Universidad Nacional Abierta y a Distancia

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412– Ecuaciones Diferenciales – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales ECUACIONES DIFERENCIALES UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA PROGRAMA CIENCIAS BÁSICAS 100412 – ECUACIONES DIFERENCIALES CARLOS IVAN BUCHELI CHAVES (Director Nacional) RICARDO GOMEZ NARVAEZ (Acreditador) San Juan de Pasto, Julio 2010 1 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 2 ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO El presente módulo fue diseñado en el año 2009 por Carlos Iván Bucheli Chaves docente de la UNAD, ubicado en el CEAD de San Juan de Pasto, el Autor es físico-matemático, especialista en docencia universitaria, magíster en enseñanza problemita y otros. Se ha desempeñado como tutor de la UNAD desde 2001 hasta la fecha y ha sido catedrático de diversidad Universidades de Pasto. El presente módulo ha tenido 4 actualizaciones y se han realizado por su autor Carlos Iván Bucheli Chaves. El material ha sido revisado por la dirección de la Escuela de Ciencias básicas, Tecnología e Ingeniería: Jorge Eliécer Rondon y por su acreditador: Ricardo Gómez Narváez, los cuales han aportado para la calidad de este material. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 3 INTRODUCCIÓN El curso de ECUACIONES DIFERENCIALES, es una de las temáticas con mayor grado de importancia en el desarrollo de la educación superior ya que esta se considera una de las herramientas de mayor utilidad especialmente en el área de la ingeniería. La estrategia para comprender esta rama de la matemática, implica interés, dedicación compromiso y sobre todo responsabilidad. La enseñanza de las ecuaciones diferenciales ha experimentado una gran evolución, tanto en términos pedagógicos como el contenido. Lo que una vez se pudo considerar como una colección de métodos, ha avanzado sustancialmente con el fin de proporcionar a sus investigadores diversos experiencias, que un reconocido matemático ha denominado conceptualización, exploración y solución de problemas de dificultad superior. El curso de Ecuaciones Diferenciales, se ha sometido a diversos cambios estructurales con el único objetivo de consolidar un material práctico para el estudiante, este le permitirá instruirse con mayor facilidad y así obtener un mayor rendimiento académico. El curso contiene material necesario para un completo aprendizaje de ecuaciones diferenciales, los ejercicios desarrollados y propuestos no quieren otros conocimientos de los que se han trabajado a lo largo de la carrera. Se hace un desarrollo más o menos profundo, y un estudio detallado de las diferentes ecuaciones a tratar. En el desarrollo del curso, el estudiante tiene la oportunidad de encontrar las definiciones de los temas tratados incluidos en tres unidades, así mismos encontrará ejemplos prácticos por cada tema a tratar como también ejercicios para resolver. Una característica particular del modulo es la presentación resumida de los conceptos fundamentales a tener en cuenta en el desarrollo intelectual UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales INDICE DE CONTENIDO UNIDAD I. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 1.1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES. 1.1.1. Fundamentos generales como apoyo a las ecuaciones diferenciales. 1.1.2. Conceptualización de una ecuación diferencial. 1.1.3. Resolución de una ecuación diferencial. 1.1.4. Clasificación de las ecuaciones diferenciales. 1.1.5. Ejercicios propuestos. 1.2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN. 1.2.1. Ecuaciones con variables separables. 1.2.2. Ecuaciones Homogéneas. 1.2.3. Ecuaciones exactas. 1.2.4. El factor integrante. 1.2.5. Ejercicios Propuestos. 1.3. CAMPOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN. 1.3.1. Trayectorias Ortogonales. 1.3.2. Los campos de fuerza. Una aplicación de las Ecuaciones diferenciales. 1.3.3. Aplicaciones de familias de curvas y trayectorias ortogonales. 1.3.4. Otras aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. 1.3.5. Ejercicios Propuestos. UNIDAD II. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR 2.1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN. 4 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 5 2.1.1. Ecuaciones diferenciales de segundo orden y métodos de solución. 2.1.2. La Solución General de una ecuación diferencial como Combinación Lineal de Soluciones Linealmente Independientes. 2.1.3. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y no homogéneas con coeficientes Constantes. 2.1.4. Operador para la solución de ecuaciones diferenciales. 2.1.5. Ejercicios Propuestos. 2.2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR. 2.2.1. Ecuaciones diferenciales lineales de orden n. 2.2.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior con coeficientes constantes. 2.2.3. Ecuación diferencial de orden superior homogénea y no homogénea con coeficientes constantes. 2.2.4. Métodos generales de solución de las ecuaciones diferenciales de orden superior. 2.2.5. Ejercicios propuestos. 2.3. CAMPO DE APLICACIONES DE ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR. 2.3.1. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden 2.3.2. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de orden superior 2.3.3. Ecuaciones diferenciales de Euler. 2.3.4. Ecuaciones diferenciales de Chebyshev y de Bessel . 2.3.5. Ejercicios Propuestos. UNIDAD III. ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES 3.1. GENERALIDADES DEL ESTUDIO DE SERIES. 3.1.1. Definición de serie matemática. 3.1.2. Clasificación de las series matemáticas. 3.1.3. Técnicas para resolver Ecuaciones Diferenciales mediante series matemáticas. 3.1.4. Definimos el concepto de punto ordinario y punto singular regular en una Ecuación diferencial. 3.1.5. Ejercicios Propuestos. Series de MacLaurín.1.4. Series De Taylor.2.2. Solución de ecuaciones diferenciales de orden superior mediante Series de potencias. Ejercicios Propuestos. 3. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 3. 3. Ejercicios Propuestos.3. Solución de ecuaciones diferenciales mediante Series de Taylor.1. 3. 3. FUNCIONES ESPECIALES Y SERIES MATEMATICAS.2.5.2.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.3.3.2. 3. AUTOEVALUACION DEL CURSO 6 . Solución de ecuaciones diferenciales de primer orden mediante Series de potencias. 3. 3. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.2.3.3. 3. 3. Funciones analíticas. SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIE DE POTENCIAS.3.2.2.4.3. Estudio de Series De Potencias.3. 3. 3.5. Propiedades y Convergencia de las series de potencias. .…………………………………………………………… 41 7 . Tabla 1 …………………………………………………………….UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales LISTADO DE TABLAS Pag. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. 40 Tabla 2 .. 1) Gráfica 1 …………………………………………………………… 16 2) Gráfica 2 …………………………………………………………… 46 3) Gráfica 3 …………………………………………………………… 55 4) Gráfica 4 ….………………………………………………………. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. 56 6) Gráfica 6 ……………………………………………………………..105 8) Gráfica 8 …………………………………………………………….. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales LISTADO DE GRÁFICOS Pag..106 8 ...56 7) Gráfica 7 …………………………………………………………….. 55 5) Gráfica 5 …………………………………………………………….UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. constituyen uno de los más importantes instrumentos teóricos y a su vez herramienta para la praxis y así interpretar y modelar fenómenos científicos y técnicos de la mayor variedad. tipo. su modo de identificación y la manera de resolver cada una de ellas. porque permite abordar y manejar sistemáticamente aspectos de optimización y logro de comportamientos deseados. orden y linealidad. y. orden. linealidad y métodos de solución para las ecuaciones de variables separadas y homogéneas. clasificación. por eso se encuentra todo género de investigadores: ingenieros de todas las disciplinas. eléctricos.wikibooks. económicos entre otras áreas. de procesos. El área de los sistemas es transversal y genérica. economistas. físicos. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales UNIDAD 1 Nombre de la Unidad ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Introducción Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación de la forma F(x. de primer orden.org/ecuacionesdiferenciales . Intencionalidades Formativas · Reconoce y distingue una ecuación diferencial de primer orden. humanos. matemáticos entre otros. y ') = 0 En la que aparecen una variable independiente. · Clasifica ecuaciones diferenciales de acuerdo con su tipo. La razón por la cual a las ecuaciones de este tipo se les dice ecuaciones diferenciales ordinarias1 En esta unidad trataremos los siguientes aspectos de mucha Importancia en la ingeniería y sus diferentes proyecciones a la solución de problemas así: estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden. Justificación Las ecuaciones diferenciales. dando ejemplos. Son por eso de especial importancia práctica y teórica para los ingenieros de cualquier rama. El área de los sistemas ha penetrado prácticamente en todas las áreas de la tecnología. Transversal por aplicarse a varias áreas de conocimiento: sistemas mecánicos. veremos sus características. una variable dependiente y una primera derivada.9 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Donde los tipos de ecuaciones diferenciales a trabajar principalmente son las exactas y las lineales. ejercicios explicativos y aplicaciones para esta unidad. 1 es. · Resuelve correctamente ecuaciones diferenciales homogéneas. . · Identifica. · Resuelve ecuaciones diferenciales lineales. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales · Reconoce la diferencia entre una solución particular y una solución general de la ecuación diferencial. CAPITULO 1: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Introducción Dejaremos de lado las funciones de dos o más variables y comenzaremos con el estudio de ecuaciones diferenciales ordinarias. CAMPOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN. · Encuentra el factor integrante para una ecuación diferencial lineal. · Reconoce una ecuación diferencial exacta y las resuelve. y así encontraras algunas definiciones importantes que nos permitirán el estudio de diferentes tipos y métodos de solución a la ecuación para luego ubicarlas en el fascinante mundo de las matemáticas como herramienta de aplicación a nivel socioeconómico y 10científico. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES capítulos DIFERENCIALES.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. distingue y resuelve correctamente ecuaciones diferenciales de Bernoulli. · El estudiante plantea problemas correctamente empleando la modelación con ecuaciones diferenciales de primer orden. · Identifica ecuaciones diferenciales de variables separadas y homogéneas. 1. · Por ultimo. 1.2.3.1. · Emplea el método de separación de variables para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden. · Realiza sustituciones adecuadas para poder resolver ecuaciones diferenciales con tipos ya conocidos empleando sustituciones. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN. · Define campo de direcciones correspondientes a la ecuación diferencial de primer orden. resuelve correctamente ecuaciones diferenciales lineales y cuantifica la importancia de la modelación matemática con ecuaciones diferenciales en la solución de problemas científicos. Denominación de 1. 7 x = 0 y¢=3x y¢-cos(x)=0 y ¢¢¢ .y =3 x + 2 xy50 x d d += 2 2dy2dy3y0 dx d x ++= 2 2dy2x dx = 2 2dyy0 dx += 2 3 2 d y (1 dy ) dx dx =+ .11 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. las mismas están orientadas a explicar los aspectos relacionados con las ecuaciones diferenciales. Ver modulo de Calculo diferencial y calculo integral Unad 2010. Son ejemplos de ecuaciones diferenciales las siguientes: f ( x ) + f ¢( x ) . Lección 2: Conceptualización de una ecuación diferencial Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a las variables independientes. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Se indican las estrategias que debes seguir para el provecho de la unidad. su estructura y aspectos básicos. Lección 1: Fundamentos generales como apoyo a las ecuaciones diferenciales. A través de los ejercicios y actividades de esta franja. tendrás la oportunidad de verificar la comprensión del material en el cual las ecuaciones diferenciales parciales son muy importantes y útiles. Donde C denota cualquier número real. solución general. Por ejemplo. efectivamente existe una identidad -2 =Ce -2 x . En resumen podemos decir que una ecuación que tiene derivadas se llama ecuación diferencial. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 53 43uu6 xx ¶¶ -= ¶¶ En los anteriores ejemplos se observa que las ecuaciones cumplen la definición de ecuación diferencial.2 Ce-2x dy2y0 dx += . Lección 3: Resolución de una ecuación diferencial Una función y = f (x) se dice que es una solución de una ecuación diferencial si al sustituir y sus derivadas en la ecuación la reduce a una identidad. Derivando la ecuación y = Ce-2x derivando y´= -2 Ce-2x Reemplazando en la ecuación diferencial la función y su respectiva derivada. porque tienen derivadas de diferente orden y tipo (ordinarias y parciales).12 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. derivando y sustituyendo es fácil comprobar que y = e-2x es una solución de la ecuación diferencial: Se puede demostrar que toda solución de esta ecuación diferencial es de la forma y = Ce-2x . sin embargo su manejo requiere del conocimiento profundo de las ecuaciones diferenciales ordinarias. además en los ejemplos se observan diferentes notaciones de derivada como lo hemos aprendido en el cálculo diferencial. y 4=e 2x – =e 2x 3e 2x ¹ 0 . b) Como y = e2x 2 2dyy0 dx -= y = sen(x) dycos(x) dx = 2 2 d y sen(x) dx =dy dx = 2 2 dy dx 2= 2 dy dx dy dx y = senx 2e2x 4e2x . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Ejemplo: Averiguar si las funciones dadas son solución de la ecuación diferencial: a) b) y = e2x c) y = 4e-x d) y = Cex Averigüemos: a) Como: 2 2 d y y s en x – s en x 2 s en x 0 dx --==-¹ Por tanto. y = sen( x) no es solución.13 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Por tanto. y 4e x = .es solución. y = Cex es solución. d) Como y = Cex Por tanto.y = 4e-x – 4e-x = 0 Por tanto. c) Como y = 4e-x = . Ejemplo: Solución particular Para la ecuación diferencial verificar que y = Cx3 es solución y hallar la solución particular determinada por la condición inicial y = 2 cuando x = . así que: dy dx = 2 2 dy dx = xdy3y0 dx -= dy dx 2 2 dy dx 2 2 d y 4e x dx =2 2 dy dx Cex Cex . ya que = 3Cx2 . y = e2x no es solución.3.14 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.y C ex – C=e x 0 = . Solución: Sabemos que y = Cx3 es una solución. 15 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. x dy 3 y x (3 Cx 2 ) – 3(Cx 3 ) 0 dx -== 23 27 y=-x 2 27 c=- . la convierte en una identidad x3 = x3 INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL Geométricamente. el número de condiciones iníciales ha de coincidir con el de constantes arbitrarias en la solución general. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Además.3 implica que la Solución general es y = Cx3 y remplazando la condición inicial se tiene: ( )3 2 = C . la solución general de una ecuación diferencial de primer orden representa una familia de curvas o familia de soluciones. una para cada valor asignado a la constante arbitraria C. sino todo un conjunto de funciones (familía de soluciones). Recordemos que la solución de una ecuación diferencial no es una sola función. la condición inicial y = 2 cuando x = .3 por tanto Luego concluimos que la solución particular es: Para determinar una solución particular. Ejemplo: 4 4 y = y + c es la solución general de dy x3 0 dx -= Derivando y Tenemos: dy x3 dx = al sustituir en la ecuación diferencial. se conoce el valor de la variable dependiente o de alguna de sus derivadas en el instante inicial t = 0 . y es el punto de partida para encontrar la familia de curvas.caribu. .byethost8.16 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. El problema de valor inicial implica hallar la solución de una ecuación diferencial sujeta a una condición inicial Y(Xo ) = Yo . sino una curva de ellas que cumple las condiciones. en problemas donde interviene el tiempo. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales El término “condiciones iníciales” proviene de que. con frecuencia. Cabe aclarar que la solución del problema de valor inicial no es una familia de curvas. Ejemplo: Al resolver la ecuación diferencial dy 2x dx = es fácil observar que la solución general es y = x2 + c generando una familia de curvas (familia de parábolas) y al dar una condición inicial se obtiene de esa familia de curvas una única curva. por ejemplo con la condición inicial y(2) = 5 tenemos que C = 1 por tanto la curva es y = x2 +1 (veamos la gráfica demostrativa): Grafica 1 Grafica del programa derive y Editor Matemático Mathtype Fuente: Esta investigación Autor: Carlos Buchely Lección 4: Clasificación de las ecuaciones diferenciales Ver link ovas Texto. http://www.com/ Gráfica de color rojo es la única curva que satisface las condiciones iníciales y las otras curvas pertenecen a la familia de curvas solución. que el aprendizaje es para toda la vida y el proceso de aprender también debe llevarse a cabo durante todo el tiempo que vivamos. además que cada individuo elabora y construye su aprendizaje y los procesos para lograrlo. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Lección 5: Ejercicios propuestos Sistema de Aprendizaje Auto gestionado Asistido sostienen. Ordinaria y de primer orden 2) Sol. A. de forma singular y de acuerdo a sus vivencias. Parcial y de segundo orden. Clasificar las ecuaciones diferenciales de acuerdo con su tipo y orden: 1) Sol. dy3xyx2 dx += 2 2dy2dyy1 dxdx ++= 2 2dxdy4xet dtdt +-= 2 2udusec(t) tdt ¶ += ¶ .17 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Ordinaria y de segundo orden 3) Sol. Ordinaria y de segundo orden 4) Sol. Hallar la solución particular que pasa por el punto (-4. 3. 1 2 y = C e-x cos x + C e-x senx .18 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. 2.4) y2 = Cx3 . 2 2 40 20 880 yyy yy xdydy dxdx yyyy ¢¢ + ¢ .= ¢¢ = += ¢¢¢ . u = e –t sen bx .= 2. En las siguientes ecuaciones diferenciales establece el orden. B. C. Miscelánea de ejercicios 1. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 5) Sol. Verificar que la función dada es solución de la ecuación diferencial. 2 2 2( dy)3(dy)4y0 dxdx +-= 2 2 dyyo dx += 2 2dy2dy2y0 dxdx ++= 2 2 . Verifique que la función dada es una solución de la ecuación diferencial. y = C1cos x + C2 sen x . 1.¢¢ + ¢ . Ordinaria y de segundo orden. el tipo y la linealidad. 2 buu tt ¶¶ = ¶¶ 2x(dy)3y0 dx -= . y=x y=nx b.y=cx y=ncx d. c. a. . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 2 2 3 4 32.y=c y=o sn cos n n e .y=x y=x .-1 .Encuentre una solución particular cuando y (1) = 4 5 x 4 = 20 2 x 8 = 16 Algunos casos importantes de Derivadas n .n-1 . 8 2 0. . 1 (). verifique la solución de la ecuación diferencial d y 1 x dxxy + = Donde su solución es y2 = 2(ln(x) + x + c) (como x > 0 . no se necesita de valor absoluto).Grafique la familia de curvas o familia solución.1 dy y y dx x dy xydx y x dy x dy y y x dx dx +== +==+==+ 3.19 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. .x e.Capitulo 1 .y= y= 1 g ± ± ...y=fxgx y = f x x + fx x j..y=x y=x f..y=lnx y= x h.20 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. i. x .y=fxgx gx y=fxx-fxx [gx] Algunos casos importantes de Integrales . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales cos sen e e .y=fxgx y=fxx 2 0 gg gg ®¹ g gg gg . g. .. . 1sn 1 .cos .0 .0 . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 1 2 .csc n n adx b dx c n n cedxecn n dadxaca Loga eeKxdxKxcK K fdxc x gexc h xdx x c iKxdxsenKxc K j x dx c ò ò+®¹+ ò+®¹ ò+®> ò+®¹ ò+ éù òêú+ ë-û ò+ .21 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. s e c ta n .sncos0 . .1 1 . . Entonces se da a conocer los procedimientos respectivos y a su vez ejemplos que afianzaran el aprendizaje.ò+ ò+ -1 nx nx x x 2 2 =x+c x=x = = = =Lnx = x = = = -c tg x CAPITULO 2: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN Introducción En este aparte daremos a conocer técnicas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. solución de ecuaciones exactas y utilización del factor integrante. solución de ecuaciones diferenciales homogéneas. . Como lo es la solución de ecuaciones por el método de separación de variables. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Una ecuación de primer orden y primer grado puede reducirse a la forma: M (d. Para este tipo de ecuaciones. Expresar la ecuación en forma diferencial: M(x)N(y)dy0 dx += .22 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. y)dy = K Siendo una solución de la ecuación. y N una función continua de y solamente. y ) dx + N(x. El procedimiento de resolución se denomina separación de variables. y se obtiene una solución por integración. y ) = 0 Siendo M y N funciones de X e Y òM(x. todos los términos en x se pueden unir con dx y todos los términos en y con dy. Lección 1: Ecuaciones con variables separables En este aparte comenzamos estudiando técnicas para resolver familias específicas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Los pasos necesarios son los siguientes: 1. y)dx + ò N(x. Como una ecuación diferencial de primer orden que se puede escribir en la forma: Donde M es una función continua de x solamente. supongamos y ¹ 0 y separamos las variables así: (x 2 + 4 ) dy = xy dx Forma diferencial òM(x)dx+òN(y)dy=C òM(x)dx=-òN(y)dy+C x23ydy0 dx +=3ydy=-x2dx (senx)dycosx dx =dy=(tanx)dx 2 y1 xdy dx e = + 12 y1dydx ex = + (x24)dyxy dx += . Integrar para obtener la solución general: Despejando obtenemos: Ejemplos de separación: ECUACION DIFERENCIAL EN VARIABLES SEPARABLES EJEMPLO Hallar la solución general de: Solución: Para empezar.23 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Con el fin de hallar otras soluciones.N (y)dy 2. observamos que y = 0 es una solución. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales De la siguiente ecuación: M(x ) dx + N(y ) dy = 0 Despejando obtenemos: M(x ) dx = . podemos escribir la solución general como: Solución general Recuerde que en ciertos casos no es posible escribir la solución general en la forma explicita y=f(x). Ejemplo: xydx + ex2 ( y2 -1)dy = 0 Donde y es diferente de 0 Donde la solución general es ex2 + y2 -ln y2 = 2c. y¢ + 2y = 2 Con la condición y = 1/ 2 si x = 4 Solución: 24 dy x d x yx = + 2 1 1( 4) 2 Ln§y¨=Lnx++C § y ¨ = e C1 x 2 + 4 y=±eC1x2+4 y=Cx2+4 . por tanto se puede utilizar la derivación explicita para verificar dicha solución. obtenemos: 24 dy x dx yx = +òò Integrar Como y = 0 también es solución.24 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Ejemplo Por el método de separación de variables encuentre la solución general de la ecuación diferencial y encuentre su solución particular. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Separar variables Integrando. e1/2e-1/x simplificando y=6.+ donde y=e-(1/x)+c =ce-1/x como y = 6 y x = 2 6=ce-1/2 C = 6e1/2 por tanto la curva que se pide es y=6. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Por tanto por separación de variables dy 2 2y dx = . Ejemplo Hallar la ecuación de una curva que pasa por el punto (2.Entonces 2 2 dy dx y = .25 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.4 por tanto la solución particular es ln 2 2 4 2 yx§¨=(solución implícita).6) y tiene pendiente 2 y x Solución: como la interpretación geométrica de la derivada es la pendiente de la curva entonces 2 dy y dx x = Separando variables e integrando se llega a 2 dy dx yx ò = y ¹ 0 Entonces ln y 1 c x § ¨ = .integrando 2 2 dy dx y = .e(1/2-1/x) .ò ò se tiene: ln 2 2 2 yxc§¨=+ Remplazando la condición inicial c = . 4 tx + 3 tx ty = t3 (x2y). y) Veamos con ejemplos si la función es homogénea o no. Lección 2: Ecuaciones Homogéneas Una función f (x. y) b) f (x.es homogénea de grado n si para un número real n satisface la siguiente identidad: f (tx.26 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.ty)txex/ytysenty tx =+ t(xex/yyseny) x =+ . a) f (x.t3 (4x3 ) + t 3 (3xy2 ) = t3 (x2 y . y ) = xe x/y + y sen (y / x) es una función homogénea de grado 1 porque: f(tx. y ) = x2y .ty) = ( )2 ( ) ( )3 ( )( ) 2 tx ty . y). TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Al trabajar con las constantes en el método de separación de variables dicha constante aparece cuando integramos el lado derecho o sea dx por tanto utilizamos una sola constante C.4 x3 + 3xy 2 ) = t3 f (x.4 x 3 + 3xy 2 es una función homogénea de grado 3 porque: f (tx.ty) = tn f (x. DEFINICION DE ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS: Si la ecuación diferencial tiene la forma: M(x. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales c) (x. y) = x5 +12xy Esta función tiene dos términos de grado 5 y 2 respectivamente por tanto no es homogénea.27 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. y) = x3 y . y) = x2 + 2xy Es homogénea de grado 2 22 ( .y)dy=0 Y cumple con la propiedad: = tf ( x .)(2) f tx ty tx tx ty f tx ty t x xy =+ =+ e) f ( x. y ) . Ahora veamos si una ecuación diferencial es homogéneas.xy 3 + 5 No es homogénea (verificar) En una mayoría de casos se puede verificar si una función es homogénea si observas el grado de cada término de la función. y) = x + y2 no es homogénea porque f (tx .y)dx+N(x. ty ) = tx + t 2 y 2 t (x + ty 2 ) ¹ t n (x + y 2 ) d) f (x. ) ( ) 2( )( ) (. Como ejemplo a lo anterior veamos ejemplos: f ( x. y) = x2 y + y 2 x + y3 El grado de los 3 términos es 3 por tanto es homogénea de grado 3 f (x. MÉTODO DE SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA Si la ecuación diferencial tiene el mismo grado de homogeneidad se pueden reducir a una ecuación de separación de variables utilizando una sustitución y = ux o x = vy.) n n M tx ty t M x y y N tx ty t N x y = = Se dice que la ecuación diferencial es homogénea siempre y cuando tienen el mismo grado n. ) ( . u ) d x + x N (1. Si elegimos y = ux entonces ( . Veamos lo anterior con ejemplos: Ejemplo: . u ) + u N (1. explicado con anterioridad en el modulo. Donde u y v son variables dependientes.)(. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales (.)(.) (. )[ ] 0 dyudxxdu MxuxdxNxuxudxxdu =+ ++= Por homogeneidad del mismo grado [M (1.28 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. u ) d u = 0 Y por tanto por homogeneidad la ecuación se transforma a variables separadas y procedemos a resolverla con los procedimientos para separación de variables. u u LnxLnuuC LnuxCu ux e e e uxCe + +-= =+ == = uy x = .29 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.u ) d u = 0 d u (1 u ) d u 0 xu += cuc. Además tenemos. se obtiene: O sea A fin de de separar las variables. dividimos por ux. esto da: Integrando se tiene: Pero Luego la solución general es: y2dx+(x2-xy)dy=0 y 2 x 2 dy xy dy dx dx += 2 2 dy y dx xy x = 2 1 xduuu dx u += u d x + x (1 . Haciendo la sustitución y = ux . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Resolver la ecuación: Solución: Aquí M = y 2 y N = x 2 .x y . Ambas son homogéneas y de segundo grado “X” y “Y” . y=Cey/x . tener mayor conciencia sobre lo que se aprende y de los procesos que utiliza para su consolidación. en una de variables separadas.D. Son de la forma yfy. x ¢=æöç÷ èø Se hace el cambio de la función y(x) por u(x) mediante y=ux.u2du1dx x ¹= . Ejemplo: resolver la ecuación xy 2 dy y 3 x 3 dx =La ecuación la escribimos x y 2 d y .( y 3 . así como darse cuenta del arsenal de herramientas disponibles para abordar los retos. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales El aprendizaje significativo permite al estudiante.30 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.x 3 ) d x = 0 Como es una ecuación diferencial homogénea de grado 3 sustituimos Y = ux por tanto ( ) 2 ( ) (( )3 3 ) 0 dy udx xdu x ux udx xdu ux x dx =+ +--= Haciendo distribución y reduciendo la ecuación se tiene: u 2 x 4 d u = x 3 d x Como x0. Ecuaciones Homogéneas. transformándose así la E. y ) dy = 0 es exacta si y solamente si: Ejemplos de comprobación para exactitud. y) la ecuación diferencial es exacta. y ) dy = 0 El lado izquierdo corresponde a la derivada total de alguna función f (x.y)dx+ xdy = 0 es homogénea de grado 1 y al resolver la ecuación su resultado es x ln§x¨ = y + cx Lección 3: Ecuaciones exactas Si en la ecuación diferencial de la forma M(x. y ) dx + N(x. entonces la ecuación diferencial M(x. y ) dx + N(x. Criterio de exactitud Si M y N tienen derivas parciales continuas.31 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Integrando y3 = 3ln§x¨+ 3c reemplazando la sustitución Y = ux entonces u = y / x obtenemos y 3 = 3 x 3 ln § x ¨ + 3c x 3 Ejemplo: Comprueba que la ecuación diferencial (x . a) La ecuación diferencial: (xy 2 + x ) dx + yx 2 dy = 0 MN yx ¶¶ = ¶¶ . En algunos casos se ve que una ecuación es exacta después de una agrupación adecuada de sus términos. La ecuación así ordenada se puede integrar término a término. Ejemplo: MN2xy yx ¶¶ == ¶¶ (x2-y)dx+(y2-x)dy=0 M(x2y)1(y2x)N yyxx ¶¶¶¶ =-=-=-= ¶¶¶¶ 3422 32 (4 2 ) (3 ) 0 12 2 xxydxxyxdy MxyxN yx -+-= ¶¶ =-= ¶¶ 33 3 (32)0 3 xx .32 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Es exacta porque: ( xy 2 x ) 2xy (yx2 ) yx ¶¶ +== ¶¶ b) la ecuación ( y2 +1)dx + xydy = 0 no es exacta. a pesar de que difiere de la primera ecuación solamente en un signo. Ejemplo: Es exacta porque: Ejemplo: La ecuación es exacta. c) la ecuación cos y dx + (y 2 + xsen y ) dy = 0 no es exacta. x eyxdxedy MeN yx -+= ¶¶ == ¶¶ . Verificamos que la ecuación diferencial sea exacta MN yx ¶¶ = ¶¶ 2. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Ejemplo: La ecuación también es exacta. Suponemos que existe una función f tal que f M(x. y) x ¶ = ¶ 3. (coscos)()0 cos yyxdxsenxxsenydy MsenyxN yx ++-= ¶¶ =-+= ¶¶ .33 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Solución de una ecuación diferencial exacta El método de solución de la ecuación diferencial exacta es el siguiente: 1. y)dx + g(y) Donde g ( y) es la constante de integración. Encontramos f integrando ambos lados de la ecuación con respecto a x y mantenemos constante y: f (x. y) = òM(x. ya que: (2xy 3x 2 ) 2x (x 2 – 2y) yx ¶¶ -== ¶¶ Podemos obtener la solución general f (x. 6.) f M x y dx g y yy g y N x y M x y dx y ¶¶¢=+ ¶¶ ¢¶=¶ ò ò Donde 5.)(. y)con respecto a y por tanto se debe obtener N ( x. ( ( . y). y) como sigue: f ( x . Ahora integrando esta última ecuación obtenemos respecto a y obtenemos g ( y). y ) = ò M ( x=. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 4. y). Ejemplo: Hallar la solución de la siguiente ecuación diferencial (2xy – 3x 2 ) dx + (x 2 – 2y ) dy = 0 Solución: La ecuación diferencial dada es exacta. Reemplazamos lo encontrado y tenemos en su totalidad la función a encontrar f (x. y ) d x ò ( 2 x . ) ( )) ()(.y)=x2y-x3+g(y) . Ahora derivamos f (x.34 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.3 2 ) d x M y ¶ ¶ N x ¶ ¶ f(x. + ¶ Igualando a N(x. Ejemplo: Resolver la ecuación 2 2 2 x dx x dy 0 yy -= Verificando las derivadas 2 M N 2x yxy ¶¶ ==¶¶ Suponemos f 2x xy ¶ = ¶ integrando respecto a x tenemos: 2 f (x. y).35 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. multiplicando por un factor apropiado u (x. y) x g(y) y = + Ahora derivamos respecto a y se tiene: 2 2 f x g ( y) xy ¶ ¢ =. Reemplazando 2 f (x. y ). llamado factor integrante de la ecuación diferencial. y) x c y = + esta es la función solución. Por ejemplo. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Determinamos g ( y) integrando N(x. y) con respecto a y e igualando las dos expresiones de f (x. si la ecuación diferencial 22 . y) 22 2 2 x x g ( y) yy -=-+¢ Entonces g¢( y) = 0 por lo tanto g(y) = c donde c es una constante arbitraria. Lección 4: El factor integrante Cuando una ecuación diferencial no es exacta se puede convertir en exacta. 1 ()(.y)=xy-x-y+C .) ()2 gyNxydy g y x ydy y C = =-=-+ ò ò 232 1f(x. y) = . Cómo encontrarlo? Si M (x. y ) = x.36 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. la ecuación resultante: Es una ecuación exacta. y)d y = 0 no es exacta entonces. y)d x + N (x. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 2 y d x + x d y = 0 Ecuación no exacta Es multiplicada por el factor integrante u(x. la ecuación resultante 2x y d x + x2 d y = 0 Es una ecuación exacta Otro ejemplo: si la ecuación y dx – x dy = 0 Ecuación no exacta Si al multiplicarla por el factor integrante u ( x. Y luego se resuelve la ecuación de acuerdo a lo explicado anteriormente. se buscará un factor integrante: 2 1 y 2 1dxxdy0 yy -= )() MN asiyxfx N ¶¶ ¶¶= f ( x ) d x eò . Ahora cuando se presenta una ecuación diferencial exacta es necesario encontrar el factor integrante. entonces es un factor integrante de la ecuación diferencial. Ejemplo La ecuación no es exacta. entonces es un factor integrante de la ecuación diferencial.x2 y2 . () MN siyxgy M ¶¶ ¶¶=g(y)dyeò (2xy ye y + 2xy3 + y)dx + (x2 y ye y . Sin embargo.3x)dy = 0 M8xy3ey2xy4ey6xy21 y ¶ =+++ ¶ N 2 xy 4e y 2 xy 2 3 x ¶ =-¶ M N 8 xy 3e y 8 xy 2 4 yx ¶¶ -=++ ¶¶ 4() MN yxgy My ¶-¶ ¶¶==()44 4 dy 1 e g y dy e dx e Lny . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Función solo de x. Luego: Es un factor Integrante.37 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. b) Función de solo de y. al reemplazarlo en la ecuación diferencial inicial la ecuación es exacta. y ò=-ò=-= . ya que ( . Ejemplo 3 ( y2 – x ) d x + 2 y d y = 0 Solución: La ecuación no es exacta. ) 2 ( . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales EJEMPLO La ecuación es exacta. El factor integrante es Si se introduce en la ecuación se convierte en: Luego la ecuación diferencial es exacta.38 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. ) 0 x x M x y = y y N x y = 2 24 3 2 4 (2xe y 2 dy x )dx ( x e x 3 x )dy 0 dx y y y +++--= (2x3 y2 + 4x2 y + 2xy 2 + xy 4 + 2 y)dx + 2( y3 + x2 y + x)dy = 0 M 4x3 y 4x2 4xy 4xy3 2 y ¶ =++++ ¶ N2(2xy1) x ¶ =+ ¶ 2 MN y x xy N ¶-¶ ¶¶= eò2xdx = ex2 (2 x 3 y 2 + 4 x 2 y + 2 xy 2 + xy 4 + 2 y )e x 2 dx + 2( y 3 + x 2 y + x )e x 2 dy = 0 ( ) 2 MMy y x y y ¶ -= ¶ . que el aprendizaje es para toda la vida y el proceso de aprender también debe llevarse a cabo durante todo el tiempo que vivamos.)(. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Sin embargo como: (.)2 yxMxyNxyyhx N xy y -=== ex Es un factor integrante. obtenemos la ecuación exacta: (y2e x – x e x ) dx + 2y e x dy = 0 Se deja al lector para que los anteriores ejercicios sean resueltos por el método de ecuaciones diferenciales exactas.39 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Multiplicando la ecuación diferencial dada por ex .)201() (. Lección 5: Ejercicios Propuestos Sistema de Aprendizaje Auto gestionado Asistido sostienen. además que cada individuo elabora y construye su N(2y)0 x ¶ = ¶ . De a cuerdo a las ecuaciones diferenciales dadas completa los cuadros que se piden: 1) 222 2222uuuu0 xyxy ¶¶¶ ¶¶¶¶ + + + = 2) 643 643 dxdxdxxt dt dt dt æ öæ ö + ç ÷ç ÷ + = è øè ø 3) (x 2 + 4) y ” + x y .x .2 = 0 4) 1 2 32 + = ÷ø ö çè æ ds dr ds dr 5) 2 2 dt d y + t s en( y) = 0 6) 2 2 dt d y + y s en(t) = 0 7) dy x2 y xex dx + = 8) x dy + y dx = 2 2 0 Ecuació n Ordinaria o Parcial Orden Función incógnita Variables . 1. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales aprendizaje y los procesos para lograrlo.40 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. de forma singular y de acuerdo a sus vivencias. independien tes 12 Ordinaria 6 x(t) t 345678 Tabla 1 2. Para las ecuaciones ORDINARIAS responde también a lo siguiente Ecuació n Lineal ¿SI o NO? Términos NO lineales Justificación de la NO linealidad 2 NO (xiv )( x’’’) Los coeficientes de la cuarta y de la tercera derivada dependen de la variable dependiente 35678 . (1 ) 6. ) 8 fxyxyxy .sec()cot() dyx dx dy x dx y xy y dx y dyysenx dppp dt xdyxydy =+ = ¢= + = == 4. ( . Determine si la ecuación diferencial es homogénea y determine el grado 322 1.12 5. 3.41 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Ecuación Están en forma estándar ¿SI o NO? (si NO lo están ponerlas en esa forma) Homogéne a ¿SI o NO? Término NO homogéne o 12358 Tabla 2 3. 4 4. Por separación de variables resuelva: 2 3 2 1. 3 1 2. xy = + 2. . y) = (x + y +1)2 3. f (x. f (x. y) cos( x ) xy = + 4. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales y encuentre la solución particular. xtdx .wikipedia.org METODO DE RESOLUCION FORMULA GENERAL DE LA INTEGRACION .( x + 6 y)dy = 0 2. 1.3)dx + (2y + 5)dy = 0 5 x 4 = 20 2 x 8 = 16 Puedes tomar referencia de http://es.( 1 ) 0 19 x y dx x y x dy -+= + 4. si es exacta resuelva la ecuación por su método caso contrario si no es exacta. encuentre el factor integrante. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 1.(3x cos3x + sen3x .t(0) =1 5.xy2 dy y3 x3.x2dt t =x2 + t2dt. Determine si es exacta.(x + y)(x .y)dx + x(x .42 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. y(1) 2 dx =-= 2.(2 x + y)dx .2y)dy = 0 2332 2 3. ). entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente: Donde M * x = M·x Mencionando que: CAPITULO 3: CAMPOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN . entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente: ). TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Recordemos Factor integrante solo en función de x. entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente: ). Factor integrante solo en función de y.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Factor integrante solo en función de x·y. Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x·y (es decir. Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a y (es decir. Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x (es decir. Como sabemos una ecuación diferencial lineal de primer orden tiene la forma: dy P(x)y Q(x) dx += Donde P y Q son funciones continuas.= ò . ecuación muy utilizada en física y en general las ciencias naturales. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Introducción Antes de entrar de lleno a los campos de aplicación es necesario realizar una nota sobre una herramienta de las matemáticas como lo es las ecuaciones de Bernoulli. Realizando procesos matemáticos podemos demostrar (investiga esta demostración) encontramos que la solución de la ecuación de Bernoulli es: 1 (1 ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) y n e n P x d x n Q x e n P x d x d x C .x 2 y -3 Solución: U = -3 usamos la sustitución z = y1-n = y4derivando z¢ = 4y3y¢ Multiplicando por 2 3 34 4.ò .ò . y partiendo de esto no podemos olvidar que existen ecuaciones aplicativas no lineales que se pueden reducir a lineal como es el caso de las ecuaciones de Bernoulli las cuales tienen la siguiente notación: dy P(x) y Q(x) yn dx += Donde esta ecuación será lineal si n = 0 .44 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Ejemplo: Solucionar la siguiente ecuación de Bernoulli y¢ + xy = xe. pero la ecuación de Bernoulli tiene a n diferente de 0. 444x y tenemos y y¢ + xy = xe Ahora ya tenemos la ecuación diferencial lineal 2 z¢ + 4xz = 4xe-x donde P(x) = 4x y además integrando P se tiene la expresión 2 x 2 con lo que el .+ Solución a la ecuación de Bernoulli. termodinámica e hidráulica es hallar la familia de curvas ortogonales toda la familia de curvas de acuerdo al comportamiento del fenómeno. Por ejemplo en electrostática las líneas de fuerza son ortogonales a las equipotenciales.45 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Un problema común en electrostática. En termodinámica es el flujo de calor ortogonal a las curvas llamadas isotermas y en hidráulica el flujo de corriente es ortogonal a las curvas potenciales de velocidad. . También las curvas ortogonales son encontradas en estudios meteorológicos. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales factor integrante para la ecuación diferencial es e2 x2 y multiplicando por este factor integrante la ecuación diferencial: d[ze2x2]4xex2 dx = Por tanto z = 2e-x2 +Ce-2x2 sustituyendo el valor de Z la solución general es y4=2e-x2+ce-2x2 Trabaja con la ecuación de Bernoulli e investiga sus aplicaciones Lección 1: Trayectorias Ortogonales. Son ortogonales por que cada curva corta la familia de curvas de la solución del problema diferencial. dy 2 y dx x = Ahora para las ortogonales se invierte 2 dy x dx y = y la solución a esta ecuación es: 122 2 x + y = k que son las curvas ortogonales a las parábolas.) dy dx f x y = permitiéndonos así encontrar las ortogonales. Grafica 2 Grafica del programa derive y Editor Matemático Mathtype Fuente: Esta investigación Autor: Carlos Buchely . y) dx = para la familia de curvas dada. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Primero debemos encontrar dy f (x. Esta familia es un conjunto de curvas parabólicas asimétricas al eje y. luego encontramos 1 (. derivamos entonces para encontrar 2 dy cx dx = como la ecuación dada es y = cx2 . Ejemplo: Hallar las ortogonales para la ecuación térmica y = cx2 . Eliminamos c igualando c en las ecuaciones anteriores.46 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. esta fuerza en su mayoría de tipo electromagnético. Una aplicación de las Ecuaciones diferenciales. y).47 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. y) En forma diferencial es Resolviendo la ecuación y 2 . intensidad de la misma y a su vez la magnitud de la fuerza aplicada. 2 222 22 () () 22 yx dyxyyx dxyy xy ---== (y2-x)dx+2ydy=0 . Veamos un ejemplo: Para hallar el campo de fuerzas dado por 2 2222 f(x.y)2yiyxj xyxy =++ Determinamos la pendiente del vector F (x. y2=x–1+Ce-x Esta función nos muestra varias curvas representativas de esta familia.x es decir.e x + 1 = Ce . En la física los campos de fuerza son importantes para determinar direcciones y sentido de aplicación. Si graficáramos la ecuación observamos que el vector fuerza es tangente a la curva que pasa por ( x. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Lección 2: Los campos de fuerza. Plantea tus propios problemas de la física en campos vectoriales y encuentra los campos de fuerza mediante la ayuda de las ecuaciones diferenciales. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Lección 3: Aplicaciones de familias de curvas y trayectorias ortogonales Texto http://www.caribu. al mismo tiempo se vacía en el recipiente a razón de 5 litros/minuto. En este e material didáctico procederemos a encontrar solamente el modelo matemático (ecuación diferencial) de las aplicaciones y dejaremos al lector para resuelva la ecuación diferencial por procedimientos anteriormente explicados como transferencia en el curso. se vierte este deposito a 4 litros/minuto una segunda mezcla que contiene 50 por 100 y 50 por 100 respectivamente. Un recipiente contiene 50 litros de una mezcla de 90 y 100 de A liquido y 10 por 10 de liquido B .com/ Lección 4: Otras aplicaciones de las ecuaciones diferenciales Como mencionamos anteriormente existe una gran gama de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. Cuánto alcohol queda en el depósito después de 7minutos? Solución: Y= número de litros de B en el deposito en un tiempo t Y = 50 Cuando t = 0 El número de litros en el instante dado t es 50-t El recipiente pierde 5 litros/minuto entonces (5) 50 y .48 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.t Es la cantidad de litros de B por minuto Como en el recipiente entran 2 litros de B por minuto entonces la ecuación para determinar cambio de cantidad esta dada por la ecuación diferencial . Aplicación 1.byethost8. La mezcla total se agita totalmente. a La fuerza hacia abajo es: mg-kv y k es la constante de proporcionalidad. Recordemos que en un circuito simple hay una corriente I (amperios). una inductancia L (n henrios) y una fuerza electromotriz constante E (en voltios). si se cierra el interruptor W en t=0 la fuerza aplicada es igual a la suma de las caídas de potencial en el resto del circuito por tanto la ecuación diferencial de la corriente es: LdIRIE dt += Ejemplo: la siguiente ecuación diferencial del circuito L(dI /dt)+RI =sen(2t) donde E = sen (2t) .Sugerencia (para resolver la ecuación se debe hacer P(t) = 5 / (50 . Aquí g=gravedad (constante). TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 2(5). m|=masa. Gracias a la ley de Kirchhoff.49 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Las ecuaciones diferenciales también son muy utilizadas para modelar el comportamiento de los circuitos eléctricos. 50 dy y dt t =. Aplicación 2. Aplicación 3 Otra aplicación esta en la segunda ley de Newton (caída de cuerpos) donde no se desprecia la resistencia del aire al cuerpo. una resistencia r (ohmios).t) Y además al hacer t < 50 se omite el valor absoluto en la integral y se reemplazaremos luego la condición inicial y = 5 cuando t = 0 obteniendo la solución general y de esta reemplazamos el valor pedido de t = 7 minutos. F=m. La ecuación diferencial que refleja el comportamiento es: mdvmgkv dt dv k v g dt m =+= Entonces . Aplicación 4. Aquí y (0) =100 y (5) = 2000 . siendo este proceso proporcional a la concentración y (t) del alimento sin cambios. Luego proceda a reemplazar la condición t =5 horas. Problema del enfriamiento: La ley de newton establece que la razón de que un objeto se enfrié es proporcional a la diferencia de temperaturas entre objeto y medio ambiente donde T temperatura objeto y Tm temperatura medio. Suponer que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del cuerpo. Aplicación 5. Para encontrar c y k respectivamente c con la primera condición y k con la segunda condición. hallar la velocidad en t tiempo. En la ingeniería de alimentos. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Ejemplo: Un avión deja caer un cuerpo de masa m. En microbiología: Los microorganismos crecen con una rapidez de acuerdo al tamaño. las ecuaciones diferenciales permiten calcular la cantidad de microorganismos en un tiempo t. Hallar la concentración sin cambios a del alimento después de 5 horas. calcular después de 8 horas. Entonces la población de microorganismos esta en función del tiempo y (t) por tanto la ecuación diferencial es dy ky dt = Ejemplo: si al comienzo hay 100 microorganismos y después de 5 horas 2000. Aquí por ser cambio proporcional a y (t) la ecuación es: dy ky dx = Resolvamos esta ecuación por separación de variables y encontremos c haciendo y (o) =1/ 40 además encontremos K haciendo y (2 ) = 1/160 . S/ recuerde al utilizar la ecuación diferencial hacer b= k/m ya que son constantes y así separar variables. (Realiza el ejercicio). estas serán condiciones iníciales para la ecuación diferencial. el alimento se transforma. Ejemplo: Si sabemos que la concentración es de 1/40 cundo t = 0 y 1/160 tras 2 horas. es importante pensar en la conservación de alimentos. Entonces el .50 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. APLICACIÓN 6. Encontrar el tiempo en el cual se alcanza esta concentración. Cuantos hay en 6 horas. s/ 3. T (0 ) = 500 y t (1) = 300 dT KT 100 dt += Integramos utilizando el factor integrante e k t T = 75+ ce-kt ahora reemplazamos la condición T (0) . La fuerza ejercida en la dirección del movimiento es 4. . Lección 5: Ejercicios Propuestos 1. por ejemplo 0. Sabemos que Tm = 100. para encontrar c. v = 2. Luego encuentre lo buscado T (6). entonces T(t) = 75+ 225e-kt si utilizamos T (1) encontramos k (Proceda a resolver el problema con estas indicaciones). Ejemplo: Un cuerpo es retirado a 500 grados y es colocado en un cuarto a 100 grados.4m/ seg. Un cultivo de hongos crece con rapidez proporcional al tamaño. si la temperatura del cuerpo baja hasta 300 grados en una hora.9 kg y la resistencia al movimiento es igual al doble de la velocidad. La concentración de monóxido de carbono a bajos niveles. 2. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales cambio de temperatura es dT dTm y por tanto la ecuación diferencial es dT k(T Tm) dt = .51 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.00012 puede ser perjudicial para los seres humanos. Un hombre y su barca pesan 98 N. determinar: la velocidad 20 seg después de que la barca haya empezado a moverse. Si se tiene 1000 y después de 2 horas se tiene 2500.625 hongos. cual es la temperatura al cabo de 6 horas.donde k es la constante de proporcionalidad donde la ecuación es lineal. t=1 hr 21 min. S/ 15. La velocidad limite es de 128 m/s encontrar la posición en un instante t.52 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 4. se agita el recipiente y sale la solución en la misma proporción. ¿Cuál es la temperatura a las 3 horas? S/ 81. Que cantidad de sal hay en el recipiente en 2 horas. la temperatura del cuerpo decae a 200 grados en media hora. Se sabe que la solución salina entra al tanque a razón de 3 galones por minuto.y2 = cx . 8. 5 x 4 = 20 2 x 8 = 16 Teorema De Bernoulli Veamos la Segunda Ley de Newton o Ley de Fuerza En términos matemáticos esta ley se expresa mediante la relación: . Halle las curvas ortogonales de x2 . Encontrar la corriente I en función del tiempo para un circuito de L = 1. S/ 9. S/ 1 amperio si t aumenta. En un recipiente hay 1 libra de sal en 100 galones de agua. R= 1000000 y fuerza = 1 voltio. Un cuerpo que pesa 64 néwtones se deja caer desde una altura de 100 metros cuya velocidad inicial es 10 m/s. la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del cuerpo.6 grados. Si un cuerpo es sacado de un horno a 300 grados y se coloca en un recipiente a 75 grados.52 libras. 6. s/ ( ) 128 1534 13 1534 t xt e =+7. 5. 1. 4.x =C Sol: 1 33 2 3 yxxC æö =çç + + ÷÷ èø 3. 22 3 dy x dx y + = Sol: 22 22 y . Sol: ( )3 2 y =C 2+x Sol: 1 y = C x Hallar la solución particular de la ecuación diferencial que satisface la condición inicial dada. Ecuación diferencial Condición inicial Soluciones: (2 x) dy 3y dx + = x dy y dx = 5) 0 6) 0 7 ) ( 1) 0 8) ln 0 ydyex dx xydy . dy y dx x = 2. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales http://es.53 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.wikipedia ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD Hallar la solución general de la ecuación diferencial dada. dx yxdy dx xydyx dx -= += ++= -= (0) 4 (1) 4 ( 2) 1 (1) 0 y y y = = -= = ( )1 y = eX 2 +16 2 1 32 2 4 16 3 yx æö = ç.+ ÷ çç ÷÷ èø . f (x. 14. 15. La función es homogénea de grado cero. 13.54 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. 16. La función es homogénea de tercer grado. y) = x3 – 4xy2 + y3 Sol. y) Resuelva la ecuación diferencial homogénea 17. 18. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Averiguar si la función es homogénea. f (tx. y) = 2 ln xy Sol. hallar el grado. 1 1x y + = × x2 e2 y = lnX 2 dy x y dx x + = dy x y dx y + = . y) = tg (x + y) Sol. La función no es homogénea. y si es así. f (x. y ) 2 lnx y = Sol.ty) = f (x. f ( x. La función no es homogénea. f (x. a.ö ç ÷ èø l Sol: 11 3 1 1 xc y x ×= æ+öç÷ èø 18 Hallar las trayectorias ortogonales de la familia dada y dibújense varios miembros de cada familia.55 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. x2 + y2 = C Sol: Gráfica 3 b. ver figura 3. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Sol: 2 xcn1y x × =æ . x2 = Cy Sol: Gráfica 4 . 5 d.56 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales c.y2 = C Sol: Gráfica . y2 = 2Cx Sol: Gráfica 6 Grafica del programa derive y Editor Matemático Mathtype Fuente: Esta investigación Autor: Carlos Buchely . 2x2 . calcular el capital al cabo de 10 años. Si hay 180 después del segundo día del experimento y 300 después del cuarto día. Sol: A 1000er t = × c) Si el interés es del 11 por 100.57 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.28 20. ¿Cuántas había originalmente? Sol: Q = 65. Sol: t = 6. Sol: rtAce×=× b) Si la inversión inicial es de $1000.00 y el interés del 11 por 100.32 . calcular el tiempo necesario para doblar la inversión. La tasa de crecimiento de una población en Colombia en un instante dado es proporcional al tamaño de la población en dicho momento. a) Obtener la ecuación de A como función de t. En las pirámides de inversión La cuantía A de una inversión P se incrementa a un ritmo proporcional al valor de A en el instante t. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 19. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.byethost8. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales FUENTES DOCUMENTALES DE LA UNIDAD 1 http://www.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.com/ 58 .caribu. determinando así los diferentes casos que se pueden presentar en la ecuación diferencial. El interés en esta unidad es la deducción de las Ecuaciones Diferenciales a partir de situaciones físicas que se presentan en determinados problemas de carácter físico y/o técnico. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.Realiza la diferencia de las soluciones de una ecuación de de segundo orden. Intencionalidades Formativas . tienen una importancia fundamental en la Matemática y para la ingeniería debido a que muchos problemas se representan a través de leyes y relaciones físicas matemáticamente por este tipo de ecuaciones1 . 1 http://personales. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 59 UNIDAD 2 Nombre de la Unidad ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR Introducción En esta unidad estudiaremos las ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes y su forma de solución. con respecto a las raíces de la ecuación característica. .Emplea correctamente los métodos para solucionar ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden y orden superior.ya. Además analizaremos y solucionaremos las ecuaciones homogéneas y no homogéneas de segundo orden.Soluciona ecuaciones diferenciales no homogéneas por el método de coeficientes indeterminados y de variación de parámetros. . .Resuelve correctamente ecuaciones diferenciales no homogéneas con coeficientes constantes. utilizando una herramienta del álgebra que es la ecuación característica. . . Justificación Las Ecuaciones Diferenciales de segundo orden.Resuelve correctamente las ecuaciones de segundo orden y orden superior con coeficientes constantes.Reconoce una ecuación diferencial con coeficientes constantes.Asocia a la ecuación diferencial con coeficientes constantes la ecuación característica.com/casanchi/mat/problediferencial01 . .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. K. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales .3. resuelve correctamente ecuaciones diferenciales lineales y cuantifica la importancia de la modelación matemática con ecuaciones diferenciales en la solución de problemas científicos.Por ultimo. utilizando una herramienta del álgebra que es la ecuación característica. Es necesario para comenzar con esta lección.El estudiante plantea problemas correctamente empleando la modelación con ecuaciones diferenciales. Denominación de capítulos 2. CAPITULO 1: ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Introducción En este aparte estudiaremos las ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes y su forma de solución.+ + +K+ ¢ + = .2.Encuentra el operador anular para una función y lo aplica correctamente en la solución de sistema de ecuaciones. Además analizaremos y solucionaremos las ecuaciones homogéneas y no homogéneas de segundo orden. Una ecuación de la forma: ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 2) ( ) ( ) ( ) 121 nnn nnywxywxywxywxyfx-. Definición de Ecuación Diferencial Lineal de Segundo Orden n Sea w1. 2.1.w2 .60 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. tener en claro la notación de una ecuación diferencial de orden n . 2. . ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN. . porque en la lección trabajaremos para aquellas ecuaciones donde n = 2 y así abordar las ecuaciones diferenciales de segundo orden.wn y f funciones de x con un dominio común. Lección 1: Ecuaciones diferenciales de segundo orden y métodos de solución. determinando así los diferentes casos que se pueden presentar en la ecuación diferencial. CAMPO DE APLICACIONES DE ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR. 3y = 2sen x y¢¢ . Ahora si f (x) = 0 se dice que la ecuación es homogénea. Donde la clave es la ecuación característica que se puede asignar a la ecuación diferencial según la estructura de la misma. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Se llama ecuación diferencial lineal de orden n . Ahora la ecuación diferencial de segundo orden es: ( ) ( ) ( ) 1 2 y¢¢ + w x y¢ + w x y = f x Ejemplos: Son ejemplos de ecuaciones de segundo orden las siguientes. En esta lección solamente daremos a conocer los diferentes casos que se pueden presentar en una ecuación diferencial de segundo orden: 1. Solución general como combinación lineal de soluciones linealmente independientes.2y¢ .2y¢ .3y = e-x Solución General de Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden Para solucionar ecuaciones diferenciales de segundo orden se dan casos característicos para encontrar la solución general. en caso contrario.61 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. y¢¢ + 6y¢¢ +12y = 0 .y¢ = 0 2y¢¢ + 3y¢ . De Aquí en adelante nos ocuparemos de este tipo de ecuaciones diferenciales.6y¢ + 7 y = 0 y¢¢ . y¢¢ + 4 y¢ + 4y = 0 02 2 = + ÷ø ö çè +æy m k dt dy m p dt dy y¢¢ .2y = 0 2y¢¢ . se llama inhomogénea. Recordando que la ecuación diferencial tiene la siguiente forma: . y 1 2 K son linealmente independientes si la única solución de la ecuación 01122+++=nnCyCyKCy Donde 0 1 2 = = = = n C C K C . Solución de una ecuación mediante coeficientes indeterminados: funcionando bien si f (x) esta formada por polinomios o funciones cuyas derivadas siguen un modelo cíclico. Procedamos entonces a analizar estos métodos. las funciones ( ) 1 y x = -sen x e 2 2y = x . 3. .ay¢-by = 0 y en general la ecuación cuadrática 0 m2 + am + b = tiene raíces 2 24 1 maab -+= y2 24 2 maab --= 2. las funciones se dice que son linealmente dependientes. Concepto de independencia lineal: Decimos que las funciones n y . En caso contrario.62 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Solución por variación de parámetros: Para poder solucionar el problema del anterior método. Lección 2: La Solución General de una ecuación diferencial como Combinación Lineal de Soluciones Linealmente Independientes. . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales y¢¢ . y . Ejemplo. Porque los únicos valores de 1 2 C y C para los cuales 2 1 2 C (-sen x) +C x = 0 Para todo x Son 0 0 1 2 C = y C = . linealmente independientes. 63 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. y¢¢ = m2emx . luego de hacer un reemplazo nos encontramos con una ecuación característica que nos permitirá encontrar las raíces de la ecuación m2emx + amemx + bemx = 0 . Vemos entonces de aquí en adelante la importancia de la independencia lineal al construir la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Ejemplo: y1 ( x) x. porque ( ) (3 ) 0 1 2 C x + C x = presenta 1 3. y = emx entonces y¢ = memx . y2 (x) 3x = = son linealmente dependientes. Pensemos y recordemos la solución de una ecuación diferencial de primer orden con coeficientes constantes por tanto la ecuación diferencial de segundo orden tiene soluciones de la forma . 2 1 C = . Si 1 2 y y y son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial y¢¢ + ay¢ + by = 0 entonces la solución general es 1 1 2 2 y = C y + C y Donde 1 2 C y C son las constantes.C = . La solución general de una ecuación diferencial se presenta como una combinación lineal de soluciones linealmente independientes ENTONCES: Independientes significa que ninguna es múltiplo de la otra. fn] donde fi son funciones para averiguar su dependencia en función a sus derivadas.. Se designa por W[f1. y por 1.. y¢ por m . y = emx es una solución si y solamente si m2 + am + b = 0 Ecuación característica Recuerde que la ecuación característica puede determinarse a partir de su ecuación diferencial simple sustituyendo y ¢¢ por m2 .= donde m = ±2 Entonces y em x e2x 1 =2=e y em x e 2x 2 = 2 = . como estas dos soluciones son linealmente independientes la solución general es y C e x C e 2x 2 2 1 =+También podemos decir que a independencia la podemos encontrar basándose en el wronskiano. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales emx (m2 + am+ b)= 0 Como emx nunca se anula. [] 12n ''' 12n 1n (n 1) (n 1) (n 1) 12n ••• ••• •••••••••••• ••• .64 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Además.son soluciones particulares de la ecuación diferencial dada. . Definición (Se propone al lector profundizar sobre este aspecto). . Ejemplo: Encontrar la ecuación característica de la ecuación diferencial y¢¢ + 4y = 0 La ecuación característica es 4 0 m2 . pensando en su generalización al caso n soluciones de las ecuaciones lineales de orden n. es que: .fff fff W f . sean linealmente independientes en I. 2y (x) de la ecuación homogénea L[y] = 0 . f f-f-f= Condición necesaria y suficiente para que 2 soluciones particulares 1y (x) .. ... pero es necesario hacer dos suposiciones: 1. Caso 3: Soluciones complejas y conjugadas. Soluciones reales y distintas. Caso 1. Caso 1: Soluciones reales y distintas. Todo lo anterior según la estructura de la ecuación característica (Ver lecciones anteriores). Estudiemos ahora cada uno de los casos: 1. 3. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales W[ y1(x). m(x ) = 0 y por tanto esta será una ecuación diferencial homogénea con coeficientes constantes. y2 (x)] ¹ 0"xÎ I [] x xo p( ) d 1 2 o W ( ). Al resolver la ecuación característica se tienen las soluciones m1 y m2 entonces: Solución general es y C em2x C em2x 12=+ . CASOS: 1.65 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Una ecuación homogénea tiene dos (2) soluciones independientes y por tanto es necesario recordar la solución de una ecuación cuadrática donde se pueden presentar tres casos. los coeficientes son constantes 2. Caso 2: Soluciones iguales y reales.Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes Constantes. Teniendo en cuenta los apartes anteriores la ecuación diferencial 1 2 y¢¢ + a (x) y¢+ a (x)y = m(x) es una ecuación de segundo orden. 2. ( ) W(x )e tt yxyx -ò = Lección 3: Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y no homogéneas con coeficientes Constantes. . 7 = 0 Ecuación característica Así que 1 2 m = -7. la solución general es 44 12 y = C e x +C e.x +C e x 2.x e 21 2 y = em x = e. Soluciones iguales y reales. como estas dos soluciones son linealmente independientes.m =1. como estas dos soluciones son linealmente independientes.x son soluciones particulares de la ecuación diferencial dada. la solución general es 71 12 y = C e. Caso 2.7 y = 0 La ecuación característica es m2 + 6m . Luego 17 1 y = em x = e. Luego 14 1 y = em x = e x e 24 2 y = em x = e. Además.x Ejemplo: y¢¢+ 6y¢.66 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Al resolver la ecuación característica se tienen las soluciones m = m1 = m2 entonces: Solución general es 12 y = C emx +C xemx Ejemplo: y¢¢ + 4y¢ + 4y = 0 La ecuación característica . Además.x son soluciones particulares de la ecuación diferencial dada. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Ejemplo: y¢¢ -16 y = 0 La ecuación característica es m2 -16 = 0 Ecuación característica Así que m = ±4 . 4y¢ +13 = 0 La ecuación característica m2 .20y¢+100y = 0 La ecuación característica m2 .67 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Caso 3. Soluciones complejas conjugadas La ecuación característica tiene Raíces complejas: Si m =a + b i 1 y m =a .20m+100 =(m-10)2 = 0 tiene dos raíces complejas m =10 repetidas.b i 2 . Luego la solución general es y C e x C xe 2x 2 2 1 = . Luego la solución general es 10 10 12 y = C e x +C xe x Solución general 3. La solución general de la ecuación diferencial es: . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 4 4 ( 2) 0 m2 + m + = m + 2 = tiene dos raíces complejas m = -2 repetidas.4m+13 = 0 Encontrando las raíces m = 2 ± 3i Siendo estas raíces complejas conjugadas.Solución general Ejemplo: y¢¢. entonces la solución general es 1 2 y = C ea x cos(b x) +C ea xsen(b x) Ejemplo: Resolver y¢¢ .+ . m -2 .3m -10 = 0 Ecuación característica Así que 1 2 m = 5=.xsen( 3x) Recuerde que para resolver las anteriores ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales siempre va a encontrar un sistema de ecuaciones de 2 por 2 para así encontrar las constantes C1 y C2 de la solución general. Luego 15 1 y = em x = e x e 22 2 y = em x = e.x son soluciones particulares de la ecuación diferencial dada. como estas dos soluciones son linealmente independientes. Ejemplo: y¢¢-3y¢-10y 0=.2c . La solución general de la ecuación diferencial es: 33 1 2 y = C e. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 22 1 2 y = C e x cos(3x) +C e xsen(3x) Ejemplo: Ejemplo: Resolver y¢¢ + 6 y¢ +12 = 0 La ecuación característica m2 + 6m+12 = 0 Encontrando las raíces m = -3± 3i Siendo estas raíces complejas conjugadas.x cos( 3x) +C e. la solución general es 52 12 y = C e x +C e. Además.x Ahora con la primera condición y(0) =1 se tiene 1 2 1= c + c Ahora hallamos y¢ y reemplazamos la segunda condición y¢(0) =10 donde 1 2 10 = 5c .=y¢(0) 10= La ecuación característica es m2 . y(0) 1.68 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Sumamos los resultados de 1 y 2 y por tanto encontramos la solución general de la no homogénea: h p y = y + y `. manos a la obra: . Esta es la llamada solución Asociada h y 2. Encontramos una solución particular de la ecuación no homogénea. 1.Ecuaciones diferenciales lineales no .x .69 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Hacemos F(x) = 0 para convertir la ecuación a una homogénea con coeficientes constantes.homogéneas con Coeficientes constantes Ahora trabajemos en la solución de ecuaciones diferenciales de segundo orden no homogéneas con coeficientes constantes y para ello existen los otros dos métodos nombrados con anterioridad en la Lección 1 de este capitulo.e. lo verdaderamente nuevo para usted señor lector es como resolver el paso 2. donde la solución es una suma de las soluciones de una ecuación homogénea y una particular lo cual se puede dar así: Si se tiene que y¢¢ + ay¢ + by = F(x) es una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden. 5 77 c = = c .x entonces la solución particular es 52 12 12 5 77 y = e x . Bueno entonces. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Con las dos ecuaciones encontradas por las condiciones iniciales se forma el sistema de ecuaciones y al resolverlo encontramos 1 2 12 .que son los valores encontrados para reemplazar en la solución general 52 12 y = C e x +C e. Por tanto los pasos 1 y 3 no tienen problema. Esta es la llamada Solución particular p y 3. = + + + + Entonces ensayar con 11 1 0 r r . Por tanto p y se la puede encontrar con base en ensayos como los anteriores. Si F(x) = 3x2 .. Si F(x) = 4xex . 3.. 2. Si F(x) = x + sen2x . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Utilizaremos el método de coeficientes indeterminados donde se debe suponer que la solución yp es una forma general de F(x). escójase xx p y = Axe + Be . escójase y (Ax B) Csen x D x p = + + 2 + cos2 . Entonces. escójase y Ax Bx C p = 2 + + .70 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.. rrfxdxdx-dxd . Por ejemplo: 1. prrycxcx-cxc -=++++ si f (x) = beax Entonces ensayar con ax p y = ce si f (x) = bcosb x +csenb x Entonces ensayar con cos p y = b b x + csenb x .. Generalizando los ensayos los podemos denotar: si 11 1 0 ( ) r r . por sustitución. determinamos los coeficientes de esta solución general. 71 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Veamos ahora ejemplos: Ejemplo Hallar la solución general de la ecuación Solución: Para hallar h y resolvemos la ecuación característica: m2 – 2m– 3 = (m+1)(m-3 ) m = -1 y m = 3 Entonces la solución 3 12 C e-x +C e x hy = 3 12 C e-x + C e x Procedemos a encontrar p y donde utilizaremos para la f (x) = 2sen (x)n (x) el ensayo cosx senx p y= A + B dypAsenxBcosx dx =-+ 2 2dypAcosxBsenx dx =-+ Reemplazando en la ecuación se tiene (-4A . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Si alguno de los términos de f (x) es solución de la homogénea.4B)senx = 2sen(x)(-4A-2B) Igualados los coeficientes de cos ( x) y de sen ( x). 2 2 d y 2 dy 3 y 2senx dx dx --= . que dan lugar al sistema. multiplicamos por x la solución.2B)cosx + (2A . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales -4A . y¢¢ = 0 .(2 / 5) 3 h12 y y 1 cos( ) 2 ( ) 55 xx p y = + C=e.+ C e + x .x +C xe.sen x Ejemplo y¢¢ + 4y¢ + 4y = 2x + 6 Entonces por pasos sería así: 1.72 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.4 B = 2 Donde A = 1=y B .x + x + Ejemplo y¢¢ + y¢ + y = xsen(x) Realizando los pasos aprendidos .4A+ 4B = 6 de donde A =1/ 2 y B =1 por tanto 11 2 py = X + 3. y¢¢ + 4y¢ + 4y = 0 La ecuación característica es: m2 + 4m + 4 = 0 aquí m = -2 siendo real e igual por tanto 2 2 12 xx h y = C e.2B = 0 y 2 A . reemplazando en la ecuación diferencial original se tiene: 4A = 2. para ( ) 2 6 f x x = + probemos con p y = AX + B Derivando se tiene: y¢ = A.+C xe2. La solución general es la suma entonces 22 12 11 2 y = C e. c x + c sen x ( ) cos( ) ( ) cos( ) ( ) 2cos( ) cos( ) p p y Asen x B x Cxsen x Dx x y senx x x x =+++ =+Nota: Se deja al lector.c x + c sen x + sen x + x .x x Otro de los métodos que nombramos anteriormente y que soluciona la dificultad que se presenta al solucionar con métodos anteriores las ecuaciones diferenciales de segundo orden es el método de variación de parámetros donde nos ayuda a encontrar la solución particular p y miremos el camino: Sea 1 2 u (x). Su solución general es: /2 12 ( cos 3 3 ) ( ) 2cos( ) cos( ) 22 x h y = e.u (x) soluciones independientes de la ecuación diferencial característica entonces existe: 1122 1122 1122 ()()()() ()()()()0 ()()()()() pyrxuxrxux rxuxrxux rxuxrxuxgx =+ ¢+¢= ¢¢+¢¢= Ejemplo: y¢¢ + y = csc(x).cot(x) Aquí . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Encontramos lo siguiente /2 12 ( cos 3 3 ) 22 x h y= e. la realización de los procesos para obtener los resultados anteriores.73 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. 74 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. debes aplicar la combinación de h p y + y que es la solución general. Ahora el operador anulador se define así: Si y = f (x) es una función derivable 2 veces. D3 segunda derivada D3 tercera derivada y así sucesivamente. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 2 12 1 0. r ¢ ( x ) . (Termínalo).Recuerde que aquí no termina el ejercicio solución. entonces 22 1 0 a D + a D + a si cumple que . Para nosotros D será es la primera derivada. el cual se emplea para encontrar un anulador de función D. Lección 4: Operador para la solución de ecuaciones diferenciales Daremos a conocer ahora la definición de operador diferencial.cot( x) integrando encontramos los valores que necesitamos 1 2 ln( ( )) cot( ) r sen x rxx ==. Por tanto la ecuación diferencial de orden 2 quedaría así: 2 2 1 0 a D y + a Dy + a y = f (x) El polinomio en términos de D se llama operador diferencial P(D) . cos( ) ( ) h m y c x c sen x += = + Por tanto u1(x) = cos(x).u2 (x) = sen(x) ahora 1122 12 ()()()() ( )cos( ) ( ) ( ) p p yrxuxrxux y r x x r x sen x =+ =+ Derivando según la explicación se tiene 1 2 r ¢ ( x) = .c=ot( x). y si los coeficientes de este polinomio son constantes entonces: P(D) Es factorizable y dichos factores cumplen con la ley conmutativa. x. 2. . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 22 (a D + a1D + a0 ) f (x) = 0 Ejemplos: Función que anula Operador anular x5 D6 7x4 . f (x ) .a)n anula funciones eax . etc.. f (x) = 0 Recuerde que el operador es útil para solucionar sistemas de ecuaciones diferenciales..etc. . x2 . (D .. Dn anula funciones 1.2) x + y = 0 -x + Dy = 0 Formándose un sistema de ecuaciones 2 por 2 eliminamos la variable y multiplicando la primera ecuación por D entonces nos queda una ecuación en .2D+ 5).etc 3.a) x D2 En general 1..75 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS..b = 2 Reemplazando en 3 se tiene: (D2 . . Ejemplo: dx 2x y dr dy x dr == Utilizando operadores D se tiene (D. donde la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de funciones derivables g(t)..6x3 +8 D5 eax (D. x3eax. . cos .. x2eax . cos . x4 .. xxx xxx e x xe x x e x etc e sen x xe sen x x e sen x etc aaa aaa bbb bbb Ejemplo: encontrar el operador que anule a f (x) = ex cos(2x) Nos remitimos a 3 entonces a =1. x3. (D2 . w(t) .2a D+ (a 2 +b 2 ))n anula funciones 2 2 cos .. que satisfacen las ecuaciones. xeax .. términos de x así: . 2m+1 =(m-1)2 sustituyendo lo anterior podemos demostrar que la solución del sistema es 12 122 () () ( ) rr rr x r c e c re y r c c e c re =+ =-+ Lección 5: Ejercicios Propuestos 1.76 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.2m+1 =(m-1)2 Así mismo eliminamos y tomando la ecuación y multiplicando por (D.2) y la ecuación característica será (D2 .¢+ = +-+ b) 12 () : cos( ) ( ) cos( )ln(sec ) w w tg x sol c x c sen x x x tgx ¢¢+ = +-+ c) 12 csc( )cot( ) : cos( ) ( ) cos( )ln( ( )) cos( ) ( ) yyxx sol c x c sen x x sen x x xsen x . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales (D2 . Por el método de variación de parámetros resolver: a) 12 2 2 : 1 ln 2 x xxxx yyye x sol c e c xe xe xe x ¢¢.2D+1)x = 0 Ahora tenemos que la ecuación característica es m2 .2D +1) y = 0 ecuación característica es m2 . Encuentre el operador anulador para a) 32 232 () 5 6 : ( 3)( 2) (5 6 ) 0 tt tt f t e te sol D D e te =---= b) 2 222 ( ) ( ) cos( ) : ( 2 )( 4 5)( ( ) cos( )) 0 tt tt f t e sen t e t sol D D D D D e sen t e t --=++++-= 3.¢¢+ = +--2. Encontrar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales: . 77 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales a) 22 2 212 11 ()20 : 1 ln( 1) 2 x y y xy sol x x c x c cc ¢¢+ ¢ .+ + c) 2 12 440 :x() yyy sol y e cx c ¢¢ .¢ = ++-+ b) 2 12 2()1 : 2 ln(cos( )) 2 yy sol y x c c ¢¢ = ¢ + =.¢ + = =+ d) 12 0 : cos( ) ( ) yy sol y c x c sen x ¢¢+ = =+ e) 2 1 12 110 : . y¢(0) -1 5.yyy xx sol c x c x¢¢ + ¢ .= + 4. Halle la ecuación diferencial por medio del operador . Hallar una solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales no homogéneas: 2 2 2 22 ) 5 14 :1 9 )4 4 4 :1 2 x x p x x p ayyye sol y xe byyye sol y x e ¢¢ + ¢.= = ¢¢ + ¢ + = = 6. Encontrar la solución particular de las anteriores ecuaciones cuando y(0) = 4=. Función en una función diferente llamada la función derivada . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 2 2 12 1. de una función es aquel que se emplea como anulador. La conversión de una función en otra. . Formula de la ecuación lineal de segundo orden homogéneo . ( ) ( ) ( ) 1 2 y¢¢ + w x y¢ + w x y = f x . El operador diferencial D.com .www.www. .( 4 ) cos( ) : 1 (4 ( ) cos( )) 17 x D Dy x sol c c e. Recordemos que deben cumplir con la forma y(n) + an-1(t)y(n-1) + · · · + a1(t)y0 + a0(t)y = f (t).com . Formula de la ecuación diferencial lineal de segundo orden.( 2 1) 3 :()13 2 x xx DDye sol e c x c x e -+=+ +++ 2 4 12 2.sen x x += ++5 x 4 = 20 2 x 8 = 16 Los siguientes conceptos los puedes consultar en: . así el operador derivada convierte una .monografias.enciclopedia virtual Encarta . Recordemos que un operador diferencial es un objeto matemático que permite .wikipedia.78 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Las ecuaciones diferenciales lineales ordinarias de orden superior tienen una gran variedad de aplicaciones a muchas situaciones físicas y ricas en consideraciones teóricas como son el teorema de la existencia y unicidad cuya demostración no es fácil de encontrar en libros de esta asignatura por eso y mucho más las ecuaciones diferenciales lineales d orden superior ocupan un lugar muy importante en la teoría matemática. son de las ecuaciones de la Forma Yy´´ + by´ + c = k(x) . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales y¢¢+w1 (x) y¢+w2 (x) y = 0 . Ahora en este capítulo nos interesa la s ecuaciones diferenciales cuyo orden n > 2 . Una ecuación diferencial cuya estructura es: ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 2) ( ) ( ) ( ) 0121 nnn nnayaxyaxyaxyaxyfx-.79 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden tiene la forma L[y] = yn + a1y’+ a2y = 0 . Lección 1: Ecuaciones diferenciales lineales de orden n. CAPITULO 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Introducción. Para la solución de la ecuación lineal: se tiene en cuenta la ecuación característica y sus raíces. y(4)-2y¢¢+3y¢-6y =0 . Si f (x) = 0 la ecuación recibe el nombre de ecuación diferencial lineal de grado n homogénea y en caso contrario será no homogénea. Las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes.+ + +K+ ¢ + = Se llama ecuación diferencial lineal de grado n . Ejemplo: 1. Formula de la ecuación lineal de segundo orden no homogéneo ( ) ( ) ( ) 1 2 y¢¢+w x y¢+w x y= f x . Ver en http://www. Una ecuación diferencial lineal de n-ésimo orden en la que todos los coeficientes son constantes reales. pueden ser homogénea y no homogénea. Los métodos de solución son los mismos que para la ecuación diferencial de segundo orden solo hay que hacer unas pequeñas adaptaciones.80 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.caribu. 1 y 3 7 y 2 y s e n x p -¢¢+= Lección 3: Ecuación diferencial de orden superior homogénea y no homogénea con coeficientes constantes. 5 y 3 . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Lección 2: Ecuaciones diferenciales de orden superior con coeficientes constantes.byethost8.2 y ¢ ¢ + 2 y = e t g x + 1 0 y 5 ecuación no homogénea.+ + +K+ ¢+ = Donde 0 1 2 1 . todo depende de quien sea f ( x) . . es decir que sea de la forma: ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 2) ( ) ( ) ( ) 0121 nnn nnayaxyaxyaxyaxyfx-. . n n a a a a a . si es idénticamente cero estamos hablando de una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes homogénea y en caso contrario estamos frente a una ecuación diferencial no homogénea.com/ Para resolver una ecuación diferencial lineal de orden superior hay que tener en cuenta primero la ecuación diferencial homogénea para la cual se plantea y resuelve la ecuación característica y la naturaleza de sus raíces y luego se resuelve la ecuación no homogénea y la forma de f ( x) para poder aplicar y encontrar un operador diferencial anulador.K son constantes reales Ejemplo: 1. y 5 .y ¢ ¢ . . 2.3 3 y = 0 ecuación homogénea. . Ya hemos visto que las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior con coeficientes constantes. Lección 4: Métodos generales de solución de las ecuaciones diferenciales de orden superior. Lección 5: Ejercicios propuestos. . Ejemplos: 1. 81 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.y¢¢ 4x2=.+ + +K+ ¢ + = Ecuaciones diferenciales de orden superior con coeficientes constantes ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 2) ( ) ( ) ( ) 0121 nnn nnayaxyaxyaxyaxyfx-. y(4) .+ + +K+ ¢ + = . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 5 x 4 = 20 2 x 8 = 16 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de orden superior: 1. y¢¢¢.=y¢(0) 1. y¢¢¢ -6y¢¢ +11y¢ .x 6. y¢¢¢-3y¢¢+ 7y¢-5y = 0 sol: 1 2 3 y = c ex + ex (c sen(2x) + c cos(2x) Resuelva por el método de coeficientes indeterminados 5.y = 0 sol: 1 2 3 4 y = c ex + c e-x + c sen(x) + c cos(x) 2. y(0) 1.6y = 0 sol: 23 123 y = c ex + c e x + c e x 3. y¢¢¢-3y¢+ 2y = 2e-2x 2 123 :(2) 9 sol y = c ex + c xex + c + x e.=y¢¢(0) 1= Ecuación diferencial lineal de orden n ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 2) ( ) ( ) ( ) 0121 nnn nnayaxyaxyaxyaxyfx-. . movimiento libre amortiguado.+ + +K+ ¢ + = Para solucionar una ecuación diferencial lineal de orden n se tiene en cuenta las mismas condiciones que para ecuación de segundo orden donde la naturaleza de las raíces la da la ecuación característica. Cuando la ecuación diferencial de orden n es no homogénea. Lección 1: Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden Las ecuaciones diferenciales de segundo orden tienen aplicaciones en física en la ingeniería mecánica y en la electricidad. . etc. n n a a a a a . Como: · la ecuación diferencial de las vibraciones de una masa de un resorte . tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. .82 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.+ + +K+ ¢ + = Ecuación diferencial lineal de orden n no homogénea ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 2) ( ) ( ) ( ) 0121 nnn nnayaxyaxyaxyaxyfx-. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Donde 0 1 2 1 . en particular. . cuyos problemas se solucionan planteando y resolviendo una ecuación diferencial de segundo orden. como son la ecuación diferencial de las vibraciones de una masa en un resorte. movimiento libre no amortiguado. movimiento forzado.K son constantes reales Ecuación diferencial lineal de orden n homogénea ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 2) ( ) ( ) 0121nnn0 nnayaxyaxyaxyaxy-. CAPITULO 3: CAMPO DE APLICACIONES DE ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR Introducción Las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior. se resuelve primero la ecuación homogénea y luego se halla un operador diferencial anulador según sea f ( x) . las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes tienen numerosas aplicaciones tanto en la física e ingeniería mecánica y electricidad. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales () 2 2 m d x a dx kx F x dt dt ++= · movimiento libre amortiguado 2 2 m d x a dx kx 0 dt dt ++= Lección 2: Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de orden superior Las ecuaciones diferenciales de orden superior tienen su aplicación en el campo de la mecánica celeste. de considerable importancia práctica. .Kson constantes reales.+ +K+ ¢ + = Donde 0 1 2 1 .83 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. . ecuación equidimensional). Plantear y solucionar una ecuación diferencial de orden superior no es fácil.+ +K+ ¢ + = . Observe la característica especial de esta ecuación cada término del primer miembro es un múltiplo constante de una expresión de la forma: k k k xdy dx La transformación x=et reduce la ecuación ( ) 1 ( ) ( 1) ( ) ( ) 011 nnnn n n a x y ax x y a x x y a y f x . para la que afortunadamente esto se puede lograr. es la llamada ecuación de Euler (o bien. Se vio también la forma de de la función complementaria se puede determinar fácilmente. Esta ecuación es de la forma: ( ) 1 ( ) ( 1) ( ) ( ) 011 nnnn n n a x y ax x y a x x y a y f x .. Sin embargo la ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes variables es un asunto completamente diferente. .. Lección 3: Ecuaciones diferenciales de Euler Anteriormente se estudió la forma de solucionar ecuaciones diferenciales de orden n con coeficientes constantes. . tiene su trabajo. Un caso especial. y solo en ciertos casos especiales la función complementaria se puede obtener explícitamente en forma cerrada. es una herramienta poderosa para los astrofísicos en el descubrimiento de nuevas formas en el universo. n n a a a a a . UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. entonces. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 84 a una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes. suponiendo 0x > se tiene lnt . Ejemplo: 2 23 2 2 2d y dyx x y xdx dx+ ) . . Al introducir la expresión txe. . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. 222 22222 1 1 1d y d ydt dy d y dy dx x dt dx x dt x . xy dy dydt dy dx dtdx xdt. dt dt ª æöº º ; + ; -º çÀ ÷÷÷÷ À ÷÷÷÷ º çç º çç O à O à Así se transforma en 2 3 2 3 2 td y dy yedt dt+ ) ; La cual ya se resuelve por los métodos antes ya vistos. Lección 4: Ecuaciones diferenciales de Chebyshev y de Bessel La ecuación diferencial & ' 2 222 2 0d y dyx x x pydx dx) ) + = donde p es en parámetro, se llama ecuación de Bessel de orden p . La ecuación de Bessel y las funciones de Bessel se presentan en conexión con muchos problemas de la física y la ingeniería, y existe una amplia literatura que trata la teoría y la aplicación de esta ecuación y sus soluciones. Si 0p = la ecuación anterior es equivalente: 2 2 2 0d y dyx x xydx dx) ) ; y se llama ecuación de Bessel de orden cero. Esta ecuación tiene soluciones en un intervalo 0 xR£Ä . La ecuación de Chebyshev tiene la siguiente estructura: UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 85 & 2' 21 0x y xy py¢~ ¢+ + ) ; donde p es una constante real. Lección 5: Ejercicios Propuestos Resolver los siguientes problemas: 1. un peso de 12bl está colocado en el extremo inferior de un resorte suspendido de un techo. el peso se encuentra en reposo en su posición de equilibrio, el resorte está estirado 1.5 in. Después el peso se empuja hacia debajo de su posición de equilibrio 2 in y se suelta desde el reposo en 0t ; . Determine la amplitud, el periodo y la frecuencia del movimiento resultante, y trace la gráfica del desplazamiento como una función del tiempo. 2. Un peso de 64 lb. Está unido al extremo inferior de un resorte que esta suspendido del techo. La constante del resorte es de18lb/pie. El peso se encuentra en reposo en su posición de equilibrio; después, se desplaza 6 in hacia debajo de está posición y se suelta en 0t ; . En este instante se aplica una fuerza externa expresada matemáticamente por & ' 3cos ft w; . Suponiendo que no existe amortiguamiento, determine el valor de u que da lugar a una resonancia no amortiguada. Resolver las siguientes ecuaciones: 1. 2 2 2 3 3 0d 2 2 2 12 5 0d y dyx x ydx dx) + . 2 2 2 12 0d y dyx x ydx dx) ) . 4. 2. 32 32 3 24 8 8 4ln d y d y dyx x x y xdx dx dx+ ) + .y dyx x ydx dx+ ) . . 3. + +K+ ¢ + = La ecuación de Bessel: () 222 2 2 x d y x dy x p y 0 dx dx ++-= La ecuación de Bessel de grado cero: 2 2 2 x d y x dy xy 0 dx dx ++= . la mecánica y la electricidad. La ecuación de Euler : ( ) 1 ( ) ( 1) ( ) ( ) 011 nnnn n n a x y ax x y a x x y a y f x . la mecánica celeste. satisface la ecuación diferencial 2 2 2 x d y dy k xy 0 dx dx ++= 5 x 4 = 20 2 x 8 = 16 Las ecuaciones diferenciales de segundo orden tienen muchas aplicaciones dentro de la física.86 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Las ecuaciones diferenciales de orden superior tienen muchas aplicaciones dentro de la astrofísica. demuestre que ( ) 0 J kx . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 5. 2 3 ln 2 x d y senx e x dx =+ 6. donde k es una constante.. 0 3. 23y¢¢¢-22y¢¢+26y¢-22y . 0 3. 36e-2 x 1 . y¢~ -6 y¢+6 y . 0 4.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. 3y3 -14 y¢~ +15y¢. 12 y¢~ -5y¢+8y =1 Determinar la solución de cada un de las siguientes ecuaciones diferenciales: 1. y -12y ) y +2 y . senxtgx-3ex +4x2 5. 0 43 ¢ 2. 0 2. y¢~ -5y¢+7 y . 3y¢~ -4 y¢. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD Determinar la solución de cada un de las siguientes ecuaciones diferenciales: 1. 12y¢¢¢+15y¢+6y . 0 4. 3y¢~ -11y¢+5y . x 2 -23x +13y . 0 dx dx 2 dy dy 9. esenx 5. x 2 -2x +45 y . y -15y +16y 18 Resolver las siguientes ecuaciones: 2 2 dy dy 7.¢¢~ ¢~ ¢-. 0 dx dx 2 2 dy dy 8. x2 +11x -12y . x 2. senx dx . ln x dx dx dx 2 3 dy 11.. 0 dx2 dx 32 3 dy 2 dy dy 10. x 3 -4x 2 +58x +8y . 2. Noguera editores. · N. Teoría y problemas.A. Editorial Limusa. · TAKEUCHI.000. Latinoamericana S. RAMIREZ. . RUIZ. Calculo diferencial e integral. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales FUENTES DOCUMENTALES DE LA UNIDAD 2 · AYRES. Frank Jr.88 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Bogotá. Ecuaciones Diferenciales. Limusa. Piskunov Cálculo diferencial e integral. 1982. en donde las series y funciones especiales se constituyen como un factor muy importante en el desarrollo de este tipo de ecuaciones basado en métodos. técnicas para resolver ecuaciones diferenciales mediante series matemáticas. En complemento con lo anterior y buscando afianzar el conocimiento se proponen una serie de ejercicios de acuerdo a las temáticas presentadas los cuales deberán ser resueltos utilizando los planteamientos expuestos en cada teoría y que pueden ser complementados con otras fuentes documentales consultadas por el estudiante. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 89 UNIDAD 3 Nombre de la Unidad ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES Introducción En la presente unidad se abordaran temas claves para la resolución de ecuaciones diferenciales que implican el conocimiento desde la definición y clasificación de series matemáticas. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. hasta el estudio de propiedades y convergencia de series de potencia. Con la adquisición de estos conocimientos el estudiante . de orden dos o superior con coeficientes constantes buscando la solución que se pueda expresar explícita o implícitamente en términos de las funciones elementales llevando a un proceso complejo. Con esto se pretende orientar al estudiante en el reconocimiento. complementando con las series de Taylor y maclaurin como apoyo a la solución de ecuaciones diferenciales lineales de orden dos o superior.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. definición y aplicación de los temas planteados hacia la resolución de ecuaciones diferenciales. gráficos. Justificación El estudio de series y funciones especiales para la solución de ecuaciones diferenciales es un tema necesario y que todo estudiante debe realizar para resolver este tipo de ecuaciones clasificadas en lineales. numéricos y en especial las series de potencias y las series de Taylor y maclaurin. definir y aplicar conocimientos relacionados con procedimientos y técnicas para resolver ecuaciones diferenciales.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.3. GENERALIDADES DEL ESTUDIO DE SERIES. Aplica los conceptos básicos de series matemáticas. · Reconoce funciones y series especiales · Relaciona las funciones y series especiales con las Ecuaciones diferenciales. FUNCIONES ESPECIALES Y SERIES MATEMATICAS. 3. Intencionalidades Formativas En esta unidad el estudiante tendrá la oportunidad de adquirir. · Aplica el tema de series y funciones matemáticas para la solución de las ecuaciones diferenciales Buscando de esta manera que el estudiante desarrolle competencias argumentativas y propositivas orientadas a enriquecer el conocimiento en los temas planteados en esta unidad. · Define las series de potencias · Reconoce la diferencia entre la aplicación de las series de potencias para ecuaciones diferenciales de primer orden y Orden superior.1. reconocer. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 90 contara con una herramienta valiosa a la hora de trabajar con este tipo de ecuaciones buscando de forma mas efectiva y mejor orientada la solución y aplicación del conocimiento obtenido en diferentes áreas relacionadas con este tema. al brindar conocimientos teóricos y también la posibilidad de aplicación práctica mediante los ejercicios propuestos al final de cada tema en donde al final el estudiante lograra: .2. SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIE DE POTENCIAS. 3. CAPITULO 1: GENERALIDADES DEL ESTUDIO DE SERIES Introducción . Denominación de capítulos 3. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales En esta unidad usaremos las series matemáticas y en especial la serie de potencias para resolver ciertos tipos de ecuaciones diferenciales.byethost8.com/ Lección 2: Clasificación de las series matemáticas http://www.caribu. como también matemáticas especiales).byethost8. (Estos temas serán retomados en un nuevo curso como es el caso del análisis numérico o métodos numéricos. Lección 1: Definición de serie matemática http://www.caribu.caribu. sin realizar las demostraciones. Se expondrán los conceptos y propiedades. Por tanto en las lecciones siguientes se tratan únicamente de efectuar un breve repaso de las series de potencias. El punto 0 x se llama punto ordinario de la ecuación diferencial ()()() 2 0 2 1 2 a x d y a x dy a x y 0 dx dx + + = si () () () () 12 00 y axax axax de la ecuación normalizada () () () () () () 2 12 2 00 0 d y a x dy a x x x y .com/ Lección 3: Técnicas para resolver Ecuaciones Diferenciales mediante series matemáticas http://www.91 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. además se darán a conocer funciones especiales que se expresan mediante ecuaciones diferenciales.com/ Lección 4: Definimos el concepto de punto ordinario y punto singular regular en una Ecuación diferencial.byethost8. luego son puntos singulares. () 2 2 10 11 d y x dy y dx x dx x x ++= -los puntos x=0 y x = 1 la función no es analítica. . Ejemplo: 1. ( ) 2 2 2 d y x dy x 2 y 0 dx dx + + + = aquí x y x2 +2 son polinomios y son analíticos en todo ¡ son todos los puntos ordinarios 2. si una de ellas o ambas no es analítica en 0 x entonces 0 x se llama punto singular de la ecuación diferencial.dx a x dx a x + + = son analíticas en 0 x . .92 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Determine la solución en serie de potencias de x de cada una de las ecuaciones diferenciales 1.. ( ) . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Lección 5: Ejercicios Propuestos.. n n nn n cxxccxxcxx . 2 2 d y x dy y 0 dx dx ++= 2.. () 2 2 10 1 d y x dy y dx dx x x ++= + 5 x 4 = 20 2 x 8 = 16 Una serie de potencias en torno al punto xo es una expresión de la forma: ()00100 0 ( ) . 2 2 2 d y x dy (x 1)y 0 dx dx ++-= 5. 2 2 2 d y x dy x y 0 dx dx ++= 3. 2 3 2 d y x dy x y 0 dx dx ++= 4. ¥ = å-=+-++-+ Una serie de potencias es convergente cuando su n-ésimo término tiende a cero. . cuando n crece indefinidamente. Solucionar una ecuación diferencial por medio de series infinitas no es más que buscar un método para solucionar ecuaciones que no se pueden resolver tan fácilmente. Es necesario dar a conocer un teorema que nos permitirá decir donde converge la serie.. . siendo o c su suma en dicho punto.La serie puede converger para algunos valores de x y no para otros. CAPITULO 2: SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIE DE POTENCIAS Lección 1: Estudio de Series De Potencias. integrar. que se designa suma de la serie en x = a . si existe y es finito el límite ( ) 0 0 lim N n Nnn cax ®¥ = å .93 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Las series de potencias se pueden derivar.. . Definiciones: Una serie de potencias en torno al punto xo es una expresión de la forma: ()00100 0 ( ) . si converge la serie numérica ()0 0 n n n cax ¥ = åEs decir..La serie converge en el punto x = a. Siempre converge para x = o x . Caso contrario la serie diverge en x = a . dos aspectos fundamentales para la solución de ecuaciones diferenciales.. . ( ) .. este es el llamado teorema de Abel. Se suponen conocidas las series numéricas y también los conceptos fundamentales relativos a las series de potencias. n n nn n cxxccxxcxx ¥ = å-=+-++-+ Donde los n c son constantes. x0 > R . Ahora la tarea es hallar el radio de convergencia de la serie: Es necesario tener en cuenta el siguiente criterio: Si existe lim n nn am ®¥ = . x + R y diverge si x . que converge en el intervalo y la serie se puede escribir ()å¥ = n0 n an x x0 I = intervalo de convergencia. En los extremos del intervalo puede converger o no. entonces lim n nn am ®¥ =y R1 m . Además en el intervalo la convergencia es absoluta.94 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Teorema de Abel “Una serie de potencias ()å¥ = n0 n an x x0 converge siempre para todo valor de x de un cierto intervalo abierto ( ) 0 0 I = x . es decir.R. entonces R1 m = Si existe lim n 1 n n a a +m ®¥ = . = (Se entiende que si m = 0 es R = ¥ y si m = ¥ . es R = 0 ) Ejemplo 1: averiguar si la serie converge en x = 3 ()()å¥ = + n0 n n x3 n1 2 Solución: Es ()a nn n = + 2 1 . Luego 1 lim lim 2( 1) 2 ( 2) n nn n an an +m ®¥ ®¥ + === + . 95 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Luego 1 2 R = y por tanto la serie converge en 31 2 31 2 - + æè ç öø ÷ , es decir 5,7 22 I = æç ö÷ èø ahora reemplazando En 5 2 x = , la serie es 1 n=0 n + 1 ¥å que diverge por ser la armónica. En 7 2 x = , es (- ) =+ ¥å 1 01 n n n que converge (armónica alternada) Ahora resolvamos ecuaciones diferenciales por medio de series. Todas las funciones se pueden expresar como series de potencias, aquellas Funciones que si se pueden expresar se llaman analíticas. Lección 2: Propiedades y Convergencia de las series de potencias. http://www.caribu.byethost8.com/ Lección 3: Solución de ecuaciones diferenciales de primer orden mediante Series de potencias. No todas las ecuaciones diferenciales se pueden desarrollar por medio de los métodos tradicionales que se han mencionado en las lecciones anteriores, por tanto es necesario recurrir a las series y en especial a las series de potencias. Debemos recordar que una serie de potencias representa a f(x) en un intervalo de convergencia I, y que podemos derivar la serie de potencias sucesivamente, para obtener series para f , f¢, f ", f ¢¢¢´,etc . 96 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Paso 1. Se considera la solución como serie. 2 y = c0 + c1x + c2x + .... Donde las constantes se deben determinar. 0 n n n ycx ¥ = =å Paso 2. Derivamos la ecuación anterior 2 1 2 3 dy c 2c X 3c x dx =++= 1 0 n n n y nc x ¥ = ¢=å Paso 3. Sustituimos los resultados anteriores en la ecuación diferencial a solucionar. Paso 4. Comparamos coeficientes de los dos miembros y hallamos los valores C Paso 5. Sustituimos en la solución en serie del paso 1. De tal manera que la serie encontrada es la solución general de la ecuación diferencial dada. Paso 6. Teniendo una condición inicial encontramos la constante 0 c y así encontramos la solución particular. Veamos ejemplos tanto para ecuaciones diferenciales lineales como para ecuaciones diferenciales no lineales. Ejemplo: Hallar la solución general de la ecuación diferencial y¢ - 2y = 0 Paso 1. Se considera la solución como serie. Comparamos coeficientes de los dos miembros y hallamos los valores C ()1 00 1n2n0 .97 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.å = . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 0 n n n ycx ¥ = =å Paso 2. Derivamos la ecuación anterior 1 0 n n n y nc x ¥ = ¢=å Paso 3.å = 1 00 n2n0 nn nn nc x c x ¥¥ == å=å= Paso 4. Sustituimos los resultados anteriores en la ecuación diferencial a solucionar. 1 00 2n2n0 nn nn y y nc x c x ¥¥ == ¢. 0 1 n n ccn n+=³ + Esta formula genera los resultados siguientes en términos de 0 c .nn nn ncxcx ¥¥ + == å+=å= Obtenemos la formula de recurrencia ( ) 1 1 2 n n n c c + + = de donde 1 2. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales c1 = 2c0 2 10 2 22 22 c=c=c 33 200 3 222 3 2 3 3! c=c=c=c × 44 300 4 222 4 2 3 4 4! c = c = c =c ×× M 02 ! n n cc n = Paso 5. De tal manera que la serie encontrada es la solución general de la ecuación diferencial dada.98 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.x2 . 02 00 00 22 !! nn nnx nn ycxcxce nn ¥¥ == =å = å = Ejemplo: Hallar la solución general de la ecuación diferencial y¢+ xy= 1. Sustituimos en la solución en serie del paso 1. Paso 1. Se considera la solución como serie. Derivamos la ecuación anterior . 0 n n n ycx ¥ = =å Paso 2. 12 00 nn1 nn nn y xy nc x x c x x ¥¥ == ¢+ = å + =å Paso 4.... TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 1 0 n n n y nc x ¥ = ¢=å Paso 3. 238 y=c+x-cx-x+cx+ . Sustituimos los resultados anteriores en la ecuación diferencial a solucionar.99 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. De tal manera que la serie encontrada es la solución general de la ecuación diferencial dada.c= ..0 48 c c =5 2 15 c= 0 6 48 c=-c Así sucesivamente. Aquí la daremos a la solución una nueva forma de expresión: 02304 0 2 . Comparamos coeficientes de los dos miembros y hallamos los valores C 1 c =1 0 22 c=-c31 (1)/32 3 c = . Sustituimos en la solución en serie del paso 1. encontraremos los n c Paso 5. . Sol.Se deja al estudiante encontrar una solución particular para este ejercicio con las ecuaciones resultantes. Co =1 Comúnmente este tipo de solución se llama solución alrededor de cero. Lección 4: Solución de ecuaciones diferenciales de orden superior mediante series de potencias. 0 n n n ycx ¥ = =å Paso 2. ()2 211 1nnn0 nnn nnn n n c x nc x c x ¥¥¥ === å .= -å + . Derivamos la ecuación anterior 1()2 112 n. Sustituimos los resultados anteriores en la ecuación diferencial a solucionar.n.100 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.+å +å = ()2() 21 1n1n nn nn nncxncx ¥¥ == å . Se considera la solución como serie.1n nnn nnn y nc x xy nc x y n n c x ¥¥¥ -=== ¢ =å = =¢ å ¢¢ å Paso 3. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Para esta lección consideremos el mismo proceso de solución de ecuaciones diferenciales de primer orden. Ejemplo: Hallar la solución general de la ecuación diferencial y¢¢ + xy¢ + y = 0 Paso 1. ( )( ) ( ) 2 21 21n1n nn nn nncxnnx ¥¥ + =.= å + + = -å + Se obtiene la formula de recurrencia . (Diferencia clave). pero ajustamos índices sustituyendo n + 2 en el primer miembro.Paso 4. Comparamos coeficientes de los dos miembros y hallamos los valores C. 0 212 n nn ncccn nnn+ + =.c= .c ×× MM () () () () 00 2 11 2 46 2 2 ! kk kk . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales () 2 ( )( ) 1 .c ×× 51 77357 c = .c= .101 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.= ³ +++ Y los coeficientes de la serie solución son 0 22 c=-c1 33 c=-c 20 4424 c=-c=c × 21 5535 c=-c=c × 40 66246 c = . Sustituimos en la solución en serie del paso 1. 2435 011 224335 ycxxcxxx æöæö =ç-+-÷+ç-+-÷è×øè×ø LL Utilizando la sumatoria tenemos: () () () () 221 01 00 11 2 ! 357 2 1 kkkk k kk xx ycc kk ¥¥+ == -=+ ××+ååL . De tal manera que la serie encontrada es la solución general de la ecuación diferencial dada.cc c kk -== ××L () () 1 21 1 357 2 1 k k c c k+ = ××L+ Paso 5. Ejemplo: Hallar la solución general de la ecuación diferencial (1-t2) y¢¢.2ty¢+ 2y = 0 Paso 1. Se considera la solución como serie. . (Clave de solución para encontrar las constantes).102 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Comparamos coeficientes de los dos miembros y hallamos los valores C. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 0 n n n yct ¥ = =å Paso 2. Sustituimos los resultados anteriores en la ecuación diferencial a solucionar. 1 11 2n2n nn nn t nc t nc t ¥¥ == å =å Se obtiene la formula de recurrencia .n. 2()21 210 (1 ) 1 n 2 n 2 n 0 nnn nnn t n n c t t nc t c t ¥¥¥ -=== -å--å+å= Paso 4. Derivamos la ecuación anterior 1()2 102 n.2 en el primer miembro. pero ajustamos los índices sustituyendo m=n .1n nnn nnn y nc t ty nc t y n n c t ¥¥¥ -=== ¢ =å = =¢ å ¢¢ å Paso 3. 3. ellos son: 0nc= Para n impar 4 2 6 0 1.7.4. 6.() 2() 1 n1n n cc n+ =+ Dando valores a k de 2. 5.…se obtienen las constantes o los llamados coeficientes de la serie solución. 3c = =c c -c En general . Determinar la solución de cada un de las siguientes ecuaciones diferenciales mediante la aplicación de series: 1. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 20 1 . Paso 5.wikipedia.7.2.6.org http://www.5....= Para n par. 2 10 1 [1 1 ] 21 m m yctct m ¥ = =+-å Lección 5: Ejercicios Propuestos. De tal manera que la serie encontrada es la solución general de la ecuación diferencial dada. Sustituimos en la solución en serie del paso 1. y4 -12y3 + y¢+2y = 0 3. y¢¢ ¢-15y¢¢+16y¢-18= esenx 5 x 4 = 20 2 x 8 = 16 Puedes tomar referencia de http://es.4. 21mccm m =. 3y3-14y¢¢+15y¢=0 4.terra. 23y¢¢¢-22y¢¢+26y¢-22y =36e-2x 1 5.3. 1. 12y¢¢¢+15y¢+6y = 0 2.103 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.es RECORDEMOS . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma: Una serie de potencias alrededor de x=a es una serie de la forma: En el cual el centro es a.104 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. la serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r. a+r) se define como la siguiente suma: SERIE DE TAYLOR . Ejemplos · La serie geométrica es una serie de potencias absolutamente convergente si | x | < 1 y divergente si | x | > 1 ó | x | = 1 · La serie de potencias es absolutamente convergente para todo · La serie de potencias solamente converge para x = 0 En matemáticas. y los coeficientes cn son constantes. soluciones mediante series de Taylor. series de Maclaurin. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. 3. con polinomios de grado 1. 5.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. algunos ejercicios propuestos y conceptos para recordar con el fin de una mejor comprensión y manejo de los mismos. En el presente capitulo se trataran las funciones especiales y series matemáticas ya que son métodos útiles a la hora de resolver ecuaciones diferenciales. 9. para lo cual se abordaran los siguientes temas: funciones analíticas. . 7 Sin (x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0. 11 y 13. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 105 Grafica. Expresiones analíticas CAPITULO 3: FUNCIONES ESPECIALES Y SERIES MATEMATICAS Introducción. series de Taylor. 7. n x a con algo más de precisión. entonces lim ( ) ( ) 0 () n xan fxPx ®xa -= o como también se dice. tales que la diferencia ( ) – ( ) n f x P x tiende a cero cuando x ® a . b) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 ( .106 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. 0.com/ Lección 2: Series De Taylor. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Lección 1: Funciones analíticas. 6) Grafica del programa derive y Editor Matemático Mathtype Fuente: Esta investigación Autor: Carlos Buchely El teorema de Taylor establece que. existen un entorno de a (cuya amplitud no se especifica) y un polinomio P ( ) n x . y lo hace “más rápidamente” que ( – ) . . del grado n que se desee. si una función f (x) posee suficientes derivadas en un punto a. http://www. ( ) – ( ) 0 ( – )n nfxPx=xa Importante: a) Elegido el grado n. Para mayor precisión requiere calcular sólo un término más. Grafica. n n P x f a P x P x + + = = + ( 1) ()()1 ( 1) ! n faxan n + -+ + .caribu. el polinomio ( ) n P x es único. 8 Grafico: TAYLOR (3·x·y + COS(x·y).byethost8. x. no es necesario recalcular todo. 107 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Es necesario tener en cuenta que existen los polinomios de Taylor.6 x 3 es el polinomio de Taylor Lección 3: Solución de ecuaciones diferenciales mediante Series de Taylor Como ya tenemos la conceptualización y generalidades de las series de Taylor. el polinomio de Taylor para fracciones algebraicas por ejemplo. Ahora es necesario aprender a resolver ecuaciones diferenciales con condiciones . Desarrollando la división en potencias se tiene: 232 1 32012 1613156 51 6 10 4 12 n ii i xxxxxXY = -++-+ ---å Realizando operaciones de comprobación se tiene: 3345 23 222 ( ) 2 3 3 2 3 5 6 4 12 211212 fxxxxxxxxxx xxxxxx -+-++ ===+--+ -+-+-+ El polinomio 3 + x . Se pide un desarrollo de Taylor de grado 3 en a = 0.5 x 2 .+ . Sea la función racional 3 2 ()23 21 fxxx xx -+ = . en torno al punto x=a: .. Para resolver ecuaciones diferenciales..iniciales con la ayuda de las series de potencias y en general con series de Taylor. la serie converge. n n a = x y=x x + h entonces la . Si en particular hacemos .. La función y ( x) tiene derivadas de todos los órdenes. Un desarrollo en serie de Taylor. 2. 3! '''()() 2! ''()() 1! ()()'()() 23 + + + =+yxyayaxayaxayaxa Ahora 1. 108 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales .... 6 '''() 2 ()()'()''() 23 +=++++yxhyxyxhyxhyxhnnnnn Si suponemos que y(x) es una solución de la ecuación diferencial de primer orden y’ = f ( x, y) , y además consideramos solamente dos términos de la serie anterior, se obtiene la siguiente aproximación: y x h y x f x y x h n n n n ( + ) » ( ) + ( , ( )) Relacionando lo anterior con la equivalencia a la fórmula de Euler. ( , ) n 1 n n n y = y + hf x y + Si se conservan tres términos de la serie, podemos escribir: 2 ()()'()''() h2yxhyxyxhyxnnnn+»++ Realizando las sustituciones 2 2 ' '' 1 yyyhyhnnnn=+++ Ejemplo. Usar las series de Taylor para hallar la solución en serie de dy y 2 t dt =Donde la condición inicial es y = 1 en t = 0 . Usaremos los primeros términos de esta solución en serie para aproximar los valores de y Solución: Como c = 0 entonces, ()()()()2300 00 2!3! yy yyyttt ¢¢ ¢¢¢ =+¢+++L Como y(0 ) = 1 e y¢ = y2 -t , derivando se tiene lo siguiente y(0) = 1 y¢ = y2 - t y¢(0) =1 109 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales y ¢¢ = 2 y y ¢ - 1 y¢¢(0) = 2 -1 = 1 y¢¢¢ = 2yy¢¢ + 2(y¢)2 y¢¢¢(0) = 2 + 2 = 4 y (4 ) = 2 y y ¢¢¢ + 6 y ¢y ¢¢ y (4) (0) = 8 + 6 = 14 y (5) = 2yy (4) + 8y¢y¢¢¢ + 6(y¢¢)2 y(5) (0) = 28 + 32 + 6 = 66 Por tanto, la aproximación es: ()()()()()()45 23450000 00 2! 3! 4! 5! yyyy yyyttttt ¢¢ ¢¢¢ =+¢++++L Reemplazando los valores encontrados tenemos 11243144665 2345 =+t+t+t+t+tL Ahora ya se puede aproximar la solución de y para diferentes intervalos de t. es decir dar valores dentro de un intervalo en la anterior serie (Tema de un nuevo curso). Ejemplo. Usar las series de Taylor para hallar la solución en serie de x0 = 1, y 0= 1, =h 0.1, aplicando la regla obtenemos Solución: y’’ = 2xy’ + 2y 10y= 2 2(1)(1) 2 0 0 '0 y=xy== 4 ) 2 )( 1 ( 2 2 '0 0 ''0 y=xy== Por lo que la solución particular es: ) 1 . 23 2 12(0.1)4(0.1 2 22 ' ' '0 10y=y+yh+yh=++=o; 110 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Ejemplo. Use la fórmula de Taylor de tres términos para obtener la solución particular de y’ = (x + y – 1)2 , en la cual Y(0 ) = 2 Solución: x0 = 0, y 0= 2, =h 0.1, y’’ = 2 ( x + y - 1)(1 + y’) 2 0y = ( 1) 2 (0 2 1) 2 1 00 '0 y=x+y-=+-= 4 ) 1 1 )( 1 2 0 ( 2 ) 1 )( 1 ( 2 '0 00 ''0 y=x+y-+y=+-+= Se obtiene la solución particular: ) 2.1200 2 2 1(0.1) 4( 0.1 2 22 ' ' '0 10y=y+yh+yh=++=o Verifica lo anterior, desarrolla ejercicios de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales. Plantea tus propios ejercicios. Lección 4: Series de MacLaurín Es necesario recordar que las series de MacLaurin se relacionan con Taylor con la propiedad que en Taylor a = 0 y estaremos hablando de McLaurin. Entonces Hablemos un poco de la serie de McLaurin f(x)= f(0)+ f (0)x+ f (0)x 2! +...+ f (0) n! x +R (x) 2 (n) ¢ n n+1 ¢¢ + f (0) n! x +. 0 (n) n2 (n) f (0) n n! x = f(0)+ f (0)x+ f (0) 2! x +.. ¥å ¢ ¢¢ Esta serie describe a f (x) cuando coincida con la fórmula de McLaurin si cumple: 1) Se trabaje en el intervalo de convergencia de la serie. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales n+ 1 (n+ 1) R (x ) = n+ 1 f (z) (n + 1)! x donde 0 < z < x.wikipedia.org Función exponencial 0 para todo ! n x n exx n ¥ ...111 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Veamos un cuadro de series de Taylor notables tomadas de la web: http://es. f(x)= f (0) n! x +R (x) 0 n (n) å n n+1 .. 2) lím n R n+1(x)= 0 ®¥ .. ) n para todo 1 y cualquier complejo n x a Ca n x x a ¥ = +å=< Función trigonométrica .= =å 1 1 ln(1 ) ( 1) para 1 n n n xxx n ¥+ = +å=< Serie Geométrica 0 1 para 1 1 n n xx x ¥ = =< -å Binomio 0 (1 ) ( . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 21 0 sin ( 1) para todo (2 1)! n n n xxx n ¥ + = = +å 2 0 cos ( 1) para todo (2 )! n n n xxx n ¥ = =å 221 1 tan ( 4) (1 4 ) para (2 )! 2 nn nn n xBxx n ¥p = -=å < 22 0 sec ( 1) para .112 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. (2 )! 2 n nn n xExx n ¥p = =å < 21 2 0 arcsin (2 )! para 1 4 ( !) (2 1) n n n xnxx nn ¥ + = =< +å 21 0 arctan ( 1) para 1 21 n n n xxx n ¥ + = =< +å Funciones Hiperbólicas 21 0 sinh 1 para todo (2 1)! n n xxx n ¥ . + = = +å 2 0 cosh 1 para todo (2 )! n n xxx n ¥ = =å 221 1 tanh 4 (4 1) para (2 )! 2 nn nn n xBxx n ¥p = =å < 121 2 0 sinh ( 1) (2 )! para 1 4 ( !) (2 1) n n n n xnxx nn ¥ -+ = =< +å 121 0 tanh 1 para 1 21 . n n xxx n ¥ -+ = =< +å . a.(2 1) kk kk k kk cyaxax kk ¥¥ + == -=+ +åå 21 1 0 ) 2 !(2 1) k k k dyax kk .5.9y = 0 b. y¢¢ .. y¢¢ . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 58 + 25 = 83 þ 95 + 14 = 118 ý 25 + 25 = 50 þ Esta franja incluye ejercicios propuestos.3.xy¢ = 0 e.. Lección 5: Ejercicios Propuestos 1. Mediante series de potencias resolver la ecuación diferencial. dirigidas a proveerte de un mecanismo que te permita determinar el nivel de dominio adquirido con relación a la unidad Nº dos.113 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. y¢¢ + 4 y = 0 c. y¢ + 3xy = 0 d. (x2 + 4)y¢¢ + y = 0 Soluciones: 33 1)xx o a y = c e + c e1 ) cos(2 ) (2 ) o b y = c x + c sen x 221 01 00 ) ( 3) ( 3) 2 ! 1. ...¥+ = = +å 24 ) (1 ...) o 8 128 ey=a-x+x+ ....... verificar si la serie converge a la función dada.114 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. y¢(0) -3. =n 5 b. (x2 +1)y¢¢ + 2xy¢ = 0 5 x 4 = 20 2 x 8 = 16 . y¢¢ . a. ( 1. y¢ + (2x -1) y 0= y (=0) 2.å¥ = + arctg x n x n nn Ecuación diferencial: (x2 +1)y¢¢ + 2xy¢ = 0 Soluciones: si converge utilizando la ecuación diferencial. ( ) . n = 4 Soluciones: a) 2 2 2 10 3 2 4 2 1! 2! 3! 4! y=+x-x-x+x b) 3 2 3 12 4 1 1! 3! 4! y=-x+x-x 3. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 2. Donde n es el número de términos a encontrar o aproximar. Usar el teorema de Taylor para hallar solución de la ecuación diferencial con las condiciones iniciales.1) 21 1 0 21 =+ .2xy =0 y=(0) 1=. x + yy¢ = x2 + y2 Solución: 1) 3 y = x ln x2 + 2x2 + cx 2) y = ce2x . (10x + 8y + 2)dx + (8x + 5y + 2)dy = 0 4. (1+ y)ln(1+ y)dx + dy = 0 5. 1. y¢ . x x y dx dy . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 58 + 25 = 83 þ 95 + 14 = 118 ý 25 + 25 = 50 þ PREPARATE PARA LA EVALUACION FINAL I.2y = ex 3.= 2 + 2.115 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.ex . Hallar la solución general de la ecuación diferencial. Hallar la solución general de la ecuación diferencial de segundo orden.116 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.2y¢ + y = 2xex sol: 3 12() 3 y = c + c x + x ex III.k)2 = k2 IV.2x = C Solución: Son círculos x2 + ( y . Hallar la solución utilizando series para la siguiente ecuación diferencial. 1. y¢¢ .5x + x 2. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 3) 5 2 8 2 5 2 2 2 x + xy + x + y + y = c 4) ln(1+ y) = ce-x 5) y2 = 2cx + c2 II. y . . y¢¢ + y = 2 cos x sol: 1 2 y = (c + x)sen(x) + c cos(x) 3. y¢¢ + y = x3 + x sol: 3 1 2 y = c sen(x) + c cos(x) . Hallar la familia de trayectorias ortogonales 1. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 1. Puedes descargar aplicaciones y laboratorios en: http://www. la cual estas cursando en la Universidad Nacional Abierta y a distancia UNAD. Lo importante es que sea de tu creatividad y así realizar la transferencia en el curso.4)y¢ + y = 0 Solución: 0 0 4 n n k yax ¥ = =å V. (x .caribu. Estudia las diferentes aplicaciones de las ecuaciones diferenciales y realiza una aplicación de interés en alguna área de tu carrera profesional.com/ Registrate.byethost8. .117 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.