CURSO: CÁLCULO IIITema : Máximos y mínimos Docentes: Juan Ponte EJERCICIOS PROPUESTOS: MÁXIMOS Y MÍNIMOS SIN RESTRICCIONES 1. Para las siguientes funciones calcule los máximos y mínimos en caso de existir: 2 2 a) f ( x, y) 3 x 2 xy y 8 y 3 2 2 2 b) f ( x, y ) y x y 2 x 2 y 4 y 8 1 x c) f ( x, y) e 2 y2 3 3 2 2 d) f ( x, y ) x y 3x 6 y 3 x 12 y 7 2. El beneficio que se obtiene produciendo “x” unidades del modelo A e “y” unidades del modelo 2 B se aproxima mediante el modelo 2 p ( x, y ) 8 x 10 y 0.001( x xy y ) 10000 . Halle el nivel de producción que reporta un beneficio máximo 3. El área de una caja rectangular sin tapa es de 108u 2 . Halle que dimensiones debe tener para conseguir el máximo volumen 4. Una empresa fabrica dos productos. Los ingresos totales que origina la venta de x1 unidades del primero y de x2 unidades del segundo son R 5 x12 8 x22 2 x1x2 42 x1 102 x2 . Halle x1 y x2 de manera que los ingresos sean máximos. 5. Una placa plana tiene la forma del círculo de centro (0,0) y radio 1. La placa, incluyendo el borde, se calienta de manera que la temperatura en 2 2 un punto ( x, y ) es T ( x, y ) x 2 y x . Determine los puntos con mayor y menor temperatura de la placa, así como la temperatura en cada uno de ellos 6. Una empresa fabrica velas en dos lugares. El costo de producción de x1 2 unidades en el lugar 1 es C1 0,02 x1 4 x1 500 ; y el costo de producción de x2 unidades en el lugar 2 es C2 0,05 x2 2 4 x2 275 . Las velas se venden a 1 planta 1 y planta 2. ¿donde les aconsejarías que eligieran como punto D para minimizar el tiempo total? EJERCICIOS PROPUESTOS: MÁXIMOS Y MÍNIMOS CON RESTRICCIONES 2 2 2 2 8. 13. y ) del disco y T 2 x 2 y 2 y . En un campeonato de triatlón por equipos se sitúan los boxees en los puntos A = (0. Calcule el valor mínimo de 2 x 3 y 4 z 49 f ( x. z ) 2 x 2 y 2 3 z 2 sujeta a la restricción 11. una empresa desea distribuir la producción entre sus dos plantas. 7. La 2 función de costo está dada por: C f (q1. 1) y C = (1. Halle los valores extremos de f ( x.$15 por unidad. Un disco circular tiene la forma de una región acotada por el círculo x 2 y 2 1 . y. siendo A. Suponiendo que son cilíndricas.1q1 7q1 15q2 1000 donde q1 . calcule las dimensiones de manera que se puedan construir con la menor cantidad posible de metal. Cada equipo formado por 3 triatletas es conducido en barco a un punto D del lago elegido por el equipo. (Nota: 1 litro equivale a 1 decímetro cúbico) 14. 0). encuentre los puntos más calientes y más fríos en disco 2 . q2 son los números de unidades producidas en las plantas 1 y 2 respectivamente. Halle la cantidad que debe producirse en cada lugar para aumentar al máximo el beneficio. Si T es la temperatura de cualquier punto ( x. Sabiendo que las habilidades nadadoras de los 3 miembros de tu equipo son similares. y. B y C) y coger a continuación la bici para iniciar el siguiente tramo. Para surtir una orden de 100 unidades de su producto. 0) del borde de un lago. q2 ) 0. desde donde se lanzarían al agua para nadar cada uno de los 3 a su zona de boxees (las 3 distintas. B = (0. Halle las dimensiones de la caja de máximo volumen que puede ofrecer dicha empresa. Halle los máximos y mínimos de f ( x. ¿Cómo debe distribuirse la producción para minimizar los costos? 12. y ) 25 x y sujeto a x y 4 y 0 2 2 2 9. Una empresa de cartonaje fabrica cajas rectangulares de manera que la suma de la altura de la caja y el perímetro de la base es de 96 cm. Las latas de un refresco tienen una capacidad de 1/3 de litro. z ) x xy y 3z sujeto a x 2 y 4 z 60 10. y. ¿Cuántas toneladas de cada material deben usarse para producir 1000 vigas al menor coste posible? 3 . encuentre la producción máxima posible sujeta a este control de presupuesto. La cantidad de vigas que se produce usando x toneladas de aluminio. Para fabricar determinadas vigas metálicas se usa aluminio. k ) 12l 20k l 2k el l k costo de y para la compañía es de 4 y 8 por unidad respectivamente. 16. Si la empresa quiere que el costo total de los insumos sea 88. La función de producción de una empresa es f (l . Se sabe que en la producción de cierto artículo se usa la siguiente ley 2 f ( x. 17. y ) x ( y 2) 2 en la que x e y están dados en kilogramos y son los 2 2 insumos necesarios que están relacionados según la ecuación x 1 y . hierro y magnesio. Se pide averiguar para que valores de x e y la producción es máxima y para que valores es mínima. y toneladas de hierro y z toneladas de magnesio es Q( x. z ) xyz . el del hierro es de 4 euros por tonelada y el del magnesio de 9 euros por tonelada. Si el costo del aluminio es de 6 euros por tonelada.2 2 15.