trigonometria triangulo rectangulo

LECCIÓNCONDENSADA 12.1 En esta lección ● ● ● Trigonometría del triángulo rectángulo aprenderás sobre razones trigonométricas asociadas a un triángulo rectángulo usarás razones trigonométricas para hallar las longitudes laterales desconocidas de un triángulo rectángulo usarás inversos trigonométricos para hallar medidas de ángulos desconocidas en un triángulo rectángulo Supón que elevas una cometa. Hay un viento fuerte, por lo tanto la cuerda está tensa. Has marcado la cuerda, por lo tanto sabes cuánta cuerda has soltado y puedes medir el ángulo que forma la cuerda con la horizontal. Puedes usar una razón trigonométrica para hallar la altura de la cometa. En esta lección aprenderás cómo. La trigonometría relaciona las medidas angulares de los triángulos rectángulos con las longitudes de sus lados. Primero, recuerda que los triángulos que tienen las mismas medidas angulares son semejantes, y por lo tanto las razones de sus lados correspondientes son iguales. Los triángulos rectángulos tienen nombres especiales para las razones. Para cualquier ángulo agudo A de un triángulo rectángulo, el seno (sin) de A es la razón entre la longitud del cateto opuesto a A y la longitud de la hipotenusa. cateto opuesto a sin A c hipotenusa El coseno (cos) de A es la razón entre la longitud del cateto adyacente a A y la longitud de la hipotenusa. cateto adyacente b cos A hipotenusa c Hipotenusa B c A b Este cateto es adyacente a A. C a Este cateto es opuesto a A. La tangente (tan) de A es la razón entre la longitud del cateto opuesto y la longitud del cateto adyacente. cateto opuesto a tan A cateto adyacente b Lee el Ejemplo A en tu libro y después lee el siguiente ejemplo. EJEMPLO Halla la longitud desconocida, c. B 14 C c 25 A Solución Conoces la longitud del lado opuesto al ángulo de 25° y deseas hallar la longitud de la hipotenusa. Por consiguiente, puedes usar la razón seno. 14 sin 25° c 14 33.13 c sin 25° (continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish ©2010 Key Curriculum Press CHAPTER 12 177 75 in. x 7.Lección 12.0°. Investigación: Escalones empinados Lee el párrafo de apertura de la investigación en tu libro. Para hallar la solución. a. Existe una infinidad de diseños posibles.3799r 17. 178 CHAPTER 12 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish ©2010 Key Curriculum Press . Para hallar r.68 4.1 • Trigonometría del triángulo rectángulo (continuación) El inverso de una función trigonométrica da la medida del ángulo que tiene una 1 1 razón dada.68 in y la distancia vertical es 17. x Sea x el ángulo de inclinación.86° y 3. y un tramo de una unidad de distancia vertical de 11. 8.6° y tan 1 ___ 27. x tan 1 __ 2.8° x tan 1 ____ 10 El ángulo de inclinación es de aproximadamente 38°. Por lo tanto la distancia horizontal es 12.5 r ________ tan 20.75 37.6 in y una unidad de distancia vertical de 41 in se ajustaría al ángulo de inclinación de 20.6°.3799 r 12. Dado que tanto el piso como la distancia horizontal son horizontales (y. El Ejemplo B 2 2 en tu libro usa el inverso de la función tangente.75 Paso 3 Consulta la foto y el diagrama de la página 682 en tu libro. de este modo. el ángulo entre la distancia horizontal y la hipotenusa también es x. usa la razón tangente.5 r ________ 0.58°. por lo tanto usa la tangente para resolver para x.5 in. porque la distancia vertical es muy alta.5 in y una unidad de distancia vertical de 6 in. 11 11.86°.3799 r 0.68 in r.58° y usando tan x __.3799r 17. 8.5 r ______ 1.5 Un ejemplo de un tramo de escalera que sigue la regla común pero no el código es un tramo con una unidad de distancia vertical de 8. b. tan x __.8° pero no seguiría el código.75 El ángulo de inclinación para este tramo se obtiene por tan 1 ___ 45.5 17. Entonces la unidad de distancia vertical será representada por 17. Usando 1 1 1 1 3. Paso 2 Dos tramos de escalera que siguen tanto el código como la regla general son una serie con una unidad de distancia horizontal de 11 in y una unidad de distancia vertical de 6.82 in.75 in y una unidad de distancia vertical de 8.75 in. 7. sin 30° _. paralelos). Por ejemplo. Primero dibuja un escalón con la máxima distancia vertical y la mínima distancia horizontal. Conoces la longitud de los lados opuestos y adyacentes. una escalera con una unidad de distancia vertical de aproximadamente 15. Por ejemplo. por lo tanto sin 1 _ 30°. sea r la unidad de distancia horizontal. Los ángulos de inclinación respectivos para estos tramos de escalera se 6.5 – 12.75 tan x ____ 10 7.5 17. Completa los Pasos 1–4 de la investigación y después compara tus resultados con los siguientes. Paso 4 Usa la función tangente y que sea x el ángulo de inclinación. Paso 1 10 in.5 r 1. x tan 1 __ 20 20 16 16 Por lo tanto el ángulo debe estar entre 2.8° r 17. Lee el ejemplo atentamente. pero no todos los diseños siguen los códigos dados en el Paso 1.5 6 obtienen por tan 1 __ 30. el lado opuesto a B como b. también son iguales entre sí. Rotula el lado opuesto a A como a. Después. dibuja la altitud que va de A a BC . o triángulos oblicuángulos (oblique). Éste es un ejemplo. Para el triángulo a la derecha: Halla sin A sin 31° sin B sin 23° sin C _______ sin 126° 0. dibuja la altitud que va desde B a AC y rotúlala como j. Ahora investigarás las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos no rectángulos. Paso 6 A 3 cm 31 6.2 En esta lección ● La Ley de los senos descubrirás y aplicarás la Ley de los senos.3 cm B y para tu triángulo.LECCIÓN CONDENSADA 12. Rotula la altitud como h. c sin B sin B b b sin C Al dividir ambos lados de la ecuación anterior entre bc. puedes escribir las siguientes ecuaciones: B h sin B c ó h c sin B h sin C b ó h b sin C Como ambos c sin B y b sin C son iguales a h. sin C c 126 23 C 4 cm (continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish ©2010 Key Curriculum Press CHAPTER 12 179 . y el lado opuesto a C ___ como c.13 0.13 a 4 b 3 c 6. debes hallar que: sin A sin C a c (¡Asegúrate de que puedes derivar esta ecuación por tu cuenta!) Pasos 4 y 5 C Puedes combinar las proporciones de los Pasos 2 y 3 para escribir una proporción extendida: sin A sin B sin C a b c El triángulo que dibujaste en el Paso 1 es acutángulo. Es decir. Investigación: Triángulos oblicuángulos Dibuja un triángulo acutángulo ABC. A la derecha está el ejemplo. b . sin A sin B a . parece que sin A a b c obtusángulos también.3 sin B sin C es válido para triángulos Por lo tanto. que describe una relación entre los lados y los ángulos de un triángulo oblicuángulo Has investigado las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos rectángulos. Usando un método parecido al del Paso 2. se obtiene: sin C c ___ Paso 3 Ahora.13 0. Paso 1 Paso 2 A c b h a Del diagrama. ¿Crees que la misma proporción será válida para los triángulos obtusángulos? Dibuja un triángulo obtusángulo ABC y mide cada ángulo y lado. en este caso puedes hallar más de una solución.) Debes hallar que la longitud de AC es aproximadamente 15. usa la Ley de los senos. La medida de C es 53. halla las medidas de B y C y la longitud ___ del lado AC . A continuación están las dos posibilidades.1° b 5 sin 23. La relación que descubriste en la investigación se llama Ley de los senos. Sin embargo. Se resume en el recuadro “Law of Sines” (Ley de los senos) en tu libro. ó 126.1°.9 cm La longitud de AC es 9.9 cm. Lee el ejemplo atentamente. cuando conoces las longitudes de dos lados y la medida del ángulo opuesto a uno de los lados. cuando conoces las medidas de dos ángulos y la longitud de un lado. Usa la Ley de los senos para ___ hallar la longitud de AC . la longitud del lado AB es 8 cm y la ___ longitud del lado BC es 5 cm.1° sin 30° ___ 3.9° b 5 sin 96. (Sugerencia: Primero necesitarás hallar la medida ___ de B. Para cada triángulo.4 cm.1°). 9.1°.9°. observa los diagramas en la página 693 de tu libro y lee el Ejemplo C. El Ejemplo B muestra cómo aplicar la Ley de los senos para hallar la longitud desconocida de un lado de un triángulo. Como ayuda para entender por qué puede haber más de una solución. Éste es otro ejemplo. por lo ___ la medida de B es 180° (30° tanto ó 96. También puedes usar la Ley de los senos para hallar la medida desconocida de un ángulo.9°. Lee el ejemplo atentamente. ó 23.9 cm.1° 5 C.9 cm La longitud de AC es 3. La otra posible medida para C es el suplemento de 53. la medida de B es 180° (30° 126. usa la Ley de los senos otra vez.9° sin 30° ___ 53. sin 30° 5 b sin 96. la medida de A es 30°.9°). ___ hallando la longitud del lado AC . B 8 cm A 30 b 5 cm C A 8 cm 30 C b 5 cm B ___ Solución Para hallar una medida posible de sin 30° sin C 5 8 8 sin 30° sin C 5 8 sin 30° C sin 1 53.Lección 12. 180 CHAPTER 12 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish ©2010 Key Curriculum Press . Dibuja y rotula dos triángulos que se ajusten a esta descripción.1°. sin 30° 5 b sin 23. Entonces. EJEMPLO En el ABC. Para hallar la longitud de AC .2 • La Ley de los senos (continuación) El Ejemplo A en tu libro aplica lo que has aprendido en la investigación a un problema real. Prueba tu entendimiento. entonces cos C es 0.25 b2 22 4 2ab cos C 2(2. si C es un ángulo recto. La Ley de los senos no se puede aplicar en esta situación. Investigación: A la vuelta de la esquina Lee la investigación en tu libro.5 m B c 10. El Ejemplo A en tu libro da las longitudes de dos lados y la medida del ángulo comprendido entre los lados. (De hecho. A 2m C 43 2. cuando conoces las longitudes de dos lados y la medida del ángulo formado por éstos usarás la Ley de los cosenos para hallar las medidas desconocidas de un triángulo cuando conoces las longitudes de sus tres lados Puedes usar la Ley de los senos para hallar las longitudes de los lados o las medidas de los ángulos de un triángulo. a y b. obtienes la Ley de los cosenos: c2 a2 b2 2ab cos C donde c es opuesto a C. si conoces las medidas de dos ángulos y la longitud de un lado. 2ab cos C. de un triángulo ABC y la medida del ángulo comprendido entre ellos.) Lee el texto del recuadro “Law of Cosines” (Ley de los cosenos) en la página 699 de tu libro y estudia los diagramas que siguen al recuadro. y la ecuación se convierte en el Teorema de Pitágoras.52 6.LECCIÓN CONDENSADA 12. C.71 La distancia entre las dos “ciudades” es aproximadamente 1.5)(2) cos 43° 10 cos 43° 10 cos 43° Ley de los cosenos. Completa la investigación por tu cuenta y después compara tus resultados con los siguientes. Si no. c2 c2 c2 c c a2 2. Sustituye los valores conocidos. o alternativamente si conoces las longitudes de dos lados y la medida del ángulo opuesto a uno de esos lados. Si tienes los materiales y algunas personas que te ayuden.3 En esta lección ● ● La Ley de los cosenos usarás la Ley de los cosenos para hallar las medidas desconocidas de un triángulo.71 metros. Conoces las longitudes de dos lados y la medida del ángulo incluido. puedes usar el diagrama de la derecha. y debes hallar la longitud del tercer lado. haz la investigación. Evalúa. por lo tanto puedes usar la Ley de los cosenos para hallar la longitud del tercer lado. Si utilizas el procedimiento del Ejemplo A en un caso general donde dan las longitudes de dos lados. Multiplica. Resuelve para c. Analiza la solución para ver cómo hallar la longitud desconocida. (continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish ©2010 Key Curriculum Press CHAPTER 12 181 .25 1. Observa que esto se parece al Teorema de Pitágoras con un término extra. 76 20.01 b2 2.25 17.0 sin 29.0) cos C Ley de los cosenos.Lección 12. Evalúa. A 180° (29. Sustituye los valores conocidos.12 30. Resuelve para cos C. 182 CHAPTER 12 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish ©2010 Key Curriculum Press .4 cos 1 17.5° 16.5 sin 1 B. 29. usa el dato de que la suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es 180°.52 12. EJEMPLO Halla la medida de los ángulos. B 5. Resta 30. Sustituye los valores conocidos.3°) 134. Intenta hallar las medidas desconocidas por tu cuenta. que resume lo que has aprendido en esta lección y en la anterior. Evalúa. También puedes usar la Ley de los cosenos si conoces las longitudes de los tres lados.5 cm C 2.1 cm 3.4 Toma el inverso del coseno en ambos lados.3 • La Ley de los cosenos (continuación) Para hallar las medidas desconocidas en el Ejemplo B. y luego lee la solución.4 cos C 17. 16.02 2ab cos C 2(5.0 cm A Solución Empieza usando la Ley de los cosenos para hallar la medida de c2 3.5° 3.1)(2. 20.5° 3.01 de ambos lados. 2. la Ley de los cosenos se aplica dos veces.2° Lee el resto de la lección en tu libro.5 sin B B B sin B b sin B 2.76 20. Ley de los senos.5 3. C.76 cos C C C a2 5. Tanto la investigación como el Ejemplo B dan las longitudes de dos lados y la medida del ángulo incluido. Multiplica.0 2.0 sin 29.5° Ahora. El siguiente ejemplo te muestra cómo.5 Toma el inverso del seno en ambos lados.3° Para hallar la medida de A.4 cos C 20. Resuelve para sin B. usa la Ley de los senos para hallar la medida de sin C c sin 29. coseno y tangente para incluir ángulos de cualquier medida hallarás el seno. Después analiza la investigación en tu libro. Investigación: Ampliar las funciones trigonométricas Lee el Procedure Note (Nota del procedimiento) y estudia el ejemplo del Paso 1. ampliarás las definiciones para aplicarlas a ángulos de cualquier tamaño.707.03 unidades. el coseno y la tangente de los ángulos de rotación usarás los ángulos de referencia para hallar el seno. coseno y tangente a los ángulos agudos en los triángulos rectángulos. cos 210° 0.LECCIÓN CONDENSADA 12.5)2 ( 2)2 4. Las respuestas de muestra usan el punto (4. (continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish ©2010 Key Curriculum Press CHAPTER 12 183 . a. En esta lección. b. La longitud del _______________ segmento es aproximadamente ( 3. compara tus respuestas con los siguientes resultados.577.8). 0) como punto de partida para cada ángulo. Recuerda que los ángulos en los planos de coordenadas se miden comenzando desde el eje positivo x y se mueven en el sentido opuesto a las manecillas del reloj por los Cuadrantes I. 2. 2). Las coordenadas del punto rotado son aproximadamente ( 3. Tus respuestas para las coordenadas y la longitud de los segmentos variarán dependiendo del punto de partida que escogiste. II.1. 4 210 –4 –4 4 x y sin 210° 0. coseno y tangente deben ser iguales a los siguientes.5.96 unidades.8.707 y tan 135° 1.8)2 2. pero los resultados de seno. III y IV. La longitud del _____________ segmento es aproximadamente ( 2. Cuando termines. cos 135° 0.4 En esta lección ● ● ● Ampliar la trigonometría ampliarás las definiciones de seno. el coseno y la tangente de los ángulos relacionados II y I x III IV En la Lección 12.82 3. Asegúrate de que tu calculadora esté configurada en grados. aplicaste las definiciones dadas para seno. y Paso 1 4 135 –4 –4 4 x sin 135° 0. Las coordenadas del punto rotado son aproximadamente ( 2.866 y tan 210° 0.5. 4 • Ampliar la trigonometría (continuación) c.84 5.03 4 2 ____ 4 ___ 2.9 _____ 0.03 3. 4 270 –4 –4 4 x y sin 270° 1. e. Según estos resultados coordenada y puedes deducir esta hipótesis.174 y tan 100° 5.12 ( 2.839.96 0 0.87 Tangente 2.766 y tan 320° 0.64 0.05 3.8 _____ 2.6 _____ 4.Lección 12. Los resultados se resumen a continuación.96 3.1 3. 4 320 –4 –4 4 x y sin 320° 0.6)2 4.1.96 4.18 0.7.05 0.96 unidades.50 1 0.671. d.985. 4 x y –4 –100 4 sin 100° 0.77 0. cos 320° 0. longtitud del segmento coordenada x Ángulo 135° 210° 270° 320° 100° 2.96 4. cos 100° 0.9).05 unidades.71 0. 4). 3.5 2 _____ 1 0.98 Coseno 2.8 _____ 3. el seno es _______________ .5 _____ 0 __ 4 3.7)2 ( 3.71 0.6 _____ 3.1 ____ 4. La longitud del segmento es aproximadamente ________________ ( 0.8 3. La longitud del segmento es 02 ( 4)2 4 unidades. el coseno es longitud del segmento Paso 2 coordenada y coordenada x _______________ y la tangente es __________ .9 _____ Seno 0.7 0. La _____________ longitud del segmento es aproximadamente 3.6).8 ____ 3. Las __________ del coordenadas punto rotado son (0. Las coordenadas del punto rotado son aproximadamente ( 0. cos 270° 0 y tan 270° es indefinida.6 (continúa) 184 CHAPTER 12 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish ©2010 Key Curriculum Press .9)2 3.643. 2.57 4 ___ es indefinida 0 2.7 _____ 3. Las coordenadas del punto rotado son aproximadamente (3. 43°. EJEMPLO Halla el seno. La calculadora da que sin 1 ____ 18. lee “Refreshing Your Skills” (Repasar tus habilidades) del Capítulo 12 en tu libro. usando la calculadora. ___ y ___ . Sin embargo. Si necesitas repasar los triángulos rectángulos. 30° sobre el eje x. 2 2 3 y 4 150 30 –4 –4 4 x Solución Dado que la coordenada x es negativa y la coordenada y es positiva en el __ 1 1__ 3 ___.Lección 12. Este ángulo parece corresponder con el diagrama. hay otro ejemplo similar al Ejemplo A. 10 La longitud del segmento es ( 3)2 12 10 . cos 150° 2 2 3 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish ©2010 Key Curriculum Press CHAPTER 12 185 . 1 3 1 1 ___ ___ ___ sin A ____. 3 ___ cos 1 ____ 161. 1) –4 –4 4 x 1 y tan 1 ___ 18. cos A ____ y tan A ___.43° 3 10 10 10 __________ ___ Las definiciones están en la caja de definiciones en la página 707 de tu libro. Este ángulo está en el Cuadrante I. Rota un punto 150° desde el eje positivo x en el sentido opuesto a las manecillas del reloj. El ángulo de referencia__es 30°. Cuadrante II. y tan 150° = ___ .57°. respectivamente. La imagen del punto está en el Cuadrante II. El seno.4 • Ampliar la trigonometría (continuación) Paso 3 y 4 (–3. el coseno y la tangente de un ángulo de referencia de 1 1__ 3 30° son _. sin 150° _. el coseno y la tangente de 150° sin la calculadora. 3 por lo tanto no se corresponde con el diagrama. Lee estas definiciones atentamente. A continuación. Usando el método del Paso 2. Paso 4 Lee el párrafo anterior al Ejemplo A y después analiza los Ejemplos A y B en tu libro. _____. Pasos 1 a 3 6 4 2 a 0 2 y b c 4 6 x La forma rectangular de c es 6.5 En esta lección ● ● ● ● Introducción a los vectores entenderás vectores como distancias directas representarás la suma. Los vectores se pueden representar de muchos modos. El segmento de recta tiene una longitud. La cola es el otro extremo del vector. Estas cantidades dirigidas se pueden representar con vectores. e d 3 y c c b 4 a 6 x –5 –3 x La forma rectangular de c es 6. Observa que a› y a son dos modos de designar un vector. pueden tener direcciones asociadas con ellas. _ son 2 2 vectores equivalentes. sin importar __ 3 3 3 donde están localizados en un plano de coordenadas. y un 2 2 2 3 cambio vertical de _. 4 . 4 . y c es el vector resultante del cálculo. Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish ©2010 Key Curriculum Press La forma rectangular de c es 0. resta y multiplicación escalar de vectores usarás vectores para resolver problemas convertirás vectores de una forma a otra Algunas cantidades. _ representa un cambio horizontal de _____. La investigación explora algunas de las propiedades de la resta y la suma de __ vectores. la velocidad y la aceleración. y Paso 4 i. llamada magnitud. los cuales se pueden considerar como segmentos de rectas dirigidas.LECCIÓN CONDENSADA 12. llamado cabeza o punta. (continúa) CHAPTER 12 187 . En la ecuación a b c. Investigación: Suma y resta de vectores Analiza toda la investigación en tu libro y después compara tus resultados con los siguientes. Por ejemplo. b y c representan vectores. La forma polar de un vector da la magnitud y el ángulo que forma el vector con el eje positivo x. La forma rectangular de un vector da el cambio horizontal y vertical desde la cola __ hasta la __ 3 3 3 3 3 cabeza. Puedes representar los vectores como un segmento con punta de flecha en uno de los extremos. 3 150° y _____. 3 150° representa un vector de 3 unidades de largo dirigido 150° en el sentido opuesto a las manecillas del reloj desde el eje positivo x. Por ejemplo. 2 Los vectores equivalentes tienen la misma magnitud y dirección. como la distancia. 6 4 2 0 2 ii. las letras en engrita a. y una dirección. 1 . a2 b1. Analiza en Ejemplo C atentamente. a1. b es Si a k · a1. b2 Paso 6 Si a a1 i. 6 4 y 2 a 0 2 e c 4 6 x La forma rectangular de c es 3. entonces la diferencia a b1. Pasos 5 1. La forma rectangular de c es 5. –e d–e –5 –3 3 d y iv. a2 . entonces el producto k · a es k · a1. b2 . los vectores se deben convertir de forma polar a forma rectangular para sumarlos. a2 y b b1. Lee el Ejemplo B y asegúrate de que entiendes cómo convertir de una forma rectangular a una forma polar. b2 . Lee el texto posterior al Ejemplo B. es a12 Los vectores son útiles para representar el movimiento. a2 Paso 8 a1.Lección 12. a2 b2 . b es a1. El Ejemplo B explica cómo convertir de forma rectangular a forma polar. ⏐a⏐. 3 b –2 –3 c f 5 x y iv. Asegúrate de que entiendes cómo convertir un ángulo relativo a un ángulo que dé la dirección de un vector en forma polar. 188 CHAPTER 12 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish ©2010 Key Curriculum Press . y 3 –b a–b –3 –3 a 3 x b1. En el Ejemplo C. a2 a1. indicada ⏐ ________ a22 . a2 y k es un escalar. En ocasiones. b2 a1 b1. 2 . a2 y b b1. Lee el Ejemplo A para explorar una aplicación de la suma de vectores. la forma polar de un vector es más apropiada. k · a2 . 2 –2 –3 e –f x Paso 7 Si a a1. Si a a1. 3 y b –2 b–a –3 y 3 e–f x –a 5 x iii. entonces la magnitud de a. a2 b2 . entonces la suma a ii.5 • Introducción a los vectores (continuación) iii. _______ ___ Paso 9 Las magnitudes de a y b son ⏐a⏐ 22 32 13 y _______ ___ 2 2 b⏐ 4 1 17 . Muchos pares de ecuaciones paramétricas pueden escribirse con una sola ecuación usando sólo x e y. llamada parámetro. entonces tendrás dos modos diferentes de estudiar una situación. Puedes usar ecuaciones paramétricas para expresar las coordenadas x e y como funciones de tiempo. En ocasiones. verás que James tiene 10 pies de más antes de llegar al poste. Entonces x 3t e y t. lee el siguiente ejemplo. Rema a una velocidad de 1 pie/s directamente hacia la costa opuesta. sea y la distancia en pies que James ha remado para atravesar el río. Después. ¿Llegará James al otro lado del río antes de pasar el poste? Sea x la distancia en pies a la que se mueve el bote debido a la corriente. Solución Las ecuaciones paramétricas pueden ayudarte a modelar situaciones complicadas que impliquen movimiento. Si vuelves a escribir un modelo paramétrico como una sola ecuación. Consulta Calculator Note 12C para aprender cómo ingresar y representar gráficamente ecuaciones paramétricas. Representa gráficamente este par de ecuaciones en tu calculadora. Si recorres (trace) un punto en la gráfica. quieres expresar x e y como funciones separadas de una tercera variable. El poste al cual James quiere atar el bote está río abajo a 100 pies del punto de partida. 30). t. y sea t el tiempo en segundos.LECCIÓN CONDENSADA 12. has usado ecuaciones para relacionar x e y entre sí. Usa la ventana adecuada para el contexto.6 En esta lección ● ● ● Ecuaciones paramétricas usarás un parámetro para escribir ecuaciones paramétricas que definen por separado a x e y representarás gráficamente ecuaciones paramétricas usarás ecuaciones paramétricas para modelar problemas reales Hasta ahora. Puedes dibujar el poste en el punto (100. Estas ecuaciones paramétricas te ofrecen más información y mejor control sobre los puntos que trazas. Lee atentamente el ejemplo A y su solución. (continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish ©2010 Key Curriculum Press CHAPTER 12 189 . El Ejemplo A en tu libro muestra cómo usar ecuaciones paramétricas para modelar un problema de movimiento. EJEMPLO A James está remando 30 pies en un bote por un río. La corriente se dirige perpendicularmente hacia su dirección de remo a una velocidad de 3 pies/s. La recta mediana-mediana ˆ para los datos (t. Sustituye t por esta expresión en la ecuación 0.8 ˆ función y 0.18 Al eliminar el parámetro se obtiene la misma gráfica.43 1.02 2.00 0. Paso 5 Paso 6 x 1.6 1.95 2. y no puedes limitar los valores de t para que muestren sólo el segmento de recta realmente recorrido.8 e y 0.38 2.8 para t. se obtiene Paso 7 La gráfica de la derecha muestra los datos (x.6 3.18t 1.1 1. 0.10t 1.6 5. y) y la x 1. A medida que una persona camina a lo largo del segmento.50 1. Las funciones paramétricas parecen ajustarse a los datos.6 1.6 4.1 0.50 Ingresa los datos de muestra en tu calculadora y completa el resto de la investigación por tu cuenta.0 x 1.1 1.12 2.1 4.21 2.8 ˆ para y: y 0. pero se pierde la información sobre el tiempo.47 2.10 1.18t 1.71 1. un sensor de movimiento (cargado por la persona X) registra cómo cambia la coordenada x de la trayectoria de la persona. y otro sensor (cargado por la persona Y) registra cómo cambia la coordenada y de la trayectoria de la persona.6 5. Asegúrate de que entiendes lo que sucede: Se marca un segmento en una cuadrícula de coordenadas.6 • Ecuaciones paramétricas (continuación) Investigación: Paseo paramétrico Lee los Pasos 1 y 2. junto con las gráficas de las funciones paramétricas x 0.6 2. y el Procedure Note de la investigación en tu libro.19 1. Pasos 1 y 2 Datos registrados por la persona X t 0.6 3. A la derecha está la gráfica de los valores (x.98.6 2. Usa tu calculadora para hallar cada recta mediana-mediana.98 del Paso 6.1 _____ 1. Paso 3 Paso 4 ˆ La recta mediana-mediana para los datos (t. 0.39 2. x) es x 0.78 1.Lección 12.25 2.1 _____ 1.6 4.11 2.1 2.8. Después compara tus resultados con los siguientes.18 x 1. y) es y 0. Paso 8 (continúa) 190 CHAPTER 12 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish ©2010 Key Curriculum Press .1 2.1 3.10t 1.18 ˆ Al resolver x 0. y).1 4.18t 1.1 3.36 1.32 2.62 1.8 t _____ .98.0 y 1.98.26 1.1 0.95 Datos registrados por la persona Y t 0. sustituye este valor de t en la ecuación de x: x 75(3.6 • Ecuaciones paramétricas (continuación) Lee el texto que sigue a la investigación y el Ejemplo B.5. Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish ©2010 Key Curriculum Press CHAPTER 12 191 . Para saber cuándo el balón toca el suelo. con una velocidad inicial de 75 pies/s. El balón se desplaza de manera horizontal aproximadamente 167. 16t 2 75t sin 55° 3.6. El Ejemplo B explica cómo modelar el movimiento de un proyectil de forma paramétrica.896 4( 16)(3. Si su pie hace contacto con el balón a una altura de 3. ó 56 yardas. EJEMPLO B Peter patea un balón a un ángulo de 55°. El ejemplo que sigue también se relaciona con el movimiento de proyectiles. El movimiento vertical se ve afectado por la fuerza de gravedad y la altura inicial. El balón toca el suelo aproximadamente 3. Su ecuación es y 16t 2 75t sin 55° 3.6 pies.5 t t 0 75 sin 55° 0.896) cos 55° 167. ¿qué distancia horizontal recorre el balón antes de pegar en el suelo? Traza una figura y halla los componentes x y y de la velocidad inicial.056 ó t (75 sin 55°)2 2( 16) 3.5 pies por encima del nivel del suelo. halla t cuando y es 0. Para hallar la distancia que recorrió.896 segundos después de ser pateado.5) 55 x Únicamente la respuesta positiva tiene sentido en esta situación. y x cos 55° 75 sin 55° 75 x 75 cos 55° y 75 sin 55° 75 pies/s y Solución El movimiento horizontal se ve afectado solamente por la velocidad inicial y el ángulo inicial.Lección 12. de modo que la distancia horizontal se modela por x 75t cos 55°.