03/06/2013UNIDAD IV DISEÑO DE CONTROLADORES DIGITALES DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO Existen dos formas generales de diseñar el control de sistemas en tiempo discreto: • Indirecto: consiste en diseñar el controlador digital en el dominio de tiempo continuo, utilizando las técnicas analógicas y luego transformando el resultado del dominio continuo al dominio discreto. • Directo: se diseña el controlador digital en el dominio discreto directamente, utilizando una función de transferencia z del proceso a controlar. Se utilizan técnicas de diseño en el dominio z. 1 03/06/2013 DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO La estrategia de diseño es definir las características de la respuesta del sistema en el tiempo o en frecuencia; como el sobre paso máximo, el tiempo de asentamiento, el tiempo de levantamiento márgenes de fase o magnitud, etc. Estas características determinan la ubicación de los polos de la función de transferencia z de lazo cerrado. Entonces se determina el periodo de muestreo T teniendo en cuenta el teorema de Nyquist y los criterios de elección, para que se obtenga la función de transferencia deseada. • ELECCIÓN DEL PERIODO DE MUESTREO El periodo de LAZO CERRADO muestreo es un aspecto crítico en la discretización de N B 20 a 40 2 compensadores N B BW continuos. Como norma s Ts BW ancho de banda general, cabe anotar que interesa es un periodo de muestreo T t r t r : tiempo de subida, levantamie nto lo mas pequeño s N N r 10 a 20 r posible, siempre que no condicione al t s : tiempo de establecim iento sistema a dos T t s s aspectos importantes: N r 25 a 75 Nr su implementación y los errores de cuantificación. Los LAZO ABIERTO criterios se basan en los siguientes N g 40 a 80 aspectos: N : frecuencia de cruce de ganancia s g g g 2 T 2 03/06/2013 BIBLIOGRAFÍA • OGATA, Katsuhiko. Sistemas De Control En Tiempo Discreto. Segunda Edición. • DORSEY, John. Sistemas de Control Continuo y Discreto • BIBLIOGRAFÍA WEB • ASTRÖM, Kral J- Computer Controlled Systems. Tercera Edición • PARASKEVOPOLUS,P. Modern Control Engineering. Primera Edición. • CHEN, Chi-Tsong. Analog And Digital Control System Design. Tercera Edición • SMITH C., CORRIPIO A., Control Automático de Procesos. Primera Edición • DORF R., BISHOP R., Sistemas de Control Moderno. Décima Edición. DISEÑO DIRECTO: BASADO EN LA RESPUESTA EN EL TIEMPO CAPITULO 1 x* (t ) x(kT ) (t kT ) k 0 3 la ecuación característica puede tener cualquiera de las dos siguientes formas 1 G( z ) H ( z ) 0 1 GH ( z ) 0 y Para combinar esta dos formas en una.03/06/2013 DISEÑO DIRECTO: BASADO EN EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES Para el sistema mostrado la ecuación característica es: 1 G( z ) H ( z ) 0 La cual es la misma que la encontrada en el lugar geométrico de las raíces en tiempo continuo (plano s) DISEÑO DIRECTO: BASADO EN EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES • CONDICIONES DE ÁNGULO Y MAGNITUD: en muchos sistemas en tiempo discreto. definamos la ecuación característica Donde: 1 F ( z) 0 o F ( z ) G( z ) H ( z ) F ( z ) GH ( z) 4 . 03/06/2013 DISEÑO DIRECTO: BASADO EN EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES Observe que F(z) es la función de transferencia de lazo abierto. 5 . de esta manera: Ángulo: Magnitud F ( z ) 180(2 N 1).. N 0.2. Una gráfica de los puntos en el plano complejo que satisface solamente la condición de ángulo es el lugar geométrico de las raíces.1. Las raíces de la ecuación característica que corresponden a un valor dado de la ganancia pueden localizarse en el lugar geométrico de las raíces mediante la condición de magnitud.. La ecuación característica se puede escribir de esta manera también: F ( z ) 1 Dado que F(z) es una cantidad compleja se puede hallar la magnitud y el ángulo de dicha cantidad. F ( z) 1 DISEÑO DIRECTO: BASADO EN EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES Los valores de “Z” que satisfacen tanto las condiciones de ángulo como de magnitud se encuentran en las raíces de la ecuación característica.. es decir en los polos de la lazo cerrado. 5 seg. también se hallará el valor crítico de la ganancia K para cada uno de los casos. T=1 seg y T=2 seg). Finalmente localizaremos los polos en lazo cerrado correspondiente a K=2 para cada uno de los tres casos. es decir GD ( z ) K Kz 1 z 1 z 1 Se dibujará el lugar de las raíces para tres valores del periodo de muestreo (T=0.03/06/2013 Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital Ahora se investigará los efectos de la ganancia K y el periodo de muestreo T sobre la estabilidad relativa de un sistema de lazo cerrado. 6 . Suponga el sistema de control siguiente r(t) +_ * δ(t) G D ( s) Controlador digital ZOH 1 s 1 Gh(s) Gp(s) c(t) Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital Donde el controlador digital es de tipo integral. De esta manera: Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital La función de transferencia pulso de la trayectoria directa es Kz 1 e T G ( z ) GD ( z ) Z Gh ( s )G p ( s ) z 1 z e T La ecuación característica 1 G( z ) 0 Es decir Kz (1 e T ) 1 0 ( z 1)( z e T ) 7 .03/06/2013 Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital En primera medida obtenemos la transformada Z de Gh(s)Gp(s). 3935Kz G( z ) ( z 1)( z 0.5 seg 0.6065 y un cero en z=0 Primero grafiquemos los polos y los ceros en el plano “z” y luego hallamos los puntos de ruptura de entrada y de salida de acuerdo a: K A( z ) B( z ) Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital Entonces: K ( z 1)( z 0.03/06/2013 Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital Para un periodo de muestreo T=0.6065) Observe ve que G(z) tiene polos z=1 y z=o.7788 y z=- 8 .6065) 0.3935 z 2 z 2 0.7788 0.6065 0 dz 0.6065 Con esto se obtiene: z=0.3935 z Diferenciando la ecuación en función de z obtenemos 2 De allí que: dK z 0. 041 Como K resultó positivo entonces.7788 es un punto de ruptura de salida real y el valor z=-0.03/06/2013 Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital Al reemplazar z=0. Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital Para hallar el valor crítico de la ganancia K se obtiene mediante la condición de la magnitud de la función de transferencia pulso de la trayectoria directa.1244. en tanto que al reemplazar el valor de z=-0. así: z (1 e T ) 1 ( z 1)( z e T ) K 9 .7788 es un punto de ruptura de entrada real.7788 obtenemos un valor de K=8.7788 en la ecuación de K se obtiene un valor de K=0. el valor z=0. 03/06/2013 Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital Para el caso de T=0.3935 z K ( z 1)( z 0.4098 j 0.5 seg Sistemas de Control en Tiempo Discreto .6623 Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital Gráfica del lugar de las raíces con un T=0.Katsuhiko Ogata 10 .6623 y z 2 0.6065) Con lo que K=8.3935(1) K (1 1)(1 0.165 Con un K=2 se obtienen dos polos complejos conjugados en lazo cerrado que son z1 0.6065) La ganancia crítica ocurre en z=-1. con este valor se obtiene: 1 0.5 se obtiene 1 0.4098 j 0. 5) % FT del controlador %en Z G=series(Gpz.6065) G=tf(num.5) G2=tf(num. 1 z d=[1 1]. GD ( z ) 1 Gps=tf(n.’variable’.3935Kz den=[1 -1.[1 -1].0.1) %función de trasferencia de %lazo cerrado Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital • Después de obtener la función de transferencia de lazo abierto del sistema. 1 z z 1 Gpz=c2d(Gps. se procede a graficar el LR en Matlab de la siguiente manera: num=[0 0.’z^-1’) %potencia de z negativas rlocus (G) % lugar de las raíces en z rlocus (G2) % lugar de las raíces en z^-1 Sisotool (G) % diseño de compensadores y %controladores 11 .6065].0.'zoh') % FT de la Planta en Z Gdz=tf([1 0].d). 0.0.6065 0.den.0.5.5. de esta manera G p ( s) 1 s 1 n=[1] .Gdz) % función de trasferencia de %lazo abierto M= feedback (G. G( z ) ( z 1)( z 0.3935 0].den.03/06/2013 Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital • Para obtener la función de transferencia de lazo cerrado primero se halla la función de transferencia de la planta en Z. 6065 respectivamente con valores correspondientes de ganancia K=0.03/06/2013 Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital • Respuesta en Matlab del L. es: G( z) 0.2 0 -0.6 -0.409 + 0.8 0.083 respectivamente.5 1 1.5 -1 -0.2 -0.2449 y K=4. El lugar de las raíces se gráfica de esta manera.662i Damping: 0.5 Real Axis Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital EJERCICIO1: La ecuación obtenida para un periodo de muestreo de 1 seg.6 System: G Gain: 2 Pole: 0.24 Overshoot (%): 46.8 -1 -2.6321Kz ( z 1)( z 0.4 -0.3679) Con polos en z=1.6065 y z=-0. Root Locus 1 0.4 Imaginary Axis 0. 12 .1 Frequency (rad/sec): 2.R.3679 y cero e z=0 El punto de ruptura de salida y el punto de ruptura de entrada son z=0.5 0 0. 0.5 -2 -1.09 0. 3678 y z=-0. El lugar de las raíces se gráfica de esta manera.8647 Kz G( z) ( z 1)( z 0.05185 j 0.6043 Sistemas de Control en Tiempo Discreto .03/06/2013 Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital El valor crítico de la ganancia K es 4.6043 y z 2 0. Sus valores correspondientes de ganancia son K=0.05185 j 0. 13 .1353) Con polos en z=1. Los polos de lazo cerrado para K=2 son: z1 0. es: 0.1353 y cero e z=0 El punto de ruptura de salida y el punto de ruptura de entrada son z=0.4622 y K=2.Katsuhiko Ogata Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital EJERCICIO2: La ecuación obtenida para un periodo de muestreo de 2 seg.3678 respectivamente. 0.328.164 respectivamente. Para sistemas sobreamortiguados prueba de ocho a diez veces durante el tiempo de levantamiento de la respuesta escalón.626. 14 .Katsuhiko Ogata Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital Conclusión: los efectos de un periodo de muestreo grande pueden ser dañinos para la estabilidad relativa del sistema .03/06/2013 Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital El valor crítico de la ganancia K es 2. Los polos de lazo cerrado para K=2 son: z1 0.2169 y z 2 0.2971 j 0. Una regla práctica es muestrear la señal de ocho a diez veces durante un ciclo de oscilaciones senoidales amortiguadas de la salida de un sistema subamortiguados.2971 j 0.2169 Sistemas de Control en Tiempo Discreto . Sabiendo que s n jn 1 2 Al igual que z=esT entonces 2 T n jn ze 1 15 . Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital El factor de amortiguamiento relativo de un polo en lazo cerrado se puede determinar de forma analítica a partir de la localización del polo en lazo cerrado en el plano z. al reducir el periodo de muestreo permite que el valor crítico de la ganancia K respecto a la estabilidad sea mayor. Esto hace que el sistema se comporte mas como un sistema continuo.03/06/2013 Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital Conclusión: De manera alternativa. 4098+j0.7788 z e nT 0. Por lo tanto z resolviendo 2 n d 0.0167rad 0. Por ejemplo en el caso del periodo de muestreo igual 0. tenemos un polo en lazo cerrado para K=2 y z=0.7788 Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital Con lo cual nT 0.0167 16 .66232 0.4098 Dividiendo ambos resultados Tn T n 1 2 0.5seg.25 1.6623.40982 0.25 También se halla z T n 1 2 tan 1 0.6623 1.03/06/2013 Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital De lo cual obtenemos z e nT y z T 1 T rad A partir de estas ecuaciones se puede hallar los parámetros de respuesta de “z”. 6065) 0.3935Kz R( z ) 1 G( z ) ( z 1)( z 0.3935 2 z 0.2459 Con lo que nos queda 0.6065) 0.6065 z 1 z C ( z) 1 1 2 1 17 .2388 Cabe anotar que esta valor se puede también obtener de forma gráfica Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital La respuesta al escalón de la función de transferencia de lazo cerrado del diagrama de bloques del ejemplo es C ( z) G( z ) 0.3935Kz Usando un valor de Periodo igual a 0.5 seg y una ganancia de K=2 se obtiene una respuesta para una entrada escalón unitario 0.3935 2 z R( z ) ( z 1)( z 0.03/06/2013 Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital Es decir 1 2 0.7870 z 1 1 0.8195 z 0. 6065]) hold on stem(step(M)) grid 0..787 0].5 G=zpk([0].5 Amplitude 1 dstep([0 .03/06/2013 Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital Se obtiene un ángulo de 0.6065].5 0 0 5 10 15 kT Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital Step Response 1.5 1 c(kT) T=0.[1.6623 z tan 1 1.25° =6.0:T:15)) grid 0.25 0. step(M.[.1) step(M.4098 Para completar un ciclo se halla 360°/58.5 0 0 5 10 15 20 25 Time (sec) 18 .16 muestras por ciclo de oscilación amortiguada Con la cual se obtiene la secuencia c(kT) 1.T) M= feedback (G.0:T:15) figure stem(0:T:15.0167rad 58.393 5*2].[1 -.8195 . step(M.2 T=1.2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 kT En Simulink • Comparación Función de Transferencia Continua y con función de transferencia ya discretizada.8 1.4 c(kT) 1.[1 -1]. Gps=tf([1] .4 360°/85.3935z y2 (z-1)(z-0.T) G=series(Gpz.10°=4.6 360°/143.'zoh') Gdz=tf([2 0].T.4 0.8 0.8 0.1) step(M.03/06/2013 Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital Para periodos de muestreo de 1 y 2 seg las gráficas son: 1.0:T:15) figure stem(0:T:15.23 muestras por ciclo 1.87°=2.6 0.6065) Gain1 Discrete Zero-Pole To Workspace2 First-Order Hold 19 .5 muestras por ciclo 1.2 1 0. [1 1]).2 0 0 5 10 15 kT 1.4 0.0:T:15)) grid 1 c(kT) 0. K Gain z 1 (z-1) s+1 Discrete Zero-Pole1 Zero-Order Hold Transfer Fcn y1 To Workspace1 Step Scope K . Gpz=c2d(Gps.6 0.Gdz) M= feedback (G. Comportamiento Estático Ahora analizando el efecto del periodo de muestreo sobre la exactitud en estado permanente. Sin embargo si no se utiliza un periodo de muestreo considerablemente pequeño la función kT no presentará una solución precisa.03/06/2013 Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital De las gráficas se sabe que para un periodo de muestreo pequeño la secuencia c(kT) en función de kT dará una imagen precisa de c(t).6065) 20 . Por ejemplo para T=0. La función de transferencia de lazo abierto es G( z ) 0. Una regla práctica es de ocho a diez muestras por ciclo de oscilación amortiguado. Es importante seleccionar un periodo de muestreo adecuado basado en el teorema del muestreo y la dinámica del sistema. si el sistema es subamortiguado y presenta oscilaciones en la respuesta.5 seg la ganancia K=2.787 z ( z 1)( z 0. 787 z K v lim z 1 T 0. para T=0.03/06/2013 Comportamiento Estático Con lo cual la constante de error estática de la velocidad Kv es (1 z 1 )G ( z ) ( z 1)0.5 z ( z 1)( z 0.6065) Kv 4 Y su error en estado estable en repuesta a una entrada rampa unitaria es e 1 1 0.5 seg Sistemas de Control en Tiempo Discreto .25 ss Kv 4 Comportamiento Estático Secuencia de la respuesta del sistema a una entrada rampa unitaria.Katsuhiko Ogata 21 . 5 z ( z 1)( z 0.03/06/2013 Comportamiento Estático Para un periodo de T=1 seg se obtiene de la misma manera la constante de error estable de la velocidad Kv y error en estado estable en repuesta a una entrada rampa unitaria (1 z 1 )G ( z ) ( z 1)0.5 Kv 2 Comportamiento Estático Y por último para un periodo de T=2seg se obtiene de igual forma la constante de error estable de la velocidad Kv y error en estado estable en repuesta a una entrada rampa unitaria.6065) Kv 1 ess 1 22 . K v lim z 1 (1 z 1 )G ( z ) ( z 1)0.6065) Kv 2 Y su error en estado estable en repuesta a una entrada rampa unitaria es 1 1 ess 0.8647 z T 0. respectivamente.5 z ( z 1)( z 0.6321z K v lim z 1 T 0. entonces predecir la estabilidad relativa resultaría erróneo a partir del factor de amortiguamiento 23 .03/06/2013 Comportamiento Estático Y para T=1 seg y T= 2 seg respectivamente Sistemas de Control en Tiempo Discreto . la ve Es importante recordar que el factor de amortiguamiento relativo de ζ de los polos en lazo cerrado del sistema de control Digital indica la estabilidad relativa solo si el periodo de muestreo es lo suficientemente alto. Si no lo es.Katsuhiko Ogata Comportamiento Estático Conclusión: en los tres casos se observa que al aumentar el periodo de muestreo estabilidad relativa del sistema se afectada de forma adversa. como son los casos anteriores. la respuesta transitoria depende de la posición de los polos y los ceros de la función de transferencia en lazo cerrado y del periodo de muestreo T. • El sobreimpulso máximo Mp. En general. y son: • El tiempo de retardo td. Relación entre las especificaciones y el lugar de raíces • Recordando Mp e tp 1 2 e p e e j p tp e ts tr p 1 1 Si se posee un sistema con dos polos complejo conjugados el sistema se puede expresar como: G( z ) z 2e 2 K cos z e 2 24 . • El tiempo de asentamiento o asentamiento ts. • El tiempo de pico tp. • El tiempo de subida tr. las características de desempeño estarán especificadas como la respuesta a una entrada escalón. Los parámetros utilizados son los mismos que se utilizaban para caracterizar la respuesta en régimen transitorio de un sistema continuo.03/06/2013 Relación entre las especificaciones y el lugar de raíces • Como ya se ha explicado. Ts En la figura 2 se muestra su contraparte zen eZ. la posición de los polos de un sistema determinan las características de su respuesta en transitoria. tiempo de asentamiento o frecuencia natural no amortiguada. se analiza la forma en como se transforman las regiones correspondientes del plano s Relación entre Polos y Respuesta Transitoria • Especificaciones del tiempo de asentamiento ts: para garantizar un tiempo de asentamiento menor a cierto valor en un sistema continuo.03/06/2013 Relación entre Polos y Respuesta Transitoria Al igual que en el caso continuo. obtenida mediante la transformación Figura 1 Figura 2 Sistemas de Control en Tiempo Discreto . Para hallar regiones en el plano z que garanticen valores de sobreimpulso. los polos deben estar en la región sombreada de la derecha de la figura 1.Katsuhiko Ogata 25 . esto implica que los polos en un sistema de tiempo continuo están a una distancia del origen.wo: cuando se quiere garantizar que la frecuencia se menor a cierta cantidad. deben estar en la zona sombreada de la figura 1.03/06/2013 Relación entre Polos y Respuesta Transitoria • Especificaciones del Sobreimpulso .Katsuhiko Ogata 26 . Figura 1 Figura 2 Sistemas de Control en Tiempo Discreto . En la figura 2 se observa su contraparte en Z.Katsuhiko Ogata Relación entre Polos y Respuesta Transitoria • Especificaciones de la Frecuencia natural no amortiguada .SP: para garantizar un sobre pico pequeño (SP<5%) los polos del sistema continuo. con el fin de garantizar un tiempo de subida dado como en la figura 1. se observa además su contraparte en Z. Figura 1 Figura 2 Sistemas de Control en Tiempo Discreto . en los sistemas continuos. Su tarea es reducir el ruido de alta frecuencia en la señal continua para prevenir el aliasing. por efecto del aliasing puede convertirse en ruido de baja frecuencia y dar respuestas significativas. poder usar ordenadores más lentos o poder aplicar leyes de control más complicadas: en pocas palabras. los prefiltros. como son los convertidores A/D y D/ A. En cambio en los sistemas digitales dicho ruido. Por eso hay que elegir la frecuencia de muestreo menor posible. El prefiltro analógico se suele situar entre el sensor y el convertidor A/D. no da respuestas apreciables. el costo por función baja. etc. • Elección de la frecuencia de muestreo: Es el compromiso de dos factores principalmente: el costo y la eficacia de control. Bajar la frecuencia significa dejar más tiempo para los cálculos de control. estando fuera del alcance del ancho de banda del sistema.03/06/2013 Limitaciones • Características Hardware: El control digital incluye muchos componentes que no se encuentran en los sistemas de control continuos. Limitaciones • El ordenador: Es el aparato que hace todos los cálculos y aplica la ley de control. el ruido de alta frecuencia. Su coste depende de la frecuencia de trabajo y del tamaño de las palabras de bits usadas. En efecto. 27 . PI y PID • Existen varios métodos de aproximación para lograr la discretización de un PID continuo. El más general consiste en aproximar la integral por el integral del trapecio y la derivada por el método de diferencia hacia atrás: t 1 de(t ) mt K e(t ) e(t )dt Td Ti 0 dt Forma Posicional del PID 1T k eiT ei 1T Td eiT ei 1T mkT K ekT Ti 2 i 1 T Al ecuación anterior se puede solucionando se obtiene escribir también así: T 1 z 1 Td T T 1 T 1 M ( z ) K 1 (1 z ) E ( z ) M ( z ) K 1 d (1 z 1 ) E ( z ) 1 1 T T 2Ti 1 z 2Ti Ti 1 z Integral trapecio Derivada hacia atrás Aproximación Discreta de los Modos de Control P. PI y PID • Si ahora definimos las constantes como T K p K 1 2Ti KI KT Ti KD KTD T Reemplazando se obtiene M ( z) KI z z 1 Kp K D (1 z 1 ) K p K I KD 1 E( z) 1 z z 1 z • Si seguimos solucionando la ecuación GPID ( z ) 2 2 2 2 M ( z ) K p ( z z ) K I z K D ( z 2 z 1) z ( K p K I K D ) ( K p 2K D ) z K D E( z) z ( z 1) z ( z 1) 28 .03/06/2013 Aproximación Discreta de los Modos de Control P. PI y PID Otro método usual es por aproximación de Operadores t 1 de(t ) mt K e(t ) e( )d Td Ti 0 dt aplicando transformada de Laplace 1 M ( s) K E ( s) E ( s ) Td sE ( s ) T s i si s 1Tz 1 (operador derivada) 1 s 1Tz 1 (operador integral) solucionan do se obtiene en transformada Z T 1 T M ( z ) K 1 d (1 z 1 ) E ( z ) 1 T Ti 1 z 29 .03/06/2013 Aproximación Discreta de los Modos de Control P. cuya ventaja principal es que elimina el problema del integral windup. Aproximación Discreta de los Modos de Control P. El problema principal es que sólo el término de control integral incluye la entrada R(z). PI y PID • Si ahora definimos las constantes como T T q0 K p K I K D K 1 d 2Ti T q1 ( K p 2 K D ) K 1 2TTi 2Td T y q2 K D K Td T q0 z 2 q1 z q2 GPID ( z ) z ( z 1) mkT mk 1T q0ekT q1ek 1T q2ek 2T que se conoce como forma de velocidad del PID. por lo que este último no se puede excluir del controlador digital si éste se utiliza en su forma de velocidad. Se mide el periodo de la oscilación y se anota como (Tu). PI Y PID: Método de Ganancia Límite • Se procede: 1. se anota como (Ku). 30 . PI y PID • Continuando T 1 T M ( z) K 1 d (1 z 1 ) 1 E( z) T Ti 1 z T T T K 1 d K 1 2 d T T T M ( z) i 1 E( z) 1 z T 2 1 z K d z T M ( z ) q0 q1 z 1 q2 z 2 E( z) 1 z 1 Dicha expresión tiene la misma forma que la calcula anteriormente en la que varían q .03/06/2013 Aproximación Discreta de los Modos de Control P. 0 2 AJUSTE DE CONTROLADORES P. 3. Eliminar las acciones integral y derivativa del controlador 2. q1. Estas diferencias son pequeñas si: T<< Td<<Ti en la primera representación. q . Colocar una ganancia pequeña. y empezar a aumentarla hasta que el sistema oscile. 5KU - - PI 0.45KU 0. Método de la Curva de Reacción • Este método fue propuesto por Ziegler y Nichols.5TU 0. teniendo en cuenta que: ∝=∝ ´ + 𝑻 𝟐 Donde T es el periodo de muestreo 31 . en donde se aproxima la función de lazo abierto de la planta a una función de primer orden de esta forma 𝑲 𝒆−∝´𝒔 𝒄 𝑮𝒑 𝒔 = 𝝉𝒔+𝟏 donde Kc es la ganancia. τ la constante de tiempo y el α retardo.03/06/2013 Método Ganancia Límite Controlador K Ti Td P 0. • Los parámetros del controlador se estiman a partir de una tabla.6KU C(t) Tu t Una vez calculados K. Ti y Td se puede obtener el algoritmo de control requerido utilizando las ecuaciones de discretización de Controladores PID. Usando este método se obtiene un sistema de lazo cerrado con coeficiente de amortiguamiento bajo.83TU - 0.125TU PID 0. 917 𝑏 = −0. Ajustes del Controlador P Control P 𝐾= 𝑎 𝛼 𝐾 𝜏 𝑏 ICE IAE IAET 𝑎 = 1. 𝟐𝝉 𝑲𝒄𝜶 2α 0.03/06/2013 Método de la Curva de Reacción Controlador K Ti Td P 𝝉 𝑲𝒄𝜶 - - PI 𝟎.985 𝑏 = −1. todos basados en la ecuación de primer orden de Ziegler y Nichols. 𝟗𝝉 𝑲𝒄𝜶 3.902 𝑎 = 0.084 ICE: Integral de Cuadrado del error IAE: Integral del Valor Absoluto del error IAET: Integral del Valor Absoluto del error por tiempo 32 .5α Línea tangente C(t) K α t τ • El método de Ziegler y Nichols es aplicable sí 0.33α - PID 𝟏.411 𝑎 = 0.94 𝑏 = −0.1<α´/τ<1 Ajustes Mediante Criterios de error Mínimo • Este método parte con la exigencia de que el error debe ser mínimo. • A continuación se presentan algunos índices de desempeño basados en integrales del error y utilizados ampliamente en el diseño de sistemas de control. 947 𝑎 = 1. Esto se consigue eligiendo el máximo valor de K que sitúa las raíces en el lugar de las especificaciones. lleve al mínimo error en régimen permanente.945 𝑏 = −0.492 𝑎 = 0.680 Ajustes del Controlador PID Control PID 𝐾= 𝑇𝑖 = 𝑎 𝛼 𝐾 𝜏 𝑏 𝜏 𝛼 𝑎 𝜏 𝑏 𝑇𝑑 = 𝑎𝛼 𝛼 𝜏 𝑏 ICE IAE IAET 𝑎 = 1.707 𝑏 = 0. A partir de las especificaciones dinámicas se pueden acotar las regiones del plano z en las que deben estar situados los polos dominantes para cumplir las especificaciones.739 𝑏 = 0.986 𝑏 = −0.749 𝑏 = 0. cumpliendo las especificaciones.738 𝑎 = 0.977 𝑎 = 0. • Representar el lugar de raíces con el objetivo de comprobar si es posible situar las raíces en la región acotada de las especificaciones usando sólo una acción proporcional (regulador tipo P).305 𝑎 = 0.771 𝑏 = 0.921 𝑏 = −0.674 𝑏 = 0.006 𝑏 = 1.878 𝑎 = 0. 33 .482 𝑎 = 0. los pasos a seguir son: • Fijar la posición de los polos dominantes del sistema final.608 𝑎 = 0.560 𝑎 = 0.995 DISEÑO DE CONTROLADORES: Controladores P Un regulador proporcional permite seleccionar la posición de los polos en bucle cerrado del sistema al desplazarse éstos por las ramas del lugar de raíces.357 𝑏 = −0.435 𝑎 = 1.03/06/2013 Ajustes Mediante Criterios de error Mínimo Ajustes del Controlador PI Control PI 𝐾= 𝑎 𝛼 𝐾 𝜏 𝑏 𝜏 𝛼 𝑎 𝜏 𝑏 𝑇𝑖 = ICE IAE IAET 𝑎 = 1.842 𝑏 = 0.959 𝑏 = −0.381 𝑏 = 1.984 𝑎 = 0.137 𝑏 = 0.495 𝑎 = 1.859 𝑏 = −0. • En principio debe elegirse el valor de K que.101 𝑎 = 0. Para su diseño. 03/06/2013 Controladores PD • La función de transferencia del controlador PD es: donde G z K z cd z cd Td 1 T Td De esta expresión se puede deducir que el regulador PD introduce un polo en el origen y un cero en cd que está situado entre el origen y el punto (1. excluyendo la parte integral Reemplazando se obtiene z 1 K P z zK D K D z z z K PKDK D z K P K D K D G ( z ) PD K P K D z z • Nota: El propósito de un compensador PD es mejorar la respuesta transitoria al mismo tiempo que mantiene la estabilidad deseada G ( z ) PD K P K D 34 . Una vez calculada la ganancia hay que comprobar que los polos dominantes del sistema cumplen las especificaciones. Controladores PD • Matemáticamente también se puede obtener el PD a partir dela forma posicional del PID. Una vez fijada ésta. Para obtener la posición del cero se utiliza generalmente el criterio del ángulo. se puede determinar la ganancia mediante el criterio del módulo. 0). excluyendo la parte derivativa Reemplazando se obtiene z K z K P zK I P z 1 z 1 z K PKIK I z K P K I K I K P K I z 1 z 1 G ( z ) PI K P K I G ( z ) PI • Nota: El propósito de un compensador PI es mejorar la exactitud de estado permanente del sistema sin degradar la estabilidad. 35 . al encontrarse el par polo-cero muy cercanos entre sí hace que la forma del lugar de raíces del sistema original sin regulador no varía demasiado. Además. Controladores PI • De igual forma se puede obtener el controlador PI a partir dela forma posicional del PID. con lo que se mejora el comportamiento en régimen permanente.03/06/2013 Controladores PI • El efecto que produce el controlador PI es la introducción en la función de transferencia en bucle abierto de un polo en z = 1 y un cero que en condiciones normales (Ti grande) estará próximo a ese polo. ya que en el caso de la aproximación trapezoidal su posición vendrá dada por: y función de transferencia ci 2Ti T 2Ti T Gz K z ci z 1 Al introducir un polo en z = 1 aumenta el tipo del sistema en una unidad. 48 0.323 36 .21e j 23.2 e 0.9 calcular el regulador Gc(z) más sencillo que cumpla las siguientes especificaciones: • Mp ≤ 20% • ts ≥ 14 muestras • ep ≤ 22% p Ejemplo: diseño de un regulador discreto con LGR • Solución: El primer paso es establecer la región de validez de las especificaciones.21 23.48º Mp e 0.2 Con este resultado se puede obtener el polo dominante del sistema p1.71z 0.7435 j 0. A partir de las ecuaciones vistas con anterioridad: t s 15 0.03/06/2013 Ejemplo: diseño de un regulador discreto con LGR Para un sistema cuya G ( z) z 0. 8 -0.6 0.4 0.323 c 0.6 -0. El siguiente paso es probar con un controlador PD.2 Imaginary Axis Podemos comprobar que no nos vale con un controlador P.7 ) 82.900.6º sabiendo que a1 180 tan 1 ( 0.38 c y.4 -0.6 -0.6 37 .85 0.32 a3 tan 1 ( 00.7435) 115.7435 0.8 0.7435 ) 23.8 -1 -1 -0.329 .32 a 2 tan 1 ( 0.32 .2 0.8 1 Real Axis Ejemplo: diseño de un regulador discreto con LGR • Para calcular la posición del cero se hace uso del criterio del ángulo. el cero estará en 0.2 -0.7435 0.4 0.4 -0.6 0.2 0 0. por tanto.38 tan 41. 0 -0.03/06/2013 Ejemplo: diseño de un regulador discreto con LGR • Graficando el LGR de Gp(z) encontramos: Root Locus 1 0. De esta forma a1 a 2 a3 b 1802n 1 b 41. 03/06/2013 Ejemplo: diseño de un regulador discreto con LGR El nuevo valor de la ganancia se puede calcular mediante el método del lugar de raíces. K ( z 0.7)( z 0. y que la ganancia proporcional asociada será .9) z 0. mediante la herramienta sisotool.1281 Ejemplo: diseño de un regulador discreto con LGR Gráfica usando sisotool y encontrando el valor de la ganancia K 38 . o mediante el criterio de Magnitud.38) 1 z ( z 0.5.1281 + 0.7435 j 0.197 .323 K 1 1 0. En la siguiente figura se ve que el nuevo lugar de raíces sí pasa por los puntos establecidos mediante las especificaciones.0035j 5. 03/06/2013 Ejemplo: diseño de un regulador discreto con LGR • De esta forma, nos vale con el regulador PD cuya función de transferencia en el dominio digital vendrá dada por: Rz 0.197 z 0.38 z • La última condición a comprobar tiene que ver con el error en estado permanente. Para comprobar si se cumple utilizamos el teorema del valor final: K p lim Rz Gz 4.071 e p z 1 1 19.71% 22% 1 4.071 Ejemplo: diseño de un regulador discreto con LGR • Vemos que, efectivamente, el sistema propuesto cumple con todas las especificaciones impuestas. Su respuesta a una entrada escalón se muestra en la siguiente figura: 39 03/06/2013 En Simulink • Modelo montado en Simulink t Clock To Workspace Scope1 k Step (z-0.38) 1 z (z-.7)(z-0.9) Discrete Zero-Pole2 Discrete Zero-Pole1 Gain1 y2 To Workspace2 BIBLIOGRAFÍA • OGATA, Katsuhiko. Sistemas De Control En Tiempo Discreto. Segunda Edición. • DORSEY, John. Sistemas de Control Continuo y Discreto • BIBLIOGRAFÍA WEB • ASTRÖM, Kral J- Computer Controlled Systems. Tercera Edición • PARASKEVOPOLUS,P. Modern Control Engineering. Primera Edición. • CHEN, Chi-Tsong. Analog And Digital Control System Design. Tercera Edición • SMITH C., CORRIPIO A., Control Automático de Procesos. Primera Edición • DORF R., BISHOP R., Sistemas de Control Moderno. Décima Edición. 40 03/06/2013 DISEÑO DIRECTO: BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA CAPÍTULO 2 DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA TRANSFORMACIÓN BILINEAL Y EL PLANO w En vista que la transformada Z transforma las franjas primarias y complementarias en el semiplano izquierdo del plano s al circulo unitario del plano z, los métodos convencionales de la respuesta en frecuencia, que se ocupan de la totalidad del semiplano izquierdo del plano, no se aplican en el plano Z. Para resolver este problema es conveniente transformar la función de transferencia pulso en el plano Z en la correspondiente en el plano w. 41 03/06/2013 DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA Una transformada comúnmente llamada transformada w es decir una de las transformadas bilineales T 1 w tiene la forma. la franja primaria del semiplano izquierdo del plano s es primero transformada al interior del círculo unitario en el plano Z y luego transformada a la totalidad del semiplano izquierdo w. 2 z 1 T w 2 Donde T es el periodo de muestreo involucrado en el sistema de control en tiempo discreto Su relación inversa sería w 2 z 1 T z 1 DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA Mediante la transformada Z y la transformada w.Katsuhiko Ogata 42 . Sistemas de Control en Tiempo Discreto . 05w 2 43 .1seg.6321 z 0. se obtiene 1 w z 1 0.03/06/2013 DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA EJEMPLO: considere la función de transferencia del sistema de la figura. Sistemas de Control en Tiempo Discreto .05w 2 T 1 w 1 0.Katsuhiko Ogata DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA SOLUCIÓN: la transformada z de G(s) 1 e Ts 10 es G( z) Z s s 10 10 (1 z 1 ) Z s s 10 0. Obtenga G(w).3679 Mediante la transformación bilineal T de w. El periodo T se considera igual a 0. 241 Observe que la localización del polo en la planta es s=-10 y que el polo en el plano w es en w=-9. Sin embargo G(w) tiene un cero w=20.6321(1 0.241 w 9. a pesar de que la planta no tiene ningún cero.6321 0. DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA Para este ejemplo en particular se puede observar que lim G(w) lim G(s) w0 s 0 Este hecho se puede considerar para verificar cálculos numéricos de G(s) en G(w) 44 .03/06/2013 DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA Entonces G(z) es transformada como G(w) 0.3679 0.05w) como: G ( w) 1 0.46205w 9.05w 0.241 0.241. el valor de la ganancia en el plano s es 10 y en el plano w es 9.6321 0.241 w 9.0684 w 1 0.05w 1 0.241.05w 9. se puede diseñar el controlador digital Gc(w) en la plano w. Una es la transformación de G(z) a G(w) con la transformación bilineal definida por T 1 w donde T es el periodo de muestreo 2 empleado en sistema de control discreto. z 1 T w 2 Una vez que se tenga la función de transferencia de la planta G(w).03/06/2013 DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIATRANSFORMADA w MATLAB Observe que el diseño de controladores digitales basado método de diagrama de Bode utiliza dos transformaciones bilineales diferentes. DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIATRANSFORMADA w MATLAB La otra transformada usada en el proceso de diseño es transformar Gc(w) en Gc(z). La transformación del plano w en el plano z se efectúa de la siguiente forma w 2 z 1 z 1 2 fs T z 1 z 1 MATLAB utilizando el comando bilinear transforma G(w) en G(z) tal que: G( z ) G( w) | z 1 w 2 f s ( z 1) Pero no transforma G(z) en G(w) 45 . 6321 z 0.03/06/2013 DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIATRANSFORMADA w MATLAB Para este caso hay que hacer una ligera modificación para lograr la transformación.3679]. num=[0 0.05w) Es similar a la transformación de G(w) a G(z) 1.05w 1 (1 0. Continuando con el ejemplo anterior se tiene: 0. G ( z ) 0.05w 1 w 2 1 Haciendo el cambio de variable anterior para definir a x como-0.05w 1 (1 0.6321 y la transformación de z y G( z ) w esta dada por: z 0.05w) (1 0. Ahora en Matlab sustituir el valor de z por –z en G(z). den=[-1 -0.05w) z (1 0.3679 Donde T=0. Como la instrucción bilinear usa: T w 1 0.3679 46 .05w y tomando a fs =0.05w 2 z T 1 0.6321].1 seg.5.05w) obtiene z 0. w 2 fs Se z 1 x 1 2 fs z 1 x 1 DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIATRANSFORMADA w MATLAB 0. 03/06/2013 DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIATRANSFORMADA w MATLAB 2. Sustituir x=-0.023104759119819 denw = -0.4621 denx x 0.fs) [numx. %numerador de w =[-0.4621 G ( x) numx 4.denx]=bilinear(num.050000000000000 - 1] -0.4621 DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIATRANSFORMADA w MATLAB 3. Seguido se utiliza el comando bilinear %[numx.4621] numw =[-0.4621 denx = 1.5) numx = -0.0000 -0.05w ) 0.4621] denw =[1.462095182396374 -0.05w en el numerador y en el denominador.621x 0.den.0000 -0.05 1] %denominador de w =[1.05w ) 0.4621].05 numw = 0.0.4621 -0.462095182396374 47 .den.denx]=bilinear(num.*[-0.4621].0000 (-0.4621 -0.4621(-0.*[-0. denx]=bilinear(num.4621 9.2419 denw = 0.4621].4621 -0.2419 G( w) w 9.462095 0.4621].*[-0.4621w 9.3679].05w 0.0000 -0.den. numw =[-0. [numx. den=[-1 -0.462095 Aunque esta expresión es correcta.03/06/2013 DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIATRANSFORMADA w MATLAB La expresión que se obtiene es: G ( w) 0.023105w 0.0.6321].05 1] denw =[1. Se debe multiplicar el numerador y denominador por -20 para obtener: numw =[numw]*(-20).*[-0.05 1] numw=[numw]*-20 denw=[denw]*-20 48 . es conveniente que le coeficiente del término de mayor grado w del denominador sea uno.5).2419 1 9.denw =[denw ]*(-20) numw = -0.2419 DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIATRANSFORMADA w MATLAB Con lo cual resulta el siguiente script en Matlab % TRANSFORMAR G(z) EN G(w) num= [0 0. con un T=0.01752 z 2 1. num=[1]. la función de transferencia. usando la transformación bilineal con un T=0. GZ=c2d(tf(num.0.den).2 seg.8187 49 .01873z 0.2.03/06/2013 DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIATRANSFORMADA w MATLAB • EJERCICIO: transformar en G(w).2 seg. den=[1 1 0].8187 z 0. G( s) 1 s( s 1) DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIATRANSFORMADA w MATLAB • SOLUCIÓN: se obtiene primero la transformada en z para G(s).'zoh') G( z ) 0. usando ZOH. 1 1]*100 denw=[denx]. [numx.819 T w 1 0.1w 2 z T 1 0.1)^2 -0.9966].*[(-0.01752].09633w 0.denz. -50 bode(numw.denw.'r'.9966 G( w) w2 0. 0 denw=[1 0.1)^2 -0.3.dens=[1 1 0].0. %multiplicar ahora por los factores de [(0.w) -150 -90 TF s TF w Phase (deg) -135 -180 -225 -270 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 Frequency (rad/sec) 50 .09633 0.000333 -0.03/06/2013 DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIATRANSFORMADA w MATLAB Continuando y sustituyendo z por -z: numz=[0 -0.8187].9966w DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIATRANSFORMADA w MATLAB Diferencia del diagrama de bode en el plano “s” y el plano “w” Bode Diagram 50 Magnitude (dB) nums=[0 0 1].9969 0].1)^2 -0. w=logspace(-1.denx]=bilinear(numz.w) hold -100 bode(tf(nums. 0.01873 denz=[1 1.5).1 1] de la sustitución de x=0.1w 1 w 2 1 0.1w y por 100 para que el coeficiente de la potencia mas elevado sea uno numw=[numx].1 1]*100 Se obtiene: 0.dens).000333w2 0.*[(-0.1000). numw=[-0. 03/06/2013 DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIATRANSFORMADA w MATLAB Las Curvas de Magnitud son aproximadas en el rango de frecuencias 0<w<6rad/seg. Las curvas de fase son las mismas para el rango de frecuencias 0<w<0.2<w<104rad/seg. Por ejemplo.05w ejercicio G ( w) 9. DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA Es importante notar que puede existir alguna diferencia en las magnitudes de alta frecuencia para G(j) y G(jv). la contribución del ángulo del cero en el semiplano derecho w es negativa (retardo de fase).241 w 9.4621 jv 9. aparece una diferencia significativa.241 1 0 j 10 51 .241 v v lim G ( j ) lim 10 de G(jv) y de 1 0. si tenemos G(w) como el anterior 1 0.241 La magnitud de alta frecuencia G(jω)se halla como: lim G ( jv ) lim 9. parte derecha del plano complejo w). Para el rango de frecuencias 0.05 jv 0.2rad/seg. debido a que uno es un sistema de fase mínima y el otro es de fase no mínima (TF w tiene un cero en 10. Mediante el uso del diagrama de bode se puede diseñar un compensador digital o un controlador digital a través de los métodos convencionales. En estas condiciones la respuesta del sistema lineal en invariante en el tiempo a una entrada sinusoidal preserva la frecuencia y modifica solo la amplitud y la fase de la señal de entrada.03/06/2013 DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA • Algunos comentarios sobre la relación con tests de respuesta en frecuencia en los sistemas de tiempo discreto: al efectuar los tets de respuesta en frecuencia sobre sistema de tiempo discreto. Así la amplitud y la fase son las dos únicas cantidades que se deben tratar. 52 . es importante que el sistema tenga un filtro pasa bajas antes del muestreador de forma que se filtren las bandas laterales. Recuerde que el diagrama de bode utiliza dos gráficas por separado la magnitud logarítmica de |G(jv)| en función del logaritmo de v y el ángulo de fase de G(jv) de la función del logaritmo de v. DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA DIAGRAMA DE BODE: Los métodos convencionales de respuesta en frecuencia se aplican a las funciones de transferencia en el plano w. 3. margen de ganancia. En el diagrama de BODE la asíntota de baja frecuencia de la curva de magnitud indica una de las constantes de error estático Kp. DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA TÉCNICAS DE COMPENSACIÓN: Compensación de adelanto: este se usa para mejorar los márgenes de estabilidad (aumenta el ancho banda es decir.03/06/2013 DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA VENTAJAS DEL DISEÑO DEL DIAGRAMA DE BODE 1. Sin embargo un sistema con esta compensación tiene problemas de ruido de alta frecuencia. Se pueden traducir las especificaciones de la respuesta en frecuencia en términos del margen de fase. 2. aumenta la velocidad de respuesta). 53 . puede llevarse a cabo de forma sencilla siguiendo los pasos que se haría de forma continua. Atenúa cualquier ruido de alta frecuencia. Ka. ancho de banda. Compensación en atraso: reduce la ganancia del sistema en frecuencias mas altas (ancho de banda reducido con lo que disminuye la velocidad de respuesta. El diseño de un compensador digital (o controlador digital). etc. para satisfacer la condiciones dadas (margen de fase y margen de ganancia). pero mejora la precisión en estado permanente). Kv. Katsuhiko Ogata DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA Compensador atraso-adelanto: con un compensador de estos se puede incrementar la ganancia en baja frecuencia (mejora la precisión en estado permanente). 54 . Gc ( w) K z z0 z zp z p z0 Controlador en Adelanto Gc ( w) K z z0 z zp z0 z p Controlador en Atraso Sistemas de Control en Tiempo Discreto . al mismo tiempo aumenta el ancho de franja y los márgenes de estabilidad. Observe que el controlador PID es un caso especial de un compensador atrasoadelanto.03/06/2013 DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA • Forma habitual del controlador adelanto y atraso. El controlador PD se comporta de una manera similar al compensador de adelanto. El controlador PI se comporta de una manera similar al compensador de atraso. errores ante una perturbación específica. Sistemas de Control en Tiempo Discreto . Para calcularlas se necesita saber el tipo del sistema y la ganancia estática. Esta información se encuentra en la parte de baja frecuencia del diagrama de bode. en concreto el control PD (Adelanto con zp = 0).Katsuhiko Ogata ESPECIFICACIONES EN FRECUENCIA 1. zp2 = -1). para el caso de discretización Euler hacia atrás.ESPECIFICACIONES ESTÁTICAS: Son las mismas que en el diseño temporal (con lugar de las raíces). el control PI (Atraso con zp = 1) y el control PID (Atraso-Adelanto con zp1 = 0 . es decir. 55 .03/06/2013 DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA • Y para el controlador atraso-adelanto Gc ( w) K z z01 z z02 z z p1 z z p 2 Adelanto Atraso • Los esquemas anteriores cubren a los controladores PID. ESPECIFICACIONES EN FRECUENCIA • Frecuencia de cruce de ganancia. El tiempo que toma al sistema de lazo cerrado en alcanzar el 63% de su valor final en respuesta a una entrada escalón es aproximadamente igual wc. Se puede decir que si el ancho de banda del sistema en lazo cerrado es mayor que el máximo contenido en frecuencias de la señal de referencia. Es la frecuencia en la que la magnitud en bucle cerrado ha bajado 3 dB respecto del valor a bajas frecuencias (que es siempre cercano a 0 db). ESPECIFICACIONES DINÁMICAS: • Ancho de banda en lazo cerrado.03/06/2013 ESPECIFICACIONES EN FRECUENCIA 2. Esto significa que el sistema puede seguir con poco error una señal de referencia que varíe rápidamente. y está relacionada con el tiempo de establecimiento en lazo cerrado. Está relacionada con la velocidad de respuesta: a mayor ancho de banda. No es una especificación de respuesta. por lo que puede ser muy útil para el diseño de controladores. pero se utiliza de forma explícita en el diseño. mayor rapidez de respuesta. ésta puede ser seguida por el sistema con poco error. Es la frecuencia en la que en lazo abierto la magnitud es 1 (0 db). En esta frecuencia es donde se mide el margen de fase. 56 . • Pico de resonancia. ya que a menor margen de fase. mayor pico de resonancia y viceversa. Define también la estabilidad relativa RELACIÓN ENTRE EL TIEMPO Y LA FRECUENCIA Y(0)=1 |Y(jw)| Sistemas de Control en Tiempo Discreto . Está relacionado con la sobreoscilación. Es la frecuencia a la que la magnitud es máxima. Da la misma información que el ancho de banda (rapidez de respuesta).Katsuhiko Ogata 57 . • Margen de ganancia. menor amortiguamiento.03/06/2013 ESPECIFICACIONES EN FRECUENCIA • Margen de fase. Está relacionada también con la sobreoscilación. Define la estabilidad relativa del sistema en lazo cerrado. y mayor sobreoscilación. • Frecuencia de resonancia. Es el valor del máximo de la magnitud. aunque se mide en el diagrama de lazo abierto. Cuanta más sobreoscilación. Obtenga G(z).03/06/2013 Procedimiento de Diseño en Plano w 1. z 2 w 1 T w 2 1 T r(t) +_ G ( w) G ( z ) | z G* D ( s) ZOH 1 ss 1 Controlado r digital Gh(s) Gp(s) δ(t) 2 w 1 T w 2 1 T c(t) Procedimiento de Diseño en Plano w 2. la transformada Z de la planta precedida por el retenedor. A continuación utilizando técnicas de diseño convencionales para sistemas de control en tiempo continuo. Suponiendo que la ganancia en baja frecuencia de la función de transferencia del controlador digital GD(w) es la unidad. determine la ganancia del sistema al satisfacer el requisito para la constante de error estático. determine los polos y ceros de la función de transferencia del controlador digital. A continuación transforme G(z) en una función de transferencia de G(w) mediante la transformada bilineal. 58 . 4. margen de fase y margen de ganancia. Sustituya w por jv y trace el diagrama de BODE para G(jv) 3. Lea del diagrama de Bode las constantes de error estático. Suponga un periodo de muestreo igual a =0. r(t) +_ * δ(t) G D ( s) Controlador digital ZOH 1 ss 1 Gh(s) Gp(s) c(t) 59 . y la constante de error de velocidad estática Kv sea de 2seg-1. Diseñe un controlador digital en el plano w de tal forma que el margen de fase sea 50°. Transforme la función de transferencia del controlador GD(w) en GD(z) mediante la transformación bilineal por la ecuación w 2 z 1 T z 1 GD ( z ) GD ( w) | w 2 z 1 T z 1 Y esta es la función de transferencia pulso del controlador Procedimiento de Diseño en Plano w EJEMPLO: considere el sistema de control de la figura.2seg.03/06/2013 Procedimiento de Diseño en Plano w 5. el margen de ganancia sea de por lo menos 10dB. 03/06/2013 Procedimiento de Diseño en Plano w SOLUCIÓN: Primero obtenemos la función de transferencia a pulso con la ganancia del sistema K (producto de la ganancia del controlador y de la planta) 1 e 0.0187 z 0.2 1 e 0. 2 ) z 1 ) z 1 1 (1 z ) K (1 z 1 ) 2 (1 0.1w transformación bilineal z 1 2 1 T w 2 1 0.1w G ( w) 2 1 0.8187 z 1 0.000333w 2 0.8187 1 0.0175 z 2 ) K (0.0187 0. 2 0. transformamos la función de transferencia pulso G(z) en una función de transferencia G(w) mediante la T w 1 0.9969 w w w K 1 1 300 10 G ( w) w( w 1) Mínima debido al cero en w= 10 presente en el semiplano derecho 60 .01752) 1 0.0187 z 1 0.1w 1 0.1w 1. 2 s K K 1 G( z) Z (1 z ) Z 2 s( s 1) s ( s 1) s ((0.1w Entonces: K ( 0.09633w 0.1w 1 0.8187 z 2 z 1.8187 z 1 ) K (0.8187 z 0.8187 Procedimiento de Diseño en Plano w A continuación. 2 ) (1 e 0.8187 0.2e 0.1w K (0.9966) Sistema de fase no w 2 0.01752) 2 1 1.1w 1 0. 000333w2 0.09633w 0. como: 2(0.9966) GD ( w)GP ( s) 1 w w2 0.09633w 0. 1 w GD ( w) 0 1 1 w La función de transferencia de lazo abierto del sistema compensado es: 1 w K (0. entonces: K v lim sG( s) lim wGD ( w)G( w) K 2 s 0 w0 Definamos K igual a 2.9969w Procedimiento de Diseño en Plano w La constante de error de velocidad estática Kv es 2seg-1.9969 w w w 21 1 300 10 G ( w) w( w 1) 61 .000333w2 0. trazamos el diagrama de BODE de G(w).9966) G ( w) w2 0.03/06/2013 Procedimiento de Diseño en Plano w Probemos con un compensador digital (compensador de adelanto) GD(w) con ganancia unitaria y el cual tiene forma (la mas sencilla). 0 den=[1 . de allí que el ángulo adicional de adelanto de fase necesario para satisfacer este requisito es 20°. Un compensador en adelanto debe cumplir con las especificaciones sin modificar el valor de K.000666 -0.19266 20 1.3.25 Closed Loop Stable? Yes -180 -225 -270 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 Frequency (rad/sec) Procedimiento de Diseño en Plano w De la gráfica se obtiene los valores para la función de transferencia de G(jv): Margen de Fase = 30° Margen de ganancia= 14.439 At frequency (rad/sec): 1.03/06/2013 Procedimiento de Diseño en Plano w En matlab se procede de igual manera como se hace con la función de Transferencia de Bode Diagram 40 lazo Abierto en Laplace System: sys num=[-0.den.6 Delay Margin (sec): 0.3 At frequency (rad/sec): 3. -40 Bode(num. 62 .100).5dB El diseño exige un margen de ganancia de por lo menos 10dB y un margen de fase de 50°.9969 0].9932]. Al agregar el compensador modificará la curva de magnitud del diagrama de bode.w) Magnitude (dB) Gain Margin (dB): 14. -20 w=logspace(-1. de allí que la frecuencia de cruce se desplazará hacia la derecha.22 Closed Loop Stable? Yes -60 -80 -90 Phase (deg) -135 System: sys Phase Margin (deg): 31. el cual es el máximo ángulo de adelanto de fase. Entonces para un φm=28° corresponde un factor de atenuación de α=0. y suponemos un ángulo de corrimiento φM. de allí que: 10 G ( jv ) dB 20 log b 10 b 1 20 log1. entonces: G ( jv ) b 1 w 1 jv 1 w 1 jv b b vb 1 1 A continuación Buscamos la magnitud del sistema del punto de la frecuencia de cruce de ganancia del sistema no compensado 20 log G( jv ) . v 1 y v 1 Procedimiento de Diseño en Plano w Este se determina mediante la utilización de la media geométrica ya que allí se encuentra el ángulo de adelanto de fase máximo v b en la frecuencia de cruce de ganancia.6643 4.425dB 0.361 63 .361 Ya determinado esto. Mf Mf 50 30 8 28 m En vista que: d c sin(M ) 1 1 (Se observa que se han agregado 8 de mas para compensar el corrimiento de la ganancia.03/06/2013 Procedimiento de Diseño en Plano w Si se considera un corrimiento de frecuencia de cruce de ganancia. el siguiente paso es encontrar la frecuencia de esquina del compensador. en la frecuencia de cruce). 7 Magnitude (dB): -4.7 la magnitud se convierte en alrededor de -4.7rad/seg Bode Diagram 10 5 System: sys Frequency (rad/sec): 1.03/06/2013 Procedimiento de Diseño en Plano w Para encontrar este punto -4. encontramos que para un valor de v=1.4dB se encuentra en una frecuencia de 1.425 sustituimos w por jv y encontramos la magnitud de G(jv).4dB Procedimiento de Diseño en Plano w Se observa que en el punto de magnitud igual -4. 2 2 v v 2 1 1 300 10 20 log10 G ( jv ) 20 log10 4.4 0 Magnitude (dB) -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -120 Phase (deg) -150 -180 -210 -240 0 1 10 10 Bode para las frecuencia de entre 1 y 10 rad/seg Frequency (rad/sec) 64 .425dB v 1 v2 Mediante su desarrollo o directamente de la gráfica de bode en este punto. 7 0.’r’. para así compararlos con las especificaciones de diseño num=[-0.7 1 1 0.7 1.3534 1])% función de transferencia compensador GcG=series(Gc.979w GD ( w) 1 w 1 0.361 0. G=tf(num.03/06/2013 Procedimiento de Diseño en Plano w Si tomamos ahora el valor de la frecuencia obtenida como la frecuencia de cruce de ganancia vc entonces: 1 vc 1. Gc=tf([.3534w Procedimiento de Diseño en Plano w • Ahora se procede a graficar y observar los resultados obtenidos.[.%función de transferencia lazo abierto sistema bode(G.GcG.’b’.979 1].q) 65 .den) %función de transferencia lazo abierto q=logspace(-1.361 Obtenemos: 0.979 1.000666 -0.3.G).den=[1 .9969 0].19266 1.9932].100).979 0.3534 y Por lo que el Compensador en adelanto es: 1 w 1 0. se obtiene 2 z 1 2 z 1 10(z .439 At frequency (rad/sec): 1.25 Closed Loop Stable? Yes 180 System: GcG Phase Margin (deg): 48.501 At frequency (rad/sec): 1.22 Closed Loop Stable? Yes -30 -40 -50 -60 -70 270 Phase (deg) 225 System: G Phase Margin (deg): 31.4 At frequency (rad/sec): 5.03/06/2013 Procedimiento de Diseño en Plano w • Resultados de Diagrama de bode de lazo abierto en el plano w del sistema G.9387 z 0.2 z 1 z 1 -1) (1 0.1) w Compensador T z 1 0.71 Closed Loop Stable? Yes 135 90 -1 10 0 1 10 2 10 3 10 10 Frequency (rad/sec) Procedimiento de Diseño en Plano w Transformando ahora esta ecuación al plano Z mediante la transformada Bilineal.41 Closed Loop Stable? Yes Magnitude (dB) 0 -10 -20 System: G Gain Margin (dB): 14.5589 66 .3798 z 1. Bode Diagram 30 G 20 GcG 10 System: GcG Gain Margin (dB): 14.3 At frequency (rad/sec): 3.3534 10(z z 1 2. y del controlador + sistema GcG.6 Delay Margin (sec): 0.979 10(z z 1 ) GD ( z ) -1) 1 0.9 Delay Margin (sec): 0. 5589 ( z 1)( z 0.9357)( z 0.0108 z 0.8462 z 0.8352 z 0.0679 3 R( z ) z 2. Con esto el sistema se comporta como si se tratara de un sistema de segundo grado.2885 z 2 1.0679 3 z 2.4576 Y la función de transferencia de lazo cerrado es C ( z) 0.9357 y z=0.8126. ya que se encuentra sobre le eje real negativo del plano z entre 0 y 1 y está próximo al punto z=-1 de la círculo unitario.7379 j 0.0891z 2 0.3196)( z 0. 67 .3776 z 2 1.8187) 0.3798 z 1.081( z 0. Este cero prácticamente se cancela con un polo en lazo cerrado que se encuentra e z=0.8145) ( z 0.3196) Procedimiento de Diseño en Plano w Se observa que la función de transferencia lazo cerrado del sistema implica 2 ceros localizados e z=-0.7379 j 0.03746( z 0. El efecto del otro cero sobre el transitorio y la respuesta en frecuencia es pequeño.9387 0.9356) z 0.8145.03/06/2013 Procedimiento de Diseño en Plano w La función de transferencia pulso de lazo abierto del sistema es entonces GD ( z ) 2.0108 z 0.5255 0.0891z 2 0.8126)( z 0. x).6 0.846 -0.2) 40 Procedimiento de Diseño en Plano w • Se obtendría una gráfica similar si usamos el comando dstep podemos graficar la misma ecuación como función de k como eje horizontal y obtener num=[0 0.4 Dstep(num.figure0.den) grid title('Respuesta a un escalón unitario en función de k') Respuesta a un escalón unitario en función de k 1. axis([0 40 0 1.846 -0.2 System: sys Settling Time (sec): 17.0891 0.2 x=ones(1. den=[1 -2.0108 -0.den.2 0 k 0 5 10 15 20 25 30 35 muestras(periodo de muestreo igual 0.4 0.0679].y.den) 0.2885 1.2885 1.4sigue con horizontal k: num=[0 0.4 System: sys Peak amplitude: 1. k=41.'o').9 1 Amplitude 0. 1 k=0:40. 0.03/06/2013 Procedimiento de Diseño en Plano w Con este periodo de muestreo se puede dibujar la respuesta escalón unitario Respuesta a un escalón unitario en Matlab como 1.2 0 0 5 10 15 20 25 30 35 Time (sec) 68 .0679].5255].5255]. y=filter(num.41).0108 -0. grid 0.1 At time (sec): 8 1. dstep(num.6 title('Respuesta a un escalón unitario en función de k').19 Overshoot (%): 19. den=[1 -2. 1.8 0.6]).8 plot(k.0891 0. 2885 1.57 1 Amplitude 0.0891 0.8 0.2 seg 6 7 8 Procedimiento de Diseño en Plano w Se obtendría una gráfica similar si usamos el comando step podemos graficar la misma ecuación como función de kT como eje horizontal y obtener Step Response 1.0108 -0. con periodo de muestreo de 0.4 num=[0 0.step(M.2) step(M) grid title('Respuesta a un escalón unitario en función de kT') System: M Peak amplitude: 1.2) kT=0:.0679].4 num=[0 0. title('Respuesta a un escalón unitario en función de kT‘) stem(kT.den.6 1.2:8.2 System: M Settling Time (sec): 3.den.0891 0. kT=0:.4 0.den=[1 -2.03/06/2013 Procedimiento de Diseño en Plano w • También podemos graficar la misma ecuación como función de kT como eje horizontal y obtener Respuesta al escalón Unitario 1.6 0.846 -0. den=[1 -2.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 Time (sec) 69 .0108 -0.kT)) Grid figure Step(M) 1. M=tf(num.2:8. M=tf(num.19 Overshoot (%): 19.2 1 Amplitud 0.6 0.8 0.2885 1.2 0 0 1 2 3 4 5 kT segundos.5255].846 -0.1 At time (sec): 1.0679]..5255].4 0.. 2seg es satisfactorio en este sistema. La función de transferencia de un compensador en atraso es: 1 w GD ( w) K D 1 1 w La función de transferencia de lazo abierto del sistema compensado es.03/06/2013 Procedimiento de Diseño en Plano w Se observa de la gráfica obtenida el impuso es del 20% y el tiempo de levantamiento es de aproximadamente de 0. DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA DISEÑO COMPENSADOR EN ATRASO: 1. También podemos observar que el número de muestras por ciclo senoidal es de 15 aproximadamente. Por lo tanto el periodo de muestreo de 0. lo que significa que la frecuencia de muestreo ws es 15 veces la frecuencia natural amortiguada wd. 1 w 1 w GD ( w)G( w) K D G(w) G1(w) 1 w 1 w Determinando la ganancia de KD que satisfaga el requisito de la constante de error de velocidad 70 .4seg. DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA 3.03/06/2013 DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA 2. El margen de fase requerido es el margen de fase especificado mas una corrección de entre 5° y 12°. entonces encuentre el punto de frecuencia donde el ángulo de fase de la función de transferencia de lazo abierto sea igual -180° mas el margen de fase requerido. Para evitar errores. debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Por lo tanto escoja la frecuencia de esquina v=1/τ (correspondiente al cero del compensador) una decena por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia wc 71 . Escoja esta frecuencia como la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Si el sistema no compensado G1(w) no satisface las especificaciones referentes a los márgenes de fase y ganancia. el polo y cero del compensador deberán estar localizados bastante alejados. • CHEN. Control Automático de Procesos. Determine la atenuación necesaria para llevar la curva de magnitud hacia abajo hasta 0dB en la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Primera Edición. 72 .. BISHOP R. Chi-Tsong. Kral J. John. Sistemas de Control Continuo y Discreto • BIBLIOGRAFÍA WEB • ASTRÖM. Analog And Digital Control System Design. Primera Edición • DORF R. deberá transformarse al plano z BIBLIOGRAFÍA • OGATA. 5. Katsuhiko. Modern Control Engineering. Una vez diseñado el compensador de atraso en el plano w. Segunda Edición. determine le valor de β.Computer Controlled Systems. Otra forma es trazar una línea de pendiente 20dB/década por el lugar del cero del atraso y proyectarla hacia arriba ala izquierda hasta que corte la asíntota de baja frecuencia. • DORSEY. Entonces la otra frecuencia de esquina es (que corresponde al polo del compensador de atraso) queda determina por 1/τβ. Esta intersección determina el polo del compensador por atraso.03/06/2013 DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA 4. Sistemas de Control Moderno. Tercera Edición • SMITH C. Tercera Edición • PARASKEVOPOLUS. Notando que esta atenuación es de -20log(β). Décima Edición. CORRIPIO A.... Sistemas De Control En Tiempo Discreto.P. pero no el sistema continuo.LGR CAPÍTULO 3 DISEÑO INDIRECTO • En esta parte se desarrollará el diseño de controladores a partir del Lugar de la Raíces y Diagramas de Bode en el tiempo continuo y luego se procederá a analizar los mapeos del dominio s al dominio del plano z. Se debe tener en cuenta de incluir el efecto del convertidor digital a analógico (DAC) diseñado con los retenedores. 73 .03/06/2013 MÉTODOS DE DISEÑO INDIRECTO. pero en general las técnicas son las mismas Nota: La retención de orden cero está presente en el sistema de datos muestreados. Todas las técnicas desarrolladas para compensar sistemas continuos pueden ser aplicadas a sistemas de datos muestreados. Se tendrán que hacer algunas modificaciones en ciertos casos. DE CONTINUO A DISCRETO . DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR Ejemplo: Considere el sistema de datos muestreados de la figura R(s) E(s) +_ G *c ( s ) E*(s) Controlador digital ZOH 1 ss 1 Gh(s) Gp(s) C(s) Se desea diseñar un compensador que satisfaga las especificaciones: Tiempo pico ≤ 1.5seg Máximo pico≤20% Factor de amortiguamiento≤0. Luego de tener dicho controlador o compensador diseñado en el plano complejo s. • La forma mas fácil de entender este tipo de diseño es resolviendo un ejercicio. se procede a mapearlo en el plano z con cualquier método de discretización ya vistos. etc.7 74 . utilizando los métodos de diseño clásicos o modernos para los controladores o compensadores. ZOH. como por ejemplo la transformada Bilineal.03/06/2013 DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR Estos método se basa en diseñar el controlador o el compensador en el dominio del Plano s. 7 1 2 10.049 2 De lo anterior obtenemos los polos dominantes deseados del sistema.09 2 Mp e t p 1.6% d 2. por ejemplo 4% para cumplir con un 0. con valor igual a s j 2 j 2 d El compensador a utilizar debe ser en adelanto para satisfacer las condiciones señaladas con una función de transferencia igual a: 1 s s 1 K s sc Gc ( s ) K c Kc c 1 s 1 s sp s 75 .218 3.7 2 e 0.046 4.7 0.5 y usando un valor muy inferior a 20% de sobre impulso.04) 3.5 DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR ln( Mp) ln(0.218 2 d 2 2.03/06/2013 DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR • Diagrama de bloques en el plano s R(s) Gc (s) +_ Gp(s) C(s) La frecuencia natural amortiguada y la atenuación se obtiene con valores de tiempo pico de 1. 03/06/2013 DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR De acuerdo a la condición de fase tenemos 1 2 3 180 Si ahora elegimos el cero del compensador en el punto -2 tenemos entonces las contribuciones de los dos polos del sistema y del cero del compensador. se procede hallar la posición de polo del compensador.565 3 270 3 18. 2+j2 1 2 1 1 135 116.435 3 B 2 A 1 O σ DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR • Teniendo ya el ángulo de contribución al LGR del sistema. de la siguiente manera: B 2 2 8 tan18.43 Gc ( s) K c s2 s 8 • El compensador hasta ahora tendría la forma 76 . del polo del compensador. con lo cual: 180 tan jw 180 tan 3 90 180 1 2 2 P=. 03/06/2013 DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR • Para obtener la ganancia del sistema en el polo deseado se obtiene de condición de magnitud en el punto deseado: s s 1 s 8 s2 K 20 G ( s ) 20 c s2 s 8 c s 2 j 2 • De allí que el compensador en adelanto sea DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR • El siguiente paso es la elección del periodo de muestreo.844rad/seg s 10d 20rad/seg 2 Ts 0.844 Ts 0.12seg 0.31416seg 20 f s 10 Hz 77 . utilizando los criterios empíricos de selección de periodo de muestreo o utilizando la regla empírica de las diez muestras por ciclo de oscilación senoidal el cual está dado por la frecuencia natural amortiguada wd de 2rad/seg.2711 50.1seg 2 50. Utilizando los siguientes dos criterios obtenemos que: s 40 BW 40 1. utilizando la transformación bilineal de Tustin.9048 ) (z-0.1 ) z 1 ) z 1 0.9048 (1 z 1 ) 2 (1 e 0.1 ) (1 e 0.8182 ) G (z)ZOHGp(z) s (s + 1) (s + 8) c (z-0.1) se mapea el compensador en el plano z hallado.9672 ) R( s ) (s + 5) (s 2 + 4s + 8) R( z ) (z-0. Con lo cual se obtiene: Gc ( z ) 20 s2 15.1e 0.8182 s 8 s 210 z 1 z 0.1 0.1 z 1 ) DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR • Se procede a continuación la obtención de la función de transferencia de lazo abierto y cerrado del sistema compensado.03/06/2013 DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR • Terminada la selección del periodo de muestreo (Ts=0.592 z 0. resultando: 1 e 0. 2 s 1 1 1 G( z) Z (1 z ) Z 2 s( s 1) s ( s 1) s ((0.8182 ) (z 0.71z 0.9672 ) (z-0.1 1 e 0.4286 z 1 • También debe obtenerse la función de la planta discretizada por el retenedor de orden cero. para analizar sus respectivos resultados tanto en s como en z: 20 (s + 2) 0.004837( z 0.075989 (z 0.6652 ) (z 2 1.9672) (1 z 1 ) z 1z 0.4286 )z 1 C ( s) 20 (s + 2) C ( z ) 0.070623 (z-0.6734 ) Gc(s)Gp(s) 78 . 1 z e 0.19 0.66 10 12 0.88 6 4 2 0 2 -5 4 0. y luego transferido al plano z con un mapeo diferente.03/06/2013 DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR • Se observa el lugar de las raíces del sistema sin compensar (azul) y el sistema compensado (verde). Root Locus 15 0.5 0. Los polos dominantes en el plano s están el línea de relación de amortiguación constante en 0.27 -5 -4 0.02i Damping: 0.5 -15 -9 0.36 -8 -7 -6 0.1627 La razón de esto es que el compensador inicialmente fue diseñado en el plano s ignorando los efectos del retenedor de orden cero.19 -3 0. Con el mapeo z=esT los polos de lazo cerrado dominantes estarían en: 2 j 2 0.06 14 12 10 10 0.27 0. el mapeo bilineal.36 0.01 + 2. dominio s. 79 .8024 j 0.88 6 8 -10 0.85 0.12 0.01 Pole: -2.06 -1 14 0 1 Real Axis DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR • Vale la pena señalar que las ubicaciones reales de los polos de lazo cerrado NO son las que resultan del mapeo s=-2±j2 en el plano z=esT.43 Frequency (rad/sec): 2.12 -2 0.66 8 Imaginary Axis 5 System: g3 Gain: 1.7 en s=-2±j2 .704 Overshoot (%): 4. 2 0.2/T Overshoot (%): 7.1/T Gz Gain: 0. Step Response 1.6 0.2 0 0 2 4 6 8 10 12 Time (sec) 80 .4/T 0.09 0.5 0.8 .3/T 0. casi satisfaces las especificaciones establecidas.6 0.8/T 0.8/T System: 0.7 0.4 0.88 Frequency (rad/sec): 3.9 0.2 0.6/T -1 -1 -0.9/T -0.8 0.6 Root Locus 1 0.2 0.1 At time (sec): 1 1.4 -0.629 0.6/T 0.5 0.4 0.4 System: Mzc Peak amplitude: 1.5/T 0 0.8 -0.3/T 0.196i Damping: 0.2/T 0.6 0.5 0.1 0.796±j0.0. por lo menos en este ejemplo.8 1 Real Axis DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR • La respuesta escalón unitaria del sistema continuo controlado por un compensador digital.5/T 0.1/T /T /T 0 0.4 At time (sec): 1.23 Overshoot (%): 23.06 Msc Mz Mzc 1 0.6 -0.03/06/2013 DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR Pero los polos dominantes reales del sistema (0. Por lo tanto que no es muy perjudicial ignorar los efectos del ZOH.2 Ms System: Msc Peak amplitude: 1.1995) en el plano z están sobre la línea del factor de amortiguamiento en 0.982 Pole: 0.8 Amplitude Imaginary Axis 0.7/T 0.9/T 0.3 0.7/T 0.4 0.4/T 0.16 Overshoot (%): 16. ya que ocasionaría que el sistema se comporte oscilatorio al variar la ganancia del sistema 1 2 3 ZOH 180 180 tan 1 22 180 tan 1 12 3 90 1e2e j 2 180 0. del polo del compensador.5 • El compensador hasta ahora tendría la forma Gc ( s) K c s2 s 11 81 .2 j 0.2 135 116.91 270 3 12. de la 2 siguiente manera: b 2 11 tan12.03/06/2013 DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR • Ahora se volverá a diseñar el compensador teniendo en cuenta la contribución del ángulo del ZOH mas no la contribución de la magnitud.565 3 5.5 DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR • Teniendo ya el ángulo de contribución al LGR del sistema. se procede hallar la posición de polo del compensador. 1) se mapea el compensador en el plano z hallado.004837( z 0.9048 82 . anteriormente hallada: G( z ) 0.8182 s 11 s 210 z 1 z 0. utilizando la transformación bilineal de Tustin.2903 z 1 • La función de la planta discretizada Gc ( z ) 29 por el retenedor de orden cero.2 29 s 2 j 2 • De allí que el compensador en adelanto sea Gc ( s) 29 s2 s 11 El cual es ligeramente diferente al hallando anteriormente sin tener en cuenta la contribución del ZOH.03/06/2013 DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR • Para obtener la ganancia del sistema en el polo deseado se obtiene de condición de magnitud en el punto deseado: s s 1 s 11 s2 Kc 29.58z 0.9672) z 1z 0. DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR • Terminada la selección del periodo de muestreo (Ts=0. Con lo cual se obtiene: s2 20. 68 12.9048 ) (z-1 ) C ( z ) 0.5 -20 -12 0.5 -10 10 0.9672 ) (z-0.2903 ) (z-0. Root Locus 20 0.12 0.88 7.52 0.9672 ) Gc(z)ZOHGp(z) (z-0.395) 0.12 0.2 0.1.5 0.5 5 2.5 -5 5 0.65 0.06 17.73i Damping: 0.61 Frequency (rad/sec): 2.099557 (z-0.969 Pole: -2.68 10 10 System: M1 Gain: 0.5 0 2.5381 ) (z 2 .8182 ) (z+0.843) (s 2 + 4.28 20 0.557 z + 0.099557 (z+0.88 Imaginary Axis 5 7.01 + 1.38 0.06 -2 200 2 Real Axis 83 . dominio s.5 15 15 12.03/06/2013 DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR • Se procede a continuación la obtención de la función de transferencia de lazo abierto y cerrado del sistema compensado. para analizar sus respectivos resultados tanto en s como en z: 29 (s + 2) s (s + 1) (s + 11) C (s) 29 (s + 2) R( s) (s + 7.52 -10 -8 0.28 0.6346 ) Gc(s)Gp(s) DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR Se observa el lugar de las raíces del sistema sin compensar (línea derecha) y el sistema compensado (parte Izq).8182 ) R( z ) (z-0.157s + 7.38 0.2 -6 -4 0.758 Overshoot (%): 2.5 -15 15 17. 03/06/2013 DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR • Se observa el lugar de las raíces del sistema sin compensar (azul) y el sistema compensado (verde).7/T 0.4/T 0.2/T 0.5/T -2 -1 0 1 2 Real A x is DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR • De la ecuación en lazo cerrado en el plano z se puede obtener los polos dominantes del sistema y compararlos con los polo deseados con un factor de amortiguamiento que se puede obtener de la figura del LGR en el plano z.1627 polos deseados z 0.778 + 0.9/T 0.2/T 0.8/T 0.1 0.4/T 0. dominio z.1 0.5/T 0.1689 polos del sistema 84 .1/T 0.8 0.3 Damping: 0.7785 j 0.9/T /T /T 0.6/T 0.01 0.7 Frequenc y (rad/s ec ): 3.171i 0.8/T 0.7/T 0.9 0.1/T 0.68 0.3/T Pole: 0.5 Ov ers hoot (%): 3.15 0.3/T 0.8024 j 0.4 0.724 0.2 0.6/T 0. Root Loc us Gz Gz Gc z Sy s tem: Gz Gc z Gain: 1.6 0. z e2 j 2 0. Primera Edición • DORF R. • CHEN. Tercera Edición • PARASKEVOPOLUS. se observa además que el impacto del ZOH depende de la frecuencia de muestreo.4 System: Mzc Peak amplitude: 1.8 At time (sec): 0. Segunda Edición. Sistemas De Control En Tiempo Discreto.P. Katsuhiko. CORRIPIO A. 85 .03/06/2013 DISEÑO INDIRECTO . Chi-Tsong.Diseño LGR • La relación de amortiguación de los polos dominantes mejoró. BISHOP R. Modern Control Engineering. John.2 0 0 2 4 6 8 10 12 Time (sec) BIBLIOGRAFÍA • OGATA.9 Mz System: Mz Peak amplitude: 1.18 Overshoot (%): 18... Tercera Edición • SMITH C. mientras mas alta es la frecuencia menor es el impacto.4 At time (sec): 3.Computer Controlled Systems.4 0.6 Mzc 1. Control Automático de Procesos. • DORSEY.19 Overshoot (%): 18. Analog And Digital Control System Design. Kral J. lo mismo que el desempeño.2 1 Amplitude 0. Step Response 1. Sistemas de Control Moderno.8 0... Décima Edición.6 0. Sistemas de Control Continuo y Discreto • BIBLIOGRAFÍA WEB • ASTRÖM. Primera Edición. 03/06/2013 MÉTODOS DE DISEÑO INDIRECTO. el método de Bode tiene ventajas. • La contribución a la fase negativa de la retención de Grado cero a la frecuencia de cruce donde se mide el margen de fase es: ZOH T 2 cT 2 donde c es la frecuencia de cruce 86 . ya que proporciona un medio para seleccionar una taza de muestreo adecuada y por la facilidad con que considera el efecto del ZOH.BODE CAPÍTULO 4 DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE • Otro método para diseñar un compensador digital en el dominio s es el método de bode. Al diseñar compensadores que finalmente serán transferidos al plano z. DE CONTINUO A DISCRETO . margen de fase sea al menos de 50° y el margen de ganancia sea al menos 10 decibelios. r(t) +_ δ(t) ZOH 4 s ( s 2) Gh(s) Gp(s) G* D ( s) Controlador digital c(t) DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE SOLUCIÓN EN S USAREMOS UN COMPESADOR DE ADELANTO. con la forma anteriormente descrita 1 Ts 1 T Gc ( s) K c Kc 1 Ts 1 s T s Sistema compensado R(s)+ _ 1 T Gc ( s) K c 1 s T s 4 s ( s 2) C(s) 87 .03/06/2013 DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE EJEMPLO: considere el sistema de la figura. de modo que la constante de error estático de velocidad Kv sea de 20seg-1 . Se quiere diseñar un compensador para el sistema de tipo 1. 03/06/2013 DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE El sistema compensado se define Ts 1 Ts 1 G ( s) K G(s) Ts 1 Ts 1 Ts 1 4K G1 ( s) con G1 ( s) KG ( s ) Ts 1 s( s 2) Gc ( s )G ( s) K c Lo primero a encontrar es la ganancia K. de acuerdo a las especificaciones de diseño del comportamiento estacionario o de acuerdo al error de velocidad en estado estacionario. obtenemos 88 . y el sistema posee un error de velocidad estático de 2 seg-1 entonces: DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE Hallando K v lim sGc ( s)G ( s) lim s s 0 lim s s 0 De allí que s 0 Ts 1 G1 ( s) Ts 1 4K 2 K 20 K 10 ss 2 G1 ( s) 40 s( s 2) Produciendo el diagrama de Bode del G1(jw) en Matlab. Como la constante de error de velocidad requerido es 20 seg-1. Las especificaciones buscan un MFd de 50°. Debemos compensar el atraso de fase incrementado de G1(jw). el adelanto de fase adicional necesario para satisfacer el requisito es de 32°. Tomando en cuenta que la adición de un compensador de adelanto modifica la curva de magnitud del diagrama de Bode. suponemos que φm . Considerando el cambio de la frecuencia de cruce de ganancia. es de aproximadamente 38°.0508 At frequency (rad/sec): 6. adelanto de fase máximo requerido. debido a este incremento en la frecuencia de cruce de ganancia.17 Closed Loop Stable? Yes 1 10 Frequency (rad/sec) DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE De la gráfica se observa el margen de fase de 18° y el margen de ganancia es +∞.) 89 .03/06/2013 DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE Grafica de BODE de G1(s) Bode Diagram 50 40 30 Magnitude (dB) 20 10 0 -10 -20 -30 -40 -50 Phase (deg) -90 -135 -180 -1 10 0 10 System: sys Phase Margin (deg): 18 Delay Margin (sec): 0. (Esto significa que se han agregado 6° para compensar el cambio en la frecuencia de cruce de ganancia. la frecuencia de cruce de ganancia se moverá a la derecha. con este valor se obtiene un α=0.2379 Luego de haber obtenido la atenuación a partir del ángulo de fase requerido.24 b 10 10 90 .03/06/2013 DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE De la anterior corrección podemos hallar el valor de α de acuerdo a la expresión: 1 sin(m ) 1 Donde φm es 38°. procedemos a obtener las frecuencia de cruce de ganancia como: 1 w T b DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE La cantidad de la modificación en la curva de magnitud en Ts 1 debido a la inclusión Ts 1 1 del término w b T jw T 1 G ( jw ) jw T 1 es: b b b wb T 1 j 1 T 1 1 1 j T 1 Observe que la magnitud en el punto de la frecuencia de cruce de ganancia es entonces: 1 1 G ( jw ) 20 log 6.2dB 20 log 0. 371 T 0. donde la magnitud total es de 0dB.409 T T Y también: 1 9 9 18.16 0 Phase (deg) -10 -90 -120 -150 -180 0 1 10 10 Frequency (rad/sec) DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE La ganancia ocurre en la frecuencia de w=9rad/seg.2dB. Esta ganancia ocurren en el rango de frecuencias de 1 y 10 rad/seg.03/06/2013 DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE Buscamos ahora el punto de frecuencia. Graficando bode de G1(s) en este rango obtenemos: Bode Diagram Magnitude (dB) 30 20 10 System: sys Frequency (rad/sec): 8. al añadir el compensador. Seleccionamos esta frecuencia para que se a nueva frecuencia de la ganancia de cruce o wb=9 rad/seg. A este frecuencia corresponde a: w b 1 1 9 9 9 0.24 4.9 Magnitude (dB): -6.24 91 . Buscamos en la gráfica de bode de G1(s) el rango de valores en donde se encuentra la magnitud de 6. 742s El diagrama de Bode del sistema compensado es Bode Diagram Magnitude (dB) 50 0 -50 Phase (deg) -100 -90 -135 -180 -1 10 0 10 1 10 Frequency 2 10 3 10 (rad/sec) 92 .667 0.409 41.371 s( s 2) s 20.03/06/2013 DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE El compensador en adelanto así determinado es Gc ( s) K c s 4.371 s 18.668s 734.409 4 166.667 s 4.227 s 1 K c s 18.409 s 4.371 DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE La función de transferencia de lazo abierto del sistema compensado es: Gc ( s)G( s) 41.24 De allí que el compensador sea: Gc ( s) K c s 4.839 3 s 18.371 0.371s 2 36.667 s 18.409 0.0544s 1 Donde Kc se determina como: K K c K c K 10 41. 4 0.4 System: M Peak amplitude: 1.6 0.839 3 R2 ( s) s 20.2 Sistema sin compensar Sistema Compensado System: M Settling Time (sec): 0.327 System: M Peak amplitude: 1.22 Overshoot (%): 21.8 0.135 System: M Settling Time (sec): 4.7 At time (sec): 0.04 System: M Rise Time (sec): 0.371s 2 203.8 1.2 0 0 1 2 3 4 5 6 Time (sec) 93 .03/06/2013 DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE La respuesta al escalón unitario: La función de transferencia de lazo cerrado del sistema original es C1 ( s) 4 2 R1 ( s) s 2s 4 La función de transferencia de lazo cerrado del sistema compensado es C2 ( s ) 166.839 DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE Respuesta del Sistema a una Entrada Escalón 1.822 Amplitude 0.668s 734.618 1 System: M Rise Time (sec): 0.41s 734.3 At time (sec): 1.16 Overshoot (%): 16. 03/06/2013 DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE El siguiente paso es la elección del periodo de muestreo; utilizando los criterios empíricos de selección de periodo de muestreo o utilizando la regla empírica de las diez muestras por ciclo de oscilación sinusoidal, donde wd=2rad/seg. Utilizando los siguientes los criterios del tiempo de establecimiento y ancho de banda en lazo cerrado obtenemos que: s 10d 20rad/seg 2 Ts 20 0.31416seg s 30 BW 30 2.542 76.26rad/seg 2 Ts 0.08seg 76.26 f s 12.5Hz DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE • Terminada la selección del periodo de muestreo (Ts=0.08) se mapea el compensador en el plano z hallado, utilizando la transformación bilineal de Tustin. Con lo cual se obtiene: Gc ( z ) 41.667 s 4.409 28.2536z 0.7002 s 18.371 s 212.5 z 1 z 0.1528 z 1 • También debe obtenerse la función de la planta discretizada por el retenedor de orden cero, resultando: 1 e 0,08s 4 4 1 G( z) Z (1 z ) Z 2 s s ( s 2 ) s ( s 2 ) (0.0121z 0.01149) 0.0121( z 0.948) 2 ( z 1.829 z 0.8521) ( z 2 1.829 z 0.8521) 94 03/06/2013 DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR • Se procede a continuación la obtención de la función de transferencia de lazo abierto y cerrado del sistema compensado, para analizar sus respectivos resultados tanto en s como en z: 166.668 (s + 4.409) s (s + 18.31) (s + 2) C (s) 166.668 (s + 4.409) R( s) (s + 6.48) (s 2 + 13.89s + 113.4) Gc(s)Gp(s) 0.34238 (z 0.948 ) (z 0.7002 ) (z-0.1528 ) (z 2 1.829 z 0.8521 ) C ( z ) 0.34238 (z 0.948 ) (z 0.7002 ) R( z ) (z-0.605 ) (z 2 1.034 z 0.5909 ) Gc(z)ZOHGp(z) DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE Respuesta del sistema en S Step Response 1.4 System: Mts Peak amplitude: 1.22 Overshoot (%): 21.7 At time (sec): 0.327 1.2 M System: M Peak amplitude: 1.16 Overshoot (%): 16.3 At time (sec): 1.8 Mts System: M Settling Time (sec): 4.04 1 System: Mts Settling Time (sec): 0.618 Amplitude 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 Time (sec) 95 03/06/2013 DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE Respuesta del sistema en Z Step Response 1.5 Mtz System: Mtz Peak amplitude: 1.42 Overshoot (%): 56.2 At time (sec): 0.32 Mz System: Mz Peak amplitude: 1.16 Overshoot (%): 16.3 At time (sec): 1.84 System: Mz Settling Time (sec): 4.04 1 Amplitude System: Mtz Settling Time (sec): 1.26 0.5 0 0 1 2 3 4 5 6 Time (sec) DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE Aunque no se tuvo en cuenta el contribución del retenedor de orden cero sabiendo que sus efectos son mínimos, se observa que el sistema responde conforme se le añade le compensador señalado. Hay que tener en cuenta que para observar las características indicadas de la respuesta en frecuencia se debe desarrollar la transformada en el plano w, aunque existe una analogía entre la respuesta en frecuencia con la respuesta en el tiempo observa da en la gráfica, expuesta anteriormente. 96 Primera Edición • DORF R. • DORSEY. Primera Edición. Tercera Edición • SMITH C.. Sistemas De Control En Tiempo Discreto. Kral J. Tercera Edición • PARASKEVOPOLUS. Control Automático de Procesos.. Modern Control Engineering. Segunda Edición. Katsuhiko.P. Sistemas de Control Moderno. John.. • CHEN. Analog And Digital Control System Design.Computer Controlled Systems. Chi-Tsong. EJERCICIOS 97 . Décima Edición. Sistemas de Control Continuo y Discreto • BIBLIOGRAFÍA WEB • ASTRÖM. BISHOP R.03/06/2013 BIBLIOGRAFÍA • OGATA.. CORRIPIO A.