PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚSECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA ÁREA DE DISEÑO ELEMENTOS DE MÁQUINAS UNIONES ATORNILLADAS KURT F. PAULSEN MOSCOSO 2009-2 ________________ USO INTERNO PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO Elementos de Máquinas – Uniones atornilladas Pag. 2 de 33 Kurt F. Paulsen M. / 090827 GENERALIDADES Se entiende por rosca, una entalladura de geometría particular que sigue una trayectoria helicoidal sobre una superficie cilíndrica o cónica. Se denomina tornillo a un elemento con rosca exterior y tuerca a un elemento con rosca interior. Se utilizan para unir distintos elementos o para transformar el movimiento giratorio en lineal. En el caso de una superficie cilíndrica, si denominamos p al paso de la hélice o avance axial de ésta al completar una vuelta, φ al ángulo de la hélice o ángulo de inclinación de la misma y d 2 al diámetro primitivo, de paso o de flanco del tornillo; se cumple que: tg φ = p / (π d 2 ) Designación de la resistencia de los tornillos (clase de material) Los tornillos de acero de acuerdo a normas ISO y Eurocódigo se designan por su resistencia a la tracción y resistencia a la fluencia. Esta designación consta de dos números separados por un punto. El primero representa un centésimo de la resistencia a la tracción en MPa (N/mm 2 ). El segundo representa diez veces la relación entre el límite a la fluencia y la resistencia a la tracción. Por ejemplo, un tornillo de clase de material 5.6 - el 5 significa 5 = σ B / 100 …… σ B = 500 MPa - el 6 significa 6 = 10( σ F / σ B )… σ F = 300 MPa UNIÓN ATORNILLADA En la figura 1 se muestra una unión atornillada compuesta por la pareja tornillo-tuerca y dos tubos sujetos entre la cabeza del tornillo y la tuerca. En esta figura se muestra: (a) Los tubos en contacto con la tuerca y la cabeza del tornillo. Sin ajuste alguno. (b) Los tubos comprimidos una magnitud n•p luego de girar la tuerca n vueltas. Obsérvese que en este caso (b) se está asumiendo que tornillo es completamente rígido (o que la rigidez del tornillo es mucho mayor a la del tubo). Como el paso del tornillo es p, el desplazamiento relativo de la tuerca sobre el tornillo es n•p (c) Los tubos y el tornillo (ambos) deformados. Como el tornillo no es completamente rígido también se deforma (estira) una cantidad δ. Resultando en un equilibrio de fuerzas internas. Los tubos resultarían deformados n.p – δ. (d) El diagrama de cuerpo libre del tornillo y tuerca, con la fuerza de los tubos sobre la tuerca y la cabeza del tornillo. (e) El diagrama de cuerpo libre de los tubos. Se muestra la fuerza de la cabeza del tornillo y de la tuerca sobre cada uno de los tubos. (f) El diagrama de cuerpo libre del tornillo. p d 2 d2 PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO Elementos de Máquinas – Uniones atornilladas Pag. 3 de 33 Kurt F. Paulsen M. / 090827 …. Figura 1 Diagramas fuerza-deformación Como se puede observar en (b) y (c) de la figura 1, la deformación axial de los tubos es igual a (n•p – δ) , mientras que la del tornillo es δ. Es decir la suma de ambas deformaciones es igual al avance de la tuerca sobre el tornillo al girar n vueltas. Figura 2 En la figura 2 se muestran los diagramas fuerza-deformación para el tornillo y los tubos. Las pendientes de las líneas rectas inclinadas tienen el valor de la constante de rigidez de cada uno de estos elementos. Se define la constante de rigidez como c = F / δ En el caso de tracción de una barra de longitud L, sección transversal A y módulo de elasticidad E; de acuerdo a la ley de Hook se obtiene c = F/ δ = E A / L. [En el caso de un tubo deformado axialmente en su longitud L, será E A / L, donde A = π (D ext 2 – D int 2 )/4]. En la figura 3 se muestran los dos diagramas fuerza-deformación, pero integrados en uno solo. A la izquierda está la línea de comportamiento del tornillo y a la derecha la de los tubos. La fuerza máxima es la misma tanto para uno como para el otro, pues se trata de la fuerza de equilibrio interna que se mencionó anteriormente. En este caso como se mencionó, la suma de las deformaciones del tornillo y de los tubos es igual al producto n•p. n p F F F F (a) (b) (c) (d) (e) F F (f) DEFORMACIÓN F F TRACCIÓN COMPRESIÓN TORNILLO A TUBOS A F U E R Z A F U E R Z A DEFORMACIÓN Tubo Tornillo PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO Elementos de Máquinas – Uniones atornilladas Pag. 4 de 33 Kurt F. Paulsen M. / 090827 Figura 3 En la figura 4, la unión está compuesta por un tornillo de cabeza hexagonal, la tuerca respectiva y dos placas. En forma similar al caso anterior, al girar la tuerca se ajusta la unión, las placas se comprimen y el tornillo se estira (tracciona). Figura 4 En la misma figura se muestra el diagrama fuerza deformación de la unión. Las pendientes de las líneas corresponden a las constantes de rigidez del conjunto tornillo-tuerca (c t ) y de las placas (c p ). Al ajustar la unión, la fuerza de equilibrio interna entre los distintos elementos en contacto la podemos denominar fuerza de montaje (F M ). UNIÓN ATORNILLADA SOMETIDA A FUERZA EXTERIOR Luego de ajustar la unión, puede someterse ésta a una fuerza exterior o carga de trabajo, tal como se muestra en la figura 5. Dicha fuerza originará que aumente la fuerza de tracción en el tornillo y que disminuya la fuerza de compresión en las placas. Es decir se alivia el estado de tensión de las placas, comparado con el estado en el momento del ajuste. Figura 5 TRACCIÓN COMPRESIÓN TORNILLO A PLACAS A p t F M c c t p 1 1 TRACCIÓN COMPRESIÓN TORNILLO A TUBOS A n p Tubo Tornillo F Fuerza exterior Fuerza exterior PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO Elementos de Máquinas – Uniones atornilladas Pag. 5 de 33 Kurt F. Paulsen M. / 090827 En la figura 6 de la unión tornillo-tubo, se puede observar que la fuerza exterior origina un aumento de longitud tanto del tornillo como del tubo. Es decir el tornillo aumenta su tracción y el tubo disminuye su compresión. En un caso extremo la fuerza exterior podría tener una magnitud tal que origine que la compresión de las placas desaparezca; las placas estarían prácticamente sueltas. Obsérvese que la deformación δ (EXT) originada por la fuerza exterior es la misma para el tornillo y para las placas. Como referencia se repite la figura 1 parcialmente. Figura 6 En la figura 7 se muestra el diagrama fuerza-deformación para la unión con una fuerza exterior como la mostrada en la figura 5. La deformación del tornillo ha aumentado a δ t + δ (EXT.) , mientras que la de las placas ha disminuido a δ p – δ (Ext.) La fuerza exterior se descompone entre las placas y el tornillo. La fuerza en el tornillo aumenta y la fuerza entre placas disminuye. Figura 7 Se demuestra que: F ext/t = (c t / (c t + c p )) F ext = Φ F ext F ext/p = (c p / (c t + c p )) F ext = (1 – Φ ) F ext Fuerza exterior Fuerza exterior TRACCIÓN COMPRESIÓN TORNILLO A PLACAS A p t F M c c t p 1 1 (Ext.) F F F e x t / t e x t / pe x t n p (1.a) (1.b) (1.c) ( E X T . ) F. Ext. F. Ext. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO Elementos de Máquinas – Uniones atornilladas Pag. 6 de 33 Kurt F. Paulsen M. / 090827 Donde: - F ext : fuerza exterior de trabajo - F ext/t : componente de la fuerza exterior sobre el tornillo - F ext/p : componente de la fuerza exterior sobre las placas - Φ : factor de distribución de carga Caso de estudio: aplicación de la carga exterior La unión tornillo y tubos mostrada, es semejante a la presentada anteriormente en la figura 6. La diferencia se da en la ubicación de la carga exterior. Ésta no se aplica en la cabeza del tornillo y la tuerca; sino en la cabeza del tornillo (o tuerca) y en una posición intermedia entre la cabeza del tornillo y la tuerca. Analice la unión desde el montaje y el momento torsor de ajuste y luego con la fuerza exterior. Como se ha mencionado, el ajuste se logra girando la tuerca. Describa el comportamiento del tornillo y en especial del tubo. Constante de rigidez del tornillo En la figura 8 se muestran un tornillo de sección variable con cabeza hexagonal. En un caso con tuerca y en otro con agujero roscado. En lugar de cabeza hexagonal podría tener cabeza cilíndrica con hexágono interno (tipo socket o cabeza allen) Z Figura 8 Para calcular la constante de rigidez del conjunto tornillo-tuerca o tornillo-agujero roscado se puede pensar en un modelo matemático formado por resortes en serie, como se aprecia en la parte inferior de la figura 8. La deformación total (de los seis resortes) se obtiene sumando las deformaciones parciales de cada uno de llos; lo que significa que la constante de rigidez del conjunto (en serie) es igual a c t = 1 / Σ (1/c i ) donde c i es la constante de rigidez del tramo i-ésimo. c i = E A i / L i A i = π d i / 4 Donde Ai y Li son el área de la sección transversal y la longitud del tramo correspondiente del del tornillo. Los tramos son los siguientes: I II III II IV V - VI I II III II IV V - VI I II III IV V VI F. Ext. F. Ext. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO Elementos de Máquinas – Uniones atornilladas Pag. 7 de 33 Kurt F. Paulsen M. / 090827 I : la cabeza del tornillo se deforma parcialmente, II : los tramos cilíndricos de mayor diámetro se deforman en toda su longitud, III : el tramo cilíndrico de menor diámetro o de diámetro reducido también se deforma, IV : el tramo roscado que permanece fuera de la tuerca o agujero roscado se deforma, V : el tramo roscado en el interior de la tuerca se deforma parcialmente, VI : los filetes en contacto se deforman por flexión. Las longitudes y diámetros a considerar, según la VDI 2230, en el cálculo de las constantes de rigidez de los distintos tramos se muestran en la siguiente tabla, en donde - d : diámetro nominal del tornillo - d 2 : diámetro primitivo, de paso o de flanco del tornillo - d 3 : diámetro de raiz del tornillo - d r : diámetro del tramo con reducción de área (1) : longitud del diámetro correspondiente En adelante al mencionar VDI 2230, se entiende que se trata de la parte 1 de dicha norma, correspondiente a febrero del 2003. (VDI: Verein Deutscher Ingenieure; Sociedad de Ingenieros Alemanes) Constante de rigidez de las placas Para determinar la constante de rigidez de las placas se debe estudiar primero la distribución de esfuerzos en las mismas. Como se ha mencionado, al ajustar la unión, las placas son sometidas a compresión. En la figura 9 se muestra en forma aproximada el flujo de las líneas de esfuerzo en compresión para tres casos. Figura 9 Por tanto el cálculo de la constante de rigidez deberá ser distinto para cada uno de ellos. Además se deberá tener en cuenta si se trata de una unión con agujero pasante y tuerca (figura 10 a) o agujero roscado (figura 10 b). Tramo d i L i Comentarios I d 0,5 d 0,4 d Tornillo cabeza hexagonal Tornillo cabeza “socket” II d L II (1) III d r L III (1) IV d 3 L IV (1) V d 3 0,5 d VI d 0,4 d 0,33 d Unión con tuerca Unión con agujero roscado Caso 1 Caso 2 Caso 3 PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO Elementos de Máquinas – Uniones atornilladas Pag. 8 de 33 Kurt F. Paulsen M. / 090827 (a) (b) Figura 10 A continuación se presentan las expresiones según la VDI2230 para calcular la constante de rigidez de las placas, para los tres casos de la figura 9, teniendo en cuenta las siguientes variables: d 1 : diámetro de la circunferencia inscrita en el hexágono de la cabeza del tornillo. d 1 : diámetro de la cabeza cilíndrica de un tornillo con cabeza cilíndrica tipo socket o ranurada. d ag : diámetro del agujero en las placas D ext : diámetro exterior de las placas D máx : diámetro máximo del cono del flujo de líneas de esfuerzo. Figura 11 D máx = d 1 + w L p tgγ Donde el factor w toma los siguientes valores: w = 1 para unión con agujero pasante w = 2 para unión con agujero roscado Caso 1. d 1 ≥ D ext c p = E p A p / L p L d d D D ext máx p 1 ag ( ) 2 2 4 ag ext p d D A − = π PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO Elementos de Máquinas – Uniones atornilladas Pag. 9 de 33 Kurt F. Paulsen M. / 090827 Caso 2. D ext > D máx Caso 3. D máx > D ext > d 1 donde tg γ = 0,362 + 0,032 ln (β L /2) + 0,153 ln ε para unión con agujero pasante (fig. 10 a) tg γ = 0,348 + 0,013 ln β L + 0,193 ln ε para unión con agujero roscado (fig. 10 b) además β L = L p / d 1 y ε = D ext / d 1 Factor de ajuste (α A ) Si se desea que una unión tenga una fuerza de montaje no menor a un valor determinado se tendrá que ajustar a un valor mayor, debido a la incertidumbre existente. A mayor incertidumbre, mayor deberá ser la fuerza de montaje. Si no hubiera incertidumbre en la operación y el los parámetros físicos involucrados la unión se ajustaría al valor requerido; es decir el factor de ajuste sería igual a la unidad α A = 1 Por tanto podemos hablar de una fuerza de montaje mínima (F M min ) y una fuerza de montaje máxima (F M máx ). La relación entre ambos valores sería justamente el factor de ajuste, definido por: α A = F M máx / F M min Valores de α A en el anexo 2. Figura 12 Asentamiento (δ as ) Los distintos elementos tienen un determinado acabado superficial, propio del proceso de fabricación. Debido a las fuerzas de montaje y principalmente a la exterior de trabajo, las superficies en contacto se comprimen entre sí originando que las crestas superficiales se aplasten. Esto trae como consecuencia que disminuya la fuerza de ajuste entre placas. El valor del asentamiento δ as empleado en los cálculos es la suma del asentamiento en los filetes y en las otras superficies en contacto (tuerca, cabeza, placas). + ⋅ ⋅ + ⋅ − − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ) ( ) ( ) ( ) ( ln 2 1 1 1 1 ag p ag ag p ag ag p p d tg L w d d d d tg L w d d d tg d E w C γ γ γ π − − − + + ⋅ − − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = γ γ π tg w d D L d D d D d d d D d d tg d w E C ext ext ext p ag ext ag ag ag ag ag p p ) ( ) ( 4 ) ( ) ( ) ( ) ( ln 2 1 2 2 1 1 c c t p 1 1 F M máx COMPRESIÓN PLACAS A F M mín TRACCIÓN TORNILLO A PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO Elementos de Máquinas – Uniones atornilladas Pag. 10 de 33 Kurt F. Paulsen M. / 090827 Figura 13 En resumen el valor del asentamiento (δ as ) depende del tipo de carga, número de superficies y la magnitud de la rugosidad entre las superficies en contacto. Los valores de la tabla del anexo 3 se pueden utilizar si no hubieran datos experimentales. La presión entre las superficies en contacto no debe ser superior a la presión admisible, en caso contrario el asentamiento sería mucho mayor que los valores mostrados. Ejemplo: Determinar el asentamiento total de una unión con agujero roscado, compuesta de un tornillo de cabeza hexagonal y dos placas. Acabado superficial promedio es 55 µm. Carga externa perpendicular al eje del tornillo. De acuerdo a la tabla del anexo 3: cabeza con placa 2,5; placa con placa 3,5; hilos tornillo-agujero roscado 3,0. δ as = 2,5 + 3,5 + 3,0 = 9,0 µm Con la figura 13 se puede demostrar fácilmente que la relación entre la fuerza de asentamiento F as y el valor asentamiento δ as está dado por: F as = (c t c p / (c t + c p )) δ as Diagrama fuerza deformación de una unión Debido a la incertidumbre en el momento del ajuste de la unión, el valor de la fuerza de montaje F M puede estar entre los valores mínimo (F M mín ) y máximo (F M máx ). Si luego se aplica una carga exterior F ext , como se mencionó anteriormente, ésta se distribuirá entre el tornillo y las placas. La componente que actúa sobre el tornillo F ext/t hará que la fuerza de tracción sobre éste aumente. Mientras que la componente que actúa sobre las placas F ext/p hará que la fuerza de compresión sobre éstas disminuya. En la figura 14 (a) se ha graficado la situación con fuerza de montaje máxima. Como se observa la fuerza sobre el tornillo aumenta desde F M máx hasta F máx/t , que es la fuerza máxima sobre el tornillo. En la figura 14 (b) se muestra la situación opuesta, es decir con fuerza de montaje mínima. La fuerza de compresión entre las placas disminuye desde F M mín hasta el valor F res . Este valor es el menor que se puede presentar, pues considera la fuerza de montaje mínima y la pérdida de fuerza por el asentamiento, razón por la cual se la conoce como fuerza residual de ajuste entre placas (F res ). T O R N IL L O A T R A C C IÓ N P L A C A S A C O M P R E S I Ó N as p as t as p as t as = + M F a j u s t e F a s F PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO Elementos de Máquinas – Uniones atornilladas Pag. 11 de 33 Kurt F. Paulsen M. / 090827 (a) (b) Figura 14 Con el fin de verificar la resistencia del tornillo o evaluar el ajuste entre placas son necesarias las siguientes expresiones, deducidas de la figura anterior. De la figura 14 (a) F máx/t = F M máx + F ext/t F M máx = α A F M mín F ext/t = (c t / (c t + c p )) F ext De la figura 14 (b) F res = F M mín - F ext/p F ext/p = (c p / (c t + c p )) F ext ESFUERZOS Y VERIFICACIÓN POR RESISTENCIA Se debe analizar cada elemento en su situación crítica. Es decir tener en cuenta las solicitaciones sobre el tornillo y los otros elementos en distintos momentos, tales como el montaje o durante el trabajo. En el momento del montaje se ajusta la unión haciendo girar la tuerca sobre el tornillo y aplicando un momento torsor a la tuerca o la cabeza del tornillo. Es decir sobre el tornillo se origina un momento torsor. Luego del montaje la deformación por torsión del tornillo va disminuyendo pero no desaparece; la VDI 2230 sugiere que permanece un 50% del torque que se aplicó en el montaje. Esfuerzos en el tornillo durante el montaje. Sobre el tornillo actúan la fuerza de montaje F M y el torque de montaje M tM . Los cuales originan un esfuerzo normal y un esfuerzo de cizallamiento por torsión, ambos estáticos. σ M = F M / A o con A o = π d o 2 / 4 τ tM = M tM / W p con W p = π d o 3 / 32 Donde d o en situaciones normales es igual al diámetro resistente d s del tornillo. Pero en caso de haber un diámetro menor se deberá utilizar este último. d s = (d 2 + d 3 ) / 2 c c t p 1 1 F M mín F M máx F e x t F e x t / t e x t / p F F m á x / t F a s F e x t F e x t / t e x t / p F F M mín F M máx Tornillo a tracción Placas a compresión Tornillo a tracción Placas a compresión F r e s PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO Elementos de Máquinas – Uniones atornilladas Pag. 12 de 33 Kurt F. Paulsen M. / 090827 d 2 : diámetro de paso del tornillo d 3 : diámetro de raiz o de fondo σ eqM = (σ M 2 + 3 τ tM 2 ) 1/2 ≤ ν σ F donde ν = 0,9 (VDI 2230) Esfuerzos en el tornillo durante el trabajo con carga exterior estática. Actúan la fuerza de montaje F M , la fuerza exterior de trabajo F ext y el torque residual del montaje (k M tM ). Los cuales originan esfuerzo normal y esfuerzo de cizallamiento por torsión, ambos estáticos. σ max/t = F max/t / A o τ ttrab = k τ tM donde k = 0,5 σ eqTr = (σ M 2 + 3 (k τ tM ) 2 ) 1/2 ≤ σ F Esfuerzo de aplastamiento en las superficies en contacto Las superficies a tener en consideración son la tuerca con la placa y la cabeza del tornillo con la otra placa. Se debe calcular el área de contacto según la geometría de cada caso, a manera de guía se presentan los casos de la figura 15. Figura 15 La presión de contacto será p = F c / A c ≤ p Adm A c = π (d 1 2 – d ag 2 ) / 4 Se debe cumplir p = F c / A c ≤ p Adm F c : fuerza de contacto, de acuerdo a la figura 14. Si la presión es mayor a la presión admisible podría originarse deformaciones permanentes que traerían como consecuencia la reducción de la fuerza de ajuste. d 1 d 1 d ag d ag PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO Elementos de Máquinas – Uniones atornilladas Pag. 13 de 33 Kurt F. Paulsen M. / 090827 Verificación del tornillo sometido a esfuerzo variable. La fuerza exterior sobre la unión puede ser constante o fluctuante en el tiempo. En la figura 16 se muestra el diagrama fuerza-deformación de la unión con una fuerza exterior fluctuante. Las componentes de las fuerzas exteriores sobre el tornillo y las placas tienen la misma fluctuación. Para cada instante en el tiempo se aplican las expresiones presentadas anteriormente (página 5) F ext/t = (c t / (c t + c p )) F ext F ext/p = (c p / (c t + c p )) F ext Figura 16 En la verificación de los tornillos a fatiga según la VDI 2230 se debe cumplir que FS = σ A / σ a/t ≥ 1,2 σ A : límite a la fatiga que incluye los coeficientes de fatiga σ a/t : componente alternante sobre el tornillo σ a/t = (F e/t s – F e/t i ) / 2 A s … Las siguientes expresiones para el cálculo de σ A son válidas en el rango de 0,3 ≤ F tm / F 0,2 mín < 1 Donde F tm = (F ext/t s – F ext/t i ) / 2 + F M Adm F 0,2 mín = σ A0,2 mín A s F M Adm = 0,9 σ 0,2 mín A s y A s = π d s 2 / 4 y d s = (d 2 + d 3 ) / 2 Los valores de la resistencia σ A se obtienen de acuerdo a lo siguiente c c t p 1 1 F M mín F M máx Tornillo a tracción Placas a compresión F M F F F F F F e / p s e / p i e / t s e / t i e x t s e x t i F F ext/t ext/p tiempo fza. sup. fza. inf. fza. media tiempo F ext fza. sup. fza. media fza. inf. F e x t i F e x t s PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO Elementos de Máquinas – Uniones atornilladas Pag. 14 de 33 Kurt F. Paulsen M. / 090827 a) Tornillo laminado antes del tratamiento térmico σ A = 0,85 (150/d + 45) con d en milímetros y el esfuerzo en N/mm 2 b) Tornillo laminado después del tratamiento térmico σ A = 0,85 (150/d + 45) (2 - F tm / F 0,2 mín ) Si el número de ciclos N que trabajará el tornillo es relativamente pequeño, la resistencia a la fatiga se puede considerar mayor. 10 4 < N < 2 x 10 6 a) Tornillo laminado antes del tratamiento térmico σ A ´ = (2 x 10 6 / N) 1/3 . 0,85 (150/d + 45) b) Tornillo laminado después del tratamiento térmico σ A ’ = (2 x 10 6 / N) 1/6 . 0,85 (150/d + 45) (2 - F tm / F 0,2 mín ) FUERZAS EN EL FILETE DE SECCIÓN CUADRADA Y MOMENTO TORSOR Para este primer análisis se considerará una rosca de sección cuadrada. La fuerza F actúa entre el tornillo y la tuerca, por tanto un elemento pequeño del filete del tornillo o la tuerca, estará cargado con una fuerza ∆F. Unión sin rozamiento Si no existiera rozamiento entre tuerca y tornillo, sería necesario aplicar una fuerza ∆F t para mantener el equilibrio estático. El esquema simula una carga (pequeño elemento de la tuerca) sobre una pendiente (filete del tornillo) Figura 17 De la figura 17 la relación entre las fuerzas está dada por: ∆F t = ∆F tg φ El momento torsor correspondiente es: M t = Σ ∆M t ∆M t = ∆F t . d 2 / 2 = ∆F tg φ . d 2 / 2 PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO Elementos de Máquinas – Uniones atornilladas Pag. 15 de 33 Kurt F. Paulsen M. / 090827 M t = Σ (∆F tg φ . d 2 / 2 ) M t = F tg φ . d 2 / 2 Unión con rozamiento En esta caso se analiza el mismo filete pero con rozamiento entre la tuerca y el tornillo. Para “subir la carga” es necesario vencer la fuerza ∆F y la fuerza de rozamiento o de fricción ∆F f . Figura 18 La relación entre la fuerza de fricción y la fuerza normal está dada por: tg ρ = ∆F f . / ∆F n . y se sabe que el coeficiente de fricción es la relación µ = ∆F f . / ∆F n . y tg ρ = µ ∆F t = ∆F tg (φ + ρ) El momento torsor para “subir la carga” está dado por M t = F tg (φ + ρ) . d 2 / 2 Para el caso de “bajar la carga” se pueden distinguir dos situaciones (figura 19), según sea la relación entre el ángulo de la hélice φ y el coeficiente de fricción representado por el ángulo ρ. Figura 19 En la situación φ > ρ se debe frenar la carga con la fuerza ∆F t para evitar que deslice, teniéndose: PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO Elementos de Máquinas – Uniones atornilladas Pag. 16 de 33 Kurt F. Paulsen M. / 090827 ∆F t = ∆F tg (φ - ρ) M t = F tg (φ - ρ) . d 2 / 2 En la otra situación φ < ρ se necesita una fuerza ∆F t para hacer “bajar la carga”. Es decir la fuerza de fricción es tal que la carga no baja por sí sola. La unión atornillada en este caso se denomina “autobloqueante” ∆F t = ∆F tg (ρ – φ ) M t = F tg (ρ – φ) . d 2 / 2 En el momento del montaje la fuerza F es la fuerza de equilibrio entre tuerca y tornillo, es decir es la fuerza de montaje F M , por tanto los momentos para ajustar y desajustar (aflojar) la unión, con filetes cuadrados, serían: - Momento torsor de ajuste M t = F tg (φ + ρ) . d 2 / 2 - Momento torsor de desajuste o para aflojar la unión M t = F tg (φ - ρ) . d 2 / 2 si φ > ρ M t = F tg (ρ – φ) . d 2 / 2 si φ < ρ FUERZAS EN EL FILETE DE SECCIÓN EN V Y MOMENTO TORSOR A diferencia del caso anterior, a continuación se presenta el análisis considerando un perfil en V. En este caso se tiene en cuenta el ángulo α formado entre los flancos del filete. El ángulo α de acuerdo a normas se mide en un plano longitudinal al tornillo. Debido a esta inclinación se demuestra que el ángulo efectivo de fricción ( ρ’ ) es mayor que para el caso de rosca cuadrada (ρ ). tg ρ’ = µ (1 + cos 2 φ tg 2 (α/2)) 1/2 Como por lo general el ángulo de hélice φ es pequeño, el cosφ ~ 1; obteniéndose tg ρ’ = µ (1 + tg 2 (α/2)) 1/2 = µ / cos (α/2) Como en el caso de rosca cuadrada, si F M es la fuerza de montaje, los momentos torsores para ajustar y aflojar la unión, considerando únicamente la interacción entre tuerca y tornillo son: En las figuras 20 y 21 el ángulo de fricción mostrado en el efectivo de fricción ρ’ - Momento torsor de ajuste para rosca en V (Montaje) M tM = F tg (φ + ρ’) . d 2 / 2 PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO Elementos de Máquinas – Uniones atornilladas Pag. 17 de 33 Kurt F. Paulsen M. / 090827 Figura 20 - Momento torsor de desajuste para rosca en V (Desmontaje) M tD = F tg (φ – ρ’) . d 2 / 2 si φ > ρ’ M tD = F tg (ρ’ – φ) . d 2 / 2 si φ < ρ’ Figura 21 Momentos torsores totales En el momento de ajuste al hacer girar la tuerca hay que vencer las fuerzas de interacción entre tornillo y tuerca y además la fuerza de fricción entre la tuerca y la placa. El aflojar la unión también se debe vencer la fuerza de fricción entre la placa y la tuerca. Estos momentos torsores totales M Ajuste para el ajuste y M Aflojar para aflojar la unión están dados por: - Momento de ajuste en el montaje M Ajuste = M tM + M p - Momento para aflojar en el desmontaje M Aflojar = M tD + M p Donde M p es el momento torsor necesario para vencer la fricción entre la placa y la tuerca o entre la placa y la cabeza del tornillo. M p = µ f F M D fm / 2 PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO Elementos de Máquinas – Uniones atornilladas Pag. 18 de 33 Kurt F. Paulsen M. / 090827 µ f : coeficiente de fricción entre la tuerca (o cabeza del tornillo) y la placa correspondiente. (Anexo 6). D fm : diámetro medio de la superficie en contacto de la tuerca (o cabeza del tornillo) y la placa correspondiente) En los casos mostrados en la figura 15, el diámetro medio de fricción sería: D fm = (d 1 + d ag ) / 2 UBICACIÓN DE LA CARGA EXTERIOR – Factor de distribución de carga. En las uniones mostradas en la figura 5 y en la figura 6g la fuerza exterior está aplicada a nivel de la superficie de la placa; es decir en el plano que pasa por la superficie de contacto entre la tuerca y la placa y el correspondiente que pasa entre la cabeza del tornillo y la placa respectiva. (Figura 5) (Figura 6) (Caso propuesto pág. 6) En el ejercicio propuesto de la página 6 se puede observar que la fuerza exterior hacia abajo está ubicada en el plano de contacto entre la cabeza del tornillo y la placa (tubos), igual que en los dos casos anteriores; pero la fuerza exterior hacia arriba no está situada en el plano de contacto entre la tuerca y la placa (tubo). Tanto en el caso de la figura 5 como de la figura 6, la fuerza exterior origina que en todo el espesor de la placa disminuye la compresión. Figura 22 Pero en la figura 22 se observa que el tramo de longitud L p1 disminuye la compresión que originó la fuerza de montaje, mientras que el tramo de longitud L p2 la compresión aumenta; es decir la fuerza exterior no consigue el mismo efecto que en los casos anteriores. Por tanto la fuerza de compresión final de las placas y por ende la fuerza de tracción en el tornillo dependerán de la longitud L p1 del tramo de placa sometido a tracción debido ala fuerza exterior. Fuerza exterior Fuerza exterior F. Ext. F. Ext. F. Ext. F. Ext. F. Ext. F. Ext. L p 1 p 2 L L p PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO Elementos de Máquinas – Uniones atornilladas Pag. 19 de 33 Kurt F. Paulsen M. / 090827 A menor L p1 , la placa descomprimirá menos. Esto significa que si comparamos con los dos casos anteriores la fuerza de compresión final sobre la placa será mayor. Y por tanto la fuerza final sobre el tornillo será mayor. Definiendo el valor de n como la relación entre L p1 y L p n = L p1 / L p En el caso particular que L p1 = L p el factor n tomará el valor n = 1 y el comportamiento de la unión es como el caso 6g. Las fuerzas exteriores sobre el tornillo y la placa, como se vió anteriormente (página 5), están dados por: F ext/t = (c t / (c t + c p )) F ext = Φ F ext F ext/p = (c p / (c t + c p )) F ext = (1 – Φ) F ext Se demuestra para el caso de la figura 22 que las fuerzas exteriores sobre el tornillo y la placa están dados por: F ext/t = (c t / (c t + c p )) F ext = n Φ F ext F ext/p = (c p / (c t + c p )) F ext = (1 – n Φ) F ext Pudiéndose definir un nuevo factor de distribución de carga φ n , tal que Φ n = n Φ Φ = c t / (c t + c p ) Las fuerzas exteriores sobre tornillo y placa estarían dadas por: F ext/t = (c t / (c t + c p )) F ext = Φ n F ext F ext/p = (c p / (c t + c p )) F ext = (1 – Φ n ) F ext El valor de n (o L p1 ) se puede estimar para cada caso en particular de acuerdo a la geometría y a la ubicación de la fuerza exterior. En el caso de la figura 22 el valor de L p1 es directo y no se requiere hacer estimación alguna. Ejercicio propuesto: En la figura 23 se muestra un recipiente sometido a presión interna, pero en dos disposiciones (casos a y b). Para ambos casos se cuenta con el recipiente propiamente dicho, la tapa y un anillo. En el caso (a) la tapa está colocada entre el recipiente y el anillo, mientras que en el (b) el anillo está colocado entre la tapa y el recipiente. En ambos casos la presión actúa sobre la tapa en dirección vertical hacia arriba. Estime el valor de n (o L p1 ) Con las dimensiones mostradas puede determinar aproximadamente las otras dimensiones y así poder calcular el valor del coeficiente de carga para cada caso. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO Elementos de Máquinas – Uniones atornilladas Pag. 20 de 33 Kurt F. Paulsen M. / 090827 (a) (b) Figura 23 1 0 3 0 PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO Elementos de Máquinas – Uniones atornilladas Pag. 21 de 33 Kurt F. Paulsen M. / 090827 DISTRIBUCIÓN DE FUERZAS EN UNIONES MULTITORNILLOS SOPORTE SOMETIDO A FLEXIÓN En la figura 24 se muestra un soporte sujeto por tornillos, dispuestos en seis filas y dos columnas verticales. El soporte estará sometido a una carga en la superficie horizontal superior del mismo. La parte superior del soporte tenderá a separarse de la superficie de sujeción, mientras que la inferior tenderá a comprimir dicha superficie. Figura 24 Por tanto el plano de contacto con la superficie de sujeción presentará dos zonas, una que tiende a tiende a separarse de ésta y otra que tiende a acercarse, comprimiéndose. Figura 25 La zona que tiende a separarse se ve impedida de hacerlo por la acción de los tornillos. Es decir estos tornillos serán traccionados. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO Elementos de Máquinas – Uniones atornilladas Pag. 22 de 33 Kurt F. Paulsen M. / 090827 La zona que tiende a comprimirse tendrá una longitud z, que deberá calcularse. Las dos áreas deberán estar en equilibrio entre sí; por tanto el primer momento del área de los tornillos será igual al primer momento del área de la zona de compresión. De las n f filas horizontales de tornillos, k filas de tornillos estarían traccionados, De acuerdo a la figura 25: D : diámetro del tornillo A t : área transversal de cada tornillo n f : número de filas (horizontales) de tornillos n c : número de columnas (verticales) de tornillos k : número de filas de tornillos traccionados L i : distancia de la fila i al borde inferior del soporte z : longitud de la zona de compresión h 1 : longitud del soporte h 2 : ancho del soporte p f : paso entre filas Se deberá cumplir: n c A t (L 1 -z) + n c A t (L 2 -z) + n c A t (L 3 -z) + … + n c A t (L k -z) = h 2 z 2 /2 n c A t ΣL i - k n c A t z = h 2 z 2 /2 (h 2 /2) z 2 + (k n c A t ) z - n c A t ΣL i = 0 Donde ΣL i = k (e fn + (2n f –k – 1) p f / 2) La solución de la ecuación cuadrática nos da la longitud de la zona a compresión. z = (-b +√ (b 2 + 4ac) )/2a a = h/2 b = k n c A t c = n c A t ΣL i En el cálculo anterior no se han considerado los agujeros de la zona de compresión. Se podría mejorar la precisión determinando exactamente el área a compresión y el primer momento, pero sin considerar los agujeros. Adicionalmente en la misma figura se puede observar que z < e fn + (n f – k) p v – d/2 Fuerzas en los tornillos (fuerza exterior sobre cada unión) En la figura 26 se observa que, suponiendo rígidas las planchas, las deformaciones de los tornillos son directamente proporcionales a la distancia al punto de giro. Por tanto las fuerzas también son proporcionales a dicha distancia. Formulando las expresiones de la deformación de los tornillos y las de equilibrio respecto del punto de giro, se obtienen: δ 1 /(L 1 -z) = δ 2 /(L 2 -z) = … = δ i /(L i -z) = … = δ k /(L k -z) n c F 1 (L 1 – z) + n c F 2 (L 2 – z) + … + n c F i (L i – z) + … + n c F k (L k – z) = F L F PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO Elementos de Máquinas – Uniones atornilladas Pag. 23 de 33 Kurt F. Paulsen M. / 090827 δ i = F i L i / E i A i Si todos los tornillos son iguales δ i = F i L i / E i A i Con estas tres expresiones se obtienen se pueden calcular los valores de las fuerzas en los tornillos. Figura 26 TORNILLOS DE UNA UNIÓN SOMETIDA A TORSIÓN En este caso, a diferencia del anterior, la fuerza exterior produce un momento de torsión sobre la unión. Figura 27 Fuerzas en los tornillos (fuerza exterior de corte o fricción) Con la información geométrica de la unión atornillada (posición y área de sección transversal), se determina la ubicación del centroide y centro de gravedad de ellos y la distancia de éste a cada tornillo (r i ). PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO Elementos de Máquinas – Uniones atornilladas Pag. 24 de 33 Kurt F. Paulsen M. / 090827 Figura 28 Trasladando la fuerza al centroide tenemos que el soporte está solicitado por una fuerza y un momento torsor. Por tanto como se aprecia en la figura 28 el cálculo se realiza por superposición de efectos. Las fuerzas paralelas a la fuerza se pueden considerar todas de igual a valor entre sí: F c = F / n donde n: número de tornillos Los tornillos estarán sometidos a una deformación transversal compuesta a su vez de una paralela a la fuerza y otra perpendicular a la línea que une el tornillo con el centroide. Esta última deformación debida a la torsión. Como se observa en la figura 29, la deformación debido a la torsión es proporcional a la distancia del centroide al tornillo. Por tanto, las fuerzas sobre cada tornillo son proporcionales a dicha distancia. Figura 29 Las fuerzas debido a la torsión se calculan teniendo en cuenta por un lado el estado de equilibrio estático y por otro la proporcionalidad a la distancia al centroide. Σ F i r i = M t con M t = F L F y F 1 /r 1 = F 2 /r 2 = F i /r i Una vez calculadas las fuerzas F c y F t se puede calcular el cálculo por fricción o determinar la resultante y realizar el cálculo correspondiente. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO Elementos de Máquinas – Uniones atornilladas Pag. 25 de 33 Kurt F. Paulsen M. / 090827 ANEXOS Anexo 1 Longitudes y diámetros para calcular el coeficiente de rigidez de un tornillo. 1 : longitud del diámetro correspondiente I : cabeza del tornillo, II : tramos cilíndricos de mayor diámetro, III : tramo cilíndrico de menor diámetro o de diámetro reducido, IV : tramo cilíndrico roscado que permanece fuera de la tuerca o agujero roscado, V : tramo cilíndrico roscado en el interior de la tuerca, VI : filetes en contacto. VDI 2230 Parte 1 – Febrero 2003 VDI: Verein Deutcher Ingenieure (Sociedad de Ingenieros Alemanes) Tramo d i L i Comentarios I d 0,5 d 0,4 d Tornillo cabeza hexagonal Tornillo cabeza “socket” II d L II (1) III d r L III (1) IV d 3 L IV (1) V d 3 0,5 d VI d 0,4 d 0,33 d Unión con tuerca Unión con agujero roscado I II III II IV V - VI I II III II IV V - VI I II III IV V VI PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO Elementos de Máquinas – Uniones atornilladas Pag. 26 de 33 Kurt F. Paulsen M. / 090827 Anexo 2 Factor de ajuste (α A ) VDI 2230 Parte 1 – Febrero 2003 VDI: Verein Deutcher Ingenieure (Sociedad de Ingenieros Alemanes) PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO Elementos de Máquinas – Uniones atornilladas Pag. 27 de 33 Kurt F. Paulsen M. / 090827 Anexo 3 Valores recomendados para el asentamiento. Valores para el asentamiento δ as . Por par de superficies. (µm) Altura promedio de la rugosidad R z (µm) Carga En los hilos Cabeza o tuerca Entre placas Normal 3,0 2,5 1,5 R z < 10 Transversal (corte) 3,0 3,0 2,0 Normal 3,0 3,0 2,0 10 ≤ R z < 40 Transversal (corte) 3,0 4,5 2,5 Normal 3,0 2,0 3,0 40 ≤ R z < 160 Transversal (corte) 3,0 2,5 3,5 R Z : promedio de la profundidad de la rugosidad. Promedio aritmético de cinco profundidades significativas consecutivas en la longitud de medición. VDI 2230 Parte 1 – Febrero 2003 VDI: Verein Deutcher Ingenieure (Sociedad de Ingenieros Alemanes) Anexo 4 Presión superficial admisible MATERIAL p Adm (N/mm 2 ) St37 St50 C45 42CrMo4 30CrNiMo8 X5CrNiMo1810 X10CrNiMo189 Acero inoxidable Titanio sin alear T-6Al-4V GG15 GG25 GG35 GG40 GGG35.3 GD MgAl9 GK MgAl9 GKAlSi6Cu4 AlZnMgCu0,5 Al99 260 420 700 850 750 210 220 1000 a 1250 300 1000 600 800 900 1100 480 220 (140) 140 (220) 200 370 140 Extracto de VDI 2230 Julio 1986 Verein Deutscher Ingenieure (Sociedad Alemana de Ingenieros) PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO Elementos de Máquinas – Uniones atornilladas Pag. 28 de 33 Kurt F. Paulsen M. / 090827 Anexo 5 / Anexo 6 Coeficiente de fricción entre filetes / Coeficientes de fricción entre tuerca (o cabeza de tornillo) y placa. Ejemplos típicos Clase Rango para los coeficientes de fricción Material / superficie Lubricantes A 0,04 a 0,10 Brillo metálico, fosfatado, galvanizado, Lubricante sólido (MoS, grafito, PTFE, PA, PE, PI), barnices lubricados, protección en pasta. Brillo metálico, fosfatado, galvanizado. Lubricante sólido (MoS, grafito, PTFE, PA, PE, PI), barnices lubricados, protección en pasta. Galvanizado en caliente MoS, grafito Recubrimientos orgánicos Con lubricante sólido integrado B 0,08 a 0,16 Acero austenítico Lubricante sólido Acero austenítico Cera en pasta Brillo metálico. Fosfatado Estado de entrega (ligeramente aceitado) C 0,14 a 0,24 Galvanizado Ninguno Acero austenítico Aceite D 0,20 a 0,35 Galvanizado o galvanizado en caliente Ninguno E ≥ 0,30 Galvanizado Ninguno Se debe tender hacia el uso de la clase B, con el fin de aplicar una precarga lo más alta posible con baja dispersión. Los valores se aplican a temperatura ambiente. VDI 2230 Parte 1 – Febrero 2003 VDI: Verein Deutcher Ingenieure (Sociedad de Ingenieros Alemanes) Anexo 7 Propiedades mecánicas de tornillos (extracto ISO 898) Clase σ B (N/mm 2 ) σ F (N/mm 2 ) σ 0,2 (N/mm 2 ) Nominal Mínimo Nominal Mínimo Nominal Mínimo 3.6 300 330 180 190 - - 4.6 400 400 240 240 - - 4.8 400 420 320 340 - - 5.6 500 500 300 300 - - 5.8 500 520 400 420 - - 6.8 600 600 480 480 - - 8.8 1 800 800 - - 640 640 8.8 2 800 830 - - 640 660 10.9 1000 1040 - - 900 940 12.9 1200 1220 - - 1080 1100 σ B : resistencia a la tracción σ F : límite de fluencia σ 0,2 : límite convencional de fluencia 1) Hasta tornillos M16 2) Tornillos mayores a M16 PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO Elementos de Máquinas – Uniones atornilladas Pag. 29 de 33 Kurt F. Paulsen M. / 090827 Anexo 8 Características geométricas del perfil de rosca en V (DIN 13) Maschinenelemente-Rolof Matek PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO Elementos de Máquinas – Uniones atornilladas Pag. 30 de 33 Kurt F. Paulsen M. / 090827 Anexo 9 Dimensiones de tornillos cabeza hexagonal Maschinenelemente-Rolof Matek PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO Elementos de Máquinas – Uniones atornilladas Pag. 31 de 33 Kurt F. Paulsen M. / 090827 Anexo 10 Dimensiones de tornillos cabeza cilíndrica con hexágono interior Maschinenelemente-Rolof Matek PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO Elementos de Máquinas – Uniones atornilladas Pag. 32 de 33 Kurt F. Paulsen M. / 090827 Anexo 11 Dimensiones de arandelas métricas Manual del Ingeniero de Taller . Hütte – Gustavo Gili Barcelona PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO Elementos de Máquinas – Uniones atornilladas Pag. 33 de 33 Kurt F. Paulsen M. / 090827 Anexo 12 Diámetro de agujeros pasantes para tornillos (DIN69) Anexo 13 Dimensión de llave de boca (DIN3110) d M3 M4 M5 M6 M8 M10 M12 M14 M16 M20 M24 M30 b 1 19 20 22 27 34 38 44 49 56 66 80 96