segiaido miemb:_o ti·_;) X ·e p:_ la suma de dos numero$ multiplicada por otro. que ta_mbién podemos escribir así: (m + q) X .2: la suma de dos números multiplicada por. 9. (m- q) + 5: la diferencia de dos números, dividida entre 5. segundo miembro = prirrzer miembro ( p X q) --m: el producto de dos números, ~Os otro número. Esta propiedad se conoce como simetría de la igualdad. ( p- m) X p: la diferencia de dos números multipliéada por el minuendo. Ejemplo. La igualdad 3 + 1 ·=. 4 puede escribirse también 4 = 3 + 1.. ; ELdoble dé ~- número se obtie~-l!!~~cando :p~r 2 ese = En genera~ la igualdad a b se escribe también b a. · = numero. -----·- - . Se--puede sumar un mfsiño número á_. los dos miembros de una Ejemplo: ~ohle de 5 es el m'•mertiO _(=:_!_~. · igt!aldad para obtener otra igtÍaÍdad equivalente. También se pue- El triple de un númer-o se obtiene multiplicando por 3 ese de multiplicar por un ·mismo nÚlilero (distinto de cero) los dos ~ero J:Uiembros de una igualdad para obtener otra equivalente a ella. Ejemplo: ~1 triple de 8 es el nú~(::~ · Ejemplo. Sea la igualdad: 8 - 3 . + 5. Si multiplicamos por 2 ambos = miembros,.<?btenemos: 2 X 8 2 X (3 + 5) que es una nueva igualdad. = En general: el doble de m es el número 21n ( 2 X m) ; el Para negar una igualdad se tacha el signo =1 así ·-:fo. Por = triple de p es el número 31! ( 3 X p). Nótese bien la abreviatun!· ejemplo, 3 ;é 5 ~xpresa que los números 3 y 5 son diferentes, .es. que consiste en omitir el signo X cuando se escribe el producto de decir, no son iguales. un número por una letra. Así: .el pr~ducto 2 X m se escribe 2m; H~ iguald.ades.. en las q11e figuran una o más letras, que el producto 3 X p se escribe 3p; etc. repre~entan n~eros. Tales igualdades se clasifican . en dos ca- Ejemplos. En seguida vemos los que siguen: tegorías: . .2 m + p: el doble de un número, más otro número. ( 1) 1gual4qdes que se cumplen para valores completamente m- 2 p: un número, menos el doble de otro. arbitrarios de las letras que figuran en ellas. Esias igualdades 3 p - q: el triple de un número, menos otro núinero. reciben el nombre de identidades. 3 p- p: el triple de un núm~, menos el mismo número. . . ( 2) 1g_ualdades que sólo se. cump~ar.a._ciertos valares e.s- m + 3m: un número, más el triple del mismo número. p_eciales de..JflS..letr..as....t¡lle-figuran en e]Jas. Estas igualdades re.ti-' p + 2m: un número, más el doble de otro número. . b.en....el no~bre de l!EJ!PCÍOlleS.. 13. Igualdades. l!na igualdad indica qy.e dos exp~ Ejemplo. La igualdad m ± n = + n- m es una identidad, porque se ~esignan el mismo número. Lo que se escribe ·a la izguierda del c~ple para todos los valores .9ue asignemos-~ -~~S._l~~~m··y. __ ~PQ.r,_ej~_Elo, signo .=-.es el primer miem'i?!E. ~ la igualdad2 lo que se pone a la ~.en.JYgBt...de m ponemos 3 .~n lugar de ~emot_§, ~- ~gualdad consi- derecha del sig'!!o = es el segundo miembro d~~ad. + + derada nos da .3 5 = 5 3, resultado verdadero; }ambién se CllJ!lple esta ~d,~ vaie 8 y n vale 6, porque sa}>emos gue ~_t· 6 = 6 +"B;~· =+ EjempJ~: la igualdad ++ 3 2 5 indica que las dos expresiones ++ 3 .El lector habrá notado ya q~e la identidad m ± n = n ± ·m ~resa la + (primer m:embro) y 2 5 (segundo miembro) designan_ el mismo número, que en este caso resulta ser 7 , como ya sabemos. propiedad conmu~va de__!.a adición. Aritm~ttca Razonada.-3. <l·_· ZUBJBTA & SANCHEZ : ABITMETICA RAZONADA += Ejemplo. Considei-emos ahora la igualdad:· m 3 ~· Esta igualdad es una ecuacl6n, que se cumple solamente cuando m vale 4. S1 en lugar de m + = ! .. ••• CAPITULO IV : 'NOTACION LITERAL. otras palabras: la igualdad (m - __nJ. :f-..IJ: ~ _'fTl enuncia, la defi- ni~ó~ _d_e .la sul>~ifcéióñ como inversa de la adiclói- ...._ -·- ·. 35. ponemos 2 (por ejemplo), la igualdad considerada nos da 2 3 7, resultado falso, ya que sabemos que 2 3 7. + + .,se -~~P!~~~~~i~~}~. P.r~p!~<!~_4__4!$i~~~vª~-g-~Ja_?;I!1,!ltipli- cacl0n con respec!o_ ~_la substrac~ión que se enuncia asJ.: ,14. Propiedades de las operaciones. !;!s pro-e_ieda?es fun- qX (m-n)=qXm-qXn d~ent.aleuie la adición y_ la multiplicació~ q~é menoon~mos ---:~ lln~: rAní.t:uln ·' - rr v Ul se enuncian fácilmente por las lden- Para d.emQstrarl~, repr~~entemos por p .1~ .cW~~-l:l~i~ -~--~~n, ya~--~J~- " . Y r;co~ddernd~S..~~=-la 1gu~~da~ m- n = p expresa~lo mismo q~e ~ªª-~~_gue_~en: 18 1gua a:1 .. (~dad conmutati!a d~ m=p+n ~~~j9!!.L "' (propiedad asociativa de la ~~tiplicando 'por q ambos miembros de esta igualdad, ob. tenemos: · · . (m+ n) + p =.m+ (n p) + adición). q X m= q X (p +n) (-f;dad conmutativ~ deJa mXn=nXm multiplicación) A~licando .ahora la propiedad distributiva, con ~especto ~ (-pr_o_p~ie-=d-a~ciativa de 'la )= la adición, obtenemos: · · (m X n) X p =m X (n_Lp) · ~ij.l@Íg1~10n 9._0 m = qXp + q X n. - . .5 (propiedad dis!ributiva de a ·o sea: . q X m- q X n = q X p. p X (m+ n) = p X m+ p X n .- m tip 1Cac1on con .!..~~P-~-~~o (m+ n) X p - m x-;r--fn){""p aTaaa1Ción) ~.... -·-- . -- -·---=- ,-. -····-·· ..,. ... ~- ~"'..._ Poniendo m- n en lugar de p (puesto que p =m- n), obtenemos: Nos ocuparemos ahora de algunas de las propiedades ~e la q X m-q X n = q X (m-n) substracción. Recordemos que la düerenc_ia m - n de ~os num: q X (m- n) = q X m- q x· n ros es el número que sumado con el substraendo reproduce al nn- nuendo. En otras palabras: la igualdad. m - n = p expresa lo .EJERCICIOS mismo que la· igualdad m = p + n. . . l. Usando la notación literal, expresar lo siguiente: Es decir: el substraendo pasa al segundo nnembro de la Igual- a) la suma de dos números. dad como sumando. . . b) la _diferencia de dos números, más otro número. · La substracción de .lC!s números naturales :tJene las prople- e) el producto de un número por la suma de otros dos. dad~s que expresan las iden~dades siguientes: d) la suma de dos números multiplicada por el primero. _...--···- . e) la suma de dos números dividida entre 5. (m - ::t ~~- _n -:-__ m f) la. diferencia de dos números multiplicada por el substraendo. (m ..+ n) - n = m 2. Decr lo que representan cada una de las expresiones que siguen: (m+ n)-m= n m + n,; pXp; . (m - p) + m ; La primera igualdad expresa que, si a la diferencia de dos (m- n) X m ; (m X p) -m ; (p- q) p ; + números se le agrega el substrsendo, se obtiene el minuendo. En (p + q) + 2 ; (p - m) + m ; (p + q) + 5. 36 ZUBIETA & SANCHEZ : ARITMETICA RAZONADA S. U8ando la notación literal, expresar lo siguiente: a) el doble de un númm, más el triple del mismo. b) el triple de un número, menos el doble de otro. e) el doble de la suma de dos números. · · d) el triple del producto de dos números. e) la diferencia de dos números, más el doble del substraendo. CAPITULO V f) la· diferencia de dos púmeros, más el triple del minuendo. 4. Decir lo qu~ repre5entan las expresiones que siguen: MULDPLOS Y POTENCIAS 2p + m ·; 3m - m ; 2p-+ 3q ; 2m + 3m ; 2 (m + n) ; 3 (m X n) ; 15. La serie natural. Los números naturales fonnan una (m....:.p)+2p; 2(m~p)+m; 3(m-s)-2s. SE!~~ue no tien~J_in. Estu..edf! comienza c~~--l.os__ dígitos, . . ~s que siguen lQLnumeros de dos cüras, loLde tre.s___~~élS, .. etc_.___ La 5. Suponer que m repres~ta la edad actual (número de años) del p"ro- serie_ ~e l9~. ~~er~ naturales es la siguiente: fesor. ¿Qué edad tenía el profesor hace 5 años? ¿Qué edad tendrá dentro de 2 --------·- . -~.. .... .. . . ... . ..... años? Si el profesor tiene un hijo de 12 años, ¿cual es la suma de sus edades? o, t, 2, 3, 4, 5, 6, 7,_ s, 9, ·to, 11, ... Si el profesor nos dice que tenia 28 años cuando nació su hijo ¿ctÍánto vale m? ¿Cuánto valen m - 5 y m 2?+ donde los puntos suspensivos indican que la se~e se extiende in- 6. Una fábrica produce a diario X tonéladas de cemento. Si la produc- definidamente hacia la derecha. ción aumenta en 30 toneladas más por día ¿cuál es ahora el número de to- La se~~-Jl~J.os_níun.eros naturales tiene las_propie.<lac!_~_ que . neladas que produce la fábrica diariamente? En una semana ¿cuántas tone- s~ -~~~f!ª~---~n s~~da: --- ladas de cemento producía la fábrica y cuántas produce ahora? + 7. Escribir una igualdad que diga que la letra m y la expresión p 2 designan el mismo número. Otra que diga que la letra x y la expresión m + n · ( 1) Hay en esta serie un primer elemento~ el número. O. · ------···-- (2) No hay en la serie términos repetidos. - representan el mismo número. En la primera igualdad, calcular m cuando ----...---.. -- = p O, cuando p = 3, cuando p = 5, .•• ( 3) º-atJ..q. -~-~mero de la serie va seguido inmediatamente .P.º.r...9F.~-!!~~~~-·------- ····--·-·---- ---·- 8. Comprobar que_ son identidades las igualdades que siguen (porque se cumplen para todo :valor que asignemos a las letras que figuran en ellas): ( 4) . Si se agreg~ _lq .l!:rJ.fdad a un número cualquiera de la m+O=m; mX1=m; p-p=O; p-O=p. serie, .se. pasa de ~~se____l}_(¿'!!~r.g afsii..ül~~-¡e.· ----······· · · · . . . -~ . ~-- -··· ... 9. ¿Qué es una ecuación? Comprobar que las siglli~tes igrialdades son ecuaciones y encontrar, para cada una, el valor de m que la verifica: (~}_I_gda propiedad que tiene cero, r se hereda al pasar de + = = cada número al sfiiiíiñle;-zatieñeiCtotlOsliifae-za-:_serie.--- m 3 11 ; m - 5 1 ; 3m = 18 ; m - 2 = 5 ; ----- ------.--.. ~---- + = = m 8 13 ; m - 9 12 ; 5ni 35 ; m - 5 7. = = + Si n es un número natura~ entonces n 1 es el número que sigue a n 10. Usando la definición de multiplicación, expresar en forma de suma en la serie natural. Ejemplo:· si n = t 3 entonces n 1 14. + = cada·uno de los pr.oductos que siguen: ~~..E~Qe_ d~ los números no tiene fin, cuando ella se recorre = ; = 3m 5p ; + = 2 (m n) ;· 3 (m - n) = . d~ izq~~rda a ~~~_fa.____~r.t___citras__ ¡ii:i1i'6ta-s.; -~7J.~ngUif.iji:liiiiio- na- NOTA. Se recomienda al maestro hacer que sus alumnos contesten tural es el iiii{mo de la serie. Esto. es consecuenCi"a ·de la propie- - oralmente, el\ clase, muchas preguntas análogas a las que contienen los dad (3). · ·· · ejercicios 1 y 3. Los ejercicios orales tienen gran valor pedagógico en la ense- A partir del número O se pueden obtener los números na- · la . ñanza elemental de aritmética. turaleS, uno tras o1Io~ --mediantela-opeiiCío![_que=consi~~-- en ..... ··---- ~-·--···· -- . agregar la unid~~-- - ·---~---_...- cada núme~o obtenido. As~_ se obtiene: ~'7 38 ZUDIETA & SANCHEZ : ARITMETICA RAZONADA CAPITULO V : MULTIPLOS Y POTENCIAS 39 ..., Ejemplo: O X 13 =O; 8 X OX 11 = O; etc. ---- . Ejemplo. De la igualdad 8 X m = O concluimos que m - Op 2+1 =3 ·------ ~ el prod8ucto vale. cero, entonces uno de los factores debe ser igu~l ao::~ como =F Ose s1gue que m = 0. · El número 1 (uno) se llama la unidad. Todo núm..!:_~ natu- ra~ distinto de O..y_1, es una suma de varios sumandos iguales a . . 16. Lo~últiplo~. Consider~_1ill número cual- q~era, representado por la letra m. Los múlti' 1 d -··--- - . la Ellidad~or ejeme!~T~T+ 1. ~ . .- --- · _ Pos. e m s~ obtie- nen, ~~~e, mül~@cal!~ or m cada número dé la serie El_: ~~ .~erie natural, l~x.de.nados~. or- natural:_Q,.J_,_~,.l,...±,¿,_ . . . . · ---. _ den_dé-mag.nitud_ creciente. El sirrru> < denota el orden que tienen ________::,_:.::o. los números en la sene natural. - Ejemplo, Los múltiplos de 5 son: O (= 0 X 5) ; 5 (= 1 X )· · (- 2 X 5); 15 (== 3 X 5); 20 (=4 X 5); etc. 5 1 10 Escribimos_m_ ~_ ,c(:y:d·~~ menor que n) para ex- presar que__eJ_núme~terior a n en la serie de loSñiñneros ' En la práctica, se indica abreviadamente el producto de un naturales. 4~-.M - - · -. . 0 ~ ------ ·-- ---·- ~umero por_una letra, poniendo el número delante de la letra sm usar el signo X. Ejemplo: el producto 5 X m se escribe 5m. el Ejemplo: 3 _'!- 5, porque 3 está antes que 5 en _k.serie-nat:J!réil: producto 3 X p se escribe 3p; etc. ' Obsérvese que los números Oy 1 tienen un papel privilegiado Después de lo dicho, los múltiplos de m son: en la formación de la serie natural. En efecto, O (cero) se dis- O = O X m : el número O. tingue de los otros números por ser el primero de la serie; en tanto que la unidad se distingue de cualquier otro número por ~l.númerom. ser precisamente 1 (uno) lo que se agrega al pasar de cada nú- 2m = 2 X m : el do.b.!L~m. mero al siguiente. Estos dos números se distinguen también de --3m-= -3- X-m-:- el-tr.iple d~. los demás por sus propiedades especiales con respecto a las ope- 4-m = 4 X m--~. - ----·- · 1 'dru 1 d raciones -de adición y multiplicación. · . . . . . . . etc. Ep ef~-~!Q,J9Jguill<i.<!4_.m_+_Q_- m _(donde m reP.!:ese~a un Análogamente, l~ mJ!ltiplos de p soE: número ~ualguieraL en.!!Dcia una p:r.o¡üedª-d _que tiene O y que niñgfui otro número tiene. Di~ho_ de _otro modo: m +-O ·~=-m;_s.i O, p, 2p, 3p,___!.p, 5p, 6p, etc. ~ +_.n_ - __ mentonces 7!----L . Ejemplos. Si m= 5 entonces: 2m= 10· 3m = 15· 4 - 20· 5 - . Análogamente, la igualdad m X 1 = m (donde m represen- 6m - 30 ; 7m = 35 ; 8m = 40 ; etc. , , m- 1 m - 251 ta_.UILÍlJÍIIlero cualquiera) enuncia un-apropied-adque -tieñe 1 = = S! p = 12 entonces 2p 24 i 3p 36 . 4p = 48 . 5p - 60. 6 - 72 y que ningíillOtro númerotieñe~ EI1o"tras paiábras·: 1n = m; x-1 . 17. ' •- ;p - ~~potencias de m. Cq~sideramos las po~encias suce- ;etc. si ni X p =m eñiOñeesp- 1. las--- _., dosafiññácwnes que siguen: ·------- Además, O es el único número que tiene la propiedad de anular los procÍ~ctos.en que -figll.rácomo factor. Son verdaderas Si uno de los factores es O, entonces el producto vale O. Recí- procamente, si el producto vale O, entonces uno de los factores es O. s~s (pnm~segunda, etc. ) de.H!:!_l]Ú!r!.~[Q..ill,_~e escriben así: ) 1}'!.. : primera-potenda-de1 número m 2 --.:...:.:...::· m_-: _§.eg~IJ.fia potenci-ª-.Qelnúmero m : tercera potencia 3 . ·: : etc. · -- - d~l número m. - -- ·- - - m: 'U ;~ 40 ·ZUBIETA. & ·SANCHEZ .:· ARITMETICA RAZONADA ·cAPITULO V : MULTIPLOS Y POTENCIAS 41 ~~ ~~ Al. nfunero que indica la pote~cia se le llama exponente. Así: Veamos ahora una tabla que contiene los cuadrados y' los cu~ 1! ~r:t m~,..di_ipoñente es r; en m~ exponente es'!!; en me;·éf exp~ bos de los. números dígitos: ~~ nente es 3; etc." · i: , Lg pri&.rª P.P. ~f!rzc.~~. ~~ un nÚT!7:ero se i~e_n.tjfJpf!:__c_~_!l: . el propio i,! 1 num~ro .. Es ..deck, P,~~.!~~C?.. ~.~~!~-~t!~.. .P~~~-:::_ni: · ·· Número o t 2 3 4 5 6 7 8 9 i i Ejemplos. 31 = 3; · 51 = 5 ; 81 ~ 8 etc... Cuadrado o t 4 9 16 25 36 49 64 81 i i 1 La segunda y la tercera potencia de un número son, respecti- Cubo o t 8 27 64 125 216 343 512 729 vamente,· el cuadrado y el cubo de ese número. 1 1 · lA segunda potencia o cuadrado de un número es el· producto • 11 Jde ese n~mero por sí mismo. Así: m2 = m X m. En ge~~!!b..~-~!!.~~~1 e.!J!Q!!~J!te..J~ulis.tinto de la unidª~' defi- ! @ltºUª.$_potencias de un núm~x:o m, diciendo.:. f.a.da potencia de -m Ejemplos: 'P = 7 X 7 =49; 11 2 = 11 X 11 ·= 121 ; ..• .. e~· un prod;;c¡o de tañtoiJacto~es igual_~~ a.. ~ como"ümdtUles ~eñe 11 . l · Se calcula el cuadr~do de un número multiplicando ese nú- efexpoiiÉnte~·-xsi-te~~~º~: ------ .. -... - .. 1· mero por sí mismo. As~ por ejemplo, s1 nos piden el cuadrado del • o0• • 0 . . . . . . . . . . L.000 .¡! m"-. m X m (2. fad;Q,r~} número 85, debemos multiplicar 85 X 85, como lo hacemos en seguida: ,:n_;.---· m X mX m ..... l3 factores) -......-.---·~ ..... .. - "" ....-,--. -~-- -·. ' 1 . 85 m• =m X m X m.X m (4 factores) X 85 ......... ...... .. .......... . •.. 1 ! 425 ma = m X m X.··· X m (n factores) 680 . 1 • 7225 =85 2 ·Noia: Todas las potencias de Ovalen O; todas las potencias de 1 valen 1. Más precisamente: Íos números O y 1 son los únicos q\le iienen la propiedad La tercera potencia o cubo de un número es el producto de . de ser iguales a todas sus potencias. · tres faciores iguales a ese número. Así: m8 = m X m X m. · Ejemplos: 02 = OX O = O ; oa =O X O X O=O ; ••• Ejemplo: 78 =7 X 7 X 7 =343; 11 8 =11 X 11 X 11 =1331 ;... 1 2 =1 X 1 =1 ; 18 =1 X 1 X1 =1 ; .... Podemos escribir: m8 =(m X m) X m · m2 X m. Es interesante observar la ley de formación de las potencias de· un número, expresada por las igualdades siguientes: Para calc~ar la tercera potencia o cubo de un número, se multiplica por ese número su cuadrado. As~ por ejemplo, si nos m1 =m piden el cubo del número 85, debemos multiplicar 85 2 X 85 (es de- mnf1 =m-o X m 1 cir: 7225 X 85) como lo hacemos en seguida: L,!. p~era jgyaldad_expresu¡JML~ número es igual a su 7225 (=85.2) . p~~~_P-ot~nci!. La segunda ~~l.~~JLn~~~=que-~~_pasa-de- X 85 cada potencia del número~~ente, m]lltipl!~_~ndo PO.~. m. 36125 --... De Ia-segundaiguáldad, poniendo n = 1, (n r-~ ·2), ob- + 57800 tenemos: 614125 (-:- 858) tn:~=m1 Xm (=mXm) .. · 42 ZUBIETA & SANCHEZ : ARITMETICA RAZONADA CAPITULO V ~ MULTIPLOS Y POTENCIAS 43 '. De la segunda igualdad, poniendo n = 2, (n +1 = 3), 5. ¿Cómo se calcula el cuadrado de un número? Calcular el cuadrado obtenemos: de cada uno _de los números: 25, 30, 42, 75 y 128. m8 = m 2 X m 6. ¿Cómo se calcula el cubo de un número? Calcular el cubo de los nú- meros: 25, 30, 42, 75 y 128. De manera parecida, poniendo n = 3, 4, ... , obtenemos: m 4 =m3 X m Se debe obtener: 25 8 = 15 625 ; 30S = 27 000 ; 428 = 74 088 ; 75 5 = 421 875 ; 1285 = 2 097 152 , ' m 5 =m• X m 7. ¿C6mo se calcula la cuarta potencia de un número? Calcular: Ejemplo. Las potencias sucesivas del número 2 son: 74 = 2 401 ; to• = · :· t·¡··~ · ; 254 = 390 625. 21 = 2 _8. Por multiplicación, probar que: P=1. 22 = 21 X 2 = 2 X 2 = 4 9. Explicar la ley de formación de las potencias de un número. Consi- = 23 22 X 2 = 4 X 2 = 8 derar el caso particular de las potencias de 5. Calcular esas potencias, desde 24 = 23 X 2 = 8 X 2 = 16 la primera hasta la se>..1a. 25 = 24 X 2 = 16 X 2 ;::: 32 10. Explicar ¿por qué 54 = 252 y 58 = 253 ? (Se pasa de cada potencia de 2 a la siguiente, multiplicando por 2). 11. Comprobar que se cumplen las igualdades siguientes: Ejemplo. Las potencias sucesivas del número 3 son: 22 X 52 = 102 ; 52 X .72 = 35 2 ; 4.8 X 82 =W ; 31 =3 ; 3 2 =9; 3 8 =27 ; 34 = 81 ; etc. 4 5 X 13 2 = 325 2 ; ' 3 X 22 3 2 = 12 X 33 2 • (Se pasa de cada potencia de 3 a la siguiente, multiplicando por 3). 12. Los valores de m y p están ligados por la ecuación: Ejemplo, Las potencias sucesivas del número 10 son: m= 12p + 4. 101 = 10 ; 102 = 100 ; 1QS = 1000; W = 10 000 ; etc. Esta nos dice que se obtiene cada valor de ni, correspondiente a un valor (Se pasa de cada potencia de 10 a la siguiente, multiplicando por 10). dado ~e p, agregando 4 al producto 12p, como vemos en seguida: En la escritura decimal, cada potencia de 10 se escribe poniendo la cifra 1 Si p vale O, entonces m = 12 X O+ 4 = 4. seguida por tantos ceros como unidades tiene el exponente. Si p vale 2, entonces m = 12 X 2 + 4 = 28. EJERCICIOS Si p vale 5, entonces m = 12 X 5 + 4 = 64. l. ¿Sin = O, cuánto vale n + 1? ¿si n + 1 = 1, cuánto vale n? Calcular m cuando p = 3, cuando p = 8 y cuando p = 10. ¿Si n = 2, cuánto vale n + 1? ¿si n + = 1 3, cuánto vale n? 13. Suponer ahora que los valores de m y p verifican la ecuación: ¿Si n = 7, cuánto vale n + 1? ¿si n + 1 = 8, cuánto vale n? m = 12 p2. Obtendremos cada valor de m, multiplicando 12 por el cuadrado del valor que demos a p. Si p = 2, entonces m = 12 X 22 = 48. Calcular m 2. ¿Cuáles son las propiedades especiales de los números O y 1 con res- = cuando p = 5, cuando p 8, cuando p = tO, . .. pecto a la adición y a la multiplicación? ¿Qué se infiere de estas igualdades: 14. Escribir una igualdad que exprese que la letra x y la expresión m X5 = O; 13 X m = 13 ; m X 8 = 8; 8Xm = O? 12m + m2 designan el mismo número. Calcular x cuando m 5, cuando = S. Escribir los diez primeros múltiplos de 3; también los ·de 7. m= 12, cuando m = 22, ... 4. ¿Cuánto valen 2m, 3m, 4m, 5m, y 6m, si m = 4? ¿Cuánto valen, · 15. De la igualdad x = 5 m8 - 2 m2 + m, calcular x cuando m = O, cuando m= 2, cuando m = 5, ... si m = 13? ¿Cuánto valen esos múltiplos, si m 22? = .. 1. CAPITULO VI : NUMEROS PRIMOS 45 ~~~. es _p.ar, el número considerado es. divisible entre 2; lo con- r trario.Süceae cuando .la cifra de las unidades es impar. ¡·. Ejemplos. LQs números 86 y 110 son divisibles entre "2; mientras que -CAPITULO VI .· ·¡ 81 y 107 Jio lo son. ¡ (2) entre 3. Para saber si un número es divisible entre 3, NUMEROS PRIMOS sumamos las cifras dé'""ese ·número: si la suma es múltiplo de 3 en- tonces el número dado ·es divisible entre 3; lo contrario sucede 18. Divisibilidad. En la aritmética de los números natura-· les, la propiedad de ser m~tiplo de un número equivale a de ia 1 cuando la Süma de las cifras no es múltiplo de 3. ser divisible éntre ese n~~ En otras palabras~uando decimos 1 ! Ejemplos. El número 141 es divisible entre 3, porque la suma de las que un n~~~o natural es múltiplo de otro, expresamos que el pri- ~~ de ese,númcro es 1 ± 4 ± 1 - 6, mulbplo de 3.. Lo -contrario sucede con mero es diVIsible exactamente entre el segundo. La misma idea ± ± el numero 203, pues la suma de sus cifras es 2 O 3 = 5, y sabemos que 5 no es múltiplo de 3. se expresa diciendo que el segundo número es un divisor 0 factor 1 del primero~ · · · (~) entre 5. Todos los múlti los de 5 terminan en Oó en 5. 1 1 . . Ejemplo~ El número 299 es divisible entre 23. Por que, al hacer la di- _Por lo tanto, los únicos núme~o~visibles entre son aq_uellos VlSI6n, obtenemos: cociente = 13; résiduo = O. La división es exacta y se cuya ,.- iiltima cifra (la de las uruaades) . es o ó 5. - ~: . cum~l~: 299 =. 1~ X 23: Esta igualdad nos dice que 299 es múltiplo de 13 y Ejemplos. Los números 60 y 95 son divisibles entre 5; mientras que tamb1en de 23. P1cho de otro modo: 13 y 23 son divisores o factores de 299. Hacer los cálculos indicados. · 58 y 74 no lo son. · ~jemplo. 30· es múltiplo, común de los números 1, 2,_3, 5, 6, 10, ·15 y 30. (4) entre 1t. · Separamos las cüras del número dado en dos . ~ ~ecr: cada uno de estos numeros es divisor o factor de 30. Se cumple lo grupos: las cifras de rango impar (primera, tercera, et~.) y las de Siguiente:. · rango par (segunda, cuarta, cte.). Sumamos separadamente las ci- 30 = 1 X 30; 30 = 2 X 15; 30 =~X 10; 30 =5 X 6. fras de ambos grupos: Si la diferencia de las sumas es múltiplo de 11, entonces y sólo entonces el número dado es divisible . ~ igualda~ 30 = 1 X 30 nos dice que el n~ero 30 es múl- entre 11. · · tiplo de 1 y de 30. Más generalmente, la igualdad.ni = 1 X m nos dice que tod~ número m es múltiplo de sí mismo y de la unidad. Ejemplo. El número 1 826 es ~ivisible entre 11, porque tenemos: suma ·de las cifras de rango impar: 1±2= 3 . 19.__:_~~~!~~s. de divisibilidad: M_enéWa~~o_!_gj suma de las cifras de rango par: 8±6=14 ~_!?os de uso praCtico para. conocer s1 un número dado esdívlsible e~~~_g, entre 3; entre 5 o entre 11. diferencia de las sumas: 14-:-3 = 11 Ej~mplo. El número 121 tam~ién es divisible entre 11, porque tenemos:_ . ( 1) entre 2. Las diez cifras que usamos en la escritura deci- mal se separan en dos clases: suma de las cifras de rango impar: 1 cifra de rango par: cifras pares: O, 2, 4, 6 y 8. 4 diferencia: cifras impares: 1, 3, 5, 7 y 9. l Vemos que la diferencia es O, múltiplo de 11, lo que significa que el nú- , . P_ar~ s~~e~_.si ~ número es di~__entre 2, nos fijamos en ~a mero dado es divisible entre 11. ~~~~ilia (la cifr~dacles) de ese número: si la última . ;.~ ' . ----·-----~----- .. 7.UBIETA & SANCHE7. : ARITMETICA RAZONADA CAPITULO VI : NUMEROS PRIMOS 47 20. Números primos. Hemos visto que todo número natu- ~ descomponer un número en sus factores primos se ensa- ral tiene al menos dos divisores, que son el propio número y la di ya V1'dirlo entre los primos sucesivos,- tomados en orden crecient~, ' -- uñidad. Esto dice la identidad m = l~e-paratoao a saber: 2, 3, 5, 7, 11, etc. Si el número a 0 es ms1 e entre 2 ~o m. Más precisamente, se cumple lo siguiente: · se comienza por dividli=Ioentre 2; si el cociente obtenido es divisi: ( 1) Todo número natural, excepto O, es divisor de sí mismo. ble entre 2, también se divide entre 2; . . . se repite el proceso, hasta obtener un cociente que ya no sea divisible entre 2. Enton- ( 2) El número 1 es divisor de todo número natural. ces .se procede .·a dividir entre 3; después, entre 5, etc. El últimr coc1ente obtemdo debe ser 1. Es claro · · e números que tienen divisores ·distintos de ellos mismos y de la unidad. Por ejemp o, e numero tiene cu~o Ejemplo. Descomponer en sus factores primos el número t 80. di~s gue son: 1~ b_~e esos divisores, los números _ _ _._ _ Dividimos 180 entre 2: el cociente es 90. Dividimos 90 2 y ·a, son distintos del número dado y de la unidad. _ _2_ ~ entre 2: el cociente es 45. Este cociente ya no es divisible También existen números sin otros divisores que no sean el _ _2_ ~ entre 2; lo dividimos entre 3: el cociente es 15. Dividimos propio número y la unidad: tales números se llaman primos. Por ejemplo, el número 5 tiene solamente dos divisores, que son el _ _3_ ~ 15 entre 3: el cociente es 5. Este número, 5, no es divisi~ propio 5 y 1. Por tal razón decirnos que 5 es número primo. 15_ ble entre 3; lo _ _3___ divi~os entre 5: el cociente es 1. El p.ro- - Se puede ver que son primos los números que siguen: 20 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, .. . __5___5_ ceso ha terminado y obtUvimos: 1 1 · 180 ;, 2 X 2 X 3 X 3 X 5 =2 X 3 X 5 . 2 2 . Comprobamos la descomposición, multiplicando los factores primos obte- Se llama primo todo número natural, distinto de Or 1, euros rüdos: el resultado debe ser el número dado. Así: . - único~ divisores son el ropio numero r la unidad. s números naturales quedan separa os e tres clases: . (a LJos números O y 1. (b) los números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 192 ••• ~- • 22 3 X_ f = 5 = 4 X 9 X 5 36 X 5 = 180 . Ejemplo. Descomponiendo en sus factores primos el nún_1ero 140, ob- tenemos: 2 140 (e) los números (distintos de O y 1) que no son rimos: 4, -- 2 - 70 - 6, 8, , , 5, 16, 18, 202.. ... -- - ·- - 5 35 140 = 2 X 2 X 5 X 7 =2 X 5 X 7 . 2 Todo ;;¡;mero de la clase (e) (es decir: todo número, distinto 7 7 de Or 1, que no es primo) es un producto de factores primos. Ejemplos: 4 = 2 X 2; 6 = 2 X 3; 8 = 2 X 2 X 2 ;. etc. Comprobación: 22 X 5 X 7 = 4 X 5 X 7 =._20 X 7 = 140 . En casos sencillos, la descomposición de un número en sus . ~l.primer número primo es 2; el ·primo que sigue es 3, que no factores piirnos se hace mentalmente, corno sigue. es d1V1s1ble entre 2; el primo siguiente es 5 que no es divisible en- Ejemplos: 9 =3 X 3 = 32 tre 2 ni en~r~ ~; · · · En general: es prim~ todo número natural = 18 = 2 X 9 2 X 32 que no es ~V1:1ble ~mtre los primos menores que él. 20 = 4X5 = 22 X5 . ~n cnte:w mas fino para conoce~ un número dado es 36 := 4 X 9 = 22 X 32 pnmo, es el siguiente: - ·r::·. ·=- 48 ZUBIETA & SANOBEZ : ARITMETICA BAZONADA CAPITULO VI : NUMEB.OS PRIMOS - 49, . feorema de Eratóstenes. Si un- número dado no es divisi- Tachemos el número 1. El que sigue es 2, nún:lero pri.Ino. ble entre .los primos in eriores·a él cu os cuadrados no sobre asan ro o2 entonces ese número es pnmo. Tachemos los múltiplos de 2, empezando por 4, que e5 el cua- drado de 2, (es decir: tachemos 4, 6, 8, 1O, 12, 14,- etc.) .. El .-- Ejemplo. 41 es número primo. Para probarlo, escribmnos la lista de· número que sigue sin tachar es 3, número primo. !· los primos infenores· a. 41, que son: · . Tachemos los múltiplos de 3, empezando p~r 9, ·qqe es el cua- 2, 3, 5. 1. 11, ... drado de 3. El primer número (después de 3). que está sin tachar· sus cuadrados: 4, 9, 25, 49, 121,j .. es 5, número primo. · Vemos que los únicos primos cuyo cuadrado es menor que 41 son: 2, ~y . Tachemos los múltiplos de 5, empezando por 25, que es el 5. Ahora bien, 41 no es divisible entre 2, ni entre 3, ni entre 5. (No se neceslta \ cuadrade de 5. El primer número (después de 5) · que está sin ta- probar que 41 no es divisible entre 7, ni entre 11, etc. Porque, como 41 es char ~ 7, número primo. = menor que 72 7 X 7, si 41 fuera divisible entre 7, tendríamos 41 = 7 X m, Tachemos los múltiplos de 7, empezando por 4~, que es el cua.. donde m < 7; por lo tanto, si 41 fuera divisible entre 7, seria divisible también entre algún número primo Plenor que 7, es decir, entre 2, 3 ó 5, lo que no ·drado de 7. El número que sigue sip tachar es 11, número p~o. sucede). Tachemos los múltiplos de 11, empezando por 121, ql.le .és .el . Ejemplo. 67 es número primo. En efecto, los únicos primos cuyo cua- cuadrado de 11. Como 121 y los números que siguen no están en drado es menor que 67 son: 2, 3, 5 y 7. Como 67 no es divisible entre 2 ni la lista, el proceso ha terminado. . entre 3, ni entre 5, ni entre 7, concluimos 'qu~ 67 es primo. Todos los números que se quedaron sin tachar son primos. Esta manera de seleccionar los números primos se funda en Criba de Eratóstenes. Formemos una lista de los primeros el teorema de Eratóstenes. Por ejemplo, el número 89 se quedó sin números naturales (digamos, hasta 100) empezando con 1, ~ tachar cuando se tacharon sucesivamente los múltiplos de 2, 3, ·saber: 5 y 7 lo que signüica que ~9 no es divisible entre los primos cuyo cuackado es menor que 89, a saber: 2, ~' 5 y 7. ConclusiÓJl: 89 es ,( 2 3 5 1 g ·»' KB número primo. tt .tZ ti .f# l8 .t6' 17 l8 19 )1R 21.. Mínimo Común Múltipl€1• Un mismo número. puede u JlZ 23 u f/.8 JlR Jl( ¡.g 29 a ser a la vez múltiplo de otros dos; entonces 'decimos que el primerQ.. es múltiplo común de los otros 'dos. 51 ~ &:5MMJW 37 48 a AB Ejemplo. 30 es múltiplo de 10, ~bi~n de 15. Por eso·d~imos·que 30 41 M .43 M Al' AB 47 lB MI .rrg es múltiplo común de 10 y· 15. Otros múltiplos comunes de 10 y 15 son: 60, 90, 120, ... Jft 811. 53- 811 .w 86 g 88 59 S Un múltiplo común de 10 y 15 es su producto 10 ·X 15 = 150. 61 .6fl S JW ·,68 JiB 67 118 a ÁB , . . --.... En general, para todo par de nwneros, m y n, eXIste s1empr.e...un ~tiplo común, que es ~producto: mXn. 71 1/1/, 73 :tN ;(B - rB rr K8 79 S · Nom importante. El número O es múltiplo común de todos los nú- J!l ,g 83MR&r u M 89 aw meros naturales y; por .eso, o queda excluido .de todas las discusiones que ha· · cemos aquí: cuando hablamos de mU:ltiplos éo~~es de dos o más números, BK HZ KK B1 8'1 BW 97' • 8II KS nos estamos refiriendo siempre a los que son distint~s de cero. .: -·~- ZUBIETA & SANCHEZ : ARITMETICA RAZONADA 50 CAPITULO VI : NU?tiEROS PRIMOS 51 ~ múlti.Qlos comunes (distintos de cero) de varios dadodde usar exponentes para los factores repetidos (EJ'empl números, hay siempre uno que es el menor de todos. Este se llama vez'd e 18 · 2 }L3 X 3, se debe poner: 18 = 2 · X 3~...--)~E~- o: en el mínimo comú últi lo (abreviado: M. C. M. de los núme· W a, se toma l!.ll!J. sola vez-caaafactor primo con el ma. n __::· ponente que ten~r z d yor ex- ros dados. - .~a: e pro ucto E:!._ellos es el M. '. M. buscado. Ejemplo; Entre los· múltiplos comunes de 10 y 15, que son: 30, 60, EJemplo. Para obtener el M e M de lo · - 90, ... el menor de todos es 30. Esto significa que 30 es el M. C. M. de 10 y 15. 2 J componemos en sus factores primos: .18.= X 3"1~ ~~~; 18 24, los des- Se encuentran los múltiplos comunes de dos números, escri· T:mam~s t~mTob~am3os fsactor 2 con su mayor e>..-ponente, es decir, tomamos,2' el u mayor - exponente, es decir, · tomamos 32 . El producto · 2' X 32 - 8 1en 9 ·con hiendo las listas de los múltiplos respectivos y eligiendo los que es el M. C. M. buscado. - X = 72, aparecen en ambas listas. El primero de ellos es el M. C. M. de los Este razonamiento se escribe brevemente así: números dados. Ejemplo. Para encontrar los múltiplos comunes -en particular, el 18 24 = 2 X 32 = 2a X 3 I M. C. M. = 23 X ~ 2 = 72 M. C. M.- de 4 y 6, escribimos separadamente las listas de sus múltiplos, ' ~ ... ' como sigue: Ejemplo. Calcular el M. C. M. de los números 12 y 15. de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, . . . 12 = 22 X 3 l de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, . .. 15 =3 X 5 } 2 M. C. M. = 2 X 3 X 5 = 60. Vemos que los números 12, 24, 36, .. . , que hemos subrayado, son los múltiplos comunes de 4 y 6. El menor de ellos es 12: el M. C. M. de 4 y 6. Nótese ,que el factor 3, que figura dos veces, se toma una sola vez. En ,este ejemplo se ve claramente que ·los múltiplos comunes de dos números Ejemplo. Calcular el M. C. M. de los números 24 y 40. son los múltiplos del M. C. M. de esos números. ·.,v. Ej~mplo. Para encontrar el M. C. M. de los números 12 y 15, escri- 24 = 23 X 3 l bimos sus múltiplos en renglones separados, como sigue: = 40 23 X 5 f 3 M. C. M.= 2 X 3 X 5 = 120. de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, . . . Nótese que 2\ que figura dos veces, se toma una sola vez. de 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, .. . . Ejemplo . Calcular el M. C. M. de los números 7, 20 y 35. Vemos que 60 es el M. C. M. buscado, por ser el primer número que apa- rece a la vez como múltiplo de 12 y de 15. Ejemplo . Si los números dados son 24 y 40, escribimos sus múltiplos . como sigue: 20 35 7=7 =2 2 =5X7 ) X5 ¡ M. C. M. =7 X 2' X 5 = 14il. de 24: 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192, 216, 240, . . . . u1are1M· e· M. de los números 20, 30 y ·36. EJ'emplo; Cale de 40: 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400, .. . 20 =2 X 5 2 1 El M. C. M. de 24 y 40, es 120, por ser el primer número que aparece en ambos renglones. Otros múltiplos comunes son: 240, 360, ... 30 =2 X 3 X 5 } M. C. M. =22 X 5 X 32 = 180. 36 = 2 X 32 2 j ~ctica se aplica frecuentemente la regla siguiente: En Pa;:.a.obtener el M: C. M. ~arios números, se comienza por a .-- ' . rar l Al calcular el M C M ,de-wlfttls-ftl:iffi-el=QS,_debemos · , conside· de~P-.:o:.:: :.n::::;er=-:oe:. :so:.:;s. . n::;;.u::;'m=·e=-ro=-=s~en~s_u,_s_f_a_ct_o_re--s~p--n=m--o~s:,:_te:=ru:':e:n.:.:do cm· ~~es: - 52 ZUBIETA & SANCHEZ : ARITMETICA. ~ZONADA CAPITULO VI : NUMEROS PRIMOS 53 (1) Si los números dados na tienen factores primos comunes . 7•. Al ~acer la criba de Eratóstenes, se van tachando los m~tiplos de los (si todos losfgctores san distintos), entonces el M. C. M. de esos - p~os suces1v~os, 2, 3, 5, 7, etc. ¿Por qué, al tachar los múltiplos dé un número . nií.meros es su producto. En particular: si los números dados son pnmo, se connenza por su cuadrado? · . tódos primos, ~l Af.· C. M. es su producto. · 8. Escribir los primeros números naturales, desde 1 hasta 150. Hacer Ejemplos. El. M; C. M. de .los números 5 y 7 es su producto: con e~os la crib~ de Eratósten.es y encontrar que son primos, aparte de los ya conOCidos, los numeros que Siguen: ·101, 103 107 109 113 127 131 137 C. M. de 3, 5 f 11 es: 3 X 5 X 11 = 165. 5 X 1. = 35. El M 139 y 149. ' , ' ' ' ' ' ' (2) Si uno de los nílmeros dados es divisible entre los deriuís, 9. Calcul~ mentalmente el M. C. M. de los ·siguientes p~ de números: entonces ese número es ellt1. C. M. de tod.os ellos. 4 y 6 ; 15 y 6 ; 8 y 20 ; 9 y 12 ; 10 y 15 ; Ejemplo. El M. C. M. de 15 y 30 es 30, porque 30 es divisible entre 15, también entre 30. · 12 y 24 ; 13 y 91 ; 4 y 10 ; 7 y 21 ; 16 y 12 . Ejemplo. El M. C. M. de los números 6, 12 y 24, es 24, .porque 24 e1 10. Calcular el M. C. M. de los pares que siguen: 2 y 5 ; 3 y 11 ; · divisible entre 6 y entre '12, también entre .24. 5 y 7; 7 y 13; '17 y 19; 13 y 41 (M. C. M.= 533). Comprobación (por el método anterior): 1 :¡ 11. Calcular el M. C. M. de los pares que siguen: 72 y 108 : M. C. M. = .2 3 X 33 =216 ; M.C.M.=2 X3=24 3 . 24 y 84 : M. C. M. - 28 X 3 X 7 = 168 ; 70 y 196 : M. C. M. - 2 2 X 5 X 72 =980 ; El factor 3 se toma una sola vez; el factor 2 se toma con su mayor ex· 75 y 85 : M. C. M. - 3 X 52 X 17 =1 275 . = ponente. Es d~cir: se toma 23 X 3 24. -·· · EJERCICIOS 12. Calcular el M. C. M. de los números siguientes: 24/f 84 tf l. DeCidir por división si son múltiplos de 19 'los números que siguen: 54 M. C. M. = 216 ; 98 M.C.M. = 588 ; 152, 209, 247 y 286. Comprobar la respuesta en cada caso por mtiltiplic~ción. · 2. Descomponer mentalmente en sus factores primos los números no- primos: 4, 6, 8, 9, 10, 12, ... hasta 60. Escribir resultados y comprobarlos 66 70 ¡ M.C.M. = 2310; : ~ MC.M. =200, por multiplicación. lS. Calcular el M. C. M. de los números siguientes: S. No son pri,mos los números: 87, 91, 1U> 143, ¿por qué? ·. 12 l 15 1 4. Por divisiones sucesivas, descomponer en sus factores primos los nú- meros: 64, 68, 80, 84, 96, 98, 120, 150, 180, 196 y 225. Comprobar en cada 16 t M. C. M. == 240 ; M.C.M. =120; caso por multiplicación. · 20 J : I 5. Descomponer en factores primos los números: 102, 135, 138, 164, 234,385. Se debe obtener: 102 = 2 X 3 X ti; 135 = 33 X 5 ·;_ ... 15 l 36 1 6. Aplicando el teorema de Eratóstenes, averiguar si son primos o no los 18 t M.C. M.= 270; 4{) ~ M.C.M. = 1800. números que siguen: 73, 79, 83, 89, 97, 111, 131 y 151. 27 J 50 j 54 ZUBIETA & SANCHEZ : ARITMETICA RAZONADA 14. Calcular el M. C. M. de las temas siguientes: 21, 28 y 98 : M.C.M. = 22 X3 X 72 = 588 . 60, 80 y 96 : M. c. M. = 25 X3 X 5 = 480 CAPITULO . VII 44, 66 y 968 : M. C. M. = 23 X 3 X 112 = 2 904 72, 80 y 108 : M. C. M.= 2' X,33 X 5 = 2160 FRACCIONES COMUNES 45, 100 y 144 : M. C. M.= 2~ X 3 X 52 = 3 600 2 15. Dos números son relativamente primos o primos entre sí, cuando no Los números naturales se llaman también enteros, porque admiten divisores o factores comunes distintos de la unidad. Por ejemplo, dos representan unidades enteras; mientras que las fracciones o que- primos diferentes, como 2 y 7, como 5 y 41 , ... son primos entre sí. Con- brados representan partes de la unidad. Ocasionalmente una fr.ac- vencerse de lo siguiente: si p es primo y no es divisor o factor de m, entonces ci~n puede representar unidades emeras (cuando el n~;ador p y m son primos entre sí. Poner ejemplos.. es~~~ se 1a identifica con un 16. Explicar lo siguiente: la unidad y otro número natural, m, son número natural. - siempre primos entre sí; pero O no es primo con ningún otro número natural,. excepto la unidad: 2~:. ~~iones o quebra¿Ios. Se forma una fracción o que- 17. Dos números de la clase (e) (página 46) son relativamente primos o brado escnb1enao un par de numeras naturales, separados por una primos entre sí, cuando los factores primos de uno de ellos son todos distintos raya horizontal o inclinada. El número que se escribe sobre la de los factores primos del otro. ¿Por qué? Según esto, probar que son primos raya es el numerador de la fracción; el que se escribe debajo de entre sí los números de los tres pares siguientes: 9 y 10; 8 y 15; 15 y 34. la raya es el denominador. , 18. Si dos números son relativamente primos, entonces el M. C. M. de esos Ejemplos. Son fracciones o quebrados los que siguen: números es su producto. ¿Por qué? Poner ejemplos de esta propiedad. 3 16 7 22 13 19. Obtener el M. C. M. de 34 y 35; también de 45 y 112; también el 4 ; 3 ; 8 ; ·5 .; 100 ; etc. M. C. M. de 286 y 315. Se observará que, en los tres casos, el M. C. M. pedido En la primera de estas fracciones, el numerador es 3 y el denominador es el producto de los números dados. ¿Por qué? es 4; en la segunda, el numerador es 16 y el denominador es 3; en la tercera, 20. Se comprueba que un número dado es el M. C. M. de otros dos, divi- el numerador es 7 y el denominador es 8; etc. La primera se lee tres cuartos· diéndolo entre ambos: las divisiones debt!n ser exactas y los cocientes, relativa- la segunda se lee dieciséis tercios; la tercera se lee siete octavos; etc. ' mente primos. ¿Por qué? Usando este método, probar que 588 es el M. C. M. El numerador de una fracción nuede ser clill1_guier número de 84 y 98. n~l~ sin excep~ión; per~......el denominador h a de ser sierripre d1stmto de cero. S1 la fraccwn es m 7n, enton ces m es el nume- rador y n el denominador; las letras design an aquí números naturales, con n =1= O. El símbolo miO no designa fracción alguna. . Toda fracción se interpreta así: la unidad se divide en tantas partes iguales como indica el denominador, de las cuales se' toman tantas como indica el numerador. Ejemplo. La fracción 3/4 representa 3 de las 4 partes iguales en que se supone dividida la unidad. 55 56 ZUBIETA & SANCHEZ : ARlTMETICA RAZONADA CAPITULO Vll : FRACCIONES COMUNES 57 En la figw:a de la izquierda, la porción sombreada represen- En esta figura, la unidad está. dividida ·en ta la fracción 3 14 ; en la figura de la derecha, la misma porción 4 partes iguales, de las cuales se toman 3: la representa la fracción 6/8. Vemos claramente que: 3/4 = 6/8. porción sombreada de la figura representa la fracción 3/4. ·Nótese que cada una de las Una consecuencia inmediata de la anterior definición es cuatro partes iguales en ·que se ..divide la uni- ésta: Si n es un número natural distinto de O, se cumple: . dad vale 1/4. o O. -;=1 porque· o X 1 =O X n (= 0). Cuando el denominador de una fracción es la unidad la Conclusión:· !?ara todo númet,~aLn,_distinto de cer~, fracció~ se mterpreta dici~n o: unidad s~ t01na tantas veces . .. ' S~debe poner_p~ ..2:-k ex~l~e_eLcaso._en_que_ZE=O PSli.9Y.e o¿q_ no es una fracción, como ya se dij9. cómo iiuiica el numerador-:Es decir: todo quebrado cuyo denomi- 1 1'flill:{j7~ la uñídtíd se.zdentifica con el número natural que·es su La fracción 171-seiaéiiillfé~;i-éon la unidad al poner 111 1. = numerador. Escribimos m=m/1, identificando el número natu- Más generalmente: Todas las fracciones que tienen_ iguales sus dos ral m con la fracción m/1. 1 partes, numerador r denominador, se identifican con la unidad. / ·m 1 Ejemplos. 3 __ 3. y- , etc. Se cumple: - = - , porque m X 1 m. 1 = 1 X m. 2 . 3 4 Ejemplos. -=1. -=1. 23. Ignaldad-de-fraceiones. D~ fracciones se llaman igua- i . .2 ' 3 ' 4 -=1; etc. les cuando el producto del numerador de la primera, por el deno- Otra consecuencia de la definición de la igualdad de dos frac- minador de. fa segunda es iguil-arproaucro-ael·n~r--de la -~da pofetllenum:tnador aeta-primera. m otras palaoras:- ciones es el teorema que dice: Si el numerador r el denominador . de una fracción se multiplican por un mismo número se obtiene n s1.gnifica: m. X q -m .=- = n X p. otra fracción igual. . · p q Para demostrárlo, tomemos una fracción cualquiera m/n, y 3 6 multipliquemos sus dos partes, numerador y denominador, por Ejemplo. -:r=a ,porque3 x 8 = 6 X 4 (=24). un mismo núm~ó k, obteniendo la igualdad: Esta definición de la igualdad de dos quebrados está de acuer- !!!.=~.Porque mX (n X k)= (m X k) X n. do con la interpretación objetiva que antes hicimos de ellos. En n nXk . efecto, observemos las dos figuras siguientes: Esta misma igualdad nos dice que: Si un mismo número fi-; gU.ra como factor en ambas partes de una fracción, ese factor co- mún puede suprimirse r se obtiene otra fracción igual. Ejemplo. La fracción 6/8 puede escribirse así: Se sup~e el factor común, 2, que figura en ambas partes de. . la frac- ción dada, para obtener la nueva fracción 3/4, que es igual a 6/8. :·1 '· CAPITULO Vll : FRACCIONES COMUNES 59 58 ZUBIETA & SANCHEZ : ARITMETICA RAZONADA t .¡ . .¡. 24. Simplificación. Simplificar una fracción es reduc4'la · En la práctica, el factor 1 se omite al hacer el cálculo y se 1 . a otra iguÍÍÍ, cuyas partes seannumeros natüñíleS menores~Para escribe solamente al final, como se ve en los dos ejemplos que sunpll11car una fracción basta suprimir los faotores cpmunes al t siguen: numerador y denominador. ·1 ' 10 2X5 Ejemplos. 20 2X2X5 - 2 6 3X2 3 Ejemplos. s=4x2==4 15 3X5 3 5=-s-=1 20 4 X 5' 5 12 = 4 X 3 == 3 Cuando los factores primos del numera.dor_son todos distintos En el primer ejemplo, el factor común 2 se suprimió arriba y abajo de de los ~s-prirñcis·d~(éleñominador,_kgacciÓ~-º9 ¡)üede sim- la raya; en el segundo ejemplo, se suprimió el factor común 4. plif~es -iireauétib-le. Más precisamente: -una fracción común es rrreduétible, cuartdo el numerador y el denominador son nú- Para simplifiCar fracciones, nosotros seguiremos el método meros primos entre sí. · que consiste en descomponer numerador y denominador en. sus · ¡ Ejemplo. Es irreductible la fracción 7/10 porque el numerador es un factores primos, y suprimir después los factores comunes. Bien en- número primo distinto de los factores primos del denominador, como se ve tendido: por cada factor que se suprima encima de la raya debe 1. escribiendo suprimirse un factor igual debajo de la raya. ]·. 7 7 10=2xs· 20 2X2X5 ==2_ 1 Ejemplos. 3" 25. Conversión a un denominador ·común. Convertir dos 12= 2X 2X3 fracciones a un denominador común, es encontrar otras dos frac- 12 2X2X3 _ 2 ciones que tengan igual denominador y que sean respectivame!lte 30= 2 X 3 X 5 -5 iguales a las anterior~s. Cuando, al simplificar una fracción, desaparecen todos los fac- Considere.mos las fracciones que siguen: tores del numerador o del denominador, el factor 1 debe ponerse r s en el lugar correspondiente. Esto es válido, en virtud de que todo -;- m n número es el producto de sí mismo por la unidad. Si m = n, entonces estas dos fracciones tienen un denomina- Ejemplos. Si queremos simplificar la fracción m X n puesto que dor. común. Si m =1= n, entonces podemos obtener otras dos frac- m m= m X 11 ponemos: ciones iguales a las anteriores, con un denominador común. Un procedimiento a seguir es el siguiente: mXn mXn n Multiplicando ambas partes (numerador y denominador) de m=mxt=T la primera fracción por el denominador de la segunda, obtenemos _ , puesto que n = n X 1 Análogamente, si queremos simplificar _ n_ 1 una nueva fracción igual a la primera. Multiplicando ambas par- nXp tes de la segunda fracción por el denominador de la primera, ponemos: n nX 1 1· obtenemos una nueva fracción igual a la segunda. Estas dos nue- n 'Xp = nXp=p vas fracciones son: ¡ i¡ CAPITULO VII : FRACCIONES COMUNES 61 •. 60 . ZUBIETA & SANCHEZ : ARITMETICA RAZONADA rXn mXs · vemos así que el denominador de la segunda fracción se multiplica por 2 para obtener el denominador común, 36. Por eso, el numerador de la segunda frac- mXn;mXn;- ción debe multiplicarse por 2 para optener el nuevo numerador, 2 X 5. La ellas son respectivamente iguales a las anteriores y tienen el deno- segunda fracción queda convertida en otra igual a ella que es: minador común: m X n. 5 2X5 10 Ejemplo. Usemos este método para convertir a un deoominador común 1s=zx 18=36 las fracdones: En résumen, hemos llegado a lo siguiente: 7 5 7 . 5 12 y 18 fraccion~ dadas: . ; 12 18 Obtenemos las nuevas fracciones: fra caones . obteni"das: 21 ; 10 36 36 7 X 18 12X 5 li. Las fracciones obtenidas tienen un denominador común y son respectiva- 12 X 18 12X 18 mente ·iguales a las anterioreS: l ! 126 60 j o sea: 216 216 ¡¡ Al estudiar el método anterior, observamos que el denomi- En lo que sigue, usaremos el método que consiste en conver-· nador común obtenido, m X n, es un múltiplo de los denomina. tir dos fracciones al mínimo denominador común. Si las fracciones . 1 ! dores m y n. Más generalmente, cualquier múltiplo común de los consideradas son irreductibles (si están simplificadas), entonces i denominadores m y n puede usarse como denominador común. El el mínimo denominador conzún es el mínimo corrlún múltiplo de 1 método que s~ sigue para calcular los nuevos numeradores se ilus- los denominadores. El procedimiento a seguir ahora consta de los ¡ ¡ tra mediante el siguiente: trfs pasos siguientes: ' 7 5 1 Ejemplo. Sean otra vez las fracciones: Y . ( 1) Los denominadores se descomponen en sus factores pri- 12 18 1 mos, para formar el M. C. M. de esos denominadores. 1 Un múltiplo comiín de los denominadores, 12 y 18, es el número 36. ' Tomemos este número como den~minador común, y calculemos los nuevos . (2) El M. C. M. obtenido se pone como deno7!linador común. numeradores: ( 3) Los nuevos numeradores se calculan, dividiendo el Si dividimos el denominador común, 36, entre el denominador, 12 de la primera fracción, obtenemos 3 (cociente exacto): 36 = 3 X 12. Vemos así M. C. M. (o denominador común) entre cada uno de los q.nti- que el denominador de la primera fracción se multiplica por 3 pa:a obtener guos denominadores r multiplicando cada cociente obtenido por el denominador común, 36. Por lo tanto, el numerador de la primera .fracción ~/ el numerador correspondiente. debe multiplicarse por 3 para obtener el nuevo numerador, que es: 3 X 7. ~te modo, las nuevas fra.cciones gue resultan-tieD.f!L!.I_~ La primera fracción se convierte así en otra igual a ·ella, que es: mi~!.~~r~$.P-~~YYª~~!@a~lª!!I?:!~:i~~~s .. 7 3 X 7 . 21 ' Ejemplo. Reducir al mínimo denominador común las fraccinnes: 12 3 X 12 36 1 7 5 Análogamente, si dividimos· el denominador común, 36, entre el denomi- 12 y 18 nador 18 de la segunda fracción obtenemos 2 (cociente exacto): 36-= 2 X 18. .!::.· 1 ' ' .1 ..~\t:. 1 i. CAPITULO VIl :· FRACCIONES COMUNES . 63 62 ZUBIETA & SANCHEZ : ARITMETICA RAZONADA 27 156 10 Comenzamos por descomponer en sus factores primos los denominadores, para 180 180 1!!0 formar el M. C. M. de ellos: Nota. Cuando uno de los denominadores es múltiplo de los demás, en- 2 12 = 2 X 3 f El M. C. M. es : 22 X 3~ = 36 . tonces ese denominador es el minimo denominador común. Por ejemplo, 18 = 2 X 31 en las fracciones 5 13 El M. C. M. obtenido, 36, se escribe como denominador común: •, 7 14 el M. C. M. es 14. Dividiendo 14 entre 7 y multiplicando el cociente por 5, se obtiene el nuevo numerador de la primera fracción, que es: 2 X 5 = 1O. La El nuevo numerador de la primera fracción se obtiene dividiendo 36 en- segunda fracción se deja como está, porque ella tiene ya el denominador 14. tre 12, y multiplicando el cociente, 3, por el antiguo numerador, 7, lo que da: Las nuevas fracciones son éstas: : 3 X 7 = 21. El nuevo numerador de la segunda fracción se obtiene diviendo 36 entre 18 y multiplicando el cociente, 2, por el antiguo numerador, 5; lo 10 13 que da: 2 X 5 = 1O. Ahora ya podemos escribir las nuevas fracciones, que son: 14 14 21 10 36 y 36 . 26. Orden de magnitud. Este orden se expresa .QQr_eLsig- El método que acabamos de exponer se extiende sin dificul- no <, y se define para las fraccioñelponiendo: tad al caso en que sean tres o más las fracciones que se quiera con- vertir a un denominador común. -r < -s significa: r X n < s X m. m n Ejemplo. Convertir al mínimo denominador común las tres fracciones · 1 • • s1gwentes: 3 7 Ejemplo. -;¡:- < B, porque 3 X 8 < 7 X 4 ( o sea: 24 < 28) . 3 13 1 20 15 18 Sean dos , fracciones }!_ y .!1. con el mismo denominador. Empezamos por descomponer en sus factores primos los· denominadores m ·m para obtener el M. C. M. de ellos: ... ' antenor Por 1a def lillClon . la des1gua . Idad ·p -- < -q s1'gnii'1ca: ' m m 'p X m< q X m . Esta última se cumple (y solamente se cumple) M. C. M. = 2: X 3 X 5 = 180 . 2 cuando p < q. El M. C. M. obtenido se pone como denominador común: Es decir: ~ <! significa: p <q. 180 ; 180 ; 180 Si. dos fracciones tienen el mismo denominad.oL, entonc_gLla Se calculan los nuevos nume~adores, dividiendo el M. C. M. obtenido, menor de ellas es la que tiene el menor numerador. 180, entre los antiguos denominadores, 20, 15 y 18, y multiplicando cada co- ciente obtenido por el numerador correspondiente. Así se forman los nuevos numeradores que son: 9 X 3 ; 12 X 13 ; 10 X 1 . Las fracciones que resultan Ejemplo. {- < ~, porque 5 <7. finalmente, son: · ' \ 1 r i. M ZUBIETA & SANCHEZ : ARITMETICA RAZONADA -------------~--n-~--va---:--~ __c_cr_o_~ ___co~M~u~~~----------~65 Si dos fracciones tienen denominadores distintos, ba~ta redu- '1. Convertir las fracciones 1112 . Y 5118 ~ denominador común 72 múl- cirlas a un denominador .común para d~cidir cuál de ellas es la tiplo co~ún de 12 y 18 · Expli~ el metodo que siga. Convertir I¡s mis- mas fraccio~es al IJlÍDÍlllo denommador común. ... menor, con sólo comparar los numeradores. . · Be llaman propias todas las fracciones que tienen su i:uune- 8. Convertir al mínimo deJJ()lllinad~r cOmún las fracciones' 17/21 y. 9/13 rador menor que su denominador. Las demás fracciones son explicando el procedilnÍ~to segwdo. Hacer lo mismo con las fraccion~ i! . impropias. 3/16. y 5/~. Hacer lo JJ11SII1° con 3/24 Y 7/52. · j: .1r ·~ 1 3 7 9. ·¿Cuál es el mínimo denonúnador. común de las fracciones 1/2 y 5¡6 ? 1; Ejemplos. fracciones propias: -n,-,- 4 18 ' T.t . etc. ¿Cuál es el de 3¡t Oy 1130 7. Explicar en cada caso ¿por qué? ti 1',¡ ¡¡ 10. Convertir al mínimo denominador común los quebrados: ... 3 4 20 ,,h fraca~es unprop1as: ¡- , 4 , 18 , etc. .,,H 5 7 . Respuesta: 20 21 EJERCICIOS 18 '24. 72' 72' 11 1-4 3 56 9 L Hacer la representación, mediante un dibujo apropiado, de cada una de las fracciones: 15 '2o . 60' oo· 11 1 7 5 11 91 40 22 3 7 2 8 4 3 4'8'·3'8'3'1' 8! 13! 5í. 104 ' t<M. , 104 · ···¡' •.1 5 7 .1 100 105 36 1 2. Oe la interpretación objetiva de las fracciones, deducir: i 54< ' 72 ' 3o . .1080 ' 1080 ' 1080 . 1 19) ¿Cuál es la'menor de dos fracciones que tienen el mim~o denomina- dor y diferente numerador? ·· . fracción e~ múltiplo del denominador ¿qué r~ . 11. Si el numerador de u;ia strar su respuesta con ejemplos. 29) ¿cuál es la menor de dos ·fracciones que tienen el mismo numerador presenta la fracción? u . · y diferente denominador? . al a 1/1 cuyo denominador sea 28. Otra igual a 12. · Escribir una fracción 1gu ea n X p . · · S. Enunciar la condición necesaria y suficiente para que dos fracciones sean mjn cuyo denominador s iguales. Poner ejemplos e interpretar objetivamente la contestación. f e para las fra(:ciones, el orden de magnitud? 13. Explicar: ¿cómo se dedJn fracciones que tienen el mismo denominador? ¿Cuál es la menor de . ~s distintos de los del texto. 0 4. Las fracciones 0/5 y 0/1, son iguales. ¿Por qué? Poner ejemplos ilustratl'V ' . . 5. ~ números 5 y 12 son números primos· entre sí porque 5 es un nú- . . . . , dei orden de magmtud, comparar las fra~cones mero primo distinto de los ·factores primos de 12. También 35 y 12 son 14. Aplicando la def~CJOD fracciones 5/11 y·12j27, para decidir cuál es primos entre sí, porque los factores primos. de 35 son distintos de los 3/4< y 7/9; tamb1en la~-vo la comparación, d~ués de reducirlas a un de 12. Escribir tres fracciones cuyos términos sean primos entre sí. ¿Puede la inenqr. Hacer de nu . simplificar o no esas fracciones? denominador común. 1 a fracción es propia? ¿Cuándo decimos que es 6. Simplificar cada una de las fracciones siguientes, explicando el procedi- 15. ¿Cuándo decimos que un toda fracción propia es menor que la unidad; miento empleado: impropia? D~ostr~ qu;ias son mayores que la unidad o iguales a ella. pero las fracciones unpro . 1 4 9 7 9 135 513 72 96 3 p Poner ejemplos. 1 8;~;14;3;378;855 ·~·~· 5p l . ¡i AriunEtica .Razonada.-5. :.~~ 1.~ -v:~¡\ !1~::::_ ·:--=-. 66 ZUBIETA & SANcHEz : WTMETICA BAZONADA J~ Nota importante. El cociente de un número entre otro, división exac.: ta, se calcula así: Sobre una raya horizontal se escriben los factores primos del dividendo; debajo de la raya se escriben los factores primos del. diviSor. Eu seguida, se tacha o cancela cada factor debajo de la raya con un factor igual sobre la raya. El factor o producto de factores sin cancelar es el cociente buscado. CAPITULO vm Ejemplo. Para dividir 72 entre 12, razonamos asi: CALCULO CON FRACCIONES 72 ( ) = 2 X2 X 2X 3X 3 = 2 -3 =6 En este capítulo estudiaremos las principales operaciones de 12 72 entre 12 2 X 2 X 3 X la aritmética, realizadas con fracciones o quebrados. Obtuvimos 72 + 12 =6 . Comprobación: 6 X 12 = 72 . 27. Adici~_substraeció~ ?e_,~~e la ~dición __de que- Se usa este método para calcular el cociente del M. C. M. de varios nú- brados meC!iiñte las dos regl~s qu~ ~1guen:. meros entr~. cada uno de esos números, caso que· se presenta al reducir frac- ciones al· :míniiD.o denominador común. · ·-· ·····rff. Si-¡~;· -~u;a;;d~s tienen .igual den:ominador, la suma es una fracción con el mismo denominador, curo nu-lneriulor es· la Ejemplo. Reducir al mínimo denominador común las fracciones: suma de los numeradores de los sumandos. 5 7 • 2 5 2+5 7. 18 24 EJemplo: - 9 + -= 9 - - =-. 9 9 Los denominadores son: 18 =2 X 3 y 24 = 2 2 3 X 3. _ ( 2) Si los sumandos_ tienen denominadores distintos, se les reduce a un denominador común (de preferencia, al mínimo de- El M. C. M. de estos números es: 72 =2 3 X 32 • nominador común) r entonces la suma se calcula conforme a·la_ Ponemos 72 como denominador común y, para calcular los nuevos nu- regla anterior. - meradores, comenzamos por dividir el denominador común, 72, en~e los an- • 1 S . 3 tiguos denominadores 18 y 24 : · EJemp o. umar: S + 125 • 72_ 2X2X2X3X3 =2X2=4· Aquí los denominadores .son 8 y 12, el M. C. M. es 24. Reduciendo los 18- 2 X 3 X 3 ¡sumandos al denominador. común 24, la suma se reduce a ésta: 72 _ 2 X 2 X 2 X 3 X 3 = 3 9 + 10_ 9 + 10 - 19 24 24-~-24 24 ·- 2 X 2 X _2 X 3 , Ahora multipli~amos los cocientes obtenidos, 4 y 3, por los antiguos . ~ª-~-~o~ ~egl_ª~ ª!!.!~r.i~~~-~ ~-e ~p~can también cuando se quiere .sumar tres o más fracciones. ··-·. .. . . ... = numeradores, 5 y 7. Los productos 4 X 5 20 y 3 X 7 = 21 son los nuevos - ... - - ____..;-----~-·- . -- .. numeradores. Obtenemos así las fracciones: · . • 2 7 4 2 +7 + 4 . 13 EJemplo: 18 + 18 + 18 = 18 -:- 18 · 20 21 72 ; 72 En este ejemplo, como los sumandos tie~en igual denomimidor, se suman los numeradores y se pone el mismo denominador. Aplicación. Usar este método en el ejercicio_ 1O, página anterior. ,-_. ). 67 :~~ 68 ZUBIETA & SANCHEZ : ARITMETICA RAZONADA CAPITULO VIU : CALCULO CON FRACCIONES 69 . 3 . 5 f Ejemplo. Sumar: -+;_+-. 8 18 3 Se multiplican los numeradores para obtener el numerador del producto; se multiplican los denominadores para obtener el Aquí el M. C. M. es 72, y la suma propuesta s~ reduce a la Siguiente: .1 denominador del producto. 27 20 24 71 72 + 72 _+ 72 = 72 :. Ejemplo. Multiplicar: 'Notemos que la adición de fracciones tiene la prop~~g~.4--~~ mutativa:-En-·efecío,~~ndo_ql_!~.J[f~~n:p.-~ ~~: :.:educi:-· Record~mos que, para todo número natural ~' se pone: dos· a un·d~~ó~a~or._co~~,te~~m~~: . · - ·-- . - m = m/1 . Según esto"' el producto m X : se calcula así: .:_+~=r+s=s+r=!..+!... .. mX.f!_=!!!..x.!!..= mXp = mXp m m m m .m m · q 1 q 1X q q También se cumple la propiedad asociativa de la adición; cuando "'Se sum~n tres ~acciones.· As~ se tiene:· Ejemplo: 3X i_ = ~ X i_ = 3 X 5 = 15 8 1 a· 1X8 a r s) t r + (s-+-t) (-+- ~ multiplicación de quebrados. tiene las nropiedades corimu- m m +-=- . mm,mm tativa 'y asociativa. También se cumple la propiedad distributiva La substrac~ión de fracciones se opera de modo enteramente ~e la multiplicación con respecto a la adición y a la substracción. análogo a como se hace con la adición. La diferencia de dos frac- As~ por ejemplo, tenemos: . · ciones es una fracción que, ·sumada con el substraendo, reproduce 3 (2 1).3 2 3 1 al minuendo. -4 X -3 +-5 = - X - + - X - 4 3 4 5' 8 6 8-6 2· Ejemplo. Restar: . g--g-=-g-=g 3 x ( 32_..!_)=~x.!-~x..!.. 4 5 4 3 4 5 . 5 3 Ejemplo, Restar: 12 - 8 =2410 - 24 9 = 241 . . (H?ga ·el lec~or los cálculos y encontrará que ambos miembros de la pnmera ~guald~d valen 13/20 y ambos miembros de la segunda valen 7/20). 1 1 3 2 1 Ejemplo. Restar: "2 - 3" - 6 - 6 = 6 Las fracciones m/n y ni m son tales que el numerador· de la primera es el denominador de la segunda y viceversa. Estas frac- En cada uno de estos ejemplos, si a la diferencia obtenida se ciones son recíprocas o inversas, la una de la· otra. le adiciona el substraendo, se obtiene el minuendo. El lector de- Se obtiene el recíproco de un quebrado invirtiéndolo· es de· berá c9mprobarlo. cir, cambiando los papeles de numerador y denominador. ' 28. Multiplicación y división. El producto de dos fraccio· Ejemplos. El recíproco de 3/4 es 4/3; el recíproco de ~/2 es 2/5; etc. nes es una fracción que tiene por numerador el producto e,os· a Recordando. que m = m 11 , vemos que el recíproco de m es nUmeradores y por· denominador, el producto de los-denoñrlna- la fracción 1/ m . . . dóres de las fracciones dadas. · -------- -· El producto de un quebr~o por su recíproco es la unidad.. 70 ZUBIETA & SANCHEZ : 1\RITMETICA RAZONADA m - x n_m X n _ 1 - - nXm - . r CAPITULO Vlli : CALCULO CON FRACCIONES Se ·obtiene el cuadrado de una fracción, elevando al cua- drado, separadamente, el numerador y el denominador de esa 71 En efecto, se tiene: n m fracción. 1 m 1 m X 1 m El cubo o tercera potencia de una fracción es el producto de m X - = - X- = =-=1. m 1 m 1 xm m tres factores igtiales a esa fracción. Se divide un quebrado entre otro, m~licando el ~ero Así: ( !!!. ) s = m X m X !!: =mXmXm = ma por el reciproco del segun~De otr9 mQ9..2~-\el cociente de dos n n n n n n n n• frlíéczones es una fracción igual al producto del. dividendo por el Se ·obtiene el cubo de una fracción, elevando al cubo, sepa- reciproco aélaivisor:---- - - - ---- ·· -· ·-- :;:> radamente, el numerador y el denominador de dicha fracción. ,.... : - - - - - - 3 7 3 5 3 X 5 15 En genera~ se pone: Ejemplo: 4 · -:- 5 =4 X7 = 4 X 7 = 28 . ( m)' m m -n =-x- n n x ... x -mn (p factores) La división tiene ahora un sentido distinto del que le dimos en la aritmética tos numeros nafuí•¡¡¡e;::semna aquí~a ae (!!:Y= mXní X ... Xm = mP d.lvís16n sin residuo, operación inversa de la multiplicación, donde n n X n X ... X n n' el dividendo siempre es igual al producto del cociente por el di- Toda potencia de una fracción es otra fracción ~~,e.artes visor. (numerador y denominador) se calculan elevando a esa potencia Toda fracción común o quebrado, puede interpretarse ahora el numerador y el denorniñador de la- r ·' · · · -- como cociente de dos números naturales: el cociente del nume- En seguida tenemos algunos ejemplos: rador entre el denominador. Más precisamente: toda fracción co- mún es el cociente de dos fracciones que tienen por denominador . ( 1 ): la unidad. EJemplos: 2 = 21 X 2 1 = 21 XX 21 = 41 . Así: m n m 1 --:--=-X-= mX1 m =- (.!Y-~ - ~=zxz=.! 1 1 1 n 1 Xn n 3 - 3X3 3X3 g· 29. Potencias de m/n. La primera potencia de un quebra- . ( 3 )3 3 3 3 3 X 3 X 3 27 do se identifica con el propio quebrado. Así se pone: EJemplos: 2 =2 X2 X2 = 2 X2X2 = B (m/n) 1 =m/n. ( 4 )a 4 4 4 4 X 4 X 4 64 1 1 5 =5X5X5=5X5X5=125 1 1 ) 1 ( 3 ) 3 ( 7 ) 7 Ejemplos: ( 2 =2 ; 4 = 4 ; 10 = ~o · 30. Números mixtos. Un número mixto es la suma de un entero (núrhero natural) y una fracción propia. Todo núm.ero El cuadrado (segunda patencia ) de una fracción es el pro· dueto de esa fracción por ella misma. mixto es de la forma m + !._ n donde r . < n. . 1 m ): _ m m _ m X m - m2 EJemp os: 1 + -52 y 3 + -21 ' son numeros miXtos. . Así: ( - - - X - - - -- n: n n n n X n ~;_· ·.,,~· . ~.:. .s~ m 12 ZUBIETA & SANCHEZ . : ARITMETI("'.A J.\AZONADA ::'l~: . ;i~~ W!~' CAPITULO 'Vm : CALcULo OON PRACCIONES 73 l n~~:, EJERCICIOS ¡1111 Todo número mixto es igual a·una fracción impropia. L Hacer las sumas que siguen, pa'ra obtener los resultados anotados: 1¡! 1 3 1 6 1 1· .¡11·¡ Ejemplos: 3 +·¡- =T + 2 ~ ·2 + 2 = 2 · 1. 4 5 1 5 8 2 1 2 5 2 1 - 9 +- 9 =- y ; - 3 + - y = - 9; !¡1 '~ ¡· 1 t·+5. 1+5=5-+5=5· . ~H 3 1 7 1 7 31 2 .+ 1 2 . 2 =T + 7 '2 14 = 1.+ 7 2 = -;¡: 16 5 + 10 = 1_0 ; 3 + 10 = 30; 1 3 1 11 7 5 23 . p Algunas veces los números·mixtos se escriben abreviadamen- -i + 12 = 24 ; 20 + 12 = 30; te sin el signo +, como en los casos que si$Uen: li l¡.''1¡ ¡1 . 1 5 1 47 5 7 41. 1 + ~5 se escribe 1 !.5 ; 3 + .!_ 2 se escribe 3 .! ; etc. 2 .,....+-=-; 7 . 8 56 18 + = 24 72; j, : 1!' ¡li 1 1 Se opera con los números mixtos reduciéndolos previamente .7 121 2 5 7 13 t1 a fraccione.s impropias, las cuales se suman, restan, multiplican o ~+45= 360; 12. + = 20; 30 !1: 1 dividen en la forma que ya conocemos. 2. Hacer las sumas que siguen, para obtener los resultados anotados: "11 ... , 1 ¡:. Ejemplos: 3.!.. + 1 ~ =!... +.!. = 35 + 14 = 49 = '4! i ! 2 . 3 1 41 1 5 7 97 11 ;, ¡ t 2 5 2 5 10 10 10 10. ~- 1 +8 + 14 =56; 27 + 18 + 12 = 108 ; ¡¡; 1 t 2 1 1 35 t4 21 t r 3--1-=---=---=-=2- 5 4 7 11 2 5 2 5 . 10 10 10 10. 2 3 . 1 11 r 15 + + '20 12 = 30 ; 12 + 15 + 30 =12 .; 1 _: X 3 .!_ 5 .3 = !_5 X 103 = 15 X 10 X 3 =·14 = 4 ! . 3 . 3 1i 3 12 5 + 16 + 15 .= 240 ; 7 247 2 -+-+-=-· 7 42 20 420' 5 7 317 ~~ Podemos sumar dos números. inixtos, sumando separadamente r ! las·. parteS ~nteras y las fracciones, como vemos en seguida. 5 7 19 5 ~ t 2 23 2 t Ejemplos: -+-+-=-; .8 9 72 3 9 + 12, + 36 =-3- ; .r f (5 +) 9 ' : 11; 1 2 (1 2) S. Hacer las restas que sigu~n, para obtener los resultados allí anotados: ,. 3-+1-=(3+1)+ -+- =4+ -+- =4- 2 5 . 2 5 10 10 10 . llí; 4 . 2 2 1 5 2 3 ~ 1 -;¡--:¡=-:¡; - - -3= -15; 1 3-+2-=(3+2)+ 8 8 . -+-1) (1 88 8 =5+-= 6. 8 5 11 ~ ~ ¡: 7 5 11 14 7 7 1 2 (1 2) 7 't 1-+2-=(1+2)+ -+- =3+-=4-. \::· 8-12=24. 15 - 2i)" = 12 ; il !i 2 3 . 2 3 6 6 ¡: ',_.·"';· E ~~ ·. 9 8 19 3 9 33 '"Í 1 3 ( 1 3 ) 13 13 3- 6 + 5 - = (3 8_ + 5) + - + 6 -8 = 8 +- = . 24 8- 24 -~ iT- 33 = 33 ; 4- 100 =50 .. ;¡ 1' 1' 1 1~ l' >i ¡: r ¡! ·. ,1 ;' _: . -- ... . ~ . . --·-.:u \··¡ . .' 74 1 ~ ZUBIETA & SANCHEZ : ARITMETICA RAZONADA ¡ CAPITULO Vlll : CALCULO CON FRACCIONES 75 1 f 4. Teniendo en cuenta la definición de la diferencia de dos fracciones, 9. Comprobar que se cumplen las igualdades siguientes: determine el valor de x en cada una de las igualdades siguientes: 3 _ ~ 7 5 1 ¡ (~ + ~) = 93 6 ( 7 2) - 1 x--¡- 8 x-- = 8 120 X 5 8 37 X 8 +3 4 ' 9 ' 1 1 84X (2_-~) ::::: 35 1 1 ) - 48 X ( 12 - 16 1 1) 11 x - ( 5+4 = ~w; x - (~- ~ )=~ 3 4 - 2 5 5 5. Calcular los productos que siguen: 32 X ( 1 + ~4 + !16 ) ::::: 74 ; (1 +~+_?_) 4 16 +2=~ 2 8 5 2 3 8 2 -X-:::::; 7 3 -4 X-=- 9 3 10. Calcular las potencias siguientes: 9 7 - 6 14 ( !_ )2= . { ~ )a: : : ~ . ( ~ )' = 14641 10 ' \ 9 729 ' 7 2401 13 X 18 = ; 7 X 12 = ! 11. Comprobar las igúaldades que siguen: 150 X 5-'12-. 1800 x ~4 : : : 2250 . 9 ( 2 ) 1 2 20 ( 6 ) 2 9 3 8 X 15 :::::50 3x s = +5 6. Hacer las divisiones siguientes, para obtener los cocientes anotados: ! r +: = :o r +~~ = ¡· 2 ..!... . - 1 4--8 .' 6 7+3=y; 2 9 15 6 20 -;- 8 = 25 ; j < ; <~ 2 + :o 1 2 3 4 2 2 7 28 7 1 <2. r 3 ..!... 35 . 36 = 4 + 27 + __!_ 21 4~3 - 8; 9+3 = 3; 12 + 21 = 16 \ 7. Detenni~ar el valor de x en cada una de las igualdades siguientes: ( 2Y+ 2 (2o+2-)=2+~ 12 1Q 7 3 1 . 7 . 7 X~---· 8 - 5 ' X+-¡= S' X+ 5::::: 36 ; 12. Establecer la igualdad - m + .!_n = m X nn +r Esta igualdad nos r\ ' proporciona una regla práctica para convertir un número mixto en fracción x+2=3; 1 2 7 X+-::::: 3 6 ,. X~ 2::::: ~ 2 . ¡· impropia. Enunciar esta regla en lenguaje corriente y usarla para convertir 1 en fracciones los números mixtos que siguen: 1 8. Comprobar las dos igualdades siguientes; calculando separadamente 1 2 3 1 7 5 7 ambos miembros: l 3- . 17 - . 33 - ,· 9 - . 7- . 12 - ·1 . 7 ' 4 ' 3 . 8 ' 6 ' 10 1 3 -X (~ + ~) =- 3 2 X-+ 3 - 1 X- ~ 13. Se convierte una fracción impropia en nÍlmero mixto, dividiendo el 4 3 5 ·4 3 4 5 numerador de la fracción impropia entre su denominador: el cociente es la 1 ' parte entera del número mi>..1o y el residuo es el numerador de la parte frac· -X ( ~-~ ) 3 3 2 3 1 4 3 5 = -4 .x -3 --x- 4 5 cionaria, cuyo denaminador es el de la fracción impropia _dada. Usando este método, comprobar los resultados d~l ejercicio anterior. ... : 16 ZUBIETA & SANCHEZ : ARITMETICA BAZON!U>A .. 11 14. H~cer los cálculos ql¡le sigti~, para obtener los resultados. anotad~s: 1 2 1 " 1 -5 + 3 -1513 = 5- 4 . 15 ' 4 ......;, 8 + 5 ~7 -- to· 41 56 PROBLEMAS DE APLICACION '1 11 . 4 13 9 20 - - 15 ~· = 5 - 8- - 2~ = 5 37 12 15 20 20 6 60 ; . Resolver los que siguen, usando fracciones y tratando si~pre de com· 3 probar cada resultado obtenido. ' 2- 5 + 3. -31 + 4 -151 -- 10 . ' -~ L Si un siglo tiene cien años ¿qué fracción del. siglo representan veinti- siete· años y medio? Respuesta: 11/40. 8~ + 5 ..!..2 - 10 ~ =3~ . 3 12 .4 ' 2. Decir ¿qué fracción del año bisiesto {de 366 días) ~presenta un mes comercial de 30 días? Respuesta: 5/61. 13 5- 2 4 15 .+ 3~~9-1 6 - 6 . 3. Suponer. que 1~ Luna recorre su órbita al rededor de la Tierra en 29- días. ¿Qué parte de esa órbita recorre la Luna en un día? ¿Qué parte recorre 15. Hacer las operaciones siguient~, para obtener los resul~dos anotados: en 5 días y cuánto en 3/2 días?· 2~X2~=7_!_ 9 4' 3~ 3 5 2 5- X 3 6. - = 10--301 4. Una botella tiene capacid~d de 3/4 de litro y otra de 1/10 de litro. ~ Explicar ¿cuál de las dos botellas tiene mayor capacidad? 1 7 32 3- X 5- 7 10 = 17- 35 .1 2 4 -¡X63=30 5. Si las dos botellas del problema anterior están llenas de aceite ¿qué tanto· aceite hay en las dos botellas -jwitas? Respuesta: 29/20 de litro. 2..!....:..3~- 5 . 5 - 11 17. 6. Un caminante hace una jornada en tres etapas: en la primera reco- rre 83/10 de kilómetro, en la segunda 85/12 y en la tercera 47/8 de. kilómetro. ¿Cuántos. kilómetros, en tota~ recorre este caminante? 7. De un gal-rafón que contiene 47 f10 de litros de alcohol, se toman· EJERCICIO ADICIONAL sucesivamente H /8 y 7j3 de litros de ese líquido. ¿Cuántos litros de alcohol Calcular y simplificar las sumas y diferencias que siguen: quedan aún en el garrafón? 1 1 1 . 8. De un alambre de 30 metros de largo se toman: primero, 43/8 ; des- (a) -+--- Respuesta: 11/15 . pués, 77/12; finalmente, 71/10 de metro. ¿Cuántos metros de alambre quedan? 2 3. 10 1 1 1 9. Un· deudor paga dos abonos que representan, respectivamente, 3115 (b) -+--- Respuesta: 2 5 6 8/15 . Y 7/25 de su deuda. ¿Cuánto debe aún, si la deuda era de $ 7 875? (e) ~+_!_-~ Respuesta: 11/18 . ' . 10. Si una pulgada mide 254/100 tentímetros, contestar: ¿cuántas pul- 2 3 9 gadas mide un hilo de 127 centlmetros de largo? '(d) 1 7 5 30 + 72 - 54 Respuesta: 41/1080 • 1L Un hilo metálico mide 2 ..!.. metros de largo. Si lo partimos en· tres 1: . 4 7 11 . (e) 3...-+2--6-1 partes iguales ¿cuánto mide cada parte? ¿Cuánto medirla cada parte, si fueran Respuesta: 35/48 . 18 partes iguales del propio alambre? 8 12 16 77 78 ZUBIETA & SANCHEZ : ARlTMETICA RAZONADA FRACCIONES : PROBLEMAS DE APLICACION 79 12. De un recipiente que contenía 25 !· litros de agua, se extrajo 6 veces 18. Si la velocidad del barreno (perforando la lámina) es de 7/4 vueltas la misma cantidad, quedando sólo 6 : litros de agua. ¿Cu~tos litros de agua por segundo, ¿cuántos segundos emplea el barreno en perforar cada lámina del problema anterior? Respuesta: 2~ lámina: 32 segundos. .se extrajeron cada vez? 13. En una tienda, ~na. señora compra 2 ! metros de cinta, a $ 3 metro, 19. Al perforar una lámina, un taladro gira 2 .!_ 4 vueltas por segundo . .y avanza 1/48 cm. por cada vuelta que gira. Si el grueso de la lámina es de y 3 2_ metros de tela, a $ 6' metro. Si paga con dos billetes de $20 ¿cuánto 8 . 1 ' ' 3/4 cm. ¿cuántos segundos empleará el taladro en .perforarla? debe recibir en cambio? Respuest~: $ 8 2 . 14. La longitud aproximada de una circunferencia se obtiene multipli· 20. Una bomba-motor puede subir a un tinaco 48 ~ litros de agua por cando la longitud de su pjámetro por la fracción 22/7. ¿Cuánto mide (aproxi· minuto. Si la capacidad del tinaco (que suponemos vacío) es de 1158 litros madamente) una circunferencia cuyo diámetro es de 14 centímetros? . ¿Cuánto 1 ¿cuánto tiempo tardará la bomba en llenarlo? mide otra cuya diámetro mide 5 ~ metros? 21. Si la bomba del problema anterior consume (cuando está trabajan- 15. En un mecanismo de relojería, dos ruedas dentadas están dispuestas do) 2 ~ litros de gasolina p~r hora ¿cuánta gasolina consume mientras llena (como en ,la figura) de modo que, el tinaco? Respuesta: 1 litro. al girar una de ellas hace girar a la otra. Si la rueda de la izquierda tie· 22. Suponer que la velocidad de la luz es de 300 000 km/ segundo. Si la ne 16 dientes y 20 la otra, ¿cuál es distancia media de la Tierra a la Luna es de 380 mil kilómetros, ¿cuántos se- el menor número de vueltas que gundos o fracción de segundo tarda la luz en recorrer esa distancia? debe girar la primera para . que la otra gire también un número ente- 23. Con piezas rectangulares iguales (colo. ro de vueltas? cadas una junto a otra) se puede formar un ta· 16. Sean otra vez las dos ruedas dentadas del problema 15. La menor blero, como se ve en la figura. Si las dimensiones de cada pieza son de 10 cm. X 12 cm. ¿cuál es tiene 16 dientes y 20 la otra. La primera gira 1 ..!_ vueltas por cada vuelta 4 . el menor número de piezas necesarias para for· completa que gira la otra. Si esta última está girando con velocidad 7f1 0 de mar un tablero cuadrado? Usar el M. C. M. vuelta por segundo ¿cuántas vueltas da la rueda menor en 16 segundos? Respuesta: 30 . Respuesta: 14. 24. ¿Cuál es el costo del tablero cuadrado mínimo (problema anterior), 17. Un barreno eléctrico gira 42 vueltas para perforar una lámina metá- lica de 7f8 cm. de espesor. ¿Cuántas vueltas debe girar el barreno para perfo- si se paga $1/72 por cada centímetro cuadrado de la superficie del mismo? rar otra lámina (del mismo metal) cuy~ espesor es de 7/6 cm.? Respuesta: $ 50 . ... ,~· .· - 80 ZUBIETA & SANCBEZ . : ARITMETICA RAZONADA . ' 25. Una aleación metálica contiene 1/8 ·parte de cobre y 1/8 de plata. En 24/7 d~ kilogramo de esta aÍeación ¿cuántos kilogramos son de cobre y cuántos son de plata? CAPITULO IX ~ 26. Una aleación contiene 11/16 de cobre, 4/16 de estaño y 1/16 de FRACCIONES DECIMALES zinc~ En 32/5 de kilogramo de esta aleación ¿cu~tos kilogramos son de cobre, cuántos de estaño y cuántos de zinc? 31. Potencias de 10.- Las potencias del nwnero 1o son: 1 • . 27. J~ salió de su casa con:$ 8 !. Gastó los 2/5 de su din~o en pa- to• =10 1o:= 1O X 1O · ~ 100 gar la entrada del cine; gastó 2/7 de lo que le quedaba en dulces y refrescos; 10 = 10 X 10 X 10:::;: 1 000 3 después regresó a su casa. Contestar: ¿cuánto gastó Juan en el cine, cuánto gastó .................... •.. • .. en dulces y refrescos, y con cu~to dinero· volvió a su casa? Cada potencia de 1O se escribe poniendo 1 con tantos ceros a 3 28. CalCular el costo de 1m tapete que mide 18 .metros cuadrados, si su derecha como unidades tierie el exponente. Es decir: para cada - 1 5 . 1 valor de n, se escribe 10" poniendo n ceros a la derecha de la cifra 1. ¡ cada metro cuadrado del ~pete cuesta $ 17 2 . Respuesta: $ 325 2 . i ~jemplos: 101 = 10 ; 102· = 100 ; 103 = 1 ooo'; etc. ¡ . 29. Un automovilista maneja su automóvil haciendo en promedio 65 1 dí 1 h !. Se multiplica un número por una potencia de .1 o, poniendo tantos cer9s a la derecha de ese número como unidades tiene el 'j 1 . . .durante 3 -¡- kilómetros por hora. S1. VIaJa . do 8 3" as, maneJan oras diana- . 1 exponente de la potencia. i ·mente, ¿cuántos kilómetros, en total, habrá viajado este automoVilista? Ejemplos: 25 X 10 = 250 30. Juan puede hacer 1/9 de una obra, trabajando todo un día; pero 25 X 102 = 2500 LUIS sólo puede hacer 1/1~ de la obra en el mismo tiempo. Si Juan y Luis 18 X 1os = 18 000 1 1 1' trabajan simultáneamente ¿~ cuántos díás ~erminarán esa obra? Respues- Recordando lo dicho en el capítulo primero, tenemos lo si- guiente: ta: 5 .!_ días. 1· decena = 10 1 1 centena = 100 / 2 decenas = 20 2 centenas ·= 200 3 decenas = 30 3 centenas - 300 .............. ............... . 9 decenas = 90 9 centenas = 900 Cada número natural puede expresarse. como la suma de sus unidades de diferentes órdenes. As4 por ejemplo, t.enemos:. , 38 = 3 decenas ·+ 8 unidades = 30 + 8 325 = 3 centenas + 2 decenas + 5 unidades -:- 300 + 20 + 5 81 CAPITULO IX : FRACCIONES DECIMALES 83 ZUBIETA & S/J'fCHEZ : ARITMETICA RAZONADA 82 Se. lee una fracción decim~l como si fuera un entero, agregan- 32. Fracciones decimales. Se llama decimal :toda fracción do el nombre del lugar ocupado por la última cifra. cuyo denominador es una potencia de 1O. Son fracciones decima- Ejemplos: 3.25 se lee: trescientos veinticinco centésimos; 0.0026 se lee: les las que si~en: · vemtiséis diezmilésimos; 10.08 se lee: mil ocho centésimos; etc. 3 325 8 26 ; etc. También se lee una fracción decimal (cuando la parte entera 10 j 100 1 000 10 000 no es cero) leyendo primero la parte entera, en seguida, la part~ .Toda fracción dec~mal (toda fracción cuyo denominador es fraccionaria. una potencia de 1O) puede escribirse en la notación decimal, como Ejemplos: 3.25 se lee: tres ent_eros r veinticinco centésimos; 18.008 se sigue: se escribe solamente el numerador, poniendo un punto que lee: dieciocho enteros, ocho milésimos. separa lantas cifras como ceros tiene el denominador. Otros ejemplos: 23 0.035 (treinta y cinco milésimos) Ejemplos: se escribe 2.3 . 10 21.0008 (veintiún enteros, ocho diezmilésimos) 312.4 (trescientos doce enteros, cuatro décimos). 325 ~e escribe 3.25 100 Se pasa de la notación decimal a la notación común, quitan- do el. punto y poniendo por denominador la cifra i, con tantos Para justificar esta regla, consideremos la última fracción escrita que ceros a su derecha como cifras había después del punto. En otras también podemos escribir así: palabras: si la fracción. considerada representa décimos, el deno- 325 300 + 20 + 5 300 20 5. minador debe ser 10· si la fracción representa centésimos el 100 = 100 = 100 + 100 + 100 denominador debe ser' 100; si representa milésimos, el denomi- ' 325 2 5 nador debe ser 1 000; etc. o sea: + -10 + -100 - 100 = 3 . E.remplos: 12.4 d. . ) . 124 (que representa ec1mos se escnbe - 10 La fracción considerada tiene 3 enteros + 2 décimos + 5 centésimos. La podemos escribir 3.25; donde la primera cifra después del punto repre- .. ) . 325 3.25 (que representa centes1mos se escnbe - senta los décimos, la cifra siguiente, los centésimos. El punto separa la parte 100 entera de la parte fraccionaria. 0.035 (que representa m1·¡·es1mos . ) se escnbe . - 35- Cuando el numerador tiene menos cifras que las que han de 1 000 separarse, se ponen ceros a la izquierda del numerador y se aplica 0.0026 (que representa d.1ezm1·¡·esunos) . se escn'be -26- 10 000 la regla precedente. Ejemplo. En la fracción '1 ~OO ponemos ceros a la izquierda del nu- En la escritura decimal, si el punto se corre un lugar a la de- recha, se obtiene una fracción diez veces mayor; si el punto se merador y separamos tres cifras (tantas como ceros hay en el denominador). corre un lugar a la izquierda, se obtiene una fracción diez veces menor. · Obtenemos: 0.008. 26 . Ejemplos: 32.5 es diez veces mayor que 3.25 ; Otros ejemplos: ~= 0.3 10 000 = 0.0026 . 0.054 es diez veces menor que 0.54 . 10 ZUBIETA & SANCHEZ : ARITMETICA ~NADA . CAPITULO IX : FRACCIONES DECIMALES 85 La colo~ación del punto decimal es muy impo~nte, porque de ella depende el v~lor de la fracción escrita. Por eso, debe te- · ·Observación. · En una fracción decimal podemos escribir ce- nerse cu.idado de colocar correctamente (y con. toda claridad) el. ros a la derecha de la última cifra significativa, sin que cambie punto decimal.. e~ valor de la ~acción. Por ejemplo, la fracción 8.27 se puede escri· bll' 8.270. Rec1procamente, los ceros que figuran después del pun- SS. Adición y substracción. Para sumar fracciones decima- t?, a la derecha de la última cifra· significativa, pueden omitirse les se comienza por esc~bir los sUmandos uno debajo de otro (como s1n_ que se altere la fracción. Por ejemplo, la fracción 0.32-300 se · se hizo con los números naturales) de modo ·que estén en una escribe 0.323. misma collllilD:a las cifras que representan unidades del mismo . Ejemplo. La fracción 5.087~000 se escribe 5.0876. orden: los puntos decimales deben quedar 'siempre en una mis· ~· ma columna verticaL La suma se hace como ·de costumbre, su- ·_Se utiliza esta observación en la prácti~a. 1·. mando las cifras de cada columna; el punto decimal de la suma :1 Ejemplo. Si a. la fracción 8.27 le queremos restar 0.323, opera- ¡ se coloca directamente debajo de los puntos de los sumandos. ~os así: 0.035 8.270 Ejemplo. S~ar: ......; 0.323' +3.25 8.123 7.947 (diferencia) 11.408 Comprobación: + 0.323 (substraendo) 8.270 . Podemos justificar la regla ant~rior, consider~ndo las mismas fracciones del ejemplo, que escribimos y sumamos conio fraccio- 34. Multiplieación. I.as fracciones decimales se multipli- nes comunes, así: can por.to. con sólo mover el punto decimal un lugar a la derecha; se multiplican por 100, corriendo el punto dos lugares a la dere- 35 .325 8123 35 + 3 250 + 8123 11408 cha; ·,·.:,En general, si el punto se corre n _lugares a la derecha, 1 000 + 100 + 1 000 = 1 000 = 1 000 la fracc10n. queda multiplicada por 1O" . 11408 . Como se ve, la suma es: 1 000 = 11.408 · Ejemi,JIOS ~ 3.25 X 1O = 32.5 . ; 3.25 X 100 = 325 . De modo semejante se ope~a la substracción. El substraendo . Se· debe escribir ceros a la derecha para mover el punto cuan- l . como vemos en seguida: do sea necesano, ' f~ se escribe debajo del minuendo y se tiene cuidado de que· los pun- . f tos queden alineados én una misma columna. A cada cifra del mi- nuendo se le resta la correspondiente del substraendo. Ejemplo: 8.27 X 1 090 = 8 270 . [ ~ r . Para ~ultiplicar una fracción decimal por otra, se opera como ~ Ejemplo: 8.123 (min~endo) - 0.035 (substraendo) s1 fu~ran numeros naturales,_si~ hacer caso del punto; sólo que, al ¡ termmar el cálculo, se tiene cuidado de separar en el producto t ~! 8.088 . (diferencia) tantas cifras como hay a la derecha del punto en ambos factores. o! !1 :: ;! Comprobación: Si a la düerencia obtenida se le adiciona el substraen- ·Así: si el multiplicando tiene dos cifras a la derecha del punto y ¡! do, se debe obtener el minuendo. Hacerlo, para obtener: 8;123. 'e~ multiplicador tiene tres, er producto debe tener dnco (= 2 3) + ¡,¡ · cifras a la derecha del purito. · .::¡ r l ' ZUBIETA & SANCHEZ : ARITMETICA RAZONADA CAPITULO'. IX :. FRACCIONES DECIMALES 87 86 . . 1 Ejemplos: 8.2 7 2.0 o15 · 36. Fracciones decimales periódicas. Al dividir un nú~ X 0.323 X 1.7 mero natural entre otro, .si la división n~ resulta exacta, se puede 140105 aproximar el cociente tanto como se quiera, es decir,- hasta déci- 2481 1654 20015 mos, centésimos, milésimos, etc. Para lograrlo, se pone un punto 2481 a la derecha de la última cifra del dividendo y se escriben tantos 3.4 O2 5 5 (producto) ceros después del punto como cifras decimales se desee obtener en 2.6 7 1 2 1 (p~odll:cto) el· cociente. La división s~ hace como de costumbre, hasta agotar En el primer ejemplo, escribiendo los factores en la formá las cifras del, diviqendo; inclusive los ceros agregados. de fracciones comunes y multiplicándolos, tenernos: Ejemplo. Dividir 123 entre 8, aproximando hasta milés~os: 827 ~ = 827 X 323 = 267121 = 2.67121 SIN APROXIMAR APROXIMANDO 100 X 1 000 100 X 1 000 100000 15 (cociente) 15.375 (cociente) 85. División de decimales. Una fracción decimal se divide 8 l--r23" 8 1 123.000 ~ntre 10 moviendo el punto un lugar a la izquierda; se divide entre 43 . 43 100 moviendo el punto dos lugares a la izquierda; .... en general, 3 (residuo) 30 se divide entre 1O" con sólo mover el punit.o n lugares a la izquierda .. 60 Comprobación: 15.375 40 3 5 32 5 ~~ = ' 0.325 = X 8 O (residuo) Ejemplos: 3.25 100 123.000 Hemos usado aquí la raya horizontal para indicar división. Ejemplo. Dividir 875 entré 11, aproxim~do hasta centésimos. Para dividir una fracción decimal entre otra, se procede corno en los dos ejemplos que vienen en seguida: Comprobación: Ejemplo. Dividir 19.021 entre 8.27. 79.54 (cociente) 79.54 (cociente) Comenzamos por mover el punto decimal dos lu- ~· 3 11 1 8?5.00 X 11 (divisor). gares a la derecha (tanto en el dividendo como en el di- 827 1 1 902.1 105 7954 visor) :>ara que el divisor se convierta en entero: el -1654 60 '7954 dividendo es ahora 1 902.1 y el divisor 827. Hacemos la 2481 50 874.94 división en la forma acostumbrada, poniendo el punto decimal del cociente encima del punto decimal del -2481 6 (residuo= 0.06) + 0.06 (residuo) o ... 875.00 (dividendo) dividendo. . Ejemplo. Dividir 2.21 entre 0.026 . En este ejemplo, si proseguimos la división para aproximar cada vez más el cociente, obtenemos: 79.54 54 54 ... Observamos que el proceso de la división Ahora movemos el punto tres lugares a la derecha, para que el 4ivisor se convierta en entero;. el dividendo es ahora 2 210 y el divisor 26. no termina nunca. Las dos Cifras 5,4, (del cociente) forman un período que se repite una y otra vez, sin interrupción. Si nos imaginamos el período Dividimos así: 85 (cociente) · repetido· una infinidad de veces, entonces la fracción decimal periódica 79.54 54 54 54 . . . nos representa el cociente exacto que resulta de dividir 26 1 2210 875 entre t t. La escribimos así: 79.54, donde la raya puesta encima del pe- 130 rio~o nos recuerda que éste se repite una infinidad de veces. · o 88 ZUBIETA & SANCHEZ : ARITMETICA BAZdNADA CAPITULO ~ : .FRACCIONES DECil\IA,LES 89 Ejemplo. Si dividimos 23 entre 3, obte~ 7.66 un factor primo, 3, distinto de los factores primos de 10; pero notemos que la nemos por cociente la fracción decimal periódi- 3 1 23o00 fracción ilo está simplificada, porque el factor 3 figura también en· el nume- ca: 7.666 oooAquí el período tiene una sola cifra que se· repite una infinidad de veces; la frac- 20 = rador {15 3 X 5). _Debemos poner: 20 ·ción (cociente) puede escribirse. 7:6 2 15 3 X 5 5 • Ejemplo. Dividiendo 859 entre 22, se obtiene la fracción decimal pe- riódica 39.04545 ... , o sea 39.045. Comprobarlo. ..- · 37. Convertir fracc.ones comunes en decimales.. Las frac- · 15 5 5 X 51 · 5 X 25 125 ciones decimales son aquellas cuyo denominador· es una potencia 12 =2 = 2 2 2 X 52 = 102 = 100 = 1.~S de 10. Ahora bien, los factores primos de 10 son 2 y 5. Toda poten- cia de 1p tiene los mismos factores primos (2 y 5) tantas veces . Cuando la fracción considerada es irreductible (está simplifi- como unidades tiene el exponente. Así: ~o~~= 2~~. X 5n . cada) y. contiene en su denominador algún factor primo distinto ¡.. de 2 y 5, ella no puede igualarse a una fracción decimal; pero Ejemplos: 102 =2 2 X 52 =4 X 25 = 100 . . puede escribirse en fonna de fracción, decimal periódica, con un 103 =2 3 X 5a = 8 X 1.25 = 1 000 . período que se repite una infinidad de veces. Veremos ahora que toda· fracción común irreductible cuyo deno.minador .contiene solamente los factores primos de 1Oes igual . educti'ble -35 =: -5 X 7 se puede escn'b.1r .as1:• • 1o. La f racc1'ó.n liT EJ&mp a una fracció"n decimal. En efecto, dada la fracción irreductible 35 - 11 11 . (simplificada) m/n, si no hay en el denominador factores primos IT = 3.181818 ... = 3.18. Este resultado se .obtiene dividiendo el nfune. distintos de 2 y 5, podemos convertirla en otra fracción igual cuyo ·rador, 35, entre el denominador, 11. Hágalo el lector. denominador sea una potencia de_ 10. • 1o. nrara 1a fracc1on EJemp '' nTe '22 , obtenemos: ' ducti·ble- . 22 - = 3.142857. -- .s 1 ~ .·• 3 . s . 7 7 Ejemp1o. ea a uacc1on 20 = 22 X 5 Haga el ~ector .la división para obtener este resultado. Basta multiplicar por 5, tanto el numerador como el denominador, En la práctica, para convelftir una fracción común en deci- para obtener: mal, se divide el numerador de la fracción común entre su deno-· 3 3 X 5 15 15 . minador. Si el proceso termina, el cociente que resulta es la· frac- 20- 22 X 52 :=¡: ·102 = .100 = 0015 ción decimal buscada. Si· el proceso no· tennina, aparece siempre Ejemplo. Sea la fracción y el denominador, obtenemos: !! = ! . 1 Multiplicando po~ 22 el numerador un perlodo que se repite: se obtiene entonces una fracción decimal periódica. Ejemplos. Consideremos nuevamente las fracciones de ·los ejemplos 13 25 = 222 XX 135 = 1052 = ~ 2 = 0.52 100 · 2 2 • anteriores: 3 13 15 35 22 15 20 ' 25 ' 12 11 y 7 ., 15 . 1o. Sea 1a fraccon EJelllP - - - . Tenemos en el denominador 12 21 X 3 Dividamos el numerador de. cada una entre su denominador, así: 90 ' ZUBIETA & SANCHEZ : AR1TMETICA RAZONADA CAPITULO· IX : FRACCIONES DECIMALES 91 0.15 0.52 1.25 Ejemplo. Encontrar la fracción común generadora de 20 1 ~.00 25 1 13.00 12 1 15.00 30 130 . 30 o.oo3 = .o.oo3333 ... 100 50 60 Respuesta. La parte no-periódica es 0.00 y el periQCio tiene sólo una ci. .o o' o fra, 3; hay dos cifras, después del punto, en la parte no-periódica. Por lo .¡ tanto, la fracción pedida es: 3.142857 1 3.t818 7 1 22.000000 3 1 11 1 35.0000 10 1 o.oo + 900 = 300 . 20. 30 90 20 Ejemplo. Encontrar la fracción común generadora de 0.0072. 20 60 90 40 o 072 - 72 - 4 2 50 Respuesta. .o + 9990 - 9990 - 555 . 1 1 Se comprueba el resultado obtenido, dividiendo el numerador entre el Mediante las divisiones anteriores hemos obtenido: denominador: se debe obtener la. fracción periódica original. Hacerlo. 3 13 15 35 - 22 - Nota. Toda fracción común puede escribirse como fracción decimal 20 = 0.15 ; - 25 = 0.52 . ; - = 1.25 ; - = 3.18 ; 7 . 12 11 = 3.142857. periódica. Por ejemplo, 3/20 = ·0.15 se puede escribir 0.1500000 ... , o sea Decimos que 35/11 es la fracción común generadora de la fracción deci- = 3/20 0.1500000 ... , con periodo fonnado por un cero que se repite. . mal' periódica 3.18; también 22/7 es la f~acción común generadora de 3.142857. EJERCICIOS Se encuentra la fracción común generadora de una fracción l. Expresar éada uno de los números 508, 7 090 y 95 342 como la suma peliódica dada, aplicando la regla siguiente: .A la parte no-perió- .de sus unidades de diferentes órdenes. dica, se le suma una fracción cuyo numerador es el período y cuyo denominador está formado de tantos nueves como cifras tiene el · 2. Escribir en la notación decimal cada una de las fracciones: período, seguidos por tantos ceros como cifras hay después del ptm- 72 7 935 907184 254 ; to en la parte no-periódica. 10 100 100 1000 1000i) Ejemplo. Encontrar la fracción común generadora de la fracción de- 139 53592 9144 283495 13 cimal periódica 3.18. 1()2 105 1Qf 104 105 Respuesta. La parte no-periódica es 3, y el periodo es 18. No hay nin- guna cifra después del punto en la parte no-periódica. Por lo tanto, aplicando S. Expresar como fr~cciones comunes y en la notación decimal: a) un la regla anterior, obtenemos: entero, ocho centésimos; b) doce milésimos;_ e) quince enteros, doscientos cua- renta y siete diezmilésimos; d) nueve mil diecisiete milésimos. 18 - .3 + ~ -- 33 2 35 + 3 +99- ·u 11 =u· 4. Calcular los productos que siguen: Ejemplo. Encontrar la fracción común generadora de 3.14285 7 • \, 53 X 10 = 2.8 X 10 = 7.052 X 104 = = ';: 142857 . 1 22 ·.;> 28 X 102 = 3.5 X 10! 0.008 X 103 = Respuesta:· 3 + 999999 = 3 ~ 7 =7 . 7. X tO:t = 17.6 X 103 = 1.599 X 102 = ·:~·~··r. ' . 92 ZUBIETA & SANCHEZ : AlirrMETICA RAZONM>A 5. Las divisiones que siguen son exactas. Hacerlas y comprobarlas (co- ciente X divisor,= dividendo): · _ CAPITULO X· 7.008 1 24.528 34.5 1 47.265 704 1 68.992 EL TANTO POR CIENTO ' 0.42203 1 42.203 4.51 1 2.8864 317 1 2 979.166 La parte que tomamos de un número, expresada ,en centési- 6. Caléular los cocientes, aproximando h~sta centésimos y cÓmprobar: mo~ es lo que llamamos el tanto por cien~o de ese número. 1 0.08 1 5.893 0.4 l 0.0375 SS. Partes de un número. · Si queremos obtener 3/4 de un número, debemos multiplicar 3/4 por ese número ; si queremos 458 1 7.6 168 1 100.7--; 11.7584 l 5.936 . obtener. 5/3 de un número, debemos multiplicar 5/3 por ese número; ... 1. Probar que: m X 0.1 =m+ 10 ; .m X 0.01 =m+ 100 , etc. me En general: - d H s1'gnüi'ca- m XH·. 8. Calcular: . 547 X 0.1 8.76 X 0.1 n n 3 645 X 0.01 - 9.15 X 0.01 - Ejemplos: :¡;- de 24 = -¡3 X 24 = 3X24 4 = 18 . 523 X 0.001 = 8.75 X 0.001 .. 5 30 . 9. Escribir la fracción decimal que corresponde a cada una de las frac- i3 de 30 = i3 X 30 = X 3 -- 50 . Ciones: 5/8, 3/5, 1/2, 7/20, 23/125. 3 3 3 6 - -de60=--X60= X 0 -18 10. ¿Cuándo se Qptiene una fracción dec#nal periódica? Dustrar la res- 100 100 100 - . • pu~. con ejemplos~ Dividir 5/7, también 4/13, para obtener la~ fracciones . . penódicas correspondientes. Tomar 1/2 de un número es tomar la mitad de ese número ; tomar 1/3 de un número es tomar la tercera parte dé ese núme- 11. Escribir las fracciones generatrices de las fraccio'nes decimales perló- ro ; Etc. Esto .es lo que dicen las igualdades siguiente.s: . dicas: 0.054 ; . 0.136 ; .1.571428 ; 0.714285 · ; 0.307692 . ·1 m 1 m n -dem=- ; -dem=- ; etc. 12. Usando A = . 0 15 + 1.34, comprobar esto: Sin= 0.12, entonces: 2 2 3 3 A 0.12 39. El % (porciento ).. ~i dividimos un número en cien par- = 0.15. + 1.34 = 2.14 . tes iguales, cada una de ellas representa el uno por ciento de ese número. El tanto por ciento del nú.ñtero dado viene a ser: ·el nú- Calcular A cuando n = 0.0315~ cuando n = 0.0225, cuando n = 1.35, cuando n = 0.1275. Respuesta: Si n = 0.1275, entonces A = 2.19. mero de centésimos que tomamos dé ese número. · .. e 't \oc \:!OC: El signo % se lee por cien.to; signüica centésimos. ..._. . '1!1dc (' lo1o _::·· Ejemplo: 15% (quince por ciento) significa 15/100 = 0.15 . ~ ... " 93 1 ---·~· -....--· f --·t;é 94 ZUBIETA & $ANCHEZ : ARITMETICA RAZONADA CAPITULO X : EL TANTO POR CIENTO 95 Tomar m% de un número, es tomar m/ 100 de ese número. La segunda de estas igualdades dice que el1 0% de un número es la décima parte de ese número. ¿Qué dicen las igualdades res- Es decir: m% de H significa _!!!:____ X H . tantes? . 100 · . 3 Se expresa que X es el m% de H, escribiendo: Ejemplos: 3 % de 60 = lOO X 60 = 0.03 X 60 = 1.8 m X=·- xH. 100 15 % de so.= /~o x 50 = 0.15 x 50 = 7.5 Esta es una fórmula (una ecuación) que contiene tres nú- meros: el número H, llamado la base; el número X, la parte o 20 % de 50 = :~o x 50 = 0.20 x 50 = 1o porcentaje; el ~úmero m/ 100, el porciento. La fórmula nos die~ que: 85 85 % de 120 = -100 X 120 = 0.85 X 120 = 102 (I ). la parte = el porciento X la base. Los problemas que pueden resolverse por la fórmula (I) son 100 % de 85 = !~~ X 85 = 1.00 X 85 = 85 de alguno de los tres tipos siguientes: (a) Calcular la parte, conociendo el porciento y la base. 120. % de 80 = ~~~ X 80 = 1.20 X 80 = 96 . (b ) Calcular la base, conociendo el porciento y la parte. Puesto que 100% = 1, se tiene: 100 % de H = 1 X H =H. (e) Calcular el porciento, conociendo la parte y la base. .Es decir: el 100 % de un número es igual al propio número. En vista de (I), los problemas del tipo (b) y el tipo (e) se re- El lector, por sí mismo, debe convencerse de lo siguiente: ducen a calcular un factor, cono.ciendo el producto y el dtro fac- 1 tor. Ambos casos se resuelven por división, operación que sirve 5 % de N = - de N 20 = 't'l /20 para eso: calcular un factor cuando se conoce el productor el otro factor. As~ obtenemos: 1 10 % de N = - de N = N ¡10 la :.parte .10 (II) la base = __ . :.____ el por ciento 1 20 % de N = 5" de N = N /5 . ia parte (III) · el porczento = _..:..___ la base 25 % de N . = -41 de N = N¡4 Aplicando la regla (I ), calculamos la parte o porcentaje mul- tiplicando el porciento por la base. Aplicando (II), calculam~s 50 % de N = 21 de N = N /2 la base dividiendo la parte entre el porciento. Finalmente, apli- cando la regla (III), calculamos el porciento dividiendo la parte 100 % de N = =N entre la b ase. ..,...-- r .• :l ~~ L 1 l' ~ ZUBIETA & SANCHEZ : ARITMETICA RAZONADA 1 1 . 96 CAPITULO X : EL TANTO POR CIENTO 97 1 . \ Ejemplo, talcular el 15 ~ % de 240. Ejet:nplo. Un capital de $100 que produce una ganancia del2% men- Aquí conocemos el por ciento {~5 ~ % = 0.155) y la base (240). Apli- sual, representa una inversión mejor que un capital de $ 200 que sólo produce 1! camos la regla {1) para calcular la p~: el 1 % mensual; no obstante que la ganancia real es la misma en ambos casos, 1¡· X = 0.155 X 240 = 37.2 a saber: $ 2 mensuales. \1 ~ 1 Ejemplo. ¿Cuál es el número. cuyo 12 % es 42? En las transacciones comerciales, es frecuente ,comprar mer- f Aquí conocemos el por ciento {12 % = 0.12) y la parte (42). Calcula- cancías sujetas a Un descuento sobre los precios marcados en la 1 m~s la base aplicando la regla {ll): lista o· catálogo; ese descuento se estima como un %· del. precio . 42 4-200' asignado a la mercancía. El precio que se paga entonces es la di- H=-==--=350 ferencia que resulta de restar el descuento al precio original. \¡1 0.12 12 1' 1' . Comprobación: 12 % d~ H = 0.12 X 350 = 42.00. Ejemplo. Una persona compra al contado una máquina calculadora cuyo precio es de $6 400. Si le descuentan el 12% sobre el precio de la má- Ejemplo. ¿Qué tanto % de 80 es el número 36? quina ¿cuánto debe pagar por ella? Conocemos ahora la base (80) y la parte (36). Calculamos el por ciento, Descuento = 0.12 X $ 61{)0 = $ 768. \t 1 iljl aplicando la regla (ID): Debe pagar: $ 6 400 - $ 768 = $ 5 632. lli 1 ¡¡¡¡¡: i\ m % = 36 = ~20 = 0.45 = 45 % . .El mismo problema se resu~lve razonando de este modo: 's¡ el descuento 80 .es ei 12%, lo que debe pagar es el88% (el complemento para el tOO%). Por \~ l \ 1 = Vemos que m = 45. Es decir: 36 4-5 % de 80. lo tanto, el CQm~rador debe pagar por la máquina cal~adora: t•! lti: l'': ¡L Comprobación: 0. 45 X 80 =36.00. 0.88 X $ 6 400 = $ 5 632. ,p ~ En algunos casos, cuando el porciento es mayor que unidad, la ·Ejemplo. En una fen-etería pag6 Juan $ 3.1.50 por una herramienta · !!: ' ~L . lo que llamamos "la· parte" VIene a ser mayor que "1a base" . cuyo precio de catálogo es $ 36.00. ¿Qué % le descontó el ferretero? :¡¡ . Aquí.la base es $ 36 (precio de catálogo). La parte es el descuento: Ejemplo. Calcular el 123 % de 1OO. Aquí el por ciento es 1.23 (mayor que la unidad); la base es 100. La $ 36.00 - $ 31.50 =$ 4.50 ._/ '7_C1 0 lit !Í\, = parte es: 1.23 X 100 123 (> 100). . Calculamos el % según la regla (ill): -z..c:; 1° ¡¡; ~ {Nótese que, para todo valor de m, el m % de 100 =m). 5 m%= +3.6° = o. t25 = 12.5 °% e ·¿S >'--aP' 100 . j!.~ .. \.1·\' . 40. Aplicaciones del o/o. Se usa el % con mucha frecuencia . 1 ¡1 en problemas .prácticos de la vida diaria. As~ por ejemplo, e~ el . . . Comprobación: El descuento es: 12 ~%de $36, o sea, 0.125 X$ 36 " = ' 4} 1::1) li· , taller (o en la industria) se estima la eficiencia de una máquma, '= $ 4.50.. . :¡::,¡ como un % que expresa la relación entre el trabajo que realiza la Ejemplo. H~ pagado $14-.40 por un libro, después de obtener un des- !'1 máquina y la energía que consume. De inodo semejante: una em- cuento del 1O % del precio marcado en el cátálogo. ¿Cuál es el precio de ese · \i: ; 1 libro en el ·catálogo? · '\! 11 presa indus1:rial estima su ganancia o pérdida como un tanto por 11! · Supongamos que el precio del libro en el catálogo es H. Si el descuento ¡¡; .1 ciento del costo del artículo manufacturado, que se obtiene divi- representa el10% de H,' entonces el precio pagado representa el 90% de H. ¡¡\ diendo esa ganancia o pérdida entre el costo señalado. Es~ % nunca + = (Porque 10% de H 90'% de H 100% de H = H). Como, por otra parte, ¡\\ dice cuál es la ganancia real, mientras no se mencione a cuánto sabemos que el precio pagado es $14.40, tenemos la igualdad: · !! asciende el costo; sin embargo, el conocimiento del % mencionado . 14-.aW = 90'% dé H ; es más significativo qué el conocimiento de la gana~cia real. o sea: 14.40 =0.90 X H AritmEtica Razollllda.-7. '98 . ZUBIETA & SANCHEZ : ARITMETICA RAZONADA ; CAPITULO X : EL TANTO POR CIENTO 99 EJERCICIOS Calculamos H (la base) s~gfut 1~ regla (ll): l. ¿Cómo se define el tanto por ciento de un número? ¿Qué significa el H = 14.4 = 144 . 16 • signo % (por ciento)? ¿Qué significa to;mar el m% de un número? Poner 0.9 9 ejemplos. El precio de catálogo es: $ 16.00. 2. Demostrar .lo siguiente y poner ejemplos: Comprobación: 16- 10-% de 16 = 16. 00- 1.60 = 14.~. 5% de M =.M/20 10% de M = M/10 Ejemplo. Una persona invierte un ·capital en un negocio que le pro- duce una ganancia de $ 1 050 mensuales. Si esa ganancia representa el 3 % del capital invertido ¿a cuánto asciende ese capital? * 20% de M= M/5 25% de M= M/4 8 ~% de X = X/12 121!2% de X= X/8 Con~os ·aquí la parte ($1 050) y el por ciento (0.035). Calculamos 33~% de X= X/3 50% de X = X/2 . la base (el capital) dividiendo la parte entre el por ciento, regla (II): 3. Calcular mentalmente lo siguiente: capital ~ _1o_5o_ = _1_o_5o_o_oo_ = 30 000 . 0.035 35" 10% de 60 =6 20% de 35 =7 50% de 34 = 17 El capital invertido es: $ 30 000. 10% de 45 = 20% de 60 = 50% de 12 = Comprobación: 3 ~ % de 30 000 = 0.035 X 30 000 = 1 050. 10% de 82 = 20% de 85 = 50% de 76 = · Ejemplo. En un frasco h~y 57 gramos de agua, a los que hemos de 10% de 93 = 20% de 91 = 50% de 90 = agregar sal para obtener una solución que contenga el 5 % de sal. ¿Cuántos gramos de sal debemos verter en el frasco? 4. Teniendo en cuenta que % significa centésimos, hacer un cálCulo Si representamos por H el peso en gramos de la solución (cuando la sal para comprobar lo siguiente: · . se haya agregado) ésta contendrá 5 % de sal y 95 %de agua. Es decir: 57 gra- mos (peso del agua) será el 95% de H. O sea: ~% 2 =0.005 1 -% 4 = 0.0025 1 -% = 0.002 5 .; 57 = 0.95 X H. Aplica~do la regla (ll), obtenemos: 1 _!_ % = 0.00125 10% = 0.001 1 1-% = 0.015 H = _E_ = 5 700 = 60 •· 8 2 . 0.95 95 Respuesta: La solución pesa 60 gramos y la cantidad de sal que contie- 2 _!_ % = 0.0225 4 1 35% .= 0.032 58% 1 = . 0.05125 . ne es: (60 - 57) gramos = 3 gramos. 5. Escribir en ia notación decimal (como en el ejercicio anterior): Comprobación: 57 gramos de agua + 3 gramos de sal 60 gramos de= solución. Además: 5% de 60 =· 0.05 X 60 = 3. Lo que dice bien que los 7% = 12 ~% = . 1 19:~-% = ·3 gramos de sal represental:l el 5 % de la solúción. 4 Los ejemplos anteriores son suficientes para aclarar por com- 1%o= 1 1 pleto el tema q1:1e nos ocupa. Después de estUdiarlos, el lector de- 22- 5 358% = 58-%= . 10 berá resolver los ejercicios que siguen. ·!.~·~\\: 1, 1 .··:~ ~r:~. .n 100 ZUBIETA & SANCHE7. : ARITMETICA BAZONADA ;~:}> .. ;;: CAPITULO X : EL TANTO POR CIENTO tOf .. {· ~ 6. "P"sando los resultados del ejercicio anterior, calcular lo que sigue: ~·. 16. Un cliente paga en una tienda $ 50.92, después de obtener el 5% de 1 . 7 % de 24 = l.68 12¡-% de 24 = ·3.00 descuento en su compra. ¿Cuál era el precio de lo comprado: antes de hacer el descuento? . 1 1 17. Ayer pagué $42.30 por un artículo cuyo precio en el catálogo era . 4 . de 40 = 19-% 7.7 . 22'5% de _45 = 9.99 de $ 45.00. ¿Qué tanto % me descontó el vendedor? , ,~u u: 1 . . 18. Si Juan gasta en el mantenimiento de su automóvil$ 416 mensuales: 35.I.% . 8 0 de 40 == 14.05 58 % d.e ~ = 26.145 que representan .el 13% de sus ingresos, decir ¿a cuánto ascienden mensual~ 1 10 mente los ingresos de Juan? 7. Comprobar los resultados siguientes: 19. Un comerciante invierte $ 70 000 en mercancías, que recibe con el 1 1 . 12 % % de descuento sobre· el precio oficial. Si la vende toda al precio oficial 1 IF., 3% de 4~= 0.14 ; % de 42 0.084 5 = 1 7 %de 42 = 0.06. 1 1 ¿cuál es su ganancia y qué tanto % r~preSenta de los$ 70 mil invertidos? ·' ¡ 8. Sea la fórmula: X= .m% de H. Explicar: en esta fónnÚla ¿cuál es 20. Una muestra de un mineral contiene 3.25% de níquel y 5.0~% de 1 ¡ la parte~ cuál el porciento y cuál la base? ¿De qué otra manera podemos es- cribirla? · hierro. Si la muestra pesa 860. gramos ¿cuántos gramos de níquel y de hierro contiene? Respuesta: hierro = 43.172 gramos.. ¡n ¡rli 9. Decir ¿.cómo calcular cada uno de los elementos de la fórmula ante- rior, cuando conocemos los otros dos? De otro modo: ¿qué razonamiento ~ace * 21. Una aleación 'contiene 3/2 kilogramos de cobre, que· representan el 12 % de esa aleación; lo demos es plata. Contestar: ¿cuánto pesa la alea- ción y cuántos kilogramos de plata contiene? mos para deducir de la regla (I) del texto, las reglas (II) y (III)?.Explicarlo con toda claridad. 22. Una solución de yodo y cloro contiene 3 % de yodo y 5 % de cloro, 1: · 10. Calcular X en los tres casos siguientes: que pesan juntos 2 gramos. Decir ¿cuánto pesa la solución y cuántos gramos de yodo y de cloro contiene? · X= 25 ~%de 153; X= 75% de 12.8; X= 135% de 82 ~. 28. ¿Cuántos gramos de agua deben verterse en un frasco que contiene 11. CalcÚlar H en los tres casos siguientes: 4% gramos de anilina seca:, para obtener una solución con el 6% de anilina? 24. Se quiere poner anilina en un frasco que contiene 45.12 gramos de 18 = 15 % de H ; 16.8 = 70 %de H ; 15.4 = 19.25 % de H . agua, para obtener una solución con el 6% de anilina. ¿Cuántos gramos de 12. Calcular. m en los tres casos que siguen: anilina deben ponerse en el frasco? Respuesta: 2.88 gramos. 96 ..:.... m % de 128 ; 22 ~ = m % de 30 ; ·77 · = m % de 400 . 25. El territorio del D. F. rep-:-esenta el 0.075% del área total de la Re- pública Mexicana. Contestar: ¿en cuántas partes iguales debe dividirse la R. M. ,. 1 1 18. ¿Cuál es el :Oúmero cuyo 20% es 45? ¿De qué n~ero es 18 él45 %1 para que cada una de esas partes tenga la misma .área del D. F.? Si el área i·· de la R. M. es de 2 millones de Km. 2 ¿cuánto mide el área del D. F.? '! ¿De qué número es 7.5 ·el 12 ~ %? ¿De qué número es 2.5 el 8 %. %? 14. ¿Qué %de 60 es el número 57? ¿Qué % de 25 es 32 ~? .,. r· i 41. Interés Simple. Un capital que se invierte, produce una ganancia llamada interés. .El capital se mantiene productivo du- [ ¿Qué % de 26 es 3 + 1/4? ¿Qué % de 66 es 3 ~ ? ·~ ra~te el tiempo que está invertido, y su valor crece con el tiempo. 15. Luis compra en la botica una medicina cuyo precio en la lista oficial Ejemplo. Una persona invierte $ 100, a interés simple del 8 % anual. es de $ 13.50. Si el boticario le descuenta el 8 % ¿cuánto debe· pagar Luis por ~"" · Al cabo de un año. . esa persona ha ganado 8% de$ 100 -:- $8: el capital ·in- i esa medicina? vertido ha crecido hasta $108. El capital invertido. que era de $100 en la fe- 1,11 1 1 .cha en que se hizo la inversión, pasó a ser de $ 108 un año después. ¡ ---~~ :H Jj CAPITULO X : EL TANTO POR ciE!ft'O 103 102 ZUBIETA & SANCHEZ : ARITMETICA RAZONADA El interés ·Se llama exacto, cuando se calcula sobre la base de ; El capital invertido originalmente se lla~a el principal. Su valor, después de cierto tiempo, es el monto de ese capital, en la j un año. de 365 .días. (o de 366 días, en año bisiesto). El interés comercial u ordinano se calcula sobre la base del año comercial de fecha considerada. La ganancia obtenida es el interés del princi- 360 días. Al hacer los cálculos (mterés comercial) se tendrá en . pal, durante el tiempo transcurrido. Se tiene: cuenta que: nzonto = principal + interés 1 ! 1 1 día = - - del año 360 ' . fónnula que se escribe, en símbolos, así: (IV) 1 mes = 3o dias = 1~ del año . En el ejemplo anterior, el prinCipal era $100; el monto era $108, al Ejemplo. Calcular el interés simple de $ 350 d~te 3 meses, con cabo de un año; el interés del principal (durante el año) era $ 8. Y tenemos: tasa del 8 %anual. . · ' $108 (monto) = $100 (principal) + $ 8 (interés). = _. Us~os la fórmula (V), poniendo: P _350 ; r = 0.08 ; ~ 3/12 == 1/4: =350 x o.o8 x ! = 350 x.o.o2 = 1.00 El interés se llama simple, cuando sólo el principal gana in- 1. 1 ter6s durante todo el tiempo que dura la inversión. Si las ganan- cias no se invierten productivamente, se trata de un caso de interé.~ El interés calculado es: $ 7. simple. Por lo contrario, en el interés compuesto, la ganancia o . Ejempl~. Calcular el principal que produce $ 45 de Interés en 9 meses, iliterés se ~apitaliza cada cierto tiempo y empieza también a ga- Siendo la tasa del 5 % anual. nar interés. p = = Ahora conocemos 1 45, r= 0.05 y t 9/12:; 3/4. Debemos calcular Ambos :tipos de interés (el simple y el compuesto) se usan ' usando la fórmula (V). Como conocemos el producto 1 y uno de los factores, frec1,1entemente en la práctica. En las transacciones comerciales se prefiere el interés simple, cuando se trata de inversiones o prés- r t = 0.05 X -:¡-3 = 0.0375 tamos a corto plazo. calculamos el otro factor por división, como sigue: La tasa del interés es la ganancia (o interés) de la unidad de 1 45 . píincipal en la unidad de tiempo. La tasa se expresa en % (como 8 % = 0.08). Si la unidad de principal es $ 1 y la unidad de tiem- p =--;:¡- = 0.0375 =. 1 200· po es 1 año, entonces la tasa es el interés que gana $ 1 en un año. El principal calculado es: $ 1 200. Sea r la :tasa del interés. Si $ 1 gana r en un año, entonces . 1' ~_femplo. Calcular el monto (a interés simple) de $ 825 invertidos du- P pesos ganan Pr (= P X r) en el mismo tiempo. Si t es el inter- rante 6 meses al 10% anuat · valo de tiempo (fracción de año) que dura 1~ inversión, entonces 1 (interés) = (Pr) X t. Es. decir: Ahora P = 825 ; r = 10% = 0.1 ; t = 6/12 = 1/2. Calculamos M, según la fórmula (VI): (V) 1 = Prt 1 . Substituyendo este valor de 1 en la fórmula (IV), obtenemos M= 825:~ (1 + 0.1 X '2) = 825 (1 0.05) + + esta otra: M = P P r t . O sea: M =825 X 1.05 = 866.25- (VI) M=P (1 + rt). El monto 'calculado es: $ 866.25. 104 ZUBIETA & SANCHEZ : ARITMETICA BAZONADA CAPJTUU> X .: EL TANTO POR CIENTO 105 Noja: Podemos resolver el mismo probl~a de otro modo: Calcula- · ~alculamos P (por división) según la fórmula '(VII): mos 1, según la fórmula (V): . 100 . 1 P_ = 1.02 = 98.04 • 1 =825 X 0.1 X-¡= 41.25 Ahora, según (IV), M= P +1 =825 + 41.25 -= 866.25. = El ~alor presente es: $98.04. El descuento es.: $100-$98.04 $1.96. Si la deuda se paga ahora, 3 meses antes de su vencimiento, el deudor obtiene un descuento de $ 1.96 y paga solamente $ 98.04. Ejemplo. Se invierten $·1 200 (a interés simple) al 5% anual. ¿Cuánto tiempo· se requiere para que el nionto de ese principal sea $ 1 245? EJERCICIOS . Él interés ganado por el principal, debe ser: $ 1 245 - $ 1 200 = $ 45. l. Usando la fó!Jllula 1=P r t, calcular lo siguiente: . (a) Calcular 1, cuando P = $5 875, ,r = 12% , t.= % . Ahora conocemos: 1 =45; P = 1200; r ·= 0.05. (b) Calcular P~ cuando 1 =$ 791, r = 7%, t = 5/12. Calculamos t por división, según la fónnula (V): (~) Calcular r, cuando p = $8812.50, t =%' 1 = $470. 1 45 . 45 '3 = (d) Calcular t, cuando 1 $325, r = 5%, P = $13 000. t = Pr ~ 1200X0.05 ·= 60 =4 (= 9 meses). 2•. Usando la fórmula M = P (1 +it), hacer lo siguiente: (a) Calcular M, cuando P = $ 5 875, r = 12% , t ?= 1fs . 42. Valor. presente y descuénto•. En ejemplos anteriores t· (b) Calcular P, cuando M= $27 911, r = 7 %, t = 5/12. calculamos el monto (valor futuro) de un capital invertido a inte- 1 rés simp~e. Ahora nos proponemos calcular el-principal (valor pre- . 1 ' í S. Calcular M por la fórmula M ~ P 1 : + sente), cuando se conoce el monto en una fecha posterior. = = ' (a) Cuando P $ 5 875, r 12 %, t %. = El valor presente, P, es el principal que llegará a ser igual a (b) Cuando P = $27120, r = ~ %, t = 5/12. lll al cabo de un tiempo convenido. La diferencia M- P es el des- 4. Un principal de$ 7 682, colocado al 8% anual, produce en 15 meses cuento de M. · un interés de $ 768.20 (comprobarlo). Calcular el monto por la fórmula Cuando se conoce el monto M al cabo ~e un tiempo t, con una = + = M_ P 1. Réspuesta: M $ 8 450.20. tasa r, la fórmula (VI) nos permite calcular P. En efecto, cono- 5•. CalC\llar el interés simple de $13 535, en 8 meses, con una tasa del ciendo el producto M y uno de los factores ( 1 + rt), calculamos 9% anual. ¿Cuál es el monto en este caso? Respuesta: M= $14 347.10( por división el otro factor. Así: ...· 1 6. Calcular el principal que, colocado.al8%% anual, produce en 7 me- ses un interés simple de$ 264.25. ReSpuesta: $5 436. (VII) P= M 1 +rt · '1. ¿En cuánto tiempo un principal de $15 356, colocado al 9% anual, Ejemplo. Una· persona ha de pagar $ 100 dentro de 3 meses ( ~ de produce un interés (simple) de $1.'151.70? Respuesta: 10 meses. año}. Si el dinero gana el 8% anual ¿cuál es el valor presente de esa deuda? 8. ¿Cuál debe ser la tasa (% anual) para que un principal de$ 5 532 Conocemos M= 100; r = = 8% = 0.08 ; t % . Por lo tanto: produzca un interés de $138.30 en 4 meses? 1 1 + r t =1 + 0.08 X -¡ = 1.02. 9. ¿Cuál es el principal que, colocado al 15 % anual,. durante 7 meses y medio, asciende a $ 6 405 (monto)? ··---~ 106 ZUBIETA .t: SANCHEZ : ARITMETICA RAZONADA ~ 10. ¿En cuánto tiempo el monto de un principal de $ 5 436 asciende a ' $ 5 700.25, si la tasa es de 8 lfa % anual? 11. La fónnula (VI) del texto sirve para calcular M cuando se conocen P, r, t. ¿Para qué sirve la fónnula CVII)? CAPITULO XI 12. ¿Qué razonamiento se hace para deducir la fórmula (VII) de la fórmu- RAIZ CUADRADA la (VI)? Explicarlo con toda claridad. i 1 13. Calcular el principal cuyo monto asciende a $ 6 270, si se invierte Antes de abordar el tema principal de este capítulo, conviene 1 .. al 7.5 % durante 135 días. establecer la distinción entre números racionales e irracion ales. 14. Calcular ~1 tiempo requerido para que un principal de $ 1 500 tenga 43. Números ra-cionales. Recordemos que toda fracción un monto de $ 1 976, a interés simple del 6 % anual. común puede ese1ibirse en forma de fracción decimal periódica, 15. ¿Cuál es el valor presente de una deuda de $ 2 465 que será pagada usando la notación decimal y las convencion es que la rigen. dentro de 6 meses, si la tasa es el 4.5 % anual? Ejemplos. La fracción ~ = 0.25 se puede escribir: 0.25000 : . . , con período fonnado por un cero que se repite. La fracción 35/11 = 3.181818 ... se 16. Los datos del ejercicio N9 1 y las respuestas correspondientes (inclu- escribe con período formado por dos cifras que se repiten indefinidamente. + yendo M = P l ) pueden tabularse de este modo: Toda ~rac@_n o quebrado representa un número que, en la escritura decimal, se escribe mediante una sucesión finita de cifras, p t l M r 1 1 se~uida por un período que se repite una infinidad de veces; t Jes $ 5 875. 12% 1/3 $ 235 $ 6110. números se llaman racionales. - $ 27 120. 7% 5/12 $ 791 $ 27 911. En particular, son racion ales los números enter os (natw·a· $ . 8 812.50 2/3 $ 470 $ 9 282.50 les), que representan fracciones cuyo denominador es la unidad. $ 13 000. 5% 1/2 $ 325 Un número natural, como 18, se puede escribir 18.000 ... , con una infi- nidad de ceros después del punto. En la práctica se omite el período formado por un cero que se repite; así, en lugar de 18.000 ... ,se escribe simplemente 18. Llenar los huecos que aparecen en esta tabla. De manera parecida, ta- bular (en la misma tabla) los ejercicios siguientes~ del N9 2 al N9 10 inclusive. 44. Números irra-cionales. Estos números hacen ~ mera apa1~uca, cuando se considera el proble- i ·ñ1ade la extraccwn de las raíces (en partlcular, la rafzcti.adra'qª.) 1 de. los!1úmeros racionales."Por e~mpl<f,Sl un e~-~er~_~o es el cua- 1 drado deo---uoeñtero, su raíz cuadrada es un número irra6m1al. 1 Se__escnbeünñumero 1 ·- - · - ealañfé ..üna.sücestóñlñfi- nita de ci ras, que aparecen en forma in-e ar, sin tener un pe- - rí.odo repetido una infinidad de veces. Ejemplos. Es irracional la raíz cuadrada de 2, que se escribe: V2 = 1.41421356 .. . Otro número irracional es r. = 3.141 59265 . . . , factor por el que debe multiplicarse el diámetro de un círculo para obtener la lon- gitud de la circunferencia. 107 f. ti,' :: 108 . ZUBIETA' & SANCHEZ : ARITMETICA BAZONAl>A CAPITULO XI : ~CUADRADA 109 Cada ~úmero irracional puede calcularse con la aproximación Ejemplo. Raíz cuadrada del ·número 21609. que se quiera (hasta décimos, centésimos, milésimos, . ·.. ) sin que Empezamos por separar las cifras de dos en dos, entrando por la dere- las cifras· obtenidas formen jamás una fracció~ .decimal periódica. 1 cha; el nú:inero dado queda así: W16'09. Se escribe este número debajo de la galera del radical; a su derecha, la raíz cuadrada, 147. Nótese la columna 45. Raíz cuadrada. La igualdad m = n X nse esepibe de la derecha, donde aparecen: la raíz cuadrada, en el primer renglón; de- bajo de ella, el doble de la primera cifra y la segunda cifra de la ~z; más abajo, m = n • También~sí: y~ n . Cuando esta igualdad se cuml!_le 2 el doble de las dos primeras cifras ·y la tercera cifra de la raíz. El cálculo se hace (y sólo entonces) decimos que m es el cuadrado de·n, o bieJ!~.<JUe del siguiente modo: . · n es la raíz cuadrada de m. La primera cifra, separadk a la iz- y'2'16'09 147 quierda del .número dado, es 2, y el mayor Hemos dicho que: n · ym significa n 2 = m. ·cuadrado menor que esta cifra es 1 1 • = 2 -1 ·-2.,....4- Ponemos 1 como primera cifra de la raíz que 11'6 287 ·De otro modo: n = \lm significa n X n·= m. estamos calcUlando, y restamos su cuadra- -96 do, ·1, obteniendo el primer residuo parcial, 200'9 Si en la igualdad n X n = m ponemos ym en lugar de n -2009 (porque n . Vm), obtenemos v-m X Vm :-- .m , igualdad que que es 1. . . . Debajo· de la priinera cifra de la raíz 9 se cumple para todo valor de m. (columna de la derecha) escribimos su do- . ble, que es 2.. Y al. lado del resi~~o obtenido, bajamos las dos cifras que siguen Ejemplos: ytX y1 1; v2x y2 = 2 ; y'3 X y'3 ·3; etc. y separamos la de la derecha, quedando 11 '6. Dividimos este número, 11, entre · el doble de la cifra hallada de la· raíz, entre 2, para obtener la cifra siguiente, En resumen: la raíz cuadrada de un número dado es otro nú- que es 4. Escribimos también esta cifra en el segundo renglón (éolumna de la . mero ~uadrado es igual al número dado. derecha) para tener allí 24; se multiplica este número por la cifra 4, q~e aca- Ejemplos: v9 - 3 porque 32 = .9 ; = bamos de. escribir aniba de él, y restamos el producto, 96 ( 4 X 24), obte- niendo el segundo residuo,. parcia~, que es 20. y'25 - 5 porque 52 = 25 ; Al lado de este residuo, bajamos las· dos cifras que siguen y separamos la de la derecha,· quedando 200'9. Dividimos este número, 200, entre el doble . vst 9 porque 92 = 81 ; de la raíz hallada, entre 28, para obtener la cifra siguiente de la raíz, que es 7. Escribimos también esta cifra en el tercer renglón (columna de la derecha) Por cada cero que ponemos a la derecha de un número, su para tener allí 287. Este número se multiplica por la cifra 7 de la raíz, que cuadra o gan samos esta observación = acabamos de escribir, y resta~os el producto, 2009 ( 7 X 287), para obtener el residuo final= O. --~------------------------~----- como s1gue: _,--- ÉJ. proceso ha .tenninado y obtuvimos: y'21609 - 147. Ejemplo. Porque 32 = 9, podemos poner: 30 = 900 . 2 Comprobación: 147 Extrayendo raíz: "'1900 - y'9con un cero a la derecha = 30 . X 147 1029 En los ejemplos anteriores, la raíz cuadrada de cada número 588 se obtuvo de inmediato; pero en casos menos simples, la raíz se r 147 calcula 'por el método que aprenderemos en seguida. 21609 (= 1472) 110 ZUBIETA &. SANCHEZ : ARITMETICA RAZONADA CAPITULO XI : RAIZ CUADRADA 111 Ejemplo. Raíz cuadrada del número 105 625. Finalmente, cuando el número dado es una fracción deci- Se empieza por separar las cifras de dos en dos, entrando por la dere- cha; por cada dos cifras que separemos, habrá una cifra en la raíz. El núrne~o mal ~:. .la-derec'lraael punfi),antes de proceder al cálcu- dado queda así: 10'56'25. Se pone este número debajo de la galera y a su de- 1 e su raíz cuadra a, se separan las e· ras de dos en os, es e el recha se van poniendo, de una en una, las cifras que resulten para la raíz punto, a su 1zqwer a y erecha_ buscada. El cálculo se hace de este modo: Ejemplo. Raíz cuadrada de 170.081; aprorimar hasta milésimos. Las dos cifras separadas a la izquierda \110'56'25- 325 Empezamos por separar las cifras de dos en dos, a la izquierda y a la forman el número 10; el mayor cuadrado -9 62 :echa del ~unto, agregandó tres ceros ~ la derecha: 1'70.'08'10'00. Ex- inferior a él, es 9 = 3:. Ponemos 3 (= y9) -15'6 :mos la rruz cuadrada como antes, temendo cuidado de poner el punto como primera cifra de la raíz que estamos -124 645 dec~al en la raíz, cuando se agoten las cifras de la parte entera del número calculando y restamos su cuadardo, 9, para ----n-2'5 dado. Como hay seis cifras a la derecha del punto, la raíz cuadrada tendrá obtener el primer residuo parcial, que es 1. -32 25 tres, es decir, hasta milésimos. El cálculo aparece en seguida: Debajo de la primera cifra de la raíz, o y 1'7 0.'0 8'1 0'0 0 13.041 que acabamos de obtener. ponemos- sü' ao:- - 1 23 ' COMPROBACIÓN: ble, 6. Y al lado del residuo obtenido, bajamos las dos cifras siguientes del 13.041 07'0 26 0 número dado y separamos la de la derecha, quedando: 15'6. Dividimos esto X 13.041 -69 -2ir o4 entre el doble de la raíz hallada, entre 6, para obtener la siguiente cifra de l0'8 13 041. . la raíz, que es 2; la escribimos también a la derecha del divisor, 6.. comple- 26 081 tando 62; y restamos el producto de este número por la segunda cifra de la raíz, (restamos 124 = 2 X 62) , obteniendo el segundo residuo parcial, que -- -o oo 1 O81 'O 10416 521 64 39 123 o 13041 es 32. Al lado del residuo obtenido, bajamos las dos cifras que siguen y sepa- -mo·o 170.067 681 ramos la de la derecha, quedando 322'5. Dividimos esto entre el doble de la 2608 1 + 0.013 319 (residuo) raíz hallada, entre 64 (tercer renglón, columna de la derecha), para obtener 1 3 3 19 170.081 000 la cifra siguiente de la raíz buscada, que es 5. La escribimos también a la La raíz obtenida es 13.041 y el residuo 0.013319. derecha del divisor, 64, completando 645; y restamos el producto de este nú- mero por la última cifra obtenida de la raíz (restamos 3225 = 5 X 645), Veamos en seguida una tabla de las raíces cuadradas de los para obtener el residuo final, que es O. primeros números naturales, desde 1 hasta 12. Los números están El proceso ha terminado y obtuvimos: y 105625 = 325. en la columna marcada con n; a la derecha de cada número se lee Comprobación: Multiplicar por sí misma la raíz encontrada para ob- su raíz cuadrada c/ñ) con cinco decimales. tener de nuevo su cuadrado, o sea, el número nado. Hacerlo. · n y -;;- n v-n En los ejemplos anteriores la raíz cuadrada salió exacta, por- que los números considerados eran cuadrados perfeotos. Esta si- 1 1.00000 7 2.64575 tuación se presenta rara vez en la práctica (el último residuo 2 1.41421 8 2.82842 puede no valer cero); entonces la raíz cuadrada se calcula con 3 1.73205 9 3.00000 la aproximación que se quiera, poniendo eJ punto decimal y agre- 4 ' 2.00000 10 3.16227 5 2.23606 . gando dos ceros a la derecha del punto por cada cifra decimal que 11 3.31662 se desee obtener en la raíz. 6 2.44949 12 3.~10 .\i:: . 112 ZUBmTA & SANCHEZ : AIUTMETICA BAZONADA j Se obtiene la raíz cuadrada de un producto, multiplicando las raícés éuadtanas de sus factores. Y,. si un número es el prodÚcto de Wl ciía(líOado perfecto por otro niunero cuya ralz está enla ta. . bla, cal~amos su !arzsuadrada~ como s1gue:_ · -=> CAPI~ ~ 1 Ejemplo. \175 ·- 8.66025. Porque 75 = 25 X 3. SEGMENTOS Y ANGULOS 1' 1 .. · \175 = \125 .X \13 5 X 1.73205 = 8.66025 1 r 46. Medida de segmentos. Para medir un segmento de i ·EJERCICIOS recta, se comienza por elegir otro segmento que se toma por uni- ,¡ l. En la notación deéimal escribir: 17/1,3/4, 1/3, y2. ¿Cuáles de estos dad: la ~edida del prim~ro se ~btiene comparándolo con ef se- ·1¡ . números son racionales y cuáles son irracionales? gundo. &i el segmento que se mide contiene exacta~ente n vec~s "l ·1 l . 2. Teniendo en cuenta que 1 2 = 1, obtener \.11 1. Obtener también al segmento unidad, decimos que su medida es el número n. y9"; ... ; \116 = ... ; = ... ; y49 = ... ; y64 = ... ; ytOO =10 \136 S. Obtener (por observaCión) las siguientes raíces: y t ; y100 = ; Ejemplo. En la· figura, el segmen· A to AB contiene .exactamente 3 veces ~1 ----+---+---.. . B l 1 \11 o. 000 ; \11 000 000 = 1 000. Observar que el número de ceros de la segmento unidad: la medida del ~egmen- ·. l raíz se duplica en su cua~do. Obtener también: \11440000 = 1200. to AB es el número 3. 1 ll 4. Obtener (p~r observación): y400 , y900 , V2500 ,·y3 600 , ... Con frecuencia sucede .que el segmento unidad no está éon- !l i\ · 5. Escribir, consultando SU· tabla, los cuadrados de los siguien~ núme· tenido un número exacto de veces en el segmento que se mide. ¡11!· ros irracionale8: 1.73205 ... ·; 2.64575 ... ; 3.31662 . . . . . Conviene entonces dividir· la unidad en .cierto número de partes ! ¡, 1< 6. Las raíces, que siguen son exactas. Calcularlas comprobando: iguales, cada una de las. cuales se deno~na parte alícuota de: la ll v95481 = 309 ; v974169 ; v531.7636 ; v26.245t29 . unidad. Si la unidad se divide en n partes iguales y el segmento !1 1! que se mide contiene exactamente "!- de .esas partes, su medida 11 7. Calcular V2 304 ; \19 873 ; \13.87 ; y95.0625 ; y782.8040 ; aproximando hasta milésimos. Comprobar .cada raíz extraída. es la fracción m/n . 11 8. Consultar la tabla de las raíces cuadradas para calcular lo siguiente: EJemplo. ~esta figura, la uni· 5 X './2: 7.07105 ; 8 X ..¡7: ; yU + 3 = 1.10554 . dad apm:ece dividida en 3 partes igua· A t----+--+--+------t--" B 1 les y el. segmento AB contiene exacta- 9. Comprobar lo siguiente: \18 2 X y2 - 2~82842 ; mente 5 de esas partes; la medida del \ y32 =4 X y2 - 5.~684 ; y50 = 5 X .¡2= ~ .. ? se~ento ABes 5/3·. 1 y20= 2 X y5=.4.47212; y45 1 = 3 X .¡5- ... ? Finalmente, puede suceder también que (no importa en cuán· tas partes iguales se divida la unidad) el segmento que se mide no ' 1 = 7 X 'if3- ... y27= 3 X y3-5.19615; y147 ? 10. Si el área de un cuadrado es S y su lado mide L, se debe tener S= Lt. contenga un níunero exacto de parttes alícuotas de la unidad. En- ll O tam~ién: \IS =L. ¿Cuál es el área de un cuadrado cuyo lado mide 8.52?· tonces, el segmento considerado es inconmensurable con la uni- dad elegida: su medida es un nwnero. irracional. \! ¿Cuál es el lado de un cuadrado que tie~e un área de 3.61? 113 Aritmética llazoaada.-8. - .; (' CAPITULO XII : SEGMENTOS Y ANGULOS 115 114 ZUBIETA & SANCHEZ : ARITMETICA BAZONADA Ejemplo. Si construimos un cua- (4) Dividir un segmen~o en n partes iguales. Suponga- · drado cuyo lado es la unidad, su diagonal mos n = 4: 'vamos a dividir AB mide v2 (número irracional). La diago- en 4 parte siguales. Trazamos 1~ nal d~l cuadrado es inconmensurable con recta auxiliar AX, sobre la cual el lado del cuadrado. . llevamos (a partir. del punto A) Nota. Para medir longitudes, en la . cuatro yeces la unidad de medi- práctica se usan las ~iguientes unidades li- da, marcando los puntos 1, 2, 3, neales: el metr~, el centínietro, la pul~ 4.. Unimos este último· punto con A ' - - " " - - ' - - - . J L - - - ' gada, etc. el extremo B del segmento AB, A D 1 m (meiro) = 100 cm. (centímetros). obteniendo el segmento XB. Trazamos paralelas a éste, por los pun· · 1 pulgada = 2.54 cm. tos marcados.con 1, 2 y 3, las cuales dividen al segmento AB en . 1 m (metro) = 39.37 pulgadas. cuatro partes igtiales. · Para. hacer más completa· nuestra· información sobre los seg-· mentos, vamos a resolver los problemas que siguen: ·Nota. Para trazar por P una paralela al segmento MN, hacemos coin- (1) Construir un segmento que sea la suma de otros dos. cidir el lado AB de la escuadra con ."'JN B B' Es decir: construir un segmento y apoyamos el borde de la regla sobre cuya medida sea la suma de las el otro lado AC de .la escuadra: Entonces.. · medidas de otros dos segmentos. ·. sin mover la regla, hacemos que el lado Sean los ~andos AB y CD. So- AC de la escuadra se deslice sobre el bor- bre una misma recta construimos de de la regla, hasta que AB (en la· nue- p M N MN = AB, a continuación NP = va posición A'B') pase por P. Trazamos la paralela pedida, siguiendo el borde ·= CD. El segniento MP es la suma pedida: A'B' de la escuadra. MP = MN + NP = AB + CD ( 5) Construir un segmento cura medida sea la de otro mul- (2) Construir la diferencia de dos segmentos dados. So- tiplicada por un número racional. bre el segmento mayor AB lleva- A...,__ _ ___._M _ _ _......B mos AM = CD: el segmento MB Tratemos de construir un segmen- to cuya medida sea 4/3 de la me- e,__ es la diferencia pedida. Porque dida de AB. Construimos PQ = 4 AM+MB=AB veces AB. Dividimos PQ en 3 -par- P,.___1 -+I-+~--1-I-+~-__,.Q + -• ·"·MB=AB-A·M=~B-CD. = = tes iguales: PS ST TQ. Cada S, T (3) Construir un segmento doble de otro. Este problema una de estas p.artes iguales mide = se reduce al núm. ( 1), cuando MN NP. O sea: MP 2 (MN). = 4/3 del se~ento AB. 116 ZUBIETA & SANCHEZ : ARITMETICA RAZONADA CAPITULO ni : SEGMENTOS Y ANGUWS -117 ..·r .. ~ \ ( 6) M~ltiplicar dps segmen- Un ángulo recto tiene por medi~a 90 o = 1/2 ángulo llano; 1 . tos (sus medidas) . Respuesta: UI:t ~ngulo agudo es menor que un re~to. Un ángulo obtuso es me- el producto de dos longitudes es un nor 9ue un llano y mayor que un. recto. área. Más precisamente, si ·se mul- ._ _ _,_L _ _ _ _L tiplica la medida del segmento AB . por la del segmento· AC, se ·obtiene el área del rectángulo cuyos lados son esos segmentos. l· .· ángulo recto ángulo agudo ángulo obtuso l. ' 47. Medida de ángulos~ Tenemos la nodón de semi-recta, ¡ . si -imaginamos el segmento AB Dos rectas perpendiculares se corta~ formando' cuatro ángu- prolongado indefinidamente en los rectos. Dos rectas oblicuas se cortan formando un par d~ án- un solo sentido, por ejemplo~ de A gulos agudos y otro de ángulos obtusos. Dos rectas paralelas no se hacia B (ver la figura). corta~, por más que se prolonguen. '·.! .: 1 ~os semi-rectas que parten de En la prác~ca, para medir. ángulos, la unidad de medida es 8 el grado, 19• Cada grado se compone de 60' (sesenta minutos) y un mismo punto A f~nnan un án- gulo. Podemo·s imaginarnos el án- cada minuto de 60" (sesenta segundos). La medida de. un ángulo gulo como si fuer~ descrito por rotación (o ·giro) de una semi- se _expresa en grados, minutos y segundos. recta que pasa de la posi~ión AB a la nueva pos~ción AC. Si la Ejemplo: el ángulo de 28° 30' ~ 6" . 1 1 semi-recta AX gira una vuelta completa, hasta volver a la posición l' origina~ el ángulo descrito se llama ángulo de una· vuelta. Nota. Teniendo en cuenta que 1° == 60' y 1' = 60","el ángulo de 90°, 1 \ por ejemplo, se puede escribir así: Para medir ángulos, usamos eri la práctica la escala sexagesi- mal: el ~ngulo de una vuelta se supone dividido en 360 partes 90° = 89° 60' = 89° 59' 60" iguales y cada una de esas partes se denomina ángulo de un grado. Para sumar o restar dos ángulos, se suman o restan separada- Se escribe: mente los grados, los minutos y los segundos, como lo .vemos en · 1o = áng1:1lo de un grado. seguida. 360 o = ángulo de una vuelta .. 1eoo El ángulo de media vuelta = Ejemplo. Sumar A = 28° 30' 16" y B 39° 40'. Para hacer la suma 0. _____,_L__j ___l-_....,....-· se llama ángulo llano. Se obtíe- ne un ángulo llano cuando una escribimos el segundo sumando debajo del primero: A= 28° 30' 16" x· A B = 39° 40' 00" X semi-recta pasa de la posición AX Ó!'lgulo llano (por· ejemplo) . a la . posición A + B= -67° ~O' 16" op~esta AX'. Se tiene: 180° = 1/2 vuelta . ángulollario. Como 70' .- 1° 10', podemos escribir: A+ B =68° 10' 16". ~ ,·:~.:~.:~:; .Y:~ .. :' .. :..•.. •. CAPITULO m. : SEGMENTOS Y ANGUU>S 119 118 ZUBIETA & SANCHEZ : ARITMETICA RAZONADA ·: . ~·. .. En un triángulo rectángulo, los lados que forman. el áJ;lglllo Ejemplo. Restar A= 123° 20' menos e= ~4° 50'. Es claro que (ai restar los minutos) no podemos restar 20' - 50'; pero tenemos en cuenta que . recto son los catetos; el.lado opuesto al ángulo recto es la hipote- 1° = 60' y restamos así: nusa. Los catetos son siempre menores que la hipotenusa y el cua- drado de la hipotenusa es siempre igual a la suma de los cuadra- A = 123Q 20' = 122° 80' B= = 54° 50' dos de los catetos. Recíprocamente, para convencerse de que un triángulo es rec- A- B= = 68° 30' tángulo, basta probar que el cuadrado de un lado (el mayor lado) Dos ángulos son complementarios cuando suman 90° (.un es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos. · recto). El complemento del ángulo A es 90 o - A. Porque: Ejemplo. En la figura tenemos (90° - A) + = A 90 o • . . un cuadrado PQRS, dividido por la dia- ,....__ _ ____..,. Q gonal PQ en dos triángulos rectángulos. Dos ángulos sori suplementarios cuando suman 180° (\m na~ Nos fijamos en el triángulo sombreado .no). El suplemento del ángulo A es 180 o - A. Porque: · PSQ: la hipotenusa es PQ y los catetos (180° -A)+ A= 180°. son PS y SQ. Se tiene: Ejemplo. Calcul8r el complemento del ángulo A = 58° 30'. El C<?m· (PQ) 2 = (PS) + (SQ) 2 2 pl~ento es: 90° - A = 31° 30'. Se calcula así: Si cada lado del cuadrado mide 1 90° = 89° 60' = (uno) y la diagonal es d PQ, la igual- A = 58°· 30' dad anterior se escribe así: 90°-=-A -- 31° 30' dZ=il+1'=1+1=2. LOs tres· ángulos de un triángulo (rectilíneo) suman siempre Es decir: cP =2 :. d= v2. P S .. = 180 o ( 2 rect()s) ; propiedad válida para todos los triángulos.·. · 1 Conclusión: Si el lado de :.m cua~do es la ~dad, la diagonal mide y2 . Ejemplo. Dos ángulos de un triángulo suman 126° 48'. ¿Cuánto mide. el tercer ángulo de ese triángulo? EJERCICIOS Respuesta: Si los tres ángulos son A, B, e, debemos tener: 1." Usando una regla graduada (doble decímetro). trazar segmentos q~e .· a + B = 126° 48' A ,. midan: 2 cm., 3 ~ cm., 4 3f10 cm., 5 2f5 cm. (A + B) + C = 180° 2. Tomando por unidad un segmento de 2 cm. ·de largo, construir dos segmentos AB y eD ~uyas medidas sean 1.75 y 2.5. Hacer la suma de estos ••. C =180° ·-(A+ B) =53° 12' + segmentos y comprobar que su medida es: 4.25 (= 1.75 2.5). \ 180° =179° 60' S. Dividir un segmento AB (de longitud arbitraria) en 5 partes iguales. (A + B) = 126° 48' Si el segmento AB se toma por .unidad, ¿cuánto mide cada una de sus cinco · 180° -·(A+ B) = 53° 12' partes iguales? ¿Cuánto mide cada parte, si la medida de ABes el número 3.5? 4. Construir un segmento cuya· medida sea y2, otro que midá 2 -J2 Todo triángulo q~e ti~ne un án- (= 2 X y2); otro que mida y2¡2; otro cuya medida sea y2j3. . gulo recto (e = 90 o ) se 'llama trián- gulo rectángulo. En ese triángulo, los 5. Construir un segmento cuya medida sea la de AB, multiplicada por 3/5. Hacerlo de dos maneras: (a) dividiendo AB en 5 partes iguales y su- ángulos agudos son complementarios: . mando 3 de ell~s; '(b) como en el texto, página 115. Comparar resultados. A. C A +!J = 90°. ¿Por qué? 120 ZUBIETA & SANCHEZ : ARITMETICA RAZONADA 6. Explicar (ilustrando con dibujos) lo que son los áhgulos de una vuel· ta, llano, recto~ agudo y obtuso. ¿Cuántos grados ~de cada uno de estos ángulos? . . 7. ¿Cuántos ángulos rectos forman una vuelta? _¿Cuántos ángulos de 5° CAPITULO XIII fonnan un ángulo llano? ¿Cuánto~ de·7° 30' forman im recto?· 8. Explicar por qué 90°-:- 89° 60'. Explicar también por qué 65° 2'9' 18" RAZONES Y 1PROPORCIOÑES · = 64° 88' 78". Finalmente, exp~car por qué 180° = 179° 60'. 9. Dados A= 68° 26~, B = 43° 52' 15", calcular: .48. Razón y proporcióno La razón de un número a otro es · J! A B + =; A. - B =; 90° - B = . el cociente del primerQ entre el segundo. La razón del núMero x al 10. Calcular el complemento y. el suplemento de 64° 18'; también el número m se escribe x:m, y se lee "x es á m". · ~\ ¡ de 39° 20' 35"; también el complemento y el suplemento de 15° 43' 52". También se escribe x/m, y se lee "x sobre m": 11. Dos ángulós de un triángulo son: A = 32° 56'; B = 83° 32' 28'~. · La razón o cociente de dos magnitudes de la misma especie es '• 1 lj . 1: ¿Cuánto mide el tercer ángulo de ese triángulo? un número, que se obtiene dividiendo la medida de la primera 12. ¿Es posible construir un triángulo cuyos ángulos sean A = 5~ 22',' 0 · entre la medida de la segunda. En el supuesto -¡naturalmentel- i! B = 72° 18', e= 49° 23'? Para que la construcción sea posible, se debe tener: de que ambas se miden con la _misma unidad de medida. A+ B +e= 180°._En caso contrario, la construcción es imposible. '¿Por qué? . 1... · Ejemplo. Si un segmento mide 8 cm y otro mide 2 cm, la raz6n o co- 13. Idear un método para calcular el doble, ·el triple, etc. de un ángulo ciente de sus medidas es un número: 8/2 = 4: 1 ti:·.·· i ;1 cuya medida está expresada en grados, minutos y segundos. Aplicación: calcu- = lar el doble del ápgulo B ~· 37° 52' 28".-Respuesta: 2B 75° 44' 56". · !,. ¡Atención! No conñmdir razones con fracciónes. Las fracciones son siem- ,¡ ·. 14. Calcular· el triple y el cuádruplo del ángulo e = 42° 38'. r ~: 1 pre racionales; pero una razón bien puede ser irracional. ·Así, por ejemplo, 15. Idear un procedimiento par~ calcular la mitad, la tercera parte, etc., = la razón y2f1 \/2 es. un número irracional, como bien sabemos. de un ángulo expresado en grados, minutos y segundos. Aplicación: Si 1' Una proporción es la igualdad de dos razones. = A= 55° 28' 16", entone~ A/2 27° 44' 8". Si la razón x: m es igual a la razón z: n, tenemos la pr-oporción· ~ . ¡ 16. Calcular la tereera y la quinta parte del ángulo D = 68° 40' 45". x: m = z: n. Esta se lee "x es a m como z es a n". Los números x y n 1 = Resl!uesta: D/3 22° 53~ 35"; D/5 =... ? son los extremos; m y z son los medios de la proporción. 17. Dados los ángulos .t:::::: 5"8° 38' 51"; r = 39° 5' 54"; comprobar que: La propiedad fundamenttal de las proporciones es la que dice: = 2x + 3y 234° 35' 24"; .2x- 3y = .... ? ~n toda proporción, el producto de los extre'!los es igual al pro- 18. Sabiendo que A= 73° 20', B ~ 61° 35' 25", :e~ 48° 531 39", com- · ducto de los medios. · probar lo siguiente: Ejemplo. En la proporción 3:4 = 6:8 se cumple: 3 X 8 =.4 X 6. Es (2A- B) +e=133° 58' 14"; 2A- (B.+ e) = 36° 10' 56" ; decir: el producto de los extremos es igual al producto de ·los medios. · A+ 3B-:- 2C.= 160° 18' 57"; ~A- 3B 2C + = 59°.:41' 03". · Ejemplo. Se c~ple la proporción: y2/2 = 1/y2. Porque el produc-. ~9.Construir un triángulo cuyos lados mjden 3, 4. y 5 centímetros. Comprobar que se trata de un triángulo rectángulo, mediaJ}te un cálculo con- to de los extremos es y2X \/2 2; el producto de los medios es 2 X 1 2; = El producto de los extre.nos es igual al producto de los m.edios. · veniente. Respuesta: Se debe tener: 32 42+ = 52• ¿Por qué? 20. :En un rectángulo los lados miden 5 y 12 centímetros ¿Cuánto mide De 1~ propi~dad fundamental se deducen las dos reglas si- la d~agonal? Respuest~: 13 centímetros. ¿Por qué? guientes: 121 .122 ZUBIETA &· SANCHEZ : ARITMETICA RAZONADA CAPITULO Xlll : RAZONES Y PROPORCIONES f23 ( 1) Si. el producto de los extremos sé divide entre uno de -los l . Ejemplo. Juan y Pedro invierten $ 2 800 y $ 1 600 eri un negocio, con- medios, se obtiene el otro medio. viniendo en repar,tir la ganancia proporcionalmente al dinero invertido por éada uno: Si Juan gaña $ 700, ¿cuánto gana Pedro? ( 2), Si el producto de los me,dios se divide entre uno de los 1 Respuesta: La inversión: de Juan es a la de Pedro como la ganancia extremos, se obtiene el otro extremo. de Juan es a la de Padro. Si m es la ganancia de Pedro, tenemos: Estas dos reglas se usan en ·la práctica para resolver todo pro- blema en que interviene una proporción. 2800 700 28 700 . . 1 1 1600 =--;;;- O sea: 16 = --;;- Ejem~lo. =~8 . Se calcula :t (el. pri- 1 . Calcular x en la proporción: % 1 2 . _ 16 X .700 _ Ano (Pedro gana $ 400) . .. m- -'TV 28 mer e~o) dividiendo el producto de los ·medios, 2 X 5, entre el extremo conocido, 8: 1 Ejemplo. ¿Cuántos gramos de sal han de agregarse a 57 gramos de ' 2X5 agua, para obtener ~a solución con el 5% de sal? x=--=1.25 8 j La solución (agua salada) que se quiere obtener debe contener 5% de sal i y el resto, 95% .de .agua. Estos porcientos deben ser prop9rcionales a las res- Ejemplo. Calcular h en la propo~ón: ~ = : . Aquí, el medio des- 1 pectivas éantidades de sal y agua, es decir (llainando S a la cantidad de sal): conocido, h, se calcula dividiendo el producto de los extremos entre el medio 1 5 % de yd'' _ S (cantidad de sal) conocido, 4 : 1 95 % de· agua - 57 (cantidad de agua) l h= 5 X 8 = 10. .i 4 O sea: 49. Magnitudes proporcionales. Dos magnitudes son pro- 1 ¡ ! porcionales á otras dos, cuando la razón de las dos primeras ~ igual ¡ S = 5 95X 57· = 3 (gramo~ de sal).·. a la razón de los dos úl~as, tomada~ en su orden. Por ejemplo, ¡ 1 los % de dos substancias en una mezcla son proporcionales a. las ¡ 1 Comprobación: La solución pesa: 57 gramos (agua) + 3 gramos cantidades de esas substancias que eritran en la mezcla. l (sal) = 60 gramos. Contiene 5% de sal, porque .05 X 60 ·3. = (Comparar esta manera de resolver el problema con la de la página 98). . Ejemplo•. Una me~cl~ contiene 60% de cemento y 4o% de arena. Si hay en la mezcla 12 kilos. de arena, ¿cuánto hay de cemento? J · Ejemplo.. Una llave de agua puede· llenar un tinaco en 2 ~oras; otra llave puede llenarlo en 4 hor.as. ¿En cuánto tiempo llenan el tinaco las dos , Si x es la cantidad de cemento, se debe tener: llaves funcionando juntas? Tomemps la capacidad del tinaco por unidad. La primera llave ll~a el 60 % (de cemento) x (kilos de cemento) tinaco en 2 horas; en 4 horas la segunda. Por lo tanto:·· en 1 hora la pnmera 40% (de arena) 12 (kilos de arena) llave mete 1¡2, la segunda mete 1/4 de la capacidad del tinaco. Es decir, en + = 1 hora las dos llaves juntas meten 1/2 1/4 0.75 de la capacidad del tinaco. O sea: 60 X -=- - I = 60 X 12 = 18 = Sea t tiempo que tardan las llaves en llenarlo. 40 12 40 "0.75 es a 1 (capacidad del tinaco) como 1 hora es a t".: • 1 124 ZUBIETA & SANCHEZ : ARITMETICA RAZONADA JIIES y PROPORCIONES 125 CAPITULO XIII ~ 0.75 Es decir: , es otra razÓn que se obtiene cam- ·t La inversa de una razon el divisor. b. d 1 l ·del dividendo Y - 1an o os pape es · - . e te proporcionales a \/2 son mversam n 1 X 1 1 100 Ejemplo. Los números y2 Y2 . t=--=--=-- . 0.75 0.75 75 v2 1 Es decir: la razón de los dos pnmeros y 1, porque se cumple: 2 == -;¡2· 4 t = -3 (horas) = 1 hora 20 minutos. es igual a la razón inversa de 1os dos últimos. ·. ¡' Comprobación: En 4/ 3 de hora (= 1 + 1/ 3 horas), la primera llave . Las proporciOnes . versas se uSanida: m también en ciertos proble- + + mete 1/ 2 1/ 3 de 1/2 = 1/2 1/ 6 = 2/3 ; la segunda llave (en igual tiem- , . mas practicas, como veremos en segu po) mete la mitad, o· sea: 1/ 3. Ahora bien, 2/3 1/ 3 + = 1 (capacidad del hacer una obra en 30 días, ¿cuántos tinaco). Ejemplo. Si 1O obreros pued~ ellas? obreros se necesitan para ~acerla .en obreros se duplica, el tiempo qu~ :ardan 50. Partes proporcionales. Se trata de lo siguiente: des- Suponer que si el numero de ' . ¡ número de obreros se tnplica, el 'tad · SI e . . componer un número en dos o más sumandos proporcionales a en hacer la obra se reduce a la II1I ' 10 que significa que el tlempo aumenta números dados. tiempo se reduce a 1a tercera pa ' , ero de obreros. or eso, s1· n obre.ros rte· etc. p O disminuye en razÓn inversa del nuro obreros pueden hacerla en 30 d1as, Ejemplo. Descomp~ner el número 120 en tres partes que sean propor- pueden hacer la obra en 25 ellas, Y cionales a los números 3, 4 y 5. · se debe tener: Son en total: 3 requeridas son: · + + = 12 partes iguales. Por lo tanto, las par.e~ 4 5 n 30 (proporción inversa). 10 = 25 primera parte: (3/12) X 120 = 30 segunda parte: (4/12) X 120 = 40 tercera parte: (5/12) X 120 = 50 Suma de las partes: = 120 Ejemplo. Los tres ángulos de un triángulo son proporcionales a los nú- meros 2, 3 y 5. Se pregunta ¿cuánto mide cada ángulo? Como los tres ángulos suman 180°, hemos de descomponer el número 180 en partes proporcionales a los números 2, 3 y 5. Son en total: 2 3 5 = 10 + + partes iguales. Por lo tanto, los ángulos pedidos son: · primer ángulo: (2/ 10) X 180° = 36° segundo ángulo: {3/ 10) X 180° = 54° tercer ángulo: (5/10) X 180° = 90° Suma de los tres ángulos: = 180° 51. Proporción inversa. Dos números (o magnitudes) son inversamen~e proporcionales a otros dos, cuando la raz.ón de los primeros es igual a la ra~ón_inversa de los últimos. 126 ZUBIETA & SANCHEZ : ARITMETICA. RAZONADA CAPITULO Xlll : RAZONES Y PROPORCIONES 127 m 20 Ejemplo. Si la razón de semeianza (es decir, la razón de cada lado del . (proporción inversa) 6 16 primer triángulo al lado correspondiente del otro) vale 2/3 y los lados del pri- mero miden 3, 3 Y2 y 5, ¿cuánto miden los lados del segundo triángulo? 1 6 X 20 = 7_5 (= 7 Y2 vueltas) Tenemos: a = 3 , b = 3.5 , e = 5 . m= 16 a. 2 a' = a X 3 = 3 X 3 = 4.5 Comprobación: Cuando giran las ruedas, por cada diente de una, pasa a' - 3 2 2 un diente de la otra. Rueda· menor: 7 Y2 X 16 = 120 (dientes), rueda ma- b 2 b' = b X 3 = 3.5 X 3 = 5.25 yor: 6 X 20 = 120 (dientes) . b' -3 2 2 52. Las proporciones en geometría. La idea de propor- e 2 é-c X 3 5X3 = 7.5 - = - - -.-2- = - 2- ción aparece en geometría cuando se consideran figuras seme- e' 3 jantes. Sea un ángulo A, formado por dos semi-rectas AX y AY. Dos triángulos se llaman semejantes cuando los ángulos de Sobre el lado AY marcamos 1in uno de ellos son iguales a los del otro. En triángulos semejantes, los punto B y trazamos Be perpen- y .J ángulos iguales se corresponden; también se corresponden los la- dicular al lado AX. Obtenemos ' dos opuestos a ángulos iguales. · Los triángulos que un triángulo rectánculo ABC, ! C' con e= 90°. Finalmente medi- · :1 . aquí vemos son seme- mos los tres lados del triángulo, : _¿}e j ante~, porque: ángulo A = ángulo A'; ángulo es decir, medimos'.los segmentos AB, Be y Ae. La razón del seg- A 90.~···¡ ' e x B = ángulo B'; ángulo men'to Be al segmento AB es un A e B A' e' B' e = ángulo e'. número que se llama seno del ángulo A y se escribe: sen A. La ra- f' zón del segmento Ae al segmento AB es otro número que se llama Una propiedad fundamental de los triángulos semejantes es coseno del ángulo A y se escribe: cosA. la que dice: los lados correspondientes (los lados opuestos a ángu- medida de Be los iguales) son proporcionales. En la figura anterior, tenemos: sen A = - --:-:-::----:---:-=: medida de AB b b' e e' b . b' r;-c¿ c;=c¿ -e - ¿ cos A = medida de AC medida de AB De estas proporciones (permutando los medios ) obtenemos: y .Estos dos números (sen A "" b a e a b e y cos A) dependen solamente del ¡;;-c¿ ; ¿=c¿ ; b'= ? ángulo A; no dependen de la elección del punto B sobre el Es decir: la razón de cada lado de un triángulo al lado corres- lado AY del ángulo. pondiente del otro, es la r¡:Úsma para los tres pares de lados corres- En efecto, si elegimos otro /\ : , , pondientes. . punto B' y construimos el nuevo A e C' -x 128 ZUBIETA & SANCHEZ : ARITMETJCA RAZONADA triángulo _rectángulo A .Bi C', éste resuÚa lser semejante al trián- gulo ABC (p9r tener sus ángulos respectivamente iguales) y por • l J 1 Sabemos que - - . .CAPITULO 1 y2 xm : ilAWNEs y v2 PROFORCIONES = - ; sabemos también 2 ~é 129 y2 = 1.41421. eso se ctun1ple: · Por lo tanto - = v~ . .. 0.7071 . . . Es detll': medida de B'C' 2 1 medida, de BC medida de AB! - medida de AB· =sen A· · · vr.-= 0.7071.. sen 45° = . . ; cos 45°. = v2 = 0.7071 ... 2 2 medida de AC' · medida de AC - Aplicación. El área de un pa- medida de AB' =cosA. medida de A.B ralelogramo se calcula multiplicando· 8· . ' dos lados (sus medidas) por 'el seno . No· olviQ.ar .que ABC . es ~ triángulo rectángulo: . ángulo del ángulo que forman. Así, en la fi- 5 . 5 . . 8 C =·9oo. El lado AB =e es la hipote- gura; los lados miden 5 y 8, el ángulo .nusa; los lados BC = a yAC = b son = que forman es A 45°. Por lo tan.: -los catetos. Se obtiene el seno del án- to: área = 5 · X 8 X sen 45 °·- - :- 8 gulo A, Clividiendo el cateto. opuesto = 5 X 8 X 0.7071 = 28.284. entre la ~potenusa. Se obtiene el co- En seguida vemos una tabla q~e nos dice cuánto valen los sen~ de A., <:lividiendo entre la hipote- senos y cosenos de algunos angulas. (Ejemplos: sen 5° = 0.0872; 0 nusa el cateto adya~ente al ángulo. cos 25° = 0.9063; sen 40° = 0.6428). Obsérvese en la tabla que los ángulos complementarios tienen irr.tercambiados los valores del seno y el coseno. Por ejemplo, 40° y 50° son complementarios· sen A = !:. = -~ca";""t-:-et~o--....::op~u_e_st...:o_ c . hipotenusa + (40° 50° = 90°) y la tabla nos.da: sen 40° = cos 50° = 0.6428. A -...._~-b---..J C cos A = -! = cateto adyacente hipotenusa ángulo 1 seno coseno ángulo seno coseno Ejemplo. Dibujemos un ctiadrado ABCD. La diagonal AB. divide al oo 0.0000 1.0000 . 30° 0.5000 0.8660 1 D 1 B cu~drado en dos triángulos iguales. so 0.0872 0.9962 35° 0.5736 0.8192 10° 0.1736 4()0 0.6428 0.7660 (¿Por qué?) Por eso el ángulo que for- 0.9848 15° 0.2588 o:9659 45° 0.7071 0.7071 man el lado AC y 1a diagonal AB 200 0.3420 0.9397 50° 0.7660 0.6428 mide ,45o. Si cada lado del cuadra- do mide 1, entonces AB mide ·V:2y 25°. 0.4226 0.9063 55° 0.8192 0.5736 ~ '\ ~ . tiene lo siguiente: ' ~ EJERCICIOS sen 45° :__ m!!dida de BC 1 medida de AB · -v2 - L Decir ¿qué es una razón? ¿Qué es una proporción? Poner ejemplos (distintos de los del texto) de razones y proporciones. 2. Enunciar la· propiedad .fundamental de las proporcioneS'; verificarla A cos 45° = medida de AC -1 -v2 en los mismos ejemplos del ejercicio anterior. Contestar: ¿qué consecuencias e medida de AB importantes se déduc:en de la propiedad fundamental? r.. 130 ZUBIETA & SANCHEZ : AIUTMETJCA RAZONADA. CAPITULO XIn : RAZONES Y PROPORCIONES 131 S. C~ul.ar z. en cada una de las proporciones que siguen: 16. 15 obreros hac~ lh de una obra en 12 días. ¿Cuántos obreros se re- quieren para terminar la obra en 20 días? ¿Cuántos días tardan 20 obreros en 1 ¡, 0.15 1 0.37. z 1.5 1.65 terminar la obra? · J ---;- = 5·; 0.25 = 0.38 ; ----- 3.8 z !! 17. Un padre reparte $-5 entre sus dos hijos, de 6 y 9 años, respectiva- ! • 4. Una mezcla de harina y agua contiene 60% de harina y 40% de agua. mente. Si el reparto es inversamente proporcional' a sus edades respectivas. Si hay en la mezcla 50 gramos de agua ¿cuántos gramos hay de h~? ¿cuánto recibe el hijo _menor y cuánto recibe el mayor? ¡, i 1 5. Los ahorros de Jua:O: y Pedro son proporcionales a los números 13 y 16. 18. Explicar: ¿cuándo decimos que dos triángulos son semejantes? ¿Cuál ! ! • 1 1 Si el ahorro de Juéll_l es de$ 4 238 ¿a cu~nto asciende el aho11'9 de Pedro? es la propiedad fundamental de los triángulos semejantes? Ilustrar "con. ejemplos. !: 1. ,, . 19. En dos triángulos semejantes, la razón de semejanza del primero al ]; . 6. ~ una ~v~sión a ~terés simple, los intereses ·devengados son pro- ?oro?n.ales a los tiempos transcurridos Contest~: Si un principal. produce un segundo vale 1/3. Decir ¿cuánto miden los lados del segundo triángulo. si los mteres de $1687.50· en nueve· meses ¿cuánto producirá en 12 meses? del primero miden 3.3, 4.2 y ~.1? Dibujar ambos trl;:,,gulos. • ! i !· "1~ Si un principal produce un interés simple de $1 687.50 en nueve 20. Definir el seno y el coseno de un ángulo agudo, usando una construc- (1 ¡ meses, decir ¿en cuánto tiempo produce $ 2 250? · ción geométrica apropiada. Explicar: ¿por qué decimos que el seno y coseno : 1 '1 de un ángulo dependen exclusivamente de ese ángulo? '! 1• ~ · 8. Descomponer el número 77 en dos partes proporcionales a los nú- meros 3 y 8. Respuesta: 21 y 56. 2L Usando el transportador, dibujar separadamente los ángulos de 25 ° y 35°; suponer que el vértice es A y l~s lados son AX y AY; marcar el punto B · 9. Descomponer el número 144 en tres sumandos proporcionales a 2 3 = 'sobre el lado AY, de manera que AB 10 cni; bajar la perpendicular Be so- y 4. Comprobar la respuesta que se obt~ga. ' bré el lado· AX,.para formar un triángulo rectángulo, ABe;· medir con el doble- decímetro los lados AC y Be; finalmente, usar estos datos para calcular (apro- .10. I:os. á~os de un triángulo son proporcionales a los números 2, 3 y 5. ximadamente) el·seno y el coseno de los ángulos considerados. Comparar con DecJI ¿cuanto nnde cada uno de esos ángulos? Comprob'ar la :respuesta. · los ·valores anotados en la tabla~ página 129. 11. Dos personas, A y B, tienen acciones en un mismo negocio. Las. de B 22.. Todo triángulo es la mitad valen$ 49 946. Si las acciones de A son a las de B como 7.5 es a 3.25, ¿cuánto de un paralelogramo, como se ve en CJbiiA~J valen las de A? Respuesta: $ 115 260. · la figura! Puesto que el area del pa- ralelogramo es p = a X b X sen e, . , 12. En una empresa, A invierte $ 85 000, B invierte $ 91 250. Si la inver- la del triángulo es: · SlO~ de~ ,representa el6.8% de las acciones de la einpresa ¿qué % representa la mvers10n de B? (Respuesta:· 7.3%). a aXbXsenC. 13. Dos bombas. trabajan simultáneamente para llenar un tinaco. La pri- .T= . 2 . mera bomba (tra~a¡and~ sola) lo llenarla en· 100 minutos, la segunda en 2~ horas. ¿En cuanto tiempo lo llenan trabajando jtintas? = Calcular ~1 área del triángulo, sabiendo que a= 4.8~ b 5.5, e = 40°. . . . Respuesta: T =· 8.485. Calcular también con: a= 2.5; b = 3.7; e = 65°. ~4. Sean .otra vez dos ruedas dentadas,· como en la página' 125. Sí la me- 23. Dibujar un triángulo ABC, cuyos lados son a. b y e ; el' lado a queda nor tiene ~O dientes y 36la mayor ¿cuántas vueltas gira la primera cuando la enfrente del vértice A; el lado b, enfrente del vértice B; etc. Desde uno de los segunda g¡ra 7~ vueltas? · vértiées (por ejemplo, A) bajar la ~ltura h, perpendicular aliado opuesto, para demostrar que hfb = sen C :. h . b ·sen e. Substituir en la fónnula: 15. _Si 25 peones pueden hacer un terraplén en 12 días ¿cuántos peones se. necesitan para hacerlo en 1O días? ¿Cuántos días se tardaD. en hacerlo = T ah/2, para obtener la fórmula del área consignada en el ejercicio anterior. 00~~ . ~) CAPITULO XIV : SISTEMA.-METRICO DECIMAL 133 5~ Medidas ·de volumen. El producto de Ün área p~r una longitud es un volumen. En efecto: 1 cm2 x 1 cm = 1 cm8• CAPITULO XIV . Las unidades de volumen son los diversos SISTEMA .METRICO DECIMAL cubos que tienen por arista las distintas uni- dades· de longitud.·. 58. Medidas de longitUd. La unidad es 1 metro. ;Los múl- · La unidad fundamental de volumen es el tiplos y submúltiplos del metro son: metro cúbico: m8• 1 MIRIAmetro (Mm) - 10 000 metros 1 ·ma es el volumen de un cubo cuya ·arista í KILOmetro (Km) - 1000 metros mide' 1 metro. y como 1 m = 1odm, se cum- 1 HECTOinetro .(Hin) - 100 metros ple la igualdad: 1 m 8 = {10 dm X 10 dm) X 10 dm. 1 DECAmetro (Dm) ---- 10 metros ·1m'= 100 dm' X 10 mn: = t·ooo dm' :. 1 dm1 = 0.001 m... UNIDAD (m) - 1 metro. De manera parecida: 1 cm3 = 0.000001 m8 • 1 decímetro (dm) - 0.1 metro 1 mm¡= o.oooooóoot m1 .' 1 cenltÍmetro (e~) .- o.pt metro 56•.Medidas de capacidad. El litro, unidad de capacidad, 1 milímetro (mm) - 0.001 metro es un decímetro cúbico, de modo que 1 m• = 1 000 litros. 54. Medidas de superficie. El producto de dos longitudes 1 HECI'Olitro es un área. En efecto: 1 cm X 1 .cm ~ 1 cm. z (Hl) - 100 litros 1 DECAlitro (Dl) - .10 litros · La~ unidades de área son los diversos cuadrados que tienen por UNIDAD {l) - 1 litro' . lado las distintas unidades de longitud. 1 decilitro (di) - 0.1 litro 1 Kmz es el área de un cuadrado cuyo lado mide 1·000 m. 1 · centilitro (el) - 0.01 litro · · 1 Km2 = 1 000 m X 1 000 m = 1 000 000 m= 1 Hm2 es el área de un cuadrado cuyo lado mide 100 m. . 57. Medidas de peso. El gramo, unidad de peso, es el peso m • · 1 Hm:z = 100 .X 100 m = 10 000 m' d~ un cen!tÍmetro cúbico de agua· destilada a la temper~tura de 1 1 Dm es el área de un cuadrado cuyo lado mide 10m. 4 grados centígrados. • • t. Dm2 =10m X 10m= 100m2 1 KILOgramo (Kg) - ,1 000 gramos . La unidad fundamental de área es el metro cuadrado: mt. 1 HECTOgramo (Hg) - 100 gramos = Cqmo 1 m 1Odm; 1 dm = 1Ocm; etc. se tiene: 1 DECAgramo (Dg) - 10 gramos 1m =10dm X 10dm =100dm2 •• 1dm2 =0.01m: 2 UNIDAD (g) - 1 gramo = 1 dm2 10 cm .X 10 cm= 100 cm2 • • 1 cm2 = 0.0001 m1 1 decigramo (dg) ·- 0.1 . gramo 1 cm~= 10mm X 10mm= 100miD2 ••• 1 mm2 = 0.000001 m' 1 centigramo (cg) - 0.01 ·gramo . 1. miligramo (mg) - 0.001 gramo 132 CAPITULO XIV SISTEMA METRICO DECI.MAL 135 134 ZUBIETA & SANCHEZ ARITMETICA RAZONADA Ejemplo. ¿Cuál es el cociente de un volumen de 60 metros cúbicos 58. Tabla de equivalencias. Entre las unidades principales entre una longitud de 3 metros? del sistema inglés y el siste~a métrico decimal. 1 609.35 60 m3 = 60 m X m X m = 20 m• 1 milla - metros Un área: 3m .3 m 1 yarda - 0.9144 metros· 1 pie - 0.3048 metros 60. Cambio de unidades. se. tiene en cuenta la tabla de 1 pulgada 0.0254 metros equivalencias del párrafo § 58. - 1 libra - 453.592 gramos E~emplo. S_i un segmento mide 3 pulgadas, decir ¿cuál es su longitud 1 onza 28.3495 en centímetros? - gramos Respuesta: 1 pulg = 2.54 cm; 3 pulg == 3 X 2.54 cm= 7.62 cm 59. Aplicaciones. En las aplicaciones de la aritmética, cuando se opera con cantidades, es ·necesario indicar cuáles son las Ejemplo. Si la longitud de un segmento es de 5.08 cm, decir ¿cuánto unidades usadas y operar con ellas como con factores numéricos. mide en pulgadas? · Respuesta: x pulg = 5.08 cm. Como 1 pulg = 2.54 cm, se tiene: Ejemplo. ¿Cuál es la suma y la diferencia de dos longitudes que mi- den respe~tivamente 15 metros y 9 metros? 5.08 cm x=---=2· Suma: 15 m +9 m = (15. + 9) m = 24 m x X 2.54 cm= 5.08 cm 2.54 cm · Diferencia: 15 m - 9 m = (15 - 9) m= 6m El segmento cons_iderado mide 2 pulgadas. Condición de homogeneidad: Para sumar o-restar cantidades es n ecesario que sean de la misma naturaleza o especie. 61. Uso de fórmulas. Se usa una fórmula para calcular el Ejemplo. ¿Cuál es el producto y el cociente de dos longitudes que mi- valor de una de las letras que figuran en ella, cuando se conocen den respectivamente 12 metros y 4 metros? los valore~ de las demás. .. Ejemp!?· La fórmula que expresa el área (A) de un círculo en fun - Producto: 1~ m X 4 m= (12 X 4) (m X m)= 48m2 (un área). cwn de su d1ametro (D) es la siguiente: . 12m 12 m , Coc1ente: - - = - - = 3 . (un numero). J 4m 4m - r.-'Dl A- - (donde: 11'== 3.14159 .. . ). 4 Ejemplo. ¿Cuál es el producto de un área de 20 metros cuadrados por una altura de 3 metros? Calculamos A cuando D = 1.5 metros, así: Un volumen: 20m2 X 3m= (20 X 3) (m2 X m) =60m3 • A= r. X (1.5)% = 3.1416 X 2.25 = 1.767150 m'. Ejemplo. ¿Cuál es el cociente ~e un volumen de 12 metros cúbicos en- 4 4 tre un área de 3 metros cuadrados? Cuando la letra que se quiere calcular (la incógnita ) no está 12m 3 12 m X m X m = 4m despejada (sola en un miembro de la igualdad), conviene despe- Una longitud: 3 m• 3 mXm jarla antes de hacer el cálculo. 136 ZUBIETA & SANCHEZ : ARITMETICA RAZONADA CAPITULO XIV : SISTEMA METRICO DECIMAL 137 . Ejemplo. Se trata de calcular el diámetro de un círculo, sabiendo que = su area es A 4 metros cuadrados. En la fórmula A = - v: 7T - 4 , se despeja D. Así: h multiplicando .por 4: 4 A = w vz dividiendo entre w : 7T Extrayendo raíz: D = y4A/w cilindro cono esfera Haciendo el cálculo, cuando A = 4, obtenemos: Area lateral del cilindro: AL = r.Dh. D = y 16/r. = y 16/ 3.141 6 2.2598 m. Volumen del cilindro: V= r.R h. 2 ~ota. En un circulo, el diámetro es el doble del radio: D =2R Por En la figura: D = .2R; R = radio de la base; h = altura. ~:olo' D·4 R2 4 Rbz. En la fórmula del área, A = r.VZ /4, substituyendo D2 p~r su r, , o tenemos: Volumen del cono: 1/s del volumen del cilindro: A= V= ~ 2 rrR h . . ,El le~to~ está ya preparado para usar. ciertas fórmulas de apli- Area de la esfera: A = 41TR2 • O también A = wD:. caCJon practica. En el cuadro siguiente darnos una lista de fórmu- . ·• 4 Rs Volumen de la esfera: V= r.VS /6. O tamb1en: V = 3 w • las para calcular áreas de figuras planas y volúmenes de sólidos. EJERCICIOS l . Si una pulgada mide 2.54 centímetros, ¿cuántas pulgadas mide un hilo de 127 centímetros de largo? ¿Cuántás mide otro de 32 Va metros? 2. Si un pie tiene 12 pulgadas ¿cuántas pulgadas cuadradas hay en un ' pie cuadrado? ¿Cuántos pies cuadrados hay en 792 pulgadas cuadradas? 3. Si un pie = '12 pie cuadrado? 30.4 certímetros ¿cuántos cm1 hay en trapecio . círculo paralelepípedo ¿Cuántos pies cuadrados hay en 6931.2 cm2? 4. Contestar: (a) ¿Cuántas pulgadas cúbicas hay en 1 pie cúbico? Area del trapecio: semisuma de las bases por la altura: (b) ¿Cuántos cms hay en 3.24 pies cúbicos? A=(B +b ) h 5. Contestar: (a) ¿Cuántos metros cúbicos hay en un tonel con capaci- · 2 dad de 13650 decímetros cúbicos? (b) ¿Cuál es la capacidad en litros de ese 1. Area del círculo: A = wR 2 • O también A = 1tD: mismo tonel? 4 6. Expresar en cm2 lo siguiente: (a) el área de un triángulo ·rectán~o Volumen del paralelepípedo: producto de las 3 aristas: cuyos catetos miden 0.26 y 0.09 metros; (b) el área de un triángulo rectángulo V = abe. cuya hipotenusa mide 13 metros y uno de sus catetos, 5 metros. Respuesta: (b) 300 000 cm:. L 138 ZUBIETA & SANCHEZ : ARITMETICA RAZONADA 7. Un aro tiene un diámetro de 60 cm. ¿Cuántas vueltas debe dar el aro para rodar una distancia de 75 metrC?s? 8. Un cuádrado tiene un área de. 64 cm2• ¿Cuál es el área del mayor círculo contenido en él? ¿Qué % del área del cuadrado es la del círculo? CAPITULO XV .J ·i· 9. ¿Cuántos círculos .de 2 cm de diámetro ~bren un área total igual a i la de un círculo de 8 cm de diámetro? NUMEROS CON SIGNO 1' 1 1 1 10. Calcular el área de una corona entre dos círculos concéntricos, cuyos Consideramos ahora núm eFes een sigBe, Eft:ie seB ele eles d.ife· ¡· diámetros Iñiden. respectivame~te 5 cm y 7 cm. · 1 rentes categorías: Positivos y negativos. l l 11. Un tubo cíe acero de 50 cm de largo tiene un radio 1 - Los números ositivos llevan el signo +, como .+1, +7, ·etc. interior de 5·ém y un radio exterior de 6 cm.. ¿Cuánto pesa el ! ¡ ··. os núm.eros negativos llevan e signo -,~ -5, ·ete. a tubo si cada cm3 de acero pesa .7.8 gramos?. j 1 ---- 1 12. Ei area de la porción sombreada .de la figura está . 62. Escala numérica. Se representan los números con sig- l.. dada por la fórmula: A=· (a+· b) X (a- b). CalcUlar A no en una escala o línea recta ·dividida en paittes iguale.s. · sabiendo que: a= 10.5 cm y b 6·~.= .~ -5 -4 -3 -2 -1 o +1 +2 +3 +4 +5 +6 1 ~ 13. El área de la porción sombreada de la figura está j ~· ul . · . La escala tiene un origen, marcad~ con el número O (cero)· dada por 1a 10rm a: A= R2- 3.1416 Jl% 4 . . = 0.2146 R 2• Lospuntos de división a la det eclza dei ongen s~ marca~ co~os Calcular A (área) cuando R = i Ocm. enteros ositiv · 1 j-2, +3, ... Los que estan a la Izqmerda del origen se marcan con los en eros negativos:- '--: ' -·. 14. Calcular la altura de un trapecio cuya área es de 30.59 cm2 y sus Vemos en la escala que los números positivosy-ne-gativos es: bases miden respectivamente 7.5 cm y 5.8 cm. tán colocados simétricamenlte con respecto al origen. · 15. ¿Cuál es el radio de la base de un cono. circular cuyo volumen es de Ejemplos•. El simétrico de +1 es -1, el de --;2 es +2,.el ?e.+3 ~ _:_3~ 47.124 cm3 y su ~ltura de 5 cm? ¿Cuál es ·el área lateral de ese cono? ·Cuál es el simétrico de -4? Respuesta: +4. ¿Cual es el SlDletrico de +4. 16. Suponer 4.,. = 12.57 para contestar lo siguiente: (a) ¿Cuál es el volu- Respuesta: -4. ¿Cuál es el simétrico de -5? Respuesta: f5; etc. · · men de una .esfera cuya área es de 113.13 m~?; (b) ¿Cuál es el área de una El simétrico de cada número se obtiene cambiando su signo. esfera cuyo volumen es· de 113.13 m3 ? El numero e origen es s1metnco e si mis eci- 1'7. Calcu\ar el diámetro de una esfera, sabiendo que su área mide samente: O es el único numero que e · a e ser su 50.2656 cm2• Si la.es~era es de mánn'ol y cada cm3 pesa 2.65 gramos. ¿Cuánto propio simétrico. Se expresa es,te hecho, ·poniendo tO . -:-0. pesa la esfera? El orden que tienen los numeros en la escala, de 1zqmerda .a 18. En la fórmula para el área del trapecio, despejando h (la altura) derecha, es el orden de magnitud creciente, que se ~epresenta~ obtener que: la altura es igual al doble del área, dividida entre la suma de las como de costumbre, por el signo < . bases. Según esto, calcular la altura de un trapecio cuyas bases miden 6.5 m. ~ y 9.5 m., y su área mide 57.6 m2• Dibujar a escala el trapecio y comprob~r ·¡ 1 Ejemplos. Ponemos ~5 < -1, porque -5 queda en. la escala a la ! el cálculo. izquierda de -1; por la misma razón, -1 < O; también, O< +3; etc. ~· . . Es fácÚ convencerse de que los números negativos son l_odos ellos menores que cero, el qtre a su vez-es-rrrenor que todOs los .· ~.ar-~ 140 ZUBIETA & SANCHEZ : ABlTMETICA RAZONADA f. CAPITULO XV : NUMEROS CON SIGNO 14f ~. Ejemplos. Usar la escala para obtener las sumas que siguen: ..RQ~itivos. En ef~cto, todo número. negativo se encuentra a la iz-· •·' cluierda de O, en la escala; mientrns que Oestá situado a la izquier- ---6 +8=+3 ; +4-6 =-2; -3.+3 =0 ; -1-3 =--4. da de todo número positivo. Ejemplos. Observando la escala, podemos obtener las sumas que siguen Algunas veces, por comodidad, los núme~os positivos se escri- (sumar en columna, como se a~stmnbra hacerlo ~ la aritmética): ben sin. el signo +. As~ por ejemplo, se escribe 1 en vez de 1; + -6 -8 +5 -11 +1 +11 + se escribe. 2 en vez de 2;' etc. Por su parte, cada número nega- -2 -8 +9 +1 " -10 - 5 . . . - 4. . +1 -10 tivo se escribe siempre con su signo. El primer sumando se escribe generalmente sin su signo, 68. Adiéión y snbstr~ción. Se indica la adició:a, escribien- cuando es positivo. Así: la igualdad +3 -5 = -2 se escribe er do el prlinér suniaD.do, en seguida segundo, cada uno con su ·3 - 5 = -2. También: +4- 2 = +2 se escribe 4 -2 = 2. Slgno~como veremos en seliiiiirá, / · ~~o;·= . ---....... Para sumar tres números con signo, se comienza· por sumar Para expresar que la suma de +3 Y-6 \'¡1].; -2, escrib.i- · .. los dos primeros; a la suma de ellos se adiciona el tercer sumando. mos: +3- 5 -2. También, para.expresar que la suma de -3 y +7 v~e Ejemplos: 2 +5- 3 = ( 2 + 5) - 3 = 1 - 3 = + 4 +4, ponemos: -3 +1 = +4. - 5 +2- 1 = (--!.5 + 2) ---" 1 =- 3 - 1 = - 4. · ~os valemos de la escala para calcular la suma de dos enteros Ejemplos. Sumar en columna los que siguen: con signo, mediante el procedimiento siguiente: +3 -2" -8 +4 -6 Fijamos en la escala el punto que representa el primer su- ( --:-8 +1 -3 +S +9 -1 -3 +6 -7 -3 mando, a la izquierda o derecha del origen, según que sea negativo -6 +2 -5 +5 -o· a positivo. A partir de ese punto, c~ntamos tantas unidades como La consideración de los simétricos permite operar la substrac- tiene el segundo sumando, a derecha o izquierda, según que su ción, reduciéndola a la adición: Da diferencia de dos números se + ·signo se~ ó.- . Llegamos así a un punto de la escala que re.. obtiene sumando al minuendo el· simétriéo del substraendo. presenta la suma buscada. Ejemplo~ Al número +2 restarle -3. (El segundo sumando se cuenta hacia la derecha cu~ndo tie.. Al minuendo +2 le sumamos +3, el simétrico del substraendo, y obte- ne signo +; se cuenta hacia la izquierda, cuando tiene signo - . ) = + = nemos: +2 menos -3 2 3 +5. . Ejemplo. Calcular la suma +3- 5 = -2. 1 ,¡ EjeDÍplo. Al número -1 restarle +4. Para restar +4, sumamos su simétrico, --4, como sigue_: 1 . Marcamos en la escala +3, el primer sumando, a la derecha del origen. -1 menos +4 = -1 - 4 = --5 En seguida contamos 5 lugares a la izquierda como indica -5, el segundo sumando, qu~ tiene el signo-; llegamos al punto ,_;,2, que es la suma pedida. Qomprlll!acióg. Se.fOmprueba la substracción así: sumando Ejemplo. Comprobar la suma: -.:..3 + 1 = +4. la diferencia r el sub~traendo, se obtiene el mznueñdo. Marcamos en la escala el punto -3, el primer suman~o, a la izquierda \ .1 'r EJemplos. CBicular y comprobar cada una de las restas siguientes: del origen. A partir de ese punto, contamos 1 unidades a la derecha, ~mo in- -5 +6 -8 +1 - 8 + dica 1, el segundo sumando, que tiene el signo +; llegamos al punto +4, -8 -3 -5 +6 +2 que es la suma pedida. +3 +9 -3 +1 ·-10 \ 1 CAPITULO XV : NUMEROS CON SIGNO 143 142 ZUBIETA & SANCHEZ : AniTMETICA RAZONADA i licación y división. L9§_ números con sigll.Q_se Toda fra cción con signo puede interpretarse como el cociente multiplican ·tenien .nta las dos reglas siguientes: de dos enteros con signo. Por ejemplo, la fracción - 3/ 5 representa el cociente de -3 entre +5 (o bien, de t3 entre - 5). La frac- ( 1) Si ambos factores tienen e( mismo signo, su producJo es ción es positiva cuando el dividendo y el divisor tienen el mismo _,.-- .. ..un numero posztwo. - signo; es n~gativa, cuando el clividendo y el divisor tienen signos _______ :::::..._ (2 Si los dos factores son de signos opl!8slos, su produr;_t2. es corttrarios. Ejemplos. - -3 +5 =- - 3 5 ; - - 3 -5 3 = + - ; etc. 5 Esta es la regla de los signos, que se expn'!sa mediante el es- quema siguiente: Toda fracción con denominador negativo es igual a otra frac- · Ejemplos: ción con denominador positivo, la cual se obtiené cambiando de (+) X (+ ) =+ (+ 5) X (+ 3) = + 15 signo al numerador y denominador de la fracción considerada. (+) X (- ) =- (+ 5) X (- 3) =- 15 Por lo ta:rito, toda fracción puede escribirse con su denominador (- ) X (-i-) (- 5) X (+ 3) =- 15 positivo (así lo haremos siempre) y el signo de la fracción viene a (- ) X (- ) = + (- 5) X (- 3) = + 15 ser entonces el signo de su numerador. Se utiliza esta observación en la práctica, para sumar o restar fracciones con signo. Las mismas reglas se aplican en la división (se tiene en cuen- ta que: cociente X divisor = clividendo ) : Ejemplo. Sumar-_!_+ ~ (denominador común: 2). 2 2 ( 1) Si el dividendo y el divisor tienen el mismo signo, el co- ciente es un número positivo. · +3 1 Suma: - - . 2 + -32 = -1 2 = -+22 = + 1. (2) Si el dividendo y el divisor tienen signos contrarios, el cociente es un número negativo. ¡Atención! Al sumar los numeradores se tuvo cuidado de asignar a Ejemplos: · cada uno el signo de la fracción correspondiente. (+ 20)-;- (- 4) =- 5 ; por4ue (- 5) X (- 4) = + 20 La suma puede interpretarse mediante la escala: marcamos el punto - 1/2 (primer sumando) y contamos 3 medios hacia la derecha, como indica (- 20) -;- (- 4) = + 5 ; porque (+ 5) X (- 4) = - 20 +3/2 (el segundo sumando, que es positivo); llegamm~ al punto +1 (suma). 65. Fracciones con signo. la escala de los números re- La substracción se reduce siempre a la adición: la cliferencia presenta~s tamo1én las fraccro;es positivas y negativas; si- de dos fracciones con signo se obtiene sumando al minuendo el tivas a a ere ativas a a izqnie1:Q.a del orig'f>'eflrt:,, --- simétrico del substraendo. ~ -1 ~ +1 -+2 66. Notación literal. Ahora usamos letras para designar + 1/3 +2/3 nfuner~ con signo, Eositivos o~o~ 3j2 - 1/2 Ejemplos. (a) En la escala, la fracción -1 /2 marca el punto medio .EJede valer +3, tambión -5, también o,~ entre -1 y O; (b) los dos puntos que dividen en tercios el segmento que de- Si m designa un número, - m es el simé ·co de m. finen O y +1 , representan las fracciones +1 !3 y +2/ 3. / ~.--- ·, '"'" ·. \ 144 ZUBIETA & SANCHEZ : ARITMETICA RAZONADA CAPITULO XV : NUMEROS CPN SI GNO 145 Ejemplos: si m = +3, entonGes -m = -3 (simétrico de +3); si La suma queda sólo indicada, cuando sus términos no sorl\se·· m= -5, entonces -m= + 5 (simétrico de -5); etc. mejantes. Así: 5 m + 2 p - 3 h ·queda como está. Bien entendido: -m es positivo, cuando m es negativo; por- Finalmente, sabemos que m = 1 m (o sea: m = 1 X m )·~ que, si tn representa un número negativo, entonces -m repre- p = 1 p ; b = 1 b ; eJtc. El coeficiente 1 se sobreentiende, cuando senta su simétrico, que es positivo. Todo número negativo ti~ne un no se escribe. En otras palabras: toda letra que aparece sola como simétrico positivo. sumando (sin coeficiente aparente ) tiene por coeficiente la unidad. Ejemplo. Se tiene: S b + b = 6 b. Ejemplo: si m= -5 entonces -m= +5. Porque: 5 b + b = 5 b + 1 b = (5 + 1) b = 6 b. El producto 5 X m se escribe 5 m; el producto -2 X p se es- cribe -2 p; etc. En el producto 5 m, el número 5 se llama el coefi- Ejemplo. Se tiene: · 3 m - m =2 m. ' · Porque: 3m - m= 3m - 1 m = (3 - 1) m = 2 m . ciente de m; en el producto -2 p, el número -2 es el coeficiente de p; etc. El coeficiente de una letra puede ser también una frac- EJERCICIOS ción o un número irracional. l. Con ayuda de la escala, calcular estas sumas: Ejemplos. En 0.25 h, el coeficiente de h es el número racional 0.25. En v2 -vr m el coeficiente de m es el número irracional -2 4=;+ +3 - 5 j = + 2 3= j .- 5- 6 = j -5 8=;+ -2-3 = ; +1+3=; 2-6 = ; En ocasiones escribimos sumas como éstas:. 5-5=; -7+4=; +4-7=; -3+3=. ' 2m+3 p- 5m+Bh 2. Sumar (en c~lumna ) lo siguiente: +' ·- 5 b 3 a- 5 a 4b + +2 a -5 + 5 - 3 -2 + 3 Los sumandos se denominan también términos de la suma; +9 - 9 +S -4 + 1 los términos que tienen la misma l&ra son semejantes. En la pri- -8 - 5 +6 - 3 +2 mera suma, por ejemplo, los t érminos +2m y - 5 m son semejan- tes. ¿Cuáles son.semejantes en la segunda? -8 +7 +6 -3 +5 Para los números con signo, se cumple también la propiedad 3. Calcular mentalment~ (sin ver la escala) las mismas sumas de los distributiva de la multiplicación con respecto a la adición. ejercicios anteriores. Repetirlo varias veces. Ejemplo: (2- 5) X m se escribe así: (2- 5) m= 2m- 5 m. 4. Calcular las sumas que siguen: Se suman los términos semejantes, sumando sus coeficientes -3+2-5= 3 -5 + 4= -2+5+ 1= ; r poniendo a continuación la letra común. -5+5 - 2= j 3+2-5= 2 - 4 + 4 =. Ejemplo: 2 m- 5 m= (2 - 5) m=- 3m. 5. Calcular las 'diferencias siguientes: En este ejemplo usamos la propiedad distributiva al poner: 2m :- 5m = 1 - 2 menos + 3 = + 3 menos- 2 = = (2 - 5) m. Finalmente pusimos -3 en vez de (2 - 5), porque - 5 menos - 2 = ; + 4 menos + 6· = sabemos que 2 - 5 = - 3. 1 - 3 menos - 3 = + 7 menos + 7 = ; Ejemplos : - 2 p + 6 p = (- 2 + 6) p = + 4 p 1· Comprobar los resultados: A la diferencia obtenida sumarle el substraen- - 3 n - 5 n = (- 3 - 5) n = - 8 n. do para obtener el minuendo. 1 Aritmética Rozon•da.-10. / ¡. 146 ZUBIETA & SANCHEZ : ARITMETICA RAZONADA . 6. Dibujar la escala de los números y localizar los puntos representativos de las fracciones que siguen: 3 1 3 2 4 1 ~ - .-- 2 ' . + -3 4 . ,+-3 , + -2 , + ~n . 2 CAPITULO XVÍ 1. Hacer las sumas que siguen e interpretarlas mediante la escala: 1 5 1 2 ECUACIONES Y PROBLEMAS --+- = ; - - +- = ; 2 2 3 3 67. Ecuaciones de primer grado. Vamos a resolver ecua- 3 1 5 3 7 ciones de primer grado con una sola letra o incógnita. En ninguna --+-= ; +- - -= ; + - -2-, 4 2 2 4 4 de esas ecuaciones aparece la incógnita con un exponente distinto . de la unidad. 8. Hacer las divisiones que siguen y comprobarlas: La solución o raíz de una ecuación de primer grado es el va- <+ 18) + (+6) =; (- 24) + (- 8) =; <+21) + (-7) = lor de la iQcógnita que la verifica. En la aritmética de los números (+22) + (- 2) =; (-33) + <+ 11 ) =; (- 18) + <+ 9) = racionales con signo, toda ecuación de primer grado con una sola incógnita admite una raíz y sólo una. 3 3 5 5 6 2 Una ecuación es c0mo una <+ 4 ) + (-2) =; <- -g) + <+-;¡:-) = ; (- 10) + (-5) = ======~ó====~ balanza en equilibrio. Si agre- F ; gamos un peso a uno de los ~~~~;:e;:rpara\~u~~l;~::'a~~~:~ 9. Comprobar las reducciones de las sumas que siguen: -3m+8m=+5m 2m-7m= -5 n +6 n= 41\ t ; : 1 //1\. platillo, 1 1; , que la balanza 4n-6 n =-2 n i i ·• \ o o • • 7b-b =+6b +b - 5b = .¡ .! ~.· \ : / i j \. siga en equilibrio; si duplica- : i ~ h+2h=+3h -5h-4h= ~ f ! 1 \ mos el peso colocado en uno ~ ~de los platillos, debemos dupli- 10. Comprobélr las reducciones de las sumas que siguen: car también el peso colocado en el otro, para que la balanza siga en equilibrio; ... De modo 3 m-5m+6p -4 p=-2m+2p semejante: Si adicionamos un número a uno de los miembros de 2 h -5 h+B z-2z-3z= - 3 h+3z una ecuación, debemos sumar el mismo número al otro miembro, 4a+5b-8c-2b+Bc=4a+3b para obtener una ecuación equivalente a la primera; si multipli- 5 m- 8 n- 10 n +2m+ n = 7 m- 17 n camos el primer miembro por un número, debemos multiplicar también el segundo miembro por el mismo número; etc., etc. -8p-6x-11 x- p + 5p =-4p-17 x Las ecuaciones de primer grado se resuelven mediante la apli- -y -5z-9z -11 r + 3y =-9y - 14z. cación de las cuatro operaciones elementales de la aritmética . .Toda persona que sabe sumar, restar, multiplicar y dividir, puede · résolver fácilmente una ecuación de primer grado o un sistema de tales ecuacion es. Las operaciones permitirlas son: 147 _/· 148 ZUBIETA & SANCHEZ : ARITMETICA RAZONADA CAPITULO XVI : ECUACIONES Y PROBLEMAS 149 ( 1) Sumar o restar un mismo número a los dos miembros de Ejemplo. Resolver la ecuación m = 5. una ecuación para obtener otra equivalente a ella ; 3 (2) Multiplicar por un mismo número, distinto de cero, o Multiplicando por 3 ambos miembros: m = 5 X 3 = 15. T dividir entre ese número los dos miembros de una ecuación, para El divisor del primer miembro pasa al segundo como factor. obtener otra ecuación E'quivalente a ella. Ejemplo. Resolver la ecuación 5n = 20. Decimos que la ecuación obtenida es equivalente a la ecuación dada, porque ambas admiten la misma raíz o solución. Dividir ambos miembros entre 5 para obtener: n = 4. ¡Atención! No multiplicar por O los dos miembros de una ecuación, Igual resultado se obtiene, si el factor 5 del primer miembro pasa como porque .resulta la identidad O= O, que a nada conduce; tampoco dividir am- bos miembros entre O, porque hacerlo carece de sentido. = divisor al segundo: la ecuación 5n = 20 se escribe: n = 'l0/5 4. Las ecuaciones del tipo más simple se resuelven aplicando, una De los ejemplos anteriores, como conse<;:uencia práctica, obte- · sola vez, una ~e las operaciones elementales de la aritmética. nemos las tres reglas siguientes: Ejemplo. Resolver la ecuación m - 5 = 4. ( 1) En toda ecuación, un término cualquiera puede pasar de un miembro al otro. cambiando su sieno. Se calcula m (la incógnita) dejándola sola en el primer miembro; lo que se logra sumando 5 a los dos miembros de la ecuación: (2) Un número que aparece como factor de todo un miem- bro de una ecuación, puede pasar al otro miembro como divisor. m '- 5 = 4 t j) Un número que aparece como divisor de todo un mzem- +5=+5 bro de una ecuación, puede pasar al otro miembro como factor. Suma: m= 9 Pasemos a otros ejemplos que se resuelven aplicando sucesi- Igual resultado se obtiene si el ténnino - 5 pasa al segundo miembro vamente ~os de las operaciones elementales de la aritmética : con signo + . Entonces la ecuación m - 5 = 4 se escribe: m = 4 + 5. Es decir: m= 9. Ejemplo. Resolver la ecuación 2z + 5 = 13. Restando 5 a los dos miembros, obtenemos: Ejemplo. Resolver la ecuación p +7 = 13 . 2z+5= 13 Calculamos p (la incógnita) dejándola sola en el primer miembro. Para -5 =- 5 hacerlo, restamos 7 a los dos miembros: Resta: 2z = 8 p +7 = 13 Dividiendo ahora entre 2 ambos miembros: -7 =- 7 2z 8 Resta: · p = 6 2=2 z=4 + Obtenemos igual resultado, si el ténnino 7 pasa al segundo miembro con signo-. Así, la ecuación p 7 + = 13 se escribe: p=13 - 7. Es de- Comprobación: Substituyendo el valor· z = 4 en la ecuación original, = cir: p 6. + + = resulta: 2 X 4 5 = 13. O sea: . 8 5 13. 150 ZUBIETA .t: SANCHEZ : ARITMI:TICA RAZONADA CAPITULO XVI : ECUACIONES Y PROBLEMAS 151 m Ejemplo. Resolver 20 p + 15 = 3. Ejemplo. Resolver la ecuación "2 - 3 = 5. Aquí se obtiene, sucesivamente: Primero, sumamos 3 a los dos mi~bros: Restando 15: 20 p = 3 - 15 = - 12 m Dividiendo entre 20: p =- 12j20 = - 3/5 --3 = 5 2 -· Es decir: p =- 0.6 +3=+3 m Comprobación: El valor de p se substituye en la ecuación y resulta: Suma: 8 2 3 20 X (- 5 ) + 15 = 3. O sea: -12 + 15 = 3. Ahora, multiplicamos por 2 ambos miembros: m Ejemplo. Sea la ecuación 0.12 h + 1.94 = 2. La resolvemos así: -X2= 8X2 2 0.12 h + 1.94 = 2 m= 16. Restamos 1.94 a los dos miembros: 0.12 h = 0.06 Comprobación: Substituyendo el valor m = 16 en la ecuación original, Dividimos entre 0.12: h = 0.06 = ~ = .!... . ' 16 0.12 12 2 2 = resulta: - - 3 5. O sea~ 8 - 3 5. . = h = 0.5 Comprobación: En la ecuación original, ponemos 0.5 en lugar de h;. En los ejemplos que hemos considerado hasta ahora, la solu- = porque h 0.5, obteniendo: 0.12 X 0.5 + 1.94 = 2. Y, efectuando los cálcu- ción de cada ecuación propuesta ha sido siempre un número posi- = los indicados: 2 2 . tivo y entero. También un número negativo o una fracción (posi- tiva o negativa ) pueden presentarse como solución o raíz de una En todos los ejemplos anteriores, la incógnita aparece sola- ecuación. mente en uno de los miembros de la ecuación (en el primero) y no en el otro miembro. Cuando sucede que la incógnita figura en Ejemplo. Resolver la ecuación m +7 = 3. ambos miembros, debemos pasar al primer miembro todos los tér- Restamos 7 a los dos miembros, así: minos que tienen la incógnita y al segundo los que no la tienen. m + 7= 3 Los términos que pasan de un miembro al otro. cambian de signo. -7 =- 7 Resta: m= - 4 Ejemplo. Resolver 5:c + 8 = 2r - 1 . Para resolver esta ecuación, debemos pasar al primer miembro, con De otro modo: El término + 7 del primer miembro pasa al segundo signo - , el término 2r que aparece en el segundo miembro, y debemos P.a· miembro con signo contrario, y la ecuación m + 7 = 3 se convierte en sar al segundo miembro, con signo - , el ténnino +B. del primer miembro. ésta: m = 3 - 7 . O sea: m =- 4 . Comprobar. La ecuación queda así: Ejemplo. Resolver la ecuación 3r + 8 = 2. 5z - 2z =- 1- 8 Esta ecuación se puede escribir así: 3r = 2 - 8 . 3r =- 9 X = - 3. O sea: 3r = - 6 Dividiendo ambos miembros entre 3, obtenemos: Comprobación: S~bstituir el valor olitenido en la ecuación dada, para x=-2. + obtener: -15 8 = - 6 - 1. O sea: - 7 -7. = 152 ZUBIETA &: SANGHEZ : AlllTMETICA RAZONADA CAPITULO XVI : ECUACIONES Y PROBLEMAS 153 '·r Cuando ~a ecuación propuesta contiene divisores (o' denomi- 3. Las ecuaciones que siguen tiene~ soluciones negativas y 'enteras. Re.- nadores ), éstos desaparecen multiplicando todos los términos de solverlas, comprobando en cada caso. ambos miembros por el M. C. M. de los divisores. También cuando y+ 3 =o hay paréntesis, desaparecen éstos, si se hacen las operaciones 3p + 20 = 5 indicadas por ellos. -m2 + 5 = 2 n -4 + 7 =2 + Ejemplo. Resolver 3 (m 5) - 9 = 12. En esta ecuación desaparece el paréntesis, si multiplicamos el factor 3 4. Las ecuaciones que siguen tienen soluciones fraccionarias, positivas o + por m 5, según la propiedad distributiva: 3 (m + 5) = 3m + 3X 5 = negativas. Resolverlas, comprobando siempre. = 3m + 15. La ecuación propuesta se escribe: 3m + 15 - 9 = 12 . 3m+ 5 = 7 4n- 3 = 2 3m = 12 + 9 - 15 (= 6) =1 5p - 5 2q+7=8 m = 2 (Comprobar). 4z+ =4 6 10y 4 =O + . E Jemp1o, Resolver esta: . -b 5 + -23 = 4 - -1 . 3 5. Resolver mentaln'tente (sin escribir) todas las ecuaciones de los ejer- cicios anteriores. Comprobar mentalmente las respuestas. Aquí los divisores son: 5, 3, 3. El M. C. M. de estos números es 15. Mul- tiplicando por 15 los dos miembros y aplicando la propiedad distributiva, 6. Resolver las que siguen, comprobando resultados. tenemos: b 2 1 0.5 h + 1.25 = 1.75 0.125 b - 0.15 = 1.5 15 (5 + 3) = 15 (4 - 3 ) 0.25 m - 1.5 = 0. 1 5 S + 0.18 = 0.68 ~ b 2 1 b X 5 + 15 X = 15 X 4- 15 X z I 3 3 0.2 - 8.25 = 1.75 -0- .4 + 0.8 =1 3b + 10 = 60- 5 z z b = 15 0.24 + 3.25 = 1.75 - - 2.5 = 0.08 1.37 f EJERCICICIOS 7. Resolver las ecuaciones siguientes y comprobar. l. Resolver las ecuaciones que siguen, comprobando resultados: m- 3 =5 a- 6 = 4 3z - 5=z + 7 5z + 2 =; 3z + 10 .3p = 15 n+2=7 1 b+ 5 12 = 4c = 24 2h + 1= h + 2 7h - 20 = 2h + 5 I h m 8d- 55 = 3d - 5 4d + 3 = 2d + 4 - =4 3 -= 2 -=1 5g + 8=2 -g 2g + 8 = g 1 5 5 7 T 2. Resolver las ecuaciones que siguen, comprobando: 8. Todas las ecuaciones que siguen tienen .solución o raíz entera, las de la izquierda, positiva. Resolverlas y comprobar resultados. a b m - + 3 =5 2 - - 2= 4 3 3 1 =3 4 (m- 2) - 9= 3 6 (z 5) + + = 8 2 n 3 (p - 8) + p = 16 3 (y+ 6) - r = o 2c-5 = 7 3p + 3 = 18 -+ 2 5 =3 + 7 (p 3) - 5p = 25 5 (y + 3) + 2y 8 = 2d+5=9 5q- 4 ,= 6 7h - 42 =o 4 (p - 8) = p +4 B< + r 4) · r - 3 . 154- ZUBIETA & SANCHEZ : ARITMETICA RAZONADA CAPITULO XVI : ECUACIONES y PROBLEMAS 15í 9. Resolver las ecuaciones siguientes y comprobar resultados. Ejemplo. Resolver: 2m·+ b = 12 m-2b::::11 3(m + 5) + 2 = 5(m + 2) + 1 · bAntes de sumar, si queremos · eliminar b, mu1~:p11· camos por 2 am bos - 7) + 3 = 2(n + 1) · 4(n 3 . u _!lllem ros de la pnmera ecuación: 2(p + 2) + 8 = 4 (p - 3) + 18 8(p + 5) + 9 = 2(p + 7) - p 4m + 2b = 24 m- 2b = 11 3(z - 5) + 5z = 3(z + 2) - 21 Suma: 5m = 35 10. Resolver las ecuaciones que siguen, comprobando siempre: m= 7 m m I 3 I 9 Este valor de m, puesto en la primera ecuación, da: -2 +-=5 3 5 +---=- 2 4 10 14 +b = 12 n n 3 b =-2. 8 5 2 Comprobación: Substituyendo m _ 7 b _ . . uestas resulta· 14 _ _ . - ' - - 2, en las ecuaciOnes pro- 68. Sistemas de ecuaciones. Ahora consideramos siste- P , . 2 - , + = 12 7 4 11. mas formados por dos ecuaciones de primer gnádo con dos incóg- Ejemplo. Resolver: a=x+2 nitas. Resolver uno de e9tos sistemas es encontrar los valores de 3a-z=6 las incógnitas que verifican ambas ecuaciones. . El valor de a (o sea: x obtiene: + 2) se substituye en la segunda ecuación y se Todos los sistemas de primer grado se resuelven mediante el uso de las cuatro operaciones elementales de la aritmética. 3 (z + 2)- z = 6 a+ b = 21 Resolviéndoia: 0 , Ejemplo. Resolver el sistema: X:::: a- b = 5 Este valor de z (z = O) se substituye en 1a ppmera . . • y se obtiene: ecuac10n .. Swpando miembro a miembro las dos ecuaciones: ' . a=0+2=2. a+ b 21 = Las raíces obtenidas son: a :::: 2 ; z = 0 . Comprobarlas. a- b = 5 --- Suma: = 26 2a Ejemplo. Resolver: : + ~ =4 a= 13 Restándolas miembro a miembro: a-b=9 a+ b = 21 ti J'1 Empezamos d b porconvertir · b . - diVISOres, la primera ecuación en otra Slll ' mu1. a- b = 5 P 7~~ 0 am os mlem ros por 12 (que es el M. C. M. de 4 3) La rirnera Resta: 2b = 16 .r / ry•aon quod. . ., y . p b= ~ 3a+4b =48. . Comprobación: 8 Los valores obtenidos, a = 13, b = 8, se substituyen en \ quedaAhora así: multiplicamos por 3 ambos miembros de 1a segunda, la cual . el sistema dado y resulta lo siguiente: 13 + 8 21 = 13 - 8 = 5 . 3a - 3b = 27. ' g '· 156 Z~TA & SANCHEZ .: ABITMETICA RAZONADA CAPITULO XVI : ECUACIONES Y PROBLEMAS 157 El sist~ por resolver es: 3ti 4b + = 48 :t 1 Ejemplo. Si al doble de un número se le suma la tereera parte del 3a- 3b = 27 ! : mismo, la suma vale 28. Encontrar ese número. 7b = 21 i · Sea m, ese número: su doble es 2m y su tercera parte es m/3. El enun- Restando: b= 3 ciado del' problema dice que la suma 2m + m/~ vale 28. Esto mismo dice la ii ecuación: ... m . Este valor de b (b = 3) se pone en la segunda ecuación, a- b = 9, 1 = = obteniendo: a - 3 9. Es decir: a 1~. Comprobar estas raíces. . 2m+ 3 =28. . De otro. modo. De la segnnda ecuación, a - b = 9, pasando b al segundo = + nnembro, obtenemos: a 9 b. Este valor de a lo substituimos en la pri- Para calcular m es preciso resolver esta ecuación. El primer paso consiste en multiplicar por 3 ambos miembros, para obtener: mera ecuación, la cual. queda así: · 9 +b b 6m + m = 84. O sea: 1m= 84. -4- +3 = 4· 84 Dividiendo entre 7: m=-= 12 (solución). Resolvemos ésta, para obtener b = 3, y luego calculamos a poniendo:- 7 a =9 ·+ .b = 9 + 3 ~ 12, Comprobación: Si sumamos el doble de 12 (que es 24) con la tercera . + = parte de 12 (que es 4} obtenernos: 24 4 28, .como dice el enunciado. E J E R e ·I e 1 O S Ejemplo. Si a la mitad de un número se le resta el 15% del mismo nú- Resolv~ los sistemas que siguen, comprobando si~pre. . mero, la diferencia vale 18.2. Encontrar ese número. . Sea h ese número. Su mitad es 1/2 de h, o sea 0.5 h; e115% de hes 0.15 h. l. 2 a+ b = 12 'f. m+ ~n 7 = El enunciado del problema dice así: 2 a- b + 16. 5m+n=8. ·'lo 1 0.5 h - 0.15 h = 18.2 2. m-p=5 8. u-v=3 Es decir: (0.5 - 0.15) h = 18.2 2m+ p = 4. · 0.35 k= 18.2 . ·18.2 (S l . , ) h =-=52 OUClOn S. r + 2s 3 = 0.35 2r-s=11. Comprobación: La mitad de 52 es 26 y el 15% ~e 52 es 7.8 (compro- 9. r+s=3 4. u-w =4 barlo). La diferencia es 26 - 7.8 = 18.2! como dice el enunciado. s-3r=1. 3u+w=0. Ejemplo. Mi hermano me dice: Si lograra duplicar mi dinero y pagara 2:t $51 que debo, me quedarían $105. ¿Cuánto dinero tiene mi hermano? . 5. :r + 2r = 12 10. -+2r=2 3. Sea n el número de pesos que tiene mi hermano. Si lograra duplicar su 3:r+r= 8. diriero tendría 2n pesos, el doble den; si pagara$ 51 le quedarlan 2n- 51 pe- ·sos, que deben ser $ 105. Este razonamiento nos da la ecuación: 6. p+q=5 :r+-=3. 3r 2p- 3 q =5. 5 ....1,.. 2n- 51= 105 2n = 105 + 51·= 156 69. Problemas de primer grado. En seguida ponemos al- 1 :. n = ~8 (solución). gunos próblemas cuyo planteo conduce a una ecuación o sistema Comprobación: Mi hermano tiene $ 78 .. Si duplicara su dinero tendría de ecuaciones de primer grado. . $156 (=~X 78). Si pagara$ 51 le quedarían $156-$51 = $105. 158 ZUBIETA & SANCHEZ : ARITMETICA RAZONADA C..O.l'LTULO XVI : ECUACIONES Y PROBLEMAS 159 Ejemplo. El segundo problema .de la página 123 puede plante~rse di- _En esta ecuación, en lugar de A ponemos su valor 3e, (que acabamos ciendo: Si son .z gramos de sal + 57 gramos de agua = (x + 57) gramos de la de obtener) y'en lugar de B ponemos 2C. Así, obtenemos: solución, debemos tener: • 3e + 2C +e = 180° z = 5 % de (z + 57) 6C = 180° 100 x = 5 (x + 57) e= 30° 95 = 285 X Ahora ponemos: A= 3e = 3 X 30° = 90° z = 3 (gramos de sal). B 2C = = 2 X 30° = 60° Ejemplo. Sea otra vez el problema del tinaco y sus dos llaves, al final Solución: A = 90° ; B = 60° ; e = 30° . de la página 123. En 1 hora las dos llaves meten Y2 + lA, de la capacidad del 1 Comprobación: Los valores obtenidos cumplen las ecuaciones: tinaco; en t horas, las dos llaves meten (lf2 + lA,) t. Por lo tanto, si el tinaco + 2A = 3B ; B = 2C ; A B +e = 180°. Verificarlo. se llena en el tie~po t, tendremOs la ecuación: 1 (% + ~) t = 1 (capacidad del tinaco). 1 EJERCICIOS Resolviéndola: t = 4/3 hora = 1 hora 20 minutos. Cada problema resuelto debe ser comprobado. Ejemplo. El lado mayor de un paralelogramo mide 7 metros más que l. Calcular m sabiendo que 2m + 1/ 2 de m = 40 . el otro lado; el perímetro mide 34 metros. ¿Cuánto mide cada lado? 2. A! doble de un número se le resta la mitad del mismo número y se Un paralelogramo está formado por obtiene 15. Contestar: ¿cuál es ese numero? a dos fares de lados paralelos e iguales. Si '.. a > b, se debe tener (por el enunciado) : 3. Si a la mitad de un número se le resta el 5 % del mismo número, la diferencia vale 23.4 ¿Cuál es ese número? a --: b + 7. El perímetro es la suma,.. de los cuatro lados: a + b + a + b = 2a + 4. Calcular X sabiendo que 25% de X = 4 + 15 % de X. + 2b. El enunciado del problema dice 5. Un caminante anduvo 53 Km. en dos jornadas; en la segunda anduvo que: 5 kilómetros más que en la primera. ¿Cuántos Km. recorrió en la primera jornada? ¿Cuántos kilómetros anduvo en la segunda? a- b = 7 6. ·Dos personas juntan $ 660 para hacer una compra. Si la primera pone 2a + 2b = 34 . 3 veces lo que pone la segunda, decir ¿cuánto ~one cad~ una? Resolviendo este sistema, se obt-iene: b = 5; a = 12. Lo que significa 7. En una caja hay cierto número de bolas blancas, el doble de bolas 1 que el lado mayor mide 12 metros y E:l menor mide 5 metros. Comprobarlo. " negras y el triple de bolas rojas. Si el total es de 126 bolas, contestar: ¿cuántas Ejemplo. Calcular los tres ángulos, A, B, e, de un trián~lo, sabiendo bolas hay de cada color? que 2A = 3B y B = 2C. Es decir: el doble del primer ánguio es igual al triple 8. Los tres ángulos de un triángulo son A = X, B = X- 12°, e= del segundo Y. éste es igual al doble del _tercero. = X + 15°. Calcular esos ángulos, sabiendo que la suma de ellos = 180°. En la ecuación 2A = 3B ponemos 2C en lugar de B (porque B = 2e) 9. Los tres ángulos de un triángulo son proporcionales a los números 3, y obtenemos: 2A = 6e. Es decir: A = 3e: 5 y 7. ¿Cuánto mide cada ángulo? Sabemos que los tres ángulos de un triángulo suman 180° o sea: 10. Dos ángulos de un triángulo suman 97° y su diferencia mide 19°. A+ B+e= 180° Calcular los tres ángulos de ese triángulo. r •· 160 • ZUBIETA .& SANCHEz .: ARITM_ETICA RAZONADA lL Un. accionista se retira de una compañía~ perdiendo el 6~ % de su inversión. Si recibe $ 2917~ ¿a cuánto ascendía su inversión? 12. Juan tiene 2 años más que Pedro y la suma de sus edades· es 40 años. -Decir ¿cuántos años tiene Juan y cuántos tiene Pedro? 18. Pedro tiene 3 años menos que P~blo. Las edades de- ambos suman 29 años. Decir ¿c_uál es la ed~d de ·Pedro y cuál la de Pablo? 14. Si Luis le gana$ 5 a Juan.. tendrá el triple d~ lo que a Juan \e quede; ''i:. . pero si Juan le gana $9 a Luis, tendrá el triple de lo que le quede a Luis. ·, ~:¡ ·Decir ¿cuánto dinero tienen Luis y Juan? i. . . 15. Con 18 billetes de$ 5 y de $10 formar la suma de $150; ¿Cúántos' billetes han de ser de: $ 5 y cuántos de $ 1O? ::, 16. Me entregan $ 430 en billetes de $ 1O y de $ 20 . Si son en total 31 billetes, ¿cuántos son de cada clase? f 17. Si m + 3 y 2m- 3 son proporcionales a los números 4 y 5, decir ~ . ¿cuánto vale m? ¿Cuánto valen m+ 3 y 2m-3? ·r:: 18. Pasó un gavilán por un palomar y dijo: ¡Adiós, cien palomas! Ellas i ·•; le respondieron: No somos cien; pues el doble de nosotras, más la cuarta parte de nosotras, más usted-señor gaviláiJ;formaremos ese número. ¿Cuántas palo- mas había ~n el palomar?· . ., 1 1 · 19. En el problema anterior~ suponer que las palomas contestan: ... pues ¡·'· ¡ 1 el doble de nosotras, más la mitad de noSotras, más la cuarta parte de nosotras, .¡ más usted-señor gavilán-formar~ós ese número (100). ¿Cuántas son ahora? 20. Suponer -ahora que las palomas contestan:· ... pues nosotras, más la mitad de nosotras, más 1/10 de nosotras, más 1/10 de la mitad de nosotras, ¡ más usted -señor gavilán- haremos ese número (100). ¿Cuántas son ahbra? 21. Dos bombas trabajan simultáneamente para llenar Uii estanque. La pirmera bomba, trabajando sola, lo llénaría en 100 minutos; la segunda, en 5/2 horas. ¿En-cuánt~ tiempo lo llenan· trabajando juntas? 22. Se quiere poner sal en un frasco que contiene 115 gramos de agua, para obtener una solución (agua-salada) con el 8% de sal. ¿Cuántos gramos de sal deben ponerse en el frasco? . 1 1 l. w •. L
Report "Zubieta Russi, Francisco Aritmética Razonada"