“UNIDAD 2”Carrera: Ing. industrial Asignatura: Catedrático: Alumno: Carlos Cesar Molina Carrasco Villahermosa Tabasco a 06 de octubre del 2015 Introducción utilizando los conceptos de cantidad escalar, vectorial y se proporcionaran los procedimientos para la suma de fuerzas, representación de las mismas por medio de sus componentes y su proyección a lo largo de un eje. Debido a que la fuerza es una cantidad vectorial, debemos usar las reglas del algebra vectorial para su estudio. la suma de estos ángulos es 360°. Los ángulos desconocidos, junto con las magnitudes de las fuerzas conocidas o desconocidas, deberán estar especificados claramente en el dibujo. Vuelva a dibujar la mitad del paralelogramo diseñado para ilustrar la suma de las componentes triangular cabeza-cola. Las fuerzas se representan matemáticamente por vectores, ya que estos se definen como expresiones matemáticas de tienen una magnitud, dirección y sentido. Las fuerzas coplanares, se encuentran en un mismo plano y en 2 ejes, a diferencia de las no coplanares que se encuentran en mas de un plano, es decir en 3 ejes. o sentido de su velocidad).UNIDAD 2 ESTATICA DE LA PARTICULA Conceptos básicos. Aunque los principios de la Estática son independientes del tiempo. utilizando los conceptos de cantidad escalar. vectorial y se proporcionaran los procedimientos para la suma de fuerzas. Tiempo: El tiempo se concibe como una sucesión de eventos. Equilibrio de una partícula: en el plano y en el espacio. representación de las mismas por medio de sus componentes y su proyección a lo largo de un eje. en este sentido la fuerza puede definirse como toda acción o influencia capaz de modificar el estado de movimiento o de reposo de un cuerpo (imprimiéndole una aceleración que modifica el módulo. . Suele ser común hablar de la fuerza aplicada sobre un objeto.1 Conceptos básicos. Resultante de fuerzas coplanares. debemos usar las reglas del algebra vectorial para su estudio. Descomposición de una fuerza en sus componentes rectangulares: en el plano y en el espacio. Longitud: La longitud es necesaria para ubicar un punto en el espacio y de esta forma describir el tamaño de un sistema físico. Debido a que la fuerza es una cantidad vectorial. esta cantidad definitivamente juega un papel importante en el estudio de la Dinámica. modificar su velocidad o vencer su inercia y ponerlos en movimiento si estaban inmóviles. o bien de deformarlo. Fuerza: Magnitud vectorial capaz de deformar los cuerpos (efecto estático). Masa: La masa es una propiedad de la materia por la cual podemos comparar la acción de un cuerpo con la de otro. 2. sin tener en cuenta al otro objeto con el que está interactuando. dirección. Recuerde que la suma de estos ángulos es 360°. De ser posible. Ley de senos: A b c B a A B sen a sen b C sen c . puede usarse la ley de los senos y los cósenos para su solución. deberán estar especificados claramente en el dibujo. es decir en tres planos. Sistema de vectores colineales: Se tiene un sistema de vectores colineales cuando dos o más vectores se encuentran en la misma dirección o línea de acción. el punto de cruce constituye el punto de aplicación. junto con las magnitudes de las fuerzas conocidas o desconocidas.Vectores Coplanares y no Coplanares: Los vectores pueden clasificarse en coplanares. Sistema de Vectores Concurrentes: Un sistema de vectores es concurrente cuando la dirección o línea de acción de los vectores se cruza en algún punto. Sistema de Vectores Paralelos: Son aquellos vectores que por más que alargan su trayectoria. Los ángulos desconocidos. 2. estas formulas se proporcionan en la figura. Vuelva a dibujar la mitad del paralelogramo diseñado para ilustrar la suma de las componentes triangular cabeza-cola. Los problemas que involucran la suma de dos fuerzas que contienen como máximo dos incógnitas.2Resultante de fuerzas coplanares. Trigonometría: Utilizando la trigonometría. Para el triangulo mostrado. Procedimiento para el análisis de suma o resta de vectores. jamás se pueden unir. Regla del paralelogramo: Haga un dibujo que muestre la suma vectorial utilizando la regla del paralelogramo. Los siguientes ejemplos ilustran este método numéricamente. pueden resolverse utilizando el siguiente procedimiento. si se encuentran en el mismo plano o en dos ejes. las dos incógnitas pueden determinarse a partir de los datos proporcionados en el triángulo esto no contiene un ángulo de 90°. y no coplanares si están en diferente plano. Un vector colineal cera positivo si su sentido es hacia la derecha o hacia arriba y negativo si su sentido es hacia la izquierda o hacia abajo. A estos vectores se les llama angulares o concurrentes porque forman un ángulo entre ellos. determine los ángulos interiores del paralelogramo que ilustra el problema. De esta forma se aplican mas fácilmente los métodos del álgebra vectorial. En dos dimensiones.3 descomposicion de una fuerza en sus componentes rectangulares: en el plano y en el espacio. en vez de obtener esta aplicación sucesiva de la regla del paralelogramo. lo cual hace en particular ventajosa la resolución de problemas en tres dimensiones. En esta ocasión descompondremos cada fuerza en sus componentes rectangulares Fx y Fy las cuales se ubican a lo largo de los ejes x e y respectivamente Notación escalar: puesto que a los ejes x e y se les han asignado direcciones positivas y negativas. es mas fácil determinar las componentes de cada fuerza a lo largo de ejes específicos. sumar estos componentes algebraicamente y después obtener la resultante. los vectores unitarios cartesianos i y j se utilizan para designar las direcciones de los ejes x e y respectivamente. Cuando se va a determinar la fuerza resultante de mas de dos fuerzas. Notación vectorial cartesiana: también es posible representar las componentes de una fuerza en términos de vectores unitarios cartesianos. la magnitud y dirección de las componentes rectangulares de una fuerza pueden expresarse en términos de escalares algebraicos.Ley de cósenos: C C A 2 B 2 2AB cos c 2. Estos vectores tienen una magnitud adimensional igual a la unidad y su sentido se describe analíticamente por un signo positivo o negativo por lo tanto la fuerza resultante estará dada por: F = Fxi + Fyj Para obtener la fuerza resultante de acuerdo a su magnitud y dirección se aplica al teorema de Pitágoras teniendo que: FR Fx 2 Fy 2 . tg 1 Fy Fx PROBLEMA 2. y Q = 25 lbs.1 Dos fuerzas P y Q se aplican en el punto A del gancho que se muestra en la figura. determine en forma grafica la magnitud y la dirección de su resultante empleando: a) La ley del paralelogramo b) La regla del triangulo . Si P = 15 lbs. determine en forma grafica la magnitud y la dirección de su resultante empleando: a) La ley del paralelogramo b) La regla del triangulo Utilizar la figura del problema anterior. Si P = 45 lbs.PROBLEMA 2. b) La regla del triangulo.4 Un automóvil descompuesto es jalado por medio de cuerdas sujetas a las dos fuerzas que se muestran en la figura. . y Q = 15 lbs. PROBLEMA 2. Determine en forma grafica la magnitud y la dirección de la resultante usando: a) La ley del paralelogramo. Determine en forma grafica la magnitud y la dirección de su resultante usando: a) La ley del paralelogramo b) La regla del triangulo PROBLEMA 2.3 Dos fuerzas son aplicadas a una armella sujeta a una viga.2 Dos fuerzas P y Q se aplican en el punto A del gancho que se muestra en la figura. 5 La fuerza de 200 N se descompone en componentes a lo largo de las líneas a – a´ y b – b´ . . b) ¿ Cual es el valor correspondiente de la componente a lo largo b – b´? PROBLEMA 2. PROBLEMA 2.7 Determine las componentes x y y de cada una de las fuerzas que se muestran en la figura. a) Determine por trigonometría el ángulo α sabiendo que la componente a lo largo de a – a’ es de 150 N.6 Determine las componentes x y y de cada una de las fuerzas que se muestran en la figura.PROBLEMA 2. PROBLEMA 2. determine la resultante de las tres fuerzas que se muestran en la figura. b) La magnitud correspondiente de la resultante. Determine: a) El valor del ángulo alfa para que la resultante de las tres fuerzas sea horizontal. determine la resultante de las tres fuerzas que se muestran en la figura.9 Si alfa es 65º. . PROBLEMA 2.10 Si alfa es 50º.8 Un collarín que puede deslizarse sobre una varilla vertical se somete a tres fuerzas mostradas en la figura.PROBLEMA 2. respectivamente. Si las tensiones respectivas en los cables AC y Ad son de 900 y 1200 lbs.11 El aguilón AB se sostiene en la posición mostrada en la figura mediante tres cables. Suma de un sistema de fuerzas en el espacio Vectores cartesianos z Az ! A = A + Az A ! A = Ax + Ay Ay O Ax y A! x .PROBLEMA 2. determine: a) La tensión en el cable AE si la resultante de las tensiones ejercidas en el punto A del aguilón debe estar dirigida a lo largo de AB. b) La magnitud correspondiente de la resultante. entonces un vector unitario que tenga la misma dirección que A se representa como: U A A A A 1 UA A .Vector unitario En general un vector unitario es un vector que tiene una magnitud = 1. Si A es un vector cuya magnitud A = 0. k se utiliza para designar las direcciones de los ejes x. las tres componentes vectoriales pueden escribirse en forma vectorial cartesiana: A = Axi + Ayj + Azk Magnitud de un vector cartesiano Se puede obtener la magnitud de un vector A siempre y cuando el vector se exprese en forma vectorial cartesiana. A Ax 2 Ay 2 Az 2 Dirección de un vector cartesiano cos Ax A cos Ay A A cos z . z respectivamente. y. j. z k x y j i Representación vectorial cartesiana Utilizando los vectores unitarios cartesianos.Vector unitario cartesiano En tres dimensiones el conjunto de vectores cartesianos i. A El vector unitario en la dirección de A: Ay A Az A xi UA A A j Ak A U A cos i cos j cos k como cos 2 UA 1 cos 2 cos 2 1 . se le amarran los cables AB y AC a la parte alta del tronco y después se fijan a barras de acero clavadas al suelo. y θz que forma la fuerza en A con los ejes paralelos a los ejes coordenados. determine: a) Las componentes de la fuerza ejercida por este cable sobre el árbol.12 Para estabilizar un árbol arrancado parcialmente durante una tormenta. . b) Los ángulos θx. y y z de la fuerza de 900 N y de la fuerza de 1900 N. b) Los ángulos θx. Si la tensión en el cable AB es de 950 lb. y θz que forma la fuerza con los ejes coordenados.13 Determine: a) Las componentes x. PROBLEMA 2.PROBLEMA 2. θy. θy. Vectores de posición El vector de posición r se define como un vector fijo que ubica un punto en el espacio con relación con otro punto.y. Comenzando en el origen O. y θz que forma la fuerza con los ejes coordenados. Por ejemplo si r se extiende desde el origen de las coordenadas O. Si la tension en el resorte es de 220 N.y. ver figura (b). observe como la suma vectorial cabeza-cola de las tres componentes nos da el valor de el vector r. uno recorre una cierta distancia en la dirección +i.y. al punto P (x. despues una cierta distancia en la dirección +j y por ultimo una cierta distancia en la dirección +k para llegar al punto P (x.14 El angulo entre el resorte AB y el poste DA es de 30º.PROBLEMA 2. y y z de la fuerza ejercida por este resorte sobre la placa.z). ver figura (a) entonces r puede expresarse en forma vectorial cartesiana como: r = x i + yj + z k En particular. θy.z) z zk P (x. b) Los ángulos θx. determine: a) Las componentes x.z) r O xi yj Figura (a) . . y. por lo que r puede expresarse como r AB.z P (x. También observe que rA en la figura (c) están señalados con el subíndice solamente puesto que se extienden desde el origen del sistema coordenado.YA.z) Figura (b) zk r xi O y yj x Con frecuencia. De manera convencional. el vector de posición puede dirigirse del punto A al punto B en el espacio.YB.ZB) r rB A (XA.ZA) rA y O x . este vector se denota también con el símbolo r. sin embargo nos referimos en algunas ocasiones a este vector con dos subíndices para indicar el origen y destino hacia donde el vector esta dirigido. z B (XB. ver figura (c). Como se puede ver. De la figura (c) por la suma vectorial cabeza-cola requerimos que: rA + r = rB Si despejamos r y expresamos rA y rB en forma vectorial cartesiana obtenemos: r rB r x A o B i yB j zB k x A i yA j r x B x A i y B y A j z B z A k r zAk . zB). es decir yendo de A hacia B (figura d) uno primero viaja una cierta distancia (x B-xA) en la dirección +i.zA) y restándole las coordenadas correspondientes a la cabeza del vector B (xB. Si la tensión en el alambre AB es de 2100 N.k del vector de posición r puede expresarse formando las coordenadas de la cola del vector A (xA. después una cierta distancia (y B-yA) en la dirección +j y por ultimo una distancia (z B-zA) en la dirección +k.yA.yB.j. C y D. determine las componentes de la fuerza ejercida por el alambre sobre el perno colocado en B. Otra vez se puede ver como la suma cabeza-cola de estas componentes nos da r. z B A O y x PROBLEMA 2.Así las componentes i.15 Una torre de transmisión se sostiene por medio de tres alambres anclados con pernos en B. . En esta parte de la unidad se utilizaran los métodos para descomponer una fuerza en sus componentes rectangulares y expresar la fuerza como un vector cartesiano para resolver problemas que involucren el equilibrio de la partícula. Condición para el equilibrio de una partícula. Con frecuencia. sino que también es una condición suficiente. para mantener el estado de equilibrio.16 Dos cables BG y BH están unidos al marco ACD como se muestra en la figura. Una partícula se encuentra en equilibrio siempre y cuando permanezca en reposo si así se encontraba o mantenga una velocidad constante si se encontraba en movimiento. 2.4 Equilibrio de la partícula en el plano y en el espacio. primera Ley de Newton. La ecuación (4) no solamente es una condición necesaria para el equilibrio. la cual puede expresarse como F = ma. Esta condición puede expresarse matemáticamente como: F = 0 (4) donde F es el vector de la suma de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. Puesto que el sistema de fuerzas satisface la ecuación (4). Después. el termino equilibrio estático se utiliza para describir a un objeto en reposo. Para simplificar el estudio. determine las componentes de la fuerza ejercida por el cable BG sobre el marco en el punto B.PROBLEMA 2. entonces la partícula se encuentra en equilibrio. Si la tensión en el cable BG es de 450 N. se considerara en primer termino el equilibrio de la partícula en un sistema de fuerzas coplanares concurrentes. en la parte final del tema. Esto proviene de la segunda Ley del movimiento de Newton. es necesario satisfacer la primera Ley del movimiento de Newton. se consideraran los problemas de equilibrio que involucren sistemas de fuerzas concurrentes en el espacio. entonces ma = 0 por lo tanto la aceleración de la partícula a = 0 y en consecuencia la partícula en realidad se mueve . la cual establece que si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es igual a cero. Condiciones de equilibrio. Sin embargo. .con velocidad constante o permanece en reposo. Se indican tanto las fuerzas activas que son las que tienden a poner en movimiento al cuerpo. Se utilizan letras para representar las magnitudes y direcciones de las fuerzas desconocidas. Dibuje un bosquejo de su forma. no se debe despreciar la importancia que tiene el dibujar un diagrama de cuerpo libre antes de aplicar la ecuación de equilibrio para la solución de un problema. PROBLEMA 2. Si de una fuerza se conoce la línea de acción pero no su magnitud. Paso 3: A las fuerzas conocidas deben asignárseles las magnitudes y direcciones apropiadas.Diagrama de cuerpo libre Puesto que debemos tomar en cuenta todas las fuerzas que actúan sobre una partícula. la punta de la flecha que define el sentido de la fuerza puede suponerse. Para construir un diagrama de cuerpo libre es necesario seguir los siguientes pasos: Paso 1: Imagine la partícula en forma aislada o libre de sus alrededores. .17 Si α= 50º y el aguilón AC ejerce sobre la articulación C una fuerza dirigida a lo largo de la línea AC. como las reactivas que son las que tratan de impedirlo. determine: a) La magnitud de la fuerza b) La tensión en el cable BC. Paso 2: Indique en este dibujo todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. 18 Dos cables se amarran juntos en C y se cargan como se indica la figura. Si el pasajero pesa 550 N y la fuerza resultante R ejercida por el paracaídas sobre la horquilla A forma un ángulo de 65º con la horizontal.19 Un bote jala un paracaídas y su pasajero a una velocidad constante. b) La magnitud de R. determine: a) La tensión en la cuerda de remolque AB. . Determine la tensión en: a) El cable AC b) El cable BC PROBLEMA 2.PROBLEMA 2. PROBLEMA 2. Determine el peso W del contenedor si la tensión en el cable AB es de 6 kN. PROBLEMA 2.21 Un contenedor se sostiene por medio de tres cables que están unidos al techo como se muestra en la figura. .20 Dos semáforos se cuelgan temporalmente de un cable como se muestra en la figura. Si el semáforo colocado en B pesa 300 N. determine el peso del semáforo en C. PROBLEMA 2. . determine la fuerza vertical P que ejerce el globo en A.C y D.PROBLEMA 2.23 Una torre de transmisión se sostiene por medio de tres alambres que están unidos a una punta colocada en A y se anclan mediante pernos en B.22 Tres cables son usados para amarrar el globo que se muestra en la figura. Si la tensión en el cable AB es de 259 N.6 kN. determine la fuerza vertical P ejercida por la torre sobre la punta puesta en A. Si la tension en el alambre AB es de 3. 25 Los tres cables se usan para dar soporte a la lámpara de 800 N. Determine la fuerza desarrollada en cada cable en la posición de equilibrio. . PROBLEMA 2.PROBLEMA 2.24 Determine la magnitud y la dirección de F1 requeridas para mantener el sistema de fuerzas concurrentes en equilibrio. Conclusión Para determinar los componentes rectangulares de una fuerza se hace uso de la trigonometría del triangulo rectángulo simple. En la mayoría de los casos es. es igual al vector nulo. Cuando las componentes forman un ángulo recto. aplicando el conocimiento del teorema de Pitágoras. Una partícula se encuentra en equilibrio cuando la resultante de todas las fuerzas que actuan sobre la partícula. Primera Condición de Equilibrio . se les llamacomponentes rectangulares. es útil utilizar ejes x y e imaginarios cuando se trabaja con vectores en forma analítica. son todos los vectores coplanares que se encuentran delimitados por las coordenadas “X” e “Y”. Las componentes rectangulares de una fuerza en el plano. Todo vector se puede expresar como la suma de otros dos vectores a los cuales se les denomina componentes. Los métodos trigonométricos pueden mejorar la precisión y la rapidez para encontrar los componentes de un vector. GrawHill . Graw Hill.Mc. Mc. Laura Mercadotecnia Ed.“Un cuerpo se encuentra en equilibrio traslacional si y solo si la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre el es igual a cero”. William. la suma de los momentos o torcas de las fuerzas que actúan sobre él respecto a cualquier punto debe ser igual a cero”. Segunda Condición de Equilibrio "Para que un cuerpo esté en equilibrio de rotación. STANTON. FundamentosdeMercadotecniaEd. Bibliografía: FISHER.