Mecánica de FluidosMSC. ING. EDUARDO PAREDES BELTRÁN MOVIMIENTO DE MASAS FLUIDAS CON ACELERACIÓN UNIFORME UNIDAD 3 Fuerza de flotación Las fuerzas de flotación que un fluido ejerce sobre un cuerpo total o parcialmente sumergido se conoce como FUERZA DE FLOTACIÓN, esta fuerza actúa siempre verticalmente hacia arriba ya que no pueden existir componentes horizontales sobre un cuerpo sumergido debido a que su proyección vertical es cero. Principio de Arquímedes Mediante este principio podemos determinar volúmenes de cuerpos irregulares. midiendo la perdida aparente de peso cuando el sólido está totalmente sumergido en un líquido de densidad relativa conocida. . También podemos determinar las densidades relativas de líquidos por lectura de la profundidad a la que se hunde un hidrómetro. Otras aplicaciones están relacionadas con los problemas generales de flotación o diseños de estructuras navales. podemos decir que un cuerpo flotante desplaza una cantidad de fluido igual a su peso.Principio de Empuje y Flotación Fue descubierto por Arquímedes hace alrededor 2. De esto. .200 años y puede enunciarse como sigue: ◦ “Un cuerpo flotante o sumergido en un fluido sufre un empuje hacia arriba producido por una fuerza igual al peso del fluido desalojado” Esta fuerza se conoce como EMPUJE. un cuerpo flotante desplaza el volumen de fluido suficiente para equilibrar exactamente su propio peso. Si queremos saber si un cuerpo flota es necesario conocer su peso específico.Asimismo. que es igual a su peso dividido por su volumen. . El punto de aplicación de la fuerza de empuje ascensional se llama CENTRO DE EMPUJE y está localizado en el centro de gravedad del volumen de fluido desplazado. . Si el peso es menor que el empuje. el cuerpo no se hunde ni emerge. es decir el peso del cuerpo es mayor que el del líquido. el cuerpo flota. Si el peso es igual al empuje. El peso del cuerpo es menor que del líquido. El peso es igual al del líquido.Si el peso es mayor que el empuje el cuerpo se hunde. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟗 𝒎𝟑 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑖𝑒𝑑𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 90𝑁 FB 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 = = 𝟐. 𝟐𝟓 40𝑁 Datos: • 𝑊 = 90 𝑁 • 𝑊𝑎𝑔𝑢𝑎 = 50 𝑁 . CALCULAR EL VOLUMEN Y LA DENSIDAD RELATIVA DE LA PIEDRA. σ𝑌 = 0 50N 90𝑁 − 50𝑁 − 𝐹𝐵 = 0 𝐹𝐵 = 40𝑁 𝑒𝑚𝑝𝑢𝑗𝑒 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑜 90N 40𝑁 = 9790 𝑁Τ𝑚3 × 𝑉 𝑽 = 𝟎. UNA PIEDRA PESA 90 N EN EL AIRE Y 50 N CUANDO ESTÁ SUMERGIDA EN EL AGUA. 0𝑘𝑝 = 0 𝑊 = 𝐹𝐵 + 5.0𝑘𝑝 = 𝟐𝟎. DANDO LA MEDIDA 5. CUÁNTO PESA EN EL AIRE Y CUÁL ES SU DENSIDAD RELATIVA? σ𝑌 = 0 5kg 𝑊 − 𝐹𝐵 − 5.2 × 0.0 KP. 𝟗𝟔𝟖𝒌𝒑 FB 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑖𝑒𝑑𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 20.4)𝑚3 W 𝐹𝐵 = 15.968𝑘𝑝 𝑊 = 15.968𝑘𝑝 Datos: 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 = = 𝟏.968𝑘𝑝 + 5.0𝑘𝑝 𝑒𝑚𝑝𝑢𝑗𝑒 𝐹𝐵 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑜 𝐹𝐵 = 998 𝑘𝑝Τ𝑚3 × (0. 𝟑𝟏 15. UN OBJETO PRISMÁTICO DE 20 CM DE ESPESOR POR 20 CM DE ANCHO Y 40 CM DE LONGITUD SE PESA EN EL AGUA A UNA PROFUNDIDAD DE 50 CM.2 × 0.968𝑘𝑝 • 𝑊𝑎𝑔𝑢𝑎 = 5 𝑘𝑝 . 780 × 9790 𝑁Τ𝑚3 × 𝑉1 + 𝐴ℎ 2 𝜋 × 2.157 × 10−6 𝑚2 ℎ Datos: • 𝑊𝑠𝑢𝑚𝑒𝑟𝑔𝑖𝑑𝑜 = 0.0216 𝑁 ℎ = 0.687 × 10−6 𝑚3 = 6. UN HIDRÓMETRO PESA SUMERGIDO 0. CUÁL SERÁ LA DIFERENCIA ENTRE LAS LONGITUDES DE EMERGENCIA DEL VÁSTAGO CUANDO FLOTA EN ACEITE DE DENSIDAD RELATIVA 0.821? h 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒍 𝒍𝒊𝒒𝒖𝒊𝒅𝒐 𝟏: 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 ℎ𝑖𝑑𝑟𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑜 0.828 × 10−6 𝑚3 − 2.0229𝑚 = 𝟐.157 × 10−6 𝑚2 ℎ Dr=0.0216𝑁 = 0.780 × 9790 𝑁Τ𝑚 × 2.780 Y EN ALCOHOL DE DENSIDAD RELATIVA 0.28 CM DE DIÁMETRO.821 × 9790 𝑁Τ𝑚3 × 𝑉1 𝑉1 = 2.780 0.0216 N Y SU EXTREMO SUPERIOR ES UN VÁSTAGO CILÍNDRICO DE 0.687 × 10−6 𝑚3 (𝑒𝑛 𝑎𝑙𝑐𝑜ℎ𝑜𝑙) 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒍 𝒍𝒊𝒒𝒖𝒊𝒅𝒐 𝟐: 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 ℎ𝑖𝑑𝑟𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑜 1 0.821 Dr=0.0216𝑁 = 0.141 × 10−6 𝑚3 = 6.0216𝑁 = 0. 𝟐𝟗𝒄𝒎 .687 × 10 𝑚 + ℎ 4 2.8 × 10−3 𝑚 2 3 −6 3 0. 50 𝑚3 𝑊𝑃𝑏 = 110𝑘𝑁 100.0139𝑘𝑁 𝟑 𝑽= = 𝟎.26𝑁 = 1.21 𝑘𝑁Τ𝑚3 × 𝑉 = 0.651 × 9. 𝟎𝟎𝟎𝟏𝟑𝟖𝒎 100.000138𝑚3 𝒑𝒆𝒔𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒍𝒐𝒎𝒐 = 15.08𝑚 2 +𝑉 0.68 × 10−3 𝑚3 + 𝑉 Datos: 0.0612𝑘𝑁 + 110 𝑘𝑁Τ𝑚3 × 𝑉 = 0.50 M DE LONGITUD.5561𝑘𝑔𝑓 .651 ES DE SECCIÓN CUADRADA 80 MM DE LADO Y 1.79 𝑘𝑁Τ𝑚3 × 1.79 𝑘𝑁Τ𝑚3 × 7.08 × 1.0139𝑘𝑁 0. UNA PIEZA DE MADERA DE DENSIDAD RELATIVA 0.21 𝑘𝑁Τ𝑚3 𝒑𝒆𝒔𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒍𝒐𝒎𝒐 = 110 𝑘𝑁Τ𝑚3 × 𝑉 𝒑𝒆𝒔𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒍𝒐𝒎𝒐 = 110 𝑘𝑁Τ𝑚3 × 0.651 • • 𝑉 = 0.0612𝑘𝑁 + 110 𝑘𝑁Τ𝑚3 × 𝑉 = 9.79 𝑘𝑁Τ𝑚3 × 𝑉 • 𝑑𝑟 = 0.0751𝑘𝑁 + 9. CUANTOS KILOGRAMOS DE PLOMO DE PESO ESPECÍFICO 110 KN/M3 DEBEN UNIRSE A UNO DE LOS EXTREMOS DEL LISTÓN DE MADERA PARA QUE FLOTE VERTICALMENTE CON 0.79 𝑘𝑁Τ𝑚3 × 1.50𝑚 × 0.08 × 0.3 M FUERA DEL AGUA? 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎 𝑦 𝑝𝑙𝑜𝑚𝑜 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑎 0.08𝑚 2 + 110 𝑘𝑁Τ𝑚3 × 𝑉 = 9.20𝑚 × 0. 534 • 𝑑𝑟𝑚𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑖𝑜 = 13.57 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑠𝑢𝑚𝑒𝑟𝑔𝑖𝑑𝑜 = 0.57 CONTENIDO EN UN RECIPIENTE? W 𝐹𝑌 = 0 V 𝑊 − 𝐹𝐵 = 0 V1 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 = 𝑒𝑚𝑝𝑢𝑗𝑒(𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑜) 7.534 𝑉 13.25 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑓𝑙𝑜𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 1 − 0.57 𝒑𝒆𝒔𝒐 𝒇𝒍𝒐𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 = 𝟎. DE DENSIDAD RELATIVA 13.QUE FRACCIÓN DE VOLUMEN DE UNA PIEZA SOLIDA DE METAL DE DENSIDAD RELATIVA 7.25 × 9790 𝑁 Τ𝑚3 × 𝑉 = 13.25 FLOTARA SOBRE LA SUPERFICIE DE MERCURIO.57 × 9790 𝑁Τ𝑚3 × 𝑉1 FB 𝑉1 7.25 = = 0. 𝟒𝟔𝟔 .534 Datos: • 𝑑𝑟𝑚𝑒𝑡𝑎𝑙 = 7. 79 𝑘𝑁Τ𝑚3 × 7.7𝑚 𝑊𝑝𝑖𝑒𝑑𝑟𝑎𝑠 = 825.6𝑚 × 3𝑚 × ℎ 350𝑘𝑁 ℎ= = 𝟏.6 × 3 × 3. 𝟓𝟕𝒎 𝒔𝒖𝒎𝒆𝒓𝒈𝒊𝒅𝒂 9.79 𝑘𝑁Τ𝑚3 7. A) QUE PROFUNDIDAD SE SUMERGE? B) SI EL AGUA TIENE UNA PROFUNDIDAD DE 3. QUE PESO DE PIEDRAS DEBE CARGARSE EN LA GABARRA PARA QUE ESTA REPOSE SOBRE EL FONDO? Datos: • 𝑊 = 350𝑘𝑁 Literal A: • 𝑉 = 7.79 𝑘𝑁Τ𝑚3 × 7.7 M. UNA GABARRA RECTANGULAR DE 7.6𝑚 × 3𝑚 Literal B: 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑔𝑎𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑚𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑖𝑒𝑑𝑟𝑎𝑠 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑎 350𝑘𝑁 + 𝑊𝑝𝑖𝑒𝑑𝑟𝑎𝑠 = 9. PESA 350KN Y FLOTA SOBRE AGUA DULCE.7 METROS DE PROFUNDIDAD.88𝑘𝑁 − 350𝑘𝑁 = 𝟒𝟕𝟓. 𝟖𝟖𝒌𝑵 .7 𝑚3 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑔𝑎𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑎 350𝑘𝑁 = 9.6 M POR 3 M DE BASE Y 3.6𝑚 × 3𝑚 × 3. para que un cuerpo sumergido en un líquido este en equilibrio. con lo cual se dan condiciones de equilibrio. Fb=W. la fuerza de empuje Fb y el peso W han de ser iguales en magnitudes y además han de aplicarse en el mismo punto. .ESTABILIDAD EN CUERPOS SUMERGIDOS De acuerdo con el principio de Arquímedes. En tal caso la fuerza resultante es cero y también lo es el momento. Este desplazamiento provoca una disminución del volumen del fluido desplazado cambiando la magnitud de la fuerza de flotación correspondiente.ESTABILIDAD LINEAL Se pone de manifiesto cuando desplazamos el cuerpo verticalmente hacia arriba. . . . En este caso. El efecto que tiene dicho par de fuerzas sobre la posición del cuerpo determina el tipo de equilibrio del sistema. por lo que la fuerza de flotación y el peso no son colineales provocando la aparición de un par de fuerzas restauradoras (o adrizantes). el centro de flotación y fuerza de gravedad no permanecen sobre la misma línea vertical.ESTABILIDAD ROTACIONAL Este tipo de estabilidad se pone de manifiesto cuando un cuerpo sufre un desplazamiento angular. . Esta fuerza resultante dirigida hacia arriba es igual al peso del líquido desplazado por el sólido: 𝐹𝐵 = ∀𝛾 Donde ∀ es el volumen efectivo.La fuerza de flotación es igual a la componente vertical de fuerzas que actúan sobre el cuerpo sumergido. . Para determinar la línea de acción de la fuerza de flotación se toman momentos con respecto a un eje y se igualan al momento resultante: 1 𝛾∫ 𝑥 𝑑∀ = 𝛾∀𝑋ത → 𝑋 = ∫ 𝑥 𝑑∀ ∀ Donde 𝑋ത es la coordenada del centro de gravedad del volumen desplazado. . La fuerza de flotación actúa a través del centro de gravedad del volumen desplazado y este punto se llama Centro de flotación. EQUILIBRIO DE CUERPO FLOTANTES El equilibrio de un cuerpo flotante se clasifica en tres tipos: . el cuerpo vuelve a su posición original. Este tipo de equilibrio lo tienen los cuerpos de centro de gravedad bajo. pero cuando aquella cesa.ESTABLE Una fuerza activa o externa genera una inclinación lateral. . Este equilibrio lo tienen los cuerpos que tienen centro de gravedad alto. . El cuerpo obtiene luego de esto una posición más o menos estable.INESTABLE La fuerza actuante origina el volteo brusco del cuerpo o zozobra. cuya velocidad es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza y dura mientras exista la fuerza. . Este tipo de equilibrio lo tienen aquellos cuerpos con distribución de masa uniforme y el centro de flotación y centro de gravedad se ubican siempre en la misma vertical.INDIFERENTE La fuerza actuante origina un movimiento de rotación continuo del cuerpo. ANÁLISIS DE EQUILIBRIO DE UN CUERPO FLOTANTE SIMÉTRICO CON RESPECTO AL EJE LONGITUDINAL Posición de Equilibrio . Cuando aplicamos una fuerza externa ocasional existe una inclinación de un ángulo 𝜃 y el centro de gravedad 𝐺1 se desplaza hasta la posición 𝐺1 ′ Se originan las fuerzas 𝐹1 y 𝐹2 El empuje total 𝐵 actúa en su nueva posición 𝐺1 ’ El momento de la fuerza resultante con respecto a 𝐺1 es igual al par que producen las fuerzas 𝐹1 y 𝐹2 : 𝐹1 𝑓 𝑛= 𝐵 Para el volumen infinitesimal se genera un momento de desequilibrio: 𝑑𝐴 = 𝑥 tan 𝜃 𝑑𝐴 El momento de la fuerza B con respecto a O es: 𝐹1 𝑓 = 𝛾 tan 𝜃 ඵ 𝑥 2 𝑑𝐴 = 𝛾 tan 𝜃 𝐼𝑧 𝐴 . Para predecir el comportamiento del cuerpo flotante es importante conocer la posición del punto m que es la intersección de la línea de acción de la fuerza de flotación B que pasa por el punto 𝐺1′ con el eje y el cuerpo. El punto m se denomina metacentro y la altura metacéntrica se nota con h y corresponde a la distancia entre los puntos G y m. El equilibrio es estable si el metacentro se ubica por arriba del centro de gravedad (ℎ > 0) y es inestable si el metacentro se ubica por debajo del centro de gravedad (ℎ < 0) . DETERMINACIÓN DE UBICACIÓN DEL METACENTRO La determinación de si el CG esta por debajo o sobre el metacentro (y por tanto. puede realizarse numéricamente utilizando la siguiente ecuación para calcular la distancia desde el CB (centro de empuje) al metacentro: 𝐼 𝑀𝐵 = 𝑉𝑑 Donde: ◦ 𝑀𝐵 = 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑒𝑙 𝐶𝐵 𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑡𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 ◦ 𝐼 =momento de inercia de una sección horizontal del cuerpo tomada en la superficie del fluido cuando el cuerpo flotante esta sin cabeceo. ◦ 𝑉𝑑 = 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑜 . respectivamente). la estabilidad o la inestabilidad. como cuando están expuestos a movimientos de rotación y traslación. es decir sin movimiento relativo entre sus partículas. . En general no existe movimiento entre el fluido y el recipiente que lo contiene. Teniendo en cuenta que estos pueden experimentar movimientos horizontales y verticales.TRASLACIÓN DE MASAS FLUIDAS Existen situaciones donde los fluidos pueden estar sometidos a aceleración constante. MOVIMIENTO HORIZONTAL En este caso la superficie libre del líquido adopta una posición inclinada y plana. cuya pendiente está determinada por la relación entre la aceleración del recipiente y la aceleración de la gravedad 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑖𝑝𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 tan 𝜃 = 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 . 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑖𝑝𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 p=𝛾ℎ 1± 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 .MOVIMIENTO VERTICAL En este caso hay variaciones dentro del volumen del líquido de tal forma que la presión en cualquier punto del líquido se determina considerando el producto de la presión hidrostática y la relación entre la aceleración del recipiente y la gravedad. sumada o restada de una unidad dependiendo si la aceleración aumenta o disminuye. ROTACIÓN DE MASAS EN RECIPIENTES ABIERTOS La forma de la superficie de un líquido que gira con el recipiente que lo contiene adopta la forma de un paraboloide de revolución. Dicha ecuación está dada por: 𝜔2 y= x2 2𝑔 Donde: ◦ x. y son coordenadas ◦ 𝜔 es la velocidad angular constante (𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔) . Que cualquier plano vertical que pase por el eje de revolución corta la superficie según la parábola. se genera un incremento en la presión entre un punto situado en el eje y uno a una distancia X del eje en el mismo plano horizontal.ROTACIÓN DE MASAS EN RECIPIENTES CERRADOS Como en el caso de las bomba y turbinas. y está dada por: 𝜔2 p=𝛾 x2 2𝑔 p 𝜔2 Y el aumento de la altura de presión será: = y = 𝑋2 𝛾 2𝑔 La velocidad lineal será: v = x 𝜔 . o en caso que gire el recipiente que lo contiene. la rotación de una masa de fluido. QUE ALTURA DEBEN TENER SUS LADOS PARA QUE NO SE DERRAME AGUA AL SOMETERLO A UNA ACELERACIÓN DE 4.UN DEPÓSITO DE BASE CUADRADA DE 1.5 METROS DE LADO CONTIENE 1.0 M DE AGUA.0 M/S2 EN DIRECCIÓN PARALELA A UN PAR DE LADOS? . 751.0 m.40 m por 3. flota en un aceite de densidad relativa 0. b) el valor del par que actúa sobre el bloque y c) la situación del metacentro en la posición indicada.Un bloque de madera de 1. Determinar a) el empuje que actúa sobre el bloque y su posición.80 m por 2. Un par del sentido de las agujas de un reloj mantiene el bloque en la posición mostrada en la Figura. .