CONTROL AVANZADOenero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD INTRODUCCIÓN: Concepto de estabilidad. Muchos sistemas físicos son intrínsecamente inestables en lazo abierto e incluso muchos sistemas se diseñan para sean inestables en lazo abierto. Definición: Un sistema estable es un sistema dinámico con una respuesta acotada para una entrada acotada. CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD En lo que se refiere a los sistemas lineales, se reconoce que el requisito de estabilidad puede definirse en función de la localización de los polos de la función de transferencia de lazo cerrado. Esta función se escribe como () ∏ =1( + ) () = = 2 2 2 () ∏ ( + ) ∏ =1[ + 2 + ( + )] =1 donde () = 0 es la ecuación característica cuyas raíces son los polos del sistema de lazo cerrado. CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD La respuesta de la salida para una entrada impulso (cuando = 0) es: () = ∑ =1 − 1 + ∑ ( ) − ( + ) =1 donde y son constantes que dependen de , , , y . Con el objeto de obtener una respuesta limitada, los polos del sistema de lazo cerrado deben estar en la parte izquierda del plano . una condición necesaria y suficiente para que un sistema de realimentación sea estable es que todos los polos de la función de transferencia del sistema tengan partes reales negativas.CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD Por esto. . CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD Respuesta al impulso de un sistema estable . .CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD Respuesta impulso de un sistema estable. la salida en estado estacionario tendrá oscilaciones mantenidas para una entrada limitada.CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD SISTEMA CRITICAMENTE ESTABLE Si la ecuación característica tiene polos simples sobre el eje imaginario (eje ) con el resto de las raíces en el lado izquierdo del plano . Para este caso la salida esta sin acotar y al sistema se le marginalmente estable o críticamente estable. a menos que la entrada sea una sinusoide (la cual está limitada) cuya frecuencia sea igual a la magnitud a las raíces del eje . denomina . la salida esta sin acotar. Veamos las siguientes graficas: . Ya que. si el sistema se excita con una sinusoide de frecuencia = 4.CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD Por ejemplo: Si la ecuación característica de un sistema en lazo cerrado es: ( + 10)( 2 + 16) = 0 Se dice que el sistema es marginalmente estable. CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD Respuesta al impulso de un sistema marginalmente estable . CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD Respuesta de un sistema críticamente estable a una entrada sinusoidal de frecuencia 7 . CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD Respuesta de un sistema críticamente estable a una entrada sinusoidal de frecuencia 4. . para este caso la salida está sin acotar para cualquier entrada. . la ecuación característica tiene al menos una raíz en el lado derecho del plano o raíces en repetidas.CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD SISTEMA INESTABLE Para un sistema inestable. El método de la estabilidad de Routh-Hurwitz proporciona una respuesta al problema de la estabilidad considerando la ecuación característica del sistema. J. A .CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ Maxwell y Vishnegradskii consideraron por primera vez el problema de la estabilidad de los sistemas dinámicos. Routh publicaron por separado un método para investigar la estabilidad de un sistema lineal. A finales de la década de 1800. que en función de la variable de Laplace se escribe como ∆() = () = + −1 −1 + … + 1 + 0 = 0 . Hurwitz y E. CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD El criterio de Routh-Hurwitz se basa en el ordenamiento de los coeficientes de la ecuación característica + −1 −1 + … + 1 + 0 = 0 en una lista como sigue: −1 | −1 −2 −3 −4 … −5 … . −1 − −2 | −1 −3 | −1 ⋮ ⋮ 0 ℎ−1 − − −3 −3 ⋮ − − −5 −5 ⋮ donde −1 = (−1 )(−2 ) − (−3 ) −1 = | −1 −1 −1 −2 −3 | −3 = (−1 )(−4 ) − (−5 ) −1 = | −1 −1 −1 −4 −5 | −1 (−1 )(−3 ) − −1 (−3 ) −1 −1 = = | −1 −1 −1 −3 −3 | y así sucesivamente. .CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD Entonces las filas subsecuentes de la lista se completan como sigue. este criterio requiere que no haya cambios de signo en la primera columna. .CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ “El criterio de Routh-Hurwitz establece que el numero de raíces de () con partes reales positivas es igual al número de cambios de signo de la primera columna de la lista” Para un sistema estable. Este requisito es tanto necesario como suficiente. puesto que requieren modificaciones adecuadas del procedimiento de cálculo de la lista. pero con raíces repetidas sobre el eje . . 1) Ningún elemento en la primera columna es cero 2) Hay un cero en la primera columna. 3) Hay un cero en la primera columna y los otros elementos de la fila que contienen al cero también son iguales a cero.CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD Existen cuatro casos o configuraciones diferentes de la primera columna de la lista que deben ser consideradas y tratadas independientemente. pero otros elementos de la fila que contienen al cero de la primera columna no son iguales a cero. (todo una fila es cero) 4) Como el tercer caso. CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD CASO 1: Ningún elemento en la primera columna es cero Ejemplo: Sistema de segundo orden. La ecuación característica de un sistema de segundo orden es () = 2 2 + 1 + 0 El arreglo de Routh-Hurwitz se escribe como: 2 2 1 | 1 0 1 donde: −1 2 | 1 = 1 1 1 0 − (0)2 0 = 0 0|= 1 0 0 0 . .CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD 2 1 | 0 0 0 0 El requisito para que un sistema estable de segundo orden es simplemente que todos los coeficientes sean positivos o que todos sean negativos. 3 + 2 + 2 + 24 . c) Analizar el siguiente polinomio característico y determinar si es estable o inestable.CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD Ejercicio: Sistema de tercer orden El polinomio característico de un sistema de tercer orden es () = 3 3 + 2 2 + 1 + 0 a) Encontrar el arreglo de Routh-Hurwitz b) Encontrar las condiciones necesarias y suficientes para que el sistema sea estable. Si únicamente un elemento del arreglo en la primara columna es cero.CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD CASO 2: Hay un cero en la primera columna. Por ejemplo. con algunos elementos diferentes de cero. que se permite que tienda cero después de completar el arreglo. . considérese el siguiente polinomio característico: () = 5 + 2 4 + 2 3 + 4 2 + 11 + 10 . este puede reemplazarse por un número pequeño positivo. CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD Se desarrolla el arreglo de Routh-Hurwitz : 5 1 2 11 4 2 4 10 | 3 4 2 0 2 | 1 0 −1 1 | 4 = 2 2 −[(1)(4) − (2)(2)] 2 |= =0 4 2 −1 1 11 −[(1)(10) − (2)(11)] | |= 2 = =6 2 2 10 2 . CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD Por lo tanto 4 = . 5 1 2 11 4 2 4 10 | 3 0 6 0 2 | 1 0 5 1 2 11 4 2 4 10 | 3 6 0 2 | 4 2 0 1 0 . CONTROL AVANZADO −1 2 4 −[(2)(6) − ( )(4)] − − | |= 4 = = = 6 −1 2 | 2 = −[(2)(0) − ( )(10)] 10 |= = 0 enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD 1 2 4 3 | 2 − | 1 4 0 5 2 4 6 10 0 11 10 0 0 0 −1 4 = 12 | 12 − − 6 10 |= [( )(10) − (− 12 12 ) (6)] = 10 + 12 72 CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 102 +12 12 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD 4 = 10 2 + 72 = =6 12 1 2 4 3 | 2 − | 1 6 0 4 5 2 4 6 10 0 0 11 10 0 0 0 0 6 ∗ 10 4 = = 10 6 Resultado: CONTROL AVANZADO 1 2 11 2 4 10 4 6 0 | 3 10 0 2 | − 1 6 0 0 0 10 0 0 Hay dos cambios de signo debido a − . Por lo tanto el sistema es 5 enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD inestable y dos raíces caen en la parte derecha del plano . Utilizando Matlab se tiene que los polos son: 0.8950 + j 1.4561 0.8950 – j 1.4561 -1.2407 + j 1.0375 -1.2407 - j 1.0375 -1.3087 (). Ocurre cuando todos los elementos de una fila son cero o cuando la fila está constituida por un solo elemento que es cero. Esta condición se presenta cuando el polinomio contiene singularidades que se localizan simétricamente respecto al origen del plano . Por tanto. Este problema s evita utilizando el polinomio auxiliar.CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD CASO 3: Hay un cero en la primera columna y los otros elementos de la fila también son cero. que precede inmediatamente al elemento cero en el arreglo de RouthHurwitz. el caso 3 ocurre cuando se encuentran factores como ( + )( − )0 ( + )( − ). El orden del polinomio auxiliar siempre es par e indica el número de pares de raíces simétricas. . El arreglo es entonces: 1 2 2 | 8 − 1 2 0 3 4 0 0 Por tanto. se considera un sistema de tercer orden con un polinomio característico: () = 3 + 2 2 + 4 + donde es una ganancia ajustable del lazo.CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD Para ilustrar este método. para un sistema estable. se requiere que: 0 < < 8 . y. es la ecuación de la fila que precede a la de ceros. en este caso se tiene () = 2 2 + 0 = 2 2 + 8 = 2( + 2)( − 2) Por tanto cuando = 8. por tanto. Obsérvese que se obtiene una fila de ceros (caso 3) cuando = 8.CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD Cuando = 8. . se tienen dos raíces en el eje y un caso de estabilidad marginal. El polinomio auxiliar (). los factores del polinomio característico son () = ( + 2)( + 2)( − 2) La respuesta del caso marginal es una oscilación inaceptable. En este caso la ecuación de la fila que precede a la de ceros es la que se obtiene de la fila 2 . Recuérdese que esta fila contiene los coeficientes de potencias pares de . se tiene el polinomio característico: () = 5 + 4 + 4 3 + 24 2 + 3 + 63 Mediante el criterio de Routh-Hurwitz determinar si el sistema es o no estable. Con esta condición. Considérese el control de un brazo robótico. Existen alrededor de un millón de robots en servicio en todo el mundo. . El robot que se muestra en la figura es un sistema microbot de seis patas que utiliza patas muy flexibles con controladores de alta ganancia que pueden llegar a ser inestables y oscilatorios.CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD TAREA1: 1. En la figura E6. rápidos y de despegue vertical que sean invisibles para los radares (aviones clandestinos). .8 Control del cabeceo de un avión. Determine la ganancia máxima del sistema para una operación estable.8 se muestra el concepto de avión que emplea toberas de chorro de giro rápido para la dirección de la nave.CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD 2. El sistema de control de la dirección se muestra en la figura E6. á () + − ó ( + 20) ( + 10) () cabeceo E6. Los ingenieros de diseño trabajan en el desarrollo de aviones de combate pequeños.8. = [0]. Considere el sistema representado en forma de variables de estado. = [0] a) ¿Cuál es la función de transferencia del sistema? b) ¿para qué valores de . el sistema es estable? . = [1 − 1 0 0].CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD 3. ̇ = + = + donde 0 = [ 0 − 1 0 − 0 0 1 ]. Esto contrasta con el análisis y diseño de sistemas de comunicación para los cuales la respuesta en frecuencia es de mayor importancia.CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD ANALISIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA En la práctica el desempeño de un sistema se mide más realísticamente por sus características en el dominio del tiempo. . Por otra parte en el dominio de la frecuencia se tiene un conjunto de métodos gráficos que no está limitado a sistemas de bajo orden. ya que la mayoría de las señales a ser procesadas son de tipo sinusoidal o están compuestas por componentes sinusoidales. En métodos de diseño no hay método unificado para llegar a un sistema diseñado que cumpla con las especificaciones de desempeño en el dominio del tiempo. especialmente para sistemas de orden superior. La respuesta en el tiempo de un sistema es normalmente más difícil de determinar analíticamente. . y la señal de salida resultante para un sistema lineal. es sinusoidal en el estado estacionario. al igual que las señales a través del sistema.CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD DEFINICION: La respuesta en frecuencia de un sistema se define como la respuesta del sistema en el estado estacionario a una señal sinusoidal de entrada. difiere de la forma de onda de entrada solamente en amplitud y ángulo de fase. La sinusoide es una señal de entrada única. Entonces. Se tiene que la transformada de Laplace de () es: () = 2 + y () () () = = () ∏=1( + ) donde se supone que son polos distintos. se tiene: 1 + () = + ⋯+ + 2 + 1 + + 2 enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD . fracciones parciales.CONTROL AVANZADO Se considera el sistema () = () () con () = . Si el sistema es estable.CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD Tomando la transformada de Laplace inversa se obtiene: () = 1 −1 + ⋯ + − + ℒ −1 { + } 2 2 + donde y son constantes que dependen del problema. entonces todos los tienen parte real distinta de cero y positiva y lim () = lim ℒ −1 { + } 2 2 + →∞ →∞ Porque cada termino exponencial − decae a cero cuando → ∞. . se obtiene. + −1 () = ℒ { 2 } 2 + 1 = | ()| ( + ) → ∞ (estado () = | ()| ( + ) donde = ∠(). . para estacionario).CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD En el límite para (). CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD Por lo tanto la señal de salida en estado estacionario depende solo de la magnitud y de la fase de () a una frecuencia especifica. . () = ()|= = () + () donde: () = [()] y () = [()] Alternativamente. la función de transferencia puede representarse por una magnitud |()| y una fase () como: () = |()| () = |()|∠() |()|2 = [()]2 + [()]2 .CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD GRAFICA DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA La función de transferencia de un sistema () puede escribirse en el dominio de la frecuencia por la relación. 8) () = | ()| () = | ()|∠() (8.CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD La representación gráfica de la respuesta en frecuencia del sistema () se puede utilizar: () = ()|= = () + () (8.9) . 1.1 Plano polar . como se muestra en la figura 8.CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD La representación gráfica polar de la repuesta en frecuencia se obtiene utilizando la ecuación (8. las coordenadas de la gráfica polar son las partes real e imaginaria de (). [()] = () 0 [()] = () Fig 8.8). 2 se muestra un filtro simple .CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD EJEMPLO: Respuesta en frecuencia de un filtro En la Figura 8. Su función de transferencia es 2 () 1 () = = 1 () + 1 . CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD Y la función de transferencia sinusoidal en estado estacionario es: 1 1 () = = ( ) + 1 ( ) + 1 1 donde 1 1 = Entonces la gráfica polar se obtiene mediante la relación () = () + () = 1 − ( ) 1 2 ( ) +1 1 . se tiene que () = 0 y () = 0. Estos dos puntos se muestran en la Figura 8. se tiene que () = 1 y () = 0. En = 0.CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD () = Parte real en rojo Parte imaginaria en azul 1 1+ 2 ( ) 1 − ( ) 1 1+ 2 ( ) 1 El primer paso consiste en determinar () y () en las dos frecuencias.3 . En = ∞. = 0 y = ∞. y fácilmente se demuestra que es un círculo con centro en (1/2.0). . en esta figura se muestra el lugar geométrico de las partes real e imaginaria.CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD Además. CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD Cuando = 1 . (8. La gráfica polar también se puede obtener fácilmente a partir de la Ec. las partes real e imaginaria son iguales y el ángulo () = 45°.9) como () = | ()|∠() donde | ()| = [1 + 1 1/2 2 ( ) ] 1 y () = −−1 ( ) 1 . Así mismo. se tiene | ()| = 1 y () = 0. la magnitud es | (1 )| = fase es (1 ) = −45.CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD Evidentemente. se tiene −90°. cuando se aproxima a +∞. . cuando = 1 . De manera análoga. 1 √2 y la | ()| → 0 y () = cuando = 0. CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD ESTABILIDAD RELATIVA: Margen de ganancia y margen de fase . CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD . CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD . CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD . o donde ∠() = ° Margen de ganancia: es la cantidad de ganancia en decibeles (dB) que se pueden añadir al lazo antes de que el sistema en lazo cerrado se vuelva inestable.CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD MARGEN DE GANANCIA El cruce de fase. . Frecuencia de cruce de fase: La frecuencia de cruce de fase es la freuencia en el cruce de la fase. Un cruce de fase sobre la traza de () es un punto en el cual la traza se intersecta con el eje real negativo. CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD . . es la frecuencia de ()en el cruce de ganancia o donde |( )| = 1 Margen de fase (PM): se define como el ángulo en grados que la traza ()se debe rotar alrededor del origen. Frecuencia del cruce de ganancia: La frecuencia del cruce de ganancia.CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD MARGEN DE FASE Cruce de ganancia: El cruce de ganancia es un punto sobre la traza () en el cual la magnitud de () es igual a 1. para que el cruce de ganancia pase por punto (−1. 0). CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD Margen de fase definido en el plano () . CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD . CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD EJEMPLO: 2500 () = ( + 5)( + 50) . CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD . CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD ANALISIS DE ESTABILIDAD CON LA GRAFICA DE BODE . Pm = 31.8 dB (at 15.7 deg (at 6.8 rad/sec) .22 rad/sec) 40 20 0 Magnitude (dB) Phase (deg) -20 -40 -60 -80 -100 -120 -90 -135 -180 -225 -270 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 Frequency (rad/sec) .CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD Ejemplo: Bode Diagram Gm = 14. CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD . 7% o 3 dB debajo de su valor en la frecuencia cero. . EL ANCHO DE BANDA ():es la frecuencia en la cual |()| cae al 70.CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD FRECUENCIA DE RESONANCIA : es la frecuencia en la cual el pico de resonancia ocurre. 10 () = + 1 Obtenga la salida en estado estable del sistema cuando está sujeto a cada una de las siguientes entradas: a) () = ( + 30) b) () = 2 cos(2 − 45) c) () = ( + 30) − 2cos(2 − 45) .CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD Tarea 3: 1. Considere el sistema con realimentación unitaria con las funciones de transferencia en lazo abierto. Dado 2 () = 2 2 + 2 + demuestre que 1 | ( )| = 2 .CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD 2. 5) .01) + 1 () = (1 + 0.1 () = ( + 1)(1 + 0.2)(1 + 0.CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD 3. Analizar la respuesta en frecuencia de los siguientes sistemas de control con realimentación unitaria. Realice un bosquejo de las trazas de bode para las siguientes funciones de transferencias: 1 + 0. CONTROL AVANZADO enero-junio 2014 UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD 4. Encontrar el Margen de ganancia y el Margen de fase de un sistema cuya función de transferencia es la siguiente: 25 () = 3 + 5 2 + 25 + 5 .