Prof.Jessica Mora B Matemática TRIGONOMETRÍA Ángulos en posición normal o en posición estándar Debe cumplirse que: ♦ sté situado en el plano cartesiano con su vértice en el ori!en. ♦ l lado inicial coincida con el lado positi"o del e#e x. ♦ l lado final !ire $asta alcan%ar la medida asi!nada al án!ulo. y P θ x No.1 Undécimo año ♦ Un án!ulo tri!onométrico es NEGATIVO si se mide en el mismo sentido de las manecillas del relo#. y x θ Ángulos cuadrantales ♦ Un án!ulo es cuadrantal cuando el lado final coincide con al!uno de los semie#es. .*+ l plano cartesiano di"ide al plano en CUATRO CUADRANTES && 'uadrante y & 'uadrante y y x &&& 'uadrante &( 'uadrante .*+ 1)*+ *+ x /0*+ 1)*+ *+ x /0*+ Ángulos positivos y negativos ♦ Un án!ulo tri!onométrico es POSITIVO si se mide en sentido contrario al de las manecillas del relo#. y 1)*+ ,-*+ y .*+ y ,-*+ .*+ θ x ,-*+ *+ x /0*+ 1)*+ *+ x /0*+ ,-*+ *+ : m .*+ : # . 6 cuánto equi"ale -. Grados / π /π = Grados = 1)*° 1)* ° π π Grados = 78* ° :d.. + en radianes. < 7-*+ : $ .*+ : b . < :m. ♦ >os án!ulos coterminales se pueden obtener ?UM6ND@ al án!ulo dado /0*+n "eces o bien 9 ?A6ND@ al án!ulo dado /0*+ n "eces. ♦ ntonces para cambiar de 3rados a radianes 4 "ice"ersa se utili%a la si!uiente f5rmula: Grados Radianes = 1)* ° π Por e#emplo: 1.< . 9ealice la con"ersi5n a 3rados de los si!uientes án!ulos :a. /0*+ : l .. ! . ° Radianes π = Radianes = 1)* ° 1)* ° π . α = 1 radián β = . ° -. 7π :b..*+ : d . 18*+ : ! .+ :e. Jessica Mora B Matemática No. 1.: : f . .π . /11+ :=. . -. < 1/.+ 2 pues se le sum5 al án!ulo dado /0*+ dos "eces2 que equi"ale a decir que dio dos "ueltas más en contra de las manecillas del relo#. :ñ. < : 7π # . : 7π / = )π 7 /π 8 . :i 1. .1*+ : i . π = Radianes 7 .π / .< 11π .Prof. Un án!ulo coterminal a 7. 6 cuánto equi"ale / π en !rados. 9ealice la con"ersi5n a 9adianes de los si!uientes án!ulos onversión de ángulos de grados a Radianes y viceversa ♦ l radián es una medida an!ular. . π : π 8 π . < . radianes γ = / radianes : a . 1. -8*+ : f .)*+ : n . ♦ Un án!ulo tiene una medida de 1 radián si al colocar su "értice en el centro de un c1rculo2 la lon!itud del arco interceptado en la circunferencia es i!ual al radio del c1rculo. :l. Undécimo año Práctica 1. < 7+ )+ : ñ .. -π 0 Ángulos coterminales ♦ >os án!ulos coterminales son aquellos án!ulos que tienen los mismos lados iniciales 4 terminales.1 π / $ . < :c. 87+ : c . Por e#emplo: a. . < < :e.+ podr1a ser --. :n. . Un án!ulo coterminal a 7. sen θ es positi"oH b. : d . 6s1 < 1*.+ B 7. < 7 -π :4.*+ : o .*+ : s .1+ : F .< ./ Undécimo año !ignos de las "unciones trigonom#tricas de cual$uier ángulo 9ecordemos que el plano cartesiano está compuesto por cuatro cuadrantes y ? N 4 '?' Aodas las funciones 1.7+ : l . / π :u. tan θ son ambos ne!ati"osH .-1+ :q. c. sec θ 4 ncuentre un án!ulo coterminal positi"o 4 uno ne!ati"o para los án!ulos del e#ercicio anterior. < . < /0*+ : n . tan θ es ne!ati"oH d.. 1+ : c . 11*+ : t . . 8)*+ : ! . : ?u!erencia: ubique el án!ulo dibu#ándolo primero. < . -.+ < /0*+ < /0*+ < /0*+ P9D'A&'6 No.π :E..+ C /0*+ C /0*+ o bien2 b. :a. sen θ 4 cos θ son ambos ne!ati"osH b. < /7+ : p . 1)8*+ : ñ . &ndique a qué cuadrante pertenece cada uno de los si!uientes án!ulos.Prof. < 8 . <. cos θ es ne!ati"oH c. <1)*+ : = .)+ 2 pues se le rest5 al án!ulo dado /0*+ tres "eces2 que equi"ale a decir que dio tres "ueltas más a fa"or de las manecillas del relo#.-*+ 10+ : b. sen θ 4 tan θ son ambos positi"osH sec θ ne!ati"oH : ab .17+ :" .**+ : m .+ podr1a ser < 1*. < . sec θ es positi"oH . < 17*+ : $ . G n que cuadrante puede terminar el án!ulo θ si: a. 1*π : aa . Jessica Mora B Matemática 6s1 --. -. son positi"as && 'uadrante & 'uadrante son positi"as x &&& &( 'uadrante 'uadrante A6N 4 '@A son positi"as '@? 4 ? ' : f . 17 :%. 0π -π 0 π / Práctica 1. 1)*+ : i . < 1/*+ :# .8*+ : r . G n que cuadrante termina el án!ulo θ si: a. :e. .)+ B 7. sen θ es positi"o 4 d. < 8π son positi"as . ?i es un án!ulo cuadrantal ind1quelo. Determine el "alor del án!ulo de referencia :α 1. .)+ ?i θ es a!udo entonces θ = α entonces α 1 = 1)* + − θ 1 ?i θ es obtuso 'ot 8*+ y θ θ1 x y c.7+ 'sc .)**+ θ = − -.8 Undécimo año Angulo de re%erencia ?i θ es un án!ulo en posici5n estándar 4 el lado final no se encuentra sobre un semi<e#e coordenado2 entonces el DN3U>@ D 9 I 9 N'&6 para θ es el DN3U>@ 63UD@ α1 que forma el lado final de θ en el e#e x2 positi"o o ne!ati"o.1+ θ = /π θ = /17+ θ = − 87+ θ = /**+ θ = -π θ= / π 8 θ = − . 'os θ B − 1 / ?i θ está en el &&& 'uadrante entonces α 1 = θ − 1)* + 'ot θ B − / . ?en θ B − / . Determine el án!ulo de referencia para θ = 17*+ θ = . Aan θ B − / θ θ1 ?i θ está en el &( 'uadrante entonces α1 = /0* + − θ x ?ec θ B < 'sc θ B . 'alcule: 'os 17*+ ?en /17+ 'os -))+ Aan <.. θ = .8*+ θ = 1//+ θ = −.8*+ ?en − 87+ ?ec .Prof.-)+ θ= θ= / π 7 7 π . Jessica Mora B Matemática No.. .7+ θ = 07+ θ = 870+ θ= π / π / y y θ=α1 x α1 θ x θ= − 8 π 0 θ=− b. en cada uno de los si!uientes casos. 4 el "alor del án!ulo ori!inal :θ. #. a. P x :1/. x = 8 tan . sen θ −1 = * :/. α −7 sen α +1 = * :17. β −1 = * :8. :). 8 cos α < cos α B * / x β y x ircun%erencia Trigonom#trica ♦ s una circunferencia con centro en el ori!en 4 con radio i!ual a una unidad :1. :1). cos . α + / sen α = * . . cos .. sen x + cos x = J *2 . tan E + sec E = . . cos x =1 :.7 Undécimo año Aan θ B 1 'os θ B − / . cos α C / cos α B * . sen K cos K = * :11. x :7.. :<12*. sen K − .. .Prof. cos E < / sen E B * . . <. 1 . :*2<1. :-. :10. y 1 P x Ecuaciones trigonom#tricas 9esuel"a las si!uientes ecuaciones en el inter"alo :1. :12*. cos .. x .. / / No. ♦ 8 l punto P ubicado en la fi!ura2 tiene dos coordenadas MxN 4 MyN2 o sea P:x2 y. . sen x −1 = . . 8sen L tanL −tanL = * ♦ >a circunferencia tri!onométrica corta a los e#es coordenados en determinados puntos: y :*21. / sec . y : Px 2 y . :. . . A =1 −cos A :18. . . :1. x :0. sen . sen . B P :cos β2 sen β. cos . . / sen x = . sen E tan E =sen E . cos δ −senδ =−1 :1-.π J :1*. Jessica Mora B Matemática 'sc θ B − . y 1 α . − " : . 0 )π : . . −1 : . && . − " 1 : . O1 x : . − n la fi!ura2 β es la medida de un án!ulo en posici5n normal2 π el cual determina un án!ulo de referencia de 2 entonces el / "alor de tan β corresponde a y . && .< / β 1 . es y : : : : ?i tan β es ne!ati"o2 entonces el án!ulo β podr1a encontrarse en los cuadrantes . 0 7π : . : . cot α B b O1 1 x : . &&& . cos α B b y 1 b : . 0 α O1 1 x − / . &&& 4 4 4 4 O1 & &( & &( y 1 π 0 -π : . . csc α B − a :Oa2b. 1 : . Jessica Mora B Matemática P9D'A&'6 No. −a α : .0 Undécimo año " u u : . sen α B < a O1 : : : : 1 De acuerdo con los datos de la fi!ura2 el "alor de cos α es 1 : . O1 1 x / . O1 De acuerdo con los datos de la fi!ura2 la funci5n cot α α corresponde a O1 1 x O1 :Ou2". − u 1 : .Prof. .< / 1 1 . / De acuerdo con los datos de la fi!ura2 el "alor de α 1 O1 Marque con una Mx N la opci5n correcta en cada uno de los casos que a continuaci5n se le presentan De acuerdo con los datos de la fi!ura2 se cumple con certe%a que : . 2− 1 . − . Relaciones pitagóricas en la Trigonom#trica ircun%erencia . P = sec . (1 O cos β )(1 + sec β) cot β= !impli%icación de E&presiones Trigonom#tricas #ercicios ?implifique al máEimo las si!uientes eEpresiones tri!onométricas :1. β B 1 :. :1 < cos E. sec . α • cot . δ = :). E :. δ < 1B :1-. • Aan . sec ./. B :1. E O sen . sec θ C sec θ sen . :1 C cos E.. α C tan . B :-. β + 1 B ?ec .. csc E • tan E B :8. E :1/. θ sec . + (sen E − cos ).. θ = :. tan E C 1 + sen E = β cos E :18. cos E cscE = cot . sen K cos K + B csc K sec K sec K B tan K :. E tan . (sen E + cos E ). = :1. :1 < sen E. α B E x ) .. E = csc . β B 'sc . α C cos .*. ( sen E + cos E :10. L B :1*. ♦ De la relaci5n principal obtenemos las si!uientes relaciones pita!5ricas.. cos β • csc β = :/. sen β • sec β • cot β B ( ) . sen .Prof. cos K sec K B sen K . sen . δ C csc . E = tan . β :. β + 'os . α = :7. y x :17. β • 1 C 'ot . 1 + tan . :. P O 1 :0. α 1 + cot .1.Undécimo año :11.. cos . :sec E C tan E. sec E • cot E B ?en . Jessica Mora B Matemática ♦ 9elaci5n pita!5rica principal y 1 No. = :1). sec .