EstimaciónVictor Varas Solar Inferencia Estadística Instituto IACC 14.12.2017 La Distribución de Poisson es una distribución de variable discreta. que definen a una población con parámetro θ. por lo que se debe utilizar el Método de Máxima Verosimilitud. El ejercicio planteado pide encontrar el Estimador de Máxima Verosimilitud de la tasa promedio v. Considere el procedimiento descrito en los contenidos de la semana. es decir un parámetro que representa el número de veces que ocurra un fenómeno en un determinado período de tiempo. Hallar el estimador máximo verosímil de υ (tasa promedio) de una población que distribuye Poisson. se estructura como: 𝑛 𝐿(𝑥1 . por lo que esta función nos entrega la probabilidad de que un acontecimiento suceda precisamente x veces. Desarrollo 1. o tasa promedio. especializándose en la probabilidad de ocurrencia de sucesos con posibilidades muy pequeñas . Por su parte x es el número de ocurrencias del evento. a través de una función de probabilidad 𝑓(𝑥. para luego derivar y luego igualando a 0. que se aplica principalmente en situaciones que buscan medir el número de hechos de cierto tipo que se pueden producir en un intervalo de tiempo o de espacio. ⋯ . Interprete su resultado. La función de probabilidad se representa como: 𝑒 −𝑣 ∗ 𝑣 𝑥 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 𝑥! Donde υ es la tasa de incidencia media del evento. 𝑥2 . En este sentido cabe recordar que la Función de Verosimilitud para una muestra de tamaño n de variables aleatorias x. lo primero es tomar esta Función de Verosimilitud y transformarla en una función monótona a través de logaritmo natural. 𝜃) = ∏ 𝑓(𝑥𝑖 . 𝜃). 𝑥𝑛 . bajo supuestos de aleatoriedad y ciertas restricciones. 𝜃) 𝑖=1 Por lo que para encontrar el Estimador de Máxima Verosimilitud. Se valorará el proceso en detalle. Por lo tanto se tiene: . por lo que al aplicar logaritmo natural a la función queda de la siguiente forma: 𝑙𝑛(𝑒 −𝑛𝑣 ∗ 𝑣 ∑ 𝑥𝑖 ) 𝑙𝑛(𝐿(𝑥. 𝑥𝑛 . lo que resulta en lo siguiente: 𝜕𝑙𝑛(𝐿(𝑥. 𝑣) = ∗ ∗ ⋯∗ 𝑥1 ! 𝑥2 ! 𝑥𝑛 ! 𝑒 −𝑛𝑣 ∗ 𝑣 ∑ 𝑥𝑖 𝐿(𝑥1 . y en paralelo que 𝑙𝑛(𝑎/𝑏) = 𝑙𝑛(𝑎) − 𝑙𝑛(𝑏). y además que 𝑙𝑛(𝑎𝑛 ) = 𝑛 ∗ 𝑙𝑛(𝑎)𝑦 𝑙𝑛(𝑒) = 1. 𝑥𝑛 . ⋯ . 𝑥2 . 𝑣) = ∏ 𝑥𝑖 ! Donde ∏ 𝑥𝑖 ! es una constante que se puede denotar por k. ⋯ . ⋯ . 𝑥2 . . 𝜐) ) ∑ 𝑥𝑖 = −𝑛 + 𝜕𝜐 𝑣 Que es lo que hay que igualar a 0. 𝑛 𝑒 −𝑣 ∗ 𝑣 𝑥𝑖 𝐿(𝑥1 . 𝑣) = ∏ 𝑥𝑖 ! 𝑖=1 −𝑣 𝑥1 −𝑣 𝑒 ∗𝑣 𝑒 ∗ 𝑣 𝑥3 𝑒 −𝑣 ∗ 𝑣 𝑥𝑛 𝐿(𝑥1 . la tasa promedio es igual a la media en la distribución de Poisson. 𝜐) ) = ∏ 𝑥𝑖 ! Dado que por propiedades de los logaritmos se tiene que 𝑙𝑛(𝑎 ∗ 𝑏) = 𝑙𝑛(𝑎) + 𝑙𝑛(𝑏). por lo tanto: ∑ 𝑥𝑖 −𝑛 + =0 𝑣 ∑ 𝑥𝑖 =𝑛 𝑣 ∑ 𝑥𝑖 =𝜐 𝑛 Luego el Estimador de Máximo Verosimilitud de la Tasa Promedio υ es la media de la muestra: 𝑣̂=𝑥̅ Esto es correcto ya que. 𝑥𝑛 . 𝜐) ) = −𝑛𝑣 + ∑ 𝑥𝑖 𝑙𝑛(𝑣) − 𝑙𝑛(𝑘) 𝑖=1 Que es la fórmula que hay que maximizar a través de la derivada del parámetro. 𝑥2 . la expresión queda: 𝑛 𝑙𝑛(𝐿(𝑥. Si x es una variable aleatoria con la siguiente distribución de probabilidad: (𝑎 + 1) ∗ 𝑥 𝑎 . basado en una muestra de tamaño n.2. Suponga una muestra aleatoria 𝑋1 . 𝑎) = 𝑎(𝑋1 = 𝑋1 . 0<𝑥<1 𝑓(𝑥) = { 0 . … . … . … . 𝑎) Por independencia: 𝑛 𝑛 ∏ 𝑎(𝑋𝑖 = 𝑋𝑖 ) = ∏(𝑎 + 1) ∗ 𝑥𝑎 𝑖=1 𝑖=1 𝑛 = (𝑎 + 1) ∗ ∏ 𝑥 𝑎 𝑛 𝑖=1 = (𝑎 + 1)𝑛 ∗ 𝑛!𝑎 Se aplica logaritmo: 𝑛 ln 𝐿(𝑋1 . 𝑋𝑛 . 𝑋2 . 𝑋2 . … . 𝑋𝑛 con 𝑋~𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖 (𝑎): 𝐿(𝑋1 . 𝑋2 . 𝑋𝑛 . 𝑋𝑛 . 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 Encontrar el estimador máximo verosímil de . 𝑎) = ln[(𝑎 + 1) ∗ 𝑛!𝑎 ] Se aplican propiedades de los logaritmos: 𝑛 = ln(𝑎 + 1) + ln 𝑛!𝑎 = 𝑛 ∗ ln(𝑎 + 1) + 𝑎 ∗ ln 𝑛! 𝑛 = 𝑛 ∗ ln(𝑎 + 1) + 𝑎 ∗ ∑ ln 𝑥 𝑖=1 . 𝑋2 . 𝑎) = + ∑ ln 𝑥 𝜕𝑎 𝑎+1 𝑖=1 Se iguala a cero para hallar el máximo: 𝑛 𝑛 + ∑ ln 𝑥 = 0 𝑎+1 𝑖=1 −𝑛 𝑎+1= ∑𝑛𝑖=1 ln 𝑥 −𝑛 𝑎= −1 ∑𝑛𝑖=1 ln 𝑥 Bibliografía .Se deriva respecto del parámetro a: 𝑛 𝜕 𝑛 ln 𝐿(𝑋1 . 𝑋𝑛 . … . 𝑋2 . Instituto IACC. www.iacc. Inferencia Estadística.cl . Contenido semana 4.