UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCASede Jaén “norte de la universidad peruana” Bolívar n° 1342-plaza de armas-telf-731080 TEMA:LOGICA CUANTIFICAIONAL INTEGRANTES 4.1 PREFACIO. La lógica formal, al nivel de la lógica de enunciados, sólo puede analizar formalmente aquellos razonamientos en cuya validez no desempeña ningún papel la estructura interna de las proposiciones que los componen. Hay razonamientos formalmente válidos que no lo son simplemente en virtud de las conexiones externas entre los enunciados. Es decir, su forma no puede exhibirse tan solo mediante letras y conectivos, sino que es preciso penetrar en la estructura interna del enunciado, para buscar la validez de la inferencia en cuestión. Ejemplo: P: Ningún árbol puede hablar. Q: Juan puede hablar. Luego, R: Juan no es un árbol. La lógica proposicional no puede explicar por qué R se deduce de P y de Q. Se trata entonces de construir a partir del cálculo proposicional, nuevos elementos de análisis para poder tener un instrumento adicional de deducción. Dada una proposición, la lógica cuantificacional distingue en esta a los individuos y a sus propiedades. Ejemplo: Lina estudia mucho. Jardín es un municipio muy próspero. El Atrato es muy caudaloso. En las tres proposiciones anteriores los individuos son: "Lina", "Jardín" y "El Atrato". Las propiedades atribuidas a dichos individuos son las frases: "estudia mucho", "es un municipio muy próspero" y "es muy caudaloso". Este tipo de proposiciones en donde se atribuye una propiedad a un individuo determinado son las llamadas proposiciones monádicas. Los nombres propios hacen referencia a cualquier tipo de individuos determinados: personas, animales, países, ríos, etc. Se simbolizarán con letras minúsculas a, b, c... y se llamarán constantes individuales o términos. Se llamará predicado a la propiedad que se afirma acerca del sujeto o término, y se simbolizará con letras mayúsculas: A, B, C... Si en el ejemplo anterior se simboliza a: Lina, por la letra l Jardín, por la letra j. El Atrato, por la letra a. Estudia mucho, por la letra P. Es un municipio muy próspero, por la letra R. Es muy caudaloso, por la letra T. Entonces, la simbolización de las anteriores proposiciones es: Pl Rj Ta. Las proposiciones simples pueden combinarse mediante conectivos lógicos para formar proposiciones compuestas tales como: "Pedro duerme y María lee" que se puede simbolizar así: Sf y Pj 4.2 Funciones proposicionales Considérense las siguientes proposiciones: Gustavo es médico. Alvaro es médico. Enrique es médico. Estas proposiciones tienen algo en común, y es la propiedad de "ser médico". Esto puede formularse recurriendo a la expresión "x es médico" en donde x es una variable individual, la cual indica que el sujeto o término que tiene la propiedad de ser médico es indeterminada. La expresión "x es médico" no puede considerarse como una proposición ya que no es en cuanto tal ni verdadera ni falsa. Aquí x es una variable que toma valores dentro de un conjunto, llamado conjunto de referencia . Expresiones de esta forma, dadas en términos de una o varias variables, reciben el nombre de funciones proposicionales . Cuando en una función proposicional se sustituyen las variables por constantes individuales o términos específicos, se convierte en proposición. Comúnmente se usarán las letras x, y, z, w para denotar las variables. Las funciones proposicionales pueden negarse y también combinarse con otras funciones proposicionales o proposiciones simples por medio de los conectivos. Ejemplo: s(x)=x es par -----.s(6):6 es par 4. pueden traducirse respectivamente como: Para todo x.q(x): x es blanca → x=tiza q(tiza)=la tiza es blanca Si en una forma compuesta hay por lo menos una función proposicional como componente. Algunos hombres son sabios. . r(fulano)= fulano es muy generoso • x es par y 6 también. Otros giros utilizados para la expresión 'Existe un x" son: Hay x Existe x. Ejercicios 1) Simbolizar las siguientes expresiones e indicar si son funciones proposicionales o proposiciones: • Fulano es muy generoso. Existe un x. entonces toda la forma compuesta es una función proposicional. Otros giros utilizados para la expresión "para todo x" son: Todo x cualquiera x cada x que se simbolizan por y se llama cuantificador universal. tal que x es hombre y x es sabio. tal que Algún x Algunos x que se simbolizan por y se llama cuantificador existencial. . si x es hombre entonces x es mortal.3 Cuantificadores Las expresiones: Todo hombre es mortal. Las palabras "ningún". pero de una manera distinta a las proposiciones anteriores. Anteponiendo la expresión "para todo x" o cuantificador universal. El enunciado "existe al menos un x tal que El enunciado "para todo x. "nada". " se representa como: " se representa como: Al anteponer a la función proposicional un cuantificador. Las proposiciones universales pueden aparecer negadas. Una proposición de la forma es verdadera cuando todas las sustituciones de la variable x por términos específicos del conjunto de referencia. La proposición "ninguno es mecánico" no equivale a la proposición "no todos son mecánicos" sino a la expresión "para todo x. En este caso la simbolización será: donde M x es la función proposicional "X es mecánico" que toma valores dentro del conjunto de referencia formado por los hombres. x no es mecánico" que se simboliza . Anteponiendo la expresión "existe al menos un x" o cuantificador existencial. "ninguno". se dice que la variable x ha pasado a ser variable ligada . como en el enunciado: "No todos son mecánicos". "nadie" corresponden también a enunciados universales con negaciones. . Un enunciado de la forma es verdadero cuando al menos un caso de sustitución de la variable x por un término específico del conjunto de referencia.Existen tres formas de convertir una función proposicional en una proposición a saber: Haciendo la sustitución de las variables por un término específico. convierte a en un enunciado verdadero. convierten a en enunciado verdadero. el cálculo cuantificacional presenta también una estructura propia. permite la consolidación del complejo pero maravilloso universo de la lógica formal. designa una fórmula. consideramos importante el conocimiento completo de la estructura básica. Designaremos por y se lee “ y sustituye a x en P ”. Observación.Las proposiciones existenciales pueden estar negadas. Análogamente a lo que ocurre con los cuantificadores universales. en la cual no figura . entonces designa la fórmula Notas: 1. En adelante. por y. si en P no figura o . se sobreentiende que se satisfacen las condiciones requeridas. y en este sentido presentamos los elementos fundamentales a continuación: Signos primitivos del cálculo cuantificacional: (cuantificador universal). Sea P una fórmula no cuantificada en x y no cuantificada en y . en la cual no figura la expresión entonces . Así como aclaramos en su momento en el cálculo proposicional. que adicionada a las reglas ya establecidas para el cálculo de proposiciones. Regla formativa: Si P designa una fórmula. como por ejemplo "no es cierto que hay fantasmas" la cual se simboliza como donde F x simboliza la expresión "x es un fantasma". cuando una expresión figure cuantificada. 2. 1. las proposiciones existenciales pueden tener negaciones internas como "algo no es mortal" la cual se simboliza como donde M x simboliza la expresión "x es mortal". Diremos que una fórmula P no está cuantificada bajo el término x . . Conservando la orientación que nos hemos propuesto. la fórmula que resulta de sustituir todas las ocurrencias de x en la fórmula P . Convenciones. Signo definido: Si P designa una fórmula. Ejemplo: Si . 1. Simbolizar los siguientes enunciados: 1. Sea P una fórmula no cuantificada en x. Si queremos destacar que el término x figura en la fórmula P . 1.7 No todo es perecedero. . con base en las reglas formativas establecidas en el cálculo de proposiciones y la última regla anotada para el cálculo de cuantificadores.6 Nada se mueve. 1.2 Hay marcianos. cuáles de los siguientes expresiones son fórmulas: 2. a . 2. x términos. 1. hay algo rojo. Entonces es un axioma.3 2. Ejercicios propuestos 4.3 Alguien no es perfecto. lo indicamos por P x .1 Todo es perecedero. entonces . Indicar.4 No hay cosas sólidas. .8 Nada es perecedero.4 .2 2. 1. 1.5 Si todo es rojo. 1. Regla Axiomática. 2.3 1.1 2. esto es cuando restringimos a los x dentro de un universo más concreto.1 3. cumplir con sus objetivos.4 Cuantificación restringida Los enunciados cuantificados que tienen importancia en la matemática.5 2. negativos o cero” tiene sentido cuando nos ubicamos por ejemplo en el contexto de los números reales. Ilustración 2. en esta forma. El enunciado: “Existe al menos un x tal que x >0”.4 3. el enunciado anterior adquiere pleno significado cuando lo precisamos en los siguientes términos: .5 3. así.2 3. tienen una característica común que los identifica y es precisamente que están señalando propiedades muy específicas que les permiten. De la función proposicional diremos que es una restricción.3 3. El enunciado: “Todos los x son positivos. tiene sentido cuando especificamos el universo de validez de x . Ilustración 1. pero no tendría absolutamente .6 4.6 2.7 3.2. Sean: Determinar: 3. • Como puede concluirse de los ejemplos anotados. se requiere simbolizarlo en términos de expresiones cuantificadas y luego expresarlo en términos de cuantificadores restringidos. seres vivos. por ejemplo: conjunto de los animales. hombres o cosas en general. Dado el uso continuo que presenta la cuantificación restringida. utilizaremos las siguientes convenciones para designarla: Sean C . En este caso la función proposicional recibe el nombre de restricción y el enunciado se estructuraría así: . con relación a las propiedades subsiguientes que se le asignan a los objetos. Para cada enunciado que se propone a continuación. • Existe un número real que no es positivo y no es negativo. • Cuando el enunciado se cuantifica existencialmente la restricción corresponde al conjunto referencial más amplio. Ilustración 3. la restricción se constituye en el antecedente de un condicional. esta expresión abreviada la llamaremos cuantificador existencial restringido y la fórmula C se denomina restricción. actuando en esta forma de filtro o tamiz. Simbolización: . Notación. esta expresión abreviada la llamaremos cuantificador universal restringido y la fórmula C se denomina restricción . Observaciones. • Cuando el enunciado se cuantifica universalmente. • Designaremos por: la fórmula . • Designaremos por: la fórmula .ningún significado en muchos otros contextos. a partir del cual la proposición es cada vez especificada mediante una serie de conjunciones. P fórmulas no cuantificadas en x . la restricción se articula en forma diferente según el enunciado corresponda a una expresión cuantificada existencialmente o universalmente. . Designemos: P x : x es un paralelogramo. Simbolización: Cuantificación restringida: Ejercicios propuestos 4. 1. da por resultado este último. E x : x es equilátero. A x : x es equiángulo. 1.2 Existen animales carnívoros. Simbolización: Cuantificación restringida: • Todo número real elevado al cuadrado es no negativo.4 Existen ciudades de clima frío.Cuantificación restringida: • Existe un paralelogramo que es equilátero y equiángulo. 1.3 Hay números perfectos. que sumado con cualquier número real.1 Hay cisnes negros. 1. Simbolizar los siguientes enunciados: 1. Simbolización: Cuantificación restringida: • Existe un número real.5 Todos los nevados son colombianos.4 1. 2. 2.9 El producto de dos enteros consecutivos es un número par. es mayor que E . existe un real D de tal forma que para todo real mayor que D . f(x) es real.10 Todo entero de la forma 6 k +5 es también de la forma 3 k +2. 1. 2. Sean: A x : x es un animal H x : x es un hombre M x : x es un mamífero V x : x es un vertebrado 3. c número real tal que para todo real x mayor que c . 2.2 3. existe un número real tal que su suma es igual a cero.1.1 3. y son enteros positivos.8 Algunos gobernantes no respetan la libertad.12 Dado cualquier E real.2 La ecuación tiene una solución en los enteros. 2. 2. existe un entero positivo n tal que nx > y . Expresar en el lenguaje corriente los enunciados simbolizados que se presentan a continuación. 2. 1.8 Para todo número entero existe otro número entero mayor que él.5 Existe un número natural menor o igual que cualquier número natural.6 Hay cetáceos que son peces. 2.7 Algunos números negativos no son enteros. 2.7 Si x .3 Todo número entero es par o impar. su imagen bajo la función f .6 Para todo número real.11 Existe c .4 La ecuación no tiene solución en los reales. 2.3 . 2. 3. Simbolizar los siguientes enunciados y expresarlos en términos de cuantificadores restringidos: 2. • Negación de expresiones cuantificadas. entonces ( " x)(P x ) es falso. estas se pueden desarrollar en gran parte por los lectores y esperamos que avancen en este aspecto.6 3.7 3. Aunque omitimos sus demostraciones por las razones ya expuestas. También. Ilustración 4.8 4. se tiene que la negación de una proposición existencial es equivalente a la afirmación de un cuantificador universal cuya función proposicional es la negación de la primera. "existe un número primo que no es impar". Sea P una fórmula no cuantificada en x . el dos. • . entonces: • • Según lo anterior. se le llama un contraejemplo. Esta regla se llama regla del contraejemplo y dice así: Si ( $ x)( Ø P x ) es verdadera. utilizando al máximo las equivalencias establecidas.5 3.5 Teoremas básicos del cálculo cuantificaional Presentamos a continuación los resultados fundamentales del cálculo cuantificacional.4 3. Ejemplo: La afirmación "todos los números primos son impares" es falsa porque.3. El método de demostración que origina esta regla se fundamentará más adelante. A dicho número. Este resultado es la base de una regla lógica útil para demostrar que un enunciado es falso. Determinar la negación para cada una de las fórmulas siguientes. decir que ( " x)(P x ) es falsa significa entonces que Ø ( " x)(P x ) es verdadera y por lo tanto lo es ( $ x )( Ø P x ). 1 da lugar al método de demostración conocido bajo este nombre y que opera así: Esquema Operativo. Dar contraejemplos para mostrar que las siguientes proposiciones son falsas.Negación: • Negación: • Negación: Método del contraejemplo. • Por lo anterior debe verificarse que para un objeto concreto a . que es teorema. es verdadera. Ilustración 5. Objetivo. Demostrar que una fórmula específica del tipo también que es teorema. En este caso de a decimos que es un contraejemplo con relación a la fórmula . • “El cuadrado de todo número real es mayor que el número” . • Basta demostrar. o es falsa. La equivalencia establecida en el numeral 2 del teorema 4.5. por la equivalencia establecida. • “Todo entero que se puede expresar en la forma 3 k +2. designando por es verdadera. puede observarse que para estos valores la implicación es falsa. • Para a . puesto que P 8 es verdadera. uno de nuestros objetivos principales en este trabajo. entonces: • • . equivale a vemos que 0 (cero) es un contraejemplo porque P 0 es verdadera. “Si a |( b + c ) entonces a | b ó a | c ” Contraejemplo: Tomemos a =2. Q fórmulas no cuantificadas en x . que corresponde a propiedades derivadas del conjunto de números enteros y en consecuencia se desarrollará como un apéndice de este texto. b . Sean P . se puede expresar en la forma 6 n +5”. Enunciado simbólico: Veamos que su negación es verdadera: Designando por P x : podemos verificar que x =8 es un contraejemplo. • Distributividad en los cuantificadores. Con este método hemos completado la fundamentación de los métodos de demostración. Nota. c =1. b =3. Nos queda por analizar el método de Inducción matemática. c enteros.Enunciado simbólico: En consecuencia probemos que . • ( $ x)(P x Q x ). • ( " x)(P x M x ). utilizando el cuantificador existencial las siguientes expresiones.5 1) Negar las siguientes proposiciones cuantificadas. • Todo cetáceo es un pez. las siguientes expresiones. • Toda hormiga es un insecto. • Existe al menos una montaña. • ( " x)(C x Þ D x ). 3) Simbolizar.• • • • Conmutatividad en los cuantificadores Sea P una fórmula no cuantificada en x y no cuantificada en y . . utilizando el cuantificador universal. 2) Simbolizar. entonces: • • • Ejercicios propuestos 4. • Todos aprobamos el curso y disfrutamos las vacaciones. • ( $ x)(A x Þ B x ). en términos de cuantificadores restringidos.4 numeral 2. • • • .2 numeral 4. . • • Exprese las proposiciones anteriores y sus correspondientes negaciones.5. • Teorema 4.2 numeral 3.• Hay cisnes negros. utilizando al máximo las equivalencias establecidas. . • Hay números perfectos.3 numeral 3. • Determinar la negación para las siguientes proposiciones. Exprese finalmente las proposiciones negadas en términos de cuantificadores restringidos. ¿Qué puede concluirse al respecto? • Determinar la negación para cada una de las fórmulas simbolizadas en el ejercicio 4. • Teorema 4. • Utilizar las equivalencias correspondientes para probar que los siguientes pares de fórmulas son equivalentes. • Existen animales carnívoros.5. • Utilice contraejemplos para mostrar que los recíprocos de los siguientes teoremas no son teoremas.5. • Teorema 4. . • Sp por simplificación en 2. Dado un enunciado verdadero de la forma ( $ x)(P x ). 4.6. 4. Luego Pedro es sabio".6.6 Reglas de inferencia para enunciados cuantificados 4. con la restricción de que se utilice una constante que no halla figurado antes dentro de la demostración.U).E).• .E (si no existiera la restricción). Es decir. 4.6. todo caso de sustitución de la variable x por constantes de su conjunto de referencia. se infiere la verdad del enunciado ( $ x)(P x ). • Hp • ( $ x)(H x • Hp Sx) Sp por E.U).E). da lugar a un enunciado verdadero.4 Generalización Existencial (G. se infiere de él un caso de sustitución de la función proposicional. La restricción indicada tiene la función de evitar inferencias inválidas tales como: "Pedro es un hombre" "Algunos hombres son sabios. Si una función proposicional tiene todos sus casos de sustitución por constantes de su conjunto de referencia verdaderos. Dado un enunciado verdadero de la forma ( " x)(P x ). Puesto que la constante p ya ha aparecido en la proposición 1.1 Particularización Universal (P.3 Ejemplificación Existencial (E.6. que no se halla especificado. Si una función proposicional tiene por lo menos uno de sus casos de sustitución por constantes de su conjunto de referencia verdadero. la restricción impide que se la utilice en el paso 3. . 4. se infiere la verdad del enunciado ( " x)(P x ).2 Generalización Universal (G. Ejemplo. Algunos perros son guardianes. • Traslado del cuantificador existencial. V x ) G. es necesario aplicar en primer término E. P w Þ V w 5. M w Simplificación en 3 y RV2. ( " x)(P x Þ V x 2. Si bajo el supuesto de que P es verdadera se puede probar que Q es verdadera.U puede hacerse en la misma constante sin ningún problema. 6. Mostrar la validez del siguiente razonamiento: Los perros son vertebrados y mamíferos. G w simplificación en 3. ( $ x)(P x 3. Esta regla tiene un esquema operativo que podemos resumir así: . E en 8.U en 1. entonces es teorema en la teoría inicial. G w E. ( $ x) (G x V w conjunción 6 y 7.E que es la regla que tiene restricciones y luego la P. 1. Sea un teorema. V w simplificación en 5.E y P. V w M x ). 8. P w G x ) / \ ( $ x)(V x G x ).Nota: Cuando en una demostración haya que aplicar la E.U como en el ejemplo siguiente. G w 9.E en 2 (W es una constante determinada pero no especificada). 7. M w P. 4. algunos vertebrados son guardianes. Luego. • . Objetivo: Demostrar que es teorema. Presentamos ahora un resumen de observaciones metodológicas. • Observaciones Generales. Regla de validez 2. • Verificar que es verdadero para una constante a específica. Q n+1. Traslado del existencial.1. Axioma 5. . Premisa 2. que facilitan la comprensión y aplicación de las reglas de inferencia anteriores. Ilustración 5. • . Supongamos: P ( Hipótesis auxiliar ) __________ __________ n. • Pruebas de existencia: El axioma 5 permite establecer un procedimiento para demostrar que una fórmula específica de la forma es teorema. Esquema Operativo general. 4. por la regla G.Demostrar que es teorema. lo es para todos los objetos de su universo referencial. Demostrar: Todo entero de la forma es también de la forma Enunciado simbólico: Supongamos: esto es. Objetivo: Demostrar que una fórmula específica de la forma • Se demuestra que P es teorema. . se procederá así en este tipo de prueba.6. Luego es teorema.2 Pruebas de generalización universal: Fundamentados en el principio de que si una propiedad es válida para un objeto indeterminado cualquiera (variable). Esquema operativo general.6. Ilustración 6.U. Designamos por P x : es verdadera. Hipótesis 1. Simplificación en la hipótesis es teorema. • Se concluye que es teorema. podemos designarlo por n y se tiene así Método directo G. Ilustración 7.por tanto como .U. observemos una aplicación. • Traslado del existencial: Como ya se presentó el esquema operativo general de esta regla. Demostrar que de las premisas y concluir 1) Premisa • Premisa • Equivalencia en (1) • Supongamos: • Hipótesis Auxiliar 1 Simplificación en (4) se puede . Todos los empleados cobrarán su sueldo y su aguinaldo. 2. . algunos perros son animales. P x ).6 1. Por lo tanto. Luego. y las reglas necesarias del cálculo proposicional.E en 2. demostrar la validez de los siguientes razonamientos. Señalar dentro de “la prueba” donde está el error. Deducción: • ( $ x)(G x A x ). Luego.E en 1 • Pw A w E. • ( $ x)(P x A x ) / \ ( $ x)(G x • Gw A w E. Los reptiles no son animales mamíferos. La argumentación que se presenta a continuación es obviamente inválida. o Hernández es estudiante y empleado. en consecuencia.• • P. Por medio de las reglas de particularización y generalización. las serpientes no son animales mamíferos. la tierra está en movimiento. Hernández cobrará su sueldo. Todo es temporal. entonces la tierra está en movimiento. en (2) • Modus ponens (5) y (7) • Conjunción (6) y (8) • Traslado del existencial Ejercicios propuestos 4. • G w simplificación en 3. algunos gansos son perros”. o Si todo es espacial o temporal. o Las serpientes son reptiles. “Algunos gansos son animales.U. Deducción: • Premisa • ( $ x )( A x R x ) Premisa • Premisa • Supongamos: A x R x Hipótesis Auxiliar • P. Todo aquel que tenga un lenguaje oral o escrito está en la escala máxima de evolución”. E en 7.• P w simplificación en 4. .U.U. en (10). • Analizar la siguiente argumentación y determinar su validez o invalidez.U. en (1) • P. • ( $ x)(G x P x ) G. en (3) • Silogismo entre (5) y (6) • • • • Modus ponens (4) y (7) Simplificación en (4) Implicación de (8) G. “Todos los animales racionales tienen lenguaje oral o escrito. Existen animales racionales. Conclusión: todos los animales están en la escala máxima de evolución. • Gw P w conjunción en 5 y 6. para escribir cada uno de los pasos requeridos en las demostraciones que se proponen a continuación.• Utilizar las reglas necesarias del cálculo proposicional y cuantificacional. . Doce es la suma de dos números pares. Todos los estudiantes que ingresan por transferencia a la U de A deben acreditar estudios superiores previos. si x es la suma de números pares entonces x es un número par. • Cada alumno que ha hecho su trabajo entiende el problema.• Simbolizar los siguientes razonamientos y demostrar la conclusión dada a partir de las respectivas premisas.2 Cada número negativo es menor que cero. 5. Conclusión : Ocho y doce son ambos pares. no ocurre que x sea a la vez un número positivo y x sea un número negativo.3 Para cada x .4 Para cada x . Todos los estudiantes de la U de A que ingresan por examen de admisión superan un puntaje mínimo. Dos no es menor que cero Conclusión : Dos no es un número negativo. ingresan por examen de admisión o por transferencia. 5. x es un número par Ocho es la suma de dos números pares. supera un puntaje mínimo . Carlos no es estudiante de tiempo parcial y tampoco lo es de tiempo completo. si x es menor que cero. Para cada x . 5. 5. Juan es un alumno pero no entiende el problema Conclusión : Juan no ha hecho su trabajo. Conclusión : Todo estudiante de la U de A que no acredita estudios superiores previos.6 Todos los estudiantes de la U de A.5 Cualquiera que esté matriculado en la Universidad es estudiante de tiempo parcial o de tiempo completo. Conclusión : Carlos no está matriculado en la Universidad. 5. entonces x es un número negativo 1+1 es un número positivo Conclusión : 1+1 no es menor que cero. Scarlatti escribió para el clavicordio. obtiene un título bien respaldado. Nadie a la vez fue buen músico y murió en plena madurez. 5. • En esta fórmula se conjugan dos elementos importantes que caracterizan algunos teoremas fundamentales de la matemática. Observemos que una prueba de unicidad parte del supuesto de que hay dos objetos que verifican una propiedad P y se concluye finalmente que son el mismo objeto. Hay estudiantes que obtienen un titulo bien respaldado.8 Ningún estudiante que no dedica mucho tiempo a su labor. . Todo estudiante que dedica mucho tiempo a su labor amerita la institución que lo certifica.7 Existencia única Sea P x una fórmula no cuantificada en x . 2| a ( a +1). • Las características anteriores le asignan a esta fórmula el nombre de “existencia única de un x que verifica a P ”. Todos los que escribieron para el clavicordio fueron buenos músicos Conclusión : Scarlatti no compuso la obertura 1. 5. Conclusión : Hay estudiantes que ameritan la institución que los certifica.9 Quien quiera que compuso la Obertura 1. Algunos de los asistentes al banquete no son candidatos a la presidencia. • Demostrar: Para todo entero a .812. • La segunda fórmula que conforma la conjunción principal. por una parte la existencia establecida en la primera fórmula.7 Cualquiera que ocupe un cargo público no puede participar en política. esta fórmula se lee: “existe un único x tal que P ” “existe un x y solo un x que cumple P ” Observaciones. Conclusión : Algunos de los asistentes al banquete no pueden participar en política. Cada uno de los asistentes al banquete ocupa un cargo público o es candidato a la presidencia. designa la fórmula . murió en plena madurez.5.812. 4. aporta la unicidad . Demostrar que existe un entero único que satisface la ecuación: Enunciado simbólico: designemos por: • Probemos existencia: En particular es verdadero. Supongamos que: es verdadero.Ilustración 8. Método directo G. luego: es verdadero. Hipótesis auxiliar esto es: Simplificación Transitividad en la igualdad Ley cancelativa en la suma Ley cancelativa en el producto.U . • Probemos unicidad. en tanto que la distinción entre universales y existenciales se denomina distinción (u oposición) de cantidad . Se designará por A. Designamos inicialmente las cuatro formas de proposiciones categóricas. • Particular negativa: .U Demostrar que: 4.1 Proposiciones categóricas. • Universal negativa: .8 Silogismos categóricos 4. • Particular afirmativa: . Se designará por E. Se designará por O. a saber: • Universal afirmativa: . Se designará por I.G.8. . Estas proposiciones estructuran el denominado cuadro de oposición de la lógica tradicional: La distinción entre proposiciones afirmativas y negativas se llama distinción (u oposición) de cualidad . En este caso particular podemos también interpretar las proposiciones anteriores así: A. . Ilustración 9. Destaquemos además que toda proposición categórica presenta un término . Dos proposiciones que tienen términos idénticos se dice que son opuestas entre sí. E. Simbolizando las proposiciones anteriores tenemos en su orden: A. Todos los estudiantes no presentaron el examen de lógica. A y E son.predicado. Algún estudiante presentó el examen de lógica. Todo E es P . ó también I. Algún estudiante no presentó el examen de lógica. ó también ó también . Obsérvese que la negación de cualquiera de las cuatro fórmulas analizadas es precisamente su contradictoria. o en calidad. I y O son subcontrarias. E. o en cantidad y calidad a la vez. O. A y E son contrarias. si difieren en cantidad.sujeto y un término . Todos los estudiantes presentaron el examen de lógica. .El diagrama representa la oposición de proposiciones de las cuatro formas. I. Todo E es no P . respectivamente. ó también E. son proposiciones existenciales que difieren en cualidad. O. y las proposiciones contrarias se definen como aquellos pares de proposiciones universales que difieren en la cualidad. Tomemos las siguientes proposiciones para ilustrar las formas categóricas vistas: A. las contradictorias de O e I. difiriendo tanto en cantidad como en cualidad. Consideremos el silogismo. se denomina premisa . 4. en nuestro ejemplo corresponde a la premisa 1). se denomina premisa menor . • Las proposiciones 1) y 2) se denominan premisas. “animales que viven en la tierra o en el agua” se denomina el término mayor del silogismo . pues su función es servir de nexo entre el término mayor y el menor. • La premisa donde figura el término menor. • El término . • El término .2 La estructura del silogismo categórico. “cocodrilo”. Ilustración 10.8. O. Designaciones y convenciones. Todo C es A Premisa mayor. • Todos los cocodrilos son anfibios • Todos los anfibios son animales que viven en la tierra o en el agua. Designamos bajo el nombre de silogismo categórico. se denomina término menor del silogismo . Algún E es P . • La proposición 3) se denomina conclusión. dispuestas en dos premisas y una conclusión. Algún E no es P .predicado de la conclusión.I.mayor . La descripción anterior la podemos resumir esquemáticamente así: Premisa menor. Todo A es T . • El término “anfibio” que no figura en la conclusión pero que aparece en cada premisa se denomina término medio . • Todos los cocodrilos son animales que viven en la tierra o en el agua. en nuestro ejemplo corresponde a la premisa 2). • La premisa donde figura el término mayor. la combinación de tres proposiciones categóricas.sujeto de la conclusión. presentar su estructura simbólica y establecer su código de clasificación. el número asociado a la figura .Conclusión Todo C es T. Para los silogismos que se enuncian a continuación. • Ningún ave ornamental es un animal rapaz. La localización del término medio en las premisas es llamado la figura del silogismo . Ningún canario es un animal rapaz. designando esta distribución como la forma estándar del silogismo . Usualmente se escribe primero la premisa mayor y a continuación la premisa menor. se generan por lo tanto cuatro figuras que se identifican en general con los siguientes números: 1 2 3 4 P mayor M P P M M P P M P menor S M S M M S M S Conclusión S P S P S P S P Como en cada figura las premisas y la conclusión pueden corresponder a una cualquiera de las cuatro formas categóricas. C corresponde al término menor y A corresponde al término medio. Todo C es A Conclusión Todo C es T. En el ejemplo que hemos ilustrado su designación corresponde a AAA . Para ello indicaremos inicialmente la secuencia de letras correspondientes al modo de cada una de las proposiciones categóricas y al final. Todo C es O . Todos los canarios son aves ornamentales . Ilustración 11. Ningún O es R P menor. P mayor. como la figura . se hace necesario para identificar completamente un silogismo indicar tanto el modo de las proposiciones . Con base en esta forma el ejemplo anterior lo representamos así: Premisa mayor.1. Tenemos en consecuencia que T corresponde al término mayor. Todo A es T Premisa menor. Puesto que hay dos premisas y dos posibles posiciones en cada premisa. Estructura simbólica. . Estructura simbólica.3 • AEE . P mayor. • AII . escriba un silogismo que lo ilustre. Código de clasificación: EAE .4 • IEO .2 • Para cada código de clasificación que se indica.1 2) Ningún marxista defiende la propiedad privada.2 • AIA . porque ningún poeta griego fue excéntrico. Código de clasificación: EAE .1 • Presentar cada uno de los siguientes silogismos en la forma estándar.2 • AIE .Conclusión Ningún C es R.3 • EEO .4 • AEO .8. • Ningún poeta griego fue un genio.3 • AOE . Todos los conservadores defienden la propiedad privada. indicando su código. Ningún conservador es marxista.2 • AAI .2 Ejercicios propuestos 4. Ningún M es P P menor. y los genios son excéntricos.1 • EIO . Todo C es P Conclusión Ningún C es M. 8. llamados modos del silogismo. Por lo tanto algunas cosas que merecen leerse son difíciles. porque toda máquina está sujeta a fricción. I. O. Podemos observar que su estructura es análoga a la de nuestro primer ejemplo y el único cambio introducido es “anfibio” por “flor”. Por tanto el número total de modos posibles para las cuatro figuras es de 64 x 4 = 256. Consideremos el silogismo. Todas las flores son animales que viven en la tierra o en el agua. Un silogismo es válido. cualquiera que lea este texto es inteligente. Por tanto cualquiera que lea este texto puede aprender lógica. Ilustración 12.3 La validez del silogismo categórico. Todos los cocodrilos son flores. A. • Todo buen poema merece leerse pero algunos poemas buenos son difíciles. • Ninguna máquina es capaz de mantener un movimiento perpetuo. este corresponde a un silogismo válido en todos los casos así en el primer ejemplo las premisas sean verdaderas y en el segundo falsas. . A continuación entraremos a diferenciar las formas válidas de las no válidas. sin embargo antes debemos aclarar que si dos silogismos tienen la misma forma ellos son ambos válidos o inválidos. si y sólo si. • Todas las personas inteligentes pueden aprender lógica. Reglas de validez para el silogismo categórico. para cada figura pueden construirse 4 x 4 x 4 = 64 posibles esquemas. por eso algunos servidores civiles no han sido elegidos con base en su habilidad. satisface todas las reglas siguientes • El término medio debe ser antecedente como mínimo en una premisa. Pero de ellas solamente 24 son válidas. Todos los cocodrilos son animales que viven en la tierra o en el agua. Sus códigos son idénticos AAA . Podemos observar que.1. y como veremos. 4. E. independientemente de que en un caso las premisas sean verdaderas y en el otro falsas.• Algunos burócratas no son elegidos con base en su habilidad y todos los burócratas son servidores civiles. y nada que esté sujeto a fricción es capaz de mantener un movimiento perpetuo. puesto que cada premisa puede ser de cualquiera de las cuatro formas categóricas. • Si un término es antecedente en la conclusión. y si la conclusión es negativa una premisa debe ser negativa. Considérense las formas simbólicas de los silogismos: • Todo M es V • Todo A es V • Todo A es M En este caso podemos observar que el término medio V es consecuente en ambas premisas. la conclusión debe ser negativa. • Si una de las premisas es negativa. • Las premisas no pueden ser ambas negativas. Un ejemplo de esta estructura es: . Ilustremos dos situaciones específicas. y por esta razón se dice que viola la regla 1 y en consecuencia este silogismo (AAA .2) es inválido . debe ser antecedente en la premisa donde figure.