Vetores e Geometria Analítica - Paulo Winter.pdf

Paulo WinterleVETORES e GEOMETRIA ANALÍTICA O autor apresenta um livro cujo realce está em suas qualidades didáticas j,.. Vetores ~ Produtos Escalar, Vetorial e Misto j,.. A Reta e o Plano Ji..- Distâncias ,.. Cônicas e Quádricas Os títulos acima citados são apresentados de forma acessível e enriquecidos com mu1 figuras e vários exemplos. Não houve economia em exercícios resolvidos e propostos dando ao livro uma estrutura e abrangência tais, que permitam seu uso em cursos diferentes orientações e níveis de adiantamento. O Autor Bacharel e Licenciado em Matemática pela PUCRS. Sua vida profissional caracterizou-se pela relevância na dedicação dada â sala de aula. Professor de Matem6tica desde 1959, exerceu a docência nos mais diferentes nivels - Alfabetização, Ensino Fundamental e Médio, Cursos Pré-Vestibulares, Ensino Superior, tendo atuado 26 anos na UFRGS e ainda em plena atividade na PUCRS, onde já completou 35 anos de docência, em diversos Cursos de Graduação. Participou de Comissões de Concursos Públicos e integrou equipes de elaboração de provas de vestibular daquelas Universidades. Exerceu atividades administrativas de Direção e de CoordenaÇio de Departamento. Autor de obras didáticas de Matemática para o Ensino Médio e quatro livros de Geometria Analftica e Algebra Linear, para o Ensino Superior, resultante de estudos e dedicação continuos destes conteúdos. 1\.utor: Winterle, Paulo Título: Vetores e geometria analltica. 11~111-llllll~ml~lll 00122204 Ac. 48703 Visite o nosso site www.makron.com.br ~ XII Vetores e Geometria Analítica MAKRON Books 2. Produto Escalar .............. 49 Definição Algébrica ................ .49 Propriedades do Produto Escalar ....... 50 Definição Geométrica de Produto Sumário Escalar .......................... 52 Cálculo do Ângulo de Dois Vetores ... 56 Ângulos Diretores e Co-senos Diretores de um Vetor ..................... 57 Projeção de um Vetor sobre Outro ..... 60 '[SI v, : I ~e I Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Escalar . . . . . ........... 61 Produto Escalar no Plano ............. 63 Uma Aplicação na Física ............. 64 Problemas Propostos. . . . . . .......... 66 Agradecimentos .................... V li X V Para início de Conversa ............. VIl 3. Produto Vetorial ............... 73 I. Vetores ....................... I O TRATAMENTO GEOMÉTRICO ..... 1 Noção Intuitiva ...................... 1 ..______ u +v ~ , I - V I I Preliminares ....................... Definição de Produto Vetorial ........ u v ........ Características do Vetor x 73 74 76 Casos Particulares de Vetores ......... .4 Interpretação Geométrica do Módulo do Operações com Vetores ............... 7 Produto Vetorial ................ 80 Ângulo de Dois Vetores .............. 13 Uma Aplicação na Física ............ 86 Problemas Propostos ................. 14 Problemas Propostos ............... 87 V X U O TRATAMENTO ALGÉBRICO ..... 18 Vetores no Plano ................ 18 4. Produto Misto ................ 93 Igualdade de Vetores ........ . . 21 Definição .......................... 93 Operações com Vetores 21 Propriedades do Produto Misto ....... 94 Vetor Definido por Dois Pontos 24 Interpretação Geométrica do Módulo Ponto Médio .............. . .... 27 do Produto Misto ................. 96 Paralelismo de Dois Vetores .......... 28 Volume do Tetraedro ............... 98 Módulo de um Vetor. . .. 29 Problemas Propostos ................ 99 Vetores no Espaço ............... 32 Igualdade, Operações, Vetor Definido por Dois Pontos, Ponto Médio, Paralelismo, Módulo de um Vetor .... 37 Problemas Propostos ................ 40 Sumário XIII XIV Vetores e Geometria Analítica 5. A Reta ...................... 103 8. Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 }f Equação Vetorial da Reta ........... 103 '--------~A /, As Seções Cônicas ............... 159 _)(Equações Paramétricas da Reta ....... 105 4 ----------;_/ i PARÁBOLA ...................... 162 Reta Definida por Dois Pontos ....... 107 ' ' Definição ........................ 162 Equações Paramétricas de um Elementos ....................... 163 Segmento de Reta ................ 108 Equações Reduzidas ................ 163 ~ Equações Simétricas da Reta ........ 108 Translação de Eixos ................ 167 ~Equações Reduzidas da Reta ........ I 09 Outras Formas da Equação da Parábola . 167 Retas Paralelas aos Planos Coordenados I I O Equações Paramétricas .............. 171 Retas Paralelas aos Eixos Coordenados 112 Problemas Propostos ................ 172 Ângulo de Duas Retas .............. 114 ------~-/ Retas Ortogonais ................... 115 Reta Ortogonal a Duas Retas ........ 115 Interseção de Duas Retas ............ 116. Problemas Propostos ................ 118 ELIPSE ......................... 177 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 6. O Plano ..................... 125 Elementos ........................ 178 Equações Reduzidas . . . . . . . . . . . . . . . 179 :Jir Equação Geral do Plano . . . . . . . . . . . . 125 Outras Formas da Equação da Elipse .. 183 ?-Equação Vetorial e Equações Equações Paramétricas . . . . . . . . . . . . . 186 Paramétricas do Plano ............ 128 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . 189 Equação Vetorial de um Paralelogramo 132 Casos Particulares da Equação Geral do Plano . . . . . . . . . . . . . 133 x=O ~Ângulo de Dois Planos ............ 136 ~!anos Perpendiculares 137 X= 4: I Paralelismo e Perpendicularismo entre I I Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 I r------t-~------,_ Reta Contida em Plano . . 139 HIPÉRBOLE ...................... 193 //0 Interseção de Dois Planos ......... . 139 Definição ......................... 193 4/ Interseção de Reta com Plano 140 Elementos ................. 194 Problemas Propostos .............. . 141 Equações Reduzidas ............... 195 Outra~ Forma~ da Equação da Hipérbole . 199 Equações Paramétricas .............. 202 Problemas Propostos ............... 204 Curiosidades ...................... 209 p 9. Superfícies Quádricas ......... 213 7. Distâncias ................... 151 Introdução ....................... 213 Superfícies de Revolução .......... 214 ~ Distância entre Dois Pontos .......... 151 Elipsóides ....................... 215 ·)<. Distância de um Ponto a uma Reta .... 151 Hiperbolóides .................... 218 ~ Distância de Ponto a Plano .......... 153 Parabolóides ..................... 221 ~ Distância entre Duas Retas .......... 155 Superfícies Cônicas ................ 223 ~ Problemas Propostos ............... 157 Superfícies Cilíndricas ............. 224 Problemas Propostos .............. 225 Bibliografia ...................... 231 Figura 1. as di~eçoes sao da~as pelo a~gulo considerado a partir do norte (N). d.1 (b) a direção é definida pela reta que passa pelos pontos A e B. porem.rreçao . mais formal e abstrato. d~ 40_0 ~· de~locand~-se para n~rdeste. Falamos das grandezas vetoriais. acelera- ção. volume. de B para A. sua direção e seu sentido. são exemplos de de vetor. pelo número com sua unidade correspondente. caso de o ângulo ser 220° (40° + 180°) . sendo ficam completamente definidas por apenas um número real (acompanhado de uma unidade a mesma. que o N volume de uma caixa é de 10 dm3 ou que a temperatura ambiente é de 30°C. I os Iguais [! ___________________________ A B [3--------------------------- Com o propósito de garantir uma maior clareza para o leitor. . precisamos ter -------------. velocidade.1 mento.2). diferente da dire- ção de r 1• Já a reta r3. As escalares são aquelas que Observemos que no. . que para serem perfeitamente caracterizadas necessitamos conhecer seu módulo 40° (ou comprimento ou intensidade). por um segmento or~entado (um segmento está orientado quando nele se escolhe um senti- ralelas têm a mesma direção. ou define. por ser paralela a r~o possui a mesma direção de r 1• Assim a noção Abstendo-se. A grande vantagem da abordagem geométrica é de possibilitar predominantemente a visualização dos conceitos que são apresentados para estudo. diríamos que o vetor é representado de direção é dada por uma reta e por todas as que lhe são paralelas. ciar Ois sentidos.-------. são exemplos de grandezas vetoriais. considerado positivo). área. A Figura l. !b 2 Vetores e Geometria Analítica MAKRON Books 1 Na Figura 1. s Antes de apresentar um exemplo mais palpável de grandeza vetorial. Este exemplo de grandeza vetorial sugere a noção adequada).2 r 1 determina. temperatura. Fica claro .contmua · . a. Quer dizer. massa. Portanto ' a cada di. A reta Figura 1. Assim. densidade. ou seja. e cadaI~~~ corres~~nd~ a I 00 kmlh). com a direção e o sentido definidos pelo ângulo de 40° o senti- Noção Intuitiva do sera mdicado por uma seta na extremidade superior do segmento. Força. Existem dois tipos de grandezas: as escalares e as vetoriais. o que favorece seu entendi. Posteriormente. ~endo o seu módulo dado pel_o comprimento do segmento (no caso. Comprimento. 0 des- locamento de uma pess~a nessa mesma direção pode ser feito de duas maneiras: no sentido de· Adpara · B ou · no sentido · contrário. o sentido é o oposto.l(a) apresenta três retas.0 podemas asso- . ' Existem. . quando dizemos que uma mesa tem 3m de comprimento. A reta r 2 determina outra direção. uma direção. Esta O TRATAMENTO GEOMÉTRICO grandeza (velocidade) sena representada por um segmento orientado (uma flecha_ F 1. 4cm. grandezas escalares. grandezas que não ficam completamente definidas apenas pelo seu módulo. do de percurso. estamos de- terminando perfeitamente estas grandezas.só podemos falar em " sent"d · · " ou em "sen- Vetores . retas pa. ~ . . a abordagem do estudo de (a) (b) vetores será feita por meio de dois tratamentos que se completam: Keométrico e alKébri- co. sob um ângulo de 40° (na navegação aérea.---------------- bem presente as idéias de direção e de sentido. Consideremos um avião com uma velocidade constante vista algébrico. então que . tidos contranos caso esteJamos diante da mesma direção.reça. os mesmos assuntos e ainda outros serão abordados sob o ponto de Agora vamos a um exemplo. em sentido horário). da idéia de grandezas vetoriais. no entanto. de AB. estamos afirmando que o vetor v é de- terminado pelo segmento orientado AB. O vetor ~ que tem o mesmo sentido I I Ainda. a direção e 0 sentido de ra 1. isto é. I -U I I '!!I( • existe um só ponto Q (Figura 1. Na Figu.8).5 . que é indicado Figura 1. O vetor também costuma ser indicado u uI/ v. é possível associar dois v A vetores unitários de mesma direção de ~ : u e . Indica-se o módulo de ~ por 1~ 1 ou 11 ~ 11. tal como v .3 todos os segmentos orientados paralelos. Figura 1. Na Figura 1.~ I = 1. enquanto u e v . BA = .~. mesma direção (são paralelos ou colineares) e mesmo sentido são representantes de um mesmo vetor. ~ "F Ô. o oposto de AB . no sentido de que o representante pode ter sua origem colocada em qualquer ponto. 1 Vetores 3 4 Vetores e Geometria Analítica Dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento.6.6 b) Dois vetores ~ e v são iguais. Esta é a razão de o vetor também ser chamado vetor livre.8 direção e o mesmo sentido de AB. ção. Pelo fato deste vetor não pos- smr d1reçao e sentido defimdos. o que vem reforçar o fato de que um representante de ~ pode ter sua origem em qual- quer ponto P do espaço.5) tal que o segmento de ~ é chamado verso r de~ . e indica-se por onde A é a origem e B a extremidade do segmento..orige~ c_oincide com a extremidade). ou_ AA (a . dados um vetor v AB e um ponto P. que será indicado por AB ou B-A Casos Particulares de Vetores a) ~ois~ vetores ~ e ~ são paralelos. c) Qual~uer p~o do espaço é representante do vetor zero (ou vetor nulo). a direção e o sentido de um vetor ~ é o módulo. temos paralelos e de mesmo sentido de ~ e medidos com a mesma unidade. w rio ao de.3 po. qualquer outro segmento de mesmo com. se os seus representantes tiverem a mesma dire- por uma letra minúscula encimada por uma flecha. d) A cada vetor não-nulo v corresponde um vetor oposto I! primento. porém.u I I Figura 1. têm sentido contrá. Figura 1. tem-se ~/I~ /I. onde ~ e ~ têm v A~ o mesmo sentido. Figura 1.. mesma direção e mesmo sentido de AB representa também o mesmo vetor ~. de mesmo módulo e mesma direção de~. Na verdade o vetor ~ orientado PQ tem o mesmo comprimento. Quando escrevemos v AB (Figura 1. o vetor BA é orientado que é representante do vetor v. Nesta e I u • I )lo'I I ~ I = 1. também v = PQ . a mesma não é versor só de~ ' mas sim de todos os vetores Figura 1. A cada vetor ~ . considera-se o vetor zero paralelo a qualquer vetor. Porém. de mesmo sentido e mesmo comprimento qualquer um dos seus representantes.4 I figura. Portanto. .7 ~H e) Um vetor ~ é unitário se I~ I= 1.r O. se tiverem iguais o módulo.4). tem-se I~ I = 3 I (Figura 1. representam o mesmo vetor. Se ~ = AB . cada ponto do espaço pode ser considerado como origem de um segmento sentido contrário (Figura 1. e indica-se por u =v . O módulo. 7). Cap. de Assim sendo. a direção e o sentido.AB . com origem no ponto (a) (b) A. e indica-se por u .ll(b)). cada uma das afirmações: Três vetores poderão ser coplanares (Figura l.13 ~ ~ a) b) DH = BF -AB - = -HG e) IAêi=IHFI ~ f) IAG I= I DFI - ~ ~ c) AB _l_ CG g) BG 11 ED (a) (b) d) -AF _l_ BC h) AB . Figura 1.9(a)) são u Exemplos ortogonais. Respostas gem nele.ED l) AM l_ BL s) IAOI=21NPI g) Dois ou mais vetores são coplanares se f) ~- AO=MG m) PE _l_ EC t) . estes vetores determinam 2) A Figura 1.11 . 0 K 1------+---"+----~ F e) DE ~ .-J G g) KN = FI n) PN _l_ NB estão representados.12 é constituída de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho).10 i) F 1) v o) V r) F 1. que é a mesma de todos os planos que lhe são paralelos.12 são sempre coplanares. traçar os dois representantes de a) V d) V g) F j) v m) F p) v s) V ~ e ~ pertencendo ao plano 1t (Figura b) V e) V h) v k) v n) V q) v t) v Figura 1.9 Considera-se o vetor zero ortogonal a r) IAJI=IACI r d) BL. 1 Vetores 5 6 Vetores e Geometria Analítica f) Dois vetores u e v (Figura 1.1 0) que passa por aquele ponto. 1) A Figura 1. De- gum representante de ~ formar ângulo cidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações: reto com algum representante de v . formando ângulo reto.H_ _--.l v .:::: -MC k) AB l_ EG qualquer vetor. pois basta consi- derar um ponto P no espaço e. Decidir se é verdadeira ou falsa a "direção" do plano TC. - IAM I= IBLI existir algum plano onde estes vetores L___---'--1_ __. com ori.ll(a)) ou não (Figura l.9(b) apresenta dois repre. L ~---M~----N~-----~ É c) BC= OP j) AJ 11 FG q) I IFI = I MF' I Figura 1. a) b) AB .13 representa um paralelepípedo retângulo. A B c D h) AC 11 HI o) PN l_ AM A Figura 1. se al. É importante obser- var que dois vetores u e v quaisquer Figura 1. c) F f) V No caso de ~ e v serem não paralelos corno nesta figura. BC e CG são coplanares Figura 1. -OF = AM = PH i) JO 11 LD ~ - p) IACI = IFPI sentantes de u e v. Cap. .. - Consideremos os vetores u e v .14) e. b) F f) v j) v n) V v o) V u +v = AC c) V g) F k) p) v Figura 1. cuja soma u + v pre- -+ tendemos encontrar.~ pela outra dia- Figura 1. - O vetor u + (-v ). 1 Vetores 7 8 Vetores e Geometria Analítica i) AB . verifica-se que u + y ______. ~ + u Associativa: ( u + v ) + w = u + (v + w ) ~ Sendo u // v.. isto é._ u y I u_v _v a soma u + v é representada por uma das diago- (a) (b) nais. isto é. _.. Utilizemos a ex- tremidade B para traçar o segmento orientado BC repre- A !---.v. Repre- k) AC.- IV) Elemento oposto: u + (.. . + -ç pelos ve~res ~~ e ~ (Figura 1. há uma o) AB é ortogonal ao plano BCG c outra maneira de se encontrar o vetor soma u + v . a maneira de se obter o vetor u + v é a mesma e está ilustrada na . .. o Figura 1.. . DC e CF são coplanares j) EG .u ) = O contrários). ~ ~ ~ sentam-se u = AB e v =AD por segmentos orientados de l) AB . FG e EG são coplanares m) AB . Completa-se o paralelogramo ABCD (Fi- Respostas gura 1.14 vetor soma de u e v .. com origem nele. por definição.16) e o segmento orientado de origem A.16 ou d) v h) F 1) F AB + AD = AC Para o caso de se determinar a soma de três vetores ou mais. o procedimento é análo- Operações com Vetores go (Figura 1. O vetor representado pelo segmento (a) (b) orientado de origem A e extremidade C é. escreve-se u .18 . a soma deles será o Adição de Vetores .. BG e CF são coplanares mesma origem A. Cap. CB e HF são coplanares n) AE é ortogonal ao plano ABC D No caso de os vetores u e v não serem paralelos. se a extremidade do representante do último vetor coincidir com a origem do representante do primeiro (Figura 1.. 17 (b) ).17(a)) e. a adição admite as seguintes propriedades: ou =v AB +BC= I) II) Comutativa: u + v . y u ~ Observemos que no paralelogramo determinado u -ç .-~ . tracemos um segmento orientado AB representante do vetor u. enquanto a diferença ~ . em particular. DB e FG são coplanares p) DC é paralelo ao plano HEF .:: O). Tornemos um ponto A qualquer (Fi..15(b) (u e v de sentidos . U+Y+W sentante de v .. que corres- a) V e) V i) v m)V A ponde à diagonal do paralelogramo.15(a) (u e~ de mesmo sentido) e na Figura 1. Figura 1. y gura 1. Figura 1.18).. v e w vetores quaisquer..15 li gonal.17 u + v AC Sendo u. ~ vetor zero ( u + v + w + t :.- III) Elemento neutro: u + O = u Figura 1. é o vetor u + v. é chamado diferença entre u e v . d) AC + AK h) AO OE l) BL + BN + PB Vamos provar que M é também ponto médio de BD. .19).u .- Para os vetores u e v da figura. origem no ponto A: Solução i/Y/c a) AC + CN e) AC + EO i) MO NP Consideremos o paralelogramo ABCD de dia- b) AB + BD f) AM + BL j) BC CB gonais AC e BD e seja M o ponto ~io d~C c) AC + DC g) AK + AN k) LP + PN + NF (Figura 1. a) AF c) AH e) AH g) AG b) AE d) AB f) AF h) AD Se a = O ou v = O. como BM = MD .O. todos com origem em um mesmo ponto. determinar os vetores abaixo. Solução . então a v = O . - u . tem-se Solução A 8 BM = BC + CM (definição de soma) a) AN c) AB e) AM g) AH i) AC k) AE AD + MA (igualdade de vetores) Figura 1. A Figura 1. expressando-os com MO (definição de soma) origem no ponto A: Ora. tem-se: 2~ Figura 1. Pela figura. expressando-os com 4) Provar que as diagonais de um paralelogramo têm o mesmo ponto médio. página 6. equivale dizer que AM = MC . 1 Vetores 9 10 Vetores e Geometria Analítica Exemplos 1) Com base na Figura 1.19 b) AD d) AO f) AK h) AI j) AC 1) o MA + AO (propriedade comutativa) 2) Com base na Figura 1.20 apresenta o vetor v e alguns de seus múltiplos. r Cap. o vetor a~ tal que d) BC h) +DA+ FH a) módulo: I a~ I = I a li~ I. o comprimento de a~ é igual ao comprimento de v multiplicado por I a I . determinar os vetores abaixo.u e . página 6.20 . . Solução - b) direção: a v é paralelo a v . a) AB + CG e) CG + EH Multiplicação de Número Real por Vetor b) BC+ DE f) EF FB Dado um vetor ~ -:1. v .v . - ~ - 3) Dados dois vetores u e v não-paralelos. chama-se produto do número real a pelo c) BF + EH g) AB + AD + AE vetor ~. 13. e contrário se a < O. construir no mesmo gráfico os vetores u + v . .v . --+ .Õ e um número real a i:.12. isto é. conclui-se que M é ponto médio de BD . - c) sentido: a~ e ~ têm o mesmo sentido se a > O. - b) tenha sentido contrário ao de v e módulo 1O. / .23 o A B c lOv DC está dividido em cinco segmentos 5 a) _v e b) congruentes (de mesmo comprimento). Iv I u =av. v Por outro lado.25(b) Figura 1. 1- x=2u-3v+-W.= 2 -u + 2 -v . que a cada vetor v. Determinar o vetor paralelo a ~ tal que são paralelos (Figural. tem-se Figura 1. I - se Iv I = . A Figura 1.21 . obter .22 Se ~ e ~ são vetores quaisquer e a e ~ números reais. Solução A partir de um vetor arbitrário ~ "F Õ (Figura 1. teremos repre. Cap.25 . -v o rrv . 2 (a) (b) 10 Solução: Figura 1. Figura 1. Ivi 2( u + v ) ou ~ de mesmo sentido de v é o versor de v . -2 -. se Iv I = 1O. o versar de ~ é Y'_ · I) Representados os vetores u. . o versar de -v é . se fizermos a assumir todos os valores reais. Figura 1. v "F O.24 Ivi -3~ Por exemplo. Logo. ~ "F Õ.25(a).24 ilustra a propriedade III para a = 2. supondo u // v. v possível associar os dois vetores paralelos e umtanos: -=- Iv I Figura 1.- + v)=a u +a v IV) 1v = v CD=--AB 2 b) Vimos em Casos Particulares de Vetores. ~ "F Õ. . O vetor unitário --!.21 ).. sentados em uma só reta todos os vetores paralelos a ~ . . sempre existe um número real a tal que v (mesmo sentido de v ) e --=. Exemplos 1- -w 2 se I~ I= 5. como na Figura 1. em Ivi I vi relação ao vetor AB (I AB I= 2). 1 Vetores 11 12 Vetores e Geometria Analítica Observações Exemplo a) Considerando o ponto O como origem de ~. o versar de v é 3 v . a) tenha o mesmo sentido de ~ e módulo 5. . e de todos os vetores a~ que lhe Seja o vetor v "F Õ. página 4.8. a multiplicação de número AC=]_AB real por vetor admite as propriedades: 2 ~) ~ li) (a + = av + ~~ BD =-2AB -. v e l' 5' "'-" :.23) é sempre -3 -. onde Figura 1. é possível associar dois vetores unitários paralelos a ~.22. tem-se as soluções: Por exemplo.~ . (sentido contrário ao de v ). graficamente o vetor x tal que 3 .~ . na Figura 1. isto é. 5- - III) a( u . por exemplo. 3 ra L28(b)).. Cap. MN 11 AB e I MN I = AB. onde u = OA.DI j) GF 11 HG 2) Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações: a) Se ~ = ~. .então I~ I= I~ L o) OB =. expressando-os com origem no ponto A: a) OC + CH e) EO + BG i) OG .28 . d) Se ~ = ~. são paralelos.27 . 1 Vetores 13 14 Vetores e Geometria Analítica 2) Demonstrar que o segmento cujos extremos são os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e igual à sua metade. então u = v. Ângulo de Dois Vetores c) Se u // v. oversorde-lOv é--.Bl i) AF 11 CD n) AO j_ HF _!_AB 2 . I= I~ I+ I~ L ra 1.26). Decidir gura 1. ~ e . g) Se AB = DC. determinar os vetores abaixo. Figura 1. e) Se .OI= IH.HO u • u b) EH + FG f) 20E + 20C j) AF + FO +AO )lo 2~ C) 2AE + 2AF g) _!_BC+ 2 EH (a) (b) d) EH + EF h) FE + FG Figura 1. interseção das diagonais desse losango.FE . com os vetores u e 2 u que têm o i) Os vetores 3 v e -4 v são paralelos e de mesmo sentido. Portanto. então ~ . v = OB e O::. 1- =-( AC+CB) c) DO= HG h) I OA I = -I DB i m) EO j_ CB 2 2 A B d) IC -OI= 10. . e::.-. então e 1t. j) Se ~ /I ~. e::. Se u //v e u e v têm sentidos contrários. 3) Com base na Figura 1.. então e = O. 180°. então u = v ... I~ I= 2 e I~ I= 4.29 apresenta o losango EFGH ins- Solução crito no retângulo ABCD. = ~ + ~. se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes Pela figura. Se ~I/~ e ~ e ~ têm o mesmo sentido.29. então I. o e ou oo::. .29 MN=MC+CN a) EO = OG f) H-E=O-C k) AO 11 OC = _!_ AC + _!_CB ~- 2 2 b) AF = CH g) I AC I = I BD I 1) AB j_ OH 1 ~. B o ângulo entre osvetores não-nulos u e v é o ângulo e for. É o caso de ~ e -3 u (Figu. então ~ = 2 ~ ou ~ = -2 ~. .26 e) IH. É o ü h) 15 ~I= 1-5 ~I= 51~ L que ocorre. Figura 1. respectivamente (Fi. 1t (e em radianos) f) I. então ABCD (vértices nesta ordem) é paralelogramo. . então ~ 11 ~ . Problemas Propostos 1) A Figura 1.- b) Se Iu I = Iv I. mado por duas semi-retas OA e OB de mesma origem O (Figu.z1.27). I = I~ I + I~ I. sendo O o ponto de Seja o triângulo ABC eM e N os pontos médios dos lados CA e CB.. mesmo sentido (Figura L28(a)). v k) Selvl=3. tem-se c afirmações: Figura 1. . . v e w o Indicar.v AD + AB d) AN + BC a) a) A • N B h) ~ .32. Jeternânar o ângulo formado Figura 1. tal que ~ = a~ + ~. em um IJ) D· pelos vetores AB e AD . ~) a) 2 h) Figura 1.3 ~ Figura 1.30 b) c) 2 d) 2 ~ . v e w seremnüo-coplanares .l DC Figura 1. apresentar. os vetores \) a) x. b e c (Figura 1. respectivamente. sendo M e N pontos médios gráfico. mostrar. 1 Vetores 15 16 Vetores e Geometria Analítica I .31. tal que ~ =a~ + b w b) _a) x == BA + 2 BC X == 3 AB 2BC h) CY. como na Figura 1.I- b) e) 2a.I- I a) d) a+-b b 2 2 a. B e'c não-colineares.b íT 2 2 b - - a I- (b) (c) (d) C) f) -a.b . c) Teria si~J p~)ssí":l realizar este exercício no caso de os b) X = 2 CA + 2 BA d) i == _!_ AB . seja AB = ~ e AC = b o Co~str~ir um representante de cada um dos vetores c . na própria figura.2 CB vetores u . graficamente. representar o vetor u.. Determinar: a) u .33 6) Determinar o vetor x nas figuras: lO) Dados os vetores a.-.34 :) a) '-') c) d) h) ]]) ~a ~igu~ 1°35 estão representados os vetores coplanares w c) 7) Dados três pontos A. ~ e ~ .31 ~) a) pelos vetme. \) b) a) u e-\ hJ-ue2~ c) -u e-v d) 3 ~ e 5 v 6) .2b (a) 2 3 Figura 1. um representante do vetor u YJ No triângulo ABC (Figura 1033 ).35 _)) a) 1) N 12) Sabendo yue o ân 0uulo entre os vetore.34). Cap.30) é determinado 8) Dados os vetores u e v da Figura 1.-. A L 0 - )11 a+b .s u. um representante d~ vetor ~ tal que 6~'~ a)~=4.32 c) v nos casos: 5) Apresentar.7 ~ 4) O paralelogramo ABCD (Figura 1.\' .e v é de 60°.~ b) BA +DA e) MD + MB C) . um representante do vetor ra dos lados DC e AB.-2h-~ D v (a) X (b) V (c) V (d) b) (a c) a + c + x = + b + ~) + ~ - 2b =O Figura 1. 2 LI f) BM . nos casos: a) a~ e b. graficamente. -x e y. \espostas de Problemas Propostos ) a) V e) F i) V m)V uJ F f) F j) F n) F c) V g) V k) V o) V d) v h) v 1) v :) a) V d) V g) F j) v b) F e) F h) V k) v c) F f) V i) F \) a) AE d) AB g) AH . respectivamente. Cap. sendo O TRATAMENTO ALGÉBRICO x u+2~ey=~ 2u. Consideremos dois vetores v 1 e v 2 não-paralelos. Expressar os vetores AM e AN em fun- 3 Figura 1. Figura 1.37).. representados na figura.v b) u -v c) v.'l b) d) AM f) BD 5) a) u. . -- BN = BC. ponto O.37 ção de AB e AC. são expressos em 1 3) b) 75° c) 60° de v. -w. representados com a origem 1 c) o ângulo entre os vetores -2 ~ e w.36 15) Demonstrar que o segmento de extremos nos pontos médios dos lados não-paralelos de um trapézio é paralelo às bases e igual à sua semi-soma. -v. sendo r1 e r2 retas contendo estes representantes. v e .38 ado \) !) Não a) 120° b) 120° c) 60° d) 60° Os vetores -u. 16) No triângulo ABC (Figura 1. representados na Figu- ra 1. -t . determinar a) um representante do vetor x + y.36. j) AC b) AC e) AO h) AO c) f) AO i) AO ~) a) AC c) AB e) MN :to. 1 Vetores 17 18 Vetores e Geometria Analítica w U) Dados os vetores coplanares ~. e v2 por 1 2 1 6) AM=-(AB+ ) e AN -AB+-AC 2 3 3 . Vetores no Plano b) o ângulo entre os vetores -3 ~ e .u d) u +v Figura 1. tem-se BM l BC e 2 1. (Figura I 14) Demonstrar que os pontos médios dos lados de um quadrilátero ~ qualquer são vértices de um paralelogramo. y) (3) paralelos constitui uma base no plano.40 Dado um vetor ~ qualquer do plano (Figura 1. Trata-se da base que determina o conhecido sistema cartesiano ortogonal xOy. 3j Dentre as infinitas bases ortonormais no plano.. 3 i -5j = (3.39 xi quer conjunto de dois vetores não.. .l) De modo geral.. veja a seguir vs=(a 1 . i a 2 tal que Daqui por diante. diz-se que v é combinação Une- . respectivamente. dada uma base qualquer no dispensando-se a referência à base canônica C. existe uma só dupla de números reais a 1 e j = (0.39 ilustra esta situação. as bases mais utilizadas são as ortonormais.v onde v 1 e v 2 são vetores não-paralelos Os números x é y. Figura 1. O vetor v em (2) será também representa- do por -------*~~----------~~~-x é chamado base no plano. O vetor v da igualdade (1) pode ser representado também por ~=(ai' a 2 ) 8 ou O par (x. y) é chamado expressão analítica de ~.. são as componentes de y quaisquer e v é um vetor arbitrário do v na base canônica.41 plano. i = (1. uma delas é particularmente impor- tante. são simbolizados v=-2v 1 +3vz por i e j. A primeira componente é plano determinado por Vt e vz y~~ chamada abscissa de v e a segunda componente Quando o vetor v é expresso como y é a ordenada de v . 1 Vetores 19 20 Vetores e Geometria Analítica y U=5v 1 +4V~ vetores ortogonais e unitários. alguns vetores e suas correspondentes expressões analíticas: Na prática. qual. existe uma só dupla de números x e y tal que A Figura 1. v =xi +yj (2) ---------------------------. -5) -4 i = (-4. Os .41 ).a 2 ). j } chamada canônica. em (I). 0) e (0. .0) ~~--~--------~~x o -+ v representado no mesmo plano de VI e vz. y) de números reais. evz. de modo único.... todo vewr desse plano é combinação linear dos vetores dessa base.. ambos com origem em O e extremidades em W =-4VJ-V2 (1.. para cada vetor C ={i . v = (x. Portanto. Embora estejamos simbolizando a base como um conjunto. vz } . o Figura 1. dados dois vetores quaisquer . trataremos somente da base canônica.40).. 1). 1 e . Então..- arde v. 1)... = (0. se ~~ _L ~2 e I~~ I = I ~zl = 1. A igualdade (3) sugere a definição: Os números a 1 e a 2 da igualdade (1) são chamados componentes ou coordenadas de v na base B ( a 1é_ a primeira componente e a 2 a segunda componente). e 2 } é dita ortonormal se os seus vetores forem ortogonais e unitários. 0) e (1. 3) O = (0. Cap. 2 não-paralelos.. nós a pensamos como um conjunto ordenado. neste caso. Aliás. sendo a base T co. Vetor no plano é um par ordenado (x. Figura 1. (Figura 1. O conjunto B ={Vt. O) Uma base { e 1 . O) isto é. Para exemplificar. - -u+(-u)=Ü u + Operações com Vetores b) para quaisquer vetores u e v e os números reais a e p. Assim.1 / I I t ""l------------~-------. tem-se O vetor u = (x + 1. e somente se. Em geral. u.y 1 -y 2 ) escrevendo-se u =v .= -u . 1 Vetores 21 22 Vetores e Geometria Analítica y Observação y -. . -9.6) se x + 1 5 e 2y.- : A escolha proposital da base { T.42). y = 5 e ~ = v = (5.2(-1.2 v. se ~ =~. -1) e 2 v =(-2. . y 2 ) são iguais se. Cap. . número.. 1v=v 1) u +v (x 1+x 2 . 2y. = ( x 2 . as coordenadas do ponto y/( ------------------ ---~-. . -9) + (-2. -9) + (2. - 2) Determinar o vetor x na igualdade 3 x + 2 u = -v + x. .-y 2 )=(x 1-x 2 .v= u +(-v)=(x 1. somam-se as correspondentes coordenadas. v e w . x 1 = x 2 e y 1 = y 2 . Figura 1.43(a) e 1. demonstrar estas propriedades.r }deve-se exclu. 1.ay 1 ) Exemplos Portanto. -1) 3 u . 8) = (6. o plano pode ser encarado como um conjunto de pontos ou um conjunto de vetores. deixa-se de indicar nos eixos os vetores i e r como se vê nessa figura.43 Considerando estes mesmos vetores. Define-se: .o.43(b) ilustram as definições das operações dadas acima.4). y sivamente à simplificação. y 1 ) e v = ( x 2 . -8) = (6 + 2.6 = 4 ou x 4e U+V=V+U (u+v)+w=u+(v+w) y = 5.y 1 )+(-x 2 . y 1 ) e v E R. au ~ extremo P são as próprias componentes do vetor OP --0~~----------~x----~x / ~ l____________ : na base canônica. 4) é igual ao vetor v (5. sendo dados u = (3. para somar dois vetores. 4) = (6. tem-se ainda: Igualdade de Vetores . -17) . 4).8) = (8..-yj) Dois vetores u ( x 1 .~ -----1.2. tem-se ~ . determinar 3 u + 2 v e 3 u . 4) = (6.então x = 4. 2)au=(ax 1 . Figura 1. y) do plano xOy corresponde o vetor ~ = OP =X T + y r (Figura 1.-3) + 2(-1.42 I I I (a) (b) De acordo com as considerações feitas. e para multiplicar um número real por um vetor. A cada ponto P(x. 3 ~ + 2_v = 3(2 .- a(u+v)=au+av .y 1 +y2) Sugerimos como exercício ao leitor. Solução As Figuras 1. y2 ) e a Sejam os vetores u = ( x 1 . -3) e v = (-1. -9 + 8) = (4. Quer dizer. 4).2 v = 3(2. - -u =(-l)u =(-x 1 . As definições anteriores e as operações algébricas dos números reais permitem de- monstrar as propriedades: Exemplo a) para quaisquer vetores u. multiplica-se cada componente do vetor por este 1) Dados os vetores ~ = (2. -3). o que "melhor o (lO. 1+1) 2 isto é. 1). y 1 ) e OB = ( x 2 .OA ~ 1 x= (-2. em vista das propriedades das operações com vetores expostas anterior. 2).) É importante lembrar que um vetor tem ~ = a 1 ~~ + a 2 ~ 2 . mesma dire- Substituindo os vetores na igualdade acima.a 2 .3. AB e CD representam o mesmo vetor v 2 formarem base do plano. vem A 1 ~-- X V U OA + AB = OB 4 donde Substituindo ~ e v nesta equação. v Figura 1. Vetor Definido por Dois Pontos mente.45 É conveniente observar que este sistema sempre terá solução única no caso de VJ e Na Figura 1.4u De acordo com o que foi visto em (3). infinitos representantes que são os segmentos Solução orientados de mesmo comprimento. 0) e I I I I I I (10. y 2 .A y 3) Encontrar os números a 1 e a 2 tais que :t~~~~~B(x.5)+ a 2 (-1.. Esta figura deixa claro que o fato de os segmentos orientados ocuparem posições diferentes. 2) = (3 a 1.5a 1 +2a 2 ) extremidade em P( x 2 .44 ). E. pode ser resolvida como ~ma equação numérica: Consideremos o vetor AB de origem no ponto A( x 1. dentre os infinitos repre- (10.2) (3a 1 a 2 . razão pela qual também se escreve AB =B . 1)+(-3.46. 1 Vetores 23 24 Vetores e Geometria Analítica Solução Esta equação.2)= a 1 (3. temos ção e mesmo sentido. é irrelevante. do triângulo OAB da figura.y 1) (Figura 1. 2 a 2 ) caracteriza" é aquele que tem origem em 0(0. y Por outro lado.O= B.A= D. ~~ = (3. 4)-(3.45).-1) ou 4 1 =(--. 5 a 1) + (.- 4x =v . sendo~ = (10. y 1 ) e extremidade em B( x 2 . a mes- ma direção e o Il}esmo sentido para representarem o mesmo vetor. Cap. y 2 ). vem AB = OB.. os segmentos orientados OP. o que realmente acontece. I I Da condição de igualdade de dois vetores. 6x 2x v .44 1 =(--. Logo. conclui-se que O vetor v = OP é também chamado vetor 3a 1 a 2 = 10 posição ou representante natural de AB. 5) e ~z = (-1. { 5a + 2a 2 =2 1 sistema cuja solução é dada por a 1 2 e a 2 = -4.2) B as coordenadas da origem A.2) sentantes do vetor AB .x 1. ~ = P. é que eles tenham o mesmo comprimento. y 2 ) 6x+4u v+2x (Figura 1.4u OA = ( x 1. os vetores OA e OB têm expressões analíticas: . O que importa. . 1) e 2 Figura 1.y. 2). as componentes de AB são obtidas subtraindo-se das coordenadas da extremidade =(-~.C= (3. também. y). Sistema .48 tem-se . 3) + (3. Observação Retornando à Figura 1.AB ou D . o vetor ~ "transporta" o ponto inicial A para o ponto extremo B. Figura 1. -3) = (2. 1- P =O+ v (0. -3) Logo. 2).A= (4. D(O.y)-(-2.y-4) AB = B. -3) Figura 1. 5) e os vetores u. B = A+ v ou B = A + AB 2 isto é.46. sempre que tivermos .. D = (-2. -1) 3 3 CD =.1) extremidades de um segmento. tem-se r4 :-~ 2 Figura 1.C= (1.47. 3) e C(3. os 1 3 5 vértices do triângulo são os pontos A( 4. -1).46 2 Por outro lado. 1 (x+2. -2) = (0.(6.3) c 51---·--·----. - Cap. ) 2 Pela condição de igualdade de dois vetores. v e w indi.). -3) = (-2.C = . B(5. 4) = (6. tem-se y Este problema poderia.AB . 0) + (3. 1) D=C+-ABe 2 Ainda uma ilustração: na Figura 1. Então. determinar os pontos F e G que cados são dividem AB em três segmentos de mesmo comprimento. determinar o ponto D de modo que 1.AB Observamos ainda que 3 A F G B Mas u+ v + w = o = (0.2)+(3. I) (3.A= (3.(-2.4)=(x+2. CD =D-C=(x. 1- AF = FG = GB = .48 Exemplos e ]) Dados os pontos A(-1..4) = (2. -4) --.-3) 3 (x + 2. soluçao cuJa . vem 2 2 D=C+ ~ =(1. 1 Vetores 25 26 Vetores e Geometria Analítica y Solução Seja D(x. = o e y =-. 4). B(3. 4) . 1). 5 v AB ou v =B A 2 podemos também concluir que 5 Portanto.. 1) = (1. 1). 2 ). 1.47 AB = B. 1). 1 ~ 1- .y .4) e B(4 . 4) + (2. ter sido resolvido da seguinte maneira: B = A+ ~ = (-2. . 2 . 2) Sendo A(-2. l- da condição CD = .y-4)= Q(4. 1)=(4.(-1. = CA =A.AB. 0). . -1) e C(-2. 2) = (4. Solução v Pela Figura 1.AB =. onde v = (3.ex . 4) + 2 (4. determinar os vértices C e D. y 2 ) y (Figura 1. AM =M-A (2. Cap.-1)=(2. página 10.4)+(2. 2) vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD e M(4. isto é..49 tem-se 2 ' 2 ' 2 C :. y 1) e B( x 2 .2) 3 M ( X1+ Xz Y1+Y2) 3) Sendo A(2. isto é. dois vetores são paralelos quando suas componentes forem proporcionais. 1 Vetores 27 28 Vetores e Geometria Analítica Portanto. se dois vetores ~ = ( x 1. 1 G=F+ AB =(0. M( . temos Figura 1. ou seja. 3) e B(6. 4) donde Ponto Médio Seja o segmento de extremos A( x 1.0) paralelo a qualquer vetor. Figura 1. 3) e v -= (-4. 2) = (6. real a tal que u = a v . y) o ponto médio de AB. 1) e B(5..B = (-1. . pela Figura 1. 3) o 2 ' 2 ponto de interseção das diagonais.50 2x = X I + X 2 e 2y YI + Y2 Observações ou a) Considera-se o vetor Õ = (0. AM MB ou Exemplo - Os vetores u = (-2. 1) =(3. 3) + (2. Sendo M(x.. 2) é paralelogramo têm o mesmo ponto médio. demon~u-se~e as diagonais de um O ponto médio do segmento de extremos A(-2. A ~E podemos expressar de forma vetorial como Esta é a condição de paralelismo de dois vetores. x=x1+x2 e y= Y1 +y2 F=A+ l AB =(-2. 1) Portanto.-1)=(0.49 c= (4. y 1 ) e ~ = ( x 2 . Exemplo 4.2 + 6 3 + 2 ) ou M ( 2 2) Então. 3) + (-1. 2) ( X 1 • YI ) = a( X 2 • Y2 ) e ou BM M.50).3)+(2. AM = MC e BM MD . M + MC = M + AM e Paralelismo de dois Vetores D = M + MD = M + BM (ou: A + BC) Vimos que. 5) que pela condição de igualdade resulta em e xi=ax2 e Yt =ay2 D =(4. Solução Exemplo Em Adição de Vetores.3) 2 2 3 Portanto. existe um número Mas. 6) são paralelos pois e daí o -2 3 x x 1=x 2 x e y y 1 Y2 y -4 6 Resolvendo em relação a x e y. y 2 ) são paralelos. Ô.-~) 12vl ~62 +(-8)2 10 10 10 5 5 Observações y Exemplos a) Distância entre dois pontos A distânci:l entre dois pontos A( x 1 . pois ei -~)\= ci)2 +C-~)2 =~ 9 + 16 = {2s = 1 l 5' 5 5 5 25 25 ~ 2s É importante observar que este versor ~ é também versor de todos os vetores múlti- Figura 1. 3) e v= (-2. Exemplo Se v= (2.5)1 =. 2). Cap.23. um vetor unitário. vem O versor é. 6) + (6. Solução Como AB . -1) e B(-1.3 v = 2(-1.3.J9+25 =f34 2) Determinar. 4). 3) = (4. que a 12~.51 plos de v que tiverem o mesmo sentido dele. 3). -3). temos ---0+-----------------~X a) 1~1=~.)16+81 = J97 d) Por >er AB =B. é possível associar dois vetores unitários paralelos a v : v (é o d(A. 'A~ b)lu+vl d) a distância entre os pontos A e B d(A.. v versor de v ) e seu oposto ---:::. A)= d(P.1 =1(4. 0). na verdade. determinar B( x 2 . . -1). - 1) Dados os pontos A(2.-~)=(i. -2) e B(5. 2)1 =~(-3) 2 2 +2 =.1 ~32 +(-4)2 -[25 5 5 5 Pitágoras. y 2 . temos cada vetor~ .(2. -1) = (-3.-4) =(3. Deve-se ter d(P. . (unidades de comprimento) u= 2~ (6. B . 1 Vetores 29 30 Vetores e Geometria Analítica b) Se urna das componentes de um vetor for nula.A = ( x 2 . -8) é ainda lvl= . 3) + (-2. a componente correspondente de um vetor paralelo também é nula. .52) é o comprimento (módulo) do IAB[~B - a)lul c) - 12u - -3vl vetor AB .B)=IABI = 1(-3. y 1) e . página 12.. -1) = (-3. -4) é y Módulo de um vetor u=~= (3. então Para exemplificar.y 1 ). no eixo Ox. 4) e os vetores u-= (-1. Pelo teorema de 1. o versor de 2v = 2(3. -4 ).-2. 9)1 = .A= (-1. I vi Solução O ponto procurado é do tipo P(x..52 ~~+.x 1 . 2 =14+1 =J5 2 -+-(--1)- b) Por ser u + v= (-1. y) (Figura 1. temos d(A. -1) = (-2. B) IAB I. B) = Figura 1.I= 1(-3. um ponto P que seja eqüidistante dos pontos A(-1.J4 + 9 Jl3 u.J9+4 =m b) Vetor Unitário c) Por ser 2 u .-8)=(~. B) ou IPAI= IPBI . Figura 1. Exemplo O versor de ~ = (3. y 2 ) (Figura1.51).c.-4)=(i.-4)=(3. ~ =t.3(-2. temos Vimos em Multiplicação de Número Real por Vetor. 5).-~) Seja o vetor ~ = (x.-8) =(6. isto é. -4) = (6. 9). 54 .. nam os três eixos cartesianos: o eixo Ox ou eixo c) o mesmo sentido de v e módulo 4. considerare- l + 2x + x 2 +4 = 25 . . cada dupla de eixos. de forma análoga.X. ~etores no Espaço PA =A P = (-1 .- mos a base canônica { i . -4)1 Vimos em Vetores no Plano que a base canônica { i .x.. -4). Portanto. dos x (das abscissas) corresponde ao vetor i .53). temos três planos coordenados: o plano xüy ou xy. o c) Um vetor unitário obtido a partir de ~ é plano xOz ou xz e o plano yüz ou yz. j } no plano determina o sistema ou cartesiano ortogonal xüy e que a um ponto P(x. eixo Oy ou eixo dos y (das ordenadas) correspon- Figura 1. página 21. -2) 2 um plano coordenado. chamado também de eixo coordenado. determina b) Basta mu1tlp 1tear o vetor por . No espaço. direção de cada um dos vetores da base determi- b) sentido contrário ao de v e a metade do módulo de v .: -2 v = -2 (-2. j . lüx + + 16 ~ . isto é. onde estes três vetores - 3) Dado o vetor v = (-2.54(a) e 1. 1 Vetores 31 32 Vetores e Geometria Analítica Mas. e. y) qualquer desse plano corresponde o vetor OP = x i + y j . · . Cap.42). k unitários e dois a dois ortogonais estão represen- _o__. z I vi v4+ 1 v5 v5 Uma vez que o vetor procurado deve ter módulo 4 e mesmo sentido de v . k } como aquela e x=3 que irá determinar o sistema cartesiano ortogo- Portanto o ponto é P(3.J5 ' J5 ).53 de ao vetor j e o eixo Oz ou eixo dos z (das Solução cotas) corresponde ao vetor k. achar o vetor paralelo a v que tenha . as próprias coordenadas x e y do ponto P são as compo- ou nentes do vetor OP na base canônica (Figura 1. 1 1 .x. -2) e PB = B P = (5. 1) 2 1 / . z -::. -2)1 = 1(5 X. conseqüentemente. 0).~· ~)(eoversorde v). 1) = (-6. o X d) sentido contrário ao de v e módulo 2. nal Oxyz (Figura 1. Este ponto e a a) o mesmo sentido de v e três vezes o módulo de v . (-2. basta - multiplicar o versor por -2: 2 1 4 2 X X (a) (b) Figura 1. 1) = (1.-= ~ =(.Y------~Y tados com origem no ponto O.54(b) dão uma idéia dos planos xy e xz. J5 ' J5 )= (. basta multi- plicar o versor por 4: 2 l 8 4 4(. As setas nessa figura indicam o sentido positivo de cada a) Basta multiplicar o vetor por 3: 3 v= 3(-2. logo 1(-1. As Figuras 1. 1). respectivamente. 3) eixo. d) Uma vez que o vetor procurado deve ter módulo 2 e sentido contrário ao de v . 1 1 Cada dupla de vetores de base. . tem-se A (2.. 3). 0). 3t~z________________ E ~D lelepípedo cujas arestas são definidas pelos vetores x i . 2j . OP = x i + y j + z k .!-4------____. 4./ X X Figura 1...~. são pontos de ordenada y = 4./ I I / p I I I : c ---. O.. A Figura 1...~------. o) dos x. 3) no eixo r:. z) do espaço irá corresponder o vetor Para algumas observações... Faremos considerações a pontos como também poderíamos referi-las aos correspondentes vetores. . 4. e. 1. isto 4k (0.P I I IA I I I y B --~~----------~~--~~-Y I .. tem-se D (0.. O. -1. 2. .... 2 //~. em particular. ordenada e cota..:: (1. são pontos do tipo (x. b) eixo dos y quando x = O e z = O. tem-se E (0.. Para exemplificar O ponto B é a projeção de P no plano xy. e levando em conta que um ponto (x. 4. as próprias coordenadas x.. j = (0. 4. 3).56 X X Com base nesta figura. assim como C(O.55 c) eixo dos z quando x =O e y =O. respectivamente.. v (x. O vetor v = x i + y j - + z k também será expresso por d) plano xy quando z = O. y. isto é. O. respectivamente... i (1. 3). O). k =(o.56 onde P(2. -I) Como todos os pontos da face a) PDEF distam 3 unidades do plano xy e estão acima dele. O) e E(O. y j z z e zk . que representa a diagonal do para. 4. O) e k = (0. ' / ------------~==::~-:t..-3. . 0). O.55(b) o correspondente vetor v =OP. y e z do ponto P são as compo. As coordenadas x.y. y. z) f) plano yz quando x =O. 4. tem-se B(2. 3). são pontos do tipo (x. assim como D e F são as projeções de P 2i-3j +k (2.. respectivamente..1) nos planos yz e xz. 0) é a projeção de P(2.. 4. nentes do vetor OP na base canônica. z).. Cap. 3) são as projeções de P nos eixos dos y e dos z. . tomemos o paralelepípedo da Figura 1.-.. 1 Vetores 33 34 Vetores e Geometria Analítica Assim como no plano. . isto é. 1). tem-se F(2. e) plano xz quando y =O..~y ''-. O. são pontos de cota z = 3. Figura 1.'--------------.z) está no (a) (b) a) eixo dos x quando y = O e z = O. 4) é. a cada ponto P (x. que é a expressão analítica de v. O. O. z) no espa- ço e a Figura 1. O. O ponto A(2. b) PBCD distam 4 unidades do plano xz e estão à direita dele. 3)...55(a) apresenta um ponto P(x. y. . O). tem-se C (0.-. y e z são denominadas abscissa. y. por convenção. 4 4 unidades para cima (se fosse -4 seriam 4 uni- dades para baixo) para obter o ponto A. são pontos de ~'la x 2. ilustrados na Fi- gura 1.60 apresenta os pontos A. ~------~~------~~{~ (O. C e D situados acima do plano xy e todos Os três planos coordenados se interceptam de cota igual a 2. . -2. -2). 0). y. -3. -2). situado no 3º octante das têm sinais de acordo com o sentido positivo ponto D(5. z isto é. -5. O primeiro octante é cons. B. ponto A'(6. -2).58 ponto D'(5. a partir do primeiro. A ponto B(-5. 2).59). C' e D' estão abaixo desse plano e têm cota -2: segundo os três eixos dividindo o espaço em oito ponto A(6. y=O Comentários análogos faríamos {z o para os outros eixos e planos coorde. X ponto B'(-5.O) ~ ou seja. se situa sob o primeiro. daqueles que têm y = O e z = O. situado no 8º octante em ordem numérica. 2). 3.O) junto dos pontos do tipo (x.59 2º) desloca-se A' paralelamente ao eixo dos z. situado no 5º octante tituído dos pontos de coordenadas todas positivas. y.57 nados indicados nessa figura. 4. 4). 0) no plano xy. no senti- do positivo. -5. B'. são pontos do tipo (2. situado no 6º octante Os demais octantes acima do plano xy se sucedem ponto C'(-6. -3. ou z o seja. Os octantes abaixo do plano xy se sucedem na mesma ordem a partir do quinto que.y. situado no 2º octante cada octante correspondem pontos cujas coordena. -2). situado no 7º octante Figura 1. 3.y. situado no 4º octante adotado para os eixos.57. situado no 1º octante regiões denominadas octantes (Figura 1. ponto C(-6.z) eixo dos x pode ser descrito como o conjunto dos pontos do tipo (x.y. 2). Ao desejarmos marcar um ponto no espaço. 0). Cap. É muito importante que o leitor X 0 tenha presente os casos especiais dos pontos pertencentes aos eixos e aos e(O. daqueles que têm z O. -2. enquanto que o plano xy como o con. digamos A(3. Figura 1. • (x. 2).O. z). enquanto os pontos A'. O. Esta figura mostra que o • (x. A Figura 1. Figura 1.58): z 1º)marca-se o ponto A'(3.z) planos coordenados. 1 Vetores 35 36 Vetores e Geometria Analítica c) PF AB distam 2 unidades do plano yz e estão à frente dele. procedemos assim (Figura 1. 4. 2. D' Exemplos A' X 1) D~dos os pontos A(O. somam-se ordenadamente c as coorde!_ladas do ponto inicial A com as componentes B do vetor v.esomentese. az 1 ) a 1. y. 1. 1. -1) e Figura 1. resulta As definições e conclusões no espaço. 1.a 2 ) + (3a 3 . z 2 )sãoiguaisse. -6 I 11 I tremos de um segmento. -1) ou I) Doisvetores ~=(x 1 .61 V) Se os vetores ~ = ( x 1 .61 indica que para encontrar as coor- denadas do ponto extremo B. y 1. 2) = (a 1. 2).-1)=(1. -1) e os vetores ~ = (-2. . IV) Se A( x 1 . y 1 . z 2 ) são pontos ex- . y 1 . - Igualdade Operações . O)+ a 2 (-2. 2. z 2 ) ~-~5~/~--~-3~~+-~-+--~~-*~--~--~y são paralelos. z 1 ) e B( x 2 . y 2 . -a 2 . Y1= Y2 e Z1=Z2. 2) = a 1 (1.-l)-(0. y 2 . ~ == (3. obteremos o sistema U+ V (xi+X2•Yi+Y2•zi+Z2) au = (ax 1 . 2. vem Il) Dados os vetores u = ( x 1 . y 1.2. /// C' Figura 1. a2 = 2 (4) { a2 .(~--- 1 I I VI) O módulo do vetor ~ = (x. -1.Ponto Médio .y 1 .60 w = (-2. verificar se existem os números a 1.zrz 1) Já vimos que: se v B A.y 2 .a 1 . z 1 ) e B ( x 2 . O.0) um Vetor Substituindo os vetores na igualdade dada. 1. 2. então a 1. -a 3 ) X1= X2. -1. z 1) e ~ = ( x 2 . Somando os três vetores do segundo membro da igualdade_. z 2 ) e a R. y 2 . I } Fica a cargo do leitor a dedução desta fórmula. O.2 a 2 + 3 a 3 = -2 III) Se A ( x 1 . + x2 y. z) é dado por - lvl I } =~x-+y-+z-. são análogas às do plano: (-2. + Y2 z. a 2 e a 3 tais que w = a 1 AB + a 2 u + a 3 v. o ponto médio M de AB é I I / / I : M( x. relativas aos títulos acima.Vetor Definido por Dois Solução Pontos . a 1-a 2 . + z2 / 2 ' 2 ' 2 ). a3 = 2 AB =B-A==(xrx 1. Cap. 2. ay 1. então B =A+ v. 1 Vetores 37 38 Vetores e Geometria Analítica z A Figura 1. z 2 ) são dois pontos quaisquer no espaço. y 2 . -1) e B(l.2)=(a 1-2a 2 +3a 3 . O)+ (-2a 2 . 1) + a 3 (3. z 1)e v=(x 2 . O.Módulo de AB=B-A=(l. z 1 ) e v == ( x 2 . define-se: (-2. então D / ~=a~ ou ~=ll__=~ 1. 1).y 2 -y 1 .Paralelismo . ara 3 ) Pela condição de igualdade de vetores. (-2. -4). Tomemos a condição AB // AP.AB b) OC . e A M B Como no exercício anterior o sistema (4) tem solução única (a 1= 3. determinar me n.(3. -3. 9) . 4) ~ados o~ vetore~ ~ = (2. -6) e C(l. t l'oblemas Propostos Solução O ponto D (Figura 1.. qualquer dupla de veto- a) OA . 1. -4) = (-2.. -2. 0). calcular Como os pontos A. 1 Vetores 39 40 Vetores e Geometria Analítica Logo 4) Seja o triângulo de vértices A(4.64 três vetores são não-coplanares. 2) podemos "intuir" que o conjunto { AB .(2 ~ .. determinar 1 . determinar o vetor ~ tal que D = (-2.4 b) (A-B). 3 b) 3 ~ . 1) e o vetor ~ = (-2. -4) e B(-1. C(3.2) 2 +(-3) +22 2 =~4+9+4 =-!0 2) Encontrar o vértice oposto a B no paralelogramo ABCD..~) = 2(4 ~ . 4)..3 f .64.v .3 ~) Solução 3) Dados os pontos A(-1. B(2. 1. Então. -1. B(2. 5) Figura 1.~ = i .1 . todo conjunto { v 1 . 1).X = 2U . -3) // (-4. A 5) Dados os pontos A(3.u-v c) -u-2v-w 2 Como BC =C. todo vetor do espaço pode ser escrito de modo único como combinação linear M(4+2 . -3. Determinar o vetor ~=(a. -3) e C(O. 1 . -1) e ~ = (-1. sendo dados A(3. todo vetor desse plano é combinação linear de v 1 e v 2 . Cap..B = (-5. determinar a 1 e a 2 tais que ou seja (-2.. -2. . módulo do vetor MC. Calcular o compri- w=3AB+u-v mento da mediana do triângulo relativa ao lado AB.63 -4 m+ 2 n. -1+5 . ~ = (-5. -1) e 0(0. O.A) Figura 1.63). 3). 5..62) é dado por i ) Dados os vetores ~ =2 i . . 3). m + 2. 1) e B(l. MC =C. O. -2. -2..BC c) 3 BA . b) tal que -2(m + 2) = 4 { -2(n-4)= 12 a)B=A+2v b) A=B+3~ sistema de solução m = -4 e n = -2. 5). 1 . -2).4CB res formados utilizando estes três pontos são paralelos.. 4) + (-5. Construir o gráfico correspondente a cada situação. -2). n.62 2) Dados os vetores ~ = (3. -2). 5). a 2 = l e a 3 -I). c No espaço.. de acordo com a Figura 1. pela la igualdade . 3).M = (1. 2. portanto.. = (-12. n) pertence à reta que passa pelos pontos A(l. - 3) Sabendo que o ponto P(-3.. -1. é o segmento que tem como extremi- No plano. - D =A+ BC ou D C + BA a):?. isto é. v 2 } de dois vetores não-paralelos constitui uma de suas dades o ponto médio M de AB e o vértice oposto C. .4) w = a1u + a2 v B e. -1. 4) e a) 4( U -V ) + .j e w = -2 T + j . portanto. o comprimento da mediana é o bases. ~ d) 3~-2(A-B) ou 6) Sejam os pon~s A(-5.. 2). estes Portanto Figura 1. Observação Solução A mediana em questão. 2. IMCI=~(. B e P pertencem à mesma reta (Figura 1. calcular -2 -1 -3 a) (B.A)+ 2 ~ c) B + 2(B. -2-6 ) ou M(3. -4) ~ 2 2 2 dos vetores desta base. isto é. v } é uma base deste espaço e. B(5. 6).. 2).X B(-1.w obtemos 2 2 D = (3. -1. 1) e . - . todo conjunto de três vetores não-coplanares constitui uma de suas ba- ses. 1~ d) 3 u . u . m. 5) c) ~=(1.0::::y::::3 ez=3 primento. -4). 27) Construir o paralelepípedo retângulo formado pelos pontos (x y z) de modo das de P em função das coordenadas de A e B. -3) extremidades de um segmento. . a) -4:::: x :::: -2. 1) 3- os pontos A. 3 e O::::. b) Pé eqüidistante de A e B e sua ordenada é o dobro da abscissa· 10) Sejam os pontos P(2. e um quadrado. 4) 23) Dado o vetor ~ =(I. 6) e D(-5. Ivi c) ao plano yz. -1). 5). segmento AB tais · que AM = l AB e AN .tco. c) P pertence à mediatriz do segmento de extremos A e B. 3) e C(3. 1). ' 2 AB C c) sentido contrário ao de ~ e módulo 4. determinar a) x = O. 1. determinar a) sentido contrário ao de ~ e duas vezes o módulo de~ · o quarto vértice de cada um dos três paralelogramos possíveis de serem formados. ' 9) No mesmo sistema cartesiano xOy. 2 15) O ponto P pertence ao segmento de extremos A( x 1. O. 2) e 0(4.4) b) A(5. 3) e B(2. v e w de modo que Q=P+u. nos casos: b) Determinar u + v + w . O. 4) e w = (8. 2) e 0(0. 4. 2. f) ao eixo dos z. z) tal que 14) Sendo A(-2. de modo que b) os pontos F e G que dividem o segmento de AB em três partes de mesmo comprimento. J3) d) ~=(0. b)-l::::x::::2. C(-1. 2:::: y ::::4 e -4::::z ::::-2 dele ao ponto A é a terça parte da distância dele ao ponto B. C( O. saben- 2 19 ) dProvar que os pontos A(-2. -2) tenha módulo 4. y 2 ) e a distância b) -2:::: x ::::0. B. 1). 26) Construir o cubo constituído dos pontos (x.R . 2) 2 25) Traçar o retângulo formado pelos pontos (x. 1 :::: y ::::. l)? Representar graficamente este segmento. 2) e C(5. <4 Q · . 3). y 1) e B( x 2 . O. devendo P ser tal que AP = AB. -2). B(O. e) ao eixo dos y. 1) e C(6. -1). y. 2) e B(S. 1. 5) c) A(4. res. Q(4. 2). tgual a 5. ' a) Representar em um mesmo gráfico os vetores posição de u . 2) e R(3.. no paralelogramo ABCD. -3). marcando 24) Traçar no mesmo sistema de eixos os retângulos de vértices 2 3 a) A(O. B(7. M.z. 1). B(4.j 11) Encontrar o vértice oposto a B. i +j b) v= 3 i . a) ~ = . 4) 18) Calcular os valores de a para que o vetor ~ -(a . determinar os pontos M e N pertencentes ao b) o mesmo sentido de ~ e módulo 2. 22) En_::ontrar o vetor unitário que tenha (I) o mesmo sentido de ~ e (II) sentido contrário a v. 1 ::::. O. ' seJa pectivamente: 21) Dados os pontos A( -4. B(S. 1 Vetores 41 42 Vetores e Geometria Analítica 7) Representar no gráfico o vetor AB e o correspondente vetor posição. 1) d) A(3. 0) e B(O. v a) lu I c) lw I e) 12 u wl g)--::. calcular 28 Calcular a distancta do ponto A(3. -1). 4 e O ::::. z). o gra'f. 0). para a) A(-3. b) I~ I d)lu+vl f)lw -3ul h)\ ~~I . encontrar o ponto p nos casos a) P pertence ao eixo Oy e é eqüidistante de A e B· b) os vetores posição de u e v . 4) e B(4. -1) e v= (-2. - Q+ v eP=R+w. y. 3). representar 20) ~ncontrar um ponto P de eixo Ox de modo que a sua distância ao ponto A(2 -3) · a) os vetores u = (2. 0). . 4 a) os pontos C. -2) · a) ao plano xy. D e E que dividem o segmento AB em quatro partes de mesmo com. 3) e B(6. ' ' ' que . x ::::. d) ao eixo dos x. z ::::. 13) Dados os pontos A(-3. B(2. -1).· musas coordenadas dos mto vertices do paralelepípedo? 16) Dados os vetores u = (1. onstrmr . 3). y ::::. ) < y < 5 e O< I ::::. 4) e B(l. b) A(2. · 8) Qual o ponto inicial do segmento orientado que representa o vetor ~ = (-1. 2). v (-3. 3).-A-. 3' 3 .. a) A(-L 3) e B(3. com origem nos pontos A(l. z ::::. C(4. nos casos: 17) Calcular os valores de a para que o vetor ~ =(a. B(2. -6). -2) b) A(-1. N e P. 4) são vértices de um paralelogramo. 2. 1 ) seJa· um·t'ano. b) ao plano xz. Cap. determinar o vetor paralelo a ~ que tenha: 12) Sabendo que A(l. Expressar as coordena. l) e B(3. nesta ordem são vértices do que sua extremidade está em (3. -1. -2. 1. C(3. segundo sistema chamado de O'x'y'z'. c). 5. -5. -v= (a. -I. 4) e D(-2. determinar os vértices C e D. determinar o ponto N pertencente ao seg. 3) e B(3. -I. a 2 e a 3 tais que a 1 u + a 2 v + a 3 w = (-2. -4). 9. nesta ordem. determinar as coor. Cap. 0).A) são paralelos? 32) Dados os pontos A(3. para que seu comprimento quadruplique de valor? 40) Sendo A(-2. que dividem o segmento AB em três partes de mes- 4 e 5 está referido ao sistema Oxyz con. 5).t'----+--~ y' mesmo comprimento. m. B. 1). 5). 37) Sendo A(2.-1. 38) Determinar os três vértices de um triângulo. 1. . . 0). 31) Dados os pontos A(2.2). 2). determinar o ponto A' nos se- ~L---r----~-1---k-·--c. Oy//O'y' e Ozi/O'z'.. AB . -1) . pedo retângulo de arestas paralelas aos eixos coordenados e de medidas 2. -7. 3) e B(7..- a) determinar o vetor x de modo que 3 u . 4.65 z z' 39) Dados os pontos A(l. j / b) A(-1. -5. 0). 3) e C(-2.66. O) é paralela à reta determinada 33) Dados os pontos A(l. 2. 3) e w = (4. acordo com a figura.~/. 5) denadas dos pontos O. 1. 5. nesta ordem. 5 45) A reta que passa pelos pontos A(-2. -7. 0).. 1 Vetores 43 44 Vetores e Geometria Analítica . 3. g) ortogonal ao plano xy. 4. O. O. -1) e mento AB tal que AN . Considerando um l x' 41) O ponto A é um dos vértices de um paralelepípedo e os três vértices adjacentes são B. 46) Verificar se são colineares os pontos: a) A(-1. . . A(-3. a) A+ 3 v c) B + 2(B A) . -3. De O' em relação aos sistemas dados. no sentido de A para B. 13. . N(3. 0). 3. b. -21. determinar o ponto D tal que por C(3. w == (14. 2. e) ortogonal ao eixo dos y. 0). 6. 0). Determinar as coordenadas dos 36) Representar no mesmo sistema Oxyz o vetor v= (1. b.. - a 1. 0) 1 . 3. C(3. O. 2). AB + CD== O. 2. C(3. f) ortogonal ao eixo dos z.v + x = 4 x + 2 w . -1. -2. 30) O paralelepípedo retângulo de dimensões 3. -3) e P(4. O. -4. 2. -1.. -I. 1.. 1) e B(l. 1. onde ' C e D. -1). Y Oxf/O'x'. calcular: d) paralelo ao plano yz. 9) e t = (10. e sendo O' 4 guintes casos: /'' um dos vértices do paralelepípedo de a) A(3. A. sendo u = (2. 3) e B(6.J-----. 4) e D(3. A(2. 1 e b) encontrar os números .2. -1) A B c) A(-1. -3. e c. . -4. 3). 1) ew = (-3. 44) Dado o vetor w = (3.65 apresenta um paralelepí. ~ mo comprimento. X 42) Apresentar o vetor genérico que satisfaz a condição: Figura 1.. 3) com origem nos pontos vértices deste sólido. 1. 2. 1. 4.B). Figura 1. . 3. sabendo que os pontos médios de seus X lados são M(5. -2) e B(-2. 5) b) (A. 2). -4) e D(3. 2- =. B(l. C(4. 1) extremidades de um segmento. -4) e C(-1. -3). determinar a e b de modo que os vetores u = (3. -3. 29) A Figura 1. que dividem o segmento AB em quatro partes de D . - 34) Sabendo que 3 u . 5. forme a Figura 1. 3. -2). -5). 5. -1.. 3) o ponto de interseção das diagonais. Determinar o ponto D. B(2. -6. De E.66 a) paralelo ao eixo dos x. b) + 2 -w sejam paralelos. determinar a.'----~. 0). 2. n). b) representado no eixo dos z. h) ortogonal ao plano xz. 1). C. B(2. 5) e o vetor v =(1. 1). -1) e D(O. c) paralelo ao plano xy. -1. determinar a) os pontos C. - 43) Quais dos seguintes vetores u == (4. : b) os pontos F e G. Sendo AA' uma diagonal do paralelepípedo.. 0). 1.4-------'. 3). 3) e B(1. -3) e D(O. v= (a. -2). -1) vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD e M(4. v= (-6. B(3. B(2. sabendo que 0(0. v= (1. - 35) Dados os vetores u = (2. B(-2.v d) 2 v 3(B. 1. até que ponto se deve prolongar o segmento AB. -15.4 v== 2 w . : ) c)( . C(O. O. 5) e 0(3.r. 5). 1 .r. 0). 4.Jl3 2 b) ( 23 11) b) 4 d) f) 5 2J5 2 ) a) ( 15 15) 29) B(2. . .-. determinar o valor de m para que 17) ± 2. -1. n) pertence à reta que passa pelos pontos A(-1.: ' r. 2 20) (6. 11) b) (6.. 1) e (0. 5) b) P(-5. 5). 18) ± . O. 4). N( -. -4. -14) 6) a) v = (3.-. G( ~. -10) c) P(x.J2) b) ( r. -3). -5). O) e (3. 4) c) (L ) d) ( 2 . C(3. -30) 30) em relação a Oxyz: 0(0. O. -4. -3. -5) b) (-5. -1. -2. 2) 6 32) N(l. 3. -4) e (10. B(5. (0.. 5) 2 2 F(~. 1. 4) 1 1) a) (3. 54) Obter o ponto P do eixo das abscissas eqüidistante dos pontos A(3. 0(3. 2. O. C( -3. 1. -3. (1 1 1·· . -4). -1.J3 c) ( 2'2) e ( -2. -v10 -vlü -vlO -vlO Respostas de Problemas Propostos 27) Vértices da base inferior: (1. F(2. 1) em relação a O'x'y'z': O( -3. O) e 4) a 1 -1 e a 2 = 2 0'(0. -2) e C(2. -8) c) (-9. 16) a) . 0(2. --) a) A(-1. sendo v= mAC + BC. -9) b) (0.J2) e ( . 5) 3) a) (-4. 2.: ) 56) Dado o vetor v= (2. 2). -2.1-) 3 x2 3 ) . 4).).. r. O. 2) b) D(l.J3 53) Determinar o valor de y para que seja eqüilátero o triângulo de vértices A(4. 3. -1. 5). (1. 5). 3) e 7 2 13) M(l. B(3. 3 3 48) Encontrar o vértice oposto a B. 5) c) (-5.4)eB(l. -1. B(3. -5). ( I 15 ) P( 4XI 4' 4YI u . calcular me n. 7) 47) Sabendo que o ponto P(m. 19) 31) a) (5. D(O. A( O. -3. -6. G(2. B(l. O. -5).-. 2. 4). (3. 6) b) ( r. 2a) seja um versor. (3. 0). (1. L) a) (. 1. 3).r. E(4. 1 Vetores 45 46 Vetores e Geometria Analítica b) A(2. 2). no paralelogramo ABCD. -4. -1) b) o mesmo sentido de v e módulo 4. 4. -2a. -5). 4. 3x + 5). 0). y.-. 1. -1). -1) 49) Verificar se são unitários os seguintes vetores: y2 __2__ . 2. -1. B(O. 6) c) A(-1. 4) 12) (2. 2). -3.: ) e ( . x E R 55) Obter um ponto P do eixo das cotas cuja distância ao ponto A( -1. 1.J2. Cap. B(4.J3 . 3) e C(3. -4) B(2. -3). 4. b) 5 d) . . 1 . 5. 7.r. 5. -2.: ) c) sentido contrário ao de v e módulo 5. O. 1).-. P(9. 2 6 4 12 23) a) (-2. 3) e C(4. 2) e C(3. 9) d) (5. 8) 10) b) o 11) a) D(-2. O) 5) a) (-8. 5. 5) 2 2 5 5 b) (2.--) 3 5 8) (4. 21) a) P(O. y.: . 5) b) 1).-2.J2. 5. .J3 -2) d) (0. 0) e C(l. D(3. 2) c) (-1. 0). -6. 7.: ' . 11) d) (-14. O) B(lO. . -2) seja igual a 3. 0). . -3). 0). -1). 2). 0). O) ou (-2. 1 d ( 50) Deternnnar o va or e n para que o vetor v= n. -2) 33) 0(-2. -1. O. 1) b) v=(-2.-. 1 3) . 1) e C( I.). 0). O) 13 Vértices da base superior: (1. O. A(3. 2) . 3. ') 1 1 1 1 3 1 3 1 . ) e v= J6' J6 + + 4 . - I v I= 7. determinar o vetor paralelo a v que tenha -v10 -vlü -v10 -vlü a) sentido contrário ao de v e três vezes o módulo de v. O. H(3.J2 c) 10 2 4 51) Determinar o valor de a para que u =(a. B(2. E(3. para 3 3 14) a) C(O.-. 1 b) A(4. 0). 3. 4) e (3. . -3. 4.Jl3 52) Dados os pontos A(l.: . -.. O. seJa urutano.-. -9) 28) a) 2 c) 3 e) . b)~. 1.2.. 7) Produto 38) (4. 2. 1) e~ = (-1. y.[3 1) Dados os vetores ~ = 3 T . z) g) (0.(-1. -4. 49) v é unitário Exemplos 50) ±. . -3.O) ou P(O.~)=2(7)-2(8)+0(3)= 14-16+0=-2 J14J14Jl4 b) ~. 0) 46) a) sim b) não c) sim (1) 47) m=5 e n=-13 48) a) D(l. -6).5(-2) + 8 (-1) = 12 + 10 -8 = 14 51) ±- 3 2) Sejamos vetores~ = (3. O) e 55) P(O. y. 8.0. - 44)a=9eb=-15 ~ = x2 T+ y 2 j + z2 k. . 7. 3 ).. ~ > e se lê " ~ escalar ~ ". 1)=0(3)+0(2)+0(1)=0 . O. -1. -5. -9. O) 39) (9.(2~. 1. (2.). O) e) (x.) c) (-J14. a 2 = -3. -2. e se representa por ~ . a 3 = 1 37) C(6. 3. 1. -1) = (7.. 4) b) (9.~ c)Õ. 2).. J14' J14 (~+~). -1). . 11 2 4 35) a) x=( . y.ao número real 45) D(O. 9) b) ( . 1 Vetores 47 ~ 1 7 34) a = -.. c = 4 2 4 MAKRON Books 2 . z) f) (x._ Cap.. (4. 5 53) ±2 Solução 54) P(3..O.0). - Chama-se produto escalar de dois vetores u = x 1 i + y 1 j + z 1 k e . 3) 41) a) (1. -3. 3) O produto escalar de ~ por ~ também é indicado por < ~ ... -1. ~.. 3. O) a) Como u + v = (2. O) Definição Algébrica b) (0.. 2. 2). v e t d) (0. Calcular: 52) 3 ou-- 13 a)(~+~). ~ =3(3)+2(2)+1(1)=3 2 +2 2 +1 =9+4+1=14 2 c) Õ. tem-se 4 1 ~. 6) b) D(2. O. -7. -4..2 j . O.(2~-~). ~=(0.k.(3. 3) eD(l. . -4.) 3 3 3 b) a 1 = 2. . 11) 5 3 Escalar 40) a) (0. b = .v = (6. -1. tem-se 8 4 12 10 5 _E_) 56) a) (-6. 3). -4) 2 u .~. (3' -3. 3) 42) a) (x. O. O..5 j + 8 k e ~ = 4 T . z) h) (0. 2) e (2. (6. O) . 4. -4) c) (5. y. ~ = 3(4). O. -) 2 2 25710135 b) ( 3' -3. 0) c) (x. z) 43) são paralelos: u . -. (a+ I. v= v . vimos que o módulo do vetor -u = (x. ~ + ~ . ~ e . 2.= Iu 12 + 2 u • v + I v I IV) u .z 2 ) e .u v. y 2 + y 3. = xl(x2 +x3)+yt(Yz +y3)+z1(z2 +z3) Solução = x. 2. =(x 3 . 2) e B (3.u+v.v Tendo em vista que ~· ~ = (x. calcular (3 u -2.- = -3u • u + 12u • v+ 2v • u 8v . -) . I~ ~ j2 = I ~ 12 2 ~ • ~ + I ~ 12 Demonstraremos a propriedade 11. -- 3) Provar que ( u + v ) • ( u . (a ~ ) 2) Mostrar que Iu + v 1.yz +YtY3 +z. . -1). z) .~ De forma análoga demonstra-se que ou de modo equivalente ~. 3) e os pontos A (4.v 1""-"--. r 50 Vetores e Geometria Analítica Cap. (u+v) 1~1= ~x2+y2+z2. - =Iu 1.8(2) 2 I) u. -1.y 2 . (-u+4v) 3u.x3 +y.z 1 ). y 1.2v). Solução V) ~. = -38 .B = (1. u. -- v ) • (. u > O se ~ :. O). ( ~ + BA ) = 5. conclui-se que Observação I~ I=~~. u = O. ~ = ~ .zz +z..v ) .u+u.z 3 ).v+v. se u = O = (0. -2 III) a( ~ . -1. -1) e ~ =(a.a. e (~ +~ ) . -3. -1. (x. (v+w ) = ~ . 6) =u. z) é dado por . deixando a cargo do leitor as demais.1(6) = 5 .xz+x. + ~ .então Solução (u+v).:. (-u+4v) <X=- 3 -.. z 2 +z 3 ) determinar o valor de a tal que ~ . (v+ w) (x 1.(u-v) u. I v I = 2 e u • v = 3. y.~=1~1 2 1~+~1 2 (u+v). -3. (-u+4v)-2v. 3) =(a+ 1. . -.. (u+v)+v.z3 BA =A.v+v. vem Exemplos (4. 3) + (1.6 = 5 Solução 3a= 7 7 ---------- (3u. y. é fácil verificar que: = -3(4) 2 + 14(3) . v Propriedades do Produto Escalar -31ul 14u. e o número real a.v+u. 6) = 5 4(a + 1) + a(-1).. z 1). ~ ) = (a ~ ) .y 3 .Iv l- -? -) ~ =(x. (u+v) De fato. O. z) = x 2 + y 2 + z 2 . -~----. a. Ô e u .u + 4 v ) 4a + 4. - =u. --- . -1)..(u v) u. a.y.u u. u -48+42 32 11) ~. =u. 2. . ~ = 1~ 12 .w Substituindo e resolvendo a equação dada. = ~ . y.(u v)+v. v 81~1 2 Para ~ua~qu~ ve~ores ~ . 2 Produto Escalar 51 3) Dados os vetores ~ = (4. 3) (x 1x 2 +y 1y 2 +z 1z 2 )+(x 1x 3 +y 1y 3 +z 1z 3 ) -v + BA =(a. -- 1) Sendo I u I = 4. ~ =(x 2 . Se . (x 2 +x 3. 1 c) Como em (2) o sinal de~ • ~ é o mesmo de cos e. temos - Aplicando a lei dos co-senos ao triângulo ABC da Figura 2. daí b) Deixaremos de demonstrar dois resultados válidos para todos os vetores u e v : Figura 2.vi =lul +lvl -2u. 2(-3)+3 = 19 (a) (b) (c) e.3). por (2) 6 Por outro lado. 1~+~1=-fi c) De forma análoga tem-se -.4 (b)) I ~ + ~ 12 = I ~ 12 + 2 ~ .4 . Pela Figura 2. de acordo com o exemplo 2 (item anterior): . ~ + I ~ 12 u 2 2 = 2 . portanto 1~-~1=119 Figura2.21 ~ I I ~ I cos e A - u B e.2 ~ . tem-se .21 u I I v I cos e -7 -7 . I~ + ~ 12 = 22 + 2(-3) + 3 2 = 7 e. a) Pela relação (2). . -2 -2 -2 -.1. . portanto. e < 90° (Figura 2. u I ~ .4(a)) b) Vimos que 2°) u.3 Solução A igualdade somente ocorre quando ~ e v forem paralelos e de mesmo sentido. O) é 45°. -2 I u . I~ I+ I~ I (Desigualdade Triangular) Conclusão: O produto escalar de dois vetores não-nulos é igual ao produto de seus módulos Exemplo pelo co-seno do ângulo por eles formado.2 ~ . v >O{::::} cos e> O{::::} oo :s.2 I ~ 12 + I ~ 12 . por ( 1). a soma dos comprimentos de dois la- dos (I~ 1+ I~ I) é maior do que o comprimento do terceiro ·lado (I u + v 1). então em (I} e (2).2 vemos que o ângulo forma- u • v = I u li v I cos e (2) do pelos vetores u = (L 1.4 (c)) Então. ~ = I ~ 12 + I ~ 12 .. Então. calcular A segunda desigualdade confirma a propriedade geométrica segundo a qual. v b) I~ + ~I c) I~ . 1. I ~ I = 3 e 120° o ângulo entre ~ e v . v lu. zj ll .~I Figura 2. - Cap. Sendo I ~ I = 2. conclui-se que: u.v Comparando as igualdades (3) e (4): 8 Figura 2.~ 12 = I ~ 12 .v =lullvlcos 120°=(2)(3)(- 2 )=-3 - 1°) u. v <O{::::} cose< O{::::} 90° < e s 180° (Figura 2. 2 Produto Escalar 53 52 Vetores e Geometria Analítica Observações Definição Geométrica de Produto Escalar a) Vamos exemplificar com um caso particular a equiva- lência das expressões do produto escalar apresentadas Se u e v são vetores não-nulos e e o ângulo entre eles. a) u. v = 1(0) + l( I)+ 0(0) = 1 .1 1) I~ • ~ I ~ I~ I I~ I (Desigualdade de Schwarz) 2) I u + v I :s. em um triângulo (Figura 2. - (3) c u e.v (4) u.v I = I u 1. . ~ + I ~ 12 3°) u • v = O {::::} cos e = O {::::} e = 90° (Figura 2.+ I v _1.. temos u. 0) e v (0. -- Cap. DB ( u +. 1. -2). y. AC = (0. j = (1. ( ~ . -1 ). O. (0. u. 0). de maneira análoga ao exemplo anterior.6). 1). O)= x. O.6 A forma mais simples de provar a existência de um ângulo reto é mostrar que existem dois vetores que determinam os lados do triângulo cujo produto escalar é zero. y. B(2. (0. -3) =O+ 2 + 6 = 8 :. 1. pela figura vemos que retângulo. -1. -2) 1. v= O. -2. -2. visto em (5). x E R. -1) Observemos que. isto é. são todos múltiplos de (1. z). 1.DB O 2) Provar que o triângulo de vértices A(2. - a) u = (1. x.5. 1. BC = O. y. -2) é um triângulo Fazendo AB == u e AD = v . que o ângulo inscrito em urna semicircunferência AB = (0. ternos AB. 1) = x + z =O .(u-v) 3) Determinar um vetor ortogonal aos vetores - Vi - = (1. 3. con- forme sugere a Figura 2. tem infinitas soluções do tipo y =X e Z =-X Exemplos Logo. 2. (1. Logo. Calculemos: Figura 2. --. AC = (0. O)= 1(0) + 0(1) + 0(0) =O mesmo comprimento. -1) =O. e somente se. 3) e v = (4. -1 ). os vetores u + v e u v determinam o ângulo AB. U-V Observação Devemos mostrar que - O vetor O é ortogonal a todo vetor. . -3) Solução BC= (0. v = O para todo v . v2 = (x. pois I uI= I v I (medida do raio). (1.y =O u. ) I u 12 I. Solução Solução c a) u. - AC = u + v e DB = u . 2) ou u = x(l. 12 O (5) Figura 2.! é reto. Figura 2.7 Seja ~ = (x. -2. os vetores ortogonais a Vi e v2 são da forma u = (x. 7. 5. z) o vetor procurado. o triângulo é retângulo em B. Portanto. -1. considerados os vetores u e v como na (poderíamos também considerar os vetores opostos deles). 2 Produto Escalar 55 54 Vetores e Geometria Analítica O sistema Esta última afirmação estabelece a condição de ortogonalidade de dois vetores: y=0 X { X+Z=0 Dois vetores u e v são ortogonais se. Vi = (x. -1. 1. O. -x) 1) Mostrar que os seguintes pares de vetores são ortogonais: . vetores 5) Provar.t: O inscrito na semicircunferência. O. .v = 1(4)-2(5)+3(2)=4-10+6=0 Lembremos que todo losango é um paralelogramo cujos lados têm o b) i . z). Solução Figura 2. Consideremos os pois I u I = Iv I. BC = (0.v.5 b) i e j 4) Demonstrar que as diagonais de um losango são perpendiculares entre si.2 + 2 =O Tendo em vista que AB. - AC. Como ~ é ortogonal a Vi e~2. 1. (u+v).). O) e v2 = (1. utilizando o produto escalar. 1). devemos ter u. -2). A Solução AC. -"1) e C(2. isto é. -2. -1. Consideremos o losango ABCD (Figura 2. (0. B(2. 4). 2 -J6 ~m 2 +4m+6 Ângulos diretores de ~ são os ângulos a. 1.-1).. -1.. 3 = . Analogamente.8 . 3). m = -4 (raiz dupla) cose=~·~ (6) 3) Determinar os ângulos internos ao triângulo ABC. 1.AB cos 6o = -=-= lviiABI 5 I ~ A C = are cos ( r. o ângulo A é Exemplos determinado pelos vetores AB . Cap. m).9 ângulos diretores. 2).A= (1. -2) e B(4. 2. O. -3. - Seja o vetor v = x i + y j + z k não-nulo. cos ~ e cos y. Figura 2. O. (-1. vem I (2. 2. 4) e ~ = (-1. vem 2 m +8m+l6=0 Portanto.fi 8 =are cos ( . isto é. ... Logo. cos . BC (1.982 Solução IABIIACI J1+4+1-J4+9+ 1 -J6Jl4 A cose= ~.8. (-2. 2.CB 5 cos ê 0. -1) 2 +6+ 1 9 0. 1. respectivamente (Fi- gura 2. fórmula a partir da qual se calcula o ângulo e entre os vetores ~ e ~ não-nulos. calcular m. 1.) = 45° BA. Notemos que A+ B +C O A A A 180° v28 Como cos 60° = l e AB = B. -1) forma ângulo de 60° com o vetor AB determinado pelos pontos A(3. ~ fj B = are cos(--) = 150° Solução 2 De acordo com a igualdade (6). -2. ~ (1. (-1.. Solução c Observemos que no triângulo ABC da Figura 2. tem-se CA. 2 Produto Escalar 57 56 Vetores e Geometria Analítica 2 Cálculo do Ângulo de Dois Vetores 6m 2 +24m+36 4+8m+4m Da igualdade 2m 2 +16m+32 O u . sendo A(3.. j e k . 1..9449 o v. (1.. 1.. m + 2). - AB. v = I u I I v I cos e. 1). l) Calcular o ângulo entre os vetores ~ = (I.) =19 7'.-l.m +2) Ângulos Diretores e Co-senos z 2 -J4+1+1 ~l+l+m 2 +4m+4 Diretores de um Vetor 2-l-m-2 . -1). 3. 2) e lullvl C(l.fi .9). 2). . I 1+2m+m 2 Co-senos diretores de v são os co-senos de seus x 4 6m 2 +24m+36. -1. AC (-1.fi = 2  are cos B Logo. cos a. ~ e y que (_!_)2=( -1-m )2 2 ~6m 2 +24m+36 v forma com os vetores i . 2) -1+2+8 9 1 . Figura 2. O) -1 -2 -3 fj 2 cosÊ IBAIIBCI -JI+4+I-Jl+l+O f6Ji=2f3 2 2) Sabendo que o vetor ~ = (2.fi lu li v I -Jl+l+l6 -JI+4+4 Jl8 J9 = 3. 2 Produto Escalar 59 58 Vetores e Geometria Analítica c os 2 a +c os 2 45° +c os 2 60° = 1 Para o cálculo destes valores utilizaremos a fórmula (6): ) J2 . O) X cosa= 2 2 lvllil 1~1(1) Ivi cos 2 a = 1 . O. y. com o vetor T e ângulo obtuso com j . 2 2 Solução Como I v I = 2. y..(-:::. z) _ x y z Solução --=.-) = (cos a. z). -1. y. temos vem 1 . 45° e 60°. z) • (0. z) o vetor procurado. 1) z cosa ±Jf ±~ cos 'Y = lvllkl I ~1(1) I vi Logo. v _ (x. .. utili- Como o versar é um vetor unitário.~ . =1 v •i (x. 0) y (7) 4 4 4 4 I~IIJI 1~1(1) =I~ I v. .k {x.. sabendo que I v I 2. decorre imediatamente zando (7). O. Determinar o vetor v. tem-se L.. y.J2 2 + (-1) 2 + z 2 =4 cosa= J2 = 00 a = 45° (1) 2 =2 -1 J2 cos ~ = J2 =-2 .! = .. J2 4) Obter o vetor~. 0).. -1. y. Determinar a. sabendo que I~ I = 4. ~por 45° e y por 60°. cos 'Y = __Q_ = o 00 'Y =90° v= (1. Cap.-. ~--~ .. a = 60° ou a= 120° 3) Um vetor v do espaço forma com os vetores i e j ângulos de 60° e 120°. -/2) ou v= (1.a + (-) ~ + (-)- 1 .-. 1. ele é do tipo ~ (x. isto é. -1. 0).. (0. No caso presente: a= 60° e ~ = 120°..-:::. ~é ortogonal ao eixo Oz. I~ I= -J1 + 1+O = J2 0Y2 z2 2 Utilizando (7). temos X (8) cos60o = : ou donde x = 1 I vi 2 2' Exemplos 1 cos 120° = ou donde y -1 1) Calcular os ângulos diretores de~ = (1.= ! 4 2 1 cos ~ = ~ (x. ~ = 135° z=±J2 Portanto. respecti- Observação Notemos que os co-senos diretores de ~ são precisamente as componentes do versar de v: vamente. Solução Substituindo em (8). forma ângulo de 60° 2) Os ângulos diretores de um vetor são a. (1. cos ~.-:::. vem Solução Sendo ~ ortogonal ao eixo Oz. . y. cos y) lvl lvl lvl lvl lvl Seja v= (x. cos. Por (7). Então. z). . podendo ser 8 um ângulo agudo Se em ( 10) o vetor ~ é unitário (I.:-) U (10) u u.u =0 Tendo em vista que~ (ângulo de ~ com j ) é obtuso (90° < ~:::.1 O ilustra as duas situações possíveis. {---------v I proj ~ ~ I = I( ~ • ~ ) ~ I = I v • ~ I I u I -I u I - I I ou I I - I proj~ v I= I v. u) u -::. .10 módulo do produto escalar de v por u . I O (a)) ou obtuso (Figura 2. vem y 2 = 12 (v au). .--:::. . portanto. e ~ 2 _L . na igualdade e cos ~ = ~ o valor de y é negativo. -2/3.u -au.- . u - Projeção de um Vetor sobre Outro ptOJ-V =(-:::. 2 Produto Escalar 61 60 Vetores e Geometria Analítica I X O vetor ~ 1 é chamado projeção ortogonal de v sobre u e indicado por - cos60° =: ou donde x = 2 I vi 2 4' Como I v I = 4. sendo v 1II u . O) Portanto. u =I uI = I e.. tem-se (Figura 2. sendo u unitário. e ~ não-nulos e 8 o ângulo entre eles.u I vi a=-::. Cap. isto é. (a) (b) o comprimento do vetor projeção de v sobre u .[7 proj~ v pois u.u Portanto.2 = (v. digamos v . uI : e Logo. VI = proj~ V (9) ~x2+y2=4 vem Ora. 180°). é igual ao Figura 2. Pretendemos decompor um dos vetores. -v= (2. Escalar A Figura 2. sendo v 1 = a u . por (9) conclui-se que . tal que V= VI + V2 Interpretação Geométrica do Módulo do Produto sendo ~ 1 II . u=O ou y =± 2/3 v. I l ).--:::. u Sejam os vetores ..:- u. v. v.1 O (b)). temos v 1 a u e como v 2 =v v1 v a u é ortogonal a 2 2 (2) +y =16 u. (0.1(1) =O 3m +3 8-1 O Solução Temos 3m=6 v.-::. então .) . 2 2 u. -2 2 7 7 b) O ponto H é dado por u . u • v = O.. -1. 3. 2).) 10 lO v. -4) b) Sendo ~ = ~~ + ~2. -6. então Solução cose= ~ • ~ . 1) e C(m. y 2 ).)u=(-)(1. 3.. ~ :t Õ. 2 Produto escalar 63 62 Vetores e Geometria Analítica A Como Exemplos .AC =0.11 -. a) Para que valor demo triângulo ABC é retângulo em A? b) Determinar o ponto H. -5) e ~ = (4. 1. e sendo ~ 1 II ~ e ~ 2 _L ~ . y 1) e v = ( x 2 . 3. 8). -2. -1 1 1 proJ~V=(-::. B(2. -6. 2) = (0.u. -. AB = (3.. decompor ~ como v = v 1 + v 2 . BC = (0. -- d) u l_ v se. AB. -6. BC = (-3. e) se a e ~ são os ângulos diretores de ~ . 4) sobre ~ = (1. -1. -2. O).0) Mas u.5(8) = -42 e ou . b) validade das mesmas propriedades do produto escalar.u Como 21 7 H= (2.U =3(4)+2(-2)-1(8)=0 a) u. . Observamos que ~ 2 j_ ~ pois Considerando os vetores ~ ( x 1 . . temos V2. a) Pela Figura 2. BC.+ O~ =2 Logo H B + BH sendo BH projscBA .u =2(1)+3(-1)+4(0)=-1 m 2 Figura 2. 3(m + 1) + 2(-4).-1. -6. 2) = (0. -2. . . lullvl a) Sendo  ângulo reto. 2) • (0.u =4 +(-2) +8 =84. -6. . 2) =O+ 12 + 2 = 14 2) Dados os vetores ~ = (1. -2. = (1.) U e. I. 2. --. . v = x 1 x 2 + y 1 y 2 .0)=(--.r- Cap. 2) O+ 36 + 4 = 40 Solução Logo. 1) + (0. c) se e é o ângulo entre u :t Õe v :tÕ. e somente se. -5. pé da altura relativa ao vértice A. . vem 1) Determinar o vetor projeção de ~ = (2. u . 14 7 21 7 BH = (0. -4) = (3. .(-2. temos . -42 1 VI = 84(4. portanto.u 2 2 2 BA. -5). v. 3).. 2. 8) = (-2.10 e por (10). u = 1(4) +3(-2).. 8) = -2(4. 1). -4. tem-se Produto Escalar no Plano - V2= v -v. 1.-::. vem 2 H (2 __!_! _!2_) ' 10' 10 . -1) Todo o estudo feito neste capítulo em relação a vetores do espaço é válido também a veto- res no plano. 3) Sejam os pontos A(-1. u. -1) e AC (m+1. 1. 40 20 lO 10 VI = prOJ~ V = ( -::. isto é. os vetores AB e AC (Figura 2. 1). u = I u I = ( 1) + (-1) .11) são ortogonais. v. Figura 2. d= AB e ldl =10m. A d B Neste exemplo. . Exemplos wR= I li dI cos e (e Ü0 ) 1) Calcular o trabalho realizado pelas forças constantes. vem )lo • Uma Aplicação na Física WF"=(8N)(l0m)(-1) = -80 J A B O produto escalar é uma importante ferramenta matemática para a Física.9°.14 .--::. d ou W = IF I Id I cos e .----------. 12. lm (l Newton vezes um metro) Logo. IABI ldl=20mee:::36. vem WP = (3N)(l0m)(O) =O J camento d é definido como o produto es- calar desta força pelo deslocamento efetua- -fy do pelo corpo no qual a força está aplicada.12 a) pela soma algébrica dos trabalhos realizados pelas forças: 1F x 1= 1F 1c os e WR WF+ Wr.) u . sabendo que IF I = lON. . 2 Produto escalar 65 64 Vetores e Geometria Analítica Solução cos a =~ e cos ~ = 21_ · a) WF= I F li d I cos e lul 1~1' Como e oo (ângulo entre F e d ).: I . v. Como e= 90° (ângulo entre P e d ).80 J +0 J +0 J = 20 J dade no Sistema Internacional o joule.f?=:.. para deslocar o bloco de A até B. 2) Calcular o trabalho realizado pela força F para des- locar o corpo de A até B (Figura 2. notado por J. vem WF" = (3N)(10m)(0) =O J paralela ao deslocamento AB = d.v= ( -:::. - Pode-se observar que a componente da força -F que realiza o trabalho é -Fx .. )lo I Como e= 90° (ângulo entre FN e d ). Figura 2. IPI= 3N. FN e P (Figura 2. ou A grandeza física trabalho. .- IFa I= 8N. Figura 2. LI li • li b) w ~"a =IFa li dI cos e Como e = 180° (ângulo entre e d ). o trabalho resultante W R das quatro forças pode ser calculado de me mostra a Figura 2. o trabalho. é uma grandeza escalar e tem como uni.13 O trabalho realizado por uma força constante F ao longo de um determinado deslo. --- Cap. como por exemplo. A expressão para o cálculo do trabalho W é b) pelo trabalho realizado pela força resultante F R : W =F.13) e ou WR = (2N)(l0m)(l) = 20 J pela força resultante. IFN I= 3N. vem f) cos 2 a + cos 2 ~ = 1 Wp= (10N)(10m)(l) = 100 J Fr-. confor. conclui-se que I I = 2N lJ = IN. WR 100 J . - g) proJ.. + WP + Wp!\ onde e é o ângulo entre a força e o deslocamento. duas maneiras: Então. - FR = F + Fa + P + FN (soma de vetores) e Como P + =O .u. F. . notada por W. uma vez que c) WP = I P I Id I c os e inúmeras grandezas físicas são definidas com seu emprego. sabendo que IFI= ION. 14). F a. com u e v não-nulos. . b =(a+ 2. O. ~ = -1. -1). -1. =(3. 2) e C( 1. ~ c)(~+~). 0). ~é ortogonal ao eixo Ox. 3. ~.16) é um losango de lado 2. Determinar a de 15) Qual o valor de a para que os vetores a = a i + 2 j 4k e b = 2 T+ (I . determinar x tal que AC e BP 4) Determinar o vetor~.a .0.u ) b) I~ + ~I ::. 2) e ~ = (-3.BC W =F .DC B Figura 2. I~ I= 2. sejam ortogonais? 3) Dados os pontos A (4. = 6e 18) Provar que os pontos A( -1. 3). 1) e C (1. 5) Determinar o vetor ~. -2. 4). I v I= 3 e que ~ e v formam ângulo Figura 2.determinaro vetor x 7) Dadososvetores tal que ~ . = Õ. -2) e ~2 = (-1.- a) I (2 u -v ) • ( u 2v ) I b)l~ -2vl 1) Dados os vetores ~ = (2. x 3). sendo P (x. 2. B(m . 3). 19) Dados os pontos A(m. ~ = ( ~ + ~ ) • ( ~ +. . Calcular: A O trabalho realizado pela força F pode ser calcu- A d =-·B lado por a) AC. (-2~ -5~) ' ~'. ~ . 1.2 ~ ) d) ( u + v ) • ( v . -2) as desigualdades a)2u. Solução lO) Os pontos A. I~ I = 3 e o ângulo entre ~ e ~ é de 60°. 1. ~ = -42.3~ · 17) Dados os pontos A( -1.1. 6. a. n426N F Calcular AB • e AB • CA . a).. 1.1.BC f) BC. . ~ = -16.-1)e. 2) e os vetores~= (2.-3). .AD e) AB. 4) e C(l. I~ I= 3 e ~ . O. 1-2). (2~) d)(3~ +4~).a Analitlca 9) Calcular ~ • ~ + ~ • . ( ~ . o ângulo entre u e v= (1. A Força F (Figura 2. 5).: I u li~ I (Desigualdade de Schwarz) b) ( ~ + 3 ~ ) . -2. 2 Produto escalar 67 ~ores e Geomet. 1. ~ Cap. (~-4~) b)(2~-~). 2m. obter o vetor x tal que de a para que o vetor -a + -b seja ortogonal ao vetor c. ortogonal ao eixo Oy. 3).2a) j + 3 k modo que ~ . ~ · .DA w = 160 J vi e (u+v). B e C são vértices de um t~ângulo eqüilátero cujo lado mede 20 em. 1). 2. -1. 4). a)(~-3~). -2. sejam ortogonais. O) é 45° e u é - I~ I= 2. (u v ). v =(4. w = 3. d (produto escalar) b)AB. c2o T + o j ) c) BA. determinar o valor ~ = (-1. ). ~=(2. 3. 20) Encontrar os vetores unitários paralelos ao plano yOz e que são ortogonais ao vetor ~ =(1. sendo o triângulo ABC seja retângulo em A Calcular a área do triângulo. sabendo que 12) Calcular I u + v I.: I~ I+ I v I (Desigualdade Triangular) 2) Sejam os vetores ~ = (2. sabendo que I~ I= 5.. a). ~) ~ b) (BC. -2) e . calcular 8) Sabendo que ortogonal a w = (1. -1). O. lu ou por I~ I = 4. -1 ). 0) e C( -4. -1) e~ = (1.0). -1.(-v) c)(~+~). 7. ~1 =8 e~ · ~2= -3. 1. w . I~ I = 3 e Iw I= 5. sabendo que ~ + ~ +. -3. . 1.9°) 13) Sabendo que I uI . 2) são vértices de um triângulo retângulo. + ~ . = (2a. 0). tal que ~ .-1. -5.2. 1). B (2. .15 w = (8 T + 6 r ). determinar m de modo que 6) Determinar o vetor~. 6 = IF Isen e e d= 20 T+o r o 11) O quadrilátero ABCD (Figura 2.. ~1 = (3. paralelo ao vetor ~ = (2. onde 8 = IF Icos e. 8. 1. determinar Problemas Propostos 4 -. 1.BD d) . a) 3 ~ + 2 ~ = ~ + ( AB. ~ = O e ~ . calcular 14) Verificar para os vetores ~ = (4. ~ = (3.~)~= ( ~ · ~) ~ .15) é decomposta em F = 8 i + 6 j . B(2. - 21) Determinar o vetor u tal que lu I= 2. c w = 1F 11 ct 1 cos e W = (I ON)(20m)( cos 36. -1.(~-~) a) I~ • v I ::. 1) e 16) Dados os vetores ~ = (2.16 w = 160 J de 3 Jr rad. 2) e ~ = (2a. 1. B( -3.=i+2j. do com o vetor j . - u e decompor v como soma de v1 com v2. -1) e C(-1·. O. ~ . pé da altura relativa ao vér. 3). (3. Ia I= 6 e Ib I= 8.1. -3) e v (2._G /D um triângulo (Figura 2.AB)OG I I a) Para que valor demo triângulo ABC é retângulo I I a emA? g) o ângulo agudo entre a diagonal do cubo e uma I b) Calcular a medida da projeção do cateto AB sobre a aresta. 2). 1 = I~ 1 + I~ 1 + I. a) 4i +3 r b) (-2.2 Produto escala~ 22) Seja o vetor v = (2. 3. B(2.m+ 1). Obter 36) Determinar um vetor unitário ortogonal ao eixo Oz e que forme 60° com o vetor i . 2 b) ~ é ortogonal ao eixo Ox. y e z. 45) Obter os dois vetores unitários ortogonais a cada um dos vetores mente.determinar proj\:u eproj~v. 12 . encontrar a projeção ortogonal de ~ sobre e v =(-2. X 33) Os ângulos diretores de um vetor a são 45°. 4) Determinar: d) . . -I. 39) O vetor ~ é ortogonal aos vetores u = (1. a) ~ - u = (2. 3) e v = (k. . 90° e 60°. O. Qual o ângulo externo ao vértice B? 27) Calcular os ângulos internos do triângulo de vértices A(2. 1) -u + -v e -u . 2.-2. a) ~ é ortogonal ao eixo Oz. -2. n) e k.18). 41 ) Determinar os vetores projeção de v = 4 T -3 j + 2 k sobre os eixos cartesianos x. e I~ I = 2. A/ Va a B c) Determinar o ponto H. b)u=(l. -2) e v= (3. sabendo que é ortogonal ao eixo Oy e ao vetor b) um vetor unitário ortogonal a v . I~ I = 8. 4). forma ângulo de 60° com o vetor e ângulo b) I~ + ~ + . forma ângulo de 30° com o vetor e ângulo - 24) Demonstrar que sendo u . -I. -I) e v =(-I. 1. 5. 4) e C(6.- 30) Se IuI= 4.2).l. -. a) paralelos. B(l. -1) . .OD e) EG.b I. c) . 3) c) (-1. -3. -2. 0) e w = (2. = (2. ~_l--------~-~y hipotenusa BC. 1) e forma ângulo agu- b) ~ - U=(l. 44) Determinar o valor de k para que os vetores u = (-2.CG í: F <f-LI_ _ __. I). 60° e 90°? Justificar. 1.17. l)e V=(-1. -3. calcular Ia + b I e Ia . I~ I = 2. 2 2 2 25) Determinar o ângulo entre os vetores agudo com k. l)e v 1. 29) Calcular n para que seja de 30° o ângulo entre os vetores v = (-3. 4.17 d) Mostrar que AH _i BC. O. ~ = T . 35) Mostrar que existe um vetor cujos ângulos diretores são 30°. 37) Determinar o vetor ~ de módulo 5. sendo VJ // u e v:z_l u. 3 ). 1. c) OE . e determinar aquele que tem módulo 1O. Determinar~ .l) e v =(3. l. determinar o ângulo entre a). O. a)l~ + ~1 =1~1 2 +1~r2 . v e w vetores dois a dois ortogonais. 2.-1) 31) Seja o cubo de aresta a representado na Figura 2. 5) e C(O. 0) e v = (3. Determinar o ângulo 40) Dadososvetores u (3. h) o ângulo agudo formado por duas diagonais do cubo.0). 4).2 k . 2. 1) a) OA . 1).18 32) Calcular os ângulos diretores do vetor v = (6. sabendo que Iv I = 26) Seja o triângulo de vértices A(3. interno ao vértice B. 3). B(m. -4) sejam 34) Os ângulos diretores de um vetor podem ser de 45°. -2. 1) vértices de b) OA. I) 42) Para cada um dos pares de vetores . e ~ . Figura 2. I.0. e forma ângulo obtuso com o vetor T.-v e construir uma figura correspondente a estes dados. c) um vetor de módulo 4 ortogonal a v . então obtuso com j . respectiva.= (1. Determinar i . 4. 28) Calcular o valor de m de modo que seja 120° o ângulo entre os vetores u = (1. tice A.OB --- f)(ED. ---- 23) Sendo a _i b. 1. a) um vetor ortogonal a v. 38) Determinar o vetor v nos casos --. 60° e 120° Figura 2. Iv I= 2 e 120° o ângulo entre os vetores u e v.OC d) IOB I e IOG I 43) Sejam A(2. . -I. -~---------- -- G o r e s e Geometria Analítica Cap. b) ortogonais. -9) b) (-. - c) u = (1. .. seguintes vetores formam com o vetor i : 21) (1. 6. o ângulo entre os pares de vetores 18) BA. ---- sobre u e decompor v como soma de v1 com v2. -J2) a) u c) u + v e) v. 5) 27)  50°57'.:.1 13) a) 37 b) J50 35) csJ3. -v3 -v3 -v3 . ou (0. c) Um deles: ( r. cos 2 45°+COS 2 60°+Cos 2 90° i:. determinar o módulo e o ângulo que os 20) (0.a). -1) 6 2 7) x=(2. -9) I 5) (0. 17) X=- 25 2 47) Determinar.. 1) e v = (-1. aproximadamente. 1) e v = (2. O. em que um deles seja .3) . 2) 25) a) 120° 26) 4SO e 135° b)l50° .4) 32) a =are cos (-)=:31° 7 ~ = are cos (--) 7 =107 o 8) a)7 b)38 c)-4 d) -181 3 9) -19 y = are cos (-) 7 = 65° 10) 200 e -200 11) a)O b)2 c)-2 d) 2 e) 4 f) -4 33) a ( J2.) . 5) (~..j e v = 2 i + j . 1. ~ (~.- 50) Para cada um dos pares de vetores u e v . -1. 1. -4) b) o d) a-/2 e aJ3 h) are cos (-) 3 =70°31' 6) (2. -2) .- 2 1 2 48) .. J2) ou (1. 2 Produto escalar 71 16) 3 ou -6 46) Determinar um par de vetores unitários e ortogonais entre si.. . -1) e v = (-4.-. Jl3 e 7 34) Não.O)e - a) .- paralelo a v = 6 i + 8 j . - b) u = (1. -1) 12) J37.1) 3' 3' 31) a) O c) O g) are cos J3 =54°44 1 3 4) (-6. o. encontrar o vetor projeção ortogonal de v . 3. 1) e ~ = (4. Ê 57°1'. 3. v =(4. 3) e v = (1.lu. sendo v1 // u e v2 .v b) Um deles: 49) Determinar o valor de a para que seja 45 o o ângulo entre os vetores u = (2. -1) 1 1 1 b) v d) u. r. .. - b) u = ( 1. 4) ou (0.tJ•re• r-- e Geomet•la Analftlca Cap.. -1. 3. ~ 15) -5 36) 0) ou O) .r..u 22) a) Dentre os infinitos possíveis: (1. 23) 10 e 10 u=(l. ê 72°2 1 28) o ou -18 Respostas de Problemas Propostos 1) a)-2 b)21 c)-4 d)4 29) J30 5 3 2) a= -- 30) are cos 49°6 1 8 1 2 3) a) (3.BC =O a) ~ = (2.-3. 1) e 4 4 4 v =(l. 1) 2 .- Dados os vetores u = i . -2) 19) m=leJ30 . - c) u = (4. 2k .:.13 .-. temos c) 3. faremos uso de determinantes. 0' -5) 2 Produto 41) 4i. O.2 . - c) VJ =(~ 8 6 - -) V2 3 4 =(-~ -) c2 ) se duas linhas forem constituídas de elementos proporcionais. are cos (..2 .5... 4) 40 ) 8 <9· -9. fj) 39) (-2. Um I I I I determinante de ordem 2 e definido como c) (r..-.) b) ( r. I.~ 3 1 - 50) a) VJ = (4. l)e ~2 =(2.15 -23 49) 3 ou . -3.0)e ~2 =(0. . 5 . o determinante é 5 '5 ' 5' 5 zero (duas linhas iguais é um caso particular). V2 =(3.0.. 45° d).r. . 45) a)(~. -J5) =117 o c) Algumas propriedades dos determinantes serão utilizadas nesta seção: b) -JS. -4. 2) .• r. Em relação ao exemplo anterior..13 .:.I. 7 7 . 3 3 b) VJ = ( 2' 2 )... faremos algumas considera- 8 ções importantes: 44) a) ~ b) -6 3 a) O produto vetorial é um vetor. O) (~e ~ são ortogonais) e ~2 = ~ 43)a)m=3 b)!____J26 c)H(2!_..4) d) ~~ = (0. -9) 4 8 e 6 (-5..fi. 0). .. V2 = (-2... . v que é um escalar 3 4 3 4 3 2 3 2 (número real).-. 10 4 I Vetorial 42) a) VJ=(-3.. -3. 3). 3) b) ~~=(!. I 2 2 .(-4)(2) 15+8 = 23 48) a) .(3)(5) = -8 ..2 .. O. - 72 Vetores e Geometria Analítica ~ 37) ~= (-2-JS. ao contrário do produto escalar u. --JS) MAKRON Books 3 38) a) (413..10 ~ 1 (3)(5) . V2 = (0.-~) e (-~.13 .·.l e(. ) = 108 o Por exemplo.-. r.r. ) e (. 5 3 3) 3 4 4 3 ou ( 5' 5) e ( 5' -5) I 1:: ~:1 47) a) are cos ( ~):::: 53° b) are cos (.2 li 46) (3 4) 5' 5 e ( 4 -5. oo I -4 3 51 2 = (-4)(2) .0.-.) .-2) c) ~~=(3. are cos ( Js) =63° c 1) a permutação de duas linhas inverte o sinal do determinante.... 1. .r.. O) b) (0. 87 94) Preliminares 26 26 26' 26 Antes de definirmos produto vetorial de dois vetores u e v .:.r....r. ) 5 5 5 5 .. are cos ( ]s) =26° e) -JS. 3) ..-3J.13 b) Para simplicidade de cálculo do produto vetorial. :J. as duas primeiras colunas. e repete-se pela ordem.(5 . a 2ª coluna e a 3ª coluna. res em vez de escalares. 3 Produto Vetorial 75 74 Vetores e Geometria Analítica No determinante a seguir. haver menção somente a linhas.4k entanto. nante intermediário. As Chama-se produto vetorial de dois vetores três componentes de u x ~ são dadas pelos três determinantes. Cap. por u x v . Notemos que os três determinantes de O símbohu à direita de (2) não é um determinante. usaremos esta notação pela facilidade de memoriza- las. os elementos da segunda linha são o triplo dos elemen. (1) tos da primeira: 1 -21 = o 13 -6 O proouto vetorial de ~ por ~ também é indicado por ~ 1\ v e lê-se " u vetorial v ". pois a primeira linha contém veto- ordem 2 desta expressão são obtidos a partir das duas últimas linhas. Por exemplo. o determinante é zero.(2 + 10)(-2) + (1 + 6)(-4) j k =I~ ~I T I~ ~~T I~ ~lk = = 3+ 24-28 uxv 5 4 3 + = -1 o Observação Todas as propriedades dos determinantes acima citadas fizeram referência às linhas da =(4 O) i . Observemos que a defmição de u x v dada em ( 1) pode ser obtida do desenvolvimento Por exemplo. trocando-se o sinal do determi. j e k . no estudo do produto vetorial. a Iª coluna.3) j + (O 4) k matriz pelo fato de. ção que ela propicia no cálculo do produto vetorial. ao vetor . estas propriedades valem também para as colunas. desprezando-se ne. Exemplo 3 -2 -4 Calcular u X V para u =si +4J +3k e v = i + k 1 3 5 -2 2 Solução (6-5)(3). A vantagem do dispositivo é que não se corre o risco de esquecer a troca de sinal do determinante intermediário. b e c pelos vetores I~ ~I = o unitários i . No entanto. conforme está indicado a u =xt T+ Ytj + Zt k e ~ = x2 T+ y 2 j + z2 k. Dispositivo prático para o cálculo de u X v Definição do Produto Vetorial Dispõe-se os dois vetores em linha. e se representa seguir. c3) se uma das linhas for constituída de zeros. tomados nesta ordem. fato que sugere a notação d) Um determinante de ordem 3 pode ser dado por k a xl b Yt c zl = I Yt uXv=x 1 y1 z1 (2) Y2 xz Y2 Zz X2 Y2 Z2 A expressão da direita é conhecida como desenvolvimento do determinante pelo Teorema de Laplace aplicado à primeira linha. No = 4i 2j . segundo o Teorema de Laplace (item d das Preliminares) substituindo-se a. pela ordem. . - 1°) V X u = . - uxv 3 2 (L -19. como u x v . u l/v. também ele é ortogo- têm suas linhas constituídas por elementos proporcionais. Y2 I z.- u x O = O (determinantes de ordem 2 com uma linha de zeros) por u e v. I x1 i I i X") . 2.2 apresenta os veto- Estão aí também incluídos os casos particulares: I) ~ .2 -1> . 2. YJ zl (Figura 3. Levando-se em conta as considerações feitas sobre as proprieda- des dos determinantes. 8). . I.z 2 ). -2 2 5 Características do Vetor ux v e (~X~). os vetores V X u e u X V são opostos x. = O (primeira e segunda linhas iguais). A seguir passaremos a definir o vetor u x v no caso de u e v -1> . ou seja. 8).. 8) serem não-nulos e não-paralelos. 3 Produto Vetorial 77 76 Vetores e Geometria Analítica Tendo em vista que dois vetores são ortogonais quando o produto escalar deles é zero.- ~ O Dados os vetores u -= (3. 2) e v (-2. Portanto. k do e seu comprimento.~=(l. U X V Figura 3.1 ). u Temos. seu senti.( u X V ). basta mostrar que I~ (uxv).. -19. De forma análoga.( UX ~) Logo. -1> . .u) = 0 Exemplo - b)(2u)x(-7u)= O -. u x ~ é ortogonal a u e a ~ . pois a troca de ordem dos vetores no produto vetorial X2 Y2 Z2 u x v implica troca de sinal de todos os determinantes de ordem 2.5)=-2-38+40=0 O vetor u x v é simultaneamente ortogonal a u e v . Cap..V) X (v. pois neste caso. no produto vetorial a ordem dos fatores é importante. Como o vetor ~ x ~ tem a mesma direção de ~ X v 2°) u X v = O se. então o e (~X~). 1.(3. ~X U=. 5). 2) 3-19+16=0 Consideremososvetores u =(x 1 .z 1 )e v =(x2.. isto é. zI z2 I YJ + x. x2 y. Por outro lado. concluímos de imediato que: U X V XI YJ z. .-:F -v x -u conclui-se que o produto vetori. A Figura 3. . ~=0 (u X - v). z.1 al não é comutativo (ao contrário do produto escalar: u. v = v .(-2. -19. na] tanto a ~ como a~. todos os determinantes de ordem 2 (apenas seus sentidos são opostos). troca de sinal de todas as suas componentes. e somente se.y 1 . tem-se c)(uxv)x(vxu) =O f)(5u)x0 =0 Sabemos que um vetor está bem definido quando conhecemos sua direção. z2 I.y 2 .~=(l. u ). V X U Exemplos de produto vetorial de vetores paralelos: Figura 3. u = IY2 y. ---- e)(2u +3v)x(6u +9v) . - a) u X (3 u) = 0 d) ( u. --+ -1> . a) Direção de u x v (~X~). ~ u X u = O (determinantes de ordem 2 com linhas iguais) res u x v e v x ~ ortogonais ao plano 1t determinado 11) ~ . demonstra-se que ( u x v ) • v = O. T (Figura 3. conseqüentemente. o produto vetorial de dois vetores sucessivos Figura 3.4 apresentamos um dispositivo mnemônico para = I~ 12 1~ 12 (1 . o k U X V -k o k -i o c) Comprimento de u x v Se e é o ângulo entre os vetores ~ e v não-nulos. e adotando o Extraindo as raízes quadradas e notando que sen e :2:: O (pois 00 ~ e ~ 1800). X r =.4 I ~ x ~ I = I~ I I ~ I sen e. 2 2 (y 1z2-y 2Z 1) + (xl z2-x2zJ) + (xly 2-x2y 1) 2 (5) res a uma dupla de vetores unitários escolhidos entre i . Por exemplo. Tendo em vista que o o ~ • ~ == I ~ 11 ~ I cos e o sentido de k daria o sentido de u X v .3 (b) mostra que o produto vetorial muda de sentido quando a ordem dos veto.3 A Figura 3.(~.3(a)). Observemos que só será possível dobrar os dedos na direção de ~ para ~ se 2 I Y1 zl 1 I X1zt 1 I X y 1 1 1 invertermos a posição da mão. então I~ x ~ l=l~ll~lsene (3) V X U Este resultado será imediato quando se conhece a Identidade de Lagrange: (a) (b) (4) Figura 3. j e k .k (sentido horário). então o polegar estendido indicará o sentido de ~ x v . associando e u x v . Como I~ X~ 1 2 2 2 res é invertida. suponhamos que ~ (1° vetor) sofra uma A tabela de dupla entrada apresenta as seis possibilidades com produto vetorial não-nulo: X rotação de ângulo ~ . com i x j e tendo em vista que 1~1 2 1~1 2 . 1) = k. Y2 Z2 + 1 X2 Z2 I + X2 Y2 Caso tenhamos dúvidas sobre o sentido de ~ x ~. O. 3 Produto Vetorial 79 78 Vetores e Geometria Analítica quaisquer é o vetor seguinte. podemos associar estes dois veto.(x 1x 2 + y 1y 2 + (6) j k a identidade (4) poderá ser verificada desenvolvendo-se os membros da direita de (5) e (6) e constatando sua igualdade (a cargo do leitor). Sendo e o ângulo entre ~ e ~. Cap. obtemos sentido anti-horário. neste dispositivo temos imediatamente X k b) Sentido de u x v O sentido de u X v poderá ser determinado utilizando-se a "regra da mão direita" (sentido anti-horário) e. ~) 2 = (xt + y~ + + +z~) . Da mesma forma temos a igualdade (4) pode ser escrita como e kx i =r I u X v 12 = I u 12 1~ 12 I u 12 1v 12 cos 2 e Na Figura 3. Se os dedos da mão direita forem dobrados na e até coincidir com k mesma direção da rotação. Associando estes vetores a três pontos distintos de uma circunferência. .cos 2 e) lembrar os seis produtos vetoriais possíveis com estes três vetores = I~ 12 1v 12 sen2 e unitários que determinam o sistema cartesiano. i Xj = 1 o o = (0. Assim. quando então o dedo polegar estará apontando para baixo. 5 Exemplos A=lu X vi (7) 1) Determinar o vetor x. a medida da base é I~ I e da altura é I~ I sen e.)e Vetorial (U+V)X. por exemplo. 1. O. enquanto que c) ortogonal a u e v e tenha módulo 4. v. (unidades de área) e o Pe{ ~. então Como x Oy. tal que x seja ortogonal ao eixo dos y e ~ x x v. -1. isto é. As demonstrações destas propriedades. Determinar um vetor que seja Basta considerar. . sendo O resultado dado em (7) poderá ser expresso por: "a área do paralelogramo deter. -x). z Então. -2).~~~igualdade de dois vetor~ resulill o sistenm vetor u x v tem 6 u. (unidades de comprimento).c. 1. -1) X o z 2 -1 e I~ X ~1=6 4 ou A Figura 3. 1). IH) . Va~os ~mp~ovar _:ste resultado por meio de um exemplo particular tomando os Solução vetores u = 2 i e v= 3 j . x = (1. · ou seja. Figura 3. 3 Produto Vetorial 81 80 Vetores e Geometria Analítica 2) Para quaisquer vetores u. a) ortogonal a ~ e v. u X X V equivale a k u X V= 2 O O = (0.n:i:.5). Cap. (lXJ)XJ =kXJ =-l b) ortogonal a ~ e ~ e unitário. -1) determinado por ~ e ~ tem 6 u.6 Portanto. 1). z). em geral Figura 3.6 mostra claramente que o paralelogramo = (z.(vxw)=(uxv). -1) e v (2.) Observando que no paralelogramo determinado pelos 11) a(ux~)=(a~)x v vetores não-nulos u e v (Figura 3. -4) e ~ (3. u = (1. O. (1.1. todas ligadas à aplicação da definição ( 1) e ralelogramo é de propriedades dos determinantes além das citadas no texto. -x + 2z. numericamente estas medidas são iguais. ele é da forma ~ (x. Para encerrar o estudo do produto vetorial. clusões finais: 1) O~pr~duto ~etor~l nã(~ é ~sociativo. as con- X cuja solução é x 1e z I.u x(vxw) 2) Sejam os vetores ~ =(I.-wu x(av) -u. deixamos a cargo do leitor A= (base) (altura)= I~ li~ I sen e como desafio..)+(~X. Temos. Quer dizer. w e o escalar a. minado pelos vetores ~ e v é numericamente igual ao comprimento do vetor ~X~ ". 6) = 6k j k o 3 o U X V (1. 2. (uxv)x w 1:. a área A deste pa.. 1. O. i X (j Xj ) = i X Ô = Ô d) ortogonal a ~ e v e tenha cota igual a 7.a. são válidas as propriedades Interpretação Geométrica do Módulo do Produto I) ux(v+w)=(uxv)+(~X. =(~X. 3). -v =0 ou 3x + 2y .- lux vi 5 7 lu I . Portanto. 4) Dados os vetores ~ = (1. calcular Se chamarmos de x = (x. A= (base)(altura) =I uI. vem i k - IAB x -ACI = (10)(10)(-) J3 = r. temos a solução A h= -:::.. a -:1:. -10. 3)=(3.. este problema tem infi- É uma aplicação direta da relação (3): nitas soluções. 3' -3 ). { -x. obtém-se dois vetores unitários: a) Sabemos de (7) que a área A é dada por A lu X vi ~I = ~ = (10.8 ilustra outra vez o significado geométrico ou de I~ x ~ I e indica a altura h que se pretende calcular. . 3' -3 ). deseja-se aquela cuja cota vem é 7. -10. a área do triângulo da figura é a metade.. 5) = (14.(10. ou seja. 7). estas mesmas solu- a) a área do paralelogramo determinado por u e v.. _ ções seriam obtidas resolvendo-se o sistema..r Cap. -14.7 Logo. ou seja. ~ = 0 {X . Logo. Como multipli. -1)1 . -10. 0). -3. a E R. todos os vetores do tipo . são também ortogonais a u e v .-1) U2 =-UI =(-3. b) A Figura 3. -10. uxv= 1 -1 -4 = (10. Observação . a E R Este resultado representa a área do paralelogramo determinado pelos vetores AB e AC . !AB x AC! = IAB IIACI sen  Como  = 60° (Figura 3. 5a = 7. Então. 2 2 1 uxv -1 I (-1. Logo. 5) = ( 3_ _3_ _!_) I~ x ~I 15 3' 3' 3 Como e k .a (unidades de área). . -3. 4). -3. basta multiplicar por 4 tem-se um vetor unitário: 2 2 1 8 8 4 A 1(-1.y .. - a ( u x v ). h d) Dentre as infinitas soluções a(l O. 5) = (1 Oa. a) Sabe-se que o vetor u X v é simultaneamente ortogonal a u e v .8 . 5) 2 3 2 -2 Observação Figura 3. 3 Produto Vetorial 83 82 Vetores e Geometria Analítica Solução 3) Seja um triângulo eqüilátero ABC de lado 10. z) todos os vetores ortogonais a u e v. 5). 3' -3) =(-3. 25J3 . 4 (3. 50-v3. as infinitas soluções são a (10.7).2z =O Solução b) A partir de u x v (ou de qualquer a (u X v). -2. .J6 u. Calcular I AB X AC I. -10. y.-2.. -10a. . Solução car um vetor por um número real não altera a sua direção. . 2 -3 4 U X V c) Para obter um vetor de módulo 4 que seja ortogonal a ~ e v . -L 1) e v = (2. 5a).4 Z= 0 b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor u. 2 2 1 8 8 4 De 4(-3. a= 2. 5 Figura 3. 4)1 = J4+ 9 + 16 = fi9 u.1 O mostra que.10 1~- AA = -IAB X ACI d = 1(2. -1) e ~ = (I.c. -2.I. -1.c. Como o paralelogramo é determinado pelos vetores 2 o -1 Figura 3. 2) à reta r que passa por A (3.9). 5) A área A do paralelogramo é dada por 2 -3 A=luxvl Logo. I k Solução ABxAC -2 -1 = (7. -2)1 -J1 + 4 + 4 3 Mas 6) Dados os vetores ~ = (2. vem a 2 2a + 1 + 4 a 2 + 4a + 1 + 9 = 62 5) Determinar a distância do ponto P(5. -2a. -1. 0) e C(4. -2. AC = (2. -2. Elevando ambos os membros ao quadrado e ordenando os termos. 1. -1. a partir do triângulo ABC. d= IABx API b) a altura do triângulo relativa ao vértice C. 1.I. 1)1 "3 J2 u. -2). -3)1 = J62 ou . h. -3. -I). vem -1 a h A IAB x ACI J75 u. 1. -3) e do paralelogramo determinado por ~ e ~ seja igual a J62. conclui-se que a área A do triângulo é vem Figura 3. O.I. Ll 2 1(1. 5)1 J3 u. 3 \\\ Produto Vetorial 85 84 Vetores e Geometria Analítica ou seja ~(a 2 . cuja área é A B ABX AP= -2 -2 = (2. calcular o valor de a para que a área AB = (1.1) + (-3) = 2 2 J6i h=__)}__=~= 1(1. é i j k n / possível construir um paralelogramo ABDC. 1. 2. 3) e B (4. -2a . e l(a . -1.9 ~ ~ AB e AC . B(3. -2). Deseja-se que 1 5 l~x~I=J62 Ail -1(7. -1) e I I a) A Figura 3. 1). 1. -3. (unidades de comprimento). 1). 5a 2 +2a 51=0 donde Solução 17 Seja da distância do ponto P à reta r (Figura 3. -3) A= (base) (altura)= b.c. 4) o dobro da área do triângulo. de acordo com o problema anterior. I. I k Como a área A do paralelogramo é u X v= 2 -1 =(a . determinar Logo. Cap. 2 2 Mas b) A altura do triângulo indicada na figura é a mesma do paralelogramo de base AB. a). 7) Dados os pontos A(2. temos a) a área do triângulo ABC.1) + (-2a .1.a. AP= (2. Os vetores AB e AP determinam um a 3 ou a 5 paralelogramo cuja altura relativa à base AB é a distância d de P a r. 1. P________________ i IABI I d / Solução Como AB = (1. )mN 5) Resolver os sistemas 't A intensidade (módulo) do torque pode ser calculado por a) { ~X r =k b){. - onde I r I é a distância do ponto de aplicação da força F ao eixo de rotação. isto é. -+ - z a) lu x uI e) ( u V) X W i) UX V U X W oncte e é o ângulo entre .2 k ' v =2i+4j -kew = . e F. a) i x k e) (3 T) . - b) (2 v ) X - (3 v ) f)(uxv)x w j) ( u X - v).12 po está vinculado. -3).- . d)( ~ X ~ ) X ( ~ X ~ ) h) ~ X (v+ w) 1) ~. i ou 3) Dados os pontos A(2. ou 4) Determinar o vetor x tal que x • (1. (4 T _2 r+ k) = 10 ~. A equação para o cálculo do torque é ou -'t= -r x F. (2 j ) i)(ixr)xk F b) j (2 i ) ~ - f) (3 i ) X (2 j ) j)(ixr)x r Solução X X O vetor torque. determinar o ponto D tal que . para o caso desta figura. e está relacionada com a pos- sibilidade de um corpo sofrer uma torção ou alterar seu movimento de rotação. representado por 't .=- (2 ~i . v= (-4. 1= (20k )mN.11 :r =(O T+ 2 r+ ok )m X (lO T+o j + Ok)N d) T. 1) = (3. ) . Dentre algumas de suas aplicações pode-se citar o torque. Cap. 1. -2). ( j X k) h) j . w Calcular o torque sobre a barra AB (Figura 3. 4. 0). XX .. 1) e C(2.- I 't I = I r I IF I sen e . -1. (~X .20 k )mN AD = BCxAC. l. o torque é dado por O torque é uma grandeza vetorial.. 3) e w = (1. . 2. 3 Produto Vetorial 87 86 Vetores e Geometria Analítica z Observação Uma Aplicação na Física Caso a força F seja invertida (Figura 3. determinar .r .j + 3 k) 0 ~.12). X . F O produto vetorial é uma importante ferramenta matemática utilizada na Física. ( j X k) 1) ( j X k) .11). -2.- (emmetros). 5. 1). Problemas Propostos Lembrando o cálculo do módulo do produto vetorial visto em (3) tem-se 1) Se ~ ==d T .- ondeAB =r =2j . é ~ c )(3 i ) X - (2 k ) g) i • ( j X i ) k) i X ( j X j dado por Figura 3. -1).2 k) = 12 I't I = I r li F I sen e = (2m)(l ON) (sen 90°) = 20mN 6) Dados os vetores ~ = (3. -3) = -7 e x x (4.= (-20k.c T + 2 r. F= -1 OT (em newtons ). determinar -x de modo ou por I:( I= ~(. Figura 3. B(3. .. 1.= (O i + Oj 't ~ - . O.20) 2 = 20mN - que x _L w e x x u = v . ao qual o cor. v Exemplo c)(uxw)+(wxu) g) u X (v X W) k) (u x v).T + k . F=lüi (em 2) Efetuar newtons) e o eixo de rotação é o eixo z. 2. I. 0). suas diagonais são u +v = (-1. 0) e D(4. calcular Figura 3. calcular c) Mostrar que ~ X ( ~ X . sabendo que C(4. -1.0. N(3.B(l.14 Determinar a área do triângulo ABC. mente ortogonais. 14) Com base na Figura 3. 2). b) Utilizar o produto vetorial para mostrar que o Figura 3. O. 24) Calcular a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC.sabendo que I~ X ~I= 12. -2).1). -2) são coplanares. I). O. 3 Produto Vetorial 89 88 Vetores e Geometria Analítica 7) Levando em conta a Figura 3. -2..-1). I. 2). 2. Cap. 3. 0). -1. O. -2. c)ABxAC f) GB x AF 18) Mostrar que o quadrilátero ABCD de vértices A(4. 2) e P( I. 2). 2) seja igual a produto vetorial de quaisquer dois deles é paralelo ao terceiro vetor. c) IAB x DCI 27) Dados os pontos A(2. B(O.13.. I). -1) é um paralelogramo e calcular sua área. 1). ~ = (1. 3. O. b) ACx FA e) OA. sendo dados 12) Dados os vetores ~ = (1. 1). O. 2) a) IAB x ADI 26) Calcular sabendo-se que A (2. I. 0) e B< I.u. O. . l)eC(O. -1) e o (1. 1.a. O. 3). 1). determinar vetores ~2 e ~3 de modo que os três sejam mutua- . -5) h) (8.. l)eC(l. 13) k) 5 i) (8.. sendo b) a área do paralelogramo determinado por u e(.13 v (1. 2) e v = (-2. -1. f) IBD x CDI c 29) Os pontos médios dos lados do triângulo ABC são M((). a) Utilizar o produto escalar para mostrar que os 20) Calcular o valor de m para que a área do paralelogramo determinado por u = (m. 23) Calcular a distância do ponto P(4. ) = Õ a) a área do triângulo determinado por u e v. dois a dois. 15) Sendo I~ I = 2. 3. 0) e v= (0. :) são vértices de um tri- b) lBA x BCI ângulo de área 6. I~ I= 13 e ~ é unitário. 8) Sejam os vetores V = (1. 3. -3. -2. 3. 0) e C(O. 13) I) 5 . 2. 0) e ~ = (-1. O. B(5.J2. I~ I = 4 e 4SO o ângulo entre ~ e ~ . 25) Encontrar um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos P. 2. - 1O) Obter um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos A(2. u = (-3.. 2. 9) ~eterminar um v_:tor simultaneamente ortogonal aos vetores ~ + 2 ~ e ~ . Q(O. calcular a) OF x OD d) EÇ x EA a) a área do paralelogramo determinado por u e v.. -2. C(-1. I). l). 1) e vetores são. determinar o ponto C do eixo Oy de modo ~ ~ d) IAB x CDI que a área do triângulo ABC seja I . h) Õ e) (-5. determinar a) A(-4. calcular 17) Dados os vetores u = (3. 28) Sabendo que os pontos A(4.v. I. 1). Calcular a área do paralelogramo. ponto médio das diagonais é M (3. O. 0). -1) e B(O. 1. - c) a área do paralelogramo determinado por u + v e u . 1). . R(O. ~. -I. -2). calcular a) P(3.14. I. 0). I) j)O 16) Determinar ~ . 2.5 u. -I) e B(3. -4. 3) à reta que passa por A( I. -2. 3. O. 2) e a ~ =(0. -.B(l. -3. 4) eu -v = (l.O.0) b) um vetor de módulo 5 simultaneamente ortogonal a ~ e ~ . ~ - 21 ) Sabendo que I u I = 6. C(O.1. 3. 2. I v I = 4 e 30° o ângulo entre u e v. e) IBD xACI calcular a área do quadrilátero ABCD. Q(O. h) A(4. a área do triângulo PQR. R(2. 2). li) Dado ~~ = (1. B(O.. 1. 1) e . 2) A ~ ~ b) P(2. 1) e 22) Calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores u e v. a) I 2~ x ~I I -~ 12 - b) -ux -v Respostas de Problemas Propostos 5 2 l) a)O d) Õ g)(-6. 2.3) a) um vetor unitário simultaneamente ortogonal a ~ e ~ . -2. 0). 2.O. 19) Dois vértices consecutivos de um paralelogramo são A(2.-20. 2. -2).(OCxOE) b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor v. 2). Q e R e calcular 13) Determinar um vetor de módulo 2 ortogonal a ~ = (3. B(l. ortogonais. 3. I.2.v). I. 1). -2) e D (-2. ../3. 9) 10) Um deles: AB x AC = (12. -a . a 2 ) c) (0../3) b) ( 5 5 5 5 5 5 . -3./3'. J3 ' J3 ' ·...fi) ou (0.6).. -a 2 ) f) O 9) Um deles: ( ~ + 2 ~ ) x ( ~. 1) e ~ 3 =(-1. 10) 11) Uma das infinitas soluções: ~ 1 = (1. . 3 Produto Vetorial 91 90 Vetores e Geometria Analítica ') r.~) = (-12. -1.-.fj'-. I) 1 I l l 1 1 12) a)(.tER e .fi. 2.J74 20) o ou 2 21) a) 6 b) 12 c) 24 22) J35 23) J65 3 L .J3 ) 13) (0./3..: 2J35 b) 7 e 7 2) a) .../3'... O) b) X= (-4. 2. O) d) (-a 2 .Jl22 19) 2.2) 27) c (0. .[53 c) -6 j g) O k) o 2 2 d) I h) O 1) 1 26) 4 ou -4 3) D (-4. -2.fi.O) ~ 2 5) a) x = (1.-1. a2 ) e) a3 2 2 b) (-a . -18. 1. 0) ou C (0. Cap. t E R e 3f0 b)t(l.4./3'-. -.i 25) a) t (2. 3)./3) ou (-.. ~ 2 = (1. -6) 28) 2J61 6) Não existe ~ pois ~ não é ortogonal a ~ .j e) O i) o ~4) a)-v35 e 2 b)-2k t)6k j). -. 1..fi) 14) a) 2. 1). O./3 d) o 15) a)16 b)~ 5 16) 5ou-5 17) a) 3-Jiü b) JiO 18) . -3. 1) 5 4) ~ x=(3. -a 2 ./3) ou (.fi 7) a) (-a 2 ./3 c) O b) 2. O. -. -a 2 . 29) 4. Y3 z2 z. v .v. w) 2 -1 3 3 5 3 27 4 -3 2 Propriedades do Produto Misto Definição As propriedades do produto misto decorrem. u ) = 27.l i . portanto. z3 z3 Y3 e. - u. (v X w) x2 Y2 z2 (l) pois x3 Y3 z3 (uxv).i + 3 j + 3 k e Produto w =4i -3j +2k. tornados nesta ordem.w)=(u. se em relação ao produto misto ( u .v)=(u. v.v. em sua maioria. -. (v x w) =x 1 I I Y2 Y3 z" I . v= x2 i + y 2 j + z. Solução Misto (u.w)+(x.w)+ (u. I X2 x3 z2 z3 lj + I x. v. w ) = 27. v .)muda de sinal ao trocarmos a posição de dois vetores. v)= -27 (permuta de v e w) vxw = x2 Y2 z2 z.v. w= w . (v. b) duas permutações .w) (u.v+x. w ) = ( u .. o produto misto resultante volta a ser 27.~.não altera o valor. u .w)+(u.x. u.(uxv)=(w. ~ e w também é indicado por ( u . e x podem ser permutados. v . v .x) --. I) O produto misto (~. w. w) = -27 (permuta de u e v) - Tendo em vista que ( w.w) - (u. Em relação ao exemplo anterior onde ( u . v = .(vxw)=(uxv). e w = X3 T+ y3 r+ z3 k. --- III) (a u . a v . w ) .v. x3 Y3 É o que acontece com ( v . w xl Yt zl u. I y.v. vem Então. v . a w ) = a ( u . w ) ocorrer .. x3 Y2 Yi lk Se em qualquer um destes três últimos produtos efetuarmos nova permutação de dois vetores. Resulta desta propriedade que os sinais . onde no primeiro deles permutamos ~ e w . u) = -27 (permuta de u e w) k ( u. v . Chama-se produto misto dos vetores u = x 1 i + Yd + z 1 k. v.(vxw) li) (u+x. ao número real u .w+x)=(u. .w)= u .v. w ). 94 Vetores e Geometria Analítica !b MAKRON Books 4 Exemplo Calcular o produto misto dos vetores u = 2 i + 3 j + 5 k . w .yI I x2 x3 z2 + zl I x3X'- Y2 a) uma permutação.w)=(u. -. k . (v X w ).u. teríamos O produto misto de ~ . w ) = ( u . isto é.haverá troca de sinal. das propriedades dos deter- minantes.v. é também ortogonal a u . Solução h = I ~ I I cos8 I Para que u . os três vetores forem coplanares. V. b) se dois deles forem paralelos (o determinante ( 1) é zero por ter duas filas de elementos -3 -1 -7 Figura 4. O. Exemplos .. o produto misto ~ .3). e. -2). I v x w I. m = -10 Reciprocamente.3 .- vetor v X w é também ortogonal a v e w . 2) Qual deve ser o valor de m para que os vetores u (2. Sendo ~ x . isto é. estes são coplanares (Figura 4. - sejam coplanares.w)=O Figura 4. ~O. 1. ~ e . por ser ortogonal a v e w . Admitindo-se que ( u. v . 4). ) é 2 -I igual. -1) sejam coplanares? v X w .= u . ao volume do paralelepípe- do de arestas determinadas pelos vetores não- (u.v. 2. ou seja. (Figura 4. (V X W) W) Observação A equivalência da propriedade IV continua válida em situações particulares. isto é. -1. tais como: a) se pelo menos um dos vetores é nulo (o determinante ( 1) é zero por ter uma fila de (Pigu:0~:~ ~~~:~~~~~ ~. 2) e D(-2. O. Por ~xw -I -I 3 2 -1 o outro lado. a altura será paralela a ele. . 2 m o . em módulo. 4). portanto. 2) e Seja 8 o ângulo entre os vetores ~ e w = (-1. -1) e w = (2. o vetor v - x w . w) = O. v e w sejam coplanares deve-se ter (u. o produto escalar deles é igual a zero.ve. Os quatro pontos dados são coplanares se forem coplanares os vetores AB AC e AD = (U. 3. Solução Ora.1 ). w ) = O se. -3) estão no mesmo plano. 2 -I 4 ~área da base do paralelepípedo é os vetores não são coplanares. v e w Figura 4. - 1) Verificar se são coplanares os vetores u = (2.2m . =0 /<Ecl U. te. w) o -1 =3:. e somente se. -1. portanto. Assim ou 2 . um vetor ortogonal à base. C (0. Cap. 1). os pontos dados são coplanares. v.t:O coplanares~.12 + m = O sendo. ( v Xw ) -. ( ~ x. B(-1.- O. se u e v x w são ortogonais. 0).. Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Misto Solução Como Geometricamente. v. e.2 proporcionais ou iguais e os três vetores são coplanares). conclui-se que ( v X w ) j_ u . admitindo-se que u . 2. m. no estudo do produto vetorial vimos que o . v e w. 4 Produto Misto 95 96 Vetores e Geometria Analítica IV) ( u . zeros e os três vetores são coplanares). como v x w é ortogonal aos três vetores u . v (L 1.1 3) Verificar se os pontos A(l. v= (1. deve-se ter ou l(u.. Este paralelepípedo.. estes vetores determinam um paralelepípedo (Figu- = 11 ~ 11~ x .. vem b) a altura do tetraedro relativa ao vértice D..v.'' i 111 \ . ===_ (2.v. V. AC e AD também I~ x w li~ llcos 91 são não-coplanares. 1)..w)l e. )I V = I ( AB . o volume B que 0 volume do paralelepípedo determinado por u. Ac. Cap. '' <:\--------. Portanto.' Sejam os vetores ~= (3. no caso presente. ~ = (1. os vetores AB .. o volume vp de cada prisma é a metade do D . pois e pode ser um ângulo obtuso)... O. I I I I p 2 _. o volume V do paralelepípedo é Volume do Tetraedro V= (área da base) (altura) Sejam A B.' . sendo uma delas o tetraedro ABCD. -:~ Exemplo i . . AC.''. Solução que. B(5. Assim. 1.. da Geometria Espacial sabemos que o ' .4 volume).. v e w seja 16 u.4) cujo volume é =I~ • ( ~ x. por sua vez. implica duas hipóteses: a) O volume do tetraedro é dado por -2m 8=16 ou -2m-8=-16 V1 =i/ (AB. V = _!_V = _!_ (_!_V) t 3 p 3 2 Solução ou O volume do paralelepípedo é dado por V l(u. A I ~. 2. Figura 4. Calcular 2 -1 2 a) o volume deste tetraedro.8 Exemplo SejamA(l. -1. -3) vértices de um tetraedro. pode ser repartido em Portanto. -1). m. 2~ Calcular o valor ~em para me. 0) e . AD) = 1 -3 2 = 36 5 -1 -2 . Em conseqüência. prisma pode ser repartido em três pirâmides de mesmo volu. pela definição de módulo.~ -~ ra) e. (umdades de vt do tetraedro é um terço do volume do prisma. portanto.' i -:"'. w)= -1 o =-2m.. isto é. 1cos e1 ra 4. I -2m . / Por outro lado. onde a última igualdade decorre da relação (2) do Produto Escalar. Então._---. AD) / e.~. -1. dois prismas triangulares de mesmo tamanho (conforme figu. AD ) I.)l=16 Sendo 3 m -2 - (u._-1. C(2. AC. portanto. C e D pontos não-coplanares. -2). 4 Produto Misto 97 98 Vetores e Geometria Analítica (É necessário considerar o valor absoluto lcos 91. / volume V do paralelepípedo (V =_!_V).8 I= 16. 1) eD(6. Mas m = -12 ou m=4 4 -2 2 (AB. v.1. B( -I. 17) Três vértices de um tetraedro de volume 6 são A(-2. . Qual a altura do tetraedro relativa ao vértice P? a)(~. . l. 3) e C(l.. 36 36 h 13) Dados os pontos A(2. u . 3. C(5. 2). C(2. v ) · .3w.B(-2.. = (k.. 14) Representar graficamente o tetraedro ABCD e calcular seu volume. a) ~ = (2. Como o volume V do a) A(l.v. sendo A (2. Calcular a altura ABxAC 4 -2 2 (2. B(O. -2. 2. 4) . I. calcular o valor de m. o volume do tetraedro é 6) Determinar o valor de k para que sejam coplanares os vetores 1 V::::-. -10) deste paralelepípedo relativa à base definida por v 1 e v 2 • 1 -3 2 12) O ponto A(l. (unidades de volume). V ) f) ( ~ + ~ ). C(O. w.-6). -3). 4 ).4 que a altura do tetraedro traçada do vértice D e a propna 7) Verificar se são coplanares os pontos altura do paralelepípedo de base determinada por AB e AC . 2) e . centes são B(2..-w) b)(3~. -lo)!- para que o volume do paralelepípedo determinado por AB . calcular b) -v • ( w u) - d) ( U X W ) • (3 . v= (1.x) 5) Verificar se são coplanares os vetores a) ~ =(1. = (-2.3)e AD =(-3. -1. 1). Problemas Propostos B(6. - V2= - (-4. ~ = (2. 1). 1) Dados os vetores~ = (3. 0).u. sendo A(l. 2.36::::6u. -4) b) u (2. 4 Produto Misto 99 100 Vetores e Geometria Analítica Portanto.d) v • ( w x u ) Determinar o quarto vértice D. 5. I) e C(3. u e v. 0) e D(O. 2.. - 16) Sabendoqueosvetores AB=(2. k) t 6 ' ' . 5. O.C(-1. 1. 3) é um dos vértices de um paralelepípedo e os três vértices adja- e.) = 2. -1). 2.-4). ~ (3. 4.. -3) e D(3.. ~) = 5. ~) = 2 e ( ~. -2. 1.v) . 0). x) d)(5u 3v.0). Determinar o valor de m para que o 36 18 volume deste paralelepípedo seja igual ao 20 u.2w. u ) b) ( -v . -3). B(2.2. sabendo que ele pertence ao eixo Oy. AC=(m. -1.. -2.-4) paralelepípedo é dado por b) A(2. m. O) e D( -1. 3). 1) e -w = (-2. O. 3) Sabendo que ~ • ( ~ x.. -1). 2) ao plano determinado pelos pontos A(3.0. 1.-2)determi- - 2) Sabendo que ( ~. O. 2).• e) ~. 1. 3. 2.) b)(w. -4 ). - b) U=(2. a) ( -w . 2. -2).) = -5.. -2. v ) ) u c ) (. . O. b) I~ X ( v . (2 W X V) 19) Sendo I u I= 3. -2) V = (área da base) (altura) 8) Para que valor demos pontos A(m. B(-3. v X w . -1. e k? v h::::: 10) Um paralelepípedo é determinado pelos vetores ~ = (3. O.. C(l.h coplanares? tem-se 9) Qual o volume do cubo determinado pelos vetores i .x. calcular _ _ 18) Calcular a distância do ponto D(2. a) -u • ( w x -. v. -2). u .u )I a)(~. -1. -2) e w = (7. ~ = (2. 1. m. 3). 3). -2) seja igual a 33. Mas. O) e C(O. determinar o ponto D do eixo Oz Ki-~6. 4. -3. 9). w ) c) ( w . 1).k. 1).-3) - b) Observemos na Figura 4.-1. -6. 2). B(O. k).-1. 1) e . O. 2) e_~_= ~2..k)e W =(3. C( O. -2. Iv I= 4 e 120° o ângulo entre os vetores u e v. 1. 3.-l)eD(2. 0) e P(2. O. -1. -1. AC e AD seja 25 u.2. B (2. -v . 1. portanto. -1. -1) e VJ= (3. V=(l. 4. 2). ~. 0). ( ~ X W ) a) 1~ + ~ 1 c) o vo~me ~o ~aral~lepípedo determinado X 4) Sabendo que ( ~. -2) são = IAB x ACI. calcular nam um tetraedro de volume 3. 1) e D(3. -1. 0). Calcular seu volume e a altura relativa à base definida pelos vetores u e v . -1. O. j .-2~) c)(2~ +4v. 11) Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores k Vi= (0. O. calcular por u X v. 1. Cap.~.. 1. 1). ~= (1. calcular 15) Calcular o volume do tetraedro de base ABC e vértice P.. 5). -1.- Cap.v. 19 AP= tv (1) 14) -u. -4. 12) 6 ou 2 4 ~ - e somente se. Exemplo A reta r que passa por A( 1. y. 2) X (0. b.~Um ponto@(x. 15) 12 u. O. 3. -10) ou D(O. 3) = -2 b) (m. Só existe uma reta r que passa por A e 11) m=4 ou m=-_!2 e h=~ J89 tem a direção de~ . ou.c.ou m 2 2 ou 17) D(O. n. De (1). I. O vetor v é chamado vetor diretor da reta r e t é denominado parâmetro.. O. 4 Produto Misto 101 §o:. 1. em coordenadas (3) 19) a) Jl3 b) 6J3 c) 108 u. 2). -1)) = 9 Respostas de Problemas Propostos 1) a)-29 b)-29 A Reta 2) a) 5 b) 5 c) -5 d) -5 3) a) -2 b) 2 c) 2 d)-6 e) -4 f) -2 4) a) 2 b) -36 c) 24 d) -lO 5) a) Não b) Sim 6) a) 6 b) 2 ou -3 7) a) Sim b) Não 8) m=4 9) I ~Equação Vetorial da Reta lO) 17 e __!2_ 'Consideremos um ponto A( x 1 . z) pertence a r se. tem equação vetorial. 13) D(O. 1). -11) c) (m. y 1 . 2). I 17 19 P-A=tv 16) m = . O) ou D(O. n.. vem Figura S. 2. 2) x (4. -1. O) P =A+ tv (2) 4 18) fju. 5 MAKRON 20) Determinar m e n para que se tenha Books a) (m. ((3... -1. 4) e tem a direção de v = (2. 2 para algum real t.c. n. -1. (2) ou (3) é denominada equação vetorial de r. o vetor AP é paralelo a v (Figura 5. 2). 1. e 9 u. c). (4.v.. de acordo com (3): . 20) a) n = 4m + 8 b) m = 3 e n = 2 c)n=m+ 1 Qualquer uma das equações (1).v. z 1 ) e um vetor não- Fo nulo v= (a. 3) = (8. 15) isto é. Existem. c) Determinar o ponto de r cuja abscissa é 4. 4). (5. 3. y. Por exemplo. (x. -1. 4) t(2. y. (4. 3. z) = (1. 5. z) = (1.. 4) + t(4. y. z) = (1. vem r: (x.3t pertence à reta 2) Dado o ponto A(2. 3. y. a equação e. deira a afirmação b) Encontrar os dois pontos B e C de r de parâmetros t = 1 e t 4. 5 A reta 105 104 Vetores e Geometria Analítica Desta igualdade. portanto. 4) + t(2. pede-se: r: (x. Se t assumir todos os valores reais. y. -1. de acordo Figura 5. 8) z = 2. -4. 2) e E(5. I. 2) onde (x. 4) + 2(2.2 mostra os pontos obtidos com seus correspondentes parâmetros. obtém-se tem-se X= X 1 + at P1 =A+ (I) v P2 =A+ (2)v y = Yt + bt (5) { z = z1 + ct P3 = A+ (3)v P4 =A+(-1)v As equações (5) são chamadas equações paramétricas da reta. Por exemplo.- Cap. z) ( x 1 + at. I. 4) + t(2. é outra equação vetorial de r onde se utilizou o vetor 2 v (4. t 2. Equações Paramétricas da Reta A Figura 5. P1 (3. tem equações paramétricas X= 3 + 2t Observações a) Vimos que a cada real t corresponde um ponto P E r. -2.y. 6. respectivamente. 8) múltiplo de v. z) representa um ponto qualquer de r. z) na equação (4) e. -1. 4) = t(2. -4. a) Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A e tem a direção de v. Da equação vetorial da reta (x. portanto. 10). sabe-se que o ponto P(5. z 1 + ct). pois De forma análoga. 6) E r. para t = -1. para algum real t. ou Se desejarmos obter pontos de r. 2) = (1. 2). 4) + (2. 2) Logo. 4) como vetor diretor para t =O. 8) é um particular (x. o ponto (5. basta tomar outro ponto de r (em vez de A) ou outro qualquer vetor não-nulo que seja para t = 2.b. z) = (1. 5. d) Verificar se os pontos D(4. 3. -4. 8). -1. obtém-se o ponto P3 (7. em vez de v = (2. na verdade. P=A+tv pela condição de igualdade. 5. b) A equação (4) não é a única equação vetorial de r. 3) pertencem a r. e assim por diante. Por exemplo. 3. 2) (4) (5. 3). 5. 5. 2) e é paralela ao vetor v= (2.z) = (x 1 . basta atribuir valores para t. é verda. . P2 (5.2 com (5). obtém-se o próprio ponto A(l. 3. e) Determinar para que valores de m e n o ponto F(m. 6.c) z ou ainda De acordo com (x. n) pertence a r. 2) para t =I. a cada P E r corresponde um número real t. obtém-se (x. 8) E r. -1. e. 5. 8) = (1. y. -1. 8. 4) + t(2. 6) e. A recíproca também é verdadeira. infinitas.y 1 . 4) para t = 3. -1. z) = (1. 6. -1. 2) = (5. 5. 3. 2) = (3. portanto. 2).(1. y 1 + bt. y. -3). 3. portanto. 2 A= A+ (O) v Exemplos X 1) A reta r que passa pelo ponto A(3. obtém-se (x. 3. teremos todos os infinitos pontos da reta.z 1 )+t(a. -1. y. 4) + 1(2. 2. -4) e o vetor v= (1. obtém-se o ponto P4 (-1. 2. isto r: { y = -4 + t é. -1. 3. ~:r~r n = -4 + 3t se verificam para algum real t.t=3+t y = 3 . -2. tem-se X= 2 + (4) = 6 X 5+t para t = 4 vem y = 3.. -3). { z = -2 + 6t e) Como F E r{. C(6. 3). vem t = -1 e. -1. 1. t = 2. B(3. E É r. portanto. 1. 4=2+t (1 o equação de r) e. -1) E r { { z = 8. portanto.t x=2+(1)=3 r: y = -5 + 2t para t = 1 vem y = 3 .2t { 2 = -4 + 3t Exemplo se verificam para t = 2 e. Para v (1. Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A(3. -1) E r (item c) e o vetor diretor Soluções 2 v = 2(1. portanto. temos h) Como a reta t é paralela ao eixo dos y. d) Um ponto pertence à reta r se existe um real t que satisfaz as equações de r. -4. . Cap.. -2. 2. 1. 2. Reta Definida por Dois Pontos Para D( 4..A (-2. -2) e B(l. .2t. -3) as equações 5 =2 + t Solução { -4 = 3. f) Tornando o ponto B(3. -5. f) Escrever outros dois sistemas de equações paramétricas de r.2t Escolhendo o ponto A e o vetor v AB = B. m=2+(-1)=1 g) Escrever equações paramétricas da retas que passa por 0(5.2(4) = -5 . 4). -1. -4. 8) E r s: y = 2 2t { z = -4 + 3(4) = 8 { z = -4 + 3t c) Como o ponto tem abscissa 4 (x = 4)..2( 1) = 1 . 0). tem-se -3 = -4 + 3t X= 3 2t não são satisfeitas para o mesmo valor de t (t = 3 satisfaz a primeira equação mas não r: y=-1+3t as duas outras). 3) = (2. 1. 2). 3. 2. -4) e é paralela a r. z = -4 + t = -4 o ponto procurado é (4. Para E(5. 6). -5. Logo. n = -4 + 3( -1) = -7 h) Escrever equações paramétricas da reta t que passa por A e é paralela ao eixo dos y.2t { { z = -1 + 6t z = -4 + 3t Para o ponto C(6. t = 2 Como t: y 3+l. 8) e o vetor diretor -v= (-1.2(2) = -1 { t = 2 => { z = -4 + 3(2) = 2. o. 6) tem-se a) De acordo com (5) temos imediatamente: X= 3 + 2t x=2+t r: y = 1. um de seus vetores diretores é j = (0. -1 = 3. X= 2 + 0. tem-se b) Das equações acima tem-se: X 6. . 5 A reta 107 106 Vetores e Geometria Analítica Da equação 5 = 3 . os vetores diretores de s são os mesmos de r. -1.3t Z=-4+3(1)=-1 g) Como s// r. 2) as equações A reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa por A (ou B) e tem a direção do vetor 4 =2+t v =AB. D E r.4t r: y = 3. Então. 2. obtém-se os pontos entre A e B. t::::. -6) pertence à reta. z 1 ) e tem a direção do vetor ~=(a. I. são r: . -3. Isolando. a fim de manter o mesmo intervalo de variação de t. obtém-se o ponto A. I] pressa pelas equações simétricas x-2 y+4 z+3 Notemos que as equações vetoriais dos segmentos AB e BA com O::::. BA: y = 2. 1J das variáveis. obtemos as igualdades ~ = y-yl = z-zl (6) y mx +n a b c { z =px+q .. 1. obtém-se o ponto B. isto é. tomaremos um caso particular. vem a) É fácil verificar que todo ponto P E r é do tipo P(x. com O::::.B = (2. O. t::::.t)A y + 4 2x 4 z + 3 -3x + 6 Equações Simétricas d_a Reta y 2x 8 z -3x + 3 (8) Das equações paramétricas Estas duas últimas equações são equações reduzidas da reta r.- Cap. tE [0. Por exemplo.6t. para x 5. t E lO. -3x + 3).A) e P = B + t(A . x = x 1 + at y = y 1 + bt z = z 1 + ct Observações supondo abc -::F O. -3) e ex- { z = 4 . tem equa- As equações paramétricas do segmento Figura 5. na variável x. -5) e tem a direção do vetor v (2. onde P(x. as variáveis y e z e expressando-as em função de x. Se considerássemos o segmento BA. basta atribuir um valor qualquer a uma Z = -2 + 6t. porém. primeiramente. -2. = --. (7) P = A + t(B .2) P = t B + (I . para x = 3 tem-se o ponto P1 (3. 2. z) representa um ponto qualquer do segmento. Por exemplo. e para t entre O e I.. obtém-se Observação x-2 ~ x-2 z+3 A equação P =A+ t(B. Consideremos a reta r do exemplo anterior e nela o segmento AB (origem A e extremidade A B Exemplo B) (Figura 5. 5 A reta 109 108 Vetores e Geometria Analítica As equações (6) são denominadas equaçlJes simétricas da reta que passa pelo ponto Equações Paramétricas de um Segmento de Reta A( x 1 . -4. c). 1. y. x-3 1 z+5 x=3-2t AB: y = -1 + 3t 2 2 -1 { Se desejarmos obter outros pontos da reta. -3) e pelo vetor diretor ~ = (l.3). Equações Reduzidas da Reta X= I+ 2t Em vez de realizar um tratamento genérico. 2 2 -1 para t = I.8.. portanto. onde y = 2 e z = -6 e. -6). A partir destas equações pode-se expressar duas variáveis em função da terceira. a b c b) Equações reduzidas na variável x serão sempre da forma Como para cada ponto da reta corresponde um só valor para t. y 1 . b. onde x pode as- t=~ t=~ t=~ sumir um valor qualquer.B).. Então. 2.3 ções simétricas AB são as mesmas da reta r. 1). o ponto (5.A) 2 -3 também pode ser expressa de modo equivalente por l(y + 4) 2(x 2) l(z + 3) -3(x . 1 2 -3 respectivamente. tem-se Observemos que 5 3 1 z+5 para t = O. 2x. -6) E r.3t Seja a reta r definida pelo ponto A(2. A reta que passa pelo ponto A(3. para ponto tomaríamos o B e para vetor diretor BA =A. r Cap. 5 A reta 111 11 O Vetores e Geometria Analítica A Figura 5.4 mostra a reta r (r// xüy) que passa pelo ponto A(-1, 2, 4) e tem vetor c) Com procedimento idêntico, a partir das equações (7), pode-se obter as equações diretor v = (2, 3, O) (a 3a componente é nula porque ~ 11 xüy). X=_!_y+4 _~ 2 z { z= y - 9 (equações reduzidas na variável Y) 2 ou (equações reduzidas na variável z) +4 I I d) A reta r das equações (7) pode ser representada pelas equações paramétricas I I x=2+t ..L I I { y = -4 + 2t / I I z = -3- 3t )/·-------;)· Da primeira equação obtém-se t = x - 2 que, substituindo nas outras duas as trans- O / / 3 ~-------+--~----------------------~Y forma em y = -4 + 2(x - 2) = 2x - 8 ~// ~-·-------·-------= z = -3 - 3(x - 2) = -3x + 3 que são as equações reduzidas de (8). e) Para encontrar um vetor diretor da reta X y = 2x- 8 Figura 5.4 r: { z = -3x + 3 uma das formas é determinar dois pontos A e B de r e, posteriormente, encontrar o ve- tor AB = B - A Por exemplo, Um sistema de equa{ões paramétricas de r é para x =O, obtém-se o ponto A(O, -8, 3) e X= -1 + 2t para x = 1, obtém-se o ponto B(l, -6, 0). y = 2 + 3t Z=4 Logo, AB = (1, 2, -3) é um vetor diretor de r. Outra maneira seria isolar a variável x nas duas equações, obtendo-se desse modo equações simétricas de r: Observação X y+8 Z - 3 Como todos os pontos de r são do tipo (x, y, 4), isto é, são pontos de cota 4, todos eles 2 -3 distam 4 unidades do plano xOy e por isso r 11 xOy. Por outro lado, sendo P1 ( x 1·, y 1 , 4) e onde a leitura do vetor diretor ( 1, 2, -3) é imediata. P2 ( x 2 , y 2 , 4) pontos distintos de r, o vetor diretor P1P 2 ( x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , O) sempre terá a 3a componente nula. Retas Paralelas aos Planos Coordenados Comentário idêntico faríamos para os casos de uma reta ser paralela aos outros dois Uma reta é paralela a um dos planos xüy, xüz ou yüz se seus vetores diretores forem planos. paralelos ao correspondente plano. Neste caso, uma das componentes do vetor é nula. Cap. 5 A ret2< 113 112 Vetores e Geometria Analítica z A Figura 5.5 mostra a reta r que passa por A(l, 5, 3) e é paralela ao vetor v = (-1, O, 2) A e, portanto, x=1-t r: y= 5 { z = 3 + 2t 3 )OL--~--~-~/~--~_.y z / / 2 / X Figura 5.6 Para o caso particular da reta ser paralela a um eixo coordenado, costuma-se fazer uma simplificação. expressando as equações só pelas constantes. Para o caso particular acima, diz-se que as equações de r são ?"----------3- y {;=~ subentendendo-se z variável livre que assume todos os valores reais. Na verdade, todos os pontos de r são do tipo (2, 3, z) e as coordenadas constantes identificam perfeitamente a reta. X As Figuras 5.7 e 5.8 apresentam retas que passam por A( x 1 , y 1 , z 1 ) e são paralelas aos eixos Oy e Ox, respectivamente. Logo, suas equações, já na forma simplificada, são Figura 5.5 ~ : ~1 1 1 {: : ; 1 e { , respectivamente Retas Paralelas aos Eixos Coordenados Uma reta é paralela a um dos eixos Ox, Oy ou Oz se seus vetores diretores forem paralelos z z a T= ( 1, O, 0) ou a r = (0, 1, O) ou a k = (0, O, 1). Neste caso, duas das componentes do vetor são nulas. A Exemplo Seja a reta r que passa por A(2, 3, 4) e tem a direção do vetor ~ = (0, O, 3). Como a dire- A ção de ~ é a mesma de k, pois ~ = 3 k, a reta r é paralela ao eixo Oz (Figura 5.6). 0::;-----31Do--------:;- y - o~ __ _.J.._ _ _ _ ___,_. Y A reta r pode ser representada pelas equações { ;:~ z = 4 + 3t X X Figura 5.7 Figura 5.8 Cap. 5 A reta 115 114 Vetores e Geometria Analítica Observação Retas Ortogonais r, Os eixos Ox, Oy e Oz são retas particulares. Todas passam pela origem 0(0, O, O) e têm a Sejam as retas r 1 e r 2 com as direções de v 1 ev2, respecti- direção de T, r ou k, respectivamente. Logo suas equações são: vamente. Então, y=O {x=O {x=O { z =O, r1 r2 ~ v, • v 2 =O z =O e y =O , nesta ordem. Observação Figura 5.10 Ângulo de Duas Retas Duas retas ortogonais podem ser concorrentes ou não. Na Figura 5.1 O, as retas r 1 e r:! são Sejam as retas r1 e r2 com as direções de v, e v2, ortogonais a r. Porém, r2 e r são concorrentes. Neste caso, diz-se que são perpendiculares. respectivamente (Figura 5.9). Chama-se ângulo de duas retas r1 e r2 o me- Exemplo nor ângulo de um vetor diretor de r1 e de um vetor As retas 3 2t l diretor der2 . Logo, sendo e este ângulo, tem-se X= y -2x + 1 r,: { . e r2 : y 4+t são ortogonais. z =4x cos e = 1 I~ I • ~? ' com o $.; e $.; .!: (9) Z=t I v 1 11 v 2 1 2 X Na verdade, sendo v 1 (1, -2, 4) e v 2 = (-2, I, 1) vetores diretores de r1 e r2 e Figura 5.9 v, . V2 = 1(-2) 2(1) + 4(1) =O, Exemplo as retas r1 e r2 são ortogonais. Calcular o ângulo entre as retas X+ 2 z Reta Ortogonal a Duas Retas e rz: ---2- Sejam as retas r1 e r2 não-paralelas. com as direções de v 1 e v 2 , respectivamente. Toda reta r ao mesmo tempo ortogonal a r1 e r2 terá a direção de um vetor v tal que {~ Solução , VJ 0 Os vetores que definem as direções das retas r1 e r2 são, respectivamente, V. V2 =Ü (10) -VJ = (1, 1, -2) e -V2 = (-2, 1, 1) Em vez de tomarmos um vetor v ::t: O como uma solução particular do sistema (10), Pela fórmula (9): poderíamos utilizar o produto vetorial (Capítulo 3 ), isto é, I~~ . ~2 I I (1, 1, -2). (-2, 1, 1) I cose=1~,11~2l = ~1 2 +1 2 +(-2) 2 ~(-2) 2 +1 2 +1 2 V = Vt X Vz l-2 + I - 21 _ l-31 j 1 Definido um vetor diretor, a reta r estará determinada quando for conhecido um de cose= ~~---c-r= '\11+1+4'\14+1+1 v6 .,.;c n 2 seus pontos. Logo, 1 e = are cos (-) .!: rad 2 3 o ponto de interseção é 1(2. res- pectivamente.. { Z =-X e y = 4. -1). 3. 2) y = 2x. tem-se Da primeira equação obtemos t = -7 e da segunda t = -2. { ' = -t I. não existe ponto de interseção. isto é. suas coordenadas verificam todas as equações de r1 e r2 . Substituindo h -1 nas equações de r. 2. 3. isto é. 4) são vetores diretores de r1 er2 .h =4 + t -h . y e z nas equações de r 1 e r 2. 1.3 o -1 { 2 + 2t t Logo. Verificar se as retas r1 e r 2 são concorrentes e. 1) E r1 e A 1é r2 ). Então X 3 + (-1) = 2 y = 1 + 2( -] ) -1 Z = 2 .3t = 2 2h + 2t = -4 z =1 .t ~-~ 2. e que v 2 = 2 v 1 . conclui-se que as retas são paralelas e não-coincidentes (basta ver que o ponto A 1(0.5 e x+2 y. o ponto I é solução única do sistema formado pelas equações Determinar equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A(3. 116 Vetores e Geometria Analítica I Solução Cap. 4. -1.3 /X/ r . elas são coplanares. j k 2) Substituindo x. 1) + t(2.11 Figura 5. -6. y. -4) e v 2 = (0. tem-se r1 : (x. 5 A reta 117 Exemplo r I Se existe um ponto I(x.12). como no exemplo (1 ). estão 1) {x=3+h r1 : y =I + 2h e r2 : y=-3-2t situadas no mesmo plano (Figura 5.h z=4+t exemplo (3) (Figura 5. 2) 4 .t = -2t. Como o sistema não tem X= 3 + t solução. -4) e r2 : {. Também são coplanares as retas paralelas do { z = 2. -3.t r2: z = 2 + 2t 3) Y_= -3x + 2 ri: { z. z) comum às duas retas. - 3) Observando que v 1=(I. as retas r1 e r2 não são concorrentes. y. às retas 1) Igualando as expressões em x. se interceptam. O mesmo ponto seria obtido substituindo-se t = -1 nas equações de r2 . determinar o ponto de interseção: Observações X= 5 + 3t a) Se duas retas. -1) e é ortogonal das duas retas.t = 2 Solução sistema cuja solução é h = t = -1. 3). y e z das equações de r~ nas equações de r1 .2x.: ~ ( /1. obtém-se As direções de r1 e r 2 são definidas pelos vetores ~ 1 = (2.12 r.( -1 ) 3 a reta r tem a direção do vetor Portanto.2t ou { h . Fica a cargo do leitor buscar a solu- Interseção de Duas Retas ção do sistema constituído pelas equações de r1 e r 2 para concluir da não-existência do Exemplos ponto de interseção. 2. em caso afirmativo. 2) e v 2 = (2. . resulta o sistema VI X V2 = 2 3 -4 = (1. O. r: { y = 4 + 2t z = -1 + 2t . isto é.1 z r2 : 2 -6 4 Figura 5. 3 + h = 5 + 3t 1 + 2h =-3 . z) = (0.11). 0) b) A(3. não-coplanares. -1. 4. x=2+t b) ordenada 2.2. determinar o ponto de r tal que 14) Obter o ponto de abscissa 1 da reta r : z + 4 e encontrar um a) a ordenada seja 6. Obter Problemas Propostos equações paramétricas dos lados AB. c)A(1. 5).3) eB(l. -1). O. -2). 3) e B(2. -2. ven'f'1car se os pontos C(-. M 2 (1.13 ponto médio é M 1 • li) Os vértices de um triângulo são os pontos A(-1. 1.2)eB(2. n) pertence à reta que passa por A(3. elas são ditas rever. c) AeD c 18) Representar graficamente as retas de equações d) B e C e) De E a) {x=1-t y -1 + 2t b) {y -x Z =3 + X c) x=y=z d) y = 2x {z 3 f) B eD z 2+t X Figura 5. 3). 13) Determinar o ponto da reta r : que possui 2 4 4) Dada a reta a) abscissa 5. Determi- narP. d) dada por { x = 2 . ~x f) {y=3 z -1 g) {X= 3 y=-4 . O. 3) e é paralela à reta z r: (x. -3. 15) Obter equações reduzidas na variável x.1 . 0). -1. -3. 12) pertencem à reta 5 -4. e. n. b) C eD c) ordenada igual ao triplo da cota. 5 A reta 119 118 Vetores e Geometria Analítica 8) O ponto P(m. L 4) e B(3. 10) Os pontos M 1(2. -1. O) e B(O. -1.-2) e é paralela à reta a) que passa por A(4. y. B(2. 1.t . 5) e D(-1. 4). I). 2. -5) são pontos médios dos lados de portanto. B(3. e da reta r que contém a mediana re- 1) Determinar uma equação vetorial da reta r definida pelos pontos A(2. b) Se duas retas não são coplanares. 4) e C(3.5 a)A(l. -3) e tem a direção de v (2. 2 X 3 I r: 2) Dada a reta r: (x. -1. b) a abscissa seja igual à ordenada. -1. z) = (-1. É o caso do exemplo (2) (Figura 5. -3. 3) + t(O. 2) e lativa ao vértice B. determinar o ponto de da reta por a) ordenada igual a 9. 3 2 vetor diretor de r que tenha ordenada 2. 3). 6) e C(2. y. 1). da reta 5) A reta r passa pelo ponto A(4. 4) e B(4. escrever equações paramétricas der. 3). escrever equações paramétricas B 4 r : z = x . O) 17) Na reta {y 2x + 3 7) Com base na Figura 5. -1. 4. 1. s: y = 2. -5. determinar me n. { z = 3 .3. -1). um triângulo ABC. Cap. Escrever equações sas. 3. -5) E r. -3.2) d) A( O. 4.-3. 2. a) A eB b) abscissa igual ao dobro da cota. 6.4t c) pelos pontos A(-1. O. 2. X= 1 + 3t b) pelos pontos A(l. Obter equações paramétricas da reta que contém o lado cujo Figura 5. 2) z 16) Escrever equações reduzidas na variável z da reta que passa por A(-1. i2) Verificar se os pontos P1 (5. 1. 1. c) a cota seja o quádruplo da abscissa. r: y=3-t { z = -4 + 2t .t 6) Determinar equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A e B nos seguintes y = 3t casos: z = 4t. 4) pertencem a r. 6) e P2 (4. 3) e B(2.14. -L -1). 1.-1. 3) + t(2.14 e) {. -2. Se P(m. pois as paramétricas da reta que passa pelo ponto médio do lado AB e pelo vértice oposto C. -3. AC e BC. -1 2 -2 3) Escrever equações paramétricas da reta que passa por A(l. 4) e B(1.13). 3) e B(3. retas além de não concorrentes são não-paralelas. z) = (1. 0) e M 3 (2. 2. 9) Seja o triângulo de vértices A(-1. 1 c) A é a interseção de r 1 e r2 +1 z . -1) ri: { ~: ~~ e f. 4) e é ortogonal ao mesmo tempo aos eixos dos x e dos y. I.2 e) ri : (x. -2) y=nx-1 b) ri : { z = 2x e r2 : eixo Oy X= 2 + t 23) Sabendo que as retas ri e y 6 X r2 são ortogonais. e) A(3. z=2 21) Determinar o ângulo entre as seguintes retas: a) {x = -2.2t 25) Verificar se as retas são concorrentes e.5 = m z + 1 e r2 : reta por A(l. z b) r1 : y 1+ t r2: 3 1 -2 z = 2t . 3. encontrar o ponto de b) interseção: ri : {y = -2x + 3 z=x-2 e z +I r2 : y = ---1-. {x=l-y 1 ri : x.= -y = _: x-2 z e r . 3) e B(3. O. b) A(O. 3.2 2 3 e r1 .3 -x 10 e -4 z+l ri : 2 -1 -2 e r2 : ~ = z .-1.3)etemadireçãode3T -2f. -5. 4).3 { z = -t a) r1 : y = 1 + 3t X= 2y. 20) Escrev~r equações paramétricas das retas que passam pelo ponto A(4. 3) e são. 1) + t(l. A(-2. 2 3 -2 {~ ~t X= -3 + 6h 22) Determinar o valor de n para que seja de 30° o ângulo entre as retas d) r1 : : . determinar o valor de m para os casos: f) r1 : y= 4. m) e B(-2. -2. 5) + t(4.5 a) r1 : { ~ -x + 2 e r2 : x. 2· { z=2-x x = 2mt. 120 Vetores e Geometria Analítica Cap. 4. a) A(3. 5 A reta 121 19) Determinar equações paramétricas e representar graficamente a reta que passa por 24) Encontrar equações paramétricas da reta que passa por A e é simultaneamente orto- a) A(3.>: {y =X 3 z = -2x + 3 d) A(4. nos casos: b) c) A(2. em caso afirmativo. { y = nx + 5 = 6. Oy e Oz. y. z) = (2..1 e 26) Calcular o valor de m para que sejam concorrentes as seguintes retas: { { z = -y + 4 z = -4t v= 2x. gonal às retas r1 e r2 . y. z) = (-1.3 =-X+ 5 e r : 2 {y = -3x + 7 z=x+l c) ri : r=·H'2· y=t z = 5. 2. 2.t ri : y = t e X r2 : 2 y + 6 z. z=2+ z = 3. {y = Z 2x. O.t e r . 2. -2. O) X e r2: {X= y -t31 +1 respectivamente. -h e r2 : y = 1 + 7h { a) ri : .=~ {x=l c) r1 • . 2m. 4) e é perpendicular ao plano xüz. {y = z 2x. 3.6t z z -1 + 13h 4 5 3 2 · z = 2x .3t e r2 : {X=3 y=2 z 2 e r2: { X y=4 z -l+t = -8 + 3t t d) x-4=1. paralelas aos eixos Ox. 3) e r2 : (x.x 4 a) r . . -I. 2m) {' m-t e X I y+~. 4) e é paralela ao eixo dos x. Cap. 5 A reta 123 122 Vetores e Geometria Analítica Respostas de Problemas Propostos 27) Dadas as retas 1) (x,y,z) (2,-3,4)+t(-1,2,-2), CEr e Díi'Õr. X - I 2) x=-1+2t y=2-3t z=3 r = - y; z = 3 e 1 : 2 3) x=l y=2 z=3+t 5 5 4) a)(-1,6,-10) b)( . 2,-3) C) (-4, 9, -16) encontrar equações reduzidas na variável x da reta que passa por A(O, I, O) e pelo 2 ponto de interseção de r1 com r2 • 5) m = 13, n = -15 28) Determinar na reta X= 2+ t 6) a) x = I + t y =I+ 2t z =2 2t r: y= t b) X 3 y I - 3t z 4 2t { z = -1 + 2t c) x =I y=2+t z = 3- t d) X= 0 y=t z =O (eixo Oy) um ponto eqüidistante dos pontos A(2,-1 ,-2) e B(l ,0,-1 ). 7) a) x = 2 + 2t y=O Z=4 29) Determinar os pontos da reta b) X= 2t y=3 z=0 r: x = 2 + t, y = 1 + 2t, z = 3 + 2t que c) x 2 y 3t z 4 4t a) distam 6 unidades do ponto A(2, 1, 3); d) X= 0 y = 3t z = 4 4t b) distam 2 unidades do ponto B( I, -I, 3 ). e) x = 2 y = 3 + 3t z=O 30) Escrever equações reduzidas da reta que passa por A( I, 3, 5) e intercepta o eixo dos z f) X= 2t y = 3t z = 4- 4t perpendicularmente. 8) P(2, 1, 9) 31) Escrever equações reduzidas na variável z, de cada uma das retas que satisfazem às 3 condições dadas: 9) X= 2+t y=-1--t z = 4 + 2t 2 a) passa por A(4, -2, 2) e é paralela à reta r: x = 2y = -2z; 10) X 2 + t y -1 + 4t z = 3 5t b) passa pela origem e é ortogonal a cada uma das retas 2 1 2 11) AB: X -I + 3t y I z 3+t com tE [0,1] r: x - = y + = 2z - 2 e s : x = -y = -z. AC: X -1 + 4t y = 1 2t z = 3- 4t com tE [0,11 3 2 32) Determinar o ângulo que a reta que passa por A(3, -1, 4) e B(l, 3, 2) forma com a BC: X 2+t y = 1 2t z = 4 5t com tE [0,1] sua projeção sobre o plano xy. r: x = 2 + t y =1+ t z = 4 + 3t 33) Apresentar equações paramétricas da projeção da reta 12) Apenas P 1 r. {y = 5x- 7 · z = -2x + 6 sobre o plano xy. 13) (5, -5, 8) e (-9, 2, -20) 4 - 9 14) (L -,-3)e v=(-, 2,3) 34) Dados o ponto A(3, 4, -2) e a reta 3 2 x = I+ t r: y=2-t 15) a) y = 2x 8 e z =5 x 13 c) y = -x + I e z = 3 { 2 z = 4 + 2t, X 5 b) y e z -2x + 5 d) y -3x + 6 e z -4x + 3 a) determinar equações paramétricas da reta que passa por A e é perpendicular a r; 2 2 b) calcular a distância de A a r; 3 7 c) determinar o ponto simétrico de A em relação a r. 16) x --z + e y = 2z 2 2 17) a)(3,9,2) b)(2,7,1) c) (6, 15, 5) 124 Vetores e Geometria Analítica !b MAKRON 19) a) {y Z=4 = -2 b){x = 2 Z=4 c){x=-2 y=3 Books 6 d) {X= 4 + 3t e){x = 3 y=-1-2t z=3 y =-I + 4t z=3+t O Plano 20) y = -5 x=4 { z=3 { z=3 2 21) a) 60° b) 30° d) 8 =are cos(-) =48°11' 3 22) a) 7 ou 1 b) ± Jl5 7 3 23) a) m = -- b ) I ou - - 4 2 24) a) x = 3 + t y = 2- t z = -1 b) X= 2t y = 6t z = -5t Equação Geral do Plano c)x=2+t y = -1 - 5t z = 3t Seja A( x 1 , y 1 , z 1 ) um ponto pertencente a um plano 1t e 25) a) (2, 1, 3) b) (1, 2, -2) c) reversas d) (3, 8, 12) n = (a, b, c), n :t:O, um vetor normal (ortogonal) ao e) reversas f) coincidentes plano (Figura 6.1 ). 26) a) -3 27) { y =-X+ 1 b) 4 - - Como n _L TC, n é ortogonal a todo vetor repre- z = 3x sentado em TC. Então, um ponto P(x, y, z) pertence a 1t 7 I 3 se, e somente se, o vetor AP é ortogonal a n , isto é, Figura 6.1 28 ) (4,-4,-2) n. (P- A)= O 29) a) (4, 5, 7) e (0, -3, -1) b) ( _!2 7_ 25 9'9'9 ) e (l 1 1) ,-' ou (a,b,c).(x-x 1,y-y 1 ,z-z 1 )=0 30) y = 3x, z = 5 31) a) { x = -2z + 8 y = -z b) {xy = 5z = 4z ou a(x -x 1 ) + b(y -y 1 ) + c(z -z 1 ) =O ou. ainda 32) 8 = arccos f30 (~-) ax + by + CZ - aXI - b yI - CZI =0 6 Fazendo 33) X= 1 + t y = -2 + 5t Z=Ü -a x 1 - b y - c z 1 = d, obtemos 1 34) a) { x = 3 - 2h b)m c) (-5, 4, 2) y=4 ax + by + cz + d = O (1) z = -2 +h Esta é a equação geral do plano TC. Cap. 6 O Plano 127 126 Vetores e Geometria Analítica Solução Observações É imediato que a) Assim como ~=(a, b, c) é um vetor normal a rc, qualquer vetor k~, k i:- O, é também "um vetor normal a um plano é também normal a qualquer plano paralelo a este". vetor normal ao plano. Então, como rc I/ rr~. o vetor n1 = (3, -4, -2) normal a rc 1 é também normal a rc. b) É importante notar que os três coeficientes a, b e c da equação ( 1) representam as com- Logo, uma equação de rc é da forma ponentes de um vetor normal ao plano. 3x 4y 2z + d O Por exemplo, se um plano rc é dado por Tendo em vista que A E rc, suas coordenadas devem verificar a equação: 1t : 3x + 2y - z + 1 = 0, 3(2)- 4(1) 2(3) + d =o um de seus vetores normais é n = (3, 2, -1 ). e c) Para obter pontos de um plano dado por uma equação geral, basta atribuir valores d = 4: portanto, uma equação de 1t é arbitrários a duas das variáveis e calcular o valor da outra na equação dada. 3x - 4y - 2z + 4 = O Assim, por exemplo, se na equação anterior fizermos x = 4 e y = -2, teremos: 3) A reta 3(4)+2(-2)-z+ 1=0 X 5 + 3t 12-4-z+ 1 =0 r: y = -4 + 2t z=9 { z=l + t e, portanto, o ponto A(4, -2, 9) pertence a este plano. é ortogonal ao plano rr que passa pelo ponto A(2, I, -2). Determinar uma equação geral de Exemplos rc e representá-lo graficamente. 1) Obter uma equação geral do plano rr que passa pelo ponto A(2, -1, 3) e tem n = (3, 2, -4) Solução como um vetor normal. Como r .l rc, qualquer vetor diretor de r é um vetor normal ao plano. Sendo n = (3, 2, 1) Solução um destes vetores, uma equação de rc é da forma Como n é normal a TC, sua equação é do tipo 3x + 2y + z + d = O z 3x + 2y - 4z + d = O Como A E rc, deve-se ter 3(2) + 2(1) + (-2) + d o ' e sendo A um ponto do plano, suas coordenadas devem verificar a equação, isto é, 3(2) + 2(-1)- 4(3) + d =o e d -6; portanto, uma equação de rc é 6-2-12+d=0 3x + 2y + z - 6 = O d=8 Para a representação gráfica do plano, obteremos Logo, uma equação geral do plano rr é três de seus pontos. Se nesta equação fizermos 3x + 2y -4z + 8 = O y = O e z = O, vem x = 2 x O e z O, vem y 3 Observação x O e y = O, vem z = 6 \ Este exemplo, como outro qualquer que envolva determinação de equação do plano, pode \ \ Obtemos, assim, os pontos A 1(2, O, 0), A 2 (0, 3, 0) ser resolvido de modo análogo à dedução da equação, pois um vetor normal ao plano é suficiente para caracterizar sua direção. Em nosso estudo utilizaremos sempre a equação e A 3 (0, O, 6) nos quais o plano intercepta os eixos x geral em vez de sua dedução. O leitor poderá optar entre uma ou outra maneira. coordenados. A Figura 6.2 mostra o referido plano. 2) Escrever uma equação geral do plano rr que passa pelo ponto A(2, 1, 3) e é paralelo ao Figura 6.2 plano Observação rr 1 : 3x- 4y -2z + 5 =O. Se um plano rc intercepta os eixos coordenados nos pontos (p, O, 0), (0, q, 0) e (0, O. r) com p • q • r i:- O, então rc admite a equação a equação segmentária do plano é Estas equações são chamadas equações paramétricas de 1t e h e t são variáveis auxi- (2) liares denominadas parâmetros. -1) e é paralelo aos vetores u = (2. b 1 . 5. 5. que. A 2 (0. 1) + t( -1.1) + h(2.- = ( a 2 .z)=(x 0 +a 1h+ a 2 t. basta atribuir valores reais para h e t. u e v não-paralelos. -3) -v . 6). -1 5 -3 Da equação (3) obtém-se é simultaneamente ortogonal a u e v.t Para todo ponto P do plano. ele é um Figura 6. Obter uma equação vetorial. O.6 =O. 7. 2. uma equação geral de 1t. c 2 ) dois vetores paralelos a 1t (Figura 6. 3. . 2. -3). B(l. -3. 5. Para o caso do problema anterior. -3. um sistema de equações paramétricas e dirmos ambos os membros por 6. e v = (-1. O) e A 1 (0. b 2 .3 ou. Um ponto P(x. os vetores y = 2 . O. Figura 6. pela condição de igualdade. z 0 + c 1 h+ c 2 t) vetor n normal ao plano 1t (Figura 6. y 0 . se escrevermos esta última equação como 3x + 2y + z = 6 e divi. Exemplos li narmos os termos. c 1 ) e a) Equação vetorial: (x. portanto. u e v são coplanares. y 7 e z=-4 P=A+hu+tv e. Os vetores u e v são u X V 2 -3 1 (4. voltaremos a ter a equação segmentária (2).3).3h + 5t { AP. z) z -1 + h 3t pertence a 1t se. em coordenadas c) Equação geral: Como o vetor (3) j k A Esta equação é denominada equação vetorial do plano 1t. z 0 ) um ponto pertencente a um plano 1t e ~ = ( a 1. 0). y. vem Então.4 (x. y. vem ou x 1. denominada equação segmentária do plano 1t. z) = (2.4 ). l) Seja o plano 1t que passa pelo ponto A(2. P-A=hu+tv Por exemplo. onde estes pontos são A 1(2. i: que é equivalente à equação 3x + 2y + z. ao eliminarmos os denominadores e orde. porém. 7) vetores diretores de 1t. I) Reciprocamente. e somente se. b) Equaç<Jes paramétricas: X= 2 + 2h . como A E 1t tem-se 4(2) + 5(2) + 7(-1) + d =o . para h = O e t = 1. Cap. -4) é um ponto do plano 1t. Equação Vetorial e Equações Paramétricas do Plano Solução Seja A( x 0 . y 0 + b 1 h+ b 2 t.y. uma equação geral de 1t é da forma 4x + 5y + 7z + d = O e. 6 O Plano 129 128 Vetores e Geometria Analítica i I. existem números reais h e t tais que Observação Se quisermos algum ponto deste plano. posteriormente. C(O. 1. obter x=l e y=O vem.. dade x-2 y-2 z+1 Solução 2 -3 o Basta tomarmos três pontos A B e C não alinhados de 1t e proceder corno no problema anterior. Por exemplo. são vetores diretores de 1t (Figura 6.11 = O 3x + 6y + 3z + d = O. b) É importante observar que os vetores diretores sejam não-paralelos. é subs- i k tituindo duas das variáveis pelos parâmetros h e t e. fizer- n ux v 2 -5 = (3. 4) são equações paramétricas de n. os vetores AP . multiplicando ambos os membros da equação Figura 6.6 qualquer do plano.6)E1t um sistema de equações paramétricas e uma equação geral de 1t. x =O e y I vem. é uma equação geral de 1t. 6. ~ Como AB = ( 1. isolar a terceira variável em função destes. O. z) representa um ponto 3x + 6y + 3z 3 O.5) e. o produto misto por : deles é nulo. b) Equação geral: basta trocar um dos pontos de modo a garantir que AB e AC sejam não-paralelos. Então.t.z=6 . 3 Figura 6. Se ocorrer AB li AC. determinar um sistema de equações Assim.y . 6). B e C de pontos não alinhados em 1t. y=-1 +2h. I -1 5 -3 Fazendo que é equivalente à equação 4x + 5y + 7z. portanto. A(0. . portanto.0. t { existem infinitos sistemas de equações paramétricas que representam o mesmo plano. sendo ~ e v vetores diretores de 1t.6) e. (AP. Como no problema anterior.. as equações (utilizando o ponto A) Observações X= 1 + h. -3) e C(-1. -1.y . 3) I I -2 -1 4 mos y =h e z = t.4)E1t 2) Dado o plano 1t determinado pelos pontos A(l.h. -5) e v = AC = (-2. z = 3 . 6 O Plano 131 130 Vetores e Geometria Analítica é um vetor normal a 1t (Figura 6.11 =O x=y=O vem. se na equação geral 2x . z=2-5h+4t são equações paramétricas do plano. y. portanto. Os { y = O + O• h + I • t ou y =t vetores não-paralelos z = 4 + 2 •h . -1) são vetores diretores de 1t. -2. I. isto é.z + 4 = O. 2).2 t a) Como é possível encontrar infinitos ternos A. Como A E 1t (poderíamos tomar B ou C): Observação 3( I)+ 6( -1) + 3(2) + d =O Existe uma outra maneira de se obter uma equação e d -3.z + 4 = O. Isolando x resulta. ou. h + 0 • t { X =h Sabe-se que existe apenas um plano que contém três pontos não em linha reta. 2) e AC = (0. uma equação geral é da forma 4x + 5y + 7z . 8(2. 2 2 . paramétricas de n. as equações Solução a) Equações paramétricas: X =0 + 1. B(l. Cap.u.v)=O 3) Dado o plano 1t de equação 2x . o vetor c) Uma outra maneira de obter equações paramétricas a partir da equação geral. 2. uma equação geral de 1t é 1t geral de n: como P(x. e d = -11 .6). portanto.t + 4 =O. -1.5 X+ 2y + z 1 =O. x = -2 + -h+ .1•t z = 4 + 2h t u = AB = (1. 1. ~ e ~ são co- 1 planares (Figura 6. teremos 2x. 3) E n .0. obtém-se uma equação geral do plano desenvolvendo o I o membro da igual.z=4 . 3(1) + 2(-2) + d =o Figura 6. c = 2 e d = -12. 7) será Por exemplo i k 3x + 4y + 2z 12 = O (4) z n -3 = (9. -3) e v 2 = (2. 4) Determinar uma equação geral do plano 1t que contenha as retas para h= t =1. Então. obtém-se o segmento MN onde M e N são os pontos médios ly=x+ I 2 r2: y = 2t + 3 de AC e BO. z = 4 + 2h . respectivamente. ed=7 porém. e assim por diante. 2) onde a = 3. uma equação geral de 1t é da forma 9x . pois as Logo. B e C não em linha reta.3y + 2z + d = O 1°) Se tivéssemos d = O. 1]. 6 O Plano 133 132 Vetores e Geometria Analítica Então. obtém-se o ponto B (P = B). Figura 6. 3(0) + 4(0) + 2(0) = o Equação Vetorial de um Paralelogramo X Dados os pontos A. gramo. bém pertencem a Jt. Tendo em vista que os pontos A 1(0. -6). 6) (Figura 6. -2) E r1 e A 2 (0. 0) e (0. 1. Portanto. coordenadas deste ponto verificam a equação: 1t: 9x . a equação (4) seria e. os vetores AB e AC determinam o parale. Observemos que A B De{mr: ~nálogo obtecfa~os outms s{. O plano que esta o 2 3 equação representa intercepta os três eixos coorde- nados em (4. 1. r 1 e X= 2t para t e h E [0.8) cuja equação vetorial é . obtém-se o ponto O (P O).7 e representa um plano paralelo ao da Figura 6.8 1 para h= 1 e t =O.t z=t para h= O e t 1. O. o plano ocupará uma posição particular em relação aos eixos ou planos coordena- do plano procurado. 1] ~D y=h { Z=t onde P representa um ponto qualquer deste paralelo- são equações paramétricas do plano. as retas r1 e r2 são paralelas e os vetores ~ 1 e ~ 2 não são vetores diretores nulos. obtém-se o ponto A (P = A). 1) E r2 tam- dos. b = 4. ~ 1 e A 1A 2 Faremos uma análise dos diversos casos a partir de uma equação completa ax + by + cz + d = O. 3. 0). Casos Particulares da Equação Geral do Plano No caso de um ou mais coeficientes da equação geral do plano ax + by + cz + d =O serem C orno ~ 2 = 2 ~ 1 . 2. 3. o vetor A 1A 2 = (0. passando pela origem 0(0. 0).A) + t(C .9. t E [0. Figura 6. -3.3y + 2z + 7 = O.A) com h. (ou v 2 e A 1A 2 ) são vetores diretores de 1t e um de seus vetores normais (Figura 6. O. tem-se 3x + 4y + 2z =O 9(0).s~e:L Zh _ para h = t =O.9 logramo (Figura 6.9). Solução Observemos que as direções das retas são dadas pelos vetores ~ 1 = (1. 3) está representado neste plano. obtém-se o ponto C (P C). obtém-se todos os pontos do paralelogramo. 2. P = A + h( AB ) + t( AC ) I I ou X = -2 + 2h + 2t P = A + h(B . O. (0. Cap. como A 1 E 1t. r 1 : z=-3x-2 { z = -6t + 1 para h e t entre O e 1. 12 =O (ou: Ox + 4y + 2z. ralelo ao eixo da variável ausente na equação. x = k representa um plano paralelo a yOz. Figura 6. 6 O Plano 135 134 Vetores e Geometria Analítica 3°) Se tivéssemos a = b = O.11 ). O(x) + 4(0) + 2(0) . in- terceptando os outros dois eixos ainda em (0. k). verificam a equação (6). O. e. a equação Figura 6. Figura 6.12 = O é falso. 6) 6~----~ e (0.13). significa que o plano não tem ponto em Assim.11 z x=O X 4: I I I I )------+---'-----')lo. trata-se de um plano paralelo a xOy e que inter- Ora. Se em (5) tivéssemos ainda d = O.10 tercepta o eixo Oz em (0.13 . Na Figura 6. z =k lelo a ele.12) z z ou 3x + 4y .15 estão representados os planos de equação y = 3 e y = O (plano xOz) e Comentários idênticos faríamos para os casos na Figura 6. concluímos que toda equação de forma comum com este eixo e. y /0 / y 4/ 4 4 X X X X Figura 6. 6). portanto. (5) z ou. a equação (4) seria 2z-12=0 (ou:Ox+0y+2z 12 0) (6) 4y + 2z. Na Figura 6. se nenhum ponto do eixo dos x verifica a cepta o eixo Oz perpendicularmente em (0. O) satisfaz a equação (5) pois 6 unidades afastados do plano xOy.15 Figura 6.14 resultante 4y + 2z =O Raciocínio análogo. Portanto. se todos os pontos Observemos ainda que nenhum ponto do tipo deste plano têm cota 6. simplesmente. O. representa um plano paralelo ao plano xOy e in- Desta análise ainda se conclui que o plano é pa. O.12 =O). a equação (4) seria 2°) Se tivéssemos a= O. 3. O) z=6 Observemos que todos os pontos do tipo (x.16 Figura 6.12 =O (Figura 6. só pode ser para.14 estão representados os planos X z de equação z = 6 e z =O (plano xOy).12 = O (Figura 6.12 Figura 6. O. significa que todos estão (x. portanto.16 os planos de equação x = 4 e x = O (plano yOz). b = O ou c = O. y k representa um plano paralelo a xOz e contém o eixo Ox (Figura 6. Cap. quando a equação (4) seria X 3x + 2z.10). Ora. y. leva-nos a concluir que representa um plano pela origem. equação (5). e representa um plano paralelo ao eixo dos x. 6) (Figura 6. 1.18 Exemplo Verificar se 1t 1 e 1t2 são planos perpendiculares: Chama-se ângulo de dois planos 1t 1 e 1t2 o menor ângulo que um vetor normal a 1t1 forma com um vetor normal a 1t 2• Sendo e este ângulo. considerar j k uxv -1 I O = (1. Exemplo b) O vetor n1 (1. l.17). 3 3 . de acordo com (7) tem-se Sejam os planos 1t 1 e 1t 2 com vetores normais ~ 1 e ~ 2 . 6 O Plano 137 136 Vetores e Geometria Analítica Solução Ângulo de Dois Planos Sendo 111 1tt e 1t2.17 Figura 6. respectivamente (Figura 6. -3) 2 . O) e v= (2. 1. razão pela a) Sendo n1 = (3. pois que este poderá ser negativo quando o como ângulo entre os vetores for o suplementar de e.h+ 2t b) n 1: x + y 4 = O e n 2: Y= h + t cose I n 1 • n 2 I com Os e s ~ (7) { z=t I ~1ll ~2 I 2 Solução Como cos e 2': O quando O s e s ~ . .4(3) =o conclui-se que 1t 1 e 1t 2 são perpendiculares.z + 3 =O e 1t2: x + y . o numerador de (7) deve ser positivo. 1.18 conclui- se imediatamente: Figura 6.fi 1t e =are cos ( . 3) vetores normais a 1t 1 e 1t2 . 1. respectivamente.4z + 2 =O e 1t2: 2x + 6y + 3z =O X= 2. nJ. Cap. tem-se a) 1t1: 3x + y. 6. e 2 qual tomou-se o produto escalar em módulo. e sejam n1 e n2 vetores normais a 1t 1 e 1t2. l) são vetores diretores de 1t 2. respectivamente.) = 2 6 Planos Perpendiculares Consideremos dois planos 1t 1 e 1t2.fi cose Logo. O) é um vetor normal a 1t 1• Teremos que encontrar um vetor n2 Determinar o ângulo entre os planos ~ - normal a 1t2. Pela Figura 6.4 = O.1. n2 = 3(2) + 1(6). -4) e n2 = (2. podemos 1t 1: 2x + y. Como u = (. nl 2 · x + y + 2z . sejam A(3. I) dois pontos A e B de r forem também de 1t Pelas figuras conclui-se imediatamente: ou 11) v . é perpendicular ao plano 1t1: 4x . -3. -2) e B(4. -1.20 r r Exemplo i1 Determinar os valores de m e n para que a reta ri ~ r: { . -4) de Jr. Como r c Jt.6y + 2z . -3) = I (1) + 1(1) + O(-3) = 2 :.3(2) + 1(-4) =O I) Como r está contida nos dois planos. { 5x . -6. isto é. ~. I). Figura 6.19 { 2(4)+m(-2)+n(-3)-5=0 ou -2m-3n+3=0 donde m = 3 e n = -I. pois devem satisfazer simultaneamente as equações dos dois planos. I) de r é ortogonal ao vetor normal n = (5.z) E r Esta mesma reta. -3. apresentaremos dois. 2(3)+m(-l)+n(-2) 5=0 {-m 2n+l O Figura 6. n = O. dentre os vários procedimentos. constituem a solução do sistema: . Logo. Utilizando o primeiro critério exposto acima. A interseção de dois planos não-paralelos é uma reta r cujas equações se deseja de- terminar.7 = O . 2. Exemplo X= 1 + 2t A reta r : y = -3t Interseção de Dois Planos { z=t é paralela ao plano n : 5x + 2y . -4) = 2(5). Para tanto.20) se Sejam uma reta r com a direção do vetor v e um plano Jr.4z . por sua vez. -2. I) de r é paralelo ao vetor normal .t: O 4 -6 2 os planos n 1 e Jr 2 não são perpendiculares. -3.5 =O. Reta Contida em Plano r Paralelismo e Perpendicularismo entre Reta e Plano Uma reta r está contida em um plano n (Figura 6. 6 O Plano 139 138 Vetores e Geometria Analítica ou de modo equivalente. I . isto 1t 1: 5x.19(a)) vetor normal a 1t 11) r j_ n ~ v // n ~ -v = an.y + z. 2) de Jr1. Tendo em vista que 2 -3 I ~ 1 • ~ 2 = (I . onde v é um vetor diretor de r e n um l)r//n~ vj_n ~ v. I .1 =:_O Sejam os planos não-paralelos pois o vetor diretor ~ = (2. O) . os pontos de r o vetor diretor ~ = (2. as coordenadas de qualquer ponto (x. as coordenadas de A e B devem satisfazer a equação de n.5 O (8) v= . (5. isto é.19 (b)) e A E Jt. ~ = (2.y. 1 . -3) os pontos de r. sendo A E r.n=O (Figura6. Cap. : ~~+ ~ I (a) II I I I I (b) I Solução z -2 t esteja contida no plano n: 2x + my + nz 5 O. r.7 =O é. (Figura 6.y + z . (1 . 2.5 =O e 1t2: x + y + 2z.I = (4. sendo ~ um vetor normal a Jr. 2t d) O ponto de abscissa 2 e cuja ordenada é o dobro da cota. de r e rr.2 = 0 ortogonal a ~~ = (5. r: { z = -2x + 4 2) Determinar a interseção da reta que são equações reduzidas de r.21). 2(-1 + 2t). Cap. Logo. I(2. -9.t).t). I será a solução do sistema l cuja solução é y = -1 e z = 4. -1. Interseção de Reta com Plano Nos problemas de 2 a 4.4) e B(-1 . em termos de x. 3.1). O sistema tem infinitas soluções (são os infinitos pontos de r) e. y =. onde 3) perpendicular à reta X= -1 + 2t X 2 + 2t r: y = 5 + 3t e rr: 2x . -I. y. 2). I) e seja per- Qualquer ponto de r é da forma (x. z) = (-1 + 2t. Se um deles é comum ao pendicular a ele. 5 + 3t. Logo. suas coordenadas verificam a equação de rr: 5) Dada a equação geral do plano 1t: 3x.t e z = 3. 2. l) Seja o plano 1 ou também -. y. Solução 4) que passa pelo ponto médio do segmento de extremos A(S.21 v n1 X n2 5 -1 Os problemas de 1 a 48 estão de acordo com a ordem do texto e os demais se constituem 2 em ótimo reforço. normais Resolvendo o sistema obtém-se: x = 2. Logo.y + 3z . 3). determinar um sistema de equa- ções paramétricas de rr. e) O valor de k para que o plano rr 1: kx 4y + 4z 7 =O seja paralelo a rr. 2.z. k I) pertença a rr. plano rr.z + 5 =O e que contenha o ponto A(4. 6 O Plano 141 140 Vetores e Geometria Analítica e daí resulta t -1. 3) é a interseção aos planos rr 1 e rr 2.-1. temos a) O ponto de rr que tem abscissa 1 e ordenada 3.2z + 2= O 2) Outra maneira de obter equações de r é determinar um de seus pontos e um vetor diretor. ou seja.-7. z = 4. r:{~=~1+3t b) O ponto de rr que tem abscissa O e cota 2.t r: { y 1 3t z = 4t e que contenha o ponto A( -I. 2.(-3.(5 + 3t) + 3(3. determinar uma equação geral do plano Exemplos 2) paralelo ao plano rr: 2x.z O X+ 3y + Z .3y. c) O valor de k para que o ponto P(k.4 = O 1z = 3. (Figura 6. 1. a interseção de r e rr é o ponto (-3.4 =o . o vetor v pode ser dado por i j k Problemas Propostos (-3. z) E r que também pertence a 1t.5 =o Se existir um ponto I(x. x 2y 2z + 2 =O Como um vetor diretor v de r é simultaneamente 2x + y. Então. -2) rr: 3x + y z . fazendo x = O nas equa- ções do sistema (8).-2. 1) e ~2 = (1.2y.4 = O 3 Calcular: Escrevendo equações paramétricas de r. -9. r: { 2x + y z = O com o plano 1t: x + 3y + z 2 = O Seja determinar o ponto A E r que tem abscissa zero.1 Logo. A(0. 4). respectivamente. x 2y . 6) = (1. suas coordenadas devem veri- { y + 2z -7 =O ficar as equações dos três planos dados. 6) Figura 6. resulta o sistema Solução -y + z.4). sua Substituindo este valor nas equações de r obtém-se solução é X=-1+2(-1)=-3 y=5+3(-1)=2 Z=3-(-1)=4 y = 3x. é a interseção dos três planos. 1) Determinar o ponto de interseção da reta r com o plano rr. 3 .6 =O.-1. B(-4.3). -2. B(l. 15) O plano contém os pontos A(l. os pares de retas r 1 e r 2 são paralelas ou concorrentes.. 6 O plano 143 142 Vetores e Geometria Analítica X=-2+t 6) Sendo y =-X 1 21) r 1 : y = -t e rz: { z 3 X= I +h. -2) e é paralelo aos vetores ~ = T. 1. 1). 3) e C(O. I""'" Cap. 1. 4).-1) e C(l. 2 o -3' o 30) que contenha o ponto A(l. 4.7 = O e rr2: 4x + 5y + 3z + 2 = O X= 1 + 2t X= 1. 5) e C( -I. -1. 2) e B(l. 3.:. 1. B(-1. 2. 2. 3). c) 1t1:x+2y 6 O e 1t2:y=O Nos problemas de 19 a 22. O. 1. -1 ). 4.y .3z = O e b) rr 1: x y + 4 O e 1t 2 : 2x y z O 1t2: x + y .+ k e ~ = 2 T + 3 J. O. 3.2. 9).2t equações paramétricas de um plano 1t. 0).t a) rr 1: mx + y . 27) paralelo ao eixo dos y e que contenha os pontos A(2. a) 3x+4y+2z-12=0 e)3y+4z+12=0 16) O plano contém os pontos A(2. Nos problemas de 25 a 30.3z = O a) rr 1: x 2y + z 6 = O e 1t 2: 2x . 26) paralelo ao eixo dos xeque contenha os pontos A(-2. 3. -1). -2. 14) O plano passa pelos pontos A(-3.1 rr1: x + my + 2z . 1).2t 34) Determinar m de modo que os planos 1t 1 e rr 2sejam perpendiculares: 20) r 1 : y = -2 + 3t e r2 : y = -2. determinar uma equação geral do plano nos seguintes casos: 25) paralelo ao eixo dos z e que contenha os pontos A(O. 4).0. O. obter uma equação geral do plano Nos problemas de 13 a 18. d) 1t 1: y =h+ 2t e rr 2 : y = -2h { Z=h Z=h+t { 19) rl:{y=2x-3 ~=~ e r2 : 3 -1 33) Determinar o valor de m para que seja de 30° o ângulo entre os planos Z =-X+ 2 y =. z = 3 + 2t 11) A(2.6 =O h) 2x. -2) e B(-1. O.. -1. B(2. 1). J 13) O plano passa por A(2.2z .3 = O g) y + 4 = O x=2+t d) 2x + 3y. B(-2. X =1+ h t { X=2+ t Encontrar uma equação geral do plano que as contém. 6.3.t ramétricas do plano determinado pelos pontos: Nos problemas 23 e 24.1 =O e rr 2: 2x 3my + 4z + 1 = O { { z = 3.-1). -2.y=4 29) perpendicular ao eixo dos y e que contenha o ponto A(3. e r2 : y =1 { Nos problemas de 7 a 11. C(-4.3z . 12) Determinar o valor de a para que os pontos A(a.2t { z -3 y= I -t { z = 4 + 2h. 1. 4) e B(2. I. 0). 1) e o eixo dos x. -2) e é perpendicular ao plano 31) Representar graficamente os planos de equações: 1t 1 : 2x + y.z + 3 O 18) O plano contém o ponto A( 4. 2) e o eixo dos z D(O... escrever uma equação geral e um sistema de equações pa. 2) e B(-3.-1. 2. -2. 2) e 8(0. 1).z + 8 =O.3). O.2. 1. 3. -1) e C(O. z::. b) 6x+4y-3z-12=0 f)2z-5=0 17) O plano contém a reta c) x + y .2) e r: y=2 t 10) A(2.3) e C(4. 1. determinar Ul1Ul equação geral do plano que contenha o 7) A(l. -1. 1. 1) e é paralelo à reta 28) paralelo ao plano xOy e que contenha o ponto A(5. 4) e é perpendicular ao plano xOy. 1) e é perpendicular aos planos 1t 1: 2x + y . 4) sejam coplanares. B(-3. O.3 = O. ponto e a reta dados: { x t 8) A( O. 9) A(2. 0) e B(O. 23)A(4. r· ~ = ~. -2). 6) e 24) A(l. obter uma equação X= -t geral.2). I.y =O r: y=1-t 32) Determinar o ângulo entre os seguintes planos { z = 3 + 2t e é perpendicular ao plano 1t 1: 2x + 2y .t z = 3 + 2t . -2. 2t. é ortogonal à reta r: 2x y 3z e paralela ao plano { z = n.= Z =-X+ e 2 n: 2x + 4y .1 = O b) A(3. m. n: x. é paralela ao plano Jt e con- 40) n 1:3x-y+2z-1=0 e corrente com a reta s.l =O 46) r: {y = x 10 z -x + 1 e n : 2x y + 3z 9 O z = t.2z .I Cap. 4) e é perpendicular ao plano 1t: x. 44) n 1:2x+y-4=0 55) Encontrar equações paramétricas da reta que passa por A(3. nos casos: 47) X 4+ k X= 2 +h+ 2t a) r : x = -3 + t.3z .z .2t.4 = O 53) Achar equações paramétricas da reta r que passa por A. z = 1 . -1) e é paralelo a cada interseçüo dos planos: uma das retas r 1: y = x. s: x = 2 + t. calcular os valores de m e n para que a reta r esteja a) equações paramétricas da reta que passa por P e é perpendicular a n. -2. O)+ t(2.3z . 3) e o plano n: 2x + y + z 3 =O. 49) Dado o ponto P(5. 38) r: {y = 2x. 1. .3x e r 2: 2x = y = 3z.t c) equações da reta interseção de n com o plano xOy.ny + z + 2 = O 51) Obter equações paramétricas das retas nos casos: z = -x + m a) A reta passà por A( -1.2h + l 35) Dados a reta r e 0 plano n.= 3 + 2k e n: { v=-3-h-t b) r: (x.z .3y + 2z. -4). 4).3y + z . y = -4 2t. 2. z 1 + 3t.3y + 5z .5 =O.2t e n : mx + 2y .2z . 2) e é paralela a cada um dos planos X= 1 + 3t n 1:2x+y+z+ 1 O e Jt 2:x 3y z-5=0.4 = O r ·{y . { ' ~ -2 + t 37) r: y = 3. Nos problemas 43 e 44.t. Determinar: a) z = 2x. 6. y = 3. -4). z = -2.3t 36) Verificar se a reta r está contida no plano n: 48) Sejam a reta r e o plano 1t dados por 2 3 r: { y = 4x + 1 e n : 2x + y .3 = O r: { y. z = -t e 1t : 2x + 3y . intercepta o eixo Oz e é paralela ao plano n: x .Z .y + 3z. x. n2 : x + 2y .l e n : 5x . y = -1 + 2t.6 = O. -2.4 = O.5 =O. encontrar equações paramétricas da reta interseção dos planos: Determinar ainda o ponto de interseção entre r e s. b) r: x-2=--=z+3 2 { z = -3 +h.z .3z + n = O d) a distância de P ao plano 1t. z) = (1.7 = O b) A reta passa pela origem. y . -1) e n: 3x + 2y + mz =O z = -2. determinar Nos problemas de 37 a 39.3 =O 54) Dada a reta r: x = 3 + t.7 = O b)n 1 : { y=2h+3 e n 2: 2mx + 4y . 42) n 1:x+y-z+2=0 e n2 : x + y + 2z . Nos problemas de 40 a 42. z = 2t 50) Determinar equações reduzidas na variável x. z = 4t e n : mx .4t n: x . da reta que passa pelo ponto A(3. n: 3x 2y. e n 2: x . z = -1 + 2t. s: x = 1 + 3t.3z + 5 =O. y. y = 1 2t. 39) r : y = -2 + mt e n : 3x . O. determinar o ponto de interseçllo da reta r com o plano rc: x=2-h+2t 45) r : x =3t. determinar equações reduzidas das 43) n 1:3x+y-3z-5=0 e retas projeções de r sobre os planos xüy e xüz. contida no plano n: b) a projeção ortogonal de P sobre o plano n.1 x=h+t a) o ponto de interseção de r com o plano xOz.z + 2 = O.7 = 0 41) n 1 :3x-2y-z-1=0 e a) A(2. determinar o valor de m para que se tenha I) r/In e Il) rl_n. 2. y = 1 . estabelecer equações reduzidas na variável x da reta Escrever uma equação geral do plano que passa por A( -I.3k z = 1 + 3h.y .y . c) o ponto P' simétrico de P em relação a n. 6 O plano 145 144 Vetores e Geometria Analítica Nos problemas de 45 a 47. 2. y+2 e n: y=-1+2h-3t b) o ponto de interseção de r com n. nos casos: 1[2: X + 2y . Nos problemas de 56 a 62 apresentar uma equação geral dos planos: Calcular: 56) O plano que passa por A(-1.6 =O e { y = 6h + 3t a reta dados: z = -1 + 4h + 5t X + 2y + Z .'> r>v:. Qual o ponto simétrico d<' p PP' fP "lç'í. -4. 5) e é perpendicular à interseção dos planos 6) 2x.2 I = O 30) y + 2z =O 21)6x+6y-z+9=0 . projeção ortogonal do ponto P(3. -3). y = -1 . obter uma equação geral do plano que contenha o ponto e 9) 3x + 2y. 6 e -5.6 =O b) o ponto O' simétrico de 0(0.t. -1. z -6 + 3h 2t 62) O plano que passa por A( -I. 2. z) = (2.-4. y = -1 + t.3h 3t 64) Calcular os valores de m e n para que a ret(! r esteja contida no plano n: a) r: x = 2 . 5).~ 1 18) X + y + Z 6 := 0 28)z 3 · .lüz . 't: p1an:1: 19) x + y + 3z .2z + 6 =O z=3 e 3x. l)a)(1. 15) x . 12) a = 3 22) 2x + y 2z + 3 =O z = 2y. 6 O plano 147 146 Vetores e Geometria Analítica 72) O plano n: 3x + 2y + 4z.:{3x-y-z=0 e ro.ny . X= 2 4h 2t Nos problemas 66 e 67. 2. 5) em relação à reta r 1. 13) 3x .7 = O e { y = 2h + t z = 2.2h 63) Estabelecer equações gerais dos planos bissetores dos ângulos formados pelos planos xOz e yOz.z + 7 = O x=2-6h-2t 67) A( 1. 4) 4x + 4y + 2z + 3 O 5) Existem infinitos. 60) O plano paralelo ao plano xOz e que intercepta o eixo dos y em -7.3 = O com o plano yOz.12 =O intercepta os eixos cartesianos nos pontos A. a) a área do triângulo ABC: 57) O plano que intercepta os eixos coordenados nos pontos de abscissa. y.2y + 4z . 58) O plano que passa por A(l. respectivamente.3 =O e uma equação geral do plano determinado por P e pela reta r : x = y.2y .3 O 29) y = 4 20) 5x . O.8 =O.9y. x + 2y . 3. z = 3 + 3t. 3x .Sz 16 =O 23) x. -3.3y + z = 1 8) 2x + 3y z O e y=h+t 65) Calcular k de modo que a reta determinada por A(l. -4) no plano determinado pelos l6)2x-y 3=0 26) y . 0) e n: x. z = 3 e n : 2mx . 7) 3x + 6y + 2z . I.2y + z . z = 2 e r 2 : (x. 4) + t(l.-2) e)k=-12 2 61) O plano que passa pela origem e é paralelo às retas 2) 2x 3y z. z) = t(2.3. 2.6. O) e B(k.y + z.3z + 1 = O .z. Respostas de Problemas Propostos 59) O plano paralelo ao eixo dos z e que intercepta o eixo dos x em -3 e o dos y em 4. z = x e r 2 : x = 2.t. z = 4. { · 2x + y .13 O 3) 2x 3y + 4z 4 O ri: y = -x.2y.2t.2) b)(0. -2. 10) x 2y O e y 1 . c) o volume do tetraedro limitado pelo plano n e pelos planos coordenados. -4) e é perpendicular aos planos 1t 1: x + z = 2 e n 2 : y. y =h.. -.5h + 2t são paralelas e encontrar uma equação geral do plano determinado por estas retas.5 = O 25) 3x + 2y. -3.5z + 33 =O 70) Dadas as retas ri: y = -2x.3h t { z =-h+ t 68) Mostrar que as retas r.2h + t { 69) Determinar o ponto P de interseção dos planos 2x.1 = 0 66) A(3. X= 1. -2) e C(O. m. 2) seja paralela { z = 5h + t ao plano n: x = I + 3h. -1.z + 5 = O X= 2.y . -1) e r. O. n) + (n. 4) e intercepta os três semi-eixos de mesmo sinal a igual distância à origem do sistema.2t. B e C. ordenada e cota b) a altura deste triângulo relativa à base que está no plano xOz: iguais a -3.2) c)k d)(2.2z + 4 = O 17)x 7y 4z+ 17 O 27)x+2z-2=0 1-'vlilU. Cap. I) e a reta interseção do plano x .•r o pnnto N. -2.·{x-3y+z+3=0 8 x . 2.z + 4 = O X h t b) r: (x. '3).z + 4 =O ni:2x-y+3z-4=0 e n 2:x+2y-4z+l=0.12y . O) em relação à reta r2 • 71) Ach. -1. y.z =O. ll)z 3=0 e y = 1 . y = 1 + 2h + t. Um deles é: x t. determinar 14) 3x.12y + 2z + 25 =O 24)x+y=0 a) o ponto P' simétrico de P(l. B(4. -2.3z =O 70) a) P'(1. z=-4-4t e (-5.c. z =O e z . -3). 5) b)x=3-2t.4 42) {y=-X-} z= 1 69) P(2. b) -6 e não existe valor para m 59) 4x .Z . -2) y = -1 6 z = t. -1) 47) (1. z = -7t + 2 b)x=4t.v.11 y + 3z + 45 = O 53) a) x = 2 + 7t. -4. -2. 7) 3 1 b) ( 18 3 4 ) y=-_!_X+ 1 48) a) (-.a.3y + 12 = O 2 60) y=-7 36) a) sim b) sim 61) 3x+3y+4z=0 37)m= 10 e n= 14 62) 2x 11 y . -) c) 2 2 2 u'u' 11 { z=O 49) a) x = 5 + 2t. b) -129 u. 3). -1) d) 2J6 50) y=-3x+7. c) 12 u.2t z=5 45) (6. -20) . z = -4. n 7 8 2 40) {y=-llx+ 11 65) 3 z=-7x+6 66) 2x + 3y + z + 1 = O 41) {y= 1 2 x + 3 2 67) 68) 6x.5z + 49 = O 38) m = -4 e n=2 63) X + y =0 e X y =0 5 1 1 39) m = - 3 e n = -2 64) a) m = . -8. n b) m 3.1= 0 33) I ou 7 57) 1Ox 5y + 6z + 30 = O 34) a) -12 b) 2 58) x+y+z 2=0 1 35) a) 10 e . z=9t 52) 20x . y=-5t.. y=O 2 3 32) a) - 7t b) ~ c) are cos J5 d) are cos r. -2) 46) (2.O. -3. Cap. y = 2 + t.2t e _!__! ( 2' 2' ~ .2x + 7. y=-2+31.3z + 5 = O z = 2x. 10. 1) c) (-3. O.y .. -3) b O'( 1 5 2) ) 3 3 3 43){x=t 71) N(5.-. 44){x=t 5 y = 4. y = 1 + t. -1. y = 3t.7. z=2x-2 51) a) x = 2t. z=4+t 3 6 "V14 56) X..2 72) a) 3J29 u.1. z = 3 + t b) (1.r---------------------~---------------------------. (7. -3. y=6+2t.2y + z. -3. 5x + y. 6 O plano 149 148 Vetores e Geometria Analítica 54) y = . 55) x=3+t. 2x .3 =O 4x + 2y. 2. quer-se calcular a distância d(P. l) Exemplo 3 -1 Calcular a distância entre P1(2. -8. r) = I ( 2. r) (Figura 7. -1. -1. Como P1P 2 == P2 P1 ==(1. 2. 3) e P2 (1. tem-se Observação d(P .2 .c.2) d(P. 1. z 1 ) e P2 ( x 2 . 1.t { z = 3. -8. 1. De acordo com (2). -1.A= (3. vem A ~ ///" Figura 7. -2). Consideremos na reta r um ponto A e um vetor diretor~. r) = (2) Ivi Exemplo Calcular a distância do ponto P(2.2t Como Solução A reta r passa pelo ponto A(-1. P 1 2 ) == ~·(--1-)2_+_2_2_+_2_ 2 J9 3 u. y 1 . d / / ou também por Distâncias b) A= I v x AP I (Capítulo 3) Comparando a) e b). Calculemos (1) i j k -v X AP = 2 -1 -2 = (-3. Seja ainda o tem-se vetor AP = P . 1). z 2 ). um paralelogramo cuja altura corresponde à distância d(P. r)= IPI I.3)==(-1. 3) e tem direção do vetor v= (2.5) (2. 152 Vetores e Geometria Analítica !b MAKRON Books 7 por A área A do paralelogramo é dada p ---------------------'l / / / / / / a) A= (base) (altura) = Iv I . 3º) calcular a distância por d(P.2 ilustra este procedimento. temos Solução (-3.c. a distância dentre eles é I P1P :::! . -2 ) I J22 + (-1)2 + (-2)2 3 de acordo com ( 1). -1. r: y = 2.1 lv X APl d = d(P. Os vetores ~ e AP determinam 2º) determinar o ponto I de interseção de 1t e r. Figura 7. r) de P a r. y 2 . (unidades de comprimento) Uma outra forma de calcular esta distância seria 1t proceder assim: Distância de um Ponto a uma Reta 1º)encontrar uma equação geral do plano 1t que passa por p e é perpendicular à reta r (um vetor Dado um ponto P do espaço e uma reta r.-1. A Figura 7. 4) à reta Distância entre dois Pontos X= -1 + 2t Dados os pontos P1 ( x 1 . 1) 1 1 ~(-3)2 + (-8)2 + 12 J74 = --u. normal a 1t é um vetor diretor de r).1). 5). b) A fórmula (4) é também aplicada se tivermos dados: bt) dois planos n 1 e n 2 paralelos. L . Seja A um ponto qualquer de 1t e n um vetor normal a Exemplo n. z 0 . Yo. Solução De acordo com o visto no Capítulo 2. é o módulo da projeção de AP o na direção de n .4 ilustra este procedimento. ~ 1 1 I (3) Observações Admitindo-se então que P0 (x 0 .6z + 3 =O. quer-se cal- no primeiro membro da equação geral de n pelas coordenadas do ponto P0 . isto é. n 2 ) = d( P0 . APoj = I APo . A Figura 7. 2.3 ~2 2 +3 2 +(-6) 2 .y 1. 2. pois v .z 1 ) E 1t. 7 Distâncias 153 154 Vetores e Geometria Analítica Distância de Ponto a Plano Observemos que a expressão a x 0 + b y 0 + c z 0 + d se obtém substituindo x. x 1. 1t) de P0 a 1t.7 =O Solução (4) Observemos primeiramente que r// n.y 0 . n: ax+ by+ cz+ d=O eA(x 1 . · z = 2x + 1 ao plano n: 4x. n 2 ) = d( P0 . -3) ao plano n: 2x + 3y. 2º) determinar o ponto I de interseção de r e n. Po . (4. d(r. z1) e -:::. 2) = 4 . 1t) Calcular a distância do ponto P0 (4.y 1 . suas coordenadas satisfazem a equação de n. a) Uma outra forma de calcular esta distância seria proceder assim: 1º) encontrar equações da reta r que passa por P0 e é perpendicular ao plano n (um como vetor diretor de r é um vetor normal a n). Jt) jrroj. com P0 E n 1 Figura 7. cular a distância d( P0 .4 ou d( n: 1 . n:) = d(P. . n) = I Pi I.8 + 4 = O . n = (1. y e z Dado um ponto P0 e um plano 1t. n). Neste caso: Como A E n. n APo = (x 0 . 2) .4y + 2z.======~=pela fórmula (3) vem 3º) calcular a distância por d( P0 . com P E r ax 1 +by 1 +cz 1 +d O Exemplo e Calcular a distância da reta d = -a X l b yl C ZI y = 2x + 3 r· { Logo. com P0 E n: 2 b2) uma reta r e um plano Jr paralelos.3 esclarece que a distância d( P0 . Cap.~4+9+36 -7- d( P0 . n 2 ).z 0 ). n: 1 ). _ _ __ _ --fi-__J Neste caso: d( n 1 .:-=-. -4. -5 Figura 7. 12(4)+3(2)-6(-3)+31 18+6+18+31 35 tem-se d (P0 • n) = . I In I 7 A Figura 7. - rc é dado por n = VI x v2 ).5 Então. rc) =. - sendo v vetor diretor de r e n um vetor normal a 1L Então.3 z =-X+ I z= I -t I) r1 e r 2 sâo concorrentes. 3. -1 Os vetores~~. ( ~~. -3.~2. d( r1 . 3) A 2 e pelo vetor diretor v 2 . I) e tem a direção de ~2 = (1.7 d(r. 2) e ou I -2 -1 d( r 1 .:. quer-se calcular a distância d( r1 . ~2.__r======~ d = d( r 1. 7 Distâncias 155 156 Vetores e Geometria Analítica .-2. -I). l)etemadireçãode VI =(1. - b) V ~(~I. por serem não-coplanares. (altura)= I v 1 x v2l. r2 ). Cap. tomando P(O.2t e rz: {y = x. r 2 ) = d(P. p Neste caso: d( r1 • r 2 ) O Solução _ 2) r1 e r2 são paralelas. Uma outra forma de calcular esta distân- O volume V do paralelepípedo cia seria proceder assim: é dado por 1º)encontrar uma equação geral do plano TC rc definido pelo ponto A 1 e pelos veto- a) V= (área da base). 3) I J18 J2 plano da base do paralelepípedo Observação definida por Vt e v2 ).7).6) cuja 191 9 9 3 altura é a distância d( r1 . -6. rc) = d(P. r1 ) com P E r 2 A Figura 7.7 a rc (Figura 7. d Figura 7. I) E r. por Comparando a) e b) vem (4) tem-se 4(0). AIA2) __!__ _ _ _ _____.5 ilustra esta situação. Podemos ter os seguintes casos: r1 : { X=-]+ t y = 3. De acordo com (5) temos determinam um paralelepípedo (Figura 7. O. A 1A 2 = A 2 . com P E r1 Figura 7.-l)eareta rz pelo Neste caso: ponto A 2 (0. ~ 2 e A 1A 2 . r2 ). Como v2 . que se reduz ao cálculo da distância de ponto à reta.4(3) + 2(1). r2 ) = d(P. Areta r1 passapeloponto A 1(-1. 1. ~2. r 2 ) que se quer calcular (a reta r2 é paralela ao I (3.3. . O._ I (5) l~1 X ~21 Exemplo Distância entre Duas Retas Calcular a distância entre as retas Dadas as retas r1 e r 2 . A 1A 2 )= I -I = 9 I -6 2 3) r1 e r2 são reversas k Seja r1 a reta definida pelo ponto A 1 e pelo vetor diretor v 1 e a reta r~ pelo ponto Vt X V2 = -2 -I = (3. A 1 = (1. r 2 ) = I(~!. a reta r2 é paralela Figura 7.A 1 A 2 )1 (Capítulo4) é vetor diretor de TC.6 res diretores ~ 1 e ~ 2 (o vetor normal a ou também por . O.2) e P 2 (2. nos casos: 25) ri: x = 3 y=4 r 2 : eixo dos z 1) P1 (-2. 2.3) r:x z=-1 2 2 Achar a distância do ponto P ao plano Ir..2 r 2 : y = 3x +1 z = -4x Problemas Propostos 24) ri: x = 3 y=2 r2 : x = 1 y=4 Achar a distância de P1 a P2 . -1) r: x = 3 + t y = -2t z =I. z) = (2. r1 ) =d( r2 . -6) n:: 4x y + z + 5 =O 14) P(O. nos casos: o 5)~ li) P(2..1) e P2 (l. Cap. -1) + t(l.-3. I) r : y 2x z =x + 3 J5 6) P(O.2) n::2x 2y z+3 O 23) 12) P(3. 2. 3) aplicando a fórmula (4). -1.2t 1) -J19 7) 13) 19) 4 4) P(l. 2. n:).. nos casos: 20) r1 : x = 2 .-I. 3. 1. -1. I) r: (x. O) r :{~x+ :-+2~ +31 = 00 J5 1 3) fii7 9) 15) _i_ 21)- 7) P(3. P E r2 . 3) r: eixo Ox 9) P(l. 2) 3 Jil J2 8) P(l.. 0) 15) P( 1. y. -L 4) + y + z =o 11) 2 17) __2_ 1t : X 3 J6 13) P( L 3. nos casos: 17) r: x 4 + 3t y I +t z == t e Jt: x y 2z + 4 =O 18) r: {. 3) r: eixo Oz 4) J6 10) 4 I6) J3 22) J6 10) P(I. 22) ri: y = 2x z=3 r 2 : (x.0.. -4.2. y. -1. nos casos: o o 3) P(2.2t r2 : x == t y l -3t z = 2t .. 1) 1t : 3x .-1. 23) ri: x = t + 1 y= t + 2 z = -2t. 0) Respostas de Problemas Propostos Achar a distâncía do ponto P à reta r. 2) + t(l.1 . =! e 1t : x + y 12 O 19) r:{x = 3 e 1t: y o y=4 Achar a distância entre r 1 e r 2 . rr) = d(P..O) r:x=2-t y O z=t 2) J3 8) -ft3 14) 4 20) __2__ 5) P(3.4y + 20 = O 1t : X= 2 + 2h + 3t y == -1 + h + t 6) fu 35 12) 2J3 18) __2_ J2 24) 2J2 25) 5 { z = 2. z) = (2.h 16) Calcular a distância entre os planos paralelos n1: x + y + z 4 e rr 2 : 2x + 2y + 2z 5 Achar a distância da reta r ao plano Jt. -1. O.t y == 3 + t z = 1 . 3.1 d( r1 . 7 Distâncias 157 158 Vetores e Geometria Analítica 2º) calcular a distância por 21) ri: x = y = z r2 : y = x +1 z = 2x. se rr for paralelo a uma geratriz da superfí. Nestas con- mitadas.2(c)).3 devem ser encaradas como ili- de e mantendo constante o ângulo entre estas retas.2(a)). chegarem ao vértice O.2 Sejam duas retas e e g concorrentes em O e não-perpendiculares. constituída de dois ramos.3 .2 forem transladados paralelamente até A reta g é chamada geratriz da superfície cônica e a reta e. b) uma elipse. Figura 8. isto é.3: eixo da superfície. ao con. se 1t não é paralelo a uma geratriz e intercepta as duas folhas da su- perfície (Figura 8. ou simplesmente cônica. c) uma hipérbole. Se cada um dos planos secantes da Figura 8. (a) uma reta Chama-se seção cônica.1 cie (Figura 8. obteremos as respectivas cônicas "degeneradas" da Figura 8. se rr for perpendicular ao eixo).2 e 8. se TC não for paralelo a uma geratriz e intercepta apenas uma das folhas da superfície (Figura 8. um em cada folha da superfície. A hipérbole deve ser vista como uma curva só. a reta g gera uma superfície cônica circular infinita for- sentidos. mada por duas folhas separadas pelo vértice O (Figura 8. (b) um ponto junto de pontos que formam a interseção de um plano com a (c) duas retas superfície cônica.1 ). constituídas de duas folhas que se estendem indefinidamente em ambos os dições. Quando uma superfície cônica é seccionada por um plano TC qualquer que não passa pelo vértice O. g Conservemos fixa a reta e e façamos g girar 360 graus em torno Observação As superfícies cônicas apresentadas nas Figuras 8. 160 Vetores e Geometria Analítica ~ MAKRON Books 8 Cônicas (a) (b) (c) As Seções Cônicas Figura 8. a cônica será: a) uma parábola. (a) (b) (c) Figura 8.2(b)) (ou uma circunferência. sendo descritas na antigüidade por Apolônio de Perga. chamado reflexão sonora. V. um geômetra grego. são parabolóides constituídos por duas antenas parabólicas metálicas (fotos da Figura 8.4). Então. Mais tarde.4 . razão pela qual a idéia desta distância não foi possível passar). ao incidirem na outra Figura 8. É importante observar que as cônicas são curvas planas e.4 (a) antena. Quando uma pessoa 20 metros fala. como nas trajetó1ias de um projétil ou de um planeta.5 Figura 8. O anel metálico num determinado ponto representa o foco da antena. tudo o que dis- sermos sobre parábola. uma outra pessoa com o ouvido próximo deste anel (foto da direita) ouve nitidamente a primeira.4(a) esquematizao experimento descrito anteriormente. A Figura 8. elipse e hipérbole se passa num plano. portanto. refletem-se convergindo para o foco (anel) desta. No final deste capítulo estão descritas as propriedades de reflexüo para cada uma das cônicas com algumas de suas aplicações. PARÁBOLA Definição Parábola é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo e de uma reta fixa desse plano. Kepler e Galileu mostraram que essas curvas ocorrem em fenômenos naturais. emitindo o som próximo ao anel (foto da esquerda). 8 Cônicas 161 162 Vetores e Geometria Analítica As comcas foram de fundamental importância para o desenvolvimento da astronomia. Estas antenas de mesmo tamanho estão perfeitamente alinhadas e dispostas uma em frente a outra e separadas por aproximadamente 20 m (para maior nitidez foram necessárias duas fotos. Na verdade. P 3 e P) que são eqüidistantes do ponto F e da reta d. Cap. Consideremos uma reta de um ponto F não pertencente a d. e d Figura 8. Trata-se das Parábolas Acústicas.5 estão assinalados cinco pontos (P~o P 2. Na Figura 8. as ondas sonoras refletidas na superfície da antena produzem um feixe de ondas paralelas que. No Museu de Ciências e Tecnologia da Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul encontra-se um experimento que diz respeito às propriedades da reflexão foco eixo foco anteriormente referidas. tem-se: Foco: é o ponto F. a) O número real p :. o ponto (-x. É fácil ver pela própria defini- ção de parábola que esta curva é simétrica em relação ao seu eixo. a equação reduzida Figura 8. y 2 2") O eixo da parábola é o eixo dos x P'(-~. ~)I ~ Jc x .o. -~--~(x.. .5. se e somente se.y) um ponto qualquer da pará. _E) E d. p>O p<O Equações reduzidas o parâmetro p e a ordenada y de P têm Seja a parábola de vértice V(O. Elevando ambos os membros ao quadrado. se p <O. P') (l) ou onde P' é o pé da perpendicular baixada de P sobre a reta d. equação y ~ .V- 1 /F(%. y) A definição de parábola expressa pela X Sendo P(x.. 8 Cônicas 163 164 Vetores e Geometria Analítica Então.6 Corno P'(x. Pela Figura 8. a parábola tem abertura para a direita e se p < O. y . y) também pertence. y) um ponto qualquer da parábola (Figura ". Consideremos dois casos: sinais iguais (py = O se y = 0) e. Figura 8. Cap. obtemos d(P... E) e diretriz de 2 por -x a equação não se altera.6) de foco F( O.0) X análoga ao 1o caso. (2) Diretriz: é a reta d. y) pertence ao gráfico. de modo equivalente 2 2 d(P. um ponto P qualquer pertencente à parábola. abertura para cima e. vem 2 y2 = 2px (3) I< x . Eixo: é a reta e que passa por F e é perpendicular a d.x.O).E . c) O gráfico da equação (2) é simétrico em relação ao eixo dos y pois substituindo-se x bola (Figura 8.t: O é chamado parâ- metro da parábola.8 2 . Observações Fértice: é o ponto V de interseção da parábola com o seu eixo. conse- Figura 8. de forma 2 2 AV I/. F)~ d( P. y>O y<O b) Da equação (2) conclui-se: como py ~O. d para a esquerda (Figura 8. Y +~)I Da análise da equação (3) conclui-se imediatamente: ou se p > O. d) (x-0) ~ +(y--) P2 P2 =(x-x) 2 +(y+-) ou. se o ponto (x. F)~ d(P..y) igualdade ( 1) é equivalente a IFPI IP'PI 8.8) de focoF(~.O) e diretriz x=-E_obteremos. Elementos ou simplesmente. se p > O a parábola tem y Seja P(x. isto é. para baixo (Figura 8.7). que é a equação reduzida para este caso.9 a seguir).7 1°) O eixo da parábola é o eixo dos y qüentemente. foco: F(0. 2) e (-2. 5) e concavidade voltada para cima. os pontos (-2.13 y Logo.o eixo da parábola é Oy) parábola (Figura 8. por exemplo. os pontos (4. O) 2 b) vértice V(O.o eixo da parábola é Ox) dois valores de x simétricos. O) e diretriz y = 3 foco e uma equação da diretriz. tem-se ou 2p = 8 2p = 4 Substituindo este valor de 2p na equação acima. 5) é uma solu- Como a equação é da forma y 2 = 2px. a cada valor de x. construir o gráfico e encontrar o a) vértice V(O.14.13. Cap. Daí vem E_ __!_ 4 2p=~ 2 2 5 Figura 8.10 Mas diretriz: y -2 P<O \ h) A equação reduzida de x é E_=-3 ou 2p=-12 2 2 Figura 8. 2.y -2 b) A equação é da forma Portanto.1 0).12. a afirmação 2p = -2 (-2) 2 =2p(5) p = -1 é verdadeira. a cada valor de y. Como P pertence à parábola. Logo. isto é.2) x 2 = 2py (Figura 8. Como a equação é da forma ou p=2 y 2 x = 2py.14 Figura 8. Logo. c) vértice V(O.12 p=4 2 y =4x y -4 4 ------2+---. 0). 8 Cônicas 165 166 Vetores e Geometria Analítica ~ Portanto.11). X p 0 o -:1 X p 0 o foco: F(-_!_. a equação é 2 y = -2x 2 y X = -l2y Observemos que nesta equação. parábola (Figura 8. passa pelo ponto P(-2.9 diretriz: x = ~ 2 Exemplos 2) Traçar um esboço do gráfico e obter uma equação da parábola que satisfaça as condi- 1 ções: 1) Para cada uma das parábolas 8ye x . tem-se ção da equação. -2. 0) e foco F(l. obtemos Figura 8. no c) A equação é da forma caso. correspondem dois valores de y simétricos. o ponto (-2.o eixo da parábola é Oy) Figura 8.11 . 2) pertencem à Mas. por -----. -2) pertencem à x 2 = 8y (Figura 8. 4 e -4. correspondem y 2= 2px (Figura 8. no caso. Solução Solução y a) x 2 =8y a) A equação é da forma Observemos que nesta equação. 2) e (-4.2 exemplo.0) 2 I Figura 8. 2 e -2. I I todo ponto P do plano tem duas representações: -'----+----r--x 01 I Exemplos P(x.. portanto. da parábola ser paralelo a um dos eixos Y yl A equação (6) ainda pode receber a forma coordenados.15) râmetro p = I . a mesma dire.h) -~.16 .k) x'=x-h e y'=y k y e. (x..15 2 que são as fórmulas de translação. 8 Cônicas 167 168 Vetores e Geometria Analítica e. eixo paralelo ao dos y e pa- (Figura 8. se p < O. a parábola está voltada para cima e. Assim...y) (y. x 2 .-. Assim. .y) no sistema xOy e P( x 1 ..6x + 9 = 2y + 4 1°) O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos y ou Com origem no ponto V..3) = 2(1 )(y + 2) ou Outras Formas da Equação de Parábola 2 (x. sempre pode ser representada pela equação geral que terá uma das formas tem vértice na origem e. Cap.. Translação de Eixos 2°) O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x y Consideremos no plano cartesiano xüy um ponto yl De modo análogo temos O 1 (h. A parábola em relação a este sistema [ y ! que é a Equação Geral desta parábola..16). yl I Outras formas da equação da parábola serão apresentadas no próximo exemplo.k) ou que é afornza padrão para este caso e referida ao sistema xüy. ção e o mesmo sentido dos eixos Ox e Oy. temos Figura 8. sua equa- ção reduzida é I (8) 2 I ~ x' = 2py 1 (5) ~~~04-------c.I P( X!) I) nham a mesma unidade de medida. arbitrário..17 sistema x 1 O 1 y 1 (O 1 =V) nas condições do que foi visto no item anterior (Figura 8.3) = 2(y + 2) (6) Seja uma parábola de vértice V(h. Consideraremos somente os casos de o eixo e cujo gráfico é o da Figura 8.k). Desta figura obtém-se Solução x x'+h e y=y'+k Como o eixo da parábola é paralelo ao eixo dos y. >I (9) por (4) temos 1------x--- 1 X =X h e Y 1 =y-k Figura 8. neste caso.17. estará para baixo. qualquer parábola cujo eixo coincide ou é paralelo a um dos eixos coordena- dos.h) 2 =2p(y. I) Determinar uma equação da parábola de vértice V(3. y 1 ) no sistema x 1 O 1 y 1 y 1--X----. Vamos introduzir um novo sistema X 1 0 1 y 1 tal que os eixos 0 1 X 1 e 0 1 y 1 te. -4y=O As observações feitas anteriormente com relação ao parâmetro p continuam válidas: se p > O.. P(x.. -2).------r-----x ou Como para todo ponto P da parábola. tracemos o x 2-6x-2y+5=0 (7) Figura8. 0). k) :t= (0.k) 2 =2p(x .h) 2 = 2p(y. portanto. a equação desejada é e pela substituição em (5) resulta a equação 4 =-'V 51 (x.. sua equação é da forma I ou (4) *I (x. y y=--x-+-x-1 b) Tendo em vista que o eixo da parábola é paralelo ao p<O \ 3 3 eixo dos x. 2 +--:oo+---11':-l---1~-+-+1~-:4-. I . 0) e (3. e como I h c) um esboço do gráfico. -1 = a(0) 2 + b(O) +c Então. . a segunda é X =X-1 ey =y+3 mais simples para este problema. suas coordenadas devem satis- y 1 3x+ 5 fazer esta equação. a equação da parábola é Solução I . isto é. da direita. sempre que explicitarmos y numa equação do tipo (8) ou x numa equação do 0=a(l)-+b(1)+c 0 tipo (9). 8 Cônicas 169 170 Vetores e Geometria Analítica Se em (7) isolarmos o valor de y. h =4. O) pontos da parábola. eixo (y+3) 2 =8(x-l) (10) I que é a forma padrão de uma parábola de eixo paralelo ao eixo dos x. k = 2.=' 8x 1 y. determinar \1 a) sua equação reduzida. Figura 8. a=--. 2). . sua equação é da forma que é a equação reduzida desta parábola referida ao sistema x 1 O 1 y 1 . se em (I O) Solução utilizarmos as fórmulas de translação 1 1 Entre a equação na forma padrão e a explícita.1 2 (y-2) = -12(x 4) Solução a) Iniciemos escrevendo a equação na forma Efetuando as operações indicadas e ordenando. devemos fazer o mesmo com o membro que é uma equação geral desta parábola. sua equação na forma padrão é 4) Dada a parábola de equação y 2 + 6 y -8x + 17 =O. 1 1 y=ax +bx+c . -1 ). teremos Ora. 2p = -12.18. A última equação pode ser escrita 3) Determinar uma equação da parábola da Figura 8. Então.x p e) uma equação do eixo. 4 a) Um esboço do gráfico: Figura 8. (y.h) F V t:ixo 2 -~-----t---· b) o vértice.19.. sendo (0. 3 3 Logo. Traçar um esboço do gráfico e deter- . obteremos a respectiva equação explícita na forma 2 2 y = ax + bx +c a =F O fO= a(3) + b(3) +c ou ou c= -1 a+b+c=O x = ay 2 + by +c a =F O { 9a+3b+c =O 2) Seja a parábola de vértice V(4. Cap. vem Figura 8. ( 1. f= -3 . como o eixo desta parábola é paralelo ao dos y~. obteremos Então. 2p(x. 2 2 que é a Equação Explícita da parábola deste exemplo. s1stemacupsouçaoe 1 b =-e4 c=-1 minar sua equação geral. onde O 1 =V (vértice). a equação acima fica l<t-----2----. d) o foco e uma equação da diretriz.. 2) e foco F(l.19 2 0 1 1 X 110x e 0 y //0y.18 /'+6y=8x-17 y 2 -4y+4=-12x+48 Completemos o quadrado do primeiro membro: ou y 2 +6y+9=8x -17+9 y 2 +12x-4y 44 O y Como adicionamos 9 ao primeiro membro. p = 4. Problemas Propostos Para cada uma das parábolas dos problemas de 1 a 10. conforme exemplo a seguir. vem y = t + 3.20 ou e) Eixo: y -3 e Equações Paramétricas 2 t . Por outro lado. E_ = 2 2 i--- I I tF eixo t::. o sistema ou (y -3) 2 = 2(x + 2) que é a equação cartesiana dada inicialmente. onde x pode assumir qualquer valor real.3. Então foco: F(3.10y = 0 10) x=-- 8 Exemplos 2) /=6x 5) y 2 . se fizermos x =t (t é cha- ~ ma d o para metro) teremos y = 1 2p Então. obtém-se equações paramétricas no caso de o vértice y2 da parábola não ser a origem do sistema.O) e eixo Ox. Cap. 8 Cônicas 171 172 Vetores e Geometria Analítica b) Como a equação ( 10) é da forma padrão y (y 2p(x -h) 2) (y -3) 2 = 2(x + 2) (li) -1 3 onde h e k são as coordenadas do vértice. o sistema c) Um esboço do gráfico: Figura 8.3 = t. vem --l---l-----1!---t---t--+---x Solução imediatamente: V(l.20.4 Consideremos a equação reduzida da parábola cujo eixo é o dos y: x=-- 2 2 X = 2py Assim.9x =0 Obter equações paramétricas da parábola de equação: x2 1 3) y 2 = -8x 6) y 2+3x=O 9) y=l6 I) -y 4 . o sistema Nesta equação. que substituindo na primeira equação X=\ resulta {y 2p tE R (y-3) 2 -4 x=---- 2 De igual forma. Com procedimento semelhante. constitui equações paramétricas desta parábola. e pelo gráfico tem-se 2) Fazendo y. equações paramétricas da parábola são. 1) X 2 = -4y 4) X 2 + y = 0 7) X 2 .. o I 1) Se fizermos x = t. de y = t + 3. neste caso. dadas por {::::~4 constitui equações paramétricas desta parábola. teremos y = 4t 2 e. vem t = y . O' d) Confrontando (1 0) e ( l l} concluímos: 2p = 8. -3). portanto. -3) t 2 =2(x+2) diretriz: x = -1 Figura 8. o foco e uma equação da diretriz. se na equação 2px fizermos y :::: t. construir o gráfico e encontrar constitui equações paramétricas da parábola com vértice V(O.X= 0 8) 2y 2 . passando pelo ponto P(2. 18) vértice: V(-2. determinar: 1 15) foco: F(O.. 3). 3). 4y+x+l=O 24) foco: F(3. 31) y= -2x -1 4 d: x-2 =O 32) x 2 -12y+72=0 50) Determinar uma equação da curva gerada por um ponto que se move de modo que sua distância ao ponto A(-1. passa por (4. 3) seja igual à sua distância à reta y + 3 =O. Cap. 33) y . 4). eixo: x =O e passa por A(4. 0). 17) vértice: V(O. determinar a equação reduzida.1 . 19) vértice: V(2.. uma equação da diretriz e uma equação do eixo da parábola de equaçtío dada. 0). b) as interseções com os eixos coordenados. diretriz d: y -2 37) eixo de simetria paralelo ao eixo dos y e passando pelos pontos A(-2. 22) foco: F(4. -3) 38) eixo de simetria paralelo a x = O e passando pelos pontos A(O. diretriz: y = I 41) y 2 =-4x 43) (x + 4) 2 =. diretriz d: x + 2 == O C(4. foco: F(-2. B( 1. 3 2 27) x +4x+8y+l2=0 47) Em que pontos a parábola de vértice V( -2. 0). diretriz: 2x. eixo paralelo ao eixo dos x.4x+2 51) Encontrar uma equação da parábola e suas interseções com os eixos coordenados. o foco.2(y. 4) e 12) foco: F(2.1) 23) foco: F(-7. 2). Nos problemas de 37 a 39. diretriz: 2x 3 O dada.5) d) o foco. 0).. -1 ). diretriz d: y + 3 ==O Nos problemas de 41 a 44. 0). B(O. eixo: x + 2 =O. 0) 39) eixo paralelo a y = O e passando por A( -2. -3). 0) e foco F(O.20y -39 =O . 13) vértice: V(O. -1 ). eixo y ==O. B( -3. 2) e C( -6. . diretriz d: 4y 1 ==O a) o vértice. 4). 0). simetria em relação ao eixo dos y e passa pelo ponto P(2. O) paramétricas. 0) intercepta o eixo dos y? 48) Encontrar sobre a parábola y 2 = 4x um ponto tal que sua distância à diretriz seja 28) x 2 . foco: F(5.. 0). d: y=2 x-? b) F(O. 3). ? 34) y 4x x. obter equações paramétricas da parábola de equação 21) vértice: V(O. 36) 2x 2 -12x -y+14=0 . -1).x 2 + 4x + 5. -1) 20) vértice: V(4. -5). l) e) uma equação da diretriz.. sendo dados: a) foco: F(O.-3) c) o gráfico. eixo: y =O e passa por A(3. 1). 14) vértice: V(O. obter uma equação geral da parábola dada por equações 26) vértice: V(-2. O). encontrar a equação explícita da parábola que satisfa- ça as condiçl'ies: 11) vértice: V(O. 0). Em cada um dos problemas de 27 a 36. 1) Nos problemas 45 e 46. 16) vértice: V(O. 29) y 2 + 4y + 16x -44 o 49) Utilizar a definição para encontrar uma equação da parábola de foco e diretriz dados: 30) y 2 -16x+2y+49=0 • a) F(-3. traçar um esboço do gráfico e obter uma equação da parábola que satisfaça as condições dadas. 45) jx =~:1 y=--2 Esboçar o gráfico. -1) e C(3.I= O 25) vértice: V(4. 4 ). igual a 3. o vértice. -1 ). foco: F(O. foco: F(-_!_. 35) y 2 -12x -12 =0 b) foco: F(O. -2). 0). 2 40) Dada a parábola de equação y =. passando pelo ponto P(2. diretriz: x + 3 =O 42) X 2 = 2y 44) y 2 . O). 8 Cônicas 173 174 Vetores e Geometria Analítica Nos problemas de 11 a 26.2x. 3). 0). 0). 0]. -~.0).-1). F(7. y =1 7) F( O. y=O Respostas de Problemas Propostos 31 . x=2 9) F(O. F(j. 0). 2 2x+3=0 8) F(-. 4). esboçando o gráfico. 7 F(2 . y = -1 c) equações paramétricas desta parábola. 8x+9 o 2 8 1 7 4 3) F(-2. 4 35) y' 2 =12x'. F(4. 4). X 11) 8y 4 4 35 d)F(2.5) 5) F(-. y+4 o 38) y=-x~--x 3 3 1 1 7 4) F(O. x=2 { y =t 3.(0.. 9). Cap. y 10) F(-2.0). ). x=Ü X e {X=~: 33) X 1:?_ =y' I V(2. X 2 39) x=--y-+2y-6 4 4 1 40) a) V(2. ) e)4y-37=0 3 4 6) F(--. 4y-17 =Ü.21 2 27) x' =-8y'.21. tE [. o arco DC é parabólico e o segmento AB está dividido em 8 partes iguais. 6). 2_) 2' 2y+5=0 8 1 7 3 9 37) y=--x-+x+4 2) F(-. y=3. 8 Cônicas 175 176 Vetores e GJ<>metria Analítica 52) Na Figura 8. X= -4. 3). v@ -1). -1). 0).9) b)(-1. -2). y = -2 a) os pontos de interseção com o eixo dos x. 2 31) x' =4y'.20 =O 25) y 2 +6y+8x-23=0 A B 26) 3x 2 +12x+l6y-36=0 19) y 2 +2y-12x+25=0 Figura 8. F(O.(5.3) e (3.-1). V(3.4.8x -16y+32=0 14) y 2 =-2x 21) y 2 +4y+6x+4=0 15) x2=-y 22) x 2 -8x+12y+40=0 16) 3x 2 +4y=O 23) y 2 -6y+8x+49=0 17) 4y 2 . x=3 1) F(O. F(2. V(3. -3). 30) y' = 16x'. -1). V(2.0). y=-4.. --). x-2=0 mostrar que eles representam parte de urna mesma parábola. V(-1. F(2. 0).0). --) 9 4. F(l. determinar h 1 e h 2 • 13) x 2 =-12y 20) x 2 . F(3. -4). X= -1. Sabendo que d = 10 m. V(4. 4x-3 o 12) 8x 4 . tE [0. 8y +33 =O. y = -6. V(l. 2 b) os pontos de ordenada 15. y = 1. 25x =0 24) 4y 2 +8y-20x+39=0 18) x 2 + 4x + 8y. -1). -5). 8] y = + 3. V(3. -2). AD = BC = 50 m e AB = 80 m. y=_~J· X =1· passa pelos pontos (1.2 I I 36) X =2y. 15 2 34) x'2= -y'. [~-~ 53) Uma farm1ia de parábolas tem equação y = ax + bx +8. x=4 54) Dados os sistemas de equações paramétricas 2 32) x' = 12y'. -4). V(O. Sabendo que uma delas 2 2 28) x' = 20y'. X =7. determinar: 2 29) y' =-16x'. F(-1. 0). tem-se: Focos: são os pontos F1 e F2 • Distância focal: é a distância 2c entre os focos.3y. por exemplo.22 Esta igualdade mostra que b <a e c< a. . 15) e (7. do triângulo retângulo B 2 C F2 vem (1) (2) Figura 8. a soma 2 2 50) x +2x-12y+l=O das distâncias d(P. mantendo o fio sempre distendido. um valor constante. Assim. quanto mais afastados um do outro estiverem os pontos F1 e F2 . comprimento 2b e perpendicular Figura 8. que na definição foi denominado 2a. I I Eixo menor: é o segmento B 1B 2 de I< 2a ------. Por outro lado.4) e (0. 44) {X= 3 t2 b) (-1.5 O Com base na Figura 8. Logo.23 do fio. portanto. 8 Cônicas 1n 178 Vetores e Geometria Analítica JX= ~ 46) y 2 . enquanto que elipses com excentricida- de próxima de I são "achatadas". fixada uma excentricidade. 0) e (4. F2 ) 2c. Vértices: são os pontos A 1.4x + 16 O Para construir uma elipse no papel. Se fizermos o lápis 42) {X= :2 b) y 2 6y+4x+5 O deslizar sobre o papel. para todo o ponto P da elipse. tanto 52) h 1 20m e h 2 32.-2) elipse irá variar. e somente se. temos a circunferência de centro F1 e raio a. 15) y t+2 c)x=t+3e y=t 2 -1 Elementos 45) . J8) e (2. elipse) e B 2 F1 =B 2 F2 .(-1.22) se.24 é imediato que B 2 F2 = a pois B 2F1 + B 2 F2 = 2a (definição de à elipse (Figura 8. isto é. Por outro lado. F1 e F2 . a forma da 2 43) {:::_ b) x -4y-8 O. pode-se proceder como suge- 41) 47) (0.. 0) é quase circular e no caso de F1 = F2 . Cap.5m mais "achatada" é a forma da elipse. um ponto P pertence Pela Figura 8. a ponta y . ELIPSE Centro: é o ponto médio C do segmento F1 F2 . (±2/2. (0. tal que a p u a A 1A 2 no seu ponto médio. distância d(F1.2x.23: fixam-se dois percevejos em pontos arbitrários F1 e F2 amarrando-se neles as extremidades de um fio não esticado. (0. 4) ly=t 48) (2.0). Eixo maior: é o segmento A 1A 2 de Definição comprimento 2a (este segmento Elipse é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos contém os focos). F2 ) está próximo de zero. F1) e d(P. ---------->l fixos desse plano é constante. e um número real positivo a com 2a > 2c. ~ Sl)a) 4x 4=0. Chamando de 2a a constante da definição. J8> re a Figura 8.0). Excentricidade da elipse é o número real e=~ (O<e< 1) a A excentricidade é responsável pela "forma" da elipse: elipses com excentricidade perto de O (zero) são aproximadamente circulares. F2 ) será sempre igual ao comprimento Figura 8. a elipse 53) a) (2.±2) Se variarmos as posições de F1 e F2 mantendo fixo o comprimento do fio. se d(F1. Um 2 49) a) x +6x 4y+21=0 lápis que deixa o fio distendido marca o ponto P. descreverá a elipse e.24 Consideremos no plano dois pontos distintos. A 2 .24. B 1e B2. respectivamente. tem-se se a elipse tem seu eixo maior sobre Ox ou sobre Oy. Observando a Figura 8. cujas órbitas b2x2+a2y2= a2b2 elípticas têm excentricidades bem maiores. vem 0.25 y maioria dos planetas. Figura 8. Consideraremos dois casos: -+-=1 b2 a2 1°) O eixo maior está sobre o eixo dos x y Seja P(x. o eixo maior está sobre Ox.2a 2 cx +a 2c 2 =a 4 . 2°) O eixo maior está sobre o eixo dos y ma de eixos cartesianos.28). I 1 1 I I a-yx-+y--2cx+c~ =a--ex Observação a 2 ( x 2+ y 2 .25.2a 2 ex +c 2 x 2 2 A lo lei do astrônomo alemão Johannes Kepler (1571-1630) é expressa por: ''qualquer a 2 x 2 +a 2y 2 . O) e F2 (c.02.2a 2cx +c 2 x 2 planeta gira em torno do Sol. basta obser. 2cx +c ) = a 4 . 0). a de Júpiter 0. o que signifi- ca dizer que suas excentricidades estão perto de zero. F2 ) = 2a var onde está o maior denominador (a 2 ) na sua equação reduzi- ou da. A maioria dos planetas tem órbitas aproximadamente circulares.09.26) de focos fi (-c. a órbita da Terra tem excentricidade Como por (2) tem-se a 2 . estará sobre Oy. Como ele é denominar de y 2 . na equação reduzida X 2 y2 -+-=1 4 9 a o maior denominador é 9. resulta 0. obteremos a equação reduzida Equações Reduzidas x2 y2 Seja a elipse de centro C( O.967 (quase 1) e ele leva apro- ximadamente 76 anos (período de revolução) para dar uma volta em torno do Sol.25 dá uma idéia das trajetórias da Terra e de Halley com o Sol num dos focos.27 Pela definição em ( 1).27. Com a finalidade de obtermos uma equação de elipse. t Como em toda elipse tem-se a > b (ou a 2 > b 2 ).21 e Dividindo ambos os membros da equação por a 2b 2 . para citar apenas algumas. 0). y d(P. descrevendo uma órbita eUptica. teremos que referi-la ao siste.28 Figura 8. constituem uma exceção à Figura 8. No caso. 0. para saber Figura 8.26 temos . Cap.c 2 = b 2 . Iniciemos pelos casos mais simples. que é a equação reduzida para este caso. y) um ponto qualquer de uma elipse Observação (Figura 8. Se esse for denominador de x 2 . A Figu- ra 8. (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) Por exemplo. F1 ) + d(P. o eixo -3 maior da elipse está sobre o eixo dos y (Figura 8. todas as infinitas elipses com esta excentricidade têm a mesma forma (diferem 2 apenas pelo tamanho). da qual o Sol ocupa um a2x2-c2x2+a2y2=a4-a2c2 dos focos".05. com procedimento análogo ao 1o caso. 8 Cônicas 179 180 Vetores e Geometria Analítica e . O "campeão" de excentricidade no sistema solar parece ser o Cometa de Halley com e = 0. a de Marte 0. Caso contrário. Por exemplo. Mercúrio e Plutão. vem Observemos. que se na equação anterior fizermos x = O.30 por 225: Logo. . para cada uma das elipses. ± 3) e (±2. dividimos ambos os membros da equação Figura 8. 0). os focos são F1 (O. os focos são F1 (-4.29 c) a 2 = b 2 +c 2 c) b 2 +c 2 9=9+c 2 Figura 8. . ± 3) e (±2. b) Gráfico: Figura 8. b) Gráfico: Figura 8. por outro lado. O) e a medida do eixo maior é 8. a =5 Trata-se de uma circunferência de raio 3..31. a 25 e o eixo maior da elipse está sobre o eixo dos x X2 y2 porque 25 é denominador de -+-=1 9 9 Então. d) e=-=- a 5 4) Uma elipse de centro na origem tem um foco no ponto (3. O) a 3 c 4 Figura8.. as interseções com os eixos são os quatro pontos (0. a= b = 3 a 2 = 25 :.. portanto. . 9 :. Solução a) Conduzindo a equação para a forma reduzida.29 A circunferência pode ser considerada uma elipse de excentricidade nula. O).. Determinar sua equação. 0) e F2 (4. tem-se a 2 = b 2 = 9 e. b 2 =4 b=2 I X o 00 -2 12 - d) a excentricidade. 8 Cônicas 181 182 Vetores e Geometria Analítica 9 .. vem y = ±3 e ~ ~ X~ y~ para y =O.Jii) e F2 (O. o que confirma as interseções com os eixos em (0. a) a medida dos semi-eixos. 4x 2+y 2 =16 ou -+-=1 4 16 y Exemplos Maior denominador: 16 (denominador de y 2 ) 4 Nos problemas de l a 3. Jii) 9x 2 25y 2 225 --+--=-. 1) 9x 2 +25y 2 =225 Solução c) a 2 =b 2 +c 2 16=4+c 2 c2 =12 e c=Jii \ bJ a) Para expressar a equação na forma reduzida. determinar Logo. 16 :. b =3 b) Gráfico: Figura 8. d) c e=-=--=--=~- Jii 2/3 J3 225 225 225 a 4 4 2 ou 2 2 3) x +y -9=0 X2 y2 -+-=1 Solução 25 9 2 a) A forma reduzida desta equação é y Maior denominador: 25.31 c=O 25 = 9+c 2 Portanto. portanto. Cap.30. vem x = ±2. os dois focos coincidem com o centro da circunferência. a=3 2 b =4 . c) os focos. a 2=16 . c=4 -3 c o d) e =-=-=0 Logo.. b=2 e. a=4 ( ~ b) um esboço do gráfico. Logo. Y Neste caso. . a equação procurada é (x-h) 2 (y-k) 2 x-) y-' ---+---=I -+-=1 b2 az 16 7 com h = 4 e k = -2. Se eliminarmos os denominadores...8x + I6) + 3( y 2 + 4 y + 4) = 36 que é a forma padrão para este caso. 8 Cônicas 183 184 Vetores e Geometria Analítica Solução Como o foco é ponto do eixo do x.. utilizamos as fórmulas de translação Logo. (x-4) 2 (y+2) 2 ---+---=1 que substituídas em (3) resulta 9 12 ··········X. sua resulta equação reduzida é x'2 y'2 ou -+-=1 (3) a2 b2 . sua equação é da forma Logo. obteremos outra forma da equação da elipse: Figura 8. k) :f. Tendo em vista que o centro da elipse é (0. menor de medida 6. Outras Formas da Equação da Elipse Mas Seja uma elipse de centro C(h...=. tem centro C(4. a =4 Uma outra forma da equação da elipse será apresentada no próximo exemplo. excentricidade Mas e= 21 e e1xo . Consideraremos somente os casos de os eixos 2b = 6 .32 4( x 2 . 0). Sendo c I a 1°) O eixo maior é paralelo ao eixo dos x y e = ... Como o eixo maior mede 8. Precisamos determinar a e b. 0). a-= 9 + . ... donde a-= 12 Para expressá-la em relação ao sistema 4 original xOy. obtemos um novo sistema x'O'y' (Figura 8.. a2 . Obter uma equação desta elipse. (0.. a equação desta elipse é da forma 2°) O eixo maior é paralelo ao eixo dos v 1 ' De modo análogo ao lo caso... b2 a2 2a =8 :. . isto é. cujo eixo maior é paralelo ao eixo dos y.. desenvolvermos os quadrados e ordenarmos os termos.. a equação da elipse é x' = x h e y' = y .. 0) e um dos focos é (3. I) Uma elipse... vem c = - Utilizando uma conveniente translação de a 2 2 y' De eixos...... conclui-se que Exemplos c= 3.. Cap. ou cj Solução Como o eixo maior da elipse é paralelo ao eixo dos y.. .. .k . -2).. temo. b=3 da elipse serem paralelos aos eixos coordenados. ~+L=1 2 a2 b2 (x-h) (y-k) 2 ---+---=1 Precisamos determinar a e b. Logo.32) em relação ao qual a elipse tem centro na origem e eixo maior sobre o eixo O' x'. e) os focos..2x + 1) + 9(y 2 . 4) b) o centro. sempre pode ser representada por uma equação geral que terá a forma d) Confrontando (4) e (5). +---=1 (5) a2 bz 2 2 4x +3y -32x+l2y+40 O onde h e k são coordenadas do centro.33 a) sua equação reduzida. .2) e A 2 (4. os focos são: a) Iniciemos escrevendo a equação na forma F1 (1-JS.34 fórmulas de translação OA'= OA. Tracemos a 2 b- ou a circunferência de centro O e raio igual ao semi-eixo mai- 4(x 1) 2 + 9(y. f) a excentricidade.34). O) e B 2 (1. vem c = J5 e. intercepta a (x -1) + (y. e pelo gráfico tem-se: 2) Dada a elipse de equação 4x 2 + 9y 2 . Equações Paramétricas y tar a construção dos trinômios quadrados nestes dois parênteses. 2) e F2 (1 + JS. Assim.2) 2 = 36 or a da elipse (Figura 8. quando a = b esta equação poderá representar 2 b =4 . 2).2) Figura 8. d) os vértices. A reta 2 2 que passa por P e é paralela ao eixo dos y. Em particular.33. De a 2 = b 2 +c 2 Solução ou 9 = 4 + c 2 . b= 2 uma circunferência. Então temos 2 2 4(x 2 . concluímos: ax 2 +by 2 +cx +dy+f =0 a 2 =9 . q~alquer elipse cujos eixos estão sobre os eixos coordenados ou são paralelos c) O gráfico: Figura 8.4y +4) = -4+ 4(1) +9(4) Consideremos a elipse de equação ~ + ~ = 1. resulta Seja P(x. a eles.y) um ponto qualquer desta elipse. 2) (4x 2 -8x)+(9y 2 -36y)=-4 ou f) Excentricidade: e = ~ = J5 a 3 2 2 4(x -2x)+9(y 4y) -4 onde agrupamos os termos de mesma variável e evidenciamos os fatores 4 e 9 para facili. que é uma equação geral desta elipse.2) = 1 (4) circunferência em A e o raio AO determina com o eixo dos 9 4 X Um ângulo 8 . a=3 com a e b de mesmo sinal. que é a forma padrão da elipse de eixo maior paralelo ao eixo dos x. Utilizando em (4) as Do triângulo A' OA vem Figura 8.8x . determinar: A 1(-2. y vem imediatamente: C(l.36y + 4 =O. e) Para determinar os focos precisamos do valor de c. c) o gráfico.. 8 Cônicas 185 186 Vetores e Geometria Analítica ou b) Como a equação (4) é da forma padrão (x-h) 2 (y-k) 2 ou -. e dividindo ambos os membros por 36. B 1(1.cose x'=x-1 e y-2 ou obtemos X= a COS8 x'2y'2 -+-=1 9 4 que é a equação reduzida desta elipse.- Cap. portanto. ::. 2n: 1 { y = bcos8 a2 b2 donde descre. a= 5 e b = 4.: o:-:::.:cose e . 54x + 16y + 61 =O é ') 2 2 x. são equações paramétricas desta elipse. O) e "descreve" a elipse no sentido anti- horário.: cos 2 e e ------:. para cada valor de corresponde um e um só ponto P da elipse e.400 e Observemos que.k = b sen e y = k + b sen O Elevando ao quadrado ambos os membros das duas equações. e. (x-3) (y+2) . b2 4 9 que é a equação da elipse dada inicialmente. x =5 cosO Observações 7 ' { y = 4sen8 X y X. portanto.. -2).- b- 2 sen e. portanto.. 7 + I ( 1 = cos 2 e+ sen 2 e ) ----.3) = cos 2 8 e (y + 2) = sen 2 8 x h+bcose 4 9 (eixo maior paralelo a Oy) {y k+asene . temos 2 2 e ( x .7 a- :.+ = 1 (a cargo do leitor) a. Logo. Exemplos e Obter equ<i. suas equações paramétricas são X= 3+ 2 cose (7) {y = -2 + 3sen e x =bcose {y sào equações paramétricas desta elipse. e.b) e "descreve" a elipse no sentido horário. . e é o parâmetro e o sistema Solução x =a cose 1) Aformareduzidadeequação 16x 2 +25y 2 =400 é (6) {y bsenO X2 y2 -+-=1 25 16 constitui equações paramétricas dessa elipse. neste caso o ponto P parte de (O. sendo a= 3 e b = 2. e:-:::. asen e Por outro lado. Então. das equações (7) vem c) Quando o centro da elipse for C(h. y- a) Das equações (6) vem -::.= sen a b e e.ões paramétricas da elipse de equação: y bsene 1) 16x 2 +25y 2 . 2) 9x 2 +4y 2 -54x+16y+61=0 quando e varia de O a 2 n:. Cap. a ordenada y do mesmo ponto é calculada substituindo o valor de x na equação da elipse: d) O sistema de equações 2 2 X= a sen e (acose) + y ::. b) No caso da elipse ser I (eixo maior sobre Oy). o ponto P parte de (a. Somando membro a membro. Logo. pela translação de eixos obtemos 3 = COS é e y + 2 = Sell 8 X- Xh a cose ou {X h +a cose (eixo maior paralelo a Ox) 2 3 {y .ve de outra forma a mesma elipse dada pelo sistema (6). k). portanto. 8 Cônicas 187 188 Vetores e Geometria Analítica Como x é abscissa de um ponto da elipse. porém. o centro da elipse é (3. resulta 2) A forma padrão de 9x 2 + 4y 2 . 0). 3 3 44) Determinar os focos da elipse de equações x = 4 + 3 cos t e y = -2 + 5 sen t .5 =O 28) 9x 2 +16/ -36x+96y+36=0 5) x2+ 25 10) 9x 2+ 25 29) 25x 2 +16y 2 +50x+64y-311=0 11) Esboçar o gráfico de uma elipse de excentricidade 30) 4x 2 +9y 2 -24x+l8y+9=0 1 b) 1 3 a). 34) x 2 +4y 2 =4 37) 9(x-1) 2 +25(y+1) 2 =225 14) focos F(±3.3) e excentricidade J3. 2 5 y = 3sen e y = -1+sene 19) centro C( O.5).36y+4 =O 12) focos F1 (-4. esboçar o gráfico e determinar os vértices A 1 e A 2 .). paramétricas. 0). "da de 20) centro C(l.8x. 4) 9x 2 +5y 2 . O) e excentricidade -.fi COSe . obter uma equação da elipse que satisfaça 45) Determinar uma equação da curva gerada por um ponto que se move. soma de suas distâncias aos pontos (4. 35) x 2 +y 2 =36 38) 49(x + 7) 2+ y 2 = 7 15) focos F(O. 2 X= 5 cose x =2+4cose 17) centro C(O. 4). -1 ). -3) e F 2 ( -1 . um foco F(-1. c)- 2 3 5 31) 16x 2 +y 2 +64x-4y+52=0 Em cada um dos problemas de 12 a 19. "dade 22) focos F 1( -1. 33) 4x 2 +9y 2 . um vértice A(0. determinar uma equaçiio da elipse que 32) 16x 2 +9y 2 -96x+72y+144=0 satisfaça as condições dadas. de modo que a as condições dadas. obter equações paramétricas da elipse de equação dada. um foco F(5. 2) e excentnct 2 Problemas Propostos 24) vértices A 1(-7. 18) vértices A(O.. Em cada um dos problemas de 28 a 33. que é a equação da elipse na forma padrão dada anteriormente. obter uma equação geral da elipse dada por equações 1 16) vértices A(±lO.2)e A 2 (-1.0). eixo maior igual a 10. eixo menor igual a 6. focos no etxo dos x. Esboçar o gráfico. 5) e excentnc1 32 . tangente aos eixos coordenados e eixos de simetria paralelos aos ei- 2) 25x 2 +4y~=100 7) xos coordenados. determinar a equação reduzida. Em cada um dos problemas de 20 a 27. 25 4 27) centro C(2. "da de . 0). O) e vértices A(±4. e = e passando por P( 2. 13) focos F1 (0. 0) e F2 (4. 36) 9x 2 +16y 2 =1 39) 4x 2 +9y 2 -54y+45=0 2 Nos problemas de 40 a 43. Esboçar o gráfico.. Cap. 2 1) =1 6) 4x~+9y 2 =25 26) centro C(-3. 4) e excentnc1 . 2). O) e tangente ao eixo dos y. -1) e (4. 3) 9x 2+16y 2 144 o 8) 4x 2 + 25y 2= 1 os vértices A 1 e A 2 . os focos e a excentricidade das elipses dadas. o centro. 1 . -1) e F2 (2. 41 ) {X= cose 43 ) {X= . 8 Cônicas 189 190 Vetores e Geometria Analítica Somando membro a membro resulta 3)2 + 2)2 21) eixo maior igual a I O e focos F 1(2.-5) e F2 (0. 2 . ±3) e excentnc1 J3 . . ±6) e passando por P(3. 23) focos FJ(-3. 2). 7) seja sempre 12. ·~··----- 4 9 . eixo menor igual a 10. Nos problemas de 34 a 39.2)eeixomenorigua1a2. 2) e F2 (3. 0). 25) centro C(O. "dade-. os focos e a excentricidade das elipses dadas. 1). focos no eixo dos x e passando pelo ponto 40) 42) { y = Ssene { y =3 + 2sene ( 215. .45 =O 9) x 2 +2y 2 . 5). Em cada um dos problemas de 1 a 10. A 2 (-1. 20) 5x 2 +9y 2 -lüx -72y-31=0 24) x 2 +9y 2 +8x. e = - 9 16 4 Respostas de Problemas Propostos x'2 y'2 J5 33) .± 1).. -1). de modo que sua distância ao ponto A(3.= 1. 0).-1). 0). F(3.+ . 1). J5 30) . -3). eixo maior sobre Ox. -4 ± . 22) 9x 2 +5y 2 + 18x -lOy -166 =O 26) 5x 2 + 9y 2 + 30x =O 48) Encontrar uma equação da elipse de centro (0.J2i). e = - . -4 ).J5. Sabendo que a distância mais próxima do satélite ao planeta 16 4 é de 300 km.+ .J7.. - Cap.J21. C(3. 0). A 1(-2. -5). F(±-. F ± . A 1 (-1. e fj 34) {X= 2 cose 36) x = cose 31 38 {x=-7+~cose 5 2 2 y = sene { y =-sene y = . . 2/6 4 4 2 41) 9x +y -9 =0 2 43) X2 + 2y 2 + 4y = 0 5) A(±5. C(l. 2). F( O. e = - 49) Determinar uma equação das circunferências inscrita e circunscrita à elipse de equa. F(-2.+ . F(2 ± . 0). 2±M). Ji4) e Q( 2. 0). -2) seja igual à metade de sua distância à reta y -2 =O. F(± ~5 . 5 2 6 3 1 2) A(O. A 1(-2. e = - 5 5 F(± J5. 8) A(±_!_. F(±J7.J15 num dos focos da elipse. 0). 0). A 2 (6. ±5). 50= O 17) x 2 +4y 2 -36=0 49) a) x 2 +y 2 =1 e x 2 +y 2 =16 8x 2 b) x 2 +y 2 -8x+4y+16=0 e x 2 +y 2 -8x+4y+ll=O 14) 16y 2 -112 o 18) + =I 50) 600 km 81 36 15) 4x 2 + -12 =0 19) 5x 2 + 9y 2 . 16 9 4 ção dada. 0). 3). 2). 8 Cônicas 191 192 Vetores e Geometria Analítica 46) Determinar uma equação da curva gerada por um ponto que se move.. -6) 46) 4x 2 + 3y 2 . -2).+ . 0). x'2 y'2 3 29) l6 + 2S = 1. 2).= 1. A 2 (0.= 1. x'2 y'2 . F(3± JS. A 1 (6. e= S a) l6x 2 +y 2 -16 O 2 2 b) 4x +9y -32x+36y+64=0 x'2 y'2 . 21) 25x 2 +16y 2 -100x-64y-236=0 25) 4x 2 + y 2 .J2l 0) e = J2j 4 2 ( lO ' . todas elas com a= 2c e b = cf3 45) 9x 2 +5y 2 -72x-30y+9=0 47) 2x 2 + y 2 = 16 2 2 12) 9x + 25y = 225 16) 48) 3x 2+ 4y 2 = 48 100 75 13) 2x 2 + y 2 .= 1. -3). F(±. 0). 2). 3 ).2y.36y+43 =O 47) Determinar uma equação da elipse de centro (0.J2l 7) A( O. 6). ± fj). -3).3 =O sabendo que passa pelos pontos P( I. A 1 ( -2. C(-2. 2). -1).2.J7 2 28) . F(±2J6. -7). F(1±J5. 45 =O . e 9 4 3 1) A(±5. excentricida- 1 23) 3x 2 +4y 2 -16y-11=0 27) x 2 +4y 2 -4x+8y+4=0 de .J7 32) . e 6) A(±-. 25 =O 2 2 42) x +4y -4x-24y+24=0 lO) A(±~. ±3). calcular a maior distância. e y = 6sene y = 3 + 2 sen e 3 2 2 2 40) x + y 2 . ± 2). -3). e = - 9 4 3 50) Um satélite de órbita elíptica e excentricidade _!_ viaja ao redor de um planeta situado 3 t2 Y' 2 31) x + . x'2 y'2 . 9) A<±. e = . A 1(3. C(2. 0). 0). C(-1. e 2 ~ 0). -8). 5 35) {X= 6 cose 37) X= 1+ 5 COSe 39) {X = 3 COSe {y = -1 + 3 sen e 4) A(O. F2 ( -1. C(3. 0). F1 ( -1.± . F(O.= 1. A 2 (-2. A 2 (4.fi ). eixo maior sobre o eixo dos y. A 2 (3. e . 0).J7 ). 2) e (4. -1).J7 sene J7 4 3) A(±4. e=- 5 3 3 5 44) (4.e que passa pelo ponto (2. 0). -2).24x + 20y + 48 =O 11) a) Existem infinitas. e=-- . F(O. As assíntotas são retas das quais a hipérbole se aproxima cada vez mais à medida que os pontos se afastam dos vértices. Tracemos as retas r e s que contêm as diagonais do referido retângulo e. a hipérbole é uma curva com dois ra- mos.36 a seguir explanada. a partir destes elementos. Cap. sendo a a medida do semi-eixo real e b a medida do semi-eixo imaginário. Observemos que os pontos A 1 e A 2 são pontos da hipérbole porque satisfazem a (1) definição (1). Hipérbole é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja diferença das distâncias. a partir de C. Definição Com base nesta figura temos os elementos da hipérbole. esta particularidade das assíntotas constitui um excelente guia para traçar o esboço do gráfico. Chamando de C mos da hipérbole. F2 ) = 2c e um número real Centro: é o ponto médio C do segmento F1 F2 • positivo a de modo que 2a < 2c. F2 )I= l-2al = 2a. conseqüentemente. e=- a pendiculares ao diâmetro F1 F2 • As quatro extremidades destas cordas são os vértices de e por ser c > a.d(A 1. constrói-se o retângulo MNPQ e. com Para possibilitar um traçado bem melhor da hipérbole e tecermos considerações a B 1B 2 . do triângulo C A 2 M obtemos a relação de larga aplicação nos problemas de hipérbole. Assíntotas: são as retas r e s.36 conhece o centro C e os valores a e b (ou a e coube c). ld(A 1. F1). a dois pontos fixos desse plano é constante. Chama-se excentricidade da hipérbole o número Tomemos um valor arbitrário a. pela equação (1 ). e somente se. tracemos uma circunferência de centro C e raio c. Vértices: são os pontos A 1eA 2 • Chamando de 2a a constante da definição. Na verdade. Esta aproximação é "contínua" e "lenta" de forma que a tendência da hipérbole é tangenciar suas assíntotas no infinito. Com o que já vimos na construção da hipérbole. os c pontos A 1 e A 2 tais que d(C. A 1 ) = d(C. Elementos Focos: são os pontos F1 e F2 • Consideremos no plano dois pontos distintos F1 e Distância focal: é a distância 2c entre os focos. Observemos que o retângulo MNPQ tem dimensões 2a e 2b.F1)=c-a e d(A 1. respeito de seus elementos. F2 tal que a distância d( F1 . a< c. F2 ) = ±2a Eixo imaginário ou não-transverso: é o segmento B 1B 2 de comprimento 2b. e somente se. a hipérbole conforme a figura. Na verdade.l A 1A 2 em C. o ponto médio do segmento F1F2 . De fato. para A 1 .35) se.35 e hipérbole se. faremos a construção da Figura 8.F2 )=a+c Como se vê. tem-se e > I . em valor absoluto. A 2 ) =a. F2 ) = 2c. tem-se d(A 1. e marquemos sobre F1 F2 . um ponto Eixo real ou transverso: é o segmento A 1A 2 de comprimento 2a. e o ângulo assinalado na figura é chamado abertura da hipérbole. d(P. . FI) d(P. os dois ra- Consideremos no plano dois pontos quaisquer FI e F2 com d( F1 . esta fica determinada quando se Figura 8. P pertence à hipérbole (Figura 8. por fim. Por estes pontos tracemos cordas per. 8 Cônicas 193 194 Vetores e Geometria Analítica HIPÉRBOLE um retângulo MNPQ inscrito nesta circunferência. e daí. Naturalmente. Ainda. um ponto P está na Figura 8. as assíntotas r e s. 38 Seja a hipérbole de centro C(O. Observando a Figura 8. neste caso é denominada "hipérbole eqüilátera". Cap.~ = 1 ou y = -4. chegamos à equação Observações a) É imediato que os vértices são A 1 (-3. 0) e F2 (c. quanto maior a excentricidade. o retângulo MNPQ se transforma num quadrado e as assíntotas serão perpendiculares (8 = 90°). ou seja. obteremos . Equações reduzidas Figura 8.d(P. em coordenadas ~-~=1 (2) 9 4 = 2a Figura 8.39 da elipse. Isto signifca que a hipérbole não corta o eixo dos y. F1). y) um ponto qualquer de uma hipérbole A partir de um caso particular. maior será a abertura. e lembrando que c 2 = a2 + b2. se na equação (2) fizermos x = O. F2 >I= 2a x2 y2 ou. Pela definição em (1 ). y De fato: se na Figura 8. tem-se Sua equação reduzida é id(P.38. obtemos a equação reduzida Ora. Seja a hipérbole da Figura 8. a abertura e seria maior. b) Como a equação apresenta somente potências pares de x e y. donde resulta ~ = 1 ou x = ±3. 8 Cônicas 195 196 Vetores e Geometria Analítica A excentricidade da hipérbole está intimamente relacionada com a sua abertura. A hipérbole. 0). Estes também seriam obtidos 2 fazendo y =O na equação (2). serão feitas (Figura 8. em conseqüência. com procedimento análogo c ao I o caso. Consideraremos dois y y casos: 1°} O eixo real está sobre o eixo dos x.37 onde a 2 = 32 = 9 e b 2= 2 2 =4 Com procedimento de simplificação análogo ao que foi usado na dedução da equação Figura 8. que são as abscissas 9 que é a equação reduzida para este caso. Quando a = b.37) de focos F1 (-c. y2 Por outro lado.39. 0) e A 2 (3.36 tivéssemos tomado um valor para "a'' menor do que o 2°) O eixo real está sobre o eixo dos y anterior. dos vértices. algumas observações. diminuir o valor de "a" (mantendo c fixo) signifca aumentar o valor de e a Assim. 2 4 que é uma equação impossível no conjunto dos reais. Exemplo Seja P(x. 0). 0). . o novo retângulo MNPQ seria mais "estreito" e. mais ''abertos" estarão os ramos da hipérbole. a hipérbole é simétrica em relação ao eixos coordenados e em relação à origem. Cap. Então. P3 ( -6. 8 Cônicas 197 198 Vetores e Geometria Analítica Por exemplo.. as declividades das assín- a2 b2 Solução totas serão m ::= ±~. 2J5). O) e F2 (2J2. as assíntotas têm equações a 2 2 2 1 . y c) os vértices.. a) Passando para a forma reduzida. da mesma forma. precisamos do valor de c: c) As assíntotas r e s são retas que passam pelo centro da hipérbole. d) Para determinar os focos. a 3 e) Excentricidade: e = . y x. obtém-se b x2 / ---=1 Exemplos 4 4 que representa uma hipérbole com eixo real sobre Ox.40 sistema. suas equações são do tipo y mx.. sendo m a declividade. também pertencem os pontos P2 (6. determinar.=.. O) e A 2 (2. a=2 ou 4-3 =1 2 b =16 :. 2 c =4+16 b 2 A assíntota r tem declividade m 1 c=fiO =2J5 a 3 Focos: F1 (0. -2J5) e F2 (0. obtém-se e) Excentricidade: e=~= 2J2 = J2 a2 2 'J b 2 ' . o ponto P1 (6.x (pms . ±2).) (simétrico de P1 em rela..= 1) Figura 8. a= b = 2 (hipérbole eqüilátera) b) um esboço do gráfico. b) O gráfico com assíntotas: Figura 8. c) Vértices: A 1 (0. Logo. c 2 = 4+4 c=J8 =2J2 Focos: F1(.41 x. f) as equações das assíntotas.= . 2) ção a Ox). Solução a) Passando esta equação para forma reduzida. no caso.1.=. a 2 = 4 :. Jl2) pertence a esta hipérbole por ser verdadeira a afir- y que representa uma hipérbole com eixo real sobre Oy. f) Assíntotas: y = ± x (pois . c) Vértices: A 1 (-2. a origem do c2=a2+b2 Figura 8. O) d) os focos. P1 em relação à origem). Jli) (simétrico de P1 em relação a Oy) e P4 (-6. 0).. -Jii) (simétrico de ou A(O. J0.= -v 5 Portanto. b 2 e a assíntotas tem declividade m 2 = c 2J5 r.-4yL::::-16 OU ---=1 4 16 a 2 . mação Então.41. a 2 1 y -X e y X f) Assíntotas: y = ±.=-) 3 3 2 b 4 2 2 2 Quando a equação da hipérbole é da forma L-~= 1. a 2 = b 2 = 4 :. d) c 2 = a 2+ b 2 e) a excentricidade.. b) O gráfico com assíntotas: Figura 8.2J2. -2) e A 2 (0. para cada uma das hipérboles: a) a medida dos semi-eixos. b=4 9 4 e. Nos problemas 1 e 2.40. -O~---h-_-c ______ h _____h_+_c----~x Solução Figura 8. 1°) O eixo real é paralelo ao eixo dos x Assim. temos c) um esboço do gráfico. na qual precisamos determinar a e b. sempre pode ser representada por uma equação geral que terá a forma Corri procedimento análogo ao que foi visto y para a elipse. O).. ---=1 encontramos 9 16 5(x 2 . ili . determinar que é afonna padrão para este caso (Figura 8.. 0) e F2 (5.. que é uma equação geral desta hipérbole.-+-~ Solução A 1 C A2 F (x-h)2 (y-k)2 -1 Tendo em vista que os focos são pontos do eixo dos x. (0. hipérbole (Figura 8. isto é 2a 6. excentricidade é sempre igual a -/i y e as equações das assíntotas são sempre iguais a y = ± x. k) :f. -2) é um de seus focos. -2). qualquer hipérbole cujos eixos estejam sobre os eixos coordenados ou são paralelos a eles. Logo. . esboçamos o gráfico desta 3) Uma hipérbole tem focos em F1 (-5. O) e a medida do eixo real é 6.4y 2 .. e) os focos.(y + 2)2 = 1 Portanto.4(y 2 . Da relação c 2 = a 2 + b 2 ou 9 = 4 + b 2 . a equação desta hipérbole é da forma ~-b'2- 1/ o centro é o ponto médio de A 1A 2 : C(3.43) nar sua equação reduzida.6x + 9).54x + Sy + 113 =O.43 O eixo real mede 6.. 0).6x).. a 3. vem b = 5..42). 2y) = -113 F(6. 2 De F(±5. sabendo que 9(x 2 ..y) com a e b de sinais contrários. Logo. -2). f) a excentricidade. Solução Em função dos dados do problema. (x . uma equação da hipérbole é De ou 25 = 9 + b 2 .. Figura 8. em toda hipérbole eqüilátera. Determi. 8 Cônicas 199 200 Vetores e Geometria Analítica a Observemos que. desenvolvendo os quadrados e ordenando os termos. vem b 2 = 16 . Sendo o eixo real A 1A 2 paralelo a Ox.' vem c= 5 (distância de cada foco ao centro). resulta a equação ax 2 + by 2 + ex + dy + f = O P(x. -2) e A 2 (5. d) os vértices.3)2 .42 a) Iniciemos escrevendo a equação na forma (9x 2 -54x)-(4y 2 -Sy)=-113 Exemplos ou 1) Determinar uma equação da hipérbole de vértices A 1(1. Consideraremos somente os casos de os 5x 2 -4y 2 -30x-16y+9=0 eixos da hipérbole serem paralelos aos eixos coordenados. a) sua equação reduzida.1. a equação da hipér- I I bole é da forma -2 . De igual modo ao 1o caso.. F)= 3.4(y 2 + 4y + 4) = 20 2 Outras Formas da Equação da Hipérbole 5x -30x+45-4/ -16y-16-20=0 Seja uma hipérbole de centro C(h. A 1 ) = 2 e c= d(C. I É imediato que: a= d(C. Cap. k 2) Dada a hipérbole de equação 9x 2 . 2°) o eixo real é paralelo ao eixo dos y b) o centro. a equação procurada é 4 5 y2 Eliminando os denominadores. portanto. .44.2) e A 2 (3. confrontando esta equação com a equação da hipérbole em (5). I). sec 2 e-tan 2 e=l y d) Confrontando (3) e (4). 3n) .1 + J13) F1(3. 27t. vem imediatamente: C(3.%) será descrito o ramo direito da hipérbole f) Excentricidade: e = ~ = ... 8 Cônicas 201 202 Vetores e Geometria Analítica onde agrupamos os termos de mesma variável e evidenciamos os fatores 9 e 4 para facili- tar a construção dos trinômios quadrad0s nestes dois parênteses.= tan e e . Então. a =3 fazer 2 b =4 . resulta (y-1)2 _(x.. Escrevendo esta equação como ou a b- 9(x 3) 2 4(y -36 (5) e dividindo ambos os membros por -36. 2 O SIStema e) Para determinar os focos precisamos do valor de c. cose cose c) Um esboço do gráfico: Figura 8. Figura 8. 4) e daí concluir que para O parâmetro e. o ramo esquerdo (x:::. obtemos x'2 2 --=1 sen e + 1 = _1_ 9 4 cos 2 e cos 2 e que é a equação reduzida desta hipérbole.~ = 1 . fórmulas de translação Se na identidade x'=x-3e y -1 sen 2 e + cos 2 e = 1 teremos dividirmos ambos os membros por cos 2 e -:f.o. concluímos: Portanto.44 Jl3) e F2 (3.. n 3n . 0 :::.[1}_ n. A 1(3. Utilizando em (3) as igual a 1. a 3 (x :2: a) e quando percorre o intervalo (2 2 . 1 Quando e percorre o intervalo (-%. vem onde h e k são as coordenadas do centro. =1 (3) significa dizer que ~ e '!_ são números reais cuja diferença de seus quadrados é sempre 9 4 a b que é a forma padrão da hipérbole de eixo real paralelo ao eixo dos y. b=2 ~ = sece e a e pelo gráfico tem-se: .= sec e . e :::. -a). exclmdos - 2 e -. Da relação x =asece 2 2 { y=btane a + b ou 9+4 vem c = J13 e. podemos 9 . temos Equações Paramétricas 9(x 2 -6x+9)-4(y 2 -2y+l)= 113+9(9)-4(1) 2 2 Consideremos a hipérbole de equação ~ . os focos são constitui equaçàes paramétricas dessa hipérbole. Cap. ou b) Como a equação (3) é da forma padrão (y-k)2 _(x-h)2 =1 a2 b2 (4) (:~~: r -Co~ r sen e +I 1 8 Como . . a== 3 e b 2. 2 2 29) I) A forma reduzida da equação 4 x ..= 1 (a cargo do leitor) 23) Exemplos 9 3 24) ' Obter equações paramétricas da hipérbole de equação: e. b) ~ c) 2 3 2 40) . as equações - (6. (3J2.45 apenas indica pontos da tabela para alguns ângulos no intervalo 2 37) ( 7) x 2 -4y 2 +16=0 8) x 2 -y =1 [-~. (x+4) 2 (y-2) 2 . Logo. --..-2) 4 Ü I I X 17) f I I ~ ~~~~~~~ 1t b) Quando o centro da hipérbole for C( h. 2) 2!32 -----.= 1 33) ( . 0).yx 3sec e 4 9 4 9 34) { 2tane 3) 16x 2 -25/-400=0 4) 9x 2 -16y 2 =144 35) são equações paramétricas desta hipérbole. Cap. x2 2 y2 x2 1) --L= 1 2) . k)..--. (6.. 5) 4x 2 -5y 2 +20=0 6) x 2 -2y 2 -8=0 36) ( A Figura 8. sendo a = 3 e b = J3 Logo.~} 9) y 2 -x 2 =2 2 10) y -4x =1 2 vértic JJ) 9y·= J 1X 2 ..: 19) 1 paramétricas são 1t -. 8 Cônicas 203 204 Vetores e Geometria Analítica y Observações () Ponto a) No caso da hipérbole ser cas são I (eixo real sobre Oy). a excentricidade e equações das assíntotas das hipérboles dadas. 2). 25) I) 4x 9y 2 36 O X = -4 + 3 SeC e 26) 2) x 2 -3y 2 +8x+l2y-13=0 { 27) y = 2+J3 tane 28) Solução são equações paramétricas desta hipérbole. o centro da hipérbole é (-4.2J3) 20) j x h+asece ou Jx h+btane 3 figura 8. eixo real ')((38) sobre Ox e excentricidade • 39) 5 a). aplicando a translação de eixos. 9y . 36 = O é Problemas Propostos 30) Em cada um dos problemas de I a 12.4 X 2 = 1 boça 13) Esboçar o gráfico de uma hipérbole (com suas assíntotas) de centro (0. esboçar o gráfico e determinar os vértices. 12) 2 Y2 .45 21) f {y = k + b tan e h = k +a sec e 2) A forma padrão de x 2 . portanto. respectivamente. 32) e..3y 2 + 8x + 12y -13 =O é 22) c conforme o eixo real seja paralelo a Ox ou Oy. 2J3) 18) ' 3 -2 . portanto. os 31) 9 4 focos. o) (3J2. suas equações paramétri- - o 1t (3.x----: ------- I I I satisfi 14) f 15) f 4 I I 16) f I I x btane 3\~3J216 1t { y = asece -. J3 tan e y = 3sece 24) vértices A(±3. X 2 .50y. 20) focos F(±4. eixo real sobre Oy. F(±Jl3. eixo real de medida 2. 2). 9=0 48) 9x 2 . um foco F(9. obter uma equação geral da hipérbole dada por equações 19) vértices A(O. F(±-J4i. 1) e eixo imaginário medindo 4-Ji. excentricidade · 3' X= tan e x = 2sece 51) 53) 23) vértices A(±4. -1) e (5. . y=±Sx 5 . O) e equações das assíntotas y = ±x.0). os Respostas de Problemas Propostos verttces. os 31) focos F1 (3. F(O. os focos. vértices A(O. obter equações paramétricas da hipérbole de equação 14) focos F(±5. excentricidade 2. es.. vértices nos focos dessa hipérbole.0). ±4). b) a metade de sua distância à reta x = 3.2). 3) seja 35) focos F1 (-1. 0). 2 3 46) x 2 -y='=l 49) 3x 2 . -5) e que seja hipérbole eqüilátera. 5) e excentricidade 2.= 1. 1) e eixo real medindo 4. ±3). 6). Esboçar o gráfico. -4) e (-3.y + 18x + 18 =O 18) vértices A(O. ±2). 37) centro C(-2.= 1 e 26) focos F(±3.2) e um foco F(-1. O) e um foco em (2.) <:: Encontrar uma equaçao . O) e que seja hipérbole eqüilátera.±Jl3). { { y = 4 + . Em cada um dos problemas 38 a 43. 1).Jil . y=±-x • 39) -4y 2 +6x+24y-31=0 . determinar a equação reduzida. vértices A(±3. 25 9 27) centro C(3.±2). um vértice A(l . x=4sece x = 2+3tane 50) { 52) { 5 y = 2tane y=1+4sece 22) centro C(O.. 0). -2) e um foco em (7. -2 + Jl3 ). Cap. dada. Em cada um_ dos problemas de 14 a 37. eixo real paralelo a Oy e passando por (3.0). distância focal 2. e=-. 4 45) 3y 2 . Jl3 3 boçar o gráfico. -2) e (5. ±2). -4) e (2. 4) e que seja hipérbole eqüilátera. -5) e F2 (5. e=-. 2). excentricidade . a excentricidade e equações das assíntotas das hipérboles dadas. 25 9 33) centro C(5. ±2) e equações das assíntotas y = ±_!_ x. vértices nos focos dessa elipse. 2) e (-5. Esboçar o gráfico. o centro. y = ±-x 2 2 o real 'Jil38) 9x 2 4y 2 18x 16y 43 O 41) 32x+4y+24 O Jl3 2 2) A(0. de modo que 34) vértices A 1 (-3. focos da elipse . 0).241 =O 17) focos F(±8. detenninar uma equação da hipérbole que satzsfaça as condzções dadas. 0) e passando por P(8. 36) centro C(2. ±5). 0).de h'1per / bo Ie com ctocos nos vert1ces / . a) igual a sua distância à reta x = 3.s42) 16x 2 -9y 2 -64x-18y+l99=0 2 3 40) 9x 2 4y 2 54x+8y+l13=0 43) 25x 2 40y O J4l 4 3) A(±5. 0). eixo imaginário medindo 4. 58) Determinar uma equação da curva descrita por um ponto que se move. da eI'1pse -X +/ .18x.+ . -2). 8 Cônicas 205 206 Vetare!> e Geometria Analítica . 25) vértices A(O. y~ 32) focos F1 (-6. 2 2 44) x 2 -4y =4 47) 9x 2 -16y +1=0 16) focos F(O. Es. 2 4 5_. . 4) e excentricidade 2. -1) e (-1.O). Nos problemas 50 a 53. 21) focos F(±5. 5 30) vértices em (5. 7 7 28) vértices em (3. sua distância ao ponto A(-1. 15) focos F(O. 57) Encontrar uma equação da hipérbole de excentricidade 2 e focos coincidentes com os 7 7 X. I) A(±2. 0). eixo real paralelo a Ox e passando por (0. 56) Encontrar uma equação da elipse com focos nos vértices da hipérbole L4 -~ =1 e 29) vértices em (2.1). paramétricas. c) o dobro de sua distância à reta x = 3. b = 8. 0) e equações das assíntotas y = ±2x: 54) Determinar os focos da hipérbole de equações X = 4 + J5 tan e e y = -5 + 2 sec e .25/. 1) e F2 (0. Nos problemas de 44 a 49. e=-. -2) e F2 (3. -3). ± -). I -16=0 35) 2x 2 -2y 2 -8x 20y-51 O 53) 3x 2 -4l+32y-76=0 24) 4x 2 -36 o 36) . 3). y = ±2x 16 9 2 2 ' 4x .2 . 0).A 1 (1. ± 2). ± 2).2). y fi ±-x 40) L_~= 1. .3y 2 . 3). C(-3. -2). -8) e (4. y=±-x . 10).fi y sece y = -1+3tan8 x = -3 + ~ sec e X= sec8 49) 19) 4x 2 28 O 31) 12y~ - 2 . -1).48y .25 O 54) (4..4 1O) A(O.- 3 9 4 2 2 3x. 9x 576 O 34) x.9y 2 .2).= 1 4 12 . A 1(0. 6x 25 O 52) 16x 2 .2).±2). -2) 55) 9x 2 -16y 2 -l44=0 25) 37) 56) 9x 2 +5y 2 . ± 1). A 1 (-5.e=. F(O. ± 3).J5 F(O. A 2 (3.J5 _ 8) A(±L 0).7 =O e 3x + 2y. C(O.2 r.. Cap. F(±2~. e J6 . A 2 (2.lOx + 12y + 40 =O O 45) 1=.2y. ± F(O. -fi9 11) A(± L 0). 1). 5). y=±x 9 36 2x . 3y 2 + 75 0 29) 4x 2 30) 9y 2 16x 36y+16 . 0). e y X x-2y+9=0 e x+2y-3::::0 2 5 .JS. F(-3± -v5.11 =O 1 7) A(O.2 . J13 6) A(±2fi.20x . F(3.24y + 24x 51 O 46) { y=tane 1y = 3tan8 20) 32) 4y +30x+8y+21 ::::() 50) x 2 -4y 2 -16=0 2 21) 84 33) x -y -l0x+2y+l6=0 51) 9x 2 -y 2 +9=0 2 2 ') 22) 16y . e= .3y . e=-. A 1 (3. F(O. 45 =O 38} x2 y2 4 57) .y .2 ~ . 5 + -v29).A 2 (7. F(O. O). 0). A 1(2. e= .J5 e=.2 x'2 _ 5 42) L __ = I.1O= O 9) A(O. -5).. e y ±x .64x+ 18y+ 199 =O 2 23) X .11 =O e 4x + 3y . C(2.z r. 0).±fi. y ±-x 2 2 2 4 1) x' Y' =1. 8 Cônicas 207 208 Vetores e Geometria Analítica 5 3 4) A(±4.J5. C(3.F(4±3. F(_-. A 2 (-1.:. 4) e. A 2 (0. F1 (2. 0). ± 2J5). 4). e .. 0).C(4. ±--). - e-fi ~. F2 (2.-. F(0. 3). e= 2 3 4 I 5) A(O. e y ±-x 43) L_~= 1.2). ). e=-. 3). 3). -6).2 . . F(±5. 1 ± -v13). y 2 2 2 x =* tan8 14) 16x 2 9y 2 -144 O 26) 9 x = 2sec8 47) 44) 1 { y = tane { y = -sece 15) 4x 2 20 =O 27) -18x+4y 11 O 4 16) 15y 2 15 o 28) 8x 2 64x 4y 116 O x = 1 + 5sec8 x = 3tan8 48) { 17) 18) 7x 2 -9y 2 -252=0 X .J5 4 4 39) ~_L= 1.5 =O + J1o fW I .- 3 3 3 25 4 5 Jj 5x-2y+10=0 e 5x+2y-10=0 12) A(O.6 = O e 2x + y.. Figura 8.46).y 2 . ou holofote. a título de ilustração. ao ângulo {3 (ângulo de reflexão). sempre no orifício. O menino da foto deve estar achando esta "proeza" resultado de sua flexão de cada uma delas. Todas as infinitas parábolas que possamos imaginar Figura 8.49). está baseada no fato de que. os raios que esta fonte irradia serão refletidos ao longo de retas eixo Figura 8.47 F2 P. Então. 2) Elipse A propriedade da reflexão na elipse é análoga à da parábola. o som emitido de F1 se refletiria nas paredes de serem amplificados (Figura 8. Ouve-se dizer que antenas de TV e os espelhos dos faróis dos automóveis são parabólicos.26x + 6y + 26 =O (hipérbole) mesa é dotada de um anteparo curvo de forma parabólica. esta curva tem uma série de aplicações. há a F~ (Figura 8. retoma e cai Para encerrar o estudo das cônicas. 1) Parábola Na prática.51 ). O orifício na mesa está exata- mente na posição do foco desta parábola.51 fabricação de antenas parabólicas e espelhos interna. Admitindo espelhada a parte interna deste parabolóide (pode ser um farol de automóvel. Como os sinais (ondas de raios que esta fonte itTadia serão retletidos todos no outro foco rádio ou raios de luz) são muito fracos. A c) .6y + 8x + 1 =O (parábola) Entende-se agora porque as antenas e os espelhos telescópicos precisam ser parabólicos. Se ao invés de uma fonte luminosa tivéssemos uma perfície ampla e concentrá-los num único ponto (que é o foco F) a fim fonte sonora.48) o ân. Mas isso tem alguma eixo coisa a ver com a curva que estudamos? Tem tudo. do elipsóide. que é a superfície de revolução obtida girando-se a parábola em torno do seu eixo. digamos F1 • os de telescópios. Na verdade não se trata de "urna" só parábola e sim de um parabolóide (Figura 8. ou outros refle- tores em geral). respectivamente (Figura 8. após chocar-se contra o anteparo. se uma fonte de luz for colocada num dos focos. Esta propriedade. a propriedade da re. ângulos a e f3 formados pela reta tangente e os raios focais F1 P e gulo a (ângulo de incidência) é igual Figura 8.47). são iguais os sendo t uma reta tangente a uma pará- bola no ponto P (Figura 8. se uma fonte de luz for colocada em F. 8 Cônicas 209 21 O Vetores e Geometria Analítica 58) a) y 2 .49 Figura 8. convergindo em F2 • Figura 8. vejamos.52). um objeto (na foto é um botão) ao ser Curiosidades lançado paralelamente ao eixo da curva. Imaginando uma superfície obtida girando-se a elipse em torno Este mesmo princípio é utilizado na do eixo maior (a superfície é um elipsóide).50 paralelas ao eixo (Figura 8. e admitindo espelhada a parte Figura 8.48 necessidade de captá-los utilizando uma su.46 formando o parabolóide têm o mesmo foco F. Se t flexão. habilidade. chamada re. b)3x 2 +4y 2 +14x 24y+31 O(elipse) O experimento da foto (Figura 8.50) encontra-se no Museu de Ciências e Tecnologia da PUCRS e traduz de uma forma particular a propriedade da reflexão da parábola.52 . é a tangente no ponto P de uma elipse de focos F1 e F2 . Cap. no plano xüy. e representa uma elipse. . uma hipérbole ou uma parábola. Observemos que.53 onde pelo menos um dos coeficientes a. é refletido na direção do outro foco (Figura 8. isto é. pois suas equações gerais são desse tipo. ou duas retas (xy =O~ x =O ou y =0). Daremos ênfase ao estudo das quádri- cas representadas por equações denominadas canônicas e intimamente relacionadas às formas reduzidas das cônicas. y e z (a) (b) ax 2 + by 2 + cz 2 + 2dxy + 2exz + 2fyz + mx + ny + pz + q =O (1) Figura 8. Quádricas Introdução A equação geral do 2° grau nas três variáveis x. se a superfície quádrica dada pela equação ( 1) for cortada pelos planos coordenados ou por planos paralelos a eles. 1 a= f3 (Figura 8. representa uma supeifície quádrica. Em casos particulares.53(a)). d. c. isto é. todo raio de luz incidente à superfície na direção de um dos focos.53(b )). Cap. e admitindo-se espelhada a parte Superfícies externa da superfície. ou um ponto (3x 2 +4y 2 =0 ~ x = y =O) ou o conjunto va- zio (x 2+ y 2 + 3 =O). ou simplesmente. A redução da equação geral (1) das quádricas às suas formas mais simples exige cálculos laboriosos. Por exemplo. o traço da superfície quádrica (1) no plano z = O é a cônica ax 2 +by 2 +2dxy+mx+ny+q=O (2) contida no plano z = O. no entanto. Seja a superfície obtida girando-se uma hipérbole em torno da reta que contém seu eixo real (a superfície é um hiperbolóide de duas folhas). A interseção de uma superfície com um plano é chamada traço da superfície no plano. a equação (2) pode também representar uma reta (3x 2 = O~ x =O). Estes casos constituem as cônicas degeneradas. 8 Cônicas 211 ~ 3) Hipérbole A propriedade da reflexão na hipérbole é análoga à da elipse: a reta tangente t num MAKRON Books 9 ponto P da hipérbole é bissetriz do ângulo formado pelos raios focais F P e F2 P. b. (a fim de assegu- rar grau 2 para a equação). uma quádrica. a curva de interseção será uma cônica. e ou f é diferente de zero. o que não é objeto deste texto. + z . hiperholói- des e parabolóides.2) substituindo-se z Seja R o pé da perpendicular traçada de P ao plano xy.y. 1 Mas. Portanto. Observação Quando da substituição de z por na equação 2y para resultar x r' = considerou-se z 2: O. x O (Figura 9. 1 ~--. de equações (eixo de revolução). Figura 9. a equação da superfície assim gerada será obtida da seguinte maneira: se a curva gira em torno Exemplo a) do eixo dos x.. c) do eixo dos z. o Então. Para se ter a superfície completa devemos -. A interseção desta circunferência com a parábola é o ponto cuja equação será obtida da equação da elipse. I.:· y ~x-+r=-v2Y ou ou x~+z.z) um ponto qualquer da superfície e C(O.J2Y . Q(O. se a geratriz estiver contida num dos planos coordenados e girar de 360° em traço da superfície num plano perpendicular ao eixo é uma circunferência e a equação da superfície de revolução é obtida através da equação da geratriz. substitui-se y ou z na equação da curva por z 2= 2 Seja a superfície gerada pela revolução da parábola y em torno do eixo dos y { x=O b) do eixo dos y.pois Q é ponto da parábola. Utilizaremos este procedimento para Superfície de Rei'Olu~úo é a superfície gerada por uma curva plana (chamada geratriz) que todos os casos de superfície de revolução.z 1 ). y. cia que é o traço da superfície no plano que passa por P e é perpendicular ao eixo dos y obtemos o elipsóide de revoluçüu (Figura 9.3 ).O) o centro da circunferên- Consideremos no plano yz a elipse Ao girarmos essa elipse em torno do eixo Oy. substitui-se x ou z na equação da curva por ~. CP = CQ = r.. Cap. Ainda. Neste caso.3 . o que não vai alterar em nada a equação (3) da superfície. Figura 9. torno de um dos eixos desse plano. vem CP=-y(CR)-+(RP)-=-yx-+r. gira de 360° em torno de uma reta (chamada eixo) situada no plano da curva.1 Elipsóides Seja P(x. (Figura 9.ubstituir z por ± f. Superfícies de Revolução 2 na equação z = 2y (geratriz). substitui-se x ou y na equação da curva por A seguir estudaremos as superfícies quádricas denominadas dipsóidcs. por serem raios da mesma circunferência. dez por . r.y. 9 Superfícies quádricas 215 214 Vetores e Geometria Analítica Observemos que essa equação (3) pode ser obtida imediatamente pela substituição. z z por ± -J x 2 + z 2 1 " ~ Como o triângulo CRP é retângulo em R.1 ).:'=2y (3) X X que é a equação desta superfície.2 Figura 9. A mesma obser- 2 2 vação vale também para as outras substituições acima descritas. CQ = z = . 0). r 4 b) C(2.4 (5) assume a forma x2 y2 zz -+-+-=1 (4) (x-h) 2 +(y-k) 2 +(z-1) 2 =r 2 (6) a2 b2 cz No caso presente. b) um conjunto vazio. -1). se r 2 O (é o próprio centro). k. por simples translação de eixos a equação Figura 9. 9 Superfícies quádricas 217 216 Vetores e Geometria Analítica z De maneira análoga se obtém o elipsóide de revo- Exemplos lução em torno de Oz.2) 2 + (z. y = k ou z = k centro e o raio. a equação fica uma circunferência em torno de um de seus diâmetros. a~ c b~ c 2) Dada a equação da superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 + 6x.. a equação (4) toma a forma Solução: x 2 y2 z2 Comecemos escrevendo a equação na forma -+-+-=1 ~ ~ ~ (x 2 +6x)+(y 2 -4y)+z 2 12 a. 1) e seus eixos forem paralelos aos eixos coordenados. r= 3 ±~: y x 2 yz z2 Solução: -+-+-=1 a) Da equação (5). O) e (0. O.4) é X ou representado pela equação b) Se o centro da superfície esférica é C(h. 4. Observação É fácil ver que uma equação de superfície esférica do tipo (6) poderá representar a) um ponto.k. tem-se onde a.4y -12 =O. No caso de a= b =c. O. b e c são reais positivos e representam as medidas dos semi-eixos do elipsóide. respectivamente. se r 2 <O. Observemos que esta superfície também é de revolução e obtida pela revolução de Logo.-+L= I. 2 2 . y = O e -----::..± c) são soluções da equação ou (4). nos casos: da equação da elipse.férica de centro (0. 2. Neste caso sua equação é obtida 1) Determinar uma equação da superfície esférica de centro C e raio r. resultam numa elipse.l).+ 7 = 1 . vem imediatamente bz bz cz O elipsóide da maneira mais geral (Figura 9. (x 2) 2+(y 4) 2+(z+ 32 Observemos ainda que os pontos (±a. a equação (4) assume a forma e. Cap. 0) e r= 5.. num ponto ou no conjunto vazio. substituindo-se y por a) C(O. meiro membro. O) e raio a. a~ a~ ou e completemos os quadrados (5) (x 2 +6x+9)+(y 2 -4y+4)+(z 2 )=12+9+4 não esquecendo de somar 9 e 4 ao segundo membro para "equilibrar" a soma feita ao pri- e representa uma superfície e:. (k =constante). . O. portanto.0) 2 =5 2 Se o centro do elipsóide é o ponto (h. O. ± b. obtida por uma translação de eixos.4x +4+ 8 y + 16 + + 2z + 1 = 9 O traço no plano xy é a elipse -. chamadaforma canônica do elipsóide. (x + 3) 2 + (y. determinar o Observemos também que as interseções do elipsóide com planos x = k.+ 7 = 1. (0. z = O e os traços nos planos xz e yz são ou a~ b2 xz zz y2 z2 x 2 +y 2 +z 2 4x 8y+2z+l2=0 as elipses -----::. x = O. 0). C(-3. a equação da ou 1 superfície esférica será z- -~+ '1---:.c --:.32 =O . Então.C = (2. Um traço no plano z = k é uma elipse que aumenta de tamanho à medida que o plano X se afasta do plano xy.6) e representam hiperbolóides de uma folha ao longo dos eixos Oy e Ox. b.+. portanto. b. 6. -3. o vetor CP é um vetor normal a rr. embora a Figura 9. no ponto P(4. c- respectivamente. Utilizando o método do problema anterior. x =O (Figura 9.= I .7 mostre um hiperbolóide limitado ao longo do eixo Oz.b. uma equação de rr é 2x + 6y + 3z. X= 0. Cap.c- A equação (7) mostra que o traço do hiperbolóide no plano xy é a elipse z l. Solução: cuja equação será obtida da equação da hipérbole Um plano rr é tangente a uma superfície esférica de centro C e substituindo-se y por ± raio r se a distância d(C. A rotação dessa hipérbole em torno do eixo Oz resulta no hiperbolóíde de uma folha (Figura 9.-=1 y2 z2 b~ c. As outras duas formas são Hiperbolóides z- ') x z- ~ Consideremos no plano yz a hipérbole de equações .+--:.5 Logo. essa figura se prolonga indefinidamente ao longo desse eixo (a menos que se Figura 9. Esta observação estende-se para todas as Os hiperbolôides de revoluçüo serão obtidos por rotações em torno de um de seus superfícies a serem apresentadas. uma geral é representado pela equação equação geral de rr é 2x + 6y + 3z + d =O e pelo fato de que Figura 9.y=O e l. (7) Figura 9.-=1 (x -2) 2 +(y+3) 2 +(z+l) 2 =49 b. sendo P o ponto de tangên- cia.-=l.----:. 9 Superfícies quádricas 219 218 Vetores e Geometria Analítica 7 3) Obter uma equação geral do plano rr tangente à superfície esférica a) Hiperbolóide de uma Folha x 2 + y 2 + z 2 .4x + 6y + 2z. .6 restrinja o valor de z a um intervalo limitado). precisamos y determinar o ponto C. eixos. respectivamente.35 =O.2)E1t tem-se 2(4)+6(3)+3(2)+d=O e d=-32. 3. rr) = r e. 2). Os traços nos planos x = k e y = k são hipérboles.3.7). chamada forma canônica do hiperbolóide de uma folha ao longo do eixo Oz. C(2. -I). e + .7 P(4. Observação É importante assinalar que. 3) é um vetor normal a rr.. Um hiperbolóide de uma folha da maneira mais Como CP = P .z=O a2 e os traços nos planos xz e yz são as hipérboles x-' z-1 ----:.c e. 10) cuja equação será obtida b2 c2 ou da equação da parábola. 9 Superfícies quádricas 221 220 Vetores e Geometria Analítica z b) Hiperbolóide de duas Folhas z Parabolóides A rotação da hipérbole da Figura 9.7 +-:. apresentados nesta ordem.9 7 x-J J y.- b~ b- Um hiperbolóide de duas folhas da maneira mais geral é representado pela equação Um parabolóide mais geral. y=- 7 +----. c. 0). substitu. x2 y2 .. z . duas folhas . respectivamente. substituindo-se y por ± Figura 9.8 z =. elipses.+-----:. -a2-b2-c2 z Exemplo 2 e conforme os sinais dos termos do 1o membro. e representam parabolóides elípticos ao longo dos eixos Oy e Figura 9. As outras duas formas são a 2 b2 c2 a 2 b2 c2 z2 z2 e representam hiperbolóides de duas folhas ao longo dos eixos Ox e Oz.+ Oy Oz y X + + - + . um ponto ou o conjunto vazio. As equações dos elipsóides e hiperbolóides podem ser reunidas em os traços nos planos z = k > O são elipses.11 representa o parabolóide elíptico de equação sinais ao longo do eixo Elipsóide + + + ------- .9) indo-se z por ± ~ x 2 + z 2 : A rotação dessa parábola em torno do eixo Oz resulta no Y2_x2+z2=1 parabolóide de revolução (Figura 9.11 . nos planos z k < O são vazios e nos planos 7 ) 7 +~+L+~=l x = k e y = k são parábolas.10 Ox. (8) chamada forma canônica do hiperbolóide de duas folhas ao longo do eixo Oy. respectivamente.z.- + Oz Figura 9. é representado pela equação --+---=1 a2 b2 c2 x2 y2 z=-+.+ .-----:. Resumo A equação (8) mostra que o traço do parabolóide no plano xy (z =O) é a origem (0.. x =O (Figura 9.8) cuja equação será obtida da equação dessa hipérbole. e x= 2 +- 2 X Observemos ainda que os traços desses hiperbolóides nos planos x = k. O. temos o se- guinte quadro: A Figura 9. denominado parabolóide x2 y2 z2 elíptico. y = k ou a. As outras a2 b2 duas formas são x2 y2 z2 x2 y2 z2 chamada forma canônica do parabolóide elíptico ao longo do -----=1 e ----+-=1 eixo Oz. Cap.+ + Ox ou Hiperbolóide de uma folha + . b c z = k (k =constante) resultam em hipérboles.. Ox -2 Hiperbolóide de ao longo do eixo Oy.7 = 1 c b" c Figura 9.-.6 em tor- a) Parabolóide Elíptico no do eixo Oy resulta no hiperbolóide de Consideremos no plano yz a parábola de equações duas folhas (Figura 9. Oy . As outras duas formas são y = k são parábolas. y2 cônica elfptica é representada pela equação c2 b2 (10) e representam parabolóides hiperbólicos ao longo dos eixos Oy e Ox. a superfície de revolução o que implica resultante é a superfície cônica circular de vértice na origem e eixo coincidindo com Oz.12 em z = k são elipses. A rotação desta reta em torno do eixo Oz resulta na superfl- cie cônica circular (Figura 9.12.14 retas quando z = O.14) cuja equação será obtida da b) Parabolóide Hiperbólico A superfície dada por uma equação do tipo equação da reta substituindo-se y por ± ~ x 2+ y 2 : X / x2 z=m(± ou z=--. As outras formas são z. 1) e eixo paralelo a um eixo coordenado. os traços nesses pla- nos são hipérboles com eixo real paralelo a Oy. os traços são Observação hipérboles de eixo real paralelo a Ox. Na verdade. (9) Figura 9. e rb _~a = o ou r+~ = b a o cuja equação se obtém dez 2y substituindo y por ± x + yJ 2 2 : e representam as duas retas acima referidas. observemos que quando z = k > O. de forma análoga ao que foi feito para .=-.13 b2 a2 ou ainda. do plano yz é girada em torno de Oz. y=z 2 . x-' z-' y. z =O. k. ao passo que em z = k . ' x-' rabolóide hiperbólico ao longo do eixo Oz (Figura 9. é denominada parabolóide hiperbólico e esta equação é chamada fórma canônica do pa. O) e Figura 9. -. enquanto que para z = k < O. resulta e Ox. podendo ser visualizadas na Figura 9. fazendo e representam superfícies cônicas elípticas ao longo dos eixos Oy z = O na equação (9). 9 Superfícies quádricas 223 z 2 Observemos que no plano y = 4 está a elipse x 2+ z =I e as parábolas nos planos x = O Superfícies Cônicas g 4 Consideremos no plano yz a reta g de equações e z =O são z=my. + a- z A reta g é chamada geratriz da superfície e o ponto O.222 Vetores e Geometria Analítica Cap. A equação (9) e a própria Figura 9. que separa as duas folhas é o vértice da superfície. ou (r-~ I( r+~ I= o Exemplo b a) b a) Se a reta z = 2y. e Uma superfície cônica mais geral. respectivamente.12 chamada forma canônica da superfície cônica ao longo do eixo mostram que os traços nos planos x = k e Oz. denominada superflcie x= z2 . Figura 9.x=0 e y = 4x 2 . x = O.12). Os traços nos planos x = k ou y = k são hipérboles que se degeneram em duas retas no caso de x =O ou y =O. A equação (lO) mostra que o traço da superfície no plano xy (z = 0) é o ponto 0(0. O. respectivamente. z ±2~x +/· 2 ou Ainda com relação à equação (9). No caso dos hiperbolóides. parabolóides e superfícies comcas de centro ou vértice no ponto (h. respectivamente.13). e são hipérboles que se degeneram em duas a. x=O(Figura9. 17 e a curva C é a diretriz da superfície cilíndrica (Figura 9. l) Determinar uma equação das superfícies esféricas nas condições dadas. que se encontra num dos planos coordenados e a e) Centro C(O. j) y x ..4) 2 perfície cilíndrica está ao longo deste eixo (Figura 9 .. g) z = -2y 2 . -3..15). f--.l x2 2 P(x. x =O. x =O. três dimensões de uma equação que não apresenta uma determinada variável. z = O. t) y = 4x 2 . Em outras palavras. tas posições da geratriz. hipérbole ou parábola./. todo ponto do tipo (2. y por y . z = 0). -5) e B(5. J~·~·-~-~-. eixo Ox. 3) e tangente ao plano 1t: x + 2y. x = O.. superfície contém o ponto A e toda reta por A e paralela ao eixo 4 16 6 Oz.. 4) e tangente ao eixo Oz. z =O.. Significa dizer: o valor de z não influi no fato de um ponto Figura 9. -3. i) z 2y. h) z 2y. 2.-~·~·(I~~~ Y Superfície cilíndrica é a superfície gerada 4 9 representa uma superfície cilíndrica elíptica (a diretriz é x -31 2 por uma reta g que se move paralelamente à reta uma elipse) ao longo do eixo Oy (y é a variável ausente) fixa r em contato permanente com a curva plana C. a) Centro C(2. eixo Oz. junto de infinitas retas paralelas que são as infini. x =O. z) pertencer ou não à superfície.. 3.. a) E: x 2 + y 2 + 9. 4 16 y. -2) e passando por P(2. isto é.. eixo Oy.~. ainda. consideremos a parábola b) tangente ao plano xüz no plano xy dada por c) tangente ao plano yOz (11) 3) Obter uma equação geral do plano tangente à superfície esférica E no ponto P. conforme a z-? diretriz seja uma circunferência. eixo Oz. P(2. a su. · x-I "~ esta pode ser vista como x 2 = 2y + Oz. z (na verdade a parábola tem equações: x 2 = 2y. -2) Como a geratriz é uma reta paralela ao eixo Oz..6) É importante observar que se tomarmos um ponto da diretriz.:. Figura 9. como para o ponto só interessam as variáveis x e b) -+L =1. elipse.2z 2 O geratriz é uma reta paralela ao eixo perpendicular 2) Determinar uma equação da superfície esférica de centro C(2. z =O. -1). 9 Superfícies quádricas 225 224 Vetores e Geometria Analítica chamada circular. eixo maior. y. 2 .h. 3.1.~. b)E:(x 3) +(y+l) 2 +(z 2) 2 =12. P(2... 2. a x A a) +L 1. também satisfaz a equação (11) pois em torno do eixo indicado. 4) Obter uma equação da superfície gerada pela rotação de cada uma das curvas dadas 2--+--Y para z real qualquer. A reta g que se move é denominada geratriz Figura 9. Cap. Problemas Propostos Esta superfície pode ser vista como um con. eixo Oz.15 a) tangente ao plano xüy Para exemplificar.k e z por z . -4. eixo Oy. Assim tambéiil. Então. 0). hiperbólica ou parabólica. eixo Oy. o elipsóide. -1.-5. a Figura 9. -3) é um de seus diâmetros. 1) e raio 4. por exemplo A(2. parabólica ao longo do eixo Oz.-3.. I A ausência da variável z para este caso permite concluir de modo geral: o gráfico em z- d) y 2 = 1. Superfícies Cilíndricas Seja C uma curva plana e r uma reta fixa não-paralela ao plano de C. z). corresponde 4 a uma superfície cilíndrica ao longo do eixo desta variável ausente. x =O. eixo Oy.P(l. 4) e ao plano da diretriz.. b) Centro C(4. a própria equação da diretriz é a equação da superfície cilíndrica. 4 . 1. -1. c) E:x 2 +y 2 + 4x+2y-6z-11 O. Em nosso estudo consideraremos apenas c) O segmento de extremos A(-1.. E. g (Figura 9..17). 3. a superfície cilíndrica é e) y-I 1.16 apresenta uma superfície cilíndrica se x por x . superfícies cilíndricas cuja diretriz é uma curva d) Centro C(-2.16).. elíptica. z =O. z = O.z2a equação -+-=1 2 . as equações serão obtidas das correspondentes formas canônicas substituindo- Portanto.. x 2 = 2y c) x 2 + y 2 = 9 . eixo menor. conforme o caso..24x..9 Ü c) 36x 2 +16y 2 +9z 2 -144=0 n) z=x 2 +y 2 I) x-y=O 2 2 2 d) 36x +16y -9z -144=0 o) z=2+x +y 2 2 8) Identificar a superfície S e a sua interseção com o plano 1t dado. . identificar a super. -3szs3 2 k) y +4z 2 =x.:4 g) 4x 2 -y 2 +2z 2 +4=0 r) y=-2+x 2 +z 2 2 h) 4x +z 2 -y=O s) x 2 +y 2 =9 e n: z 2 2 i) 9x +4y +9z=O t) x 2 +z=O 2 2 d) e n::x=2 j) y +4z -x=O u) z=4-x 2 7 7 v) L-~=1 e) S : y+z 2 O e n :y + 4 O 9 4 2 2 6) Identificar e representar graficamente as superfícies expressas pelas equações nos in. 9 Superfícies quádricas 227 226 Vetores e Geometria Analítica 5) Reduzir cada uma das equações à forma canônica (caso não esteja). Cap. Oszs4 2 e) d) z =x 2 +y 2 -l. 9) Identificar e descrever as superfícies de equações dadas. j) a) xê+y~+z 2 =25 I) 36x 2 -4y 2 +9z 2 =0 2 b) 2x~+4y 2 +z 2 -16 =0 m) 4x 2 + 4y 2 . 7 z-' f) o e) y=-~+x~+-. sabendo que contém o ponto (o.2 .24y 6z 27 o 2 2 7) Identificar as superfícies definidas pelas equações. O.Z . e) i) z fície e construir seu gráfico. dizendo ao longo de que eixo elas j) x +y 4x 6y z + 12 O ocorrem.. X . I. -4sxs4 i) 2x 6y 2 . Osxs4 . a) 2Sx 2 +l00y"+36z 2 -900=0 c) z=-~16-x 2 -y 2 lO) O traço de um elipsóide (centro na origem) no plano xy é a elipse x 4 L= b) z=~9-x 2 -y 2 d) y=~l6x 2 +4z 2 Determinar a equação do elipsóide. -3sys5 n) z=9-y 2 .z 2 =O k) X + Z. y2 2 2 2 b) S:4x +4y -z =0 e n:z::. -18 O e n:z 3 tervalos dados. e) 4x -y +4z -4=0 p) z==-x2-y2 a) S: 4z 2 2x O e n: x 2 O f) z 2 -4x 2 -4y 2 =4 q) Z = 6. -3 S y S 6 g) 2 x =2z. f) S:18x +9y .4y 8z+42 O 2 ' d) +5 o c) z 2 =x 2+y 2+l. . J6). X . ) a) z2 6x+4y+9::.:0 a) x 2 +L=-~ -3szs0 4 3' 2 b) 4y +8x-8y-4z+28=0 2 ~ i) X = -4 + -Y + Z L -4 S X S5 z 2 . -3szs3 j) z=4-2x 2 -y 2 . I. Representar grafi- 2 2 2 camente esta interseção no plano rc . -2sys2 2 g) 24x 6y -12z+39 O 2 2 f) y = 6. elipsm ''de 11) Deduzir uma equação do parabolóide de vértice na origem. parabolóide elíptico 4 b) x 2 +y 2 +z 2 -4x+6y-8z+20=0 c) x 2 +y 2 +z 2 -4x+6y-8z+25=0 i) z .y +-=0 p) parabolóide circular 4 4 4 4 q) parabolóide circular r) parabolóide circular j) x2-y2+z2=0 s) superfície cilíndrica circular 7 7 7 t) superfície cilíndrica parabólica .54z.x 2 +L .9 =O 2 b) x+y-z+6=0 j) x = z . d) + 1 . z = 3. 4 9 16 ' .2z. -+-r = 1 . hiperbolóide de duas folhas 4 c) x 2 +y 2 +z 2 -4x-2y+8z+7=0 2 2 d) x 2 +/+z 2 +4x-6y-8z+16=0 g) . c) + +- ção com o plano z = 4 é a circunferência de centro (0. superfície cônica 1 1 2 2 z2 4 4 h) X +y --=0 4 n) parabolóide circular 2 o) parabolóide circular x 7 z x 2 z2 d) . 2y 2 x2 m) z 2 = .+ . parabolóide elíptico l_ c) 4y-3z+38=0 4 x2 y2 z2 k) parabolóide hiperbólico 4) a) .+ . . hiperbolóide de duas folhas 4 2 e) 9x 2 + 9y 2 + 9z 2 + 72y. O.2z . elipsóide 8 4 16 .= 1 . y~ +-=1 i) . 9 Superfícies quádricas 229 228 Vetores e Geometria Analítica 2 ? X z.= 1. superfície cônica g) z = -2x 2 .. 4) e raio 3. hiperbolóide de uma folha 4 I ) a) x 2 + y 2 + z 2 . superf'ICiees · f'enca · de raiO · 5 u) superfície cilíndrica parabólica 25 25 25 v) superfície cilíndrica hiperbólica 7 ? ? b) ~+L+!::__ = 1 .. parabolóide elíptico <! 4 3) a) 2x + y.!:_ =1 .2 = O 2 2 b) x 2 +y 2 +z -8x+2y+4z=O f) -x: 2 _ y 2 + !:_ = 1. hiperbolóide de uma folha 2 8 9 4 9 16 Respostas de Problemas Propostos e) 1.. sabendo que sua interse.+y- 5) a )x..4 x + 6 y . . x2 / z2 x:2 12) Determmar os vertices e os focos da ehpse .31 =O 7 x- 2) a) x 2 +/+z 2 -4x+6y-8z+l3=0 h) y = l_ + z 2 . Cap.= 1 f) y=4x 2 +4z 2 z~ ? 4 16 4 .+ . . geratriz paralela a Oy i) superfície cônica. -4 ). O) e) parabolóide elíptico e circunferência f) hiperbolóide de uma folha e elipse 9) a) superfície esférica. 9z = O 12) vértices: (0. centro (3. -I). vértice (0. eixo paralelo a Oz o l 10) x~+_r::_+z. 1. 3) e ( ± 2. -1. 2). 3). centro (0. centro (-2. geratriz paralela a Oz f) parabolóide hiperbólico. ± 4. eixo paralelo a Ox j) parabolóide circular. O. ± 2J3. I). eixo paralelo a Oz e) superfície cilíndrica circular. -3). -2. I. -1. centro (3. ao longo de Ox g) elipsóide. eixo paralelo a Oz c) hiperbolóide de uma folha. 3. 3. O. focos: (0. eixo maior paralelo a Oz h) superfície cilíndrica parabólica.=I 4 8 2 2 11) 4 x + 4 y . 3). 230 Vetores e Geometria Analítica 6) a) parabolóide elíptico h) superfície cônica circular b) superfície cônica i) parabolóide elíptico c) hiperbolóide de duas folhas j) parabolóide elíptico d) hiperbolóide de uma folha k) parabolóide elíptico e) parabolóide elíptico 1) superfície cilíndrica elíptica f) parabolóide circular m) superfície cilíndrica hiperbólica g) superfície cilíndrica parabólica n) superfície cilíndrica parabólica 7) a) elipsóide b) semi-superfície esférica superior de raio 3 c) semi-superfície esférica inferior de raio 4 d) semi-superfície cônica ao longo de Oy e) superfície cônica circular ao longo de Oz f) hiperbolóide de duas folhas ao longo de Oz g) semi-hiperbolóide de uma folha ao longo de Oz h) semi-hiperbolóide de duas folhas ao longo de Oz i) semi-superfície cônica inferior ao longo de Oz j) semi-superfície cônica ao longo de Oz k) superfície cilíndrica parabólica ao longo de Oy I) plano que contém o eixo Oz 8) a) parabolóide hiperbólico e hipérbole b) superfície cônica e circunferência c) parabolóide hiperbólico e hipérbole d) hiperbolóide de duas folhas e ponto (2. vértice (2. vértice (-4. 3). t . eixo paralelo a Oy d) hiperbolóide de duas folhas. 0). centro (-1. -2. 0) e raio 2 b) parabolóide elíptico. 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