VIBRACIÓN ARMÓNICAEXCITADA Ingeniero militar y físico francés. “The Theory of Simple Machines” , describe el efecto de la resistencia y la ley de la proporcionalidad de Coulomb entre la fricción y la presión normal. En 1784 obtuvo la solución correcta a oscilaciones pequeñas de un cuerpo. Conocido por sus leyes de fuerzas para cargas electrostáticas y magnéticas. Charles Augustin de Coulomb (1706-1806) La unidad de carga lleva su nombre. INTRODUCCIÓN En un sistema mecánico existe vibraciones sólo si existe una fuente de energía externa durante la vibración. Excitación de desplazamiento puede ser armónica, no armónica pero periódica, no periódica o aleatoria. La respuesta es armónica si la excitación es armónica. La excitación no periódica puede ser de larga o corta duración. La respuesta es transitoria si la excitación es no periódica y es repentinamente aplicada. Se considerarán sistemas dinámicos de un grado de libertad sometidos a excitación armónica. Si la frecuencia de excitación coincide con la frecuencia natural se obtiene una respuesta muy grande. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO Segunda ley de Newton para un sistema de masa-resorte viscosamente amortiguado, no homogénea. [1 ] Solución homogénea de la ecuación homogénea, representa la vibración libre y se reduce con el tiempo en todas las condiciones posibles de amortiguamiento y todas las condiciones iniciales. [2 ] Fig. 1 Sistema de masa-resorte amortiguador La solución general se reduce a la particular que representa la vibración en estado estable, que esta presente si la función forzada esta presente. El ritmo al que se reduce el amortiguamiento depende de los factores k. particular y general en el caso no amortiguado . c y m Fig. La parte que se reduce debido al amortiguamiento se llama transitoria. 2 Solución homogénea.La gráfica presenta la solución homogénea. particular y general. xh(t) se reduce y x(t) se transforma en xp(t) después de un tiempo (representada por t). [5 ] en la que X representa una constante de amplitud de xp(t) y se expresa de la siguiente manera: [6 ] . la ecuación [1] se reduce a en la que la ecuación homogénea está dada por [3 ] [4 ] se tiene la solución particular. en un sistema no amortiguado. en la que w es la frecuencia de F(t) y de x p(t) debido a que las dos son armónicas.RESPUESTA DE UN SISTEMA NO AMORTIGUADO SOMETIDO A UNA FURZA AMÓNICA Si se tiene una fuerza F(t)=Fo cos wt. actuando sobre una masa m. conocida como factor de amplificación o relación de amplitud. . La solución total de [3] es [7 ] para x(t) Para las siguientes condiciones iniciales. se tiene la siguiente solución [8 ] la amplitud máxima de la ecuación es [9 ] representa la relación entre la amplitud de movimiento dinámica con la relación de movimiento estática.en donde es la desviación de la masa bajo a fuerza Fo que se la conoce como deflexión estática debido a que es una fuerza estática. respecto a la relación de frecuencia mostrada en la figura por la que se pueden identificar tres tipos de respuesta. donde X es positivo La respuesta está desfasada 180º con la fuerza externa. la frecuencia se aproxima a cero. X se vuelve infinito. o CASO 2: . La respuesta armónica de xp(t) está en fase con la fuerza.La variación de la relación de amplitud [9]. Fig. el denominador de [9] es negativo y la solución de estado estable es . A esta condición de igualdad entre las dos frecuencias se la conoce como resonancia. además si . 3 Factor de amplificación de un sistema no amortiguado o CASO 3: . Por lo tanto para una fuerza armónica de alta frecuencia. el denominador de [9] es positivo y [5] da una respuesta sin cambios. o CASO 1: . . 4 Respuesta armónica cuando Fig. 6 Respuesta armónica cuando . 5 Respuesta armónica cuando Fig.Fig. La respuesta para un sistema en resonancia es: [10 ] De la ecuación en resonancia [15] se observa que x(t) incrementa indefinidamente. pero no es igual a la frecuencia natural del sistema. RESPUESTA TOTAL para [11 ] para [12 ] FENÓMENO DE BATIDO: Si la frecuencia forzada se aproxima. puede ocurrir un fenómeno de batido [13 ] . y el último término de la ecuación se muestra en la figura 6 en la que se observa que la amplitud incrementa linealmente con el tiempo. 8 Fenómeno de batido . 7 Respuesta Total Fig.Fig. 9 Placa que soporta una bomba desbalanceada .EJEMPLO: Fig. RESPUESTA DE UN SISTEMA AMORTIGUADO SOMETIDO A UNA FUERZA ARMÓNICA Si la función forzada es F(t)= Fo cos wt. se tiene: [17 ] Resolviendo la ecuación [17]. se tiene [18 ] [19 ] . se tiene [16 ] Utilizando relaciones trigonométricas. suponemos que [14 ] [15 ] Donde X y se deben determinar y representan la amplitud y el ángulo de desfase. la ecuación de movimiento es Y la solución particular. Sustituyendo en las ecuaciones anteriores Se tiene: [20 ] y [21 ] . se toma en cuenta las condiciones iniciales: [23 ] FACTOR DE CALIDAD Y ANCHO DE BANDA: Con valores pequeños de amortiguamiento. se tiene [22 ] Para resolver las ecuaciones anteriores. es decir z<0. se puede considerar [24 ] .RESPUESTA TOTAL: Para un sistema subamortiguado.05. 10 Curva de respuesta armónica que muestra los puntos de mediana potencia y el ancho de banda . se llaman puntos de mediana potencia porque la potencia absorbida por el amortiguador. Fig. que resiste armónicamente y proporcional al cuadrado de la amplitud. [25 ] Los puntos R1 y R2 donde el factor de amplificación se reduce a .El valor de la relación de amplitud en resonancia también se le conoce como factor Q o factor de calidad de sistema. en la ecuación [20] se establece que que de modo [26 ][27 ] [25 ] Para valores pequeños de z [26 ] [27 ] [29 ] [30 ] [28 ] . Para encontrar los valores R1 y R2.La diferencia entre las frecuencias asociadas con los puntos de mediana potencia R1 y R2 se llama ancho de banda del sistema. RESPUESTA DE UN SISTEMA AMORTIGUADO SOMETIDO A Ecuación del Movimiento Solución particular [31 ][32 ] [33 ] Haciendo sustituciones en la ecuación, se tiene [34 ] [35 ] La solución en estado estable se escribe como [36 ] RESPUESTA DE UN SISTEMA AMORTIGUADO SOMETIDO AL MOVIMIENTO ARMÓICO DE LA BASE A veces la base de un sistema resorte-masaamortiguador experimenta movimientos armónicos. Del diagrama de cuerpo libre de la figura se tiene [37 ] Fig. 11 Excitación de la base [37 ] [38 ] [39 ] [40 ] Fig. 12 Variaciones de Td y con r La fuerza se determina [41 ] Fig. 13 Transmisibilidad de la fuerza .FUERZA TRANSMITIDA: Una fuerza F. se transmite a la base debido a las reacciones del resorte y el amortiguador hidráulico. la ecuación del movimiento de escribe así: [44 ] Solución en estado estable Donde z es la amplitud [45 ] [46 ] .La fuerza se puede escribir como [42 ] Donde FT es la amplitud o valor máximo de la fuerza transmitida a la base. dada por [43 ] MOVIMIENTO RELATIVO: Si z=x-y indica el movimiento de la masa respecto a la base. 14 Variación de (Z/Y) o (MX/me) con relación de frecuencia r=(w/wn) [47 ] .Fig. EJEMPLO: . 15 Vehículo que viaja por una carretera desigual.Fig. . Ecuación del movimiento Fig. 16 Masas desbalanceadas rotatorias [48 ] .RESPUESTA DE UN SISTEMA AMORTIGUADO SOMETIDO A DESBALANCE ROTATORIO El desbalance en una maquinaria es una de las causas principales de vibración. Solución de la ecuación [49 ] [50 ] Amplitud Ángulo de fase [51 ] Si se define [52 ] [53 ] . EJEMPLO: . 17 Motor eléctrico en desbalance .Fig. sometido a una fuerza armónica.VIBRACIÓN FORZADA CON AMORTIGUAMIENTO DE COULOMB Para un sistema de un grado de libertad con amortiguamiento de Coulomb o de fricción seca. la ecuación del movimiento es [54 ] Fig. 18 Sistema de un solo grado de libertad con amortiguamiento de Coulomb . En un ciclo completo la energía disipada por el amortiguamiento de fricción seca está dado por Si la constante de amortiguamiento viscoso se indica como ceq Igualando las ecuaciones. se tiene [55 ] [56 ] [57 ] Respuesta en estado estable [58 ] [59 ] Amplitud [60 ] . el ángulo de desfase se calcula con la siguiente ecuación [64 ] .Sustituyendo [60] en [59] [61 ] Solución de la ecuación de la amplitud [62 ] Para valores pequeños se puede hacer esta aproximación [63 ] Si no satisface esta condición se debe usar el análisis exacto. es discontinuo en w/wn=1. Por lo tanto la ecuación [65] también se escribe asi [65 ] . ya que tiene un valor positivo para w/wn<1 y negativo para w/wn>1. se tiene para X [65 ] La ecuación muestra que Fo/N.Sustituyendo la ecuación en [63]. EJEMPLO: . 19 Sistema con amortiguamiento de histéresis [67 ] .VIBRACIÓN FORZADA CON AMORTIGUAMIENTO DE HISTÉRESIS Un sistema de un solo grado de libertad con amortiguamiento de histéresis sometido a una fuerza armónica. la ecuación de movimiento es [66 ] Fuerza de amortiguamiento: Solución en estado estable: Fig. [68 ] [69 ] Relación de amplitud: Fig. 20 Respuesta de estado estable . MOVIMIENTO FORZADO CON OTROS TIPOS DE AMORTIGUAMIENTO El amortiguamiento viscoso es la forma más simple de amortiguamiento utilizado en la práctica. Para amortiguamiento de Coulomb e histérico. se definen coeficientes de amortiguamiento viscoso equivalentes para simplificar el análisis. En otros ejemplos de amortiguamiento complejos se utiliza también coeficiente de amortiguamiento equivalente. ya que conduce a ecuaciones lineales de movimiento. . EJEMPLO: . la vibración de tubos inducida por e flujo. Estos sistemas se conocen como sistemas autoexcitados ya que el movimiento en sí produce la fuerza de excitación. desplazamiento. y la trepilación de las ruedas de un automóvil y el movimiento aerodinámico inducido de puentes son ejemplos de sistemas autoexcitados.AUTOEXCITACIÓN Y ANÁLISIS DE ESTABILIDAD La fuerza que actúa en un sistema vibratorio suele ser externa al sistema e independiente del movimiento. Hay sistemas para los cuales la fuerza de excitación es una función del movimiento. es decir. . La inestabilidad de las flechas rotatorias. velocidad o aceleración. la agitación de la aspas de la turbina. ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DINÁMICA: Para entender las circunstancias que conducen a la inestabilidad. se expresan las raíces como entonces Las ecuaciones [73] y [74] dan [73 ] [74 ] [75 ] . se considera la ecuación de movimiento de un sistema de un grado de libertad [70 ] Ecuación característica Raíces de la ecuación [71 ] [72 ] Para analizar el sistema. EJEMPLO: Fig. 21 Movimiento de una masa soportada por un resorte debido a la fricción de la banda . . Fig. 22 Movimiento de una mesa de trabajo mediante un tornillo de avance en una máquina herramienta . INESTABILIDAD DINÁMICA PROVOCADA POR UN FLUJO DE UN FLUIDO La inestabilidad provocada por un fluido se conoce como vibración inducida. Las tuberías de agua y petróleo. La vibración inducida puede ser provocada por varios fenómenos. así como tubos de compresores de aire experimentan vibraciones severa en ciertas condiciones. . Por ejemplo. vibran violentamente en ciertas condiciones de flujo de fluido alrededor de ellos. La vibración inestable conocida como agitación de secciones de superficie aerodinámicas se debe a fuerzas de levantamiento y resistencia desarrolladas por el aire alrededor. líneas de transmisión eléctrica. periscopios de submarinos. las chimeneas altas. Es ese caso.Fig. quizá la fuerza resultante del viento no siempre se oponga al movimiento del alambre. . Por el contrario. si se considera una sección no circular como un alambre cilíndrico cubierto con hielo. Como esta fuerza se opone a la dirección del movimiento del cilindro. el viento tendrá un componente ascendente de velocidad u junto con la horizontal U. Por simetría la dirección de la fuerza producida por el viento será la misma que la del viento. Si se aplica una velocidad descendente al cilindro. Por lo tanto la dirección de la fuerza resultante debido al viento contra el cilindro será ascendente. lo que implica un amortiguamiento negativo en el sistema. el movimiento del alambre es ayudado por las fuerzas del viento. el movimiento del cilindro se amortiguará. 23 Galope de un alambre Para el fenómeno de galope se considera una sección cilíndrica contra el viento que choca con una velocidad U. Datos experimentales muestran que la formación de torbellinos regulares ocurren frecuentemente en el rango del número de Reynolds (Re) de 60 hasta 5000 aproximadamente. Estos se conocen como torbellinos de Karman. se considera un fluido pasar sobre un cilindro liso. Para analizar el fenómeno de canturreo de alambres. Estos torbellinos se alternan en sentido de las manecillas del reloj y en el sentido contrario y así provocan fuerzas de levantamiento variables armónicamente sobre el cilindro. 24 Flujo de un fluido sobre un cilindro. perpendiculares a la velocidad del fluido. En determinadas condiciones se forman torbellinos alternos descendentes en un patrón regular. .Fig. 25 Modelado de una superficie aerodinámica como un sistema de un solo grado de libertad. .EJEMPLO: Fig. . . . Relaciona la salida de un sistema con su entrada. DEFINICIÓN: La función de transferencia de una ecuación diferencial lineal invariable con el tiempo se define como la relación de la transformada de Laplace de la salida o función de respuesta con la transformada de Laplace de la entrada o función forzada.MÉTODO DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Basado en transformadas de Laplace. se utiliza comúnmente para formular y resolver problemas dinámicos en la literatura de controles. suponiendo condiciones iniciales cero . También se puede usar para resolver problemas de vibración forzada. permite separar la entrada. el sistema y la salida en tres partes separadas y distintas. Estas diferencias son funciones de la frecuencia. .FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE FRECUENCIA La respuesta de estado estable de un sistema lineal sometido a una entrada senoidal también será senoidal de la misma frecuencia. difiere en amplitud y ángulo de fase de la entrada. Aun cuando la respuesta está a la misma frecuencia que la entrada. 26 Sistema de resortemasa-amortiguador .Fig. También se conocen como gráficas logarítmicas de la respuesta de frecuencia. Las ventajas de usar diagrama de Bode son: 1.RESPRESENTACION DE LAS CARACTERÍSTICAS DE RESPUESTA DE FRECUENCIA La respuesta de frecuencia de un sistema de segundo grado. 3. 2. Las curvas de respuesta de frecuencia se pueden trazar dentro de un amplio rango de la frecuencia w. indica la respuesta de estado estable del sistema a una entrada senoidal para posibles frecuencias diferentes de la entrada senoidal. En algunas aplicaciones se tiene que multiplicar las magnitudes de la respuesta de frecuencia. una del logaritmo de la magnitud de la función de transferencia de frecuencia contra el logaritmo de la frecuencia y una gráfica del ángulo de fase contra el logaritmo de la frecuencia. La función de transferencia de un sistema se puede identificar (experimentalmente determinada) con el diagrama de Bode. Se puede demostrar gráficamente de diferentes maneras. . En estos casos el resultado se obtiene mediante una adición simple en los diagramas d Bode. DIAGRAMAS DE BODE: Se compone de dos gráficas. EJEMPLO: . . su valor en decibles es 20 log N. Para algunos valores representativos de N. las equivalencias en decibeles son .LÍNEA DE CONVERSIÓN DE NÚMERO A DECIBEL: Cualquier número N. EJEMPLOS RESUELTO CON MATLAB .