ACTIVIDAD 2.APLICACIONES DE LAS DERIVADAS A) Problemas de variables relacionadas 1) El ancho de un rectángulo es la mitad de su largo, ¿A qué razón decrece su área, si su ancho es 10cm y éste aumenta a 0.5 cm/sg.? 2) ¿A qué razón aumentará el área de un triángulo equilátero si su base mide 10 cm y ésta aumenta a 0.5 cm/sg? 3) El radio de un círculo crece 2 cm/min. Hallar la razón de cambio del área cuando a) El radio es de 6 cm. b) El radio es de 24 cm. 4) El radio de una esfera crece 3 cm/min. Hallar la razón de cambio a) Del área, cuando el radio es de 6 cm. b) Del volumen, cuando el radio es de 6 cm. 5) Un globo esférico se infla con gas a razón de 315 cm 3 / sg ¿Con que razón varía el radio del globo cuando éste es de 10 cm?. 6) Una capa circular de aceite es provocada por un derrame de 1 m 3 de aceite. El espesor de la capa de aceite decrece a razón de 0.1 cm/h. ¿A que razón aumenta el radio de la capa cuando el radio es 8 m?. 7) Todas las aristas de un cubo están creciendo a razón de 3 cm/s. ¿Con qué rapidez cambia el volumen del cubo cuando cada arista tiene: a) 1 cm. b) 10 cm.?. c) ¿Con qué rapidez cambia el área de la superficie del cubo en cada caso?. 8) Un avestruz de 1.52 mts de altura camina a 121 cm/sg. Hacia una lámpara ubicada a 305 cm. de altura. ¿Con que rapidez se mueve la sombra del avestruz a lo largo del piso? ¿A qué razón decrece la longitud de la sombra? 9) Una placa en forma de triángulo equilátero se expande con el tiempo. Cada lado aumenta a razón constante de 2 cm/h. ¿Con qué rapidez crece el área cuando cada lado mide 8 cm? 1 ¿Cuán rápido está variando la ordenada en el punto (2. ¿A qué velocidad está disminuyendo su sombra sobre el edificio en el instante en que el hombre está a 25 metros del edificio? 2 . Si la altura del vaso es de 10 cm y si el diámetro de la parte superior es de 6 cm.06 rad/seg. ¿con qué rapidez baja el nivel del agua cuando la profundidad es de 5 cm? ¿Cuál es la variación del radio en ese mismo instante? 13) La longitud del largo de un rectángulo disminuye a razón de 2 cm/seg. hallar: a) la variación de área del rectángulo b) la variación del perímetro del rectángulo c) la variación de las longitudes de las diagonales del rectángulo 14) Dos lados de un triángulo miden 4 m y 5 m y el ángulo entre ellos aumenta con una rapidez de 0. 13)? 11) Un abrevadero de 20 pie de largo tiene sus extremos verticales en forma de triángulos equiláteros. Cuando el largo es de 12 cm y el ancho de 5 cm. Si la abscisa x varía a razón constante de 3cm/min. Calcule la rapidez con que el área y la altura del triángulo se incrementan cuando el ángulo entre los lados es de . Si se le bombea agua a razón constante de 4 pie 3 / min. 15) Una luz está en el suelo a 45 metros de un edificio. mientras que el ancho aumenta a razón de 2 cm/seg. en donde x y y se miden en centímetros. ¿con qué rapidez está subiendo el nivel de agua cuando está a 1 pie de altura sobre el fondo? 12) Un niño usa una pajilla para beber agua de un vaso cónico (con el vértice hacia abajo) a razón de /seg. Un hombre de 2 metros de estatura camina desde la luz hacia el edificio a razón constante de 2 metros por segundo.10) Un insecto va a lo largo de la gráfica de y = x2 + 4x + 1. ¿A qué velocidad se incrementa el volumen del agua si se sabe que cuando el tanque se ha llenado hasta la mitad de su capacidad. 20) Dos lados paralelos de un rectángulo se alargan a razón de 2 cm/seg. 19) Considere un triángulo rectángulo de catetos razón de 0. ¿con qué rapidez varía el nivel del agua cuando está a 5 m del fondo del depósito? 18) Un globo asciende a 5 m/seg desde un punto en el suelo que dista 30 m de un observador.4 m por segundo. La arena forma en el suelo una pila en la forma de un cono cuya altura es igual al radio de la base.16) Un globo está a 100 metros sobre el suelo y se eleva verticalmente a una razón constante de 4 m/seg. Si la altura del cono es el triple del radio de su parte superior.5 cm/min y el cateto y . se está llenando con agua a razón constante.32 metros. determine la variación del área del triángulo cuando mide 16 cm y mide 12 cm. la profundidad del agua está aumentando a razón de un metro por minuto? ¿Cuánto tiempo tardará el tanque en llenarse? 22) Se vierte arena en el suelo a razón de 0. mientras que los otros dos lados se acortan de tal manera que la figura permanece como rectángulo de área constante igual a 50 cm . ¿A qué velocidad aumenta la altura de la pila 10 segundos después de que se empezó a vertir la arena? 3 . Un automóvil pasa por debajo viajando por una carretera recta a razón constante de 60 m/seg. Cuando el depósito se descarga. Calcular el ritmo de cambio del ángulo de elevación cuando el globo está a una altura de 17. ¿Con qué rapidez cambia la distancia entre el globo y el automóvil segundo después? 17) Considere un depósito de agua en forma de cono invertido. ¿Cuál es la variación del lado que se acorta y la del perímetro cuando la longitud del lado que aumenta es de 5 cm? 21) Un tanque cónico invertido de 10 m de altura y 3 m de radio en la parte superior. Si el cateto decrece a crece a razón de 2 cm/min. su volumen disminuye a razón de m /min. 6x2 + 2 . la coordenada . absolutos en la frontera y relativos: f(x) = x2 .2|x| . [-1. En este vértice. 3] 4 . 8] b) f(x) = x3 . [-2. [-3. según aumenta a razón de una unidad por segundo. Distinga entre extremos absolutos.23) Un rectángulo tiene dos de sus lados sobre los ejes coordenados positivos y su vértice opuesto al origen está sobre la curva de ecuación se muestra en la figura adjunta. 2] 3) Encuentre todos los valores críticos. ¿Cuál es la variación del área del rectángulo cuando ? B) Extremos de funciones Trazo de gráficas y criterio de la primera derivada 1) Encuentre los valores críticos de la función dada: a) b) f(x) = -x + senx 2) Encuentre los extremos absolutos de la función dada en el intervalo indicado: a) f(x) = . cuando sea aplicable. 5 . cuando sea posible: D) Problemas de Optimización 1) De todos los cilindros de 54 dm 3 .2)2 b) c) C) Concavidad y el criterio de la segunda derivada 1) Utilice la segunda derivada para determinar los intervalos en los que la función dada es cóncava hacia arriba y en los que es cóncava hacia abajo: a) b) 2) Utilice la segunda derivada para localizar todos los puntos de inflexión: a) f(x) = x . Encuentre las intersecciones con los ejes cuando sea posible: a) f(x) = x(x .4) Utilice el criterio de la primera derivada para encontrar los extremos relativos de la función dada. calcular el radio y la altura del que tiene área total mínima. Trace la gráfica. para encontrar los extremos relativos de la función dada.sen x 3) Utilice el criterio de la segunda derivada. 2) Calcula dos números cuya suma es 20 y el producto el máximo posible. Encuentre los puntos de inflexión y la intersecciones con los ejes. Trace la gráfica. La distancia entre C (punto en la perpendicular desde A a la orilla opuesta) y B es de 100 m. de distancia de A. 6) En una carrera a través del desierto. Cortando cuadraditos en las esquinas se quiere construir una caja de volumen máximo. Sabiendo que la distancia más corta de P a la carretera que une A y B es de 300 Km. calcular el área del mayor campo que puede cercarse con 28. 7) Se desea construir una lata de conservas en forma de cilindro circular recto de área 150 m2 y volumen máximo. 10) Calcula la altura del cono máximo que puede inscribirse en una esfera de radio 2 m. un automóvil debe ir desde la ciudad A al oasis P situado a 500 km. de longitud y se desea dividirlo en dos partes. 5) Entre todos los rectángulos inscritos en una circunferencia de radio 12 cm. b) Mínima. para formar un cuadrado y con la segunda parte un círculo. Si nadamos a la velocidad de 1m/s y caminamos a 2m/s ¿Como debe elegirse el camino ACB para llegar de A a B en el menor tiempo posible. Puede aprovechar para ello una carretera que une A y B y le permite ir a 100 Km/h. Calcular la longitud de cada parte para que la suma de las áreas de la figura sea a) máxima.3) Se tiene una lámina de aluminio cuadrada de 1 m de lado. Calcula el lado del cuadradito. determina la ruta para ir de A a P en el menor tiempo posible.800 pts. 8) Se desea ir desde un punto A situado a la orilla de un río hasta un punto B situado en la orilla opuesta del río que tiene de ancho 40 m. Calcular el radio y la generatriz del cilindro. 6 . Calcular las dimensiones del que tenga mayor área. Si la valla del lado del camino cuesta a 80 pts/m y las otras a 10 pts/m . mientras que por el desierto solo puede ir a 60 Km/h. 9) Se tiene un alambre de 2 m. 4) Se quiere vallar un campo rectangular que está junto a un camino. ¿A qué distancia del pie de la estatua debe colocarse el observador para disponer de un ángulo de visión máximo. Cada coche le cuesta a la empresa 1.600. ¿A qué precio deberá vender entonces cada automóvil para maximizar los beneficios mensuales? 13) Demostrar que una tienda de campaña de forma cónica. 12) La empresa AUTOS S. ¿Cuanta lona se necesitaría para una tienda de 3 m de alto ?.11) Una compañía de Teléfonos Americana calcula que obtiene una ganancia líquida de 15 $ por aparato colocado. la ganancia disminuye (aumentará el personal para atenderles) un centavo por cada abonado que sobrepase ese número.35 m de una casa.000 pts de descuento sobre el precio anterior. apoyándose en el suelo y en la pared. ¿Le conviene hacer estos descuentos para aumentar la venta mensual de coches. ¿Cuántos abonados darían la máxima ganancia líquida?. si la central tiene 1000 abonados o menos. llegue a la cima de la casa.000 pts y sabe que en un mes puede vender 30 coches a 1.2 m de altura está situada a una distancia de 1. 7 . de capacidad fija dada de antemano. Un estudio de marketing le revela que por cada 20. de altura tiene su base a 1 m por encima de la horizontal correspondiente a la visual del observador. exigirá la menor cantidad de lona cuando la altura es raíz de 2 veces el radio de la base.000 pts cada uno. tiene en exclusiva el modelo CouA-Turbo.200.1).?. Si el número de abonados es superior a 1000. Hallar la longitud de la escalera más corta. 14) Calcula el punto de 2y=x2 más cercano al punto (4. 16) Una estatua de 3 m. de manera que .A. 15) Una pared de 3. puede aumentar la venta en 2 coches más al mes. 18) A las nueve de la mañana el barco B está a 65 millas al Este del barco A. Determinar el instante entre las 12 y las 12 y media en el que el área es máxima. y A hacia el Sur a 15 millas por hora . B navega hacia el Oeste a 10 millas por hora.¿ Cuánto estarán más próximos uno del otro y cual es esa distancia?. Uniendo los extremos se forma un triángulo. 8 ..17) Las manecillas de un reloj miden 4 y 6 cm.