Unidad 1 Introduccion a la programacion LinealCAPITULO 1. La investigacion de Operaciones PROGRAMACIÓN LINEAL. Introducción. Muchas personas clasifican el desarrollo de la programación lineal entre los avances científicos más importantes del siglo XX. Su impacto desde 1950 ha sido extraordinario. En la actualidades una herramienta de uso normal que ha ahorrado miles o millones de dólares a muchas compañías, en los países industrializados del mundo, su aplicación a otros sectores de la sociedad se ha ampliado con rapidez. ¿Cual es la naturaleza de esta notable herramienta y que tipo de problemas puede manejar?. Expresado en forma breve, el tipo más común de aplicación abarca el problema general de asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible (de forma óptima). Con más precisión, este problema incluye elegir el nivel de ciertas actividades que compiten por recursos escasos necesarios para realizarlas. Después, los niveles de actividad elegidos dictan la cantidad de cada recurso que consumirá cada una de ellas. La variedad de situaciones a las que se puede aplicar esta descripción es sin duda muy grande, y va desde la asignación de instalaciones de producción a los productos, hasta la asignación de recursos nacionales a las necesidades de un país; desde la planeación agrícola hasta el diseño de una terapia de radiación, etc. Unidad 1 Introduccion a la programacion Lineal a.- Antecedentes y origen de la Investigación de Operaciones PROGRAMACIÓN LINEALINTRODUCCIÓN La programación lineal es un conjunto de técnicas racionales de análisis y de resolución de problemas que tiene por objeto ayudar a los responsables en las decisiones sobre asuntos en los que interviene un gran número de variables. El nombre de programación lineal no procede de la creación de programas de ordenador, sino de un término militar, programar, que significa 'realizar planes o propuestas de tiempo para el entrenamiento, la logística o el despliegue de las unidades de combate'. Aunque parece ser que la programación lineal fue utilizada por G. Monge en 1776, se considera a L. V. Kantoróvich uno de sus creadores. La presentó en su libro Métodos matemáticos para la organización y la producción (1939) y la desarrolló en su trabajo Sobre la transferencia de masas (1942). Kantoróvich recibió el premio Nobel de economía en 1975 por sus aportaciones al problema de la asignación óptima de recursos humanos. La investigación de operaciones en general y la programación lineal en particular recibieron un gran impulso gracias a los ordenadores. Uno de momentos más importantes fue la aparición del método del simplex. Este método, desarrollado por G. B. Dantzig en 1947, consiste en la utilización de un algoritmo para optimizar el valor de la función objetivo teniendo en cuenta las restricciones planteadas. Partiendo de uno de los vértices de la región factible, por ejemplo el vértice A, y aplicando la propiedad: si la función objetivo no toma su valor máximo en el vértice A, entonces existe una arista que parte del vértice A y a lo largo de la cual la función objetivo aumenta. se llega a otro vértice. El procedimiento es iterativo, pues mejora los resultados de la función objetivo en cada etapa hasta alcanzar la solución buscada. Ésta se encuentra en un vértice del que no parta ninguna arista a lo largo de la cual la función objetivo aumente. Aunque a lo largo de esta unidad únicamente se resuelven problemas de programación lineal bidimensional, este tipo de análisis se utiliza en casos donde intervienen cientos e incluso miles de variables. OBJETIVOS Resolver gráficamente inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas Conocer la programación lineal y sus aplicaciones a la vida cotidiana. Plantear y resolver situaciones con programación lineal. Conocer dos ejemplos típicos: problema del transporte y de la dieta. a.1.- Historia de la Programacion Lineal Historia de la Investigación Operativa A lo largo de la historia es frecuente encontrar una estrecha colaboración entre científicos y militares con el fin de dictaminar la decisión óptima en la batalla e intentar obtener la victoria. Es por esto que muchos expertos en la materia consideran el inicio de la Investigación Operativa en el siglo III A.C., durante la II Guerra Púnica, con el análisis y solución que Arquímedes propuso para la defensa de la ciudad de Siracusa, sitiada por los romanos. Entre sus inventos se encontraban la catapulta, y un sistema de espejos con el que incendiaba las embarcaciones enemigas al enfocarlas con los rayos del sol. En 1503, Leonardo da Vinci participó como ingeniero en la guerra contra Pisa ya que conocía técnicas para realizar bombardeos, construir barcos, vehículos acorazados, cañones, catapultas, y otras máquinas bélicas. dotándolos de una protección anti-torpedos. Posteriormente. De esta forma se diseñaron palas según los diferentes tipos de materiales con los que iban a utilizarse.Otro antecedente de uso de la Investigación Operativa se produce durante la Primera Guerra Mundial en Inglaterra. Además desarrolló. en 1947. con el estudio matemático de Frederick William Lanchester sobre la potencia balística de las fuerzas opositoras. en los siglos XVII y XVIII. A finales del siglo XIX. Thomas Alva Edison también hizo uso de la Investigación Operativa. a partir de un sistema de ecuaciones diferenciales. Janos Von Neumann publicó en 1928 su trabajo "Teoría de Juegos". la Ley Cuadrática de Combate de Lanchester. desarrollando técnicas para que los navíos pudiesen evadir y destruir los submarinos enemigos. Frederick Winslow Taylor realizó un estudio que permitió maximizar el rendimiento de los mineros. El matemático francés Jean Baptiste-Joseph Fourier esbozó métodos de la actual programación lineal. Desde el punto de vista matemático. Leibnitz. Y en los últimos años del siglo XVIII. contribuyendo en la guerra antisubmarina. con la que era posible determinar el desenlace de una batalla militar en función de la fuerza numérica relativa y la capacidad relativa de fuego de los combatientes. trabajaron en obtener máximos y mínimos condicionados de ciertas funciones. visionó . en el que se determinaba que la única variable realmente significativa era el peso combinado de la pala y su carga. Newton. que proporcionó fundamentos matemáticos a la Programación Lineal. Bernoulli y Lagrange. Gaspar Monge asentó los precedentes del método Gráfico gracias a su desarrollo de la Geometría Descriptiva. El Grupo de Investigación de Operaciones de Guerra Antisubmarina de Estados Unidos (ASWORG. durante la batalla de Inglaterra. aunque experimentada en el combate. Se cree que Charles Babbage es el padre de la Investigación Operativa. que debería ingerir diariamente un hombre mediano de aproximadamente 70Kg de peso. buscando algún método para defender su país. entre 77 alimentos diferentes. Para su solución. desarrollaron la teoría matemática llamada "Programación Lineal". emplearon métodos geométricos que están relacionados con la teoría de convexidad de Minkowski. La Luftwaffe. la U-Bootswaffe alemana con su flota de submarinos U-Boot inició un bloqueo a Gran Bretaña atacando convoyes de barcos cargados de suministros procedentes de Estados Unidos e impidiendo que alcanzaran su destino. En 1939. Con base a esta información fueron capaces de modelar la guerra naval. el alcance de los submarinos. tales como la velocidad máxima a la que podían desplazarse los navíos. En 1945. Sin embargo no se considera que ha nacido una nueva ciencia llamada Investigación Operativa o Investigación de Operaciones hasta la II Guerra Mundial. George Joseph Stigler planteó el problema de la dieta. por la que les fue concedido el Premio Nobel de Economía. Durante los años 1941 y 1942. Anti-SubmarineWarfareOperationsResearchGroup en inglés) realizó representaciones matemáticas de dichos convoyes. Gracias a su trabajo determinando la localización óptima de las antenas y la mejor distribución de las señales consiguieron duplicar la efectividad del sistema de defensa aérea y evitar que la isla cayera en manos de la Alemania nazi. y determinar si era mejor una estrategia basada en convoyes formados por un gran grupo de navíos de carga . etc. Fuerza Aérea Alemana. de modo que las necesidades mínimas de nutrientes fuesen iguales a las recomendadas por el Consejo Nacional de Investigación norteamericano. Se trataba de determinar la cantidad. conociéndose este tipo de problemas como problema de Koopmans-Kantorovich. y el combustible necesario para alcanzar su destino. El problema fue resuelto manualmente mediante un método heurístico con el cual se examinaron 510 diferentes posibilidades de combinación de alimentos. el matemático ruso LeonidVitálievichKantoróvich y el holandés Tjalling Charles Koopmans. a raíz de la preocupación del ejército americano por asegurar unos requerimientos nutricionales básicos para sus tropas al menor coste posible. Aplicaron estos modelos también sobre los U-Boots: el tamaño de su flota. sus torpedos. estaba sometiendo a este país a un fuerte acoso aprovechando la reducida capacidad aérea británica debido a la política de desarme. y cuya solución difería tan sólo unos céntimos de la solución aportada años más tarde por el método Simplex. debido a sus investigaciones acerca de los costos de transporte y clasificación del correo realizada en la UniformPenny Post de Inglaterra en 1840. Kantorovich y Koopmans estudiaron de forma independiente el problema del transporte por primera vez. También en 1942. la cantidad de suministros que debían transportar. El gobierno británico. teniendo en cuenta una serie de restricciones y condiciones impuestas por la realidad. convocó científicos de diversas disciplinas para tratar de resolver el problema y sacar el máximo beneficio de los radares de reciente invención de que disponían.la similitud entre los problemas de programación lineal y la teoría de matrices que había desarrollado. En dicho grupo se encontraba trabajando George Bernard Dantzig. la antigua Unión Soviética (URSS). en 1947. Inglaterra creó otros grupos de la misma índole para obtener resultados óptimos en la contienda. y unos años más tarde. Cuando la armada de los Estados Unidos de América puso en práctica esta estrategia. iniciando la Luftbrücke (puente aéreo) el 25 de junio de 1948. Éste fue otro de los problemas en los que participó el grupo SCOOP. Ésta cifra era la misma que se hubiera transportado . rompiendo o evadiendo en cualquier caso el bloqueo de Berlín. comenzó a aplicar técnicas de Investigación de Operaciones militarmente. quien desarrolló en 1947 el algoritmo del método Simplex. excluida del Plan Marshall. formó un grupo de trabajo dedicado a mejorar los procesos de planificación a gran escala: el proyecto SCOOP (ScientificComputation Of OptimumPrograms). Durante la Guerra Fría. e incluso la manera de causar un mayor daño a los submarinos U-Boot. Para evitar la rendición de la ciudad. o bien mediante convoyes escoltados (lo que podría dar lugar a nuevos enfrentamientos) o mediante puente aéreo. De la misma forma Estados Unidos (EEUU). Se optó por ésta segunda opción. en diciembre de ese mismo año se conseguía abastecer con 4500 toneladas diarias. o por el contrario pequeños grupos más difíciles de localizar para el enemigo. y su sumisión a formar parte de la zona comunista alemana. y tras estudios de Investigación Operativa se optimizó el abastecimiento hasta llegar a las 8000 ó 9000 toneladas diarias en marzo de 1949. incluyendo rutas fluviales. de Berlín.escoltados por muchos destructores. Inglaterra y Estados Unidos decidieron abastecer la ciudad. Tras apreciar el alcance de ésta nueva disciplina. al unirse a la Guerra en 1942. quiso controlar las comunicaciones terrestres. disminuyó de forma considerable la cantidad de barcos hundidos mientras se incrementaba la destrucción de submarinos alemanes (pasando del hundimiento de apenas una treintena al año a rondar los 250 anuales en 1943 y 1944). El éxito en el tiempo de resolución fue tan alentador que de inmediato se usó para todo tipo de problemas militares tales como la gestión de fondos monetarios para logística y armamento. ganadería. determinar la altura óptima a la que deberían volar los aviones para localizar los submarinos enemigos. distribución de personal. resueltos mediante la Programación Lineal. El primer resultado de estas técnicas se obtuvo en el año 1952. utilizando un ordenador SEAC del National Bureau of Standars para obtener la solución de un problema. Tras la Segunda Guerra Mundial. debido a su aplicación en el ámbito del comercio y la industria. Para resolverlo se utilizó un ordenador Strena en el mes de junio de 1958. Las aplicaciones no bélicas de la Investigación Operativa se extienden a todos los ámbitos. creció el interés y el desarrollo de la Investigación Operativa. problemas de redes. Durante las décadas de los 50 y 60. . donde existían 10 puntos de origen y 230 de destino. grafos. y todo tipo de suministros) mediante modelos de optimización. e incluso la profundidad a la que se debían enviar las cargas para alcanzar los submarinos enemigos de forma que causara el mayor número de bajas. distribución de campos de cultivo en agricultura. con problemas que van desde la alimentación. Todo esto se tradujo en un aumento de hasta cinco veces en la eficacia de la fuerza aérea.Biografía de Dantzing George Bernard DantzigOurisson nació el 8 de Noviembre de 1914 en Portland. se estimó oportuno realizar la organización de los recursos de Estados Unidos (energía. Al mismo tiempo que la doctrina de la Investigación Operativa. se desarrollaron también las técnicas de computación. armamento. que no disponían de métodos tan efectivos como los desarrollados durante la Segunda Guerra Mundial (por ejemplo el método Simplex). colas. Anteriormente ya se habían planteado estos problemas en una disciplina conocida como Investigación de Empresas o Análisis de Empresas..2. transporte de mercancías. las cuales permitieron una importante reducción del tiempo de resolución de los problemas. por lo que los soviéticos decidieron levantar el bloqueo el 12 de mayo de 1949. Un ejemplo de esto es el problema del cálculo del plan óptimo de transporte de arena de construcción a las obras de edificación de la ciudad de Moscú. a. en el estado de Oregon de los Estados Unidos de América. y después de 10 días de cálculos produjo una solución que aportó una reducción del 11% de los gastos respecto a los costes originales previstos. A modo de ejemplo se pueden observar los siguientes casos reales de uso de Investigación Operativa y los beneficios reportados. localización. etc. Hijo de Tobías Dantzig.por medios terrestres. matemático ruso. George Dantzig realizó sus estudios universitarios en la Universidad de Maryland donde obtuvo una licenciatura en Matemáticas y Física en 1936. después de casarse. El pequeño George estudió en las escuelas Powell Junior High School y Central High School. y AnjaOurisson. hasta que se retiró dejando su puesto de Jefe del Departamento de Matemáticas poco después de la Segunda Guerra Mundial. A principios de la década de 1920. lingüista francesa especializada en idiomas eslavos. donde Anja trabajó como lingüista en la Biblioteca del Congreso y Tobías impartió clases como profesor de matemáticas en la Universidad de Maryland. instigado también por su propio padre. la familia Dantzig se trasladó desde Baltimore a Washington en el estado de Maryland. . Sin embargo le defraudó el hecho de no haber visto ni una sola aplicación real de las matemáticas en ninguna de las materias que había cursado. quien le proponía complicados problemas de geometría proyectiva. Desde su infancia comenzó a mostrar un especial interés por la geometría. quienes emigraron a EEUU en 1910. Allí ocupó un puesto de jefe en la subdivisión civil de análisis de combate en el Centro de Control Estadístico (U. en 1937. cuando JerzyNeyman revisó aquellas notas concienzudamente y comprendió el gran hallazgo que podía suponer. no acabaría el doctorado hasta 1946 ya que cuando Estados Unidos entró en la contienda de la Segunda Guerra Mundial a finales de 1941. gracias a una beca HoraceRackham. disculpándose por haber tardado un poco más de lo habitual ya que les parecieron "un poco más difíciles que los problemas ordinarios". California. Fue durante su primer año en Berkeley cuando protagonizó una anécdota que ha sido considerada como una leyenda hasta que años después el propio Dantzig corroboró su veracidad. A raíz de este hecho. A excepción de la Estadística. HeadquartersStatisticalControl). Sin embargo dos años después decidió completar sus estudios con un Doctorado en Estadística bajo la supervisión del famoso profesor JerzyNeyman en la Universidad de Berkeley. y la pareja de recién casados se mudó a Ann Arbor. Un día George llegó tarde a clase y anotó los dos problemas de la pizarra pensando que se trataba de tarea para casa.A. . Así. y a sugerencia de Neyman. se presentó en casa de su alumno un domingo a primera hora de la mañana. Algunos días después se los entregó al profesor Neyman. con un máster en Matemáticas en la Universidad de Michigan. Así en 1939. Unas 6 semanas más tarde. George asistía a un curso de Estadística impartido por el profesor JerzyNeyman. Estaba impaciente por proponerle a Dantzig la publicación de un artículo fundamentado en la resolución de estos ejercicios ya que se trataba de dos famosos problemas no resueltos de la Estadística. interrumpió sus estudios por segunda vez y se trasladó a Washington para unirse a las Fuerzas Aéreas de Estados Unidos.S. Allí continuó sus estudios. Sin embargo. el cual tenía por costumbre proponer un par de ejercicios en la pizarra al inicio de sus clases para que fuesen resueltos como tarea en el hogar. por lo que sólo deseaba una cosa: acabar sus estudios y enfocarse en el mundo laboral.En el verano de ese mismo año se casó con AnneShmuner. George Dantzig desarrolló su tesis doctoral acerca de dichos problemas. Dantzig dejó Michigan para trabajar en un proyecto de estudio de mercado ("Urbanstudy of consumerpurchase") como estadístico en el Bureau of Labor Statistics.F. le pareció que los cursos eran demasiado abstractos. le ofrecieron un puesto en la Universidad que rechazó por ser un cargo modesto aunque con un buen salario (14 mil dólares anuales).S. Finalmente. es decir. Esto le llevó a realizar sus grandes descubrimientos. los que estimularon la búsqueda de un modelo matemático y sentaron las bases de lo que sería la programación lineal. volvió a Berkeley para finalizar el doctorado que había dejado interrumpido. un conjunto poliédrico. este procedimiento parecía ser demasiado ineficiente. Sin embargo los problemas planteados eran demasiado complejos para las computadoras más veloces de la época. entrenamiento y suministro logístico de forma más rápida y eficiente a la utilizada hasta el momento. Se trataba de intentar mecanizar todo el proceso de planificación. Se hacía necesario desarrollar un método capaz de encontrar soluciones en un tiempo razonable. Trabajó en una metodología para calcular el tiempo de duración de las etapas de un programa de despliegue. en junio de 1946 se encontraba de nuevo en Washington considerando varias ofertas de trabajo. se decantó por el cargo de asesor matemático para las Fuerzas Aéreas. ideado por el economista ruso WassilyLeontief en 1939 (por cuyo trabajo recibió el Premio Nobel). Sin embargo.Su labor consistía en la recopilación de datos y análisis de los combates aéreos (número de misiones. así cómo lidiar con las logísticas de la cadena de abastecimiento y la gestión de cientos de miles de diferentes tipos de recursos materiales y humanos. Basándose en el método input-output. Por tanto. . En este punto entró en juego la intuición geométrica que Dantzig había desarrollado en su juventud.A. Toda esa planificación se llevaba a cabo mediante técnicas manuales.F. En tres dimensiones. Al terminar la guerra. Así pues. persuadido por sus colegas de la U. Por el trabajo realizado durante la Segunda Guerra Mundial fue galardonado con la medalla al excepcional servicio civil prestado al Departamento de Guerra («WarDepartment'sExceptionalCivilianServiceMedal») en 1944. bombas lanzadas. el proceso se podría mejorar si se hacían movimientos a lo largo de los bordes desde un vértice al siguiente. en su opinión. escaso sueldo con el que les costaría mantenerse teniendo ya un hijo. la región se . aparentemente irresolubles. Realmente fue disuadido de la idea de aceptar la oferta laboral por su mujer a quien no le convencía debido al. aeronaves perdidas. tasas de deserción. estableció el problema general de Programación Lineal. Una vez obtenido el título.). Según sus propias declaraciones: «Comencé observando que la región factible es un cuerpo convexo. por lo que fueron estos problemas. George Dantzig permaneció como jefe matemático de este grupo hasta 1952. fue resuelto manualmente tras 120 días de trabajo. . considerado el mejor matemático del mundo. El problema. concretamente en junio de 1947. que constaba de 9 ecuaciones y 77 incógnitas. En esa época. aristas y vértices.podía visualizar como un diamante con caras. quien le habló de su trabajo junto a Oscar Morgenstern sobre la teoría de juegos. un centro de posgrado independiente ubicado en Princeton (Nueva Jersey) donde se realizan investigaciones en diversos campos científicos. El primer problema práctico resuelto con este nuevo método fue el problema de nutrición que había planteado George Joseph Stigler a finales de la década anterior. Como resultado de sus investigaciones publicaron el libro «Theory of Games and EconomicBehavior». De esta manera George tuvo constancia por primera vez de la importancia de la Teoría de la Dualidad. que cumpliera con unos requisitos mínimos de nutrición y fuese económica. Allí conoció a John von Neumann. el proceso llevaría a todo un recorrido a lo largo de ellos antes de que se pudiese alcanzar el vértice óptimo del diamante». A lo largo de 1944. En los casos de muchos bordes. debido al interés del ejército americano por encontrar una dieta equilibrada para alimentar a sus tropas. El 3 de octubre de 1947 Dantzig visitó el InstituteforAdvancedStudy (IAS). que culminaron en el teorema «minimax» que afirma que existe una jugada posible en la que minimizar su máxima pérdida (de ahí su nombre). resultando el nuevo método Simplex todo un éxito. En el verano de 1947 realizó la primera formulación del método Simplex. esta pareja había realizado investigaciones sobre juegos de suma cero (juegos en los que todos los participantes conocen a priori las estrategias y consecuencias del resto). Se demostró que el resultado obtenido apenas difería unos céntimos de la solución hallada anteriormente mediante métodos heurísticos. las Fuerzas Aéreas establecieron un grupo de trabajo dedicado a mejorar los procesos de planificación a gran escala que fue llamado Proyecto SCOOP (ScientificComputation of OptimalPrograms). lograron un hito matemático en optimización combinatoria al resolver el problema del Comercial Viajero. concretamente en junio de 1952. Se aplicaron las recientes técnicas de Programación Lineal dando lugar al método de los Planos de Corte (CuttingPlanemethod).html En 1954. Este tipo de problemas tiene múltiples aplicaciones más allá de encontrar una ruta mínima en logística. visitar cada ciudad una única vez y regresar al punto de partida una vez finalizada la ruta. Los resultados de esta investigación se publicaron en el artículo «Solution of a large-scaleTravelingSalesmanProblem». o por las siglas TSP del inglés TravelingSalesmanProblem. también conocido como problema del Viajante. precursor del algoritmo de Ramificación y Acotación (Branch and Boundalgorithm). Dantzig junto con otros dos compañeros matemáticos. una corporación fundada en 1948 por las Fuerzas Aéreas de Estados Unidos con fines de investigación y desarrollo. Se encuentra disponible para su descarga. comenzó a trabajar en la RAND Corporation (ResearchANdDevelopment). DelbertRayFulkerson y Selmer Martin Johnson.rand. El problema resuelto constaba de 49 ciudades. una por cada estado de EEUU (Alaska y Hawaii no se convirtieron en estados hasta 1959). En la imagen se puede observar la portada de uno de los memorándum de investigación que publicó en la RAND.org/pubs/research_memoranda/RM1264.A principio de la década de los 50. siendo . cumpliendo las siguientes condiciones: la distancia total recorrida debe ser mínima. con el objetivo de obtener resultados en un tiempo mucho más reducido. Su cometido era la aplicación del método Simplex en las computadoras. Consiste en hallar la ruta óptima para un vendedor que debe visitar un conjunto determinado de ciudades. junto a otros documentos y memorándums en la página oficial de RAND: www. Su referencia es RM-1264 y fue publicado en 1954 bajo el título Notes on Linear Programming: Thegeneralized Simplex methodforminimizing a linear formunder linear inequalityrestrains. Esta publicación recoge el trabajo realizado en el Pentágono y en la RAND Corporation describiendo. Evelyn Martin LansdowneBeale también llevó a cabo. los problemas presentan parámetros con una alta componente aleatoria o falta de fiabilidad en los datos. y mucho más. Sin embargo las investigaciones de George Dantzig no se limitaron únicamente a las citadas sino que también incluyen aplicaciones de variables discretas. ampliamente desarrollada de nuevo por George Bernard Dantzig y recogida en su libro «Linear ProgrammingunderUncertainty». problema de la mochila. En general. que desarrolló junto a Philip Wolfe. es decir. Como curiosidad existe un método dual a éste llamado método de Descomposición de Benders. Durante este periodo en Berkeley escribió su gran libro de referencia «Linear Programming and Extensions». tutor y asesor para alumnos de doctorado. de gran utilización en la actualidad en Programación Estocástica. entre otros. desde Inglaterra de forma paralela e independiente. Ese mismo año fundó el Centro de Investigación Operativa (OperationsResearch Center) y se erigió como director del mismo. observaciones astronómicas de la NASA. publicado en agosto de 1963. Un ejemplo de ello es otro método ampliamente utilizado hoy en día: el principio de descomposición. a que no se puede determinar con exactitud qué ocurrirá en el futuro. Esto dio lugar a una nueva rama en la Programación Lineal en el año 1955. Por ejemplo. etc. donde comenzó una brillante carrera como profesor del departamento de Ingeniería Industrial. entre 1959 y 1960. en un problema de inversión en bolsa. . debido entre otros factores. establece pautas para encontrar la solución de problemas de gran tamaño. Conocido como el método de Descomposición de Dantzig-Wolfe. investigaciones en esta área.utilizada en la actualidad en áreas como diseño de chips. el método Simplex revisado. red y rutas de camino más corto. George regresó a la Universidad de Berkeley en 1960. que implican grandes cantidades de datos y variables. el tiempo afecta a la solución incluyendo la incertidumbre de si los valores en bolsa se mantendrán o sufrirán una nefasta caída. secuenciación del genoma. llamada Programación Estocástica o Programación Bajo Incertidumbre. formulación de modelos. El IIASA es una organización no gubernamental de investigación donde se llevan a cabo estudios científicos en múltiples áreas como economía. George explica con una anécdota que uno de los motivos de su traslado desde Berkeley a Stanford era una plaza de aparcamiento en la misma puerta del departamento donde trabajaría. Dantzig propuso a la administración de la Universidad de Stanford (Palo Alto) la creación de un programa interdepartamental de Investigación Operativa entre ambas universidades. ubicado en Laxenburg (ciudad a 30 km de Viena. Alrededor de 1963. aunque la propuesta fue rechazada. Motivado por esta razón. Entre los proyectos de SOL destaca el proyecto PILOT para una mejor planificación y ahorro en el sector energético de Estados Unidos. un día George se percató de un camión . planificación urbana. Es posible descargar este libro en formato PDF desde la página oficial de RAND: www.html. George Dantzig visitó en varias ocasiones el International Institute of AppliedSystemsAnalysis (IIASA). El trabajo de este laboratorio abarcaba problemas de planificación de inversiones a través del tiempo. En 1973. y sistemas de transporte. tecnología. Tres años después Dantzig comenzaría a trabajar en la Universidad de Stanford como docente en el departamento de Investigación de Operaciones y Ciencias de la Computación. incluida su deseada plaza. diseños de ingeniería y optimización. Austria). Dantzig fundó en 1967 en la Universidad de Stanford el SystemsOptimizationLaboratory (SOL) para la investigación básica y aplicada de programación matemática a gran escala: desarrollo de algoritmos. Los avances en computación de la década de los 60 permitieron afrontar la resolución de problemas reales en tiempo finito.org/pubs/reports/R366.el método Simplex desde su teoría más básica hasta su uso para resolver problemas reales de distinta índole. sistemas físicos. Durante su estancia allí. y producción de software. pasó un año sabático junto con su esposa Anne. biológicos y ecológicos. Sin embargo tuvo tan mala suerte que al trasladarse todo el aparcamiento ya había desaparecido. ambiental y social. colaborando como jefe del grupo de metodología en las instalaciones del IIASA.rand. Una anécdota protagonizada por George Dantzig expone su interés en la optimización de problemas reales. Se retiró oficialmente en 1977 aunque permaneció en activo hasta 1985 como profesor emérito. preguntó al administrador Ruth Steiner acerca del contenido del camión. A. «por la invención de la Programación Lineal y el descubrimiento de métodos que condujeron a aplicaciones científicas y técnicas a gran escala de los problemas importantes de logística. hizo entrega del premio. Las respuestas de Ruth fueron que el camión transportaba muebles desde Salzburg. Criley en Ciencias del Transporte («C. su procedencia. le fue concedida en 1975 la Medalla Nacional de Ciencias en la disciplina de matemáticas. donde el presidente Gerald Ford. poniendo en duda las ventajas de tal longitud. . George estudió los datos y poco tiempo después comentó a Ruth que la compañía de transporte podría ahorrarse el 40% de los gastos utilizando 4 camiones más pequeños y le sugirió informar de ello a la empresa. CrileyEndowedChair in TransportationScience»). y cómo era posible que circulara a través de las estrechas calles. la ceremonia tuvo lugar el 18 de Octubre de 1976 en la Casa Blanca. y por el empleo de ordenadores para hacer un uso eficiente de la teoría matemática descubierta». Siendo esta la mayor distinción en ciencias de los Estados Unidos. descubrimientos y aportes a la ciencia fueron determinantes para ser merecedor de una gran cantidad de premios y reconocimientos. viajando por la autopista.inusualmente largo parado frente a su oficina y. año en que obtuvo la cátedra C. aunque no llegó a conseguir el Premio Nobel. and ComputerSciences discipline»). Textualmente. y maniobrando para pasar por calles. La excelente y enorme labor investigadora que desarrolló a lo largo de su vida y los fascinantes resultados. ruta. A. George Bernard Dantzig fue el primer galardonado con el premio John von Neumann TheoryPrize otorgado por el InstituteforOperationsResearch and the Management Sciences por su labor continuada y contribución fundamental en estos campos. planificación y optimización de redes. Statistical. Así en 1975. George continuó su labor como profesor en la Universidad de Stanford hasta 1973. estadística y computación («NationalMedal of Science in theMathematical. J. R. trata de los aspectos básicos de la Programación Lineal y aplicaciones reales. en 1985. Tuvo el honor de ser la primera persona incluida en el Hall of Fame de la International Federation of OperationalResearchSocieties (IFORS). métodos del punto interior e incluso teoría de juegos. En realidad nunca pensé que fuese a resultar tan eficiente. Ambos fueron escritos conjuntamente con Mukund N. Por su parte. En el primer volumen. El propio Dantzig se sorprendió de que el método Simplex funcionara con tanta eficiencia. Thapa. Johnson. pensaba que el procedimiento requeriría demasiados pasos de . y R. Por ejemplo. M. no aparecería hasta 2003. van Slyke. es considerado como la Biblia de la Programación Lineal y la Investigación Operativa. con la cita «la Programación Lineal de Dantzig ha sido una de las principales fuerzas impulsoras de la aparición de una nueva disciplina matemática para toma de decisiones llamada Investigación de Operaciones en la década de los 50». Cabe destacar el de su universidad alma mater de Maryland en 1976. fundaron en su honor el premio DantzigPrize en 1982. el Harvey Prize en Ciencia y Tecnología de la Universidad de Technion («Harvey Prize in Science and Technology») de Israel. En reconocimiento a su dedicación obtuvo distinciones tanto nacionales como internacionales. El primero de ellos. tal y como se puede comprobar en una entrevista de 1999. E. Dicho premio es concedido cada 3 años por la MathematicalOptimizationSociety (MOS) y la Societyfor Industrial and AppliedMathematics (SIAM). y se incluyen variantes del método Simplex. Sin embargo el libro «Linear Programming» compuesto por dos volúmenes en los que plasmó las ideas principales de sus estudios e investigaciones. W. en el segundo se amplía la teoría. Algunas de ellas fueron el Premio de la Academia Nacional de Ciencias en Matemáticas Aplicadas y Análisis Numérico («NationalAcademy of ScienceAward in AppliedMathematics and NumericalAnalysis») en 1977. «Theory and Extensions». algo realmente impresionante. Wets. Por aquel entonces yo aún tenía poca experiencia con problemas de grandes dimensiones y no confiaba en mi intuición geométrica. El grupo de ex alumnos del profesor Dantzig formado por R. Citando sus propias palabras: «La mayor parte de las ocasiones el método Simplex resolvía problemas de m ecuaciones en 2m o en 3m pasos. B. fue publicado en 1997 mientras que el segundo. entre otros. Cottle. y la Medalla de Plata de la Sociedad Británica de Investigación de Operaciones («SilverMedal of the British OperationalResearchSociety») en 1986. tal y como su nombre indica.George recibió doctorados «honoris causa» en diversas universidades de todo el mundo. A lo largo de su vida publicó multitud de trabajos y varios libros. con el subtitulo «Introduction». L. de las Ciencias Sociales.un vértice al siguiente. que es mas rápido que el método simplex en ciertos casos.B. Dicho con pocas palabras. la gente está comenzando a tener una idea de por qué el método funciona tan bien como lo hace». b. NarendaKarmarkar.. la intuición en espacios de grandes dimensiones no es muy buena guía. El 13 de Mayo de 2005. el procedimiento no es tan sencillo y se resuelven por el llamado método Simplex (ideado por G. falleció a la edad de 90 años en su casa de Stanford debido a complicaciones con la diabetes y problemas cardiovasculares. PROGRAMACIÓN LINEAL 1. matemático estadounidense en 1951). problemas bidimensionales. Recientemente (1984) el matemático indio establecido en Estados Unidos. ha encontrado un algoritmo. en el que intervienen gran numero de variables. sobre todo. los sistemas de mas variables. que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver problemas de optimización en el ámbito. 52 años después de haber propuesto el método Simplex por primera vez. llamado algoritmo de Karmarkar. George Bernard Dantzig. sobre todo. . los que tienen solamente 2 variables. que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver problemas de optimización en el ámbito. Introducción La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX). de las Ciencias Sociales. Nos centraremos en este tema en aquellos problemas simples de programación lineal. Sólo ahora. En la práctica son muy pocos pasos.¿Qué es la Programacion Lineal? La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX). Los problemas de este tipo. se implementan en ordenadores.Danzig. Ejemplo: Resolver el sistema de inecuaciones siguiente: 23300xyxy+≤≥≥ . se implementan en ordenadores. La solución general de la inecuación es el otro semiplano.Danzig. es decir. En ambos casos se llega a que la solución general del sistema es: 3. general. por lo que sustituimos en la inecuación inicial el punto elegido (1. y) que satisfacen todas las desigualdades que forman el sistema y que constituyen la solución general. Dos o más inecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. o bien. tendrá que cumplir la desigualdad. <. Resolver una inecuación consiste en encontrar todos los valores de las incógnitas que verifican dicha inecuación. Una solución particular de la inecuación es un par de valores cualquiera que satisfaga dicha inecuación. ha encontrado un algoritmo. >).B. Ejemplo: Si queremos resolver la inecuación 2x + 3y ≥3. representamos en primer lugar la recta 2x +3y = 3. el procedimiento no es tan sencillo y se resuelven por el llamado método Simplex (ideado por G. Para saber qué parte seguiremos el siguiente procedimiento: Se toma un punto cualquiera que no pertenezca a la recta. NarendaKarmarkar. 2) es una solución particular de la inecuación y por tanto el semiplano que contiene a dicho punto (1. tendríamos que: 2 · 0 +3 · 0 ≥3 ⇒0 ≥3 Esta última desigualdad es evidentemente falsa. 2): 2 · 1 +3 · 2 ≥3 ⇒8 ≥3 Como esta última desigualdad es evidentemente cierta. b y c son números reales y x e y las incógnitas. llamado algoritmo de Karmarkar. donde a. Los problemas de este tipo. Recientemente (1984) el matemático indio establecido en Estados Unidos. La región factible se puede calcular hallando la intersección de las regiones que son solución de cada una de las inecuaciones que forman el sistema. 0). Para que dicho punto sea solución. Inecuaciones lineales con dos variables Una inecuación lineal con 2 variables es una expresión de la forma: ax+ by≤c (donde el símbolo ≤puede ser también ≥. en el que intervienen gran número de variables. El conjunto de estos valores se denomina solución general de la inecuación. y por tanto concluimos que el punto (0.Nos centraremos en este tema en aquellos problemas simples de programación lineal. Dicha recta divide al plano en dos regiones. y por tanto el semiplano que contiene a dicho punto (0. hay que representar gráficamente en el plano la recta dada por la correspondiente ecuación lineal y marcar una de las dos regiones en que dicha recta divide al plano. 2) es la solución general. Para sistemas de más variables. que es más rápido que el método simplex en ciertos casos. problemas bidimensionales. una de las cuales es la solución de la inecuación. Llamaremos región factible al conjunto de puntos (x. concluimos que el punto (1. por ejemplo el (1. Si hubiéramos elegido el punto (0. Para resolver estas inecuaciones. Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas Un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto de dos o más inecuaciones lineales con dos incógnitas. 2. 0) no es la solución. el semiplano superior. es decir. al sustituir en la inecuación. 0) no es una solución particular de la inecuación. la solución general es el semiplano superior. los que tienen solamente 2 variables. 2). matemático estadounidense en 1951). dependiendo de si las inecuaciones iniciales son estrictas (< ó >) o no (≤ó ≥). el conjunto solución de un sistema de inecuaciones lineales puede ser un semiplano. y) = Ax+ By sujeta a una serie de restricciones dadas mediante un sistema de inecuaciones lineales del tipo: 11122nnaxbycaxbycaxbyc+≤ 2 n +≤ +≤� Los puntos del plano que cumplen el sistema de desigualdades forman un recinto convexo acotado (poligonal) o no acotado. 4. llamado región factible del problema. La frontera de este conjunto puede pertenecer o no a la solución. una semirrecta. . según los casos) una función (llamada función objetivo) de la forma: F (x. Si hablamos de un problema de programación lineal de dos variables x e y. llamada función objetivo. un punto o el conjunto vacío. se trata de optimizar (hacer máxima o mínima. En el ejemplo anterior. x = 0 e y = 0 y posteriormente seleccionamos el semiplano solución de cada una de las desigualdades que forman el sistema: 2x + 3y ≤3 x≥0 y≥0 La región factible. sujeta a una serie de restricciones que vienen expresadas en forma de inecuaciones. que es la zona intersección de las tres zonas anteriores es: El triángulo rayado es la solución del sistema. Su cálculo es sencillo. pues se reduce a resolver los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Llamaremos vértices a los puntos que son intersección de las rectas frontera. La solución de un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto convexo que puede ser acotado o no.En primer lugar representamos las rectas 2x +3y = 3. un segmento. que se obtienen al igualar las ecuaciones de las rectas correspondientes. los calcularíamos los vértices resolviendo los siguientes sistemas: 2330xyx+= =(1) 2330xyy+= =(2) (3) 00xy= = Cuyas soluciones son respectivamente: 01xy= =(1) (2) 3/20xy= =00xy= =(3) Estos tres puntos son los vértices de la región factible: De manera general. Programación lineal Un problema de programación lineal es aquel en el que pretendemos hallar el máximo o el mínimo de una función. llamemos: x = nº de impresos diarios tipo A repartidos. 30) D = (120. Ejemplo: . entre todos esos puntos. en la que caben 120. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. este será la solución del problema.5 euros. 4. La función objetivo es el beneficio que obtiene del reparto: F (x. ésta se encuentra en un vértice de la región factible. De todas esas soluciones factibles. Pero en todo caso. y = nº de impresos diarios tipo B repartidos. •Si el valor máximo (o mínimo) se alcanza en dos vértices. 100) B = (50. Se tiene que: •Si la función objetivo alcanza un valor máximo (o mínimo) en un único vértice. resolviendo el sistema de inecuaciones lineales correspondiente. según sea el problema. con folletos más grandes.1 Método analítico Consiste.Todos los puntos de dicha región cumplen el sistema de desigualdades. pero antes a aplicar cualquiera de ellas siempre hay que dibujar la región factible. se encontrarán en un lado de la región factible. esto es. infinitas o ninguna solución. 9. y si hay infinitas soluciones óptimas. la región factible es: Sus vértices son: A = (0. la función objetivo puede crecer o decrecer indefinidamente. y se calculan los vértices de dicha región. un problema de programación lineal puede tener una. 100) C = (120. la solución serán todos los puntos del lado de la región que une esos dos vértices. 30) = 5 · 120 + 7 · 30 = 810 F (120. aquel o aquellos que hagan el valor de F (x. podemos abordarlo de dos formas. Para resolver el problema. en la que caben 100. como se ha visto anteriormente (la región factible puede estar acotada o no). El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A. aquellas que hacen óptima (máxima o mínima) la función objetivo se llaman soluciones óptimas. por cada impreso repartido y la empresa B. La empresa A le paga 5 céntimos de euro. Ejemplo: Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. En general. simplemente. pues cuando el recinto es no acotado. le paga 7 céntimos de euro por impreso. denominados soluciones factibles. y) = 5x + 7y Las restricciones: Número máximo de impresos tipo A que caben en la bolsa ⇒0 ≤x ≤120 Número máximo de impresos tipo A que caben en la bolsa ⇒0 ≤y ≤100 Número máximo de impresos que es capaz de repartir ⇒x + y ≤150 En este ejemplo. 100) = 5 · 0 + 7 · 100 = 700 F (50. y) máximo o mínimo. 0) Los valores de la función objetivo: F (0. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? Para plantear el problema. lo que sí se verifica es que: Si hay una única solución óptima. 100) = 5 · 50 + 7 · 100 = 950 F (120. Es posible que no haya solución óptima. y otra para los impresos B. en sustituir cada uno de los vértices de la región factible en la función objetivo. 0) = 5 · 120 + 7 · 0 = 600 Debe repartir 50 impresos tipo A y 100 tipoB para una ganancia máxima diaria de 950 céntimos de euro. Se trata de buscar. que pasan por todos los vértices de la región factible. es decir.Minimizar F (x. 1). seguiremos los siguientes pasos: a) Se representa la línea de beneficio nulo. c) Se observa en qué vértice la función objetivo se hace máxima (o mínima). se trazan paralelas a la recta Ax+ By= 0 por todos los vértices.33 Los valores de la función objetivo: F (1.33= 3 · 10 + 3 · 319 = 29 3 Observamos que el valor mínimo se alcanza en A y en B. Método gráfico Para llevar a cabo este método. que viene dada por la ecuación F (x. 1) = 3 · 4 + 3 · 1 = 15 F (7. y) = 3x + 3y sujeta a las restricciones: 53312142xyyxyxyxyx+≥ ≤+ 6 2 −≥− +≤−≤ La región factible es.33y E = 1019. 2). el problema tiene infinitas soluciones (todos los puntos del segmento AB). y) = x + y sujeta a las restricciones: 00224xyxyxy≥ ≥ +≥ +≤ La región factible es: Los vértices son los puntos: . es decir: Ax+ By= 0 b) Se dibujan las rectas de nivel. 4. se pueden presentar distintas posibilidades. 4) = 3 · 1 + 3 · 4 = 15 F (4. Dependiendo de la función objetivo que tengamos y de la región factible en la que estemos estudiando su comportamiento.2. en este caso: Los vértices respectivos son: A = (1. que se recogen en el siguiente cuadro (las rectas de nivel aumentan en el sentido de las flechas): SOLUCIONES Única Infinitas No tiene Problemas de máximos Problemas de mínimos Ejemplo: Maximiza y Minimiza la función F (x. y por tanto en todos los puntos comprendidos entre ellos.33= 3 · 14 + 3 · 3203 = 34 F 1019. sin más que tener en cuenta cuál de las rectas tiene mayor (o menor) ordenada en el origen. y) = 0. rectas paralelas a la recta de beneficio nulo. 4). B = (4. C = (7. es decir. 2) = 3 · 7 + 3 · 2 = 27 F 1420. es decir. D = 1420. . .xn) = c1x1 + c2x2 + . B = (2. Por otra parte. . am1x1 + am2x2+ . + cnxn sujeto a: a11x1 + a12x2+ .. . la recta de nivel hace mínima la función es la que pasa por los vértices A y B. DEFINICIÓN Y TERMINOLOGÍA.. xn ≥0 A la función z = F ( x1. . 0) = 4 + 0 = 4 Luego la función tiene su solución óptima en (4. y por tanto el mínimo se presenta en todos los puntos del segmento AB. El problema tiene infinitos mínimos. Se observa gráficamente.. 0) y C = (4. . . x2 . que por tanto será la solución óptima al problema de máximos planteado. 0). que pasan por los vértices de la región factible. x2. ..A = (0. 2).. . . sustituimos en la función: F (4. . que de las tres paralelas trazadas. Para saber cuál es este valor máximo. 0) Trazamos (en morado) la recta de beneficio nulo (x + y = 0) y las paralelas a ella (restas de nivel).xn ) = c1x1 + c2x2 + . 0) donde toma el valor 4. Un problema de Programación Lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) la función: z = F ( x1. . .. . + amnxn≤=≥bm x1. + a2nxn≤ = ≥b2 . . . . Curso: 2º Bachillerato de Ciencias Sociales 4. . la que corta al eje OY en un punto mayor es la que pasa por el punto (4. + cnxn se le denomina función objetivo o función criterio. x2. + a1nxn≤= ≥b a21x1 + a22x2+ .. x2. . m.. + ainxn≤bi .... n son también números reales conocidos y se les denomina coeficientes tecnológicos. con i = 1. Las restricciones xj≥0 con j = 1. n se llaman restricciones de no negatividad. cn son números reales y se llaman coeficientes de beneficio o coeficientes de costo. . Las desigualdades ai1x1 + ai2x2+ ... . . . . . . . . El vector del lado derecho. . x1. Cualquier punto dentro de la región factible representa un posible programa de acción. . m y j = 1... Los coeficientes aij . Son datos de entrada del problema.. Al conjunto de valores de (x1..xn) que satisfacen simultáneamente todas las restricciones se le denomina región factible. se llama vector de disponibilidades o requerimientos y son también datos conocidos del problema. x2.. ... c2.. . . .Los coeficientes c1. con i = 1. es decir los términos bi . . ... m se llaman restricciones. La solución óptima es el punto de la región factible que hace Investigacion de Operaciones Anterio r INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Siguien te . xn son las variables de decisión (o niveles de actividad) que deben determinarse. con i = 1. lo que puede permitir resolver el problema verdadero y no sólo sus síntomas. consiste en examinar toda el área que es responsabilidad del administrador y no una en particular. El procedimiento de siete pasos mostrado en el siguiente diagrama. dirección y control de las actividades de la empresa. La investigación de operaciones proporciona la oportunidad de que sus resultados se utilicen en la toma de decisiones a niveles administrativos superiores. medianos y bajos. Además. las respuestas dadas por la computadora conducirán a la necesidad de ciertas modificaciones que reflejen la futura condición del negocio o bien será una guía a seguir por el administrador sin necesidad de hacer cambios. Metodología de la Investigación de Operaciones El enfoque de sistemas a un problema. es característico en la IO.2. puede constituir una metodología de acción al aplicar la IO. La experiencia del administrador. organización. esto permite que el grupo de IO observe los efectos de acciones fuera del área de localización del problema. las futuras condiciones del negocio y los resultados de un modelo matemático forman la mejor combinación para la planeación. pero en algunos casos. debe incluirse una base cuantitativa o modelo para la toma de decisión en la solución del problema. . Esto incluye la especificación de los objetivos de la organización y de las partes a analizar de la misma. pero también es deseable minimizar los costos totales. hechos opiniones y síntomas relativos al mismo. Comienza con la observación de los fenómenos que rodean el problema. En algunas ocasiones puede que el problema no esté bien definido porque entran en conflicto los objetivos.. Diagrama con metodología de la investigación de operaciones Paso 1. como es maximizar la utilidad. por tal motivo se requiere diálogo y acuerdos entre los miembros del equipo de IO y .Figura 2.Identificar el problema. lo cual es improbable lograr simultáneamente. Pero en contraste. limitaciones y suposiciones. Promedio de clientes servidos por hora de uno o más cajeros.Observar el sistema Se determinan aquellos factores que afectan. Paso 2. de mantener filas (colas) para cada caja o formar una sola que distribuye clientes conforme se desocupan las cajas. algunos parámetros pueden ser: Llegadas promedio de clientes por hora (tasa). Por ejemplo. crecerían los inventarios de materia prima y de producto. por su parte finanzas desea mantener el inventario bajo y mejorar las inversiones de capital. tanto en proceso como terminado. Los aspectos funcionales del banco que influyen para conseguir los objetivos pueden ser los que siguen: Llegadas promedio al banco de clientes por hora. en sistema de cola por caja.. causando serios problemas en departamentos de: ventas. tiempo. Cuando muchos factores de esta clase concurren en el problema es indispensable la aportación de la interdisciplina del equipo de IO. capacidad productiva. Intercambio entre filas de clientes. un banco desea reducir los gastos relacionados con los salarios de los cajeros.la parte corporativa para decidir un objetivo global. pues conforme aumenta se deben instalar cajeros adicionales para tener el nivel deseado de servicio. si se cumple lo anterior. También las primeras observaciones pueden resultar con objetivos en conflicto como es un departamento de producción que desea programar grandes y prolongadas campañas de un sólo artículo para disminuir los costos de preparación y montaje de sus máquinas. personal. De este modo. necesario en los campos apropiados. Hay que reunir datos para estimar valores de los parámetros que afectan el problema de la organización. ventas desea un gran inventario pero muy variado. con desorden. las limitaciones restringen el uso de recursos como: dinero. . contabilidad y finanzas. como son: variables. con una producción muy flexible. pues es razonable que las fases individuales de un problema se comprendan y analicen mejor por los que tienen el adiestramiento especial. durante la jornada bancaria. Los factores variables que requieren decisiones como es el nivel de inventario y la necesidad de publicidad. Efecto sobre los objetivos del banco. pero manteniendo un nivel adecuado de servicio a los clientes (tiempo de espera razonable para el cliente y de ocio para los cajeros). existencias de materia prima. las suposiciones pueden ser para: precios de producto y competencia del mercado. En el ejemplo del banco. Para ciertas situaciones complejas no hay modelo analítico que las represente en forma válida. con la ayuda de la computadora.Formular un modelo matemático del problema Consiste en el desarrollo de cursos alternativos de acción o hipótesis. aproximar el comportamiento del sistema y buscar la mejor solución. el numérico prueba diversos valores de las variables de control del modelo. demanda de clientes. Frecuentemente en este paso. algunos costos. asignación de recursos. en estos casos se puede recurrir a un modelo de simulación que permite. Paso 3. los que no deben descuidarse especificando una ecuación como medida de efectividad con el objetivo preciso. número de vendedores. con la previa definición del significado cuantitativo de las variables involucradas y puede necesitar el complemento de un grupo de expresiones restrictivas para los valores posibles de las variables controlables. De esta manera. las variables no controlables por la administración pueden ser: precios de los competidores. el conjunto de expresiones forman lo que se llama modelo matemático cuya solución es función de los valores que tomen dichas variables. En este paso es común el regreso al paso 2 para ajustes de observación. Por ejemplo. se puede experimentar con el mundo real en términos abstractos. Promedio de clientes servidos por hora en caja con diferente tamaño de fila. dinero gastado. restricciones presupuestadas. como son las desigualdades (<= ó >=) para no exceder lo especificado o para cumplir el mínimo requerido. costo de las materias primas. Las variables controlables y las no controlables se relacionan con matemáticas en forma precisa. La construcción de los modelos matemáticos puede ser muy difícil incluyendo expresiones complejas con variables controlables como son: precios de venta. . La construcción del modelo debe incluir una ecuación objetivo. costos de mano de obra. Hay dos procedimientos para obtener la mejor solución a un problema partiendo de un modelo: el analítico y el numérico. disponibles o requeridos. compara los resultados obtenidos y selecciona la serie de valores que optimizan. posteriormente se van desechando conforme muestran sus deficiencias para seleccionar el que se ajusta más a los objetivos planteados. unidades que se producen. demanda de los clientes y su localización. Estos procedimientos varían. desde los de tanteo hasta los iterativos. Se puede construir (formular) un modelo que represente la estructura del sistema real en términos cuantitativos para manipularse y experimentar cambiando ciertas variables y manteniendo como constantes a otras para conocer los efectos sobre el sistema que se estudia. por otra parte.. El analítico emplea la deducción matemática con base en el álgebra y/o cálculo para lograr la solución óptima de acuerdo a las consideraciones de diseño. número de unidades producidas. por otro lado. en la forma de modelo matemático que generalmente se diseña para usarse en computadora con el software correspondiente para obtener la solución óptima o una aproximación a ella. hay necesidad de desarrollar varios modelos que a primera vista parecen prometedores. se debe regresar a corregir los criterios equivocados en los pasos precedentes 2 y 3.Verificar el modelo y usarlo en predicciones Se trata ahora de verificar si el modelo matemático diseñado en el paso 3 anterior. es una buena representación de la realidad que se estudia.Paso 4. si la experimentación es muy limitada. Frecuentemente.Presentar resultados a la organización Al terminar la etapa de pruebas y desarrollo de un modelo con solución aceptable. se puede presentar una recomendación o bien varias alternativas para que la organización seleccione la que mejor se ajusta a sus necesidades. se pueden tener resultados engañosos que posteriormente en aplicación a población mayor. se debe obtener información respecto al comportamiento del modelo al cambiar valores en sus variables y parámetros.. si el modelo es válido para las situaciones de poca demanda de clientes y para los días de pago acostumbrados. pero frecuentemente la situación no es clara para hacerlo así. Relación de los factores ya mencionados con las restricciones propuestas.. Cuando sea posible. Este caso es para analizar. precios de la competencia. En particular para el ejemplo del banco. o nivel de actividad económica.. Revisión de las variables bajo control o de decisión. seguramente se necesitará otro modelo o al menos revisar los parámetros considerados al mismo. entonces debe seleccionarse para su presentación a los responsables de decidir. Con el análisis de sensibilidad se puede ajustar: La medida de efectividad u objetivo como es el dinero como utilidad o costo. incluyendo las desventajosas. si los valores de predicción para el tiempo de espera en cola y el nivel de servicio no están cerca de los valores reales obtenidos en la observación del paso 2. esto se conoce como análisis de sensibilidad o experimentación sobre el modelo y con ayuda de la computadora. . Revisión de las variables no controlables y ambientales como demanda y ubicación de clientes. calificando su validez para situaciones actuales. que representen las situaciones reales. Paso 5. Paso 6. porque el conjunto de opciones resultantes está sujeta a restricciones difíciles de cumplir o imposibles.Seleccionar una alternativa Si existe una alternativa que se adapte mejor a los objetivos de la organización con el modelo matemático propuesto. cambiando los valores a variables y parámetros. especialmente si estos últimos no se pueden determinar con exactitud. pero se puede decir que los que han tenido éxito dependen de los niveles jerárquicos superiores de la institución. para ayudar a la dirección con información relevante en sus decisiones. modelo y aún de equipo (hardware)..2 ó 3. de más rápido crecimiento para los egresados graduados entre 1990 y 2005 en Estados Unidos. no hay una posición preferida para las organizaciones.Implantar y evaluar las recomendaciones Si la organización acepta el estudio con la propuesta de solución. Bureau of Labor Statistics predijo que la IO sería la 3ª área profesional. 3 y 4. al mejorar la eficiencia de muchas organizaciones. se procede a la implantación que incluye el sistema de computo y la vigilancia constante para las actualizaciones por cambios en el sistema. También se pueden instalar programas adicionales que manejen los resultados del implante de manera automática o bien un sistema interactivo de computadora denominado sistema de soporte de decisiones. Las bases de datos y los sistemas de información administrativos puede proporcionar información actualizada cada vez que el modelo se utilice. Pero dado el caso muy frecuente de rechazo a la solución propuesta. en cuyo caso se necesitan programas de interfaz (interacción con el usuario) para hacer amigable la operación del sistema propuesto. Dependiendo del tamaño del estudio se pueden requerir meses o años para implantar (desarrollar. entonces será necesario regresar al paso 1.La investigación de operaciones ha tenido un impacto impresionante en el mundo. Con frecuencia se requiere un número considerable de programas integrados. Este sistema debe incluir. el U. UBICACIÓN DE LA IO EN LAS ORGANIZACIONES.. sin embargo. El problema de la localización de un grupo de IO dentro de la empresa ha merecido una gran atención.000 personas laborando como analistas de IO en el 2005.Generalmente hay necesidad de mostrar varias corridas de computadora. Al inicio de la década de los 90.S. Ha hecho contribuciones significativas al incremento de la productividad dentro de la economía de muchos países. Cualquier falla o rechazo en la implantación puede hacer necesario la revisión y ajuste en los pasos 1. tanto el modelo como el procedimiento de solución. probar e instalar) el sistema computarizado y posteriormente su mantenimiento en las indispensables actualizaciones de programas. de ellos más de 30 que son miembros de la International Federation of OperationalResearchSocieties (IFORS). que relacionen los resultados entregados por el sistema implantado y las implicaciones. ya sea por definición incorrecta o debido a la poca participación del tomador de decisión. con 100. en cuyo caso es conveniente instalar un sistema bien documentado para aplicar el modelo según lo establecido por la administración. 2. lo cual da una base firme para su funcionamiento con obligaciones de enfrentar los problemas de tomar decisiones y de utilidad inmediata . Se puede generar informes con la terminología usual en el medio. Paso 7. análisis de sensibilidad y los procedimientos operativos para su probable implantación. este grupo informa a un Comité Directivo de la Administración integrado por los directivos departamentales que están afectados en el problema estudiado de IO. S. COPYRIGHT 2000 CengageLearning Editores. ReadSpeaker: Escuchar . por lo que no es raro que estén integrados dada la posibilidad de tener el mejor manejo de la información deseada y ordenada como convenga. el de IO y el de sistemas de procesamiento de datos. se complementan en términos de los objetivos de la institución. Mexico City: CengageLearning.para la administración. se podrán cruzar los linderos departamentales y obtener la información necesaria para dar soluciones. De este modo ambos grupos. 2000. de C. Los comités allanan el camino del personal de IO para obtener la cooperación del personal de operación y su aceptación. pues el acceso a las computadoras es el apoyo indispensable para sus actividades.A. Generalmente el grupo de IO se asocia con el de sistemas de procesamiento de datos. Teniendo el respaldo de la autoridad superior con prestigio dentro de la empresa.V. Topicoverview Identificación de Problemas de Programación Lineal Administración de producción y operaciones Norman Gaither and Greg Frazier. 8th ed. Para la mayoría de los estudios de IO. se recomienda un equipo compuesto de analistas y de personal involucrado en el problema que se enfrenta. p200201. los cuales a su vez se reúnen con la administración superior para reportar los progresos. Recuadro: Mostrar Recuadro: Ocultar EJEMPLO 6. Los ejemplos 6. Hay .go. las alternativas disponibles y la naturaleza de las restricciones (las tres primeras características de los problemas de programación Uneal). La capacidad de producción está limitada de dos maneras: capacidad de fabricación y capacidad de ensamble. la programación lineal puede ser una herramienta adecuada para el análisis. Las dos líneas comparten una misma capacidad de producción y se venden a través de los mismos canales de ventas. Todos los meses está disponible un máximo de 4. Siga estos ejemplos con cuidado y vea si puede identificar el objetivo.000 horas de capacidad de fabricación.1: LP-I: CÓMO IDENTIFICAR UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN UNEAL DE UNA MEZCLA DE PRODUCTOS Como parte de su proceso estratégico de planeación. el siguiente paso será formular el problema en su formato de programación lineal.help. cada sierra circular requiere dos horas y cada sierra de mesa una hora.2 son muestras en la administración de la producción y de las operaciones de problemas apropiados para solución de programación lineal. La empresa produce dos líneas principales de productos para la industria de la construcción comercial: una línea de sierras circulares portátiles para uso pesado y una línea de sierras de mesa de precisión. Cuando se cumplen todos estos requisitos. Aunque dentro de la línea de productos existe alguna diversidad. Es fundamental tener la capacidad de identificar problemas para los que existen soluciones apropiadas de programación lineal. Una vez que podamos discernir qué es y qué no es un problema de programación lineal.galegr es_us Texto completo: Página 200 Identificación de Problemas de Programación Lineal Esta sección es quizás la parte más importante de este capítulo. Por ahora no se preocupe de los requerimientos matemáticos. ¿Cuáles son las características de los problemas adecuados para una solución de programación lineal? La tabla 6.do?page=/pa http://rs. PrecisionManufacturingCompany debe determinar para el siguiente año la mezcla de productos a manufacturar.1 y 6. y esto es lo mínimo que usted deberá aprender y retener de este capítulo.2 delinea brevemente las cuatro características básicas del problema. la utilidad promedio es de 900 dólares por cada sierra circular y de 600 dólares por cada sierra de mesa. ¿cuál es la naturaleza de las restricciones? Página 201 | Inicio del artículo Así es.500 sierras al mes para ambas líneas de productos combinadas. ¿Existe o no un objetivo gerencial único? Así es.5 toneladas de cobre y un mínimo de cuatro toneladas de plomo al día. y de la fuente B para minimizar el costo de la chatarra a largo plazo? . La chatarra se funde y el plomo y el cobre se extraen para uso en los procesos de fundición. Recuadro: Mostrar Recuadro: Ocultar EJEMPLO 6. El objetivo es maximizar la utilidad del año. La fundición puede comprar chatarra en cantidades ilimitadas de dos fuentes: Atlanta (A) y Birmingham (B). Si en el futuro predecible la fundición necesita por lo menos 2. La gerencia puede decidir producir durante el año sólo sierras circulares o sólo sierras de mesa. o cualquier mezcla de las dos líneas de productos. por la cantidad máxima de horas de ensamble disponibles mensualmente. 3. ¿Cuántas sierras circulares y cuántas sierras de mesa deberán producirse mensualmente el próximo año para maximizar la utilidad? 1. ¿El logro total del objetivo está restringido por recursos escasos o por alguna otra limitación? De ser así. y la recibe todos los días en carros de ferrocarril. Cada carro de ferrocarril de chatarra de la fuente B rinde una tonelada de cobre y dos de plomo y cuesta 15 mil dólares. ¿cuántos carros de ferrocarril de chatarra deben comprarse diariamente de la fuente A. 2. y por la demanda mensual máxima del mercado. Cada carro de ferrocarril de chatarra de la fuente A rinde una tonelada de cobre y una de plomo y cuesta 10 mil dólares. La utilidad está limitada por la cantidad máxima de horas de fabricación disponibles por mes. ¿Existen cursos alternos de acción gerencial? Así es.disponible al mes un máximo de 5.1: LP-2: CÓMO IDENTIFICAR UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN UNEAL PARA UNA MEZCLA DE INGREDIENTES La GulfCoastFoundry está desarrollando un plan estratégico a largo plazo para adquirir chatarra para sus operaciones de fundición. El departamento de comercialización estima que existirá en el mercado para el año que viene una demanda máxima de 3.000 horas de capacidad de ensamble y cada sierra circular requiere una hora y cada sierra de mesa requiere dos horas. o puede elegir cualquier combinación de cantidades de chatarra de ambas fuentes.do?id=GALE %7CCX3002500082&v=2. URL http://go. 200-201. Cita de fuente (MLA 7. Gale Virtual Reference Library. 2000. 2. ¿cuál es la naturaleza de estas restricciones? Así es. 3.. Los costos diarios están restringidos por la cantidad mínima de plomo y de cobre que se requieren cotidianamente. ¿Existen cursos alternos de acción gerencial? Así es. La gerencia desea minimizar los costos diarios de comprar chatarra de la cual se podrá extraer cobre y plomo.a edición) "Identificación de Problemas de Programación Lineal. Norman Gaither and Greg Frazier. 25 Aug.1." Administración de producción y operaciones. ¿Está restringido el logro total del objetivo por recursos escasos u otras restricciones? De ser así. 2015. ¿Existe un objetivo gerencial único? Así es.1&u=unad&it=r&p=GVRL&sw=w&asid=814ccd79 f13b7fa65d9cc8e6a2b5ffb3 Número de documento de Gale: GALE|CX3002500082 Capitulo 2 a.galegroup.com/ps/i. La gerencia puede comprar toda su chatarra ya sea sólo de la fuente A o B. Mexico City: CengageLearning.Formulación de un problema de Programación Lineal La programación lineal son modelos destinados a la asignación eficiente de los recursos limitados en actividades conocidas con el objetivo de satisfacer las metas deseadas (maximizar beneficios o minimizar costos). Web. . 8th ed. 5 euros. Determina el número de lotes de cada tipo que debe vender para que la ganancia sea lo mayor posible. El número de tabletas de turrón disponibles en el almacén para esta oferta es de 52 y el de cajas de bombones. con sus vértices y. 4. en general. Por cuestiones de estrategia comercial. y uno del tipo B. que llamamos función objetivo.5 euros. 8. Hallar el recinto solución o región factible. (No se permite multiplicación de variables ni variables elevadas a potencias). El lote B está compuesto por 5 tabletas de turrón y 3 cajas de bombones. Castilla La Mancha. el número de lotes B debe ser menor que el número de lotes del tipo A incrementado en 4. 60. Para resolver este tipo de problemas es conveniente tener en cuenta los siguientes pasos: 1. 2009). Plantear el sistema de inecuaciones dado por las restricciones y escribir la expresión algebraica de la función objetivo. Problemas de programación lineal (I) En un problema de programación lineal tratamos de optimizar (maximizar o minimizar) una función lineal. Obtener el óptimo de la función objetivo en la región factible. Trata de seguir los pasos citados para resolver el siguiente problema: Una confitería realiza una oferta a sus clientes a través de dos tipos de lotes A y B. Una tabla puede ser un instrumento muy útil para organizar esta información. La venta de un lote del tipo A reporta una ganancia de 6. El lote A lleva 3 tabletas de turrón y 5 cajas de bombones. representarlo gráficamente. Calcula esa ganancia máxima. 3. que depende de varias variables sometidas a ciertas restricciones también lineales. Identificar las variables y analizar las restricciones a las que están sometidas y la función que tratamos de optimizar. 2. . (Prueba de acceso a la Universidad. Inicialmente abordaremos problemas en los que intervienen solamente dos variables.La característica distintiva de los modelos es que las funciones que representan el objetivo y las restricciones son lineales. comparando los valores que toma dicha función en los vértices de la región factible. . ¿Cuáles son las variables que intervienen? ¿Cuáles son las restricciones a las que están sometidas? ¿Cuál es la función objetivo? La siguiente tabla puede ayudarte a organizar la información: complétala con los datos que faltan.Preguntas 1. ¿Qué relación tiene con la función objetivo? ¿Qué significa el término independiente de la ecuación de la recta? Coloca el punto sobre los vértices de la región factible y observa el valor de la función objetivo en cada uno de ellos. Haz clic sobre las casillas A4 y A5 para representar la condición de que las longitudes de cable de los tipos A y B deben ser positivas. Para ello: o Identifica las variables. Haz clic sobre el botón Reiniciar. Una tabla puede ser un instrumento muy útil para organizar esta información.A B Disponible Tabletas de turrón 195 Cajas de bombones 20 Ganancia 1. escribe en las celdas de las columnas B y C los coeficientes respectivos de las variables de las inecuaciones. Escribe el sistema de inecuaciones correspondiente. Observa la recta que aparece. En cada fila. Representa gráficamente. las inecuaciones del sistema. o Escribe y simplifica las inecuaciones y la función objetivo. una a una y en los mismos ejes de coordenadas. Haz clic sobre la casilla A3 para representar la inecuación que expresa la restricción en la cantidad disponible de aluminio. ¿Cuál es la solución del problema? ¿Coincide con el que habías encontrado previamente? 5. Halla las coordenadas de los vértices de la región factible y calcula el valor de la función objetivo en cada uno de ellos. Escribe también la expresión algebraica de la función objetivo. Utiliza una fila para cada inecuación. Observa ahora la intersección de todas las regiones que has representado: esa será la región factible. Haz clic sobre la casilla A2 para representar ahora la inecuación que expresa la restricción en la cantidad disponible de titanio. Identifica la región factible. Escribe . ¿Cuál es la solución del problema? 4. 3. 2. Vamos a utilizar ahora la aplicación para representar la región factible y hallar la solución del problema: Haz clic sobre la casilla A1 para representar gráficamente la región que corresponde a la inecuación que expresa la restricción en la cantidad disponible de cobre. Utiliza la siguiente aplicación para resolver los problemas que se proponen a continuación. o Escribe en la hoja de cálculo las inecuaciones. las restricciones a las que están sometidas y la función objetivo. A continuación haz clic en la casilla de la celda A15. selecciona en la celda de la columna D el elemento de comparación que corresponda. A continuación. Una planta debe tener una capacidad de producción de. Para ello prepara dos de fruta de oferta: la bolsa A consta de 1 kg de naranjas y 2 kg de manzanas y la bolsa B consta de 2 kg de na 1 kg de manzanas y 1 kg de peras. por lo menos. Comunidad Valenciana. Una compañía química diseña dos posibles tipos de cámaras de reacción que incluirán en una planta para pr dos tipos de polímeros P1 y P2. Para ello hace tipos de lotes. 420 unidades de P2 cada día. Debido al proceso de diseño. Escribe los coeficientes de las variables en las celdas B15 y C15. 100 uni de P1 y. por motivos personales. 400 kg de manzanas y 230 kg de peras. ¿Cuántas cámaras de cada tipo deben incluirse para minimizar gasto satisfaciendo el programa de producción requerido? Formula el sistema de inecuaciones asociado al problema. 2009) D. o Observa el recinto común a las regiones que has representado. El precio de venta de cada lote A es de 0. es necesario tener por menos 4 cámaras de cada tipo en una planta. 2006) B. o Compara los valores obtenidos y escribe la solución del problema. Galicia. Por último haz clic sobre la casilla de la celda de la columna A para representar gráficamente la región representada por la inecuación. A y B. Los lotes A están formados por 1 kg de papel reciclado y 3 kg de papel normal y los lotes 2 kg de papel de cada clase. (Prueba de acceso a la Universidad. y la editorial B ofrece un paquete de 5 novelas de ciencia ficción y 10 históricas por 180 librero quiere comprar un mínimo de 2500 novelas de ciencia ficción y un mínimo de 3500 novelas históricas Además.9 € y el de cada lote B es de 1 €. La editorial A ofrece un paquete de 5 novelas de ciencia ficción y históricas por 60 €. respectivamente y haz clic sobre la casilla de la celda A15 para representarla gráficamente. satisfacer l mínimos y cumplir la promesa? . y 3 euros por c bolsa del tipo B. ¿Cuán lotes A y B debe vender para maximizar sus ingresos? ¿A cuánto ascienden estos ingresos máximos? (Prueba de acceso a la Universidad. el librero ha prometido a la editorial B que al menos el 25% del número tota paquetes que comprará será de B.5 euros. Mueve la recta que corresponde a la función objetivo y sitúa el punto resaltado de la misma en los vértices de la región factible. 2009) C. a.ahora en la celda de la columna E el término independiente. o Utiliza la fila 15 de la hoja de cálculo para introducir la función objetivo. Representa la región factible y calcula sus vértices. Problemas A. Cada cámara de tipo A cuesta 600000 euros y es capaz d producir 10 unidades de P1 y 20 unidades de P2 por día. Un frutero quiere liquidar 500 kg de naranjas. Madrid. por lo menos. Por cada bolsa del tipo A obtiene un beneficio de 2. ¿Cuántos paquetes tiene que comprar el librero de cada editorial para minimizar el coste. Una papelería quiere liquidar hasta 78 kg de papel reciclado y hasta 138 kg de papel normal. ¿cuántas bolsas de cada tipo debe preparar para maximizar las ganancias? ¿Cuál es el beneficio máximo? (Prueba de acceso a la Universidad. Un librero compra libros de dos editoriales. Suponiendo que vende todas las bolsas. Islas Baleares.2 barriles de gasoil. 2009) B. 2 botes de piña y 1 bote de pera y se venden a 25 €. Dispone para e 7500 botes de melocotón. 2006) 6 Una fábrica de conservas recibe el encargo de preparar dos tipos de lotes de fruta en almíbar. están formados por 3 botes de melocotón. La refinería debe suministrar al menos 26300 barriles de gasolina 95.1.b. con cada barril de crudo pesado produce 0. Una refinería de petróleo adquiere dos tipos de crudo. Asimismo. 2006) . La Rioja. 0. Los de tipo B. Los lotes de tipo A están formados por 2 b melocotón.5 barrile cada uno de estos tres productos. ¿Cuánto le costarán en total las novelas? (Prueba de acceso a la Universidad. 2 botes de piña y 2 botes de pera y se venden a 20 €. Plantea y resuelve el problema de programaci lineal que nos proporciona el número de lotes de cada tipo que debe producir la fábrica para que los ingresos máximos (Prueba de acceso a la Universidad. Con cada barril de crudo ligero la refinería produce 0. 6000 botes de piña y 6000 botes de pera. a un precio de 70 € y 65 € por barril.3 barriles de gasolina 95.4 barrile gasolina 98 y 0.2 y 0. respectivamente. 0. Comunidad Valenciana. Determina cuántos barriles de cada tip crudo debe comprar la refinería para cubrir sus necesidades de producción con un coste mínimo y calcula es (Prueba de acceso a la Universidad. respectivamente. ligero y pesado. 40600 barriles de gasolina 98 y 29500 barriles de gasoil.
Report "Unidad 1 Introduccion a La Programacion Lineal"