UNIDAD 5.- INTEGRALES MULTIPLES 5.1.- Calculo de áreas en integrales dobles Si se considera una función continua no negativa f(x, y) ≥ 0 definida en un recinto acotado medible A, entonces la integral doble ZZ A f(x, y) dx dy tiene un significado geométrico claro: representa el volumen del solido formado por el recinto A como base, paredes laterales verticales y como superficie superior la grafica de f(x, y). Este resultado permite que, en el caso de integrar la función constante 1 sobre un recinto medible A, se obtenga el área de dicho recinto (en realidad, se obtiene el volumen de un prisma recto de base el recinto A y altura 1 que equivale numéricamente al ´área de A). Es decir; a(A) := ZZ A 1 dx dy Ejemplo: Vamos a utilizar esta propiedad para calcular el área comprendida por la gráfica de las funciones y = sen(x) + 1 e y = cos(x) + 1 en el intervalo [− 3π 4 , 5π 4 ]. Solución: Primer paso: Un croquis Para representar gráficamente el área que queremos calcular, hallaremos en primer lugar, los puntos de intercesión de las dos funciones que se encuentran en ese intervalo, es decir, igualamos las dos funciones y obtenemos que: sen(x) + 1 = cos(x) + 1 ↓ sen(x) = cos(x) ↓ x = − 3π 4 , π 4 , 5π 4 Luego los puntos de intersección son P1 = (− 3π 4 , − √ 2 2 + 1), P2 = (− π 4 , √ 2 2 + 1), P3 = ( 5π 4 , − √ 2 2 + 1) Como podemos ver en la grafica, Fig. 10.11 se obtienen dos dominios simétricos que tienen la misma área. Es por ello que calcularemos el área que nos piden multiplicando por dos el área de uno de los dos dominios coloreados en la grafica. L. cos(x) + 1 ≤ y ≤ sen(x) + 1)} Tercer Paso: Calculo de la integral Aplicando la fórmula de integración sobre dominios de tipo I a la fórmula de cálculo de áreas. que pase por el dominio D y marcamos los valores de la variable y por donde entra y sale la recta L esos valores son justamente los valores de las funciones y = sen(x) + 1 e y = cos(x) + 1. y)/ π 4 ≤ x ≤ 5π 4 . Por lo tanto el dominio D sobre el que tenemos que integrar es el dominio de tipo 1: D = {(x.Segundo Paso: Los límites de integración en y Trazamos una recta vertical. tendremos que: Área( ´ D) = ZZ D 1 dA = 2 Z 5π 4 π 4 Z sen(x)+1 cos(x)+1 1 dy dx = 2 Z 5π 4 π 4 y] sen(x)+1 cos(x)+1 dx =2 Z 5π 4 π 4 sen(x) − cos(x) dx = 2 − cos(x) − sen(x)] 5π 4 π 4 = 4 √ 2 . 2. Definición (integrales iteradas)..d] x La expresión de la derecha representa el proceso que comienza integrando la función respecto de . La integración iterada de esa función.5.b] x [c. Si [e. podemos escribir .j] es integrable en H=[a. primero respecto de y luego respecto de da como resultado el valor de la integral triple. pero podríamos intercambiar las variables: El cálculo de una integral triple se reduce a calcular una integral simple y una doble. Este orden de integración es el expresado en la integral anterior. resultando una función de dos variables. la integral doble se extenderá al dominio contenido en el plano de las otras variables.Integrales iteradas En la práctica una integral triple se calcula mediante tres integrales simples llamadas integrales iteradas. Una vez elegida la variable para la primera integración. tomando e como constantes. . yk]. . . donde P1 y P2 son particiones de [a. pues cada una de las expresiones anteriores origina dos formas de resolver las correspondientes integrales dobles 5.Integral doble en coordenadas rectangulares. m Se llama norma de la partici´on P a kPk = m´ax{v(Rjk) : j = 1. n. . .3. . . d]. < ym = d es decir. . Sea f(x. P = P1 × P2. satisfaciendo a = x0 < x1 < x2 < . xj ] × [yk−1. . . respectivamente. . . n. Toda partición divide al rectángulo R en n · m subrectangulos Rjk = [xj−1. b) Existen seis órdenes distintos de integración. k = 1. . b] y [c. Se llama ´area de R a v(R) = (d−c)(b−a). Una partición del rectángulo R son dos conjuntos de puntos {xj} n j=0 e {yj} m j=0. . y) una función acotada sobre un rectángulo R = [a. d]. .. k = 1. j = 1. . . . . < xn = b c = y0 < y1 < y2 < . . b] × [c. m} . y) = x 2 + y 2 tomando como punto cjk el punto medio del rectángulo y el punto inferior del rectángulo . ..Considérese cualquier punto cjk del rectángulo Rjk y fórmese la suma llamada suma de Riemann para f En la siguiente grafica hemos representado las sumas de Riemann para la función f(x. (Aditividad) Si R = P ∪Q con P y Q dos rectángulos cuya intersección es una línea recta o un punto o vacía. y).Si la sucesión {S(f. (Monotonía) Si f(x. y) ≤ g(x.2 Sean f y g dos funciones integrables sobre un rectángulo R. y) ∈ R. cuando la norma de la partición tiende a 0. entonces se dice que f es integrable sobre R y se escribe A continuación. se resumen las propiedades más importantes de las funciones integrables. Teorema 10. (Homogeneidad) αf es integrable sobre R. entonces . (Linealidad) f + g es integrable sobre R y 2. entonces 4. P)} converge a un límite S. para todo (x. que es el mismo para cualquier elección de cjk. para todo α ∈ R. y 3. Entonces 1. ˜ Definición (Medida nula) Un subconjunto de R n tiene contenido nulo si. las funciones integrables son aquellas que son continuas salvo en conjuntos” muy pequeños”. . d].5. la sección transversal fx(y) := f(x.Toda función continua sobre un rectángulo cerrado R es integrable Aunque la clase de las funciones integrables es mucho más amplia. y ∈ [c. Teorema (Teorema de Fubini) Sea f una función integrable sobre un rectángulo R = [a. existe un número finito de rectángulos que lo recubren y la suma de sus volúmenes es menor que £. y). el teorema anterior será suficiente en muchos casos prácticos. dado ǫ > 0. 1. b]. b] × [c. b] y se verifica . d]. En general. Si para cada x ∈ [a. entonces la función es integrable sobre [a. (Valor absoluto) |f| también es integrable y se verifica Un primer ejemplo de una amplia clase de funciones integrables la proporciona el siguiente teorema Teorema. es integrable sobre [c. d]. es integrable sobre [a. y). 2] × [0.2. d]. la sección transversal fy(x) := f(x. entonces la función es integrable sobre [c. 1]. b]. d] y se verifica Teorema de fubini Si f es continua sobre un rectángulo R = [a. d]. x ∈ [a. Si para cada y ∈ [c. entonces Ejemplo: Se desea calcular la integral doble ∫∫R x 2y dxdy siendo R = [1. . b]. b] × [c. z ) d V = / R / [ / h2 ( x. Esto es: Q = ( x.y ) Donde la integrar doble sobre R se calcula en polares.y.y. R es una región plana r – simple o 0 –simple.y ) < z ( h2 ( x. Es decir. r sen. /// f ( x.z ) d V / 02 / 02 ( 0) / h2 ( r cos 0. el sólido más simple es un bloque cilíndrico. ( 0) . z ) r d z d z dr d0 Q 02 g 2 ( 0) h 1 ( r cos.Solución: Dado que la función x 2y es continua en R basta aplicar el Teorema de Fubini para obtener 5.y.7.y ) está en R. r sen ( 0) f ( r cos 0 .y ) R = ( r. = < 0 < 02 g. Q) 0. /// f ( x. supongamos que Q es una región sólida cuya proyección R sobre el plano x.y puede describirse en coordenadas polares.z ) d Z ] d A h2 ( x.z ) : ( x. r sen 0.h 1 ( x. 0.y.y) f ( x. la forma iterada de la integrar triple en forma cilíndrica es. ( 0 ) < R < G2 ( 0) S I f es una función continua sobre el sólido Q. podemos escribir la integrar triple de f sobre Q como. Para obtener la expresión en coordenadas cilíndricas de una integrar triple.Integral triple en coordenadas cilíndricas y esféricas INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS En este sistema de coordenadas. Si R es r – simple.. 02 – 01 < 2 pi. y 0 < 01 < 02 < pi. el volumen del bloque se puede aproximarse por AV = p2 sen Ap AQ A0 . la región más simple es un bloque esférico determinado por ( p.y. que está por encima del plano x.ejercicio: CALCULO DE LA MASA EN COORDENADAS CILINDRICAS Hallar la masa de la porción del sólido elipsoidal Q dado por 4×2 + 4×2 + z2 = 16. Recordemos que las ecuaciones de conversión de coordenadas rectangulares a esféricas son X = p sen 0 cos 0 Y = p sen 0 sen 0 Z = p cos 0 En este sistema de coordenadas.y.q.z ) = k z. Si ( p. 0. supuesto que la densidad en un punto del sólido es proporcional a su distancia al plano x. ) es un punto interior del bloque. SOLUCION: La función densidad es p ( r. 0 ) : p1 < p2 01 < 0 <02 01 <0<02) Donde p1 > 0. 0. 0. Los límites para z son 16 – 4×2 – 4y2 = 16 – 4 r2 = 2 4 – r2 INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS ESFERICAS Las integrales triples que involucran esferas o conos sueles ser más fáciles de calcular en coordenadas esféricas. sumar y pasar al límite se llega a la siguiente versión de una integrar triple en coordenadas esféricas para una función continua f definida sobre el sólido Q 5.7. Un ejemplo de este tipo de funciones puede ser la distribución de temperaturas dentro de un cuerpo.. X n = xx x " de su dominio A un vector .Por el proceso habitual de tomar una partición interior. por ejemplo. por tanto. cuyo valor depende del punto que se estudie. pueden tener un rango unidimensional o multidimensional. es una función. o un potencial eléctrico. la presión ejercida sobre un cuerpo por un fluido. para modelar matemáticamente y caracterizar magnitudes físicas. Un campo escalar. un campo vectorial se corresponde con el segundo tipo de funciones (rango multidimensional) en donde una magnitud física requiere de un vector para su descripción. y esta se corresponde a una magnitud física que requiere sólo de un número para su caracterización.. Por otro lado. y cuyo dominio podría ser multidimensional. como puede ser. Un campo vectorial en n ℜ es una función: n n F A ⊆ℜ →ℜ que asigna a cada punto ( ) 1 2 . El primer tipo de funciones (rango unidimensional) se define como campo escalar..Campos vectoriales Las funciones. Definición. ampliamente empleadas en la ingeniería. escalar. el flujo de un fluido o un campo de fuerzas gravitacionales o eléctricas. esquemática de representar un campo vectorial Sin embargo.y. F1 ( ) x y. ) definida para puntos en 2 ℜ hacia el conjunto de vectores bidimensionales. hacia el conjunto de vectores tridimensionales. y F2 ( ) x y. F1(x. denotándose de la siguiente manera En donde.y.z) definida para puntos en 3 ℜ . ( ) () " n . son funciones escalares. Si F A: ⊆ℜ →ℜ .. . y se escribe En donde. a esta función Fxy (. entonces se denomina como campo vectorial en el espacio. para visualizar de una manera mejor lo que el campo representa en n ℜ . Si 2 2 F A: ⊆ℜ →ℜ .z) F2( xyz ) y F3 (xyz )son funciones escalares. se preferible dibujar el vector n X ∈ ⊆A R como un .FX FX F X F X () () = ( ) 1 2 . a esta función F (x. entonces se denomina como campo vectorial en el plano. 1).-1) = (1. y) en la función F(x. La representación de un campo vectorial bidimensional en el plano cartesiano.-1) y F (-1.1)= (-1.1)= (-1.y) del dominio.y) como por ejemplo F(1.-1) F (-1. .-1) = (-1. representando el vector F(x.y)=(f1(x.punto sobre el espacio n ℜ y a ( ) n F X R ∈ como un vector sobre ese mismo espacio.y)F2(x. a) Para representar este campo vectorial se evaluará algunos puntos (x.y)F3(x.1). este procedimiento también puede ser aplicado para la representación de un campo vectorial en el espacio Ejemplo Represente gráficamente los campos vectoriales definidos de la manera que se muestra a continuación: Solución. como se presenta en la siguiente figura. F(-1.y) para varios puntos (x.y)) de tal manera que el punto inicial del vector esté localizado en(x.y). se realiza representando un conjunto de vectores F(x. teniendo como punto inicial al punto.1).Luego tomamos.1) y se grafica teniendo como punto inicial al punto (1.1). el primer vector resultante (−1. Sucesivamente se dibujan los demás vectores resultantes para obtener la representación gráfica del campo vectorial Campo vectorial en 3d . Luego para representar el primer vector resultante (−1. se gráfica. Aplicando sucesivamente este procedimiento con los otros vectores se obtiene la representación gráfica del campo vectorial b) Para obtener la representación gráfica de este campo vectorial se evaluarán algunos puntos en la función obteniéndose.1. Aquí uno podría confundir la integral de línea y el cálculo de la longitud de un arco con la ayuda de la integración. integral de trayectoria.. los campos escalares así como los vectoriales pueden ser integrados utilizando este método. Una integración de línea de tales campos produciría una sumatoria de . curva integral etc.8.Integral de línea La integración de línea es la técnica de integración para una función a lo largo de una curva dada.5. Ambos. También es conocida por los nombres de integral de contorno. Aquí es importante notar que en lugar de escribir los límites de integración. dado que aquí la variable está siendo integrada con respecto a la función.valores de campo para cada punto de la curva dada que se encuentra en el campo. Por tanto. Como se puede observar en la figura anterior. W = F. respectivamente. . por supuesto como. esta integral es reescrita en la forma de sus coordenadas Cartesianas xe y. Esto implica que el trabajo total realizado por la fuerza F en el movimiento de la partícula a lo largo de una distancia pequeña s será. la fuerza F se bifurca en dos componentes en las direcciones x e y como P x y Q y. la integral anterior se transforma en una de la manera siguiente. Esto significa que la integración se está efectuando a lo largo de una trayectoria AB. Esto se hace mediante la integración. Por esta razón en particular. asuma que la fuerza F actúa sobre una partícula y haga que se mueva sobre la trayectoria AB como se muestra a continuación. sólo el nombre de la trayectoria está escrito en el subíndice. y no se está incrementando a lo largo de una trayectoria recta. Este es un enfoque de integración totalmente diferente. sino que es curva. s De manera similar. para determinar el trabajo completo realizado por la fuerza F para mover la partícula a lo largo de toda la trayectoria se calculará la suma de todas las piezas pequeñas de trabajo realizado. Y la función es integrada como. Por ejemplo. Reconstruyendo la ecuación anterior obtenemos. p’(t) dt . Dado que la distancia medida entre los puntos sucesivos al punto de muestra es. la cual es. Ejemplo: para p’(t) = (-t/ . Incluso la ley del electromagnetismo de Faraday está inspirada en la integral de línea misma. La multiplicación de la función de estos puntos de muestra y las respectivas distancias entre ellos puede considerarse como el área del rectángulo con altura f(r(ti)) y anchura si. Sea la distancia entre estos puntos de muestra denotada como s. Tomando la sumatoria de tales términos con límite . Elija un punto arbitrario en la curva y nómbrelo como punto de muestra. Esto es equivalente a la sumatoria de Riemann. Permita que el punto de muestra sea elegido por cada pieza de arco sobre la curva completa. En este. Trace una línea recta entre cada par de estos puntos de muestra. dividimos lo dado en piezas más pequeñas de igual longitud. 1) F ds = F(p(t)). La integral de línea encuentra una gran aplicación práctica.El cálculo de la integral de línea de un campo escalar es algo diferente. También el cálculo del voltaje en el vecindario de una carga puntual puede hacerse utilizando la integral de línea. 10. 1) dt = (0.Teorema de integrales . 5.(-t/ . ). 1) dt = dt Asuma que t = sin u ydt = cos u du F ds = cos(u) du cos(u) du cos2(u) du La integración anterior puede realizarse fácilmente utilizando las técnicas de integración.(-t/ .= F( .. t).