UNIDAD V – ECUACIONES CONSTITUTIVASINTRODUCCION Una ecuación constitutiva es una relación entre las variables termodinámicas o mecánicas de un sistema físico: presión, volumen, tensión, deformación, temperatura, densidad, entropía, etc. Cada material o substancia tiene una ecuación constitutiva específica, dicha relación sólo depende de la organización molecular interna. En mecánica de sólidos y en ingeniería estructural, las ecuaciones constitutivas son igualdades que relacionan el campo de tensiones con la deformación, usualmente dichas ecuaciones relacionan componentes de los tensores tensión, deformación y velocidad de deformación. Para un material elástico lineal la ecuación constitutiva se llaman ecuaciones de Lamé-Hooke o más simplemente ley de Hooke. También más generalmente en física se usa el término ecuación constitutiva para cualquier relación entre magnitudes tensoriales, que no es derivable de leyes de conservación u otro tipo de leyes universales y que son específicas del tipo de problema estudiado. Medios continuos. Sólido Elástico lineal (Ley de Hooke) (Caso unidimensional) (Caso general) Sólido Elástico isótropo no-lineal (Teorema de Rivlin-Ericksen) Fluido newtoniano BRAVO MORENO JOSE MANUEL Página 1 *Cuando se tira o se estira de lago se dice que está en tensión (largas y delgadas).1 LEY DE HOOKE GENERALIZADA En la teoría clásica de la elasticidad lineal.5. *Cuando se aprieta o se comprime algo se dice que está en compresión (cortas y gruesas). o de ambos. el tensor de deformación lineal está dado por las expresiones equivalentes. 5. plastilina y masa de repostería). porque se deforma con facilidad de manera permanente. Esta es conocida como la ley de Hooke generalizada.1. Si se estira o se comprime más allá de cierta cantidad. Las ecuaciones constitutivas para un sólido elástico lineal relacionan los tensores de tensión y deformación a través de la expresión. Elasticidad: Propiedad de cambiar de forma cuando actúa una fuerza de deformación sobre un objeto. ya no regresa a su estado original. sufre cambios de tamaño o de forma. Los materiales no deformables se les llaman inelásticos (arcilla.1 ELASTICIDAD CLÁSICA Cuando un objeto de somete a fuerzas externas. y el objeto regresa a su forma original cuando cesa la deformación. En el tensor de las constantes elásticas Cijkm tiene 81 componentes. Cuando un peso jala y estira a otro y cuando sele quita este peso y regresa a su tamaño normal decimos que es un cuerpo elástico. de tal manera que no es necesaria ninguna distinción entre las descripciones lagrangiana y euleriana. y permanece deformado. Esos cambios dependen del arreglo de los átomos y su enlace en el material. a esto se le llama límite elástico. en función del vector desplazamiento ui. El plomo también es inelástico. se supone que los desplazamientos y los gradientes de desplazamiento son suficientemente pequeños. hay a lo sumo 36 constantes BRAVO MORENO JOSE MANUEL Página 2 . debido a la simetría de los tensores de tensión y deformación. En lo que sigue se supone que los procesos de deformación son adiabáticos (sin pérdida o ganancia de calor) e isotérmicos (a temperatura constante) a menos que específicamente se establezca lo contrario. No obstante. Según esto. BRAVO MORENO JOSE MANUEL Página 3 . y donde los subíndices en mayúsculas latinas se usan para resaltar que el rango de estos índices es 6.1 ISOTROPÍA Si las propiedades elásticas son independientes del sistema de referencia usado para describirlas.elásticas distintas. las constantes Ckm son invariantes bajo la transformación de coordenadas. Así. con la notación. Si el plano x1x2 es uno de simetría elástica. 5. En un punto existe un plano de simetría elástica cuando las constantes elásticas tienen los mismos valores para cada par de sistemas coordenados que son el uno del otro como las imágenes reflejadas respecto al plano. Se alude a los ejes de tales sistemas coordenados como “direcciones elásticas equivalentes”. se dice que tal material es elásticamente isótropo. el sistema de doble asignación de índices a las componentes de tensión y deformación se constituye con frecuencia por un sistema de notación sencilla con un índice de rango 6.1.1. La ley de Hooke se puede escribir: En la que Ckm representa a las 36 constantes elásticas. Con objeto de escribir la ley de Hooke mediante estas 36 constantes. u tiene la propiedad: Además. se puede elegir arbitrariamente un estado de energía de deformación nulo. el número de constantes elásticas independientes es a lo sumo 21 existe una función para la energía de deformación. la energía interna es puramente mecánica y se denomina energía de deformación (por unidad de masa) y si u se 9 considera como una función de las nueve componentes de deformación. su diferencial será: La energía de deformación u se define como y puesto que p se puede considerar constate en la teoría de las pequeñas deformaciones. En el sistema de asignación de índices sencillos. u= u (eij). Debido a esta simétrica de Ckm.1. la forma mas sencilla de la función de la energía de deformación que conduce a una relación tensión-deformación lineal es la forma cuadrática.La matriz de transformación esta dada por: Introduciendo los valores en las leyes de transformación de los tensores lineales de tensión y deformación. la matriz elástica de un material que tiene x1x2 como plano de simetría es: 5. y puesto que la tensión tiene que anularse con las deformaciones. BRAVO MORENO JOSE MANUEL Página 4 . la ecuación de balance de energía se puede escribir: En este caso.2 ENERGÍA ELÁSTICA DE DEFORMACIÓN Cuando se desprecian los efectos térmicos. Existen dos tipos de tensores de Piola-Kirchoff: Primer tensor de Piola-Kirchoff. Esto contrasta con el tensor de tensiones de Cauchy usualmente usado para representar las tensiones para la configuración deformada. En la teoría lineal de la elasticidad debido a que la configuración deformada y la configuración no deformada son prácticamente iguales. Segundo tensor de Piola-Kirchoff. este tensor no será simétrico. que relaciona la configuración inicial no deformada y la configuración final deformada.3 TENSOR DE PIOLA – KIRCHHOFF Los tensores de tensión de Piola-Kirchhoff son tensores usados en la teoría de la elasticidad con deformaciones finitas para representar la tensión con respecto a la configuración inicial no deformada. que es un tensor mixto que relaciona la configuración inicial no deformada con las tensiones en la configuración deformada. BRAVO MORENO JOSE MANUEL Página 5 . el primer tensor de Piola-Kirchhoff TR = (KIj) relaciona las fuerzas en la configuración final deformada con las áreas en la configuración inicial no deformada (configuración material). Sin embargo. la relación anterior puede escribirse como: Puesto que este tensor relaciona magnitudes de diferentes sistemas coordenados es un tensor de "dos puntos" o tensor mixto. En una rotación rígida las componentes de este tensor en general no se mantendrán constantes.1. con grandes deformaciones esto no resulta adecuado.5. PRIMER TENSOR DE PIOLA-KIRCHOFF Mientras que el tensor de tensiones de Cauchy TC = (σij) relaciona las fuerzas en la configuración final deformada con las áreas de la configuración final deformada. Las componentes de este tensor se relacionan con las del tensor de Cauchy mediante: Donde es el gradiente de deformación. y en general se requiere el uso de los tensores de Piola-Kirchhoff. se puede usar el tensor de tensiones de Cauchy para representar las tensiones en la configuración inicial no deformada con muy buena aproximación. Más sencillamente en componentes y usando en convenio de sumatoria de Einstein. es un tensor simétrico que permite plantear el problema elástico sobre la configuración inicial. En general. Este tensor es el "momento conjugado" del gradiente de deformación. al igual que el tensor tensión de Cauchy. 5. Una solución de un problema de condiciones de frontera es una solución de una ecuación diferencial que también satisface condiciones de frontera. a través de isomorfismo que relaciona ambas geometrías. en el campo de las ecuaciones diferenciales. El análisis de estos problemas involucra funciones propias y operadores diferenciales. La relación anterior expresada en componentes es simplemente: Si el material rota mediante una "rotación rígida" sin cambio de forma y por tanto sin cambio en las tensiones.SEGUNDO TENSOR DE PIOLA-KIRCHOFF Mientras que el primer tensor de Piola-Kirchhoff TR relaciona fuerzas en la configuración final deformada con áreas en la configuración inicial no deformada. un problema de valor de frontera o contorno se lo denomina al conjunto de una ecuación diferencial y a las condiciones de frontera o contorno. Muchas clases de problemas de valores de frontera importantes son los problemas de Sturm-Liouville. es simétrico. y por tanto constituye un tensor ordinario (no mixto). Un problema de condiciones de frontera aparece en muchos aspectos de la física.1. Este segundo tensor de Piola-Kirchhoff es el "momento conjugado" respecto a la energía total del tensor deformación de Green-Lagrange. entonces las componentes del segundo tensor de Piola-Kirchhoff permanecen constantes durante dicha rotación. Las fuerzas sobre la configuración inicial de referencia se obtienen proyectando las fuerzas sobre la configuración deformada. Problemas que involucran la ecuación de onda son comúnmente problemas de condiciones de frontera. La relación entre el segundo tensor de Piola-Kirchhoff y el tensor tensión de Cauchy viene dado por: Por definición además este tensor.4 PROBLEMAS DE VALORES EN LA FRONTERA En matemáticas. el segundo tensor de Piola-Kirchhoff ΣR = (SIJ) relaciona fuerzas y áreas sobre la configuración inicial no deformada. como en las ecuaciones diferenciales que explican ciertos problemas físicos. BRAVO MORENO JOSE MANUEL Página 6 . . Pero cuanto elección de puesto que . EJEMPLO Teniendo las funciones y donde y son constantes o parámetros arbitrarios las cuales son soluciones de la ecuación diferencial lineal para las primeras derivadas respecto a t son al sustituir se obtiene lo siguiente: y y de igual manera para obtenemos lo siguiente: y y cuando sustituimos y se comprueba de forma directa que la combinación lineal de las soluciones o la familia paramétrica también son solución de la ecuación diferencial. se satisface que para cualquier por consiguiente que el problema es: tiene un numero infinito de soluciones como se muestra en la grafica. Pero aplicar por consiguiente Página 7 BRAVO MORENO JOSE MANUEL .Muchos de los primeros problemas de valor de frontera han sido estudiados mediante los problemas de Dirichlet. observemos que la por consiguiente . o buscando una función armónica (solución de una ecuación de Laplace) cuya solución esta dada por el principio de Dirichlet. (a) supongamos que ahora se desea determinar la solución de la ecuación que satisface mas las condiciones limite condición implica que . aun requiere que requiere que en la solución (2). . entonces a . (b) si el problema de valores en la frontera se cambia a . también llamado tensor de tensiones. Dada una BRAVO MORENO JOSE MANUEL Página 8 . del estado tensional de sólido y de la orientación del plano escogido para calcular el límite. 5. .es una solución de este nuevo problema de valores en la frontera de hecho se puede demostrar que es la única solución (c) por ultimo si el problema de valores en la frontera se cambia a . es decir.5 TENSOR DE ELASTICIDAD La tensión en un punto se define como el límite de la fuerza aplicada sobre una pequeña región sobre un plano π que contenga al punto dividida del área de la región. la tensión es la fuerza aplicada por unidad de superficie y depende del punto elegido.1. . y que pero al aplicar a se encuentra de nuevo que conduce a la contradicción por consiguiente el problema de valores en la frontera no tiene solución. que fijada una base vectorial ortogonal viene representado por una matriz simétrica 3x3: Donde la primera matriz es la forma común de escribir el tensor tensión en física y la segunda forma usa las convenciones comunes en ingeniería. Puede probarse que la normal al plano escogido nπ y la tensión tπ en un punto están relacionadas por: Donde T es el llamado tensor tensión. mientras que los gases carecen tanto de volumen como de forma propios. Las ecuaciones que rigen toda la mecánica de fluidos se obtienen por la aplicación de los principios de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido.2 FLUIDOS Se denomina fluido a un conjunto de sustancias donde existe entre sus moléculas poca fuerza de atracción. lo que ocasiona que la posición que toman sus moléculas varía. y la ecuación de la conservación de la energía. pues justamente fluyen. σyz y σzx están relacionadas con la distorsión angular que convertiría el ortoedro en un paralelepípedo. Las ecuaciones son las siguientes: BRAVO MORENO JOSE MANUEL Página 9 . Los fluidos están conformados por los líquidos y los gases. Para generalizarlas usaremos el teorema del transporte de Reynolds y el teorema de la divergencia (o teorema de Gauss) para obtener las ecuaciones en una forma más útil para la formulación euleriana. Las moléculas no cohesionadas se deslizan en los líquidos. ante una fuerza aplicada sobre ellos. mientras que las componentes σxy. conduciendo naturalmente a la descripción del material como un medio continuo. Los líquidos toman la forma del recipiente que los aloja. En algunos casos no es posible obtener una solución analítica. por lo que hemos de recurrir a soluciones numéricas generadas por ordenador. y se mueven con libertad en los gases. siendo los segundos mucho menos viscosos (casi fluidos ideales). la ecuación de la cantidad de movimiento. A esta rama de la mecánica de fluidos se la denomina mecánica de fluidos computacional. Las tres ecuaciones fundamentales son: la ecuación de continuidad. Estas ecuaciones pueden darse en su formulación integral o en su forma diferencial. 5. De esta forma.región en forma de ortoedro con caras paralelas a los ejes coordenados situado en el interior un sólido elástico tensionado las componentes σxx. por lo que para cada problema concreto de la mecánica de fluidos se estudian estas ecuaciones buscando simplificaciones que faciliten la resolución del problema. Aunque en verdad los fluidos no se mueven. la densidad y la velocidad podrán ser consideradas como funciones continuas del espacio y del tiempo. No existe una solución general a dicho conjunto de ecuaciones debido a su complejidad. las variables de estado del material. pero que no distorsinan los ángulos del ortoedro. tales como la presión. A este conjunto de ecuaciones dadas en su forma diferencial también se le denomina ecuaciones de Navier-Stokes (las ecuaciones de Euler son un caso particular de la ecuaciones de Navier-Stokes para fluidos sin viscosidad). manteniendo su propio volumen. cambiando su forma. dependiendo del problema. σyy y σzz dan cuenta de cambios de longitud en las tres direcciones. todos los fluidos son compresibles. vemos que podemos comprimir el aire que contiene. para simplificar las ecuaciones de la mecánica de fluidos. se considera que los líquidos son incompresibles. esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante BRAVO MORENO JOSE MANUEL Página 10 . La compresión de un fluido mide el cambio en el volumen de una cierta cantidad de líquido cuando se somete a una presión exterior.1 FLUIDOS IDEALES Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo. Por ejemplo. algunos más que otros. vemos que apenas podemos mover la bomba porque la compresibilidad del agua (y de cualquier líquido) es muy baja.2. y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. De hecho.Ecuación de continuidad: -Forma integral: -Forma diferencial: Ecuación de cantidad de movimiento: -Forma integral: -Forma diferencial: Ecuación de la energía -Forma integral: -Forma diferencial: 5. Sin embargo. si se tapa la salida de una bomba de bicicleta y se empuja la bomba. Por esta razón. En términos matemáticos. si hacemos la misma experiencia con agua dentro. la masa no cambia. El agua es un fluido casi incompresible.ρ = ρ0 = constante La ecuación de la conservación de la masa toma entonces una forma particularmente sencilla bajo forma integral en una superficie cerrada : lo que indica la igualdad del volumen de fluido que entra y sale. A grandes alturas. la miel o los geles que son ejemplos de fluido no newtoniano. agua) para definir las condiciones de flujo. por ejemplo.0]. esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. Esto se debe a que todas las propiedades están conectadas entre sí.2 FLUIDOS NEWTONIANOS Un fluido newtoniano es un fluido cuya viscosidad puede considerarse constante en el tiempo. la densidad del gas disminuye en el nuevo volumen. tiene una densidad mucho más alta que el aire. donde la presión es más baja. o bien bajo forma local La densidad se utiliza para determinar si un fluido es incompresible o compresible. aún bajo presión. el vino y algunos aceites minerales. La densidad del aire en un día caluroso es más baja que en un día frío. Cuando esto ocurre. Un fluido con muchas moléculas muy juntas unas de otras tiene una densidad alta. Como tiene más masa. 5. O sea que la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales. Si la densidad del fluido es fija (constante). uno que tiene pocas moléculas y muy separadas. Si la presión o la temperatura de un fluido cambia. El mejor ejemplo de este tipo de fluidos es el agua en contraposición al pegamento. el agua. El agua. La curva que muestra la relación entre el esfuerzo o cizalla contra su tasa de deformación es lineal y pasa por el origen. la gasolina. tendría una densidad más baja. Pueden expandirse para llenar un nuevo volumen. es decir. de esta manera. Un buen número de fluidos comunes se comportan como fluidos newtonianos bajo condiciones normales de presión y temperatura: el aire. su densidad generalmente también cambia (a menos que se trate de un fluido incompresible). son compresibles. el fluido es incompresible.2. BRAVO MORENO JOSE MANUEL Página 11 . Los gases (como el aire). pesa más. el punto [0. Una pecera de 10 galones que se encuentra llena de agua contiene mucha más masa que un tanque de 10 galones que tiene aire en lugar de agua. pero el volumen aumenta. la densidad del aire es también más baja. Se debe prestar atención a todas las propiedades del fluido (aire. 1 Para números de Reynolds más altos el flujo turbulento puede sostenerse de forma indefinida. velocidad alta o grandes caudales suelen ser turbulentos. suave. Se llama flujo laminar o corriente laminar. tiene unidades de tensión o presión ([Pa]).3 FLUJOS LAMINARES Y TURBULENTOS Es uno de los dos tipos principales de flujo en fluido. La ecuación constitutiva que relaciona el tensor tensión y el gradiente de velocidad y la presión en un fluido newtoniano es simplemente: 5. El número de Reynolds es un parámetro adimensional importante en las ecuaciones que describen en que condiciones el flujo será laminar o turbulento. En flujos laminares el mecanismo de transporte lateral es exclusivamente molecular. mientras fluidos de viscosidad baja. donde la velocidad máxima se encuentra en el eje del tubo y la velocidad es igual BRAVO MORENO JOSE MANUEL Página 12 . el rozamiento en un flujo unidimensional de un fluido newtoniano se puede representar por la relación: Donde: es la tensión tangencial ejercida en un punto del fluido o sobre una superficie sólida en contacto con el mismo. estratificado. Sin embargo.Matemáticamente. puede medirse en [Pa·s] o [kp·s/cm 2]. y para un fluido newtoniano depende sólo de la temperatura. al movimiento de un fluido cuando éste es ordenado.´ El flujo laminar es típico de fluidos a velocidades bajas o viscosidades altas. En un flujo laminar el fluido se mueve en láminas paralelas sin entremezclarse y cada partícula de fluido sigue una trayectoria suave. es el gradiente de velocidad perpendicular a la dirección al plano en el que estamos calculando la tensión tangencial.2. es la viscosidad del fluido. llamada línea de corriente. el flujo persistente será laminar por debajo de un número de Reynolds crítico de aproximadamente 2040. En el caso de fluido que se mueve en un tubo de sección circular. el número de Reynolds que delimita flujo turbulento y laminar depende de la geometría del sistema y además la transición de flujo laminar a turbulento es en general sensible a ruido e imperfecciones en el sistema El perfil laminar de velocidades en una tubería tiene forma de una parábola. [s−1]. supersónico cuando Ma>1. P: Campo de presiones. 5. Donde: u: Campo de velocidad.a cero en la pared del tubo. subsónico cuando Ma<1. lleva al fenómeno más complejo y rico de la dinámica de fluidos.4 EJEMPLOS DE FLUJOS LAMINARES NEWTONIANOS INCOMPRESIBLES PRESION EN AGUA A 1 ATM Una presión de 210 atm hace que la densidad del agua liquida a 1 atm cambie en sólo 1 por ciento. hasta que estos son difundidos en calor por los efectos de viscosidad. la velocidad del flujo a menudo se expresa en términos del número adimensional de Mach que se define como En donde c es la velocidad del sonido cuyo valor es de 346 m/s en el aire a temperatura ambiente al nivel del mar.2. En este caso. El término no lineal que aparece en la parte izquierda de la ecuación. este término cuadrático es la razón del porque los fluidos se vuelven turbulentos. pero el nivel de variación de la densidad en los flujos de gases y el nivel BRAVO MORENO JOSE MANUEL Página 13 . En particular. Cuando se analizan flujos de gas a velocidades altas. ρ: Densidad. mucho menor que en el caso de flujo turbulento. el flujo se vuelve inestable y largas estructuras del flujo se deshacen en torbellinos cada vez más pequeños. la pérdida de energía es proporcional a la velocidad media. Este importante proceso es llamado “Cascada de Energía”. Cuando este término aumenta mucho más que el término de difusión al cuadrado. en la ausencia de fuerzas corpóreas. Los flujos de líquidos son incompresibles hasta un nivel alto de exactitud. Se dice que un flujo es sónico cuando Ma=1. El punto de partida es el modelo de Navier-Stokes para un fluido Newtoniano incomprensible con una viscosidad dinámica μ. Nótese que se deben aplicar condiciones iniciales y de frontera para tener un problema bien planteado. e hipersónico cuando Ma>>1. Así el flujo de un gas no es necesariamente compresible. p1 y p2 son las velocidades y presiones en las secciones 1 y 2 respectivamente. Esta última. Este principio se basa en que cuando el gas o liquido en movimiento. Nota: Para obtener resultados precisos.consecuente de aproximación que se hace cuando se modelan estos flujos como incompresibles depende del número de Mach. Para flujo incompresible: BRAVO MORENO JOSE MANUEL Página 14 . los flujos de gases se pueden aproximar como incompresibles si los cambios en al densidad se encuentran por debajo de alrededor de 100 m/s. baja su presión y aumenta su velocidad. Un tubo de venturi es usado para medir la velocidad del flujo de un fluido. en tanto que las velocidades correspondientes obtenidas en la ecuación de Bernoulli sin un término de pérdidas son velocidades teóricas. V2. la presión disminuye. el tubo de Venturi debe estar precedido por una longitud de al menos diez veces en diámetro de la tubería. Donde V1. permite obtener el gasto que circula por la tubería. En el punto 2. multiplicada por el área real de la garganta. Al escurrir el fluido de la tubería a la garganta. Esta ecuación incorpora la conservación de la energía para fluidos. el flujo de fluido que entra en una región dada debe ser igual al que sale. Este dispositivo se utiliza para medir el gasto de una tubería. Usaremos la ecuación de continuidad para flujo de fluidos. se determinará la velocidad real. el gasto transportado por la tubería en el caso de un flujo incompresible esta en función de la lectura del manómetro. Multiplicando este valor por el coeficiente Cv. TUBO DE VENTURI Un venturi es un dispositivo que clásicamente incorpora una simple convergencia y divergencia a través de una sección y usa los principios de Bernoulli para relacionar la velocidad con la presión del fluido. el área es reducida de A1 a A2 y su velocidad se incrementa de V1 a V2. Esta se basa en que con ausencia de pérdida de masa. Las presiones en la sección 1 y en la garganta (sección 2) son presiones reales. Con frecuencia. donde la velocidad es máxima. Esto lo sabemos de la ecuación de Bernoulli. la velocidad aumenta notablemente. En la garganta. y en consecuencia. la presión es mínima. Si se consideran las pérdidas en la ecuación de la energía entonces se trata de velocidades reales. En lo que sigue se obtendrá primero la velocidad teórica en la garganta al aplicar la ecuación de Bernoulli sin el término de pérdidas. que al reemplazar en ecuación (3) resulta: BRAVO MORENO JOSE MANUEL Página 15 . De este modo se obtiene una expresión para el gasto. los cuales están a una misma altura: (1) (2) Remplazando (2) en (1).Juntando la ecuación de Bernoulli con la de continuidad. Aplicando la ecuación de Bernoulli y continuidad en los puntos 1 y 2. Por lo tanto. usando el manómetro para determinar la diferencia de presiones encontramos que como los niveles A y B están a una misma altura: . El gasto depende de la diferencia manométrica h. encontramos: Despejando. Donde S0 es la gravedad específica del liquido en el manómetro y S1 es la gravedad específica del líquido a través de la tubería. Esta expresión que constituye la ecuación del tubo de venturi para flujo incompresible. se tendrá: Por otro lado la diferencia manométrica h se puede relacionar con la diferencia de presiones al escribir la ecuación del manómetro. se tiene: (3) Por otro lado. por ejemplo v1. principios de conservación. Krempl. David. las cuales son base para estudios posteriores referente a temas estructurales o temas donde intervenga la mecánica de fluidos o la hidráulica.Serie Schaum . siendo la conclusión de la materia donde se miran temas referentes a tensores. deformación. BIBLIOGRAFIA Mecánica del Medio Continuo . Estas ecuaciones surgen a base de todo lo visto en las unidades anteriores de la materia “Introducción a la Mecánica del Medio Continuo”.George E. Introduction to Continuum Mechanics. etc.CONCLUSIÓN Gracias a esta unidad. Pergamon Press Apuntes de Mecánica de Medios Continuos . se pudieron conocer lo que son las ecuaciones constitutivas en la mecánica de los medios continuos. Erhard. Michael.Ignacio Romero Olleros BRAVO MORENO JOSE MANUEL Página 16 .Mase Lai. Rubin.