Escuela de Ciencias Básicas Tecnología eIngeniería Tutores: ALGEBRA LINEAL E-LEARNING Código: 208046 Ing. Diana Katherine Trilleros Directora: Ing. Jhon Mauricio Blanco Ing. Vivian Alvarez Altamiranda Ing. Manuel Alejandro Gutiérrez Ing. Diego Alberto Gómez Febrero 21 de 2018 Ing. Carlos Andrés Vega Ing. William Mauricio Saenz Ing. Fredy Alonso Herrera Ing. Carlos Alberto Bocanegra Ing. Diego Alejandro Alarcón UNIDAD 1 VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES Momento Intermedio Ciclo de la tarea Fecha máxima de entrega : 19 de Marzo Peso evaluativo: 100 puntos Unidad 1/Zona/grupo o equipo funcional VECTORES EN R2 Y R3 Ing. Manuel Alejandro Gutiérrez QUE ES UN VECTOR? • Es un segmento de recta dirigido, que va del punto inicial P al punto final Q. • Es una herramienta geométrica que se emplea para representar magnitudes físicas, definida por: – Magnitud (módulo o longitud) – Dirección (orientación) • Pueden representarse como segmentos de recta dirigidos en el plano R𝑛, 𝑛 ∈ N. CARACTERISTICAS DE LOS VECTORES R2 • Esta compuesto por: • Representación geométrica y cartesiana en R2 Determine la magnitud del vector A =(2,8) Determine el ángulo del vector A =(2,8) y Determine el ángulo del vector A =(-7,8) y x Ø x Sistemas de coordenadas Sistema de coordenadas cartesiano (u ortogonal) Ejemplo en dos dimensiones: Un punto arbitrario se define mediante las coordenadas (x,y) x positivas hacia la derecha y positivas hacia arriba x negativas hacia la izquierda y negativas hacia abajo Sistemas de coordenadas Sistema de coordenadas polar Ejemplo en dos dimensiones: Un punto arbitrario se define mediante las coordenadas polares planas (r, θ) r es la longitud de la línea que θ es el ángulo entre dicha línea y une el origen con el punto un eje fijo (normalmente el x) Conversión de un sistemas a otro Para convertir de un sistema a otro, se resuelve el triángulo: Conversión de un sistemas a otro Conversión de cartesianas a polares Si tienes un punto en coordenadas cartesianas (x,y) y lo quieres en coordenadas polares (r,θ), necesitas resolver un triángulo del que conoces dos lados. Ejemplo: ¿qué es (12,5) en coordenadas polares? Conversión de un sistemas a otro Conversión de cartesianas a polares Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el lado largo (la hipotenusa): 𝑟 2 = 122 + 52 2 r= 122 + 52 2 r= 144 + 25 2 r = 169 ; r = 13 Conversión de un sistemas a otro Conversión de cartesianas a polares Usa la función tangente para calcular el ángulo: 5 tan 𝜃 = 12 −1 5 𝜃 = tan 12 𝜃 = 22,6° Conversión de un sistemas a otro Conversión de cartesianas a polares Así que las fórmulas para convertir coordenadas cartesianas (x,y) a polares (r,θ) son: 𝟐 𝒓= 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 𝒚 𝜽= 𝐭𝐚𝐧−𝟏 𝒙 Conversión de un sistemas a otro Conversión de polares a cartesianas Si tienes un punto en coordenadas polares (r, θ) y lo quieres en coordenadas cartesianas (x,y) necesitas resolver un triángulo del que conoces el lado largo y un ángulo: Ejemplo: ¿qué es (13, 23 °) en coordenadas cartesianas? Conversión de un sistemas a otro Conversión de polares a cartesianas Usamos la función coseno para x: 𝑥 cos 23° = 13 Cambiamos de orden y resolvemos: 𝑥 = 13 ∙ cos 23 𝑥 = 13 ∙ 0,921 𝑥 = 11,98 Conversión de un sistemas a otro Conversión de polares a cartesianas Usamos la función seno para y: 𝑦 sin 23° = 13 Cambiamos de orden y resolvemos: 𝑦 = 13 ∙ sin 23° 𝑦 = 13 ∙ 0,391 𝑦 = 5,08 Conversión de un sistemas a otro Conversión de polares a cartesianas Así que las fórmulas para convertir coordenadas polares (r,θ) a cartesianas (x,y) son: 𝒙 = 𝒓 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒚 = 𝒓 ∙ 𝐬𝐢𝐧 𝜽 Ejercicio Determine los componentes en x, y de un vector ||A|| =30 Angulo=20° y Determine los componentes en x, y vector ||A|| =100 Angulo= -40° Ø y x Ø x Suma vectorial Cálculo analítico - Se debe establecer la convención de signos. - Los vectores se descomponen en sus componentes rectangulares. - Se suman las componentes en su respectivas direcciones. - Se calcula la magnitud y dirección de la resultante. Suma vectorial Cálculo analítico Ejemplo 1: Sean u=(a,b) y v=(c,d), entonces la suma de u y v es: u + v = (a,b) + (c,d) u + v =(a+c,b+d) Se efectúa la suma de los vectores u y v componente a componente. Suma vectorial Cálculo analítico Ejemplo 2: Sean u=(2,5) y v=(6,4), entonces la suma de u y v es: u + v = (2,5) + (6,4) u + v =(2+6,5+4) u + v =(8,9) Se efectúa la suma de los vectores u y v componente a componente. Suma vectorial Suma vectorial Cálculo gráfico Suma vectorial Cálculo gráfico - Método del paralelogramo Este método se limita a vectores en el plano. Suma vectorial Cálculo gráfico - Método del polígono Ø=30° 40 Ø=90° Ø=20° Suma vectorial Cálculo gráfico – Propiedad conmutativa Suma vectorial Cálculo gráfico – Propiedad asociativa VECTORES EN R3 z p(a1,a2,a3) a a3 a2 y a1 x vector a = (a1,a2,a3) de R3 x y z OPERACIONES CON VECTORES EN R3 Suma u (a1 , b1 , c1 ) v (a2 , b2 , c2 ) u v (a1 , b1 , c1 ) (a2 , b2 , c2 ) (a1 a2 , b1 b2 , c1 c2 ) Producto por un escalar cu c(a1 , a2 , a3 ) (ca1 , ca2 , ca3 ) c OPERACIONES CON VECTORES EN R3 Módulo | u | = + x 2 + y 2 + z2 “Dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, dirección y sentido” Vectores unitarios i, j , k Los vectores i, j y k son unitarios y están dirigidos en la dirección de los ejes x, y y z respectivamente. z k j y i x Vectores Paralelos • Dos vectores son paralelos cuando tienen la misma dirección. • Dos vectores son paralelos entre sí si todas sus componentes son proporcionales. Ejemplo: u (a1 , a2 , a3 ) v (b1 , b2 , b3 ) a1 a a 2 3 k u // v b1 b2 b3 u kv Vectores Ortogonales • Dos vectores son perpendiculares si al multiplicarlos el resultado del producto interno es 0. Ejemplo: u (a1 , a2 ) v (b1 , b2 ) u v (a1 b1 ) (a2 b2 ) 0 u v Son Ortogonales Suma vectorial EJERCICIOS Suma vectorial Pitágoras N Ejercicio 1: V1= 60 km/h al Este 60 km/h V2= 80 km/h al Sur O E 80 km/h A) Hallar la suma de los vectores. B) Calcular su posición en coordenadas polares S Sistemas de coordenadas Pitágoras Ejercicio 1 A) N 60 km/h O E 80 km/h VR S Sistemas de coordenadas Pitágoras Ejercicio 1 B) N 60 km/h O E 80 km/h VR S ZCORI CEAD Bucaramanga, ECBTI Producto Escalar y Producto Vectorial Producto Punto y Producto Cruz “.“ “x“ Ing. Diana Katherine Trilleros Moica Producto Punto y Producto Cruz Producto punto o Escalar Producto Cruz o Vectorial Representación “.“ Representación “x“ - Es una operación algebraica - Es una operación que define que toma dos vectores y el resultado del producto retorna un único número. cruz como un vector. - Se define el producto escalar entre dos vectores A y B como la magnitud de A multiplicada por la componente de B paralela a A. El Producto Cruz se define ÚNICAMENTE para Vectores en R3 Producto Punto o Escalar “.“ Dados los vectores: u 𝑣 Se define el producto punto como: u .𝑣 Pueden representarse: 1. Algebraicamente. u= 𝑢1 , 𝑢2 v = (𝑣1, 𝑣2) 2. Geométricamente. Producto Punto o Escalar “.“ Ejemplo 1. a . e = (𝑥1 , 𝑦1) . (𝑥2 , 𝑦2) ⇒ 𝑒 = (𝑥2 , 𝑦2) a . e = 𝑥1 (𝑥2) + 𝑦1 (𝑦2) a = (2 , 3) a . e = (2 , 3) . (4 , 1) 𝑒 = (4 , 1) = 2 (4) + 3 (1) = (8) + (3) 𝐚 . 𝒆 = 𝟏𝟏 ANGULO ENTRE VECTORES ANGULO ENTRE VECTORES Ejemplo 2. ANGULO ENTRE VECTORES Ejemplo 3. Dados: u = (2𝑖 , 3𝑗) 𝑣 = (−7𝑖 , 𝑗) Calculando Magnitudes y Ángulos: 𝑢= 22 + 32 𝑣റ = (−7)2 + 12 𝑢 = 13 𝑣റ = 50 𝑢. 𝑣= (2 . -7) + (3. 1) = -11 𝑢.𝑣 −11 −11 Cos 𝛼 = = = = −0,4315 𝐼𝑢𝐼.𝐼𝑣𝐼 13 . 50 650 𝛼 = 𝐶𝑜𝑠 −1 (0,4315) Producto Cruz o Vectorial “x“ Dados los vectores: Obtendremos A = (4 , 1, 0) B = (3 , 7, 0) C = (𝐴 𝑋 𝐵) 𝑖 𝑗 𝑘 𝑖 𝑗 𝑘 Reemplazando C = a𝑥 ay az C= 4 1 0 componentes bx by bz 3 7 0 𝑖 𝑗 𝑘 𝑖 𝑗 𝑘 𝑖 𝑗 𝑘 C= 4 1 0 C= 4 1 0 C= 4 1 0 3 7 0 3 7 0 3 7 0 1 0 4 0 4 1 C= i - j + k 7 0 3 0 3 7 C =( 1 (0) - 0 (7))i - ( 4 (0) - 0 (3))j + ( 4 (7) - 1 (3)k C =(0) i - (0) j + ((28) - (3)) k Producto Cruz o Vectorial “x“ C =( 1 (0) - 0 (7))i - ( 4 (0) - 0 (3))j + ( 4 (7) - 1 (3)k C =(0) i - (0) j + ((28) - (3)) k C =25 k Recordemos: Dados los vectores: Obtendremos A = (4 , 1, 0) B = (3 , 7, 0) C = (𝐴 𝑋 𝐵) 𝐴𝑋𝐵 ≠ 𝐵𝑋𝐴 ≠ Operaciones entre matrices Ing. John Mauricio Blanco Que es una Matriz? • Una matriz es un arreglo de filas y de columnas organizado de manera tal, que cada entrada contiene una determinada información. 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑏11 𝑏12 𝑏13 𝐴 = 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝐵 = 𝑏21 𝑏22 𝑏23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑏31 𝑏32 𝑏33 Ejemplo • Jorge un tendero de la zona registra la venta neta en Kg de 4 de los artículos mas solicitados en su tienda, y los días en que estos ocurre. La información puede resumirse como: Producto Lunes Martes Miércoles Arveja 20 32 40 2011 32 4013 Papa 15 8 20 𝐴 = 1512 822 2023 Yuca 10 12 15 1031 1232 1533 Suma y resta de Matrices • Las operaciones básicas que se estudiarán serán la suma y multiplicación de matrices, como se muestra a continuación. • La suma o resta de matrices se puede hacer únicamente con matrices de igual orden, es decir aquellas que tengan la misma cantidad de filas que de columnas. 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑏11 𝑏12 𝑏13 𝐴 = 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝐵 = 𝑏21 𝑏22 𝑏23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑏31 𝑏32 𝑏33 EJERCICIO • Determinar la matriz resultante de la siguiente operación, de acuerdo con las matrices 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 3 2 −1 −1 2 3 3 2 1 𝐴= 0 4 −2 𝐵= 0 −4 5 𝐶= 1 4 1 4 1 3 6 −2 1 1 1 2 3𝑨 − 𝟒𝑩 − 𝑪 Paso 1 Inicialmente se solucionarán los productos escalares. 3 2 −1 9 6 −3 3𝑨 = 𝟑 0 4 −2 = 0 12 −6 4 1 3 12 3 9 −1 2 3 −4 8 12 4𝑩 = 𝟒 0 −4 5 = 0 −16 20 6 −2 1 24 −8 4 Paso 2 Ahora realizamos las operaciones completas, que corresponden a restas de matrices. 3𝑨 − 𝟒𝑩 − 𝑪= 9 6 −3 −4 8 12 3 2 1 = 0 12 −6 − 0 −16 20 − 1 4 1 12 3 9 24 −8 4 1 1 2 (9 − −4 − 3) (6 − 8 − 2) (−3 − 12 − 1) = (0 − 0 − 1) (12 − −16 − 4) (−6 − 20 − 1) (12 − 24 − 1) 3 − −8 − 1 (9 − 4 − 2) Paso 3 Después resolvemos las operaciones de cada uno de los paréntesis, y luego concluimos: 3𝐴 − 4𝐵 − 𝐶 10 −4 −16 = −1 24 −27 −13 10 3 Multiplicación de matrices ¿Cómo se realiza la multiplicación entre matrices? Es posible hacerla únicamente con dos matrices, de las cuales, la primera, debe tener igual número de columnas que de filas en la segunda matriz. EJEMPLO • Determinar el producto de las matrices indicadas: 7 −3 −8 4 3 7 A= 𝑦 𝐵= 9 5 3 2 −9 6 −4 2 6 • Demuestre A*B Ubicamos las matrices dadas y realizamos el procedimiento enunciado anteriormente, multiplicando las filas por las respectivas columnas de la siguiente forma: 7 −3 −8 4 3 7 ∗ 9 5 3 2 −9 6 −4 2 6 (28 + 27 − 28) (−12 + 15 + 14) (−32 + 9 + 42) = (14 − 81 − 24) (−6 − 45 + 12) (−16 − 27 + 36) 27 17 19 𝐴∙𝐵 = −91 −39 −7 VALIDACIÓN EN GEOGEBRA EJERCICIO El taller de latonería y pintura “CarDrum” tiene como actividad económica restaurar la pintura de los vehículos de forma general. En esta empresa se llevan a cabo 4 procesos Desarme, Pintura, Secado y ensamble, se tienen disponibles 24, 32, 40, 56 horas respectivamente. Realizar el trabajo durante todo el proceso a los vehículos X se requiere 4 horas de desarme, 8 horas de pintura, 6 horas de secado, 8 horas de ensamble; los vehículos Y, se requiere 5 horas de desarme, 6 horas de pintura, 8 horas de secado, 10 horas de ensamble. 1. Hallar la matriz que exprese las horas requeridas para realizar el trabajo durante todo el proceso a los vehículos X y Y. Solución Tipo de proceso Vehículo X Vehículo Y (carga) Horas disponibles (domésticos) Desarme 4 5 24 Pintura 8 6 32 Secado 6 8 40 Ensamble 8 10 56 EJERCICIO 2 Dadas las matrices 2 −3 1 0 𝐴= 𝐵= 1 2 4 −2 • Calcule (2𝐵 − 𝐴) Desarrollo en Geogebra Unidad/Zona/grupo o equipo funcional GRACIAS POR SU ATENCIÓN