Teorema de PitágorasEn esta página resolvemos problemas aplicando el Teorema de Pitágoras. Este teorema establece que la suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa: Recordad que un triángulo es rectángulo cuando uno de sus ángulos interiores es recto (90 grados) y que la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. Problema 1 En el siguiente triángulo, ¿cuál de los lados es la hipotenusa y cuál es el ángulo recto? Calcular cuánto mide la hipotenusa. Solución Los catetos son los lados a y b. La hipotenusa es el lado h . El ángulo recto es el ángulo que forman ambos catetos. Para calcular la longitud de la hipotenusa, aplicamos Pitágoras. Los catetos miden a=2 y b=4 , con lo que Finalmente, hacemos la raíz cuadrada: Simplificamos el resultado escribiendo el radicando como un producto y aplicando la propiedad de que la raíz de una producto es el producto de las raíces de sus factores: Si aproximamos, h≃4,47 . Problema 2 Se quiere colocar un cable desde la cima de una torre de 25 metros altura hasta un punto situado a 50 metros de la base la torre. ¿Cuánto debe medir el cable? Solución El cable coincide con la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden a=25m y b=50m . Calculamos la longitud del cable (es la hipotenusa h ): Como 2.125=252⋅5 , podemos simplificar: El cable debe medir h=25√ 5 metros, es decir, aproximadamente 55.9 metros. Problema 3 Una parcela de terreno cuadrado dispone de un camino de longitud 2√ 2 kilómetros (segmento discontinuo) que la atraviesa según se muestra en la siguiente imagen: Calcular el área total de la parcela. Solución Observando la figura, el camino coincide con una de las diagonales del cuadrado, así que divide a éste en dos triángulos iguales. Además, los dos triángulos son rectángulos y los catetos miden lo mismo. Si llamamos x a la medida de los catetos, aplicando Pitágoras, Hemos usado que el cuadrado de un producto es el producto de los cuadrados. Para calcular x , pasamos el 2 dividiendo al otro lado de la igualdad y hacemos la raíz cuadrada: Por tanto, los cuatro lados de la parcela miden 2 kilómetros y, por consiguiente, su área es 4 kilómetros cuadrados. Problema 4 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 metros y sus catetos miden x y x+2 : ¿Cuánto miden los catetos? Solución Por Pitágoras, h2=a2+b2 , con lo que No olvidemos la fórmula del cuadrado de un binomio: Sustituyendo, Simplificamos la ecuación: Resolvemos la ecuación de segundo grado: Como x representa una longitud, la solución debe ser positiva: x=6 . Los catetos miden 6 y 8 metros. Problema 5 Se desea pintar una cuadrado inscrito en una circunferencia de radio R=3cm como se muestra en la figura: Calcular el área del cuadrado. Solución Problema 6 Calcular cuánto mide el cateto b de un triángulo rectángulo si su otro cateto, a, y su hipotenusa, h , miden a=3√ 2 2m h=√ 194 6m Solución Por Pitágoras, sustituyendo a yh , Aplicamos las propiedades de las potencias para calcular los cuadrados: Calculamos b : el cateto b mide 2√ 2 3m . como el área de un triángulo es base por altura. Por un lado. tenemos . base e hipotenusa de la vela. Solución Llamamos a .Aplicamos las propiedades de las raíces para simplificar: Por tanto. Problema 7 Hallar las medidas de los lados de una vela con forma de triángulo rectángulo si se quiere que tenga un área de 30 metros al cuadrado y que uno de sus catetos mida 5 metros para que se pueda colocar en el mástil.byh a la altura. como la vela tiene forma de triángulo rectángulo. obtener una fórmula para calcular la longitud de la hipotenusa en función del cateto menor. x . Problema 8 Si el cateto de un triángulo rectángulo mide x y el otro mide el doble. entonces el otro debe medir 2x. aplicamos Pitágoras: Aplicamos la fórmula para x=√ 5 : . h . podemos calcular la hipotenusa por Pitágoras: Por tanto. Solución Supongamos que uno de los catetos mide x . Para calcular la hipotenusa. Utilizar la fórmula obtenida para calcular la hipotenusa cuando x=√ 5 y x=2⋅√ 5 . 12 y 13 metros.De donde tenemos que la base debe medir 12 metros. los lados de la vela deben medir 5. Por otro lado. Como la base es el doble que la altura. Calcular el perímetro del rectángulo y su diagonal. El perímetro del rectángulo es 6√ 6 cm . respectivamente. aplicamos Pitágoras para calcular la diagonal. b=2a . d : . El área de un rectángulo es base por altura. así que La altura del rectángulo mide √ 6 cm y la base mide 2√ 6 cm. Solución Llamamos a y b a la altura y la base del rectángulo.Aplicamos la fórmula para x=2⋅√ 5 : Problema 9 Se tiene un rectángulo cuya base mide el doble que su altura y su área es 12 centímetros cuadrados. Como la diagonal del rectángulo lo divide en dos triángulos rectángulos y sabemos cuánto miden los catetos. que forman triángulos rectángulos. Los catetos del triángulo cuya hipotenusa es h .2) .La diagonal del rectángulo mide √ 30 centímetros. B=(3. Solución Observad la siguiente figura: Podemos calcular el lado h y el lado b aplicando dos veces Pitágoras ayudándonos de los segmentos de color rojo.3) .−1) y C=(4. Problema 10 Calcular el área del triángulo rectángulo cuyos vértices son A=(1. y la base.miden 2 y 4 unidades. del triángulo del problema. h . b. Aplicamos Pitágoras para calcular la altura a : Calculamos el área del triángulo (base por altura entre 2): El área del triángulo es 5 unidades al cuadrado. Los catetos del triángulo cuya hipotenusa es b miden 1 y 3 unidades. Entonces. . Conocemos la hipotenusa. Por tanto. Introducción Teorema: dado un triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa h (el lado opuesto al ángulo recto). Por tanto. La comprensión del teorema es sencilla y tiene muchas aplicaciones en la vida cotidiana. es decir. es decir. Recordemos que: el triángulo es rectángulo porque tiene un ángulo recto.. 2. b=4cm Aplicando el teorema de Pitágoras. 12 Problemas Resueltos Problema 1 Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo de lados 3cm y 4cm. h > a y h > b. Existen cientos de demostraciones de este resultado. análisis funcional. C. la hipotenusa mide 5cm. un ángulo de 90 grados ó π / 2 radianes. 4 y 5. El teorema de Pitágoras es uno de los resultados más conocidos de las matemáticas y también uno de los más antiguos.) fue construida en base al llamado triángulo sagrado egipcio. como veremos en los problemas de esta sección.). Pero también tiene sus aplicaciones en las matemáticas avanzadas (análisis vectorial.. Ver solución Los lados son a=3cm . Problema 2 . La pirámide de Kefrén (siglo XXVI a. la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto Nota: h siempre es mayor que los dos catetos. que es el triángulo rectángulo de lados 3. Por tanto. No indicamos la unidad de medida (mm. Ver solución Problema 5 Calcular el perímetro del siguiente rombo si sabemos que sus diagonales (altura y anchura) miden 16 y 12. Ver solución Podemos dividir el rombo en cuatro triángulos rectángulos (determinados por sus diagonales): . cm. Problema 4 (dificultad muy alta) Calcular la altura del siguiente triángulo sabiendo que sus lados miden . m…) ya que no se indica en el enunciado.Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 2cm y uno de sus lados mide 1cm. sabemos que Sustituimos en la ecuación los valores conocidos (a y b). la hipotenusa mide aproximadamente 2. ¿cuánto mide el otro lado? Ver solución Problema 3 Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos lados miden y . obteniendo: Recordamos que el cuadrado de una raíz cuadrada es su radicando (lo de dentro de la raíz). dm. Ver solución Llamamos a los catetos a y b y a la hipotenusa h (no importa el nombre que le demos a cada cateto). Por tanto. Sabemos que Por el teorema de Pitágoras.24. por tanto. y su base 3. Como éstos son iguales. sabemos que los catetos miden 8 y 6 en cada triángulo. con lo que podemos trabajar con cualquiera de los triángulos obtenidos (todos son iguales). Además. cada hipotenusa) mide 10. cada lado del rombo (o sea. Podemos escribirlas todas en metros. El perímetro es la suma de todos los lados.Recordamos que en los rombos todos los lados miden lo mismo. sólo tenemos que multiplicar por 4: Perímetro = 4·10 = 40 Problema 6 Calcular la altura que podemos alcanzar con una escalera de 3 metros apoyada sobre la pared si la parte inferior la situamos a 70 centímetros de ésta. como hemos realizado una división simétrica. Ver solución Hay que tener en cuenta que las unidades de medida no son las mismas.7 m . Para calcular la hipotenusa aplicamos el teorema de Pitágoras: Por tanto. así que 70 cm = 7 dm = 0. aproximadamente Problema 7 Al atardecer.5 metros de longitud. Pero como a es la altura. la altura será. un árbol proyecta una sombra de 2. Si la distancia desde la parte más alta del árbol al extremo más alejado de la sombra es de 4 metros. Aplicamos el teorema de Pitágoras para calcularla: Por tanto. Una pulgada equivale a 2.54 centímetros: . Por tanto. debe ser positiva.El triángulo que tenemos es La altura es uno de los catetos. ¿cuál es la altura del árbol? Ver solución Problema 8 La medida que se utiliza en los televisores es la longitud de la diagonal de la pantalla en unidades de pulgadas. bucea hasta el final de la piscina siguiendo una línea transversal de 8. debemos calcular cuánto mide su diagonal y escribir el resultado en pulgadas. la diagonal mide unos 124.4 metros bajo el agua. cae a una distancia de 1 metro de la plataforma sumergiéndose 2. Como la diagonal del hueco es la hipotenusa de un triángulo rectángulo. aplicamos el teorema de Pitágoras: Por tanto. Problema 9 Un clavadista está entrenando en una piscina con una plataforma. ¿de cuántas pulgadas debe ser el televisor? Ver solución Para calcular las pulgadas que caben en el hueco. Cuando realiza el salto. Nota: hemos redondeado la raíz cuadrada a la baja para que el televisor quepa en el hueco.32cm. Pasamos de centímetros a pulgadas aplicando una regla de tres: Luego 124.8 metros de longitud. .32 centímetros son 51. Para salir a la superficie.8 pulgadas: Por tanto.94 pulgadas. el televisor que debe comprar David no puede exceder las 48.Si David desea comprar un televisor para colocarlo en un hueco de 96x79cm. 2 metros.46 metros.46m: Por tanto. Calculamos su longitud: Tenemos un rectángulo de altura 2. su base b es Pero como el clavadista cae a 1 metro de la plataforma. Por Pitágoras.4 metros. ¿cuál es la altura de la plataforma (desde el nivel del agua)? Ver solución Según el diagrama.Si la longitud desde la parte superior de la plataforma al lugar en donde emerge del agua es de 11.2m y cuya base mide 9.8m. Para calcular la altura a de la plataforma nos ayudamos del triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 11. la altura de la plataforma es de casi 6 metros por encima del nivel del agua. .4m y cuya diagonal mide 8. la longitud de la piscina es 9. la profundidad de la piscina es de 2. Problema 10 Un aparcamiento con forma rectangular de dimensiones 35x98 metros es controlado por cuatro cámaras de vigilancia. La cámara A observa el área 1. Como conocemos las dimensiones del aparcamiento. b . Así. y la cámara D. Calculamos el otro cateto. Ver solución Las cuatro regiones tienen forma de triángulo rectángulo y podemos calcular sus áreas ya que conocemos sus hipotenusas y uno de sus catetos (es la altura del aparcamiento). el área 3. el área 2. también podemos calcular el área total del mismo. Región 2: La hipotenusa mide 70m y uno de los catetos mide 35m. Calculamos el otro cateto. a . Calculamos el área de las regiones: Región 1: La hipotenusa mide 50m y uno de los catetos mide 35m (altura del aparcamiento). la cámara B. el área que no está controlada es el área total menos el de las regiones. Calcular el porcentaje del área del aparcamiento que no es vigilada por ninguna cámara. por Pitágoras: Luego el área de la región es (base por altura dividido entre 2) Repetimos este procedimiento para las otras regiones. la cámara C. por Pitágoras: . el área 4. d . por Pitágoras: . por Pitágoras: Luego el área de la región es Región 4: La hipotenusa mide 55m y uno de los catetos mide 35m. c . Calculamos el otro cateto.Luego el área de la región es Región 3: La hipotenusa mide 64m y uno de los catetos mide 35m. Calculamos el otro cateto. . Si el radio de la columna es R=2m metros y el área de su lateral es de 120 metros cuadrados. el área no cubierta por las cámaras es Luego el porcentaje de área no cubierta por las cámaras de vigilancia es aproximadamente el 1. calcular la longitud del cable de la tirolesa para que alcance el suelo a 40 metros de distancia de la columna.9%: Problema 11 Un parque de diversiones quiere construir una nueva atracción que consiste en una tirolesa que parte desde la base superior de una columna con forma cilíndrica.Luego el área de la región es La suma de las áreas cubiertas por las cámaras es El área total del aparcamiento es Por tanto. Por tanto. la podemos calcular a partir de su área lateral y su radio. el área del lateral de la columna es Sustituimos el área (A=120m2 ) y el radio (R=2m ) y resolvemos la ecuación: Luego la altura de la columna es de 30 metros. dos veces el radio. El área lateral del cilindro es la del rectángulo de altura h y cuya base es el diámetro de la base del cilindro. es decir. El cable de la tirolesa debe medir 50 metros de longitud. Problema 12 (dificultad alta) . calculamos la hipotenusa aplicando el teorema de Pitágoras: Nota: hemos llamado L a la hipotenusa para no confundirla con la altura h de la columna. h . Finalmente. La altura de la columna.Ver solución Tenemos un triángulo rectángulo de base 40m cuya hipotenusa coincide con la tirolesa. R . Supongamos que la luna está en la fase de su primer cuarto. La recta Tierra-Sol es la hipotenusa. Plantear el problema. Se desea calcular la distancia de la Luna al Sol en esta fase (considerar las distancias desde los centros). lo cual se expresa mediante Entonces . sabemos que Como a es mucho más pequeño que b. la iluminada por el Sol. Pero sabemos que la distancia Luna-Sol será menor que la distancia Tierra-Sol (porque esta última es la hipotenusa).Distancias Sol-Tierra-Luna. Sabemos que la distancia de la Tierra a la Luna es de 384100km y de la Tierra al Sol es de unos 150 millones de kilómetros. pero no es necesario calcular el resultado. podemos calcular la distancia Sol-Luna (b) aplicando el teorema de Pitágoras: No calculamos el valor de b porque como la distancia Tierra-Sol es muchísimo más grande que la distancia Tierra-Luna. como conocemos la distancia Tierra-Luna (a) y la distancia Tierra-Sol (h). lo que significa que desde la Tierra la vemos del siguiente modo siendo la mitad clara la que vemos. Por tanto. Ver solución La situación es la siguiente La recta Sol-Luna y la recta Tierra-Luna forman un ángulo de 90 grados ya que si no. no veríamos la luna en su primer cuarto. Dicho en otras palabras. al aproximar. obtendremos una distancia cercana a la de la Tierra-Sol. es decir. TRIGONOMETRÍA Seno y coseno .Y por tanto 1. pero sí conocemos uno de los otros dos ángulos no rectos. En estos casos es cuando utilizamos el seno y el coseno. en ocasiones no conocemos dos lados. Sin embargo. Los otros dos lados se denominan catetos: Si conocemos dos lados del triángulo. De los tres lados del triángulo. un ángulo de 90 grados ó π/2 radianes. es decir. Introducción Triángulo rectángulo Recordamos que un triángulo es rectángulo cuando tiene un ángulo recto. podemos calcular el otro aplicando el teorema de Pitágoras. se llama hipotenusa al lado opuesto al ángulo recto. Tangente La tangente del ángulo α es el cociente del seno y del coseno de dicho ángulo: La tangente es el cociente del lado opuesto y del lado contiguo. cambian los numeradores: Normalmente. Nota: si cambiamos de ángulo. La tangente del ángulo α puede escribirse como tan(α) y como tg(α) . entre otras. para referirnos al seno de α podemos escribir sin(α). Regla mnemotécnica: el COseno es el lado COntiguo entre la hipotenusa y el senO es el lado Opuesto entre la hipotenusa. cos(α) ó coseno(α) . Y para el coseno. Nosotros utilizaremos sin(α) y cos(α) .El coseno de un ángulo α se define como el cociente del lado contiguo al ángulo α y la hipotenusa. De forma análoga. el seno de α se define como el cociente del lado opuesto al ángulo α y la hipotenusa. sen(α) ó seno(α). . Solución Como conocemos el lado opuesto. Como consecuencia. En esta página sólo utilizaremos estas funciones en la calculadora con las teclas sin−1 (arcoseno) y cos−1 (arcocoseno). podemos conocer el ángulo α mediante la función arcoseno (o arcocoseno). a=20m . Arcoseno y arcocoseno Si conocemos el seno (o coseno) de un ángulo α . utilizamos el seno para calcular la hipotenusa del triángulo: . Calcular el precio del cable si cada metro cuesta 12$. el seno de 45º es el mismo que el de 135º: 2. los resultados pueden ser no exactos.No utilizaremos la tangente en esta página. aproximaremos las razones trigonométricas con dos o tres decimales por redondeo o por truncamiento. Por ejemplo. Problemas resueltos Nota previa: para simplificar los cálculos. Problema 1 Se desea sujetar un poste de 20 metros de altura con un cable que parte de la parte superior del mismo hasta el suelo de modo que forme un ángulo de 30º. Nota: hay que tener cuidado con las funciones arcoseno y arcocoseno ya que hay ángulos que tienen el mismo seno o coseno. 87º.Sustituimos el ángulo y el lado: Luego el cable debe medir 40 metros y su precio es de 480$: Problema 2 Calcular la altura. utilizaremos el seno: Pero como necesitamos calcular la hipotenusa h del triángulo. de un árbol sabiendo que. Solución Como la altura a es el cateto opuesto al ángulo. si nos situamos 8 metros de la base del tronco. utilizamos el coseno: Sustituimos los datos: . a . vemos la parte superior de su copa en un ángulo de 36. Solución La mediana forma un triángulo rectángulo: Del triángulo conocemos tres ángulos: uno mide 60º. la altura del árbol es Problema 3 Calcular cuánto mide la mediana de un triángulo equilátero (los tres ángulos son de 60 grados) cuyos lados miden 12cm. También conocemos su hipotenusa h=12cm .La hipotenusa mide Por tanto. Ayuda: la mediana es la distancia del segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto a éste. otro 30º y el otro 90º. 392 centímetros. Utilizamos el seno para calcular la mediana m : Sustituimos los datos: Luego la mediana mide 10. Ayuda: la fórmula se puede obtener rápidamente a partir del problema anterior. Problema 4 Escribir una fórmula para calcular la longitud de la mediana de un triángulo equilátero de lado d . si aproximamos el seno. La fórmula es O bien. Solución Como los lados del triángulo miden d en lugar de 12cm. Problema 5 Del siguiente triángulo rectángulo se conocen sus dos catetos: uno mide 4m y el otro mide 3m: .. sólo tenemos que cambiar 12 por d en el problema anterior ya que los ángulos son iguales. el seno: Como conocemos los catetos y la hipotenusa. Para calcular los ángulos podemos utilizar. aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa: La hipotenusa mide 5 metros. Solución Como el triángulo es rectángulo. por ejemplo.Calcular la hipotenusa y los ángulos α yβ . para calcular los ángulos sólo debemos utilizar la función arcoseno: . podemos calcular el seno de los ángulos: Finalmente. Solución El compás junto con el radio R forma un triángulo isósceles.Problema 6 Calcular el radio de la circunferencia que se obtiene al utilizar un compás cuyos brazos miden 10cm si éstos forman un ángulo de 50º. tenemos un triángulo rectángulo: Si llamamos b . Lo que significa que los ángulos α y β son iguales. Como la suma de los ángulos (interiores) de un triángulo es siempre 180º. podemos calcular α : Al representar la altura h . el radio de la circunferencia mide 8. Por el seno: Despejamos la altura: Necesitamos calcular la hipotenusa.46cm: Problema 7 Calcular la altura de la torre de refrigeración de una central nuclear si se sabe que su sombra mide 271 metros cuando los rayos solares forman un ángulo de 30º. tenemos Por tanto.a la mitad del radio y aplicamos el coseno. Solución Llamamos a a la altura y h a la hipotenusa. Por el coseno tenemos . Despejamos la hipotenusa: Sustituimos la hipotenusa: Por tanto. Solución Por el seno y por el coseno tenemos las siguientes relaciones: Calculamos la hipotenusa a partir del coseno: . Problema 8 Las ciudades A. B y C son los vértices de un triángulo rectángulo: Calcular la distancia entre las ciudades A y C y entre las ciudades B y C si la ciudad B se encuentra a 100km de la ciudad A y la carretera que una A con B forma un ángulo de 35º con la carretera que une A con C. la altura de la torre es de unos 156.46 metros. 08 kilómetros. la distancia entre las ciudades A y C es de 122.29∘ . Problema 9 Miguel desea calcular la altura de dos edificios que están situados a 100 metros el uno del otro. ¿cuál es la altura de cada uno? . se ve la azotea del otro edificio bajo un ángulo de β=19. observa que desde la azotea de dicho edificio se avista la azotea del otro bajo un ángulo de α=73. ¿Puede Miguel calcular la altura de los edificios con los tres datos con los que cuenta? En caso afirmativo.3∘ . calculamos a a partir del seno: Por tanto. Desde la base del mismo edificio.Conociendo la hipotenusa. Como tiene acceso al edificio más alto.1 kilómetros y la distancia entre las ciudades B y C es de 70. tenemos las siguientes relaciones para el ángulo α : Como conocemos α y d. Representamos el segmento d para formar un triángulo rectángulo con el ángulo α : Obsérvese que el segmento d mide 100 metros. Por el seno y el coseno.Solución Sí es posible calcular la altura de ambos edificios. Primero. calculamos a : . podemos calcular x . que la altura del edificio más alto es la suma de los catetos x e y y la altura del otro edificio es y . El ángulo β forma parte de un triángulo rectángulo. tenemos las siguientes relaciones para el ángulo α : Como conocemos β y d. Primero. calculamos x : Por el seno y el coseno. calculamos y : .Ahora. podemos calcular y . calculamos b : Ahora. Problema 10 (dificultad alta) Desde una determinada distancia.Por tanto.96 metros. Calcular la altura a la que se encuentra la bandera. Si nos acercamos 17. Solución Las relaciones que tenemos son . una bandera situada en la parte superior de un torreón se observa con un ángulo de 47º. la altura del edificio alto es Y la altura del otro edificio es 34. la bandera se observa con un ángulo de 75º.8 metros al torreón. Nota: para simplificar los cálculos podemos escribir tan(α) (tangente de α) en lugar de sin(α)/cos(α) . sustituimos x por la expresión obtenida anteriormente: .Escribimos la tangente de α : De donde podemos despejar x : Escribimos la tangente de β : De donde despejamos la altura h : En la ecuación obtenida. la bandera se encuentra a unos 26.78 metros de altura. DEL DINERO QUE TENÍA .Resolvemos la ecuación: Sustituimos los datos: Por tanto. DOS POSTES . BOLETOS NIÑOS . CUATRO HERMANOS . . LA VIDA DE DIOFANTO . . TRES VACAS NÚMEROS CONSECUTIVOS . 120 litros SOLUCIÓN Este problema se empieza desde el final. 30 litros C. . entonces al empezar el tercer día había 45 litros. es decir la tercera parte de lo que quedaba. es decir. el tercer día se consumieron 15 litros de agua. Si el tercer día se consumieron 15 litros.TANQUE EN EL APTO En un apartamento se tiene un tanque de agua totalmente lleno. 60 litros D. ¿Cuál es la capacidad del tanque de agua? A. al día siguiente. En un día se consumió medio tanque de agua. la tercera parte de lo que quedaba. 15 litros B. la cuarta parte de lo que quedaba. El primer día se consumió la mitad y quedaron 60. UNA VARILLA DE 84 Una varilla de 84 cm. menor que la parte negra. La parte negra mide: A. entonces la respuesta es la D. entonces al empezar el día había 120 litros y la respuesta es la D. N + (N-4) = 84 2N – 4 = 84 2N = 84 +4 = 88 N=88/2 = 44. 44 SOLUCIÓN R= Rojo Y N = Negro N = R + 4 (porque “La parte roja es 4 cm. 26 C. LOS 3/4 DE UN TANQUE . La parte roja es 4 cm.Al segundo día se consumió la cuarta parte o sea que quedaron 3/4 que son 45 litros y si 45 son las 3/4 entonces al empezar el día había 60 litros (60/4=15 y 15x3 = 45 o sea que 45 es 3/4 de 60). menor que la parte negra”) N + R = 84 Como me piden el valor de la parte negra (N). 38 B. quedando: R=N–4 Reemplazo R en la segunda ecuación. entonces despejo R en la primera ecuación. 40 D. de longitud está pintada de rojo y negro. de manera que disminuye 600 cm (900 x 2 = 1800 y 1800/3 = 600) y para recuperar 600 cm3 en 30 días divido 600/30 = 20. C. 90 m.Los 3 / 4 de un tanque. 33 cm3 B. D. pero el volumen de agua disminuye 2/ 3 durante el verano. 80 m. 16 cm3 D. Primero despejo B en la primera ecuación y queda B = A/3 Reemplazo B en la segunda ecuación. 20 cm3 C. en 30 días. por lo que la respuesta es la B. B. con capacidad de 1200 cm3. la longitud del puente más largo es de: A. Si las longitudes de ambos puentes suman 120 metros. 40 m. SOLUCIÓN Si A = 3B y A + B = 120. A + A/3 = 120 (4 A)/3 = 120 4 A = 120 x3 = 360 . Si se espera que el tanque recupere la ocupación que tuvo en el invierno. 30 m. permanecen llenos durante el invierno. cada día deberá llenarse A. 10 cm3 SOLUCIÓN El volumen constante en el invierno es 3 / 4 de 1200 cm3 o sea 900 cm3 (Porque 1200 x 3 = 3600 y 3600/4 = 900) El agua disminuye 2/3 (de 900) durante el verano. EL LARGO DEL PUENTE El largo del puente A es 3 veces el largo del puente B. me piden el valor de A que es el más largo. C.000 34 bacterias c) 5. Entonces. y en 3 horas hay 9 ciclos de 20 minutos.LOS 3/5 DE LA MITAD Los 3/5 de la mitad de mi edad son 12 años.000 39 bacterias d) 5. por lo que quedaría 5. GOLOSINAS FIESTA . nos referimos al producto de 3/5 x 1/2 0 sea 3/10 ( el producto de los numeradores sobre el producto de los denominadores) (3x1) / (5x2). SOLUCIÓN Cuando decimos los 3/5 de la mitad de algo. 3/10 (Edad) = 12 El 10 que está dividiendo pasa al otro lado a multiplicar y el 3 que está multiplicando pasa a dividir y queda: Edad = (12x10)/ 3 = 120/3 = 40 y la respuesta es la B. 20 años.000 x3x3x3 (primera hora) x3x3x3 (segunda hora) x3x3x3 (tercera hora) Luego esto es: 5000 x 39 y la respuesta es la C. Por lo tanto estaremos diciendo que los 3/10 de mi edad son 12 años . a) 5. 60 años. B.000 de ellas.000 360 bacterias e) 5.000 3180 bacterias SOLUCIÓN Si cada 20 minutos se triplica el número de bacterias.000 33 bacterias b) 5. COLONIA DE BACTERIAS Si una colonia de bacterias se triplica cada 20 minutos e inicialmente hay 5. significa que se multiplica por 3. 40 años. tengo A. 80 años. D. el número de bacterias que hay al término de 3 horas es. 64 Si les diéramos de a 7 a cada uno. faltan 11. para darles 8 a cada uno. sin que sobre ninguna? A) 11 B) 20 C) 21 D) 0 E) 7 SOLUCIÓN 237/31 = 7.En una fiesta de cumpleaños hay 237 golosinas para repartir entre 31 niños invitados. (7 X 31 = 217) sobran 20. por lo tanto. ¿Cuál es el número mínimo de golosinas que se necesita agregar para que cada niño invitado reciba la misma cantidad de golosinas. entonces la respuesta es la A Regla de tres compuesta mixta . ¿cuántos chicos y cuántas chicas hay en la familia? Respuesta Si Juan tiene tantos hermanos como hermanas. entonces hay un chico más que las chicas. Juan tiene tantos hermanos como hermanas. pero María tiene el doble de hermanos que de hermanas.JUAN Y MARÍA SON HERMANOS Juan y María son hermanos. . esto es 3.Y si María tiene el doble de hermanos que de hermanas. Jairo conoce: . Por lo tanto. entonces chicos igual a dos veces chicas menos uno. 27 D. A Jairo le agrada la mitad de ciudades que le gustan a Carlos. Entonces. 9 B. y el número mayor es 6 veces el menor. el número mayor es A.(chicas menos María). 18 C. 42 Número mayor K Número menor L 3(K+L) = 63 (El triple de la suma de dos números es 63) K + L = 63/3 = 21 K + L = 21 K = 6L (el número mayor es 6 veces el menor) Reemplazo 6L + L = 21 7L = 21 L=3 Entonces K = 18 y la respuesta es la B APTITUD NUMÉRICA CIUDADES Carlos conoce el triple de ciudades que Jairo. Chicos = O chicas = A O=A+1 O=2(A-1) Entonces A+1 = 2 A – 2 1+2=2A–A=A 3=A Entonces O=4 Por lo tanto hay 4 niños y 3 niñas. APTITUD NUMÉRICA EL TRIPLE DE LA SUMA El triple de la suma de dos números es 63. y le ha gustado la cuarta parte de ellas. entonces Carlos conoce 24. Si 6 es la cuarta parte de lo conoce Carlos. 4 ciudades. B. D. Si a Jairo le gustan 3 ciudades. 8 ciudades. . 16 ciudades. a Carlos le gustan 6. Si 24 es el triple de las que conoce Jairo entonces Jairo conoce 8 ciudades y la respuesta es la B. 32 ciudades.A. C.
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