Variogramas y Composito de muestras agrupadas

GEOESTADÍSTICA ICONSTRUCCIÓN DE VARIOGRAMAS Y COMPÓSITO DE MUESTRAS DE 10000 DATOS GENERADOS ALEATORIAMENTE COMPARTIDOS CADA 4, 6 Y 8 GEOESTADÍSTICA I Jorman Barrera Vergara Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Geológica, Minera y Metalúrgica 1 GEOESTADÍSTICA I ÍNDICE Objetivos………………………………………………………………………………… ….…..….……3 Introducción…………………………………………………………………………… ….….….……4 Marco teórico…………………………………………………………………………. …..…..……...5 Muestras compositadas y compartidas…………………. ……………………………….10 Cálculo de Histogramas, parámetros estadísticos y Variogramas…………………………………………………………………….. ……………………..15 Análisis y Evaluación de Resultados……………………………………………. ….….……22 Conclusiones…………………………………………………………………………… ……….……23 Fuentes………………………………………………………. ……………………………………..…..24 Anexos…………………………………………………………………………………… ……..………25 2 GEOESTADÍSTICA I OBJETIVOS  Elaborar histogramas y variogramas para 10000 datos generados aleatoriamente y para datos agrupados o compositados compartidos cada 4, 6 y 8 datos.  Analizar el comportamiento de dichos gráficos para cada caso analizado.  Interpretar los resultados de las gráficas para comprender las diferencias entre los parámetros estadísticos y la utilidad de la geoestadística. 3 La geoestadística surge en la década del 50 a partir de estudios realizados con el objetivo de obtener una mayor precisión en la estimación de recursos y reservas minerales. finanzas.GEOESTADÍSTICA I INTRODUCCIÓN En el campo de las ciencias de la tierra es muy común encontrar variables distribuidas espacialmente. la salud. Matheron en 1965. En el presente trabajo se mostrará la construcción de variogramas e histogramas de 10000 datos generados aleatoriamente. cartografía. Su punto de partida es el análisis de los fenómenos distribuidos en el espacio (por ejemplo la mineralización) Hoy en día. se obtienen elementos para predecir sus características. ingeniería civil. además se mostrará 4 . pesca. el establecimiento de la escuela de Fontainebleau y finalmente el desarrollo de la Geoestadística asociada con la informática. para el estudio de estas variables son usados diversos procedimientos geoestadisticos. En el surgimiento y desarrollo hay tres elementos importantes que destacar: la consolidación de la geoestadistica con los trabajos de G. el medio ambiente. los dominios de aplicación de la geoestadistica son amplios ya que a partir del estudio de la variabilidad de sus variables. Además de la minería que es el campo que le dio origen se pueden mencionar otras áreas de estudio tales como: el petróleo. entre otros. Una función aleatoria es una función Z(x) que asigna a cada punto x del espacio un valor que depende del azar (es decir un valor aleatorio). Se designa la variable regionalizada por la notación z(x). Para alcanzar los objetivos propuestos es necesario disponer de un modelo matemático. La hipótesis constitutiva de la geoestadística consiste en afirmar que la variable regionalizada en estudio es la realización de una cierta función aleatoria. mediante el modelo de las funciones aleatorias. MARCO TEÓRICO En términos mineros se define la geoestadística como la aplicación de la teoría de las variables regionalizadas a la estimación de los recursos mineros. Sea x un punto del espacio. 5 . Al hacer un experimento sobre la función aleatoria se obtiene una función ordinaria (no aleatoria) z(x) llamada realización de la función aleatoria Z(x). Lo anterior equivale a decir que las leyes de nuestro yacimiento se generaron a partir de un proceso o experimento muy complejo. La geoestadística utiliza una cierta interpretación probabilística de la variable regionalizada. Una variable regionalizada es una función que representa la variación en el espacio de una cierta magnitud asociada a un fenómeno natural.GEOESTADÍSTICA I el procedimiento para compositor dichos datos y agruparlos cada 5. 20 y 50 metros para así finalmente determinar y analizar las diferencias estadísticas y geoestadisticas que presenten nuestros resultados. 10. y) = ley de litio en el Salar de Atacama. 6 .GEOESTADÍSTICA I  Un ejemplo de función aleatoria es la siguiente: Z(x) = Z(x. se composita de 10 en 10. No se indican las escalas de las leyes.GEOESTADÍSTICA I  Leyes de litio en el Salar de Atacama para dos campañas de reconocimiento en el tiempo. Una realización de esta función aleatoria corresponde a la variable regionalizada z(x) = ley de Li en un mes dado. COMPOSITAR: Es el promedio aritmético de un determinado grupo de valores. obteniendo 1 nuevo dato por cada grupo. Por ejemplo de 10000 datos. Siendo un herramienta de uso en el análisis de reservas minerales en una región definida. VARIOGRAMA: Es una función vectorial que permite medir las discrepancias de una propiedad en una región del espacio. Se observan los puntos de bombeo y el decrecimiento de las leyes en el tiempo. en total se obtendría 1000 datos. El variograma es una función que constituye la herramienta fundamental de la geoestadística. cuyo número de elementos es un múltiplo del número de elementos total. Como se trata de salmueras las cuales están en movimiento debido a corrientes subterráneas y a la explotación. Sean x y x + h dos puntos en el espacio 7 . el valor de Z(x) en un punto x es aleatorio y es variable en el tiempo. GEOESTADÍSTICA I La definición teórica de la función variograma γ (h) es la esperanza matemática siguiente: Sin embargo. n = 1. 3). Las propiedades de γ(h). en la práctica siempre se utiliza el algoritmo siguiente: Esta ecuación es la que hay que adaptar en cada situación práctica (mallas regulares e irregulares en el espacio de n dimensiones. 2. que se deducen fácilmente de la definición son: LA FUNCIÓN VARIOGRAMA: Los variogramas se calculan mediante la fórmula general Donde: Z: variable estudiada Z( ): valor de dicha variable en el punto Z( +h): valor de la variable en el punto ( +h) h: paso entre las muestras (distancias iterativas) 8 . se calcula mediante: Varianza ( ): describe la variabilidad de la distribución. lo cual generalmente sucede cuando se sobrepasa una subestructura por debajo de la escala de trabajo. C0 es el llamado efecto de pepita. el fenómeno es totalmente estructurado. se calcula mediante: 9 .GEOESTADÍSTICA I nh: número de parejas 2 (h): valor de la función variograma para un valor h Gráficamente un variograma tiene la apariencia mostrada en la figura inferior. es decir depende o está controlado por la función (h). o sea independiente de la función variograma. PARÁMETROS ESTADÍSTICOS Se calcularan parámetros estadísticos que nos ayudaran en el análisis tales como: Media ( ): el cual es el promedio de todos los datos en la muestra. Fuera de “a” el fenómeno es ALEATORIO. Dentro de la distancia “a” (alcance). que nos da cuenta de cambios bruscos de los valores a pequeña escala. para luego ser agrupados de 10 en 10. se calcula mediante: Coeficiente de Variabilidad (CV): el cual se calcula mediante.  Primero debemos generar diez mil (10000) datos aleatorios. 10 . Consideraremos un yacimiento siendo el metal de interés el oro. 6 y 8 datos. cuyas leyes variarán entre 0 y 1. Se analizaran los histogramas y Variogramas de los datos generados. Generamos número aleatorios mediante herramientas contenidas en el programa Excel.GEOESTADÍSTICA I Desviación Estándar (σ): describe el grado de dispersión de la distribución. MUESTRAS COMPOSITADAS El problema consiste en generar 10000 datos aleatoriamente. para posteriormente agruparlos compartiéndolos cada 4. Utilizamos macros de Excel e introducimos el siguiente algoritmo en Visual Basic para generar los datos agrupados: 11 .GEOESTADÍSTICA I Algunos de los datos generados aleatoriamente.  Luego compositamos los datos en grupos de 10 en 10.  GRUPOS DE 10 EN 10 COMPARTIDOS CADA 4 DATOS 12 .  Son los 20 primeros datos obtenidos con el algoritmo.GEOESTADÍSTICA I  Así generamos 1000 datos del grupo 10 en 10. GEOESTADÍSTICA I Compositamos los 10000 datos en grupos de 10 compartidos cada 4 datos.  GRUPOS DE 10 EN 10 COMPARTIDOS CADA 6 DATOS 13 . utilizamos un algoritmo en macros de Excel que se mostrará al final del presente trabajo y compositamos obteniendo: Son los 20 primeros datos obtenidos con el algoritmo.  GRUPOS DE 10 EN 10 COMPARTIDOS CADA 8 DATOS Compositamos los 10000 datos en grupos de 10 compartidos cada 8 datos: 14 .GEOESTADÍSTICA I Compositamos los 10000 datos en grupos de 10 compartidos cada 6 datos: Son los 20 primeros datos obtenidos con el algoritmo. PARÁMETROS ESTADÍSTICOS Y VARIOGRAMAS 15 . CÁLCULO DE HISTOGRAMAS.GEOESTADÍSTICA I Son los 20 primeros datos obtenidos con el algoritmo. Para datos agrupados 10 en 10 Determinamos la tabla de frecuencias para poder realizar el histograma de frecuencias. Para datos agrupados 10 en 10 compartidos cada 4 16 .GEOESTADÍSTICA I  CÁLCULO DE HISTOGRAMAS 1. 2. GEOESTADÍSTICA I 3. Para datos agrupados 10 en 10 compartidos cada 6 17 . Para datos agrupados 10 en 10 compartidos cada 8 18 .GEOESTADÍSTICA I 4. GEOESTADÍSTICA I  CÁLCULO DE VARIOGRAMAS 19 . 20 . Obtenemos otra matriz columna con los valores de la función mediante el algoritmo en Visual Basic.GEOESTADÍSTICA I Para calcular la función variograma de los datos generados utilizamos macros de Excel. GEOESTADÍSTICA I 21 . GEOESTADÍSTICA I 22 . GEOESTADÍSTICA I ANÁLISIS DE RESULTADOS  Se observa que mientras más datos analicemos los valores de la media.  El efecto pepita varía según cada gráfica disminuyendo a medida que compartimos un mayor número de datos. este me indica el error fundamental que se puede generar por error de muestreo y error de laboratorio. para nuestro caso el efecto pepita. 23 . esto se explica por qué trabajamos con números aleatorios y la distribución que siguen es la distribución uniforme. Al analizar un mayor número de datos verificamos la mayor realidad de los datos recogidos en campo. que en la gráfica se identifica por el corte de mi curva con el eje vertical. varianza y coeficiente de variación tienen una tendencia a valores fijos. 0.0016 para datos compartidos cada 8. la gráfica del variograma tendrá la forma de un serrucho.004 para datos compartidos cada 4.  Cuando se tengan los datos tomados aleatoriamente. en lo cual la estadística se limita en solo analizar el conjunto más no el orden. 0.  La meseta de cada gráfica de datos compartidos agrupados coincide con su varianza. esto evidencia que mientras compartamos un mayor número de datos nuestro error fundamental disminuirá. 24 .GEOESTADÍSTICA I CONCLUSIONES  El Variograma es una herramienta que nos ayuda analizar cómo están distribuidas las variables y determinar su comportamiento espacial.008. la cual es aproximadamente igual para cada gráfica con un valor de 0.  El valor de la media para datos aleatorios comprendidos entre 0 y 1 tiende al valor de 0.5 para datos agrupados y compartidos.003 para datos compartidos cada 6.  Se observa que cuando se agrupan los datos y son compartidos el efecto pepita de cada gráfica es igual aproximadamente al valor de γ(1) de cada función siendo estas: 0. APUNTES EN CLASE  Estimación de Recursos Mineros. D Marín Suárez.  Samuel Canchaya M.GEOESTADÍSTICA I FUENTES  Ph. Marco Antonio Alfaro Sironvalle. ANEXOS 25 . “EL MÉTODO GEOESTADÍSTICO: UNA PRESENTACIÓN COMPARATIVA CON LOS MÉTODOS TRADICIONALES DE ESTIMACIÓN DE RESERVAS”. n s = s + (Cells(i. 1) = Rnd Next End Sub Sub Botón2_VARIOGRAMA() For n = 1 To 9999 s=0 For i = 1 To 10000 .GEOESTADÍSTICA I  Para compositar los datos aleatorios y compartiéndolos cada cierto número se realizó mediante Macros y Excel. Sub Botón1_GENERAR_DATOS() For X = 1 To 10000 Cells(X.n)) Cells(n. 2) = m Next End Sub Sub COMPOSITAR_5en5() For n = 0 To 1999 s=0 For i = 1 To 5 s = s + Cells(i + 5 * n. a continuación se mostrará el código utilizado en Visual Basic. 1) . 1)) ^ 2 Next m = s / (2 * (10000 . 1) Next Cells(n + 1.Cells(i + n. 3) = s / 5 Next End Sub 26 . Cells(i + n. 5) . 3)) ^ 2 Next m = s / (2 * (2000 . 4) = m Next End Sub Sub COMPOSITAR_10en10() For n = 0 To 999 s=0 For i = 1 To 10 s = s + Cells(i + 10 * n. 5)) ^ 2 Next m = s / (2 * (1000 .n s = s + (Cells(i.Cells(i + n. 1) Next Cells(n + 1.n)) Cells(n.n s = s + (Cells(i.GEOESTADÍSTICA I Sub VARIOGRAMA_5en5() For n = 1 To 1999 s=0 For i = 1 To 2000 . 6) = m Next 27 .n)) Cells(n. 5) = s / 10 Next End Sub Sub VARIOGRAMA_10en10() For n = 1 To 999 s=0 For i = 1 To 1000 . 3) . 7) .n)) Cells(n.n s = s + (Cells(i.GEOESTADÍSTICA I End Sub Sub COMPOSITAR_20en20() For n = 0 To 499 s=0 For i = 1 To 20 s = s + Cells(i + 20 * n. 8) = m Next End Sub Sub COMPOSITAR_50en50() For n = 0 To 199 s=0 For i = 1 To 50 s = s + Cells(i + 50 * n. 1) Next Cells(n + 1.Cells(i + n. 7) = s / 20 Next End Sub Sub VARIOGRAMA_20en20() For n = 1 To 499 s=0 For i = 1 To 500 . 9) = s / 50 28 . 7)) ^ 2 Next m = s / (2 * (500 . 1) Next Cells(n + 1. 9)) ^ 2 Next m = s / (2 * (200 .GEOESTADÍSTICA I Next End Sub Sub VARIOGRAMA_50en50() For n = 1 To 199 s=0 For i = 1 To 200 .n)) Cells(n.n s = s + (Cells(i. 1) Next Cells(n + 1.4) * n.Cells(i + n.n s = s + (Cells(i. 12) . 9) . 12) = s / 10 Next End Sub Sub variograma_compartiendo4() For n = 1 To 1665 s=0 For i = 1 To 1666 . 10) = m Next End Sub Sub composito_10en10_compartiendo4() For n = 0 To 1665 s=0 For i = 1 To 10 s = s + Cells(i + (10 . 12)) ^ 2 Next 29 .Cells(i + n. n)) Cells(n.6) * n. 14) . 15) = m Next End Sub Sub composito_10en10_compartiendo8() For n = 0 To 4995 s=0 For i = 1 To 10 30 .n s = s + (Cells(i.Cells(i + n. 14)) ^ 2 Next m = s / (2 * (2499 .n)) Cells(n. 13) = m Next End Sub Sub composito_10en10_compartiendo6() For n = 0 To 2498 s=0 For i = 1 To 10 s = s + Cells(i + (10 . 1) Next Cells(n + 1.GEOESTADÍSTICA I m = s / (2 * (1666 . 14) = s / 10 Next End Sub Sub variograma_compartiendo6() For n = 1 To 2498 s=0 For i = 1 To 2499 . 17) = m Next End Sub 31 .Cells(i + n.8) * n. 16) .GEOESTADÍSTICA I s = s + Cells(i + (10 .n s = s + (Cells(i. 1) Next Cells(n + 1.n)) Cells(n. 16)) ^ 2 Next m = s / (2 * (4996 . 16) = s / 10 Next End Sub Sub variograma_compartiendo8() For n = 1 To 4995 s=0 For i = 1 To 4996 .