UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADORFACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MODALIDAD A DISTANCIA SEMESTRE ABRIL - AGOSTO 2016 UNIDAD DIDÁCTICA MATEMÀTICA FINANCIERA II AUTOR: Ing. Flavio Parra T. Quito - Ecuador TABLA DE CONTENIDO UNIDAD I --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6 1. ANUALIDADES O RENTAS ------------------------------------------------------------------------------------------------ 6 1.1 DEFINICIÓN DE ANUALIDAD ------------------------------------------------------------------------------------------- 6 1.2 REQUISITOS PARA QUE EXISTA UNA ANUALIDAD ------------------------------------------------------------ 7 1.3 CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES SEGÚN EL TIEMPO ----------------------------------------------- 7 1.3.1Anualidades Ciertas ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7 1.3.2 Anualidades contingentes--------------------------------------------------------------------------------------------------- 8 1.4 CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES SEGÚN LOS INTERESES ---------------------------------------- 8 1.4.1 Anualidades simples --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8 1.4.2 Anualidades Generales ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 8 1.5 CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES SEGÚN EL MOMENTO DE INICIACIÓN. ------------------- 8 1.5.1 Anualidades diferidas ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 9 1.5.2 Anualidades inmediatas ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 9 1.6 RESUMEN DE ANUALIDADES. ----------------------------------------------------------------------------------------10 1.7 ANUALIDAD VENCIDA --------------------------------------------------------------------------------------------------10 1.7.1 Valor presente de una anualidad vencida(A) ---------------------------------------------------------------------------10 1.7.2 Valor futuro de una anualidad vencida(S) ------------------------------------------------------------------------------10 1.8 TRANSFORMACION DE TASAS DE INTERES. --------------------------------------------------------------------11 1.8.1 Tasas efectivas Vencidas y Tasas efectivas Anticipadas -------------------------------------------------------------14 1.8.2 Tasas efectivas Anticipadas y Tasas Nominales Anticipadas -------------------------------------------------------16 1.9 EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE ANUALIDADES --------------------------------------------------------------17 1.10 ANUALIDADES ANTICIPADAS ---------------------------------------------------------------------------------------20 1.10.1 VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA --------------------------------------------------20 1.10.2 VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA -----------------------------------------------------21 1.11 INTERPOLACION LINEAL. ---------------------------------------------------------------------------------------------23 1.12 ANUALIDADES DIFERIDAS -------------------------------------------------------------------------------------------35 1.13 Anualidades Generales ------------------------------------------------------------------------------------------------------37 1.14 ANUALIDADES PERPETUAS ------------------------------------------------------------------------------------------43 1.15 ANUALIDADES CON GRADIENTE ARITMETICO Y GEOMETRICO --------------------------------------45 1.15.1 GRADIENTE ARITMETICO O LINEAL ---------------------------------------------------------------------------46 1.15.2 GRADIENTE GEOMETRICO EXPONENCIAL -------------------------------------------------------------------52 UNIDAD II -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------59 2. AMORTIZACIÓN Y FONDOS DE AMORTIZACIÓN --------------------------------------------------------------59 2.1 Amortización -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------59 2.2 Fondo de Amortización ------------------------------------------------------------------------------------------------------59 2.3 TABLAS DE AMORTIZACIÓN ------------------------------------------------------------------------------------------60 2.4 DERECHOS ADQUIRIDOS POR EL DEUDOR (DD) Y SALDO A FAVOR DEL ACREEDOR (DA) ---61 2.5 TIPOS DE AMORTIZACION ----------------------------------------------------------------------------------------------65 2.5.1 Amortización Gradual (Método Francés) -------------------------------------------------------------------------------65 2.5.2 Amortización Constante (Método Alemán) ----------------------------------------------------------------------------66 2.5.3 Amortización (Método Americano) ---------------------------------------------------------------------------------- 67 2.6 TABLAS DE FONDO DE AMORTIZACION --------------------------------------------------------------------------67 UNIDAD III ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------72 3.1 TASAS DE INTERES-TMAR-COSTO DE OPORTUNIDAD ------------------------------------------------------74 3.1.1Combinación de Tasas ------------------------------------------------------------------------------------------------------74 3.1.2 TASA DE INTERES REAL ----------------------------------------------------------------------------------------------74 3.1.3 TASA MÍNIMA ACEPTABLE DE RENDIMIENTO (TMAR) ---------------------------------------------------75 TMAR = Tasa de Inflación + Premio al Riesgo ------------------------------------------------------------------------------76 3.1.4 TMAR como Costo de Oportunidad y como Costo de Capital -----------------------------------------------------77 3.2 VALOR ACTUAL NETO (VAN) -----------------------------------------------------------------------------------------78 3.3 TASA INTERNA DE RETORNO (TIR) ---------------------------------------------------------------------------------82 3.4 Índice de rentabilidad IR -----------------------------------------------------------------------------------------------------84 3.5 PAYBACK DESCONTADO -----------------------------------------------------------------------------------------------85 3.6 Relación Beneficio-Costo (B/C) --------------------------------------------------------------------------------------------85 2 UNIDAD IV ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------88 4. Documentos Financieros y Bonos -------------------------------------------------------------------------------------------88 4.1 BONO: --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------88 4.1 PAGO DE INTERESES: ----------------------------------------------------------------------------------------------------89 4.1.2 VALOR NOMINAL: ------------------------------------------------------------------------------------------------------89 4.1.3VALOR DE REDENCIÓN: -----------------------------------------------------------------------------------------------90 4.1.4 MADURACIÓN: -----------------------------------------------------------------------------------------------------------91 4.2 PRECIO DE LOS BONOS: -------------------------------------------------------------------------------------------------91 4.3 TASA INTERNA DE RETORNO (TIR O RENTABILIDAD): ------------------------------------------------------91 4.4 PRECIO DEL BONO A UNA FECHA DE PAGO DE INTERESES O CUPÓN: --------------------------------92 4.5 VALOR EN LIBROS DE UN BONO -------------------------------------------------------------------------------------93 BIBLIOGRAFIA ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 104 3 TIR. negociación con documentos. Payback. documentos financieros. herramientas y destrezas para la toma de decisiones. anualidades. el futuro profesional se enfrentará en muchas ocasiones a tomar decisiones que involucran la inversión adecuada de los recursos con que cuenta o a la disponibilidad de los mismos por lo tanto es necesario que tenga los conocimientos que involucran a la Matemática Financiera En el caso que nos ocupa. tasa real. la materia Matemática Financiera es de importancia pues le permitirá al estudiante. IMPORTANCIA DE LA ASIGNATURA Dentro del mundo de los negocios. bonos. deberá revisar documentos y emitir una opinión profesional decisiva 4 . fondos de valor futuro. amortizaciones. análisis de conveniencia de invertir a través de indicadores como VAN. para financiar compras de bienes inmuebles y muebles. que tienen aplicación en la formación del administrador profesional. que son necesarios en las actividades financieras especialmente en el largo plazo. entonces. tasas de interés internacionales.INTRODUCCION En este segundo curso de Matemáticas Financieras se trata temas referentes a:Tasas equivalentes. la formación en la especialidad profesional de Administración – Contabilidad. en el momento que desempeñe un cargo en los niveles de apoyo o de dirección en una empresa sea pública o privada. tenga las técnicas. y aseguramiento de todos los bienes. financiamiento. Relación Costo Beneficio. 5 .y definitoria sobre estudios y proyectos o informes realizados. por lo que se requiere poseer sólidos conocimientos financieros que permitan aprovechar las oportunidades que se presentan en el mercado y tomar las medidas precautelatorias cuando estas puedan afectar las finanzas de la empresa. se hacen en tiempo real. donde la economía se ha globalizado y que gracias al apoyo de la cibernética se ha dado una verdadera revolución. para ver si es rentable o no una inversión. que necesariamente contendrán cálculos matemáticos y sobre todo financieros. pues las negociaciones y transacciones financieras y afectaciones. En el mundo actual. siempre y cuando. no varíen de valor durante algún tiempo. Las anualidades se simbolizan con la letra R. El concepto de anualidad. quincenales o bimensuales. estos se denominan anualidades. los pagos de arrendamientos. que no necesariamente son anuales. Trataremos las anualidades más comunes y de mayor aplicación en la vida cotidiana. se calculará el valor presente de una anualidad y su valor futuro.1 DEFINICIÓN DE ANUALIDAD Una anualidad es una serie de flujos de cajas iguales o constantes que se realizan a intervalos iguales de tiempo. semestrales. mensuales. bimestrales. por ejemplo. normalmente tienen las características de ser iguales y periódicos. son anualidades las cuotas periódicas para pagar período a período un electrodoméstico. trimestrales. de la misma manera se determinará el valor de la cuota igual y periódica y el número de períodos de la negociación. entre otras consideraciones.UNIDAD I 1. Además. anuales. es muy frecuente que las 6 . entre otros. sino que pueden ser diarios. cuatrimestrales. las cuotas de los seguros. de un vehículo. Por lo cual. 1. los salarios mensuales. ANUALIDADES O RENTAS INTRODUCCION Los flujos de caja (pagos) de los créditos comerciales y financieros. porque es el sistema de amortización más utilizado en las instituciones financieras en sus diferentes modalidades de créditos. es importante en el área de las finanzas. es decir. Cualquier de estos términos pueden ser utilizados en lugar de anualidad.2 REQUISITOS PARA QUE EXISTA UNA ANUALIDAD Para que exista una anualidad se debe cumplir con las siguientes condiciones: Todos los flujos de caja deben ser iguales o constantes. a la misma tasa de interés. 1. 1.3 CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES SEGÚN EL TIEMPO Las anualidades según el uso del tiempo se clasifican en ciertas y contingentes. La totalidad de los flujos de caja en un lapso de tiempo determinado deben ser periódicos. a un valor equivalente. mensual. semestral. 1. Plazo de una anualidad: es el tiempo que transcurre entre el inicio del primer período de pago y el final del último período de pago. tener en cuenta las definiciones de los siguientes términos: Renta o Pago (R): es un pago periódico que se efectúa de manera igual o constante. Periodo de Renta: es el tiempo que transcurre entre dos pagos periódicos consecutivos o sucesivos. Por ejemplo. a la anualidad debe tener un valor presente y un valor futuro equivalente. en el estudio de las anualidades.1Anualidades Ciertas Son aquellas en las cuales los flujos de caja (ingresos o desembolsos) inician y terminan en periodos de tiempos definidos. son una variante de las anualidades ciertas. cuando una persona compra en un almacén un electrodoméstico a crédito. Todos los flujos de caja son llevados al principio o al final de la serie. depósito.transacciones comerciales se realicen mediante una serie de pagos hechos a intervalos iguales de tiempo. Las anualidades perpetuas o indefinidas. se establecen en forma inmediata las fechas de iniciación y terminación de la obligación financiera.3. El periodo de renta puede ser anual. A la renta también se le conoce con el nombre: cuota. en vez de un pago único realizado al final del plazo establecido en la negociación. Es conveniente. etc. El número de períodos debe ser igual necesariamente al número de pagos. 7 . es el contrato de un seguro de vida. 1. por desconocerse fecha en que morirá el asegurado.5 CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES SEGÚN EL MOMENTO DE INICIACIÓN. Las anualidades se clasifican según el momento de iniciación en diferidas e inmediatas. la fecha del último flujo de caja. 1. o ambas depende de algún evento o suceso que se sabe que ocurrirá. 1. cuando se realizan depósitos trimestrales en una cuenta de cuenta de ahorros intereses capitalizables cada trimestre. se sabe que hay un beneficiario. cuando se realizan depósitos mensuales en una cuenta de ahorro pero los intereses se capitalizan cada bimestre.4. 1.2 Anualidades Generales Son aquellas en que el periodo de capitalización de los intereses no coincide con el periodo de pago. El ejemplo más clásico. pero no se sabe cuándo.4 CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES SEGÚN LOS INTERESES Según el uso de los intereses las anualidades se clasifican en anualidades simples y generales. 8 .4. pero no se sabe cuándo empezarán. Por ejemplo. al cual hay que realizarle una serie de pagos en un tiempo plenamente definido.1 Anualidades simples Son aquellas en que el periodo de capitalización de los intereses coincide con el periodo de pago.2 Anualidades contingentes Son aquellas en las cuales la fecha del primer flujo de caja.3. 1. Por ejemplo.Los flujos de caja de las anualidades indefinidas comienzan en un periodo específico o determinado y la duración es por tiempo ilimitado. Por el alcance que tienen las anualidades contingentes. no cambia por efecto de los intereses. por lo cual.5.2 Anualidades inmediatas Son aquellas en la que serie de flujos de caja (Ingresos ó Desembolsos) no tiene aplazamiento algunos de los flujos. incrementándose el saldo de la obligación financiera. Este se puede dar de dos maneras: a) Período de gracia muerto.1. se dan a partir de un período de gracia. por lo tanto. el valor de la obligación financiera. b) Período de gracia con cuota reducida. 1.5. a partir de este nuevo valor se determina el valor de la cuota ó de la anualidad (R). se pueden utilizar las expresiones que se demostraran para las anualidades vencidas y anticipadas. lo que implica que el valor de obligación financiera al final del período de gracia se acumula por efecto de los intereses. es el inicial. los flujos se realizan en el periodo inmediato a la firma del contrato o del pagaré. ni pagos de interés. se calcula ó se determina el valor de la cuota ó de la anualidad (R) Para el cálculo del valor presente y del valor futuro de una anualidad diferida. es decir. se hacen pagos de intereses. el valor de la obligación financiera al final del periodo de gracia. sé vera como se pueden adaptar las fórmulas para aplicarlas sobre las anualidades diferidas. pero no abono al capital. 9 . ya que estos se han venido cancelando a través del tiempo.1 Anualidades diferidas Son aquellas en las cuales la serie de flujos de caja (Ingresos ó Desembolsos). no hay abonos a capital. En el periodo de gracia con cuota reducida. En el periodo de gracia muerto. y a partir de él. por lo tanto. posteriormente. Cuando los pagos periódicos se realizan al final del mismo. Cuando el periodo de pago coincide con la tasa de interés. Anualidad vencida (ordinaria).1. localizado un periodo antes a la fecha del primer pago.1 Valor presente de una anualidad vencida(A) Es una cantidad o valor. 1. Cuando el periodo de pago no coincide con la tasa de interés. Se realizan los cobros o pagos después de un periodo de gracia. 1.6 RESUMEN DE ANUALIDADES.7 ANUALIDAD VENCIDA 1. Cobros o pagos se realizan de inmediato el momento de formalización del trato. el pago se lo realiza al inicio del periodo de pago.7. Anualidad general. se puede expresar como la suma de los valores presentes de todos los flujos que compone la serie. Anualidad diferida. Anualidad simple. Matemáticamente.7. equivalente a una serie de flujos de caja iguales y periódicos. Las fechas del primer pago o del último no son fijadas de antemano (o ambas). inmediatas vencidas { diferidas ciertas { inmediatas anticipadas { diferidas simples inmediatas vencidas { diferidas contingentes { inmediatas anticipadas { { diferidas Anualidades inmediatas vencidas { diferidas ciertas { inmediatas anticipadas { diferidas generales inmediatas vencidas { diferidas contingentes { inmediatas anticipadas { { { diferidas Anualidad cierta.2 Valor futuro de una anualidad vencida(S) 10 . Anualidad inmediata. Sus fechas son fijas y se estipulan de antemano Anualidad contingente. Anualidad anticipada. Dentro del campo financiero algunas de las tasas que son de uso común se puede mencionar las siguientes: Tasa Activa Tasa Efectiva y efectiva periódica Tasa Pasiva Tasa Flat Tasa Referencial Tasa Nominal TASAS INTERNACIONALES Tasa Libor Tasa Prime Tasa E.U.I.Es la cantidad o valor ubicado en el último flujo de caja. 0 A R* R R R R 1 2 3 4 R R 1 1 i n i R R n 1 n S R* (1 i) n 1 i 1.O.B. Matemáticamente. 11 . equivalente a todos los flujos de caja constantes y periódicos de la serie. es el valor final que se obtiene al sumar todos los valores llevados al futuro.R. conocidas también como de colocación de sus recursos.8 TRANSFORMACION DE TASAS DE INTERES.R Tasa Activa Es la tasa que las entidades financieras cobran en sus actividades crediticias. Tasa Pasiva Es la tasa que las entidades pagan a los depositarios o inversionistas que colocan sus recursos en dichas entidades. . xx% Anual capitalizable(periodo de tiempo de capitalización) xx% Anual compuesto(periodo de tiempo de capitalización) Periodo de tiempo de capitalización = Fracción del año También se puede decir. Ejemplo: j = 24% anual capitalizable mensualmente. entonces m = 12 capitalizaciones mensuales en el año. que la tasa nominal es la que presenta de manera anual la tasa que efectivamente (tasa efectiva periódica) se gana o paga en el periodo de capitalización multiplicada por su frecuencia de conversión. Frecuencia de conversión (m).Tasa Referenciales Son las tasas que da Banco Central y que sirven de referencia para que las entidades financieras fijen sus tasas activas y pasivas en sus operaciones. Estas son presentadas semanalmente. Tasa Nominal (j) Esta tasa es considerada como una tasa contractual pues es la que generalmente aparece en los contratos. i= j m i= 24% = 2% mensual 12 12 . Expresa la forma en que se va ha capitalizar los intereses (interés compuesto).Es el número de veces que los intereses se convierten en capital en el año.c. dependiendo del periodo de tiempo que se considere para su capitalización. presentándose como: xx% Anual convertible(periodo de tiempo de capitalización) = a.”periodo de tiempo”. así tendríamos que si la capitalización es mensual m sería igual a 12. 0278% diario. ? (1 + ? = ?.En interés simple. tenemos que calcular la tasa diaria i = 0. se presta a 180 días a una tasa: a) 12% anual.08 4 j2 2 ) = (1 + ) 4 2 j2= 8. ?. ?.08% a.00033 diario o 0. Fórmula para transformación de tasas: ?? ?? ?? ?? (? + ) = (? + ) ?? ?? ? + ? = (? + ?→? ? ? ) ? ?????? → ? (? + ?? )?? = (? + ?? )?? ?= ? ? → ?????? ?→? ? ? Ejemplos: Transforme las tasas indicadas a) ? = ?% ?. la tasa de interés con la que se trabaja se considera como nominal sin que esto signifique que se den capitalizaciones.033% diarios b) 5% semestral. ? j1 m1 j2 m2 ) = (1 + ) m1 m2 (1 + 0. s b) ? = ?% ?. ?. ? ?= ? ? ? = ??????? ?= ?% = ?% ?????????? ? 13 . i = 0.05/180. como ejemplo podemos decir si un capital de $1. podría considerarse el tiempo como un semestre y utilizar la tasa del 5% semestral o calcular la tasa diaria i = 0. c.12/360.000. i =0. ?. Cuando se considera que el periodo de tiempo es un año se denomina tasa anual o tasa efectiva anual. Bonos) (Tenga en cuenta que siempre la tasa efectiva es mayor que la tasa nominal. s d) ? = 6% ????????? ? = ?????????? (1 + i1 )p1 = (1 + i2 )p2 (1 + 0.(1 + i1 )p1 = (1 + i2 )p2 (1 + 0.8. TIR. el monto de los intereses se paga o se capitaliza al inicio del periodo.06)6 = (1 + i2 )4 i2 = 9. c.02)4 = (1 + i2 )12 ?? = ?. m j1 m1 j2 m2 ) = (1 + ) m1 m2 (1 + 0. Con el fin de encontrar su equivalencia con el interés vencido 14 . ??% ??????? c) ? = 2% ??????? i= j m (1 + ? = ?.30% a. (Esta tasa es la que se usa en las fórmulas de Interés Compuesto.12 12 j2 2 ) = (1 + ) 12 2 j2 = 12. pues en esta se consideran los valores capitalizados. c.) 1. ? j=i∗m j = 2% ∗ 12 = 24% a. de lo contrario si el periodo es menor a un año se considera como una tasa efectiva periódica.13% trimestral Tasa Efectiva y Efectiva Periódica (i) Es la tasa que realmente se está ganando o pagando durante un determinado periodo de tiempo.1 Tasas efectivas Vencidas y Tasas efectivas Anticipadas Cuando hablamos de interés por anticipado. Anualidades. iaX A= X (1-ia) A (1) F=X La tasa anticipada se presenta como un descuento al monto del flujo presente. como sigue: A = X. ?? ? − ?? Ejemplos: 15 . ?? = (1+i-1)/(1+i) = ia: ? ?+? Se considera: i = Tasa de interés efectiva periódica vencida ia = Tasa de interés efectiva periódica anticipada Partiendo de la ecuación (2) también podemos despejar la tasa vencida en función de la anticipada. Por otro lado aplicando el principio de equivalencia tenemos que: F = A(1+i) considerando que F = X Reemplazando con (1) tenemos X = X(1-ia)(1+i) y simplificando tenemos: 1 = (1-ia)(1+i). y por lo tanto no aparece al final. 1-1/ (1+i) = ia.se emplea una ecuación de valor entre el flujo presente y el flujo futuro para un periodo. 1/ (1-ia)-1 = i. ?= (1-1+ ia)/ (1-ia) = i. (2) (1-ia) = 1/ (1+i). como sigue: (1+i) = 1/ (1-ia). i = 8.04) = 0..Encuentre la tasa efectiva anticipada equivalente a una tasa efectiva anual vencida del 9%. donde en este caso i se convierte en iay j en ja. i =? anual ia= 4% annual i = 0.26% anual anticipada 1.t. anticipada. ja = 4% a. 16 .t.c. i = 4.Encuentre la tasa efectiva periódica vencida equivalente a una tasa del 4% anual anticipada.01.8.17% annual vencida 2. ia = ja/m Ejemplos: 1.0826.04/(1-0..Encuentre la tasa efectiva periódica equivalente a una tasa del 4% a.c. para la transformación tenemos la formula i = j/m.1. ia= 1% trimestral anticipada.04/4 = 0.09) = 0.. ia= ? anual i = 9%anual i = 0. m=4 ia= ? trimestral ia= 0. manteniéndose m como frecuencia de conversión y la condición de que sea la tasa sea del mismo periodo de capitalización.0417.09/(1+0.2 Tasas efectivas Anticipadas y Tasas Nominales Anticipadas Similar a lo visto ya con las tasas vencidas efectivas y nominales. 200 que le paga una tasa de interés del 3% mensual. anticipada.6% a. 1. Plantee la ecuación de valor (PAGOS = DEUDAS) Utilice con cuidado su calculadora.2.9 EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE ANUALIDADES Para resolver problemas en los que intervienen las anualidades tome en cuenta las siguientes recomendaciones: Lea con detenimiento el problema y determine la pregunta que le pide para dar solución.c. Realice la clasificación de acuerdo al tipo de anualidad explicada anteriormente. Calcular el valor acumulado al final de año. 1. ia= 2. anticipada equivalente a una tasa efectiva periódica 2.200 R 0 1 R=300 c/mes R R 2 3 i=3% mensual R R R 4 11 12 X CLASIFICACION DE LA ANUALIDAD: ACSVI 17 .c. si cada mes deposita $ 300? FF 8.023 x 2 = 0..3% semestral ja = ? a.c. Una persona deposita hoy en una institución financiera la suma de $ 8. Realice un gráfico que represente el enunciado del problema Identifique si es una anualidad o no. Para el caso de anualidades generales se necesita la transformación de tasas de interés con el objetivo de que la tasa de interés coincida el periodo de pago.046.s..3% semestral anticipada. m=2 ja = 0.Encuentre la tasa nominal a. ja = 4.s.s. 000 después de 8 meses. pagando cuotas bimestrales a una tasa de interés del 14%.03)12 − 1 + 8200(1 + 0.000 ahora y $100.000 R R R R R R R R 1 2 3 4 6 7 11 12 X CLASIFICACION DE LA ANUALIDAD: ACGVI 1 + i = (1 + 0.000 respectivamente. FF 0 R=bimestral i=14% anual R R R R R R R R 1 2 3 4 6 7 11 12 100.PAGOS = DEUDAS “ECUACION DE VALOR” X = S + 8200(1 + i)12 x = 300 (1 + 0. Para seguridad del crédito el banco le entregara $150.24 12 ) 12 i = 26. Determine la cuota bimestral a cancelar.03)12 0.2682 X = 155. por lo cual deposita en una institución financiera que reconoce un interés del 24% a.85 1.03 X = 15.000 y $ 10. R=3000 c/año 5.c. Un padre de familia desea reunir para dentro de diez años la suma de $X para garantizar los estudios universitarios de su hijo.m 10.2682)7 + 10000(1 + 0. $ 3000 cada año.000 150.m.2682)10 − 1 + 5000(1 + 0.c.76 2. Juan solicita un préstamo bancario para un proyecto inmobiliario a 2 años plazo.000 0 FF j=24% a. y en los años 3 y 7 deposita adicionalmente $ 5.967.2682)3 0.000 18 .948.82% anual PAGOS = DEUDAS X = S + 5000(1 + i)7 + 10000(1 + i)3 X = 3000 (1 + 0. Los dineros de un contrato de arrendamiento por un año.352.000(1 + 0. y se le reconociera el 2.0221)−4 = R 1 − (1 + 0.0221 R = $23. seis meses después de vencido el contrato. La primera consistía en $ 33.862. con canon de $ 300 mensuales anticipados.2% mensual por pronto pago.000 de contado y $230 al mes durante 36 meses F F 30.02)−42 X = 650 0.5 años 1 − (1 + 0.000 de contado y $ 230 al mes durante 36 meses.000(1 + 0. La tercera era de $ 650 al mes durante 3.0221)−4 = A 150.02 X = $18. que empieza hoy.90 3.CLASIFICACION DE LA ANUALIDAD: ACGVI (1 + 0. La segunda consistía en $ 30. Si la tasa de interés es del 2% mensual.000 de contado b) $30.5% mensual.21% bimestral 150.143.62 4.000 de contado. A) Hallar el acumulado obtenido.02)−36 X = 30.02 X = $35.000 + 230 0. ubicado en Ambato. los deposito en una corporación que ofrece el 2.0221)−12 0. El señor Juan Pérez recibió tres ofertas al querer vender un apartamento.000 + 100.14) = (1 + ib )6 ib = 2.5 años. ¿Cuánto debe cancelar hoy? 19 . ¿Cuál de estas ofertas es la más ventajosa para el señor Juan Pérez? a) $33.000 0 R=230/mes i=2% mensual R R R R R R 1 2 3 4 35 36 1 − (1 + 0.43 c) $ 650 al mes durante 3.000 + 100. B) Si el arrendatario quisiera pagar hoy el total de dicho contrato. 025)6 = 4. sea equivalente a todos los flujos de caja.022)−12 0.022) = 3.919.F F R=300/mes i=2.022 (1 + 0. Si se considera que una deuda (A) se va a cancelar mediante n pagos iguales de valor R. ya que primero se paga y luego se habita en el inmueble.025)12 − 1 X = [300 ] (1 + 0.5% mensual R R R R R R 0 1 2 3 10 11 12 18 X CLASIFICACION DE LA ANUALIDAD: ACSAI a) X = S(1 + i)6 (1 + 0.025)(1 + 0.1 VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA El valor presente de los flujos de caja (ingresos y desembolsos) iguales anticipados será el valor. 1. a una tasa de interés (i) se tiene: 20 .10.202.93 1.025 b) A = 300 1−(1+0. por ejemplo el pago mensual del arriendo de una casa.10 ANUALIDADES ANTICIPADAS Son aquellas en las que la serie de flujos de caja se realizan al inicio de cada periodo. que en el momento de realizada la operación financiera.57 0. FF i -1 R R R R 0 1 2 3 R R R n-1 n 1 (1 i) n A R 1 i i 1. Si el inmueble estuvo arrendado por un año.2 VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA A partir del diagrama económico que se detalla a continuación se puede determinar la fórmula que permite calcular el valor futuro de una anualidad anticipada. ¿Cuánto tendrá acumulado en la cuenta al final de los 12 meses? 21 . la suma de $1. El depósito lo realiza un vez recibe el valor de la renta. y deposita el 30% en una cuenta de ahorros en una institución financiera. que le reconoce el 2% de interés mensual. Una persona recibe por concepto de arriendo (mes anticipado).000 mensuales. FF i -1 R R R R 0 1 2 3 R R R n-1 n (1 i) n 1 S R 1 i i Resumen: R R R R 0 1 2 3 R R R n-2 n-1 S A (1 − (1 + i)−n+1 ) A = R [1 + ] i (1 + i)n+1 − 1 S = R[ − 1] i n o 1 − (1 + i)−n A = [R ] (1 + i) i o (1 + i)n − 1 S = [R ] (1 + i) i Ejemplos: 1.10. 000. Un documento ofrece pagos trimestrales de $ 30.06)−45 (1 + 0.46 i=6% trim R R R R R 8 9 24 25 26 27 20-10-01 7 20-04-97 0 R=30.104.000/trim 20-04-01 20-04-95 F F 22 .02)12 − 1 ] (1 + 0. Si se desea cambiar este documento por otro que estipule pagos trimestrales de $X comenzando el 20 de abril de 1997 y terminando el 20 de octubre de 2001.000 0.10 0.495. iniciando el primer pago el 20 de abril de 1995 y terminando el 20 de abril de 2006.02) = $4. suponga una tasa del 24% a. F F R=30.R=300/mes FF i=2% mensual R R R R R R R R 0 1 2 3 4 6 7 11 12 S CLASIFICACION DE LA ANUALIDAD: ACSVI S = [300 (1 + 0.c.02 2.000/trim i=6% trim R R R R R 0 1 2 3 4 44 45 20-04-95 20-04-06 R CLASIFICACION DE LA ANUALIDAD: ACGAI i= j m i= 24% = 6% trimestral 4 1 − (1 + 0.t. Hallar el valor de la cuota.06 A = $491.06) A = 30. 022) = 3. los deposito en una corporación que ofrece el 2.06)−19 491. ya que también existe la interpolación cuadrática).5% mensual.57 0. La interpolación lineal es un procedimiento muy utilizado para estimar los valores que toma una función en un intervalo del cual conocemos sus valores en los extremos (x1.93 1.025)6 = 4.022)−12 0. que empieza hoy.28 3. La expresión de la interpolación lineal se obtiene del polinomio interpolador de Newton de grado uno: RECTA DE INTERPOLACIÓN LINEAL 23 . f(x1)) y (x2.06 7 R = $66. seis meses después de vencido el contrato.06) = R 0.022 (1 + 0. con canon de $ 300 mensuales anticipados.025 1−(1+0.919. y se le reconociera el 2.495.f(x2)). Los dineros de un contrato de arrendamiento por un año. B) Si el arrendatario quisiera pagar hoy el total de dicho contrato.025)(1 + 0.2% mensual por pronto pago. A) Hallar el acumulado obtenido.202. Para estimar este valor utilizamos la aproximación a la función f(x) por medio de una recta r(x) (de ahí el nombre de interpolación lineal.025)12 − 1 ] (1 + 0.1 − (1 + 0. ¿Cuánto debe cancelar hoy? F F R=300/mes i=2.232.5% mensual R R R R R R 0 1 2 3 10 11 12 18 X CLASIFICACION DE LA ANUALIDAD: ACSAI c) X = S(1 + i)6 X = [300 d) A = 300 (1 + 0.11 INTERPOLACION LINEAL.46(1 + 0. y2). y1) y (x2. Traduciendo al lenguaje algebraico obtenemos que: y − y1 = y2 − y1 (x − x1 ) x2 − x1 Y despejando y. obteniendo la siguiente proporcionalidad de segmentos: AB/AC=BD/CE. Despejando el segmento BD (ya que el punto D es el que desconocemos) obtenemos: BD=(AB/AC)∙CE. obtenemos: y = y1 + y2 − y1 (x − x1 ) x2 − x1 Para nuestro estudio financiero lo utilizaremos para calcular tasas de interés y posteriormente para el cálculo del TIR (Tasa interna de retorno). 24 . Para ello utilizamos la semejanza de los triángulos ABD y CAE.Veamos los pasos que tenemos que seguir para hallar la recta de regresión: 1º. Dados los puntos de la función (x1. queremos estimar el valor de la función enunpuntoxenelintervalox1<x<x2. Para hallar la recta de interpolación nos fijaremos en la siguiente imagen. 2º. 3º. 56) está el valor buscado (50).05 0.Ejemplos: 1. i VR 0. ??? = ??. utilice la fórmula de interpolación lineal.579 31.01 0. 0.15)(51.097 17. así como al 10%. crece pero un valor pequeño. ??? (? + ?)?? − ? ? (? + ?)?? − ? ? El objetivo es encontrar la tasa i de acuerdo al apéndice 2 “Interpolación lineal” La pregunta? qué valor se da a i. Entre el 5% y 10% la diferencia es prácticamente de 10.15 0. podría subir al 15% que sumado al 31. así mismo arbitrariamente vaya al 5%. Entre 15%(47. A qué tasa nominal convertible semestralmente se acumula $600.772 47. R=12.66 La diferencia entre el 1% y 2%.000 luego de 15 depósitos semestrales de $12. 77 le daría algo como 41.000. iniciemos con un valor del 1%.02 0.58) y 16%(51. Puntos: (47.000 ?=? ?? = (? + ?)? − ? ? ???.…continúe con el proceso.16 16.58 51.1 0. 0.293 21.66 .16) 25 .58 . Al ser arbitrario.000/semestre 0 1 2 3 i=? 4 14 15 600. 59%?2 = 31.09 (7.09 + 0.09 0.02 0.5361 7.3851 8.1559 ? = 15.04 0. entonces utilizamos la 300000 = 42000 interpolación lineal dando valores a y(i) para encontrar el valor de referencia x(VR).y2 − y1 (x − x1 ) x2 − x1 y = y1 + ? = ? = 0.66 − 47. ¿Qué tasa de interés efectivo anual rendiría el proyecto? R=4200/bim 0 1 i=%bimestral 2 n 300000 A=R 1 − (1 + i)−n i 1 − (1 + i)−12 1 − (1 + i)−12 7.0905)6 = (1 + i2 )1 i = 68.1607 i = 9.08 0. ?.000 bimestrales vencidos durante dos años.000 en un proyecto que.59% ????????? ? = ??? ? = 15. Una empresa desea invertir $300.15 (50 − 47.1 VR(x) 10.1429 = i i Tenemos una ecuación que algebraicamente no podemos resolver.575 9. según los planes.58) 51.1607) 6.18% ?.8137 − 7.06 0.8137 y(i) = 0.17% anual 26 . deberá producir un flujo de ingresos de $42.15 + 0. i 0.1429 − 7.10 − 0. ? 2.05% bimestral (1 + 0.58 ? = 0.3838 7.1607 6.16 − 0. 750 27 . Para pagar una deuda de $950.620.3.0100 0.862.4720 6.000 A = R[ 1 − (1 + i)−n ] i 1 − (1 + i)−7 950. ¿cuál sería el valor actual de los pagos que deben realizarse para adquirir el autobús? FF R=19. El administrador del club de fútbol “Los invencibles” está evaluando la compra de un nuevo autobús para transportar los jugadores. un mes después de concluido el pago de los abonos mensuales.2303 6.862.620.35/mes 0 1 2 3 i=? 33 34 35 36 485.750? Si además de las 36 mensualidades anticipadas. Una arrendadora financiera le ofrece un plan de compra mediante el pago de 36 mensualidades anticipadas de $19.3494 = [ ] i i(y) 0.66.7282 6.66 [ ] i 1 − (1 + i)−7 6. ¿Qué tasa nominal convertible mensualmente se cargó en la operación? FF R=149.0200 0.66/mes 0 1 2 3 i=% mensual 4 5 6 7 950.0400 VR(x) 6.000 = 149.35. ¿Cuál es la tasa de interés nominal anual que está cargando la arrendadora si el precio del autobús es de $485. el equipo debe pagar 5% del valor del autobús como opción de compra sin intereses.0300 0.000 se abonan 7 mensualidades vencidas de $149.0021 4.620. 02 0.862.48722 P1 (25.0244 i = 2.44% mensual (1 + i1 )p1 = (1 + i2 )p2 (1 + 0.0.35/mes 0 1 2 3 i=? 33 34 35 36 485.99862 22.0244)12 = (1 + i2 )1 i = 33.750 OPCIÓN DE COMPRA: 5%(485.03 VR(x) 30.4558 = [ ] (1 + i) i y(i) 0.287.01 0.40858 25.287.A = R[ 1 − (1 + i)−n ] (1 + i) i 485.99862) 22.03) y = y1 + y2 − y1 (x − x1 ) x2 − x1 y = 0.50(1 + i)−36 i 28 .4558 − 25.750) R=19.750 = R [ ] (1 + i) + 24.750) = 24.02 (24.99862.50 1 − (1 + i)−n 485.02)P2 (22.750 = 19.03 − 0.55% anual FF 5%(485.48722.35 [ 1 − (1 + i)−36 ] (1 + i) i 1 − (1 + i)−36 24.0.99862 y = i = 0.862.02 + 0.48722 − 25. 524.197. cuál es la cuota mensual de cada socio.287.1 − (1 + 0.5% = 1. a una tasa de 2% mensual.0244)−36 485.750 = R [ ] (1 + 0. Una persona adquiere a crédito un electrodoméstico que cancelará en 12 pagos mensuales iguales de $ 300.16 = = 7.5% a.0244)−36 0.50(1 + 0. 29 .3567R + 10.000. mismo que tendrá una vida útil de 10 años su costo será $70.49 Socio 45 R = 337.c.01208 Cuota 337. a) Establecer el valor de cada depósito que permita el reemplazo e instalación del equipo de bombeo.0244) + 24. Encontrar el valor de contado del electrodoméstico.52 5.750 = 24.m S AGCVI i= 14.14 R = 19.cm.0244 485.000 por instalación.5% a. R/mes 0 1 2 119 120 J=14.208% mensual 12 (1 + 0. El Comité Pro-mejoras de El Madrigal prevé sustituir un equipo de bombeo de agua para riego.000 más $20.16 6.01208)120 − 1 90000 = R 0. Por esta razón los miembros del Comité han decidido crear un fondo mediante pagos mensuales a una tasa del 14. b) Si el Comité está conformado por 45 socios. 37 0.4% mensual.53/mes 8.500 al final de cada año. 30 .000 1.5%mensual 178 179 180 600.015 R = 9.602.02)−12 ? = 300.02 7.015)−180 600. la obligación se pacta a 15 años a una tasa de interés del 1. Un apartamento se adquiere a crédito por la suma de $ 600.000/mes 0 1 2 10 11 12 A Clasificación de la anualidad: ACSVI 1 − (1 + ?)−? ? = ?[ ] ? 1 − (1 + 0.000 [ ] = 3´172.000 en cuota mensuales iguales.5% mensual.FF i=2%mensual R=300. Clasificación de la anualidad: ACSVI A = R[ 1 − (1 + i)−n ] i 1 − (1 + 0. FF R/mes 0 1 2 i=1. durante 5 años. con un interés del 2. Determinar el valor de las cuotas.000 = R [ ] 0. Sustituir una serie de flujos de cajas constantes de $ 45. por el equivalente en cuotas mensuales vencidas.662. 02 mes 9.2% mensual.000 para cancelarlo en 24 cuotas mensuales de $ 120.024)−60 104.92% anual 1 − (1 + i)−n A = R[ ] i 1 − (1 + 0.000.024 R = 3.000 con dos cuotas extras en pactadas en los meses 8 y 16.901. calcular el valor de las cuotas extras.317.901.FF R=45. Un crédito de $ 8. 31 .91 = R [ ] 0.91 FF R=mensual 0 1 2 i=2.024)12 = (1 + i2 )1 i2 = 32.4% mensual 3 4 5 A Clasificación de la anualidad: ACGVI (1 + i1 )p1 = (1 + i2 )p2 (1 + 0.901.500 [ ] 0.3292)−5 A = 45.3292 A = 104. si la tasa de intereses es del 3.4% mensual 58 59 60 104.91 1 − (1 + 0.500/año 0 1 2 i=2. 000 ahora y el resto con pagos de $6.000 [ ] + x(1 + 0. ¿Cuántos pagos completos recibirá? FF 160.032)−8 + x(1 + 0.000 − 1´989.000 cada 3 meses.t n-1 n 40.000 Clasificación de la anualidad: ACGVI i= j 16% = = 4% trimestral m 4 32 .FF x x 8´000.000 i=3.032 1. el señor Domínguez puede recibir$160.000 0.000 1 − (1 + 0.165.000 de inmediato.83 10. o puede recibir $40. Si la compañía paga interés del 16% anual convertible trimestralmente.2%mensual R=120.000 0 R=6000trimestral 1 2 j=16%a.032)−24 120.52 x = 4´351.000mes 0 1 2 7 8 15 16 23 24 A Clasificación de la anualidad: ACSVI PAGOS = DEUDAS A + x(1 + i)−8 + x(1 + i)−16 = 8´000.c.032)−16 = 8´000. Como beneficiario de un plan de jubilación.262.3814x = 8´000. 000 = 40.04 R = 208.000(1 + i)41 − S (1 + 0. FF 120.04)−n 160.000 0 R=6000trimestral 1 2 j=16%a.04 −0.04)1 = 216.000 + 6.000(1 + 0.PAGOS = DEUDAS 1 − (1 + 0.c.000 le liquidarían el total? Liquidación: 40 pagos iguales y uno mayor.04)41 − 1 x = 120.2 log 1.000 [ ] = 208.04−n −n= log 0. 33 .t 40 R 41 S x x = 120.2 = −1.04)41 − 6.04 Con qué cantidad adicional al último pago completo le liquidarán el total de su beneficio de jubilación? Liquidación: 41 pagos iguales y uno menor.000 [ ] 0.17(1 + 0.04 n = 41.17 0.48 Con qué pago final realizado 3 meses después del último pago de $6. 023333 34 .000(1 + i)40 − S x = 120.38 0.023333)24 − 1 S = 1.b 21 22 23 24 S Clasificación de anualidad: ACGAI i= j m i= 14% = 2.c. el día 25.000 0 R=6000trimestral 1 2 j=16%a. ¿Cuánto se habrá acumulado en el fondo un instante antes de realizar el vigésimo cuarto depósito? 2.000 [ ] = 5969. Cada 2 meses.000(1 + 0.000/bimestre 0 1 2 3 j=14% a. FF R=1.969.04 R = 5.17 9.04)1 = 6.02333) 0.38(1 + 0.208.04)40 − 1 − 6.000 [ ] (1 + 0.000 en un fondo de inversión que paga 14% convertible bimestralmente.FF 120.04) 40 (1 + 0.t 39 R 40 S x x = 120. se deposita $1.3333% bimestral 6 (1 + i)n − 1 S = R[ ] (1 + i) i (1 + 0.c. se conoce como período de gracia. el capital inicial se va incrementando a través del tiempo de gracia por no pagarse los intereses. puede ser muerto o de cuota reducida. pero no se hacen abonos a capital. porque se están cancelando los intereses. el capital principal no se incrementa en el período de gracia. no se pagan intereses ni se abona a capital. Ejemplos: 1. por lo tanto.S = 32. El tiempo transcurrido entre la fecha en la que se realiza la operación financiera y la fecha en que se da el primer pago. calcular R con una tasa del 12% anual capitalizable trimestralmente. El periodo de gracia. en este caso. Si el primer pago se efectúa exactamente al año de haberse prestado el dinero. Una deuda de $800.c.000 Clasificación de anualidad: ACGD i= j m i= 12% = 3% trimestral 4 Alternativa 1: FF en cero 35 .84 1.429.12 ANUALIDADES DIFERIDAS Una anualidad diferida es aquella en que el primer pago se efectúa después de transcurrido cierto número de periodos. mientras que en el segundo se pagan los intereses. En el primero.t 1 2 3 0 R R R R R 4 1 5 2 6 3 18 19 16 R R 20 17 21 22 18 A 800.00 se va a cancelar mediante 18 pagos trimestrales de $R cada uno. FF 0 j=12% a. es decir. 6 = R(13.5864) R = 63. 0 1 2 3 4 5 6 7 j=19.b 8 n 11000 AGDVD i= 19.03)−3 0. Una persona debe pagar $11.76% capitalizable bimestralmente.560.66 2.03) = R [ ] 0.c.000 = A (1 + i)−3 1 − (1 + 0.000 dentro de 6 meses.7535) R = 63.DEUDAS = PAGOS 800.03)−18 800.0329)−(n−5) 0.03)−18 800.03 800.560.000(1 + i)3 = A 1 − (1 + 0.000(1 + 0.63 1 − (1 + 0.67 Alternativa 2: FF en 3 800. ¿Con cuántos pagos bimestrales de $2187.63 podría liquidar su adeudo si el interés es de 19.0329)2 = 2187.03 3 874.0329 36 .76% 6 = 3.000 = R(12.29% bimestral 11000(1 + 0.63/ bim.76%a. y debe realizar el primer pago pago dentro de 12 meses? a) Anualidad vencida R=2187.000 = R [ ] (1 + 0.181. −0. por ejemplo.8235 = −1.0329)−(n−6)+1 ] 0. hechos al final de cada período de interés.0329 De 5 a 11 son 6 cuotas vencidas b) Anualidad anticipada R=2187.8506 = −1.63/ bim. Calcular pagos equivalentes. 0 1 2 3 4 5 6 7 j=19. Modificar la tasa.0329)3 = 2187.8235 log1.0329−(n−5) −(n − 5) = −6 − (n − 5) = n = 11 log0.63 [1 + −0. son aquellas en las cuales los períodos de pago no coinciden con los períodos de interés.0329−(n−6)+1 −(n − 6) + 1 = −5 1 − (1 + 0.13 Anualidades Generales Las anualidades generales. 37 .c. para hacer que coincidan los periodos de pago con los del interés.0329 n = 12 De 6 a 12 son 6 cuotas anticipadas 1.b n 8 11000 11000(1 + 0.8506 log1. una serie de pagos semestrales con una tasa efectiva trimestral. que deben hacerse en concordancia con los períodos de interés.76%a. haciendo uso del concepto de tasas equivalentes. si se hace que los períodos de tiempo y los períodos de interés coincidan. 2. hay dos formas como se puede realizar: 1. Consiste en encontrar el valor de los pagos que.0329 − (n − 6) + 1 = log0. sean equivalentes al pago único que se hace al final de un periodo de pago. Una anualidad puede ser reducida a una anualidad simple. i = 2.025 R = 910. j=30%a.800/trimestral i= j m i= 30% = 2. para los 24 pagos trimestrales.38/mes 0 1 2 i=2.025 Método 2: Transforme tasa de interés de acuerdo al periodo de pago con las fórmulas conocidas.800 cada uno suponiendo una tasa de interés del 30% a.5% mensual → i = trimestral 38 .Ejemplo Hallar el acumulado de 24 pagos trimestrales de $ 2.061. Realice el ejercicio por las dos formas enunciadas anteriormente Método 1: Transformamos el pago mensual equivalente de acuerdo a la tasa de interés.38 [ ] = 179.c.38/mes Calculamos el monto acumulado con el pago mensual.c.5% mensual 12 (1 + i)n − 1 S = R[ ] i 2800 = R [ (1 + 0.025)3 − 1 ] 0.84 0.5%mensual 3 70 71 72 S (1 + i)n − 1 S = R[ ] i (1 + 0.025)72 − 1 S = 910.m R/mensual 1 0 2 3 2.m. R=910. Un empleado desea ahorrar $115. 3.025)3 = (1 + i2 )1 i2 = 7.000 Clasificación de anualidad: ACGVI (1 + i1 )p1 = (1 + i2 )p2 4 i2 = √1.5% mensual efectivo. Podríamos afirmar que el método2.(1 + i1 )p1 = (1 + i2 )p2 (1 + 0.68906% trimestral i=7.58 0.800/trimestre 0 1 2 3 22 23 24 S ( 1 + i) n − 1 S = R[ ] i (1 + 0.000 en el próximo año. si se consideran 48 semanas por año? i=0. Si puede hacer depósitos semanales en una cuenta que paga el 0. ¿Cuánto debe depositar cada semana. resulta ser el más usado por facilidad. si el valor encontrado guardamos en memoria de la máquina de calcular los valores son exactos.061.689%trimestral R=2.005 − 1 (1 + 0.0768906)24 − 1 S = 2.800 [ ] = 179.125% mensual 39 . así como en la cuota mensual.50% mensual R/semana 0 1 2 3 46 47 48 115.005)1 = (1 + i2 )4 i2 = 0.0768906 Conclusiones: Los valores difieren por el número de decimales usados en la transformación de la tasa de interés. 00125)48 − 1 115.028 i=18% anual 17 18 34.39% mensual A = R[ 1 − (1 + i)−n ] i 1 − (1 + 0.(1 + i)n − 1 S = R[ ] i (1 + 0.018 R = 2. ¿Cuál debe ser el importe de los pagos mensuales? R=4.17 semanal 4.177.00125 R = 2.000 = R [ ] 0.000/bimestre FF 0 1 2 i=18% anual 9 3 10 A (1 + i1 )p1 = (1 + i2 )p2 (1 + 0.80% bimestral A = R[ 1 − (1 + i)−n ] i R/mes FF 0 1 2 3 A = 4.028)−10 ] = 34.326. comenzando dentro de 2 meses.0139)−18 34.471.74 0. El ingeniero Martínez debe hacer 10 pagos bimestrales de $4000.74 = R [ ] 0.74 mes 40 .18)1 = (1 + i2 )6 i2 = 2.000 [ 1 − (1 + 0.74 (1 + i1 )p1 = (1 + i2 )p2 (1 + 0.471.18)1 = (1 + i2 )12 i2 = 1.471. y se pactan los intereses a 18% anual. Si desea cambiar ese plan de pagos por otro en que haga 18 pagos mensuales a partir del próximo mes. c.000 0 1 3 2 n-1 4 n A i= j m i= 16% = 8% semestral 2 (1 + i1 )p1 = (1 + i2 )p2 (1 + 0.019)−n 95.c.029−n n = 28.s 95.000 0 1 R=4.000/mes j=16%a.s? Clasificación de la anualidad: ACGVI FF R=4.55 41 . A un empleado le ofrecen liquidarlo en la empresa donde trabaja mediante un pago efectivo de $95.5.29% mensual 1 − (1 + i)−n A = R[ ] i 1 − (1 + 0.000 0.0129) 28 (1 + 0.25 − 133.015.872. Si en vez de aceptar eso desea recibir $4.142.000/mes 2 | 3 27 28 29 x x = 95.000(1 + 0. ¿Cuántos pagos de este valor debe recibir si se consideran intereses a 16% a.000 mensuales vencidos.70 = 2.54 a) 28 pagos iguales y un pago menor FF S 95.0129 x = 136.000 = 4.08)1 = (1 + i2 )6 i2 = 1.0129 −0.0129)28 − 1 − 4.6936 = −1.000 [ ] 0.000. 178. Al comprar mercancías se quedan debiendo $ 1´200.218. 3.0129)27 − 1 0.R = 2.000(1 + 0.064.02)2 = (1 + i2 )1 i2 = 4. FF i=2% mensual 1´200.282.32 R = 6.04% bimestral 42 .000.0129 x = 134. calcular el valor de las cuotas.55 6. cuotas bimestrales iguales durante el segundo año y con cuotas trimestrales iguales en el tercer año.000 (1 + 0.000 0 Am R R R 1 2 3 12 2R 2R 14 16 2R 2R 2R R/3 R/3 R/3 R/3 22 24 27 30 33 36 Ab At Clasificación de la anualidad: ACGVI i = 2% mensual → i = bimestral → i = trimestral (1 + i1 )p1 = (1 + i2 )p2 (1 + 0.142. Si las cuotas bimestrales son el doble de las cuotas mensuales.04% bimestral (1 + 0.0129)27 − 4.064.19 b) 27 pagos iguales y un pago mayor x = 95. sí la tasa de financiación es del 2% mensual. por cuotas mensuales iguales el primes año.0129) = 6.00 − 128.55(1 + 0.68 = 6.32(1 + 0. para cancelarlas en 3 años. y las cuotas trimestrales son la tercera parte de las cuotas mensuales.02)2 = (1 + i2 )1 i2 = 4.0129) = 2.142. 389. porque el valor futuro o monto será infinito por suponerse que los flujos de caja son indefinidos. o una inversión a muy largo plazo donde solo se retiran los intereses.1519R 0.000 = 10.02 trimestral 1.02)−24 1´200.0404 1 − (1 + 0.0612 PAGOS = DEUDAS 1´200. En esta anualidad.05 mensual R = 122.02)−12 + At (1 + 0.54746R R = 61. se podrían citar las cuotas de mantenimiento de una carretera o de un puente.02)−12 Am = R [ ] = 10. o aquella que tiene infinito números de pagos.02)−12 + 1.14 ANUALIDADES PERPETUAS Una anualidad perpetua es aquella en la que no existe el último pago.5753R 0.4706R 0.4706R(1 + 0. como ejemplos.463.000 = 19.1519R(1 + 0.000 = Am + Ab (1 + 0. que una anualidad indefinida o perpetuas.5753R + 10.02)−24 1´200. es aquella que tiene muchos flujos de caja (ingresos o desembolsos).778. claro.A = R[ 1 − (1 + i)−n ] i 1 − (1 + 0. Teniendo en cuenta que en este mundo todo tiene fin.0612)−4 At = R/3 [ ] = 1.02 1 − (1 + 0. solo existe valor presente que viene a ser finito. En realidad las anualidades 43 .0404)−6 Ab = 2R [ ] = 10. se puede definir. suponiendo que éstos son iguales en cada uno de los períodos.10 bimestral R = 20. de ahí que el valor presente de una perpetuidad es: A= R i Ejemplo 1: Los exalumnos de una universidad deciden donarle un laboratorio y los fondos para su mantenimiento futuro. Si el costo inicial es de $ 20. La anualidad perpetua vencida se representa en un diagrama económico de la siguiente manera: R 0 2 1 i 3 4 A Sabemos que el valor presente de una anualidad está dada por: A = R [ 1−(1+i)−n i ].000/anual 1 2 3 i=15% 4 A PAGOS = DEUDAS A = 20.000 + 5000 = 53. entonces (1 + i)−n .000 0 R=5. Hallar el valor del fondo. hallar el valor de la donación. si la tasa efectiva es de 15% anual.000 y el mantenimiento de estima en $ 5. con una tasa de interés del 18% efectiva.perpetuas o indefinidas no existen. FF 20. la junta de gobierno decide establecer un fondo a fin de realizar las reparaciones futuras. si se aplica el limite cuando n→ ∞.33 0.000 anuales.333.15 Ejemplo 2: Para mantener en buen estado las carreteras municipales.000 cada 5 años. tiende a ser cero (0). 44 . que se estiman en $ 20´000. Para que una serie de flujos de caja se consideren un gradiente. 45 . por lo cual. DEFINICION Se denomina gradiente a una serie de flujos de caja (ingresos o desembolsos) periódicos que poseen una ley de formación. que hace referencia a que los flujos de caja pueden incrementar o disminuir. (1 + i)n − 1 S = R[ ] i (1 + 0.000 = R [ ] 0. diferidas y generales que se trataron anteriormente son los mismos y se manejaran en idéntica forma. en una cantidad constante o en un porcentaje.Debemos establecer la cuota anual.84 anual A= 2´795.18 R = 2´795. como también aquellas que aumentan o disminuyen en un valor porcentual.871.18 1.556. que básicamente la única condición que cambia entre las anualidades y las anualidades con gradientes aritméticas y geométricas es que el valor de los flujos de caja varía y las demás condiciones no se modifican.556.. Los flujos de caja deben ser periódicos Los flujos de caja deben tener un valor un valor presente y futuro equivalente.15 ANUALIDADES CON GRADIENTE ARITMETICO Y GEOMETRICO Analicemos una serie de flujos de caja (ingresos o desembolsos) que crecen o decrecen en un valor uniforme o constante. anticipadas. Es conveniente afirmar. con relación al flujo de caja anterior.31 0.1.18)5 − 1 20´000.84 = 15´530. los conceptos de anualidades vencidas. deben cumplir las siguientes condiciones: Los flujos de caja deben tener una ley de formación. si los flujos se presentan en períodos posteriores a la fecha de realizada la operación financiera. en la cual cada flujo es igual al anterior incrementado o disminuido en una cantidad constante y se simboliza con la letra G y se le denomina variación constante. Si el primer flujo se posterga en el tiempo.. Las combinaciones anteriores también se presentan para el gradiente lineal decreciente. 46 . Valor futuro. En el caso en que los flujos de caja aumenten en cada período en un porcentaje y se realizan al final de cada período se tiene un gradiente geométrico creciente vencido. Si los flujos de caja ocurren al comienzo de cada período se está frente a un gradiente lineal creciente anticipado. 1. que resulta de sumar los valores futuros de una serie de flujos de caja que aumenta cada período en una cantidad constante denominada gradiente (G). se genera el gradiente aritmético decreciente. Lo anterior ocurre con el gradiente geométrico decreciente.15. La cantidad de periodos deben ser iguales a la cantidad de flujos de caja. se presenta un gradiente lineal creciente diferido.Es la cantidad. se genera el gradiente aritmético creciente. Se tendrá un gradiente geométrico creciente diferido.1 GRADIENTE ARITMETICO O LINEAL Es la serie de flujos de caja periódicos. sí los flujos de caja se pagan al final de cada periodo. Cuando la variación constante es negativa. Cuando los flujos de caja crecen en una cantidad fija periódicamente. Cuando la variación constante es positiva. se presenta un gradiente lineal creciente vencido. se tiene un gradiente geométrico creciente anticipado.Es la cantidad. y si los flujos ocurren al inicio de cada período.. que resulta de sumar los valores presente de una serie de flujos de caja que aumenta cada período en una cantidad constante denominada gradiente (G). Valor presente(A) y futuro(S) de un gradiente aritmético o lineal creciente Valor presente. el valor de cualquier cuota puede ser calculado con la fórmula para cualquier termino.R+(n-1)G R+(n-2)G R+3G R+2G R+G R 0 1 2 3 4 n-1 n Para calcular el valor presente y futuro de una anualidad con gradiente aritmético utilizamos las formulas. R n = R + (n − 1)G 47 . A = R[ 1 − (1 + i)−n G 1 − (1 + i)−n n ]± [ − ] = AU ± AG (1 + i)n i i i (1 + i)n − 1 G (1 + i)n − 1 S = R[ ] ± [ − n] = SU ± SG i i i R = cuota inicial anticipada. creciente o decreciente AU = Valor presente de anualidad uniforme AG = Valor presente de anualidad con gradiente SU = Valor futuro de anualidad uniforme SG = Valor futuro de anualidad con gradiente Recuerde la serie de pagos o flujos de caja responden a las series o progresiones aritméticas. vencida o diferida i = tasa de interés de la transacción n = número de periodos G = gradiente aritmético (ley de formación). hallar el valor del automóvil. i=2% R=600 G=2 1 0 A = 600 [ 17 3 2 18 1 − (1 + 0.14 Ejemplo 2: Una vivienda se está cancelando con 120 cuotas mensuales que decrecen en $ 10 cada mes. siendo la primera cuota $ 1.5% mensual.483.885.02 0.995.270.015)−120 10 1 − (1 + 0.015)120 0.015 0. y el valor de la primera es de $ 600. Si la tasa de interés es del 2% mensual.02 0.270 [ 2 3 119 120 1 − (1 + 0.02 A = 8.015 0.015)−120 120 ]− [ − ] (1 + 0.234.015 A = 70.270 + (60 − 1)(−10) = 680 48 .270 i=1. que aumentan cada mes en $ 2.02)18 0.04 − 23.Ejemplo 1: El valor de un automóvil se cancela en 18 cuotas mensuales.11 = 46. R=1.597.02)−18 2 1 − (1 + 0.02)−18 18 ]+ [ − ] (1 + 0.5% G=10 0 1 A = 1.93 R 60 = 1. calcular el valor de la vivienda y el valor de la cuota 60.92 = 9.22 + 238. Si la tasa de financiación que se cobra es del 1. 02)−12 12 A = [3.Ejemplo 4.12](1.015)−9 Calculo de A por los dos métodos: 1 − (1 + 0.339.000 + 30.02) = 38.726.61 Ejemplo 5: ¿Con cuántos pagos mensuales que aumentan en $ 50 cada mes.5% mensual.8% mensual y la primera cuota es de $ 2000?¿Cuál será el valor de la cuota 20? 49 . pero el primer pago por valor de $ 3.100 [ ]+ [ − ] (1 + 0.02 A = 3.5% 0 1 2 7 8 9 G=100 10 18 19 20 A X X = A(1 + 0.00 1 − (1 + 0.268.02 A = [31.039. si la tasa de interés es del 2.000 i=1.02 0.000 se realizó 9 meses después de la fecha de la negociación. y la tasa de interés es del 2% mensual.000.039.02)−12 100 1 − (1 + 0.02)−11 100 1 − (1 + 0.02)11 0.02 0.02)−11 11 A = 3000 + 3.015)−9 = 33.02)12 0.00 X = 38.02 0.02 0.02 + 5.699. i=2% R=3.039(1 + 0.77 = 38. Durante los primeros 9 meses se cobró una tasa de interés del 1.23 + 4.567.000 [ ]+ [ − ]] (1 + 0. se cancela el valor de una obligación de $ 60.02) (1 + 0. Calcular el valor de un préstamo que se está cancelando en 12 pagos mensuales que aumentan cada mes en $ 100. i=2.36) y = y1 + y2 − y1 (x − x1 ) x2 − x1 y = 35 + 36 − 35 (60000 − 59997.88 59997.002 n = 35 Cuota 20: R 20 = 2000 + (20 − 1)(50) = 2. se hacen depósitos semestrales.01 − 59997. n (y) 30 31 32 33 34 35 36 VR (x) 52761.500.37) 61385.01 (59997.028)n 0.000 = 2000 [ ]+ [ − ] (1 + 0.028)−n n 60.37 61385. que aumentan cada semestre en $ 130. durante 12 años.8% R=2000 0 G=50 1 2 n-1 n 60000 1 − (1 + i)−n G 1 − (1 + i)−n n A = R[ ]± [ − ] (1 + i)n i i i 1 − (1 + 0.35)(61385.028 0.028 Para encontrar n utilizamos interpolación lineal.55 58589.950 Ejemplo 6: En una institución financiera que reconoce una tasa de interés del 4% semestral.028 0.38 54248.28 55715. 50 . Si el valor del primer depósito es de $ 1.37.34 57162. calcular el valor acumulado al final del año doce.028)−n 50 1 − (1 + 0.37 y = n = 35.01. 46 S = 107.025 0.04 0. R=600 i=2.j=4% R=1500 0 1 G=130 2 22 23 24 S (1 + i)n − 1 G (1 + i)n − 1 S = R[ ] ± [ − n] i i i (1 + 0. si se devenga un interés del 2.91 + 49.642.025)24 − 1 S = 600 [ ]− [ − 24] 0.5% G=15 0 1 2 22 23 24 S (1 + i)n − 1 G (1 + i)n − 1 S = R[ ] ± [ − n] i i i (1 + 0.018.04)24 − 1 130 (1 + 0. ¿cuál será el valor que se tendrá acumulado al cabo de 24 meses.025)24 − 1 15 (1 + 0.025 0.623.025 51 . si el depósito del primer mes es $ 600.37 Ejemplo 7: Una persona realiza depósitos en una institución bancaria que disminuyen en $ 15 cada mes.04)24 − 1 S = 1500 [ ]+ [ − 24] 0.5% mensual.04 S = 58.04 0. equivalente a una serie de flujos de caja periódicos que aumenta cada uno.009.15. VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE GEOMETRICO CRECIENTE VALOR PRESENTE. en un porcentaje fijo (j).S = 19. en un porcentaje fijo (j).. equivalente a una serie de flujos de R(1+j) R(1+j)2 0 R R(1+j)n-2 R(1+j)n-1 caja periódicos que aumenta cada uno.42 − 5.es el valor que se ubica en el futuro..400 1.2 GRADIENTE GEOMETRICO EXPONENCIAL Un gradiente geométrico es una serie de flujos de caja periódicos tales que cada uno es igual al anterior disminuido o incrementado en un porcentaje fijo (j). 1 2 3 n-1 S A A = R[ n 1−( 1+j n ) 1+i i−j ] (1 + i)n − (1 + j)n S = R[ ] i−j si i = j A= si i = j nR 1+i S = nR(1 + i)n−1 52 .42 = 14. con respecto al anterior. con respecto al anterior.409. VALOR FUTURO.es el valor que se ubica en el presente. R n = R(1 + j)n−1 VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE GEOMETRICO 3 R(1-j)n-1 2 R(1-j)n-2 1 R(1-j)2 R(1-j) 0 R DECRECIENTE n-1 n S A 1−j n A = R[ 1 − (1+i) i+j ] si i = j (1 + i)n − (1 − j)n S = R[ ] i+j A= nR 1+i si i = j S = nR(1 + i)n−1 R n = R(1 − j)n−1 A = valor presente de un gradiente geométrico. i = tasa de interés por periodo j = porcentaje fijo (j)que aumenta o disminuye 53 . S = valor futuro de un gradiente geométrico. 5% mensual.8 mensual.10)16−1 = 41.11 R n = R(1 + j)n−1 R16 = 10.345.000 0 j=10% 2 1 3 23 24 A 1+j n A = R[ 1 − (1+i) i−j ] 1+0.000. y un abono extraordinario en el mes 18 por valor de $ 5.772.000 y se cobra una tasa de interés del 3% mensual.EJEMPLO 1: Una obligación se está cancelando en 24 cuotas mensuales que aumentan un 10% cada mes.03) 0. calcular: a) El valor de la obligación. Si el valor de la primera cuota es $ 10.03 − 0.000.10 24 A = 10. b) El valor de la cuota 16. calcular el valor de la primera cuota.000 [ 1 − (1+0.48 EJEMPLO 2: Una persona desea comprar un apartamento que tiene un valor de $ 65.000(1 + 0. 54 . 24 cuotas que aumentan cada mes en el 1.10 ] = 549. i=2% R=10. se le plantea el siguiente plan: 20% de cuota inicial. si la tasa de financiación es del 2. 028) 0.54 R = 2.03)18 − (1 + 0.25R + 3.8% R j=1.546.03 − 0.500 [ ] = 68.000 = R [ 1 − (1+0.70 EJEMPLO 3: Calcular el valor futuro equivalente a 18 pagos que aumentan cada mes en el 2% si se cobra una tasa del 3% mensual.000 52.041.500 i=3% R=2.000 = A + 5000(1 + i)−18 1+0. siendo el primer pago de $ 2.028)−18 52.5% 0 A 1 2 3 17 23 18 24 65.015 24 52.02 55 .02)18 S = 2.015 ] + 5000(1 + 0.000 -13.000 = 20.147.500 j=2% 0 1 2 3 16 17 18 (1 + i)n − (1 + j)n S = R[ ] i−j (1 + 0.70 0.000 52.5.028 − 0.000 i=2. 022.025) 0.015 Saldo = 70.09 [ ] = 198.5% 0 2 1 3 59 60 61 119 120 S60 70. Calcule el saldo después de cancelada la cuota 60.025 − 0.022.962.012.025 − 0.000 a una tasa de interés del 2. por medio de 120 cuotas que crecen cada mes en el1.5% R j=1. i=2.49 0.000 = R [ 1 − (1+0.5% mensual.000(1 + 0. Método 1.49 = 109.EJEMPLO 4: Financiar una vivienda que tiene un valor de $ 70.015 ] R = 1.025)60 − (1 + 0.000 1+j n A = R[ 1 − (1+i) i−j ] 1+0.5%. (1 + i)n − (1 + j)n S = R[ ] i−j (1 + 0. R n = R(1 + j)n−1 56 .79 Método 2.09 Saldo después de cancelada la cuota 60.015)60 S60 = 1.015 120 70.025)60 − 198.012. 025 n A = 6.500.09 ) 0. R=6.472.10 Cuota 12.79 EJEMPLO 5: Calcular el valor presente de 18 pagos semestrales que disminuyen cada semestre en el 2.76 [ 1 − (1+0.015 60 A = 2.962.025 − 0.09 + 0.012.c.472.500 i=9% j=2.500 [ 1 − ( 1+0. La tasa de Interés es del 18% a. 57 .025 ] = 48.025) 0.09(1 + 0. siendo el primer pago de $ 6.s.R 61 = 1. Determine la cuota 12.015 ] = 109.76 1+j n A = R[ 1 − (1+i) ] i−j 1+0.5%.015)61−1 = 2.5% 0 2 1 3 16 17 18 A i= j 18% = = 9% semestral m 2 1−j n A = R[ 1 − (1+i) i+j ] 1−0.925. 504.000 1−j n A = R[ 1 − (1+i) i+j ] 1−0.000 se cancela con 15 cuotas mensuales que disminuyen en 1.38 Saldo después de la cuota 9.99 EJEMPLO 6: Un préstamo de $ 20. Saldo = 20.32 = 27.018 Saldo = 43.54 58 . R i=2% j=1. calcule el saldo después de cancelada la novena cuota. La tasa de financiación es del 2% mensual.919.500(1 − 0.750.018)9 ] 0.38 [ (1 + 0.02 + 0.750.018 ] R = 1.8% cada mes.02)9 − (1 − 0.000 = R [ 1 − ( 1+0.000(1 + 0.018 15 20.8% 0 2 1 3 8 9 10 14 15 20.86 − 15.R n = R(1 − j)n−1 R12 = 6.933.02)9 − 1.025)12−1 = 4.02 + 0.02 ) 0.437. 000 = R [ ] 0. 59 .000 a 18% convertible semestralmente que amortizara mediante 6 pagos semestrales iguales. el primero de los cuales vence dentro de 6 meses. AMORTIZACIÓN Y FONDOS DE AMORTIZACIÓN 2.09 R = 21.2 Fondo de Amortización Consiste en ahorrar una igual cantidad de dinero (R) en iguales periodos de tiempo con el objetivo de tener en el futuro una cierta cantidad.1 Amortización En el área financiera amortizar significa saldar una deuda gradualmente. Ejemplo 1: Roberto Calderón contrae hoy una deuda de $95.UNIDAD II 2. se extingue o se paga una deuda de $95. ¿Cuál es el valor del pago? 1 − (1 + i)−n A = R[ ] i 1 − (1 + 0. mediante pagos iguales en periodos iguales de tiempo.38 .09)−6 95. 2.177. Con 6 cuotas semestrales de R.000 a i = 9% semestral. 177. Los fondos de amortización son acumulación de pagos periódicos para liquidar una deuda futura.36 4824.60 19428.Ejemplo 2: Una persona desea acumular $154. haciendo pagos bimestrales vencidos.80 37253.56 16352. ¿Cuál es el valor del depósito? (1 + i)n − 1 S = R[ ] (1 + i) i (1 + 0.000 contraída al 12.36 3352.36 82372.25 4 21177.616% anual.82 68608.91 0. con una tasa de interés del 1% mensual.82 3 21177.31 32064.00 12627. 2.00 127064.55 19428.3 TABLAS DE AMORTIZACIÓN Los pagos que se hacen para amortizar una deuda se aplican para cubrir los intereses y a reducir el importe de la deuda.54 13763.3 i = 9% semestral Saldo Periodos Pago "R" Interés Amortización 0 Insol.36 6174.00 Ejemplo 4: Calcule el valor de los pagos y elabore una tabla de amortización para saldar una deuda de $6.01) 0.891. para lo cual realiza depósitos mensuales al inicio de cada mes. Ejemplo 3: Datos de ejemplo 1 6 pagos: R = 21.31 95000.90 6 21177.51 1748.000 = R [ ] (1 + 0. de una deuda actual.57 53606. mediante pagos periódicos.79 15002.81 17824.36 8550.000 con una tasa de interés i = 1% mensual. Clasificación de la anualidad: ACGVI 60 .000 en 5 meses.01)5 − 1 154. 95000.45 5 21177. Para visualizar mejor este proceso conviene elaborar una tabla de amortización que muestre lo que sucede con los pagos.36 7413. la amortización y el saldo.01 R = 29.00 1 21177. La amortización se refiere a la extinción.22 ∶Con 5 depósitos anticipados (R) se acumula $154.64 2 21177. la deuda. los intereses. si la deuda ha de quedar saldada al cabo de 16 meses. 80 787. una vez realizado el pago 3.99 8 819.02 713. En general.00 6552.06 31. es dueño de una parte del bien.02)−8 ] 0.06 6 819.47 552.60 4 819.4 DERECHOS ADQUIRIDOS POR EL DEUDOR (DD) Y SALDO A FAVOR DEL ACREEDOR (DA) En una transacción a crédito. ya no es propietario de todos los derechos sobre el bien.90 3 819.139. mientras que el acreedor. sino solamente de una parte (saldo a favor). determine los derechos del deudor.860.06 120.06 5300.47 6000.60 = 6000 DD = 2.99 0.69 2362. después que el deudor ha realizado algunos pagos.85 3118.000 = R [ Interés 1 − (1 + 0. DD + 3.12616)1 = (1 + i2 )6 i2 = 2% bimestral A = R[ 1 − (1 + i)−n ] i Período Pago "R" 6.75 5 819.82 1590.05 16.94 2 819.21 741.04 4587. en cualquier operación de amortización de una deuda.37 756.06 47.06 91.30 3860.06 62.02 Amortización 0 Saldo Insoluto 6000 1 819.40 61 .06 802.24 771.06 77.76 727.00 2.24 7 819. al haber recibido esos pagos.06 106.26 802.00 699.(1 + i1 )p1 = (1 + i2 )p2 (1 + 0. y en cualquier momento: ???????? ??? ?????? (??) + ???????? ??? ???????? (??) = ????? ?? ?? ???????ó? Ejemplo: Con los resultados del ejercicio 4. 000 i = 2% bimestral R = 819.860.06 1 − (1 + 0.506.60 0.02)3 − 819.04 + 727.02)3 − 1 − [6000(1 + 0.06 bimestral DA DD 0 1 2 3 4 5 6 7 8 DA DERECHOS DEL ACREEDOR 1 − (1 + i)−n DA = A = R [ ] i DA = 6.02)−24 90. DD = 699.000 y acuerdan pagar el resto con 24 mensualidades iguales con el 24% de interés convertible mensualmente.000(1 + 0.02)3 − 6000] 0.65 − 367.860.02 DD = 2.Este valor lo podemos comprobar con la suma de amortizaciones hasta el periodo 3. determinar los derechos del acreedor y del deudor. Una pareja de recién casados adquiere una casa en condominio que cuesta $160. Haga una tabla de amortización que muestre los tres primeros pagos y los 3 últimos meses de la operación. Pagan un enganche de $70.758.40 62 .000.02 DERECHOS DEL DEUDOR DD = S3 − I DD = 819. sin tomar en cuenta la tabla de amortización.60 0.40 Consideración: Con base al ejemplo 3.25 = 2.000 = R [ ] 0.06 [ ] = 3.02)−5 DA = 819.02)3 − 1 = 3.139.06 + 713. FF 6. Clasificación de la anualidad: ACGVI i= j m i= 1 − (1 + i)−n A = R[ ] i 24% = 2% mensual 12 1 − (1 + 0.02 ó (1 + 0.06 (1 + 0.02 R = 4.139.40 Ejercicio 5.30 = 2. 516.02 Saldo Período R I A 21 Insol.95 9238.67 0.92 80946.0117)−36 129.10 0.40 93.0117) 0.03 3 4758.45 4483.00 Ejemplo 6.11 Debemos calcular el saldo insoluto en el período 21.60 2 4758.40 [ 1 − (1 + 0.377.30 4665. El licenciado Montiel adquiere a crédito un despacho en condominio que cuesta $185.83 3017.40 184.758.0117 R = 4.72 23 4758.0117)−6 DA = 4.57 84024. 1 − (1 + i)−n DA = A = R [ ] i DA = 4. ¿Qué cantidad tendría que pagar al cabo del trigésimo mes para adquirir la totalidad de los derechos sobre el despacho? Clasificación de la anualidad: ACGAI i= j m i= 14% = 1.0117 63 .30 [ ] (1 + 0. Si la tasa de interés que paga es del 14% anual convertible mensualmente.40 87041.00 2958. 90000. 13722.722.377.08 0.500 = R [ ] (1 + 0.67 22 4758.10 24 4758.30 1 − (1 + 0.40 274.0117) = 25.02)−3 ] = 13.Saldo Período R I A 0 Insol.63 4665.77 4573. o lo que es lo mismo los derechos del acreedor en el mismo período.17% mensual 12 1 − (1 + i)−n A = R[ ] (1 + i) i 1 − (1 + 0.48 3077.00 1 4758.40 1800.40 1740. paga el 30% de enganche y se compromete a pagar el saldo mediante pagos mensuales anticipados durante 3 años.000 en efectivo.40 1680. 71 162. Período R I A 0 Saldo 14490.490(1 + i) = R [ ] i i= j m i= 1 − (1 + 0. Si una persona adquiere uno de esos aparatos el 31 de Octubre: ¿Cuál es el valor de cada uno de los pagos? FF 14.80 6 2837.71 240.70 14924.90 4 2837.80 2596.54 12995.000.71 316.65 2755.70 2 447.90 7 2837.09 0.74 15372.44 2521.m 0 1 2 3 4 R/mensual 5 6 7 8 A Clasificación de la anualidad: ACGVD 36% = 3% mensual 12 1 − (1 + i)−n 2 14.27 8026.91 5429.500 y el tercero y cuarto por $2.00 Ejemplo 8: Una deuda de $8.88 2447.Ejemplo 7: En Septiembre.c.837.90 2674.490 i = 36%a.44 3 2837.83 10548.08 8 2837.71 Construya una tabla de amortización que muestre el comportamiento de la operación.71 389.07 5 2837.03)−6 14.17 2376.00 1 434.000 se habrá de amortizar mediante 5 pagos mensuales vencidos. los dos primeros por $1.490(1 + 0.490 a pagar en 6 abonos mensuales iguales con 36% de interés convertible mensualmente. El primer pago se debe realizar el 31 de enero del año siguiente.74 82. Calcule el importe del 64 .71 461.03 2 R = 2. un almacén ofrece en venta un aparato de televisión en $14.03) = R [ ] 0.81 2755. 29 36.12 1548.33% 12 R I A 0 Saldo 8000.03)−6 16.64 2 1500.953.64 1313.00 156.00 Ejemplo 9: Una persona tiene una deuda de $16.quinto pago para saldar totalmente la deuda si la operación se pactó a 28% anual convertible mensualmente.953.64 3 2000.03)−(6−k) 8.5 TIPOS DE AMORTIZACION Existen varios métodos para amortizar una deuda.17 5 1584. ¿Cuántos pagos le faltan por hacer si el saldo de su deuda es de $8.000 que convino en pagar con pagos bimestrales vencidos e iguales durante un año con intereses a 18% convertible cada 2 meses.00 1344.000 = R [ ] 0.1 Amortización Gradual (Método Francés) 65 . sin embargo trataremos los que son de uso más comunes: 2.56 bimestral 1 − (1 + 0.47? Clasificación de la anualidad: ACGVI i= j m A = R[ i= 18% = 3% bimestral 6 1 − (1 + i)−n ] i 1 − (1 + 0.36 3467.03−(6−k) −(6 − k) = −3 − (6 − k) = log 0.47 [ ] 0.47 = 2.00 80.03 −0. Clasificación de la anualidad: ACGVI i= j m i= Período 28% = 2.89 1919.36 6686.28 4 2000.915142 log 1.354.64 1875.03 k=3 2.5.00 1 1500.00 124.915142 = −1.00 5342.03 R = 2.00 186.354.11 1548.17 0. 39 548.2 Amortización Constante (Método Alemán) En este sistema.68 4.32 2 147.00 123. el valor total de la cuota disminuye con el tiempo. Calcular el valor de la cuota y construir la tabla de amortización por el método de amortización constante Período Cuota Intereses Capital Saldo Insoluto 0 1 600.5.38 6 147. lo que da lugar a que cada pago sea menor que el anterior.07 800.00 500.68 24. pero los intereses se reducen a medida que la amortización de capital se incrementa.15 282.20 143.68 8. Ejemplo: Paulette recibe un préstamo de $ 600.47 131.68 16.07 86.00 2.29 127. Calcular el valor de la cuota y construir la tabla de amortización por el método de amortización gradual.00 para cancelarlo mediante cuotas mensuales a una tasa del 3% mensual.68 676.00 1 147.48 139.68 12.00 118.57 5 147.38 0 Total 886. es decir es mayor que la del pago anterior. Ejemplo: Werner toma un préstamo de $ 800. Período Cuota Intereses Capital Saldo Insoluto 0 800.00 100.00 18.72 4 147.93 3 147.00 66 . el componente de amortización del capital permanece constante pero el interés va disminuyendo.00 para cancelarlo mediante cuotas mensuales a una tasa del 3% mensual.En este sistema el valor de las cuotas o abonos permanece constante.30 143.68 20.21 417.53 135. 00 27.00 27.00 300.00 0 2.00 Capital 0 0 0 0 0 900. Las cuotas de interés son constantes e iguales a la tasa por el valor del préstamo.00 100.00 27.2 115.00 Intereses 27. Ejemplo: Aarón recibe un préstamo de $ 900.00 12.00 27. esta incluye el valor original del préstamo más los intereses del período.00 1062.00 100.00 900.00 2.00 27.00 Saldo Insoluto 900.00 4 109.00 900.00 900.00 100.00 900.00 para cancelarlo mediante cuotas mensuales a una tasa del 3% mensual.00 100. La desventaja es que la última cuota es muy alta.5.00 27.00 400.3 Amortización (Método Americano) Se caracteriza por tener las primeras n-1 cuotas de amortización de capital nulas (0). 67 .00 27.00 15.00 27.00 162. el fondo de amortización consiste en ahorrar una cantidad igual de dinero (R) para cubrir una obligación en el futuro.00 27.00 900.00 100.00 3 112.00 600.00 3.00 0 Total 663. Calcular el valor de la cuota y construir la tabla de amortización por el método de amortización americano.00 5 106. con la misma tasa de interés.00 927.00 900. Período 0 1 2 3 4 5 6 Total Cuota 27.00 6 103.00 9.6 TABLAS DE FONDO DE AMORTIZACION Como se vio en la parte introductoria.00 63.00 200.00 100.00 6. 27 47309.27 47309. para lo cual crea un fondo de amortización con depósitos mensuales a una tasa de interés del 1% mensual.00 47309.00 473.31 R = 47.000 (1 + i)n − 1 S = R[ ] i (1 + 0.19 48742.50 600000.000 = R [ ] 0.27 47309.27 47309.95 2413.92 1433.27 47309.27 47309.50 0.01)12 − 1 600.47 3412.09 950.52 50219. Construya la tabla de amortización del fondo.309.000 si la tasa de interés es del 30% anual convertible mensualmente? ¿Cuál es el valor del último pago (en los dos casos)? 68 .08 391989.63 143351.94 51229.19 47309.01 Periodo Deposito Intereses R 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 47309.27 47309.16 51741.00 Ejercicio No.27 95091.03 443218.74 50721.000 en un año.60 5472.19 494959.45 52258.18 4949.25 2910.27 47309.67 3919.52 1920.27 47309. R/mensual 0 1 2 I = 1% mensual 3 11 12 600.27 47309. 11 ¿Cuántos pagos mensuales de $125 son necesarios para cancelar una deuda de $ 2.EJEMPLO 10: Una empresa tiene que liquidar $600.34 341267.64 547218.27/mes Total Saldo al Fondo 0.27 47309.82 192094.87 52781.79 49230.36 48260.89 4432.27 47782.82 291047.61 241324.22 49722. R=$125 mes j=30%a.c.m …….. 0 1 ….. 3 2 n-1 n $2.000 Clasificación de la anualidad: ACGVI ?=? ? − (? + ?)−? ? 2.000 = 125 1 − (1 + 0.025)−n 0.025 −0.60 = −1.025−n log 1.025−n = log0.60 −n log1.025 = log 0.60 −n = −20.69 1. −n= log0.60 log 1.025 n = 20.69 Sería necesario realizar 19 pagos de $ 125 y un pago final mayor FF R=$125 mes j=30%a.c.m …….. 0 1 2 3 R20 ….. 19 20 S+x $2.000 2000(1 + i)19 = S19 + x 2000(1 + 0.025)19 = 125 (1 + 0.025)19 − 1 +x 0.025 69 x = 204.05 R 20 = 204.05(1 + 0.025) = $209,15 2. Hacer 20 pagos de $ 125 y un pago final menor. 2000(1 + 0.025) 20 (1 + 0.025)20 − 1 = 125 +x 0.025 x = 84.15 R 21 = 84.15(1 + 0.025) = $86.25 Ejercicio No. 12 Audrey para adquirir su vivienda recibe del Banco de Aarón un préstamo hipotecario de $50.000 a 15 años plazo, a ser cancelado mediante pagos mensuales a una tasa del 17,5% a.c.m. Se desea conocer el valor de la cuota mensual y reconstruya la tabla para los últimos 5 periodos. R=mensual j=17.5%a.c.m …….. 0 1 2 3 ….. 179 180 $50.000 Clasificación de la anualidad: ACGVI ?= ??. ?% = ?. ???% ??????? ?? ?=? ? − (? + ?)−? ? 70 50.000 = R 1 − (1 + 0.01458)−180 0.01458 A175 = 787.29 R = 787.29 1 − (1 + 0.01458)−n A175 = 3.769,96 0.01458 Interés Amortización Saldo Período R 175 787,29 176 787,29 54,97 732,32 3.037,64 177 787,29 44,29 743,00 2.294,63 178 787,29 33,46 753,83 1.540,80 179 787,29 22,46 764,83 775,98 180 787,29 11,31 775,98 0,00 insoluto 3769,96 71 -Es el que comienza con un flujo de efectivo negativo que representa la inversión inicial y posteriormente siguen una serie de flujos positivos hasta el final de la vida útil. Dependiendo de la clase de proyectos. MÉTODOS PARA EVALUAR PROYECTOS DE INVERSIÓN Introducción: Existen métodos para evaluar la conveniencia o no de un proyecto de inversión.. Así se puede mencionar los siguientes tipos de proyectos: Proyecto Convencional. En estos proyectos se aceptan cuando la TIR es menor que el costo de capital. Ejemplo de esto es la compra de una acción o bono.UNIDAD III 3. Ejemplo de ello tenemos en un seguro de por vida para jubilación en donde la aseguradora recibe una cierto valor. Los criterios de aceptación TIR y VAN coinciden. Proyectos Independientes. estos pueden crear conflicto en los criterios de decisión del VAN y TIR.-Cuando la secuencia de los flujos de efectivo es diferente al del proyecto convencional. Periodo de Recuperación Descontado. por un lado tenemos los métodos contables que no consideran el valor del dinero en el tiempo y por otro los que si lo toman en cuenta entre ellos tenemos el Valor Actual Neto VAN. estos pueden originar que la decisión aplicando los criterios de aceptación de los métodos mencionados anteriormente no coincida. 72 .La selección de emprender un proyecto de un grupo no requiere ni excluye que se seleccione cualquier otro u otros e inclusive todos. para luego desembolsar una anualidad durante la vida del jubilado. Proyecto No Convencional. Tasa Interna de Retorno TIR. Proyectos Mutuamente Excluyentes.-Cuando de un conjunto de proyectos se elige un proyecto que compite por los limitados recursos que tiene una empresa, por lo que se deja de lado los otros proyectos, se decide por el que genere un mayor rendimiento. Puede generar decisiones contrarias del TIR y VAN. Proyectos Contingentes.- La selección de un proyecto está condicionada a la elección de uno o más del resto del grupo. Los criterios para evaluar proyectos de inversión brevemente se refieren a: Valor presente neto (VAN) Es la suma de los flujos netos de caja actualizados, menos la inversión inicial. El proyecto de inversión, según este criterio, se acepta cuando el valor presente neto es positivo, dado que agrega capital a la empresa. Tasa interna de rentabilidad (TIR) Es la tasa que hace que el valor presente neto sea igual a cero, o tasa que iguala la inversión inicial con la suma de los flujos netos actualizados. Según la TIR, el proyecto es rentable cuando la TIR es mayor que la tasa de costo de capital, dado que la empresa ganará más ejecutando el proyecto, que efectuando otro tipo de inversión. Período de recuperación o Payback: Es el tiempo necesario para recuperar la inversión inicial. Según este criterio, el proyecto es conveniente cuando el período de recupero es menor que el horizonte económico de la inversión, dado que se recupera la inversión inicial antes de finalizado el plazo total. Existen dos métodos: 1.- Payback contable: Donde se consideran únicamente los flujos netos de cada periodo, para determinar el tiempo que se tomará para recuperar el dinero invertido. El inconveniente de este método es el que no toma en cuenta el valor del dinero en el tiempo, por lo que es preferible optar por el siguiente método. 2.- Payback Discount ó Periodo de Recuperación Descontado: Este método, para el cálculo del tiempo que se requiere para recuperar el dinero invertido utiliza los flujos descontados; por esta razón su uso más generalizado. 73 3.1 TASAS DE INTERES-TMAR-COSTO DE OPORTUNIDAD Para dar inicio a este estudio es importante tener el conocimiento de lo que es la combinación de tasas, concepto que nos ayudará a explicar lo que es la Tasa Real y posteriormente el cálculo de la TMAR 3.1.1Combinación de Tasas Si un capital P está expuesto a una tasa i1 y simultáneamente a una tasa i2 tenemos que esto equivaldría a tener a P con una tasa ie equivalente; como sigue: P (1+ie) = P (1+i1) (1+i2) (1+ie) = (1+i1) (1+i2); ie = (1+i1) (1+i2) – 1; ie = 1+i1+ i2 + i1 i2 –1; ie = i1+ i2 + i1 i2 3.1.2 TASA DE INTERES REAL Cuando existe inflación, la tasa efectiva, no expresa el verdadero rendimiento de una operación financiera, entonces se convierte en una tasa aparente, pues parte del rendimiento es consumido por la inflación. La tasa real es la que expresa el poder adquisitivo de la tasa de interés. Por lo expuesto anteriormente, las tasas de interés real influyen significativamente en las economías de mercado, tanto en el ahorro como en los endeudamientos, y en las decisiones de inversión para poder calcular su rentabilidad. El economista Irving Fisher, basado en la combinación de tasas, estudió la relación entre la tasa efectiva aparente (i), la tasa de inflación (d) y la tasa real (r), llegando a obtener la siguiente fórmula para encontrar la tasa de interés real. ?= ???? ???????? − ???? ?? ???????ó? ∗ 100 1 + ???? ?? ???????ó? ?= ?−? ∗ 100 1+? Fórmula de Irving Fisher (Nota: i, d expresadas en forma decimal, r esta expresada en % al multiplicar por 100) Cuando la tasa real es positiva r >0 indica que se produce una ganancia; 74 Cuando la tasa real es negativa r <0 indica que se produce una pérdida; La Ganancia Real o Pérdida Real está expresada por la multiplicación de la tasa real por la cantidad invertida C. GR = C.r Ejemplo: Calcular la tasa de interés real que se cobra en un país cuya tasa de interés efectiva es 15% y la tasa de inflación o variación porcentual del índice de precios al consumidor es 20% ¿ Cuánto gana o pierde una empresa que invierte $ 100.000.000 en 1 año?. Solución: ?= ?−? ∗ ??? ?+? ?= ?. ?? − ?. ?? ∗ ??? ? + ?. ?? ? = −?. ????% ?? = ???. ??? ∗ (−?. ??????) = −$?. ???, ?? Respuesta. Pérdida de $ 4.166.70 3.1.3 TASA MÍNIMA ACEPTABLE DE RENDIMIENTO (TMAR) A esta tasa también se la conoce como TREMA (Tasa de Rentabilidad Mínima Aceptable). Todo inversionista, sea este una persona natural o jurídica o el estado, tiene en mente obtener un beneficio al colocar su dinero; en el caso del gobierno si bien no espera lucrar, al menos espera salir a mano en sus beneficios respecto de sus inversiones, para que no haya un subsidio en el consumo de bienes o servicios y no aumente el déficit del propio gobierno. Por lo tanto, cualquier inversionista deberá tener una tasa de referencia sobre la cual basarse para hacer sus inversiones; esta tasa de referencia es la base de comparación en las evaluaciones económicas que haga. Si no se obtiene cuando menos esa tasa de rendimiento, se rechazará la inversión. Para establecer esa tasa debe considerarse que todo inversionista espera que su dinero crezca 75 pero como el inversionista quiere que su dinero crezca más allá del índice inflacionario.0309 = 0. Tanto los valores de la inflación como la de riesgo país a una determinada fecha en el Ecuador la podemos encontrar en la página del Banco Central del Ecuador www. crecer en términos reales significa ganar un rendimiento superior a la inflación. El riesgo-país se mide en "puntos básicos" o "basicpoints". se puede tomar como referencia el índice inflacionario.bce. ya que si se gana un rendimiento igual a la inflación el dinero no crece. ???? = ? + ? + ? ∗ ? ???? = 0. aunque su valor sea pequeño. debe ser 17. que en nuestro caso consideraremos al porcentaje de riesgo país. Entonces. i= Tasa riesgo país. siendo 100 puntos básicos equivalentes a 1% de rentabilidad. sino mantiene su poder adquisitivo. Por ejemplo.02 puntos porcentuales más alto que el rendimiento de los títulos de Estados Unidos.1702 ∗ 0. Como en todos los países hay inflación. La fórmula para el cálculo es la siguiente: TMAR = Tasa de Inflación + Premio al Riesgo Y nuevamente aplicando la combinación de tasas tenemos: TMAR = f + i+ if Donde: f= Tasa de inflación.ec.1702 + 0. tabla que se presenta a continuación. significa que en promedio el rendimiento para el inversor que adquiere hoy títulos ecuatorianos.2064 76 . hay otro factor que influye en la TMAR. que el riesgo-país de Ecuador es 1702 puntos básicos.0309 + 0. Siendo así tenemos que al 23 de Febrero del 2016: Si la inflación anual se ubica en el 3.09% en el país y.gov.en términos reales. que es el premio al riesgo. aportará $250 millones a un Interés de 27. el capital preferente y el capital común.1. Mientras que. El resto se financiara con préstamos a dos Instituciones financieras. sea esta una persona natural o jurídica. que se deja de percibir o que se sacrifica al invertir en otra opción o proyecto. seguramente la institución financiera no pedirá el mismo rendimiento al dinero aportado.G. cuando esa entidad pide un préstamo a cualquier institución financiera para constituir o completar el capital necesario para la empresa. ¿cuál es el costo de capital o TMAR mixta para esta empresa? Solución.4 TMAR como Costo de Oportunidad y como Costo de Capital Costo de Oportunidad: Se refiere al costo (%).A. requiere $1. Cuando una sola entidad. que el rendimiento pedido a la aportación de propietarios de la empresa.???? = 20. la Cooperativa Pauletty S. por lo que dicho costo se enfoca hacia el empleo en los presupuestos de capital. se habla de un costo de capital mixto. La TMAR mixta se calcula como un promedio ponderado de todos los aportes de capital de la empresa.64% 3. Cuando se da el caso de que la constitución de capital de una empresa fue financiada en parte.250 milles.A. El costo del capital se utiliza primordialmente. la deuda. Cuando se presenta este caso se le llama Costo de Capital Simple. Ejemplo: M. Los accionistas aportan sólo cuentan con $700 miles. El Banco de Aarón aportará $300 miles por los que cobrará un interés del 25% anual. para tomar decisiones de inversión a largo plazo. nombre derivado del hecho que está compuesto por el costo financiero de sus fuentes de financiamiento a largo plazo. El cálculo de este costo se presenta en el siguiente ejemplo. Sin embargo. Costo de Capital: La TMAR también se le llama Costo de Capital. Si la TMAR de los accionistas es de 30%. Entidad Aportación Porcentaje Promedio Rendimiento de TMAR 77 .5% anual. es la única aportadora de capital para una empresa el costo de capital equivale al rendimiento que pide esa entidad por invertir o arriesgar su dinero. Ejemplos 1. 250 0.A.0 30% 0.2 27.3%. en el año cero. El VAN consiste en descontar o trasladar al presente todos los flujos futuros del proyecto a una tasa de descuento que puede ser (el costo del capital o financiero.168 0.283 La TMAR mixta de esta empresa es 28.2 VALOR ACTUAL NETO (VAN) También es conocida como valor presente neto (VPN) de un proyecto de inversión y no es otra cosa que su valor medido en dinero de hoy. que representan cada uno de los años. 3. o la inflación promedio pronosticada).000 (600 en miles de dólares). A la extrema izquierda colóquese el momento en que se origina el proyecto o tiempo 78 . el costo de oportunidad.50% 0. Ahora será explicada más claramente esta definición.Accionistas Banco de Aarón 700 aportación 0. si se quiere representar los flujos netos de efectivo por medio de un diagrama. o en otras palabras. sumarlas todas y restarlas a la inversión inicial en tiempo cero. calcular el VAN al 10% y la tasa interna de retorno (TIR). Una empresa estima los siguientes flujos de caja durante 6 años de un proyecto X.06 Cooperativa Pauletty S. Trácese una línea horizontal y divídase ésta en cinco partes iguales. el equivalente en unidades monetarias actuales de todos los ingresos y egresos presentes y futuros que constituyen el proyecto. este podría quedar de la siguiente manera: Tómese para el estudio un horizonte de tiempo de por ejemplo cinco años.24 25% 0. Si se considera el costo del capital r = 10% y una inversión inicial de $600.055 Suma 1250 1.56 300 0. Es claro que para aceptar un proyecto las ganancias deberán ser mayores que los desembolsos. se usa una “tasa de descuento”. pero cuando se quiere pasar cantidades futuras al presente. en términos de su valor equivalente en este momento o tiempo cero. y entonces aparecería en el diagrama de flujo una flecha hacia abajo. y a los flujos traídos al tiempo cero se les llama flujos descontados. Cuando se hacen cálculos de pasar. Represéntense los flujos positivos o ganancias actuales del proyecto (empresa) con una flecha hacia arriba. lo cual dará por resultado que el VAN sea mayor que cero. aunque podría darse el caso en que determinado año hubiera una pérdida (en vez de ganancia). En éste caso el único desembolso es la inversión inicial en el tiempo cero. las ganancias de la empresa solo servirían para mantener el valor adquisitivo real que la empresa tenía en el año cero. como en este caso. llamada así porque descuenta el valor del dinero en el futuro a su equivalente en el presente. La definición ya tiene sentido. El cálculo del VAN para el período de cinco años es: ??? ??? ??? ??? ????% = −?? + (?+?)?? + (?+?)?? + (?+?)?? + (?+?)?? + ????% = −?? + ???? +?? (?+?)? ∑ ???? (1 + ?)? 79 . en forma equivalente. siempre y cuando de reinviertan todas las ganancias. y los desembolsos o flujos negativos con una flecha hacia bajo de la recta del proyecto. se utiliza una “i” de interés o de crecimiento del dinero. dinero del presente al futuro. Si para calcular el VAN se utiliza la tasa inflacionaria promedio pronosticada para los próximos cinco años. Sumar los flujos descontados en el presente y restar la inversión inicial equivale a comparar todas las ganancias esperadas contra todos los desembolsos necesarios para producir esas ganancias.cero. Proyecto 0 1 -II FNE1 2 FNE2 3 FNE3 4 FNE4 5 Tiempo FNE5 + Vs Valores $. que quiere ampliar operaciones. Si la tasa de interés (costo de oportunidad o costo del capital) empleada en el cálculo del VAN (cuando el proyecto tiene una participación mayoritaria de recursos propios y por tanto i interpreta el promedio de rendimiento que arroja el tipo de negocios en el que el inversionista espera participar. (disminuirá el capital de la empresa. el proyecto es indiferente. por lo tanto el proyecto es aceptable). es porque se han priorizado otros aspectos). VAN = 0 indica que el rendimiento del dinero invertido en el proyecto es exactamente igual a la tasa de interés i. Para una empresa en marcha. i debe consultar como mínimo el rendimiento actual sobre la inversión): Cuando VAN > 0. Si i es la tasa de interés utilizada en el cálculo del VAN (cuando el proyecto se financia con una participación relevante de créditos bancarios). es procedente acoger los lineamientos siguientes. VAN > 0 indica que el rendimiento del dinero invertido en el proyecto es mayor que la tasa de interés i. el proyecto es inconveniente. por lo tanto el proyecto es indiferente. por lo tanto es inaceptable). ( no aumentará ni disminuirá el capital de la empresa.Donde: II = Inversion Indicial FNE = Flujo de efectivo Vs = Valor de salvamento o rescate al final de la vida del proyecto i= Tasa efectiva Para tomar la decisión de emprender el proyecto con base en los resultados del VAN. el proyecto es atractivo. 80 . Si el proyecto se lleva a cabo. Cuando VAN < 0. tiene opciones. (aumentará el capital de la empresa. Cuando VAN = 0. VAN < 0 indica que el rendimiento del dinero invertido en el proyecto es menor que la tasa de interés i. La mayor dificultad es el supuesto de que los flujos netos de caja positivos son reinvertidos a la tasa de costo de capital. como así también sus vencimientos. Desventajas: 1.Ventajas del VAN: Analiza todos los flujos netos de caja. se debe relativar el VAN a fin de obtenerlo para cada año. a fin de obtenerlo por cada unidad de capital invertido 3. La dificultad para determinar la tasa del costo de capital 2. por lo tanto si se deben comparar proyectos con distinta duración. El VAN mide la rentabilidad en valor absoluto. trayéndolos a un mismo momento del tiempo. El VAN depende del horizonte económico de la inversión. al corresponder a distintas épocas se los debe homogeneizar. ya que depende de la inversión inicial. AÑO Inversión Inicial Ventas Costo de Op. por lo tanto si se deben comparar proyectos con distinta inversión inicial se debe relativizar el VAN. 4. y que los flujos netos de caja negativos son financiados con la misma tasa. .Depreciación 0 600 Utilidad sin impuestos FLUJO NETO DE CAJA ????% = −?? + ????% = −?? + AÑO Inversión Inicial Ventas -600 1 2 3 4 5 6 500 350 100 500 350 100 500 350 100 500 350 100 500 350 100 500 350 100 50 50 50 50 50 50 150 150 150 150 150 150 ??? ??? ??? ??? ??? ??? + + + + + (? + ?)? (? + ?)? (? + ?)? (? + ?)? (? + ?)? (? + ?)? ∑ ???? (1 + ?)? 0 1 2 3 4 5 6 500 500 500 500 500 500 600 81 . Adicionalmente la gráfica muestra un resumen para la toma de decisiones en el VAN o (VPN) y la TIR: Figura: Toma de Decisiones con el VAN (VPN) y la TIR 82 . La TIR es una característica propia del proyecto. .Depreciación Utilidad sin impuestos FLUJO NETO DE CAJA VAN(r=10%) 350 350 350 350 350 350 100 100 100 100 100 100 50 50 50 50 50 50 600 150 150 150 150 150 150 -600. totalmente independiente de la situación del inversionista.00 136. entonces TMAR = i). de su tasa de interés de TMAR (costo de oportunidad Co o del costo de capital Cc representada por i.14 84. es decir.29 VAN10% > 0 entonces es conveniente efectuar la inversión en el proyecto 3. en cuyo caso representa la tasa que iguala los valores presentes de los flujos netos de ingresos y egresos. En el gráfico se observa que el VAN es una función decreciente convexa que corta al eje x (o de las ordenadas) en el punto donde su costo es igual a la tasa de rentabilidad TIR.36 123.70 102.45 93.Costo de Op.29 ??? = 53.97 112..67 53.3 TASA INTERNA DE RETORNO (TIR) La TIR corresponde a la tasa de interés generada por los capitales que permanecen invertidos en el proyecto y puede considerarse como la tasa que origina un valor presente neto igual a cero. La inversión aporta dinero para solventar el proyecto y además suministra al empresario una utilidad. Si existen algunos flujos negativos. Desventajas: La inconsistencia de la tasa: cuando los FNC son todos positivos. al corresponder a distintas épocas se deben medir en un mismo momento del tiempo. las inversiones se denominan simples y existe una única TIR. La TIR mide la rentabilidad en términos relativos. Con esto lo que se quiere es tener dos tasas que 83 . 2. por lo tanto el proyecto no es rentable.El criterio para aceptación utilizando la TIR es: TIR >Cc: El rendimiento supera al costo de capital invertido. Ventajas: 1. por lo tanto el proyecto es rentable. TIR <Cc: El rendimiento no alcanza a cubrir el costo del capital invertido. por lo tanto el proyecto es rentable. Para el cálculo de la TIR se utiliza la interpolación tomando como punto de referencia inicial el costo del capital para posteriormente ir analizando cómo se comporta el VAN al subir puntos a ésta tasa o bajar a la misma. Considera todos los flujos netos de caja. así como su oportunidad. las inversiones se denominan "no simples" y puede existir más de una TIR. por lo tanto el proyecto es indiferente. por unidad de capital invertido y por unidad de tiempo. O sea que la TIR es inconsistente. TIR = Cc: Se cubre exactamente el capital invertido. ?? = ∑ ???? ?? 653. siendo el uno positivo y el otro VAN negativo.71 0. 0.71 . es decir mide la repercusión económica del proyecto a través de la rentabilidad.37) TIR = 12.29 ?? = = 1.12 (0 − 16.71) −0. Que un valor actual es inversamente proporcional a la tasa es decir que si sube la tasa baja el VAN y viceversa. La TIR genera un valor de VAN = 0.70 (16. y(TIR) y(VAN) 0.12 16.4 Índice de rentabilidad IR Se refiere al cociente entre el valor de los flujos de fondos actualizados y la inversión inicial efectuada.98% r2 − r1 VAN1 VAN1 − VAN2 TIR = 0.37 (−0.37 − 16.09 600 84 .12 + TIR = r1 + 0.generen VAN lo más cercanos a cero. Esta es una medida relativa.98% 3. conociendo que para interpolar: 1.13 − 0.13 − 0.14 -16.71 16.71 − (−0.13 -0. TIR = r1 + r2 − r1 VAN1 VAN1 − VAN2 Utilizamos la interpolación lineal.12 ∗ 16. 0.13) ?2 − ?1 (? − ?1 ) ?2 − ?1 ?(???) = 0.37 .71 ??? = 12. y que este valor es el de referencia para interpolar por lo que requiero adicionalmente dos valores de VAN uno + y otro – 2.12 + 0. que indica cuanto genera el proyecto por unidad monetaria invertida.12) ? = ?1 + 0. 45 meses 3. por regla de tres simple determinar el tiempo que toma para alcanzar la suma invertida.97+112.6 Relación Beneficio-Costo (B/C) Es un método complementario.67) se sobrepasa los 600. si se suma el año 6 (84.62. existen dos clases: Payback Contable: se recupera la inversión inicial en 4 años esto es (150 x 4 = 600). La relación beneficio / costo es un indicador que mide el grado de desarrollo y bienestar que un proyecto puede generar a una comunidad. Payback Descontado: para recuperar la inversión inicial se suma los flujos descontados y el último.45+93. entonces se determina la diferencia hasta llegar a los 600 que da -31. B/C = (Valor Actual Ingresos) / (Valor Actual Egresos) 85 . En el ejemplo tenemos: (136. Además en el campo de los negocios se usa para ver la factibilidad de los proyectos en base la relación de los beneficios y los costos asociados al proyecto.67 31.3. las inversiones en proyectos de desarrollo económico de las comunidades. La relación Beneficio/Costo se obtiene al dividir el valor actual de la corriente de beneficios para el valor actual de la corriente de costos. utilizado para evaluar. los gobiernos provinciales o locales para lo cual generalmente utiliza una tasa más baja denominada “Tasa Social”. una exigencia es que los proyectos sean evaluados con esta razón.45 meses Por lo tanto el Periodo de Recuperación Descontado es de 5 años 4.14=568. que realiza el gobierno central.5 PAYBACK DESCONTADO Es el tiempo en que se recupera la inversión inicial.38 en 12 meses x x = 4.70+ 102. Cuando los proyectos reciben financiamiento de entidades crediticias internacionales.36+123.38 y establece la regla de tres simple: 84. la misma generará ahorros en combustible a los vehículos por $1.000 Entonces la relación B/C = 28. Sin embargo los agricultores estiman niveles de pérdidas en la producción proyectada de $1. 2.000 = 7.000.000 anuales. Proporciona los siguientes datos para analizar si su inversión es rentable: 86 . y consecuentemente el proyecto es aconsejable. B/C = 1 Los ingresos son iguales a los egresos. Ltda.000. Si el proyecto genera riqueza con seguridad traerá consigo un beneficio social.000 / 25.500.000 = 1.000.000/0.000+7.000 anuales.000 al año. restaurantes y otros en $7. Determine si es factible el proyecto. Considerando una tasa del 25%. en consecuencia.Los valores que puede tomar esta relación tienen un significado: B/C > 1 Significa que los ingresos son mayores que los egresos. por otra parte aumentará el turismo a esa región estimando el aumento de utilidades en los hoteles.000. el proyecto generará riqueza a la comunidad.200.000. se ha previsto la construcción de una carretera alterna por un costo de $25. Si el resultado es mayor que 1.000.25 = $28. Ejemplo: Para comunicar dos poblaciones.500. entonces el proyecto es indiferente B/C < 1 El proyecto no es aconsejable.000-1.300.300. Calculamos los ingresos y egresos esperados: 1. significa que los ingresos netos son superiores a los egresos netos.15 Como la relación Beneficio – Costo es mayor que 1. el proyecto es aconsejable.800.000 La inversión en el periodo cero es: $25. Neplo Cía. los beneficios (ingresos) son mayores a los sacrificios (egresos) y. En otras palabras.000.200.000 Utilizando la fórmula de una perpetuidad actualizamos el valor al periodo cero: A = 7. 43 75 6 305 222.82 119.82 176.01 0.17 47.24% ????? 0 400 1 300 75 6 225 -400.41 2 300 3 300 4 380 5 300 75 6 225 192.000 $ 6.05 75 6 225 177.00 176.82 176.18 170.65 TIR 21.000 ?= 8% = 2% ?????????? 4 (1 + 0.65 Considere una tasa de impuestos del 22%.99 0.54 0.42 62.87 550.000 $ 75.92 183.43 233.82 139.000 $300.48 19.51 0.2 11.Inversión = Ingreso anual promedio = Costo anual de operación = Depreciación anual = $400.20 75 6 225 151.c.000 Calcule su valor actual neto y la TIR.t.82 163.18 75 6 299 65.44 0.21 0.22 -10.03% 0 400 1 300 2 300 3 300 4 380 5 300 75 6 219 48.4 VAN (x) 78.15 VAN (x) 74.37 0.22 239.78 75 6 219 48.18 75 6 219 48.42 87 . si se espera recuperar la operación en 5 años y se considera como costo de oportunidad el 8% a.00 207. calcule su valor actual neto y la TIR con los flujos después de impuestos manteniendo el mismo costo de oportunidad AÑOS INGRESO ANUAL COSTO DE OPERACIÓN DEPRECIACION UTILIDAD IMPUESTO (22%) UTILIDAD DESPUES DE I FLUJO DE CAJA VAN y(i) 0.18 75 6 219 48.65 170.74 TIR 51.35 0.22 174.6 0.82 -400.36 150.82 176.5 6.02)4 = (1 + ?)1 AÑOS INGRESO ANUAL COSTO DE OPERACIÓN DEPRECIACION FLUJO DE CAJA VAN y(i) 0.54 0.52 -5.88 0.28 170.82 170. En el año 4 existe un ingreso adicional de $80.06% ? = 8. no es posible obtener el dinero necesario en préstamo proveniente de una sola compañía. Estos documentos hacen más atractivas las inversiones. la banca privada. por lo que es necesario recurrir a las inversiones de varias personas. algunos gobiernos en vías de desarrollo han creado diversos tipos de certificados y bonos que tienden a aumentar la utilidad percibida por los exportadores.1 BONO: 1. En esencia. el prestatario 88 . con el objeto de incentivar las exportaciones no tradicionales. DEFINICIONES: 4. la banca nacional y las corporaciones financieras han creado y puesto en circulación varias clases de obligaciones comerciales. Documentos Financieros y Bonos En el campo de los grandes capitales requeridos para financiar las instalaciones industriales modernas o las grandes obras productivas que emprenden corporaciones o los gobiernos. Por otra parte. puesto que ofrecen mejor rentabilidad que las tradicionales cuentas de ahorro. Para agilizar estas inversiones se ha creado una forma de obligación que constituye un instrumento de crédito llamado bono.UNIDAD IV 4. como cédulas y certificados a término fijo. En los últimos años. Un bono es un documento a largo plazo emitido por una corporación o entidad gubernamental con el fin de financiar proyectos importantes. a un plazo perfectamente determinado. de modo que su producto hasta el vencimiento sea suficiente para traer a los inversionistas. los pagos de interés se los hace contra la presentación de cupones. Las leyes de cada país regulan las relaciones entre entidades emisoras y las personas propietarias o tenedoras de los bonos. en el caso de bonos registrados. que devenga intereses pagaderos en períodos regulares.recibe dinero ahora a cambio de una promesa de pagar después. hace referencia a su denominación el principal o capital que se señala en el bono es el valor nominal.000.1 PAGO DE INTERESES: En la mayoría de bonos. éstos se venden con frecuencia con descuentos mayores del 75% de su valor nominal. 4. a la persona registrada como tenedor del bono. tanto en el principal como en los intereses. Bono cupón cero no paga intereses periódicos. 1. emitido por un gobierno o entidad particular. Con frecuencias. solo pueden transferirse mediante endoso y con consentimiento del emisor. Tanto los cupones como el bono mismo son pagarés negociables. Los bonos que pueden transferirse libremente y cambiar de dueño por la simple venta se denominan bonos no registrados y se emiten al portador. 10. de manera que la tasa del cupón es cero. los cupones no son necesarios ya que los intereses se pagan directamente. El valor nominal representa la suma global que será pagada al tenedor del bono a la fecha de vencimiento. 500. un bono se compra con descuento (menor que el valor nominal) o con 89 .000.2 VALOR NOMINAL: Es aquel valor que se encuentra escrito o impreso en el bono al momento de la emisión. En caso que los bonos sean registrados. 2. Es una obligación o documento de crédito. éstos cupones están impresos en serie y ligados a la misma obligación y cada uno tiene impresa su fecha de pago. la tasa de interés de los bonos recibe el nombre de cupón. Con frecuencia. con interés pagado entre el momento en que el dinero se prestó y el momento en que es reembolsado. 4. Debido a ello. en general una denominación par que empieza en $100 y más utilizados son de $100.000 y 50.1. ) Ejemplo: Determine cuál será el monto de interés que recibirá por período si compra un bono de $5. en este caso se dice que el bono es redimible a la par. de la siguiente manera: A = F (valor nominal ). el valor de redención se expresa como un porcentaje del valor nominal omitiéndose la palabra por ciento. De otra forma.000 al 6 %. Solución: ?= 5. pero solamente el valor nominal.una prima (mayor que el valor nominal). Un bono de $ 1.000(0. se utiliza para calcular el monto del interés del bono. se deja al prestatario la opción de reintegrar el valor.050 se expresa como “un bono de $1. El reintegro del principal se efectúa en una fecha de vencimiento estipulada pero.000 al término de 10 años. 4.3VALOR DE REDENCIÓN: Es el valor que recibe el tenedor del bono. El monto del interés I pagado por período con anterioridad a la fecha de vencimiento del bono se determina multiplicando el valor nominal del bono por su tasa de interés por período.06) 4 = $75 En consecuencia. por lo general el valor de redención es igual al valor nominal.1. usted recibirá intereses de $ 75 cada trimestre adicional a la suma global de $ 5. no el precio de compra. antes del vencimiento. 90 . en algunos casos. el cual vence dentro de 10 años con intereses pagaderos cada trimestre.000 redimible en $ 1. r’ ( tasa nominal de interés del bono ) m (Número de períodos de pago al año. Normalmente se redime un bono en una fecha de pago de intereses. Por ejemplo.000 redimible a 105”. 4. según el precio de venta sea igual. 4. 3. Un bono comprado con descuento irá aumentando gradualmente su valor. a fin de calcular el rendimiento. con premio. (4) precio de redención. YIELD: La tasa yield es la tasa de retorno que se obtiene del bono basado en el precio que se pagó y el pago de intereses que se reciben. (5) las condiciones económicas imperantes.4.1. (3) tiempo que debe transcurrir hasta el vencimiento.2 PRECIO DE LOS BONOS: El precio de los bonos en el mercado de valores se fija por acuerdo entre el comprador y el vendedor. o con descuento (castigo). mayor o menor al valor nominal. 2. hasta igualar el valor de redención en la fecha de vencimiento y esto agrega un beneficio al valor de los cupones. Los rangos de maduración a menudo son descritos de la siguiente manera: 1.3 TASA INTERNA DE RETORNO (TIR O RENTABILIDAD): Para el cálculo de la tasa interna de retorno del dinero invertido en bonos. Plazo intermedio: maduración desde los cinco años hasta los doce años. este valor depende básicamente de los siguientes factores: (1) tasa de interés e intervalo de los cupones. (2) tasa de interés local para las inversiones. Los bonos pueden venderse a la par. La maduración de los bonos maneja un rango entre un día a treinta años. Si por ejemplo compró un 91 . Largo plazo: maduración de doce años en adelante.4 MADURACIÓN: La maduración de un bono se refiere a la fecha en la cual el capital o principal será pagado. Hay básicamente dos tipos de yield para los bonos: yield ordinario y yield de maduración. el inversionista debe tener en cuenta tanto el valor de los cupones como el valor de redención del bono. Corto plazo: maduración hasta los cinco años. El yield ordinario es el retorno anual del dinero pagado por el bono y se obtiene de dividir el pago de los intereses del bono y su precio de compra. En caso de que los bonos se compren con premio se produce una disminución paulatina del precio de compra que debe restarse del valor de los cupones. (6) confiabilidad en las garantías del emisor. veamos otro ejemplo.000). es el retorno total que se obtiene por tener el bono hasta su maduración. Los pagos A forman una anualidad vencida y su valor presente P al sumar al valor anterior el valor presente de C a la tasa i%.000 y los intereses son del 8 % ($ 80). si compró un bono a $ 900 y la tasa de interés es del 8 % ( $ 80) entonces el yield ordinario será de 8.89 % ($ 80/$900). F= valor nominal ( o la par del bono ) r = tasa de interés por período de pago del cupón n= número de períodos de intereses (o número de cupones). el yield ordinario será de 8 % ( $ 80 / $ 1. El valor actual del bono debe ser equivalente a la suma de los valores actuales de los derechos o flujos que compra. se tiene: 1 − (1 + ?)−? ?=? + ?(1 + ?)−? ? 92 . 4. El yield de la maduración. en la fecha de vencimiento. que es más significativo. Se designa A al valor de los intereses que paga el bono en cada fecha de pago (cupón) A = Fr. No recibirá el pago de interés vencido en la fecha de compra. Permite comparar bonos con diferentes cupones y maduraciones e iguala todos los intereses que se reciben desde la compra más las ganancias o pérdidas. o sea: Valor presente de los bonos = valor presente de los intereses + valor actual del principal Nomenclatura: C= precio de redención del bono P= precio de compra para obtener un rendimiento i.bono en $ 1. hasta la fecha de vencimiento i= tasa de interés sobre la inversión por período de cupón (rentabilidad o tasa interna de retorno TIR).4 PRECIO DEL BONO A UNA FECHA DE PAGO DE INTERESES O CUPÓN: Si un inversionista compra un bono en una fecha de pago de intereses adquiere el derecho a recibir el pago futuro de los intereses en cada período de pago y el valor de redención del bono. 000 .35 4. desde la fecha de compra hasta la fecha de redención.000. La tasa se la inversión es 1.12/12 = 0.025) 1 – (1+0. i = 0.01 mensual.035/2. C = 1050.025)-40 0. es redimible a 105 el primero de febrero del 2005. El valor en libros de los bonos comprados con premio o con descuento varía su valor hasta igualar al de redención. n = 40.0125 P = $9. elabore la tabla que permita observar el valor en libros del bono. Los. en la fecha de vencimiento.856. i = 0. Ejemplo: Un bono de $10.01 – 10. r = 0. F = 10.000 .Finalmente luego de algunos reemplazos y transformaciones la fórmula queda: ? = ? + (?? − ??) 1 − (1 + ?)−? ? Ejemplo: Un bono de $1. C = 10. r = 0.5 %.000 + (10.000 al 12% redimible a la par en 6 meses. 0. que reditúe 5% anual convertible semestralmente. 0.0125)-6 0.000.05/2. Representa la cantidad invertida en el bono en cualquier fecha o momento.5 VALOR EN LIBROS DE UN BONO Es denominado también valor contable o estimado del bono.0175 – 1050 .025 P = 830. n = 6 meses P=? P = 10. 3.000. Hallar el precio de compra el 1 de febrero de 1985.25% mensual. P = 1050 + (1000*0. F = 1000. con el transcurso del tiempo. 0.0125) 1 – (1+0. FA (febrero-agosto). El cambio de valor durante la vida del bono se observa con claridad al construir una tabla de inversión.0125 mensual.35 93 . 55 123.903.00 24.35 123.39 9.20 100.00 23. (2) Se obtiene al multiplicar el valor en libros al inicio del periodo por la tasa de inversión (i) periódica.879.000 + (1.926.879.00 23.08/2.000 al 8% convertible semestralmente.926.17 94 .856. es el precio de compra.00 24.04 3 9. mientras que si es comprado con premio es negativo.20 9.06/2.054.000. y a partir del segundo periodo es el valor en libros al final del periodo anterior.975.09 100. Si el bono es comprado con descuento es positivo. 0.950.65 600. F = 1.79 9.83 4 9.69 100. redimible a la par dentro de tres años.000 . n = 3 (2) = 6 P = 1.79 100.04 123.00 Totales 743.49 100.65 Claves: (1) En el primer mes o periodo.000.975. 0.00 23. (4) Es la suma del valor en libros al inicio del periodo más la variación del valor en libros.83 124.903.Periodo Valor en Intereses Intereses del Variación Valor en libros al sobre la bono del valor en libros al inicio del inversión (2) libros (3) final del periodo (1) periodo (4) 1 9.03) 1 – (1+0.000.00 24.92 5 9.09 9. para obtener una TIR del 6%. r = 0.04 – 1.55 2 9.49 9.03)-6 0. i = 0.00 143.03 P = $1.000 . es adquirido por un inversionista.950.69 10. C = 1. Elabore la tabla de inversión del bono.31 6 9. Ejemplo: Un bono de $1.92 124.31 124. (3) Resulta al restar los intereses del bono de los intereses sobre la inversión.39 100. 37 40. PRECIO DEL BONO COMPRADO ENTRE FECHA DE PAGO DE INTERESES O CUPÓN Cuando se compra un bono entre dos fechas de cupones.63 1.63 40. el inversionista registra una utilidad mayor que los intereses pagados por el bono. puesto que su valor de redención es menor que el de compra.17 31.17 3 1.85 40. en cada país usan valores distintos para referirse al precio con interés y al precio efectivo.009. Los corredores de bolsa.29 4 1.88 1. el bono fue comprado con premio y.00 185.0 -8. en cuanto al cupón del periodo en que se haga la transacción.028.019.009. 95 .054. el precio comprende el valor principal del bono. En caso de que el bono se adquiera con descuento.17 31.14 30. cantidad que corresponde al valor presente de su precio de redención.Periodo Valor en Intereses Intereses del Variación Valor en libros al sobre la bono del valor en libros al inicio del inversión libros final del periodo periodo 1 1.0 -8.019.0 -9.29 40.37 1.12 40.71 1. en tanto que para expresar el precio incluido el valor acumulado del cupón.57 40.045.045. además del ajuste acordado entre el comprador y el vendedor.17 Totales En este caso.15 1.14 5 1.83 240.29 30.0 -9. sin el valor acumulado del cupón.0 -9.028. se dice precio efectivo o precio flat. cantidad igual al aumento de valor que en cada periodo registra el bono. Para designar el precio de un bono.0 -54. más el valor de los cupones no vencidos.80 31.71 6 1.037. se utiliza la expresión “precio con interés”.80 2 1.037.000. ya que este pertenece en parte al comprador y en parte al vendedor.0 -8.71 30. es necesario amortizar la diferencia.43 1. después de transcurrida la fracción de tiempo k.30 P0 Precio en 1 de noviembre = $96. se tiene: P = 96. O sea : P – P0 = P1 – P0 k 1 de donde. P el precio en la fecha y P1 el precio del bono. y sea P el precio del bono. sean i la tasa de interés sobre la inversión y k la fracción de periodo medida a 96 . en la fecha siguiente.Cálculo del precio con interés: Fije en un diagrama los valores P0 y P1 en dos fechas sucesivas de pago de intereses. inmediatamente anterior la fecha de transacción. con fechas de cupón 1 de mayo y 1 de noviembre (MN). P = P0 + k (P1 – P0) Ejemplo: Un bono de $100.66 – 96. P0 es el precio del bono en la fecha de cupón. La diferencia P – P0 es una variación que es proporcional al tiempo transcurrido.46 180 0 P0 k P 1 P1 Cálculo del precio efectivo por el método exacto o de interés compuesto: En el diagrama anterior. Calcular el precio con interés. al sustituir los valores.66 P1 k = días transcurridos entre el 1 de mayo y el 2 de agosto son 91 días (si considera meses de 30 días) de donde k = 91/180. se negocia el 2 de agosto.30 + 91 (96.30) = $96. si en el mismo año se tiene: Precio en 1 de mayo = $96. con relación al periodo de pago de cupones. 000. P0 = 1.000 + (1. Pe = P0 (1 + i)k Para el valor de la fracción de k. se tiene que P es el valor futuro acumulado de P0 . se acostumbra usar el año de 360 días. con meses de 30 días c/u. 2021-1996 = 25 x 2 + 1 = 51 n = 51 La fecha de pago inmediatamente anterior a la venta 1 de marzo de 1996 lo que da 75 días hasta la fecha de negociación y los intereses que puede cobrar el comprador son por 180 – 75 = 105 días.04)-51 0. F = 1. r =3%. redimible a la par el 1 de septiembre del 2021. i = 4% Para el cálculo del número de cupones Bono MS (Marzo –Septiembre) entonces se paga cada semestre Redime el 1 de Septiembre Entonces: MS de marzo a septiembre pasa un semestre Por lo tanto hay que sumar un semestre al número de años por el número de cupones al año.83 Para 97 .000(0. C = 1. a un interés del 6% convertible semestralmente. convertible semestralmente.partir de la fecha 0.000(0.03) – 1.04 P0 = 783.000 MS. Ejemplo: Hallar el precio el 15 de mayo de 1996 de un bono de $1. Al plantear una ecuación de equivalencia para la fecha de transacción. si se redime en marzo no se debe sumar el semestre adicional.04) 1 – (1+0. si se desea una TIR del 8%.000. 83 (1+0.89. b) Se calcula el monto a interés simple del valor encontrado en a) considerando el tiempo exacto transcurrido entre la última fecha de pago de intereses y la de negociación 75 días en el caso del ejemplo anterior. P = 783. k = 75/180 = 5/12.83 (1 + 0.04)7/12 = 801.83 (1 + 0.12 “Al aplicar interés simple a las fracciones de periodos se obtiene valores más altos” Pe = P0 (1+ki).04. se realiza el siguiente procedimiento: a) Se halla el valor del bono en la última fecha de pago de intereses.97 Pe = P0 (1+ki) Pe = 783. Pe = 783. NOTA: como procedimiento alternativo. y si aplicamos al ejercicio anterior tendríamos: P = P0 (1+i)k . se considera el número de días comprendido entre la fecha de negociación y la futura fecha de pago de intereses.04) = 796. inmediatamente antes de la fecha de compra venta. Para calcular el valor del bono en esas fechas.04)7/12 = 801.97 Cálculo aproximado del precio efectivo a de interés simple: En la práctica y que es de uso más frecuente este método. INTERÉS REDITUABLE DE UN BONO IR Es la parte fraccionaria del pago de intereses en una fecha diferente a la de pago del cupón.89 El precio del bono es $796.04.83 (1 + (5/12)0.04(7/12)) = 802. se tiene i = 0. k = 105/180 = 7/12. Se obtiene dividiendo el número de días contados desde la última fecha de pago de 98 .04. Pe = 783. k = 105/180 = 7/12. se tiene i = 0. se lo llama “bono sucio”.Pe = P0 (1+i)k . se tiene i = 0. r = tasa de interés del cupón FPC1 Y FPC2 = Fechas de pago de cupón FN= Fecha de negociación PPC = Periodo de pago de cupón = Tiempo entre fechas de pago de cupón = T1 + T2 T1 = Número de días entre FPC1y FN T2 = Número de días entre FPC2y FN K = Factor de proporcionalidad de pago de cupón.47 y es el valor en libros al 15 de mayo. El interés redituable se utiliza para obtener el denominado “bono limpio”. RESUMEN DE FÓRMULAS PARA CALCULAR EL PRECIO CUANDO SE REALIZA UNA NEGOCIACIÓN ENTRE FECHA DE PAGO DE CUPONES. Pe = 796.06/2) = 30 IR = Cupón x k = 30 (75/180) = 12.89 – 12. Con Interés Compuesto. 99 .5 = 784.06/2) = 30 IR = Cupón x k = 30 (105/180) = 17. En el ejemplo anterior: Con Interés Simple.5 Precio del bono limpio = 796. P0 = 783. F = Valor Nominal.83. n = Número de cupones.5 = 784. P0 = 783.000 (0.000 (0.5 Precio del bono limpio = 801. Pe = 801.97 k = 105/180 Intereses o cupón = 1. Prácticamente por los dos métodos el valor del bono limpio es el mismo.un cupón hasta la fecha de compra. es muy poca la diferencia existente.97 – 17.39 y es el valor en libros al 15 de mayo.83. entre el número de días del periodo de capitalización de intereses y multiplicando por los intereses del periodo completo.89 k = 75/180 Intereses o cupón = 1. 1 – (1+i)-n P o= C + (Fr-Ci) .IR En los tres métodos determinar el tipo de negociación. Kisa = T2/PPC Gráfico de un Cupón: T1 FPC1 FN T2 FPC2 Método Interés Simple Método Interés Método Interés Simple Compuesto Alternativo P o= C + (Fr-Ci) .IR PBL= Pe – IR PBL= Pe . 1 – (1+i)-n P o= C + (Fr-Ci) . es un problema común que se presenta a los inversionistas par determinar su capital. Después de calcular primero una tasa 100 . 1 – (1+i)-n i i i Kis = T1/PPC Kic = T2/PPC Kisa = T2/PPC Cálculo del precio del bono Cálculo del precio del bono Cálculo del precio del bono sucio sucio sucio Pe = Po(1+i Kis) Pe = Po(1+i)Kic Pe = Po(1+i Kisa) Cálculo del Interés Cálculo del Interés Cálculo Redituable Redituable Redituable IR = F r Kis IR = F r Kic IR = F r Kisa del Interés Cálculo del precio del bono Cálculo del precio del bono Cálculo del precio del bono limpio limpio limpio PBL= Pe . en nuestro caso veremos únicamente: Cálculo de la TIR por el método de interpolación: Este método requiere hallar dos tasas de interés. Este problema no puede resolverse por métodos directos por lo que hay varios métodos que dan soluciones bastante aproximadas. que correspondan a un precio menor y uno mayor que el precio de compra. RENDIMIENTO DE LAS INVERSIONES EN BONOS Calcular el rendimiento TIR que obtendrán al comprar bonos en el mercado de valores. Kic = T2/PPC.Kis = T1/PPC. 86 – 880.50 si i = 5.055).051) y P(920. para posteriormente interpolar entre estos dos precios.1% trimestral tenemos: P = 880. Y) y aplico la formula de interpolación lineal Y = Y1 + (X – X1) (Y2 – Y1)/(X2 . con cupones trimestrales. un bono redimible a la par y cotizado a 94 significa que se ofrece por $940” P = 920.18/4) = 45.055)/(925.5% P = 925.055 + (920 .000.1% Por lo tanto tenemos P1(880.000(0. se procede a determinar los precios de compra para una tasa inferior y otra superior. 0. P2(925.152% trimestral 101 .86. Ejemplo: Hallar la TIR de un bono de $1. F = C = 1.000 al 18%. Fr = 1. i) 1 – (1 + i)-20 i Mediante la aplicación de las tasas 5.50) (0.880.50) Y = 0.X1) Y = 0.50.5% y 5.0515168 trimestral = 5. Se supone en fecha de cupón. 0. n = 5(4) = 20 trimestres P = C + (Fr-Ci) .051 – 0. i) 1 – (1 + i)-20 i Aplicando el método de interpolación: X = 920 que es el valor de referencia f(i) = 1000 + (45 – 1000 . 1 – (1+i)-n i 920 = 1000 + (45 – 1000 . suponiendo que 100 es el valor a la par.86 si i = 5.aproximada. “Los precios de los bonos en el mercado de valores se cotizan tomando como base 100. redimibles a la par dentro de 5 años si se cotizan a 92. Así. 36 es a = 0. más fina será la aproximación.004(5.86 si i = 5.051 880.50 0.051 .0515168 trimestral= 5. el cual vence dentro de 10 años con intereses pagaderos cada trimestre.004 5.36 es a .000 ( 0.06 ) = $ 75 4 102 .2228 -1 Tasa efectiva anual = 22.051 – X = 0.055 920.0.86) = . Determine cuál será el monto de interés que recibirá por período si compra un bono de $5.000 al 6 %.051-X 0.0.86 45.86 .5% y 5.36 X = 0.28 % Nota: “Aquí se presenta el método de interpolación a través de proporciones Aplicando las tasas 5.86 0.X 5. Solución: A = 5.00 X 45.1% Se interpola entre estos dos valores: 925.86 0.(1+i) = (1+j/m)m (1.152% trimestral Cuanto más cercanas sean las tasas entre las cuales se interpola.004 0.5% P = 925. Ejercicios complementarios 1.50 si i = 5.051 925.0515168 45.1= 1. 0.1% trimestral en (a) tenemos: P = 880.051568) 4 . 5 %. 0.63 1.025)-40 0.037.045. Hallar el precio de compra el 1 de febrero de 1985.04 – 1.08/2.045. Un bono de $1. 0.025) 1 – (1+0. es redimible a 105 el primero de febrero del 2005.0 8.80 2 1. n = 3 (2) = 6 P = 1.35 3.000 . Solución: C = 1. usted recibirá intereses de $ 75 cada trimestre adicionales a la suma global de $ 5.000 + (1. Elabore la tabla de inversión del bono.17 103 .000 al 8% convertible semestralmente.17 31.En consecuencia. 0.03)-6 0.80 31. FA (febrero-agosto). r = 0.17 Periodo Valor en Intereses Intereses Variaciones libros al inicio sobre la del bono del valor en libros al final del periodo inversión libros Valor en del periodo 1 1. n = 40.03 P = $1.000 al término de 10 años.05/2.63 40. 2.054. Solución: F = 1000. Un bono de $1. F = 1.000.37 1.035/2.054. es adquirido por un inversionista. 3.06/2.025 P = 830. r = 0. C = 1050. que reditúe 5% anual convertible semestralmente.000.0 8. Reemplazo en la fórmula P = 1050 + (1000 .03) 1 – (1+0.37 40.0175 – 1050 . para obtener una TIR del 6%.000. i = 0. i = 0. redimible a la par dentro de tres años.000 . 0. 83 240. Matemáticas Financieras.43 1.028. 104 .29 30.019.3 1.009. (2014).14 5 1.019.009.0 8. (Cuarta Edicion).028.71 1.00 185.71 30.29 40.17 31.0 9. Bogotá: Alfaomega.0 9.88 1.000.15 1. es necesario amortizar la diferencia.14 30.037.0 9. el inversionista registra una utilidad mayor que los intereses pagados por el bono. BIBLIOGRAFIA Mora Zambrano Armando.57 40. puesto que su valor de redención es menor que el de compra.0 54. En caso de que el bono se adquiera con descuento.17 Totales En este caso.85 40. el bono fue comprado con premio y.71 6 1.29 4 1. cantidad igual al aumento de valor que en cada periodo registra el bono.12 40.