1MÓDULO CIENTÍFICO TECNOLÓGICO PROGRAMACIÓN DEL MÓDULO VOLUNTARIO DEL PCPI MATERIA MATEMÁTICAS FICHA DE TEORÍA Un. 1. NÚMEROS ENTEROS 1. NÚMEROS ENTEROS. Los NÚMEROS ENTEROS ( ) son un conjunto de números que incluye a los números naturales distintos de cero (1, 2, 3,...), los negativos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y el cero, 0. El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra que proviene de la palabra número en alemán (Zahlen). = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3,...} Los signos + y - que llevan los números enteros no son signos de operaciones (suma, resta), sino que indican simplemente la cualidad de ser positivos o negativos. Los números enteros no tienen parte decimal. Por ejemplo −783 y 154 son números enteros, pero 45,23 y −34/95 no son números enteros. Se llama VALOR ABSOLUTO de un número entero al número natural que resulta de prescindir del signo. Se expresa encerrando este número entre dos barras. Valor absoluto: 6 6 = ÷ 6 6 = 1 1 = ÷ 2 2 = Los enteros negativos son menores que todos los enteros positivos (1, 2,...) y que el cero. Para entender cómo están ordenados se utiliza la Recta Real: Hay ciertas situaciones, como la temperatura o los pisos de un parquin subterráneo, que no se pueden expresar matemáticamente utilizando los números naturales (sin usar los números negativos), para estos casos hacemos uso de los números enteros. Observa el ejemplo y piensa un poco. ACTIVIDAD 1. Ordena de menor a mayor. a) +6, -5, -10, +12 b) +4, -20, -7, -4 ACTIVIDAD 2. Completa adecuadamente a) |-5| = b) |+7| = c) |+6|= d) |-4|= 2 ACTIVIDAD 3. Completa las siguientes frases según el cuadro. La gaviota está volando a _________ m _________ el nivel del mar. El niño está buceando a _________ m _________ el nivel del mar. El pez está nadando a _________ m _________ el nivel del mar. El cangrejo se encuentra a _________ m _________ el nivel del mar. El pelícano vuela a _________ m _________ el nivel del mar. ACTIVIDAD 4. En la siguiente tabla se muestran algunas situaciones descritas con números enteros. Asigna el número entero correspondiente a aquellas situaciones que no lo tengan y añade un par de ejemplos propios en los espacios vacíos. SITUACIÓN Nº ENTERO La temperatura ambiente es de 2º bajo cero -2º C La temperatura ambiente es de 2º sobre cero +2º C La ciudad se encuentra a 800 m sobre el nivel del mar El buzo está nadando a 20 m de profundidad -20 m Estamos justo al nivel del mar Julián tiene un deuda de 5.000 € El avión está volando a 9.500 metros de altura El saldo deudor de la libreta de ahorro es de 12.356 € Los termómetros marcaron una temperatura de 3º bajo cero La altura del monte Aconcagua es de 7.010 metros La profundidad de la fosa marina es de 10.882 metros Jennifer debe 11.650 € Andrés tiene 3.580 € ACTIVIDAD 5. Responde a las siguientes preguntas. ¿Cuántos números enteros hay entre -6 y +6? En Aracena, cierto día a las 6 de la mañana el termómetro marcó – 1º C. Al mediodía la temperatura máxima fue de 14º C. ¿Cuál fue, en grados, la variación de temperatura ese día? De un depósito que contenía 520 litros de agua se sacaron primero 170 litros y después 145 litros, más tarde se echaron 210 litros. ¿Cuántos litros contiene ahora el depósito? 3 2. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS (Suma, resta, multiplicación y división). Suma de números enteros: Cuando tienen el mismo signo: Se suman los valores y se deja el signo que tengan, si son positivos signo positivo y si son negativos signo negativo. Si no se pone nada delante del número se entiende que es +. (+5) + (+4) = 5 + 4 = 9 (-5) + (-4) = -5 - 4 = -9 Cuando tienen distinto signo: Se restan sus valores absolutos y se pone el signo del sumando de mayor valor absoluto. (Se resta el mayor al menor y se deja el signo del más grande). (+20) + (-10) = 20 - 10 = 10 (20 - 10 = 10, el más grande es +20, por lo tanto el resultado es +) (-8) + (+3) = -8 + 3 = -5 (8 - 3 = 5, el más grande es el - 8, por lo tanto el resultado es - ) (+ 11) + (- 2) = 11 - 2 = + 9 (11 - 2 = 9, el más grande es el +11, por lo tanto el resultado es +) ACTIVIDAD 6. Realiza las siguientes sumas de números enteros. (-4) + (-4)= (-14) + (-4)= (-4) + (-12)= (-10) + (-4)= (+4) + (-41)= (-12) + (-4)= (+4) + (-12)= (-10) + (-40)= (-5) + (+9) = (-2) + (+8) = (-3) + (+4) = (-4) + (+10) = (-5) + (+7) = (-9) + (+4) = (-10) + (+6) = (-8) + (+1) = (-5) + (+4) = (-7) + (+3) = (-5) + (-6) = (-3) + (-4) = (-2) + (-7) = (-6) + (-3) = (+8) + (-11) = (+4) + (-9) = (+2) + (-8) = (+7) + (-1) = (+8) + (-4) = (+10) + (-5) = (+12) + (-7) = (+13) + (-6) = Resta de números enteros: Cuando trabajamos con números enteros podemos decir que no existen diferencias entre la suma y la resta, ambas operaciones las podemos expresar en forma de suma. Una resta no es más que la suma de un número entero negativo. Observa: 5 – 3 = (+5) + (-3) Tenemos que tener en cuenta a partir de ahora un detalle: No podemos escribir dos signos seguidos, debemos separarlos mediante un paréntesis. Entonces ¿qué significan las expresiones? + (+3) + (-3) -(+3) -(-3). Pues es bien sencillo: Si los dos signos son iguales el resultado positivo: + (+a) = +a -(-a) = +a Si los dos signos son distintos el resultado es negativo: + (-a) = -a -(+a) = -a Por ejemplo: +(+2) = +2 -(-2) = +2 - (+2) = -2 +(-2) = -2 4 Por lo tanto para realizar una resta o diferencia deberemos seguir los siguientes pasos: 1º) Eliminar los paréntesis 2º) Operar adecuadamente los nº resultantes Por ejemplo: (+3) - (-5) = +3 + 5 = +8 (-2) + (+4) = -2 + 4 = +2 ACTIVIDAD 7. Realiza las siguientes restas de números enteros. (-4) – (-4)= (-14) – (-4)= (-4) – (-12)= (-10) – (-4)= (+4) – (-41)= (-12) – (-4)= (+4) – (-12)= (-10) – (-40)= (-5) + (-9) = (-2) + (-8) = (-3) + (-4) = (-4) – (+10) = (-5) + (-7) = (-9) + (-4) = (-10) – (+6) = (-8) – (+1) = (-5) – (+4) = (-7) – (+3) = (-5) – (-6) = (-3) – (-4) = (-2) – (-7) = (-6) – (-3) = (+8) – (-11) = (+4) – (-9) = (+2) – (-8) = (+7) – (-1) = (+8) – (-4) = (+10) – (-5) = (+12) – (-7) = (+13) – (-6) = Lo anterior también es válido si nos encontramos más de un término en la operación. Si tenemos más de un término procederemos de la siguiente forma: 1º Quitaremos los paréntesis. 2º Sumaremos los enteros de igual signo. 3º Operaremos adecuadamente los números resultantes. Mira los siguientes ejemplos: (-2) – (-5) + (-3) – (-2) = -2 + 5 – 3 + 2 = -5 + 7 = +2 (-3) + (-4) – (-3) + (-1) = -3 – 4 + 3 –1 = -8 + 3 = -5 ACTIVIDAD 8. Calcula el resultado de las siguientes expresiones (Recuerda primero suma los números de igual signo y después realiza la operación que corresponda): (+7) + (+15) + (-18) + (-3) = (-21) + (+45) + (-20) = (+9) + (+20) + (+3) + (-24) = (-16) + (+20) + (-8) + (+2) = -(+3) + (+1) – (-4) = -(+2) - (+1) – (+5) = -(+2) + (-1) + (-4) – (-5)= -(+1) - (+3) - (-4) – (-5)= (+8) – (+12) – (-6) = -5 – 21 – (-26) = −2 + (−3) + 4 – (+5) - 15 − 2 – 6 = 2 – (+3) + (-5) – 2 – (-3) – (+6) + 10 + 5 − 7= 5 Multiplicaciones y divisiones de números enteros: LA REGLA DE LOS SIGNOS. Regla de los signos, nos indica el signo del resultado de una multiplicación o división de números enteros. Es la siguiente: Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y se aplica la regla de los signos. Cuando van dos signos seguidos hay que separarlos utilizando paréntesis. , ) , ) 24 3 8 = + · + (8 por 3 es 24, + por + es +) , ) , ) 6 2 3 = ÷ · ÷ (3 por 2 es 6, - por - es +) , ) , ) 4 1 4 ÷ = ÷ · + (4 por 1 es 4, + por - es -) , ) , ) 8 4 2 ÷ = + · ÷ (2 por 4 es 8, - por + es -) Para dividir se divide el dividendo entre el divisor y se aplica la regla de los signos. Una división es exacta cuando el resto es 0. , ) , ) 2 4 8 = + ÷ + (8 entre 4 es 2, + entre + es +) , ) , ) 2 2 4 = ÷ ÷ ÷ (4 entre 2 es 2, - entre - es +) , ) , ) 5 2 10 ÷ = ÷ ÷ + (10 entre 2 es 5, + entre - es -) , ) , ) 2 4 8 ÷ = + ÷ ÷ (8 entre 4 es 2, - entre + es -) ACTIVIDAD 9. Calcula el resultado de las siguientes expresiones: (+4)·(+3) = (-2 )·(-5 ) = (+4)·(-2 ) = (-6 )·(+4) = (+24):(+3) = (-20 ):(-5 ) = (+14):(-2 ) = (-16 ):(+2) = (+4)·(+3) = (+5)·(-2) = (-4)·(-5) = (-3)·(+7) = (-30):(+6) = (-14):(-2) = (+15):(-3) = (+24):(+3) = Operaciones combinadas: Llamamos operaciones combinadas a los ejercicios en los que nos encontramos más de un signo distinto, es decir hay que realizar varias operaciones distintas simultáneamente. En estos casos tenemos que tener en cuenta las siguientes prioridades: 1. Cuando no hay ni paréntesis ni corchetes, hacemos primero las multiplicaciones y divisiones en el orden que aparezcan. Después realizamos las sumas y las restas, también en el orden que aparezcan. Por ejemplo: -4:2 - 3·2 – 4:2 +10 = -2 – 6 – 2 + 10 = 0 ACTIVIDAD 10. Calcula el resultado de las siguientes expresiones: +7 + (-9)·(+5) = –5 + (-6):(+6) = +1-(-36):(-3) = +1 + (+6)·(+5) = –6 – (+3) -(-5):(+5) = +8:4 + (-7)·(-9) = 6 2. Cuando hay paréntesis, hacemos primero los cálculos del paréntesis teniendo en cuenta la prioridad de las operaciones, después para quitar el paréntesis aplicamos la regla de los signos, signo que haya delante del paréntesis por signo que haya dentro. Luego continuamos de la misma forma que el punto anterior. Por ejemplo: (-4:2 - 7) + (-3·2 – 4:2 + 5 - 8) = (-2 - 7) + (-6 – 2 + 5 - 8) = (-9) + (-16 + 5) = -9 + (-11) = -20 ACTIVIDAD 11. Calcula el resultado de las siguientes expresiones: -(+2 – 3 + 5) + (-2 + 6 – 4 + 7) = –(+4 – 6 - 9) + (-4 + 5 - 2) = –(+3 – 2 - 1) + (-5 + 7 + 4) = +(-3 + 5 + 2 + 1) - (-8 – 4 – 9 - 5) = +(-4 + 7 + 2) + 9 - (-3 + 4 - 3) = -(–5 + 6 – 3 + 6) + 3 - (+5 – 2 + 1) = +(-8 – 3 - 9) + 4 + (-2 + 9) = –(-5 - 3) - (+4 + 7 + 2 + 3) = –2 - 4 + (-8 + 4 – 6 + 7) = –3 + (-5 + 4) - (-8 + 3 + 9) = 4 - (-7 + 4 - 5) + (-5 + 1) = 2 + (-4 + 5) - (+6 + 6) + 7 = –3 - (+4 – 6 – 7 – 5 + 6) – 7 + 5 = +(-3 – 5 + 6) - (-4 – 5 - 9) = +(-3 – 5 + 4) - (+4 + 5 + 6) = –(-4 + 5 - 6) - (+7 – 3 + 6) - 5 = 3. Cuando hay paréntesis y corchetes ( j ¦ ), hacemos primero los paréntesis, los quitamos aplicando la regla de los signos. Después hacemos los corchetes y los quitamos aplicando la regla de los signos. Luego hacemos los productos y divisiones y por último las sumas. Por ejemplo: -7 +3 - [-(10 - 5) - (8 -10)] = -7 + 3 – [-(+5) – (-2)] = -7 + 3 – [-5 + 2] = -7 + 3 – [-3] = = -7 +3 + 3 = -1 ACTIVIDAD 11. Calcula respetando la jerarquía de operaciones: –4 – (+24):(+1-9) – (-1-2) = –6 –[+7 +(+1)·(-1)] = +7 +[+1 -(+10):(+5)] = +4 +[+2 +(+8)·(-6)-(-7+6)] = [+7 +(-5)]:(-7+2) – (+1-6) = -2 – [-6 +(-4):(-2)-(+7-5)] = +1 -[-4 +(-10):(-5)]+[+3+(-9):(-9)] = +1 -[+3 -(-8)·(+8)]+[+6+(+8):(+4)] = ACTIVIDAD 11. Teniendo en cuenta todo lo aprendido soluciona estos problemas haciendo el planteamiento numérico necesario: 11. 1. El termómetro marca ahora 7ºC después de haber subido 15ºC. ¿Cuál era la temperatura inicial? 11.2. Por la mañana un termómetro marcaba 9º bajo cero. La temperatura baja 12º C a lo largo de la mañana. ¿Qué temperatura marca al mediodía? 11.3. Una persona vive en la planta 2 de un edificio y su plaza de garaje está en el sótano 1¿Cuántas plantas separan su vivienda de su plaza de garaje? 11.4. Elena tenía ayer en su cartilla –234 euros y hoy tiene 72 euros. Desde ayer ¿ha ingresado o ha gastado dinero? ¿Qué cantidad? 11.5. El saldo de la cartilla de ahorros de Elena es hoy 154 €. Paga una factura de 313 € ¿Cuál es el saldo ahora? 7 3. POTENCIAS. Potencias de un entero. ¿QUÉ ES UNA POTENCIA? Una potencia es una forma de escribir el producto de factores iguales (multiplicaciones de un número por él mismo varias veces). El factor que se repite se llama base y el número de veces que se repite se llama exponente. Mira el ejemplo. 243 3 3 3 3 3 3 5 = · · · · = , ) 16 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( 2 4 = ÷ · ÷ · ÷ · ÷ = ÷ CASOS PARTICULARES DE POTENCIAS: Un número elevado al exponente 1 es igual al mismo número. Por ejemplo: 2 1 = 2; 3 1 = 3. Un número elevado al exponente 0 es igual a uno. 4 0 = 1; 52351 0 = 1. SIGNO DE UNA POTENCIA Al calcular potencias de base un número entero, presta atención al signo de la base y al exponente. También debes distinguir a qué número exactamente está afectando la potencia. No es lo mismo -3 4 que (-3) 4 Una potencia de base positiva, el valor de la potencia será siempre positivo. Si la base es negativa y el exponente par o cero, el valor de la potencia será positivo. Si la base es negativa y el exponente es impar, el valor de la potencia será negativo. ACTIVIDAD 12. Completa el cuadro. Potencia 3 2 4 3 5 4 6 5 8 7 9 10 10 11 15 20 Base Exponente ACTIVIDAD 13.Escribe en forma de potencia los siguientes productos. 8 x 8 x 8 = 7 x 7 x 7 x 7 = 9 x 9 x 9 x 9 x 9 = 15 x 15 x 15 x 15 x 15 = 8 x 8 x 7 x 7 x 7 = 5 x 5 x 5 x 6 x 6 = 7 x 7 x 9 x 9 x 9 = 10 x 10 x 10 x 8 x 8 x 8 = ACTIVIDAD 14. Halla el valor de las siguientes potencias. 7 1 = 8 0 = 9 2 = 8 3 = 11 0 = 25 1 = 2 2 x 3 3 = 2 3 x 3 2 = 4 2 x 5 2 = 4 2 x 5 2 x 3 0 = 5 3 x 2 2 x 3 3 = 6 2 x 3 3 x 7 0 = ACTIVIDAD 15. Expresa como producto: 8 4 ( 5) ÷ = 5 ( 3) ÷ = 7 ( 4) ÷ = ACTIVIDAD 16. Expresa como potencia: (-5)·(-5)·(-5) (-5)·(-5)= 5·5·5·5·5·5= (-3)·(-3)·(-3)= ACTIVIDAD 17. Calcula el valor de las potencias: -3 5 = (-3) 5 = (-3) 0 = -3 0 = 4 2 = -4 2 = (-4) 2 = -4 0 = ACTIVIDAD 18. Indica si el signo del resultado es positivo o negativo: (-6) 7 = 5 2 = (-4) 4 = (-12) 13 = -3 3 = -4 2 = ACTIVIDAD 19. Calcula el valor de las siguientes potencias: (–2) 7 = (–3) 5 = (–5) 3 = (–10) 3 = (–1) 16 = (–1) 17 = (-5) 3 = (-12) 4 = (-2) 7 = (-7) 2 = Operaciones con potencias. PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE. El producto de dos o más potencias de igual base es otra potencia de la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes. Ejemplos: 9 4 2 3 4 2 3 2 2 2 2 2 = = · · + + 13 6 4 3 6 4 3 3 3 3 3 3 = = · · + + ACTIVIDAD 19. Escribe en forma de una sola potencia los siguientes productos. Después, calcula su valor. (Recuerda que si la potencia no presenta exponente se considera como si éste fuera uno 2 = 2 1 ) Ejemplo 2 2 x 2 2 = 2 2+2 = 2 4 = 16 2 2 x 2 3 = 2 3 x 2 = 2 4 x 2 = 3 2 x 3 2 = 3 3 x 3 = 3 2 x 3 3 = 3 3 x 3 3 = 3 4 x 3 = 4 3 x 4 0 = 2 2 x 2 x 2 3 = 3 x 3 2 x 3 = 6 2 x 6 2 x 6 = 7 2 x 7 x 7 = 8 2 x 8 x 8 3 = 9 2 x 9 2 x 9 = 9 x 9 2 x 9 0 = 10 x 10 0 x 10 2 = ACTIVIDAD 19. Completa los exponentes que faltan. 9 Ejemplo 2 6 x 2 (2) = 2 8 2 3 x 2 ( ) = 2 7 6 4 x 6 ( ) = 6 10 7 3 x 7 ( ) = 7 11 8 4 x 8 ( ) = 8 12 9 5 x 9 ( ) = 9 13 10 8 x 10 ( ) = 10 14 11 9 x 11 ( ) = 11 15 12 3 x 12 4 x 12 ( ) = 12 10 14 5 x 14 6 x 14 ( ) = 14 18 15 7 x 15 2 x 15 ( ) = 15 13 23 8 x 23 9 x 23 ( ) = 23 20 35 7 x 35 6 x 35 ( ) = 35 24 42 9 x 42 5 x 42 ( ) = 42 19 53 7 x 53 4 x 53 ( ) = 53 22 61 5 x 61 2 x 61 ( ) = 61 19 75 6 x 75 2 x 75 ( ) = 75 20 81 7 x 81 2 x 81 ( ) = 81 15 COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE. El cociente o división de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes. Ejemplos: 3 3 6 3 6 3 6 2 2 2 2 2 2 = = ÷ = ÷ 6 2 8 2 8 2 8 3 3 3 3 3 3 = = ÷ = ÷ ACTIVIDAD 20. Escribe en forma de una sola potencia los siguientes cocientes. Después, calcula su valor. Ejemplo: 3 8 : 3 5 = 3 8-5 = 3 3 = 27 5 4 : 5 3 = 6 9 : 6 7 = 7 10 : 7 8 = 8 12 : 8 10 = 9 13 : 9 11 = 10 3 : 10 = 11 2 : 11 2 = 12 3 : 12 = 13 4 : 13 2 = 20 5 : 20 2 = 30 6 : 30 3 = 40 7 : 40 4 = 70 4 : 70 0 = 80 5 : 80 = 90 6 : 90 2 = 100 7 : 100 = 11 2 : 11 = ACTIVIDAD 21. Completa los exponentes que faltan. 4 8 : 4 ( ) = 4 6 5 9 : 5 ( ) = 5 4 7 8 : 7 ( ) = 7 6 8 9 : 8 ( ) = 8 3 9 10 : 9 ( ) = 9 7 10 16 : 10 ( ) = 10 10 11 15 : 11 ( ) = 11 4 12 16 : 12 ( ) = 12 12 13 12 : 13 ( ) = 13 9 35 15 : 35 ( ) = 35 12 41 20 : 41 ( ) = 41 50 18 : 50 ( ) = 50 9 62 17 : 62 ( ) = 62 4 75 19 : 75 ( ) = 75 2 80 21 : 80 ( ) = 80 10 82 30 : 82 ( ) = 82 21 90 45 : 90 ( ) = 90 20 95 32 : 95 ( ) = 95 17 POTENCIA DE UNA POTENCIA. 10 La potencia de una potencia es otra potencia de igual base y cuyo exponente es el producto de los exponentes. Ejemplos: 6 2 3 2 3 2 2 ) 2 ( = = · 12 3 4 3 4 3 3 ) 3 ( = = · ACTIVIDAD 22. Escribe en forma de una sola potencia. (3 2 ) 3 = (4 3 ) 2 = (5 2 ) 2 = (6 4 ) 3 = (7 5 ) 2 = (8 4 ) 5 = (9 7 ) 3 = (10 4 ) 2 = (11 5 ) 6 = (12 7 ) 9 = ACTIVIDAD 23. Calcula y completa los exponentes que faltan. (2 4 ) ( ) = 2 8 (3 2 ) ( ) = 3 6 (4 3 ) ( ) = 4 12 (5 ( ) ) 4 = 5 16 (6 ( ) ) 8 = 6 24 (7 ( ) )4 = 7 36 POTENCIA DE UN PRODUCTO. La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado a dicha potencia. Ejemplos: 2 2 2 3 5 ) 3 5 ( · = · 3 3 3 3 5 2 4 ) 5 2 4 ( · · = · · ACTIVIDAD 24. Escribe el resultado como producto de potencias. (2 x 3) 3 = (8 x 9) 5 = (7 x 10) 2 = (2 x 3 x 4) 2 = (10 x 11 x 12) 6 = (13 x 14 x 15) 7 = ACTIVIDAD 25. Escribe en forma de una sola potencia. 5 6 x 7 6 x 8 6 = 4 7 x 9 7 x 5 7 = 11 7 x 12 7 X 13 7 = 14 8 x 15 8 X 16 8 = Potencias de 10. Notación científica. Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades indica el exponente. Ejemplos: 1000 10 10 10 10 3 = · · = 1000000 10 10 10 10 10 10 10 6 = · · · · · = Los números de muchas cifras que acaban en ceros tienen una escritura más cómoda utilizando potencias de base 10. A esto lo llamamos notación científica. Ejemplos: 7 10 12 10000000 12 120000000 · = · = 8 10 2 100000000 2 200000000 · = · = 11 También podemos usar la notación científica para escribir números muy pequeños, más pequeños que uno. Aunque estos no son números enteros y no entrarían en este tema es más fácil explicarlos aquí. Para escribir cómodamente estos números utilizamos también las potencias con base diez pero en este caso con el exponente en negativo, el exponente será el número de posiciones que se ha movido la coma hacia la derecha. Ejemplos: 2 10 01 , 0 ÷ = 3 10 001 , 0 ÷ = Los números con muchos decimales también podemos escribirlos de este modo. Escribiremos, por tanto, el número entero sin coma multiplicado por diez elevado al número entero negativo correspondiente, es decir el número de veces que hemos movido la coma hacia la derecha. Ejemplos: 3 10 25 025 , 0 ÷ · = 2 10 203 03 , 2 ÷ · = 25 10 324 00354 0000000000 0000000000 , 0 ÷ · = ACTIVIDAD 26. Calcula: 10 4 = 10 6 = 10 9 = 10 10 = 10 11 = 10 12 = ACTIVIDAD 27. Escribe, utilizando potencias de base 10, los siguientes números. 3.000 = 40.000 = 600.000 = 7.000.000 = 80.000.000 = 130.000.000 = 200.000.000 = 320.000.000 = 1.000.000.000 = 2.000.000.000 = ACTIVIDAD 28. En la siguiente tabla aparece la distancia media en kilómetros de algunos planetas al Sol. Escribe esas distancias utilizando potencias de base 10. Tierra Urano Neptuno Plutón Distancia media al Sol (km) 149.500.000 2.873.000.000 4.498.000.000 5.910.000.000 Potencias de base 10 12 4. RAÍCES CUADRADAS. La raíz cuadrada de un número es aquel número que su cuadrado sea igual al primer número. Dicho con palabras suena un poco complicado pero no es así, mira el ejemplo y verás. b a = tal que a b = 2 Por ejemplo 3 9 = porque 9 3 2 = Si tenemos en cuenta todo lo aprendido en este tema y pensamos un poco nos daremos cuenta que un número positivo tiene dos raíces cuadradas, es decir: b a ± = ya que a b = 2 y a b = ÷ 2 ) ( Por ejemplo 3 9 ± = porque 9 ) 3 ( 3 2 2 = ÷ = La raíz cuadrada de un número negativo no existe, porque no existe ningún número que al cuadrado de un número negativo. (Recuerda: si el exponente es par, como es el 2, todos los resultados son positivos). Por lo tanto: -/ = ÷ a (esto se lee: “La raíz cuadrada de a negativo no existe”) Por ejemplo: -/ = ÷9 En una serie de operaciones combinadas en la que aparezcan potencias y raíces, el orden que deben efectuarse las operaciones es: primero las potencias y raíces, después multiplicaciones y divisiones y por último sumas y restas. Si existen paréntesis, efectuamos primero las operaciones de su interior siguiendo este mismo orden para luego continuar de igual forma. Por ejemplo: 29 28 1 4 7 5 : 5 2 7 5 : 25 2 = + = · + = · + ó , ) , ) , ) 10 16 6 2 8 2 3 2 8 2 9 2 3 5 2 9 2 3 : 9 5 2 9 2 3 : 3 5 2 9 2 ÷ = ÷ = · ÷ · = · ÷ · = · + ÷ · = · + ÷ · = · + ÷ · ACTIVIDAD 29. Calcula las siguientes potencias y raíces cuadradas (+3) 2 = (-5) 3 = (-3) 4 = (-3) 5 = (-2) 4 = = ÷16 = 125 = ÷9 = 9 = 25 = 16 ACTIVIDAD 30. Calcula las siguientes operaciones combinadas. , ) = + · 3 2 25 5 = · + · 10 5 4 2 3 = · ÷ 2 25 3 2 = +16 125 , ) = ÷ + · 9 16 5 2 2 = ÷ · + 2 4 8 49 2 16 = · · 2 3 8 : 36 16 = · + · 3 2 10 300 5 225 , ) = + ÷ 16 2 : 16 144 3 , ) = · + ÷ · 25 2 49 64 3 2 2 = + · ÷ 3 8 3 5 2 144 = ÷ + 12 64 2 : 2 7 10 = · + ÷ 49 16 3 25 : 75 4 , ) = + · 2 6 2 9 : 2 28 13 Calculo de raíces cuadrada sin calculadora: No sabemos si recordarás o si has realizado alguna vez este tipo de operaciones. Vamos a repasar con ayuda de un ejemplo como se realizan las raíces cuadradas. No temas no es tan complicado. Reúne el número en grupos de dos cifras, de derecha a izquierda: en el ejemplo 75 y 9. Busca el número cuyo cuadrado se acerque lo máximo (sin superarlo) al primer grupo de la izquierda, en nuestro caso para el 9 es el 3, ya que 3 2 =9. Este número lo apuntamos en el recuadro de la derecha como el primero del resultado y su cuadrado se lo restamos al primer grupo. En nuestro caso apuntamos 3 a la derecha y restamos 9. A continuación bajamos las dos cifras siguientes, 75en el ejemplo. Bajo el recuadro de la solución ponemos el doble del que está escrito, es decir bajo el 3 escribimos su doble, 6. Buscamos el número que puesto junto al anterior y multiplicado por él nos dé un número cercano al que hemos bajado. Un número que junto al 6 y multiplicado por él nos dé el más cercano a 75 sin pasarse. 62·2=124 se pasa, 61·1=61 sí sirve. Restamos 75-61 = 14. Ponemos dos ceros y una coma en el radicando. Abajo escribimos el doble de 31, o sea 62 y seguimos como en el paso anterior. Buscamos un número que puesto junto al 62 y multiplicado por él mismo nos dé el más cercano a 1400 sin pasarse El 2 es el más cercano ya que 622·2 = 1244, con el tres nos pasaríamos (623·3=1869). Para hallar más decimales, deberíamos escribir dos ceros tras el 156 y repetir el proceso. Por tanto 2 , 31 975 ~ ACTIVIDAD 30. Realiza sin ayuda de la calculadora las siguientes raíces cuadradas, llegando hasta las centésimas en las ocasiones que sea posible. = 98 = 102 = 324 = 769 = 1236 = 1453 = 5453 = 15625 MÓDULO CIENTÍFICO TECNOLÓGICO PROGRAMACIÓN DEL MÓDULO VOLUNTARIO DEL PCPI MATERIA MATEMÁTICAS FICHA DE EJERCICIOS Un. 1. NÚMEROS ENTEROS ACTIVIDAD 1. ¿Qué números asocias a los puntos A, B, C y D? ACTIVIDAD 2. Escribe tres elementos más de las siguientes series numéricas: 0, 1, -1, 2, -2,… -21, -20, -18, -15, -11,… 6, 4, 2, 0, -2,… 8, 7, 5, 2, -2,… 20, 15, 10, 5, 0,… ACTIVIDAD 3. Asocia un número positivo o negativo a cada uno de los enunciados siguientes: Jennifer tiene en el banco 2500€: Miguel debe 150€: Vivo en el séptimo piso: Tengo el coche aparcado en el segundo sótano: El termómetro marca dieciocho grados: El termómetro marca tres grados bajo cero: Debo dos euros a mi amigo “Jose”: He ganado 60€ en mi trabajo de repartidor: El ascensor ha bajado cuatro plantas: El termómetro ha subido cinco grados: He perdido un billete de diez euros: ACTIVIDAD 4. Representa en la recta real y ordena de mayor a menor los siguientes números enteros: -7, +4, -1, +7, +6, -4, -5, +3, -11 ACTIVIDAD 5. Ordena de mayor a menor la siguiente serie numérica: +6, +2, 0, +4, -7, +3, - 2, -5, -9, +10, -1 ACTIVIDAD 6. Calcula el valor de las siguientes expresiones: 3 – 5 = – 4 + 1 = 3 + 2 – 7 = 12 – 25 + 1 = 12 + 4 – 20 = 5 – 4 – 20 = 20 – 8 – 3 + 5 = 11 + 13 – 5 – 45 + 2 = 9 – 12 + 11 – 4 – 3 = 7 + 12 – 5 + 3 – 10 = 5 + 4 – 3 – 22 + 9 – 13 = –6 – 7 + 5 – 4 + 3 + 15 = 8 – 5 – 4 – 7 + 21 – 11 = 18 – 15 + 6 – 7 + 8 – 5 = ACTIVIDAD 7. Realiza las siguientes sumas y restas: 4 – (-3) = – 4 – (-3) = – (–3) – (-3) = 15 – 8 + 4 = 15 – (8 + 4) = 20 – 11 – 4 = 20 – (11 – 4) = 3 – 2 – 5 = 12 + (-4) – 2 = 4 – 2 – (-5) = 2 – (-3) – 1 = 2 – 3 + (-4) = -3 – (-4 + (-–2)) = 4 – (4 – 2) = 5 – (-12 + 4) = 3 – (-12 – 2) = 2 – 3 – (–4) = – 4 – (–3) – (-3) = –2 – 3 – (–3) = -4 – (-2 – 3) – 1 = -2 – (-2) – 2 – (-2) = 4 – 2 – (–3) – (-1) = -3 – (-2) – (-1) – 6 = -10 – (-2) – (-1) – (-3) = -1 – (-2) + (-2) – (-3) – (-1) = 6 – (4 + 5) – 2 – (5 – 3) = -2 – (3 – 6) – 5 – (6 – 10) = 2 – (-4 + 1) + 7 – (2 – 3) = -10 – (-1 – 5) – (-5 – 3) = -6 – (12 – 5) – 3 – (-5 – 3) = 3 – (4 – 1 – 6) – 4 – (2 – 3 + 6) = ACTIVIDAD 8. Realiza las siguientes operaciones combinadas: 6 + 2 · 4 = 15 – 7 · 2 = (6 + 2 ) · 4 = (15 – 7) · 2 = 5 · 3 + 2 · 4 – 3 · 6 = 25 – (4 · 2) · 3 + 8 = (3 – 2) · (1 – 6) – 5 (2 – 1) = 5 · (4 – 5) – 7 (3 + 2) = 6 : (2 – 4) + 5 · (3 – 1) = 5 + 4 : 2 – 4 + 3 · (5 – 2) = (24 – 14 : 2) · 3 25 – (9 – 8 – 15 + 7) = 18 – (24 – 3) · 4 = (–7 + 14 + 33) : (17 – 9) = ACTIVIDAD 9. Calcula los siguientes productos: 3 · (-2) = - 5 · (+3) = (+3) · (-8) = 4 · (+5) = (- 2) · (-4 ) = (-9) · (- 3) = 8 · (-6) = - 6 · (+ 3) = (- 5) · (-7) = (-6) · (+4) = ACTIVIDAD 10. Calcula: (–7) · (+11) = (–6) · (–8) = (+3) · (-5) · (+2) = (-2) · (-7) · (-2) = (-4) · (-1) · (+6) = (+5) · (-4) · (-3) = (+5) · (+7) · (–1) = (–2) · (–3) · (–4) = ACTIVIDAD 11. Calcula el cociente: (-8) : (+2) = (-4) : (+3) = (-15) : (-3) = (+42) : (-7) = (+20) : (-10) = (+20) : (-7) = (+32) : (+8) = (-48) : (-8) = (-12) : (-4) = (-1) : (+6) = (-36) : (+9) = (+54) : (+6) = (– 45) : (+3) = (+85) : (+17) = (+36) : (–12) = (–85) : (–5) = ACTIVIDAD 12. Calcula: 5 – 3 – 7 + 1 + 8 = 2 – 3 + 4 + 1 – 8 + 2 = 1 – 3 + 5 – 7 + 9 – 11 = 2 + 4 – 6 – 8 + 10 – 12 + 14 = ACTIVIDAD 13. Quita paréntesis y después opera: 1 – (7 – 2 – 10) – (3 – 8) = (8 – 4 – 3) – (5 – 8 – 1) = (3 – 5) – (1 – 4) + (5 – 8) = 3 – (5 – 8) – (11 – 4) + (13 – 9) = ACTIVIDAD 14. Calcula operando primero dentro de los paréntesis: (2 – 6 – 3) + (5 – 3 – 1) – (2 – 4 – 6) = (8 – 11 – 5) – (12 – 13) + (11 + 4) = 15 + (6 – 18 + 11) – (7 + 15 – 19) + (1 – 3 – 6) = ACTIVIDAD 15. Quita paréntesis y calcula: 3 – [(5 – 8) – (3 – 6)] = 1 – (3 – [4 – (1 – 3)]) = (2 + 7) – (5 – [6 – (10 – 4)]) = ACTIVIDAD 16. Opera las expresiones siguientes: (+400) : (–40) : (–5) = (+400) : [(–40) : (–5)] = (+7) · (–20) : (+10) = (+7) · [(–20) : (+10)] = (+300) : (+30) · (–2) = (+300) : [(+30) · (–2)] = ACTIVIDAD 17. Calcula: 6 · 4 – 5 · 6 – 2 · 3 = 15 – 6 · 3 + 2 · 5 – 4 · 3 = 5 · (– 4) + (–2) · 4 – 6 · (–5) – 3 · (–6) = 18 – 3 · 5 + 5 · (– 4) – 3 · (–2) = ACTIVIDAD 18. Opera estas expresiones: (–5) · (8 – 13) = (2 + 3 – 6) · (–2) = (+4) · (1 – 9 + 2) : (–3) = (–12 – 10) : (–2 – 6 – 3) = ACTIVIDAD 19. Calcula: 13 – [8 – (6 – 3) – 4 · 3] : (–7) = 5 · (8 – 3) – 4 · (2 – 7) – 5 · (1 – 6) = 12 · (12 – 14) – 8 · (16 – 11) – 4 · (5 – 17) = ACTIVIDAD 20. Realiza las operaciones siguientes: 18 – 40 : (5 + 4 – 1) – 36 : 12 = 4 + 36 : 9 – 50 : [12 + (17 – 4)] = 48 : [5 · 3 – 2 · (6 – 10) – 17] = 3 · 4 – 15 : [12 + 4 · (2 – 7) + 5] = ACTIVIDAD 21. Opera: [(+80) : (-8)] : (-5) = [(-70) : (-2)] : (-7) = (+50) : [(-30) : (+6)] = (-40) : [(+24) : (+3)] = ACTIVIDAD 22. Calcula teniendo en cuenta la prioridad de las operaciones: (-8) · (+2) + (-5) · (-3) = (+40) : (-8) – (-30) : (+6) = (-2) · (-9) + (-24) : (-3) – (-6) · (-4) = (+27) : (-3) – (+3) · (-5) – (-6) · (-2) = ACTIVIDAD 23. Realiza las siguientes operaciones combinadas con corchetes: 4 –[(3 + 2) –5] = –5– [–12 + (–4)] = 2 –[(4 – 2) – 3–(–2)] = 6 + [5 · (4 – 2) + 3] – 3= 7– [6 –(–5)] – 4–(5 –3) = 10 –[3 –2 –(5 –4) –2 –(4 – 2)] = –4 –[–3 – 2 –(–5 + 4) – 2 –(–4 + 2)] = –2 · [3 –(–3 – 5–(6 + 4) – 12 + 3) –7 – 20] + 5 = –6 · [2 –(–3 – 4–(–5 + 4) – 2 + 3) – 7 –7] + 4 –3 = –2 –[8 –(–3 + 5–(–6 + 4) – 2 – 3) – 5 – 6] –(–4) = ACTIVIDAD 24. Calcula: 6 + [5 + (7 + 2)] = 15 – [2 – (6 – 10)] = (-6) + [5 + (2 – 12)] = 8 + [4 – (3 + 5)] = 15 – [10 – (8 + 4)] = (-7) – [3 – (4 - 9)] = 10 – [6 + (2 + 7)] = 12 – [7 – (2 – 10)] = ACTIVIDAD 25. Calcula: (2 - 10) + [5 – (8 + 2)] = [9 – (+5)] + [7 + (- 10)] = [8 – (6 + 4)] – (5 – 7) = (12 -3) – [1 – (2 -6)] = [10 – (-2)] – [5 – (+12)] = [1 + (6 - 9)] – (8 – 12) = [(+6) · (-4)] : (-3) = (-5) · [(+12) : (-3)] = [(-15) · (-2)] : (+6) = [(-5) · (+12)] : (-3) = ACTIVIDAD 26. Calcula: 5 · (-4) + 2 · (-3) = 2 · (-8) – 3 · (-7) – 4 · (+3) = 20 : (-5) – 8 : (+2) = 6 : (+2) + 5 · (-3) – 12 : (-4) = (-3) · [(-2) + (-4)] = (+6) : [(+5) – (+7)] = [(+8) + (+7)] · (-3) = (+4) · [(-5) + (+2)] = (-20) : [(-6) – (-2)] = [(-9) + (-3)] : (+6) = 19 – (-3) · [5 – (+8)] = 12 – [13 – (-7)] : (-5) = (-2) · (5 – 7) – (-3) · (8 – 6) = 12 + (-5) · [8 + (-9)] = 10 – (+20) : [7 + (-3)] = (9 – 6) · (-2) + (13 + 3) : (-4) = ACTIVIDAD 27. Realiza las siguientes operaciones: 13 – [8 – (6 – 3)– 4 · 3] : (– 7) = 5 · (8 – 3) – 4 · (2 – 7)– 5 · (1 – 6) = 12 · (12 – 14) – 8 · (16 – 11) – 4 · (5 – 17) = [(6 + 1 + 3) – (–5 + 6)] · (–3) = {[(– 4 + 6) – (– 1 + 6)] + [(3 + 1)]} (–5) = [(– 4 + 6) – (– 3 – 4)] · [(– 3 + 1) · (– 5)] = [(–6) + (–5) + (–2)] : (– 8) = [– 6 – (–12) + (– 3) + (–5)] : (–2) = 18 – 40 : (5 + 4 – 1) – 36 :12 = 4 + 36 : 9 – 50 : [12 + (17 – 4)] = 48 : [5 · 3 – 2 · (6 – 10) – 17] = 3· 4 – 15 : [12 + 4 · (2 – 7)+ 5] = [(– 5)(– 3)(–2)] + [(– 5 + 6 – 7) – (– 8 + 9)] = ACTIVIDAD 28. Calcula como los ejemplos y observa las diferencias: Ej.: (-3) 2 = (-3) · (-3) = +9 -3 2 = -3 · 3 = -9 (-2) 4 = -2 4 = (+2) 4 = (-2) 3 = -2 3 = (+2) 3 = (-5) 2 = -5 2 = (+5) 2 = (-3) 3 = -3 3 = (+3) 3 = ACTIVIDAD 29. Observa el ejemplo y completa la siguiente tabla: Producto Potencia Base Exponente Valor 6 · 6 · 6 · 6 6 4 6 4 1296 3 5 4 3 7 49 5 -32 (-5) 3 -125 ACTIVIDAD 30. Calcula (+2) 5 = (+3) 4 = (+10) 5 = (-2) 6 = (-3) 4 = (-10) 5 = (-5) 3 = (-4) 3 = ACTIVIDAD 31. Calcula: 11 0 = (–2) 2 = –2 3 = (–3) 4 = ACTIVIDAD 32. Calcula mentalmente: (-1) 28 = (-1) 59 = (-1) 30 = (-1) 31 = (-10) 3 = (-10) 4 = (+10) 0 = (+10) 6 = (-10) 2 = (-10) 6 = ACTIVIDAD 33. Expresa en forma de potencia siguiendo el ejemplo: Ej.: (-3) 6 : (-3) 4 = (-3) 6-4 = (-3) 2 (-4) 2 · (-4) 3 = (-4) 2·3 = (-4) 6 5 2 : 5 4 = (-4) 2 · (-4) 3 = 5 7 · 5 -3 = (-7) 15 : (-7) 4 = 8 7 : 8 -2 = (-3) 5 · (-3) 2 = (-5) 4 : (-5) -3 = 6 2 : 6 5 = (-4) 8 : (-4) 5 = (-3) 10 : (-3) 6 = (-15) 4 : (-15) 4 = (+6) 7 : (+6) 5 = (-8) 5 : (-8) 3 = (+12) 3 : (+12) 2 = ACTIVIDAD 34. Expresa en forma de una sola potencia: Ej.: (3 -2 ) 5 = 3 (-2)·5 = 3 -10 (8 -3 ) 5 = [(-4) -2 ] -6 = [(-4) 5 ] -6 = (3 2 ) -5 = ACTIVIDAD 35. Observa el ejemplo y calcula aplicando esta propiedad de las potencias: a m · b m = (a ·b) m y a m : b m = (a:b) m Ej.: (-5) 3 · (-2) 3 = [(-5) · (-2)] 3 = (+10) 3 = 1000 (-12) 6 : (-6) 6 = [(-12) : (-6)] 6 = (+2) 6 = +64 (-2) 5 · (+5) 5 = (-6) 4 : (+3) 4 = (-15) 4 : (-5) 4 = (+4) 3 · (-2) 3 = (-5) 7 : (+5) 7 = (+32) 5 : (-16) 5 = ACTIVIDAD 36. Resuelve: [(-2) 4 · (-2) 6 ] : (+2) 8 = (+5) 8 : [(-5) 2 · (-5) 4 ] = [(+3) 4 · (-3) 3 ] : (-3) 6 = (-7) 7 : [(-7) 4 · (-7) 3 ] = ACTIVIDAD 37. Calcula: (–2) 3 + (–3) 3 – (–4) 3 = (–5) 2 · (–2) 2 + (+3) 2 · (–3) = (–2) 2 · [(–5) 2 – (+4) 2 ] = (–6) 3 : (–3) 3 + (–8) 2 : (–4) 2 = ACTIVIDAD 38. Calcula: [(-2) 3 ] 2 · (-2) -3 = [(-2) 3 ] -4 : (-2) 8 = [(-3) -2 ] 3 : (-3) -6 = (5 -2 ) -4 : 5 -6 = (7 3 ) -4 · 7 8 = [(-2) 3 ] 2 : (-2) 5 = ACTIVIDAD 39. Expresa en notación científica las siguientes expresiones. 10000 = 10000000 = 0,1 = 0,001 = 0,00001 2000 = 0,002 = 230000 = 0,00024 = 0,120 = 0,000567 = 0,00000082 = ACTIVIDAD 40. Escribe con todas las cifras los siguientes números: 3,254 · 10 6 = 8,35 · 10 7 = 4,3 · 10 5 = 9,5 · 10 -2 = 3,5 · 10 -3 = 2,576 · 10 -8 = 7,54 · 10 -5 = 3,01 · 10 4 = ACTIVIDAD 41. Realiza mentalmente las siguientes operaciones: ) 4 ( 64 ) 1 ( 81 36 100 ACTIVIDAD 42. Realiza las siguientes operaciones: 225 324 289 15625 1453 5453 24336 MÓDULO CIENTÍFICO TECNOLÓGICO PROGRAMACIÓN DEL MÓDULO VOLUNTARIO DEL PCPI MATERIA MATEMÁTICAS FICHA DE EVALUACIÓN Un. 1. Evaluación Nombre y apellidos: _________________________________________________________ Curso: _______________ Fecha: ________________ ACTIVIDAD 1. Representa en la recta real y ordena de mayor a menor los siguientes números enteros: -6, +3, -2, +5, +6, -3, -5, +4, -10 ACTIVIDAD 2. Realiza las siguientes sumas y restas: 6 – (4 + 5) – 2 – (5 – 3) = -2 – (3 – 6) – 5 – (6 – 10) = 2 – (-4 + 1) + 7 – (2 – 3) = -10 – (-1 – 5) – (-5 – 3) = -6 – (12 – 5) – 3 – (-5 – 3) = 3 – (4 – 1 – 6) – 4 – (2 – 3 + 6) = ACTIVIDAD 3. Realiza el siguiente problema: En una tienda de ropa, el cajero utiliza una única caja y anota cada una de las operaciones efectuadas. Hoy ha hecho las siguientes anotaciones: Venta de una camisa de 38 €. Entrega de 32 € a un cliente por unos pantalones que ha devuelto. Venta de 3 camisas de 47 € cada una. Pago de una factura de 200 €. ¿Cuánto dinero habrá en la caja al mediodía si por la mañana había 189 €? ¿Qué variación se ha producido? Expresa en forma de operación combinada los resultados obtenidos. ACTIVIDAD 4. Realiza las siguientes operaciones combinadas con corchetes: 7– [6 –(–5)] – 4–(5 –3) = –4 –[–3 – 2 –(–5 + 4) – 2 –(–4 + 2)] = –2 · [3 –(–3 – 5–(6 + 4) – 12 + 3) –7 – 20] + 5 = –2 –[8 –(–3 + 5–(–6 + 4) – 2 – 3) – 5 – 6] –(–4) = ACTIVIDAD 5. Realiza las siguientes operaciones: {[(– 4 + 6) – (– 1 + 6)] + [(3 + 1)]} (–5) = [(– 4 + 6) – (– 3 – 4)] · [(– 3 + 1) · (– 5)] = 3· 4 – 15 : [12 + 4 · (2 – 7)+ 5] = [(– 5)(– 3)(–2)] + [(– 5 + 6 – 7) – (– 8 + 9)] = ACTIVIDAD 6. Expresa en forma de potencia: (5 2 : 5 4 ) · (5 7 · 5 -3 )= [(-4) 2 · (-4) 3 ] : [(-4) 8 : (-4) 5 ] = [(-5) 4 : (-5) -3 ] · 5 = [8 7 : 8 -2 ] : [(-8) 5 : (-8) 3 ] = ACTIVIDAD 7. Calcula: [(-2) 3 ] 2 · (-2) -3 = [(-3) -2 ] 3 : (-3) -6 = (7 3 ) -4 · 7 8 = [(-2) 3 ] 2 : (-2) 5 = ACTIVIDAD 8. Expresa en notación científica las siguientes expresiones. 0,1 = 0,00001 2000 = 0,002 = 230000 = 0,00024 = 0,120 = 0,00000082 = ACTIVIDAD 9. Escribe con todas las cifras los siguientes números: 3,254 · 10 6 = 8,35 · 10 7 = 4,3 · 10 5 = 9,5 · 10 -2 = 3,5 · 10 -3 = 2,576 · 10 -8 = 7,54 · 10 -5 = 3,01 · 10 4 = ACTIVIDAD 10. Realiza las siguientes operaciones: 81 100 289 1453 256 241362 ACTIVIDAD 3. Completa las siguientes frases según el cuadro. La gaviota está volando a _________ m _________ el nivel del mar. El niño está buceando a _________ m _________ el nivel del mar. El pez está nadando a _________ m _________ el nivel del mar. El cangrejo se encuentra a _________ m _________ el nivel del mar. El pelícano vuela a _________ m _________ el nivel del mar. ACTIVIDAD 4. En la siguiente tabla se muestran algunas situaciones descritas con números enteros. Asigna el número entero correspondiente a aquellas situaciones que no lo tengan y añade un par de ejemplos propios en los espacios vacíos. SITUACIÓN La temperatura ambiente es de 2º bajo cero La temperatura ambiente es de 2º sobre cero La ciudad se encuentra a 800 m sobre el nivel del mar El buzo está nadando a 20 m de profundidad Estamos justo al nivel del mar Julián tiene un deuda de 5.000 € El avión está volando a 9.500 metros de altura El saldo deudor de la libreta de ahorro es de 12.356 € Los termómetros marcaron una temperatura de 3º bajo cero La altura del monte Aconcagua es de 7.010 metros La profundidad de la fosa marina es de 10.882 metros Jennifer debe 11.650 € Andrés tiene 3.580 € -20 m Nº ENTERO -2º C +2º C ACTIVIDAD 5. Responde a las siguientes preguntas. ¿Cuántos números enteros hay entre -6 y +6? En Aracena, cierto día a las 6 de la mañana el termómetro marcó – 1º C. Al mediodía la temperatura máxima fue de 14º C. ¿Cuál fue, en grados, la variación de temperatura ese día? De un depósito que contenía 520 litros de agua se sacaron primero 170 litros y después 145 litros, más tarde se echaron 210 litros. ¿Cuántos litros contiene ahora el depósito? 2 10 = 10 (-8) + (+3) = -8 + 3 = -5 (+ 11) + (.(+2) = -2 +(-2) = -2 3 . Pues es bien sencillo: -(-a) = +a -(+a) = -a Si los dos signos son distintos el resultado es negativo: + (-a) = -a Por ejemplo: +(+2) = +2 -(-2) = +2 . el más grande es +20.2.4 = -9 Cuando tienen distinto signo: Se restan sus valores absolutos y se pone el signo del sumando de mayor valor absoluto. el más grande es el .) (11 . debemos separarlos mediante un paréntesis. si son positivos signo positivo y si son negativos signo negativo. (+20) + (-10) = 20 . Si no se pone nada delante del número se entiende que es +. el más grande es el +11. por lo tanto el resultado es . Una resta no es más que la suma de un número entero negativo. Realiza las siguientes sumas de números enteros.2 = + 9 (20 . ambas operaciones las podemos expresar en forma de suma. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS (Suma. (+5) + (+4) = 5 + 4 = 9 (-5) + (-4) = -5 . resta.10 = 10. multiplicación y división). Observa: 5 – 3 = (+5) + (-3) Tenemos que tener en cuenta a partir de ahora un detalle: No podemos escribir dos signos seguidos. Entonces ¿qué significan las expresiones? + (+3) + (-3) -(+3) Si los dos signos son iguales el resultado positivo: + (+a) = +a -(-3). por lo tanto el resultado es +) ACTIVIDAD 6. (-4) + (-4)= (-14) + (-4)= (-4) + (-12)= (-10) + (-4)= (+4) + (-41)= (-12) + (-4)= (+4) + (-12)= (-10) + (-40)= (-5) + (+9) = (-2) + (+8) = (-3) + (+4) = (-4) + (+10) = (-5) + (+7) = (-9) + (+4) = (-10) + (+6) = (-8) + (+1) = (-5) + (+4) = (-7) + (+3) = (-5) + (-6) = (-3) + (-4) = (-2) + (-7) = (-6) + (-3) = (+8) + (-11) = (+4) + (-9) = (+2) + (-8) = (+7) + (-1) = (+8) + (-4) = (+10) + (-5) = (+12) + (-7) = (+13) + (-6) = Resta de números enteros: Cuando trabajamos con números enteros podemos decir que no existen diferencias entre la suma y la resta.2) = 11 . por lo tanto el resultado es +) (8 .3 = 5. Suma de números enteros: Cuando tienen el mismo signo: Se suman los valores y se deja el signo que tengan.8.2 = 9. (Se resta el mayor al menor y se deja el signo del más grande). (-4) – (-5)= (+8) – (+12) – (-6) = -5 – 21 – (-26) = −2 + (−3) + 4 – (+5) .(-5) = +3 + 5 = +8 (-2) + (+4) = -2 + 4 = +2 ACTIVIDAD 7. Mira los siguientes ejemplos: (-2) – (-5) + (-3) – (-2) = -2 + 5 – 3 + 2 = -5 + 7 = +2 (-3) + (-4) – (-3) + (-1) = -3 – 4 + 3 –1 = -8 + 3 = -5 ACTIVIDAD 8.(+1) – (+5) = -(+2) + (-1) + (-4) – (-5)= -(+1) . Si tenemos más de un término procederemos de la siguiente forma: 1º Quitaremos los paréntesis. (-4) – (-4)= (-14) – (-4)= (-4) – (-12)= (-10) – (-4)= (+4) – (-41)= (-12) – (-4)= (+4) – (-12)= (-10) – (-40)= (-5) + (-9) = (-2) + (-8) = (-3) + (-4) = (-4) – (+10) = (-5) + (-7) = (-9) + (-4) = (-10) – (+6) = (-8) – (+1) = (-5) – (+4) = (-7) – (+3) = (-5) – (-6) = (-3) – (-4) = (-2) – (-7) = (-6) – (-3) = (+8) – (-11) = (+4) – (-9) = (+2) – (-8) = (+7) – (-1) = (+8) – (-4) = (+10) – (-5) = (+12) – (-7) = (+13) – (-6) = Lo anterior también es válido si nos encontramos más de un término en la operación. Calcula el resultado de las siguientes expresiones (Recuerda primero suma los números de igual signo y después realiza la operación que corresponda): (+7) + (+15) + (-18) + (-3) = (-21) + (+45) + (-20) = (+9) + (+20) + (+3) + (-24) = (-16) + (+20) + (-8) + (+2) = -(+3) + (+1) – (-4) = -(+2) . 2º Sumaremos los enteros de igual signo.15 − 2 – 6 = 2 – (+3) + (-5) – 2 – (-3) – (+6) + 10 + 5 − 7= 4 .(+3) .Por lo tanto para realizar una resta o diferencia deberemos seguir los siguientes pasos: 1º) Eliminar los paréntesis 2º) Operar adecuadamente los nº resultantes Por ejemplo: (+3) . Realiza las siguientes restas de números enteros. 3º Operaremos adecuadamente los números resultantes. . + por . Cuando van dos signos seguidos hay que separarlos utilizando paréntesis. Cuando no hay ni paréntesis ni corchetes.entre + es -) ACTIVIDAD 9. + entre .es -) (2 por 4 es 8. . hacemos primero las multiplicaciones y divisiones en el orden que aparezcan. Por ejemplo: -4:2 . .entre . también en el orden que aparezcan.3·2 – 4:2 +10 = -2 – 6 – 2 + 10 = 0 ACTIVIDAD 10. Regla de los signos.Multiplicaciones y divisiones de números enteros: LA REGLA DE LOS SIGNOS. nos indica el signo del resultado de una multiplicación o división de números enteros. Calcula el resultado de las siguientes expresiones: +7 + (-9)·(+5) = –5 + (-6):(+6) = +1-(-36):(-3) = +1 + (+6)·(+5) = –6 – (+3) -(-5):(+5) = +8:4 + (-7)·(-9) = (+4)·(+3) = (+5)·(-2) = (-4)·(-5) = (-3)·(+7) = (-30):(+6) = (-14):(-2) = (+15):(-3) = (+24):(+3) = 5 .es +) 10 8 2 4 5 2 (10 entre 2 es 5. Una división es exacta cuando el resto es 0.es +) 4 2 1 4 4 8 (4 por 1 es 4. + entre + es +) (4 entre 2 es 2. Calcula el resultado de las siguientes expresiones: (+4)·(+3) = (-2 )·(-5 ) = (+4)·(-2 ) = (-6 )·(+4) = (+24):(+3) = (-20 ):(-5 ) = (+14):(-2 ) = (-16 ):(+2) = Operaciones combinadas: Llamamos operaciones combinadas a los ejercicios en los que nos encontramos más de un signo distinto.por + es -) Para dividir se divide el dividendo entre el divisor y se aplica la regla de los signos. .por . En estos casos tenemos que tener en cuenta las siguientes prioridades: 1. 8 4 4 2 2 2 (8 entre 4 es 2. + por + es +) (3 por 2 es 6.es -) (8 entre 4 es 2. Es la siguiente: Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y se aplica la regla de los signos. Después realizamos las sumas y las restas. 8 3 3 2 24 6 (8 por 3 es 24. es decir hay que realizar varias operaciones distintas simultáneamente. Elena tenía ayer en su cartilla –234 euros y hoy tiene 72 euros.2) = –(+3 – 2 . ¿Qué temperatura marca al mediodía? 11. los quitamos aplicando la regla de los signos. La temperatura baja 12º C a lo largo de la mañana. Cuando hay paréntesis y corchetes ( ). Después hacemos los corchetes y los quitamos aplicando la regla de los signos. ¿Cuál era la temperatura inicial? 11. 1. Una persona vive en la planta 2 de un edificio y su plaza de garaje está en el sótano 1¿Cuántas plantas separan su vivienda de su plaza de garaje? 11.(8 -10)] = -7 + 3 – [-(+5) – (-2)] = -7 + 3 – [-5 + 2] = -7 + 3 – [-3] = = -7 +3 + 3 = -1 ACTIVIDAD 11.7) + (-3·2 – 4:2 + 5 . Calcula el resultado de las siguientes expresiones: -(+2 – 3 + 5) + (-2 + 6 – 4 + 7) = –(+4 – 6 .3.5) . hacemos primero los cálculos del paréntesis teniendo en cuenta la prioridad de las operaciones. Teniendo en cuenta todo lo aprendido soluciona estos problemas haciendo el planteamiento numérico necesario: 11.(-8 – 4 – 9 . El termómetro marca ahora 7ºC después de haber subido 15ºC. Por ejemplo: -7 +3 .(+4 + 7 + 2 + 3) = –2 . Por la mañana un termómetro marcaba 9º bajo cero.4.(+7 – 3 + 6) .(+5 – 2 + 1) = +(-8 – 3 . Desde ayer ¿ha ingresado o ha gastado dinero? ¿Qué cantidad? 11.2. Luego hacemos los productos y divisiones y por último las sumas.6) .3) = -(–5 + 6 – 3 + 6) + 3 .(-4 – 5 .8) = (-2 .(+4 – 6 – 7 – 5 + 6) – 7 + 5 = +(-3 – 5 + 6) .9) + 4 + (-2 + 9) = –(-5 .5.(+4 + 5 + 6) = –(-4 + 5 .3) .8) = (-9) + (-16 + 5) = -9 + (-11) = -20 ACTIVIDAD 11.5 = 3. El saldo de la cartilla de ahorros de Elena es hoy 154 €.2.5) = +(-4 + 7 + 2) + 9 .(-7 + 4 . Luego continuamos de la misma forma que el punto anterior.7) + (-6 – 2 + 5 . Cuando hay paréntesis. Calcula respetando la jerarquía de operaciones: –4 – (+24):(+1-9) – (-1-2) = –6 –[+7 +(+1)·(-1)] = +7 +[+1 -(+10):(+5)] = +4 +[+2 +(+8)·(-6)-(-7+6)] = [+7 +(-5)]:(-7+2) – (+1-6) = -2 – [-6 +(-4):(-2)-(+7-5)] = +1 -[-4 +(-10):(-5)]+[+3+(-9):(-9)] = +1 -[+3 -(-8)·(+8)]+[+6+(+8):(+4)] = ACTIVIDAD 11. Paga una factura de 313 € ¿Cuál es el saldo ahora? 6 . hacemos primero los paréntesis.9) + (-4 + 5 .(-3 + 4 .9) = +(-3 – 5 + 4) . signo que haya delante del paréntesis por signo que haya dentro.(+6 + 6) + 7 = –3 .1) + (-5 + 7 + 4) = +(-3 + 5 + 2 + 1) .4 + (-8 + 4 – 6 + 7) = –3 + (-5 + 4) . Por ejemplo: (-4:2 .[-(10 . después para quitar el paréntesis aplicamos la regla de los signos.5) + (-5 + 1) = 2 + (-4 + 5) .(-8 + 3 + 9) = 4 . Mira el ejemplo. 31 = 3. 35 3 3 3 3 3 243 2 4 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) 16 CASOS PARTICULARES DE POTENCIAS: Un número elevado al exponente 1 es igual al mismo número. 71 = 80 = 92 = 83 = 110 = 251 = ACTIVIDAD 15. 40 = 1. El factor que se repite se llama base y el número de veces que se repite se llama exponente. Halla el valor de las siguientes potencias.Escribe en forma de potencia los siguientes productos. Potencias de un entero. Si la base es negativa y el exponente par o cero. No es lo mismo -34 que (-3)4 Una potencia de base positiva. Si la base es negativa y el exponente es impar. ¿QUÉ ES UNA POTENCIA? Una potencia es una forma de escribir el producto de factores iguales (multiplicaciones de un número por él mismo varias veces). el valor de la potencia será siempre positivo. el valor de la potencia será negativo. Un número elevado al exponente 0 es igual a uno. el valor de la potencia será positivo. Expresa como producto: 22 x 3 3 = 23 x 3 2 = 42 x 5 2 = 42 x 5 2 x 3 0 = 53 x 2 2 x 3 3 = 62 x 3 3 x 7 0 = 7 . Potencia Base Exponente 3 2 4 3 5 4 6 5 8 7 9 10 10 11 15 20 ACTIVIDAD 13. También debes distinguir a qué número exactamente está afectando la potencia. presta atención al signo de la base y al exponente.3. Por ejemplo: 21 = 2. 8x8x8= 7x7x7x7= 9x9x9x9x9= 15 x 15 x 15 x 15 x 15 = 8x8x7x7x7= 5x5x5x6x6= 7x7x9x9x9= 10 x 10 x 10 x 8 x 8 x 8 = ACTIVIDAD 14. 523510 = 1. ACTIVIDAD 12. POTENCIAS. Completa el cuadro. SIGNO DE UNA POTENCIA Al calcular potencias de base un número entero. Después. Expresa como potencia: (-5)·(-5)·(-5) (-5)·(-5)= 5·5·5·5·5·5= ACTIVIDAD 17. calcula su valor. Calcula el valor de las potencias: -35= (-3)5= (-3)0= -30= 42= -42= (-4)2= -40= ACTIVIDAD 18. (Recuerda que si la potencia no presenta exponente se considera como si éste fuera uno 2 = 2 1) Ejemplo 22 x 22 = 22+2 = 24 = 16 22 x 2 3 = 23 x 2 = 24 x 2 = 32 x 3 2 = 33 x 3 = 32 x 3 3 = 33 x 3 3 = 34 x 3 = ACTIVIDAD 19. PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE. Escribe en forma de una sola potencia los siguientes productos. Indica si el signo del resultado es positivo o negativo: (-6)7= 52= (-4)4= (-12)13= -33= -42= ACTIVIDAD 19. 43 x 4 0 = 22 x 2 x 2 3 = 3 x 32 x 3 = 62 x 6 2 x 6 = 72 x 7 x 7 = 82 x 8 x 8 3 = 92 x 9 2 x 9 = 9 x 9 2 x 90 = 10 x 100 x 102 = 8 . Completa los exponentes que faltan. El producto de dos o más potencias de igual base es otra potencia de la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes. Ejemplos: (–1)17= (-5)3= (-12)4= (-2)7= (-7)2= 23 2 2 2 4 33 34 36 23 33 2 4 4 6 29 313 ACTIVIDAD 19. Calcula el valor de las siguientes potencias: (–2)7= (–3)5= (–5)3= (–10)3= (–1)16= Operaciones con potencias.( 5) 4 ( 3)5 ( 4)7 (-3)·(-3)·(-3)= ACTIVIDAD 16. Después. 48 : 4 ( 59 : 5 ( 78 : 7 ( 89 : 8 ( 910 : 9( ) ) 134 : 132 = 205 : 202 = 306 : 303 = 407 : 404 = 704 : 700 = 805 : 80 = 906 : 902 = 1007 : 100 = 112 : 11 = = 46 3515 : 35( 4120 : 41( 5018 : 50( 6217 : 62( 7519 : 75( 8021 : 80( 8230 : 82( 9045 : 90( 9532 : 95( ) ) ) ) ) ) ) ) ) = 3512 = 41 = 509 = 624 = 752 = 8010 = 8221 = 9020 = 9517 = 54 ) = 76 ) = 83 ) = 97 ) ) ) ) 1016 : 10( 1115 : 11( 1216 : 12( 1312 : 13( = 1010 = 114 = 1212 = 139 POTENCIA DE UNA POTENCIA. Completa los exponentes que faltan. El cociente o división de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes. calcula su valor.Ejemplo 26 x 2(2) = 28 23 x 2 ( ) = 2 7 64 x 6( ) = 610 73 x 7( ) = 711 84 x 8( ) = 812 95 x 9( ) = 913 108 x 10( ) = 1014 119 x 11( ) = 1115 123 x 124 x 12( ) 145 x 146 x 14( 157 x 152 x 15( 238 x 239 x 23( 357 x 356 x 35( 429 x 425 x 42( 537 x 534 x 53( 615 x 612 x 61( 756 x 752 x 75( 817 x 812 x 81( ) ) ) = 1418 = 1513 = 2320 ) = 3524 ) ) ) ) ) = 4219 = 5322 = 6119 = 7520 = 8115 = 1210 COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE. Escribe en forma de una sola potencia los siguientes cocientes. Ejemplo: 38 : 35 = 38-5 = 33 = 27 54 : 5 3 = 69 : 6 7 = 710 : 78 = 812 : 810 = 913 : 911 = 103 : 10 = 112 : 112 = 123 : 12 = ACTIVIDAD 21. 9 . Ejemplos: 26 23 38 32 2 6 23 38 32 26 38 3 23 36 2 ACTIVIDAD 20. Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades indica el exponente. Ejemplos: 120000000 12 10000000 12 107 200000000 2 100000000 2 108 10 . Notación científica. (24 )( (32 ) ( (43 ) ( ) ) ) = 28 = 36 = 412 (5( ))4 = 516 (6( ))8 = 624 (7( ))4 = 736 POTENCIA DE UN PRODUCTO. Ejemplos: 117 x 127 X 137 = 148 x 158 X 168 = (2 x 3 x 4)2 = (10 x 11 x 12)6= (13 x 14 x 15)7= 103 106 10 10 10 1000 10 10 10 10 10 10 1000000 Los números de muchas cifras que acaban en ceros tienen una escritura más cómoda utilizando potencias de base 10. La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado a dicha potencia. (32)3 = (43)2 = (52)2 = (64)3 = (75)2 = (84 )5 = (97 )3 = (104 )2 = (115 )6 = (127 )9 = ACTIVIDAD 23. Escribe en forma de una sola potencia. Ejemplos: ( 23 ) 2 (34 )3 23 2 34 3 26 312 ACTIVIDAD 22.La potencia de una potencia es otra potencia de igual base y cuyo exponente es el producto de los exponentes. Escribe en forma de una sola potencia. Calcula y completa los exponentes que faltan. Escribe el resultado como producto de potencias. (2 x 3)3 = (8 x 9)5 = (7 x 10)2 = ACTIVIDAD 25. 56 x 76 x 8 6 = 47 x 9 7 x 5 7 = Potencias de 10. Ejemplos: (5 3) 2 (4 2 5)3 5 2 32 4 3 2 3 53 ACTIVIDAD 24. A esto lo llamamos notación científica. Ejemplos: 0.498. 3.910.000 = ACTIVIDAD 28.000.000.000. por tanto.000.03 25 10 203 10 3 2 25 0.000.000 Neptuno 4. Calcula: 104 = 106 = 109 = 324 10 1010 = 1011 = 1012 = ACTIVIDAD 27.000 = 320.000. utilizando potencias de base 10. el exponente será el número de posiciones que se ha movido la coma hacia la derecha.500.000 Urano 2. Aunque estos no son números enteros y no entrarían en este tema es más fácil explicarlos aquí. Escribe esas distancias utilizando potencias de base 10. los siguientes números. Escribe.000 = 200.01 10 2 3 0.025 2.000 = 2.000 = 600.000 11 . el número entero sin coma multiplicado por diez elevado al número entero negativo correspondiente.000.000 = 40. más pequeños que uno.000 Plutón 5. Tierra Distancia media al Sol (km) Potencias de base 10 149.000.000.000.000 = 7.0000000000000000000000354 ACTIVIDAD 26. Ejemplos: 0. Escribiremos.000 = 80.También podemos usar la notación científica para escribir números muy pequeños. En la siguiente tabla aparece la distancia media en kilómetros de algunos planetas al Sol.873.000 = 1.000.000 = 130.001 10 Los números con muchos decimales también podemos escribirlos de este modo. es decir el número de veces que hemos movido la coma hacia la derecha. Para escribir cómodamente estos números utilizamos también las potencias con base diez pero en este caso con el exponente en negativo.000. a Por ejemplo b tal que b 2 a 9 3 porque 32 9 Si tenemos en cuenta todo lo aprendido en este tema y pensamos un poco nos daremos cuenta que un número positivo tiene dos raíces cuadradas. efectuamos primero las operaciones de su interior siguiendo este mismo orden para luego continuar de igual forma. Dicho con palabras suena un poco complicado pero no es así.4. Por lo tanto: Por ejemplo: a 9 (esto se lee: “La raíz cuadrada de a negativo no existe”) En una serie de operaciones combinadas en la que aparezcan potencias y raíces. todos los resultados son positivos). Calcula las siguientes operaciones combinadas. es decir: a Por ejemplo b ya que b 2 9 a y ( b) 2 a 9 3 porque 32 ( 3) 2 La raíz cuadrada de un número negativo no existe. RAÍCES CUADRADAS. 32 25 2 125 16 2 52 16 4 144 28 5 33 9 210 : 27 2 64 12 16 49 16 2 16 49 8 75 : 25 34 28 26 : 9 22 36 : 8 32 12 . (Recuerda: si el exponente es par. Si existen paréntesis. La raíz cuadrada de un número es aquel número que su cuadrado sea igual al primer número. el orden que deben efectuarse las operaciones es: primero las potencias y raíces. mira el ejemplo y verás. porque no existe ningún número que al cuadrado de un número negativo. Por ejemplo: 25 : 5 7 2 2 9 2 5 : 5 7 4 1 28 5 9:3 2 9 2 29 ó 9 2 5 32 : 3 2 5 3 2 9 2 8 2 3 2 8 2 6 16 10 ACTIVIDAD 29. como es el 2. Calcula las siguientes potencias y raíces cuadradas (+3)2 = (-5)3 = (-3)4 = (-3)5 = (-2) = 4 125 9 9 25 16 225 52 300 103 144 32 64 16 : 23 16 49 22 25 16 5 25 23 23 4 5 10 ACTIVIDAD 30. después multiplicaciones y divisiones y por último sumas y restas. No temas no es tan complicado. deberíamos escribir dos ceros tras el 156 y repetir el proceso. Busca el número cuyo cuadrado se acerque lo máximo (sin superarlo) al primer grupo de la izquierda. Realiza sin ayuda de la calculadora las siguientes raíces cuadradas. En nuestro caso apuntamos 3 a la derecha y restamos 9. llegando hasta las centésimas en las ocasiones que sea posible. Restamos 75-61 = 14. Ponemos dos ceros y una coma en el radicando. 61·1=61 sí sirve. Buscamos el número que puesto junto al anterior y multiplicado por él nos dé un número cercano al que hemos bajado. Por tanto 975 31. en nuestro caso para el 9 es el 3. Abajo escribimos el doble de 31. 75en el ejemplo.Calculo de raíces cuadrada sin calculadora: No sabemos si recordarás o si has realizado alguna vez este tipo de operaciones. Reúne el número en grupos de dos cifras. Para hallar más decimales. 98 102 324 769 1236 1453 5453 15625 13 . con el tres nos pasaríamos (623·3=1869). Vamos a repasar con ayuda de un ejemplo como se realizan las raíces cuadradas. Un número que junto al 6 y multiplicado por él nos dé el más cercano a 75 sin pasarse. o sea 62 y seguimos como en el paso anterior. de derecha a izquierda: en el ejemplo 75 y 9. 62·2=124 se pasa. ya que 32=9. es decir bajo el 3 escribimos su doble. Bajo el recuadro de la solución ponemos el doble del que está escrito. Este número lo apuntamos en el recuadro de la derecha como el primero del resultado y su cuadrado se lo restamos al primer grupo.2 ACTIVIDAD 30. Buscamos un número que puesto junto al 62 y multiplicado por él mismo nos dé el más cercano a 1400 sin pasarse El 2 es el más cercano ya que 622·2 = 1244. A continuación bajamos las dos cifras siguientes. 6. … 6. -1.… ACTIVIDAD 3. -5. -1. -4. -11 ACTIVIDAD 5. 0.2. ¿Qué números asocias a los puntos A. -2. 7. 1. -15. -18. +4. 0. +7. 15. Representa en la recta real y ordena de mayor a menor los siguientes números enteros: -7. -2.… 20. +4. 4. +6. 2. +3. +10. 1. -20. 5. -2. -5. -7. -1 . Ordena de mayor a menor la siguiente serie numérica: +6. +2.MÓDULO CIENTÍFICO TECNOLÓGICO PROGRAMACIÓN DEL MÓDULO VOLUNTARIO DEL PCPI FICHA DE EJERCICIOS MATERIA MATEMÁTICAS Un. 2. 2. -11. C y D? ACTIVIDAD 2. 5.… -21. -9. Escribe tres elementos más de las siguientes series numéricas: 0. 10. B. 0. NÚMEROS ENTEROS ACTIVIDAD 1. +3.… 8. Asocia un número positivo o negativo a cada uno de los enunciados siguientes: Jennifer tiene en el banco 2500€: Miguel debe 150€: Vivo en el séptimo piso: Tengo el coche aparcado en el segundo sótano: El termómetro marca dieciocho grados: El termómetro marca tres grados bajo cero: Debo dos euros a mi amigo “Jose”: He ganado 60€ en mi trabajo de repartidor: El ascensor ha bajado cuatro plantas: El termómetro ha subido cinco grados: He perdido un billete de diez euros: ACTIVIDAD 4. . Realiza las siguientes operaciones combinadas: 6+2·4= 15 – 7 · 2 = (6 + 2 ) · 4 = (15 – 7) · 2 = 5·3+2·4–3·6= 25 – (4 · 2) · 3 + 8 = (3 – 2) · (1 – 6) – 5 (2 – 1) = ACTIVIDAD 9. Calcula el valor de las siguientes expresiones: 3–5= –4+1= 3+2–7= 12 – 25 + 1 = 12 + 4 – 20 = 5 – 4 – 20 = 20 – 8 – 3 + 5 = 4 – (-3) = – 4 – (-3) = – (–3) – (-3) = 15 – 8 + 4 = 15 – (8 + 4) = 20 – 11 – 4 = 20 – (11 – 4) = 3–2–5= 12 + (-4) – 2 = 4 – 2 – (-5) = 2 – (-3) – 1 = 2 – 3 + (-4) = -3 – (-4 + (-–2)) = 4 – (4 – 2) = 5 – (-12 + 4) = 3 – (-12 – 2) = ACTIVIDAD 8.5 · (+3) = (+3) · (-8) = 4 · (+5) = (.2) · (-4 ) = (-9) · (. Calcula los siguientes productos: 3 · (-2) = .3) = 8 · (-6) = .5) · (-7) = (-6) · (+4) = 5 · (4 – 5) – 7 (3 + 2) = 6 : (2 – 4) + 5 · (3 – 1) = 5 + 4 : 2 – 4 + 3 · (5 – 2) = (24 – 14 : 2) · 3 25 – (9 – 8 – 15 + 7) = 18 – (24 – 3) · 4 = (–7 + 14 + 33) : (17 – 9) = 11 + 13 – 5 – 45 + 2 = 9 – 12 + 11 – 4 – 3 = 7 + 12 – 5 + 3 – 10 = 5 + 4 – 3 – 22 + 9 – 13 = –6 – 7 + 5 – 4 + 3 + 15 = 8 – 5 – 4 – 7 + 21 – 11 = 18 – 15 + 6 – 7 + 8 – 5 = 2 – 3 – (–4) = – 4 – (–3) – (-3) = –2 – 3 – (–3) = -4 – (-2 – 3) – 1 = -2 – (-2) – 2 – (-2) = 4 – 2 – (–3) – (-1) = -3 – (-2) – (-1) – 6 = -10 – (-2) – (-1) – (-3) = -1 – (-2) + (-2) – (-3) – (-1) = 6 – (4 + 5) – 2 – (5 – 3) = -2 – (3 – 6) – 5 – (6 – 10) = 2 – (-4 + 1) + 7 – (2 – 3) = -10 – (-1 – 5) – (-5 – 3) = -6 – (12 – 5) – 3 – (-5 – 3) = 3 – (4 – 1 – 6) – 4 – (2 – 3 + 6) = ACTIVIDAD 7.6 · (+ 3) = (.ACTIVIDAD 6. Realiza las siguientes sumas y restas: . Opera estas expresiones: (–5) · (8 – 13) = (2 + 3 – 6) · (–2) = (+4) · (1 – 9 + 2) : (–3) = (–12 – 10) : (–2 – 6 – 3) = 5 · (– 4) + (–2) · 4 – 6 · (–5) – 3 · (–6) = 18 – 3 · 5 + 5 · (– 4) – 3 · (–2) = (+7) · [(–20) : (+10)] = (+300) : (+30) · (–2) = (+300) : [(+30) · (–2)] = (3 – 5) – (1 – 4) + (5 – 8) = 3 – (5 – 8) – (11 – 4) + (13 – 9) = 1 – 3 + 5 – 7 + 9 – 11 = 2 + 4 – 6 – 8 + 10 – 12 + 14 = (-12) : (-4) = (-1) : (+6) = (-36) : (+9) = (+54) : (+6) = (– 45) : (+3) = (+85) : (+17) = (+36) : (–12) = (–85) : (–5) = (-4) · (-1) · (+6) = (+5) · (-4) · (-3) = (+5) · (+7) · (–1) = (–2) · (–3) · (–4) = ACTIVIDAD 14. Calcula: 5–3–7+1+8= 2–3+4+1–8+2= ACTIVIDAD 13. Calcula el cociente: (-8) : (+2) = (-4) : (+3) = (-15) : (-3) = (+42) : (-7) = (+20) : (-10) = (+20) : (-7) = (+32) : (+8) = (-48) : (-8) = ACTIVIDAD 12. Quita paréntesis y después opera: 1 – (7 – 2 – 10) – (3 – 8) = (8 – 4 – 3) – (5 – 8 – 1) = (2 – 6 – 3) + (5 – 3 – 1) – (2 – 4 – 6) = (8 – 11 – 5) – (12 – 13) + (11 + 4) = 15 + (6 – 18 + 11) – (7 + 15 – 19) + (1 – 3 – 6) = ACTIVIDAD 15. Calcula: 6·4–5·6–2·3= 15 – 6 · 3 + 2 · 5 – 4 · 3 = ACTIVIDAD 18. Opera las expresiones siguientes: (+400) : (–40) : (–5) = (+400) : [(–40) : (–5)] = (+7) · (–20) : (+10) = ACTIVIDAD 17.ACTIVIDAD 10. Quita paréntesis y calcula: 3 – [(5 – 8) – (3 – 6)] = 1 – (3 – [4 – (1 – 3)]) = (2 + 7) – (5 – [6 – (10 – 4)]) = ACTIVIDAD 16. Calcula operando primero dentro de los paréntesis: . Calcula: (–7) · (+11) = (–6) · (–8) = (+3) · (-5) · (+2) = (-2) · (-7) · (-2) = ACTIVIDAD 11. 10)] = [8 – (6 + 4)] – (5 – 7) = (12 -3) – [1 – (2 -6)] = [10 – (-2)] – [5 – (+12)] = ACTIVIDAD 26.10) + [5 – (8 + 2)] = [9 – (+5)] + [7 + (.9)] = 10 – [6 + (2 + 7)] = 12 – [7 – (2 – 10)] = (+50) : [(-30) : (+6)] = (-40) : [(+24) : (+3)] = (-2) · (-9) + (-24) : (-3) – (-6) · (-4) = (+27) : (-3) – (+3) · (-5) – (-6) · (-2) = –4 – [–3 – 2 – (–5 + 4) – 2 – (–4 + 2)] = –2 · [3 – (–3 – 5– (6 + 4) – 12 + 3) – 7 – 20] + 5 = –6 · [2 – (–3 – 4– (–5 + 4) – 2 + 3) – 7 – 7] + 4 – 3 = –2 – [8 – (–3 + 5–(–6 + 4) – 2 – 3) – 5 – 6] – (–4) = 48 : [5 · 3 – 2 · (6 – 10) – 17] = 3 · 4 – 15 : [12 + 4 · (2 – 7) + 5] = ACTIVIDAD 22. Calcula: (2 . Calcula teniendo en cuenta la prioridad de las operaciones: ACTIVIDAD 23. Calcula: 13 – [8 – (6 – 3) – 4 · 3] : (–7) = 5 · (8 – 3) – 4 · (2 – 7) – 5 · (1 – 6) = 12 · (12 – 14) – 8 · (16 – 11) – 4 · (5 – 17) = ACTIVIDAD 20.ACTIVIDAD 19. Opera: [(+80) : (-8)] : (-5) = [(-70) : (-2)] : (-7) = (-8) · (+2) + (-5) · (-3) = (+40) : (-8) – (-30) : (+6) = 4 – [(3 + 2) – 5] = –5– [–12 + (–4)] = 2 – [(4 – 2) – 3– (–2)] = 6 + [5 · (4 – 2) + 3] – 3= 7– [6 – (–5)] – 4– (5 – 3) = 10 – [3 – 2 – (5 – 4) – 2 – (4 – 2)] = ACTIVIDAD 24. Realiza las siguientes operaciones combinadas con corchetes: . Calcula: 6 + [5 + (7 + 2)] = 15 – [2 – (6 – 10)] = (-6) + [5 + (2 – 12)] = 8 + [4 – (3 + 5)] = ACTIVIDAD 25. Realiza las operaciones siguientes: 18 – 40 : (5 + 4 – 1) – 36 : 12 = 4 + 36 : 9 – 50 : [12 + (17 – 4)] = ACTIVIDAD 21.9)] – (8 – 12) = [(+6) · (-4)] : (-3) = (-5) · [(+12) : (-3)] = [(-15) · (-2)] : (+6) = [(-5) · (+12)] : (-3) = 15 – [10 – (8 + 4)] = (-7) – [3 – (4 . Calcula: 5 · (-4) + 2 · (-3) = 2 · (-8) – 3 · (-7) – 4 · (+3) = 20 : (-5) – 8 : (+2) = 6 : (+2) + 5 · (-3) – 12 : (-4) = (-3) · [(-2) + (-4)] = (+6) : [(+5) – (+7)] = [(+8) + (+7)] · (-3) = (+4) · [(-5) + (+2)] = (-20) : [(-6) – (-2)] = [(-9) + (-3)] : (+6) = 19 – (-3) · [5 – (+8)] = 12 – [13 – (-7)] : (-5) = (-2) · (5 – 7) – (-3) · (8 – 6) = 12 + (-5) · [8 + (-9)] = [1 + (6 . Calcula como los ejemplos y observa las diferencias: Ej. Observa el ejemplo y completa la siguiente tabla: Producto 6·6·6·6 Potencia 64 35 Base 6 4 7 (-5)3 ACTIVIDAD 30. Calcula (+2)5 = (+3)4 = (+10)5 = (-2)6 = ACTIVIDAD 31. Calcula mentalmente: (-1)28 = (-1)59 = (-1)30 = (-1)31 = (-10)3 = (-10)4 = (+10)0 = (+10)6 = (-10)2 = (-10)6 = –23 = (–3)4 = (-3)4 = (-10)5 = (-5)3 = (-4)3 = Exponente 4 3 5 49 -32 -125 Valor 1296 .: (-3)2 = (-3) · (-3) = +9 -32 = -3 · 3 = -9 (-2)4 = -24 = (+2)4 = (-2)3 = -23 = (+2)3 = (-5)2 = -52 = (+5)2 = (-3)3 = -33 = (+3)3 = ACTIVIDAD 29.10 – (+20) : [7 + (-3)] = ACTIVIDAD 27. Realiza las siguientes operaciones: 13 – [8 – (6 – 3)– 4 · 3] : (– 7) = 5 · (8 – 3) – 4 · (2 – 7)– 5 · (1 – 6) = 12 · (12 – 14) – 8 · (16 – 11) – 4 · (5 – 17) = [(6 + 1 + 3) – (–5 + 6)] · (–3) = {[(– 4 + 6) – (– 1 + 6)] + [(3 + 1)]} (–5) = [(– 4 + 6) – (– 3 – 4)] · [(– 3 + 1) · (– 5)] = [(–6) + (–5) + (–2)] : (– 8) = (9 – 6) · (-2) + (13 + 3) : (-4) = [– 6 – (–12) + (– 3) + (–5)] : (–2) = 18 – 40 : (5 + 4 – 1) – 36 :12 = 4 + 36 : 9 – 50 : [12 + (17 – 4)] = 48 : [5 · 3 – 2 · (6 – 10) – 17] = 3· 4 – 15 : [12 + 4 · (2 – 7)+ 5] = [(– 5)(– 3)(–2)] + [(– 5 + 6 – 7) – (– 8 + 9)] = ACTIVIDAD 28. Calcula: 110 = (–2)2 = ACTIVIDAD 32. Calcula: [(-2)3]2 · (-2)-3 = [(-2)3]-4 : (-2)8 = [(-3)-2]3 : (-3)-6 = 10000 = 10000000 = 0.00000082 = (–2)2 · [(–5)2 – (+4)2] = (–6)3 : (–3)3 + (–8)2 : (–4)2 = [(+3)4 · (-3)3] : (-3)6 = (-7)7 : [(-7)4 · (-7)3] = (+4)3 · (-2)3 = (-5)7 : (+5)7 = (+32)5 : (-16)5 = [(-4)5]-6 = (32)-5 = 62 : 6 5 = (-4)8 : (-4)5 = (-3)10 : (-3)6 = (-15)4 : (-15)4 = (+6)7 : (+6)5 = (-8)5 : (-8)3 = (+12)3 : (+12)2 = ACTIVIDAD 34.ACTIVIDAD 33.: (-5)3 · (-2)3 = [(-5) · (-2)]3 = (+10)3 = 1000 (-12)6 : (-6)6 = [(-12) : (-6)]6 = (+2)6 = +64 (-2)5 · (+5)5 = (-6)4 : (+3)4 = (-15)4 : (-5)4 = ACTIVIDAD 36. Expresa en forma de una sola potencia: ACTIVIDAD 35.120 = 0. Observa el ejemplo y calcula aplicando esta propiedad de las potencias: ACTIVIDAD 39.: (-3)6 : (-3)4 = (-3)6-4 = (-3)2 (-4)2 · (-4)3 = (-4)2·3 = (-4)6 52 : 5 4 = (-4)2 · (-4)3 = 57 · 5-3 = (-7)15 : (-7)4 = 87 : 8-2 = (-3)5 · (-3)2 = (-5)4 : (-5)-3 = Ej. Expresa en forma de potencia siguiendo el ejemplo: Ej. Calcula: (–2)3 + (–3)3 – (–4)3 = (–5)2 · (–2)2 + (+3)2 · (–3) = ACTIVIDAD 38.: (3-2)5 = 3(-2)·5 = 3-10 (8-3)5 = [(-4)-2]-6 = am · bm = (a ·b)m y am : bm = (a:b)m Ej. Resuelve: [(-2)4 · (-2)6] : (+2)8 = (+5)8 : [(-5)2 · (-5)4] = ACTIVIDAD 37. .002 = 230000 = 0.001 = 0.00024 = 0. Expresa en notación científica las siguientes expresiones.1 = 0.00001 2000 = (5-2)-4 : 5-6 = (73)-4 · 78 = [(-2)3]2 : (-2)5 = 0.000567 = 0. ACTIVIDAD 40. Realiza mentalmente las siguientes operaciones: ( 4) ( 1) 36 ACTIVIDAD 42.3 · 105 = 9.5 · 10-2 = 3.254 · 106 = 8.54 · 10-5 = 3.576 · 10-8 = 7.5 · 10-3 = 2.01 · 104 = ACTIVIDAD 41.35 · 107 = 4. Escribe con todas las cifras los siguientes números: 3. Realiza las siguientes operaciones: 64 81 100 225 324 289 15625 1453 5453 24336 . -2. ¿Cuánto dinero habrá en la caja al mediodía si por la mañana había 189 €? ¿Qué variación se ha producido? Expresa en forma de operación combinada los resultados obtenidos. -3. Pago de una factura de 200 €. +3. Realiza las siguientes operaciones: {[(– 4 + 6) – (– 1 + 6)] + [(3 + 1)]} (–5) = [(– 4 + 6) – (– 3 – 4)] · [(– 3 + 1) · (– 5)] = 3· 4 – 15 : [12 + 4 · (2 – 7)+ 5] = [(– 5)(– 3)(–2)] + [(– 5 + 6 – 7) – (– 8 + 9)] = –2 · [3 – (–3 – 5– (6 + 4) – 12 + 3) – 7 – 20] + 5 = –2 – [8 – (–3 + 5–(–6 + 4) – 2 – 3) – 5 – 6] – (–4) = . Entrega de 32 € a un cliente por unos pantalones que ha devuelto. Realiza las siguientes sumas y restas: 6 – (4 + 5) – 2 – (5 – 3) = -2 – (3 – 6) – 5 – (6 – 10) = 2 – (-4 + 1) + 7 – (2 – 3) = -10 – (-1 – 5) – (-5 – 3) = -6 – (12 – 5) – 3 – (-5 – 3) = 3 – (4 – 1 – 6) – 4 – (2 – 3 + 6) = ACTIVIDAD 3. Evaluación Nombre y apellidos: _________________________________________________________ Curso: _______________ Fecha: ________________ ACTIVIDAD 1. Hoy ha hecho las siguientes anotaciones: Venta de una camisa de 38 €. Venta de 3 camisas de 47 € cada una.MÓDULO CIENTÍFICO TECNOLÓGICO PROGRAMACIÓN DEL MÓDULO VOLUNTARIO DEL PCPI FICHA DE EVALUACIÓN MATERIA MATEMÁTICAS Un. ACTIVIDAD 4. Realiza el siguiente problema: En una tienda de ropa. +5. Representa en la recta real y ordena de mayor a menor los siguientes números enteros: -6. 1. Realiza las siguientes operaciones combinadas con corchetes: 7– [6 – (–5)] – 4– (5 – 3) = –4 – [–3 – 2 – (–5 + 4) – 2 – (–4 + 2)] = ACTIVIDAD 5. el cajero utiliza una única caja y anota cada una de las operaciones efectuadas. +6. +4. -10 ACTIVIDAD 2. -5. Expresa en forma de potencia: (52 : 54) · (57 · 5-3)= [(-4)2 · (-4)3] : [(-4)8 : (-4)5] = [(-5)4 : (-5)-3] · 5 = [87 : 8-2] : [(-8)5 : (-8)3] = ACTIVIDAD 7.ACTIVIDAD 6.254 · 106 = 8.54 · 10-5 = 3.35 · 107 = 4. 0.1 = 0.5 · 10-2 = 3.00001 2000 = 0.120 = 0.00000082 = ACTIVIDAD 9. Expresa en notación científica las siguientes expresiones.3 · 105 = 9.576 · 10-8 = 7.01 · 104 = ACTIVIDAD 10. Calcula: [(-2)3]2 · (-2)-3 = [(-3)-2]3 : (-3)-6 = (73)-4 · 78 = [(-2)3]2 : (-2)5 = ACTIVIDAD 8.00024 = 0.002 = 230000 = 0. Escribe con todas las cifras los siguientes números: 3. Realiza las siguientes operaciones: 81 289 256 100 1453 241362 .5 · 10-3 = 2.