Cálculo de Probabilidades y VariablesAleatorias Ejercicio 1.1. Una mujer portadora de hemofilia clásica da a luz tres hijos. a) ¿Cuál es la probabilidad que de los tres hijos, ninguno esté afectado por la enfermedad? b)Cuál es la probabilidad que exactamente dos de los tres niños esté afectado? a) Probabilidad de tener un hijo sano (asumiendo que el padre está sano) : 50% A= afectado (50%) S= sano (50%) Probabilidad de que ninguno de los hijos este afectado: P (A1 A2 A3): 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,125 b) Probabilidad de que dos de los tres hijos esté afectado: { (AAS), (SAA), (ASA)} = 3 resultados posibles de 2x2x2 = 8 resultados posibles para tres hijos. 3/8 = 0,375 ; la probabilidad de tener exactamente dos de los tres hijos afectados Ejercicio 1.2 La proporción de alcohólicos que existe en la una ciudad es, aproximadamente, un 10%; no obstante, en las bajas que dan los médicos del Seguro Social difícilmente se encuentra el diagnostico de alcoholismo. Aparecen sin embargo diagnosticados de hepatopatías, lumbalgias, etc., que pueden hacer sospechar alcoholismo subyacente. Se realizó un estudio que puso de manifiesto que el 85% de los individuos alcohólicos y el 7% de los no alcohólicos sufran tales patologías. Se desea saber cuál es la probabilidad que un individuo con esas patólogas sea realmente alcohólico. Datos: Alcohólico: A+, No Alcohólico: A- , Sufrir patologías: E P(E) = P(A) P(E|A) + P(A-) P(E|A-) ¿Cuál es la probabilidad que el doctor haga un diagnostico incorrecto y el paciente presente una demanda? Probabilidades: C= dx correcto.148 P(A|E) = 0.06 Por lo tanto.6)(0.3 x 0.9. Ejercicio 1.3.574 Por lo tanto.9 P (D| I ) ∩ P (I) =0.27 La probabilidad es 0. D=demanda. P (D| I ) = 0. Ejercicio 1.2 P(V|E) = 0.27.1)(0.4%. . P(E)=0.2.02) / 0.02 P(V|E) = P(V) P(E|V) / P(E) P(V|E) = (0.07) P(E) = 0.4 El 60% de los individuos de una población están vacunados contra una cierta enfermedad.85) / 0. I= dx incorrecto. la proporción de vacunados en los individuos enfermos es 6% y la proporción de los no vacunados entre los que están enfermos es (100-6) = 94%. Dado que el doctor hace un diagnóstico incorrecto.3 .9)(0.85) + (0. P (C)=0.148 Luego: P(A|E) = P(A) P(E|A) / P(E) P(A|E) = (0. la probabilidad que un paciente presente una demanda es de 0.P(E) = (0.1)(0. P(E|V) = 0. La probabilidad que un doctor diagnostique en forma correcta una determinada enfermedad es de 0. P (V) = 0.7. Durante una epidemia se sabe que el 20% la ha contraído que 2 de cada 100 individuos vacunados contrajeron la enfermedad.7 . la probabilidad que un individuo con esas patologías sea realmente alcohólico es de 57.6 .9 = 0. P (I)=0. Hallar la proporción de vacunados que enfermaron y el de no vacunados entre los que están enfermos. aproximadamente..1 P(C|E) : 0.01. no obstante. la probabilidad que una empresa industrial contamine si hay ley ecológica es 0.1) = 0. que pueden hacer sospechar alcoholismo subyacente. La probabilidad que se promulgue una ley ecológica es 0. Calcular: (a) Se conoce que la empresa contamina.1= 0.5.01 a) P(E|C) : P(E) x P(C|E) / P(C) = (0.1.Ejercicio 1.148 . La proporción de alcohólicos que existe en la población del Callao es.9 c) P ( Cc ∩ E) = (0.5 .6. y la probabilidad que una empresa industrial contamine es de 0.1)(0. Se desea saber cuál es la probabilidad que un individuo con esas patologías sea realmente alcohólico.1)(0.45 Ejercicio 1.5) = 0. Cuál es la probabilidad que haya ley ecológica? (b) Probabilidad que la empresa no contamine (c) Probabilidad que la empresa no contamine y haya ley ecológica P(E): Ley ecológica: 0.9)(0.5)(0..5. lumbalgias.07) P(E) = 0.148 Luego: P(A|E) = P(A) P(E|A) / P(E) P(A|E) = (0. etc. Aparecen sin embargo diagnosticados de hepatopatías. Sufrir patologías: E P(E) = P(A) P(E|A) + P(A-) P(E|A-) P(E) = (0. En un país.P(C) = 1-0. un 10%.85) / 0. Datos: Alcohólico: A+. en las bajas que dan los médicos de la Seguridad Social difícilmente se encuentra el diagnostico de alcoholismo. Se realizo un estudio que puso de manifiesto que el 85% de los individuos alcohólicos y el 7% de los no alcohólicos sufran tales patologías. P(C): Contamine: 0.05 b) P(Cc) = 1.85) + (0.9 x 0.01)/(0. No Alcohólico: A. El porcentaje de falsos negativos de A es del 7% y de B es del 3%. (b) Aplicar primero el tratamiento B y. Primera parte: Probabilidades de cura de acuerdo al tratamiento: A: 0. la probabilidad que un individuo con esas patologías sea realmente alcohólico es de 57. P(A|E) = 0.3) = 0.2 Aplicar los dos tratamientos a la vez es una mejor opción Estamos interesados en saber cuál de dos análisis A y B es mejor para el diagnóstico de una determinada enfermedad. El porcentaje de resultados falsos positivos del an_alisis A es del 15% y el de B es del 22%. El porcentaje de falsos negativos de A es del 7% y de B es del 3%.6 Probabilidad de opción b) P ( A|Bc) = (0. Estamos interesados en saber cuál de dos análisis A y B es mejor para el diagnóstico de una determinada enfermedad.2 x 0.2 B: 0.7 = 0. de la cual sabemos que la presentan un 10% de individuos de la población.2 x 0. Dos tratamientos A y B curan una determinada enfermedad en el 20% y 30% de los casos. si no surte efecto. cuál de las dos siguientes estrategias utilizar a para curar a un individuo con tal enfermedad: (a) Aplicar ambos tratamientos a la vez. aplicar el A. >Cuál es la probabilidad de acertar en el diagnóstico con cada método?. de la cual sabemos que la presentan un 10% de individuos de la población. El porcentaje de resultados falsos positivos del análisis A es del 15% y el de B es del 22%.4%. respectivamente. Suponiendo que ambos actúan de modo independiente. Ejercicio 1.7.7)/ 0.574 Por lo tanto.3 Probabilidad de opción a) P ( A ∩ B) = (0. Segunda parte: . Cuál es la probabilidad de acertar en el diagnóstico con cada método?. 22 = 0.75 x 0.VP= verdaderos positivos.97) = 0.75 P(BP) = 1-0.9) / 0.(0. FN= falsos negativos P(VP)= 0.1) / 0. En la población que nos ocupa la probabilidad de colelitiasis es del 20%.2 . VN=verdaderos negativos FP = falsos positivos .93) = 0. Si a un individuo de tal población se le aplican los ultrasonidos y dan positivos.93 P (BN| VN)= (0.75 P (BP | VP) = (0.1 = 0. P(E-)=0.(0.78 +0.93 P(BP) = 1-0.78 P (AN| VN)= (0.98 = VN / (VN + FP) .8 Con objeto de diagnosticar la colelitiasis se usan los ultrasonidos.78 x 0. cuál es la probabilidad que no tenga la enfermedad?. a) Queremos encontrar P(E|Pos): P(E) = 0.9825 P (B)= P((BP | VP) (BN| VN)) = 0.97 .78 x 0.15 = 0. Tal técnica tiene una sensibilidad del 91% y una especificidad del 98%.75 x 0.97 Probabilidad de acertar (sea VP o VN) P (A)= P((AP | VP) (AN| VN)) = 0.78 Para los pacientes VN: P(AN) = 1-0.8 Sensibilidad : P(Pos|E) = 0.75 +0.1 P(VN)=0.9 = 0.91 Especificidad: P(Pos-|E-)= 0.03 = 0.93 .97 Entonces P (AP | VP) = (0.93 x 0. (a) Cuál es la probabilidad que sufra la colelitiasis? (b) Si el resultado fuese negativo.1) / 0. y para VN Para los pacientes VP: P(AP) = 1-0.9) / 0.1 = 0.9934 Ejercicio 1.9 = 0.07 = 0.97 x 0.9 Probabilidad de que el positivo de la prueba A o B sea un VP . 2)(0.8052 P(Pos-|E-) = 0.8052 P(E-|Pos-) = 0.8-0.784 FP = P(Pos|E-) = 0.2 P(Pos|E) = 0.8 x 0.8 VN=0.974 Ejercicio 1.184 = 0.8x0.1948 P(E|Pos)= 0.2x0.VN+FP = P(E-)=0.869 La probabilidad de que esté enfermo es 87% .016 VP+FP= P(Pos) = P(E)xP(Pos|E) + P(E-)xP(Pos|E-) = 0. Sabemos que la tomografía axial computarizada (TAC) es capaz de detectar este trastorno en el 80% de los que lo sufren. pero que también da un 3% de falsos positivos entre personas sanas.184 Entonces: P(E|Pos) = P(E) x P(Pos|E) / P(Pos) = (0.91 + 0.9.784 = 0.8 = 0. cuál es la probabilidad que esté realmente enfermo? E: Estar enfermo Pos: Que el test de positivo P(E) = 0.03)])= 0.8)+ (0.016 P(Pos) = 0.8)/0.91/0.934291 b) Queremos encontrar P(E-|Pos-) P(Pos-) = 1-P(Pos) = 0.98 / 0.03 P(Pos)=[P(E) x P(Pos|E)] + [P(Ec)xP(Pos|Ec)] = [(0.2x0.98X 0.2)(0.1948 P(E|Pos)= P(E) x P(Pos|E) / P(Pos) = 0. Si tomamos un anciano al azar y da positivo en el TAC.8)(0. Los estudios epidemiológicos indican que el 20% de los ancianos sufren un deterioro neuropsicológico.8 P(Pos|Ec) = 0.98 = Especificidad P(E-|Pos-) = P(E-) x P(Pos-|E-) / P(Pos-) = 0. 78 y la probabilidad que diagnostique de manera incorrecta que una persona que tiene cáncer no lo tiene es de 0.10. B. La probabilidad que el virus A produzca la enfermedad es de 1/3. Si la probabilidad que un doctor diagnostique en forma correcta que una persona tiene cáncer es de 0. P (E|B) = 2/3 .143)/ (0.000952380952381 P(C|E) = P(C) x P(E|C) / P(E) = (0. Pos: Posibilidad de tener un diagnóstico positivo P(CC) = 0. P(C)=5/10 E= enfermarse P (E|A) = 1/3 . P(E) = [P (E|A)x P(A)]+ [P (E|B)x P(B)] +[ P(E|C)x P(C)] P(E) = 0. P(E|C) = 1/7.06. 2 tubos con el virus B y 5 tubos con el virus C. y C.2346093755865234 Ejercicio 1. 3/10 tubos virus A 1/3 2/10 tubos virus B 2/3 5/10 tubos virus C 1/7 P(A)=3/10 . P(B)=2/10.78 P(Pos|CCc)=0. que la probabilidad de elegir a un adulto de más de 40 año con cáncer es de 0.02. por experiencias pasadas. En el laboratorio hay 3 tubos de ensayo con el virus A. Se inocula un virus a un animal y contrae la enfermedad. que la produzca B es de 2/3 y que la produzca el virus C es de 1/7.06 Entonces . cuál es la probabilidad que diagnostique que una persona tiene cáncer? cuál es la probabilidad que una persona a la que se le ha diagnosticado cáncer esté en realidad enfermo? C: Tener cancer siendo mayor de cuarenta.02 P(Pos|CC)=0. En cierta región del país se sabe. Una enfermedad puede estar producida por tres virus A. Cuál es la probabilidad que el virus que se inocule sea el C?.304762) P(C|E) = 0.11.Ejercicio 1.5) x (0. 17 Por lo tanto.074 = 7.78 /0. incompletos.78)+(0. hallar la probabilidad que .12.90)(0.02)(0.01)(0.).02x0. la probabilidad que una persona sea inocente dentro de un grupo donde el 5% ha cometido al menos un crimen es de 17%. En una hora punta acudieron 80 clientes para hacer compras en el supermercado. A un sospechoso se le aplica un suero de la verdad que se sabe es confiable en 90% cuando la persona es culpable y en 99% cuando la persona es inocente.21 =21% Ejercicio 1. Si el sospechoso se escogió de un grupo del cual sólo 5% han cometido alguna vez un crimen y el suero indica que la persona es culpable.1.01)(0. cuál es la probabilidad que sea inocente? C: culpable C-: inocente S: culpable por el suero S.P(Pos) = [(P(CC) x P(Pos|CC)] + [P(CCc)x P(Pos|CCc)] = (0.074 = 0.06) = 0.95 P(C-|S) = P(S|C-) P(C-) / [P(S|C-)*P(C-) + P(S|C)*P(C)] P(C-|S) = (0. etc. VARIABLES ALEATORIAS Ejercicio 2. Se ha notado que el 2% de dichos clientes manipulan incorrectamente a los productos los mismos que no deben ser retirados de los estantes de exhibición por estar dañado (rotos.05 P(C-) = 1 .95) + (0.05) ] P(C-|S) = 0.: inocente por el suero P(C) = 0. el 10% de los culpables se consideran inocentes cuando se usa el suero y el 1% de los inocentes se juzgan culpables. de bebidas y de limpieza. En otras palabras. El Departamento de seguridad de un centro comercial afirma que el 96% de sus clientes que acuden al supermercado hacen compras en las secciones de alimentos.95) / [(0.P(C) P(C-) = 0.98)(0.4% P(CC|Pos) = P(CC) x P(Pos|CC) / P(Pos) = 0. Datos: N = número de accidentes por semana.96*0.2.27+0. k=0. Una compañía de seguros ha realizado estudios que muestran que el 0.0192)k (0.9808)78 = 6320 (0.0192)0 (0. P(X=x)= λxe-λ / x!-1 P[X=1] = 21 x e-2 /1! =0.003% de los habitantes de una gran ciudad fallece cada año como resultado de un determinado tipo de accidente.27 = 0. el número de accidentes por semana sigue una ley de Poisson.00037)(0.514 b) P(X=k)= (80 0 )( 0.27 P[X=2] .000 asegurados que tiene.1. Calcular: (a) La probabilidad que la compañía tenga que pagar a más de 3 de los 10.21 Ejercicio 2.0192 P(X=k)= (80 𝑘 )( 0.02=0.722 Ejercicio 2.22043) = 0.27x0.2 k = 2=> (80 2 ) (0. En una fábrica.0192)2 (0. .18= 0.27+0.0729 P[1≤X≤3] = P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) = 0. (b) El número de accidentes esperados.9808)80 = (1)(1) (0. (b) Que no se registre perjuicios para el supermercado a) Posibilidad general de que ocurra el evento (manipulación) P(E)= 0. (b) Cuál es la probabilidad que sucedan dos accidentes en una semana y otros dos en la semana siguiente? (c) Si nos dicen que ha habido algún accidente.21) = 0. se pide: (a) La probabilidad que en una semana haya algún accidente.9808)80-k .(a) Exactamente que a 2 de ellos se les detecta que manipulan incorrectamente un producto. calcular la probabilidad que en dicha semana no haya más de tres accidentes. Si como promedio se producen dos accidentes semanales.3. luego P[X=2] = 0. El porcentaje de tabletas defectuosas de cierto medicamento fabricado en unos laboratorios es del 1.0000000004661032 1 – P(≤3) = 1 – (0.9999999995338970 b) 0.5.135 +0.2%.0000000000000936 e-30 (301) (1!)-1 = 0.0000000004210930 suma = 0.P[X≤5] = 1 – (0. Supongamos que en un cierto país el número de accidentes por semana presenta una proporción de uno por cada 250.0000000004661032) = 0.003 ( 10000) = 30 Ejercicio 2. Determine la probabilidad que en una cierta ciudad de ese país con 500.180+0.0000000000421093 e-30 (303) (3!)-1 =0. en una población de 500 000 habitantes la probabilidad que ocurran 6 más accidentes en una semana es de 1.0000000000028073 e-30 (302) (2!)-1 = 0. 7% Por lo tanto. Datos: 𝝀=𝟐 (2 por cada 500 000) P(X=x)= λxe-λ / x!-1 Para P[X=1] = 21 x e-1 /1! P[X≥6] = 1 .271+0. a) Si las tabletas se envasan en tubos de 25.4.000 habitantes haya seis o más accidentes en una semana.983 P[X≥6] = 0.017 = 1. Ejercicio 2. cuál es la probabilidad que un tubo contenga 3 tabletas defectuosas? .7%.271 +0. a) Distribución de Poisson λ = 30 (de 10 000) e-λ (λx) (x!)-1 = e-30 (300) (0!)-1 = 0.036) = 1-0.000 habitantes.090+0. 00855393 Ejercicio 2. R=3. calcular la probabilidad que el usuario tenga que esperar menos de cinco minutos.72815 = 0. x=0 Pr (X=0) = H(1000. cuál es la probabilidad que una caja contenga 15 tubos sin ninguna tableta defectuosa? a) Distribución hipergeométrica Asumiendo que por cada 250 tabletas hay 3 defectuosas (1.2%). n=25.3) (33)(247 22 ) Pr (X=3) = (250 = 0. b) Si los tubos se colocan en cajas de 20 unidades.6. 25.000894 25 ) b) La posibilidad de que 1 tubo tenga 0 pastillas defectuosas es: N=250.0) (30)(247 25 ) Pr (X=0) = (250 = 0. con media 10. x=3 Pr (X=3) = H(250. cuando el autobús lleva retraso. 12. Sería N=250. Si el autobús se retrasa en uno de cada tres servicios. Cuando no hay retraso F(t) = 1/8 = 0. 3. R=3.728 25 ) La posibilidad de que tengamos 15 tubos con la misma condición (sin ninguna pastilla defectuosa) es: 0. 25. Un autobús pasa por cierta parada cada 8 minutos. n=25. El tiempo que debe esperar un usuario que llega a dicha parada se distribuye uniformemente en el intervalo (0-8) si el autobús no lleva retraso y exponencialmente.125 . aproximadamente. 865 La probabilidad final de esperar menos de 5 minutos es: 2/3(0.95987-0.5 P(Z=0.1. es decir X ~ N(106.372 DISTRIBUCION NORMAL Ejercicio 3. (e) Hallar el punto x caracterizado por la propiedad que el 25% de todos los diabéticos tiene un nivel de glucosa en ayunas inferior o igual a x.75 P(Z) = 0. el nivel de glucosa en sangre X.71% c) P(106 ≤ X ≤ 110) Z = X-µ / σ Z(106) = (106-106) / 8 = 0 Z(110) = (110-106) / 8 = 0.135) = 0. en ayunas.3085=0. (d) Hallar P(X ≥ 121). Entre los diabéticos.3085 P(110)= 1 – 0.95987 b) P(90≤X≤120) Z = X-µ / σ Z = (90-106) / 8 = -2 P(Z) =0.5)=0. puede suponerse de distribución aproximadamente normal.0401 1-P(Z) = 0. 64) (a) Hallar P(X ≤ 120) (b) Qué porcentaje de diabéticos tienen niveles comprendidos entre 90 y 120 ? (c) Hallar P(106 ≤ X ≤ 110). a) P(X≤ 120) Z = X-µ / σ Z = (120-106) / 8 Z = 1.95987 P (X≤ 120) = 0.0228 P(90≤X≤120) = 0.93707= 93. con media mu = 106 mg/100 ml y desviació típica σ= 8 mg/100 ml.6915 .0.5 P(Z=0) = 0.865) = 0.Cuando hay retraso: 𝐹(𝑑𝑡) = 1 − 𝑒 −𝜆𝑡 = 1 − 𝑒 −10(5) El valor de la F(dt) para t hasta 5 es (1.0228= 0.125) + 1/3(0. P(106 ≤ X ≤ 110) = 0.67 X = { 100.0301 (e) Hallar el punto x caracterizado por la propiedad que el 25% de todos los diabéticos tiene un nivel de glucosa en ayunas inferior o igual a x.88) = 0.88) = 0.67 Entonces Z = X-µ / σ => | X.2514 es correspondiente al valor Z =0.64 mg/ml representan el 25.1915 (d) P(X ≥ 121). Ejercicio 3. 100).88 P(1. Si se conviene en clasificar como sanos al 2% de los diabéticos: (a) Por debajo de qué valor se considera sano a un individuo?.4 (a) P (Z =2.875 = 1. Xs sigue una distribución Xs ~ N (80.64} Todos los pacientes con valores inferiores o iguales a 100.106|/8 = 0. Z = X-µ / σ Z(121) = (121-106) / 8 = 1. 986).6915-0. realmente lo sea? Datos: Glucemia Media Varianza Desviación Estándar Sanos 80 100 10 Diabéticos 160 986 31.2.14% de los diabéticos.02 . cuál es la probabilidad que un individuo elegido al azar y diagnosticado como diabético. Se supone que la glucemia basal en individuos sanos. el valor 0.5=0.0301 P(X ≥ 121) =0. De acuerdo a la tabla Z. sigue una distribución Xd~ N (160. Mientras que en los diabéticos Xd. Cuántos sanos serán clasificados como diabéticos? (b) Se sabe que en la población en general el 10% de los individuos son diabéticos. 56)= 0.647 APROXIMACION A LA BINOMIAL Ejercicio 3.4)(-2. z = (x – u) / δ y toda persona con glucosa mayor de 95.3. c) La empresa denomina inspectores ”típicos” aquellos que en una semana visitan un número de hogares que dista en más de 5 unidades de la media. la dirección de la empresa decide enviar una carta de amonestación al 25% de los inspectores que . entonces: Z = (95.63 de glucosa una persona es considerada sana. Detectar la proporción de inspectores atípicos que se detectan en una semana cualquiera.15146 = 0. Como. (b) El porcentaje de personas diagnosticada como diabética es: 0.Entonces: Donde: z = (x – µ) / σ -2.63 Por lo tanto.1 (0.1) (0.63 – 80) / 10 Z =1. para la que la empresa estima una distribución Normal de media 25 y varianza 16.05 = (x – 160)/ 31.98) = 0.9(0.94% Por lo tanto.647 La probabilidad es 0.0594) + (0.05)) + 160 X = 95.98) / 0. La última semana comenzó a prestar servicios un nuevo inspector. P(Z=1. debajo de 95. a) Qué opinión puede formularse por el hecho que a lo largo de la semana consiguiera visitar 30 hogares? b) Lo mismo para el caso en que hubiera visitado 21 hogares. el 5.0594 = 5.4 x= ((31.56.15146 P(E|Pos) = P(E)xP(Pos|E)/ P(Pos) = 0.9% de las personas sanas serán consideradas diabéticas.63 será diabética. d) Con objeto de mejorar los rendimientos.15146 P(Pos) = VP+FP= 0. El número de hogares visitados semanalmente por un inspector de la Compañía de Gas es una variable aleatoria. 13% del resto de inspectores.1587 1 – 0.1056+0.1056 = 0.1056 X={20.8944 Este inspector es superior al promedio.67 Entonces X es X = 22.30} P(X≤20) = 0. el valor P = 0.67 Z = X-µ / σ Z = |X-25| / 4 = 0.1056) = 0. superando al 89.2514 es correspondiente al valor Z =0.1056 1-(0.32 Todos los que visiten 22 hogares o menos recibirán una amonestación.1056 1-0. c) Z = X-µ / σ Z = |X-25| / 4 = 5/4 = 1. . menos hogares visitan en una semana determinada ¿A partir de qué cantidad de hogares visitados se efectuará una amonestación? a) X ~ N(25.25 P(Z) = 0.1587 = 0.25) = 0. b) Z = X-µ / σ Z = |21-25| / 4 Z=1 P(Z)= 0.7888 = 78.8413 Este inspector es inferior al promedio.88% son inspectores atipicos (d) De acuerdo a la tabla Z.1056 P(X≥30) = 0.25 P(Z=1. siendo superando por el 84. 16) El valor de X=30 tiene un valor Z de: Z = X-µ / σ Z = 30-25 / 4 Z = 1.44% del resto de inspectores. 24)/2.0034 b) P(x≤59): Z = X-µ / σ Z = (59-66.08) = 2.5.P(x≤59) = 0.1)(0.0. Se seleccionan aleatoriamente 100 individuos y se les entrevista. 12 tengan algún tipo de alergia.301 Z= 3.4129 .Ejercicio 3. al menos.0013 P(x≤59) = 0. a) B~(100.302 N~(66. (b) Hallar la probabilidad que.711 P(Z=2.1 P(Z=3.0013 = 0.1) = 0.711) = 0.92)(0. (a) Hallar la probabilidad que.0034 .1)=10 σ= (npq)^0.24)/2. 8 sean alérgicos a algo.22)= 0.24 σ= (npq)^0.302) P(x≤60): Z = X-µ / σ Z = (60-66.0013 c) P(x=60) = P(x≤60) .5 = √(72)(0.302 Z= 2.0034 P(x≤60) = 0. como máximo.0. (a) Cuál es la probabilidad que 60 o menos estén correctamente evaluadas? (b) menos de 60 estén correctamente evaluadas? (c) exactamente 60 estén correctamente evaluadas? a) B~(72.22 P(Z=0. El 10% de las personas tiene algún tipo de alergia.92)=66.92) Aproximando a la normal: µ = np = (72)(0.1) µ = np = (100)(0. Una prueba de laboratorio para detectar heroína en sangre tiene un 92% de precisión.24. Si se analizan 72 muestras en un mes.9) Z = X-µ / σ Z = (12-10)/9 = 0.5 = √(100)(0.0.4.9) = 9 N~(10.2.0021 Ejercicio 3. 5 = √(30)(0.0009) P(x≤25) : Z = X-µ / σ Z = 25-30 /0. La probabilidad de muerte resultante del uso de píldoras anticonceptivas es de 3/100000. De 1000000 de mujeres que utilizan este medio de control de natalidad: (a) >Cuántas muertes debidas a esta causa se esperan? (b) >Cuál es la probabilidad que haya.4129 Ejercicio 3.6. .4129 b) N~(10. B~(1000000. como máximo.67) = 0 Es totalmente improbable (P=0) que haya como máximo. La probabilidad es 0. inclusive? N~(30.00003) a) Muertes esperadas = (1000000)(0. x = 8 Z = X-µ / σ Z = |8-10| /9 = 0.02999995=0.03 σ2=0 .22) = 0.0009 N~(30.03 Z=166.67 P(x≤35) = 1 Es totalmente probable (P=1) que el número de muertes esté entre 25 y 35. inclusive?.03 25-30/0.0.9) . 25 muertes. 0.22 P(Z=0.0009) Z = X-µ / σ Z =(35-30)/0.0.67 P(Z=166.4129 La probabilidad es 0.99997) = 0.00003)(0.03 = 166.00003)=30 σ= (npq)^0. 25 de estas muertes? (c) Cuál es la probabilidad que el número de muertes debidas a esta causa esté entre 25 y 35.00003)=30 b) µ = np = (1000000)(0. d) Cuál es la probabilidad que el número de muertes debidas a esta causa esté entre 25 y 35. 0.0009) Ningún caso es x≤25 y todos los casos son 25≤x≤35 .Una simulación en R muestra como para n = 1 000 000. N~(30.