Variable Aleatoria Discreta

VARIABLE ALEATORIA DISCRETACURSO: ESTADISTICA II PROFESOR: MS. LIC. LUIS J. CASTILLO V. LUIS J. CASTILLO VASQUEZ VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Introducción a las distribuciones de probabilidad. Las distribuciones de probabilidad están relacionadas con las distribuciones de frecuencias. Una distribución de frecuencias teórica es una distribución de probabilidades que describe la forma en que se espera que varíen los resultados. Debido a que estas distribuciones tratan sobre expectativas de que algo suceda, resultan ser modelos útiles para hacer inferencias y para tomar decisiones en condiciones de incertidumbre. Una distribución de frecuencias es un listado de las frecuencias observadas de todos los resultados de un experimento que se presentaron realmente cuando se efectuó el experimento, mientras que una distribución de probabilidad es un listado de las probabilidades de todos los posibles resultados que podrían obtenerse si el experimento se lleva a cabo. Las distribuciones de probabilidad pueden basarse en consideraciones teóricas o en una estimación subjetiva de la posibilidad. Se pueden basar también en la experiencia. Tipos de distribuciones de probabilidad. Las distribuciones de probabilidad se clasifican como continuas y discretas. En la distribución de probabilidad discreta está permitido tomar sólo un número limitado de valores. En una distribución de probabilidad continua, la variable que se está considerando puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado. Las distribuciones continuas son una forma conveniente de presentar distribuciones discretas que tienen muchos resultados posibles, todos muy cercanos entre sí. 2 sin seguir una secuencia predecible. Puede ser discreta o continua. Si puede tomar sólo un número limitado de valores. Es un promedio pesado de los resultados que se esperan en el futuro. Valor esperado de una variable aleatoria. El valor esperado pesa cada resultado posible con respecto a la frecuencia con que se espera se presente. Los valores de una variable aleatoria son los valores numéricos correspondientes a cada posible resultado de un experimento aleatorio.LUIS J. el valor esperado no es más que la representación de las convicciones personales acerca del resultado posible. CASTILLO VASQUEZ Variables aleatorias. y estas probabilidades deben sumar 1. En ese caso. entonces es una variable aleatoria discreta. La distribución de probabilidad de una variable aleatoria proporciona una probabilidad para cada valor posible. El valor esperado es una idea fundamental en el estudio de las distribuciones de probabilidad. las presentaciones más comunes tienen asignadas un peso mayor que las menos comunes. Para obtener el valor esperado de una variable aleatoria discreta. entonces se trata de una variable aleatoria continua. El valor esperado también puede ser obtenido a partir de estimaciones subjetivas. En el otro extremo. 3 . se multiplica cada valor que la variable puede tomar por la probabilidad de presentación de ese valor y luego se suman esos productos. En consecuencia. Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que cambia de una presentación a otra. Una variable es aleatoria si toma diferentes valores como resultado de un experimento aleatorio. si puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado. Sean x1. Variables aleatorias discretas. Y p(x1). y debe cumplir con las siguientes propiedades: a) 0 < p (xj) < 1.. en términos de los cálculos que se deben hacer. De la misma manera que calculamos frecuencias acumuladas. podemos llevar a cabo cálculos de probabilidad mediante la sustitución de valores numéricos directamente en una fórmula algebraica. p(x2)..LUIS J. (p(x) es una probabilidad.. obteniendo la función de distribución de probabilidades: F (xk) =  p (xi) Esta función representa la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que un determinado valor: F (xk) = P (X < xk) Gráficamente. ya que entre dos valores consecutivos de una variable discreta. y por lo tanto debe tomar valores entre 0 y 1). no puede tomar valores intermedios.. la función aumenta de "a saltos". Al hacer esto. encontraremos que es más conveniente... p(x n) su probabilidades asociadas Los pares de valores (xi. b)  p (xi) = 1 (la suma de probabilidades repartidas entre todos los valores de la variable debe ser igual a 1). 4 . x n los distintos valores que puede tomar la variable aleatoria. p (xi)) constituyen la distribución de probabilidades de la variable aleatoria. CASTILLO VASQUEZ En muchas situaciones. p(x) se denomina función de probabilidad. podemos acumular probabilidades. x 2. representar la distribución de probabilidad de una variable aleatoria de una manera algebraica. CASTILLO VASQUEZ RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. a. b. Una caja contiene 5 tuercas defectuosas y 5 no defectuosas. El coeficiente de variación SOLUCIÒN N = Nª de no defectuosos D= Nº de defectuosos SIN REPOSICIÓN 5=D 5=N Xi D→ 4 P (Xi) X (DD) = 0 → P(X=0) = P (DD) = 5  4 2   = 10  9  9 X (DN) = 1 →P(X=1) = P (DN) = 5  5 5   = 10  9  18 X (ND) = 1 →P(X=1) = P (ND) = 5  5 5   = 10  9  18 X (NN) =2 →P(X=2) = P (NN) = 5  4 2   = 10  9  9 9 D 5 5 9 N→ 10 5 5 10 9 D→ N 5 . Su valor esperado y su varianza c. Se extraen 2 tuercas aleatorias y sin repetición.LUIS J. Hallar la función de probabilidad de la variable aleatoria x: numero de tuercas no defectuosas que se obtienen en la extracción. LUIS J. CASTILLO VASQUEZ 4 9 N→ a. 6 . Dos bolas son seleccionadas al azar con repetición de una urna que contiene 8 bolas blancas.663324958 100  E ( x) 1 C.V. ¿Cuáles son los posibles valores de x. 4 negras y 2 naranjas.33 % 2.LUIS J.44 – 1 = 0. %= 66. Supongamos que ganamos $.ESPERANZA E(X) = 5 4  2  5  2  +1   +2   =0+ + =1 9 9  9  9  9  x P(x) = 0  VARIANZA V(x) =   x  u  2 P(x) = E(x2) –  E x   2 E(x2) =  x 2 P(x) = 0  V(x) = 13 – (1)2 = 1. 2 por cada bola negra seleccionada y perdemos $.V. Sea x la variable aleatoria que denota nuestras ganancias. %=  100  V ( x)   0.663324958 COEFICIENTE DE VARIACIÓN C. CASTILLO VASQUEZ Xi P(Xi) 0 2/9 1 5/9 2 2/9 b .44 9 = 13  2  5  2  + 1   + 4  = 9  9  9  9 V ( x) = 0. 1 por cada bola blanca seleccionada. y cuales son las probabilidades asociadas con cada valor? GANANCIA NEGRA = 2 BLANCA = -1 8 blanca 4 negra 2 roja 7 . Naranja) = Negra 4  2    14  14  2 P (Naranja. Naranja) = 14 P (Negra. Blanca) = 8  8    14  14  -2 P (Blanca. negra) 8  4    14  14  1 = 8   14  4  =  14  P (Blanca. Naranja) = 2  2    14  14  0 14 Negra 14 Naranja ESPERANZA  64   32   4   64   16   16   2   1   0   1   2   4   196   196   196   196   196   196   128 32 64 32 64  0   0 E(x) = 196 196 196 196 196  x P(x) = E(x) = VARIANZA V(x) =  ( x  u ) 2 P(x) = E (x2) –  E x   2  64   32   4   64   16   16    1   0   1   4   16   196   196   196   196   196   196  256 32 64 64 256 736  0     3. CASTILLO VASQUEZ Blanca 8 14 4 Blanca 2 P (Blanca.755 – 0 = 3. Negra) = 2  4    14  14  2 P (Negra. Blanca) 1 2   14  8   14  -1 Blanca 14 8 4 14 = 4  4    14  14  4 P (Negra. Negra) 14 4 Negra 2 2 Xi 14 Negra Naranja 8 P (Xi) 14 14 Naranja 14 Blanca 8 14 4 Naranja 2 P (Naranja.755 E(x2) = 196 196 196 196 196 196 E(x2) =  x 2 P(x) = 4 V(x) = 3.LUIS J.755 8 . Blanca) = 2  8    14  14  -1 P (Naranja. b) Encontrar su valor esperado y su varianza c) Encontrar el Coeficiente de Variación SOLUCIÓN. CASTILLO VASQUEZ DESVIACIÒN ESTANDAR σ = V ( x) = 1.93778238 COEFICIENTE DE VARIACIÓN  100  V ( x)    E ( x) CV = 3.LUIS J. Suponiendo que cada uno de los 6 3  216 posibles resultados son igualmente probables a) encontrar la probabilidad asignada a los posibles valores que toma x. donde x es la suma de los puntos obtenidos en los 3 dados. Los resultados se muestran a continuación 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 8 9 10 11 12 13 66 77 88 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 9 10 11 12 13 98 10 11 12 13 14 109 11 12 13 14 15 10 11 12 13 14 15 16 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 6 7 8 9 10 11 9 10 11 12 13 14 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 9 10 11 12 13 14 12 13 14 15 16 17 5 6 7 8 9 10 8 9 10 11 12 13 6 7 8 9 10 11 9 10 11 12 13 14 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 9 10 10 11 11 10 12 13 13 14 14 15 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 9 . Tres dados son lanzados. 75 DESVIACIÓN ESTÁNDAR  = V ( x) = 2.958039892 10 18 6 216 . CASTILLO VASQUEZ a) Por lo tanto su función de probabilidad es: Xi = SUMA DE LOS TRES LANZAMIENTOS Xi P(Xi) 3 216 3 4 5 1 3 216 216 1 216 6 7 8 6 10 15 216 216 216 9 10 11 21 216 25 216 27 216 12 27 216 13 14 25 216 15 21 216 16 17 15 10 216 216 b) ESPERANZA E(x) =  x P(x) = 3 12 30 60 105 168 225 270 297 300 273            216 216 216 216 216 216 216 216 216 216 216 210 150 96 51 18     216 216 216 216 216 E(x) = E(x2) = 2268  10.5)2 = 8.LUIS J.5 216  x 2 P(x) = 9 48 150 360 735 1344 2025 2700        216 216 216 216 216 216 216 216 3267 3699 3549 2940 2250 1536 867 324        216 216 216 216 216 216 216 216 E( x2) = 25704  119 216 VARIANZA V(x) =  ( x  u ) 2 P(x) = E(x2) –  E x   2 V(x) = 119 – (10. Una mujer tiene 8 llaves de un llavero de los cuales. escogiendo al azar en cada tentativa una de las llaves que no ha sido experimentada. Sea x la variable aleatoria que denota el numero x. Ella prueba las llaves una en cada vez.291288 Coeficiente de Variación CV= V (X ) S  100  (100)  50.20.5.LUIS J.5 8 Varianza V(x)=∑ (x-u) P(x)=E ( x 2 ). SOLUCIÓN 8 claves X P(X) una abre la puerta de la cerradura 1 2 3 4 5 6 7 8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 Esperanza: E(x)=∑ x P(x)=1 (1/8)+ 2 (1/8)+3 (1/8)+ 4 (1/8)+5 (1/8)+6 (1/8)+7 (1/8)+8(1/8) 1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 8 E(x)=        E(x)= 8 8 36  4.25 = V ( x )  2.17% X E ( x) 4.5 2 =25. exactamente uno abre a cerradura de la puerta d su casa.5 .92 % X E( X ) 11 .25=5.5 8 8 8 8 8 8 8 V(x)=25. 4. CASTILLO VASQUEZ COEFICIENTE DE VARIACIÓN CV = V ( x) S 100  100  28. E (x ) 2 E ( x 2 )=∑ x 2 P(x)= 1 (1/8)+4 (1/8)+9 (1/8)+16 (1/8)+25 (1/8)+36 (1/8)+ 49 (1/8)+64 (1/8) 1 8 E ( x 2 )=  4 9 16 25 36 49 64        25. Roja 3/7 X Z 20  5 4  = 8 7 56   = 0 1 2 P( x i ) 6/56 30/56 20/56 F(x i ) 6/56 36/56 56/56 2 Esperanza 30 40 60  6   30   20      1   2   0 56 56 56  56   56   56  E(x)=∑ x P(x)= 0 E(x)= 1. Una urna contiene 8 bolas. CASTILLO VASQUEZ 5.074 2 = 0. de las cuales 3 son rojas.074 Varianza V(x)=∑ (x-u) P(x)=E ( x 2 ).143 V(x)= E ( x 2 ). y X: numero de bolas NO rojas que se obtienen al extraer 2 bolas con reemplazo. Graficar y comparar las funciones de distribución acumulada de las variables aleatorias x: numero de bolas rojas que se obtienen al extraer 2 bolas sin reemplazo. Roja) =  5/8 xi 0 5 15 = 7 56 3 15 = 7 56 1 1 Roja P (Z. Z) Z 4/7  3   8  5 ) =   8 P (Roja. E (x ) 2 =2.1.LUIS J.143.989524   V ( x )  0. Sin reemplazo Espacio muestral 2/7 Roja Roja 3/8 5/7 Z 6  3 2  = 56  8 7 P (Roja.9947 12 . E (x ) 2 30 80 120  6   30   20      1   4   0 56 56 56  56   56   56  E ( x 2 )=∑ x 2 P(x)= 0 E ( x 2 )=2. Z ) =  P (Z. Roja)=  Roja 3/8 5/8 3/8 5/8 Z Roja X 3 9 = 2 8 64 5 15 = 1 8 64 3 15 = 1 8 64 5 25 = 0 8 64 Z 5/8 Z xi 0 1 2 P(x i ) 9/64 30/64 25/64 F( xi ) 9/64 39/64 64/64 Esperanza 30 18  9   30   25    0.62%  E( X ) 1. 0. Roja) =    8  5 P (Z . Z ) =    8  5 P (Z.LUIS J.03125   1   4  0 = 64 64 64  64   64   64  E ( x 2 )=∑ x 2 P(x)= 0 E ( x 2 )=2. E (x ) 2 30 100 130  9   30   25    2. E (x ) 2 =2. CASTILLO VASQUEZ Coeficiente de Variación CV= V (X )  0.2119 13 .074 Con reemplazo 3/8 Roja Espacio muestral  3   8  3 P (Roja.03125 V(x)= E ( x 2 ). Z ) =    8 P (Roja.75   1   2  0 64 64  64   64   64  E(x)=∑ x P(x)= 0 Varianza V(x)=∑ (x-u) P(x)=E ( x 2 ).4688  V ( x )  1.03125.9947  100  (100)  % = 92.75 2 =1. cada uno con igual probabilidad de ocurrencia esto es: P  wi   1 .. Deseando no tener influencia en la sección de los trabajadores. CASTILLO VASQUEZ Coeficiente de Variación CV= V (X )   100  (100)  82.4 Por tanto la tabla de distribución de probabilidad de Y es: 14 . Hallar la tabla de distribución de probabilidad de y.. la de distribución de probabilidad de Y es: P Y   PY  Y      .51 %  E( X ) 6... 2.4) El numero de maneras de seleccionar 4 personas de 8 de modo que en el grupo haya 1 hombre y 3 mujeres es: l PY  1      PY  2  5 1 3 3 70 5 1  70 14     3 5 2 3 2 70 7 3  | PY  3  70 7 5 3 1 PY  4  4 0  70 14    5 3 3 1    En general. i  1.LUIS J. SOLUCIÓN El capataz puede seleccionar 4 trabajadores de 8 de    70 8 4 maneras. El Espacio muestral  asociado a este experimento contiene 70 puntos Muéstrales.. 3.2. el decide seleccionar al azar 4 trabajadores. Y   5 Y 3 4 Y 8 4  1. Un capataz de una planta manufacturada tiene 5 hombres y 3 mujeres trabajando en el.2.70 70 Para todo evento simple wi   El rango de la variable aleatoria Y es Ry = (1. El capataz desea seleccionar 4 trabajadores para un trabajo especial. Sea Y el numero de hombres en el grupo.3. LUIS J. CASTILLO VASQUEZ 7. será 32. En general. x  0. 3. SOLUCIÓN: Tenemos x: numero de caras que se obtiene al arrojar 5 monedas. - el valor de la variable aleatoria x. por lo tanto para nuestra función de probabilidad. x caras y 5-x 5 3   formas. Así la función de probabilidad es dada por: P(x)=P(X=x)= - 5 x 32 la tabla de distribución de esta probabilidad de esta función es: X P(x)= P(X=x) -   .3.2. luego el denominador para todas las probabilidades. 3. se muestra en la siguiente figura: - De los pasos anteriores tenemos: a) p ( x)  0. digamos 3 caras necesitamos el numero de formas de separar 5 resultados en 2 celdas con 3 caras u 2 sellos asignados a la otra. donde x puede tomar valores del 0. en consecuencia el rango de x es Rx = {0. puede ser cualquiera de los enteros 0. 4 o 5. 4. Para calcular el numero de formas de obtener. esto es. Esto puede hacerse de sellos pueden ocurrir    10 manera.5. 1.1.4. Y 1 2 3 4 P(Y) 1/17 6/14 6/14 6/14 Hallar la distribución de probabilidad en la variable aleatoria x.5 0 1/32 1 5/32 2 10/32 3 10/32 4 5/32 5 1/32 El diagrama de barras de esta distribución. x  Rx 5 b) 1 5 10 10 5 1  p( x)  32  32  32  32  32  32  1 x 0 15 . definida como el número de caras que se obtienen al arrojar 5 monedas. 1. 2. 4. 2. 3. 1.5} - el espacio muestral asociado a este experimento tiene 2 5 =32 elementos. 5 x 2. calcular las siguientes probabilidades. y} b) Construir la función de distribución acumulada de las variables aleatorias: W y B esbozar su grafica respectiva. B= máximo{x. i. W=X-Y ii. P{Z  5. P{1  B  4} W  4. P{-3<W<3} ii.5} 16 . c) Aplicando las propiedades de la función de distribución acumulada.5} v. P{0 iii. En el lanzamiento simultáneo de dos dados legales consideremos las siguientes variables aleatorias: X: numero de puntos obtenidos en el primer dado Y: numero de puntos obtenidos en el segundo dado a) Construir la distribución de probabilidad de las siguientes variables: i. Z=X-Y iv. CASTILLO VASQUEZ P(x) 1/2 10/32 5/32 1/32 1 2 3 4 5 X 8. A=2Y iii.LUIS J. P{A>6} iv. w P(w) -5 1/36 a P(a) z P(z) 1 1/36 18 2/36 b P(b) -4 2/36 -3 3/36 -2 4/36 -1 5/36 0 6/36 1 5/36 2 4/36 3 3/36 4 2/36 5 1/36 2 4 6 8 10 12 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 2 2/36 3 2/36 4 3/36 20 2/36 1 1/36 5 2/36 6 4/36 24 2/36 2 3/36 8 2/36 9 1/36 25 1/36 3 5/36 10 2/36 12 4/36 30 2/36 4 7/36 5 9/36 15 2/36 16 1/36 36 1/36 6 11/36 i.LUIS J. P{-1<A<8} SOLUCIÓN: a) Como dato tenemos las siguientes tablas de distribución de probabilidad de las variables aleatorias W. Según la definición 6 la función de distribución acumulada de w es: 17 . P{20 vii. CASTILLO VASQUEZ  Z  35} vi. A. Z y B. si : 5  w  4   3 / 36.3} Sean los eventos: B1. la III contiene 2 bolas blancas y 3 negras . 18 . si : 1  b  2   4 / 36. si : 4  b  5   25 / 36. segunda urna y Tercera urna. si : b  6  9. si : 0   w  1  26 / 36. si : 2   w  3  33 / 36. 2.LUIS J. 1.Extraemos una bola de cada urna y sea X el número de bolas blancas extraídas. si : w  5  1 / 36. respectivamente. respectivamente. SOLUCIÓN: a) Tenemos X: numero de bolas blancas extraídas. luego el rango de X es Rx= {0. segunda urna y Tercera urna. si : 3  b  4  16 / 36. si : 5  b  6  1. si : 2  b  3  F (b)=P  B  b   9 / 36. si : 2   w  1   15 / 36. si : b  1  1 / 36.N2Y N3: Obtener bola negra en la primera urna. si : 4   w  3   6 / 36. Una urna I contiene 5 bolas blancas y 2 negras. si : 3   w  2  10 / 36. La función de distribución acumulada de la variable aleatoria B es:  0. a) Determine la función de probabilidad de la variable aleatoria X b) Determine la función de distribución acumulada de X y trace su gráfica. . la urna II contiene 3 bolas blancas y 2 negras. CASTILLO VASQUEZ  0. B2 Y B3: Obtener bola blanca en la primera urna. si : 4   w  5  1. si : 1   w  0 F (w)=P W  w    21 / 36. si : w  5  ii. si : 1   w  2   30 / 36. N1. si : 3   w  4   35 / 36. P[B3] = 2/5 P[N1] = 2/7. si0  x  1    68 / 175. tenemos: P[X=0] = P[N1] P[N2] P[N3] = 12/175 P[X=1] = P[B1] P[N2] P[N3] + P[B2] P[N1] P[N3] + P[B3] P[N1] P[N2] = (5/7) (2/5) (3/5) + (3/5) (2/7) (3/5) + (2/5) (2/7) (2/5) = 56/175 P[X=2] = P[B1] P[B2] P[N3] + P[B1] P[N2] P[B3] + P[N1] P[B2] P[B3] = (5/7) (3/5) (3/5) + (5/7) (2/5) (2/5) + (2/7) (3/5) (2/5) = 77/175 P [X=3] = P [B1] P [B2] P [B3] = (5/7) (3/5) (2/5) = 30/175 Por tanto. P[N3] = 3/5 Por ser independientes los colores que se obtienen al seleccionar una bola en cada una de las urnas. se tiene P[B1] = 5/7 . CASTILLO VASQUEZ Según las condiciones del problema. si  x  2  145 / 175. la tabla de distribución de probabilidad de X es X P(x)= P[X=x] 0 12/175 1 56/175 2 77/175 3 30/175 b) La función de distribución acumulada de esta variable aleatoria es F(x) = P [X  x] =  0. six  0  12 / 175.P[B2] = 3/5 . P[N2] = 2/5 .LUIS J. six  3 Y su grafica se muestra en la figura: 19 . aparezca en la cara superior un valor par? b) ¿Cual es la posibilidad de obtener un numero mayor a 2? 3. Tres corredores A. c) ¿Cual es la probabilidad de que la suma de sus caras sea 4? d) ¿Qué la suma de sus caras sea un numero par? 6.4 y se echan a rodar sobre el piso. a) ¿Cuál es la probabilidad de que habiéndole lanzado el dado. B Y C compiten entre ellos frecuentemente. como sigue: un 35 por ciento menores de 20 años.2. Las caras de un dado común se hallan numeradas de 1 a 6. han ganado el 60. Suponga 20 . mientras que la de verde sea 2 o 4. a) 3. ¿Cuál es la esperanza de que la suma de sus caras sea un valor menor a 6? 2.LUIS J. el 30 y el 10 por 100 de las competiciones respectivamente. Cual es la probabilidad de que al lanzar dos dados se presenten dos valores tales que la suma sea. En el lanzamiento 900 veces de dos dados. un 25 por ciento entre 21 y 35 años. un 20 por ciento entre 36 y 50 años. CASTILLO VASQUEZ EJERCICIOS PROPUESTOS: Si p es la probabilidad de éxito de un suceso en un solo ensayo. leyendo los números correspondientes a sus caras superiores con lo anterior: a) Establezca el espacio muestral de los acontecimientos b) Determine la probabilidad de que la cara superior del lapiza roja sea 1 o 3. cuyas caras están numeradas 1. ¿Cuál es la probabilidad de que sean varones los 3 hijos de una familia? 5. b) 4 4. Después de un extenso estudio los archivos de una compañía de seguros revelan que la población de un país cualquiera puede clasificarse. el numero esperado se sucesos o la esperanza o la esperanza de este suceso en n ensayos.3. estará dado por el producto de n y la probabilidad de éxito. Si se tienen dos lápices uno rojo y otro verde. un 15 por ciento entre 51 y 65 años y un 5 por ciento mayores de 65 años. E=np 1. En la próxima carrera: a) ¿Cuál será el espacio muestral? b) ¿Qué valores podríamos asignar a los puntos muestrales? c) ¿Cuál es la probabilidad de que A pierda? 7. según sus edades. CASTILLO VASQUEZ que se quiere elegir un individuo de Tal manera que cualquier habitante del país supuesto tiene la misma posibilidad de ser elegido. Respecto del color de la lata elegida.-Un dispositivo esta compuesto de tres elementos que trabajan independientemente. Un dispositivo esta compuesto independientemente. 11. a) Cual es el espacio muestral? b) ¿Qué valores podríamos asignar a los puntos muestrales? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la lata elegida contenga pintura blanca.0 2 36 36 84 84 252 252 12. 5 5 5 5 5 1 5 . 300 de verde y 100 de azul. x=2 denota que la alumna fue clasificada en un segundo lugar y que el primer lugar fue ocupado por un alumno). . ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo sea mayor de 35 años? 8. Suponga que al observatorio meteorológico clasifica cada día según las condiciones de cómo ventoso o en calma. . Cinco hombres y cinco mujeres son clasificados de acuerdo a sus puntajes obtenidos en un examen de matemática I. describir el espacio muestral para la edad del individuo elegido y asignar valores a los puntos muestrales. . 0. . Durante el viaje las latas se han sumergido accidentalmente en agua y se han borrado todos los rótulos. . La probabilidad de falla de cada elemento en una 21 . Empleando la anterior información. 0. 0. Un embarque de pintura tiene 2000 latas de 5 kilos de las cuales 800 son de pintura blanca.Encuentre: R. en húmedo o seco y según la rotura como caluroso normal o frió. La probabilidad de tres elementos que trabajan de falla de cada elemento en una prueba es igual a 0. . roja o azul? 9. A la llegada las latas se colocan sobre una plataforma. 500 de amarilla. 300 de roja. Supongamos que todos los puntajes obtenidos en dicho examen son diferentes y que todas las 10! Posibles calificaciones igualmente probables. se coge una y se abre. Sea X la variable aleatoria que de nota la clasificación mas alta conseguida por una alumna (por ejemplo . según la cantidad de lluvia caída.1.LUIS J. Analizar la variable aleatoria x: numero de elementos que fallan en una prueba. ¿Qué espacio muestral es necesario para caracterizar? ¿Qué valores podríamos asignar a los puntos muestrales? 10. . P(x) =   0.-Sea X la variable aleatoria que denota la diferencia entre el numero de caras y el numero de sellos obtenidos cuando una moneda es Lanzada n veces.. n 14.2. x  1.. k= 0.9) 3 (0. 2k-n . escogiendo al azar en cada tentativa una de las llaves que no ha sido experimentada. Analizar la variable aleatoria X: numero de Elementos que fallan en una prueba R.Para que valor de existe una constante C para el cual  Cx  a.. al extraer 4 productos y someterlos a prueba..LUIS J.¿Para que valores de C la función p(x) define una función de Cuantía de una variable aleatoria X? 17. Obtenga la distribución de probabilidad del número de defectuosos provenientes del producto A. ¿Cuál es la distribución de probabilidad de X? 22 . Ella aprueba las llaves en cada vez.1)(0.1)2(0.. exactamente uno abre la cerradura de la puerta de su casa. se observa que se han manufacturado 4 del producto A y 4 del producto B.. enotrocaso Es función de cuantía de una variable aleatoria X? 16. CASTILLO VASQUEZ Prueba es igual a 0.9)3 1 3(0. se sospecha que la mitad de la producción sea defectuosa. Sea X la variable aleatoria que denota el numero de llaves que se prueba (incluyendo la correcta) para abrir la puerta. ¿Cuales son los posibles valores de X? R. X P(x) 0 1/70 1 16/70 2 36/70 3 16/70 4 1/70 15.….9)2 2 3(0. Como uno de los talleres de manufacturación estuvo fallando.Luego de producir el último producto del día en una fabrica.-Una mujer tiene 8 llaves en su llavero de los cuales..1.1)3 13. 1. X p(x) 0 (0.. CASTILLO VASQUEZ R.LUIS J. x P(x) 1 1/8 2 1/8 3 1/8 4 1/8 5 1/8 6 1/8 7 1/8 8 1/8 23 . 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