UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNAFACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL. Curso : Matemática Básica Docente : Ing. Málaga Tejada, Yury Grupo :C Integrantes : I. Gomez Gomez, Alexis Mamani Peña, Yeny Hualpa Mamani , Deisi Saldaña, Julio Alonso SUMA, RESTA, MULTIPLICACION EN EL PLANO RESTA: ⃗ 1. Dado la representación de ⃗a y b dibuje usando la definición de resta y la regla del triangulo para la suma. Dibujar los vectores punto inicial A Ahora dibujar –b ⃗a =⃗ AB ⃗ ⃗ , b = AC ⃗a −⃗b desde el mismo Empleando la regla del triangulo para la suma se dibuja ⃗a −⃗b 2. Determinar si los punto C(1,3,0) A (3,1,−4) B (2,2,−2) y Son colineales. Los puntos A, B y C son colineales situados de dos en dos se generan vectores paralelos. ⃗ AB=B− A=( 2,2,−2 )− (3,1,−4 ) ¿(−1,1,2) ⃗ AC=C− A=( 1,3,0 )−( 3,1,−4 ) ¿(−2,2,4) ¿ 2(−1,1,2) ⃗ BC =C−B= (1,3,0 )−( 2,2,−2 ) ¿(−1,1,2) ⃗ AC =2 ⃗ AB=¿ ⃗ AC y ⃗ AB son paralelos ⃗ BC =1 ⃗ AB=¿ ⃗ BC y ⃗ AB son paralelos Los puntos A, B y C son colineales. 3. Hallar el Área del triangulo cuyos vértices son los puntos A=(−3,2) B=( 3,−2) C=( 4,5) ⃗a =⃗ AC =C− A=( 4,5 ) −(−3,2 ) =¿ ⃗a=(7,3) ⃗b =⃗ AB=B− A=( 3,−2 )− (−3,2 )=¿ b⃗ =(6,−4) ⃗ Si b=(6,−4) ⃗ => b l=(6,−4) 1 1 1 A= |⃗a− ⃗b l|= |( 7,3 ) .(4,6)|= |28+18|=23 2 2 2 4. Dados los puntos A=(11,−5,4) B=(−5,7,−1) los componentes de los vectores ⃗ BA y . Hallar ⃗ AB De la interpretación geométrica de un vector se tiene ⃗ AB =B− A=(−5,7,−1 )−(11,−5,4) ⃗ AB=(−16,12,−5) ⃗ BA= A−B=( 11,−5,4 ) −(−5,7,−1) ⃗ BA=(16,−12,5) Si ⃗a =(2,4) Hallar y ||2 ⃗a −3 ⃗b|| ⃗b=(3,5) 2−3) ¿(7.2 )−(−3.−7|| Ahora el modulo es √ (−5 ) +(−7 ) 2 2 √ 25+49 ||2 ⃗a −3 ⃗b|| √ 74 5.3) ¿( 4−( 3 ) .−1) La representación grafica se puede obtener aplicando la regla del paralelogramo Representación de la ordinaria paralelogramo Presentación del .4 )−3(3.8−15)|| ¿||−5.||2 ⃗a −3 ⃗b||=||2 ( 2.8 )−(9.5)|| ¿||( 4.2) y B=(−3.Hallar la diferencia A-B y trazar la grafica que muestra de los 3 vectores A−B=( 4.15)|| ¿||(4−9.3) . Si A=(4. 1) . Datos A=(−2.2 ) +r (−2.-2)=tx + r (-2.1).−1.-4)=x+ (1.1) ¿ ( 2t .−6 ) ] ( 3.−4)−( 1.2) B=( 3.−6 )− (1.2 t + r) Los igualamos: 3=2 t −2 r r= −5 3 −2=2 t+r t= −1 6 3 r +6 t=−6 7. Hallar el valor de 3r+6t En la primera ecuación hallamos la sustracción de vectores para encontrar el vector X (3.−2) Resolver la ecuación C=(−1.−4−(−6 ) ) =x+ 0 (2.6) Si (3.−6 )=x +[ ( 1. Sea x un vector tal que (3.−2 ) =t ( 2.2 t )+(−2 r .2)=x Si ( 3.6.r ) ¿(2 t−2 r . 5>¿ B<−2. Tenemos los vectores: A <3.1) ¿ (−2.2−12−10) ¿(26.−12 )+(10.2 )+ 6 (3.−2 )−10(−1.2 ) + ( 18.−20) X =(13.−10) SUMA 8.3 A−2 [ 3 ( B−2 C ) +2 A ] +3 x=2C + X Restamos 2c+x a cada extremo de la ecuación 3 A−6 ( B−2C )−4 A +3 X −(2 C+ X)=2C + X −(2 C+ X ) ( 3−4 ) A−6 B+ 12C+ ( 3−1 ) X −2C=0 −( A+ 6 B−10 C ) +2 X =0 ( A +6 B−10 C )−( A+6 B−10 C ) +2 X=( A +6 B−10 C) 2 x −A +6 B−10 C=(−2.−1>¿ Calcular la suma de los vectores: a)A+B b)B+C c)A+C Desarrollo: .−10) ¿(−2+18+10.3> ¿ C<5. Calcular: .2>¿ c ¿<3.5+ (−1 ) >¿ <8.−2> ¿ c ¿<−2.3>¿< 3+ (−2 ) . ⃗ A +⃗ B=¿ 5.11>¿ b ¿< 4.8>+¿ 4.5 ) + ( 1. Si ⃗a =( 3.5 ) y b⃗ =( 1.5+4 )=( 4.3+ (−1 ) >¿<3.3>¿ C<−2.3>¿<5+ 4.3>¿ Sumar por el método del paralelogramo y hallar la resultante.3>¿<5+ (−4 ) . Tenemos los siguientes vectores: A <5.9> ¿ 12.6>¿ 10.6>+ ¿−4. Teniendo los vectores ⃗ A =¿5.4> ¿ 9.3>+¿ 5.4 ) ⃗ Entonces ( ⃗a + b ¿ ¿ ( 3.8>+¿ 4.8>¿ B< 4.−5>¿< 4+ (−2 ) .5>+¿−2.5>+¿ 5.−5>+¿ 5. 8+3+ (−5 )=¿ 7. (−5 )+ 8>¿<3.6> ⃗ B =¿−4. 3+ (−5 )=¿ 2.8+3>¿< 9. 5+3>¿< 1. 6+3>¿<1.8>¿ b ¿<−2.3>¿ d ¿ ¿<5.4 ) =( 3+1.−1>¿<3+ 5.−5 >¿ Calcular la suma de los vectores: a)A+B b)B+C c)A+C d)A+B+C Desarrollo: a ¿<5.8>¿<−2+5.3>+¿−2.9 ) 11.−1>¿< (−2 ) +5.3>+¿−2.−5>¿<5+ 4+ (−2 ) .a ¿<3. 2>¿< 4+0.3>¿ D=¿ 0. Tenemos los vectores ⃗u=¿ 0.1>¿ B=¿ 3.11>¿< 0+7.7>+¿ 4.2>¿ 14.7 +3>¿<7.9> ¿ Calcular ⃗u + ⃗v ⃗u + ⃗v =¿ 10.−3>¿<5+ 11.9> ¿ B=¿ 11.3>¿ D=¿ 8.−1>+¿ 3.2>¿ Calcular: a ¿ A + B=¿ 2.4>¿ 15.2>¿<2+3+ 4+ 0.3> ¿<3+4.7>¿<2+3.6> ¿ b ¿ B+ C=¿ 11.8>¿ Calcular la suma de los vectores a ¿ A + B=¿ 5.5+1>¿<7.11>¿ Hallar la resultante: ⃗u + ⃗v =¿ 0.−7>+¿ 7.2>¿ Desarrollo: .3+ 2> ¿<4.5>+¿ 7.A=¿2.3>+¿ 0.10> ¿ c ¿C + D=¿ 4.7>+ ¿ 4.5> ¿ ⃗v =¿ 7.−1> +¿ 3.−7>¿ ⃗v =¿ 7.8> ¿<11+2.9> ¿<10+7. Con los siguientes vectores: ⃗u=¿10.6> ¿ 16.9+ (−3 ) >¿<16.5> ¿ c ¿ A+ B+C=¿5.6>¿ b ¿ B+ C=¿ 3. Teniendo los siguientes vectores: A=¿5. (−1 ) +7+3+2> ¿<9. (−3 ) +8>¿<13.3>+¿ 0. Calcular la resultante en los siguientes vectores: A=¿ 4.−3>+¿ 2.5> ¿ d ¿ A +B+ C+ D=¿<2.9>+¿ 11.9>+¿ 11. (−7 )+ 9>¿<17.9+ (−3 ) +8=¿ 18.8>¿ <5+11+2.7>¿ C=¿ 4.−3>¿ C=¿ 2.−3>+ ¿2.1>¿ C=¿ 9.11>¿ 13.−1>¿ B=¿ 3. (−1 )+7 >¿<5. 1+1+3+2>¿ ¿ 17.7> ¿ A + B+C+ D=¿< 4.−6>¿ Calcular: ⃗u + ⃗v =¿ 12.−3 ) T= −2 −10 ∧ k= 3 9 2 P=(7.4 )=( 9.1> +¿ 3. El módulo de | A+ B+C| lo hallamos de la suma de todos los vectores: A+B+3C+ √3 A-B+C -A+B-3C _______ 5 30º 2 √3 A+B+C Nos queda 60º √3 . Hallar la suma de L1 y L2.t ∈ IR 3 19.3+ (−6 ) =¿ 20.4).1>+ ¿ 9.9 ) +t ( 2.3 ) + k ( 3.3> y ⃗v =¿ 8.3>+¿ 8. Si ⃗u=¿12.−6 >¿<12+8.−3>¿ 18.t ∈ IR } L2: {(9. k ∈ IR } L1 ∩ L2= { P } =P=(x.4) .2t =9+3 k ∧9+ 4 t=3−3 k ( 7.9)+t (2.24.y) 7.2>¿< 4+3+ 9+8.−3) .9)+(¿− )(2. L1: {(7.3>+¿ 8.3)+ k (3. 2 2 |B|= √b x +b y = √ 5 . 3) y B=(-2. 3 =119. -1) A . B=(−1 ) (−2 )+ (−1 ) (−1 ) +3 (−3 ) A . -1) y B=(-2. B=a x b x +a y b y +a z b z A .5 1 3 Por lo tanto tenemos que el módulo de | A+ B+C| =1 20. B=a x b x +a y b y A . -1. B=(−1 ) (−2 )+ (−1 ) (−1 ) A .4 ° √ 10 b) A=(-1. Efectuar el producto escalar y encontrar el ángulo entre los vectores: Soluciones: a) A=(-1. B=−6 | A|=√ a x +a y + a z =√ 11 . 2 2 2 |B|= √b x +b y +b z = √ 14 . 2 cos θ= 2 −6 √ 11 x 14 arccos θ= 2 .0 ° √ 11 x 14 . B=3 | A|=√ a x +a y =√ 2 . -3) A . 2 cos θ= 2 3 √ 10 arccos θ= . 3 =18. -1. Los vectores u y v tengan el mismo modulo Soluciones a. Se consideran los vectores u ( 1. Calculamos el módulo de cada uno y resolvemos. |u|=√(1)2+(n)2 |v|=√ (3)2 +(−2)2 √ 1+ n2=√ 13 n=± √ 12 n=±2 √ 3 22. Los vectores u y v formen un ángulo de 90 b. Dado los vectores A= 2i + aj y B= 6i. Su producto escalar debe ser 0 u . Calcular el valor de n para que: a. v=0 1 x 3 +n (−2 )=0 n= 3 2 b. determinemos la magnitud del vector AxB ijk AxB = | | i j k 2 ∝ 0 6 0 0 = i (0) – j (0) + k (-6 ∝ ) = -6 ∝ k .21.−2) .n ) y v (3. el valor de a para que la magnitud de B sea igual a tres veces la magnitud de AxB es: Solución: La magnitud del vector B es 6. v+|v| ¿ 4 +2|u|. v +|u| ¿ 4−2 .|v|cos ( u .|u|. Sean U y V dos vectores que forman un angulo de 45 y que tienen el mismo modulo |u|=|v|=2 Soluciones: a. Cual es el modulo de U+V y El de U-V 2 |u+ v| =( u+ v )( u+ v ) ¿ u . v 2 2 ¿|u| +2 . es 6 = 3 (6 ∝ ) ∝ = 1/3 23.70 2 |u−v| = (u−v )( u−v ) 2 2 ¿|u| −2u . √ + 4 2 ¿ 8+ 4 √ 2 →|u+v|=√ 8+4 √ 2 |u+ v|=3.La magnitud del vector AxB es 6 ∝ . v+ v .|v|.u+ v . Demuestre que u+v y u-v son perpendiculares . u.53 b. el valor de para que la magnitud de B sea igual a tres veces la magnitud de AxB.u+u . v ) 4 2 ¿ 4 +8. cos ( 45 ° ) + 4 ¿ 8−4 √ 2 |u−v|=√ 8−4 √ 2≈ 1. Por tanto. u−u.-1) Solución: Un vector u=(a. Halla un vector paralelo a v=(1.u−v . es decir: u .b) que sea paralelo a v cumplirá que u.3) → ( a .( u+ v )( u−v )=u .2 ) ( a . son sentido contrario y con modulo igual al vector w=(0.2) y con su mismo modulo Solución: Un vector v (a.2 )( a .2).b )=1 . v=0.b )= 2 2 a +b =13 (−2. v=1 ( 1. Entonces: |v|√ a 2+b 2=√ 13 2 2 a +b =13 Estas dos ecuaciones forman un sistema. b )=0 −3 a+ 2b=0 El módulo de u está dado por: |u|√(−3)2+ 22=√ 13 . 25. Halla un vector perpendicular a u=(-3. v+ v . v 2 2 ¿|u| −|v| ¿ 4−4=0 24.−3) Observamos que hay dos vectores distintos que verifican las condiciones coordenadas del vector buscado.b) que sea perpendicular a u cumplirá que u . es decir: u .v=k. Resolviéndolo obtenemos las coordenadas del vector buscado } { −3 a+ 2b=0 (2. v=0 → (−3. − a +b =1 5 5 } ) Vemos que hay dos vectores que satisfacen las condiciones del enunciado 26. b) = 3 4 2 2 . Determina elpunto N y vector AB . Por ellos ( 1.−b )=1 a+2 b=1 El módulo de w está dado por |w|= √ 02 +12=0 Y como |w|=|u| 2 2 Entonces se puede escribir que: |u|=a +b =1 Tenemos entonces un sistema de ecuaciones que nos dara el vector buscado: {( (−1. La distancia entre los puntos A y B es de 10 unidades. con y ¿ 0.y).-2) y que B(6.0) a+2 b=−1 → ( a . sabemos que A(-2.2 )(−a .-b).Si u tiene sentido contrario a v entonces será u =(-a. −3)= ( x c −(−3 ) . Hallar las coordenadas del punto C. y c −1) 2 5= 1 ( x −(−3 ) ) =x c +3 2 c .−2−1 ) AB=(5.4 ) √ 2 y= −4−12 =−8 2 Por hipótesis y <0 × 27.AB=B− A=( 6 y )−(−2. y c ) 1 (5. y+ 2 ) d ( AB)=10 ‖ AB‖=10 √ 82 +( y +2)2=10 2 64+ y + 4 y +4=100 y 2+ 4 y −32=0 y= −4 ± √ 16+128 2 y= −4+ 12 =4 → y=4 → B ( 6.-2) es el punto medio de AC y que A(-3.−2 ) AB=( 8. sabiendo que B(2.1) Si B es el punto medio de AC se verifica la igualdad vectorial: 1 AB= AC 2 AB =( 2− (−3 ) .−3) Sean las coordenadas de C( x c . pues: A=⋌ B → ( x a . y a )=⋌ ( x b . Paralelos Los componentes paralelos son proporcionales.(−2)=0 k =3 b.2). a. y ) ⋌= xa ya = xb yb En este caso 2 k = 3 −2 k= −4 3 c.−5) 28. Perpendiculares u . calcula k para que los vectores y sean: 29.x c =7 1 −3= ( . . Formen un angulo de 60 cos 60 °= 1 2 .3+k . v=0 2. y c −1 ) = y c −1 2 y c =−5 →C (7. k) y v= (3. Dados los vectores u=(2. √126 ) Luego la componente es: c=u .4.1 2. (−1 ) +1 ) =( 1.−1 ) B=(−2.3) 3 B(-3.3 ) A(3. 5+0. MULTIPLICACION EN EL ESPACIO SUMA 31. Dar como resultado la suma de los siguientes vectores: 4 A= (3.3+k (−2) = 2 √ 52+13 k 2 3 k 2−96 k +92=0 k 1=31.4) . √126 )= √526 SUMA. v =(2.-4. Calcular el componente del vector de u=2i-5j sobre el vector v=5i+j el versor en la dirección de v es: v= (5. ( √526 .−5) II.0.01 k 2=0.4.0 )=i^ +5 ^j 32. Teniendo: A= (3.99 30.5. RESTA.1) = √26 ( √526 .1 ) Calcular A+B A + B=( 3+ (−2 ) .5. y 0 .4.-4. j . y 0 . j. k )=(−1.−10) 34.−4.−4.hallar el ángulo formado entre los vectores A y B .2−4 ) + ( 2. k ) =( 2. Conociendo que | A|=10 u y|B|=15 u .3 )+ (−3.3 )=(0.6 ) ( x 0 . z0 ) =(1. Si las coordenadas de un nuevo origen en el sistema antiguo son (2.6 )=( 0. j .−2. z 0 )−( i .0. z0 ) =(−1.−4.2−4 )=( x 0 .−4.0 )' Se sabe que (−1. y 0 . k ) ( x 0 .3) Desarrollo: -4 -3 A + B=( 3.B=(−3. Solución: En este problema conocemos el módulo de los vectores y sus componentes los podemos obtener del gráfico: .2-4)¿Cuales son las coordenadas nuevas de P en el sistema antiguo? ( i.6) y las coordenadas de P en el nuevo sistema son (-1.2−4 ) + ( i .6) 3 4 33.0. Sea proporcional al vector P=(2.16666 ) θ=80.z): 2 2 2 |u|= x + y + z =196 u·v = 2x − y + z = 0 u·v = 18x − 22 y − 5z = 0 (1) (2) (3) 2 2 x + y +z (Ec 1) (Ec 2) (Ec 3) 2 =196 2x − y + z = 0 18x − 22 y − 5z = 0 (2) →z=y-2x (3) →18x − 22 y − 5z(y-2x)=0 .1) y W(18.4 ° 35.-5) U=(x.1) UxV = 4k + k + k = 6k = 3 →k== 3 1 = 6 2 1 1 →U=(1. k) ( . V= 3 U = (2 k. (5 )( 5 ) (10)(15) θ=arccos ( 0. k) UxV = (2 k..− 1. Calcula un vector U que cumpla en cada caso las siguientes condiciones: a.-1. B=AB cos θ=AxBx + AyBy + AzBz De acuerdo al grafico Ay =0 y Bz=0 Por lo tanto: A .1) y además U .−k.2 .2 .−k.y.-22. B cos θ=AxBx Ax=5 y Bx=5 Donde cos θ= .-1. 2 ) b.A . Sea perpendicular a los vectores V=(2. −m−1.0 ) =(m .0).−394) √ 2189 −1 (378.−394) √ 2189 Dados los vectores a(1.0 ) .−1.−1.(m . b 2 y =196 196 2189 784 y 2= 378 2 (( ) ( ) ) 27 13 + 1+ 28 14 −392 √ 2189 1 (378.1) a ⊥ c → a . 27 z=y−2 28 13 y=− 14 y 2 (1) 2 y= 153664 2189 y 2= ± 392 √ 2189 x= √ 2189 z= →u 1= u2= 36. Hallar el valor de m para que a y c sean perpendiculares a ⊥ c → a .1) a ⊥ c → a .28x-27y=0 27 →x= 28 y.-1) y c=ma- a. c=( 1.392.1. c=2 m+1=0 m= −1 2 .392. c=m+m+ 1 a ⊥ c → a .-1. b(0. c=( 1.−m−1. 0) Para que sea perpendicular a (1. su producto escalar ha de ser cero: ( a+b .0 )=0 → a+b=0 .0) y v(1.0.76 |b|.c −4 −4 = = ≈ 0. Para m=2. y que sea perpendicular a (1.0. Halla la proyección de u sobre v.1.0) a. z)≠(0. ( 1.0 ) . Encuentra un vector (x . halla el angulo que forman b y c Para m=2.0.v 1 1 2 = = =√ |u||v| 1 √ 2 √2 2 ∝=45 ° b.0).0) au+bv =a ( 1.b .1. Dados los vectores u (1.v Si llamamos ∝ que: cos ∝= 1 2 al angulo que forman u y v tenemos u.0.0 ) +b ( 1.b . √ 14 √28 cos θ= →∝=139 ° 27 ´ 51´ ´ 37.3.0.0) que sea conbinacion final u y v. Si llamamos ∝ angulo que forman b y c tenemos que: al b. y .0 )=(a+ b .0. queda c(2.|c| √2 .b.1). así como el modulo forman u y v √ Proyección de u sobre v v = |v| = √ 2 = 2 u. cualquier vector de la forma → ( 0. b .-2) y w(1.3) v(4.|v| a. Halla y el angulo que forman u y v |u|=√(2)2+(−1)2 +(3)2= √14 ≈3.2.w |u||w| cos 60= es decir.→ b=−a Por lo tanto. Obtén el valor de x para que u y w formen un angulo de 60 Ha de cumplirse que: u.74 |u|=√ (4)2+(2)2+(−2)2= √24 ≈ 4. con b ≠ 0 Cumple las condiciones exigidas 38. es decir. √5+ x 2 1 3x → = 2 √70+14 x2 √ 70+14 x 2=6 x →70+14 x2 =36 x2 →70=22 x 2 . 1 2−2+3 x = 2 √ 14 . Dados los vectores u(2.90 Si llamamos ∝ que: cos ∝= al angulo que forman u y v tenemos u . ∝=90 ° b. v 8−2−6 = =0 |u||v| |u||v| →u y v son perpendiculares.x) |u|. 0 ) .-1.2. Solución: La distancia entre pos puntos de un espacio euclideo(es un tipo de espacio geométrico donde se satisfacen los axiomas de Euclides de la geometría) se define como: d ( A .( A−B) Donde significa el producto escalar correspondiente Si la métrica es la usual. Calcula la distancia entre los puntos A (1.7) según el producto escalar y también según el producto escalar que en la base canónica viene determinado por la matriz | | 1 1 −1 1 4 0 −1 0 3 .-6) entonces: √ ( ) −4 d ( A . B )=2 √ 6 Si la métrica es | | 1 1 −1 1 4 0 .2.1) y B(5.0.−6 ) 0 −6 d ( A . v =3 x>0) 11 35 x= 11 √ 39. B )=+ √ 56 d ( A . A-B=(-4. B )=+ √ 16+36 d ( A .70 35 x= = 22 11 2 { x=− √ 35 (no vale . pues u . B )=+ (−4.0.2. B )=+ √( A−B ) . entonces −1 0 3 . 7 )=x ( 2. x. Dados los vectores: u = ( -3.−2 x+ 3 z ) x=3 2 x + y=4 y=4−2 x=−2 x=3 7 +2 y =1 −2 y +3 z=7 3 z=7+2 y → z= 3 } Las coordenadas de a respecto de la base B son: ¿(2 x+ y . tales que: a=xb+yc+zd ( 4. 7) respecto de la base B = {(2.0-2) d(0.3.3.0. 0. tenemos que encontrar tres números.3) ( 4.0.−2.(0. x .1. y.0. 1.√ 1 1 −1 −4 d ( A . (1.0 ) + y ( 1. determine el producto vectorial tanto de u × v como de v × u. z. x . 3)}.0. Llamamos b (2.1) Es decir a=3 b−2 c +d 41. B )=+ (−4. Halla las coordenadas del vector a ( 4 .3) a los vectores de la base B.−2(−2)+3(1)) ¿(3. y el ángulo entre ambos vectores.−2 x+3 z ) ¿(2 ( 3 ) + (−2 ) .0.-2). -2.−2 ) + z (0. 5. 0).−6 ) 1 4 0 0 −1 0 3 −6 ( )( ) d ( A .3. Solución: | I j k| w = u × v = | -3 5 1 | | 4 -2 -1 | . usando el módulo del producto vectorial. 1 ) y v = ( 4.1. -1 ).0) c(1.3.7 )=(2 x + y . B )=+ √ 76 40. 6087 radianes ⇒ 34. ab = proyección del vector a sobre el vector b .3527 sen α = -------.= 0. La proyección del vector a sobre el vector b es.88º 42. el producto escalar representa el área de un rectángulo que tiene por uno de sus lados la magnitud de uno de los vectores.(-1)*5)i .(-2)*(-3))k = 3i .2426 unidades ‖u × v‖ 14.1*4)j + ((-3)*(-2) .= ----------------.9161 unidades ‖v‖ = √( (4)2 + (-1)2 + (-1)2 ) = √18 = 4. geométricamente.((-3)*(-1) .2j + 3k y b = 2i + 5j + 6k. Sean lo vectores: a = 5i .3527 unidades Ahora podemos averiguar el ángulo α que forman estos dos vectores: ‖u‖ = √( (-3)2 + (5)2 + (1)2 ) = √35 = 5.5718 ‖u‖ ‖v‖ 5.5*4)k = -3i + j . por lo que ‖w‖ = ‖w′‖ : ‖w‖ = √( (-3)2 + (1)2 + (-14)2 ) = √206 = 14.= (5*(-1) .9161 * 4. y el otro lado la proyección del segundo vector sobre el primero.j + 14k Como podemos observar w = -w′.2426 α = sen-1 0. Solución: Por definición.(4*1 .5718 = 0.14k | i j k| w′ = v × u = | 4 -2 -1 | | -3 5 1 | = ((-2)*1 .(-1)*(-3))j + (4*5 .1*(-2))i . . . . . .a . . b.06 ab =2. Dados los y vectores hallar: Solución: a. . . b=ab cosθ=ab b=a x b x +a y b y + a z b z ab = ax b x + a y b y +a z b z b ab = ( 5 )( 2 ) + (−2 )( 5 )+(3)(6) √ 4+25+36 ab = 18 8.2 43. . . d. . . .c. e. Demostrar si es un rectángulo. Hallar el vector y compararlo .4) C= (8. Determinar un triangulo.6) B= (2. Hallaremos los lados productos. Soluciones RESTA 45. los vectores hallar el producto y comprobar que este vector es ortogonal a y a con . Dados y .1. ⃗ AB y efectuamos los . ⃗ AC .9. Por los extremos de los vectores A= (6.6.44. ⃗ BC .7). (−4.1. ⃗ AB=(−6. (−4.1.6.−5.2) Dividamos el Área del polígono en triángulos ABC.−5.9.4 )−( 8.−3.7 )−(6.9.−2 )=−8+24−2=14 ⃗ AC . ⃗ BC .−2.3 ) B= (-1.7) ¿ (−6.4 )−(1.6) ¿ (−4.−8.-3) D=(3.−2 ) ⃗ BC =¿ ⃗ B −⃗ C =( 2.4) C=(4.4 ) −(6.−2 ) =24+ 40+6=70 ⃗ ⃗ Se Observa que AC es perpendicular a BC luego el triangulo es rectángulo en C.⃗ AC . ⃗ AB ⃗ AC =¿ ⃗ AC .1 ) .−3.ACD Y ADE: ⃗ AB=(−1.-2.6. que determinan un polígono tal que como si indicar en la figura.−5. Se dan los 5 puntos del espacio. (−6.−3 ) .−4.4. Hallar el Área del polígono.2.6) ¿ ( 2.−3 ) ⃗ AC .−8.-4) E=(2.1 ) . 46.5. ⃗ AB=( 2.1 ) ⃗ AB=¿ ⃗ B −⃗ A=( 2.-1.−3.−3 )=−12+15−3=0 ⃗ AC . ⃗ BC= ( 2.1 ) .2.−8. ⃗ BC . ⃗ AB Y ⃗ C −⃗ A = ( 8.3) ¿ (−2. A ¿ ( 1. 12 2 El Área del polígono: ABCD=16.−1 ) Área ∆ ABC = 1 |AB∗AC| = 2 = Área ∆ ACD = Área ∆ ADE = | i j k 1 3 −3 −6 2 2 2 −7 | 1 |(33.5.3.2.2.84 2 1 |AC∗AD| = 2 = | i j k 1 −2 −4 1 2 3 −3 −6 | | i j k 1 2 2 −7 2 1 3 −1 1 |(19.−7 ) ⃗ AE =( 2.4)|=10.5.y.−6 ) ⃗ AD =( 3.4.−9.18)|=16.−9.−1.12 2 1 |AD∗AE| = 2 = | 1 |(27.2.12)|=18.2.−3 )−(1.2. Hallar un vector A que sea perpendicular al vector que pasa por los puntos P=(-1.−3.84+18.3) ¿ ( 1.3) y cuyo modulo sea 3 y sus componentes en x e y son iguales.−4 )−(1. Sea el vector ⃗ A =(x.98 ⃗ 47.⃗ AC =( 4.12=44.12+120.3) ¿ ( 3.z) .3) ¿ ( 2.1.2 )−(1.-1) y R= (2. ⃗ ⃗ a) A −m B ⃗ B =(−1. ± )=± √ 6 2 2 47..1)|+ (−1 ) =|( 2.Hallar las siguientes expresiones.⃗ PR=( 2. reemplazar en (2) 2 x 2 +(−2 x)2=9 .−1.−1) ¿ ( 0.0.1.−1. m=-1.1 )=(3.1.−1 )−(−1 ) (−1.2.−1 ) −(1.1) ¿ ( 1.1.2) ⃗ PR.1.3 ) −(−1.1.−1.2. ⃗ A=3 x + y +2 z=0 … … … . Dados los vectores ⃗ C =( 1.1 ) ⃗ b) |n C|+m ⃗ c) ⃗a −m C ⃗ ⃗ a) A −m B=( 1.0 ) b) |2(1.(1) | A|=√ x2 + y 2 + z 2=3 Como x=y x 2+ y 2 + z 2=9 2 x 2 + z 2=9 … … … (2) De (1): 3x+x+2z=0.−1 ) y n=2.2 )|−1 . -2x=z.−1.1 ) ⃗ A = (1. 6 x 2=9 .1. √ 3 2 √ √ √ 3 )=± √ 6 2 z=−2(± A=−(± x=± 3 3 . Hallamos el vector ⃗ AB=⃗ B −⃗ A ⃗ AB=( 2.−1.1) .1.−2) y ⃗ D =(0. Los vectores del origen a los puntos A.1.67 −3 -El eje z: cosy= √ 26 δ =126.−1) −(−1 ) (1.−1.0) ⃗ C=(3.1.−1) −(1.04 49.−1. Hallar las cosenos directores de la recta que pasa por los puntos A (1.−4.B.1 )=(1.−3) AB=√ 26 Su modulo ⃗ El Angulo que hace la recta con: 1 -El eje x: cosx= √ 26 x=78.5.3.69 −4 -El eje y: cosB= √ 26 β=|4|.C.1.-2).1) √3 | ¿ | (1.-3.D son ⃗ A =(1.¿ √12−1 ¿ 2 √3−1 | ⃗ b) |a−m C|= | (1.1) y ⃗ B =( 2.−3 m−2 ) −( 1.1) √3 ¿ 2 √12−2 √ 3/3 48.1) y B (2.1. 9) reemplazar en ⃗ A +⃗ B=(11.−11.5) ⃗ A +⃗ A+ ( 5.11. ⃗ ⃗ A yB Hallar a) ⃗ A +⃗ B=( 11.3.⃗ ⃗ Demuestre que las rectas AB y CD son paralelas y halla la relación de las longitudes a) Hallemos ⃗ AB =⃗ B −⃗ A=( 2.−1.−1.−1.11.11.−11.9 ) y ⃗ B= ⃗ A −(−5.5) ⃗ A — 5.5) 2⃗ A =( 11.3) CD=⃗ D−C 1 ⃗ ⃗ Se puede ver que AB= 3 CD . Dados los vectores ⃗ A−⃗ B =(−5.−9 ) (6.14) y .11.5 )−( 5.1.−1. ⃗ AC /¿ ⃗ CD b) Los módulos |⃗ AB|=√ 1+4 +1= √6 |⃗ CD|= √ 9+36 +9= √54 ⃗ AB 6 1 1 =√ = = ⃗ CD √ 54 √ 9 3 | | 50.5.1 )=(1.−1) ⃗ ⃗ =( 0.5 ) y b) El angulo formado por ⃗ A (⃗ A+ ⃗ B) a) De ⃗ A−⃗ B =(−5.−1.9) .−2 )=(−3.0 )−( 1.1 )−( 3.2.−9 ) (11.−1.9 ⃗ A +[ ¿ ) (11.10.−6. 2.22 √ 83 .8) .−12 ) La distancia solicitada es el modulo ⃗ PQ |⃗ PQ|=√( 4)2 +(2)2 +(−12)2=2 √ 41 Demostrar que los extremos de los vectores ⃗ P=(−1. Hallar la distancia entre los puntos P (-7.2) determinar un paralelogramo.−9) ⃗ Q=(1.5 )= √ 83 √ 147 cosθ 33−5+35 =cosθ .−7 )−(−7.5.( ⃗ A+⃗ B )=A |⃗ A+ ⃗ B|cosθ ( 3.10.5) y Q (-3.7) ⃗ B =( 3.14 ) 2 (3.−5.9 (8.−1.5.6.−2) b) ⃗ A .5.7 ) — 5.4.-7) Hallaremos el vector ⃗ PQ : ⃗ PQ=⃗ Q− ⃗ P =(−3. θ=55.5.6. ( 11.5) ⃗ PQ=( 4.11.−3) ⃗ R=(2. Se debe demostrar que y ⃗S=(4.7 ) .4. √ 147 51.−6.−7.7.1 ⃗ A = ( 6. |⃗ SQ|=|⃗ RP| ⃗ RS= ⃗S −⃗ R ¿ ( 4.1) ⃗ Q=(−1.8 )−(2.2.−9 ) −( 2.−5.⃗ RS/¿ ⃗ PQ .−1) ⃗ R=(2.−7.2.7.−11) ⃗ RP=(−1.2 )=(−3.12.Q R .5. ⃗ SQ /¿ ⃗ RP |⃗ RS|=|⃗ PQ| .⃗ P .−2.8 )=(−3.2) ¿ ( 2.12.3.−7.−5.6 ) Se ve que ⃗ RS/¿ ⃗ PQ ⃗ SQ=( 1. Hallar el vector unitario normal al plano formado por los vectores ⃗ ⃗.4) 52.−3 ) −( 4.−11) Se tiene |⃗ SQ|=|⃗ RP| |⃗ RS|=√144=⃗ PQ |⃗ SQ|=√ 274=⃗ RP Dados los vectores: ⃗ P=(1. 2. los multiplicamos es un vector que es normal al ⃗ plano formado por PR y PQ . u= ⃗ PR x ⃗ PQ ⃗ ⃗ |PR x PQ| ⃗ PQ=⃗ Q− ⃗ P =(−1.2.−3) | | i j k ⃗ PR x ⃗ PQ= 1 1 3 −2 0 −2 ⃗ PR x ⃗ PQ=−2 i+4 j+2 k u= 1 (−1.2.1) √5 .Hallaremos los vectores vectorialmente ⃗ PR x ⃗ PQ ⃗ ⃗ PR y ⃗ PQ .3.1 )=(1.−2) ⃗ PR= ⃗ R −⃗ P=( 2.1.2.4 )−( 1.−1 )−( 1. luego lo dividimos entre su modulo y tendremos la solución.1 )=(−2.0.