Resistência dos Materiais XICÍRCULO CÍRCULO DE DE MOHR MOHR PARA PARA TENSÕES TENSÕES Estado Plano de Tensões Num certo ponto da superfície de um corpo carregado são conhecidas as tensões em dois planos perpendiculares y σy σx τyx τxy σx z σy x . Trace um eixo horizontal para marcar as tensões normais σ τ Representação Gráfica das Tensões no Plano de Mohr σ Trace um eixo vertical para marcar as tensões tangenciais τ . Marque as tensões normais de τ tração à direita da origem 0 σ Marque as tensões normais de compressão à esquerda da origem . Marque para CIMA as τ tensões tangenciais que giram o elemento no sentido HORÁRIO 0 σ Marque para BAIXO as tensões tangenciais que giram o elemento no sentido ANTI-HORÁRIO . 40MPa x τ 40 -10 -40 50 50 -40 -10 -10 50 σ 40 .10MPa. τ os valores τxy = τyxapresentadas das tensões . y Exemplo Plote 1: σx =σ+ x50MPa. no plano σy = . Unindo os dois pontos obtém-se a posição do centro do círculo de Mohr σC = ½ (σ σx + σy) τ 40 Observeoo Observe triângulo triângulo assinalado assinalado 20 -10 C 50 σ Traceoocírculo Trace círculo comcentro com centroem em CCeepassando passando pelosdois pelos dois 40 pontos pontos . Os catetos do triângulo valem: τ 40 ττxyxy == 40 40 20 -10 C 50 σ ½ σσxx––σσyy))==½ ½(σ (σ ½[50-(-10)] [50-(-10)]==30 30 40 . A hipotenusa valerá: τ 40 ττxyxy == 40 40 [ (σ x − σ y )] + τ xy 1 2 2 2 30 + 40 > 50 2 2 -10 50 σ ½ σσxx––σσyy))==½ ½(σ (σ ½[50-(-10)] [50-(-10)]==30 30 40 . A hipotenusa é o raio R do Círculo de Mohr τ 40 PORTANTO: σσmín mín==σσcc--RR ττmáx máx== RR R===50 50 50 σσmáx máx==σσcc++RR ==-30 -30 ==70 70 -10 20 50 σ 40 . As tensões principais ficam assim determinadas: σσp1p1==σσcc++RR==½½((σσxx ++σσyy))++ [½ σσxx --σσyy)])] ++((ττxyxy)) ==20+50=70 [½(( 22 22 20+50=70 σσp2p2==σσcc––RR==½½((σσxx ++σσyy))-. [½ σσxx --σσyy)])] ++((ττxyxy)) ==20-50=-30 [½(( 22 22 20-50=-30 ττmáx máx == [½ [½((σσxx --σσyy)])] ++((ττxyxy)) ==50 22 22 50 . y 10 Observe ainda na figura formada: 40 40 τ 40 x 50 Pontoque Ponto que representaoo representa estadode estado detensão tensão noplano no planoque quetem tem ooeixo eixo“x” “x”como como perpendicular perpendicular Pontoque Ponto que representaoo representa estadode estado detensão tensão -10 20 50 σ noplano no planoque quetem tem ooeixo eixo“y” “y”como como perpendicular perpendicular 40 . y 10 AA Ainterseção direção direção que que dessas une une oodireções pólo pólo ao aoéponto ponto o chamado do do círculo círculo PÓLO 40 correspondente tensão σσ21 éé aa direção correspondente àà tensão direção 21 40 τ 40 x 50 -10 20 50 σ -20 70 1 2 40 . . y 10 Observe . ângulo central entre as 40 direções “1” e assinalado: “x”. é igual queà metade o ângulo doinscrito. mostrado na figura : 40 τ 40 x 50 θ1 τxy 2θ1 -10 20 50 σ σx – σy) ½ (σ 70 1 θ1 = τxy / ½ (σ Sendo: tg 2θ σx – σy) 40 .. 0º −1.40.0 -10 20 50 σ 40 .5º 59. σx = 50 e σx = -10 40 40 τ 40 x 50 θ1 θθ2θ tg 2θ11= θ=1−= −29.5 59.33 29. y 10 No caso em estudo: τxy = . 5º 29.5º 74.5 74.5 29.5º 74.5 29.5º 29.30 -40 50 50 50 x τ 20 20 P 40 50 70 -30 -40 -10 σ 20 -20 -10 20 50 70 40 .Para o estado de tensão em análise teremos portanto y θθ == −0−0 74.5 20 -10 70 . Alguns exemplos τ de estados de tensão comuns τ σ Semi Tração σ hidrostático Pura τ τ Vaso de Compressão σ σ pressão Pura τ τ Corte Tubo sob Puro σ σ pressão e torção τ Flexão Tarefa: em cada caso exemplificado Simples σ indique a posição ocupada pelo pólo. . Indicar os planos onde ocorrem.Exercício proposto: para o estado de tensões esquematizado na figura e utilizando o Círculo de Mohr. 72 MPa P 3) As componentes normal e tangencial da tensão ocorrente no 30º plano “P” assinalado na figura x z . Indicar os planos em que ocorrem. 36 MPa 2) As tensões máximas de cisalhamento. pede-se: y 1) As tensões máximas de tração e 48 MPa de compressão. fim .