Unidad I Cálculo IntegralUNIDAD I. ANTIDERIVACIÓN, INTEGRAL DEFINIDA Y APLICACIONES. Introducción. Las ciencias y las ingenierías requieren de la representación matemática del mundo físico para conocerlo, analizarlo y de ser posible controlarlo. El tema de la Antiderivación, la Integral Definida y sus Aplicaciones; proporciona los conocimientos básicos, métodos, técnicas y criterios para la aplicación de la integración en la resolución de problemas propios de ingeniería. Hasta este momento se ha estudiado la rama del cálculo denominada Cálculo Diferencial, en la que se estudia la derivada. De aquí en adelante estudiaremos la otra rama conocida como Calculo Integral, ambas ramas están relacionadas mediante las teorías fundamentales del cálculo, descubrimiento culminante en el siglo XVII, realizado por Newton y Leibniz, quienes lo trabajaron en forma independiente. La idea fundamental del cálculo integral es la determinación de resultados o efectos de procesos de cambio. Mientras que en el cálculo diferencial nos interesan los cambios instantáneos de una magnitud, usamos al cálculo integral para determinar los resultados totales de estos procesos de cambio. La determinación de “resultados totales de procesos de cambios” está presente de alguna u otra forma en la vida diaria y siempre se procede de la misma manera, esto es, se considera primero un corte instantáneo del proceso de cambio, esto es, se investiga cómo cambia el proceso en un instante determinado. Después nos referimos a experiencias previas con este proceso, las que nos indican cómo transcurre normalmente, por ejemplo, se ve gráficamente, como es su pendiente, grande o pequeña. Y a partir de este “corte momentáneo” es posible hacer la suma de cambios durante un intervalo más largo y así determinar el resultado. Al descargarse un acumulador, es suficiente conocer una descarga instantánea y la curva que describe el proceso de descarga, para saber cuándo se acabará su capacidad de almacenamiento de corriente eléctrica. Conocer los efectos de cambio es muy importante para el suministro de energía eléctrica. Si se sabe la razón de cambio mensual del consumo eléctrico en miles de horas kilovatios y si podemos suponer incrementos constantes, es posible pronosticar las necesidades para un intervalo determinado de tiempo. 1 Unidad I Cálculo Integral Los fabricantes de vinos toman pruebas de los vinos y licores, y a partir del contenido alcohólico en un momento dado, sacan sus conclusiones acerca del añejamiento de las bebidas, ya que conocen todo el proceso de cambio que experimentan estas. La plantación para la producción de materias primas sería casi imposible si no se usara la información que representan las tasas instantáneas de consumo. De igual forma en que la derivada está relacionada geométricamente a la recta tangente de una gráfica, la integral definida tiene una interpretación geométrica como el área de una región plana, misma que se define en la sección 1.6, y más adelante la utilizaremos para calcular áreas de regiones planas, así como volúmenes de varios tipos de sólidos. Competencia. Aplicar los conceptos y procedimientos del cálculo en la integración de funciones, mediante la aplicación de los teoremas fundamentales del cálculo integral apoyados en tecnologías de información, para resolver problemas cotidianos, de ciencias e ingeniería, con disposición para el trabajo colaborativo, responsabilidad y honestidad. Evidencias de desempeño. Al finalizar la unidad se pretende elaborar un problemario en el cual se contemplen los temas tratados y sus aplicaciones. Debe contener ejercicios resueltos en clase, talleres y tareas, donde se incluya el planteamiento, desarrollo e interpretación de los resultados. El mapa conceptual de la unidad. Aplicaciones Áreas y Volúmenes Integral Definida Propiedades Notación Sigma Propiedades Antiderivación Técnicas de Antiderivación 2 Unidad I Cálculo Integral 1.1.- Antiderivación. Competencia.- Aplicar los conceptos y procedimientos del cálculo en la integración de funciones, mediante la aplicación de los teoremas fundamentales del cálculo integral. 1.1.1. Definición de una antiderivada o primitiva. y f (x) Supongamos que es una función dada y que podemos encontrar otra función F ( x) f ( x ) F(x) tal que . Entonces llamamos a F(x) una antiderivada de f(x). Encontrar estas antiderivadas y destacar su importancia dentro del Calculo Integral, es el propósito de esta sección y las que siguen. Trabajaremos con un ejemplo sencillo. La fig. 1.1.1 representa la tasa de producción de un libro de Cálculo en [artículos/año] durante 5 años. Se necesita determinar la producción total de libros en estos cinco años. Para resolver este problema utilizaremos los métodos del cálculo que conocemos. Si usamos un método grafico basado en que para determinar el efecto total de los cambios en la producción basta con calcular el área total debajo de la función de la fig. 1.1.1, lo cual sugiere la fig. 1.1.2. Fig. 1.1.1 Fig. 1.1.2 El método geométrico es exacto debido a que la función que se va a integrar es una función lineal. La tabla 1.1.1 y la fig. 1.1.3 representan la producción anual y la producción Total en 5 años. La fig. 1.1.3 muestra la grafica que representa la función integral F(x) de la función f(x) representada por la fig. 1.1.1 Para asegurarnos que F(x) es una antiderivada de f(x) 3 Unidad I Cálculo Integral F ( x) x 2 , entonces F ( x) 2 x F ( x) f ( x) falta comprobar que . Si , la cual es la F ( x) f ( x ) función original f(x) y entonces Tiempo en 1 año En 2 años En 3 años En 4 años En 5 años . Producción Total 1,000 4,000 9,000 16,000 25,000 Tabla 1.1.1 Fig. 1.1.3 Definición de una antiderivada o primitiva.Se dice que una función F es una antiderivada o primitiva de f, en un intervalo I si F ( x) f ( x ) para todo x en I. Nótese que F es una antiderivada de f, en vez de la antiderivada de f. Para ser más claros explicaremos porque: F1 ( x) x 3 , F2 ( x ) x 3 5 y F3 ( x) x 3 97 f ( x) 3 x 2 , son todas antiderivadas de F ( x) x 3 C de hecho, para cualquier constante C, la función dada por es una antiderivada de f. Ejemplos Resueltos: Determinación de antiderivadas o primitivas. Para cada derivada describir la función original F. Ejemplo F ( x) x Procedimiento por exploración Si la derivada es x, la función original x a) debió ser 2 pero dividida entre 2 para Resultado F ( x) x2 2 4 2. La integral indefinida. Si sabemos que es posible que representemos la familia G ( x) x 2 C f ( x) 2 x completa de todas las antiderivadas de por donde C es constante. D x x 2 2 x. Representación de antiderivadas o primitivas. definición y propiedades Si utilizamos el teorema anterior. por lo tanto un resultado puede ser: Si la derivada de senx . Representaciones de antiderivadas o primitivas Teorema. A la expresión f(x) se le conoce como integrando y el dx nos señala con 5 . La constante C. recibe el nombre de constante de integración y la familia de funciones representada por G es la antiderivada general de f.1.1. entonces una antiderivada puede ser F ( x) senx 1. entonces G es una antiderivada de f en el G ( x ) F ( x) C intervalo I si y sólo si G es de la forma. A la primitiva o antiderivada de una función se le denomina integral indefinida y se representa de la siguiente manera: Donde el símbolo f ( x)dx F ( x) C se lee como integral y pudiéramos decir que es una s de suma alargada. 1.Unidad I Cálculo Integral f ( x ) 2 x que se elimine el 2 de la lo tanto un resultado puede ser: F ( x) 1 x2 b) . o sea x-2 la función Si la derivada es x 1 original debió ser pero dividida entre f ( x) x 2 F ( x) cos x c) -1 para que se elimine . es cosx. Si F es una antiderivada de f en un intervalo I. Por ejemplo. por 1 x2 F ( x) 1 x . estamos representando la familia completa de antiderivadas de una función agregando una constante a una antiderivada conocida.3. A manera de recordatorio podemos mencionar las siguientes: Regla de Derivación Regla de integración d C 0 dx 0dx C d kx k dx kdx kx C d kf ( x) kf ( x) dx kf ( x)dx k f ( x)dx d f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) dx [ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx 6 . La naturaleza inversa de la integración y la derivación puede verificarse sustituyendo F’(x) por f(x) en la definición de integral indefinida para obtener F ( x)dx F ( x) C además si d dx f ( x)dx F ( x) C f ( x)dx f ( x) entonces Estas dos ecuaciones nos permiten obtener directamente formulas de integración a partir de fórmulas de derivación. en la siguiente sección mostramos un resumen. Las propiedades de las antiderivadas son las mismas que conllevan las derivadas.Unidad I Cálculo Integral respecto a que variable se está integrando la expresión. Por lo anterior podemos darnos cuenta que el termino integral indefinida es sinónimo de antiderivada. ya que como se muestra son operaciones inversas. - 3 x3 3 1 2 3 x 2 dx 2 x x C dw 2 5 dy v 3 v 2 3v v 1 2 dv 10.- 3 t (6t 2 )dt 9 3 10 t C 5 3.- 7 . A. TALLER. Para los ejercicios del 1 al 5 verificar el enunciado demostrando que la derivada del lado derecho es igual al integrando del lado izquierdo. Los ejercicios del 6 al 10 resuélvelos utilizando las propiedades y reglas básicas de integración.- 4v 3 1 1 dv v 4 C 2 v v x (6 x 2 ) dx 3 t 2 t 2 dt C 2.- TAREA. 1.- 1 1 4 4v v 2 dv v v C 4.- z2 1 z 6.- 7.- 3 9 dv 3 C 4 v v 5 x3 dx 10 x 1 2 6.- 2 y 2 y 3 9.- 5.Unidad I Cálculo Integral Actividades para el estudiante.- 1 2 dx 4 x 2 C x 2. Para los ejercicios del 1 al 8 verificar el enunciado demostrando que la derivada del lado derecho es igual al integrando del lado izquierdo.- t 5 2 t 32 C t (t 1) dt 2 5 3 3. 2 2 z2 3 C 3 z 1 x 2 x 2 dx 3 x 3 4x C 7. 4. 1.- 9 3 dx 3 C 4 x x t3 3 1 2 3 t 2 dt 2 t t C 5.- w2 1 w 8. A.- 3 dz x 52 x 32 C x ( x 1) dx 2 5 3 3 8. Unidad I Cálculo Integral 1. . b) ¿Cuándo llegará la pelota al suelo? Solución: a) Si se considera que t=0 representa el tiempo inicial. 1. … altura inicial en pies s’(0) = 64 .2 Técnicas de Antiderivación. Competencia: Utilizar las propiedades y reglas de antiderivación para resolver integrales de funciones algebraicas.2.2.1 Reglas básicas de integración. velocidad inicial por seg.1 s (t ) s(t )dt 32t 32 dt 16t 2 32t C2 s (0) 80 80 16(0) 32(0) C2 Utilizando la altura inicial tendremos: C2 80 indica que . Lo que nos s(t ) 16t 2 64t 80 por consiguiente la función posición es: 8 . partiendo de una altura inicial de 80 pies. 1. En esta sección se calculan integrales indefinidas utilizando de manera directa las reglas básicas de integración a continuación se muestra un ejemplo sencillo de una aplicación. Las condiciones iniciales pueden escribirse de la siguiente manera: s(0) = 80 . se tiene: d 2s 32 dt 2 S”(t)=-32 o sea donde s(t ) s(t )dt 32dt 32t C1 Si sabemos que la velocidad inicial es de 64 32(0) C1 64 lo cual implica que C1=64 Después integrando s´(t) se obtiene: Fig. Se utilizará -32 pies/seg2 como la aceleración de la gravedad. Se desea conocer lo siguiente: a) La función posición que expresa la altura s como una función del tiempo t. . Una pelota es lanzada hacia arriba con una velocidad inicial de 64 pies por segundo. Ejemplo 1 Solución de un problema de movimiento vertical. para determinar el tiempo en que la s (t ) 0 s(t ) 16t 2 64t 80 0 pelota pega en el suelo. 16(t 1)(t 5) 0 . En seguida se muestran varios ejemplos resueltos donde se utilizan las reglas básicas de integración. así como las propiedades de las integrales indefinidas.2. El cálculo de la 1 x dx debe esperar hasta el análisis de la función logaritmo natural. Ejemplo Procedimiento Resultado 9 .3 Aplicación de las reglas básicas de integración.la regla de la potencia para la integración tiene la restricción n-1. Fórmula de Derivación Fórmula de integración x n 1 n x dx C n 1 n 1 d n x nx n 1 dx ** d sen( x) cos( x) dx cos( x)dx sen( x) C d cos( x) sen( x) dx sen( x)dx cos( x) C d tan( x) sec2 ( x) dx sec d sec( x) sec( x) tan( x) dx sec( x) tan( x)dx sec( x) C d cot( x) csc 2 ( x) dx csc ( x)dx cot( x) C d csc( x) csc( x) cot( x) dx csc( x) cot( x)dx csc( x) C 2 ( x)dx tan( x) C 2 **Nota. en la siguiente unidad. . 16(t 2 4t 5) 0 .Unidad I Cálculo Integral b) utiliza la función calculada en el inciso anterior. Reglas Básicas de integración y algunas propiedades de la integral indefinida.2.2 Algunas propiedades de la integral indefinida. 1. Ejemplos resueltos de integrales directas.. 1. de aquí podemos deducir dos posibles soluciones t=-1 y t=5 y como el tiempo no puede ser negativo la única solución viable es t=5 segundos. . y siguiendo la regla de la potencia se F ( x) 3 x2 C 2 x11 C 11 3 x1dx 3 tiene la 1 x 3 Primero se reescribe la expresión de dx x 2) dx F ( x) 1 C 2x2 la siguiente forma y utilizando la regla de la potencia x 31 3 x dx C 3 1 tenemos y simplificando… Ejemplo 3) 3 x dx Procedimiento Primero se reescribe la expresión de x 1 2 dx Resultado 3 2x 2 F ( x) C 3 la siguiente forma y utilizando la regla de la potencia 1 x 2 dx 4) 2senxdx tenemos y simplificando… Primero se reescribe la expresión de la siguiente forma utilizando una de 5) 5 sec 2 xdx 2 senxdx las F ( x) 2 cos x C y formulas 2( cos x) C anteriores tenemos y simplificando… Primero se reescribe la expresión de 5 sec xdx F ( x) 5 tan x C 2 la siguiente forma utilizando una de 6) 4(csc x)(cot x)dx 1 1 x 2 C 1 1 2 las y formulas 5(tan x ) C anteriores tenemos y simplificando… Primero se reescribe la expresión de la siguiente F ( x) 4 csc x C forma 10 .Unidad I Cálculo Integral 1) 3xdx 3 xdx Una propiedad de las constantes es que cuando multiplican la función pueden salir fuera de la integral. Unidad I Cálculo Integral 4 (csc x)(cot x)dx y utilizando las anteriores tenemos formulas 4 csc x C 7) Primero se reescribe la expresión de (3x 4 5 x x)dx 2 la siguiente forma 3 x dx 5 x dx xdx 4 x 1 x dx 8) 3x 5 5x 3 x 2 C 5 3 2 2 las formulas anteriores 3 F ( x) y utilizando tenemos x5 x3 x2 5 C 5 3 2 Primero se reescribe la expresión de 1 x x x dx la siguiente forma 1 1 x 2 x 2 dx y simplificando y utilizando las formulas anteriores 3 3 1 2x 2 F ( x) 2x 2 C 3 1 x 2 x 2 C 3 1 2 2 9) z 2 1 dz 2 tenemos simplificando se tiene el resultado Primero se reescribe la expresión desarrollando el binomio al cuadrado y z nos 4 queda la F (z) z5 z3 2 z C 5 3 forma 2 z 1 dz 2 y ahora si podemos utilizar las formulas anteriores por lo que tenemos z3 z5 z C 2 5 3 y t t 4 dt 3 10) simplificando… Primero se reescribe la expresión desarrollando el producto y nos t queda la forma ahora si podemos 4 3 4t dt 1 3 utilizar F (t ) 3 t 7 3 7 3t 4 3 C y las 11 . y) de una curva particular la recta tangente tiene una pendiente igual a 4 x 5. 12 . 7 2(9) 5(3) C .. se tiene entonces que: x2 5 x C dy ( 4 x 5 ) dx . esta ecuación representa una familia de curvas.Como la pendiente de la recta tangente a una curva en cualquier punto (x. Si la curva contiene al punto (3. Obtener propiedades de la grafica de una función a partir de la grafica de su derivada. la antiderivada nos sirve para: dada la pendiente de una grafica. Solución.2.. en la función encontrada. A partir de la grafica de la función f mostrada en la figura 1. luego entonces C 4 . conocer su ecuación a partir de su pendiente y un punto de dicha grafica. Por ejemplo: Ejemplos resueltos de aplicación.7). dibuje una grafica posible de F. la derivada está relacionada geométricamente a la recta tangente de una grafica. Como se desea determinar la curva particular de esa familia que contiene el punto (3. y) es el valor de la derivada en ese punto.2.Observe que uno de los pasos más importantes en la integración es reescribir el integrando en una forma que corresponda con las reglas básicas de integración. se sustituye x=3 y y=7 para obtener el valor de C. una antiderivada de f. Ejemplo 2. la cual nos representa la grafica que andamos buscando. En cualquier punto (x. a continuación reemplazamos C por 4 en la y 2x2 5x 4 función. Como se comento al inicio del curso. Otra aplicación.Unidad I Cálculo Integral formulas anteriores por lo t 3 t 3 C 4 4 7 3 3 7 tenemos simplificando… que 4 y Nota. Ejemplo 1. si F es continua en cualquier número F(0)=4 y F(3)=1.7) obtenga su ecuación. donde y 4 2 dy 4 x 5 dy (4 x 5)dx dx y y 2 x2 5x C Simplificando tenemos que . Puesto que F es una antiderivada de f. se sigue: 13 .2. 1. la regla de la cadena d F ( g ( x) F g ( x) g ( x) dx establece que Para utilizarla de acuerdo a la definición de una primitiva o antiderivada. En esta sección se revisarán algunas técnicas para integrar funciones compuestas.2 F(x) X<0 X=0 0<x<3 X=3 3<x 4 1 Fig. esto es.1 Integración por sustitución. Si recordamos que para y F (u ) funciones derivables. De la figura 1. 1. la cual mostramos en la figura 1.Unidad I Cálculo Integral Solución. La sustitución en integración es algo semejante a la regla de la cadena en la derivación. de modo que implica que F’(3)=0.2 se observa que f(3)=0. dada una función y u g ( x ). Como f(x)<0 cuando x<3.2. de forma semejante F’(x)>0 cuando x>3.3 F’(x) -2 0 + Conclusión F es creciente La pendiente de la recta tangente es -2 F es decreciente F tiene un valor mínimo relativo Tabla 1.2.2.2. 1.2.2 es que f(0)=-2.1 y a partir de dicha información se dibuja una grafica posible de F. Fig.3. Ambas técnicas requieren de una sustitución. Hemos dividido la sección en dos partes: reconocimiento de modelos y cambio de variables. Otro hecho interesante en la fig. f es la derivada de F. F’(0)=-2.2. esta información es mejor analizarla en la tabla 1. entonces F’(x)<0 cuando x<3. salvo porque a la derivada del integrando le 14 . estos resultados se pueden resumir en el siguiente Teorema. Teorema. 4 Otra forma: reinscribiendo 1 u 5 C 2 z z 2 1 dz 2. u ( x ) tan x 3 du sec 2 x u2 udu C 2 u z2 1 u du 4 5 1 ( z 2 1)5 C 5 2 tan x 3 C 2 Multiplicar y dividir por una constante. Integral original 2 3 3x x 1dx Identificación de términos g ( x) x 3 1 g ( x) 3 x 2 Sustituyendo Integrar 3 1 u 2 du 2 g ( x) g ( x)dx G( x) C 2 ( x 3 1) 3 3 u 2 C 3 2 C Ya identificados los términos podemos hacer uso del Cambio de Variable. Si g es derivable en su dominio y F es una antiderivada o primitiva de f en f g ( x) g ( x)dx F g ( x) C I. Exploración. Reconocimiento de modelos: Revisa el integrando de cada una de las siguientes g ( x) g ( x) integrales y di si corresponde al patrón 1.Unidad I Cálculo Integral F g ( x) g ( x)dx F g ( x) C F (u ) C ó sea . Esto es semejante a los casos anteriores. Antiderivación de una función compuesta. pero debemos recordar que el objetivo es el mismo con cada técnica. z 2 1 2 zdz 4 donde du 2 zdz y sustituyendo sec x tan x 3 dx 2 3. sea f una función continua en I. entonces y Existen varias técnicas diferentes para aplicar la sustitución. Llámese g una función cuyo recorrido o rango es un intervalo I. entonces Si f (u)du F (u) C du g ( x)dx u g (x ). 3 1 12 1 u 2 u du C 2 2 3 2 y cos udu senu C . No se puede multiplicar y dividir por una variable y mover la variable fuera del símbolo de integral. 2 1 2 sen 2 3 x sen3x 2 du sen 2 3x cos 3 xdx 7. 2 x 1dx Sea la función interior calculamos su diferencial du 2dx donde: 3 1 2 x 1 2 C 3 sustituimos en la du u2 integral integrando. 1 senu cos u du C 2 2 entonces 1 senx 2 C 2 u x du 2 xdx 2 decimos que du xdx 2 . sustituyendo tenemos du 2 cos x xdx cos u 2 Nota. Si hacemos du 2dx la u 1 12 du u 2 2 . x 2 x 1dx Este ejemplo es muy parecido al ejemplo 5. 2 Identificación de términos du u t 2 5 du 2tdt 2 tdt 5 dt 3 Integrar 4 1 2 t 5 C 8 al sustituir el un medio sale fuera de integral 1 3 1 u4 3 du u u du C 2 2 2 4 5- u 2 x 1.Unidad I Cálculo Integral falta una constante: Integral original t t 4.. pero observe una diferencia: u 2 x 1. Debido a que podemos tomar du cos 3 x3dx u sen3 x u .Asegúrese de que la regla del múltiplo constante sea aplicada solo a constantes. un medio sale fuera de la integral Si se sabe que la x cos x dx 2 6. 15 . 3 3 u du sen3x C 1 u3 3 3 9 entonces 3 du cos 3dx 3 Otro cambio de variable… 8. Calcular du=g’(x)dx. Reemplazar u por g(x) para obtener una antiderivada o primitiva en términos de x 6.. 1. tal como una cantidad elevada a una potencia. Elegir una sustitución u=g(x).617 pies / seg 16 . ¿Qué altura alcanzará la pelota? Sol. Reescribir la integral en términos de la variable u. 4. Movimiento vertical. utilizar a(t)=-32 pies/s2 como la aceleración debida a la gravedad. Verificar la respuesta por derivación. A. En los ejercicios del 1 al 3.25 pies 2. Se recomienda que los siguientes ejercicios sean comentados y discutidos formando equipos o grupos pequeños para fomentar el trabajo en equipo. TALLER. 5. Actividades para el estudiante. 3. (Ignorar la resistencia del aire).Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde una altura de 6 pies con una velocidad inicial de 60 pies por segundo.Unidad I Cálculo Integral du 2 x u entonces la integral queda si Nos estorba la x 1 1 32 u u 2 du 4 = u 2x 1 x u 1 / 2 entonces despejamos x u 5 2 u 32 C 5 3 2 2 5 3 1 2 x 1 2 1 2 x 1 2 C 10 6 Estrategias para realizar un cambio de variable 1. Encontrar la integral resultante en términos de la variable u.¿Con que velocidad inicial debe lanzarse un objeto hacia arriba (desde el nivel del suelo) para alcanzar la parte superior del monumento a Washington (cerca de 550 pies) v0 187. usualmente es mejor elegir la parte interna de una función compuesta. 2.. 62. 2) está en una curva. En los ejercicios siguientes completar la tabla identificando los términos u y du. Dibuja la grafica de dos funciones que tengan la derivada señalada.. b). para la integral dada. (Hay más de una respuesta correcta. 5x 4. y) de la curva la recta tangente tiene una pendiente igual a 2x-3.Unidad I Cálculo Integral 3. Determine una ecuación de la curva. f g ( x) g ( x)dx 1. y x 2 3x 2 Sol.) a) b) c) d) B. 3. y en cualquier punto (x. 4. x 2 x 1 9 x 2 2 x dx 2 du g ( x)dx 1 10 x dx 2. 2 u g (x) dx sec 2 x tan 2 xdx 17 . c) y d) siguientes se encuentra la grafica de la derivada de una función. En los ejercicios a).El punto (3. 4. tangente a la curva en el punto (1. 1. sec 2 2 x tan 2 2 xdx cos x sen xdx 2 6. c) y d) siguientes se encuentra la grafica de la derivada de una función.. deja caer una bolsa de arena en el instante en el que está a 64 pies sobre el suelo.Un globo aerostático. En los ejercicios a). Dibuja la grafica de dos funciones que tengan la derivada señalada. b). dx 2 2.. a) ¿En cuantos segundos llegará la bolsa al suelo? b) ¿A qué velocidad hará contacto con el suelo? Nota. y 2 x.1) es y la ecuación de la recta Determine una ecuación de la curva. Si la tasa de variación de V con respecto a h es 4h 2 12h 9 . 3. Problemas de Caída Libre y de Geometría.) 18 .utilizar a(t)=-32 pies/s2 como la aceleración debida a la gravedad. (Hay más de una respuesta correcta. y) de una curva. determine el volumen del agua en el tanque cuando la profundidad es de 3 metros. El volumen de agua en un tanque es V en metros cúbicos cuando la profundidad del agua es de h metros. que asciende verticalmente con una velocidad de 16 pies por segundo. En cualquier punto (x. (Ignorar la resistencia del aire). TAREA A. d2y 1 x2 .Unidad I Cálculo Integral 5. Usar la grafica de que f(0)= -4. Aproximar la coordenada cualquier punto de inflexión. b) ¿Es posible que f(2)= 1?. f) Aproximar la coordenada x del mínimo de f g) Dibuje una grafica aproximada de f 19 .Unidad I Cálculo Integral a) b) c) d) f 5. Explique. que se muestra en la figura para responder lo siguiente. a f (x). explique f (5) f (4) c) ¿Es > 0? Explique. d) Da un valor aproximado el valor de x donde f es máxima. Explicar. dado a) Da un valor aproximado de la pendiente de f en x=4. e) Aproximar cualquier intervalo en que la grafica de f es cóncava hacia arriba y "x" cualquier intervalo en el cual sea cóncava hacia abajo. 2 3 7. cos 6t dt 2 2. x 3x 7 dx x 2 3 1 1 1 t t 2 dt 3.Unidad I Cálculo Integral f (x) Grafica de F(x) Figura problema 5 C. 2 10 dx t 2 2t t 3 3t 2 1 3 s s 1 ds 10. 9. cos x (2 senx) dx sec 2 r 3 dr x 2 x 3 2senx 1 cos x dx 11. 4. En los ejercicios siguientes encontrar la integral indefinida y verificar el resultado mediante derivación para los tres primeros. 5. 1. x sen x dx dt 2 ******* 20 . 5 12. sen d 2 cos r 8. w dw w3 6. 1 donde En la sección anterior se reviso la Antiderivación.Unidad I Cálculo Integral 1. Definición n a a1 .. es el i-ésimo término de la suma y los limites superior e inferior de la suma son n y 1.. Cuando Gauss regresó con la respuesta correcta en muy poco tiempo. an se escribe como: ai Donde i es el índice de la suma. 21 . esta notación recibe el nombre de notación sigma debido a que se utiliza la letra griega mayúscula sigma 1..3.1. Gauss hizo lo siguiente: 1 100 101 + + + 2 99 101 + + + 3 98 101 + + + . ... .3.. an La suma de n términos i 1 i a1 a2 a3 . a2 a3 . el maestro no pudo evitar mirarle atónito.3 Notación Sigma Competencia: Aplicar los teoremas y formulas de la notación sigma para resolver integrales de funciones algebraicas.. La suma de los primeros cien enteros... A manera de introducción se presenta una notación concisa para sumas.. El maestro de Carl Friedrich Gauss (1777-1855). a primera vista estas dos ideas parecen no tener relación.. pidió a sus alumnos que sumaran todos los números del 1 hasta el 100.. aunque en realidad existe una relación muy estrecha entre ambos conceptos. en esta se considerara el problema de encontrar áreas de una región en el plano. que se encuentran unidos por el teorema fundamental del cálculo. + + + 100 1 101 100 x 101 5050 2 100 i i 1 100101 5050 2 Esto se generaliza por medio del teorema 1. Unidad I Cálculo Integral Nota. n( n 1) 2 n i3 i 1 n 2 (n 1) 2 4 4.. entonces: n n c cn i i 1 1.. 1. Cualquier entero menor o igual al límite superior es válido. con notación sigma..Los límites superior e inferior de la suma han de ser constantes respecto al índice de suma. Ejemplo 2 Evaluación de una suma 22 . Sin embargo.3 Formulas de suma empleando la notación sigma Si n es un numero entero positivo.3 Evaluación de sumatorias.3.... i 1 donde n=constante n i i 1 2 2. Ejemplo 1. f ( x )x i 1 2 n i 1 e) Nota. 1n n2 1 n d) c) n f ( x )x f ( x )x f ( x )x . Por el razones prácticas solo presentaremos la demostración de las formulas 1 y 2.En los apartados a) y b) nótese que la misma suma puede representarse de dos formas diferentes utilizando la notación sigma. n n n i 1 i 1 i 1 (ai bi ) ai bi 2. 1.2 Teoremas y fórmulas Las siguientes propiedades de la suma empleando la notación sigma se deducen de las mismas propiedades asociativa y conmutativa de la suma y la propiedad distributiva de la adición sobre la multiplicación n n i 1 i 1 kai k ai 1.3. n(n 1)( 2n 1) 6 3. Teorema 1. el límite inferior no tiene que ser uno. El siguiente teorema enlista algunas formulas útiles para la suma de potencias. 6 5 i 1 2 3 4 5 6 (i 1) 1 2 3 4 5 6 i 1 i 0 a) b) 7 j 2 n k n 32 4 2 52 62 7 2 1 2 k 1 j 3 1 1 2 1 1 1n 22 1 . 00 0 0.51500 0. Al aplicar el teorema 1. En los ejercicios del 1 al 6 encontrar la suma. muchos de los resultados siguen siendo validos cuando una variable n se restringe a valores enteros positivos. donde x puede ser cualquier número real. como en la tabla siguiente: n i 1 n 3 2 2n i 1 n 10 100 1000 10.3 Simplificar Simplificar Después de esto se puede calcular la suma simplemente sustituyendo los valores apropiados de no. TALLER A. 100. 4 c i k 1 2.3 es posible escribir i 1 1 n 2 (i 1) 2 n i 1 i 1 n 1 n2 n i 1 1 2 2 n i 1 n n n n i 1 i 1 El factor constante sale fuera de la suma Escribir como dos sumas i 1 1 n2 n(n 1) n 2 1 n 2 3n) 2 n 2 n3 2n Aplicando el teorema 1.65000 0. 5 6 2i 1 i 1 1.50150 0. Utilizar la función de suma de la calculadora para verificar el resultado. Aunque la discusión de límite en el infinito se aplica a una variable de x. 23 .Unidad I Cálculo Integral i 1 para n 10. Para encontrar el límite de: Lim n n3 1 2n 2 Actividades para el estudiante.50015 n En la tabla. 1000 y 10 000 2 i 1 n n Hallar Solución. las sumas parecen tender a un límite conforme n aumenta. i 0 2 1 1 3. Unidad I Cálculo Integral 6 1 j 3 j k 3 4. 24 . 2. 5. Emplear la fórmula para determinar el limite cuando n.3 para calcular la suma. 18 5i 4 i 1 i 1 i 1 2 2 6. Utiliza también la función de suma de la calculadora para verificar el resultado. B. 3(1) 3(2) 3(3) 3(9) i 7. n 9.. C. En los ejercicios siguientes utiliza las propiedades de la notación sigma y el teorema 1. B. 2 i 1 2 3. 25 20 7. 19.. 4 6 k k 2 [ i 1 2 (i 1)3 ] i 1 6. TAREA.. 3i i 20 25 2 j j 1 2 2 i 1 j 1 20.. cuando sea necesario para calcular la suma. 11 1 2 1 3 1 15 i 8. En los ejercicios siguientes utiliza las propiedades de la notación sigma y el teorema 1. 20 15 i 1 15. En los ejercicios siguientes encontrar una fórmula para la suma de los n términos.3. 10 20 2i 3 2i 2 i 1 17. En los ejercicios siguientes utilizar la notación sigma para escribir la suma. 4i k 1 6 4. 5 20 i i2 1. n 1 1 1 1 . i 1 k 1 16. n 5 5 5 5 . k k 1 2 1 18. j 3 j 2 j 1 8. A. 2 k 1 k k 2 j j 1 2 n 2i 2 i 2 i 1 i 1 3i i 20 1 5. Utiliza también la función de suma de la calculadora para verificar el resultado. 2 Antiderivación De esta definición. Normalmente afirmamos que la fórmula para el área de un rectángulo es A bh .4.1 Área.4.4. En la geometría euclidiana el tipo más simple de región es un rectángulo. como se puede ver a continuación: 25 . n 2i 1 n i 1 2 2 n 1. n 4.2. Un ejemplo es el área de un triangulo. si se sabe calcular el área del triangulo podemos determinar el área de cualquier polígono.1 Antiderivación Figura 1. h b b Figura 1.4. podemos deducir formulas para áreas de otras regiones planas. Propiedades. Competencia: Aplicar los teoremas y fórmulas de la notación sigma para resolver integrales de funciones algebraicas. como se ve en la figura 1. (véase la figura 1. 1.1) resulta más apropiado decir que esta es la definición del área de un rectángulo.Unidad I Cálculo Integral Lim n n i 1 2 n 1. Paralelogramo Hexágono Figura 1. Podemos formar un rectángulo cuya área sea dos veces la del rectángulo. 2. n 1 Lim n3 i 1 2 n 2i 2 n i 1 n n Lim 16i n Lim i 1 3.3 Polígono Subdividiéndolo en regiones triangulares.4.4.4 Integral Definida. Unidad I Cálculo Integral Encontrar las áreas de las regiones diferentes a las de los polígonos es más difícil. Figura 1. n=6 El método de exhaución para determinar el área de una región plana. Los antiguos griegos fueron capaces de determinar fórmulas para calcular áreas de algunas regiones generales (principalmente aquellas delimitadas por cónicas). y la del polígono circunscrito es mayor que el área del círculo.2 Aproximación del Área de una región plana. Arquímedes (287212 a. Por lo anterior a Arquímedes se le considera el más grande matemático aplicado de la antigüedad. Además.4.4. Competencia: 26 . Debemos tener presente que los orígenes del cálculo están relacionados con dos problemas clásicos: el problema de la recta tangente y el problema del área. segmentos parabólicos y sectores de una espiral.4 En la figura anterior se muestra una región circular que se aproxima por un polígono inscrito de n lados y un polígono circunscrito de n lados. C. Para cada valor de n el área del polígono inscrito es menor que el área del círculo. a medida que n aumenta. 1.) utilizó el método de exhaución para deducir fórmulas para las áreas de elipses. las áreas de ambos polígonos van siendo cada vez mejores aproximaciones al área del círculo. 6. 5.4 0.4..¿Cómo podemos mejorar la aproximación del paso anterior? 4. comenta con tus compañeros como harías para resolverlo Problema introductorio Se tiene un piso con la forma que se muestra en la figura.6 a) y b) para determinar dos aproximaciones del área de la región que se encuentra entre la grafica de 27 ..Realiza el cálculo de la superficie utilizando 2 y 3 figuras...6 0.4. El siguiente ejercicio es para trabajar en equipo. Aproximaciones del área de una región plana.8 1 x 1.6 1.5) 2 x +1 2 E 1.8 2 Figura No.2 0 A 0 B 0.4.2 1 D 0.2 0.6 0. Utilízala para obtener la mejor aproximación posible.4 0. Ejemplo 1. Emplear los cinco rectángulos e la figura 1.4 1.¿Qué propones para calcular el área? 2.5 1.2 1. Se requiere comprar loseta para cubrir la superficie y sabemos que una caja cubre 1..5 m 2.Cálculo del área debajo de una función por medio de la sumatoria de Riemann. con una actitud participativa y colaborativa.MATLAB nos presenta una herramienta para calcular el área con distintas aproximaciones.8 C 1.6 1.4 1. El propósito es calcular el área de manera exacta para comprar la cantidad adecuada de loseta.Unidad I Cálculo Integral Interpretar geométricamente a la integral definida como un área.8 0. (Ver figura 1.. calcular dicha área de manera analítica y mediante el uso de apoyos tecnológicos para resolver problemas cotidianos y de ingeniería.¿Qué sucede si nuestra primera aproximación de área corresponde a la figura ABCE? 3. 1. 48 unidades.Unidad I Cálculo Integral f ( x) x 2 5 y el eje x. 6 8 . entre x=0 y x=2 a) El área de una región parabólica es mayor b) El área de la región parabólica es menor que el ares de los rectángulos que el área de los rectángulos. 2 0.6 Solución.48 25 i 1 25 u Como cada uno de los cinco rectángulos se encuentra dentro de la región parabólica. 8 10 . 4 6 . Figura No. 5 5 . 5 5 . El 2 5 ancho de cada rectángulo es de . 2 i. donde i 1. y la altura de cada rectángulo se puede obtener mediante la función f en el punto terminal derecho de cada intervalo.4.2. 5 5 . La suma de las áreas de los cinco rectángulos es: 5 2i 2 2i f 5 5 5 i 1 i 1 5 2 2 2 5 5 5 5 i 1 5 162 4i 2 5 6.3. 5 5 . Evaluar f en los puntos terminales de la derecha de cada uno de estos intervalos. 5 2 4 . se concluye que el área de la región es mayor que 6. 28 .4.5 5 a) Los puntos terminales de la derecha de los cinco intervalos son . 1. Por ejemplo.49 puede concluirse que Ejemplo 2. podemos concluir 6.Unidad I Cálculo Integral 2 (i 1). El 2 5 ancho de cada rectángulo es y la altura de cada uno puede obtenerse evaluando f en el punto terminal izquierdo de cada intervalo.2. al utilizar 25 rectángulos. Rectángulos inscritos Rectángulos circunscritos Figura No.5 5 b) Los puntos terminales izquierdos de los cinco intervalos son .17 (area de la region) 7.7 29 .08 que Nota. 25 cada uno de ancho 7.4. entre x=0 y x=2. Hallar las sumas superior e inferior de una región f ( x) x 2 Determinar la suma superior e inferior de la región delimitada por la grafica y el eje x. 2 .3. es posible concluir que el área de la regio parabólica es menor que 8. se puede obtener aproximaciones más y más cercanas al área de la región. donde i 1. 1.08 unidades.Al incrementar el número de rectángulos utilizados en el ejemplo 1.4. 5 i 1 5 2i 2 2 2i 2 f 5 5 5 i 1 2 2 2 5 5 5 5 i 1 5 4i 2 4i 4 202 5 8..48 (area de la region) 8.08 25 25 i 1 Debido a que la región parabólica se encuentra contenida en la unión de las cinco regiones rectangulares. Combinando los resultados de los incisos a) y b). cada uno de ancho: x ba 20 2 n n n .2] en n subintervalos. Para iniciar se divide el intervalo [0. Como la función f es creciente en el intervalo [0. Primero advertir que para cualquier valor de n.Unidad I Cálculo Integral Solución. el valor mínimo en cada subintervalo ocurre en el punto terminal izquierdo. la suma inferior es: n n 2 i 1 2 s (n) f (mi )x f i 1 n n i 1 = 2 8 3 n n i 1 n n i 1 i 1 i 1 8 3 n i 2 2 i 1 = n i i 1 2 8 n( n 1)( 2n 1) n3 6 8 n(n 1)( 2n 1) n(n 1) 2 n 3 n 6 2 4 2n3 3n 2 n 3n3 8 2 i 3 n n 2 2i 2 i 1 n n n 8 2 i 2i 1 3 i 1 n n = Utilizando los puntos terminales derechos. la figura anterior muestra los puntos terminales de los subintervalos y varios de los rectángulos inscritos y circunscritos. y el valor máximo ocurre en el punto terminal derecho.2]. Llamaremos mi a los puntos terminales izquierdos y 2 i 1 2 n n 2 2i n n mi 0 i 1 M i 0 i Utilizando los puntos terminales izquierdos. la suma superior es: n n 2i 2 S (n) f ( M i )x f i 1 n n i 1 2 i 1 2 n n i 1 n = Mi a los puntos terminales derechos 4 2n3 3n 2 n 3n3 8 4 4 2 3 n 3n suma superior 8 4 4 2 3 n 3n suma inferior El ejemplo anterior ilustra aspectos importantes acerca de las sumas inferiores y superiores. la suma inferior es menor (o igual) que la suma superior 8 4 4 8 4 4 3 n 3n 2 S (n) s (n) 3 n 3n 2 < 30 . 8 4 4 8 2 3 n 3 n 3n Lim s(n) Lim n 8 4 4 8 2 3 n 3 n 3n Lim S (n) Lim y n Definición del área de una región en el plano Sea f continua y no negativa en el intervalo [a. Esto se hizo solo por conveniencia para realizar los cálculos.4. A continuación se muestra un ejemplo para ver que no es absolutamente necesario que tener subintervalos del mismo ancho.8 1.8) x xi xi 1 El ancho del i-ésimo intervalo es Figura 1. De hecho. el eje x y las rectas verticales x=a y x=b es n Lim f (ci )x n i 1 Área .3 Sumatoria de Riemann.4. b]. 31 .4.4. las particiones tenían subintervalos de igual ancho. x Donde xi-1 ci xi b a n . Ejemplo 3. Una partición con subintervalos de anchos desiguales.2. En la definición dada en la sección 1. si se toman los limites cuando n . la diferencia entre estas dos sumas disminuye cuando n aumenta. tanto en la suma superior como en la suma 8 3 inferior se aproximan a . (ver figura 1.Unidad I Cálculo Integral Segundo. El área de la región limitada por la grafica de f. El ancho del i-ésimo intervalo i 2 (i 1) 2 xi 2 n n2 esta dado por: xi i 2 i 2 2i 1 2i 1 2 n2 n de tal modo que el límite es: n Lim f (c )x n i 1 i n Lim i n i 1 = Lim n i 2 2i 1 n2 n2 1 n 2i i n3 i 1 Los subintervalos no tienen anchos iguales Fig.9. Hallar el límite donde ci es el ci i 2 punto terminal derecho de la partición dada por n2 y xi es el ancho del i-ésimo intervalo. . < xn-1 < xn = b donde xi es el ancho del i-ésimo subintervalo.4.b]. n Lim f (c )x n i 1 i i como se muestra en la figura 1.4.b] dada por: a=x0<x1 < x2 < . 1. y sea una partición de [a. Solución.Unidad I Cálculo Integral f ( x) x Consideremos la región acotada por la grafica de y el eje x para el [0.9 Lim n 1 n(n 1)( 2n 1 n(n 1) 4n3 3n 2 n 2 2 n3 6 3 Lim 6n 3 n Definición de la Suma de Riemann Sea f definida en el intervalo cerrado [a. Si c i es cualquier punto en el i-ésimo n f (c )x i 1 subintervalo entonces la suma i i .1]. xi-1 ci xi Se denomina la suma de Riemann de f para la partición 32 . . El ancho del subintervalo más grande de la partición es conocido como la norma de la partición y se denota por la expresión . La afirmación reciproca de este enunciado no es cierta. en la partición general. por ahora es importante observar que 33 . entonces f es integrable en [a. Si f se define en el intervalo cerrado [a.Unidad I Cálculo Integral Nota. la norma se relaciona con ba n (partición general) el numero de subintervalos en [a. Nota.b] y el limite se denota b n Lim f (c )x f ( x)dx 0 por i 1 i i a = a de este límite recibe el nombre de integral definida de f a a b. Esto es implica que n Nota. donde el límite es el límite inferior y el limite b es el superior. b] y el n Lim f (c )x 0 i i 1 i limite existe. la partición es regular y la norma se denota mediante: x ba n (Partición ordinaria).4. No es coincidencia que la notación para las integrales definidas sea similar a la que se utilizo para las indefinidas. si todos los intervalos tienen la misma anchura.4 La integral definida como área de una región Definición de una integral definida. Más adelante se verá la razón. b] de la siguiente manera De tal modo que el número de subintervalos en una partición tiende a infinito cuando la 0 norma de partición tiende a cero. Las sumas revisadas en la sección anterior son ejemplos de las sumas de Riemann pero hay más sumas generales que las representan. 1. La función f(x)=2x es integrable en el intervalo [-2.10 3i n de esta forma la integral definida es: 1 n 0 2 i 1 i = 6 Lim i n i 1 n i 1 2 3i n 6 n 2 Lim 2 n = Lim n n f (ci ) xi = Lim n n = n Lim f (c )x 2xdx 3 n(n 1) n i 1 Lim n = = 2 3i n 3 n 9 12 9 3 n 34 . en tanto que la integral indefinida es una familia de funciones. la definición de integrabilidad implica que cualquier partición cuya norma tienda a 0 puede utilizarse para determinar el límite.1] en n subintervalos de la misma anchura. Teorema 1. 1. b].4 La continuidad implica integrabilidad. ci a i x 2 Fig.Unidad I Cálculo Integral las integrales definidas y las indefinidas son identidades diferentes. Si una función f es continua en el intervalo cerrado [a. Por conveniencia definiremos subdividiendo [-2. b] es que sea continua en [a. Además. se tiene que.b] Ejemplo 1 Evaluación de una integral definida como limite 1 2xdx 2 Hallar la integral definida Solución. Una de demostración de este teorema está más allá del objetivo de estos apuntes. Una integral definida es un número.4.1] porque es continua en dicho intervalo. Una condición suficiente para que una función f sea integrable en [a. b a 1 (2) 3 xi x n n n Eligiendo ci como el punto terminal derecho de cada subintervalo. b]. entonces f es integrable en [a. Unidad I Cálculo Integral Debido a que la integral definida en el ejemplo es negativa.4.4.4. entonces el área de la región acotada por la grafica de f. del eje x y las rectas verticales x=a y x=b está dada por: b Area f ( x )dx a (ver figura 1. Un dibujo de cada región se muestra en la figura 1. b]. como se establece en el siguiente teorema: Teorema 1.4. esta no responde al área de la región que se muestra en la figura 1.12 35 .11 Ejemplo 2. b].10 Las integrales definidas pueden ser positivas. 3 3 4dx 0 1 a) 2 ( x 2)dx b) 4 x 2 dx 2 c) Solución. negativas o cero. 1. Evaluar después cada integral utilizando una formula geométrica. Para que una integral definida sea interpretada como una área la función f debe ser continua y no negativa en [a.1 La integral definida como área de una región Si f es continua y no negativa en el intervalo cerrado [a.11) Fig. Áreas de figuras geométricas comunes Dibujar las regiones correspondientes a cada integral definida.4. 12 a) Esta región es un rectángulo de 4 de alto por 2 de ancho. La fórmula para el área de un semicírculo 1 2 r 2 es 2 1 (22 ) 2 2 4 x 2 dx 2 = Área del semicírculo = 1. es conveniente. 3 4dx 1 = Área del rectángulo = 4(2) = 8 b) Esta región es un trapezoide con una altura de 3 y bases paralelas de longitudes 2 y 1 h B b 2 5.b] especifica que a<b. Ahora.Unidad I Cálculo Integral 3 3 2 ( x 2)dx 4dx 0 1 a) 4 x 2 dx 2 b) c) Fig.4. sin embargo extender la definición para cubrir casos en los cuales a=b 36 . 1. la fórmula del área de un trapezoide es 3 ( x 2)dx 1 21 (3) 5 2 2 2 0 = área del trapezoide = c) Esta región es un semicírculo de radio 2.4.5 Propiedades de las integrales definidas. La definición de la integral definida de f en el intervalo [a. Si f está definida en [a. b]. Por ejemplo tiene sentido definir el área de una región de ancho cero y altura finita igual a cero? Dos integrales especiales a f ( x)dx a 1. las siguientes definiciones parecen razonables. se concluye que el área de la región más grande es igual a la suma de las áreas de las dos regiones más pequeñas.Unidad I Cálculo Integral o a>b. Como el segmento de recta tiene área cero. Geométricamente.4. y c. Si f está definida en x=a. Teorema 1.4.5 Propiedad aditiva de intervalos Si f es integrable en los tres intervalos cerrados determinados por a. entonces se define Ejemplo 3 Cálculo de integrales definidas a) Debido a que la función seno se define en x= . b. entonces se define =0 a b b f ( x)dx f ( x)dx a 2. puede decirse que sen( x)dx 0 0 ( x 2)dx 3 b) La integral es la misma que se resolvió en el ejemplo 2. por lo tanto: 0 3 ( x 2)dx ( x 2)dx 3 0 = - 21 2 = En la figura 1. entonces b c b a a c f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx 37 . y los limites superior e inferior de integración son iguales.13 la región más grande puede dividirse en x=c en dos subregiones cuya intersección es un segmento de recta. solo que sus límites están cambiados. entonces las funciones kf y f g son integrables en [a. Por b [ f ( x) g ( x) h( x)]dx a b a b b a a f ( x)dx g ( x)dx h( x)dx ejemplo.4. el eje x. y b b a a kf ( x)dx k f ( x)dx 1. Nota. Evaluación de una integral definida.La propiedad 2 puede extenderse a cualquier número finito de funciones. hereda las propiedades de la suma dadas con anterioridad.3) Teorema 1. 1 0 1 1 1 0 x dx xdx xdx 1 1 1 2 2 Utilizando el teorema 1. Ejemplo 5. b b b a a a [ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx 2. 1.13 Ejemplo 4. Debido a que la integral definida se describe como el límite de una suma.6 Propiedades de las integrales definidas Si f y g son integrables en [a..4. x=a y x=b Fig. (Sección 1.Unidad I Cálculo Integral Se puede utilizar una integral definida para determinar el área de la región acotada por la grafica de f. b].5 encontramos el área del triangulo formado. Empleo de la propiedad aditiva de intervalos. 38 . b] y k es una constante.4. s(n)= 3. 81 n 2 (n 1) 2 n 4 4 2. entre x=0 y x=2. TALLER A. delimitada por la grafica y el eje x. s(n)= 64 n( n 1)( 2n 1) n 3 6 39 . 3 3 3 2 ( x 4 x 3)dx 2 ( x )dx 1 1 = 3 (3)dx 1 + x 2 dx 3 4 x dx 1 + 3 3 1 1 4 xdx 3 dx 1 + 4 26 4(4) 3(2) 3 3 Actividades para el estudiante. Utiliza los resultados para determinar el área de la región. Calcular la suma inferior y la suma superior para n=10. Ejercicio de exploración f ( x) x 2 1.Unidad I Cálculo Integral 3 ( x 2 4 x 3)dx 1 Evaluar utilizando los siguientes valores 3 2 x dx 1 3 26 3 3 x dx 4 dx 2 1 1 Solución.000 y 1000. 8 4 4 3 n 3n 2 S(n) = 8 4 4 3 n 3n 2 S(n) = B. Para la región dada en el ejemplo 2. En los ejercicios siguientes encontrar el límite de s(n) cuando n. f ( x) 4 2 x 21. 40 . b]. 4. (No evaluar la integral) f ( x) 3 20. Luego. donde ci es cualquier punto en el i-ésimo subintervalo. En los ejercicios siguientes. i 1 2 i i i Intervalo [0. 4 8 xdx (8 x)dx 0 16. usar una formula geométrica para evaluar la integral.4] 15. E. 1 r (1 x )dx 1 18. D. escribir el límite como una integral definida en el intervalo [a. n Lim (3ci 10)xi 0 Intervalo [-1. (r>0).Unidad I Cálculo Integral C. En los ejercicios siguientes formular una integral definida que produce el área de la región. 0 17. r 2 x 2 dx r 19. En los ejercicios siguientes utiliza sumas superiores e inferiores para aproximar el área de la región empleando el número dado de subintervalos (de igual ancho). F. 5.5] n Lim 6c (4 c ) x 0 i 1 14. En los ejercicios siguientes dibujar la región cuya área está dada por la integral definida. Unidad I Cálculo Integral 4 3 5 2 41 . 3. 2 x dx 2 5 2 1 2 6xdx 2 (3x 3)dx 1)dx 1 0 7. 3 8. 2 (2 x 3 0 5. f ( x) x 2 4 23. 18 n (n 1) n 2 2 1 n (n 1) n 2 2 1. 3 2 (x 1)dx 1 6. 27. TAREA. En los ejercicios siguientes. A. En los ejercicios siguientes evaluar las integrales utilizando los siguientes valores 4 4 3 x dx 60 4 xdx 6 2 dx 2 2 2 2 4 15dx x dx 3 2 2 24. 42 . 2 4 xdx ( x 8)dx 4 2 26. s(n)= 2. 4 2 -4 4 G. 10 2 x dx 4. 25. evaluar la integral definida utilizando la definición de límite.Unidad I Cálculo Integral f ( x) 4 x 22. s(n)= B. En los ejercicios siguientes encontrar el límite de s(n) cuando n. b]. 13. escribir el límite como una integral definida en el intervalo [a. 5 16. empleando rectángulos de ancho=1. 14.3] 10. En los ejercicios siguientes. n Lim 0 i 1 3 xi i 1 ci n 2 ci 4xi Lim [0. 11.3] 0 [1. 9. 5 7 f ( x)dx 3 f ( x)dx 5 17. 5 7 f ( x)dx 10 f ( x)dx 3 0 E. D.Unidad I Cálculo Integral C. 43 . Dadas 5 y hallar: 7 0 f ( x)dx f ( x)dx 0 15. 12. En los ejercicios siguientes utiliza sumas superiores e inferiores para aproximar el área de la región sombreada. 0 18. donde ci es cualquier punto en el i-ésimo subintervalo. Unidad I Cálculo Integral 44 .