Materia: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Contenido: UNIDAD II.PROBABILIDAD a) Concepto b) Axiomas y teoremas de probabilidad c) Espacios finitos de probabilidad d) Espacios finitos equiprobables e) Probabilidad condicional f) Teorema de la multiplicación para probabilidad condicional g) Procesos estocásticos h) Teorema de Bayes i) Independencia j) Problemas propuestos UNIDAD II. PROBABILIDAD En ocasiones cuando se habla de probabilidad o posibilidad de que un evento ocurra, se pierde la credibilidad acerca del evento en cuestión, pero ¿es posible tener siempre la certeza total en todo proyecto o actividad que se desea realizar?, es muy difícil tenerla, debido a que el llevar a efecto un proyecto cualquiera por más simple que este sea, éste está sujeto a una gran diversidad de factores que afectan su ocurrencia, ¿entonces que es lo más aconsejable para predecir su ocurrencia?, la probabilidad es la que nos ayuda en estos casos, ya que basándose en estadísticas, podemos cuantificar la posibilidad de ocurrencia de los eventos y por consiguiente tomar una buena decisión basados en esta información. A)CONCEPTO. La probabilidad se encarga de evaluar todas aquellas actividades en donde se tiene incertidumbre acerca de los resultados que se pueden esperar, esto quiere decir que la probabilidad está presente en casi en todas las actividades que se pretenda realizar, ejemplos: -Cualquier proyecto de Ingeniería o de otras áreas -Competencias deportivas -Juegos de azar, etc., etc. ¿Cómo podemos calcular probabilidades? 1. Haciendo uso de las estadísticas. En este caso, se hace uso de la información que se ha acumulado acerca del evento que nos interesa, y después de esto se procede a calcular las probabilidades requeridas. Ejemplo. Determine la probabilidad de que en cierta línea de producción se manufacture un producto defectuoso, si se toma como referencia que la producción de la última semana en esta línea fue de 1,500 productos, entre los que se encontraron 8 productos defectuosos. p(producto defectuoso) = No de productos defectuoso /Total de productos producidos en la semana = 18 / 1500 = 0.012 Lo anterior nos indica que es muy probable que 1.2 productos de cada 100 que se manufacturen en esa línea serán defectuosos. ¿Porqué se utilizó para calcular las probabilidades la información de la semana inmediata anterior?. Debido a que esta refleja la situación que guarda actualmente la producción de la línea mencionada. 2. Basándose en la experimentación. Hay casos en los que después de repetir un número muy grande de veces un experimento, es posible determinar las probabilidades de ocurrencia de algunos eventos, tales como: La probabilidad de que aparezca águila al lanzar una moneda equilibrada, la probabilidad de que aparezca el número 3 en un dado, etc., etc. Ejemplos: p(águila) =1/2 = 0.5 p(aparezca el número 3)= 1 / 6 = 0.1666 3. Asignando probabilidades. En este caso se hace uso de las probabilidades obtenidas mediante estadísticas y la experimentación y se asignan a los eventos previamente descritos y a partir de ellas se determinan probabilidades de otros eventos. A continuación se definen algunas cuestiones implícitas en el cálculo de probabilidades. a) Espacio muestral (δ ).- Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Es nuestro Universo. Ejemplos: 1. Se lanza al aire un dado normal (perfectamente equilibrado), enumere los posibles resultados de este experimento. δ = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } 2. Se lanza al aire dos veces una moneda normal, defina su espacio muestral. δ = {AA, AS, SA, SS} b) Evento A.- El evento A es un subconjunto del espacio muestral. Ejemplos: 1. Sea A el evento de que aparezca un número par en el lanzamiento de un dado, entonces; A = {2,4,6} 2. Sea B el evento de que aparezcan dos águilas en tres lanzamientos de una moneda normal, entonces; Como δ = {AAA, AAS, SAA, ASA, ASS, SAS, SSA, SSS} Luego B = {AAS, SAA, ASA} a) Sea φ un evento que carece de elementos. φ ={ } Como se observa los experimentos y eventos probabilísticos se pueden expresar con la notación de conjuntos y a continuación se enumeran algunas operaciones que es posible realizar con los eventos. 1) A∪ B Es el evento que ocurre si y solo sí A ocurre o B ocurre o ambos ocurren. A B δ A B A∩ B δ + + A∪B = A B + A∪ B = 2) A∩ B Es el evento que ocurre sí y solo sí A y B ocurren a un mismo tiempo. A B A∩ B δ A∩ B = 3) Ac Es el complemento de A. Es el evento que ocurre sí y solo sí A no ocurre. A Ac δ ¿cuál es la probabilidad de que sea de tercero o cuarto semestre?. 5 son de cuarto semestre y 3 son de quinto semestre de la carrera de Ingeniería Química. 2 y 1 respectivamente dominan el Inglés. diga si los eventos Q e I son mutuamente excluyentes? Solución: Empezaremos por definir algunos eventos. d. si se selecciona un alumno al azar de este grupo. b. e. ¿cuál es la probabilidad de que el alumno seleccionado sea de quinto semestre?. ¿cuál es la probabilidad de que el alumno seleccionado sea de tercer semestre y domine el inglés?. ¿cuál es la probabilidad de que el alumno seleccionado no domine el inglés?. de los cuales 4. T = evento de que un alumno sea de tercer semestre Cu = evento de que un alumno sea de cuarto semestre . 7 de los cuáles son de tercer semestre.1) Se dice que A y B son eventos mutuamente excluyentes o exclusivos si A∩ B = φ A B δ Ejemplo: En un salón de clase hay 15 alumnos. Diga si los eventos T y Q son mutuamente excluyentes. c. a. ... p(alumno seleccionado no domine el inglés) = p(Ic ) = 8/15 = 0.. p(alumno seleccionado sea de tercero o cuarto semestre)= p(T ∪ Cu) = = p( T) + p(Cu) = 7/15 + 5/15 = 12/15 = 0.....+ p(An) . p(δ ) = 1 3)Si A y B son eventos mutuamente excluyentes. A2.. p(alumno seleccionado sea de quinto semestre) = p(Q) = 3/15 = 0..2 b. 0 ≤ p(A) ≥ 1 2)La probabilidad de que ocurra el espacio muestral δ debe de ser 1.. p(A1∪ A2∪ .53333 e.∪ An) = p(A1) + p(A2) + . entonces.. Para el cálculo de probabilidades hay que tomar en cuenta los Axiomas y Teoremas que a continuación se enumeran.Q = evento de que un alumno sea de quinto semestre I = evento de que un alumno domine el inglés a.. p(alumno sea de tercer semestre y domine el inglés) = p(T ∩ I) = 4/15 = 0.. B) AXIOMAS Y TEOREMAS.. es de quinto semestre y domina el inglés.26667 d.An.. entonces la p(A∪ B) = p(A) + p(B) Generalizando: Si se tienen n eventos mutuamente excluyentes o exclusivos A1.... A3. 1)La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno.8 c. ya que Q∩ I= {1} Ya que hay un alumno que cumple con ambos eventos. Los eventos T y Q son mutuamente excluyentes dado que T∩ Q = φ Los eventos Q e I no son eventos mutuamente excluyentes. LQQD TEOREMA 2.TEOREMAS δ TEOREMA 1. entonces la probabilidad de que ocurra φ debe ser cero. p(Ac)= 1 – p(A) A Ac δ DEMOSTRACIÓN: . Si φ es un evento nulo o vacío. La probabilidad del complemento de A. A p(φ )=0 DEMOSTRACIÓN: Si sumamos a φ un evento A cualquiera. como φ y A son dos eventos mutuamente excluyentes. Ac debe ser. entonces p(Aφ ∪ )=p(A) +p(φ )=p(A). LQQD TEOREMA 3.Si el espacio muestral δ . δ A B\A B DEMOSTRACIÓN: Si separamos el evento B en dos eventos mutuamente excluyentes. A y B \ A (B menos A). A y Ac luego δ =A∪ Ac. Si un evento A ⊂ B. por tanto. por tanto. entonces la p(A) ≤ p(B). se divide en dos eventos mutuamente exclusivos. La p( A \ B )= p(A) – p(A∩ B) A B A\B A∩ B δ . LQQD TEOREMA 4. B=A∪ (B \ A) y p(B)=p(A) +p(B \ A). luego entonces si p(B \ A)≥ 0 entonces se cumple que p(A)≤ p(B). p(Ac)= 1 .p(A) . por tanto p(δ )=p(A) + p(Ac) y como en el axioma dos se afirma que p(δ )=1. por tanto. luego p(A)=p(A \ B) + p(A∩ B). entonces. LQQD COROLARIO: A A∩ B Para tres eventos A. entonces el evento A se puede separar en dos eventos mutuamente excluyentes. p(A∪ B) = p(A) + p(B) – p(A∩ B). A B A∩ B δ DEMOSTRACIÓN: Si A∪ B = (A \ B) ∪ B. LQQD TEOREMA 5. p(A \ B) = p(A) – p(A∩ B). por tanto. Para dos eventos A y B. p(A∪ B∪ C) = p(A) + p(B) + p(C) – p(A∩ B) – p(A∩ C) – (B∩ C) + p(A∩ B∩ C). p(A∪ B)=p(A) + p(B) – p(A∩ B).DEMOSTRACIÓN: Si A y B son dos eventos cualquiera. donde (A \ B) y B son eventos mutuamente excluyentes. (A \ B) y A∩ B. A B C δ B∩ C A∩ C . por lo que p(A ∪ B) = p(A \ B) + p(B) y del teorema anterior tomamos que p(A \ B) = p(A) – p(A∩ B). A=(A \ B)∪ (A∩ B). B y C. . el que debe cumplir con las siguientes características: 1) Las probabilidades asociadas a cada uno de los elementos de δ deben ser mayores o iguales a cero. entonces estamos transformando este espacio muestral en un espacio finito de probabilidad. a) ¿cuál es la probabilidad de que aparezca un número par?.. Σ pi = 1 En caso de que no se cumpla con las características antes mencionadas.. 2) La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los elementos de δ debe de ser igual a 1... p(aparezca el número 2) = 2p.an}.C) ESPACIOS FINITOS DE PROBABILIDAD. a2.. . 3. si a cada uno de los elementos de δ le asignamos una probabilidad pi ≥ 0. Sea δ el espacio muestral.Se lanza al aire un dado normal. Ejemplos: 1. 5. pi≥ 0. b) ¿cuál es la probabilidad de que aparezca un número primo? Solución: δ = {1... 4. 2.. 6} En este caso asignaremos las probabilidades como sigue. si la probabilidad de que aparezca una de sus caras es proporcional al número que ostenta. entonces no se trata de un espacio finito de probabilidad.. que contiene n elementos {a1. a3... p(aparezca el número 1) = p. p(δ ) = p + 2p + 3p + 4p + 5p + 6p =1 Por tanto.5714 b.p(aparezca el número 5) = 5p. En una competencia de nado sincronizado. B = es el evento de que aparezca un número primo = {1. 2. En una competencia de ciclismo participan A.35714 3. luego. b. 4. . entonces.14285 b. p(gane Venezuela o Ecuador)=p(gane Venezuela)+p(gane Ecuador)= p(gane Venezuela o Ecuador)= 2/3p + p = 5/3 p = 5/3*3/14 =5/14 = 0. Determine la probabilidad de que gane Ecuador o Venezuela. a.35714 c. 5} p(B)=p(1) + p(2) + p(3) + p(5) = p + 2p + 3p + 5p = 11p = 11(1/21) = 11/21 = 0. Determine la probabilidad de que gane A o B. p(no gane México) = p(gane Venezuela o Ecuador) = 1 – p(gane México) = 1 – 3p = = 1 – 3(3/14) = 1 – 9/14 = 5/14 = 0. c. Determine la probabilidad de que gane B. Determine la probabilidad de que gane Venezuela. A = evento de que aparezca un número par = {2. A tiene el doble de posibilidades de ganar que B y B el doble que C. p = 1/21 a. 6} p(A)=p(2)+p(4) + p(6) = 2p + 4p + 6p = 12p = 12(1/21) = 12/21= 0. 21p = 1. luego p = 3/14 a. mientras que Venezuela tiene un tercio menos de posibilidades de ganar que ecuador. p(gane Venezuela) = 2/3 p = 2/3*3/14 = 2/14 = 1/7 = 0. Luego. p(aparezca el número 6) = 6p Y por ser δ un espacio finito de probabilidad. México Venezuela} Por ser un espacio finito de probabilidad. p(δ ) = 1. Solución: δ = {Ecuador. luego. 3. P(δ ) = p(gane Ecuador) + p(gane México) + p(gane Venezuela) = p + 3p + 2/3p=1 Como 14/3p = 1. Determine la probabilidad de que no gane México.5238 2. participan los equipos de Ecuador. México tiene el doble de posibilidades de ganar que Ecuador. b. México y Venezuela. a. B y C. . entonces. Las probabilidades asociadas a cada uno de los elementos del espacio muestral deben ser mayores o iguales a cero. a3. pi = 1/n por tener n elementos δ ... B. entonces estamos transformando este espacio muestral en un espacio finito equiprobable. pi ≥ 0. p = 1/7 p(gane B) = 2p = 2(1/7) = 2/7 = 0.85714 D) ESPACIOS FINITOS EQUIPROBABLES.. δ = {a1. a2. y por ser un espacio finito de probabilidad. p(δ ) = p(gane A) + p(gane B) + p(gane C) = 4p + 2p + p = 1 Como 7p = 1. p(gane A o B) = 4p + 2p = 6p = 6(1/7) = 6/7 = 0. La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada elemento del espacio muestral debe de ser igual a 1. 2. entonces no se trata de un espacio finito equiprobable. a.. si deseamos determinar la probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera.28571 b. luego. Sea δ un espacio muestral que contiene n elementos. Solo en el caso de espacios finitos equiprobables.an}. p(A) = r*1/n = r/n p(A) = maneras de ocurrir el evento A/ Número de elementos del espacio muestral r = maneras de que ocurra el evento A 1/n = probabilidad asociada a cada uno de los elementos del espacio muestral n = número de elementos del espacio muestral Ejemplos: . Σ pi = 1 En caso de que no se cumpla con las condiciones anteriores. C}. si a cada uno de los elementos de δ le asignamos una probabilidad igual de ocurrencia. el que debe cumplir con las siguientes condiciones: 1.Solución: δ ={ A. SSA. Solución: Para calcular las probabilidades de este problema. Determine la probabilidad de que la computadora seleccionada tenga defectos de tipo operacional. Si se seleccionan al azar 4 computadoras de este lote. A = evento de que aparezcan puros sellos = {SSS} p(A) = p(aparezcan puros sellos) = p(SSS) = 1/8 = 0. Aparezcan puros sellos. determine la probabilidad de que: a. SAA. c.125 ¿Porqué un octavo?. SAA. ASA. SAA. Aparezcan dos águilas. b. 2. SAS. Si se selecciona al azar una computadora. b. hay que definir el espacio muestral en cuestión. entonces la probabilidad asociada a cada uno de los elementos del espacio muestral es de 1/8. Por lo menos dos tengan defectos de tipo operacional. SAA. ASA. ASA. B = evento de que aparezcan dos águilas = {AAS. AAA)=p(aparezcan dos águilas) + p(aparezcan tres águilas) p(C) = 4/8 = 1/2 = 0. si representamos los tres lanzamientos de la moneda mediante un diagrama de árbol. ASA} p(B) = p(aparezcan dos águilas) = p(AAS. Aparezcan por lo menos dos águilas. Se lanza al aire una moneda normal (una moneda perfectamente equilibrada) tres veces. AAS. b.375 c. encontraremos que el espacio muestral o el conjunto de todos los resultados posibles es: δ = {AAA.1. SSS} a. a. 1. AAA} p(C) = p(AAS. C = evento de que aparezcan por lo menos dos águilas = {AAS. Solución: . b. ASS. En un lote de producción que consta de 20 computadoras personales de cierta marca. Como máximo una tenga defectos de tipo operacional. Solo tres tengan defectos de tipo operacional. ¿cuál es la probabilidad de que no tenga defectos de tipo operacional?. ASA) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0. sí el espacio muestral consta de 8 elementos como se ha observado. SAA. se ha detectado que 4 tienen defectos de tipo operacional. determine la probabilidad de que: a.5 2. c. por ser un espacio finito equiprobable ya que cada uno de los elementos mostrados tiene la misma probabilidad de ocurrencia. 162022 .1. A = evento de que una computadora tenga defectos de tipo operacional p(A) = 5/20 = 0.845 = 0.75 2.Para el punto 2. el espacio muestral ya no estará compuesto por entes unitarios.013209 b. 3 con defectos o 4 con defectos} D = {4C2*16C2 + 4C3*16C1 + 4C4*16C0 = 6*120 + 4*16 + 1 = 720 + 64 + 1 = 785} El evento D consta de 785 muestras.845 muestras de cuatro computadoras. B = evento de que una computadora no tenga defectos de tipo operacional p(B) = 1 .25 b.p(A) = 1 – 0. D = evento de que dos o más computadoras tengan defectos de tipo operacional D = {2 con defectos. δ{ 20 C4 = 4.2 Al seleccionar del lote más de una computadora. cuando se selecciona de un lote un solo elemento.845 = 0. δ = {20 computadoras} a. a. p(D) = número de elementos del evento D/ número de elementos del espacio muestral p(D) = 785/δ = 785/4. en las que por lo menos dos de las cuatro computadoras seleccionadas tienen defectos. entonces el espacio muestral está compuesto de entes unitarios. estará formado por todos los grupos que se puedan formar de 4 computadoras seleccionadas de entre 20 que se tienen.25 = 0. C = evento de que tres de las computadoras seleccionadas tengan defectos de tipo operacional C = {4C3*16C1 = 4*16 = 64 muestras de cuatro computadoras que contienen tres defectuosas} p(C) = 64/δ = 64/4.845 maneras de seleccionar las cuatro computadoras al azar} Dicho de otra forma serían 4. entre estas muestras hay algunas que contienen puras computadoras defectuosas o puras sin defectos y otras muestras que tienen una mezcla de computadoras con defectos y sin defectos. que son cada una de las computadoras. 8) (8.880/116. Determine la probabilidad de que ambos números seleccionados sean pares. Determine la probabilidad de que ambos números sean impares.5) (5.3) (2.c. Se seleccionan dos números al azar de entre los dígitos del 1 al 9.7) (6.9) (1.280 maneras de seleccionar cuatro computadoras una tras otra} F = evento de que la primera y segunda computadora tengan defectos y que la tercera y cuarta no tengan defectos F = {4P2*16P2 = 4 x 3 x 16 x 15 = 2. E = evento de que como máximo una de las computadoras seleccionadas tenga defectos de tipo operacional E = {0 con defectos o 1 con defectos} E = {4C0*16C4 + 4C1*16C3 = 1*1.4) (3.5) (3. ¿cuál es la probabilidad de que la primera y segunda computadora seleccionada tengan defectos de tipo operativo y que la tercera y cuarta no tengan defecto alguno? En este caso el espacio muestral se determina haciendo uso de permutaciones ya que se trata de una prueba ordenada.8) (7.4) (4.8) (6.280 = 0.060/4.6) (6. en este caso no se habla de algún orden para seleccionar las computadoras es el motivo por el cual se usaron combinaciones. p(E) = 4.6) (4.880 muestras en donde la primera y segunda computadora tienen defectos y la tercera y cuarta no tienen defectos} p(F) = 2. por lo que.3) (3.060 muestras que contienen una o ninguna computadora defectuosa.820 + 4*560 = 1820 + 2240 = 4. como se muestran a continuación.845 = 0.7) (7. (1.060 muestras} El evento E contiene 4. encontrándose que los pares de números a elegir serían 36.6) (5. a.5) (4.7) (5.060/δ = 4. Solución: Para obtener el espacio muestral de este problema podemos hacer uso de un diagrama de árbol en donde se represente la selección del primer número y luego la del segundo número. como se observa a continuación: δ = {20P4 = 20!/(20 – 4)! = 20!/16! = 116.9) δ = (1.024767 3.2) (2.4) (2. pero si decimos que se toman cuatro computadoras del lote y se pregunta. b.9) .83797 ¿Porqué utilizar combinaciones para obtener la probabilidad en lugar de permutaciones?. (2. (3.7) (2.6) (2.7) (4. 300 del tipo C y 400 del tipo D.8)} p(A) = 6/36 = 1/6 = 0. (4.6) (3. 6 y 8). (5. (5.(1.7) (3. 4C2 = 6 maneras de seleccionar dos números pares} p(A) = 4C2/9C2 = 6/36 = 1/6 = 0.2778 Otra forma de resolver este problema es haciendo uso de combinaciones.9). (4.8) (3.9) (1. 5C2 = 10 maneras de hacer la selección } p(B) = 10/36 = 5/18 = 0. 5.5) (2.8) (5. donde. A = {(2. (2.9) (1.8) (4.6). (1.2778 4.7).1667 b. Definiendo un evento A = evento de que los dos números seleccionados sean pares Luego. (6. se inspeccionan 200 flechas del tipo A y B.9). a continuación se presentan los resultados obtenidos en la inspección: TIPO DE FLECHA DEFECTO I II A 54 28 B 23 12 C 40 14 D 15 5 TOTAL 132 59 . 3.8) (2.5).8).9)} p(B) = 10/36 = 5/18 = 0.7). 4. B = {(1. (1. Dada la siguiente tabla referente a la producción de flechas para camión de carga pesada.6).9) a. (3. 7 y 9).8). B = evento de que los dos números seleccionados sean impares Luego. (7.7). se seleccionan de entra (1.4.9) (1.9) (1.1667 b.5). (3.3). δ = {9C2 = 36 maneras de seleccionar los dos números} a. (1. B = {selección de dos números impares.9). A = {selección de dos números de entre (2. La placa empiece por la letra D.100 = (132 +59)/1.000 placas} El espacio muestral está formado por todas las placas que es posible diseñar.000/78.17364 5. La flecha seleccionada no tenga defectos. las letras se toman del abecedario y los números de los dígitos del 0 al 9.624.960/78. p( flecha sea tipo B) = 200/1.000 = 0.S-DEF TOTAL 118 165 200 200 246 300 380 400 909 1100 Se selecciona una flecha al azar de las inspeccionadas.024. Si a un tránsito se le ha dado a la fuga un infractor. no se repiten letras y números. La flecha seleccionada sea del tipo B. c. Solución: a. determine la probabilidad de que: a. 624. La placa empiece por la letra D seguida de E.82636 c. La placa termine por el número 43. determine también la probabilidad de que encuentre al infractor. d.000 = 0. d.0015385 .000 placas} p(A) = 3. Se diseñan placas para automóvil que consten de tres letras seguidas de cuatro dígitos. c.100 = 0. p(flecha con defectos del tipo II) = 59/1.100 + 59/1.05363 d. p(flecha no tenga defectos) = 909/1. determine la probabilidad de que: a.100 = 0. La flecha seleccionada tenga cualquier tipo de defecto.03846 b. B = evento de que la placa empiece por la letra D seguida de la E B = {1 x 1 x 24 x 10P4 = 1 x 1 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 120.100 = 0. La placa termine por el número 4.18182 b.100 = 191/1. él alcanzó a ver que no se repetían letras y números. y recuerda que las placas empiezan por la letra E y terminan por el número 9¿cuántas placas tendrá que revisar el tránsito?. si se selecciona una placa al azar de las que se han diseñado.100 = 0. b. A = evento de que una placa empiece por la letra D A = {1*25P2*10P4 = 1 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 3. Solución: a.960 placas} p(B) = 120. La flecha seleccionada tenga defectos del tipo II. b. e.624. p(flecha tenga cualquier tipo de defecto) = p(def tipo I) + p(def tipo II) = = 132/1.024. El espacio muestral será: δ = {26P3*10P4 = 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 78. 4) (2. a.01111 6.5) (3.6) (2.4) (6. ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los números que aparecen sea de cómo máximo cinco?. C = evento de que la placa termine por el número cuatro C = {26P3*9P3*1 = 26 x 25 x 24 x 9 x 8 x 7 x 1= 7.c. por lo que.5) (5.2) (6.2) (4. A = evento de que la suma de los números que aparecen sea de por lo menos siete A = {21 elementos que son los que suman siete o más} (6.6) Como se observa.2) (3.862. δ = {36 elementos} cada uno de los cuales tiene la misma probabilidad de ocurrir. d.4) (3.1) (6.5) (1.1) (5.5) (2.4) (1. Lo primero que hay que hacer es definir el espacio muestral correspondiente. b.3) (1.2) (6.000 = 0. a.3) (5.400 placas} p(C) = 7.6) (6.4) (4.2) δ = (1.624.6) (5.4) (5.600 placas } p(D) = 873.624.2) (5.3) (6.3) (3.5) (6. Se lanza al aire un dado normal dos veces. ¿cuál es la probabilidad de que en el primer lanzamiento aparezca el número tres? Solución: a.3) (4.6) (3.1) (1. si hacemos uso de un diagrama de árbol en donde representemos el primer lanzamiento del dado y luego su segundo lanzamiento y obtendremos lo siguiente: (1. ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los números que aparecen sea de por lo menos siete?.1) (5.000 = 0.1) (3. ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los números que aparecen sea mayor de siete?.10 d.2) .5) (4. c.400/78.2) (2.3) (2.1) (2. D = evento de que la placa termine por el número 43 D = {26P3*8P2 x 1 x 1 = 26 x 25 x 24 x 8 x 7 x 1 x 1 = 873.600/78.862.1) (4.6) (4. 1) (4.41667 c.1) (3.2) (5.6) p(A) = 21/36 = 0.5) (6.3) (3.4) (3.6) p(B) = 15/36 = 0.5) (4.6)} p(D) = 6/36 = 1/6 = 0.3) (1.6) (3. D = evento de que en el primer lanzamiento aparezca el número tres D = {(3.16667 .4) (6.4) (3.6) (5.5) (5.1) (3.5) (3.2) (3. 8 o más} (6.3) (6. C = evento de que la suma de los números que aparecen sea de cómo máximo cinco C = {10 elementos.4) (5.3) (2.3) B= (4.2) (2.6) (5.6) (6.5) (1.6) (4.5) (6. B = evento de que la suma de los números que aparecen sea mayor de siete B = {15 elementos.4) (4. los que suman 5 o menos} (1.2) (3.6) (3.5) (5.3) (6.58333 b.6) (6.5) (4.5) (2. que son los que suman más de siete.A = (4.4) p(C) = 10/36 = 5/18 = 0.27778 d.6) (4.4) (2.3) (3.4) (5.1) C = (1.4) (6.6) (2.2) (1.5) (3.3) (5.1) (2. la que se determina como se muestra. dado que E ya ocurrió. donde p(E)> 0. si deseamos determinar la probabilidad de que ocurra un evento A (el que también es definido en el mismo espacio muestral). entonces deseamos determinar una probabilidad de tipo condicional. δ E A A∩ E .E) PROBABILIDAD CONDICIONAL Sea δ un espacio muestral en donde se ha definido un evento E. Donde: p(AE) = probabilidad de que ocurra A dado que E ya ocurrió p(A∩ E) = probabilidad de que ocurra A y E a un mismo tiempo p(E) = probabilidad de que ocurra E Luego. Solución: El espacio muestral es el mismo que cuando se lanza un dado dos veces y se muestra a continuación. determine la probabilidad de que en el segundo dado aparezca el número cuatro. . si la suma de los números que aparecen es de por lo menos siete. a. Ejemplos: 1. Por tanto: Donde: A∩ E= número de elementos comunes a los eventos A y E E= número de elementos del evento E Luego entonces podemos usar cualquiera de las dos fórmulas para calcular la probabilidad condicional de A dado que E ya ocurrió. c. Se lanza al aire dos dados normales. Determine la probabilidad de que ambos números sean pares. b. Determine la probabilidad de que en el primer dado aparezca el numero dos. 1) (4.6) (2.2) (5.6) (6.5) (6.4) (2.2) (6. siendo estos.2) (2.3) (6.3) (5. A = evento de que en el segundo dado aparezca el número cuatro.5) (5.2) (3.4) (4. los que suman siete o más} .1) (1.3) (1. Para calcular una probabilidad condicional es necesario definir los eventos A y E. E = evento de que la suma de los números que aparecen sea de por lo menos siete.1) (3.6) (5.3) (2.6) (4.6) a.4) (3.1) (2.5) (1.(1.2) δ = (1.6) (3.1) (6. (que es que es el evento que está condicionando) E = {21 elementos.5) (2.3) (4.3) (3.4) (6.4) (5.2) (4.5) (3.5) (4.4) (1.1) (5. 3) (3.19048 b. A∩ E = {(3. p(AE) = A∩ E/ E= 4/21 = 0.4) (2. A∩ E= 4 elementos Por tanto.6) (3.6) (2.3) (6.3) (5.5) (4.4) (4.4) (5.4) (2.5) (1. los que en el segundo dado aparece el cuatro} A = {(1.(6.6) (6. E = evento de que la suma de los números que aparecen sea de por lo menos siete .5) (5.4) (5.4)} Luego.6) (4.1) (5.6) (5.5) (6.2) E = (4.4) (6.4) (6.4) (5.2) (6.4) (4.4) (4.5) (3.4) (6.4) (3.4)}.6) A = {6 elementos. 6) A = evento de que ambos números sean pares (2.1) (5.4) (6.3) (6.1) (5.2) (4.5) (6.2) A = (2.28571 c.6) (6.5) (3.4) (6.6) (6.6) (6.4) (2.2) .6) (3.4) (2.4) A∩ E= 6 elementos (2.4) (4.3) (5.(6.5) (4.6) (4.6) (2.4) (4.6) (4.2) (6.6) (6.4) (5.4) (6.5) (1.5) (5.6) (5.2) E = (4.3) (3.2) (6.2) (6. E = evento de que la suma de los números que aparecen sea de por lo menos siete (6.2) A∩ E = (4.6) (4.6) p(AE) = A∩ E/ E = 6/ 21 = 0. 5) (4.1) (2.04762 2. A∩ E= 1 elemento P(AE) = A∩ E/E = 1/21 = 0.3) (2.3) (1.E = (4. si la suma de los números que aparecen es par.6) (5. a.5) (2.5) (4.5) (3.6) A∩ E = {(2.5) .2) A = (2.3) (5.3) (3.6) A = evento de que en el primer dado aparezca el número dos (2.4) (2. Determine la probabilidad de que ambos números sean impares.4) (5.5) (2.5)}.4) (4.5) (3.4) (3.6) (2.6) (4.5) (6. b. Solución: δ = {9C2 = 36 maneras de seleccionar dos números de entre nueve que se tienen} (1.3) (2.3) (6.4) (2.5) (1.Se seleccionan al azar dos números de entre los números del 1 al 9.6) (6.4) δ = (1.5) (5.4) (2.6) (3.2) (1. Determine la probabilidad de que ambos números sean pares.4) (6. 9) (6.9) (5.6) (3.6) (4.7) (1.9) (7.6) (1.8) (3.9) (5.3) (3.9) a.8) (4.7) (3.8) (1.9) (4.6) (2.6) (5.6) (2.6) (4.3) (2.6) .8) (4.4) A∩ E = (2.5) (3.7) (5.7) (6.8) (4.7) (4.7) (2.8) (2.8) (5.8) (6.6) (4.8) (1.7) (2.8) (7.4) A = (2.(1.9) (2.9) (8.9) E = {16 elementos } A = evento de que ambos números sean pares (2.7) (5.4) E = (1. E = evento de que la suma de los números que se seleccionan sea par (1.6) (4.9) (7.6) (1.8) (6.8) A = {6 elementos} (2.9) (3.8) (6.5) (2.9) (3. 7) (3.7) . E = evento de que la suma de los números seleccionados es par (1.8) (4.4) E = (1.9) (7.375 b.3) A∩ E = (1.7) (5. p(AE) = A∩ E/ E= 6/16 = 0.3) (3.5) (3.9) (7.3) (2.7) (1.9) (3.9) (3.5) (1.9) A = evento de que ambos números sean impares (1.8) A∩ E = 6 elementos .7) (2.9) (5.7) (3. (1.8) (6.9) (5.8) (4.7) (5.9) A = {10 elementos}.3) A = (1.7) (5.6) (4.5) (1.8) (6.5) (2.5) (3.8) (1.5) (3.6) (1.(2. 9) (3. E = {selección de dos números pares o de dos impares = 4C2 + 5C2} A = evento de que ambos números sean pares A = {4C2 } A∩ E = {4C2 = 6 maneras de seleccionar dos números pares } A∩ E= 6 elementos p(AE) = A∩ E/E= 6/16 = 0. el espacio muestral puede ser definido.9) (7.9) (5.9) A∩ E= 10 elementos. forzosamente ambos deben ser pares o impares.625 3. δ = {9C2 = 36 maneras de seleccionar los dos números} a. E = evento de que la suma de los números seleccionados sea par E = {4C2 + 5C2 = 16 maneras de seleccionar dos números de entre nueve} A = evento de que ambos números sean impares A = {5C2 = 10 maneras de seleccionar dos números impares} A∩ E= {5C2 = 10 } p(AE= A∩ E/E= 10/16 = 0. TIPO FLECHA DEFECTO I II A 54 28 B 23 12 C 40 14 D 15 5 TOTAL 132 59 . por tanto.375 b. p(AE)= A∩ E/ E= 10/16 = 0. a continuación se presentan los resultados obtenidos en la inspección. E = evento de que la suma de los números seleccionados sea par Para que la suma de dos números sea par.625 Este ejercicio también puede ser resuelto haciendo uso de las combinaciones.(1. Dada la siguiente tabla referente a la producción de flechas para camión de carga pesada. 300 del tipo C y 400 del tipo D. se inspeccionan 200 flechas del tipo A y B. 04667 c. ¿cuál es la probabilidad de que no tenga defectos. Definiremos los eventos. ¿cuál es la probabilidad de que una flecha no tenga defectos?. Si la flecha seleccionada es del tipo C.40901 d. ya que no hay un evento que esté condicionando al evento del cual se desea determinar su probabilidad D = evento de que una flecha no tenga defectos = {909 flechas} . e. ¿cuál es la probabilidad de que una flecha tenga defectos? Solución: a. E = evento de que la flecha seleccionada sea del tipo B = {200 elementos o flechas} A = evento de que la flecha seleccionada no tenga defectos = {909 flechas o elementos} A∩ E = {165 elementos del tipo B y que no tienen defectos} p(AE) = A∩ E/E= 165/200 = 0. En este caso se trata de una probabilidad simple. d.S . 118 200 165 200 246 300 380 400 909 1100 Si se selecciona una flecha al azar y resulta que es una flecha del tipo B. ¿cuál es la probabilidad de que sea del tipo A. Si la flecha seleccionada tiene defectos del tipo I. E = evento de que la flecha tenga defectos del tipo I = {132 flechas} A = evento de que la flecha sea del tipo A = {200 flechas} A∩ E = {54 flechas con defectos del tipo I y del tipo A} p(AE) = A∩ E/E= 54 / 132 = 0.825 b.DEF TOTAL a. ¿cuál es la probabilidad de que tenga defectos del tipo II?. E = evento de que la flecha sea del tipo C ={300 flechas} A = evento de que la flecha tenga defectos del tipo II ={59 flechas} A∩ E = {14 flechas del tipo C y que tienen defectos del II } p(AE) =A∩ E/E= 14/300 = 0. b. c. para lo cual nos podemos ayudar con un diagrama de árbol en donde representemos uno tras otro el nacimiento de cada uno de sus hijos. MHM } . Si esta familia tiene por lo menos una hija. no múltiples y se considera que existe la misma probabilidad de que nazca un varón o una niña. ¿cuál es la probabilidad de que el segundo hijo sea varón?. B = evento de que la familia tenga como máximo un hijo varón B = {ningún hijo varón o un hijo varón}= {MMM. C = evento de que el segundo hijo de la familia sea varón C = {HHH.5 c. ¿cuál es la probabilidad de que tenga como máximo un hijo varón. d. Si esta familia tiene como máximo un hijo varón. HHM.δ = {1100 flechas} p(D) = 909/1100 = 0. b. HMM. Una pareja de recién casa dos ha decidido formar una familia de solo tres hijos. MHH. HMH. MHH. ¿cuál es la probabilidad de que tenga puras hijas? Solución: Lo primero que hay que obtener para resolver este problema es el espacio muestral. HMM. MMH} p(B) = 4/8 = 1/2 =0.17364 4. en donde solo consideraremos partos de un solo bebé. Y el espacio muestral obtenido es: H = niño M = niña δ = {HHH. MHM. MMM} a. A = evento de que la familia tenga puros hijos varones A = {HHH} p(A) = 1/8 = 0.82636 d. a. determine la probabilidad de que tenga puros hijos varones. F = evento de que una flecha tenga defectos = {132 + 59 = 191 flechas} δ = {1100 flechas} p(F) = 191 / 1100 = 0. c. MHM. e.125 b. HHM. MMH. ¿cuál es la probabilidad de que su segundo hijo sea varón. HMH. MHH. MMH. Como en este caso se trata de calcular una probabilidad de tipo condicional. el evento E que es el que condiciona y el evento A. MHH. E = evento de que la familia tenga como máximo un hijo varón A = evento de que la familia tenga puras hijas E = {MMM. ¿cuál es la probabilidad de que ponga aceite?. MMM}= {7 elementos} A = evento de que el segundo hijo sea varón A = { HHH. a.42857 e. E = evento de que la familia tenga por lo menos una hija E = {tenga una o más hijas} E = {HHM. la probabilidad de que un auto que llega a cierta gasolinera cargue gasolina es de 0.25 5. MHM. b. Según las estadísticas. MMH. HMM. MHM.79 E = evento de que un auto cargue gasolina . se requiere definir dos eventos. MHH. Sí un auto pone aceite al motor. ¿cuál es la probabilidad de que ponga gasolina? Solución: a. MHM } A∩ E = { HHM. Sí un auto carga gasolina. HMM}= {4 elementos} A = {MMM} A∩ E = {MMM} = {1 elemento} P(AE) = A∩ E/E= 1/4 = 0. HHM.79. MHM }= {3 elementos} Luego.06.5 d. p(E) = 0. b.11 y la probabilidad de que ponga gasolina y aceite al motor es de 0. mientras que la probabilidad de que ponga aceite al motor es de 0. p(AE) = A∩ E/E= 3/7 = 0.P(C) = 4/8 =1/2 = 0. ¿Cuál es la probabilidad de que cargue gasolina o cambie de neumáticos en la primera media hora de recorrido?. d. c.11 = 0.07 p(AE) = p(A∩ E)/p(E) = 0.05.63636 6. Si el auto cambia de neumáticos en la primera media hora de recorrido. a. la probabilidad de que cargue gasolina y cambie de neumáticos en la primera media hora de recorrido es de 0. la probabilidad de que cambie de neumáticos en esa primera media hora de recorrido es de 0. ¿cuál es la probabilidad de que cambie de neumáticos también? Solución: a.58 B = evento de que cambie de neumáticos en la primera hora de recorrido P(B) = 0.07/0. Si el auto carga combustible en la primera media hora de recorrido.79 = 0.0881 c.A = evento de que un auto ponga aceite al motor P(A) = 0. E = evento de que un auto ponga aceite al motor P(E) = 0..11 A∩ E = evento de que un auto ponga gasolina y aceite p(A∩ E) = 0.16 .11 A = evento de que un auto ponga gasolina P(A) = 0. ¿cuál es la probabilidad de que no cargue combustible y de neumáticos en la primera media hora de recorrido. A = evento de que cargue gasolina en la primera media hora de recorrido P(A) = 0.07 P(AE) = p(A∩ E)/ p(E) = 0.07/ 0.16. b. ¿cuál es la probabilidad de que cargue combustible también?.La probabilidad de que un auto de carreras cargue gasolina en cierto circuito en la primera media hora de recorrido es de 0.79 A∩ E = evento de que un auto ponga aceite al motor y ponga gasolina P(A∩ E) = 0.58. 16 – 0.16 = 0. despejando.69 b.A∩ B = evento de que cargue combustible y cambie de neumáticos en la primera hora de recorrido P(A∩ B) = 0.58 + 0. E = evento de que el auto cambie de neumáticos en la primera media hora de recorrido A = evento de que el auto cargue combustible en la primera media hora de recorrido p(AE) = p(A∩ E)/ p(E) = 0.05/0. E = evento de que el auto cargue combustible en la primera media hora de recorrido A = es el evento de que el auto cambie de neumáticos en la primera media hora de recorrido p(AE) = p(A∩ E)/p(E) = 0.31 c.05 P(cargue gasolina o cambie de neumáticos) = p(A∪ B) = p(A) + p(B) – p(A∩ B) = 0. p( no cargue combustible y no cambie de neumáticos) = 1 – p(A∪ B) = 1 – 0.05 = 0.3125 d.58 = 0. Tomando como referencia la fórmula de probabilidad condicional.69 = 0. p(A∩ E) = p(E)p(AE) Teorema de la multiplicación para probabilidad condicional donde: p(A∩ E) = probabilidad de que ocurran A y E p(E) = probabilidad de que ocurra E .08621 F) TEOREMA DE LA MULTIPLICACIÓN PARA PROBABILIDAD CONDICIONAL.05/0. c.44*0. B1 = evento de que el primer producto seleccionado no tenga defectos B2 = evento de que el segundo producto seleccionado no tenga defectos Dm2 = evento de que el segundo producto seleccionado tenga defectos menores DM2 = evento de que el segundo producto seleccionado tenga defectos mayores . si se toman de este lote tres productos uno tras otro. Solución: a. Dm1= evento de que el primer producto seleccionado tenga defectos menores DM2 = evento de que el segundo producto seleccionado tenga defectos mayores B3 = evento de que el tercer producto seleccionado no tenga defectos P(Dm1∩ DM2∩ B3) = p(Dm1)p(DM2Dm1)p(B3Dm1∩ DM2) = (5/25)*(9/24)*(11/23)= = 0.05739 b. el segundo tenga defectos mayores y que el tercero no tenga defectos.375*0. b. Definiremos algunos eventos.375*0.03587 c.2*0. El primer producto y el tercero no tengan defectos. B1 = evento de que el primer producto seleccionado no tenga defectos DM2 = evento de que el segundo producto seleccionado tenga defectos mayores DM3 = evento de que el tercer producto seleccionado tenga defectos mayores p(B1∩ DM2∩ DM3) = p(B1)p(DM2B1)p(DM3B1∩ DM2) =(11/25)*(9/24)*(8/23) = 0. determine la probabilidad de que: a. El primer producto no tenga defectos y que el segundo y tercero tengan defectos mayores. En un lote de producción hay 25 productos. El primer producto tenga defectos menores. 5 de los cuales tienen defectos menores y 9 tienen defectos mayores.4782608= 0.p(AE) = probabilidad de que ocurra el evento A dado que el evento E ya ocurrió Ejemplos: 1.347826 = 0. 03985 + 0. bajan del autobús cuatro personas una tras otra. b. M1 = evento de que baje del autobús primero una mujer M2 = evento de que baje en segundo lugar una mujer N3 = evento de que baje en tercer lugar un niño H4 = evento de que baje en cuarto lugar un hombre P(M1∩ M2∩ N3∩ H4) = p(M1)p(M2M1)p(N3M1∩ M2)p(H4M1∩ M2∩ N3) = = (6/12)*(5/11)*(2/10)*(4/9) = 240/11.07174 = 0. luego otro niño y por último que baje una mujer. se considera que este puede ser no defectuoso. determine la probabilidad de que.880 = 0.375) (0. La primera y segunda persona que bajen sean mujeres. luego un hombre.0202 b.44)(0.B3 = evento de que el tercer producto seleccionado no tenga defectos En este caso como no se especifica de que tipo debe ser el segundo producto. con defectos menores o con defectos mayores.18332 2. por lo tanto.44)(0. p(B1∩ B2∩ B3) + p(B1∩ Dm2∩ B3) + p(B1∩ DM2∩ B3) = p(B1)p(B2B1)p(B3B1∩ B2) + P(B1)p(Dm2B1)p(B3B1∩ Dm2) + p(B1)p(DM2B1)p(B3B1∩ DM2) =(11/25)*(10/24)*(9/23) + (11/25)*(5/24)*(10/23) + (11/25)*(9/24)*(10/23) =(0.07173 + 0. a.39130) + (0. Solución: a. 4 hombres y dos niños) realizan un paseo en un pequeño autobús.44)(0.41666)(0. al llegar a cierto lugar. c. N1 = evento de que baje en primer lugar un niño . luego un hombre.43478) + (0. el tercero sea un niño y por último baje un hombre.43478) = 0. Que baje una mujer.20833)(0. después otra mujer y por último otro hombre. Que baje un niño. Doce personas (6 mujeres. M1 = evento de que baje en primer lugar una mujer H2 = evento de que baje en segundo lugar un hombre M3 = evento de que en tercer lugar baje una mujer H4 = evento de que en cuarto lugar baje un hombre p(M1∩ H2∩ M3∩ H4) = p(M1)p(H2M1)p(M3M1∩ H2)p(H4M1∩ H2∩ M3) = (6/12)*(4/11)*(5/10)*(3/9) = 360/11. En un lote de autos usados.880 = 0. ¿cuál es la probabilidad de que haya seleccionado un auto Chevrolet estándar?. 2 de cada 8 autos Ford son estándar. además de las formas o maneras en que cada uno de los pasos puede ser llevado a efecto y sus respectivas probabilidades. un cliente compra un auto de este lote. c.H2 = evento de que baje en segundo lugar un hombre N3 = evento de que baje en tercer lugar un niño M4 = evento de que baje en cuarto lugar una mujer p(N1∩ H2∩ N3∩ M4) = p(N1)p(H2N1)p(N3N1∩ H2)p(M4N1∩ H2∩ N3) = = (2/12)*(4/11)*(1/10)*(6/9) = 48/11.00404 c. el 45% son Chevrolet y el 30% son Chrysler. el 25% son de la marca Ford. 1 de cada 10 autos Chevrolet son estándar y 2 de cada 10 autos Chrysler son también estándar. Ejemplos: 1. b. ¿cuál es la .0303 G) PROCESOS ESTOCASTICOS. de los cuales. cualquier proceso en el que se involucren probabilidades es un proceso estocástico. a. dicho de otra manera.880 = 0. ¿cuál es la probabilidad de que el auto seleccionado por el cliente sea estándar?. Un proceso estocástico es aquel en el que se representan todos y cada uno de los pasos necesarios para realizar una actividad. En un lote de producción se tienen 150 artículos.45*1/10 = 0.0625 = 0.25*6/8 + 0.45*1/10 + 0.1675 b.probabilidad de que el auto seleccionado sea Ford o Chrysler automático? Solución: a.045 + 0.25*2/8 = 0.1875 + 0.30*2/10 + 0. Haciendo uso de un diagrama de árbol como se muestra.24 = =0. 60 del tipo B y 60 del tipo C. de los cuales 30 son del tipo A. de los que el 15% de los .4275 2.045 c.06 + 0. p(seleccionar un Ford o Chrysler automático) = p(F∩ A) + p(Chr∩ A) = p(F)p(AF) + p(Chr)p(AChr) = 0. p(seleccionar un Chevrolet estándar) = 0. se facilita hacer el cálculo de probabilidades P(seleccionar un auto estándar) = p(seleccionar un Chevrolet o Chrysler o Ford estándar) = p(Ch∩ S) + p(Chr∩ S) + p(F∩ S) = p(Ch)p(SCh) + p(Chr)p(SChr) + p(F)p(SF) = 0.30*8/10 = 0. ¿cuál es la probabilidad de que un producto cumpla con las especificaciones y sea del tipo B? Solución: Haciendo uso de un diagrama de árbol como en el caso anterior.08/0.14 b. b. no cumplen con las especificaciones. E = evento de que el producto seleccionado no cumpla con las especificaciones B = evento de que el producto seleccionado sea del tipo B p(BE) = p(B∩ E)/p(E) = (60/150*0.20 + 60/150*0.08 + 0. procederemos a dar solución al problema en cuestión.05 = 0.14= 0. p(producto seleccionado no cumpla con las especificaciones) = 40/150*0. si se selecciona un producto de este lote al azar. Otro a. 20% de los productos del tipo B y 5% de los productos del tipo C.productos del tipo A. a.57143 .04 + 0.15 + 60/150*0.02 = 0. ¿cuál es la probabilidad de que sea un producto del tipo B?. Si el producto seleccionado no cumple con las especificaciones. Determine la probabilidad de que el producto seleccionado no cumpla con las especificaciones.14 = 0.20)/0. c. ¿cuál es la probabilidad de que ambas esferas sean blancas.33088 c. En una urna se tienen 10 esferas blancas. c. Determine la probabilidad de que la segunda esfera extraída sea verde.29412 b. b.8 = 0. se extraen de la urna dos esferas una tras otra.c. sin reemplazo. p(cumpla con las especificaciones y sea del tipo B) = 60/150*0.32 3. segunda esfera p(segunda esfera sea verde) = p(B)p(VB) + p(V)p(VV) + p(A)p(VA) = = 10/17*5/16 + 5/17*4/16 + 2/17*5/16 = = 50/272 + 20/272 + 10/272 = 80/272 =0. a. Si la segunda esfera es verde. E = evento de que la segunda esfera seleccionada sea verde B = evento de que la primera esfera sea blanca P(BE) = p(B∩ E)/p(E) . 5 verdes y 2 azules. ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea blanca? Solución: primera esfera a. p(ambas esferas sean blancas) = 10/17*9/16 = 90/272 = 0. por lo que p(B) = p(A1∩ B) + p(A2∩ B) + p(A3∩ B) +. o sea que la probabilidad de que ocurra el evento Ai y el evento B es igual al teorema de la multiplicación para probabilidad condicional....40 H) TEOREMA DE BAYES Sea δ un espacio muestral que está formado por los eventos A1. .+ p(An∩ B) y como la p(Ai∩ B) = p(Ai)p(BAi) ..... B = δ ∩ B = (A1∪ A2∪ A3∪ .. luego.= (10/17*5/16)/80/272 =(50/272)/(80/272) = 0..∪ (An∩ B) Donde cada uno de los eventos Ai∩ B son eventos mutuamente excluyentes.... A2..An mutuamente excluyentes.. luego.. δ = A1∪ A2∪ A3∪ ..∪ An)∩ B = (A1∩ B)∪ (A2∩ B)∪ (A3∩ B)∪ ... observamos que... A3.∪ An Luego si ocurre un evento B definido en δ .... Se selecciona un producto al azar y se encuentra que es defectuoso. 26% y 31% de la producción total de una empresa respectivamente. ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en la máquina C? Solución: Para resolver este problema nos ayudaremos con un diagrama de árbol. que como se observa es una simple probabilidad condicional. Tres máquinas denominadas A. Definiremos los eventos. B y C. b.p(B) = p(A1)p(BA1) + p(A2)p(BA2) + p(A3)p(BA3) + p(An)p(BAn) Si deseamos calcular la probabilidad de que ocurra un evento Ai dado que B ya ocurrió. se ha detectado que un 8%. Si el producto seleccionado resulta que no es defectuoso. . producen un 43%. Ejemplos: 1. entonces. ¿cuál es la probabilidad de que el producto haya sido fabricado en la máquina B?. a. La expresión anterior es el teorema de Bayes.6% del producto manufacturado por estas máquinas es defectuoso. a. 2% y 1. Si se selecciona a un visitante al azar ¿cuál es la probabilidad de que no se le haya dado un mal servicio?.D = evento de que el producto seleccionado sea defectuoso (evento que condiciona) A = evento de que el producto sea fabricado en la máquina A B = evento de que el producto sea fabricado por la máquina B C = evento de que el producto sea fabricado por la máquina C P(BD) = p(B∩ D)/p(D) = p(B)p(DB)/p(A)p(DA) + p(B)p(DB) + p(C)p(DC) P(BD) = (0.26*0.116697 b.b.02 + 0.98 + 0.43*0.984) = 0. en una proporción de 18. Palacio del Sol. Solución: Haciendo uso de un diagrama de árbol.04456 =0.8%. Si el visitante seleccionado se quejó del servicio prestado.984/(0.016) = 0. Sicomoros o Fiesta Inn.0052/0. de los cuales se ha tenido información de que se les ha dado un mal servicio en un 2.02)/(0.26*0. 32% y 49. 1% y 4% respectivamente.92 + 0.31*0. c. ND = evento de que el producto seleccionado no sea defectuoso (evento que condiciona) A = evento de que el producto sea fabricado en la máquina A B = evento de que el producto sea fabricado por la máquina B C = evento de que el producto sea fabricado por la máquina C P(CND)=p(C∩ ND)/p(ND)=p(C)p(NDC)/p(A)p(NDA) + p(B)p(NDB) + p(C)p(NDC) = 0.08 + 0.31927 2.30504/0. Si se selecciona a un visitante al azar y se encuentra que el no se quejó del servicio prestado.31*0.95544 =0. ¿cuál es la probabilidad de que se haya hospedado en el Palacio del Sol?.43*0. . a.5%. ¿cuál es la probabilidad de que se haya hospedado en e hotel Fiesta Inn? 3.5% respectivamente.31*0.26*0. Una empresa recibe visitantes en sus instalaciones y los hospeda en cualquiera de tres hoteles de la ciudad. 97182 b.495*0.99 + 0. NQ = evento de que un visitante no se queje del servicio PS = evento de que un visitante haya sido hospedado en el hotel Palacio del Sol S = evento de que un visitante haya sido hospedado en el hotel Sicomoro FI = evento de que un visitante haya sido hospedado en el hotel Fiesta Inn P(PSNQ)=p(PS∩ NQ)/p(NQ) =(0.185*0.4752) = 0.185*0.a.99+0.17982 + 0.96)= = 0.32*0.17982/(0.185*0.32*0.972)/(0.97182 .3168 + 0. Sol NQ = evento de que un visitante no se queje del servicio PS = evento de que un visitante haya sido hospedado en el hotel Palacio del S = evento de que un visitante haya sido hospedado en el hotel Sicómoro FI = evento de que un visitante haya sido hospedado en el hotel Fiesta Inn P(NQ) = p(PS)p(NQPS) + p(S)p(NQS) + p(FI)p(NQFI) = = 0.495*0.972 + 0.972+0.17982/0.17982 + 0.96 = 0.3168 + 0.4752 = 0. 7026 I) INDEPENDENCIA Se dice que un evento B es independiente de un evento A.02818 = 0. nos encontraremos con lo siguiente.32*0. p(A∩ B) = p(A)p(BA) = p(A)p(B) Luego.495*0.028 + 0. ASS. SSA. δ = {AAA. Sea δ el espacio muestral del lanzamiento de una moneda tres veces.0198/( 0.01 + 0. si deseamos determinar la probabilidad de cada uno de los elementos. podemos decir que los eventos A y B son independientes. Q = evento de que un visitante se queje del servicio FI = evento de que un visitante haya sido hospedado en el hotel Fiesta Inn P(FIQ) = p(FI∩ Q)/p(Q) = 0. SSS} Donde cada uno de los elementos de este espacio muestral está formado por tres pruebas repetidas e independientes que son los tres lanzamientos de la moneda.185*0. la expresión anterior se puede sustituir en el teorema de la multiplicación para probabilidad condicional.00518 + 0. Ejemplos: Pruebas repetidas e independientes.1850342 c. SAA.= 0.0198) = 0.495*0. ASA. p(A∩ B) = p(A)p(B) independencia Si la expresión anterior se cumple.0198/0.04/(0. si p(BA) = p(B).04) =0. p(AAA)=p(A1∩ A2∩ A3)=p(A1)p(A2A1)p(A3A1∩ A2)=p(A)p(A)p(A) =1/2*1/2*1/2=1/8 Concepto de . SAS. AAS.0032 + 0. esto quiere decir que la probabilidad de que ocurra B no es afectada por la ocurrencia del evento A. Gane ambos juegos.1) (0. Gane uno de los juegos. p(gane el segundo juego) = p(GG. Con lo anterior se comprueba que efectivamente la probabilidad de cada uno de los elementos del espacio muestral descrito anteriormente es de 1/8 como se consideraba cuando se calculaban probabilidades para un espacio finito equiprobable.6) = = 0. si este equipo participa en dos juegos la semana próxima. etc.3)(0. PP} Por lo que: a. determine la probabilidad de que.06 = 0.6) + (0. b. d. una probabilidad de empatar de 0. PG. GE. EE.6)(0.p(AAS) = p(A)p(A)p(S) =1/2*1/2*1/2 =1/8 p(ASA) = p(A)p(S)p(A) = 1/2*1/2*1/2 = 1/8 etc. Ejemplos: 1.6) + (0. PG) = (0. c.6 . Gane el primer juego y empate el segundo. a.36 + 0.6.3 y una probabilidad de perder de 0. Un equipo de fútbol soccer tiene una probabilidad de ganar de 0.1. EP. PE. El espacio muestral sería: δ = {GG. Gane el segundo juego. EG. GP. EG.18 + 0. ¿cuál es la probabilidad de que sean la primera y tercera peleas?. GPG.8 G Del diagrama anterior obtenemos el siguiente espacio muestral.6)(0.48 d. p(gane uno de los juegos) = p(GE. E = evento de que gane dos peleas E ={ GGP.2)(0. GGP. p(gane el primero y empate el segundo) = p(GE) = (0. GPG. p(gane dos de las peleas) = p(GGP.6)(0. determine la probabilidad de que. c. PGG.Un boxeador gana 8 de cada 10 peleas en las que compite. Gane dos de las peleas. Si gana dos de las peleas. GP.6)(0. PGG }.8)(0.8)(0.1)(0.2) + (0.6)(0.6) = 0. Gane la segunda pelea.8)(0.8) + (0. GPG} . GPP.6) + (0.8)(0.3) + (0. EG.6) = 0.128 = 0. p(E) = 0. δ ={GGG.384 b.18 2. PGP.1) + (0.348 A = evento de que gane la primera y la tercer pelea A={GGG. PPP} a. 0.2)(0.3)(0.128 + 0. p(gane ambos juegos) = p(GG) = (0. PGG) = (0.18 + 0. GPG.06 + 0.128 + 0.8) = 0.b.36 c. si este boxeador participará en tres peleas en los próximos seis meses.06 = 0. a. PG) = (0. PPG. b.18 + 0.3) = 0. 8)(0.3333 c. determine la probabilidad de que. A`= no acierta A.8) (0. B tiene 1/2 de posibilidades de acertar y C tiene 1/4 de posibilidades de pegar al blanco.8)(0.032= 0.128 P(AE) = p(A∩ E) / p(E) = 0. AB`C. ABC`. p(ninguno acierte al blanco) = p(A´B´C´) = 2/3*1/2*3/4 = 6/24 = 0. etc. c. A tiene 1/3 de posibilidades de acertar al blanco. A`B`C) = 1/3*1/2*3/4 + 2/3*1/2*3/4 + 2/3*1/2*1/4 = 3/24 + 6/24 + 2/24 = 11/24 = 0.2)(0. A`BC. Si las probabilidades de que. A = evento de que A acierte al blanco = { ABC.36 y 0. b.Tres hombres tiran a un blanco. p(solo uno de ellos acierte al blanco) = p(AB`C`.8) + (0. Solo uno de ellos acierte al blanco. A`B`C.8)(0.128 + 0.2) + (0. δ ={ABC. un automóvil nuevo requiera reparaciones del motor.8) + (0. a. etc. ¿cuál es la probabilidad de que un auto requiera uno o el otro o ambos tipos de reparación durante el período de garantía? r=0.A∩ B = {GPG}.2)(0.8) =0..45833 a. Determine la probabilidad de que ninguno acierte al blanco.8)(0. la transmisión o ambos. Solución: Haciendo uso de un diagrama de árbol se obtiene el siguiente espacio muestral. son 0.2)(0.29. p(gane la segunda pelea) = p(GGG. GGP. en condiciones de garantía.25 J)PROBLEMAS PROPUESTOS 1.348/0. p(A∩ B) = (0. PGG.8)(0. AB`C. A`BC`.128 + 0. AB`C`. 0. A`B`C`} donde: A = acierta A. PGP) = (0.87.8 3. E = evento de que solo uno de ellos acierte al blanco p(E) =11/24 E = {AB`C`. A`BC`.512 + 0.2) = 0. A`BC`. Si solo uno de ellos acierta al blanco.8)(0. A`B`C}.94 .27273 b. ¿cuál es la probabilidad de que acierte A?.128= 0. ABC`. B = acierta B. B`= no acierta B. AB`C`} A∩ E = { AB`C`} = 1/3*1/2*3/4 = 3/24 p(AE)= p(A∩ E)/p(E) = (3/24)/(11/24) = 3/11 = 0. si cada uno de ellos hace un solo disparo. c.. r= a. 0. 1/18 c.03. a.72 c. 0. 0. determine.29 y la probabilidad de que tenga ambos defectos es de 0. 3.02. ¿Cuántos de estos estudiantes no se inscriben en ningún curso? r=45 5. 0. . 0.28 6. p(A∪ B). 0.07. 7.08 de probabilidades de que adquiera neumáticos de las siguientes marcas: Uniroyal. 0. 4. neumáticos Goodyear.19. General o Armstrong. Goodrich o Armstrong. 0.24 y la probabilidad de que obtenga ambos premios es de 0. neumáticos Goodrich o Goodyear. la probabilidad de que obtenga un premio por su eficiente uso de materiales es de 0.12.2.. d. de 5 a 8 quejas. y 40 en ambos.368 4.. ¿Qué probabilidad hay de que un chip de fabricación reciente no tenga ninguno de tales defectos? r=a. ¿Qué probabilidad hay de que un chip de fabricación reciente tenga ya sea un defecto de grabado o de cuarteadura?.16. Goodyear. Michelin.. 0.11. 7 u 11. En un grupo de 160 estudiantes graduados de ingeniería.0. c. Al lanzar un par de dados balanceados. 92 se inscriben en un curso avanzado de estadística. 2/9 d.0.. respectivamente.17. P(A´∩ B´). La probabilidad de que el chip de un circuito integrado tenga un grabado defectuoso es de 0. b.07.37 c. 1. neumáticos Michelin o Armstrong. 0. e. ¿que probabilidad hay de obtener dos de cada tipo? r=0. Las probabilidades de que una estación de Televisión reciba 0. 3 o 12? r= a. p(A´). 0. a. 2. 0. p(A∩ B´). y existen 0. c..29.09 y 0.55 9.8 o al menos 9 quejas tras la emisión de un controvertido programa son. p(A)= 0.21 y 0. 0.0.29 y p(B)=0. 0.66 8. 0.43 b. 2.34 b. que probabilidades hay de obtener a.. General. 1/18 f. b. Si se seleccionan aleatoriamente cuatro de los automóviles para una inspección de seguridad. Qué probabilidades hay de que después de trasmitir ese programa la estación reciba a.03.15.67 c.01. b..14. 2 o 12. R=a. 0. 0.71 b.0.45 b. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes.0. c. La probabilidad de que un nuevo aeropuerto obtenga un premio por su diseño es de 0. Un departamento de policía necesita nuevos neumáticos para sus patrullas. al manos 6 quejas.18. 1/6 b. 3. 63 en un curso de investigación de operaciones.0. ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga al menos uno de los dos .. General o Goodrich.22. como máximo 4 quejas. Una agencia de renta de automóviles cuenta con 18 autos compactos y 12 autos de tamaño mediano.12. a. d. 11. 0. la probabilidad de que tenga un defecto de cuarteadura es de 0. b. 1/9 3. 1/18 e. Determine las probabilidades de que compre.59 7. a. neumáticos Uniroyal. f. 0. 0. d.43. r=a.29 d.. b.11 d.. y de que se ubique ya sea en Bruselas o en Munich. sea correctamente ejecutado? r=0. cumpla la cuota de producción es de 0.2 .80 y la probabilidad de que sea planeado y correctamente ejecutado es de 0.7. ¿cuál es la probabilidad de que la empresa reciba un auto con neumáticos en mal estado? r=0. tenga alta selectividad? r=2/9 11.29 b. se sabe por experiencia que la probabilidad de que un obrero de nuevo ingreso que haya asistido al programa de capacitación de la compañía. Si cada artículo codificado en un catálogo empieza con tres letras distintas y continua con 4 dígitos distintos de cero. La probabilidad de que una industria estadounidense se ubique en Munich es de 0.3 b. Si 10% de los autos de D. Si 80% de la totalidad de los obreros de nuevo ingreso asisten al curso de capacitación. ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga solo uno de los dos premios?.33/59 b.8. 7/118 c.18 10. o en ambas es de 0.0. ¿Cuál es la probabilidad de que un sistema con alta fidelidad. ¿qué probabilidad existe de que un trabajador de nuevo ingreso cumpla la cuota de producción? r=0. Si la probabilidad de que un sistema de comunicación tenga alta fidelidad es de 0. ¿qué probabilidades hay de que a. 20% de la agencia D.4.¿Cuál es la probabilidad de que la industria se localice a. ambas partes debieran de haber llegado a Vancouver. b. R= 10/117 16.35. 20% de la agencia E y 60% de la agencia F.18. r=a. Una empresa consultora renta automóviles de tres agencias. en ninguna de ellas r=a. r=a. 45 tienen a Seattle por destino y 15 a Vancouver. 0. una debiera haber llegado a Seattle y la otra a Vancouver.45/118 13.0. Si dos de las partes se descargan por error en Pórtland y la “selección” es aleatoria.premios?. de que se localice en Bruselas de 0. b.86 y que la probabilidad correspondiente de un obrero de nuevo ingreso que no ha asistido a dicho curso de capacitación es de 0. c.758 14. En una planta electrónica. Entre 60 partes de refacción automotriz cargadas en un camión en San Francisco. Si la probabilidad de que un proyecto de investigación sea correctamente planeado es de 0. encuentre la probabilidad de seleccionar aleatoriamente uno de los que empieza con la letra a y tiene un par como último dígito. b. ambas partes debieran de haber llegado a Seattle.72.068 15.81 y la probabilidad de que tenga alta fidelidad y alta selectividad es de 0. en ambas ciudades?. 0.90 12. ¿qué probabilidad hay de que un proyecto de investigación correctamente planeado. 12% de los autos de E y 4% de los autos de F tienen neumáticos en mal estado. Un pueblo tiene dos carros de bomberos que operan independientemente. b. ¿Cuál es la probabilidad de que a una persona que visita a un dentista se le tome una placa radiográfica.15. la probabilidad de que el paciente levante una demanda es de 0. Sí se toma un frasco aleatoriamente de cada valija de equipaje. es de 0.9984 21. a.0. La probabilidad de que Tom sobreviva 20 años más es de 0.1/12 19.75 b. y la de que a una persona que se le toma una placa de rayos X y que tiene un tapón. en ninguno de los dos instrumentos. la de que su esposa lo haga . encuentre la probabilidad de que el cliente invierta a.27 20. r=a. ¿Cuál es la probabilidad de que el médico realice un diagnóstico incorrecto y de que el paciente lo demande? r=0. b.6 en bonos libres de impuesto. ¿cual es la probabilidad de que ninguno sobreviva 20 años? r= 0.34 b. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno esté disponible en caso necesario?. ningún frasco contenga tabletas para la tiroides. de 0.3.21. dado que su esposa no lo hace? r=a. encuentre la probabilidad de que. los dos frascos contengan diferentes tabletas.96.4/15 c. 0.0.03 22.25 18. la de que una persona a la que se le toma una placa de rayos X también tenga un tapón de 0. vote un esposo. ¿Cuál es la probabilidad de que alguno lo esté cuando se le necesite? r=a. b.9. 3/5 23. presente un tapón y se le haya extraído un diente? r= 0. La probabilidad de que un médico diagnostique correctamente una enfermedad en particular es de 0. en fondos mutualistas con una probabilidad de 0. ambos frascos contengan tabletas para la tiroides.0. Una segunda valija contiene 3 de aspirinas. un corredor de bolsa considera que bajo las condiciones económicas actuales un cliente invertirá con una probabilidad de 0. tenga también un diente extraído.5/7 c.0016 b. a.018 . 2 de tabletas para la tiroides y 1 de tabletas laxantes. vote una esposa dado que su esposo lo hace?. Con base en experiencias pasadas.6. Una valija contiene 2 frascos de aspirinas y tres de tabletas para la tiroides.15. Para parejas de casados que viven en una cierta ciudad de los suburbios. la probabilidad de que el esposo vote en alguna elección es de 0.7. b. Sí se supone independencia para ambos.7 y la de que Nancy lo haga de 0.0. ya sea en bonos libres de impuesto o en fondos mutualistas. al menos un miembro de la pareja vote?. c.17. Dado que realice un diagnóstico incorrecto . La probabilidad de que una persona que visita a su dentista requiera de una placa de rayos X es de 0. r= a. c.28 y la de que ambos voten.3 y en ambos instrumentos con una probabilidad de 0.9. de 0. ¿Cuál es la probabilidad de que a. La probabilidad de que un vehículo específico esté disponible cuando se necesite es de 0. En este momento.01.1/5 b.