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Ejercicios algebra1. Utilice el método de eliminación de Gauss – Jordán, para encontrar todas las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales: 1.1 x – 4y – 7z = 1 5x -7y - z = 5 -4x + y + 6z = -4 1 -4 -7 1 1 -4 -7 1 1 -4 -7 1 F1 (-1) + F2 --> F2 F1 (4) + F3 --> F3 5 -7 -1 5 F2 + F3 --> F2 1 -6 5 1 0 -2 12 0 -4 1 6 -4 -4 1 6 -4 -4 1 6 -4 1 -4 -7 1 1 -4 -7 1 F2 (15) + F3 --> F3 1 0 -31 1 F2 (-1/2) --> F2 F3 (-112) --> F3 0 -2 12 0 0 1 -6 0 0 1 -6 0 F2 (4) + F1 --> F1 0 -15 -22 0 0 -15 -22 0 0 0 -112 0 1 0 -31 1 F3 (6) + F2 --> F2 1 0 0 1 0 1 -6 0 0 1 0 0 0 0 1 0 F1 (31) + F1 --> F1 0 0 1 0 Comprobando los resultados: x = 1; y = 0; z = 0 x – 4y – 7z = 1 => 1 - 4(0) – 7(0) = 1 => 1 – 0 – 0 =1 => 1=1 5x -7y - z = 5 => 5(1) – 7(0) – 0 = 5 => 5 – 0 – 0 = 5 => 5 = 5 -4x + y + 6z = -4 => -4(1) + 0 + 6(0) = -4 => -4 + 0 + 0 = -4 => -4 = -4 1.2 3x – 4y -7z = 11 5x – 7y –z = -18 1/3 3 -4 -7 1 1 -4/3 -7/3 F1(-5) + F2 --> F2 F1(1/3) --> F1 5 -7 -1 -18 5 -7 -1 -18 1 -4/3 -7/3 1/3 1 -4/3 -7/3 1/3 F2(4/3)-F1 --> F1 F2(-3) --> F2 - 0 -1/3 32/3 0 1 -32 54 54/3 1 0 128/3 72 0 1 -32 54 El sistema tiene infinitas soluciones, escribimos el vector que satisfaga las dos ecuaciones despejando cada una así: Despejando la primera ecuación X – 128/3z = 72 X= 72 + 128/3z Despejando la segunda ecuación -y -32z = 54 -y = 54 – 32z El vector queda así [72 + 128/3z , 54 + 32z] 1.3 2. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la inversa (utilice el método que prefiera para hallar A-1 ). Resolución por determinantes: Resolución por Gauss – Jordan Calculamos el determinante 3 -4 -7 5 -7 -2 3 -7 -2 - -4 5 -2 + -7 5 7 -4 1 6 1 6 -4 6 -4 1 3(-42 - 2) + 4(30 – 8) – 7(5 + 28) -126 – 6 + 120 – 32 – 35 + 196 Determinante = 117 El sistema tiene una única solución, aplicamos el método Gauss – Jórdan: F1 + F3  F3 3 -4 -7 1 0 0 3 -4 -7 1 0 0 5 -7 -2 0 1 0 5 -7 -2 1 1 0 -4 1 6 0 0 1 -1 -3 -1 1 0 0  F3 (-1)  F3 F3 (2) + F2  F2 ^ F3 (7) + F1  F1 3 -4 -7 1 0 0 10 17 0 -6 0 -7 5 -7 -2 0 1 0 7 -1 0 -2 1 -2 1 3 1 -1 0 -1 1 3 1 -1 0 -1 F2 (-17) + F1  F1 ^ F2 (- 3) + F3  F3 F1 (- 1/129)  F1 10 17 0 -6 0 -7 129 0 0 -40 17 -41 -7 1 0 2 -1 2 -7 1 0 2 -1 2 1 3 1 -1 0 -1 22 0 1 -7 3 -7 F1 (7) + F2  F2 ^ F1 (- 22) + F3  F3 1 0 0 40/129 -17/129 41/129 1 0 0 40/129 -17/129 41/129 -7 1 0 2 -1 2 0 1 0 538/129 -248/129 545/129 22 0 1 -7 3 -7 0 0 1 -1783/129 761/129 -1805/129 A continuación multiplicamos la matriz resultante por el vector [ -11 -9 7 ] 40 −17 41 −440+153+287 [ 129 129 129 ] [ -11 -9 7 ] = 129 = 0 538 −248 545 −5918+2232+3815 [ 129 129 129 ] [ -11 -9 7 ] = 129 =1 −1783 761 −1805 −19613−6849−12635 [ 129 129 129 ] [ -11 -9 7 ] = 129 = 1 Ahora probamos que los valores resultantes satisfagan el sistema de ecuaciones: 1. 3x – 4y -7z = -11 3(0) -4(1) -7(1) = -11 0 – 4 -7 = -11 -11 = -11 2. 5x -7y –2z = -9 5(0) -7(1) – 2(1) = -9 0 – 7 – 2 = -9 -9 = -9 3. -4x +y + 6z = 7 -4(0) + 1 + 6(1) = 7 0+1+6=7 7=7 Es la solución. 5. Encuentre la ecuación general del plano que: 5.1 Contiene a los puntos P= (-8,4,1), Q=(-1,-8, -3) y R=(-3,-2,-1) Hacemos la resta entre los puntos P y Q, y la resta entre los puntos P y R: P-Q= (-8;4;1) - (-1;-8;-3)= (-7;12;4) P-R= (-8;4;1) - (-3;-2;-1)= (-5;6;2) Con los resultados hacemos el producto vectorial entre ellos (-7;12;4) ^ (-5;6;2)= (0;-6;-18) Después reemplazamos en la fórmula de la ecuación del plano A= (0,-6;-18) x (x- (-8); y-4; z-1) A= 0x+0 -6y+24 -18x+18=0 A= -6-18z+6=0 5.2 Contiene al punto P= (-1,-8, -3) y tiene como vector normal a n = 3i + 2j - 5k a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0 Sustituimos: 3(x-(-1)) + 2(y-(-8)) - 5(z-(-3))=0 3(x+1)+2(y+8)-5(z+3)=0 3x+3+2y+16-5z-15=0 3x+2y-5z+4=0 6. Encuentre todos los puntos de intersección de los planos: π 1 = 9x -2y -8z = 10 y π2 = -5x -7y -8z = 2 Resolvemos el sistema por medio de Gauss F1 (1/9)  F1 F1 (5) + F2  F2 9 -2 -8 10 1 -2/9 -8/9 10/9 -5 -7 -8 2 5 -7 -8 2 F2 (- 9/73)  F2 F2 (2/9) + F1  F1 1 -2/9 -8/10 10/9 1 -2/9 -8/10 10/9 0 73/9 -112/9 68/9 0 1 112/73 -612/657 1 0 40/73 -66/73 0 1 112/73 -612/657 Una vez resulto por Gauss, obtenemos las siguientes ecuaciones: 40 −66 −66 40 106 x+ = despejando x queda: x = - resolviendo queda: x= 73 73 73 73 73 112 612 612 112 180 y+ 73 = − 657 despejando queda: y = − 657 - 73 resolviendo queda: y = − 73 106 180 El punto de intersección de los planos π1 y π2 es ( 73 ,− 73 ) Para demostrarlo reemplazamos los valores de las coordenadas en las ecuaciones así: π 1 = 9x -2y -8z = 10 y 106 180 9( 73 ) – 2(− 73 ) -8 = 10 954+360−584 = 10 73 730 73 = 10 10 = 10 π2 = -5x -7y -8z = 2 106 180 -5( 73 ) – 7(− 73 ) -8 = 2 −530+1260−584 =2 73 146 73 =2 2=2 Es la solución.