Unidad 4Probabilidad y Estadística Estimación Puntual y Por intervalo Ejercicio 1: Se diseña un ascensor cuyo límite de carga es 2000 libras. Se indica que su capacidad máxima es de 10 ), ¿cuál es la probabilidad de personas. Si el peso de las personas se distribuye según una ( que un grupo de 10 personas exceda el límite de carga del ascensor? Ejercicio 2: Las manzanas que se producen en un huerto tienen un peso que se distribuye normalmente con una media de 200gr, y una varianza de 1600 gr2 Sí las manzanas se envasan de a 30 en un cajón de peso constante 700 gr. ¿Cuál es la probabilidad de que él cajón completo pese más de 7 Kilos? Ejercicio 3: Los eslabones para cadenas de bicicletas que provienen de ciertos fabricantes, tienen una longitud con media 0.5 y desvío 0.04. Un modelo de bicicleta requiere cadenas cuya especificación es entre 49 y 50 cm. Si se hacen cadenas con 100 eslabones, ¿cuál es la probabilidad de que se cumpla el requisito de longitud? Ejercicio 4: Se admite que la duración en horas de las pilas para transistores, es una variable con distribución normal, con media y dispersión 20 horas, a) ¿Qué proporción de la producción se espera con duración comprendida entre 100 y 125 horas? b) Si se seleccionan muestras aleatorias de tamaño n=16. ¿Cuál es la proporción de medias muestrales con valor entre 98 y 110 horas? Analice sus resultados, comente y justifique teóricamente. Ejercicio 5: El tiempo en minutos, requerido para reparar una máquina de empaque de alimentos, tiene una distribución N (120, 24). Si se toma una muestra de 16 máquinas y se reparan, ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de reparación sea mayor a 130 minutos? Ejercicio 6: Una población de fuentes de energía para una computadora personal tiene un voltaje de salida que se distribuye normalmente con una media de 5 v. y una desviación estándar de 0.1 v. Se selecciona una muestra aleatoria de 36 fuentes de energía. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el voltaje medio sea inferior a 4.95 v? b) ¿Cuál es el voltaje medio qué no es superado con probabilidad 0.95? Ejercicio 7: El porcentaje de carbohidratos contenido en una pieza de pan blanco es en promedio 76 con un desvío estándar de 0.8. Se toma una muestra aleatoria de 64 piezas. Halle la probabilidad de que el porcentaje medio se encuentre en el intervalo (75.8; 76.2) Ejercicio 8: Un fabricante de dispositivos semiconductores toma una muestra de 100 chips, y los prueba y clasifica como defectuosos o no defectuosos. Si se sabe que habitualmente hay un 2% de defectuosos, ¿Cuál es la probabilidad de que en la muestra, el porcentaje sea inferior al 1 %? Ejercicio 9: En una Facultad de Ingeniería, de 1200 alumnos el 16% son mujeres. Si se toma una muestra de 180 alumnos, ¿cuál es la probabilidad de que el porcentaje de mujeres en la muestra esté entre el 18% y el 20%? Ejercicio 10: En un banco se rechaza el 5% de los cheques emitidos. En una semana se emitieron 2500 cheques. Si se toma una muestra aleatoria de 100 cheques. a) ¿Cuál es la probabilidad de que más del 7% de los cheques de la muestra sea rechazado? b) ¿Cuál es el porcentaje promedio de cheques rechazados que se supera con probabilidad 0.01? Ejercicio 11: Se desea estimar la media de una población. Se toma una muestra de tamaño 5. Sean los siguientes estimadores: ̂ ̂ ̂ ̂ Halle esperanza y varianza de todos los estimadores y decida a favor de uno de ellos justificando la respuesta. Ejercicio 12: Se tiene una muestra de tamaño 2n de una población, de ( ) estimadores de: ̂ y ( ) . Sean los ̂ ¿Cuál es el mejor estimador de Justifique su elección. Página 1 de 10 se sabe que .99.03.9 centímetros. un automóvil recorre un promedió de 23500 kilómetros por año con un desviación estándar de 3900 kilómetros. Suponiendo que.97. 1.98. Ejercicio 14: Un fabricante produce focos que tienen un promedio de vida con distribución aproximadamente normal y una desviación estándar de 40 horas. Se toman dos muestras independientes de tamaños 100 y 150 respectivamente. 1. se reduce el error de la estimación y por lo tanto es más…… Ejercicio 15: Una máquina de refrescos está ajustada de tal manera que la cantidad de líquido despachada se distribuye aproximadamente en forma normal con una desviación estándar igual que 0. Dado un nivel de confianza. b) ¿Qué tan grande se requiere que sea la muestra si se desea tener una confianza del 95% de que la media muestral estará dentro de 0.03 centímetros. a) Encuentre un intervalo de confianza del 96% para la media poblacional de todos los focos que produce esta empresa. por estudios previos se sabe que . 1. Si una muestra de 30 focos tiene una vida promedio de 780 horas.5 centímetros y una desviación estándar de 6. Encuentre un intervalo de confianza del 99% para el diámetro promedio de piezas de esta máquina.01. a) Determine un intervalo de confianza de 98% para la altura promedio de todos los estudiantes. si Página 2 de 10 . a medida que… el tamaño de la muestra.02 decilitros del promedio real? Ejercicio 16: Las alturas de una muestra aleatoria de 50 estudiantes mostraron una media de 174. ¿Qué tan grande se requiere que sea la muestra si se necesita una confianza del 95% de que su media muestral estará dentro de 15 segundos del promedio real? Asuma que.99. en la ciudad de Córdoba. b) ¿Qué se puede afirmar con una confianza del 99% respecto al posible tamaño del error si se estima que la cantidad promedio de kilómetros recorridos por los propietarios de vehículos en Córdoba es de 23500 kilómetros al año? Ejercicio 18: Un experto en eficiencia desea determinar el tiempo promedio que toma el hacer tres perforaciones en una cierta pieza metálica. a) Determine un intervalo de confianza del 99% para la cantidad promedio de kilómetros que un automóvil recorre anualmente en Córdoba.01 y 1. ¿cuántos ratones deben incluirse en la muestra si se desea tener una confianza del 99% de que el ciclo promedio de vida de la muestra estará dentro de los 2 meses del promedio poblacional para todos los ratones sujetos a esta dieta reducida? Ejercicio 20: Una máquina produce piezas metálicas de forma cilíndrica. 0. Ejercicio 19: Un investigador de la Universidad UCLA afirma que el ciclo de vida de los ratones puede prolongarse hasta en 25% cuando las calorías en su alimentación se reducen aproximadamente 40% desde el momento en que se les desteta. ¿Cuál de estos dos estimadores elegiría para estimar dicho porcentaje? ̂ (Siendo ( ) el número de votantes a favor en la 1a muestra y ̂ ( ) el número de votantes a favor en la 2a muestra). el intervalo es más …… y por lo tanto … la precisión de estimación. Las dietas con restricciones son enriquecidas a niveles normales con vitaminas y proteínas.04. 0.15 decilitros. d) Complete: A medida que aumenta el nivel de confianza.5 centímetros? Ejercicio 17: Una muestra aleatoria de 100 propietarios de automóvil indica que. b) ¿Qué se puede afirmar con un 98% de confianza acerca del posible tamaño del error si se estima que la altura promedio de todos los estudiantes es 174. b) ¿Qué tan grande se requiere que sea una muestra si se desea tener una confianza del 96% de que la media muestral esté dentro de las 10 horas del promedio real? c) Indique los límites correspondientes al 90% de confianza. Se toma una muestra de piezas cuyos diámetros son 1. Compare el resultado con el del punto(a).25 decilitros. 0.Unidad 4 Probabilidad y Estadística Estimación Puntual y Por intervalo Ejercicio 13: Se desea estimar el porcentaje de votantes a favor de un determinado candidato. 0. por estudios previos. a) Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media de todos los refrescos que sirve esta máquina si una muestra aleatoria de 36 refrescos tiene un contenido promedio de 2. 3 6. a) Determine un intervalo de confianza de 95% para p.2 5.0 7.2 7.0 6. Ejercicio 29: En la 47a Encuesta Anual de Pagos que se presenta en Business Week.7 6.M.4 2.4 7.2 3. a) Encuentre el intervalo de confianza de 90% para la fracción de la población de fumadores que prefieren la marca X.5 7. El sistema actual tiene una p = 0.5 4.04 de la proporción real de residentes que están a favor de la construcción de la planta? Ejercicio 25: Se selecciona una muestra aleatoria de 500 fumadores de cigarro y se encuentra que 86 de ellos prefieren la marca X.0 6. se ven los datos de salario anual y bonos para los directores ejecutivos (Business Week. En la tabla siguiente vemos una lista de datos representativos de una muestra de programas preferentes en cadenas principales a las 8:30 P. de una marca de pintura látex: 3.4 4.0 6.8 7. se encuentra que 228 de ellas tiene calefacción de petróleo. ¿Qué tan grande debe ser una muestra. Determine un intervalo del 99% de confianza para el contenido promedio real de nicotina de esta marca de cigarros en particular.5 6. si deseamos estimar el salario o bono Página 3 de 10 .M. 21 de abril de 1997).6 6. Una muestra de 40 lanzamientos experimentales se realiza con el nuevo sistema y 34 de ellos tienen éxito. b) ¿Qué se puede afirmar con una confianza de 90% acerca de la posible magnitud del error si se estima que la fracción de fumadores que prefieren la marca X es 0. asumiendo que la distribución de los contenidos de nicotina es aproximadamente normal. b) ¿Consideraría usted que él nuevo sistema es mejor? Ejercicio 28: La Asociación Americana de Agencias de Publicidad tiene un registro de datos sobre minutos de anuncios por cada media hora de programas principales de TV.8 4. si se requiere una confianza de al menos 95%.8 2. Ejercicio 23: Se realiza un estudio para estimar el porcentaje de ciudadanos de un pueblo que están a favor de que su agua se trate con flúor.6 5.2 6. ¿Qué tan grande debe ser una muestra si se desea tener una confianza al menos de 95% de que la estimación estará dentro del 1% del porcentaje real? Ejercicio 24: Se realiza un estudio para estimar la proporción de residentes en una ciudad y en sus suburbios que están a favor de la construcción de una planta de energía nuclear. Encuentre el intervalo de confianza de 99% para la proporción de hogares en esta ciudad que tiene este tipo de calefacción. Ejercicio 27: Se está considerando un nuevo sistema de lanzamiento de cohetes para el despliegue de cohetes pequeños de corto alcance.0 5.3 6. En una muestra preliminar se vio que la desviación estándar es de $675 dólares.8 a) Determine un estimador puntual para el promedio de anuncios por cada media hora de programa.8 como probabilidad de un lanzamiento exitoso. Ejercicio 21: Una muestra aleatoria de 8 cigarros de una marca determinada tiene un contenido promedio de nicotina de 2.2 6. 6.2 7.9 miligramos.0 6.3 5. en horas.172? Ejercicio 26: En una muestra aleatoria de 1000 casas en una determinada ciudad.0 4.8 Suponiendo que las mediciones representan una muestra aleatoria de una población normal. Ejercicio 22: Se registraron las siguientes mediciones del tiempo de secado. Encuentre un intervalo de confianza del 99% para los tiempos promedio de secado.6 miligramos y una desviación estándar de 0. de qué la estimación estará dentro del 0.Unidad 4 Probabilidad y Estadística Estimación Puntual y Por intervalo supone una distribución aproximadamente normal.7 2. ¿Cuántos directores ejecutivos deben estar en la muestra. estando los datos en miles de dólares.6 3.6 2. b) Suponiendo normalidad.8 3.9 3. determine un intervalo de confianza de 95% para la cantidad promedio de minutos de anuncios en los principales espectáculos televisivos a las 8:30 P. debido a compromisos en el trabajo (USA Today. con 95% de confianza? Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la proporción poblacional de padres que trabajan y creen pasar muy poco tiempo con sus hijos Ejercicio 31: Un senador ha conseguido los servicios de un equipo de encuestadores para determinar el porcentaje de la población que está a favor suyo. b) Con una precisión de ± 4 minutos y coeficiente de confianza 95. entre 369 padres que trabajan. Página 4 de 10 . ¿Cuánto le costará al senador la encuesta.4%. porque los datos están en miles de dólares.5 la entrevista.000 dólares y una confiabilidad del 95%? (Nota: El margen de error sería .) Ejercicio 30: Una encuesta de USA Today y CNN Gallup. Se desea planear una muestra. con un margen de error de $100. ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra para estimar el tiempo medio poblacional? a) Con una precisión de ± 2 minutos y coeficiente de confianza del 98%. sabiendo que la experiencia de negocios similares señala que la varianza poblacional varía entre 10 y 15 minutos cuadrados. si insiste en que el error sea menor del 5% el 95% de las veces? Ejercicio 32: El gerente de un supermercado desea saber cuanto tiempo en promedio requiere un cliente para concretar sus compras. se decidió como valor del coeficiente de dispersión el de 12 minutos. Este equipo efectuará una encuesta de opinión a $1.Unidad 4 Probabilidad y Estadística Estimación Puntual y Por intervalo anual de la media de población. determinó que 200 de ellos dijeron pasar muy poco tiempo con sus niños. 10 de abril de 1995) ¿Cuál es el estimador puntual de la proporción poblacional de padres que trabajan que creen pasar muy poco tiempo con sus hijos debido a sus compromisos en el trabajo? a) ¿Cuál es el margen de error. pero la respuesta es: 0. y una varianza de 1600 gr2 Sí las manzanas se envasan de a 30 en un cajón de peso constante 700 gr.8962 Ejercicio 3 ( ) ⁄√ ⁄√ ( ) ( ) ( ) ( ) ( Ejercicio 4 a) ( ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) b) ⁄√ ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) [ ( )] Ejercicio 5 ⁄√ ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) Ejercicio 6 ( a) ( b) ( ) ( ) ⁄ ( ⁄√ ) ) ( ( ) ) ( ) ⁄ ) ⁄ Ejercicio 7 ⁄√ ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) [ ( )] Ejercicio 8 Proporción ( √ ) ( √ ( ) ⁄ ⁄ √ ( √ ) ( ) ) Página 5 de 10 . ¿Cuál es la probabilidad de que él cajón completo pese más de 7 Kilos? No me salió.Unidad 4 Probabilidad y Estadística Estimación Puntual y Por intervalo RESPUESTAS Ejercicio 1 ⁄√ ) ( ⁄√ ( ( ) ( ( ) ) ( ) ) Ejercicio 2: Las manzanas que se producen en un huerto tienen un peso que se distribuye normalmente con una media de 200gr. Ejercicio 12 ( ) ( ) [ ( ) ) Página 6 de 10 .Unidad 4 Probabilidad y Estadística ( ) ( ( √ Estimación Puntual y Por intervalo [ ( ) )] Ejercicio 9 ( ) ( )⁄ ( ) ( ) ( ) ) ( ⏞( ) ) Ejercicio 10 √ ( ( )) ( a) b) ( ( ) ( ) ) ) ( ) Ejercicio 11 ( ( ) ) ( [ ⏞( ) ( [ ⏞( ) ( ( ( ) ) ( ( ( ) ( ) [ ⏞( [ ⏞( ) ( ( ( ) ( ) ( ⏞( ⏞( ) ) ⏞( )] ⏞( ) ⏞( ) ⏞( ) ⏞( ) ⏞( )] ( ) ⏞( )] )] ( ) ⏞( ) ⏞( ) [ ⏞( ) ⏞( ) ⏞( )] [ ⏞( ) ) ) ⏞( )] ) ) ( ) ⏞( ) ) ( ( ) ) [ ⏞( ) ⏞( ) ) ⏞( ⏞( ) ) ) ( ⏞( ) ) ) ⏞( )] ) [ ⏞( ) ⏞( ) ( ) ⏞( ) ⏞( ) ⏞( ( ) ( )] ( ⏞( )] Elijo porque es el más eficiente por tener la menor varianza. sale de la formula del error.Unidad 4 Probabilidad y Estadística Estimación Puntual y Por intervalo ( ( ) ( ( ) ( Elijo ) [ ( ) ⏞( ) ( ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( )] ) porque es mas eficiente que ) ) ( ] ( ) ) ( ) por tener menor varianza. disminuyo también el error de mi elección. Ejercicio 13 ̂ (Siendo ̂ ) el número de votantes a favor en la 1a muestra y ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ( ( ( ( ) ( ( ) ( ( Elijo ( )) ( ( )) )) ( ( )) por ser mas eficiente que ) ) ( ( ) el número de votantes a favor en la 2a muestra).) Ejercicio 15 a) b) Ejercicio 16 √ Página 7 de 10 . d) A medida que aumenta el nivel de confianza. (“Si aumenta el tamaño de la muestra se reduce el error”. Dado un nivel de confianza. el intervalo es más GRANDE y por lo tanto DISMINUYE la precisión de estimación. ( ) ( ) ( ( ( ( )) ) ( ( ( )) )) ) ) ( ( ) )) por tener menor varianza. Ejercicio 14 ⁄ ( √ ) ⁄ ( a) ⁄ b) c) ⁄ ⏞ √ ( √ √ ) ⏞ √ √ √ √ √ ) √ Si el intervalo es mas chico. a medida que AUMENTA el tamaño de la muestra. se reduce el error de la estimación y por lo tanto es más PRECISO . Al tener menos posibilidades de elegir. que es inversamente proporcional al tamaño de la muestra. el error también es mas chico. √ ∑( ) Intervalo de confianza para la media (diámetro promedio) ( ( ⁄ ) √ ( ) Como se busca en la tabla t: En la fila se busca el grado de confianza ( ) ) y en la columna ⁄ Ejercicio 21 Normal (Gauss) √ Ejercicio 22 T de Student ( ) ( √ √ ) ( √ ) Ejercicio 23 Proporción (porcentaje de ciudadanos) Cuando no me dicen el valor de p.5 √ √( √ ) ( ) Ejercicio 24 Proporción Página 8 de 10 . se usa otra distribución llamada t de Student.Unidad 4 Probabilidad y Estadística a) √ b) Estimación Puntual y Por intervalo √ √ Ejercicio 17 a) √ √ b) Ejercicio 18 √ √ Ejercicio 19 √ √ Ejercicio 20 T de Student En este caso no nos da ni el error. se toma por convención p=q=0. Unidad 4 Probabilidad y Estadística ) √( √ Estimación Puntual y Por intervalo ( √ ) Ejercicio 25 Proporción a) √ b) √ Ejercicio 26 Proporción √ ( ) Ejercicio 27 a) ( √ ) b) No. Ejercicio 28 a) Elijo el estimador . pero también lo es el intervalo de confianza. b) ( ⁄√ ) ( ) Ejercicio 29 ( √ ) Ejercicio 30 Proporción a) b) c) Ejercicio 31 Proporción )⁄ √( √( )⁄ √( ( ) )⁄ ⁄√ Ejercicio 32 a) b) √ ( ) Página 9 de 10 . la probabilidad es mayor. por lo cual hay mayor probabilidad de equivocación. Unidad 4 Probabilidad y Estadística √ ( Estimación Puntual y Por intervalo ) Página 10 de 10 .