UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍCENTRO DE TECNOLOGIA –UFPI CURSO: ENGENHARIA CIVIL CADERNO DE QUESTÕES DISCIPLINA: ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS I Calebe Paiva Gomes de Souza 2013/2 CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS E ROTAÇÕES EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICASPÓRTICOS ISOSTÁTICOS SIMPLES E COMPOSTOS Questão 1: Para o quadro composto abaixo, pede-se: I. Para o carregamento indicado na própria figura i. Rotação relativa das tangentes à elástica em “C”; ii. Deslocamento de “D”; iii. Deslocamento horizontal de “E”. 2 4 . 10 2 m tf EI × = (constante para todas as barras) Questão 2: Para o quadro composto abaixo, pede-se: I. Para o carregamento indicado na própria figura i. Rotação da tangente à elástica em “C”; ii. Deslocamento horizontal em “D”. 2 4 . 10 2 m tf EI × = (constante para todas as barras) Questão 3:Para o quadro composto abaixo, pede-se: II. Para o carregamento indicado na própria figura iii. Deslocamento horizontal de “A”; iv. Rotação da tangente elástica em “B”; v. Deslocamento vertical de “M”. III. Para um aumento uniforme de temperatura de 20ºC i. Rotação relativa das tangentes à elástica em “K”; ii. Deslocamento horizontal de “D”. IV. Para os recalques de apoio indicados abaixo i. Rotação relativa das tangentes à elástica em I correspondente as barras “HI” e “DI”; ii. Deslocamento horizontal de “D”; iii. Deslocamento horizontal de “A” Admitir: V. Para um encurtamento de 3,00cm no tirante “DJ” i. Rotação relativa das tangentes à elástica em I correspondente as barras “HI” e “IJ” ii. Deslocamento horizontal de “D” Dados: 1 5 º 10 ÷ ÷ = C o ; tf ES TIRANTE 4 10 = ; 2 4 . 10 2 m tf EI × = (constante para todas as barras) 6 RESPOSTAS: I. Para o carregamento indicado na própria figura i. Deslocamento horizontal de “A”; ( ) ÷ = cm H A 57 , 1 o ii. Rotação da tangente elástica em “B”; ( ) horário rad B 3 10 0 , 4 ÷ × = u o iii. Deslocamento vertical de “M”. ( ) + = mm V M 22 , 1 o II. Para um aumento uniforme de temperatura de 20ºC i. Rotação relativa das tangentes à elástica em “K”; 0 , 0 = u o K ii. Deslocamento horizontal de “D”. 0 , 0 = H D o III. Para os recalques de apoio indicados abaixo i. Rotação relativa das tangentes à elástica em I correspondente as barras “HI” e “DI”; ( ) + - + × = ÷ rad I 2 10 25 , 0 u o ii. Deslocamento horizontal de “D”; 0 , 0 = H D o iii. Deslocamento horizontal de “A”. ( ) ÷ = cm H A 0 , 2 o IV. Para um encurtamento de 3,00cm no tirante “DJ” i. Rotação relativa das tangentes à elástica em I correspondente as barras “HI” e “IJ”; 0 , 0 = u o I ii. Deslocamento horizontal de “D” 7 Questão 4: Para o quadro composto abaixo, pede-se: I. Para o carregamento indicado na própria figura: i. Deslocamento horizontal de “A”; ii. Rotação relativa das tangentes elásticas em “I”; iii. Deslocamento horizontal de “L”; iv. Encurtamento da corda LN (treliça). II. Para os recalques de apoio indicados: i. Rotação relativa das tangentes elásticas em “I”; ii. Deslocamento vertical de “G”; Dados: tf ES TRELIÇA 4 10 = ; 2 4 . 10 2 m tf EI × = (constante para todas as barras) OBS.: A TRELIÇA ESTÁ SIMPLESMENTE APOIADA (APOIO DO 1º GÊNERO EM “F”) NO PÓRTICO “BDEF” 8 Questão 5 (1ª prova - 2013/1): Para o quadro composto abaixo, pede-se: I. Para o carregamento indicado na própria figura: i. Deslocamento horizontal de “A”; ii. Rotação relativa das tangentes elásticas em “H”; iii. Rotação da tangente elástica em “C”; II. Para os recalques de apoio indicados: i. Rotação relativa das tangentes elásticas em “J”; ii. Deslocamento horizontal de “D”; iii. Deslocamento vertical em “F” Dados: tf ES TIRANTE 4 10 = 2 4 . 10 2 m tf EI × = (constante para todas as barras) 9 Questão 6: Para o quadro composto abaixo e carregamento indicado, pede-se: i. Deslocamento horizontal de “F”; ii. Deslocamento horizontal de “C”; iii. Rotação relativa das tangentes elásticas em “C”; Dados: 2 4 . 10 2 m tf EI × = (constante para todas as barras) 10 CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS E ROTAÇÕES EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS PELO PROCESSO DE MOHR Questão 1: Para a viga isostática a seguir, pede-se: i. Equação da linha elástica no trecho “AB”; ii. Rotação da tangente à elástica em “A”; iii. Deslocamento vertical em “D”; iv. Esboçar o aspecto da linha elástica cotando nas seções “1”, “2” e “D”. Dados: 2 4 . 10 50 , 1 m tf EI × = (constante para todas as barras) Respostas: i. Equação da linha elástica no trecho “AB”; ( ) 4 2 3 10 36 , 0 66 , 0 19 , 0 ) ( ÷ × + ÷ = x x x x y ii. Rotação da tangente à elástica em “A”; ( ) horário rad A 4 10 33 , 0 ÷ × = u iii. Deslocamento vertical em “D”; ( ) + ÷ × = ÷ mm m V D 27 , 1 10 67 , 12 4 o iv. Esboçar o aspecto da linha elástica cotando nas seções “1”, “2” e “D”. ( ) | = mm V 03 , 0 1 o ( ) | = mm V 63 , 0 2 o 11 Questão 2: Para a viga Gerber a seguir, pede-se: i. O esboço da elástica cotando nos pontos: “C”, “D”, “1”, “2” e “3”; ii. Rotação da tangente à elástica em “A” e “F”; iii. Rotação relativa das tangentes à elástica em “C” e “D”. Dados: 2 4 . 10 00 , 2 m tf EI × = (constante para todas as barras) Respostas: i. O esboço da elástica cotando nos pontos: “C”, “D”, “1”, “2” e “3”; ( ) + = mm V C 133 , 0 o ( ) + = mm V D 183 , 0 o ( ) | = mm V 056 , 0 1 o ( ) + = mm V 158 , 0 2 o ( ) | = mm V 113 , 0 3 o ii. Rotação da tangente à elástica em “A” e “F”; ( ) horário anti rad A ÷ × = ÷4 10 50 , 0 u ( ) horário rad F 4 10 50 , 1 ÷ × = u iii. Rotação relativa das tangentes à elástica em “C” e “D”. ( ) | - | × = ÷ rad relativa C 4 10 375 , 1 u ( ) | - | × = ÷ rad relativa D 4 10 125 , 2 u 12 Questão 3:Ao utilizar o Processo de Mohr (viga conjugada), pede-se: i. O esboço da elástica cotando nos pontos: “B”, “C” e “E”; ii. Rotação da tangente à elástica em “A”; iii. Rotação relativa das tangentes à elástica em “C”; iv. Deslocamento vertical de “E”. Dados: 2 4 . 10 00 , 2 m tf EI × = (constante para todas as barras) Respostas: i. O esboço da elástica cotando nos pontos: “B”, “C” e “E”; ( ) + = mm V B 255 , 0 o ( ) + = mm V C 330 , 0 o ( ) | = mm V E 120 , 0 o ii. Rotação da tangente à elástica em “A”; ( ) horário rad A 4 10 10 ÷ × = u iii. Rotação relativa das tangentes à elástica em “C”; ( ) | - | × ÷ × + × = ÷ ÷ ÷ rad relativa C 4 4 4 10 50 , 13 10 5 , 12 10 000 , 1 u Questão 10: Para a viga isostática a seguir, utilizando o processo de Mohr (viga conjugada), pede-se: i. A equação da linha elástica no trecho “AB”; ii. A equação da linha elástica no trecho “BC”; iii. A equação da linha elástica no trecho “CD”; iv. Deslocamento vertical em “1”; Dados: 2 4 . 10 m tf EI = (constante para todas as barras) 13 14 CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS E ROTAÇÕES EM ESTRUTURAS COM SEÇÕES VARIÁVEIS (MÍSULAS) Questão 1:Dada a figura ao lado, calcule a rotação da tangente à elástica em “C”, considerando as seguintes informações: i. Barra “AB”: const I I = ; ii. Barra “BC”: ; 5 , I I I I MAX MIN × = = iii. 2 4 10 m tf EI × = Resposta: ( ) horário mrad C 20 , 19 = u 15 Questão 2: Para o pórtico a seguir, determinar o deslocamento horizontal relativo entre os C.Gs das seções “F” e “G” que ocorrerá em virtude dos carregamentos indicados. Além disso, determine a orientação (se aproximam ou se afastam). Para tanto, considere os seguintes dados: iv. ² / 10 10 , 2 6 m tf E × = ; v. Barra “1”: 4 02 , 0 m I I const = = ; vi. Barra “2”: ; 10 , 2 2 I I I I E D × = = vii. Barras “3”, “4” e “6”: I I I I M G F = = = 6 4 3 , I I I I I I H H E × = = = = 10 6 6 4 3 ; viii. Barras “5” e “7”: I I I C B = = 7 5 , I I I I H × = = 5 7 5 ; 16 Resposta: ( ) ( ) | | G F cm rel H G F ÷ · ÷ = 312 , 0 , , o 17 Questão 3 (2ª Prova – 2013/1): Para a mísula acima, pede-se calcular o valor de “q” de modo que o deslocamento vertical em “A” seja de 1,50mm( + ). Dados: 2 4 2 4 2 4 10 2 10 4 10 m tf EI m tf EI m tf EI EI D C B A · × = · × = · = =