VARIABLE ALEATORIA CONTINUA. PRIMERO DE BACHILLERATO.TEORÍA Y EJERCICIOS VARIABLE ALEATORIA CONTINUA. DISTRIBUCIÓN NORMAL. Conocimientos previos CONCEPTO DE INTEGRAL DEFINIDA. Para hallar el área del recinto limitado por la curva !"#$ el e%e de a&'ci'a' ( la' recta' ")a ( ")&$ 'e utili*a la 'i+uiente ,rmula- ∫ · b a dx x f Area # ! .ue reci&e el nom&re de inte+ral deinida de f entre lo' l/mite' a ( b ( 'e lee 0inte+ral entre a ( & de f(x)1. La inte+raci,n e' la operaci,n inver'a de la derivaci,n. Por e%emplo$ 'i n x x f · # ! $ la ,rmula anterior 'e re'uelve de la 'i+uiente orma- b a n b a n n x dx x 1 ] 1 ¸ + · + ∫ 2 2 Primero 'e 'u'titu(e la " por & ( al re'ultado o&tenido le llamaremo' F!&#. De'pu3' 'e 'u'titu(e la " por a ( al re'ultado o&tenido le llamaremo' F!a# Finalmente re'tamo' lo' re'ultado'$ e' decir$ # ! # ! a F b F dx x b a n − · ∫ Ejercicio: Re'uelve la 'i+uiente inte+ral deinida- ∫ − + 4 2 5 # 4 5 ! dx x x 6oluci,n- # 2 ! # 4 ! 4 4 # 4 5 ! 4 2 5 4 4 2 5 F F x x x dx x x − · 1 ] 1 ¸ − + · − + ∫ 7 7 7 7 # 4 ! · − + · F 4 8 4 2 4 2 # 2 ! − · − + · F lue+o 4 45 4 8 7 # 4 8 ! 7 # 4 5 ! 4 2 5 · + · − − · − + ∫ dx x x Cu!"o #e c$cu$! %re# $o# re#u$&"o# #e &o'! e! ($or )#o$u&o. *. S%!c+e, *er!%!"e,- .ro/e#or "e$ IES Poe& Pco Mo$$0 "e Pe&rer 1A$ic!&e2 29 VARIABLE ALEATORIA CONTINUA. PRIMERO DE BACHILLERATO. TEORÍA Y EJERCICIOS Vri)$e $e&ori co!&i!u. E' a.uella .ue puede tomar ininito' valore' dentro de un intervalo de la recta real. Por e%emplo$ la duraci,n de la' &om&illa' de una determinada marca ( modelo. En el ca'o de varia&le' aleatoria' continua' no tiene 'entido plantear'e pro&a&ilidade' de re'ultado' ai'lado'$ por e%emplo$ pro&a&ilidad de .ue una &om&illa dure 2:: hora'$ 55 minuto' ( 2; 'e+undo'. La pro&a&ilidad 'er/a :. El inter3' de e'ta' pro&a&ilidade' e'tá en conocer la pro&a&ilidad corre'pondiente a un intervalo. Dicha pro&a&ilidad 'e conoce mediante una curva llamada unci,n de den'idad ( 'uponiendo .ue &a%o dicha curva ha( un área de una unidad. Conociendo e'ta curva$ &a'ta calcular el área corre'pondiente para conocer la pro&a&ilidad de un intervalo cual.uiera. La unci,n de den'idad de una v.a. continua cumple la' 'i+uiente' condicione'- • 6,lo puede tomar valore' comprendido' entre : ( 2- 2 # ! : ≤ ≤ x f • El área encerrada &a%o la curva e' i+ual a la unidad- 2 #. ! · ∫ + ∞ ∞ − dx x f . Ejercicio: 6ea [ ] ; $ : con 29 # ! ∈ · x x x f . Comprue&a .ue e' una unci,n de den'idad ( calcula # 8 5 ! ≤ ≤ x p 6oluci,n- Para .ue 'ea unci,n de den'idad ∫ ; : 29 dx x tiene .ue valer 2. <eamo'- 2 : 5 4; 29 2 5 29 2 29 ; : 5 ; : · , _ ¸ ¸ − · 1 ] 1 ¸ · ∫ x dx x 25 = 4; 52 5 > 5 58 29 2 5 29 2 29 # 8 5 ! 8 5 5 8 5 · · , _ ¸ ¸ − · 1 ] 1 ¸ · · ≤ ≤ ∫ x dx x x p *u!ci3! "e "i#&ri)uci3!. Como en el ca'o de la v.a. di'creta$ la unci,n de di'tri&uci,n proporciona la pro&a&ilidad acumulada ha'ta un determinado valor de la varia&le$ e' decir$ # ! # ! x X p x F ≤ · . Cumple la' 'i+uiente' condicione'- • 6u valor e' cero para todo' lo' punto' 'ituado' a la i*.uierda del menor valor de la varia&le. • 6u valor e' 2 para todo' lo' punto' 'ituado' a la derecha del ma(or valor de la varia&le. Me"i 4 (ri!, "e u! (.. co!&i!u. E"i'te cierta corre'pondencia entre la varia&le aleatoria di'creta ( la continua- *. S%!c+e, *er!%!"e,- .ro/e#or "e$ IES Poe& Pco Mo$$0 "e Pe&rer 1A$ic!&e2 27 VARIABLE ALEATORIA CONTINUA. PRIMERO DE BACHILLERATO. TEORÍA Y EJERCICIOS <aria&le aleatoria di'creta <aria&le aleatoria continua ∑ · i i p x . µ ∫ · b a dx x f x #. ! . µ ∑ − · 5 5 5 µ σ i i p x ∫ − · b a dx x f x 5 5 5 # ! µ σ Lo .ue e' ∑ pa'a a 'er ∫ ( lo .ue e' i p pa'a a 'er # !x f Ejercicio 1. La unci,n de den'idad de una v.a. continua viene deinida por - ¹ ' ¹ ≤ ≤ · re'to el en : 2 " : 'i 5 # ! x x f a# ?alla la unci,n de di'tri&uci,n. &# Calcula la media ( la varian*a. 6oluci,n- a# La unci,n de di'tri&uci,n 'e o&tiene inte+rando la unci,n de den'idad$ e' decir$ A la i*.uierda de :$ 'u valor :. A la derecha de 2$ 'u valor e' 2 Entre : ( 2- ] 5 : 5 : 5 # ! # ! x x xdx x X p x F x x · · · ≤ · ∫ e' decir$ ¹ ¹ ¹ ' ¹ > ≤ ≤ < · 2 " para 2 2 " : 'i " : " 'i : # ! 5 x F &# Cálculo de la media- 4 5 . 5 . #. ! . 2 : · · · ∫ ∫ dx x x dx x f x b a µ Cálculo de la varian*a- 29 2 7 > . 5 . # ! 2 : 5 5 5 5 · − · − · ∫ ∫ dx x x dx x f x b a µ σ Ejercicio 2. Calcula la media$ la varian*a ( la de'viaci,n t/pica de una v.a. .ue tiene como unci,n de den'idad- [ ] 8 $ 2 con 5> 4 # ! ∈ + · x x x f 6oluci,n- @edia- ∫ ∫ ∫ · 1 ] 1 ¸ + · + · + · · 7 57 5 4 4 5> 2 # 4 ! 5> 2 5> 4 . #. ! . 8 2 5 4 8 2 5 x x dx x x dx x x dx x f x b a µ *. S%!c+e, *er!%!"e,- .ro/e#or "e$ IES Poe& Pco Mo$$0 "e Pe&rer 1A$ic!&e2 5: VARIABLE ALEATORIA CONTINUA. PRIMERO DE BACHILLERATO. TEORÍA Y EJERCICIOS <arian*a- ∫ ∫ ∫ · , _ ¸ ¸ − + · , _ ¸ ¸ − + · − · 8 2 5 5 4 8 2 5 5 5 5 5 7 57 # 4 ! 5> 2 7 57 5> 4 # ! dx x x dx x x dx x f x b a µ σ 59 $ 2 92 2:> 7 57 > 5> 2 5 8 2 4 > · · , _ ¸ ¸ − 1 ] 1 ¸ + · x x . De'viaci,n t/pica- 24 $ 2 59 $ 2 · · σ Ejercicio 3. 6ea [ ] 8 $ 5 con 4; 2 # ! 5 ∈ − · x x x f $ una unci,n de den'idad. a# Calcula 'u unci,n de di'tri&uci,n. &# Calcula # > 4 ! ≤ ≤ x p . 6oluci,n- a# 2:9 5 4 # 4 ! 4; 2 # 2 ! 4; 2 4; 2 # ! # ! 4 5 4 5 5 5 5 − − · 1 ] 1 − · − · − · ≤ · ∫ ∫ x x x x dx x dx x x X p x F x x x • 6u valor e' cero para todo' lo' punto' 'ituado' a la i*.uierda de 5 • 6u valor e' 2 para todo' lo' punto' 'ituado' a la derecha de 8 &# 8> 2= 4 4 4; 2 4 4; 2 # 2 ! 4; 2 4; 2 # > 4 ! > 4 4 > 4 4 > 4 5 > 4 5 · 1 ] 1 − · 1 ] 1 , _ ¸ ¸ − · − · − · ≤ ≤ ∫ ∫ x x x x dx x dx x x p Di#&ri)uci3! !or'$. ?a( mucha' v.a. continua' cu(a unci,n de den'idad tiene orma de campana. E%emplo'- - La varia&le pe'o en una po&laci,n de per'ona' de la mi'ma edad ( 'e"o. - La varia&le altura de la po&laci,n citada. - etc. 6e dice .ue e'ta' varia&le' tienen una di'tri&uci,n normal ( la unci,n de den'idad reci&e el nom&re de curva normal o campana de Gau''. Para e"pre'ar .ue una v.a. continua A$ tiene una di'tri&uci,n normal de media µ ( de'viaci,n t/pica σ $ e'cri&imo' # $ ! σ µ N . *. S%!c+e, *er!%!"e,- .ro/e#or "e$ IES Poe& Pco Mo$$0 "e Pe&rer 1A$ic!&e2 52 Representación grfica de !a f"nción de densidad de "na distrib"ción nor#a!. VARIABLE ALEATORIA CONTINUA. PRIMERO DE BACHILLERATO. TEORÍA Y EJERCICIOS Di#&ri)uci3! !or'$ e#&%!"r. De la' ininita' di'tri&ucione' # $ ! σ µ N $ tiene e'pecial inter3' la de media : ( de'viaci,n t/pica 2$ e' decir$ # 2 $ : ! N . E'ta di'tri&uci,n reci&e el nom&re de e'tandar o reducida E"i'ten una' ta&la' .ue permiten calcular pro&a&ilidade' en di'tri&ucione' normale' reducida'. Por ello e' acon'e%a&le tran'ormar cual.uier v.a. A .ue 'i+ue .ue 'i+ue una di'tri&uci,n # $ ! σ µ N en otra varia&le B .ue 'i+a una di'tri&uci,n N($%1). El cam&io de varia&le .ue e' nece'ario hacer e' el 'i+uiente- σ µ − · X & C%$cu$o "e .ro))i$i""e# e! "i#&ri)ucio!e# !or'$e# re"uci"#. 6ea B una varia&le .ue 'i+ue una di'tri&uci,n normal N($%1). <amo' al+uno' e%emplo' .ue no' permiten calcular determinada' pro&a&ilidade' en la' ta&la'- a# # 54 $ 2 ! ≤ & p La pro&a&ilidad pedida 'e encuentra directamente en la' ta&la'. Ca'ta &u'car 2$5 en la columna ( :$:4 en la ila. 6u inter'ecci,n no' da la pro&a&ilidad. &# # 5> $ 2 ! ≥ & p En e'te ca'o la pro&a&ilidad pedida no e'tá en la' ta&la'. 6in em&ar+o$ 'i tenemo' en cuenta .ue el área total &a%o la +ráica ha de 'er 2$ deducimo' de la i+ura .ue- 2:=8 $ : 9758 $ : 2 # 5> $ 2 ! 2 # 5> $ 2 ! · − · ≤ − · ≥ & p & p . *. S%!c+e, *er!%!"e,- .ro/e#or "e$ IES Poe& Pco Mo$$0 "e Pe&rer 1A$ic!&e2 55 VARIABLE ALEATORIA CONTINUA. PRIMERO DE BACHILLERATO. TEORÍA Y EJERCICIOS c# # =5 $ : ! − ≤ & p Como la +ráica e' 'im3trica re'pecto al e%e de ordenada'$ # =5 $ : ! # =5 $ : ! ≥ · − ≤ & p & p ( (a e'tamo' en el ca'o anterior. Comprue&a .ue el re'ultado inal e' :$5489. d# # =; $ 2 8 $ : ! ≤ ≤ & p O&'ervando la i+ura 'e deduce .ue 5;74 $ : ;728 $ : 7;:9 $ : # 8 $ : ! # =; $ 2 ! # =; $ 2 8 $ : ! · − · ≤ − ≤ · ≤ ≤ & p & p & p Ejercicio ' El pe'o de lo' individuo' de una po&laci,n 'e di'tri&u(e normalmente con media de =: D+. ( de'viaci,n t/pica ; D+. De una po&laci,n de 5::: per'ona'$ calcula cuánta' tendrán un pe'o comprendido entre ;> ( =; D+. 6oluci,n- 6e trata de una di'tri&uci,n N(($%)) # 2 ! # 2 ! # 2 2 ! ; =: =; ; =: ;> # =; ;> ! − ≤ − ≤ · ≤ ≤ − · , _ ¸ ¸ − ≤ ≤ − · ≤ ≤ & p & p & p & p X p 9>24 $ : # 2 ! · ≤ & p !directamente en la' ta&la'# 9>24 $ : 2 # 2 ! 2 # 2 ! # 2 ! − · ≤ − · ≥ · − ≤ & p & p & p . Por tanto$ ;958 $ : 9>24 $ : 2 9>24 $ : # 9>24 $ : 2 ! 9>24 $ : # =; ;> ! · + − · − − · ≤ ≤ X p E'to 'i+niica .ue el ;9$58 E de la' per'ona' pe'an entre ;> ( =; D+.. Como ha( 5::: per'ona'$ calculamo' el ;9$58E de 5::: ( o&tenemo' 24;8 per'ona'. Ejercicio 5. La duraci,n media de un lavava%illa' e' de 28 aFo' ( 'u de'viaci,n t/pica :$8. 6a&iendo .ue 'u vida Gtil 'e di'tri&u(e normalmente$ halla la pro&a&ilidad de .ue al ad.uirir un lavava%illa' dure má' de 28 aFo'. 6oluci,n- E' una di'tri&uci,n normal de media 28 ( de'viaci,n t/pica :$8$ e' decir$ N(1*+ $%*). 8 $ : # : ! # : ! # 8 $ : 28 28 ! # 28 ! · ≤ · ≥ · − ≥ · ≥ & p & p & p X p *. S%!c+e, *er!%!"e,- .ro/e#or "e$ IES Poe& Pco Mo$$0 "e Pe&rer 1A$ic!&e2 54 VARIABLE ALEATORIA CONTINUA. PRIMERO DE BACHILLERATO. TEORÍA Y EJERCICIOS Ejercicio ). La nota media de la' prue&a' de acce'o corre'pondiente' a lo' e'tudiante' .ue .uer/an in+re'ar en una acultad era 8$9 ( la de'viaci,n t/pica 2$=8. Fueron admitido' lo' de nota 'uperior a ;. a# HCuál ue el porcenta%e de admitido' 'i la di'tri&uci,n e' normalI &# HCon .u3 pro&a&ilidad e"actamente cuatro de die* e'tudiante' 'on admitido'I 6oluci,n- Apartado a#- E ;5 $ >8 >8;5 $ : 8>49 2 # 22 $ : ! 2 # 22 $ : ! # =8 $ 2 9 $ 8 ; ! # ; ! ≈ · − · ≤ − · > · − > · > & p & p & p X p Apartado &#- E' una di'tri&uci,n &inomial de parámetro' n)2: ( p):$>8;5 p!o&tener r 3"ito' #)p!A ) r#) ) r n r p p r n − − , _ ¸ ¸ # 2 .! ) · − , _ ¸ ¸ · · ; > # >8;5 $ : 2 ! # >8;5 $ : ! > 2: # > !X p 548 $ : # 8>49 $ : ! # >8;5 $ : ! 2 . 5 . 4 . > = . 9 . 7 . 2: ; > · · A.ro6i'ci3! "e $ "i#&ri)uci3! )i!o'i$ 'e"i!&e $ !or'$. 1Correcci3! "e Y&e#2 Cuando n e' +rande ( p e'tá pr,"imo a :$8 el comportamiento de una di'tri&uci,n &inomial ,(n% p) e' apro"imadamente i+ual a una di'tri&uci,n normal$ # $ ! np- np N E'to permite 'u'tituir el e'tudio de una # $ ! p n , por el de una # $ ! np- np N . 6uele con'iderar'e .ue la apro"imaci,n e' &uena cuando np.* ( n-.* Dado .ue por mucho .ue 'e pare*ca nunca e' i+ual una &inomial .ue una normal$ e' nece'ario aplicar en el cálculo de pro&a&ilidade' un a%u'te .ue reci&e el nom&re de corrección de Yates. 6i A e' la &inomial ( A J la normal$ la correcci,n con'i'te en lo 'i+uiente- , _ ¸ ¸ + ≤ ′ ≤ − · · 5 2 5 2 # ! r X r p r X p !6e a'ocia un intervalo unidad centrado en el punto# , _ ¸ ¸ + ≤ ′ ≤ − · ≤ ≤ 5 2 5 2 # ! b X a p b X a p !'e alar+a el intervalo K por la i*.uierda ( K por la derecha.# Para valore' de n ma(ore' de 2.::: 'e puede 'uprimir la correcci,n. Ejercicio (. *. S%!c+e, *er!%!"e,- .ro/e#or "e$ IES Poe& Pco Mo$$0 "e Pe&rer 1A$ic!&e2 5> VARIABLE ALEATORIA CONTINUA. PRIMERO DE BACHILLERATO. TEORÍA Y EJERCICIOS 6e lan*a una moneda correcta al aire >:: vece'. Calcula la pro&a&ilidad de o&tener un nGmero de cara' comprendido entre 29: ( 52:$ am&o' inclu'ive. 6oluci,n- Calculamo' la media ( la de'viaci,n t/pica de la di'tri&uci,n &inomial- 5:: 5 2 . >:: · · · np µ L 2: 5 2 . 5 2 . >:: · · · np- σ . Por tanto$ · , _ ¸ ¸ − ≤ ≤ − · ≤ ′ ≤ · ≤ ≤ 2: 5:: 8 $ 52: 2: 5:: 8 $ 2=7 # 8 $ 52: 8 $ 2=7 ! # 52: 29: ! & p X p X p # :8 $ 5 ! # :8 $ 2 ! # :8 $ 2 :8 $ 5 ! − ≤ − ≤ · ≤ ≤ − · & p & p & p pero 9842 $ : # :8 $ 2 ! · ≤ & p ( :5:5 $ : 7=79 $ : 2 # :8 $ 5 ! 2 # :8 $ 5 ! # :8 $ 5 ! · − · ≤ − · ≥ · − ≤ & p & p & p lue+o 9457 $ : :5:5 $ : 9842 $ : # 52: 29: ! · − · ≤ ≤ X p Ejercicio /. Mn tirador acierta en el &lanco en el =:E de lo' tiro'. 6i el tirador participa en una competici,n ( tira 58 vece'$ Hcuál e' la pro&a&ilidad de .ue acierte má' de 2: tiro'I 6oluci,n- E' una di'tri&uci,n ,(2*+ $%() .ue podemo' apro"imar a trav3' de la normal- 8 8 $ = 4 $ : . 58 . 8 8 $ 2= = $ : . 58 . > · · > · · · - n p n µ La apro"imaci,n 'erá &uena. 57 $ 5 4 $ : . = $ : . 58 · · · np- σ · − ≥ · , _ ¸ ¸ − ≥ · ≥ ′ · ≥ · > # :; $ 4 ! 57 $ 5 8 $ 2= 8 $ 2: # 8 $ 2: ! # 22 ! # 2: ! & p & p X p X p X p 7779 $ : # :; $ 4 ! · ≤ · & p *. S%!c+e, *er!%!"e,- .ro/e#or "e$ IES Poe& Pco Mo$$0 "e Pe&rer 1A$ic!&e2 58 VARIABLE ALEATORIA CONTINUA. PRIMERO DE BACHILLERATO. TEORÍA Y EJERCICIOS Ejercicio# .ro.ue#&o# . 2.N Mn proe'or de matemática' ha o&'ervado .ue la' nota' o&tenida' por 'u' alumno' en lo' e"ámene' de E'tad/'tica 'i+uen una di'tri&uci,n N()+ 2%*). 6e han pre'entado al Gltimo e"amen 45 alumno'$ Hcuánto' 'acaron al meno' un =I. ( 0o!. 11 ) 5.N Mna empre'a lleva a ca&o una prue&a para 'eleccionar nuevo' empleado'. Por la e"periencia de prue&a' anteriore'$ 'e 'a&e .ue la' puntuacione' 'i+uen una di'tri&uci,n normal de media 9: ( de'viaci,n t/pica 58. HOu3 porcenta%e de candidato' o&tendrá entre =8 ( 2:: punto'I (0o!. 3)%('1 ) 4N Calcula el valor de P para .ue la unci,n 2x x f − · 8 2 # ! 'i [ ] 2: $ : ∈ x 'ea unci,n de den'idad. O&tenido el valor de P$ calcula la media ( la de'viaci,n t/pica de la di'tri&uci,n. ( 0o!. 2 3 14*$ + #edia 3 3%33+ des5iación t6pica 3 2%3) ) >.N El pe'o de lo' toro' de una determinada +anader/a 'e di'tri&u(e normalmente con una media de 8:: D+. ( >8 D+. de de'viaci,n t/pica. 6i la +anader/a tiene 5::: toro'$ a# Cuánto' pe'arán má' de 8>: D+.I &# Cuánto' pe'arán meno' de >9: D+.I c# Cuánto' pe'arán entre >7: ( 82: D+.I ( 0o!. 3(3+ ))$+ 3'/ ) 8.N Mna de la' prue&a' de acce'o a la Mniver'idad para ma(ore' de 58 aFo' con'i'te en un te't con 2:: pre+unta'$ cada una de la' cuale' tiene > po'i&le' re'pue'ta' ( ',lo una correcta. Para 'uperar e'ta prue&a de&en o&tener'e$ al meno'$ 4: re'pue'ta' correcta'. 6i una per'ona conte'ta al a*ar$ Hcuál e' el nGmero e'perado de re'pue'ta' correcta'I. HOu3 pro&a&ilidad tendrá de 'uperar la prue&aI (0o!. 2*+ 7ti!i8ando !a aproxi#ación a tra59s de !a nor#a!: p3 $%1':2) ;.N De'pu3' de reali*ar vario' 'ondeo' 'o&re una po&laci,n con e'ca'a cultura$ 'e ha con'e+uido averi+uar .ue Gnicamente el 28 E de la mi'ma e' avora&le a lo' tratamiento' de p'icoterapia. Ele+ida al a*ar una mue'tra de 8: per'ona' de dicha po&laci,n$ 'e de'ea 'a&er- a# La pro&a&ilidad de .ue ha(a má' de 8 per'ona' avora&le' a dicho' tratamiento'. &# La pro&a&ilidad de .ue a lo 'umo ha(a ; per'ona' avora&le'. (0o!. $%(/*2+ $%3'') ) *. S%!c+e, *er!%!"e,- .ro/e#or "e$ IES Poe& Pco Mo$$0 "e Pe&rer 1A$ic!&e2 5;