UNIDAD II: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALObjetivo particular de la unidad: El alumno manejará el concepto de función real en variable real y sus características principales. 2.1 Introducción 2.2 Concepto de función real de variable real 2.3 Determinación de dominio, rango de una función. 2.4 Gráfica de una función. 2.5 Operaciones fundamentales entre funciones: suma, sustracción, multiplicación, división y composición de funciones. Función Inversa. 2.6 Funciones positivas y negativas 2.7 Funciones pares e impares. 2.8 Funciones crecientes y decrecientes. 2.9 Funciones polinomiales. 2.10 Funciones racionales. 2.11 Funciones exponenciales. 2.12 Funciones logarítmicas. 2.13 Funciones trigonométricas circulares. Identidades trigonométricas. Ley de senos y cosenos. 2.14 Funciones trigonométricas circulares inversas 2.15 Funciones trigonométricas hiperbólicas. Identidades trigonométricas hiperbólicas. 2.16 Funciones periódicas. 2.17 Definición de los ceros de una función. 2.18 Clasificación de funciones según su expresión. 2.1 Introducción. Las funciones surgen siempre que una cantidad depende de otra. Ejemplo: a) El área A de un círculo depende del radio r del mismo. La regla que relaciona r con A se expresa con la ecuación A r 2 . Con cada número positivo r existe un valor de A y decimos que A es función de . r b) Supongamos que se calienta cierta cantidad de una sustancia hasta 100 oC y después se deja enfriar en un medio ambiente cuya temperatura es de 20 oC. Podemos registrar 1 periódicamente su temperatura durante el inicio de la etapa de enfriamiento y supongamos que se obtienen los siguientes resultados: Tiempo t s Temperatura oC 0 100 120 86 240 74 360 64 480 56 600 49 720 44 La gráfica de estos puntos sería: Lo anterior es solo una descripción de lo que sucedió los primeros 12 minutos. A cada valor de t corresponde un valor de . Esto pone de manifiesto el concepto de función, es función de t. 20 80e kt La función puede expresarse en formas diversas. Pero siempre será preferible la forma analítica debido a su versatilidad. 2.2 Concepto de función real de variable real. Antes de definir a las funciones es preciso recordar los siguientes conceptos: PAR ORDENADO.- Un par ordenado es una pareja de elementos que guardan un orden determinado: ( a, b) ( x, y ) a x , b y En ( x, y ) , x se llama primera componente, y se llama segunda componente. (3,5) , ( 2,1) son dos pares ordenados de números reales R diferentes entre sí. PLANO COORDENADO.- Es el conjunto de todos los pares ordenados de números reales. FUNCION.- Una función es un conjunto de pares ordenados ( x, y ) entre los cuales, no existen dos pares con la misma primera componente. DOMINIO DE UNA FUNCIÓN.- Es el conjunto de las primeras componentes de los pares ordenados de una función. Se simboliza por D f CODOMINIO DE UNA FUNCION.- Es el conjunto de las segundas componentes de los pares ordenados de una función. Se simboliza por C f 2 FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL.- Si el dominio de una función es un conjunto de números reales R , y el codominio también, la función es llamada FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL. Si los pares ordenados de estas funciones son de la forma ( x, y ) ; se simbolizan mediante las llamadas Reglas de Correspondencia: y f (x ) . 2.3 Determinación de dominio, rango de una función. DOMINIOS REALES y CODOMINIOS REALES. El dominio real de una función de variable real, es el conjunto de las primeras componentes de pares ordenados que conforman una función. Para determinarlo es suficiente con evitar que x esté afectada por expresiones tales como: división entre cero, raíz par de negativo, logaritmo de negativo o 0 ( cero ). Por lo tanto todo valor que no esté afectado por las situaciones mencionadas pertenecen al dominio de la función. El codominio real de una función de variable real, es el conjunto de las segundas componentes de pares ordenados que conforman una función. Para determinarlo es suficiente con evitar que y esté afectada por expresiones tales como: división entre cero, raíz par de negativo, logaritmo de negativo o 0 ( cero ). Por lo tanto todo valor que no esté afectado por las situaciones mencionadas pertenecen al codominio de la función. Para calcular los codominios basta con despejar y hacer que x dependa de y . Resolver los siguientes ejemplos: Ejemplos 2.4 Gráfica de una función. 3 Una gráfica en el plano coordenado, es el conjunto de pares ordenados (puntos) que satisfacen una función o relación. Construir la gráfica de una función, dada una ecuación, es uno de los problemas fundamentales de la geometría analítica. En álgebra el procedimiento consiste en localizar algunos puntos y dibujar una línea continua que pasa por ellos. Esto no siempre es verdadero. Para evitar errores en el trazado de la curva de una ecuación debemos hacer un análisis de las características. El trazado constará de los siguientes pasos: 1.Determinar el dominio de la función. 2.Determinar la intercepción con los ejes coordenados. 3.Determinar la simetría de la curva con respecto a los ejes coordenados y al origen. Teorema: Si en la ecuación cambiamos al eje y .Ejemplo: y 2 x 2 1 Teorema: Si en la ecuación cambiamos al eje x .Ejemplo: y 2 x x por x y no se altera, la curva es simétrica y por y y no se altera, la curva es simétrica Teorema: Si en la ecuación cambiamos x por curva es simétrica al origen. Ejemplo: y x 3 x, y y por y , y no se altera, la 4. Determinación de las asíntotas horizontales o verticales que la curva pueda tener. 4 5. Planteando las ecuaciones y f (x ) y x f ( y ) , los valores que generen división entre cero serán las asíntotas vertical y horizontal respectivamente. 6. Se calculan las coordenadas de algunos puntos si es necesario, para obtener la gráfica. 7. Se traza la gráfica. Ejemplos: Analizar las ecuaciones de las siguientes ecuaciones y si procede, trazar en el plano real la gráfica correspondiente. Indicar si es o no función. 2.5 1) y x 3 8 x 2 15 x 2 x2 y2 4 0 3) x2 y2 0 4) y 2 x3 5) y 1 x 1 6) y x2 x2 1 Operaciones fundamentales entre funciones: suma, sustracción, multiplicación, división y composición de funciones. Función Inversa. Las operaciones entre funciones reales de variable real, se definen únicamente en dominios comunes, es decir sobre la intersección de sus respectivos dominios. Las operaciones entre estas funciones, se efectúan de acuerdo a las clásicas reglas de operación algebraica. Dadas las funciones f (x) y g (x ) , con dominio Entonces las funciones se definen como sigue: SUMA DIFERENCIA PRODUCTO COCIENTE ( f g )( x) f ( x) g ( x) ( f g )( x ) f ( x) g ( x) ( fg )( x) f ( x) g ( x) f f ( x) x g ( x) g Ejercicio: Realizar las siguientes funciones. a) A y B. dominio = A B dominio = A B dominio = A B dominio = x A B g ( x ) 0 operaciones, suma, diferencia, producto y cociente, con las f ( x) 6 x 2 5 , g ( x) x 2 4 x 3 5 ( f g )( x) ( f g )( x) ( f g )( x ) f g x b) Efectuar la suma de f ( x) x 3 , g ( x) 2 x ( f g )( x ) COMPOSICIÓN DE FUNCIONES. La composición de funciones reales de variable real, es otra operación entre dos o más funciones, que se efectúa sobre un dominio común. ( f g )( x) f ( g ( x)) La composición entre las funciones f (x ) variable de la otra función f (x ) . y g (x ) , hace que la función g (x ) pase a ser f g Comúnmente (salvo casos especiales) se obtiene que Ejercicio: Hallar las funciones compuestas f g funciones:^n a) f ( x ) log x g ( x) x b) f ( x) x g ( x) x 2 c) f ( x) 2 x g ( x) ( f g )( x ) ( g f )( x ) y g f para los siguientes pares de x FUNCIÓN INVERSA Si la función f es el conjunto de pares ordenados de la forma ( a, b) ; siendo f una función inyectiva (la correspondencia de elementos x a elementos y , es uno a uno); 6 entonces el conjunto de los pares ordenados de la forma (b, a ) es la función inversa de f , que se denota por f 1 El dominio de f se convierte en el codominio de f 1 ; a la vez el codominio de f , se convierte en el dominio de f 1 En la práctica, para obtener la función inversa de una función real de variable real, expresada por la regla de correspondencia: y f (x ) , se intercambian las variables, para luego despejar y que será la función inversa. Si f (x ) no es inyectiva f 1 es tan solo una correspondencia. Las gráficas de f(x) y f -1(x) son simétricas respecto de la recta y = x. Ejercicio: Hallar las funciones inversas de las siguientes funciones y graficarlas. a) f ( x) x 3 1 2.6 b) f ( x) 3x 1 x3 Funciones positivas y negativas. Para definir el concepto de función positiva y negativa, es importante recordar el signo de las x y las y en cada cuadrante del plano cartesiano. Las y son positivas en el cuadrante I y II, pero son negativas en los cuadrante III y IV. Nos interesa saber donde f (x) > 0 (positiva) y donde f (x) < 0 (negativa). Esto es, donde y > 0, donde y < 0. 7 Como f (x) es la variable dependiente (la y) de la función, entonces la función f (x) es positiva para todos los valores de la gráfica que se encuentran sobre el eje de x (cuadrantes I y II). La función f (x) es negativa para todos los valores de la gráfica que se encuentran bajo el eje de x (cuadrantes III y IV). Ejercicio. - Utiliza la siguiente gráfica y contesta a las preguntas. y x . 1- ¿Será la gráfica de una función? Explica, porque. 2- ¿ Para cuales x, f(x) > 0 ? 3- ¿ Para qué valores de x, la función es negativa ? 4- ¿Es f (-2) un valor positivo o negativo? 5- ¿ Es f (1) un valor positivo o negativo ? 2.7 Funciones pares e impares. Sea f una función tal que si 1. x está en el dominio de f , x también lo está: f es una función par si f (x) = f (-x), para toda x en el D f 8 Ejemplo: f ( x ) 2 x 2 es una función par, pues f ( x ) 2( x ) 2 2 x 2 f ( x ) 2. f es una función impar si f(-x)=-f(x), para toda x en el D f Ejemplo: f ( x) 3 x 3 es una función impar, pues: f ( x ) 3( x ) 3 3( x 3 ) 3 x 3 f ( x ) La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen de coordenadas. Ejercicios: demostrar si las siguientes funciones son pares o impares. 2.8 Funciones crecientes y decrecientes. Una función f(x) es estrictamente creciente en un intervalo si para cualquier par de números a, b de dicho intervalo, tales que a< b se verifica que f(a) <f(b). 9 Una función f(x) es estrictamente decreciente en un intervalo si para cualquier par de números a, b de dicho intervalo, tales que a <b se verifica que f(a) >f (b). 0 -1 -0,5 y 0 0,5 X1 1 1,5 2 X2 2,5 x 3 3,5 4 F(X1) -5 F(X2) -10 -15 -20 EJERCICIO: usa la siguiente gráfica y contesta y x . 1- ¿ Será la gráfica de una función ? Explica porqué. 2- ¿ Cuál es el valor de la función f si x = - 4 ?, ¿ Si x = 1 ? 3- Halla las intersecciones; en el eje de x, en el eje de y. 4- Menciona intervalos donde la gráfica es crece. 5- Menciona intervalos donde la gráfica es decrece. 6- Menciona intervalos donde la gráfica es constante. 2.9 Funciones polinomiales. FUNCIONES ALGEBRAICAS. Las funciones algebraicas son aquellas construidas por un número finito de operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación) aplicadas a la función identidad, f (x) = x, y a la función constante, f (x) = k. 10 En general, las funciones algebraicas abarcan a las funciones polinomiales, racionales y las llamadas algebraicas explícitas. Función polinomial: Una función se denomina polinomial si está definida por: dónde los coeficientes son números reales y se llama función polinomial de grado El dominio de la función polinomial es el conjunto de los números reales. Ejemplos particulares de la función polinomial son, la función lineal (función polinomial de grado uno), la función cuadrática (función polinomial de segundo grado), función cúbica (función polinomial de tercer grado). Función lineal: La función lineal (función polinomial de primer grado) es de la forma y = f (x) = ax + b; a y b son números dados; el dominio y contradominio es el conjunto de todos los números reales. La gráfica de cualquier función lineal es una línea recta. La a representa la pendiente de la recta y b, el intercepto con el eje y (u ordenada en el origen). Como por dos puntos diferentes, en el plano cartesiano, se puede trazar una sola línea recta, basta con calcular las coordenadas de dos de los puntos para trazar la gráfica de una función lineal; es conveniente que dichos puntos sean las intersecciones con los ejes del plano. Como ya mencionamos antes, el intercepto con el eje y, es b; para hallar el intercepto con el eje x (o abscisa en el origen), se iguala la ecuación de la función a 0 y se despeja el valor respectivo para x. Función constante: Se puede considerar a la función constante como un caso particular de la función lineal cuando se hace x = 0. La función constante se define como: f ( x) k Donde k es una constante y El dominio de la función constante es el conjunto de los números reales y el codominio es k. La gráfica de la función constante es una línea recta paralela al eje x, y corta al eje y en y = k. Ejemplo: f ( x) 2 11 Función identidad: La función identidad es la función lineal y 6 4 2 x 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 -2 -4 El dominio y el codominio de la función identidad es el conjunto de los números reales. La función identidad biseca los cuadrantes I y III. Observe su gráfica arriba. Función cuadrática: La forma general de una función cuadrática (función polinomial de segundo grado) es: El dominio es el conjunto de los números reales. El contradominio se halla calculando primero la ordenada del vértice. La gráfica de una función cuadrática es una parábola. La parábola abre hacia arriba si positiva, y abre hacia abajo si es negativa. La hallar las intersecciones con el eje representa el intercepto con el eje . Para , si los hay, igualamos la ecuación con calculamos las raíces por factorización o aplicando la fórmula los valores de es , en términos de los coeficientes de (cero), y , que permite hallar . Para encontrar la abscisa la encontramos mediante la fórmula La ordenada se obtiene sustituyendo el valor numérico de obtenido en: Para trazar la gráfica de una función cuadrática es conveniente construir una tabla de valores, con por lo menos cuatro valores, uno para el vértice, dos para los interceptos con el eje x y un cuarto para el intercepto con el eje y. 2.10 Funciones racionales. 12 Una función racional es aquella que puede expresarse como el cociente de dos funciones polinomiales. Esto es, una función racional es de la forma Donde y son polinomios. El dominio de la función racional consiste de todos los números reales, a excepción de aquellos para los cuales Q(x) = 0. Ejemplo: f ( x) 2 x 4 2 x 2 D f : R, 2.11 Funciones exponenciales. Si una función no es algebraica se llama función transcendental. Las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son funciones transcendentales. Definición: Una función exponencial es una función de la forma a ≠ 1. y = ax, donde a > 0 y Ejemplos: f ( x ) 2 x Cuando (la base) a > 1 entonces la función exponencial es una función creciente. 1 2 x Ejemplos: f ( x) 2 x (2 1 ) x 13 Cuando a < 1, la función exponencial es una función decreciente. Algunas características de las funciones exponenciales crecientes: 1) El dominio es el conjunto de los números reales. 2) El codominio es el conjunto de los números reales positivos. 3) El valor de y se acerca a cero pero nunca será cero, cuando x toma valores negativos. 4) Todas las funciones intersecan al eje y en el punto (0,1). 5) Son funciones continuas. 6) El límite de y = ax cuando x disminuye indefinidamente se aproxima a cero, esto es, Algunas características de las funciones exponenciales decrecientes: 1) El dominio es el conjunto de los números reales. 2) El recorrido es el conjunto de los números reales positivos. 3) El valor de y se acerca a cero pero nunca será cero, cuando x toma valores positivos. 4) Todas las funciones intersecan al eje y en el punto (0,1). 5) Son funciones continuas. 6) El límite de y = a-x cuando x aumenta indefinidamente se aproxima a cero, esto es, Ya sabes calcular y = ax (función exponencial) para todo número real x. Ahora queremos proceder en forma inversa. Partiendo de y, ¿cómo podemos determinar a x? Por ejemplo: si 8 = 2x, ¿cuál es el valor de x? _________; si 100 = 10x. ¿cuál es el valor de x? __________ La mayoría de las ecuaciones exponenciales no tienen soluciones tan evidentes. 14 2.12 Funciones logarítmicas. Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas. y log a x Leemos la notación log a x como el “logaritmo de x con base a”, y llamamos a la expresión log(x) un logaritmo. Definición: El logaritmo de un número y , es el exponente al cual hay que elevar la base a para obtener y . Esto es, si a 0 y a 1 , entonces y log a x es la función inversa de y a x . La ecuación logay = x se lee "el logaritmo de y en la base a es x". El dominio de una función logaritmo es el conjunto de todos los números reales positivos y el codominio el conjunto de todos los números reales. Propiedades de las funciones logarítmicas: Si a, M y N son números reales positivos, a es diferente de uno, y p y x son números reales, entonces: 1) 2) 3) 4) loga 1 = 0 loga a = 1 loga ax = x loga MN = loga M + loga N M log a M log N 5) log a a N 6) loga Mp = p loga M 7) loga M = loga N si y sólo si M = N Ejercicio de práctica: Usa las propiedades para simplificar: 1) log10 1 = 2) log5 25 = 3) log10 10 -5 = Las propiedades de los logaritmos nos ayudan a resolver estas ecuaciones. Ejercicio: Resuelve las siguientes ecuaciones para x: 1)53 x 29 2) 2 3 x 2 5 3) log( x 3) log( x ) 1 1 4) log 8 3 log 8 25 log 8 x 2 2 5)(ln x ) ln x 2 Ejercicio de práctica: Resuelve las siguientes ecuaciones: 15 1)351 2 x 7 2) log 3 ( x ) log 3 ( x 2) 1 3) log( x 15) 2 log( x ) 4) log x 2 (log x ) 2 Gráficas de funciones logarítmicas Las funciones y = ax y y = loga x para a>0 y a ≠1, son funciones inversas. Así que la gráfica de y = loga x es una reflexión sobre la recta y = x de la gráfica de y = a x. La gráfica de y = a x tiene como asíntota horizontal al eje de x mientras que la gráfica de y = log a x tiene al eje de y como asíntota vertical. Ejemplo: 8 3 6 2 1 4 -4 -2 2 0 -1 0 0 -2 0 2 4 2 4 6 8 -3 y = 2x y = log 2 x Las funciones y = 2x y y = log2 x son funciones inversas una de la otra, por tanto, la gráfica de y = log2 x es una reflexión de la gráfica de y = 2x sobre la recta y = x. El dominio de y = 2 x es el conjunto de los números reales y el recorrido es todos los números reales mayores que cero. El dominio de y = log2 x es el conjunto de los números reales mayores que cero y el codominio el conjunto de los números reales. Propiedades de los logaritmo comunes: Para a > 1. 1) loga 1 = 0 2) loga a = 1 3) loga (u v) = loga u + loga v 5) loga (un) = n loga u 6) loga M = loga N, entonces M = N EJERCICIO: TRAZAR LA GRAFICA PARA y log a x . Cuando 0 a 1 , especifique sus características. 16 2.13 Funciones trigonométricas circulares. Identidades trigonométricas. Ley de senos y cosenos. Denominamos funciones trigonométricas circulares trigonométricas referenciadas en la circunferencia. a aquellas funciones En cálculo, convencionalmente se utiliza la medida de los ángulos en radianes (a menos que se indique lo contrario). 360 2 rad Es importante señalar que cuando utilizamos una función como por ejemplo f ( x ) sen x , se entiende que sen x significa el seno del ángulo cuya medida en radianes es x . Para un ángulo agudo t , las seis funciones trigonométricas se definen como razones de longitudes de lados de un triángulo rectángulo. Utilizaremos la fórmula del círculo unitario de las funciones trigonométricas para ayudar a obtener sus gráficas. Si t es un número real y P ( x, y ) es el punto en el círculo unitario U que corresponde a t , entonces: x cos t cos y y sen t sen P ( x, y ) podemos denotarlo como P (cos t , sent ) Si t 0, t puede ser interpretado como la medida en radianes del ángulo longitud de arco AP . , o como la 17 El punto P ( x, y ) está en el círculo unitario x 2 y 2 1 Como queremos graficar en el plano real, ahora consideremos que radianes del ángulo. x es la medida en La siguiente tabla presenta un resumen de las características importantes de las funciones trigonométricas y sus gráficas. Resumen de las características de las funciones trigonométricas. Características sen x cos x tan x cot x sec x csc x GRAFICAS. f(x)= sen x 18 19 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS Una identidad trigonométrica es una relación entre las funciones trigonométricas. Las más importantes son: (1) csc 1 sen tan sec sen 1 cos Del cos teorema 2 2 2 Pitágoras, sabemos que: x y r . Por lo tanto: cot cot cos sen 1 tan de y2 x2 y2 x2 r 2 sen cos 2 2 2 1 , se comprueba así una de las identidades más r r r2 r 2 utilizadas: (2) sen cos 2 1 2 2 cos 2 y usamos las ecuaciones (1), tenemos: tan 2 1 sec 2 Si dividimos la ecuación (2) entre sen 2 obtenemos: Si dividimos ambos lados de (2) entre Las identidades: 1 cot 2 csc (3) (4) sen( ) sen cos( ) cos (5a ) (5b) 20 muestran que el seno es una función impar y el coseno es una función par. Las siguientes identidades muestran que las funciones seno y coseno son periódicas con periodo de 2 . sen( 2 ) sen cos( 2 ) cos (6) Las identidades trigonométricas restantes son todas consecuencia de dos identidades básicas llamadas fórmulas de adición: sen( x y ) senx cos y cos xseny (7 a ) cos( x y ) cos x cos y senxseny (7b) Si sustituimos y por –y en la fórmula anterior y usando las ecuaciones (5) obtenemos las fórmulas de resta: sen( x y ) senx cos y cos xseny cos( x y ) cos x cos y senxseny (8a ) (8b) De estas dos últimas se obtienen las fórmulas para tan( x y ) : tan x tan y tan( x y ) 1 tan x tan y tan x tan y tan( x y ) 1 tan x tan y Si hacemos y =x en las fórmulas de adición obtenemos las del ángulo doble: (10a ) (9a ) (9b) sen 2 x 2 senx cos x cos 2 x cos 2 x sen 2 x (10b) Usando la fórmula (2) obtenemos las fórmulas alternativas del ángulo doble para cos 2 x : cos 2 x 2 cos 2 x 1 (11a ) (11b) cos 2 x 1 2 sen 2 x Y resolviendo las ecuaciones anteriores para ángulo medio: cos 2 x y sen 2 x obtenemos las fórmulas del 1 cos 2 x 2 1 cos 2 x sen 2 x 2 cos 2 x (12a ) (12b) Las identidades mencionadas anteriormente son las más utilizadas, si alguna no apareciera se puede deducir de las fórmulas de la adición. Las gráficas de las funciones trigonométricas, pueden detallarse de mejor manera, escribiéndolas en la forma: f ( x ) A sen ( Bx C ) 21 A : Amplitud B : Frecuencia (ciclos por cada 2 rad ) C : Fase C B es el desplazamiento de fase. C C 0 , la gráfica se desfasa a la derecha unidades. B B C C 0 , la gráfica se desfasa a la izquierda Si unidades. B B Si Ejemplos: graficar las siguientes funciones 1) f ( x ) 2 sen( x ) 4 LEY DE SENOS. Si ABC es un triángulo oblicuo con los ángulos y lados marcados en la forma acostumbrada, entonces: sen sen sen a b c Esta ley también puede escribirse en la forma: a b c sen sen sen Esta ley puede ser utilizada para hallar las partes restantes siempre que se conozca cualquiera de los dos siguientes puntos: 1).- dos lados y un ángulo opuesto (LLA) 2).- dos ángulos y cualquier lado (AAL o ALA) En forma general: “En cualquier triángulo, la razón entre el seno de un ángulo y el lado opuesto a ese ángulo es igual a la razón entre el seno de otro ángulo y el lado opuesto a ese ángulo. 22 LEY DE LOS COSENOS. Si ABC es un triángulo, como el que se muestra a continuación, entonces: 1) a 2 b 2 c 2 2bc cos 2) b 2 a 2 c 2 2ac cos 3) c 2 a 2 b 2 2ab cos “El cuadrado de la longitud de cualquier lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos el doble producto de las longitudes de los mismos lados por el coseno del ángulo entre ellos”. Esta ley se utiliza en cualquiera de los siguientes dos casos: 1) Dados dos lados y el ángulo entre ellos (LAL), para hallar el tercer lado. 2) Dados tres lados (LLL), para encontrar los ángulos. Nota: Se deja a consideración del alumno la demostración. 2.14 Funciones trigonométricas circulares inversas. El seno, en , es monótona creciente, entonces podemos definir el 2 2 inverso de la función seno restringida al intervalo , . Análogamente 2 2 podemos considerar la función coseno en el intervalo 0, . La tangente en 2 , 2 y obtenemos una función creciente cuya inversa estará definida en todo . Así tendremos las siguientes definiciones: 1. Función arco seno. 23 , . El arco seno se define como el único tal que . La imagen del arco seno es el intervalo . 2. Función arco coseno. , único intervalo tal que . El arcocoseno se define como el . La imagen del arco coseno es el . Figura: Funciones arcoseno y arco coseno. 3. Función arco tangente. Figura: Funciones arco tangente y arco cotangente. 24 Figura : Construcción de la función inversa del seno. 2.15 Funciones trigonométricas hiperbólicas. Identidades trigonométricas hiperbólicas. FUNCIONES HIPERBÓLICAS.Las funciones trigonométricas construidas con referencia en la hipérbola se denominan funciones hiperbólicas. Combinaciones particulares de la función exponencial dan lugar a un interesante tipo de funciones denominadas funciones hiperbólicas presentes en muchas ramas de la ciencia. GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS. 25 y shx sh 0 0 ex ex , Dmn ( shx) R 2 sh ( x) sh ( x) IMPAR 26 Son funciones impares, [f(-x) = - f(x)] y por tanto sus gráficas son simétricas respecto al origen, las funciones: f(x) = senh x ; f(x) = tgh x; f(x) = cotgh x; f(x) = cosch x Son funciones pares, [f(-x) = f(x)] y por tanto sus gráficas son simétricas respecto al eje y, las funciones: f(x) = cosh x; f(x) = sech x De las definiciones de seno hiperbólico y coseno hiperbólico los valores de estas funciones están relacionados con las coordenadas de los puntos de una hipérbola equilátera, de manera similar a la que los valores de las correspondientes funciones trigonométricas están relacionadas con las coordenadas de los puntos de una circunferencia. IDENTIDADES HIPERBÓLICAS. Las funciones hiperbólicas, verifican ciertas identidades, similares a las que satisfacen las funciones trigonométricas. A continuación se presentan las siguientes, dejando al lector la verificación de las mismas. 27 DOMINIOS Y RANGOS. SENO HIPERBÓLICO DOMINIO : Reales RANGO : Reales COSENO HIPERBÓLICO DOMINIO : Reales RANGO : ( 1, ) TANGENTE HIPERBÓLICA DOMINIO : Reales 28 RANGO : ( -1, 1) COTANGENTE HIPERBÓLICA DOMINIO : ( - , 0) ( 0, RANGO : ( - ) , -1 ) ( 1, ) SECANTE HIPERBÓLICA DOMINIO : Reales RANGO : 0,1 COSECANTE HIPERBÓLICA DOMINIO : ( - , 0) ( 0, ) RANGO : ( - , 0) ( 0, ) FUNCIONES HIPERBOLICAS INVERSAS. TAREA: CONSTRUIR LAS GRAFICAS DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS SENO HIPERBÓLICO INVERSO: COSENO HIPERBÓLICO INVERSO: TANGENTE HIPERBÓLICA INVERSA: SECANTE HIPERBÓLICA INVERSA: COSECANTE HIPERBÓLICA INVERSA: COTANGENTE HIPERBÓLICA INVERSA: 29 DOMINIOS Y RANGOS. SENO HIPERBÓLICO INVERSO DOMINIO : Reales RANGO : Reales COSENO HIPERBÓLICO INVERSO DOMINIO : ( 1, ) RANGO : Reales TANGENTE HIPERBÓLICA INVERSA DOMINIO : ( -1, 1) RANGO : Reales COTANGENTE HIPERBÓLICA INVERSA DOMINIO : ( - , -1) ( 1, ) RANGO : ( - , 0) ( 0, ) SECANTE HIPERBÓLICA INVERSA DOMINIO : ( O, 1] RANGO : Reales COSECANTE HIPERBÓLICA INVERSA DOMINIO : ( - , 0) ( 0, ) RANGO : ( - , 0) ( 0, ) CATENARIAS La curva catenaria: Vamos a estudiar el problema de un cable colgante sujeto por sus dos extremos como los que emplean las compañías eléctricas para llevar la corriente de alta tensión entre las centrales eléctricas y los centros de consumo. La catenaria como la cicloide son dos curvas importantes en la Física y en las Matemáticas. 30 La curva que describe un cable que está fijo por sus dos extremos y no está sometido a otras fuerzas distintas que su propio peso es una catenaria. La catenaria se confundió al principio con la parábola, hasta que el problema lo resolvieron los hermanos Bernoulli simultáneamente con Leibniz y Huygens. Funciones periódicas. Una función es periódica si existe un valor de c 0 para el cual f ( x c) f ( x) par todos los valores de x . El mínimo valor positivo de c periodo. Por ejemplo, el periodo de que cumple con esta condición se denomina sen x es 2 . 2.16 Definición de los ceros de una función. Un cero de una función es la solución de una ecuación f(x) = 0. Los ceros de una función corresponde a los puntos en los cuales la gráfica de la función atraviesa el eje de x. Estos puntos son llamados interceptos en x. 31 Por ejemplo: En la figura 1 los interceptos en x son tres. La figura 2 no tiene ningún intercepto en x. 2.17 Clasificación de funciones según su expresión. Las funciones se clasifican de diversas maneras, pero por su expresión podemos clasificarlas así: 1) Forma tabular. En este caso la anotación de los valores del argumento se efectúa en cierto orden: x1 , x 2 , x3 , ..., x n . De la misma manera se escriben los valores correspondientes de la función y1 , y 2 , y 3 , ..., y n . x x1 x2 … xn y y1 y2 … yn De este tipo son las tablas de las funciones trigonométricas, logarítmicas, etc. Las tablas que señalan la dependencia funcional que existe entre las magnitudes medidas, representan también resultados de estudios experimentales de fenómenos, como el mencionado al inicio de esta unidad. Ejemplo: Supongamos que se calienta cierta cantidad de una sustancia hasta 100 oC y después se deja enfriar en un medio ambiente cuya temperatura es de 20 oC. Podemos registrar periódicamente su temperatura durante el inicio de la etapa de enfriamiento y supongamos que se obtienen los siguientes resultados: Tiempo t s Temperatura oC 0 100 120 86 240 74 360 64 480 56 600 49 720 44 2) Forma gráfica. Dado en el plano del sistema de coordenadas rectangulares, un conjunto de los puntos P ( x, y ) tal que ningún par de puntos se halle sobre una recta paralela al eje y , podemos decir que el conjunto mencionado determina una función (inyectiva) y f (x ) . Las abscisas de los puntos constituyen los valores del argumento, y las ordenadas correspondientes, los de la función. El conjunto de puntos del plano xy , cuyas abscisas representan valores de la variable independiente y las ordenadas los valores de la función, se llama gráfica de la función. 32 (Ver 2.4 “Gráfica de una función”) 3) Forma analítica. “Expresión analítica” es la representación simbólica de un conjunto de ciertas operaciones matemáticas que se realizan en un orden determinado con cifras y letras que designan magnitudes constantes y variables”. Si la dependencia funcional y f (x ) es tal que f designa una expresión analítica, se dice que la función y de x está expresada analíticamente. Ejemplos: y x 2 2, y sen x, A r 2 . Las funciones están expresadas por medio de una fórmula. EJERCICIOS DE LA UNIDAD II. 1. Graficar las siguientes Relaciones y Funciones en el plano coordenado: y 3x 2 y x4 2 y x2 4 y x3 4x y 4 x 33 y3 x 2. Hallar los Dominios de las siguientes funciones: RESPUESTAS y 5x 2 R y x2 4 y 3x 1 R R 1 y x7 4x y 3x 6 y R, x 7 R, x 2 1 x 4 R , x 2 2 x4 x9 y x4 y 9 x y 1 3 x y log( x 2) R x2 y log(1 x ) R y 3 x 3 2 9 x 2 3. Hallar los Dominios y Codominios de las siguientes funciones: RESPUESTAS y 2x 4 y x 4 2 R, R R, y 4 y x3 y 1 x 1 2 x 3, R R, 0 y 1 x2 x 1 y x 1 y log( x 1) y x 0, y 1 x 1, y 0 x 1, R y 10 2 R, y 2 y x 4x 5 R, y 1 x 2 4. Hallar las funciones inversas ( f 1 ) de las siguientes funciones: f ( x) x 2 x2 4 1 2 f ( x) x 2 f ( x) x 3 1 f f ( x) 4 x 2 f 1 ( x) 1 ( x) 3 x 1 34 f ( x) 3x x5 f 1 ( x) 4x 7 7x 4 f ( x ) e x 1 5x x3 1 x f 1 ( x ) x 4x 7 f 1 ( x ) 7x 4 f 1 ( x ) 1 ln x f ( x) 1 x 1 f ( x) f 1 ( x) f 1 ( x) 1 2 f ( x) x2 1 f ( x) x 2 2 x 5 x2 1 x4 5. Indicar si las siguientes funciones son pares (P) o impares(I): I P P P P P I f ( x) x 5 5 f ( x) x 6 f ( x) x 2 cos x f ( x) x f ( x) x 2 1 f ( x) 3 f ( x ) x tan x 6. Hallar las funciones ( f g )( x) y ( g f )( x) ; si no existen indicar porque. f ( x) x 1 x 1 g ( x) x3 x4 f ( g ( x)) 2 x 7, g ( f ( x)) 2x 4 3x 5 7. Hallar ( f g h)( x) y ( g f h)( x) si las ecuaciones son: f ( x) x 5 g ( x) 2 x h( x ) Log x ( f g h)( x) 32 Log x 5 ( g f h)( x ) 10 Log x 8. Graficar las siguientes funciones polinómicas: f ( x) 2 f ( x) 2 3x f ( x) x 2 16 f ( x) x 3 9 x 9. Indicando si hay Simetría (S) o no Existe Simetría (NS); respecto de X, Y y el origen, respectivamente y hallando Asíntotas Verticales y Horizontales, grafique las siguientes Funciones Algebraicas: 1 x2 x6 y x3 y x2 9 x2 4 x y x 4 y 2 NS , NS , NS 2, 0 NS , NS , NS 3, 1 NS , S , NS 2, 1 NS , NS , NS 2, 0 35 S, S, S 1, 1 x2 x2 1 x2 4 y2 2 x 9 y2 S, S, S 3, 1 10.Graficar las siguientes Funciones Exponenciales: y 3x ; x 1 3 y y 10 x ; ; y e 2 x 1 11. Graficar las siguientes Funciones Logarítmicas: f ( x ) Log ( x 2) f ( x ) Log 2 x ; f ( x) Log (1 x 2 ) ; 12.Resolver: 3 x 3 27 0 ; 2 Log (5 x ) 2 ; Log 2 x 4 Log x 3 x 2 16 ; 8 0 e 3 x2 9 0 ; e 5 Ln x 32 13.Graficar las siguientes Funciones Trigonométricas: f ( x) 5 Sen 2 x ; f ( x) x Cos x ; f ( x ) 2 Sen( x ) ; 6 1 f ( x) Sen 2 x ; f ( x) x 2 Sen x f ( x ) 2 Arcsen x ; 14.Resolver: 4 Cos x 2 0 ; 8 Sen x 5 Cos x 0 8 Arcsen x 2 0 ; 9 Arc tan 2 x 4 0 15.Graficar las siguientes funciones especiales: f ( x) x 3 ; f ( x) 4 x 2 DETERMINACION DE FUNCIONES A PARTIR DE ENUNCIADOS. 1.- FUNCIÓN LINEAL (PAGO DE UN PRÉSTAMO). 36 Un universitario recibe, por parte de un familiar, un préstamo de $8250 sin intereses. El estudiante pagará $125 al mes hasta saldar la deuda. a) Indica la cantidad P (en pesos) restantes a pagar en términos de t (en meses). b) ¿Después de cuántos meses deberá $5000? c) En un plano tP traza una gráfica que muestre la relación entre P y t para hallar la duración del préstamo. 2.- CONSTRUCCIÓN DE UN TANQUE. Se debe construir un tanque para gas propano en forma de cilindro circular recto de 10 ft de altura, con una semiesfera unida en cada extremo. El radio aún no se determina. Expresa la superficie S del tanque como función de r . r 3.- DISTANCIA A LA TIERRA. r Desde un punto exterior P que está a h unidades de un círculo de radio , se traza una recta tangente (ver figura). La distancia desde el punto P al punto de tangencia T , se representa con y . a) Expresa y como función de h (Si C es el centro del círculo h , PT CT ). b) Si es el radio de la tierra y h es la altitud de un transbordador espacial, entonces y es la distancia máxima a la tierra que un astronauta puede ver desde la nave. En particular, si h 200 mi y r 4000 mi , calcula y . r 4.- PISTA DE ATERRIZAJE. Las posiciones relativas de una pista y de una torre de control de 20 ft de altura se muestran en la figura. El comienzo de la pista está a 300 ft de la base de la torre en sentido perpendicular. Si x denota la distancia que un avión ha recorrido en la pista, escribe la distancia d entre la nave y la torre de control como función de x . 5.- COMPOSICION DE FUNCIONES. 37 Un meteorólogo infla un globo esférico con helio. Si el radio del globo cambia a razón de 1.5 cm / s , expresa el volumen V del globo como función del tiempo t (en s ) 6.- FUNCIÓN INVERSA. (NECESIDADES DE VENTILACIÓN). La ventilación es una forma eficiente de mejorar la calidad del aire en interiores. En lugares en donde no se permite fumar, las necesidades de circulación del aire (en ft 3 / min ) están dadas por la función V ( x) 35 x , donde x es la cantidad de personas en el lugar. a) Hallar las necesidades de ventilación para 23 personas. b) Encuentra V 1 ( x ) . Explica el significado de V 1 ( x ) c) Utiliza V 1 ( x ) para establecer el cupo máximo de un lugar con una capacidad de ventilación de 2350 ft / min . 3 7.- FORMA DE UN PUENTE COLGANTE. El peso de una sección de un puente colgante se distribuye de manera uniforme entre dos torres gemelas que están a 400 ft una de otra y se elevan 90 ft sobre la calzada horizontal (ver figura). El cable sujeto entre los extremos de las torres tiene la forma de una parábola y su punto central está a 10 ft sobre la calzada. Supongamos que se introducen ejes coordenados, como se aprecia en la figura. a) Encuentra una ecuación de la parábola. b) Se utilizan nueve cables verticales equidistantes para sostener el puente (ver figura). Indica la longitud total de estos soportes. 38