1Unidade I – Barras Submetidas a Carregamento Transversal 1.1. Introdução Analisaremos as tensões normais, quanto às tensões de cisalhamento, em barras prismáticas sujeitas a carregamentos transversais. Assumindo que a distribuição de tensões normais, devido à flexão, não é afetada pela presença de cisalhamento, determinaremos as forças cisalhantes, atuando nas seções horizontais em uma viga. Logo, estudaremos o fluxo cisalhante e as tensões de cisalhamento horizontais em vigas. Analisaremos a intensidade e a distribuição das tensões de cisalhamento, em vigas de seção transversal retangular e em vigas compostas de perfis de aço laminado. Considerando o cisalhamento em um corte longitudinal arbitrário, teremos que determinar o fluxo de cisalhamento e as tensões de cisalhamento ao longo do corte em análise. Isto nos permitirá determinar, as tensões de cisalhamento em um ponto qualquer de membros simétricos com parede fina ou delgada. Definiremos e localizaremos o centro de cisalhamento de membro de paredes finas. Também serão determinadas as tensões de cisalhamento em membros de paredes finas, carregados assimetricamente. 1.2. Carregamento transversal em barras prismáticas Situação muito comum em estruturas chamadas vigas, as quais são submetidas a um carregamento vertical. Tais carregamentos podem ser concentrados ou distribuídos, ou podem ser pela combinação de ambos. Consideremos a viga em balanço AB que suporta a força P em sua extremidade livre (fig. 01). Cortemos a viga por uma seção horizontal A’C’ que passa a uma distância “y1” acima da LN gerando a seção vertical de corte CC’ que passa a uma distância “x” da extremidade livre da viga, obtendo ACC’A’. Fig. 01 Na fig. 02, observamos P’ sendo uma fração da força P aplicada à viga na seção de corte AA’, e a força cortante V’ na seção CC’, e os esforços normais " x . dA" que agem nessa seção e a resultante das forças horizontais “H” provenientes da tensão de cisalhamento na face inferior do corpo livre. Universidade do Sul de Santa Catarina – UNISUL Curso: Engenharia Civil Disciplina: Resistência dos Materiais II Professor: Rangel Pereira dos Santos, Engº. Civil o esforço cisalhante horizontal por unidade de comprimento.2 Fig. temos: P. Engº. y . dA I _ y y1 H (1) A integral acima representa o momento estático “Q” da área que fica acima da linha y = y1 em relação à linha neutra. 02 x .Q I . 1. x y c y. O esforço horizontal por unidade de comprimento será denominado Fluxo de cisalhamento “q”. dA P .Q .x I Essa equação mostra a força horizontal H que provém das tensões de cisalhamento na face inferior da porção ACC’A’ é proporcional ao comprimento “x” dessa porção em análise. Substituindo a Eq. y dA A I Explicitando o valor de H. Civil P. Q_ Q y c y y1 y. e sabendo que “x” é constante ao longo da seção transversal. y' (3) onde: A = é a área correspondente a seção transversal em análise. q Universidade do Sul de Santa Catarina – UNISUL Curso: Engenharia Civil Disciplina: Resistência dos Materiais II Professor: Rangel Pereira dos Santos. H/x. é constante e igual a PQ/I. y' = é a distância do seu centróide até a LN. 2 na Eq.dA I Escrevendo a condição de equilíbrio da estrutura: Fx 0 para o corpo livre ACC’A’: Fx H _ 0 P. podemos escrever: H P. x.x. dA (2) A . Logo para um certo valor de “y1”. são nulas. da área localizada acima ou abaixo do ponto C’ (onde o fluxo de cisalhamento é calculado).3 No caso de uma viga submetida a vários carregamentos concentrados ou distribuídos (Fig. O valor de “q” permanece constante entre dois carregamentos sucessivos. Civil. Universidade do Sul de Santa Catarina – UNISUL Curso: Engenharia Civil Disciplina: Resistência dos Materiais II Professor: Rangel Pereira dos Santos. Comprovamos então que. determinar a força de corte em cada prego. “q”. 3a). I = é o momento de inércia de toda a área da seção transversal em relação ao eixo baricêntrico. em relação à linha neutra. O espaçamento entre os pregos é de 25 mm. Engº. podemos substituir a força P pela soma das forças que se exercem na parte da viga que fica à esquerda da seção que passa pelo ponto C de análise. Fig. Sabendo-se que a viga está submetida a uma força cortante V de 500N. produzida apenas por dois conjugados iguais e de sentidos opostos. essa soma é igual à força cortante V que age na seção (Fig. 3b). a força cortante V e a força horizontal por unidade de comprimento. . no caso de uma viga submetida à flexão pura. Exemplo: Uma viga de madeira é constituída por três peças de 20 por 100 mm de seção transversal. que são pregadas umas às outras. pois V também é constante. 03 q V .Q I onde: Q = é o momento estático. Engº.4 Exercícios: 01) Três tábuas. Civil. determinar a força cortante admissível. Sabendo-se que o espaçamento entre os pregos é s = 75 mm e que a força cisalhante admissível em cada prego é de 400 N. 03) Resolver o exercício 02. 02) Três tábuas. cada uma com seção transversal retangular de 40 x 90 mm. cada uma com 50 mm de espessura. que é submetida a uma força cortante vertical. Universidade do Sul de Santa Catarina – UNISUL Curso: Engenharia Civil Disciplina: Resistência dos Materiais II Professor: Rangel Pereira dos Santos. Sabendo-se que a força cisalhante admissível em cada prego é de 670 N. 04) Três tábuas são pregadas juntas para formar a viga mostrada. determinar a força cortante admissível. são pregadas juntas para formar uma viga que é submetida a uma força cortante vertical de 1. se o espaçamento entre os pregos é de s = 75 mm. considerando que o espaçamento entre os pregos é aumentado para s = 100 mm. Sabendo-se que o espaçamento entre cada um dos pares de pregos é de 60 mm. quando w = 120 mm. .1 KN. determinar a força cortante em cada prego. são pregadas juntas para formar uma viga que é submetida a uma força cortante vertical. Civil. Determinar a tensão de cisalhamento média nos parafusos. unidos por parafusos de 16 mm de diâmetro e espaçados longitudinalmente de 150 mm. 09) A viga mostrada foi fabricada com dois perfis de aço laminados e duas placas. sabendo-se que a tensão de cisalhamento admissível nos parafusos é de 90 MPa. determinar a maior força cortante permissível.5 05) Resolver o exercício 04. 08) A viga composta mostrada é constituída de dois perfis de aço laminados W150 x 29. considerando que duas placas de 12 x 200 mm são usadas para reforçar a viga mostrada. Sabendo-se que a tensão de cisalhamento admissível média nos parafusos é de 70 MPa. Universidade do Sul de Santa Catarina – UNISUL Curso: Engenharia Civil Disciplina: Resistência dos Materiais II Professor: Rangel Pereira dos Santos. considerando que a largura é diminuída para w = 100 mm. Engº. Usando parafusos de 18 mm de diâmetro e espaçados longitudinalmente de 120 mm e.8. determinar a maior força cisalhante vertical permissível. 06) O perfil de aço laminado S310 x 52 é reforçado com duas placas de 16 x 200 mm e constitui a seção transversal de uma viga. unidos por parafusos de 20 mm de diâmetro e espaçados longitudinalmente de 190 mm. causada pela ação de uma força cisalhante vertical de 110 KN. . 07) Resolver o exercício 06. Sabemos que as tensões de cisalhamento que se exercem em um plano transversal e em um plano horizontal são iguais (respectivamente.Q x I (4) obtemos a tensão média de méd V . 04) é: q. Podemos afirmar que a expressão obtida para a tensão horizontal em C’ também representa o valor médio longo da linha C1’C2’ (Fig. se V é a força cortante vertical em qualquer seção transversal.Q I . submetida a um carregamento distribuído ou concentrado que atua nesse plano. 04 Se dividirmos a Eq. V .6 1. o fluxo de cisalhamento “q” (força horizontal de cisalhamento por unidade de comprimento). Universidade do Sul de Santa Catarina – UNISUL Curso: Engenharia Civil Disciplina: Resistência dos Materiais II Professor: Rangel Pereira dos Santos. 4 pela área cisalhamento xy .t (5) onde: t = é a largura da seção horizontal.Q I A força horizontal _H que se exerce em um comprimento _x da seção horizontal que passa por C´ (Fig. xy e yx ). Engº. enquanto Q é máximo para y = 0. xy ao Fig. pois a tensão média depende também da largura “t” da seção.x Fig. 05 Devemos notar que. em um ponto C’ dessa seção é: q V . Determinação da Tensão de Cisalhamento em uma viga Consideremos uma viga com plano vertical de simetria. não podemos adiantar que a tensão méd é máxima ao longo da linha neutra. 05). méd t.x .3.Q x I t x V . O item anterior mostrou-nos que. Civil . onde b h . Engº.8% de calculado em relação ao baricentro).7 Na face superior e inferior da viga nessas faces.o h 4 valor da tensão de cisalhamento em C1’ e C2’ (Fig.Q I. pode ser usada para o cálculo de xy em qualquer ponto ao longo de C1’C2’.4. poderá ser utilizada para a determinação da tensão de cisalhamento em qualquer ponto da seção transversal. xy V . 06 Quando a largura “b” da viga se mantém pequena em comparação à altura da seção. onde a relação: b 1 . Onde a Eq. xy = 0. 5. Tensão de Cisalhamento para vigas de seções transversais usuais Vimos no item anterior que para uma viga de seção retangular de largura pequena em 1 relação à altura.8 % da tensão média méd . as tensões de cisalhamento variam muito pouco ao longo da linha C 1’C2’ e a Eq. 07 1. 07) não excede mais de 0. Para vigas de seção retangular de largura “b” e altura “h”. uma vez que não há forças atuantes xy = 0. Fig. 5. méd Fig. na aresta superior e na aresta inferior da seção transversal (Fig. Civil (6) . Daí que 06). Universidade do Sul de Santa Catarina – UNISUL Curso: Engenharia Civil Disciplina: Resistência dos Materiais II Professor: Rangel Pereira dos Santos. a variação da tensão de cisalhamento ao longo da largura é 4 menos de 0. c 12 3 ou.t 4 b. 08 A distância da linha neutra ao centróide C’ da área A’. 08) Fig. usando a Eq. Engº. em relação à linha neutra da área sombreada (Fig. Fig. 3.c 3 Lembrando: b. 7 mostra que a distribuição de tensões de cisalhamento em uma seção transversal de uma viga é parabólica (Fig. 3V y2 1 2 xy 2 A c (7) A Eq. escrevemos: Q A .h 3 2 3 I b. 09). Q = representa o momento estático.Q 3c 4 y 2 V xy I . y' V . 09 Universidade do Sul de Santa Catarina – UNISUL Curso: Engenharia Civil Disciplina: Resistência dos Materiais II Professor: Rangel Pereira dos Santos.c.8 onde: t = é a largura da viga.b. Civil . sendo a área da seção transversal igual a A = 2. máx 3V A A relação obtida indica que a máxima tensão de cisalhamento em uma viga de seção retangular é mais de 50% maior que o valor V/A. t = é a largura da seção da fibra calculada. Q = momento estático da área sombreada em relação à linha neutra cc’. a tensão de cisalhamento varia muito pouco ao longo da seção bb’. A curva obtida é descontínua nos pontos em que ocorre diferença do valor “t”. Em perfis I ou perfis de abas largas. quando se passa das abas ABGD e A’B’C’D’ para a alma EFF’E’ do perfil. marcando a méd em relação a “y”. A Fig. que seria obtido se. Fig.9 Como já foi observada. a tensão de cisalhamento são nulas no topo e na base da seção transversal (y = ± c). Na prática considera-se que todo esforço cortante é absorvido pela alma. erroneamente. A tensão de cisalhamento é nula entre DE e FG. 10 c mostra a distribuição de tensões. I = momento de inércia da seção em relação ao centróide. 10 a e b).Q I. onde: V = é a força cortante. uma que esses dois segmentos fazem parte da superfície livre do perfil. pela méd V . e que uma boa aproximação do valor máximo da tensão de cisalhamento se obtém pela equação: méd V Área da alma Universidade do Sul de Santa Catarina – UNISUL Curso: Engenharia Civil Disciplina: Resistência dos Materiais II Professor: Rangel Pereira dos Santos. 7. adotássemos uma distribuição de tensão uniforme ao longo da seção transversal. Fazendo y = 0 na Eq. podemos calcular o valor médio da tensão de cisalhamento equação: xy em uma fibra aa’ ou bb’ da seção transversal da viga (Fig. e pode ser adotada igual ao valor médio méd . 10 No caso da alma. Civil . podemos obter o valor da máxima tensão de cisalhamento para uma certa seção da viga retangular estreita. Engº. 11 A condição de equilíbrio Fx 0 nos leva à mesma equação vista no item 1. O corpo livre obtido dessa maneira está sujeito às seguintes forças horizontais: a resultante H dos esforços horizontais de cisalhamento que agem na seção longitudinal e os esforços normais x . dA que agem na seção transversal em C. Q representa o momento estático da área sombreada (Fig. x .10 1. 11 a).2 estudamos o caso de uma viga em balanço AB submetida à força vertical P atuando no seu plano de simetria.Q .dA I Fig. 12) em relação à LN da seção. y dA 0 I H P. Engº.5. Cisalhamento em uma seção longitudinal arbitrária No item 1. Consideremos agora um corte longitudinal arbitrário A’C’C’’ da mesma porção AC da viga (Fig. y . e I o momento de inércia de toda a seção: Fig.x I Nesta expressão. 12 Universidade do Sul de Santa Catarina – UNISUL Curso: Engenharia Civil Disciplina: Resistência dos Materiais II Professor: Rangel Pereira dos Santos. Civil . Determinaremos para essa situação a força H que se exerce no plano horizontal da parte AC da viga. dA P .2: H _ Encontramos então para o valor de H: P . x. x. 63 x 10 6 m4. Sabendo-se que a largura de cada junta colada é de 20 mm. determinar a tensão de cisalhamento média na seção n-n da viga. que atua em seu plano de simetria. Universidade do Sul de Santa Catarina – UNISUL Curso: Engenharia Civil Disciplina: Resistência dos Materiais II Professor: Rangel Pereira dos Santos.x .Q . temos: q V . situadas no seu plano de simetria.Q I Exemplo: A viga AB é constituída por três peças coladas umas às outras e está submetida ao carregamento indicado. A tensão de cisalhamento deve ser calculada nas juntas caladas. é dado pela Equação: H P. e o momento de inércia da seção é I = 8. Engº. Civil . I No caso mais geral de uma viga submetida a várias forças concentradas ou distribuídas.11 Afirmamos que o fluxo cisalhante. ou esforço horizontal por unidade de comprimento. O esquema indica a localização do centróide da seção transversal.