ECUACIONES DIFERENCIALESEDWIN CASTRO JUAN FELIPE ZAPATA HENRY VARGAS IVAN DARIO MATIZ BERNAL UNIVERSIDAD UNAD FACULTAD DE INGENIERIA DE SISTEMAS ECUACIONES DIFERENCIALES BOGOTA D.C 4 DE ABRIL DE 2018 CONTENIDO INTRODUCCION OBJETIVOS Objetivo General Objetivo Específico PREGUNTAS 1. Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma � ´´ + �1 (�)� ´ + �2 (�)� = �(�) y para que ésta sea una ecuación homogénea con coeficientes constantes se deben hacer dos suposiciones: 1. Los coeficientes son constantes. 2. �(�) = 0. Una ecuación homogénea tiene dos soluciones independientes y se pueden presentar tres tipos: Caso 1: Soluciones reales y distintas, Caso 2: Soluciones iguales y reales y Caso 3: Soluciones complejas y conjugadas. Teniendo en cuenta lo anterior las soluciones de la ecuación diferencial 4 � ´´ + 4� ´ + 5� = 0 son: A. Soluciones complejas y conjugadas cuya solución es � = � −� 2 ⁄ (�1 𝑐𝑜� � + �2 �𝑖� �) B. Soluciones complejas y conjugadas cuya solución es � = � −� (�1 𝑐𝑜� � + �2 �𝑖� �) C. Soluciones iguales y reales cuya solución es � = �1� √2� +�2�� √2� 2.Para encontrar la solución de una ecuación homogénea asociada diferencial de segundo orden con coeficientes variables se procede sustituir � = � �, � ′ = �� �−1 , �′′ = �(� − 1)� �−2 y luego se encuentran las raíces de la ecuación de segundo grado originada, de tal mane que si dichas raíces son m y n, entonces la solución de la ecuación homogénea es: �ℎ = 𝑐1� � + 𝑐2 � � , �𝑖 � �� 𝑑𝑖��𝑖��𝑜 𝑑� � �ℎ = 𝑐1� � + 𝑐2 � �𝑙��, �𝑖 � = � �ℎ = � ∝(𝑐1 cos(𝛽𝑙��) + 𝑐2���(𝛽𝑙��)), �𝑖 � � � �𝑜� 𝑐𝑜�𝑝𝑙�𝑗𝑜� 𝑑� 𝑓𝑜𝑟�� ∞ + 𝑖𝛽. Con base en lo anterior, la solución de la ecuación homogénea de la ecuación � 2�’’ + ��’ + � = 2� es: A. �ℎ = 𝑐1cos(𝑙��) + 𝑐2���(𝑙��). B. �ℎ = 𝑐1� − 𝑐2 𝑙�� C. �ℎ = 𝑐1 + 𝑐2 𝑙�� D. �ℎ = 𝑐1� + 𝑐2 � −1 . Con base en lo anterior, la solución de la ecuación homogénea de la ecuación es: A. . B. C. D. 3. La solución de una ecuación diferencial de orden superior con coeficientes constantes de la forma �2� 2�(�) + �1��(�) + �0�(�) = �(�), es � = 𝑟1�1 + 𝑟2 �2 En donde �1 � �2 �𝑜� 𝑙�� �𝑜𝑙�𝑐𝑖𝑜��� 𝑑� 𝑙� �𝑐��𝑐𝑖ó� ℎ𝑜�𝑜�é��� ��𝑜𝑐𝑖�𝑑� � 𝑟1 = ∫ �1 � 𝑑� , 𝑟2 = ∫ �2 � 𝑑� . Para ello, los Wronskianos � = | �1 �2 �1 ′ �2 ′ |, �1 = | 0 �2 �(�) �2 ′ |, �3 = | �1 0 �1 ′ �(�) | Con base en lo anterior, la solución de la ecuación � ′′ − 5� ′ + 4� = 1 es: �. � = 𝑐1� −4� + 𝑐2� −� − 1 12 �. � = 𝑐1� 4� + 𝑐2� � + 1 4�. � = 𝑐1� 4 + 𝑐2� + 4 3 �. � = 𝑐1� −4 + 𝑐2� −1 − 13 4. Una Ecuación Diferencial No Homogénea De Orden Superior Es De La Forma: + +… + �=�(�), Cuya Solución General Se Escribe Como La Suma De Las Soluciones De Una Ecuación Homogénea Y Una Particular. �= + Se Determina Haciendo � =0 Para Convertir La Ecuación A Una Homogénea Con Coeficientes Constantes. Esta Es La Llamada Solución Asociada Y Se Encuentra Una Solución Particular De La Ecuación No Homogénea. Esta Es La Llamada Solución Particular . Dicha Solución Depende De La Forma De La Función � . De Acuerdo Con Lo Mencionado Anteriormente Una Solución Particular De La Ecuación Diferencial No Homogénea +4�= Es: 5. El método de variación de parámetros para dar solución a una ecuación diferencial de tercer orden establece que primero se encuentra la función complementaria �𝑐 = �1�1 + �2�2 + �3�3 y después se calcula el wronskiano �(�1 (�), �2 (�), �3 (�)). Posteriormente se determina 𝑓(�), para poder encontrar �1 �2 y �3, y poder hallar la solución particular mediante la integración de �1 ´ = �1 � , �2 ´ = �2 � y �3 ´ = �3 � , donde : � = | �1 �2 �3 �1 ′ �2 ′ �3 ′ �1 ′′ �2 ′′ �3 ′′|, �1 = | 0 �2 �3 0 �2 ′ �3 ′ 𝑓(�) �2 ′′ �3 ′′|, �2 = | �1 0 �3 �1 ′ 0 �3 ′ �1 ′′ 𝑓(�) �3 ′′| �3 = | �1 �2 0 �1 ′ �2 ′ 0 �1 ′′ �2 ′′ 𝑓(�) | Una solución particular es �𝑝 = �1�1 + �2�2 + �3�3 y la solución general de la ecuación diferencial es entonces � = �𝑐 + �𝑝. Con base en lo anterior, los valores para �1, �2 y la solución general de la ecuación � ′′ + � ′ = 𝒔𝒆𝒄� son respectivamente: 1. �1 = −𝑇���, �2 = 1 2. � = �1�𝑜�� + �2𝑆��� − �𝑜��. 𝐿�|𝑆�𝑐�| + �𝑆��� 3. � = �1 + �2� + � � + 1 4 � −� 4. �1 = 2�� −� + � −� , �2 = 2�� � 6. Un problema de valor inicial es una ecuación diferencial ordinaria que tiene un valor especificado que se conoce como la condición inicial, de la función desconocida en un punto dado del dominio de la solución. Para el problema de valor inicial 4 � ′′ + 4� ′ + 17� = 0, �(0) = −1, �′(0) = 2, las raíces de la ecuación auxiliar y la solución al problema � corresponden a: 1. � = � −� 2 ⁄ (− cos 2� + 3 4 ���2�) 2. 𝑟1 = −1 2 + 2𝑖; 𝑟2 = −1 2 − 2𝑖 3. 𝑟1 = −1 2 − 2𝑖; 𝑟2 = 1 2 + 2𝑖 4. � = � −� 2 ⁄ (cos 2� − 3 4 ���2�) 9. Tomando como referencia la ecuación diferencial para aplicar la técnica llamada variables separables, se puede asegurar que la solución particular 10. La ecuación diferencial es inexacta puesto que , pero se puede convertir en una ecuación exacta, PORQUE al multiplicar la ecuación por el factor se obtiene que . ACTIVIDAD GRUPAL Primera Actividad Grupal Segunda Actividad Grupal: CONCLUSIONES INTRODUCCION El presente trabajo comprende elementes básico en la propuesta del desarrollo del ejercicio en ecuaciones diferenciales, en donde ampliando de manera práctica los conocimientos iniciales sobre el entorno de trabajo permitirán aportar y dar una mayor construcción sobre la primera parte del trabajo desarrollado, logrando así un reconocimiento crítico sobre el entorno de la materia que genera un análisis objetivo sobre la importancia de los cursos propuestos en su aporte para la construcción de conocimientos. OBJETIVOS Objetivo General El presente trabajo tiene como objetivo dar solución a los ejercicios propuestos en trabajo. Objetivo Específico - Desarrollar los ejercicios - Asociar los conceptos presentados en la materia para la conceptualizacion de los conocimeintos - Contextualizar los conceptos relacionados en un análisis a través del ejercicio propuesto y enfocado. PREGUNTAS 1. Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma � ´´ + �1 (�)� ´ + �2 (�)� = �(�) y para que ésta sea una ecuación homogénea con coeficientes constantes se deben hacer dos suposiciones: 1. Los coeficientes son constantes. 2. �(�) = 0. Una ecuación homogénea tiene dos soluciones independientes y se pueden presentar tres tipos: Caso 1: Soluciones reales y distintas, Caso 2: Soluciones iguales y reales y Caso 3: Soluciones complejas y conjugadas. Teniendo en cuenta lo anterior las soluciones de la ecuación diferencial 4 � ´´ + 4� ´ + 5� = 0 son: A. Soluciones complejas y conjugadas cuya solución es � = � −� 2 ⁄ (�1 𝑐𝑜� � + �2 �𝑖� �) B. Soluciones complejas y conjugadas cuya solución es � = � −� (�1 𝑐𝑜� � + �2 �𝑖� �) C. Soluciones iguales y reales cuya solución es � = �1� √2� +�2�� √2� Desarrollo: Proponemos la solución de la forma Reemplazamos usando la formula general de ecuaciones de segundo grado de la forma Hallamos las 2 soluciones: Factorizamos y eliminamos términos comunes Agrupamos el número real y el imaginario Hallamos El discriminante es negativo por lo tanto son soluciones complejas conjugadas Hallamos la solución general usando la formula La solución es la respuesta 2.Para encontrar la solución de una ecuación homogénea asociada diferencial de segundo orden con coeficientes variables se procede sustituir � = � �, � ′ = �� �−1 , �′′ = �(� − 1)� �−2 y luego se encuentran las raíces de la ecuación de segundo grado originada, de tal mane que si dichas raíces son m y n, entonces la solución de la ecuación homogénea es: �ℎ = 𝑐1� � + 𝑐2 � � , �𝑖 � �� 𝑑𝑖��𝑖��𝑜 𝑑� � �ℎ = 𝑐1� � + 𝑐2 � �𝑙��, �𝑖 � = � �ℎ = � ∝(𝑐1 cos(𝛽𝑙��) + 𝑐2���(𝛽𝑙��)), �𝑖 � � � �𝑜� 𝑐𝑜�𝑝𝑙�𝑗𝑜� 𝑑� 𝑓𝑜𝑟�� ∞ + 𝑖𝛽. Con base en lo anterior, la solución de la ecuación homogénea de la ecuación � 2�’’ + ��’ + � = 2� es: A. �ℎ = 𝑐1cos(𝑙��) + 𝑐2���(𝑙��). B. �ℎ = 𝑐1� − 𝑐2 𝑙�� C. �ℎ = 𝑐1 + 𝑐2 𝑙�� D. �ℎ = 𝑐1� + 𝑐2 � −1 . Con base en lo anterior, la solución de la ecuación homogénea de la ecuación es: E. . F. G. H. Solución Reemplazamos Factorizamos Pasamos 2x al otro lado de la ecuación Simplificamos Son raíces complejas Por al tanto la solución general de la forma A. 3. La solución de una ecuación diferencial de orden superior con coeficientes constantes de la forma �2� 2�(�) + �1��(�) + �0�(�) = �(�), es � = 𝑟1�1 + 𝑟2 �2 En donde �1 � �2 �𝑜� 𝑙�� �𝑜𝑙�𝑐𝑖𝑜��� 𝑑� 𝑙� �𝑐��𝑐𝑖ó� ℎ𝑜�𝑜�é��� ��𝑜𝑐𝑖�𝑑� � 𝑟1 = ∫ �1 � 𝑑� , 𝑟2 = ∫ �2 � 𝑑� . Para ello, los Wronskianos � = | �1 �2 �1 ′ �2 ′ |, �1 = | 0 �2 �(�) �2 ′ |, �3 = | �1 0 �1 ′ �(�) | Con base en lo anterior, la solución de la ecuación � ′′ − 5� ′ + 4� = 1 es: �. � = 𝑐1� −4� + 𝑐2� −� − 1 12 �. � = 𝑐1� 4� + 𝑐2� � + 1 4�. � = 𝑐1� 4 + 𝑐2� + 4 3 �. � = 𝑐1� −4 + 𝑐2� −1 − 1 3 Solución del punto 3 Resolviendo la homogénea Tomando el polinomio asociado Luego Por lo tanto Calculando el Wronskiano Se tiene que Luego la solución de la equiacion es: 4. Una Ecuación Diferencial No Homogénea De Orden Superior Es De La Forma: + +… + �=�(�), Cuya Solución General Se Escribe Como La Suma De Las Soluciones De Una Ecuación Homogénea Y Una Particular. �= + Se Determina Haciendo � =0 Para Convertir La Ecuación A Una Homogénea Con Coeficientes Constantes. Esta Es La Llamada Solución Asociada Y Se Encuentra Una Solución Particular De La Ecuación No Homogénea. Esta Es La Llamada Solución Particular . Dicha Solución Depende De La Forma De La Función � . De Acuerdo Con Lo Mencionado Anteriormente Una Solución Particular De La Ecuación Diferencial No Homogénea +4�= Es: A. B. C. D. Solución del punto 4 Ecuación característica Soluciones independientes Solución ecuación asociada Solución particular Sustituyendo en la ecuación 1 y simplificando Solución lineal Solución particular 5. El método de variación de parámetros para dar solución a una ecuación diferencial de tercer orden establece que primero se encuentra la función complementaria �𝑐 = �1�1 + �2�2 + �3�3 y después se calcula el wronskiano �(�1 (�), �2 (�), �3 (�)). Posteriormente se determina 𝑓(�), para poder encontrar �1 �2 y �3, y poder hallar la solución particular mediante la integración de �1 ´ = �1 � , �2 ´ = �2 � y �3 ´ = �3 � , donde : � = | �1 �2 �3 �1 ′ �2 ′ �3 ′ �1 ′′ �2 ′′ �3 ′′|, �1 = | 0 �2 �3 0 �2 ′ �3 ′ 𝑓(�) �2 ′′ �3 ′′|, �2 = | �1 0 �3 �1 ′ 0 �3 ′ �1 ′′ 𝑓(�) �3 ′′| �3 = | �1 �2 0 �1 ′ �2 ′ 0 �1 ′′ �2 ′′ 𝑓(�) | Una solución particular es �𝑝 = �1�1 + �2�2 + �3�3 y la solución general de la ecuación diferencial es entonces � = �𝑐 + �𝑝. Con base en lo anterior, los valores para �1, �2 y la solución general de la ecuación � ′′ + � ′ = 𝒔𝒆𝒄� son respectivamente: 1. �1 = −𝑇���, �2 = 1 2. � = �1�𝑜�� + �2𝑆��� − �𝑜��. 𝐿�|𝑆�𝑐�| + �𝑆��� 3. � = �1 + �2� + � � + 1 4 � −� 4. �1 = 2�� −� + � −� , �2 = 2�� � En efecto se tiene que la solución homogénea , Por lo tanto la solución general es: 6. Un problema de valor inicial es una ecuación diferencial ordinaria que tiene un valor especificado que se conoce como la condición inicial, de la función desconocida en un punto dado del dominio de la solución. Para el problema de valor inicial 4 � ′′ + 4� ′ + 17� = 0, �(0) = −1, �′(0) = 2, las raíces de la ecuación auxiliar y la solución al problema � corresponden a: 1. � = � −� 2 ⁄ (− cos 2� + 3 4 ���2�) 2. 𝑟1 = −1 2 + 2𝑖; 𝑟2 = −1 2 − 2𝑖 3. 𝑟1 = −1 2 − 2𝑖; 𝑟2 = 1 2 + 2𝑖 4. � = � −� 2 ⁄ (cos 2� − 3 4 ���2�) reemplazando en E.D.H. Reemplazando en la solución de la ecuación diferencial. 0 1 Ahora derivemos Por lo tanto Rta 1y 2 9. Tomando como referencia la ecuación diferencial para aplicar la técnica llamada variables separables, se puede asegurar que la solución particular cuando es , PORQUE al hallar el valor de la constante en la solución general se obtiene que Rta: A Solución: Esta ecuación diferencial se puede escribir como: De donde se pueden separar las variables: Integrando en ambos miembros de la ecuación: Para el segundo miembro de la ecuación, se puede hacer un cambio de variable: Entonces se tiene: Volviendo a la variable original: La constante de integración se puede poner de una forma más conveniente como : Volviendo a la Integral inicial: Aplicando la función exponencial: Para la solución particular : La solución sería: 10. La ecuación diferencial es inexacta puesto que , pero se puede convertir en una ecuación exacta, PORQUE al multiplicar la ecuación por el factor se obtiene que . Rta: C Solución: Se pueden distinguir claramente los términos: Se tiene: Se debe hallar un factor integrante; a partir del valor dado: ● Entonces: Se tiene: Se debe encontrar un factor integrante que satisfaga la condición A partir del factor integrante: ● Entonces: Se tiene: Ahora se puede integrar para encontrar la solución de la ecuación diferencial: Derivando con respecto a y: Se tiene que: Entonces: La función buscada será: ACTIVIDAD GRUPAL Primera Actividad Grupal El circuito de la figura muestra un Resistor R = 5 Ohmios en serie con un condensador C = 0.02 Faradios, conectados a una fuente de voltaje de 100 voltios. Si cuando t = 0 la carga Q en el condensador es de 5 Coulombios, determine Q y la corriente I cuando t > 0. Solución: R= 5 C=0,02 F Q (t=0)=5 De acuerdo con las leyes de Mirchoff Es voltaje en la resistencia 1R Es voltaje en el capacitor Como se sabe¿= Por lo tanto Segunda Actividad Grupal: Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada: Situación y solución planteada: Cuando tenemos una masa de 5 Kg que se une a un resorte de constante k= 5 N/m y a un amortiguador de constante c = 26 N.s/m, y la soltamos desde el punto x0 = -0.1 m, con velocidad v0 = 1.94 m/s, podemos determinar la Posición, Velocidad y Aceleración de la masa en el tiempo . Asi: La posición x(t) de m, con respecto a la posición de equilibrio, está dada por la solución de Problema de Valor Inicial No se puede proponer una solución, se debe analizar la ecuación característica pues si las raíces son imaginarias, no tendría esa forma. Se puede proponer como solución . La solución de dicha ecuación parte de su ecuación característica así: , de allí obtenemos las dos raíces utilizando la ecuación cuadrática Miramos la ecuación característica. La solución general de la ecuación diferencial que corresponde a la masa (Corresponde a la posición) es: Y su velocidad está dada por: Como en el tiempo , entonces tenemos sustituyendo en las dos ecuaciones previas Para resolver este sistema podemos usar el método de Cramer dando el siguiente resultado Con estos resultados, podemos calcular la posición, y derivando tendemos la Velocidad y la aceleración de la masa en Es negativo CONCLUSIONES La identificación de los aspectos más relevante sobre los conceptos en el ejercicio propuesto permite comprender conceptos que son necesarios para la adquisición de conocimientos. Al reconocer la importancia de los actores involucrados en la materia se puede obtener un análisis que ha permitido generar un espacio crítico y de aplicación en cada uno en los aspectos más relevantes en del desarrollo del ejercicio. La identificación de los elementos propuestos permite confirmar la importancia del estudio de esta materia su amplia capacidad de aplicabilidad y mejora para el trabajo cooperativo.