CTM: Tutorial de Respuesta en Frecuencia , NyquistPage 1 of 5 Analisis y Diseño de la Respuesta en Frecuencia I. Diag. de Bode [ Ganancia y margen de fase | ancho de banda | Respuesta a lazo cerrado ] II. Diag. de Nyquist [ El criterio de Cauchy | Estabilidad a lazo cerrado | Margen de ganancia | Margen de fase ] El diagrama de Nyquist El diagrama de Nyquist nos permite predecir la estabilidad y la performance de un sistema a lazo cerrado observando su comportamiento a lazo abierto. El criterio de Nyquist puede usarse para propósitos de diseño independientemente de la estabilidad a lazo abierto (recuerde que los métodos de diseño de Bode asumen que el sistema es estable a lazo abierto). Por lo tanto, usamos este criterio determinar estabilidad a lazo cerrado cuando los diagramas de Bode muestran información confusa. La siguiente animación le ayudará a visualizar las relaciones entre el diagrama de Bode y el Diagrama de Nyquist. Nota: El comando nyquist no provee una representación adecuada para sistemas que tienen polos a lazo abierto en el eje jw. Por lo tanto, le sugerimos que copie nyquist1.m como un nuevo archivo-m. Este archivo-m crea diagramas de Nyquist más precisos, ya que tiene en cuenta polos y ceros en el eje jw. El Diagrama de Nyquist is básicamente un gráfico de G(j*w) donde G(s) es la función de transferencia a lazo abierto y w es un vector de frecuencias que encierra todo el semiplano derecho. Las frecuencias positivas y negativas (desde cero a infinito) se tienen en cuenta para dibujar el Diagrama de Nyquist. Representaremos frecuencias positivas en rojo y frecuencias negativas en verde. El vector frecuencia que se usa para dibujar el Diagrama de Nyquist normalmente es esto (si puede imaginar que el dibujo se extiende a infinito): Para ver más claro cómo contribuye el vector frecuencia en el Diagrama de Nyquist , puede mirar nuestra animación. Sin embargo, si tenemos polos a lazo abierto o ceros en el eje jw, G(s) no estará definida en esos puntos, y debemos contornearlos cuando graficamos. Tal diagrama se ve como sigue: Note que el contorno rodea el polo en el eje jw. Como mencionáramos, el comando nyquist no tiene en cuenta a los polos o ceros en el eje jw y por lo tanto produce un diagrama incorrecto. Para corregirlo, sírvase descargar y usar nyquist1.m. Si tenemos un polo en el eje jw, tenemos que usar nyquist1. Si no habrán polos o ceros en el eje jw, o si tenemos cancelación polo-cero, podemos usar ya sea el comando nyquist o el comando nyquist1.m. El criterio de Cauchy El criterio de Cauchy (del análisis complejo) establece que cuando se recorre un camino cerrado en el plano complejo, y se lo mapea através de una función compleja G (s), la cantidad de veces que el gráfico de G(s) rodea el origen es igual a la cantidad de ceros de G(s) menos la cantidad de polos de G(s) encerrados por el camino de frecuencias . Los rodeos al origen se cuentan como positivos si están en la misma direction que el camino cerrado original o negativos si están en la dirección contraria. Cuando se estudia control realimentado, no estamos interesados en G(s) tanto como en la función de transferencia a lazo cerrado: G(s) --------1 + G(s) Si 1+ G(s) rodea el origen, entonces G(s) encerrará el punto -1. Como nos interesa la estabilidad a lazo cerrado, queremos saber si habrá algún polo a lazo cerrado (ceros de 1 + G(s)) en el semiplano derecho. Más adelante se verán mayores detalles sobre su determinación . Por lo tanto, el comportamiento del Diagrama de Nyquist alrededor de -1 es muy importante; sin embargo, los ejes en el diagrama estándar de nyquist pudieran hacer difícil ver lo que está pasando alrededor de este punto. Para corregirlo, puede agregar la función lnyquist1.m a sus archivos. El comando lnyquist1.m dibuja el diagrama de Nyquist usando escala logarítmica y preserva las características del punto -1. Para ver un diagrama de Nyquist simple con Matlab, definiremos la siguiente función de transferencia: 0.5 ------s - 0.5 nyquist (0.5,[1 -0.5]) http://www.ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/nyq.html 07/12/2010 real) del sistema a lazo cerrado La importante ecuación que relaciona estas tres cantidades es: Z = P + N Nota: Esta es sólo una convención para el criterio de Nyquist. pero es difícil ver qué sucede cerca del punto -1.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/nyq.html 07/12/2010 . debe autoconvencerse que: los ceros de 1 + G(s)H(s) son los polos de la función de transferencia a lazo cerrado los polos de 1 + G(s)H(s) son los polos de la función de transferencia a lazo abierto .ib.CTM: Tutorial de Respuesta en Frecuencia . Nyquist Page 2 of 5 Ahora vemos el Diagrama de Nyquist para la siguiente función de transferencia: s + 2 ----s^2 Note que esta función tiene un polo en el origen. [1 0 0]) Note que el diagrama de nyquist no es el correcto.N. En este caso la ecuación es Z = P . y lnyquist1 con esta función particular . usaremos el signo positivo para rodeos a-reloj. Veremos la diferencia entre usar los comandos nyquist. El criterio de Nyquist establece entonces que: P = la cantidad de polos a lazo abierto (inestables) de G(s)H(s) N = la cantidad de veces el Diagrama de Nyquist rodea -1 rodeos a -1 a-reloj cuentan como positivos rodeos a -1 contra-reloj cuentan como negativos Z = la cantidad de polos en semiplano derecho (positivo. nyquist1.P).gov. http://www. así como en numeradores y denominadores. el diagrama de nyquist1 es el correcto.cnea. Otra convención establece que un N positivo cuenta (counter-clockwise) rodeos contra-reloj a -1. [1 0 0]) nyquist1([1 2]. [1 0 0]) lnyquist1([1 2]. Teniendo especial cuidado en las funciones de transferencia a lazo cerrado y abierto. Las variables P y Z permanecen iguales. Estabilidad a Lazo Cerrado Considere el sistema con relimentación negativa: Recuerde que del criterio de Cauchy el número N de veces que el gráfico de G(s)H(s) rodea -1 es igual al número Z de ceros de 1 + G(s)H(s) encerrado por el camino de frecuencias menos el número P de polos de 1 + G(s)H(s) encerrado por el camino de frecuencias (N = Z . nyquist([1 2]. En estas guías disácticas. y el diagrama lnyquist1 es correcto y posee escala apropiada. 5*[ 1 10 24]. and 0. Puede view this animación as an ejemplo. [ 1 -8 15]) El diagrama se expandió. Conociendo la cantidad de polos a lazo abierto en el semiplano derecho (inestables) (P). el diagrama se contraerá y el sistema puede volverse inestable. Miremos nuestro Diagrama de Nyquist para una ganancia de 1: nyquist([ 1 10 24]. Si tiene problemas para contar los rodeos de Nyquist. le sugerimos usar nyquist1.. veremos que podemos variar esta ganancia sólo entre ciertos límites. Lo primero que necesitamos hacer es hallar la cantidad de POLOS REALES positivos en la función de transferencia a lazo abierto : roots([1 -8 15]) ans = 5 3 Los polos de la función de transferencia a lazo abierto son ambos positivos.5: nyquist(0.80. y si el movimiento fué contra-reloj. Por lo tanto. Podemos también usar el Diagrama de Nyquist para hallar el rango de ganancias para que el sistema con realimentación unitaria sea estable a lazo cerrado. Podemos verificar nuestras respuestas ya sea agrandando con zoom los diagramas de Nyquist. Esto es lo que buscaremos: el rango de ganancias que estabiliza a este sistema a lazo cerrado. El sistema que probaremos se ve así: donde G(s) es : s^2 + 10 s + 24 --------------s^2 . Por lo tanto. Veamos qué sucede para una ganancia de 0. el sistema es inestable a lazo cerrado. detallaremos un poco para ayudarle a visualizar esto. Nyquist Page 3 of 5 Es muy importante (y con alguna triquiñuela) aprender a contar la cantidad de veces que el diagrama rodea -1.81.gov.d. Si nyquist1 muestra 2. El número de rodeos en contra-reloj se verá en su pantalla (recuerde que este número representa realmente N negativos. Sin embargo. sabemos que el sistema será estable sin importar qué tanto incrementamos la ganancia.79. Por prueba y error encontramos que este sistema se inestabilizará con ganancias menores que 0. Margen de Ganancia Ya hemos definido el margen de ganancia como el cambio en la ganancia a lazo abierto expresada en decibeles (dB). N es negativo. N es positivo.html 07/12/2010 .cnea. [ 1 -8 15]) El sistema ahora es inestable. Si la cantidad de rodeos es menor que dos o los rodeos no son contra-reloj. es N = -2) así como la cantidad de POLOS REALES positivos a lazo abierto y cerrado . 0. Otra forma de verlo es imaginarse sentado sobre el punto -1 y seguir el diagrama del principio al final. como mirando las respuestas al escalón a lazo cerrado para ganancias de 0. podemos determinar la estabilidad del sistema a lazo cerrado . [ 1 -8 15]) hay dos rodeos en contra-reloj a -1. requerida a 180 grados de fase para hacer inestable http://www. e. Sin embargo.8 s + 15 Este sistema tiene un ganancia K que puede variarse para modificar la respuesta del sistema a lazo cerrado. necesitamos dos rodeos contra-reloj (N = -2) del Diagrama de Nyquist para tener un sistema estable a lazo cerrado (Z = P + N). Por lo tanto. nuestro sistema será inestable. Si Z = P + N es un número positivo no nulo.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/nyq. si decrementáramos la ganancia. Por lo tanto.CTM: Tutorial de Respuesta en Frecuencia .80. Ahora veamos cómo se comporta el sistema si incrementáramos la ganancia a 20: nyquist(20*[ 1 10 24]. si el movimiento fué a-reloj.ib. y la cantidad de rodeos a -1 hechos por el Diagrama de Nyquist (N). el sistema es estable para una ganancia de 1. Ahora pregúntese: Cuántas veces giré la cabeza 360 grados completos? De nuevo. dado que debemos asegurar que nuestro sistema a lazo cerrado será estable. [1 9 30 40]) Veamos su exactitud usando una ganancia de a = 4. Sin embargo. todo lo que tenemos que hacer para hallar margen de ganancia es encontrar 'a'. digamos que tenemos un sistema que es estable con lo que no habrán rodeos de Nyquist a -1.6) = 13. Para hacerlo. Ahora. el diagrama tocará el punto -1: G(jw) = -1/a = a*G(jw) = a* -1/a => a*G(jw) = -1 Por lo tanto. Nyquist Page 4 of 5 el sistema . decimos que margen de ganancia es de 'a' unidades. así que sabemos que la respuesta es correcta. Podemos entonces hallar el valor de G(j*w) en ese punto usando polyval: polyval(50. Sin embargo. Antes que nada. Esto significa que la función de transferencia en este punto es real (no posee parte imaginaria).ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/nyq. [1 9 30 40 ]) Como hemos discutido anteriormente.gov. La parte real también tiene sentido.cnea. -1/a = -0.6 nyquist(a*50. La parte imaginaria es cero. Si lo pensamos. Este punto fué previamente definido como -1/a. que es el margen de ganancia. margen de ganancia es : GM = 20*log10(a) [dB] Hallaremos ahora el margen de ganancia de la función de transferencia a lazo abierto estable que habíamos visto antes. necesitamos hallar el punto dosnde hay exactamente 180 grados de fase. para que G(j*w) sea real.. por lo que solo debemos mirar el denominador. encontramos que no tenemos polos a lazo abierto en el semiplano derecho y si no hubiesen rodeos de Nyquist a -1. habíamos mencionado que el margen de ganancia se mide normalmente en decibeles.6 => GM = 20*log10( 4. como lo definimos en la figura anterior. a = 4.j*w) La respuesta es: -0. Por lo tanto.6 y agrandando el diagrama de Nyquist: http://www.html 07/12/2010 . nos daremos cuenta que si la ganancia es igual a a.2174 + 0i. como: 50 ----------------------s^3 + 9 s^2 + 30 s + 40 Mirando las raíces. Por lo que.CTM: Tutorial de Respuesta en Frecuencia . Cuando s = j*w.2174 => a = 4. El numerador también es real. Recordemos que la función es: 50 ----------------------s^3 + 9 s^2 + 30 s + 40 y que el Diagrama de Nyquist puede verse tipeando: nyquist (50.26 dB Ya tenemos el margen de ganancia. Encontramos que la fase 180 grados ocurre en -0. cuánto podemos variar la ganancia antes que este sistema sea inestable a lazo cerrado? Observemos la siguiente figura: El sistema a lazo abierto representado por esta figura se inestabilizará a lazo cerrado si la ganancia se aumenta pasado un cierto límite.2174 + 0i. ya tenemos 'a'. Por lo tanto. El segmento de eje real negativo entre -1/a (definido como el punto donde ocurre el cambio de fase de 180 grados. tampoco polos a lazo cerrado en el semiplano derecho . Podemos también verificarlo mirando el diagrama de Nyquist de nuevo.esto es..j*w)/polyval([1 9 30 40]. donde el diagrama cruza el eje real) y -1 representa el incremento en ganancia que puede tolerarse antes de la instabilidad a lazo cerrado. Ahora veamos de donde surge esto. necesitamos expresar margen de ganancia en decibeles. se debe tener: -j w^3 + 30 j w = 0 lo que significa w=0 (este es el punto más a la derecha en la Diagrama de Nyquist) o w=sqrt(30). Ahora podemos proceder y hallar margen de ganancia.ib. los únicos términos en el denominador que tendrán parte imaginaria son aquellos que son potencias impares de s. Hemos definido el margen de fa Analicemos el gráfico anterior y pensemos qué está sucediendo. Por lo tanto. Verifiquemos la exactitud de nuestros resultados mirando el Diagrama de Nyquist agrandado y las respuesta margen de Fase ya discutimos la importancia del margen de fase. Nyquist Page 5 of 5 La figura aparece a la derecha del punto -1 .ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/nyq.CTM: Tutorial de Respuesta en Frecuencia . or any other comments that you have Submit Feedback Reset Ejemplos de Respuesta en Frecuencia Control de Marcha | Velocidad del Motor | Posición de un Motor | Suspensión de un Colectivo Péndulo Invertido | Control de Inclinación | Barra y Bola | Tutoriales Matlab Básico | Modelación | PID | Lugar de Raíces | Respuesta en Frecuencia | Espacio de Estado | Digital | Ejemplos 8/27/96 LJO http://www.ib. errors that you found. sólo mencionaremos acerca de dónde viene este concepto.html 07/12/2010 . difficulties you had with the tutorials.gov.cnea. Por nuestro ejemplo anterior sabemos que este sistema en particular será inestable a l User Feedback We would like to hear about suggestions you have for improvement.