el vector N = (x 2. Veamos un ejemplo: 1 Ahora para obtener el encuentran en un mismo vector MN. 4 o Modelo matemático que ( x1.x1 ) 2 + ( y2 .y1 ) utiliza para representar a 2 2 2 las magnitudes A vectoriales. Podemos ELEMENTOS BASICOS .4) A=nB.y2) A -2 Son aquellos que se suma.4) Resolución: Para realizar la suma REPRESENTACION 4 B En general: Si AB matemática de vectores. donde CARTESIANA DE UN único que tenemos que VECTOR “n” es un número real.y2) . lo (1. (módulo) punto.Es la representación de Ahora: Se caracterizan porque algunos fenómenos 2 2 sus rectas de acción se físicos empleando AB = 3 +4 =5 cortan en un mismo modelos vectoriales. Por el Línea de 1. plano (3.y1) 4.0) A III. La física saetalo (dirección) Pitágoras. Vectores de acción teorema iguales: orientado.0) Y2 para luego unirlos = (3. MN= N-M= (x2.x1 � B A es= -B la suma.y1 ) 2 B A=B q q dirección Modulo o longitud del Vector MN 2.1. 2. Relación entre 2 vectores desde dos puntos II. Vectores X1 X2 X concurrentes: 2+1. igual modulo igual dirección. -5) + (2. (-2. MN = A ( x2 . Calcular el vector. B=(1. -5+3) = (5. Considerando : igual modulo: (vector X y2 .0) q obteniendo así.4) B D (como se muestrainicio en Y2-Y1 q C la figura):Y1 X -X AB= (3.4) – (-2. hacer es sumar las Sean los puntos : respectivas componentes M = (x1. Vectores coplanares: de los vectores sumandos. la dirección del B Modulo del vector vector AB. 3. MODULO I. EJEMPLO 3. si: SUMA DE VECTORES A=(-2.y1 � A q = Arctg� 2 � Dirección del Vector MN A + B = 0 una serie de realizar operaciones. Una de ellas �x2 .x1 ) sentido + ( y2 . MN = ( x 2 . AB= N Bfinal – A = (1. DIRECCIÓN de vista: matemática y II. SENTIDO A MATEMÁTICA III.y1) Vector MN Tgq = � q = 53 A B gráficamente se 3 dirección representa por un PROPIEDADES segmento de recta Y II.NOTACIONES realizar la suma de I. su vectores paralelos. -2) .4) M 2 1 vector 5. Línea de C referencia. ubicaremos los Entonces: puntos “M”Y y “N” en A el plano cartesiano. gráfica módulo.y1 negativo o SUMA DE VECTORES tgq = antiparalelo) x -x 2 1 A =Con -B los vectores podemos �y . Vectores opuestos de III.3) = (3+2. VECTOR NOTACION Y DEFINICION Finalmente: I. 2 2 2 considerar que la dirección Puedes ver un ejemplo en S = A + B . r contiene al punto origen -i = de ambos vectores. Siempre los primeros r mismo punto de origen.A z) vectores A y B. u A EsyuArel=. se tendrá analizando la tangente del que la A B que casi siempre es resultante de los ángulo mismos será nula: un triángulo notable.2ABCosq de dicho vector estará r el gráfico que va a dado por el ángulo que i = (1.Academia Antonio Raimondi -3. que consiste en ur uuu r ur colocar los vectores de A = mA A q modo que ambos tengan el Ax .0. o también ACos q método grafico del A +z triángulo. j = (0.r Ajx + A y + A z Donde el ángulo q es el RECTANGULARES q AA =A u vector r der r runitario A x i + A y j + A zk ur -Y q A x +x menor ángulo Todo vector tiene dos comprendido entre los componentes en los ejes r mA : q q ur A = (A x . determinan un j = (0. rectangulares cartesianos. siendo la del paralelogramo. de la siguiente manera: m A = (cosq.0) �� continuación: r POLIGONO CERRADO forma con el eje “X”.1) director será el coseno de paralelogramo. A A D trazamos en el extremo del Como nota práctica vector A. La diagonal Al igual que en el caso de dicho ángulo.0) Ambas paralelas y los dos B que estará juntoBal ángulo r vectores. ley del paralelogramo de la r siguiente manera: También debemos -j = determina el vector SUMA.1) � resultara cerrado por los ángulo o simplemente mismos vectores. C +Y r E ur ur ur ur ur A +VECTORES B + C +UNITARIOS D+ E = 0 j r Formula del ur paralelogramo D R =Son 0 utilizados para indicar -x i +x 2 2 2 la dirección de un vector.0. VECTORES UNITARIOS gráfica de dos vectores. que la adición utilizaremos la otra componente el seno.1. r mA = 1 Ar z 2 2 2 +YA = A x + A y + A uno en el eje X y otro en el SUSTRACCION DE r j VECTORES eje Y. uu r +Y uri ur urr uuur ur S = A + B + 2ABCosq COMPONENTES Su módulo es la unidad. / Ax utilizamos el "método del CARTESIANOS paralelogramo". de A y= Donde: m A : vector SUMA GRÁFICA de modo que el vector ASen q unitario paralelo al VECTORES diferencia es aquel que vector A o vector complete la figura unitario de A. Para ello.senq) +z r i +x Solo se pueden restar de A En general: uur dos en dos y de forma Ay Donde: Ax= r ur A -cumple k que: Además se práctica usaremos el m A = uuur .A y . r siempre la componente i = (1. una paralela al q podemos q considerar que vector B y viceversa. formando de esa manera Para realizar la suma Tgq = Ay un triángulo.0) � pudiéndose hallar con el r Si el polígono vectorial arcotangente de dicho k = (0. q . La resultante máxima II. 53o Bde los vectores 53o mostrados: 2. Dado los vectores a)30u b) 15u c)28u d)26u A=20i + 8j y B=-13i + c)25u d)10u e)12u 16j determine su e)50u resultante. 0o b) 6. 8.coscuerpo q formando un BD. 12. Calcular el resultante del conjunto 25u 1. determinar e)7 3. En un rectángulo ABCD A y = A. Si el sistema mostrado a)3 b) 3 3 e)20N expresiones: tiene resultante c)4 d) 4 3 I.cos 4. En el cubo mostrado: y la mínima es 2u. Si las fuerzas a) 20 y 143o valor de la resultante forman entre si un b)20 y 127o c)10 es: ángulo de 60o. Para sacar un clavo se le aplican dos fuerzas 13.Academia Antonio Raimondi -4. Tiene dirección el módulo de ésta: de dos vectores es 14u III. 16o vectores mostrado. c)45o d)53o forman 60o. A z = A. 37 o A del vector resultante e)5u e)30. A x = A. Halle el módulo y la dirección del grupo de módulo de la mayor de 10 2u de vectores mostrados en la figura: 45o a)2AC c)3AC b) AC d)2AB las fuerzas. y CB. La resultante máxima d)5 e)7 3u de dos vectores es 16u 5. C=11. La 2 ángulo 2 de 60o2entre sí. dichos vectores sean 50u c)FVV 53o ortogonales. 37o 9. determinar el conjunto de módulo del vector vectores a) 30o b) 37 o resultante cuando mostrado. 1 e)2AD indicando su módulo y a) 2 b)6 c)4 10u 53o 1 dirección. Tiene infinitas 45u 14. componentes hallar la resultante de Hallar la magnitud de vectores. Determinar la resultante de los 6 Cos + Cos + Cos q = 1 dando por resultado dirección del vector vectores es: EJERCICIOS 61 . e)60o B=20. Además A=40. AD. 53o d)10. d)VFV 60u e)FFV . a)14u b) 28u a) 10. Determinar el módulo c)20u d)10u c)10. AC. DC. indique la e)26u 3 a) 26N b) 30N verdad (V) y falsedad c)36N d)40N (F) de las siguientes 10. D=15. En el sistema de D C concurrentes de 16N y vectores mostrado el 5u 14N. ¿Cuál y143o d) 10 y es la fuerza resultante 7u 12u 127o e)10 y 53o que actúa sobre dicho a) 13u b) 10u 3 3 clavo? 6.cosvalores consecutivos a) 25 b) 15 c)20 se encuentran los actúan sobre un d)30 e)10 vectores AB. si el lado del la resultante cuando a) VVV b) VVF cubo es “a”. Con relación a un c)28u d)15u vector. Dos fuerzas de 11. Siempre los primeros a) 20u b)24u 7. Tiene magnitud horizontal. Hallar el módulo y y la resultante mínima dirección del es 4u. 6 .2 / 3. . A=8m. B=3m y 27.3. donde B = ( 1. 26.48) c) B = 3i$+ 3j$. Dados los siguientes determinar el valor de vectores: “n” para que el vector r ˆ . si se 4 2 d)4a e) a 2 cumple que PQ=QR/2 a. siendo C=5m ur mostrados. Según los vectores 12. z) . En el triángulo a) 4 3 b) 3 c) determinar el vector X 22.0 ) a) FFF b) VFF a 3 d)2a vectores A. hallar z.B) sea c) a 5 d) a 6 b = 4ˆi .C – D.3c A = 2i + 2j$y $ b) (-24.3 / 2.2u + Kv .18. En el cubo de lado “a” A B b = 5u ..3) proposiciones: 12 a) 3 b) 4 c) T y d) 8 24. Hallar el vector F. ur igual módulo 1u.-24) e) (- 24.4. e) 2a 2 c = . si 64 e) 9 A = ni$+ 3j$.3j$+ k $.48) C = 4 A-B 19.-18. Dados los vectores 18. la (punto y cruz) de los siguientes vectores ahí resultante a) X=(2A-B)/3 b) es nula. el a . falso (F) según que se muestra. Calcular el producto R= A + B .24) r r r (a .3ˆj + 3k r ˆ perpendicular a B . a = .5.(4b .1.ˆj + 4k Determinar: 15. -1) el vector original.sabiendo 3 . -5 / 2) a=13.1) 17.3b+ 2c 25. todos de A = ( 1/ 2.7.3v . z A B C Y B = ( 2. Calcular el valor de k 17 d) 2 7 e) en función de los a) a b)2a c)3a sabiendo que vectores A y B.2) identifique la a) 1 b)2 c)3 ur veracidad (v) o A = ( 2.1.Academia Antonio Raimondi -5. hallar corresponda: el modulo del vector X 23.3) y ur mayor que X=(2B+A)/3 B = ( . Siempre los primeros además que T = 50N B = -$i . r r r a = . Indicar verdadero (V) o r r r 16. B. 21. En la siguiente figura a) 1 b) 2. 20. Dados los vectores lado del cubo es “a”.b resultante de los r r r vectores mostrados.3c)�2b módulo del vector: ( ) (-24. ur ( ) Si 5C = 0 C=0. -4 ) Y ur e) FFF figura. ur c) VVV d) VFV e)2 a 2 mostrados en la A = ( 9.5 determinar la r r d) -22 e) 8 a. a) (-24.2b).4. C. Determinar el módulo A = ( 0. el (24.-18.2) Y d)4 e)5 ur falsedad (F) de las P X X B = ( 8.-18.0. -4.b = .24) d) r r r .-18. y P = 52N. escalar y vectorial ( ) Sin un polígono A P Q R vectorial es cerrado.2iˆ + 3ˆj + k a) a 2 b) a 3 r ˆ y ( A .5 c) 5. -1) Y a) a b) a 2 c) ur de la suma de los B = ( 0. Dado el vector a= (4. C mostrados: B X=(2A-A)/3 c) ( ) Es imposible que X=(B-2A)/3 ur una componente sea D d) X=(B+2A)/3 e) A = ( 5.2k $y F=T +x P . Hallar x en función de uu r r m y n . Siempre los primeros I.6j . Hallar el vector A. El módulo de la 45o d) 53o e) 60o resultante vale 89u a) FFF b) FVF c) VFF d) FVV e) VFV 28.Academia Antonio Raimondi -6. Todos los vectores son iguales. ¿qué ángulo forma la resultante con el eje de las “X”? 50 37o 60 37o 50 .n n. 3 2 15 3 A a) 3i+4j b) 5i . (AB=BC=CD) m X n A B C D uu r r r u uu rr u m.n a) b) n .m d) e) 3 3 uu rr ( 2 r uu 3 n. Hay 8 vectores iguales.com 29. II. a) 30o b) 37o c) III.jimdo. El vector resultante del sistema es ur R = -8i .8j c) 3i – 7j d) 3i – 9j e) Consultas: 4i – 11j http://tutoria- r rai.m ) 30.m c) 2 2u uu r r r uurr u m.