MATERIA: estadística administrativa.TITULO: unidad 4. Muestreo y estimaciones. Equipo: Barbosa Arizpe teresa de Jesús. Campos nava Sandra. Carmona García Gabriela. Coyote villaba Jesús Eduardo. López Andrés Víctor hago. Plata de la rosa dulce abril. PROFESOR: Carlos Gutiérrez reynaga. Grupo: 4c11. UNIDAD 4. MUESTREO Y ESTIMACIONES 4.1 Definición de muestreo Es un procedimiento empleado para obtener una o más muestras de una población. Por ejemplo: religión y sexo de los estudiantes de educación del núcleo San Carlos de la UNESR. Muestra: Es la parte de la población a estudiar que sirve para representarla. 4.1.1 Tipos de muestreo aleatorio, sistematizado, estratificado y conglomerados Muestreo aleatorio simple Para población finita: Una muestra seleccionada de tal manera que cada muestra posible de tamaño n tiene la misma probabilidad de ser seleccionada. Para población infinita: Una muestra seleccionada de tal manera que cada elemento proviene de la misma población y los elementos sucesivos se seleccionan en forma independiente. EJEMPLO Un muestreo aleatorio de todos los profesores de secundaria de California puede resultar en la selección (altamente improbable, por cierto) de 20 profesoras de francés. De hecho, nunca se puede tener la seguridad de que tal muestreo sea representativo o no de la población y lo único que se puede afirmar es que, bajo todo aspecto, es aleatoriamente representativo de ella. Una característica mas importante del muestreo al azar es que puede determinarse el tipo de ³no representatividad´ que, a la larga, cabe esperar de numerosos muestreos similares, cosa que no es posible con otros tipos de selección. Muestreo aleatorio simple estratificado Método para seleccionar una muestra en el que primero se divide a la población en estratos y a continuación se toma una muestra aleatoria simple de cada estrato. EJEMPLO Una base de formación de los estratos puede ser por departamentos, ubicación, edad, giro industrial, etc., queda a discreción de quien diseña la muestra, sin embargo los mejores resultados se obtienen cuando los elementos dentro de cada estrato son tan semejantes como sea posible. Después de formar los estratos se toma una muestra aleatoria simple de cada uno. Se dispone de formulas para combinar los resultados para la muestra de estrato individual en un estimado del parámetro poblacional de interés. El valor del muestreo aleatorio estratificado depende de cuán homogéneos sean los elementos dentro de los estratos. Si son similares, los estratos tendrán bajas varianzas. Si los estratos son homogéneos, el procedimiento de muestreo aleatorio estratificado producirá resultados tan precisos como el muestreo aleatorio simple, pero con menor tamaño total de muestra. Muestreo sistemático Método para elegir una muestra seleccionando al a los primeros k elementos y a continuación cada k-ésimo elemento. EJEMPLO Si se desea una muestra de tamaño de 50 de una población con 5,000 elementos, podríamos muestrear un elemento de cada 5,000/50 = 100 en la población. Una muestra sistemática en este caso implica seleccionar al azar uno de los primeros 100 elementos de la lista de la población. Se identifican los demás elementos de la muestra comenzando por el primero obtenido al azar y a continuación seleccionando cada 100. elementos. En efecto, se identifica la muestra de 50 recorriendo la población en forma sistemática, e identificando cada 100. elemento después del primero que se selecciono al azar. Muestreo por conglomerados Método probabilístico de muestreo en el cual primero se divide la población en conglomerados y después se selecciona uno o mas conglomerados para muestrearlos. EJEMPLO Cuando se realiza el muestreo de áreas, en los que los conglomerados son manzanas urbanas, u otras áreas, bien definida. Por lo general, el muestreo de conglomerados requiere un tamaño de muestra total mayor que el muestreo aleatorio simple o el muestreo aleatorio estratificado. Sin embargo, puede originar ahorros porque cuando se manda a un entrevistador a aplicar un cuestionario a un conglomerado muestreado (por ejemplo, una manzana urbana), se puede obtener muchas observaciones muéstrales en un tiempo relativamente corto. En consecuencia, se puede obtener un mayor tamaño de muestra con un costo bastante menor por elemento, y por ende, probablemente un costo total menor. 4.2 Concepto de distribución de muestreo de la media Una distribución muestral de medias o una distribución en el muestreo de la media se define como el conjunto de todas las medias que se pueden calcular en todas las muestras posibles que se pueden extraer, con o sin reemplazo, de una determinada población. Para detectar las relaciones a que nos hemos referido, partiremos de un ejemplo con una población pequeña. 4.2.1 Distribución muestral de la diferencia entre dos medias Estadístico de la prueba de la diferencia entre dos medias con muestras grandes. Formula: ݖ ൌ ݔҧ ଵ െ ݔҧ ଶ ඨ ܵ ଵ ଶ ݊ ଵ ܵ ଶ ଶ ݊ ଶ EJEMPLO 1: En un estudio de una tienda de departamentos diseñado para probar el saldo promedio en las cuentas de 30 días es el mismo en sus dos sucursales suburbanas, muestras tomadas al azar arrojaron los siguientes resultados: ݊ ଵ ൌ ͺͲǡ ݊ ଶ ൌ ͳͲͲǡ ݔҧ ଵ ൌ ̈́ͶǤʹͲǡ ݔҧ ଶ ൌ ̈́ͳǤͶͳǡ ܵ ଵ ൌ ̈́ͳǤͲͲǡ ܵ ଶ ൌ ̈́ʹʹǤͳ͵ ݖ ൌ ݔҧ ଵ െ ݔҧ ଶ ඨ ܵ ଵ ଶ ݊ ଵ ܵ ଶ ଶ ݊ ଶ ݖ ൌ ͶǤʹͲ െ ͳǤͶͲ ට ሺͳǤͲͲሻ ଶ ͺͲ ሺʹʹǤͳ͵ሻ ଶ ͳͲͲ ൌ െʹǤͷ͵ Y como este valor es menor que -1.96, se deduce que la diferencia observada de $7.21 entre los saldos promedio de las dos sucursales es significativa. El valor de z= -2.53 es de 0.0057. Estadístico de la prueba de muestra pequeña. Formula: ݐ ൌ ݔҧ ଵ െݔҧ ଶ ට σሺݔ ଵ െ ݔҧ ଵ ሻ ଶ σሺݔ ଶ െ ݔҧ ଶ ሻ ଶ ݊ ଵ ݊ ଶ െʹ ȉ ቀ ͳ ݊ ଵ ͳ ݊ ଶ ቁ EJEMPLO 2: Las siguientes son mediciones de la capacidad de producción (en millones de calorías por tonelada) de muestras aleatorias ejemplares cada una de carbón proviene de dos minas: Mina 1: 8380 8210 8360 7840 7910 Mina 2: 7540 7720 7750 8100 7690 Utilice un nivel de significación de 0.05 para probar si es importante la diferencia entre las medias de estas dos muestras. Las medias de las muestras son ݔҧ ଵ ൌ ͺͳͶͲ ݕ ݔҧ ଶ ൌ Ͳ y para calcular ³t´ de acuerdo a la formula anterior, primero se determina. ሺݔ ଵ െݔҧ ଵ ሻ ଶ ൌ ሺͺ͵ͺͲ െͺͳͶͲሻ ଶ ሻ ڮሺͻͳͲ െͺͳͶͲሻ ଶ ൌ ʹͷ͵ ͺͲͲ Y ሺݔ ଶ െݔҧ ଶ ሻ ଶ ൌ ሺͷͶͲ െͲሻ ଶ ሻ ڮሺͻͲ െͲሻ ଶ ൌ ͳͲ ͲͲ Ahora bien, al sustituir estas sumas junto con ݊ ଵ ൌ ͷǡ ݊ ଶ ൌ ͷǡ ݔҧ ଵ ൌ ͺͳͶͲǡ ݔҧ ଶ ൌ Ͳ en la fórmula de ³t´, se obtiene: ݐ ൌ ͺͳͶͲ െ Ͳ ට ʹͷ͵ ͺͲͲ ͳͲ ͲͲ ͷ ͷ െ ʹ ȉ ቀ ͳ ͷ ͳ ͷ ቁ ൌ ʹǤͳ 4.3 Teorema del límite central Sea X 1 , X 2 ,..., ୬ una muestra aleatoria de una distribución con media ߤ y varianza ߪ ଶ Entonces, si ݊ es suficientemente grande, ݔ tiene aproximadamente una distribución normal con, ߤ ௫ ൌ ߤ ݕ ߪ ௫ ; ൌ ɐ ଶ n Τ y T 0 tiene también aproximadamente una distribución normal con ߤ ் ൌ ݊ כ ߤǡ ߪ ் ଶ ൌ ݊ כ ߪ ଶ . Cuanto mas grande sea el valor de n, mejor será la aproximación. El Teorema del Límite Central garantiza una distribución normal cuando n es suficientemente grande. Si n > 30, se puede usar el Teorema de Limite Central. Si la distribución madre es normal, la distribución de la media muestral también es normal, independientemente del tamaño. ݔ ൎ ܰሺߤ Ǣ ߪ ሻ Þx ൎ ሺߤ Ǣ ߪ ሻ Ejemplo 1: Si se sabe que la dureza Rockwell de pernos de cierto tipo tiene un valor medio de 50 y desviación estándar de 1,5. a) Si la distribución es normal, ¿cuál es la probabilidad de que la dureza muestral media para una muestra aleatoria de 9 pernos sea por lo menos 52? b) ¿Cuál es la probabilidad (aproximada) de que la dureza muestral media para una muestra aleatoria de 40 pernos sea al menos 52? x = 50 ı = 1,5 x § N(50; 1,5) a) n = 9 x = 52 x § N(50; 1,5.¥9) z =ሺݔ െ ߤሻȀሺߪȀξ݊ሻ La probabilidad de que la media muestral sea superior a 52 es: P(x 52) = ܲ ቌ ݔҧ െߤ ߪ ξ݊ ͷʹ െͷͲ ͳǤͷ ξͻ ൲Þ PሺZ Ͷሻ ൌ Ͳ Con el valor de z obtenido de y tablas: P(x 1 x x 2 ) = ܲሺݖ ଵ ݔҧ െ ߤ ߪ ξ݊ ݖ ଶ ሻÞ Pሺzͳ z zʹሻ ൌ ɔሺzሻ Tener en cuenta que los valores para: ĭ (z) = P (z z 1 ) b) n = 40 Con el valor de z obtenido de tablas: P(x 52) = ܲ ቌ ݔҧ െߤ ߪ ξ݊ ͷʹ െͷͲ ͷ ξͶͲ ൲Þ PሺZ ͺǡͶ͵ʹሻ ൌ Ͳ EJEMPLO 2: En una asignatura del colegio la probabilidad de que te saquen a la pizarra en cada clase es del 10%. A lo largo del año tienes 100 clases de esa asignatura. ¿Cuál es la probabilidad de tener que salir a la pizarra más de 15 veces? Se vuelve a aplicar el Teorema Central del Límite. Salir a la pizarra es una variable independiente que sigue el modelo de distribución de Bernoulli: "Salir a la pizarra", le damos el valor 1 y tiene una probabilidad del 0,10 "No salir a la pizarra", le damos el valor 0 y tiene una probabilidad del 0,9 La media y la varianza de cada variable independiente es: ߤ ൌ ͲǡͳͲ ߪ ଶ ൌ ͲǡͳͲ כ ͲǡͻͲ ൌ ͲǡͲͻ Por tanto, la suma de las 100 variables se distribuye según una normal cuya media y varianza son: Media: n * m = 100 * 0,10 = 10 Varianza: n * s 2 = 100 * 0,09 = 9 Para calcular la probabilidad de salir a la pizarra más de 15 veces, calculamos el valor equivalente de la variable normal tipificada: ܻ ൌ ଵହିଵ ଷǡ ൌ ͳǡ Luego: ܲሺܺ ͳͷሻ ൌ ܲሺܻ ͳǡሻ ൌ ͳ െ Ͳǡͻͷʹͷ ൌ ͲǡͲͶͷ Es decir, la probabilidad de tener que salir más de 15 veces a la pizarra a lo largo del curso es tan sólo del 4,75%. 4.4 Determinación del tamaño de la muestra de una población El tamaño de la muestra para un diseño de encuesta basado en una muestra aleatoria simple, puede calcularse mediante la siguiente fórmula: ݊ ൌ ݖ ଶ ݍ ܤ ଶ Donde: n= Tamaño de la muestra, z= 1.96 para el 95% de confianza, 2.56 para el 99% p= Frecuencia esperada del factor a estudiar q= 1- p B= Precisión o error admitido El valor de n obtenido por esta fórmula indica el tamaño de la muestra para una población infinita, a efectos prácticos se considera población infinita cuando la muestra supone menos del 5% de la población total. EJEMPLO 1: Supongamos que se desea realizar una encuesta sobre la brucelosis ovina. Se estima una prevalencia del 15% y se requiere un 5% de precisión sobre una población de 2.000.000 de cabezas. El nivel de confianza se fija en el 95%. Formula: ݊ ൌ ݖ ଶ ݍ ܤ ଶ Datos: Z= 1.96, p=0.15, q=0.85, B=0.05 ݊ ൌ ͳǤͻ ଶ ȉ ͲǤͳͷ ȉ ͲǤͺͷ ͲǤͲͷ ଶ ݊ ൌ Ǥ ͶͺͻͺͲͶ Ǥ ͲͲʹͷ ൌ ͳͻ ݊ ൌ ͳͻ ݈ܽ݊݅݉ܽ݁ݏ ݏ݈݁݁ܿܿ݅݊ܽ݀ݏ EJEMPLO 2: En un proyecto realizado en una determinada comunidad se ha calculado que cerca del 30% (0,3) de los niños de la zona del proyecto padecen de malnutrición crónica. Este dato se basa en estadísticas nacionales sobre malnutrición en las zonas rurales. Si el nivel de confianza se fija en el 95%. Formula: ݊ ൌ ݖ ଶ ݍ ܤ ଶ Datos: Z= 1.96, p=0.30, q=0.70, B=0.05 ݊ ൌ ͳǤͻ ଶ ȉ ͲǤ͵Ͳ ȉ ͲǤͲ ͲǤͲͷ ଶ ݊ ൌ Ǥ ͺͲ͵ Ǥ ͲͲʹͷ ൌ ͵ʹ͵ ݊ ൌ ͵ʹ͵ ݊݅ñݏ ݏ݈݁݁ܿܿ݅݊ܽ݀ݏ 4.5 Intervalos de confianza para la media, con el uso de la distribución Normal y la ³t´ student Distribución normal EJEMPLO 1: Se encuentra que la concentración promedio de zinc que se saca del agua a partir de la muestra de mediciones de zinc en 36 sitios diferentes es de 2.6 gramos por mililitro. Encuentre el intervalo de confianza de 95% para la concentración media de zinc en el rio. Suponga que la desviación estándar de la población es de 0.3 Datos: ݔ ൌ ʹǤ ݊ ൌ ͵ Z = .90/2=.475=1.96 ߪ ൌ Ǥ͵ Formula: ߤ ൌ ݔ േ ݖ ߪ ξ݊ ߤ ൌ ʹǤ േ ሺͳǤͻሻሺǤ ͵ሻ ξ͵ ൌ ʹǤͷͲ ݕ ʹǤͲ EJEMPLO 2: Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración aproximadamente distribuida de forma normal con una distribución estándar de 40 horas. Si una muestra de 30 focos tiene una duración promedio de 780 horas, encuentre un intervalo de confianza de 96% para la media de la población de todos los focos que produce esta empresa. Datos: ݔ ൌ ͺͲ ݊ ൌ ͵Ͳ Z = .96/2=.48=2.06 ߪ ൌ ͶͲ FORMULA: ߤ ൌ ݔ േ ݖ ߪ ξ݊ ߤ ൌ ͺͲ േ ሺʹǤͲሻሺͶͲሻ ξ͵Ͳ ൌ ͷ ݕ ͻͷ ³t´ student. EJEMPLO 1: Un fabricante de llantas desea investigar la durabilidad de sus productos. Una muestra de 10 llantas para recorrer 50000 millas revelo una media muestral de .32 pulgadas de cuerda restante con una desviación estándar de .09 pulgadas. Constituya un intervalo de confianza de 95% para la media poblacional. Datos: ݊ ൌ ͳͲ ݔ ൌ Ǥ͵ʹ ܵ ൌ ǤͲͻ ן ൌ ͻͷΨ Formula: ߤ ൌ ݔ േ t ͳെן ʹ Τ ǡ n െ ͳ ܵ ξ݊ ߤ ൌ Ǥ͵ʹ േݐ ͳ െ Ǥͻͷ ʹ Τ ǡ ͳͲ െͳ Ǥ Ͳͻ ξͳͲ ߤ ൌ Ǥ͵ʹ േݐǤ Ͳʹͷǡͻ Ǥ Ͳͻ ξͳͲ ߤ ൌ Ǥ͵ʹ േݐʹǤʹʹ Ǥ Ͳͻ ξͳͲ ߤ ൌ Ǥ͵ʹ േǤͲͶ ߤ ൌ ሺǤ ʹͷ ǡ Ǥ͵ͺͶሻ EJEMPLO 2: El dueño de una tienda de abarrotes desea estimar la cantidad madia que gastan los clientes que le consumen sus productos. Una muestra de 20 clientes revelo que gastan $50, con una desviación estándar de 9.01. Determine un intervalo de 95% de confianza para la media poblacional. Datos: ݊ ൌ ʹͲ ݔ ൌ ͷͲ ܵ ൌ ͻǤͲͳ ן ൌ ͻͷΨ Formula: ߤ ൌ ݔ േ ݐ ͳെן ʹ Τ ǡ ݊ െͳ ܵ ξ݊ ߤ ൌ ͷͲ േ ݐ ͳ െǤͻͷ ʹ Τ ǡ ʹͲ െͳ ͻǤͲͳ ξʹͲ ߤ ൌ ͷͲ േ ݐǤ Ͳʹͷǡͳͻ ͻǤͲͳ ξʹͲ ߤ ൌ ͷͲ േ ݐʹǤͲͻ͵ ͻǤͲͳ ξʹͲ ߤ ൌ ͷͲ േ 4.22 ߤ ൌ ሺͶͷǤͺ ǡ ͷͶǤʹʹሻ 4.5.1 Determinación de la muestra con grado de confianza y estimación de ࣆ Partiendo del primer ejemplo dado con la distribución ³z´ tenemos: Datos: ρ ൌ ʹǤ ݊ ൌ ͵ Z = .90/2=.475=1.96 ߪ ൌ Ǥ͵ Formula: ܫܥ ൌ ߤ േ ݖ ߪ ξ݊ ܫܥ ൌ ʹǤ േ ሺͳǤͻሻሺǤ ͵ሻ ξ͵ ൌ ʹǤͷͲ ݕ ʹǤͲ Para nuestro segundo ejemplo tomaremos los datos del ejemplo N°2 ³z´: Datos: ρ ൌ ͺͲ ݊ ൌ ͵Ͳ Z = .96/2=.48=2.06 ߪ ൌ ͶͲ Formula: ܫܥ ൌ ߤ േ ݖ ߪ ξ݊ ܫܥ ൌ ͺͲ േ ሺʹǤͲሻሺͶͲሻ ξ͵Ͳ ൌ ͷ ݕ ͻͷ 4.6 Intervalo de confianza para la diferencia entre dos medias ࣆ െࣆ con ࣌ ࢟ ࣌ ࣌ ൌ ࣌ pero conocidas, con el uso de la distribución normal y la ³t´ student Si ݔҧ ଵ y ݔҧ ଶ son las medidas de muestras aleatorias independientes de tamaño ߤ ଵ y ߤ ଶ tomadas de poblaciones normales que tienen las medidas ߤ ଵ y ߤ ଶ y la varianza ߪ ଵ ଶ y ߪ ଶ ଶ , entonces ݔҧ ଵ െ ݔҧ ଶ es una variable aleatoria que tiene una distribución normal con la media ߤ ௫ҧ భ ି௫ҧ మ ൌ ߤ ଵ െ ߤ ଶ Y la varianza. ߪ ௫ҧ భ ି௫ҧ మ ଶ ൌ ఙ భ మ భ ఙ మ మ మ Se deduce que ݖ ൌ ሺݔҧ ଵ െݔҧ ଶ ሻ െ ሺߤ ଵ െߤ ଶ ሻ ඨ ߪ ଵ ଶ ݊ ଵ ߪ ଶ ଶ ݊ ଶ Tiene una distribución normal estándar. Sustituyendo esta expresión por z en: ܲ ൬െݖ ଶ ൏ ݖ ൏ ݖ ଶ ൰ ൌ ͳ െܽ El método de pivotes nos lleva a ܲ ሺ ݔҧ ଵ െ ݔҧ ଶ ሻ െ ݖ Ȁଶ ȉ ඨ ߪ ଵ ଶ ݊ ଵ ߪ ଶ ଶ ݊ ଶ ൏ ߤ ଵ െߤ ଶ ൏ ሺݔҧ ଵ െݔҧ ଶ ሻ ݖ Ȁଶ ȉ ඨ ߪ ଵ ଶ ݊ ଵ ߪ ଶ ଶ ݊ ଶ ൌ ͳ െܽ Y, por consiguiente, al siguiente intervalo de confianza de ߤ ଵ െ ߤ ଶ ǣ (Intervalo de confianza para ߤ ଵ െߤ ଶ , ߪ ଵ ݕ ߪ ଶ conocidas). Si ݔҧ ଵ ݕ ݔҧ ଶ son valores de las medias de muestra aleatorias independientes de tamaño ݊ ଵ ݕ ݊ ଶ tomadas de poblaciones normales con las varianzas conocidas ߪ ଵ ଶ ݕ ߪ ଶ ଶ , un intervalo de confianza del (1-w) 100% para ߤ ଵ െ ߤ ଶ esta dado por ሺݔҧ ଵ െ ݔҧ ଶ ሻ െ ݖ Ȁଶ ȉ ඨ ߪ ଵ ଶ ݊ ଵ ߪ ଶ ଶ ݊ ଶ ൏ ߤ ଵ െ ߤ ଶ ൏ ሺݔҧ ଵ െ ݔҧ ଶ ݖ Ȁଶ ȉ ඨ ߪ ଵ ଶ ݊ ଵ ߪ ଶ ଶ ݊ ଶ Así mismo, en virtud del teorema del límite central, este resultado puede usarse con muestras aleatorias independientes de poblaciones no normales con las varianzas conocidas ߪ ଵ ଶ ݕ ߪ ଶ ଶ , siempre que ݊ ଵ ݕ ݊ ଶ sean lo suficientemente grandes, esto es, cuando ݊ ଵ ݕ ݊ ଶ ͵Ͳ EJEMPLO 1: Construya un intervalo de confianza del 94% de la diferencia real entre las duraciones en promedio de dos tipos de focos eléctricos, dado que una muestra tomada al azar de 40 focos de un tipo duro en promedio 418 horas de uso continuo y 50 focos de otra clase duraron en promedio 402 horas. Las desviaciones estándar de las poblaciones, según se sabe, son ߪ ଵ ൌ ʹ ݕ ߪ ଶ ൌ ʹʹ. Solución Para w=0.06, tenemos a partir de la tabla III que ݖ Ǥଷ ൌ ͳǤͺͺǤ por lo tanto, el intervalo de confianza del 94% de ߤ ଵ െ ߤ ଶ ݁ݏ ሺͶͳͺ െͶͲʹሻ െ ͳǤͺͺ ඩ ʹ ଶ ͶͲ ʹʹ ଶ ͷͲ ൏ ߤ ଵ െ ߤ ଶ ൏ ሺͶͳͺ െͶͲʹ ͳǤͺͺ ȉ ඨ ʹ ଶ ͶͲ ʹʹ ଶ ͷͲ Que se reduce a Ǥ͵ ൏ ߤ ଵ െߤ ଶ ൏ ʹͷǤ Por lo tanto, tenemos el 94% de confianza en que el intervalo de 6.3 a 25.7 contiene la diferencia verdadera entre las duraciones en promedio de los dos tipos de focos eléctricos. El hecho que ambos limites de confianza sean positivos sugiere que, en promedio, el primes tipo de focos es superior al del segundo tipo. EJEMPLO 2. Construya un intervalo de confianza de 94% de la diferencia real entre las duraciones en promedio de dos tipos de pilas, dado que una muestra tomada al azar de 50 focos de un tipo duro en promedio 518 horas de uso continuo y 60 pilas de otra clase duraron en promedio 502. Las desviaciones estándar de las poblaciones, según se sabe ߪ ଵ ൌ ͵ ݕ ߪ ଶ ൌ ͵ʹ Solución: Para w = 0.06, tenemos a partir de la tabla z=1.88. Por lo tanto, el intervalo de confianza del 94 % de ߤ ଵ െߤ ଶ es: ሺͷͳͺ െͷͲʹሻ െ ͳǤͺͺ ȉ ඨ ͵ ଶ ͷͲ ͵ʹ ଶ Ͳ ൏ ߤ ଵ െ ߤ ଶ ൏ ሺͷͳͺ െͷͲʹሻ ͳǤͺͺ ȉ ඨ ͵ ଶ ͷͲ ͵ʹ ଶ Ͳ Que se reduce a Por lo tanto, tenemos el 94% de confianza en que el intervalo de 7.1 a 64.5 a contiene la diferencia verdadera entre las duraciones en promedio de los dos tipos de pilas. El hecho de que ambos límites de confianza sean positivos sugiere que, en promedio la primera pila es superior al segundo tipo. Con el fin de sustituir un intervalo de confianza del (1-w) 100% para ߤ ଵ െ ߤ ଶ cuando se desconoce ߪ ଵ ݕ ߪ ଶ pero ݊ ଵ ݕ ݊ ଶ ͵Ͳ, sustituimos ߪ ଵ ݕ ߪ ଶ por los valores de las desviaciones estándar de la muestra ݏ ଵ ݕ ݏ ଶ y continuamos como antes. El procedimiento de estimaciones de la diferencia entre dos medias, cuando se desconoce ߪ ଵ ݕ ߪ ଶ y los tamaños de la muestra son pequeños, no es directo a monos que las desviaciones estándar desconocidas de las dos poblaciones normales sean iguales. Si ߪ ଵ ൌ ߪ ଶ , entonces. ݖ ൌ ሺݔҧ ଵ െݔҧ ଶ ሻ െ ሺߤ ଵ െߤ ଶ ሻ ට ͳ ݊ ଵ ͳ ݊ ଶ Es una variable aleatoria que tiene una distribución normal estándar y ߪ ଶ puede obtenerse ponderando las desviaciones cuadradas (o elevadas al cuadrado) de las medias de las dos muestras. ݏ ଶ ሺ݊ ଵ െͳሻݏ ଵ ଶ ሺ݊ ଶ െ ͳሻݏ ଶ ଶ ݊ ଵ ݊ ଶ െ ʹ Es en realidad un estimador insesgado de ߪ ଶ . Ahora bien, por los teoremas 8.10 y 8.8, las variables aleatorias independientes ሺ భ ିଵሻ௦ భ మ ఙ మ y ሺ భ ିଵሻ௦ మ మ ఙ మ tiene distribuciones ji cuadradas con ݊ ଵ െͳ ݕ ݊ ଶ െ ͳ grados de libertad, y su sumas ݕ ൌ ሺ݊ ଵ െͳሻݏ ଵ ଶ ߪ ଶ ሺ݊ ଶ െͳሻݏ ଶ ଶ ߪ ଶ ሺ݊ ଵ ݊ ଶ െʹͻሻݏ ଶ ߪ ଶ Tienen una distribución ji cuadrada con ݊ ଵ ݊ ଶ െʹ grados de libertad. Como se puede demostrar que las variables aleatorias anteriores ³z´ y ³y´ son independientes, se deduce del teorema 8.11 que: ࢚ ൌ ࢠ ට ࢟ െ ൌ ሺݔҧ ଵ െݔҧ ଶ ሻ െ ሺߤ ଵ െߤ ଶሻ ට ͳ ݊ ଵ ೞ ͳ ݊ ଶ Tiene una distribución t con ݊ ଵ ݊ ଶ െ ʹ grados de libertad. Al sustituir esta expresión por t en: ܲ ൬െݐ ଶ ǡ భశ మ ିଶ ൏ ݐ ൏ ݐ ଶ ǡ భ ା మషమ ൰ ൌ ͳ െ w Y simplificándolo algebraicamente el resultado. Llegamos al siguiente intervalo de confianza del (1-w) 100% para ߤ ଵ െ ߤ ଶ ǣ 4.7 Una sola muestra: estimación de la proporción La información de que suele disponerse al estimar una proporción es el número de veces, x, que un evento considerado ocurre en n ensayos, ocasiones y observaciones. La intimación puntual misma suele ser la proporción muestral ௫ ǡ es decir, la proporción de las veces que el evento ocurrió en realidad. Si los n ensayos satisfacen las condiciones fundamentales de la distribución binomial citadas en la página 94, sabemos que la media y la desviación estándar del número de éxitos están dadas por np y por ඥ݊ሺͳ െ ሻǤ Si dividimos ambas cantidades entre n, encontraremos que la media y la desviación estándar de la proporción de éxitos (es decir, de la proporción muestral) están dadas por. ൌ y ඥሺଵିሻ ൌ ට ሺଵିሻ El primero de estos resultados señala que la proporción muestral es un estimador insesgado del parámetro binomial p, es decir, de la proporción real que deseamos estimar a partir de una muestra. Dado que los cálculos necesarios de complican, haremos una aproximación más al sustituir ௫ por p en ඥ݊ሺͳ െሻ. Esto produce ݔ ݊ െ ݖ ఈȀଶ ඨ ݔ ݊ ሺͳ െ ݔ ݊ ሻ ݊ ൏ ൏ ݔ ݊ ݖ ఈȀଶ ඨ ݔ ݊ ሺͳ െ ݔ ݊ ሻ ݊ Donde el nivel de confianza es de (1 - a) 100%. Ejemplo 1: Si x = 36 de n = 100 entrevistados están familiarizados con los incentivos en los impuestos que se ofrecen por instalar ciertos dispositivos para ahorrar energía, constrúyase un intervalo con un nivel de confianza del 95% para la correspondiente proporción real. Solución: Sustituyendo ௫ ൌ ଷ ଵ ൌ ͲǤ͵ ݕ ݖ ఈȀଶ ൌ ͳǤͻ en la fórmula anterior, se obtiene ͲǤ͵ െ ͳͻට ሺǤଷሻሺǤସሻ ଵ < p < ͲǤ͵ ͳͻට ሺǤଷሻሺǤସሻ ଵ O bien ͲǤʹ ൏ ൏ ͲǤͶͷͶ Tenemos el 95% de confianza de que p puede en el intervalo de 0.266 o 0.454. Nótese que, de habernos valido de la tabla 9ª), habríamos obtenido ͲǤʹ ൏ ൏ ͲǤͶ La magnitud de error cometido cuando usamos ௫ como una estimación de p está dada por ቚ ௫ െ ቚ. Empleando nuevamente la distribución normal, podemos asegurar con una probabilidad de 1 ± a que la desigualdad. ቚ ݔ ݊ െ ቚ ݖ ఈȀଶ ඨ ሺͳ െ ሻ ݊ Se cumplirá, es decir, que el error será lo mismo de ݖ ఈȀଶ ට ሺଵିሻ . Con ௫ sustituido por p, esto produce Error máximo de Estimación ܧ ൌ ܼ ఈȀଶ ට ೣ ሺଵି ೣ ሻ Ejemplo 2: En una encuesta en una gran ciudad, 136 de 400 personas respondieron afirmativamente a la pregunta de si el servicio de transporte público es adecuado. Con una confianza del 99%, ¿qué se puede decir acerca del error máximo, si ௫ ൌ ଵଷଽ ସ ൌ ͲǤ͵Ͷ se emplea como una estimación de la correspondiente proporcional real? Solución Sustituyendo ௫ ൌ ଵଷ ସ ൌ ͲǤ͵Ͷ y ݖ ఈȀଶ ൌ ʹǤͷͷ en la fórmula anterior, se tiene que el error es a lo sumo ܧ ൌ ʹǤͷͷ ඨ ሺͲǤ͵ͶሻሺͲǤሻ ͶͲͲ ൌ ͲǤͲͳ La fórmula anterior de R puede utilizarse también para determinar el tamaño muestral que es necesario para alcanzar un grado deseado de precisión. Despejando n, obtenemos ݊ ൌ ሺͳ െ ሻ ܼ ఈȀଶ ܧ ൨ ଶ Pero esta fórmula no puede utilizarse como se estableció, a menos de que tengamos alguna información acerca de la posible magnitud de p (con base en datos auxiliares; digamos, una muestra previa). Si no se dispone de tal información, podemos valernos del hecho de que ሺͳ െ ሻ es a lo sumo ଵ ସ ǡ correspondiente a ൌ ଵ ଶ ǡ como puede mostrarse con métodos de cálculo elemental. Por tanto, si ݊ ൌ ͳ Ͷ ܼ ఈȀଶ ܧ ൨ ଶ Podemos asegurar con una probabilidad al menos de ͳ െߙ que el error al servirnos de ௫ como una estimación de p no excede a E; una vez obtenidos los datos, podremos asegurar con una confianza al menos de ͳ െ ߙ que el error no sobrepasa E. 4.8 Tamaño de la muestra con una estimación de P y un grado de confianza ሺ െזሻ Ψ Donde ݖ Ȁଶ es el valor z que corresponde a un área w/2 en el extremo derecho de una distribución normal estándar z. puesto que se desconocen los valores de p y q, se estiman por medio de los mejores estimadores puntuales: ෝ ݕ ݍො .se considera que el tamaño de la muestra es grande cuando es adecuada la aproximación normal a la distribución binomial; a saber, cuando ݊Ƹ ͷ ݕ ݊ݍො ͷ. Ƹ േ ݖ Ȁଶ ට ݍ ݊ EJEMPLO 1: Una muestra aleatoria de 985 votantes ³probables´ ± aquellos que votarían en las próximas elecciones²fue encuestada un ³fonatón o encuesta telefónica´ dirigido por el partido republicano. De los encuestados, 592 indicaron que piensan votar por el candidato republicano en la próxima elección. Construya un intervalo de confianza de 90% para , la proporción de votantes probables en la población, que piensa votar por el candidato republicano. Con base en esta información, ¿concluirá que el candidato ganara la elección? Solución: la estimación puntual para es entonces Ƹ ൌ ݔ ݊ ൌ ͷͻʹ ͻͺͷ ൌ ǤͲͳ Y el error estándar es: ඨ Ƹ ݍො ݊ ൌ ඨ ሺǤ ͲͳሻሺǤ͵ͻͻሻ ͻͺͷ ൌ ǤͲͳ El valor de ݖ para un intervalo de confianza de 90% es el valor que tiene el área w/2 =.05 en el extremo superior de la distribución de ݖ ܾ݅݁݊ ݖ Ǥହ = 1.645 de la tabla. El intervalo de confianza de 90% para p es entonces. Ƹ േ ͳǤͶͷ ඨ Ƹ ݍො ʹ Ǥ Ͳͳ േǤͲʹ O Ǥ ͷͷ ൏ ൏ Ǥʹ. Usted estima que el porcentaje de votantes probables del candidato republicano está entre 57.5 y 62.7%. ¿El candidato ganara la elección? Si se supone que necesita más de 50% de los votas para ganar, y puesto que los limites de confianza superior e inferior excede este valor mínimo podría decir que tiene 90% de confianza de que ganara el candidato. EJEMPLO 2: Una muestra aleatoria de 999 votantes ³probables´ aquellos que votarían en próximas elecciones que se van a realizar en el Tecnológico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de México de la Licenciatura en Contaduría Pública con motivo del día del contador para elegir a su nueva jefa de carrera fueron encuestadas durante dos días por el grupo 4C11. De los encuestados, 659 indicaron que piensan votar por la jefa de carrera actual en las próximas elecciones. Construya un intervalo de confianza de 90% para p, la proporción de votantes probables en la población, que piensa votar por la jefa de carrera actual. Con base en esta información. ¿Concluirá que la jefa de carrera ganará la elección? Solución: La estimación para p es: Ƹ ൌ ହଽ ଽଽଽ ൌ Ǥͷͻ 1-.659= .341 Y el error estándar es: ඨ Ƹ ݍො ݊ ൌ ඨ ሺǤ ͷͻሻሺǤ ͵Ͷͳሻ ͻͻͻ ൌ ǤͲͳͷ El valor z para un intervalo de confianza de 90% es el valor que tiene el ares w/2=.05 en el extremo superior de la distribución de z, o bien ݖ Ǥହ ൌ ͳǤͶͷ de la tabla. El intervalo de confianza para p es entonces. ෝ േ ͳǤͶͷ ඨ Ƹ ݍො ݊ ͳǤͶͷ ȉ ǤͲͳͷ ൌ ǤͲʹͷ Ǥ ͷͻ േǤͲʹͷ Ǥ ͷͻ ǤͲʹͷ ൌ ǤͺͶ Ǥ ͷͻ െǤͲʹͷ ൌ Ǥ͵Ͷ O Ǥ ͵Ͷ ൏ ൏ ǤͺͶǤ usted estima que el porcentaje de votantes probables del la jefa de carrera está entre 63.4 y 68.4% la jefa de carrera actual será la ganadora. BIBLIOGRAFIA Estadística para administración y economía David R. Anderson, Dennis J. Sweeney y Thomas A. Williams Editorial International Thomson Learning 225-227 páginas Método estadístico aplicado a las ciencias sociales Gene V. Glas, Julián C. Stanley Editorial Pretice Hall Página 243 Estadísticas matemáticas con aplicaciones John E. Freund, Ronald E. Walpole Editorial Prendicehall Hispoamericana S.A 380-385 páginas Técnicas de muestreo William G. Cochran Editorial continental S.A Página 149 Probabilidades y aprobaciones y estadísticas Paul L. Meyer Editorial: Addison Wesley Iberoamericana Página 316 Métodos estadísticos Said Infante G.I Guillermo P. Zarate de Lara Editorial Trillas 335-337 páginas Probabilidad y estadísticas para ingenieros Irwin R. Miller/ John E. Freund Editorial Prentice-Hall Hispoamericana S.A 273-277 páginas Introducción a la probabilidad y estadísticas William Mendenhall, Robert J.Beaver, Barbara M. Beaver Editorial Thomson 308-311 Páginas