S1.ESFUERZO Y ELASTICIDAD Elasticidad. Ley de Hooke. Esfuerzos de tensión, de compresión, de volumen y de corte. INTRODUCCIÓN • ¿Cómo se deforma el puntal vertical de la llanta cuando el avión está en reposo? • ¿Cómo se deforma la barra de arrastre cuando el avión es jalado para su mantenimiento? • ¿Las deformaciones son permanentes? ¿QUÉ DEFORMACIÓN ES ANÁLOGA A LAS CONSIDERADAS ANTERIORMENTE? Esfuerzo de tensión Esfuerzo por volumen Esfuerzo de corte LOGROS 1. Al final de la sesión, el estudiante conoce y aplica las ecuaciones de elasticidad para explicar situaciones reales relacionadas con la especialdiad. LA ELASTICIDAD • Elasticidad es la propiedad mecánica de ciertos materiales de recuperar la forma original luego de que cesan las fuerzas que la deforman. • En muchos materiales (metales), la deformación es directamente proporcional al esfuerzo. • El máximo esfuerzo antes de quedar deformado permanentemente (plasticidad) se denomina límite de elasticidad. Fuerza (N) Alargamiento (m) Límite de elasticidad LA LEY DE HOOKE • La ley de Hooke establece que la fuerza que produce un resorte oponiéndose a la deformación es proporcional a dicha deformación. = − EJERCICIO • Un resorte tiene una longitud de 15,4 cm y cuelga de modo vertical de un punto de soporte arriba del resorte. Un peso, con una masa de 0,200 kg, se fija al resorte, haciendo que se extienda a una longitud de 28,6 cm. ¿Cuál es el valor de la constante del resorte? • Solución • Deformación=28,6 cm-15,4 cm • =0,132 m • Fuerza = 0,200 x 9,81 N • = 1,96 N • La constante del resorte es = 1,96 0,132 = 14,8 ESFUERZO, TENSIÓN Y MÓDULOS DE ELASTICIDAD • Esfuerzo: es la magnitud de la fuerza por unidad de área que causa la deformación de los cuerpos • Deformación: Es el cambio que sufre el cuerpo por acción del esfuerzo • Si el esfuerzo y la deformación son pequeños, entonces son directamente proporcionales a la constante de proporcionalidad (Módulo de elasticidad) Esfuerzo Módulo de elasticidad Deformacion http://www.youtube.com/watch?v=U3BFLXHQtXs I. ESFUERZO DE TENSIÓN (E T ) • La fuerza neta que actúa sobre el sólido es cero, pero el objeto se deforma. • Se define el esfuerzo como el cociente de la fuerza perpendicular al área y el área • Unidades en el SI: • 1 pascal = 1Pa = 1 N/m 2 • Unidades en el Sistema Británico: • Lb/in 2 = 1 psi • Conversiones: 1 psi = 6 895 Pa T F E A Esfuerzo de tensión F A Deformación por tensión o l l ESFUERZO DE TENSIÓN • Por la acción de la fuerza el sólido sufre una deformación l-l 0 • Definimos la deformación por tensión como el estiramiento por unidad de longitud; es una cantidad adimensional. • Experimentalmente, se comprueba que si el esfuerzo de tensión es pequeño, entonces el esfuerzo y la deformación son proporcionales, y la constante de proporcionalidad se denomina Módulo de Young. 0 T 0 0 l - l l D l l T 0 T 0 E F / A F l Y D l /l A l VALORES DEL MÓDULO YOUNG • ¿Qué material es más elástico: el níquel o el fierro? Considere que tienen la misma forma y se deforman por la acción de la misma fuerza. Material Módulo de Young Y (Pa) Módulo de volumen B (Pa) Módulo de corte S (Pa) Aluminio 7,0 x 10 10 7,5 x 10 10 2,5 x 10 10 Latón 9,0 x 10 10 6,0 x 10 10 3,5 x 10 10 Cobre 11 x 10 10 14 x 10 10 4,4 x 10 10 Vidrio crown 6,0 x 10 10 5,0 x 10 10 2,5 x 10 10 Fierro 21 x 10 10 16 x 10 10 7,7 x 10 10 Plomo 1,6 x 10 10 4,1 x 10 10 0,6 x 10 10 Níquel 21 x 10 10 17 x 10 10 7,8 x 10 10 Acero 20 x 10 10 16 x 10 10 7,5 x 10 10 ESFUERZO DE COMPRESIÓN • Si las fuerzas empujan en los extremos del sólido, el cuerpo se contraerá y el esfuerzo se denomina «de compresión», y la deformación producida, «por compresión». • El módulo de Young en muchos materiales tienen el mismo valor para esfuerzos de tensión y compresión; excepto algunos materiales compuestos, como el hormigón y concreto. 0 0 / / C C E l F A F Y D l l A l Esfuerzo de compresión F A Deformación por compresión o l l EJERCICIO • Un cable de acero de 2,0 m de longitud tiene un área transversal de 0,30 cm 2 . El cable se cuelga por un extremo de una estructura de soporte y después un torno de 550 kg se cuelga del extremo inferior del cable, determine el esfuerzo, la deformación, y alargamiento del cable Esfuerzo = 1,8 x 10 8 Pa Deformación = 9,0 x 10 – 4 Alargamiento = 1,8 x 10 – 3 = 1, 8 mm ESFUERZO Y TENSIÓN POR VOLUMEN • Si un objeto se sumerge en un fluido en reposo, sufre la presión de una presión p. • Si el objeto sumergido es suficientemente pequeño, la presión desempeña el papel del esfuerzo en un cambio de volumen y la deformación correspondiente es el cambio fraccionario del volumen. 0 Deformación de volumen V V D V Esfuerzo de volumen = p ESFUERZO Y DEFORMACIÓN POR VOLUMEN • Experimentalmente se comprueba que si el esfuerzo de volumen es pequeño, entonces el esfuerzo y la deformación son proporcionales, y la constante de proporcionalidad se denomina Módulo de volumen B. V V D V E V = p 0 / p B V V COMPRESIBILIDAD • El valor recíproco del módulo de volumen se denomina compresibilidad y se denota por k • Ejemplo. • La compresibilidad del agua es 46,4 x 10 -6 atm -1 , lo cual nos indica que si a un m 3 de agua se le incrementa su presión en 1 atm, su volumen se reducirá en 46,4 partes por millón. 0 1 / 1 V V V B p V p Líquido k (Pa -1 ) k (atm -1 ) Disulfuro de carbono 93 x 10 -11 94 x 10 -6 Alcohol etílico 110 x 10 -11 111 x 10 -6 Glicerina 21 x 10 -11 21 x 10 -6 Mercurio 3,7 x 10 -11 3,8 x 10 -6 Agua 45,8 x 10 -11 46,4 x 10 -6 COMPRESIBILIDAD • Una prensa hidráulica contiene 0,25 m 3 (250 L) de aceite. Calcule la disminución del volumen del aceite cuando se somete a un aumento de presión p = 1,6 x 10 7 Pa. considere B = 5,0 x 10 9 Pa. • Respuesta: -0,80 L ESFUERZO Y TENSIÓN DE CORTE • La fuerzas de igual magnitud pero dirección opuesta actúan de forma tangente a las superficies, produciéndole una deformación. • Se define el esfuerzo de corte como la fuerza paralela que actúa tangente a la superficie , dividida entre el área sobre la que actúa: • E C también es una fuerza por unidad de área / / C F E A / / F Esfuerzo de corte A ESFUERZO DE CORTE • Se define la deformación de corte como el cociente del desplazamiento x entre la dimensión transversal h: • El esfuerzo y la deformación son proporcionales y la constante de proporcionalidad se denomina Módulo de corte S / / / / / / F A F h S x h A x C x D h EJERCICIO • Suponga una placa base de latón experimenta fuerzas de corte causadas por un terremoto. La placa cuadrada mide 0,80 m por lado y tiene un espesor de 0,50 cm. ¿Qué fuerza se ejercen en cada borde si el desplazamiento x es de 0,16 mm? • En un laboratorio de prueba de materiales, se determina que un alambre metálico hecho con una nueva aleación se rompe cuando se aplica una fuerza de tensión de 90,8 N perpendicular a cada extremo. Si el diámetro del alambre es de 1,84 mm, ¿cuál es el esfuerzo de rotura de la aleación? • Solución 3 2 (90,8N) F A (0,92 10 m) 7 F 3,4 10 Pa A Material S (Pa) Aluminio 2,5 x 10 10 Latón 3,5 x 10 10 Cobre 4,4 x 10 10 Hierro 7,7 x 10 10 Acero 7,5 x 10 10 EJERCICIOS • Un alambre recto de acero de 4,00 m de longitud tiene una sección transversal de 0,00050 m 2 y un límite proporcional igual a 0,0016 veces su módulo de Young. El esfuerzo de rotura tiene un valor igual a 0,0065 veces su módulo de Young. El alambre está sujeto por arriba y cuelga verticalmente: a) ¿Qué peso puede colgarse del alambre sin exceder el límite proporcional? b) ¿Cuánto se estira el alambre con esta carga? c) ¿Qué peso máximo puede soportar? • Solución. L = 4,00 m; A = 0,050 m 2 • Límite proporcional 0,0016.Y, Esfuerzo de rotura 0,0065 .Y • Solución (a) • El peso que se debe colocar es: • Se estira aproximadamente • (c) el peso máximo que puede soportar es: 10 2 7 (3,2 10 Pa)(0,00050m ) 1,6 10 N o FL l A 7 3 10 1,6 10 4,00 l m 6,4 10 m 0,050 20 10 10 2 5 (0,0065)(20 10 Pa)(0,00050m ) 6,5 10 N EJERCICIO • El límite elástico de un cable de acero es de 2,40 x 10 8 Pa y su área transversal es de 3,00 cm 2 . Calcule la aceleración máxima hacia arriba que puede darse a un elevador de 1 200 kg sostenido por el cable sin que el esfuerzo exceda el tercio del límite elástico. • Solución 8 4 2 2 2 tot 2,40 10 Pa ( )(3,00 10 m ) 3 9,80m s 10,2 m s (1200 kg) F a m