C.2 Dinámica Curvilínea.1. Una bolita de 6 kg de masa se encuentra atada a una cuerda de 2m de longitud, y gira en un plano vertical. Si en el instante mostrado su velocidad tangencial es de v=5m/s, ¿Cuál es la tensión en la cuerda? θ=53º. 2. Dos bolas de masas m1= 18 kg y m2= 4kg, se encuentran unidas por una cuerda imponderable, de modo que la porción de cuerda de longitud l que sostiene a m1 siempre forma un ángulo θ. ¿Cuál es la velocidad angular de rotación del péndulo cónico formado? 3. Un cónico doble gira alrededor de un eje vertical de manera que los dos hilos se encuentran siempre en un mismo plano, y forman con la vertical ángulos constantes de α=30º y β=37º. Las longitudes de los hilos son las mismas e iguales a l= 33cm. Calcular la velocidad angular de rotación del péndulo. Problema 2 Problema 3 Problema 5 4. En el vagón de un tren que se desplaza por una curva con la velocidad de 126 km/h se está pesando una carga en un dinamómetro sostenido del techo. El peso de la carga es 480 N, pero el dinamómetro indica 500 N. Determinar el radio de curvatura de la línea férrea (Despreciar la masa del dinamómetro). 5. Determinar el ángulo θ que define la posición de equilibrio relativo de una partícula P apoyada en una vasija lisa de forma hemisférica que gira alrededor de su eje geométrico EE’ con velocidad angular ω. Radio del hemisferio = R. 6. Cierto cordón puede soportar una tensión máxima de 9. 2 lb sin romperse. Un niño ata una piedra de 0.82 lb a un extremo y, manteniendo el otro extremo, hace girar a la piedra en un círculo vertical de 2.9 ft de radio, aumentando lentamente la velocidad hasta que el cordón se rompe. (a) ¿En qué lugar de su trayectoria está la piedra cuando se rompe el cordón? (b) ¿Cuál es la velocidad de la piedra al romperse el cordón? R. 30.89 pies/s 7. Una lancha se mueve a una velocidad de 40 mph en una trayectoria circular de 50 pies de radio. Calcule el ángulo requerido θ de la lancha con respecto a la horizontal si los pasajeros no deben deslizar sobre los asientos, donde el coeficiente de fricción estática es 0,3. R.25º 8. Un camión se mueve sobre una autopista de radio r = 100 m con un ángulo de peralte θ = 10o. Calcule la máxima velocidad v del camión si este no debe deslizar sobre el pavimento, donde el coeficiente de fricción estática es 0,4. R. 24.65 m/s 60 35 N 1.7 m 1.34 kg θ r θ Prob. 7 Prob. 8 Prob. 9 9. Una bola de 1.34 kg está unida a una varilla vertical rígida por medio de dos cordones sin masas, cada uno de 1.70 m de longitud. Los cordones están unidos a la varilla con una separación entre sí de 1.7 m (aparte). El sistema está girando con respecto al eje de la varilla, quedando ambos cordones tirantes y formando un triángulo equilátero con la varilla, como se muestra en la figura. La tensión en el cordón superior es de 35.0 N. (a) Halle la tensión en el cordón inferior. (b) Calcule la fuerza neta sobre la bola en el instante mostrado en la figura. (c) ¿Cuál es la velocidad de la bola? 10. Un camión se mueve sobre una autopista de radio r = 100 m con un ángulo de peralte θ = 10o. Calcule la máxima velocidad v del camión si este no debe deslizar sobre el pavimento, donde el coeficiente de fricción estática es 0,4. R.24.7 m/s 11. En otra versión del “columpio gigante”, el asiento está conectado a dos cables, como se indica en la figura, uno de los cuales es horizontal. El asiento gira en un círculo horizontal a una tasa de 32.0 rpm (rev/min). Si el asiento pesa 255 N y una persona de 825 N está sentada en él, obtenga la tensión en cada cable. 12. Un bloque pequeño de masa m descansa sobre una mesa horizontal sin fricción, a una distancia r de un agujero en el centro de la mesa. Un cordón atado al bloque pequeño pasa por el agujero y está atado por el otro extremo a un bloque suspendido de masa M. Se imprime al bloque pequeño un movimiento circular uniforme con radio r y rapidez v. ¿Qué v se necesita para que el bloque grande quede inmóvil una vez que se le suelta? 13. Un bloque pequeño de masa m se coloca dentro de un cono invertido que gira sobre un eje vertical, de modo que la duración de una revolución del cono es T. Las paredes del cono forman un ángulo b con la vertical. El coeficiente de fricción estática entre el bloque y el cono es ms. Si el bloque debe mantenerse a una altura constante h sobre el vértice del cono, ¿qué valores máximo y mínimo puede tener T? Probl. 11 Probl. 12 Probl. 13 14. Un juego mecánico de un parque de diversiones consta de un gran cilindro vertical, que gira alrededor de su eje con rapidez suficiente para que cualquier persona en su interior se mantenga contra la pared cuando el piso se deja caer. El coeficiente de fricción estática entre una persona y la pared es µ y el radio del cilindro es R. a) Demuestre que el periodo máximo de revolución necesario para evitar que una persona caiga es de T=(4π2Rµs/g)1/2. b) Obtenga un valor numérico para T si R=4.00 m y µs=0.40. ¿Cuántas revoluciones por minuto hace el cilindro? 15. Un avión de juguete, de masa 0.750 kg, vuela en un circulo horizontal al extremo de un alambre de control de 60.0m, con una rapidez de 35 m/s. Calcule la tensión del alambre si forma un ángulo constante de 20º con la horizontal. Las fuerzas ejercidas sobre el avión son la tensión del alambre de control, la fuerza gravitacional, una sustentación aerodinámica que actúa a 20º hacia adentro desde la vertical como se ve en la figura. 16. Tres masas iguales se encuentran sobre una superficie horizontal lisa unidas por cuerdas livianas. Todo el sistema se hace girar alrededor del eje o con velocidad angular w contante. Hallar la aceleración centrípeta de cada masa y la tensión en cada cuerda. A B C Problema 14 Problema 15 Problema 16 17. Una pequeña cuenta con una masa de 100 g se desliza a lo largo de un alambre semicircular de radio 10 cm que gira alrededor de un eje vertical a razón de 2 vueltas por segundo, como se indica en la figura. Determine los valores de θ para los cuales la cuenta permanece estacionaria respecto al alambre giratorio. 18. Calcular la velocidad mínima que tiene que tener el motorista que trabaja en el «tubo de la muerte» (aparato de atracción de feria que representamos en la figura), para que no se caiga. Diámetro del tubo: 10 m. Coeficiente estático de rozamiento en las ruedas de la motocicleta y la pared: 0,5. 19. Un esquimal se entretiene colocando pequeños objetos sobre la superficie de un iglú. Suponiendo que la sección longitudinal de dicha superficie puede escribirse como una parábola de la forma y = kx2 respecto a los ejes indicados en la figura y que el coeficiente de rozamiento estático es µe, ¿cuál es la distancia vertical h máxima respecto de la parte superior a los que la puede colocar de modo que éstos no deslicen? Problema 17 Problema 18 Problema 19 D. TRABAJO POTENCIA Y ENERGÍA 1. A un bloque de 10 kg que se encuentra sobre un plano horizontal inicialmente en el punto xo =1m y yo=1m se le aplica una fuerza que depende de la posición según la ecuación F = (2xy i + x j) N, calcule el trabajo realizado por F para llegar al punto x=3m y y=5m. 2. Calcular el trabajo realizado por la fuerza F = [(x + y2) i +(x2-6y3)j] N, cuando mueve un objeto en línea recta desde el punto (1,2) m hasta el punto (6,5) m. 3. Un bloque de 5.00 kg se mueve con v0= 6.00 m/s en una superficie horizontal sin fricción hacia un resorte con fuerza constante k =500 N/m que está unido a una pared (figura 1.). El resorte tiene masa despreciable. a) Calcule la distancia máxima que se comprimirá el resorte. b) Si dicha distancia no debe ser mayor que 0.150 m, ¿qué valor máximo puede tener v0? 4. Considere el sistema de la figura 2. La cuerda y la polea tienen masas despreciables, y la polea no tiene fricción. Entre el bloque de 8.00 kg y la mesa, el coeficiente de fricción cinética es µk = 0.250. Los bloques se sueltan del reposo. Use métodos de energía para calcular la rapidez del bloque de 6.00 kg después de descender 1.50 m. Rta. 2.93 m/s 5. Un sistema que consta de dos cubetas de pintura conectadas por una cuerda ligera se suelta del reposo con la cubeta de pintura de 12.0 kg a 2.00 m sobre el piso (figura 3). Use el principio de conservación de la energía para calcular la rapidez con que esta cubeta golpea el piso. Puede ignorar la fricción y la masa de la polea. Figura 1. Figura 2. Figura 3. 6. Un bloque de 2.8 kg que se desliza remonta la colina lisa, cubierta de hielo, de la figura 4. La cima de la colina es horizontal y está 70 m más arriba que su base. ¿Qué rapidez mínima debe tener el bloque en la base de la colina para no quedar atrapada en el foso al otro lado de la colina? Rta. 42.43 m/s 7. En un puesto de carga de camiones de una oficina de correos, un paquete pequeño de 0.200 kg se suelta del reposo en el punto A de una vía que forma un cuarto de círculo con radio de 1.60 m (figura 5). El paquete es tan pequeño relativo a dicho radio que puede tratarse como partícula. El paquete se desliza por la vía y llega al punto B con rapidez de 4.80 m/s. A partir de aquí, el paquete se desliza 3.00 m sobre una superficie horizontal hasta el punto C, donde se detiene. a) ¿Qué coeficiente de fricción cinética tiene la superficie horizontal? b) ¿Cuánto trabajo realiza la fricción sobre el paquete al deslizarse éste por el arco circular entre A y B? Rta.: a)µ=0,38 , b)W= -0,9 8. Una esquiadora parte del tope de una enorme bola de nieve sin fricción, con rapidez inicial muy pequeña, y baja esquiando por el costado (figura 6). ¿En qué punto pierde ella contacto con la bola de nieve y sigue una trayectoria tangencial? Es decir, en el instante en que ella pierde contacto con la nieve, ¿qué ángulo α forma con la vertical una línea radial que va del centro de la bola a la esquiadora? Rta. 48.19º Figura 4 Figura 5 Figura 6 9. Un resorte de constante elástica k = 2 kN /m (Figura 7) se encuentra comprimido una distancia d = 50 mm por medio de un mecanismo. Cuando el mecanismo se libera, el resorte impulsa un bloque de 1kg sobre un plano inclinado en 20o. a) Calcule la máxima distancia L recorrida por el bloque si µ = 0, el bloque y el resorte no están unidos. R. 0.746m 10. Un bloque de 5 Kg se deja caer desde una altura h= 10 m (Figura 8) sobre un resorte de longitud 0,5 m. Calcule la constante elástica si el resorte debe ser comprimido hasta y = 0,2 m. 11. La barra de acero, con una masa de 1800 kg, (Figura 9) se desplazaba por una banda transportadora con una rapidez de 0.5 m/s cuando chocó con el par de resortes anillados. Determine la deflexión máxima necesaria en cada resorte para detener el movimiento de la barra. Tome kA=5 kN/m, kB=3 kN/m. 0.5 y L 0.45 d C h A k 20° Figura 7. Figura 8. l=0.5 m Figura 9. 12. El bloque mostrado en la Figura 10 parte del reposo. Determine a) La velocidad del bloque cuando toca al resorte. b) la máxima compresión del resorte. La masa del bloque es de 2 Kg, la constante elástica del resorte k= 1200 N/m. Rta.: a) 8,94m/s b) 0,37 m 13. Las canicas, que tienen una masa de 5 g, caen desde el reposo en A a través del tubo de vidrio y se acumulan en el bote en C. (Figura 11) Determine la ubicación R del bote, con respecto del extremo del tubo, y la rapidez con que las canicas caen dentro de aquél. Desprecie el tamaño del bote. R. 2.83 m y 7.67 m/s 14. Un bloque de masa m1=1.88 kg se desliza a lo largo de una mesa sin fricción a una velocidad de 10.3 m/s. Directamente enfrente de él, y moviéndose en el mismo sentido, está un bloque de masa m2=4.92 kg que se mueve a razón de 3.27 m/s (Figura 12). Un resorte carente de masa con una constante elástica de k=11.2 N/cm está unido a la parte posterior de m2, como se muestra en la figura. Cuando los bloques chocan, ¿cuál es la máxima compresión del resorte? R. 35.9 cm A B v1 4 m 3 2 m1 6 m v2 k m2 C R Figura 10 Figura 11. Figura 12. 15. El diagrama Figura 13. debajo muestra una pelota con una masa m atada a un cordón con una longitud l. La clavija está localizada a una distancia d directamente debajo del punto de apoyo. Si la pelota gira completamente alrededor de la clavija y empieza de la posición mostrada, demuestre que d debe ser mayor que 3l/5. 16. El pequeño cuerpo A, de masa 1 kg, «riza el rizo» en una pista circular vertical de 1 m de radio, como se indica en la figura 14. Calcular la mínima energía cinética que debe tener en el punto más alto (B) del trayecto circular y la altura mínima desde la que se debe dejar caer para que describa el rizo. (Se suponen nulos los rozamientos y que el cuerpo no está enganchado a la pista.). 17. El cuerpo de masa M sujeto por la cuerda de longitud L, gira en el plano inclinado de la figura 15, con el que tiene un coeficiente de rozamiento µ. Calcular: 1) La velocidad mínima que debe tener en A para que pase por B. 2) La velocidad, en ese caso, con qué pasará de nuevo por A. DATOS: g = 10 m/s2, M = 4 kg, L = 2 m, µ = 0,25. l d clavija Figura 13. Figura 14. Figura 15. 18. Una partícula de 200 g se suelta desde el reposo en el punto A a lo largo del diámetro horizontal en el interior de un tazón semiesférico y sin fricción, de radio R=30.0 cm. Figura 16.Calcule a) la energía potencial gravitacional del sistema partícula Tierra cuando la partícula este en el punto A con respecto al punto B, b) La energía cinética de la partícula en el punto B, c) su rapidez en el punto B y d) su energía cinética y la energía potencial cuando la partícula este en el punto C. 19. Una pequeña esfera es soltada tal como se muestra Figura 17, determine el máximo alcance horizontal sobre la superficie horizontal (desprecie todo tipo de rozamiento) 20. A un alambre liso se la ha dado la forma que se muestra. ¿Qué módulo debe tener la velocidad horizontal, que hay que comunicarle a la cuenta en la posición que se muestra Figura 18 para que saliendo por P logre ingresar por Q? Figura 16 Figura 17 Figura 18 21. Un bloque de 1 kg se encuentra unido a un coche mediante un resorte (K=100N/m). S i el coche inicia su movimiento con una aceleración de 7.5 m/s2, ¿Cuál será la máxima deformación que experimenta el resorte?. Figura 19 22. Se muestra el instante en que se suelta una pequeña esfera lisa de masa m. ¿Qué módulo tiene la fuerza del tubo sobre la esfera, cuando esta pasa por B?. Figura 20. 23. Se muestra el lanzamiento de 2 esferas, cada una de 2 kg y unidas a un resorte ideal inicialmente sin deformar. Figura 21 Si el sistema se encuentra sobre una superficie horizontal lisa, determine el máximo estiramiento del resorte (K=20 N/cm). Figura 19 Figura 20 Figura 21 24. Un paquete de masa m se suelta en A, y oscila en un plano vertical. Si la cuerda que lo sostiene se rompe cuando su tensión es igual al doble del peso del paquete, se pide encontrar a qué altura h debajo de A se rompe la cuerda. Figura22 25. ¿Hasta qué altura h máxima logrará elevarse una esferilla, que luego de soltarse en A ingresa a un tubo doblado en forma de arco de circunferencia, deslizándose sin fricción y abandonándolo en B?. Se sabe también que R= 8 m, y θ = 60º Figura 23 Figura 22. Figura 23. 26. En la figura 24, la esferita unida al extremo de la cuerda OA se apoya sobre una superficie cilíndrica lisa. Si la cuerda se corta, la esferita deslizará sobre la superficie y dejará de tener contacto con está en el punto B. Hallar ”φ” para cos θ = 9/10. 27. En la figura 25, se suelta el péndulo en A, en el punto C hay un clavo. La tensión en la cuerda es nula, cuando la mitad inferior de la cuerda forma con la vertical un cierto ángulo “θ”, después de la colisión con el clavo. Hallar el valor de cos θ. (g=10m/s2) 28. En la Figura 26, se suelta la esferita del reposo en “A”, desde una altura h=R/5, despreciando la fricción, hallar el ángulo “θ” para el cual la esferita abandona la superficie. (g=10m/s2) A R m A h l B l/2 R ? f C ? Figura 24. Figura 25 Figura 26 29. En la figura 27, la bolita de masa m=2kg se suelta en “A”. Hallar la reacción normal en el punto “B”, sobre la superficie curvatura “2R”. Desprecie la fricción. (g=10m/s2) 30. En la Fig. 28, el resorte de constante elástica k=81 N/m está unido en A a un collarín de masa m=0,75 kg el cual se puede mover a lo largo de la varilla AB. La longitud normal del resorte es Lo=1m. Si el collarín se deja en libertad del reposo en la posición A, hallar la rapidez del collarín en la posición B. (g=10m/s2) A B g 2R R k 1,2 m H 0,9 m Figura 27 1,6 m Figura 28 1,2 m