INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES IIUNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS Características operativas para el modelo M/M/1. 1 =Tasa media de llegadas. =Tasa media de servicio. Lq 2 Cantidad promedio de unidades en la fila. ( ) Lq Tiempo promedio de espera en la fila. Wq W Wq L Lq Po 1 1 Tiempo promedio de espera en el sistema. Cantidad promedio de unidades en el sistema. Probabilidad de que no haya clientes en el sistema. Pw 1 Po Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar. Pn Po * n Probabilidad de que haya “n” clientes en el sistema. Probabilidad de “x” llegadas en un periodo especifico. P ( x) x * e x! Probabilidad de que el tiempo de servicio sea o > que el tiempo de duración “t” P (ts t ) 1 e t ó P(ts t ) e t 1 M.C. Emiliano Ferreira Díaz INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS Características operativas para el modelo M/M/K. k = Número de canales. =Tasa media de llegadas. =Tasa media de servicio. k Probabilidad de que no haya unidades en el sistema. 1 Po k 1 n ( / ) ( / ) k k * n! k! k n 0 Cantidad promedio de unidades en la línea de espera. ( / ) k * Lq * Po (k 1)!*(k ) 2 L Lq Wq Cantidad promedio de unidades en el sistema. Lq Tiempo que pasa una unidad en la línea de espera. W Wq 1 Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar por el servicio. Pw Pn / n! n 1 * k! k k * Po k * Probabilidad de “n” unidades en el sistema. ( / ) n Pn * Po Para “n”> k * Po Para “n” k k!*k ( n k ) 2 M.C. Emiliano Ferreira Díaz INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS Características operativas para el modelo M/G/1. =Tasa media de llegadas. =Tasa media de servicio. 1 =Tiempo promedio de servicio. = Desviación estándar del tiempo de servicio. Po 1 Lq Probabilidad de que no haya unidades en el sistema. 2 2 ( / ) 2 Cantidad promedio de unidades en la línea de espera M/G/1. 2(1 / ) Lq ( / ) 2 Cantidad promedio de unidades en la línea de espera M/D/1. 2(1 / ) L Lq Wq Cantidad promedio de unidades en el sistema. Lq Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera. W Wq 1 Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar por el servicio. Pw 3 M.C. Emiliano Ferreira Díaz INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS Características operativas para el modelo M/G/K. =Tasa media de llegadas. =Tasa media de servicio para cada canal. k = La cantidad de canales. Pj = La probabilidad de que j de los k canales estarán ocupados para j 1,2,3,..., k Pj ( / ) j / j! K / i / i! Probabilidad de que j de los k canales estén ocupados. i 0 L * 1 Pk Cantidad de unidades promedio en el sistema. Otros Cálculos. Probabilidad de “x” llegadas en un periodo especifico. P ( x) x * e x! Probabilidad de que el tiempo de servicio sea o > que el tiempo de duración “t” P (ts t ) 1 e t ó P(ts t ) e t Análisis económico de las líneas de espera. TC Cw * L Cs * K Cw = El costo de esperar por periodo para cada unidad. L = La cantidad promedio de unidades en el sistema. Cs = El costo de servicio por periodo para cada canal. K = La cantidad de canales. TC = Costo total por periodo. 4 M.C. Emiliano Ferreira Díaz M/M/1 Investigación de Operaciones.6667 5 M.4989 0.5 2 0.6667 Wq15 0.5 c) W 4.6667 0.5 clientes/minuto.0615 d) Po 1 0. con una media de 1 ½ minutos.25 0.6667 0. d) La probabilidad de que el dependiente este ocioso.9988 0. Pág.2494 4.5minutos/cliente = 1/1. =0.C.2494 2. Emiliano Ferreira Díaz . SOLUCIÓN: a) Lq 0. 276. Un vendedor atiende el mostrador en una tienda de helados. a) El número promedio de clientes en espera del servicio. con una tasa media de llegadas de 30 por hora. Los clientes llegan de acuerdo con un proceso Poissoniano. Se les atiende siguiendo un tipo FIFO. aceptan esperar si es necesario. b) La cantidad de tiempo de espera por el servicio que un cliente debería estimar. c) La probabilidad de que un cliente tenga que permanecer más de 15 minutos en la línea de espera. McGraw Hill.6667=0. µ = 1. y debido a la calidad del helado. ρ = 0. DATOS: λ = 30 clientes /hr.75.5 0.4989 1 5.5=0. Aparentemente el tiempo de servicio por cliente se distribuye exponencialmente.5 b) Wq 2. Determínese. Richard Bronson.5/0.6667clientes/minuto.9988) 0.75 * e( 15 / 5.INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS EJERCICIO #1. Use la distribución de probabilidad exponencial para responder las siguientes preguntas. M/M/1 Modelos Cuantitativos para los Negocios. 629 En el sistema de línea de espera de Willow Brook National Bank.6*1.6*2.30119 6 M.45119 b) P (ts 2 min) 1 e ( 0. Pag.6 clientes por minuto.0 ) 0.0 ) 0.0 ) 0. Emiliano Ferreira Díaz . suponga que los tiempos de servicio para la ventanilla de atención en el automóvil siguen una distribución de probabilidad exponencial con una tasa media de servicio de 36 clientes por hora o 0. Anderson/Sweeney/Williams. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de servicio sea de un minuto o menos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de servicio sea de dos minutos o menos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de servicio sea de más de dos minuto? P (ts t ) 1 e t P(ts t ) e t O Probabilidad de que el tiempo de servicio sea o > que el tiempo de duración “t” SOLUCION: a) P (ts 1 min) 1 e ( 0.C.6*2.69881 c) P (ts 2 min) e ( 0.INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS EJERCICIO #2. Tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema. Anderson/Sweeney/Williams.4 2 1.3333 clientes. M/M/1 Modelos Cuantitativos para los Negocios.99667 clientes. Cantidad promedio de clientes en el sistema.6667 7 M.33 3.6 0. 0. a) Po 1 b) Lq 0. 0.33 d) Wq 0 .6 clientes por minuto.6 1. a) b) c) d) e) f) Probabilidad de que no haya clientes en el sistema.4 0.3333 min. Tiempo promedio que pasa un cliente esperando.4) c) L 1. 0 . Pag. 629 Determinar las características operativas que se piden a continuación.3333 0. Probabilidad de que los clientes que llegan tengan que esperar por el servicio. 24 Clientes por hora 0.4 1.3333 0. Emiliano Ferreira Díaz .6 0.6 f) Pw 1 . 36 Clientes por hora 0. del cajero para atención a automovilistas que se citan en los problemas anteriores. Cantidad promedio de clientes que esperan.4 e) W 3.C.6(0.3333 1 5.INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS EJERCICIO #3.8333 min.4 clientes por minuto. 0. con una tasa media de servicio de 12 solicitudes por hora.INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS EJERCICIO #4. 8 M. 12 e) Pw 1 0.83333 EJERCICIO #5.41667 * 60 min. Anderson/Sweeney/Williams.0002 min.416667 1 0. M/M/1 Modelos Cuantitativos para los Negocios. 10 Solicitudes por hora. 630 El escritorio de referencias de una biblioteca universitaria recibe solicitudes de ayuda. 12(12 10) 4. a) b) c) d) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya solicitudes de ayuda en el servicio? ¿Cuál es la cantidad promedio de solicitudes que esperaran por el servicio? ¿Cuál es el tiempo de espera promedio en minutos antes de que comience el servicio? ¿Cuál es el tiempo promedio en el escritorio de referencias en minutos (tiempo de espera más tiempo de servicio)? e) ¿Cuál es la probabilidad de que una nueva llegada tenga que esperar por el servicio? 12 Solicitudes por hora. = 31.0002 min.16667 = 0.16667 solicitudes. Emiliano Ferreira Díaz .16667 0. Suponga que puede utilizarse una distribución de probabilidad de Poisson.C. a) Po 1 b) Lq c) Wq 10 0. = 25. Pag.51667 * 60 min. 10 d) W 0.16667 12 10 2 4. con una tasa media de 10 solicitudes por hora para describir el patrón de llegada y que los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial. 25) 1.25 d) Pw 1 0.04167 = 0.25 clientes por minuto. Emiliano Ferreira Díaz . 630 Movies Tonight es un establecimiento típico de renta de videos y DVD para clientes que ven películas en su casa. = 2 clientes por minuto.C. a) b) c) d) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya clientes en el sistema? ¿Cuál es la cantidad promedio de clientes que esperan por el servicio? ¿Cuál es el tiempo promedio que espera un cliente para que comience el servicio? ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar por el servicio? = 1.37500 2 1.37500 0. = 50 min. Suponga llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales.25 0.INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS M/M/1 Modelos Cuantitativos para los Negocios.25 2 1. a) Po 1 b) Lq c) Wq 1. Anderson/Sweeney/Williams. los clientes llegan a Movies Tonight a una tasa promedio de 1. Durante las noches entre semana. 2( 2 1. 1.8333 * 60 min.04167 clientes.6250 9 M. El dependiente del mostrador puede atender un promedio de 2 clientes por minuto.25 clientes por minuto. Pag. 4 0. 0. 1. 0.75 clientes por minuto y = 1.9 Probabilidad de que no haya clientes en el sistema. W 1. conforme se coloca el pedido.2 min. 607 La administración de Burger Dome decide emplear un encargado de surtir pedidos que asistirá al tomador de pedidos que se encuentra en la caja registradora. Cantidad promedio de unidades en el sistema. Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar.5 clientes.25 Po 1 0.25 0.25 clientes por minuto.25(1.25 0. Cuando se completa la orden. el tomador de pedidos maneja el dinero. Con este diseño la administración de Burger Dome estima que la tasa media de servicio puede aumentarse de la tasa de servicio actual de 60 a 75 clientes por hora. El cliente comienza el proceso de servicio colocando el pedido con el tomador de pedidos. Tiempo promedio de espera en la fila. Anderson/Sweeney/Williams.9 clientes.75) Wq Tiempo promedio de espera en el sistema. = 0. 1.75 clientes por minuto. 1.75 2 = 0.75 1.9 1. Emiliano Ferreira Díaz 1 2 min. Por tanto. mientras el encargado del surtido continúa llenando el pedido. la tasa media de servicio para el sistema revisado es = 75 clientes/60 minutos = 1.25 clientes por minuto. el tomador de pedidos anuncia la orden a través de un sistema de intercomunicación y el encargado del surtido comienza a llenar el pedido. determine las características operativas del sistema. 0.C. = 1.25 clientes por minuto.75 10 M.INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS EJERCICIO #6. M/M/1 Modelos Cuantitativos para los Negocios. Lq Cantidad promedio de unidades en la fila.75 0.2 L 0 . Para = 0.25 Pw 1 0. Pag.4 =40% 1.6 =60% . 25 3. L.25 1) Cantidad promedio de unidades en la fila. Lq . 1 Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar.2 min < Wq1= 3.C. Lq Cantidad promedio de unidades en el sistema. Pw .2 por lo tanto es mejor el ejemplo anterior a este.2 3.25 clientes por minuto. 1 4 min.25 clientes por minuto.2 Tiempo promedio de espera en la fila. = 1 cliente por minuto.INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS EJERCICIO #7. 630 Para la línea de espera con un solo canal de Burger Dome. Wq Tiempo promedio de espera en el sistema.25 Pw 1 0. Po 1 1 0. 1. 1.75 = 1. Anderson/Sweeney/Williams. M/M/1 Modelos Cuantitativos para los Negocios.25 12 3. Probabilidad de que no haya clientes en el sistema. Wq0. Wq. W . Calcule las siguientes características operativas para el nuevo sistema: Po. L 3 . Emiliano Ferreira Díaz .8 =80% Respondiendo a la pregunta de este problema: el servicio seria deficiente. ¿Este sistema proporciona un servicio mejor o más deficiente que el sistema original? = 1.2 min. 1.2 =20% 1. suponga que la tasa de llegada se incremento a 1 cliente por minuto y que la tasa media de servicio aumentó a 1.2 = 0.2 1 4 clientes. Pag. 11 M. W 3.2 clientes.25(1. a) Po b) Lq 1 (14 / 10) (14 / 10) (14 / 10) 2 2 *10 0.17647 * 0! 1! 2! 2 *10 14 0 1 (14 / 10) 2 * 14 * 10 * 0.34509 0.17647 0. 10 c) Wq e) Pw 1 14 * 2! 10 2 2 *10 * 0.19608 * 60 min. y la tasa media de servicio es de 10 unidades por hora para cada canal.C. La tasa media de llegadas es de 14 unidades por hora. Anderson/Sweeney/Williams.09608 * 60 min. a) b) c) d) e) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya unidades en el sistema? ¿Cual es la cantidad de unidades promedio en el sistema? ¿Cuál es el tiempo promedio que espera una unidad por servicio? ¿Cuál es el tiempo promedio que una unidad esta en el sistema? ¿Cuál es la probabilidad de tener que esperar por el servicio? = 10 unidades por hora.09608 = 0. = 14 unidades por hora. = 11.76467 min. 14 1 d) W 0. (2 1)!*(2 * 10 14) 2 1.INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS EJERCICIO #8.34509 unidades. = 5. Emiliano Ferreira Díaz .17647 1. Pag. M/M/K Modelos Cuantitativos para los Negocios.7648 min.57647 2 * 10 14 * 12 M. k = 2 canales. 632 Considere una línea de espera con 2 canales con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales. 23599 0.C.INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS EJERCICIO #9. = 14 unidades por hora. M/M/K Modelos Cuantitativos para los Negocios. = 0. = 6. b) ¿Es preferible el sistema de 2 canales o el de 3 canales? = 10 unidades por hora. 10 3 3 * 10 * 0. 14 d) W 0.75882 min.23599 . Suponga que el sistema se expande a una operación de 3 canales. Pag.01264 * 60 min. 632 Remítase al problema anterior.20236 3 * 10 14 * 13 M.01264 e) Pw 1 14 * 3! 10 1 = 0.23599 0.11264 *60 min.17706 0. 1 Po (14 / 10) (14 / 10) (14 / 10) 2 (14 / 10) 3 3 * 10 * 0! 1! 2! 3! 3 * 10 14 (14 / 10) 3 * 14 * 10 * 0. a) Calcule las características operativas para este sistema de línea de espera. Emiliano Ferreira Díaz 0. b) Lq (3 1)!*(3 * 10 14) 2 a) c) Wq 0 1 0.7584 min. Anderson/Sweeney/Williams. k = 3 canales.17706 unidades. a) b) c) d) ¿Cuál es la tasa media de llegada en trabajos por hora? ¿Cuál es la tasa media de servicio en trabajos por hora? ¿Cuál es la cantidad promedio de trabajos esperando por servicio? ¿Cuál es el tiempo promedio que espera un trabajo antes de que el soldador pueda comenzar a trabajar en el? e) ¿Cuál es la cantidad promedio de horas entre el momento en que se recibe un trabajo y el momento en que se completa? f) ¿Qué porcentaje del tiempo esta ocupado el soldador de Gubser? = 2 trabajos por día. El tiempo requerido para completar los trabajos sigue una distribución de probabilidad normal con un tiempo medio de 3.22500 8.9 f) Pw 1 12.2 = 0.2 horas por trabajos. a)2/8 = 0.22500 trabajos 2(1 0. = 2 horas por trabajo. M/G/1 Modelos Cuantitativos para los Negocios. 634 Gubser Welding opera un servicio de soldadura para trabajos de construcción y reparaciones automotrices. 634 14 M.31250 0. Pag.25 / . 1/3.25 0. Suponga que la llegada de trabajos a la oficina de la compañía puede describirse con una distribución de probabilidad de Poisson con una tasa media de llegada de 2 trabajos por día de 8 hrs.9 horas. 0. = 3. asumiendo que Gubser usa un soldador para completar todos los trabajos.25 2 2 2 (0.25 / .C.8 0. Pag. EJERCICIO #11. Anderson/Sweeney/Williams. Emiliano Ferreira Díaz .31250 trabajos por hora.31250 Significa que el soldador está ocupado el 80%.25 trabajos por hora.25 e) W 8. 2/8 = 0.100 horas.31250) 2 = 2. M/G/1 Modelos Cuantitativos para los Negocios. 0.25 trabajos por hora. b)1/3.INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS EJERCICIO #10. c) Lq d) Wq 0. Responda las siguientes preguntas.2 horas y una desviación estándar de 2 horas.2 = 0.31250 trabajos por hora. Anderson/Sweeney/Williams.31250) 2. 3.31245 0. d) /60 min = 3.28563 0.16667 * 60 min. suponga que la tasa media de llegada es de 5 trabajos por hora. Al llegar las microcomputadoras al centro de reparación se 15 M.0 = 0. Características operativas. a) Diseño “A”. Diseño.50003 0.47919 0. A 6. 5/60 = 0. = 0.16 * 60 min.INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS Los trabajos llegan en forma aleatoria a una planta de ensamblado.25 = 0.25 0.74955 min.01 horas. Los tiempos de servicio (en minutos por trabajo) no siguen la distribución de probabilidad exponencial.08333 trabajos por minuto. Media. c) El diseño “A” con = 10 trabajos por hora. 1/6. 0.67790 min.0/6. Tiempo de servicio. Emiliano Ferreira Díaz . b) ¿Cuál es la tasa media de servicio en trabajos por hora para cada diseño? c) Para las tasas medias de servicio en el inciso a). A continuación se muestran dos diseños propuestos para la operación de ensamblado de la planta. e) El diseño “B” EJERCICIO #12. 1= 6 min por trabajo. maneja la reparación de las microcomputadoras que vende TV shak. 0.52081 b) 0. Desviación estándar. 2 2 ( / ) 2 Lq 2(1 / ) L Lq Lq Wq Po 1 W Wq Pw 1 Diseño “B”.6/60 = 0.6 a) Calcule las características operativas del sistema.16 trabajos por minuto.16 = 0. 1= 0.6 trabajos por hora. 0.16667 trabajos por minuto. Montana. Davis/McKeown.81242 0. M/M/K Métodos Cuantitativos para Administración. = 9.42770 min. /60 min.05 horas. 9. 9. = 10 trabajos por hora. 2= 0. 2= 6. 1/6 = 0.80643 3.25 min por trabajo.0 3.74943 min. ¿Qué diseño parece proporcionar la tasa de servicio mejor o más rápida? d) ¿Cuáles son las desviaciones estándar de los tiempos de servicio en horas? e) ¿Cuál diseño proporciona las mejores características operativas? ¿porque? = 5 trabajos por hora. Pag 612 El centro de reparación de computadoras TV shak de McLeod.6 min/trab.0 min/trab.0 B 6.C. Un problema común de reparación es la alineación de unidades de disco.16667 =3.49997 0. Estas solicitudes llegan aleatoriamente a razón de 5 por día.0147 c) (30) 2 Lq (40) * (40 30) 2.0049 30 1 0. Suponiendo que las tasas de llegadas y de servicio son aleatorias y de 30 por mes y 2 por día por cada técnico (20 días hábiles por mes). ¿Cuál es el tiempo promedio que una solicitud espera para ser procesada? En promedio. Davis/McKeown. Por razones de control de calidad. maneja solicitudes de ingreso a la maestría de administración de empresas sobre la base de que el primero que llega es el primero que se atiende.03125) * (0.4705) Lq ( 3 1 )! ( 3 ( 40 ) ( 30 )) Lq (0. responda las siguientes preguntas: a.075 140 0. Pag 612 El jefe de la oficina de admisión de una escuela de negocios bien conocidas. ¿en cualquier momento. Emiliano Ferreira Díaz .C. En promedio. M/G/1 Métodos Cuantitativos para Administración.25 W 0. ¿Cuál será el tiempo promedio de una microcomputadora permanece en el centro de servicio? b. una vez que se asigne una microcomputadora a un técnico.25 Wq 0.4705) 0.INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS asigna en forma rotatoria a uno de los tres técnicos para que haga la alineación.0147 0. ¿Cómo respondería usted las preguntas anteriores si una microcomputadora que llega pasara al primer técnico disponible para que le diera servicio.0049 b) Po 1 2 3 30 / 40 30 / 40 30 / 40 30 / 40 0! 1! 2! 3! 0 3(40) = 0. no se asigna a otro.4705 3(40 30) 1 30 / 40 3 (30)(40) * (0.0254 40 W 0.1 EJERCICIO #13. en vez de que se asignara en forma rotatoria? a) Wq 0. cuantas micros estarán esperando a cada técnico para que les de servicio? c.075 30 Lq 2. La distribución de probabilidad en los tiempos de servicio es tal que la desviación estándar es 1/10 de día y la media 1/9 de día. ¿Cuántas solicitudes están en espera de ser procesadas en cualquier momento? 16 M. 6284.06284 0.INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS 5 Por día. Pag 612 El First Nacional Bank esta planeando instalar una variedad especial de cajeros automáticos en la librería de una universidad local. M/D/1 Métodos Cuantitativos para Administración. ¿Cuál será el tiempo promedio que un estudiante pasara en la fila y haciendo su retiro? En promedio.dia 1 / 10 De día. 5 EJERCICIO #14. tendrá un tiempo deterministico de servicio de 60 segundos. Si las llegadas son aleatorias y a razón de 30 por hora. Davis/McKeown.1256 Tiempo que una solicitud espera (días). Emiliano Ferreira Díaz . ¿Cuántos estudiantes estarán en espera de hacer retiros? 80 llegadas por hora. 1 / 9de. Estudiantes que esperan 0.dia 9 por.C. Lq Wq 5 2 ( 110) 2 ( 59 ) 2 2(1 (5 / 9)) 0. 17 M. Puesto que el cajero solo permitirá retiros. Este cajero automático será especial porque permitirá solo hacer retiros (necesidad común en una universidad). 1 Cliente por minuto. 5 Minutos por llamada = 0. 10 Llamadas por hora. Emiliano Ferreira Díaz . 0.2 llamadas por minuto = 12 llamadas por hora. Lq 0.5 W 0. Este servicio considera en dar información médica sobre los diversos temas a las personas que marquen el número de información del hospital que es el público.5 / 1 2 2(1 0. El hospital pronostica que habar aproximadamente 10 llamadas por hora y que serán de duración aleatoria.5 1 / 1 1. Habrá solo una línea telefónica por operador. 18 M. El hospital desea reducir la probabilidad de que las personas a que llamen encuentren ocupada la línea al menos de 0. Davis/McKeown.5 EJERCICIO #15.05 aumentando las líneas telefónicas.25) / 0.5 0.5 / 1) 0.INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS Servicio de 60 segundos.C.25 Wq (0. M/G/K Métodos Cuantitativos para Administración. Utilice la formula de la llamada perdida de Erlang para calcular el numero de líneas telefónicas necesarias para alcanzar el nivel deseado de probabilidad del hospital. La experiencia a mostrado que la llamada promedio dura 5 min. Pag 612 Un hospital local esta planeando ofrecer un servicio a la población general.5 Llegadas por minuto. Una operadora contestara a las personas que llamen e intentara contestar sus preguntas. 4545 10 / 12 1 10 / 12 1 1! L 5 / 6 * (1 0.825 Con una cuatro líneas se está dando un servicio del 99. Emiliano Ferreira Díaz .05 de fallas.0087) 0.13 % y cumple con lo pedido que era menos del 0.1592 10 / 12 2 2! 10 / 12 3 3 ! 10 / 12 0 10 / 12 1 10 / 12 2 10 / 12 3 0! 1! 2! 0. 19 M.70 0.0423) 0.INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS P0 10 / 12 0 0! 10 / 12 0 1 L 5 / 6 * (1 1) 0 0! P1 10 / 12 1 1 ! 10 / 12 0 0! P2 10 / 12 1! 10 / 12 2 2! 0 0! P3 L 5 / 6 * (1 5 / 11) 5 / 11 0.1592) 0.7980 P4 10 / 12 0! 0 10 / 12 1! 10 / 12 4 4! 1 10 / 12 2! 2 3 4 10 / 12 10 / 12 3! 0.0087 4! L 5 / 6 * (1 0.0423 3! L 5 / 6 * (1 0.C. con una tasa media de llegadas de 24 clientes por hora o 0. Emiliano Ferreira Díaz . Use la tasa media de llegada del inciso a) y calcule las probabilidades de que llegara exactamente 0.C. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran esas demoras? Probabilidad de “x” llegadas en un periodo especifico. c) Se esperan demoras si llegan más de tres clientes durante cualquier periodo de cinco minutos. a) ¿Cuál es la cantidad media esperada de clientes que llegara en un periodo de cinco minutos? b) Suponga que puede usarse la distribución de probabilidad de Poisson para describir el proceso de llegada.4 clientes por minuto. M/M/1 Modelos Cuantitativos para los Negocios. 629 Willow Brook Nacional Bank opera una ventanilla para atención de automovilistas que permite a los clientes completar sus transacciones bancarias desde sus autos. y 3 clientes durante un periodo de cinco minutos. 2. Pag. En las mañanas de los días hábiles. P ( x) x * e x! 20 M.INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS EJERCICIO #16. las llegadas a la ventanilla ocurren al azar. Anderson/Sweeney/Williams. 1. 03254 P( 2) 0. las llegadas sigue un patrón poissoniano. con una media de 20 minutos. c) El tiempo promedio que un cliente permanece en la peluquería. los clientes estan dispuestos a esperar por el servicio una vez que llegan.0333 2 0. =0.00014 P (5) 0. con una tasa de llegadas de 2 por hora.05413 P( 2) 0.9940 0. DATOS: Λ = 2 clientes /hr.3280 1. Emiliano Ferreira Díaz .05 0. 276.05 0. Aparentemente el tiempo de servicio del peluquero se distribuye exponencialmente. Pág. M/M/1 Investigación de Operaciones. pero atiende a los clientes conforme llegan. Richard Bronson. d) La probabilidad de que un cliente permanezca más del tiempo promedio en la peluquería. Un peluquero atiende él solo un negocio.05 21 M.96691 0! P (1) 0.4*5) = 0.3280 0. µ = 120minutos/cliente 1/20=0.00055 P (3) 0. ρ = 0. No acepta citas.00144 P (4) 0.13534 0! P (1) 0. Determínese: a) El número esperado de clientes en la peluquería.00001 =0.0333 clientes/minuto.4 * 5) 0 * e ( 0. McGraw Hill.03365 b) P (0) (0. Debido al prestigio del peluquero.03365) =0.0333 1.00001 EJERCICIO #17.05clientes/minuto.03365) 0 * e ( 0.0333 b) L 1.666 SOLUCIÓN: a) Lq 0.01083 P (3) 0.C. b) El número esperado de clientes que esperan el servicio.INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS a) P ( 0) (0. Emiliano Ferreira Díaz .9.7725 2.0222 0.3280 39. = 0.8175 3.723 SOLUCIÓN: a) Lq 0.3679 EJERCICIO #18. Pág.8799 / 5.0167 2 0.2841 136. 276.0222 0.8799 1 59.2795 min .INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS c) Wq 1.0303 min 0. 0.7725 2. Determínese: a) El numero estimado de autos en espera de servicio. µ = 45seg/cliente = 1/45=0.0222 22 M. Considerando que un auto que llega esperara tanto como sea necesario. b) El tiempo promedio que un automóvil espera por el servicio.0167clientes/segundo. ρ = 0. M/M/1 Investigación de Operaciones.2841 1 181.8799 e( 59.8799 ) 0. McGraw Hill.05 d) Wq 59.0167 b) Wq 2.0333 W 39. Richard Bronson. c) El tiempo promedio que un automóvil permanece en el sistema. Aparentemente los tiempos de servicio del cajero se distribuyen exponencialmente. con una tasa media de 1 por minuto.8799 0.0222clientes/segundo.0167 c) W 136. con una media de 45 segundos. Aparentemente el patrón de llegada de automóviles a la fila única de una ventanilla bancaria de atención a automovilistas es un proceso poissoniano. DATOS: Λ =1 clientes /min.C.8799 0. 9 1/ 5 3 / 2 1.INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS EJERCICIO #19. Pág. Los aeroplanos reciben permiso para aterrizar de acuerdo al orden de llegada. con una media de 3 minutos. después de pedir por primera vez permiso para aterrizar. Richard Bronson. McGraw Hill. M/M/1 Investigación de Operaciones. c) La probabilidad de que un aeroplano que llega este en tierra menos de 10 minutos. 276. ρ= 1/ 5 3 1/ 3 5 Probabilidad de que se atienda en menos tiempo = 1 w(t ) SOLUCIÓN: a) Lq 1 / 5 2 1 / 31 / 3 1 / 5 b) L 9 / 10 9 / 10 0. El tiempo que toma al controlador de tráfico ayudar a que un aeroplano aterrice varia de acuerdo con la experiencia del piloto. DATOS: Λ = 5 min. b) El numero promedio de aeroplanos que han pedido permiso para aterrizar. quedando en espera aquellos a los que no se les puede dar permiso de inmediato debido al tráfico. Determínese: a) El numero promedio de aeroplanos en espera. aparentemente la distribución real es Poissoniana. En un aeropuerto de una sola pista. = 1/5 avión / minutos µ = 3 min. un promedio de un avión cada 5 minutos solicita permiso para aterrizar. /avión = 1/3 avión / minutos.5 1/ 3 23 M. Emiliano Ferreira Díaz . pero que aun s encuentran en movimiento. se distribuye exponencialmente.C. /avión. 2410 0.5262 b) Po 1 0. Emiliano Ferreira Díaz . M/M/1 Investigación de Operaciones. Richard Bronson.0667 SOLUCION: a) 1 w(45) 1 e 45 / 60.C. McGraw Hill. Los trabajos se mecanografían de acuerdo a la orden de llegada. Una mecanógrafa recibe trabajo de acuerdo a un proceso poissoniano. DATOS: Λ = 4 trabajos / hr. = 0. w= 1 60. b) La probabilidad de que la mecanógrafa concluya todos los trabajos al final del día. Determínese: a) La probabilidad de que un trabajo quede concluido en menos de 45 minutos después de su llegada.7364 EJERCICIO #20. con una tasa promedio d3 4 trabajos por hora. Pág.0667trabajos / min.0833 0. µ = 12 min.20 24 M.2410 0.INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS c) Wq 9 / 10 9/2 1/ 5 W 9/2 1 15 / 2 1/ 3 d) 1 w(10) 1 e 10 / 15 / 2 0.8007 0.0833 trabajos / minutos. y el trabajo promedio requiere de 12 minutos de tiempo de la mecanógrafa. 276. aparentemente el tiempo real del trabajo se distribuye exponencialmente alrededor de esta media. /trabajo = 0. 8165 0. 277.5833 Costo por hora.5833 2 11 0. McGraw Hill. ¿Cuál es el costo esperado por hora para el taller por hacer que los mecánicos obtengan las refacciones. se dirigen al departamento de refacciones del taller y solicitan el material necesario. con el tiempo real de servicio distribuido exponencialmente alrededor de esta media.8165 1. si a un mecanicote le pagan $12 por hora? DATOS: Λ = 35 mecánicos / hr = 0.7977 25 M. El dependiente único de l departamento de refacciones atiende a los mecánicos de acuerdo al orden de llegadas. Pág. el dependiente de refacciones tarda 1 minuto para a tender a un mecánico. M/M/1 Investigación de Operaciones. 1.5833 mec. En promedio. Emiliano Ferreira Díaz . SOLUCIÓN: a) Lq 0. /mecánico = 1 mec. / Minutos.3998 * $12 $16. / min.C. Richard Bronson.INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS EJERCICIO #21.3998 0. Los mecánicos llegan siguiendo un proceso poissoniano con una tasa media de 35 por hora y esperan su turno siempre que el dependiente este ocupado con alguien mas. µ = 1 min. Conforme los mecánicos necesitan partes para los autos que están reparando en un taller.5833 b) Wq 0. Sweeny.5 automóviles por hora. Las llegadas nuevas ocurren a una tasa de2. 2 . 1 0. Anderson.5 0.2 d) Pw 0. a) ¿Cuál es la cantidad promedio de automóviles en el sistema? b) ¿Cuál es ele tiempo promedio que será un automóvil para que comience el servicio de aceite y lubricación? c) ¿Cuál es el tiempo promedio que pasa un automóvil en el sistema? d) ¿Cuál es la probabilidad de que una llegada tenga que esperar por el servicio? DATOS: Λ = 2. µ = 5 autos / hora. M/M/1 Métodos Cuantitativos para los Negocios.5/5=0.5 0 . Emiliano Ferreira Díaz .5 50% factor de utilización.2 horas de espera en la fila.5 2.5 autos / hr.5 2 5 5 2.630 Speedy Oil proporciona un servicio de un solo canal de cambio de aceite y lubricación de automóviles. Suponga que las llegadas siguen una distribución de probabilidad exponencial.5 c) W 0.5 SOLUCIÓN: a) Lq b) Wq 2.5 0. Williams. Pág. ρ = 2.5 unidades sen línea.C. 5 26 M. 0.4 horas de espera en el sistema.INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS EJERCICIO #22. Williams. M/M/1 Métodos Cuantitativos para los Negocios.357 Horas de espera en el sistema. 27 M. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya unidades en el sistema? b) ¿cual es la probabilidad de que un cliente este recibiendo un corte de pelo y nadie este esperando? c) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente este recibiendo un corte de pelo y un cliente este esperando? d) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente este recibiendo un corte de pelo y dos clientes esperando? e) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 2 clientes estén esperando? f) ¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente espera por el servicio? DATOS: Λ = 2. 2.INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS EJERCICIO #23.2 0. 2 5 1 * 0.2 clientes / hr. Anderson.56 0.2 W 0.1571 Pw 1 0.1084 10. 5 EJERCICIO #24.3457 0.44 44% Factor de utilización.8916 89.C.56 0. 5 2.56 0. Pág. ρ = 2.630 Marty’s Barber Shop tienen ulnae peluquería.56 56% 5 a) Po 1 b) P(1) 2.0477 4. Sweeny.16% Wq 0.2/5=0.2 0.2 clientes por hora. Los clientes llegan a la tasa de 2.84% 1 0.1571 Horas de espera en la fila.2 5 c) P (3) 2.2 5 d) P( 2) 2.1084 0.77% 2 * 0. µ = 5 clientes / hora.44 SOLUCIÓN: 2. Emiliano Ferreira Díaz . y los cortes de pelo se dan a la tasa promedio de 5 por hora. Use el modelo de llegadas de poisson y tiempos de servicio exponenciales para responder las siguientes preguntas.64% 3 * 0.2464 24. C. Davis/Mckeown.25 0.75 0. M/G/1 Modelos Cuantitativos para Administración. Pág. DATOS: Λ = 4 clientes / hr. 28 M.25 c) Wq W 0. 4 / 8 2 21 4 / 8 a) Lq b) L 0. 606.75 8 0.INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS M/D/1 Modelos Cuantitativos para Administración.0625 4 EJERCICIO #25. puesto que no existe varianza en los tiempos de servicio y la tasa de llegada es 4. µ = 8 clientes / hora. Grupo Editorial Iberoamérica. Pág. La desviación estándar es cero. 606. Davis/Mckeown. Grupo Editorial Iberoamérica. Cierta empresa ha decidido instalar un cajero automatizado de atención a automovilistas. Emiliano Ferreira Díaz . El banco ha entablado pláticas con respecto a esta unidad automatizada con un fabricante y se le ha informado que en estos casos el tiempo de servicio es constante con 7 ½ minutos (8 por hora).1875 4 0.25 4 3 / 2 0. para las personas que desean hacer un solo retiro a depósito. 86 0. Williams.090 de hora en la línea de espera.2150 De hora en el sistema. Anderson. µ = 8 clientes / hora.36 personas en la línea de espera.INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS En la empresa anterior los tiempos de servicio para los cajeros que atienden automovilistas siguen una distribución normal con media ó 1/µ de 1/8 de hra y desviación estándar de 1/12 de hora. Sweeny. 8 0. Emiliano Ferreira Díaz .36 0. 4 0. Determinase las características de operación: DATOS: 1/µ= 1/8 de hora. Pág. Utilizando estos valores junto con una tasa de llegada de 4 por hora y la media de 8 clientes por hora. M/G/1 Métodos Cuantitativos para los Negocios. a) Lq 4 2 1 / 12 2 4 / 8 2 0. = 1/12 de hora = 4 clientes / hr. 4 EJERCICIO #26. b) L 0.C. La instalación de reparación de la compañía es un sistema de un solo canal operado por un 29 M.634. Robotics Manufacturing Company opera un negocio de reparación de quipo donde los trabajos de emergencia llegan en forma aleatoria a la tasa de 3 trabajos por día de 8 horas.36 c) Wq W 4 0.86 personas en el sistema. c) La compañía esta considerando comprar un sistema computarizado de reparación de equipo que permitiría un tiempo de reparación constante de 2 horas.25 0.375 0. Para propósitos prácticos.375 / 0.375) 2 (1. El costo para la compañía de operación y reparación es de $28 por hora.375 / 0.INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS técnico en reparación. el costo para la nueva compañía de la nueva operación seria $32 por hora.5 Cantidad promedio de unidades en la línea de espera Lq (0. = 0.C. L 2.5) 2 (0.5 horas.25 2(1 0.5 Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera. ¿Esta de acuerdo? ¿Qué efecto tendrá el nuevo sistema en las características de la línea de espera del servicio de reparación? d) ¿Comprar el sistema computarizado para reducir la variación en el tiempo de servicio tienen sentido económico? ¿Cuánto le ahorrara el nuevo sistema a la compañía durante una semana de trabajo de 40 horas? 1 día de 8 horas. debido al sistema computarizado.25 6 0. la desviación estándar es 0. k = 1 canal. Po 1 0. En el análisis económico del sistema de línea de espera.375 trabajos por hora. El director de operaciones de la firma dijo que no se pidiera el nuevo sistema porque el costo por hora es $4 más alto y el tiempo de reparación medio es el mismo.5 horas/trabajador. a) = 0.5 trabajos por hora. a) ¿Cuál es la tasa de llegada y la tasa de servicio en trabajos por hora? b) Muestra las características operativas incluyendo el costo total por hora. = 2 horas/trabajador. = 1.375 30 M. Emiliano Ferreira Díaz .5) Cantidad promedio de unidades en el sistema. 3/8 = 0. Robotics usa un costo de $35 por hora para los clientes que esperan durante el proceso de reparación.5 trabajos por hora b) Probabilidad de que no haya unidades en el sistema. = 3 trabajos por día.25 0. El tiempo de servicio varia con un tiempo medio de reparación de 2 horas y una desviación estándar de 1.375 3 0.5) 2 2. 1/2 = 0.375 trabajos por hora. Wq 2. 125 3 0. Wq 1. Po 1 0. L 1. = 3 trabajos por día.320 por semana.5 Análisis económico.INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema.5) 2 1.75 0. =0 TC $35 * 3 $28 * 1 = $ 133 por hora.875 0.5 trabajos por hora.5) Cantidad promedio de unidades en el sistema.375) 2 (0) 2 (0.125 2(1 0. W 3 1 5 0.375 0. TC Cw * L Cs * K Cw = $35 por hora.375 / 0. 1 8 0. 3/8 = 0.375 0.375 0. 1/2 = 0. Pw 0. 5 Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera. Emiliano Ferreira Díaz .C.375 1.5 Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar por el servicio.5 31 M.5 W 6 Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar por el servicio. k = 1 canal. = $ 133 * 40 horas = $ 5. Pw 0. 1 día de 8 horas.125 0. Cs = $28 por hora.375 trabajos por hora. c) Probabilidad de que no haya unidades en el sistema.375 / 0.375 Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema.75 0.25 0.5 Cantidad promedio de unidades en la línea de espera Lq (0. = 2 horas/trabajador. El director de esta empresa esta equivocado. El hecho de que se les niegue el acceso al sistema es ineficiente al igual que molesto para los agentes. TC $35 *1. Ahora $ 5. Williams. a) ¿Cuál es la probabilidad de que 0. Anderson. Emiliano Ferreira Díaz . Las solicitudes de acceso siguen una distribución de probabilidad de poisson. Cs = $32 por hora. EJERCICIO #27. 1. = $ 97. TC Cw * L Cs * K Cw = $35 por hora. La tasa media de servicio por línea es de 20 llamadas por hora. Pág. En la actualidad.875 $32 *1 = $ 97.INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS Análisis económico. d) De hecho si se debe comprar el sistema computarizado para reducir la variación en el tiempo de servicio puesto que es más barato. Sweeny.905 por semana. con una media de 42 llamadas por hora. Una aseguradora mantiene un sistema de cómputo central que contiene una variedad de información sobre las cuentas de los clientes.625 * 40 horas = $ 3.C.415 de ahorro semanal. La administración se da cuenta de que con la expansión de su negocio se harán más solicitudes al sistema de información central. M/G/K Métodos Cuantitativos para los Negocios. el sistema de cómputo central de la empresa permite que 3 usuarios tengan acceso simultáneo a la computadora central.635.$ 3.905 = $ 1. Alos agentes que intentan usar el sistema cuando esta saturado se le niega el acceso. 2 y 3 líneas de acceso estén en uso? b) ¿Cuál es la probabilidad de que a un agente se le niegue el acceso? c) ¿Cuál es la cantidad promedio de líneas de acceso en uso? 32 M.320 . no se permite la espera. Debido a que el sistema es más barato aún con el incremento en el costo de la nueva operación que es de $32 por hora. Los agentes de seguros en un área de 6 estados usan líneas telefónicas para tener acceso ala base de datos de información de los clientes.625 por hora. 8485=0. 33 M.205/6. K= 0. K= 0.1499 2.8485 c) L 42 / 20 1 0. 1.2254 6. d) = 50 llamadas / hora.C.1 42 / 20 2 / 2! 2.5435/6.1460 2.6267 personas en el sistema. 2.2254 1.205 42 / 20 3 / 3! 1.8485 i 0 / j! / i! k j 1/6. 1. la administración debe ser capaz de manejar Λ= 50 llamadas por hora.8485=0. Emiliano Ferreira Díaz 0.1253 Personas en el sistema.8485=0. 2. 3 líneas de acceso a) i 0 1 2 3 j / i / i! 42 / 20 0 / 0! 1 42 / 20 1 / 1! 2.1/6. ¿Cuántas líneas de acceso debe tener el sistema? DATOS: = 42 llamadas / hora.3066 2. además la probabilidad de que un agente se le niegue el acceso al sistema no deberá ser mayor que el valor calculado en el inciso (b).3220 1.2254 =1.8485=0. 3. µ = 20 llamadas / hora.0000 b) Pk / i 42 / 20 3 / 3! 0.INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS d) En la planeación para el futuro. Pk 50 / 20 0 0 ! 50 / 20 4 / 4! 50 / 20 1 50 / 20 2 50 / 20 3 1! 2! 3! 50 / 20 4 4 ! L 50 / 20 1 0.1499 . µ = 20 llamadas / hora. 4 líneas de acceso.5435 0 1 2 3 =6. nos e permite la espera. En la actualidad se hacen 2 extensiones con 2 representantes manejando las preguntas telefónicas. 34 M. M/G/K Métodos Cuantitativos para los Negocios. Pág.INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS EJERCICIO #28. Mid-West Publishing Company publica libros de texto universitarios. Las llamadas que ocurren cuando 2 líneas se están usando reciben una señal de ocupado. Sweeny. K= 2 líneas de acceso. µ = 12 llamadas / hora. Williams. Emiliano Ferreira Díaz . solicitar ejemplares de los mismos para examinarlos y hacer pedidos. La compañía opera un numero telefónico 800 mediante el cual los libreros y los maestros interesados en las preguntas pueden hacer preguntas respecto a los próximos textos. La tasa media de llegadas es de 20 llamadas por hora. a) ¿Cuántas extensiones deben usarse si la compañía desea manejar el 90% de las llamadas de inmediato? b) ¿Cuál es la cantidad promedio de extensiones que estarán ocupadas si se usa su recomendación del inciso (a)? c) ¿Qué porcentaje de llamadas recibe una señal de ocupado en el sistema telefónico actual con 2 líneas? = 20 llamadas / hora.635.C. Anderson. Cada representante puede atender un promedio de 12 llamadas por hora. Williams. agregando otras 2 líneas. Emiliano Ferreira Díaz . Responda las siguientes preguntas y recomiende un diseño alternativo para la franquicia de comida rápida. c) Con k=2 34. b) Con k=4 L 20 / 12 1 0.24% 4! 93. El tiempo de servicio promedio para esta alternativa es de 1.INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS a) Pk 20 / 12 2 / 2! 20 / 12 0 20 / 12 1 20 / 12 2 0! 1! 2! 0. Anderson. El tiempo de servicio promedio para esta alternativa es de dos minutos. Pág. con una tasa media de llegada de 24 automóviles por hora y que los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial.3425 34. EJERCICIO #29. Sweeny.0624 6. M/M/1 VS M/M/K Métodos Cuantitativos para los Negocios.635. K=4 Pk 20 / 12 0 0! 20 / 12 2 / 2! 20 / 12 1 20 / 12 2 1! 2! 20 / 12 3 20 / 12 4 3! 0. B) Una operación con un solo canal en la que un empleado toma el pedido mientras un segundo empleado cobra al cliente. A) Una operación con un solo canal en el que un empleado toma el pedido y cobra al cliente. El tiempo de servicio promedio para esta alternativa es de dos minutos para cada canal.25% de las llamadas sonaran como ocupadas. Suponga que las llegadas de los clientes siguen una distribución de probabilidad de Poisson. El empleado ubicado en cada ventanilla toma el pedido y cobra a los clientes que llegan a la ventanilla.76 mayor que 90% ya cumple con la condición.75 menor que 90% no cumple con la política.5627 extensiones ocupadas.C. Una franquicia de comida rápida esta considerando manejar una operación de servicio de comidas con ventanillas de servicio en el automóvil.25 minutos. 35 M. Se están considerando las siguientes alternativas.25% De que los 2 Canales estén ocupados. Los clientes que llegan colocan pedidos en una estación de intercomunicador en la parte posterior del estacionamiento y luego conducen hasta la ventanilla de servicio para pagar y recibir sus pedidos.0624 1. Por lo tanto: 65. C) Una operación con dos canales con dos ventanillas de servicio y dos empleados. 4 / 0.4% 8! 80% 0. /auto=0.C.5 Wq 8 Wq 1.8 3 .4 2 0.4 0.INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS a) b) c) d) e) f) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya automóviles en el sistema? ¿Cuál es la cantidad promedio de automóviles que esperan por servicio? ¿Cual es la cantidad promedio de automóviles en el sistema? ¿Cual es el tiempo promedio que un automóvil espera por servicio? ¿Cual es el tiempo promedio en el sistema? ¿Cuál es la probabilidad de que un automóvil que llega tenga que esperar por servicio? = 24 autos/hora = 0.2 Lq 0.1 2!Pw 2 *00. /auto=0. K= 2 líneas de acceso.4 1 0.5 0.4.5 0.4098 0.5 2 *00.4 0.5 2 * 0.8 0.2 0.8 0.4 0.1457 Wq W Pw 1 0 .4 0.5 0 .4 2! 0.4 / 0.4 Po 1 0 .25 min.5 0.5 autos/min.4 / 0.4 0.4 0.25 C 0 .1 SOLUCIÓN: Parámetros.4 2 L 0 .4 0 .25 2.5 00.4 2 Lq 3.4 0. A) µ = 2 min.3643 2.5 2 2 * 0.4098 0. Po W Pw Lq A B 0 .2186 36 M. N=0.4 1 1 1 W 8 10 W 2 1.5 0.5 0. C) µ = 2 min.1457 2 1! 2 * 0.5 1 0.1457 0.4 0.5 050 .8 2 0.8 0.5/ 0.5 0.5 0.5 0.4.5 0.5 autos / min.5 0. Po Lq L Wq Parámetros.3643 0 . B) µ =1.2 4 L 0.3643 0.8 autos/min.5 0.8. 4 0! Pw 0.2 Po 1 0. /auto=0.4 autos / min. Emiliano Ferreira Díaz .9457 0 .4098 0 1 0.5 0. 4 0 .5 0.5 0.4 L 3. Emiliano Ferreira Díaz . 4 por. no hay límite en el tamaño del sistema. M/M/1 Investigación de operaciones. y esperan en el establecimiento de las instalaciones si la rampa esta ocupada.de. Esto significa que para todo propósito práctico.99 Ws 0.en.3332) 1. 4 Ln Ln 6 37 M.4998 1 / 6 0.estacionamiento.de. Hamdy A.4998Tiempo . El tiempo de lavado y limpieza de un auto es exponencial. Ls Lq Wq 4(0. El gerente de las instalaciones quiere determinar el tamaño del estacionamiento.1) S 1 1 4. Los autos llegan de acuerdo con una distribución de Poisson.espera.la. la opción C es la más conveniente puesto que los valores de sus parámetros son menores que A y B.cola. Los autos que no se pueden estacionar dentro esperan en la calle que bordea las instalaciones de lavado.hora 4 / 6 0. EJERCICIO #30. min 60 / 10 6autos.C.6666 1.3334 0. con una media de 4 vehículos por hora.6666 Po 1 1 0.INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS De acuerdo a los resultados obtenidos.679 5espacios. con una media de 10 minutos.6666 0.cola Lnq Ln(0.3328Clientes.autos 1 1 0.en.de.la. 634 Las instalaciones de lavado de autos Autómata operan con solo una rampa. 4 1 Wq Ws 0. por.99 Num.hora 10 por.3332Tiempo . Sexta edición.6666 Ls 1. Taha. 663 / 4 0.la.el.33 Lq 0.en.C.autos.en. (Se compararon los resultados del problema anterior con los obtenidos en este.en.cola 1. M/M/1 Investigación de operaciones.sistema 4 Wq Lq / 0.la. por. EJERCICIO #32.sistema 2(1 E (t )) 2(1 4 / 6)) Los resultados tienen sentido ya que un tiempo de servicio constante indica mas certidumbre en la operación de las instalaciones.hora.de. M/M/1 Investigación de operaciones. Taha. Hamdy A. 634 En las instalaciones de lavado de autos autómata del ejemplo anterior. Sexta edición. supongamos que se instala un nuevo sistema que permite que el tiempo de servicio para todos los autos sea constante e igual a 10 minutos. ¿Cómo afecta el nuevo sistema la operación de las instalaciones? E (t ) 10 / 60 1 / 6 Horas 4autos.33 0.INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS EJERCICIO #31.en. Taha. Sexta edición. Hamdy A.1657Tiempo.663 Autos. 634 38 M.cola Ws Ls 2 (t 2 (t ) Var (t )) 4 2 ((1 / 6) 2 0) 4(1 / 6) 1.3325Tiempo.el. Con los valores de Ws y Wq).de.33 Numero.aprox .6666 Lq 0.aprox. Emiliano Ferreira Díaz . Var (t ) 0 Ls E (t ) Lq Ls 1.espera. Emiliano Ferreira Díaz .032 Lq 1 1 3.6 1.6) 2 Ls Lq 2.INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS Dos compañías de taxis atienden a una comunidad. Recientemente las dos compañías fueron compradas por un inversionista que esta interesado en consolidarlas en una sola oficina despachadora para proporcionar un servicio más rápido a los clientes. Esto es evidente por el hecho de que las llamadas llegan a las oficinas despachadoras de cada compañía a una tasa de ocho por hora. Hay tres espacios frente a la ventanilla. 656 Los clientes llegan a un banco de una ventanilla de atención en el auto de acuerdo con una distribución de Poisson.6 c 1 Po n 0 n n! 3.9961 Ws 5. EJERCICIO #33.2 La combinación de servicios es un modo más eficiente de operación. con una media de 10 por hora. 8 5 8 / 5 1.79 3.79 ( 4 1)!( 4 3.3555 8 Lq 16 5 16 / 5 3.8441 1.1111) 2. El tiempo de servicio por cliente es exponencial.2 4 1 (0. Las llamadas llegan de acuerdo con una distribución de Poisson y el tiempo de viaje es exponencial.C.2 3.79 / 16 0.6 1 2 2 1 3.8441 (c 1)!(c ) 2 ( 2 1)!( 2 1. Este resultado es cierto aunque las instalaciones separadas están muy ocupadas. Taha.032) 2. incluyendo 39 M.2 5.8441 Ws 0. Hamdy A.6 2! 2 1 1. M/M/1 Investigación de operaciones.1111 c 1 1.9961 / 16 0.2) 2 Ls 2.4441 Ls 4.3747 Wq 2. El tiempo promedio por viaje es 12 minutos.4441 Wq 0.1743 1 C! 1.6 1! 0! 0 0 1 0.6 2 1 Po (0. Sexta edición.2 1 4! 1 3.2 4 4 0.2 Po 1! 2! 0! C 1 1 C 1.2 3. Analice la propuesta del nuevo propietario.6 4. con una media de 5 minutos. Cada empresa posee dos taxis y se sabe que ambas compañías comparten el mercado casi igualmente.5555 8 Lq 2. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS el del auto al que se le esta dando servicio.1667 Pr obabilidad . 12 por.499 10 1 Wq 0. c) 0.no.que.de. Otros vehículos que llegan se forman afuera de ese espacio para tres autos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un auto que llega pueda entrar en uno de los tres espacios? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un auto que llega espere fuera del espacio designado de tres espacios? c) Un cliente que llega. 12 Ls El tiempo que tendrá que esperar el cliente en la cola en espera de servicio es de 0. 40 M.99 Ws 0.esperar.499 0.8333)(0.C.clientes b) Pn (1 ) n (1 0.99 (1 0.8333 4.que.hora 10 / 12 0.8333) 4.hora 5Minutos.tenga.que.582 horas.8333 a) Po 1 1 0.1389 Pr obabilidad .8333)1 0.8333 0. ¿Cuánto tiempo supone que esperara antes de iniciar el servicio? 10 por.haya.582 Horas. Emiliano Ferreira Díaz .de.