Universidad Autónoma de ChihuahuaFacultad de Ingeniería Laboratorio de Dinámica Vibraciones Mecánicas Ing. Juan Armando Márquez Arturo Leos Alonso261659 Luis Armando Cobos Manríquez 262130 4AE1 El estudio de las vibraciones mecánicas se ha incrementado en los últimos años debido a las necesidades que se han presentado con los diseños y creaciones de maquinas más rápidas o edificios y estructuras mas ligeros. o fuerzas gravitacionales. como en el caso de un péndulo). que se repiten en un intervalo definido de tiempo. Como estos movimientos son indeseables. Dado que el proceso se puede repetir indefinidamente. Por otra parte también se busca reducir los esfuerzos repetidos que es probable causen la rotura de alguna pieza por la fractura progresiva a la que se le da el nombre de rotura por fatiga y de reducir los ruidos molestos. al que se da el nombre de “periodo” de la vibración. Una vibración mecánica se produce cuando un sistema se desplaza desde una posición de equilibrio estable. Las vibraciones mecánicas con que se tropieza la mayor parte de los problemas de ingeniería son movimientos periódicos. 20 de noviembre de 2013 . Sin embargo. el sistema realiza un movimiento de ida y vuelta a través de su posición de equilibrio. como en el caso de una masa unida a un resorte. La mayoría de las vibraciones en maquinas o estructuras son indeseables debido a las esfuerzos y perdidas de energía que se generan con dichos movimientos. el sistema general alcanza su posición original con una cierta velocidad y ésta lo lleva más allá de esa posición.Laboratorio de Dinámica 2 Vibraciones mecánicas Introducción Una vibración mecánica es el movimiento de una partícula o de un cuerpo que oscila respecto a una posición de equilibrio. cada repetición del movimiento recibe el nombre de “ciclo” y el número de ciclos por unidad de tiempo se llama “frecuencia” de la vibración. se procura que sean eliminadas o reducidas lo más posible con un diseño adecuado. Como ya se había mencionado. por lo general de pequeña amplitud. El sistema tiende a volver a esta posición bajo la acción de las llamadas fuerzas de recuperación (ya sea fuerzas elásticas. es importante evitar las vibraciones en las piezas de maquinaria y en los miembros de las construcciones con el fin de eliminar el desgaste excesivo. con una amplitud A. esto es. puede por lo general reemplazarse la pieza por una masa concentrada (punto material) conectada a sus soportes por uno o varios resortes sin peso. Designaremos por k la constante del resorte. al . Se supone que el cuerpo es libre de moverse a lo largo de una línea vertical que se dice es el eje de las x. considerándose x como positiva cuando se mide hacia abajo partiendo de la posición de equilibrio estático del cuerpo. el modulo del resorte (la fuerza necesaria para desviar el extremo del resorte la unidad de longitud) y por δ la desviación o la flecha estática del extremo del resorte debida al peso W. Demos al cuerpo un desplazamiento inicial cualquiera soltarlo. o vibrara.Laboratorio de Dinámica 3 Vibraciones mecánicas Al estudiar las características dinámicas esenciales del movimiento vibratorio de cualquier pieza de una máquina. 1 o …(1) 20 de noviembre de 2013 . El cuerpo oscilara entonces. De un movimiento que. puede describirse en función de una sola coordenada se dice que tiene un grado de libertad. El tipo de vibración más sencillo y más común es un movimiento armónico simple. obtenemos: W-(W+kx)=m Fig. Vibraciones Libres Consideremos el movimiento de un pequeño cuerpo rígido de masa m y peso W suspendido de un soporte rígido por un resorte elástico sin peso. como el movimiento armónico simple. En la figura 1 pueden observarse las fuerzas que actúan sobre el cuerpo cuando tiene un desplazamiento cualquiera x y aplicando la ecuación del movimiento ∑ al cuerpo. por consiguiente . supongamos que su velocidad inicial será y. el desplazamiento x= tiene una velocidad inicial y que el cuerpo en la dirección positiva (hacia abajo). Así: ( ) ( )…(5) Si se conocen las condiciones iniciales del movimiento. supongamos que cuando t=0. Por ejemplo.Laboratorio de Dinámica 4 Vibraciones mecánicas Esta ecuación es la que define el movimiento armónico simple. la ecuación (1) puede escribirse como: …(3) El valor de x que satisface la ecuación (3) tiene que ser una función de t cuya segunda derivada con respecto a t es igual a la función original multiplicada por . tenemos: …(2) Por consiguiente. La velocidad del cuerpo en un instante cualquiera durante la oscilación puede hallarse diferenciando la ecuación (4). Las funciones x=Bcos(pt) y x=Csen(pt) (en las que B y C son constantes) satisfacen la ecuación. como también su suma. hallaremos que B= convierte en: ( ) ( ) …(6) 20 de noviembre de 2013 . Reemplazando la constante por y observando que W=kδ. Luego la ecuación (4) se valores en las ecuaciones (4) y (5). Lego la solución general de la ecuación (3) es: ( ) ( )…(4) En la que B y C puede considerarse como constantes de integración cuyos valores dependen de las condiciones iniciales de movimiento. pueden hallarse ahora los valores de B y C. Sustituyendo esos y C= . supongamos que los vectores B= una velocidad angular y C= giran. se obtienen curvas que aparecen en la figura 3.3 Transportando las proyecciones de x de los vectores B y C como coordenadas y el tiempo como abscisa.Laboratorio de Dinámica 5 Vibraciones mecánicas Puede hacerse una interpretación útil de la ecuación (6) representando el desplazamiento x como la proyección sobre el diámetro de un círculo. y supongamos también que el vector A que es la resultante de los vectores B y C gira también alrededor de O con una velocidad angular . Se observara que la proyección de A sobre el eje de las x es . Así. en la figura 2. a ángulo recto entre sí. El ángulo que forma el vector A con el eje de las x es el ángulo entre los vectores B y A. 2 Fig. llamada frecuencia circular natural de vibración. El desplazamiento x en un 20 de noviembre de 2013 . de un vector rotativo. 2 fig. Así: ( En la que: ) ( ) siendo √ Y √ ( ) = Amplitud del movimiento… (8) ( ) Fig.3 fig. alrededor de O con . el valor máximo del desplazamiento x que está representado por la ordenada máxima de la curva. Se observara que el movimiento armónico simple definido por la ecuación (6) o la ecuación (7) puede considerarse como la resultante de dos movimientos armónicos simples: que tienen las misma frecuencia pero distintas amplitudes y cuyas fases se diferencian en 90°. esto es. la frecuencia f. pues: π π√ π√ ( ) El número de ciclos por segundo. el intervalo de tiempo T para π se denomina cada ciclo del movimiento (el periodo) es . sus proyecciones máximas sobre el eje de las x no ocurren al mismo tiempo t. Debido a la diferencia en las direcciones de los vectores en la figura 2. Por consiguiente. ocurre en un tiempo después de que la ordenada de la curva B alcanza su valor máximo. El ángulo ángulo de fase.98√ ( ) 20 de noviembre de 2013 . es pues: π π √ π √ ( ) Sustituyendo los valores de g=981 cm/ y expresando δ en cm tenemos: 4. Las ecuaciones (6) y (7) la figura 3 muestran que el movimiento oscilatorio se repite siempre que el ángulo varia en 2π radianes. Así. Así.Laboratorio de Dinámica 6 Vibraciones mecánicas tiempo cualquiera t se obtiene sumando algebraicamente las ordenadas correspondientes de esas dos curvas y se transporta como ordenada de la curva designada por A en la figura 3. Vibraciones Forzadas Las vibraciones más importantes desde el punto de vista de la ingeniería aplicada son las vibraciones forzadas de cualquier sistema. En otras palabras la figura 1 es un diagrama convencionalizado que pude usarse con un error poco importante para reemplazar muchos movimientos reales de los cuerpos que vibran con pequeñas amplitudes. teniendo en cuenta que la fuerza es de tipo periódico. cuando esto se lleva a cabo se dice que la vibración es forzada. una vez puesto en marcha continúa con frecuencia y amplitud constante sin la ayuda de fuerzas impulsoras aplicadas exteriormente. la energía aumenta con el tiempo.Laboratorio de Dinámica 7 Vibraciones mecánicas Las ecuaciones (10) y (11) muestran que el periodo y la frecuencia de la vibración libre de un cuerpo dependen únicamente del peso del cuerpo y de la rigidez de la cuerda y que no son afectados por las condiciones iniciales del movimiento. La ecuación diferencial del movimiento. compone de la suma de dos armónicos. es: Dónde F0 es la amplitud y ω es la frecuencia de la fuerza excitadora. el movimiento resultante la fuerza exterior ω. Estas ecuaciones son aplicables a los movimientos periódicos de dispositivos muy diferentes de piezas elásticas. la amplitud permanece constante con el tiempo. Para mantener un sistema oscilando es necesario suministrar energía al sistema. Si la energía se proporciona al mismo ritmo que se disipa. El movimiento que se acaba de describir se denomina vibración libre. lo que se manifiesta por un aumento de la amplitud del movimiento. uno de frecuencia natural ω n y otro de 6 frecuencia de Si la fuerza de vibración es causada por una fuerza de amplitud P y una fuerza circular ωf la amplitud de la vibración viene dada por la formula: 20 de noviembre de 2013 . se En todo sistema no amortiguado y forzado armónicamente. Si se introduce energía en el sistema a un ritmo mayor del que se pierde. A este fin se necesita una definición algo más amplia de la constante de un resorte que la que se ha utilizado en relación con la figura 1. Supongamos que OM es una varilla rígida y sin peso. y k es la Constante del Resorte En un sistema de cuerpos elásticos vibrantes. por consiguiente. es igual a la constante del resorte equivalente. Puesto que F es igual pero opuesta a la fuerza necesaria para restablecer la posición inicial. la vibración de uno de los cuerpos. Por tanto: ( ) 20 de noviembre de 2013 . La constante de un resorte equivalente para cualquier cuerpo de un sistema es la fuerza que actúa sobre el cuerpo y que tiende a llevarlo a su posición de equilibrio cuando su desplazamiento con respecto a la posición de equilibrio es la unidad. como el de la figura 4. La constante para el resorte equivalente se obtiene partiendo de las constates de los resortes de los diversos cuerpos elásticos del sistema. definida por ωn = √ constante del resorte. se reduce a menudo para mayor comodidad al caso simple tratado en el estudio que antecede suponiendo que se hace vibrar el cuerpo con igual frecuencia por medio de un resorte equivalente unido al cuerpo como en la figura 1. De la ecuación de equilibrio se deduce que la fuerza en el resorte S cuando F está actuando sobre M es . y. por ejemplo el cuerpo M. la fuerza en el resorte esta expresada también por en la que k es la constante del resorte S. supongamos que se designa por F la fuerza vertical que hay que aplicar al cuerpo M para que se desvié un centímetro. Para hallar la constante del resorte equivalente unido a M en la figura 4.Laboratorio de Dinámica 8 Vibraciones mecánicas Donde ωn es la frecuencia circular natural del sistema. La flecha o deformación correspondiente del resorte S es . suponiendo que t=0 en el instante en que el peso hace contacto con el resorte. la constante del resorte equivalente para M es de vibración es √ . Si el cuerpo continua unido al extremo superior del resorte: a) Encuentre la frecuencia de la vibración libre resultante b) Escriba una ecuación para el desplazamiento del cuerpo vibrante.Laboratorio de Dinámica 9 Vibraciones mecánicas Así. c) Encuentre la amplitud de movimiento y el acortamiento máximo del resorte s que tiene lugar durante la vibración 20 de noviembre de 2013 . ( ) y según la ecuación (11) la frecuencia Ejemplo Un cuerpo M que pesa 75 kg cae de una altura h de 3.75 cm sobre un resorte helicoidal cuyo modulo es 40 kg/cm. 8t c) la amplitud de movimiento está dada por: xo2 A= √ ( ) = √( ) ( ) = 4. el peso vibra con una amplitud de 4.2 + 1.88= 6.8 rad/seg Con este resultado lo sustituimos en la ecuación de frecuencia de vibración que es: f= = ( ) = 3.76 sin 22.08cm 20 de noviembre de 2013 .88cm )( ) =85.2 cm a uno y otro lado de la posición de equilibrio y el acortamiento máximo s del resorte es : s= A+ δst = 4.62 ciclos / segundo b) en el momento en que el peso entra en contacto con el resorte.Laboratorio de Dinámica 10 Vibraciones mecánicas Solución a) la frecuencia circular natural viene dada por: p= √ =√ = 22.2 cm Por consiguiente. las condiciones iniciales del movimiento son: xo= -δst = vo= √ =√ ( = -1.7cm/seg en la que el origen de las coordenadas está en la posición de equilibrio estático del cuerpo.88 cos 22. Así definimos que el desplazamiento en un tiempo t cualquiera es: x=xo cos pt + sin pt = -1.8 + 3.