Trigonometría-Pamer

Capítulo Pág.1. Sistemas de medición angular ......................................................................................... 133 2. R. T. de un ángulo agudo ................................................................................................ 141 3. Triángulos rectángulos de ángulos notables y propiedades de las razones trigonométricas de los ángulos agudos .................................................................................................... 147 4. Repaso ......................................................................................................................... 157 5. Cálculo de lados - aplicación....................................................................................... ..... 161 6. Ángulos verticales .......................................................................................................... 169 7. R.T. de ángulos de cualquier magnitud I ........................................................................... 175 8. R. T. de un ángulo de cualquier magnitud II ...................................................................... 183 PAMER - CIENCIAS TRIGONOMETRIA Í NDI CE PAMER - CIENCIAS TRIGONOMETRIA Si st emas de medi c i ón angul ar Capít ul o I • Ángulo trigonométrico Se genera por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice u origen desde una posición inicial hasta llegar a una posición final (todo en un mismo plano). figura(1) figura(2) l a d o f i n a l lado inicial lado inicial vértice vértice α β 0 0' l a d o f i n a l Los ángulos "α" y "β" son ángulos trigonométricos con vértices en 0 y 0' respectivamente. El ángulo trigonométrico puede ser positivo, negativo o nulo En efecto, si la rotación se realizara en sentido antihorario se generará (por convención) un ángulo positivo, y si la rotación se realizara en sentido horario el ángulo resulta ser negativo. De la figura (1), "α" es un ángulo positivo (rotación antihoraria) y de la figura (2) "β" será un ángulo negativo (rotación horaria). Si no hubiera rotación alguna, estaremos hablando de un ángulo nulo. • Sistemas de medidas angulares Sistema sexagesimal (inglés) * Unidad: 1° (grado sexagesimal) tal que: 360 vuelta 1 1 ∠ · ° → ∴ ∠ 1 vuelta = 360° * Sub - unidades: 1' (minuto sexagesimal) 1" (segundo sexagesimal) tal que: 1° = 60' y 1' = 60" En consecuencia: 1° = 3600" Sistema centesimal (francés) * Unidad: 1 g (grado centesimal) tal que: 400 vuelta 1 1 g ∠ · → ∴ ∠ 1 vuelta = 400 g * Sub - unidades: 1 m (minuto centesimal) 1 s (segundo centesimal) tal que: 1 g = 100 m y 1 m = 100 s En consecuencia: 1 g = 10000 s Sistema radial o circular (o sistema internacional) * Unidad: 1 rad (radián) Donde el radián es la medida de un ángulo central que subtiende un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia que contiene dicho arco. R L A B R R 0 θ R L Si : : : : número de radianes del ángulo central radio de la circunferencia longitud del arco que subtiende " L = R = 1 rad θ → θ " Además: 1 vuelta = 2 rad π ∠ θ Observaciones: Comparando los tres sistemas de medición angular se concluye: 1. 1 rad > 1° > 1 g 2. 360° = 400 g = 2πrad 180° = 200 g =πrad 3. Como: 180° = 200 g 9° = 10 g Conversión entre sistemas: Es el procedimiento mediante el cual la medida de un ángulo se expresa en otras unidades diferentes a la que posee. Para ello, procederemos como en los ejemplos siguientes: a. 30° a radianes rad 6 180 rad . 30 π · α ⇒ ° π ° · α b. 72° a centesimales: g g 80 9 10 . 72 · β ⇒ ° ° · β c. rad 20 π a sexagesimales rad 180 . rad 20 π ° π · θ = 9° d. 60 g a radianes rad 10 3 200 rad . 60 g g π · φ ⇒ π · φ 1. Interpretar "x" en función de " " y "β". A B C β α x 0 Resolución: En primer lugar se debe tratar que los ángulos presentes aparezcan en el mismo sentido, de preferencia sentido antihorario. Por lo tanto el gráfico queda así: β α -x - Por lo tanto: - x = - + β α x = - β α A B C 0 2. Halle "x", en función de "α", "β" y "θ". β α x θ A B C D 0 Resolución: Según las recomendaciones anteriores, trataremos de colocar los ángulos en sentido antihorario. β α x Por lo tanto: - = x - + θ α β x = - - α β θ θ A B C D 0 - - 3. Indicar la relación que se cumple entre "α" y "β". B C A 0 β α Resolución: Ordenando el gráfico: Por lo tanto: α β - = 90° B C A 0 β α - 4. Del gráfico mostrado, indicar la relación que existe entre " ", " " y " ". β D C B A 0 α θ Pr obl emas r esuel t os Resolución: Replanteando el gráfico a nuestra conveniencia. Por lo tanto: β D C B A 0 α θ - - β α θ - - = 180° 5. En el gráfico mostrado, ¿cuál es el valor de "x"? B A C 0 x θ Resolución: Un nuevo gráfico: Por lo tanto: - + x - 90° = 360° θ B A C 0 x θ x = 450° +θ x - 90° - 6. Convertir 36° a grados centesimales. Resolución: Utilizamos: 9° = 10 g , entonces: 36° x 10 9° g = 40 g 4 1 7. Convertir 15° a (rad) Resolución: Utilizamos: 180° =πrad, entonces: 15° x π rad 180° = π 12 rad 12 8. Convertir 80 g a (rad) Resolución: Utilizamos: 200 g = rad, entonces: 80 x g π r ad 200 g = 2 5 π rad 9. Del gráfico mostrado, hallar "x". (5x - 9)° 160 g A B 0 Resolución: (5x - 9)° = -160 x g 9° 10 g 5x - 9 = -144 5x = -135 → x = -27 10.Del triángulo mostrado, calcular la medida del ángulo "B" en radianes. A B C 9x° π x 30 rad 10x 3 g Resolución: ° · π ° π · π · ° · ° · ° · · x 6 rad 180 . rad 30 x rad 30 x C x 9 B x 3 10 9 . 3 x 10 3 x 10 A g g g → A + B + C = 180° → 3x° + 9x° + 6x° = 180° x = 10 Como: B = 9x° → B = 90° . ° π 180 rad rad 2 B π · ∴ Medidas angulares (grados y radianes) Consideremos las unidades de medida de los ángulos. Veamos su origen en primer lugar. ¿Por qué se emplea una unidad de ángulo que subdivide una vuelta completa en 360 partes? Existen muchas explicaciones, y hay una que parece ser especialmente aceptable. Los babilonios empleaban en muchos casos la subdivisión duodecimal o sexagesimal (es decir, en 12 o en 60 partes iguales). Considerando la duración de la rotación diurna (aparente) del Sol subdividida en 12 partes y haciendo corresponder a cada una, una desviación angular de 15 unidades (la cuarta parte de 60) se obtiene en total un valor de 180 unidades para la mitad de giro completo del astro luminoso alrededor de la Tierra. Es decir, que 360 unidades corresponden a una rotación completa. La unidad angular común, el grado no es necesariamente la mejor para medir ángulos. No es conveniente emplear unidades de medida no relacionadas para la longitud o distancia, y la dimensión angular. Cuando se establece un sistema de coordenadas, los ejes se marcan en "unidades de longitud". Dichas unidades se determinan según el caso, pero todos los ángulos mencionados anteriormente se expresaron en "grados". Si se hubieran empleado unidades relacionadas para las medidas lineales y angulares, el análisis hubiese resultado independiente de la unidad utilizada. Esto es, de hecho, lo que se hace en matemáticas superiores, y en general, en los trabajos científicos, donde se utiliza exclusivamente la unidad llamada radián. El llamado transportador es el instrumento usual para medir ángulos. Es simplemente un arco (o el círculo completo) de una circunferencia que ha sido dividida en 360 partes iguales llamadas grados. Un transportador suele tener diferentes tamaños, desde los pequeños para uso escolar; hasta el modelo grande (generalmente de madera) para empleo en el pizarrón y que se utiliza en los salones de clase. Si se dispone de un transportador de tamaño cómodo podría entonces calcularse su circunferencia, y la magnitud lineal de las unidades de arco que se marcan en dicho instrumento solamente dependerá del radio elegido. Para definir el radián se emplea una circunferencia de radio igual a 1 y que se denomina circunferencia unidad (o unitaria). El radián es el ángulo que intercepta un arco igual al radio en longitud. A la circunferencia total corresponden e n t o n c e s 2 radianes, de modo que 2 representa una vuelta completa o revolución (ángulo de 360°). La mitad de una revolución (ángulo de 180°) representa radianes, y en forma semejante, cualquier ángulo se puede expresar de esta manera. En el caso de un ángulo cualquiera, el arco interceptado es proporcional al perímetro de la circunferencia, y la medida de dicho ángulo será proporcional también a la amplitud de una revolución. De modo que: 360 grados en " " ángulo 2 radianes en " " ángulo θ · π θ Abreviando; 360 ) ( 2 ) rad ( ° · π o bien: 180 ) ( ) rad ( ° · π π ( r a d ) 180° ( ° ) Cualquier número real puede ser la medida en radianes de un ángulo, y en este caso se expresa como una cantidad en tales unidades angulares. Por ejemplo, 180° se expresa como π radianes, y π/2 radianes equivale a 90°. Si no se especifica ninguna unidad, se supone que se trata de radianes. Bloque I 1. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto respecto a los ángulos trigonométricos mostrados. A B C β α θ 0 a) α +β +θ = 360° b) α - β - θ = 360° c) β - α - θ = 360° d) β +α - θ = 360° e) θ - α - β = 360° 2. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto respecto a los ángulos trigonométricos mostrados. α B A C D β a) α - β = 90° b) β +α = 90° c) β - α = 270° d) α - β = 270° e) α +β = 270° 3. En el gráfico mostrado, hallar "x". x α a) 90° - α b) 90° +α c) 180° - α d) 180° +α e) α - 90° 4. Del gráfico mostrado, hallar "x". 120 g (5x + 18)° a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 5. Calcular: rad 15 9 30 A g π ° + · a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 6. En un triángulo, dos de sus ángulos interiores miden 70 g y 80°. ¿Cuál es la medida sexagesimal del tercero? a) 35° b) 36° c) 37° d) 38° e) 39° 7. Hallar: ' 33 1 ' 6 3 M ° ° · a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 8. Siendo "x", "y" "z" números enteros, que cumplen la igualdad: rad 17 π = x° y' z"; obtener: 3 z y x Q − + · a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 9. Si: 21 π rad = a° " c 1 ' b 3 Calcular: c a b R − · a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 10.Si un ángulo se expresa como ° ab y también como ; 0 ) 1 a ( g + calcular: a + b a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 8 Bloque II 1. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto respecto a los ángulos trigonométricos mostrados. 120° α θ a) θ - α = 360° b) θ - α = 240° c) θ +α = 360° d) θ +α = 240° e) - θ = 240° Pr obl emas par a l a c l ase 2. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto respecto a los ángulos trigonométricos mostrados. α β a) β - α = 270° b) α - β = 270° c) β +α = 270° d) β - α = 180° e) α - β = 90° 3. En el gráfico mostrado, hallar "x". C B A α x β a) 270° - α +β b) α +β - 270° c) β - α - 270° d) α - β - 270° e) 270° +α - β 4. En la figura, hallar "x" π 7x + 1 x° rad a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 5. Calcular: rad 2 54 40 K g π ° + · a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 6. En un triángulo, dos de sus ángulos interiores miden 80 g y 70°. ¿Cuál es la medida sexagesimal del tercero? a) 35° b) 36° c) 37° d) 38° e) 39° 7. Hallar: ' 19 1 ' 16 5 M ° ° · a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 8. S i e n d o " x " , " y " "z" números enteros los cuales cumplen la igualdad: rad 7 π = x°y'z" ; obtener: 7 z y Q + + · a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 9. Si: " c 4 ' 0 b a 1 rad 13 ° · π Calcular: b c a R − · a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 10.Un ángulo se expresa como ° ab y también como g 0 4 b · , _ ¸ ¸ . Calcular: a + b a) 7 b) 9 c) 11 d) 6 e) 8 Bloque III 1. Si: 22,22° = T°E'A". Calcule: T + E + A a) 32 b) 33 c) 48 d) 47 e) 40 2. Un mismo ángulo es medido por dos personas: Marcos encontró o 2 1 x 7 · · , _ ¸ ¸ − y Luis encontró . rad 360 1 x 2 π · · , _ ¸ ¸ + Halle dicho ángulo en minutos centesimales. a) 70 b) 80 c) 90 d) 100 e) 10 3. Se ha creado un nuevo sistema tal que 50 grados "y" equivalen a un ángulo recto. ¿A cuántos minutos y segundos en el sistema sexagesimal equivalen 28,125 grados "y"? a) 50°37'30" b) 50°39'15" c) 50°40'17" d) 51°37'45" e) 50°11'14" 4. Un ángulo mide 45 k 2 π radianes. Calcule el ángulo en grados sexagesimales, sabiendo que el suplemento de dicho ángulo es 4k grados centesimales. a) 160° b) 60° c) 70° d) 144° e) 172° 5. Siendo m° y n g ángulos suplementarios quienes se encuentran en la relación de dos a tres respectivamente. Calcule el valor de: 7 m 3 n 4 E − + · a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 6. Siendo: α = (4a)° (2a)' ; = (6a + 34) g Además: α +β = 3πrad. Hallar "β" en radianes. a) 1,79πrad b) 1,80π c) 1,81π d) 1,82π e) 1,83π 7. Hallar el menor valor positivo de "a", si verifica: 0 n y m ; ' n 9 n m ' m 10 n m a g g g > ¹ ¹ ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ' ¹ · · , _ ¸ ¸ ° + + · · , _ ¸ ¸ + ° · ° a) 21°48' b) 22°48' c) 20°48' d) 23°48' e) 24°48' 8. Hallar "x", a partir de la siguiente condición: ° · ] ¸ ° · ∑ ) ' n ' n n ( x 27 1 n g a) 1800° b) 1810° c) 1820° d) 1830° e) 1840° 9. Siendo: x = 1°2' + 2°3' + 3°4' + 4°5' + ... Calcule el mayor valor de "x", si es menor que: rad 3 2π a) 106°59' b) 107°59' c) 108°59' d) 109°59' e) 110°59' 10. Hallar la medida de tres ángulos en radianes, si la suma de los números de grados sexagesimales de los dos primeros es 36, la suma de los dos números de radianes del segundo y tercero es 40 7π y la suma del número de grados centesimales del primero y tercero es 25. (indicar el mayor) a) rad 15 π b) 15 2π c) 30 4π d) 40 5π e) 40 π La pervivencia del sistema sexagesimal Reconozco mi vieja perplejidad ante el hecho de que el tiempo y los ángulos se midan por un arcaico sistema sexagesimal, y máxime cuando es consubstancial a materias que van desde el electromagnetismo a la mecánica cuántica. Precisamente por conocer que este sistema proviene de la cuna de nuestra civilización, Mesopotamia, no entendía cómo no lo había desplazado el sistema decimal, irradiado en el mundo por los revolucionarios franceses tras el triunfo de la Ilustración. Puesto que ahora creo poseer algunas respuestas, me parece procedente comunicarlas. La primera referencia literaria al día, noche, mes y año, provienen del poema Gilgamesh, escrito en caracteres cuneiformes y que narra las míticas aventuras de este príncipe de la ciudad sumeria de Uruk, que vivió sobre el año 2750 a. de C. La escritura la habían inventado los sumerios sobre el 3300 a. de C. Posteriormente, en la Biblia hay además referencias a la semana y a la hora, y conocemos que los babilonios ya dividían el arco en grados y minutos. Hay que pensar que la medición de los ángulos y del tiempo en el mismo sistema sexagesimal proviene de un proceso convergente en el que la observación astronómica, en la que los primitivos pueblos agrícolas eran maestros, ocupa un lugar destacado, tal y como nos muestran las reliquias megalíticas supervivientes de esos pueblos, como las de Stonhengen en Inglaterra, empezado a construir hace 5000 años, las pirámides egipcias, mayas y aztecas o el intihuatana inca de Machu Picchu. En primer lugar, hay que destacar la razón de ser de estas construcciones en su aplicación de calendarios, ya que un pueblo agrícola sin escritura necesitó conocer con exactitud la duración del año y de las estaciones, al objeto de prever labores tan vitales como la siembra y la recolección, lo cual no es difícil comprobando, al observar el Sol, que en los equinoccios el día tiene una duración igual a la noche en toda la Tierra (del 20 al 21 de marzo y del 22 al 23 de septiembre), mientras que en los solsticios, las duraciones del día son máximas respecto a las de la noche (21 al 22 de junio para el hemisferio norte), o mínimas (21 al 22 de diciembre). La duración exacta del día y de su noche podía observarse por la posición de las estrellas en el firmamento, pues hay un momento en la noche en el que las estrellas ocupan el mismo lugar a lo largo de todo el año, o día sideral, cuya duración es de 23 horas y 56 minutos; y para conocer los espacios del día, los sumerios empleaban ya en el 2025 a. de C. la sombra del gnomon, o barra clavada en el suelo. Al observar la Luna, resulta evidente comprobar que cada 29 días y medio (en números redondos, cada 30 días), existe luna llena. A este período lo llamaron mes. Un año comprendía 12 períodos de lunas llenas o meses, por lo que su duración era de 360 días. Aunque en realidad era Opi ni ón algo más de 365 días, había cuatro días al año en los que reajustar el calendario, por lo que el error estaba siempre bajo control. El hecho de que los calendarios megalíticos prevean hasta la determinación exacta de la fecha de los eclipses, mucho más de lo necesario para determinar los ciclos estacionales agrícolas, es debido a que al ligar la religión y los dioses a los astros, los sacerdotes debían conocer cuándo se ocultaban o manifestaban a los mortales, y cuál era el superior. El problema a determinar es por qué los sumerios, que partían de un año de 360 días y un círculo de 360 grados, dividieron los días en 12 horas dobles (24), la hora en 60 minutos, y muy posteriormente, el minuto en 60 segundos, cuya respuesta exige remontarse a una época ágrafa en la que se contaba con los dedos, de la que surgen no sólo los sistemas decimales, sino los de base duodecimal y los de base sexagesimal. Hoy en día, existen artículos que en occidente se compran por docenas, tales como los huevos o las ostras. Georges Ifrah al observar a pueblos actuales que aún cuentan con las falanges de los dedos de una mano en Egipto, Siria, Irak, Afganistán, Pakistán y algunas regiones de la India, mantiene la siguiente tesis: Si extendemos la palma de la mano derecha y contamos con el dedo pulgar cada una de las tres falanges de los dedos meñique anular corazón e índice, al acabar la cuenta tendremos 12 unidades, en lugar de las cinco obtenidas de contar exclusivamente los dedos. Si a cada 12 unidades asignamos un dedo de la mano izquierda, habremos obtenido 60 unidades al acabar la cuenta, con lo cual únicamente con 10 dedos tenemos la posibilidad de designar biunívocamente hasta 60 objetos con sólo señalar los dedos correspondientes de la mano izquierda, y la falange determinada de un dedo de la mano derecha. La base duodecimal y la sexagesimal quedan establecidas. Los sumerios se encontraron con un mes de 30 días y 12 meses en cada año de 360 días. Obviamente, el círculo de 360 grados lo dividieron en 12 sectores de 30 grados cada uno (signos del Zodiaco), pues la posición de los astros eran parte de su mística y sistema de medir el tiempo. Era normal que el día lo dividieran en 12 horas, y posteriormente, en 24 (12 para el día y 12 para la noche). Cuando hubo que subdividir la hora o el grado, la segunda base prestó su apoyo, por lo que se estableció en 60 minutos, mensurables desde el año 2000 a. de C. gracias a la existencia de los relojes de arena y de agua. La necesidad de medir segundos fue muy posterior, pues la trigonometría no se inicia hasta el año 140 a. de C. con Hiparco, y hasta el siglo XI no se construye en China un reloj astronómico con un error de 100 segundos por día. En definitiva, los relojes europeos de pesas del S. XIII sólo anuncian las horas, y hasta 1656 Huygens no inventa el reloj de péndulo en el que se marca el segundo. No obstante, el reloj naútico de precisión para determinar la posición del buque no es operativo hasta 1680. Supongo que para los sumerios, obsesionados con las coincidencias numéricas, el hecho de que la división sexagesimal del minuto casi coincida con la frecuencia del latido del corazón humano, les confirmaría en la validez de un sistema en el que las apariciones en el firmamento de sus dioses cósmicos (Sol, Luna, Estrellas, Constelaciones), estaba en directa relación con el destino de la humanidad (astrología del zodíaco), con la vida del individuo y con las épocas de recolección y cultivo, a partir de las manos. Puro humanismo prehistórico. De hecho, cinco milenios después, por lo menos, el arcaico sistema sexagesimal para medir el tiempo y las posiciones angulares, no sólo sigue vigente tanto en la técnica, la ciencia (hasta el segundo, desde el que se pasa a decimal) y en el uso cotidiano, sino que es inmutable a los milenarios cambios culturales. PAMER - CIENCIAS TRIGONOMETRIA R. T. de un ángul o agudo Capít ul o I I • Definición Son los distintos cocientes que se obtienen entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo con respecto a uno de sus ángulos agudos. Las razones trigonométricas de un ángulo "θ" se definen como sigue: seno de : sen = θ θ cateto opuesto hipotenusa tangente de : tan = θ θ cateto opuesto cateto adyacente secante de : sec = θ θ hipotenusa cateto adyacente coseno de : cos = θ θ cateto adyacente hipotenusa cotangente de : cot = θ θ cateto adyacente cateto opuesto cosecante de : csc = θ θ hipotenusa cateto opuesto Por ejemplo, de la siguiente figura: A C B b c a θ entonces: b = a + c 2 2 2 sen = θ a b cos = θ c b tan = θ a c cot = θ c a sec = θ b c csc = θ b a (Teorema de Pitágoras) θ α + = 90º α 1. En un triángulo ABC (B = 90°); reducir: L = senA.cscA + cosA.secA Resolución: Graficando tenemos: A B C c b a L = a b . b a c b b c → L = 2 + . Pr obl emas r esuel t os 2. En un triángulo rectángulo, los lados mayores miden 13cm y 12cm. Calcular el coseno del mayor ángulo agudo. Resolución: Uno de los lados mayores involucra a la hipotenusa, por lo tanto se puede graficar: C B A 13 x 12 β α i) ii) Pitágoras: 13 = 12 + x 169 = 144 + x x = 5 2 2 2 2 A menor lado se opone el menor ángulo y viceversa, por lo tanto el mayor ángulo agudo es " " β → nos piden entonces: cos = β 5 13 3. En un triángulo rectángulo, un cateto es el doble del otro. Calcular el seno del mayor ángulo agudo. Resolución: Graficando y respetando la condición: C B A x a 2a β α i) ii) iii) Por Pitágoras: x = (a) + (2a) x = a + 4a x = 5a x = 5a 2 2 2 2 2 2 2 2 → → Mayor ángulo agudo " " β Por lo tanto: sen = sen = → β β 2a a 5 2 5 4. Siendo " " un ángulo agudo, tal que: cos = 3 2 ; determinar "sen ". Resolución: Interpretando la condición: cos = θ 2 3 C.A. H = ∴ C.A. = 2a H = 3a, entonces llevando a un triángulo rectángulo. C B A 3a x 2a θ i) ii) Por Pitágoras: (3a) = (2a) + x 9a = 4a + x x = 5a x = 5 a 2 2 2 2 2 2 2 2 sen = θ → C.O. H sen = θ → 5a 3a sen = θ 5 3 → 5. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "B"), de lados "a", "b" y "c", se cumple que: 8 senC A sec C tan A tan · − + , reducir: K = [cot 2 A + 2senA] cosC Resolución: Interpretando la condición en función de los lados del triángulo rectángulo. A C B c a b i) ii) reemplazando: efectuando operaciones: a c c a + b c c b - = 8 (a + c )bc ac (b - c ) 2 2 2 2 = 8 iii) Utilizando Pitágoras: a 2 + c 2 = b 2 b 2 - c 2 = a 2 , entonces queda: b .bc ac.a 2 2 = 8 b a 3 3 = 8 b a 2 1 = → Comparando: b = 2n, a = n reemplazando en el triángulo rectángulo inicial. A C B x n 2n i) ii) Por Pitágoras: (2n) = (n) + x 2 2 2 Reemplazando en "K": 3 n 4n = n + x 3n = x x = 3n → 2 2 2 2 2 K = [cot A + 2senA] 2 cosC → 3n n + 2 n 2n 22 n/2n K = [( 3) + 2( )] K = 2 1/2 2 1 2 = → 6. Del gráfico mostrado; calcular: L = tanα.tan A B C M α θ Resolución: Del gráfico, sea: BC = n AM = MB = m A B C M α θ m n m i) ii) iii) MBC : tan = θ m n ABC : tan = α n 2m Reemplazando en "L": L = L = n 2m m n 1 2 → 7. En un triángulo rectángulo se cumple que la diferencia de las medidas de la hipotenusa con uno de los catetos es 8 y con el otro es 9. Calcular el valor de la tangente del mayor ángulo agudo de dicho triángulo. Resolución: Sea (a > b) i) ii) iii) A C B c b a θ c - a = 8 a = c - 8 → c - b = 9 b = c - 9 → además: a + b = c 2 2 2 } Reemplazando: (c - 8) + (c - 9) = c c - 34c + 145 = 0 → 2 2 2 2 Factorizando: c - 34c + 145 = 0 2 c c -29 -5 (c - 29) (c - 5) = 0 c = 29 a = 21 → ∧ por lo tanto: b = 20 Entonces: tan = 20 21 8. Calcular: tan 2 θ θ 5m + 2 A C B 4m + 3 3m - 1 Resolución: : (5m + 2) = (3m - 1) + (4m + 3) 2 2 2 Efectuando: 25m + 20m + 4 = 9m - 6m + 1 + 16m + 24m + 9 2 2 2 → 2m = 6 m = 3 ABC → Entonces, la figura queda: Q C B A 17 15 17 θ/2 θ 8 tan = = θ 2 8 32 1 4 9. En un cuadrado ABCD, se traza CF y BE ("E" en CD y "F" en ); AD tal que: FD = 3AF y CE = ED, si: ∠ BEC =α y ∠ CFD =β; calcular: J = 2cotα + 3tanβ Resolución: A B C D E F a 2a α 4a β 3a i) ii) iii) 2a Como: CE = ED "E" : punto medio ⇒ Además: FD = 3AF AF = a FD = 3a ∧ ⇒ Reemplazando en "J ": J = 2 + 3 4a 3a 2a 4a J = 5 10.En un rectángulo ABCD, se ubican los puntos "M", "N" y "P" en AB y AD , BC respectivamente, tal que: 2 ND 3 BP 4 MC AP BM · · · · Si: ∠ PCD =α ∧ ∠ MNA =β, calcular: J = tanα + tanβ Resolución: i) ii) iii) Interpretando el gráfico: B C D A P Q 4a 3a a R 2a 2a M 3a a a a α β BM = AP = = = a BM = a; AP = a; MC = 4a; BP = 3a; ND = 2a Reemplazando: J = + ; J = + 2 J = → MC 4 ND 2 5a 3a 4a 2a 5 3 11 3 BP 3 = N Bloque I 1. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden: 1 y 3 . Determinar la suma de los senos de sus ángulos agudos. a) 2 1 3 + b) 2 1 c) 2 3 d) 2 1 3 − e) 3 2. En un triángulo rectángulo, los lados mayores miden 3 y . 2 Determinar la suma de los cosenos de sus ángulos agudos. a) 1 b) 3 2 7 − c) 3 7 d) 3 7 2 + e) 3 2 3. En un triángulo rectángulo, un cateto es el doble del otro. Calcular la secante del menor ángulo agudo. a) 2 b) 2 3 c) 3 d) 2 5 e) 5 4. En un triángulo rectángulo, su hipotenusa es el triple de uno de sus catetos. Determinar la cotangente de su menor ángulo agudo. a) 1 b) 2 c) 2 2 d) 10 e) 2 10 5. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "A", reducir: R = senB.senC.tanB.a 2 a) a 2 b) b 2 c) c 2 d) ab e) bc 6. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°) reducir: S = tanA.tanC + senA.secC + cosA.cscC a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 7. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°) reducir: Q = cos 2 A + cos 2 C + csc 2 A - tan 2 C a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) -1 8. Siendo: senα = 5 2 ; "α" es agudo, calcule "cotα" a) 15 29 b) 25 29 c) 23 21 d) 2 21 e) 5 21 9. Siendo: tanα = 12 5 ; "α" es agudo, calcule "senα" a) 13 5 b) 13 12 c) 5 4 d) 5 3 e) 2 1 10.En un triángulo rectángulo, el seno de uno de sus ángulos agudos es el triple del seno del otro ángulo agudo. Determinar el seno de su mayor ángulo agudo. a) 2 1 b) 3 2 2 c) 3 2 Pr obl emas par a l a c l ase d) 10 10 e) 10 10 3 Bloque II 1. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden: 5 y 6. Determinar la suma de los cosenos de sus ángulos agudos. a) 61 10 b) 61 11 c) 61 14 d) 61 16 e) 61 17 2. En un triángulo rectángulo los lados mayores miden 3 y 2. Determinar la suma de los cosenos de sus ángulos agudos. a) 3 2 b) 3 13 2+ c) 3 5 3+ d) 3 2 5 + e) 3 13 3+ 3. En un triángulo rectángulo, un cateto es el triple del otro cateto. Calcular la cosecante de su menor ángulo agudo. a) 10 b) 3 10 c) 2 2 d) 3 2 2 e) 3 2 4. En un triángulo rectángulo, su hipotenusa es el doble de uno de los catetos. Determinar la cotangente de su menor ángulo agudo. a) 2 1 b) 3 c) 3 3 d) 2 e) 3 2 5. En un triángulo rectángulo, recto en "A", reducir: S = cosC.cotB.secB.b 2 a) a 2 b) b 2 c) c 2 d) ab e) bc 6. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), reducir: S = cotA.cotC + cosC.cscA + senA.secC a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 7. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), reducir: Q = sec 2 A - cot 2 C + sen 2 A + sen 2 C a) 1 b) -1 c) 2 d) 0 e) -2 8. Siendo: 4 3 cos · α , "α" es agudo, calcule "cotα". a) 3 1 b) 4 3 c) 7 7 3 d) 3 7 e) 3 4 9. Siendo: 15 8 tan · α , "α" es agudo, calcular "cscα". a) 15 17 b) 8 15 c) 8 17 d) 12 17 e) 7 2 10.En un triángulo rectángulo, el coseno de uno de sus ángulos agudos es el doble del coseno del otro ángulo agudo. Determinar el coseno de su mayor ángulo agudo. a) 5 5 b) 5 5 2 c) 2 3 d) 2 3 3 e) 5 2 Bloque III 1. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); se traza la m e d i a n a AN ("N" en ) BC , tal que: CAB = y ANB = . Calcular: K = tan .tan a) 1 b) 2 c) 4 d) 2 1 e) 4 1 2. En un cuadrado ABCD se traza AE ("E" en ) BC , tal que: BAE = y EDC = . Calcular: K = tan + tan a) 1 b) 2 c) 4 ∧ ∧ ∧ ∧ d) 2 1 e) 8 3. Si ABCD es un cuadrado, calcular "tan ". B A D C M N θ a) 2 1 b) 3 2 c) 4 3 d) 5 2 e) 6 1 4. Del gráfico, hallar: tan A B C M N m n φ a) m n m n + − b) m n m n − + c) m n m n 2 + − d) m n m n + − e) m n 2 m n 2 + − 5. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "B") se tiene como datos: el lado "a" y la diferencia "m" entre la hipotenusa y el otro lado. Calcular "senC". a) 2 2 2 2 m a m a + − b) 2 2 m a am 2 + c) 2 2 m a am 2 − d) m a m a − + e) m a m a + − 6. En un triángulo rectángulo ABC (C = 90°) se verifica que: , 5 7 b a b a · − + hallar: senA + senB. a) 7 37 b) 37 37 5 c) 37 37 7 d) 37 1 e) 37 5 7. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "C") se verifica: A cot B cos c b 2 a − · − . Calcular "cscA" a) 3 3 2 b) 2 c) 2 1 d) 2 e) 3 2 8. S i : A B = B C , c a l c u l a r : Q = c o t α - cscφ 0 A B C 5 3 α β a) 2 b) 2 2 c) - 2 d) - 2 2 e) 1 9. Si " " es un ángulo agudo, tal que: 5 1 cos · θ Calcular: K = tan .tan 2 θ +3 a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 10. Se tiene dos circunferencias tangentes exteriormente con radios "R" y "r" (R > r). Calcular el cuadrado de la cotangente del ángulo formado por la recta tangente a ambas circunferencias y la recta que une los centros. a) 2 ) r R ( Rr 4 − b) 2 ) r R ( Rr 4 + c) 2 ) r R ( Rr 2 − d) 2 ) r R ( Rr 2 + e) 2 ) r R ( Rr − PAMER - CIENCIAS TRIGONOMETRIA Capít ul o I I I • Triángulos rectángulos notables Son aquellos triángulos rectángulos; donde conociendo las medidas de sus ángulos agudos, se puede saber la proporción existente entre sus lados. Van a destacar los siguientes triángulos: a. De 30° y 60° C A 30° a 2a a 3 B 60° Ejemplos: 4 8 4 4 3 2 30° 30° 60° 60° 3 2 3 b. De 45° y 45° 45° C B A a a a 2 45° Tr i ángul os r ec t ángul os de ángul os no- t abl es y pr opi edades de l as r azones t r i gonomét r i c as de l os ángul os agudos Ejemplos: A A C C B B 3 5 3 2 5 3 45° 45° 45° 45° 2 5 2 c. De 37° y 53° 37° C B A 4a 3a 5a 53° Ejemplos: 24 28 37° 37° 53° 30 35 18 21 C C B B A A • Razones trigonométricas de ángulos notables (30°; 45°; 60°) seno coseno tangente cotangente secante cosecante 30° 45° 60° 37° 53° 1 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 3 1 2 3 3 3 2 3 3 2 3 5 4 5 3 4 4 3 5 4 5 3 4 5 3 5 4 3 3 4 5 3 5 4 Observación: Una forma práctica para calcular las razones trigonométricas de la mitad de un ángulo agudo es la siguiente: Partimos de un triángulo ABC (recto en "C"). Si queremos las razones trigonométricas de (A/2) entonces prolongamos el cateto CA hasta un punto "D" tal que: AD = AB luego el triángulo DAB es isósceles, BDA = A/2. D A B C a b c A/2 A / 2 c A Por lo tanto: a b c 2 A cot + · entonces: A cot A csc 2 A cot a b a c 2 A cot + · → + · análogamente: A cot A csc 2 A tan a b c b c a 2 A tan − · → − · + · consecuencia de lo concluido es: 24a 7a 16° 8° 74° 82° 25a 5 2a 7a a C C B B A A 2a 3a 53°/2 37°/2 5 a 10 a a a C C B B A A • Propiedades de las razones trigonomé- tricas de ángulos agudos * Razones trigonométricas recíprocas i) ii) iii) iv) v) vi) sen = α cos = α tan = α cot = α sec = α csc = α a b c b a c c a b c b a C B A b a c α 1 1 1 sen.csc = 1 Ejemplos: sen10°.csc10° = 1 ; sen20°.csc20° = 1; sen25°.csc25° = 1 s e n α.csc40° = 1 → α = 40°; sen50°.csc5α = 1 → α = 10° tan.cot = 1 Ejemplos: tan25°.cot25° = 1; tan15°.cot15° = 1; tan35°.cot35° = 1 tanα.cot50° = 1 → α = 50°; tan40°.cot8α = 1 → α = 5° cos.sec = 1 Ejemplos: cos5°.sec5° = 1; cos23°.sec23° = 1; cos17°.sec17° = 1 cos35°.sec7α = 1→ α = 5°; cos7α.sec70° = 1 → α = 10° * Razones trigonométricas de ángulos complemen- tarios Cualquier razón trigonométrica de un ángulo es igual a laco-razón trigonométrica del ángulo complementario, si "a" es un ángulo agudo, entonces: R.T.( ) = Co-R.T. (complemento de " ") Ejemplos: i) sen20° = cos70° ii) sen 3 π = cos 6 π iii) secθ = csc · · , _ ¸ ¸ θ − π 2 iv) cos40° = sen50° v) tan 5 π = cot 10 3π vi) csc(90° - φ) = secφ vii) tan10° = cot80° viii) csc 8 π = sec 8 3π ix) cotα = tan(90° - α) ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ) 90 csc( sec ) 90 cot( tan ) 90 cos( sen α − ° · α α − ° · α α − ° · α 1. Calcular: Q = sen 2 30° + tan37° Resolución: Reemplazando valores en la expresión: 1 Q 4 3 4 1 Q 4 3 2 1 Q 2 · ∴ → + · ⇒ + · · , _ ¸ ¸ · 2. Evaluar: ° ° + ° · 30 csc 60 cos 45 sen A 2 Resolución: Reemplazando valores en la expresión: 2 1 A 2 2 1 2 1 A 2 2 1 2 2 A 2 · ∴ → + · → + · · · , _ ¸ ¸ · 3. Hallar: L = (sec53° + tan53°)cos60° Resolución: Reemplazando valores: 2 3 L 2 1 3 9 L 2 1 . 3 4 3 5 L · ∴ → · · , _ ¸ ¸ · → · · , _ ¸ ¸ + · 4. Hallar: T = (tan 2 60° + 5sen37°)sen30° Resolución: Reemplazando valores: , ì , ì 3 T 2 1 3 3 T 2 1 . 5 3 5 3 T 2 · ∴ → + · → · , _ ¸ ¸ · , _ ¸ ¸ + · 5. En la figura adjunta, se sabe que: AB = 18m, CAD = 15° y el CBD = 30°, calcular la longitud "CD". D C B A 15° 30° 18 m Resolución: Podemos observar que el ADB resulta: 15°, luego el triángulo ABD resulta ser isósceles, por lo tanto: BD = AB = 18m, en el triángulo BCD, se tiene: Pr obl emas r esuel t os m 9 CD 2 1 18 2 1 . BD CD , 30 sen BD CD · ∴ → · , _ ¸ ¸ · · ° · D C B A 15° 30° 18 18 9 15° 6. En la figura adjunta, se sabe que: AB = 12m, CAD = 30° y el CBD = 45°. Calcular la longitud "CD". D C B A Resolución: D C B A 30° 45° x 12 x Como en el BCD es isósceles: BC = DC = x En el ACD; por definición: cot30° = AC DC 3 = 12 + x x x = 16,4 m → → 7. Se tienen dos círculos tangentes exteriormente cuyos radios son "r" y "3r" respectivamente. Calcular el ángulo que forma la recta que pasa por los centros de ambos círculos con una de las tangentes exteriores a ambos círculos. Resolución: 3r C B A Q 2r 3r 0 1 0 2 r r r α α Se traza: 0 Q // AC, 2 en el 0 Q0 2 1 sen = α 0 Q 1 0 0 1 2 = 2r 4r sen = α 1 2 α = 30° → 8. Se tiene un triángulo equilátero ABC, inscrito en una circunferencia, si "M" es el punto medio del arco AC y "N" el punto medio del lado BC. Determinar el seno y tangente del ángulo MNC. Resolución: B A M C N θ * Unimos los puntos "M" y "C", obteniendo el triángulo rectángulo MCN. Sea: MNC = ∠ θ Luego: sen = tan = θ ∧ θ MC MN MC NC De la geometría: MC = = R ¹ 6 NC = ¹ 3 2 = R 3 2 MN = MC + NC = R + = 2 2 2 3R 4 2 R 7 2 Entonces: sen = = θ R R 2 7 7 2 3 3 R 7 2 R 3 2 tan = θ ⇒ = ⇒ 9. Si ABCD es un cuadrado, calcular "tanx". B C F E D A x 37° Resolución: i) ii) iii) iv) ADE notable de 37° y 53°, entonces: AD = 16a ED = 12a ∧ Por ser un cuadrado: AD = CD, entonces EC = 4a FCE notable de 37° y 53°, entonces: CE = 4a, CF = 3a, entonces: BF = 13a ABF: tanx = tanx = → 13a 16a 13 16 : 10.En el gráfico mostrado, hallar "tanθ" A B C 8 6 θ 135 Resolución: A B C 135 2 6 θ 45 Q AQC: tan = tan = θ → θ 2 8 1 4 2 2 2 11.Reducir: ° ° ° ° ° ° · 40 cos . 65 sen . 20 csc 50 sen . 25 cos . 70 sec Q Resolución: Aplicando razones trigonométricas de ángulos complementarios. i) sec70° = csc20° ii) cos25° = sen65° iii) sen50° = cos40° Por lo tanto: 1 Q sen50 cos40 . cos25 sen65 . sec70 csc20 sen50 . cos25 . sec70 Q · ∴ ⇒ ° ° ° ° ° ° ° ° ° · ¸¸ ¸_ ¸ ¸¸ ¸_ ¸ ¸¸ ¸_ ¸ 12.Reducir: 5 2 tan . 24 sen . 8 sec 24 11 cos . 8 3 csc . 10 cot A π π π π π π · Resolución: Por razones trigonométricas de ángulos comple- mentarios. i) sec 8 π = csc 8 3π ii) sen 24 π = cos 24 11π iii) tan 5 2π = cot 10 π Por lo tanto: 1 A 10 cot 5 2 tan . 24 11 cos 24 sen . 8 3 csc 8 sec 24 11 cos . 8 3 csc . 10 cot A · ∴ ⇒ · π π π π π π π π π ¸¸ ¸_ ¸ ¸¸ ¸_ ¸ ¸ _ ¸ 13.Si: α = 15°, calcular: Q = senα.sen2α.sen3α.sen4α.sec5α Resolución: Q = sen15°.sen30°.sen45°.sen60°.sec75° ¸¸ ¸_ ¸ ° ° · · · , _ ¸ ¸ · · · , _ ¸ ¸ · · , _ ¸ ¸ ° · 15 csc 75 sec 2 3 2 2 2 1 15 sen Q → ∴ 8 6 Q · 14.Si: secα = csc2φ. Hallar: R = tan · · , _ ¸ ¸ φ + α 2 + sec(330° - 3α - 6φ) Resolución: i) secα = csc2φ → α + 2φ = 90° ] ) 2 ( 3 330 [ sec 2 2 tan R φ + α − ° + · · , _ ¸ ¸ φ + α · )] 90 ( 3 330 sec[ 2 90 tan R ° − ° + · · , _ ¸ ¸ ° · R = tan45° + sec60° ∴ R = 3 15.Si: sen(α - 20°) = cos(θ - 30°), "α" y " " son ángulos agudos Calcular: ) 120 tan( ) 85 ( cot 2 cot 4 tan A ° − θ + α + ° − θ + α · · , _ ¸ ¸ θ + α + · · , _ ¸ ¸ θ + α · Resolución: sen(α - 20°) = cos(θ - 30°) → α - 20° +θ - 30° = 90° ∴ α +θ = 140° Reemplazando: ) 120 140 tan( ) 85 140 cot( 2 140 cot 4 140 tan A ° − ° + ° − ° · · , _ ¸ ¸ ° + · · , _ ¸ ¸ ° · 1 A 70 cot 35 tan 70 cot 35 tan A 20 tan 55 cot 70 cot 35 tan A · ∴ → ° + ° ° + ° · → ° + ° ° + ° · 16.Calcular el valor de la cotangente de" 2 α " sabiendo que: tanα = x 5 7 x 2 3 − − ; tanθ = , 1 x 4 2 x 10 − − siendo "α" y "θ" ángulos agudos complementarios. Resolución: Como "α" y "θ" son ángulos complementarios tan = cotθ ) 1 x 4 )( x 5 7 ( ) 2 x 10 )( x 2 3 ( 2 x 10 1 x 4 x 5 7 x 2 3 − − · − − → − − · − − , simplificando: x = -1 Entonces: tan = α 3 - 2(-1) 7 - 5(-1) tan = α 5 12 → 5 12 13 α Luego: α + α · α cot csc 2 tan ; 5 2 tan 5 12 5 13 2 tan · α ∴ → + · α 17. Si: α = 7°30' Calcular: α α + α α + α α + α α + α α · 7 cos 5 sen 8 sen 4 cos 9 cos 3 sen 10 sen 2 cos 11 cos sen R Resolución: Dato: α = 7°30' = 7,5°; reemplazando en "R": ° ° + ° ° + ° ° + ° ° + ° ° · 5 , 52 cos 5 , 37 sen 60 sen 30 cos 5 , 67 cos 5 , 22 sen 75 sen 15 cos 5 , 82 cos 5 , 7 sen R i) sen7,5° = cos82,5° ii) sen22,5° = cos67,5° iii) sen37,5° = cos52,5° iv) cos15° = sen75° v) cos30° = sen60° complemento Reemplazando: 5 R 5 , 37 sen 5 , 37 sen 30 cos 30 cos 5 , 22 sen 5 , 22 sen 15 cos 15 cos 5 , 7 sen 5 , 7 sen R · ∴ → ° ° + ° ° + ° ° + ° ° + ° ° · 18.Si: Q = tan1° - cot1° + tan2° - cot2° + .... + tan89° - cot89° R = tan1° . tan2° . tan3° . .... . tan88° . tan89° S = sen1° - cos1° + sen2° - cos2° + ... + sen89° - cos89° Hallar: M = Q + R + S Resolución: Q = tan1° + tan2° + tan3° + ... + tan89° - (cot1° + cot2° + cot3° + ... + cot89°) ) 89 cot 88 cot 87 cot ... 3 cot 2 cot 1 (cot 89 tan 88 tan 87 tan ... 3 tan 2 tan 1 tan Q 1 tan 2 tan 3 tan 1 cot 2 cot 3 cot ¸¸ ¸_ ¸ ¸¸ ¸_ ¸ ¸¸ ¸_ ¸ ¸¸ ¸_ ¸ ¸¸ ¸_ ¸ ¸¸ ¸_ ¸ ° ° ° ° ° ° ° + ° + ° + + ° + ° + ° − ° + ° + ° + ° + ° + ° · ∴ Q = 0 ¸¸ ¸_ ¸ ¸¸ ¸_ ¸ ¸¸ ¸_ ¸ ° ° ° ° ° ° ° ° ° · 1 cot 2 cot 3 cot 89 tan . 88 tan . 87 tan ... . 3 tan . 2 tan . 1 tan R ∴ R = 1 S = sen1° - cos1° + sen2° - cos2° + .... + sen89° - cos89° S = sen1°+sen2°+ sen3°+... sen87° + sen88° + sen89° - ) 89 cos 88 cos 87 cos ... 3 cos 2 cos 1 cos ( 1 sen 2 sen 3 sen 87 sen 88 sen 89 sen ¸¸ ¸_ ¸ ¸¸ ¸_ ¸ ¸¸ ¸_ ¸ ¸ _ ¸ ¸ _ ¸ ¸ _ ¸ ° ° ° ° ° ° ° + ° + ° + + ° + ° + ° Por lo tanto: S = 0 ; entonces: _ _ _ 1 M S R Q M 0 1 0 · → + + · 19.Siendo "α" y "θ" los menores ángulos positivos que verifican las relaciones: senα.sec(3α +θ) = 1 .... (I) tanθ . tan(2α +θ) = 1 ...... (II) Determinar el valor de: M = 2sen(4α - θ) + tan(2θ - α) Resolución: Como: sen .sec(3 + ) = 1 sen = ) 3 sec( 1 θ + α sen = cos(3 + ) ∴ α + 3α +θ = 90° → 4α +θ = 90° ...... (1) Además: ) 2 cot( tan ) 2 tan( 1 tan 1 ) 2 tan( . tan θ + α · θ → θ + α · θ → · θ + α θ ∴ θ + 2α +θ = 90° → 2α + 2θ = 90° ..... (2) De (1) y (2): α = 15° θ = 30° Por lo tanto: M = 2 s e n ( 4 x 15° - 30°) + tan (2x30° - 15°) M = 2sen30° + tan45° ∴ M = 2 20.Si: sen(x + senx) = cos(y + cosy) Calcular: ) y cos senx csc( . ) y x cos( ) y x cot( ) y cos senx tan( ) y cos senx cos( ) y x ( sen A + + + + + + + + · Resolución: Del dato: sen(x + senx) = cos(y + cosy) ⇒ x + senx + y + cosy = 2 π Ordenando: _ 2 2 y cos senx y x π · θ + α ⇒ π · + + + θ α ¸ ¸¸ ¸ ¸_ ¸ i) senα = cosθ ; ii) tanθ = cotα iii) cscθ = secα Reemplazando en "A": ¸ _ ¸ α θ α + α θ + θ α · sec csc . cos cot tan cos sen A Por lo tanto: A = 3 Bloque I 1. Calcular "x" en la igualdad: xsen30° + sec 2 60° = 4xtan45° + tan 4 45° a) 5 1 b) 5 2 c) 5 3 d) 5 4 e) 5 6 2. Sabiendo que " " es agudo y además tanα = sen45°. Calcular: A = 4sec 2 α + sen 2 α a) 2 17 b) 2 19 c) 2 21 d) 2 23 e) 2 25 Pr obl emas par a l a c l ase 3. Del gráfico mostrado, calcular "tanα". A B C D 37° α a) 3 1 b) 3 2 c) 1 d) 3 4 e) 3 5 4. Del gráfico, calcular "tanθ" A B C 10 21 θ 53° a) 7 3 b) 8 3 c) 7 8 d) 15 8 e) 15 7 5. Calcular "tan " del gráfico: 4 3 θ A B M C a) 4 3 b) 6 5 c) 4 5 d) 2 1 e) 8 1 6. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), se sabe que: ∠ A = 30°. Trazamos CM ("M" en ) AB tal que: AM = 2MB. . Si: ∠ CMB = , calcular "tan " a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 7. En un cuadrado ABCD, se traza , AN ("N" en ) CD tal que: ∠BAN = 53°. Si: ∠NMD =α, ("M" punto medio de ) AD , calcular "tanα". a) 2 1 b) 2 c) 2 3 d) 1 e) 3 2 8. Desde un punto "P" exterior a una circunferencia de centro "O" se traza la tangente , PT tal que: OPT = 53°. Calcular "tan∠ OMT", si "M" es el punto medio de . PT a) 3 8 b) 3 7 c) 2 d) 3 5 e) 3 4 9. Del gráfico, calcular "tan ", si el triángulo ABC es equilátero. A B D C 2 5 θ a) 2 3 b) 3 3 c) 4 3 d) 5 3 e) 6 3 10.Del gráfico, calcular: θ α tan tan ; si los triángulos ABC y CDE son equiláteros; además: AB = 4CD. A B C D E M N θ α a) 19 3 b) 16 3 c) 19 4 d) 15 4 e) 13 12 Bloque II 1. Si: tan3x.cot(x + 20°) = 1 Calcular: K = tan6x.tan(4x + 5°) a) 2 b) 3 c) 3 3 d) 3 e) 1 2. Si: sen4x.csc(x + 45°) = 1 tan3x.cot2y = 1 Calcular: M = sen(x + y - 10°) cot (y - x) a) 1 b) 2 c) 3 d) 2,5 e) 3,5 3. Si: sen3x = cos2x Calcular: K = 4tan(2x + 1°) + 3tan(3x - 1°) a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 4. Si: tan7x = cot(2x + 9°) sen4x.csc3y = 1 Calcular: K = cos5x.cot4y.cot(4x + 6°) a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 3 e) 2 1 5. Calcular "x", si: sen(2x+10°).sen(50°-x)=cos(x+5°).cos(40°+x) a) 15° b) 10° c) 5° d) 20° e) 25° 6. Si: sen(x + y - 20°) . csc(70° - z) = 1 Calcular: x csc ) z y sec( z cot ) y x tan( D + + + · a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 7. Sabiendo que: sen(2a+b).sec(12°-2c)=cos(a-2b).csc(78°+2c) Calcular: M = tan(2a + b + c). tan(a - 2b + c) a) 1 b) 2 c) 2 1 d) 3 e) 3 1 8. Si: sen(40° - x) = tan(20°+α).cos(50° + x) Obtener: ) 10 x cot( ) 50 x tan( ). 5 x 2 sec( K ° − − α ° + α + ° − · a) 2 2 b) 2 c) 1 d) 2 e) 3 9. Calcular el valor de cotangente de " 2 α " sabiendo que: 2 x 1 x tan 2 x 1 x tan + + · θ ∧ − + · α siendo "α" y "θ" ángulos agudos complementarios. a) 10 3− b) 10 3+ c) 2 2 3+ d) 2 2 3− e) 3 2 10.Siendo: sen(40° - x) . sec(5x + 10°) = 1 Calcular: ) kx tan( E 8 1 k ∏ · · a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 e) F.D. Bloque III 1. Siendo "0" y "0 1 " centros. Hallar "tan " A B 0 0 1 θ a) 3 1 b) 2 1 c) 2 2 d) 2 e) 2 2 2. Siendo "0" centro y "P" punto medio de , MN hallar "tanθ". A B 0 θ M N P a) 2 1 b) 4 3 c) 1 d) 2 3 e) 2 5 3. Si "M" es punto medio del arco AB y "O" es centro, o b t e n e r e l v a l o r d e " t a n θ". A B 0 θ 3 0 ° N a) 3 3+ b) 2 6 + c) 6 3+ d) 2 6 3 + e) 3 2− 4. Del gráfico mostrado, hallar "AD", si: MB = MC = 2 y AB = 2 C D M B A 30° a) 2 6 + b) 2 6 + c) 3 6 + d) 3 2+ e) 1 3 2 + 5. Del gráfico mostrado, calcular "tan ", si: AP = 8 2 y BC = 3. A P B C H 45° θ 37°/2 a) 5 1 b) 4 1 c) 3 1 d) 2 1 e) 6 1 6. Si: sen2α.csc(θ + 30°) = 1 tan(θ - φ) . tan(φ +α) = 1 Evaluar: A = sen(θ-10°)secθ+tan(α+5°) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 7. Si: tan3x.sen(35°+ ).sec(55°-α)=cot2x Calcular: B = cos(2x-6°).sen(x+12°) a) 8 3 b) 4 3 c) 3 3 d) 2 3 e) 1 8. Si: · · , _ ¸ ¸ π · · · , _ ¸ ¸ π 4 ab cos 4 ab sen .... (I) a = sen3θ . sen3α ............. (II) b 1 = cos3θ . cos3α ............. (III) Hallar el valor de: ) ( ) ( sen C α + θ α + θ π · a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 9. Calcular: tanx.tan(x-y).tan(30°-y), si se cumple que: ) 30 x tan( ) z 30 tan( ) z 60 tan( ) y 60 tan( ° − − ° · − ° − ° a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 e) 2 2 10.Si: sen(x + 2y) = cos(2x + y) Calcular: ) y x tan( ] y 3 tan x 3 [tan ] y 3 tan x 3 [tan E 2 2 + − − + · a) 3 3 4 b) 3 3 2 c) 3 3 d) 3 2 e) 3 4 PAMER - CIENCIAS TRIGONOMETRIA Repaso Capít ul o I V Pr obl emas par a l a c l ase Bloque I 1. De acuerdo a lo mostrado en el gráfico, se puede verificar que: β α a) α - β = 0° b) α +β = 0° c) α - β = 90° d) α +β = 90° e) α +β = -90° 2. En un triángulo, dos de sus ángulos interiores miden 120 g y /3 rad. ¿Cuál es la medida sexagesimal del tercer ángulo? a) 12° b) 18° c) 16° d) 6° e) 8° 3. Del gráfico, calcular: y 90 x S ° + · 5y g 3xº a) 3 b) 2 c) 3 2 d) 2 3 e) 6 5 4. En un triángulo rectángulo, un cateto es el cuádruple del otro. Calcular el producto de las secantes de los ángulos agudos del triángulo. a) 8 17 b) 4 17 c) 8 15 d) 4 15 e) 2 15 5. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); señale el equivalente de: A tan c bsenC bsenA C tan a K + + · a) c a b a + + b) b a c a + + c) c b b a + + d) b a c b + + e) 1 6. Si " " es agudo, tal que: cos = 6 1 ; calcular: K = tan cot 2 θ a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 7. Si " " es agudo, tal que: cscθ = tan60°; calcular el valor de: K = (cos 2 θ - sen 2 θ) (2sec 2 θ - 1) a) 1 b) 3 1 c) 3 2 d) 2 3 e) 3 8. Del gráfico; calcular "tan " A C B 53º 5 7 θ a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,4 e) 0,5 9. Del gráfico, determine el valor de "sen " A D C B φ 37º a) 0,24 b) 0,12 c) 0,48 d) 0,96 e) 0,36 10.Siendo " " un ángulo agudo, tal que: ° ° + ° ° ° ° · θ 70 cot 20 cot 2 80 tan 10 tan 3 40 sec 50 sen cos Calcular: S = tan tan 2 θ a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 11.Si: · , _ ¸ ¸ θ π · · , _ ¸ ¸ θ π cot 4 cos tan 4 sen ; señale un valor de: S = tan 2 + cot 2 a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 32 12.Si: tan5x.tan(30° - x) = 1; calcular: S = sec 2 3x + sec 2 4x a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 Bloque II 1. De acuerdo al gráfico, se puede verificar que: θ α a) + = 180° b) - = 180° c) - = 90° d) - = 90° e) + = 0° 2. En un triángulo isósceles, los ángulos congruentes miden (7n + 3)° y (8n + 2) g . ¿Cuál es la medida circular del ángulo desigual? a) 2 π rad b) 3 π c) 4 π d) 5 π e) 6 π 3. Del gráfico, calcular: y 15 x S + · 6xº 15y g a) 1,5 b) 1,75 c) 2,5 d) 2,25 e) 2,75 4. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es el cuádruple de un cateto. Calcular el producto del coseno y cotangente del menor ángulo agudo de dicho triángulo. a) 2,25 b) 3,25 c) 2,75 d) 3,75 e) 4,15 5. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); simplificar: C cos A cos c b S − · a) b b) a c) c d) a + c e) b - c 6. Si " " es agudo, tal que: cos = 7 1 ; calcular: S = tan tan 2 θ a) 1 b) 3 c) 5 d) 4 e) 6 7. Si " " es un ángulo agudo, tal que: sen = tan30°; calcular: S = (2cos 2 - 1) (csc 2 + 1) a) 3 2 b) 3 4 c) 2 d) 4 e) 6 8. Del gráfico, determine el valor de "cot " A C B 150º β 4 7 3 a) 3 5 , 3 b) 3 3 c) 3 5 , 4 d) 3 4 e) 3 5 , 5 9. Siendo " " un ángulo agudo, tal que: sec = 7tan20°tan70° - 3sen40°sec50° Calcular: S = tan cot 2 θ a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3 10.Si: sen[(15tan )°] = cos[(15cot )°]; señale un valor de: S = tan 2 + cot 2 a) 34 b) 36 c) 25 d) 23 e) 21 11.Si: tanx.tany = 1; calcular: · , _ ¸ ¸ + · , _ ¸ ¸ + · , _ ¸ ¸ + · 6 y x tan 3 y x tan 2 y x tan S a) 1 3 2 − b) 1 3 − c) 1 3 3 2 − d) 1 3 3 + e) 1 3 + Bloque III 1. Se tienen tres ángulos tales que al ser agrupados de a dos; las sumas de estas parejas resultan ser iguales a 80 g , 3 2π rad y 50°. ¿Cuál es la media aritmética de las medidas de los tres ángulos? a) 30°15' b) 20°30' c) 40°20' d) 40°30' e) 20°20' 2. Señale el valor de: ¹ ; ¹ ¹ ' ¹ + + ° ∑ · · 1)' (k 1)' (k k 6 1 k S a) 71 b) 72 c) 81 d) 82 e) N.A. 3. En el cubo mostrado, calcular: S = 3cot 2 + 1 (CM = MD) B A B' A' C C' D D' M θ a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) N.A. 4. Si ABCD es un cuadrado, calcular: tanx.coty B A E C D x y 3 7 º a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 16 5. Si " " y " " son ángulos agudos y complementarios; además: α + β · β + α · csc 2 sec 3 n y 3 cos sen 2 m entonces: a) m = n b) m > n c) m < n d) m + n = 2 e) m - n = 2 6. Si: x + y = 90°; además: sen(senx + cosy) = cos(senx + cosy) Calcular: S = tan(2senx) + cot(2cosy) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 PAMER - CIENCIAS TRIGONOMETRIA Cál c ul o de l ados - apl i c ac i ón Capít ul o V • Cálculo de lados: Es el procedimiento mediante el cual se determinan los lados desconocidos de un triángulo rectángulo, en función de un lado conocido y un ángulo agudo también conocido. Vamos a distinguir tres casos: A L B C θ θ θ A L B C A L B C * L BC = tan BC = Ltan * L AB = cot AB = Lcot * L BC = sen BC = Lsen * L AC = sec AC = Lsec * L AC =csc AC = Lcsc * L AB =cos AB = Lcos A L B C θ θ θ A B C A B C L s e c θ Ltanθ Lcotθ Lcosθ Lsenθ L c s c θ L L Note que para hallar el lado desconocido, solo hay que dividir tienes que lo quieres que lo : R.T.(ángulo conocido); y de esta igualdad se despeja el lado desconocido. * Área de un triángulo: El área de un triángulo cualquiera se puede calcular como el semiproducto de dos de sus lados, multiplicados por el seno del ángulo que forman dichos lados. A B C a b c S S = senA S = senB S = senC bc 2 ca 2 ab 2 1. Determinar "x". A B C D x a θ Resolución: BDC : BD = asenθ BAD : AB = asen cos θ θ 2. Hallar "x". A D C B x a α β Pr obl emas r esuel t os A B C D x a θ θ asenθ Resolución: A D C B H a α β atanα acotβ atanα i) ii) iii) DCB : CD = atanα DHA : AH = acotβ AB = atan + acot α β a 3. Hallar "x". r x θ Resolución: r x θ Q 0 A B C D rcscθ xcotθ i) ii) iii) AQO : AO = rcscθ CBA : AB = xcotθ xcot = rcsc + r θ θ x = r(csc + 1) θ cotθ r 4. En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudos m i d e " " y el cateto adyacente a este ángulo mide "m". ¿Cuál es el perímetro del triángulo? Resolución: Graficando de acuerdo al problema: C A B m θ ABC: AB = mtanθ AC = msecθ perímetro : m + mtan + msec θ θ 5. En un triángulo isósceles, el lado desigual mide "2n" y los ángulos congruentes miden " ". Hallar la altura relativa al lado desigual. Resolución: B A C h n 2n β H β BHC : BH = ntanβ h = ntanβ n 6. En un rectángulo, las diagonales forman un ángulo agudo "2 " y miden "L". ¿Cuál es el perímetro del rectángulo? Resolución: B A C D L/2 cosβ β β L 2 2β L/2 L/2 L/2 0 β OQC: QC = senβ L 2 OQ = cosβ L 2 perímetro: 2L(sen + cos ) β β senβ senβ L 2 L 2 Q Lcosβ → ∧ β CD = Lsen AD = Lcos β 7. Si ABCD es un cuadrado y PQ = 9AB. Hallar "tan + cot " P R A B Q D C α Resolución: P R A B Q D C α a 9a a a a α α i) ii) BCQ : CQ = acotα ADP : PD = atanα como: PQ = 9AB → atan + a + acot = 9a α α tan + cot = 8 α α 8. Hallar "tan ", si: AB = DE D C B E A 37° θ Resolución: D C B E A 37° θ 4atanθ 5atanθ 3atanθ 5a 3a 4a F 3 7 ° DE = 4atan + 3a ; AB = 4a θ 4atan + 3a = 4a θ tan = θ 1 4 9. Del gráfico, hallar "sen ". A B C D E 3 5 1 θ Resolución: A B C D E 3 5 1 θ 34 26 Q 5 i) ii) S = AB . EQ AEB S = (4) (5) (forma geométrica) AEB 1 2 1 2 S = EB . AE . senθ AEB S = 26 . 34 . sen (forma trig.) AEB θ 1 2 1 2 Igualando: 34 . 26 20 sen sen ) 34 ( ) 26 ( 2 1 ) 5 ( ) 4 ( 2 1 · θ ∴ → θ · 10.Hallar "BD". A B C D 2 37° 4 2 Resolución: A B C D 2 37° 4 2 53° i) ii) iii) ∆ ABD : S = ( 2) (BD) sen53° ABD ∆ DBC DBC : S = (4 2) (BD)sen37° S = S + S ABC ABD DBC 1 2 1 2 Entonces: 4 2 5 BD ) 2 4 )( 2 ( 2 1 37 sen ) BD )( 2 4 ( 2 1 53 sen ) BD )( 2 ( 2 1 · ∴ → · ° + ° Bloque I 1. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); se sabe que: A B = m y CAB = . Hallar el perímetro del triángulo. a) m(sen + cos + 1) b) m(sec + tan + 1) c) m(csc + cot + 1) d) m(cos + tan + 1) e) m(sen + cot + 1) 2. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); se sabe que: BC = n y BAC = . Hallar el área del triángulo. a) α cos 2 n 2 b) α sen 2 n 2 c) α cot 2 n 2 d) α tan 2 n 2 e) α sec 2 n 2 3. En un triángulo isósceles los lados congruentes miden "L" y los ángulos congruentes miden " ", cada uno. Halle el lado desigual. a) 2Lcos b) Lcos c) 2Lsen d) 2Lsec e) Lsec 4. En el rectángulo mostrado, halle su área. B A C D L θ a) L 2 tan b) L 2 tan 2 θ c) 2L 2 tan d) 2 L 2 tan 2 θ e) 2 L 2 sen 2 θ 5. Del gráfico, hallar el lado del cuadrado PQRS en función de "L" y " ". A Q B R C P S L θ θ a) 1 cot L + θ b) 1 cot L 2 + θ c) 1 cot 2 L + θ d) 1 cot 2 L 2 + θ e) 2 cot L + θ 6. En un triángulo isósceles los lados congruentes miden " L " c a d a u n o ; y l o s á n g u l o s c o n g r u e n t e s m i d e n " ". Hallar el inradio de dicho triángulo. a) Lsen tan 2 θ b) Lsen cot 2 θ c) Lcos tan 2 θ d) Lcos cot 2 θ e) Lsec tan 2 θ 7. Del gráfico, hallar "tan " en función de " ". A D B C 5 2 θ α a) 7 2 tan b) 7 2 cot c) 7 3 tan d) 7 2 cos e) 7 2 sen 8. Del gráfico, hallar "tan " en función de " ". A B M C φ β a) θ θ − θ cos sen sec 2 b) θ θ − θ sen cos sec 2 c) θ θ − θ cos sen csc 2 d) θ θ − θ sen cos csc 2 e) θ θ − θ sen cos cot 2 9. En un triángulo ABC; se sabe que: AB = 8 y BC = 4; además CBA = 30°. Calcular el área del triángulo. Pr obl emas par a l a c l ase a) 12 u 2 b) 24 c) 16 d) 8 e) 32 10.Del gráfico, hallar el área de la región sombreada. A B C D E 2 7 4 1 θ a) 17sen b) 14sen c) 21sen d) 28sen e) 16sen Bloque II 1. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); se sabe que: AB = n y ACB = . Halle el perímetro del triángulo. a) n(sen + cos + 1) b) n(sec + tan + 1) c) n(csc + cot + 1) d) n(cos + cot + 1) e) n(sen + tan + 1) 2. En un triángulo isósceles, el lado desigual mide "L" y cada uno de los ángulos congruentes mide " ". ¿Cuál es el perímetro del triángulo? a) L(1 + cos ) b) L(1 + sec ) c) L(1 + sen ) d) L(1 + csc ) e) L(1 + cot ) 3. En un triángulo isósceles, los lados congruentes miden "L" cada uno y el ángulo desigual mide "2 ". Halle el perímetro del triángulo. a) 2L(1 + sen ) b) L(1 + sen ) c) 2L(1 + cos ) d) L(1 + cos ) e) 2L(1 + tan ) 4. En el rectángulo mostrado, halle su área. B A C L D 2α a) L 2 cot b) 2 L 2 cot c) 2L 2 cot d) L 2 tan e) 2 L 2 tan 5. Del gráfico hallar "AB", si el lado del cuadrado PQRS es "L". A Q R B C P S L θ θ a) Lsen + 2 L cos b) 2 L sen + Lcos c) Lsec + 2 L csc d) 2 L sec + Lcsc e) Ltan + 2 L cot 6. En un triángulo isósceles, el inradio es "r" y los ángulos congruentes miden " " cada uno. Halle uno de los lados congruentes. a) r(cot + cot 2 θ ) b) r(cot 2 θ + tan ) c) r(csc + cot 2 θ ) d) r(sec + tan 2 θ ) e) r(tan + tan 2 θ ) 7. Del gráfico, hallar "tan " en función de " ". A B C 7 2 D β θ a) 3,5tan b) 4,5tan c) 5,5tan d) 4,5cot e) 3,5cot 8. Del gráfico, hallar "tan " en función de " ". A C B D 2 1 H φ β a) β β − β sen 2 cos 2 sec 3 b) β β − β sen cos 2 sec 3 c) β β − β sen cos 3 sec 2 d) β β − β sen 2 cos 3 sec 2 e) β β − β cos 2 sen 2 csc 3 9. En un triángulo ABC: AB = 4, BC = 3 8 y ABC = 60°. Hallar el área del triángulo. a) 8 u 2 b) 12 c) 24 d) 32 e) 64 10.D e l g r á f i c o , h a l l a r : S 2 - S 1 A F B E G C S 2 S 1 2 1 1 4 5 3 D θ a) sen b) 2sen c) 3sen d) 4sen e) 6sen Bloque III 1. Del gráfico, calcular "x". 23 cm A 21º C B x a) 8,2425 cm b) 8,7234 c) 9,1724 d) 5,7432 e) 12,2312 2. Del gráfico, calcular "x". 17 cm A 32º C B x a) 14,4168 cm b) 17,5142 c) 13,1624 d) 6,2354 e) 12,5216 3. Del gráfico, calcular "x". 20 cm A 12º C B x a) 32,1732 cm b) 20,4468 c) 30,2514 d) 26,8442 e) 24,1634 4. Del gráfico, calcular "x". 12 cm A 20º C B x a) 31,2507 cm b) 43,2104 c) 28,3007 d) 32,4306 e) 35,0857 5. Del gráfico, calcular "x". 10 cm A 10º C B D 52º x a) 42,9 cm b) 47,9 c) 51,2 d) 61,2 e) 48,9 6. Del gráfico, calcular "x". A B C 14 cm H x 20º 50º a) 32,3217 cm b) 46,1823 c) 50,2121 d) 53,1724 e) 59,2131 7. Del gráfico, calcular la altura "h" de la torre; si "M" es su punto medio. d θ α a) θ + α cot 2 cot d b) θ + α cot 2 cot d 2 c) α + θ cot 2 cot d 2 d) α + θ cot 2 cot d e) θ + α cot cot d 2 8. Del gráfico, hallar la altura "H" del poste vertical; si: QM = 2MP. d α β S L Q A B P M a) β + α − cot cot 2 ) L d ( 2 b) β + α − cot 3 cot ) L d ( 3 c) β + α − cot cot 2 ) L d ( 3 d) β + α − cot 2 cot 3 ) L d ( 3 e) β + α − cot cot 3 ) L d ( 3 9. Del gráfico, hallar la longitud de la piscina "P" en función de los datos mostrados. P θ φ h L d a) Lcos + d + (h + Lsen )cot b) Lcos + d + (h + Lsen )tan c) Lsen + d + (h + Lcos )tan d) Lsen + d + (h + Lcos )cot e) Lsec + d + (h + Lsen )cot 10.Del gráfico, hallar "R" en función de los datos mostrados. α d R h a) 1 csc d hcot + α + α b) 1 csc d tan h + α + α c) α + α + sec 1 tan d h d) α + α + sec 1 cot d h e) 1 sec d cot h + α + α PAMER - CIENCIAS TRIGONOMETRIA Ángul os ver t i c al es Capít ul o VI Definición: Son aquellos ángulos ubicados en un plano vertical; y que en la práctica son formados por una línea visual y una línea horizontal; como resultado de haberse efectuado una observación. En el gráfico tenemos: α linea visual linea horizontal β l i n e a v i s u a l Línea visual: Une el observador con el objeto a observar. Línea horizontal: Pasa por el ojo del observador y es paralela al nivel del suelo. Del gráfico anterior: ángulo de elevación ángulo de depresión Por ejemplo; si una persona de estatura 2m divisa lo alto de un edificio de altura "H" con un ángulo de elevación de 20°, estando a 40 m de su base. El gráfico sería: 20º 2 m 40 m H Otro ejemplo, sería así: Desde lo alto de una torre de 40 m se divisa un punto en el suelo con un ángulo de depresión de 40°. (Complete) 1. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste de 20 m de altura con un ángulo de elevación de 24°. ¿Cuál es la distancia a la que se encuentra el punto de observación de la base del poste? Resolución: Graficando: 24º 20 m x x = 20cot24º x = 20tan66º x = 20(2,246) x = 44,92 m 2. Desde lo alto de un edificio, se ve dos objetos en tierra a un mismo lado del edificio, con ángulos de depresión " " y " " ( > ). Si la altura del edificio es "H", halle la distancia que separa a los objetos. Resolución: Hcotα x β Hcotβ α H α β Del grafico: Hcot - Hcot = x x = H(cot - cot ) β α β α Pr obl emas r esuel t os 3. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de una torre con un ángulo de elevación de 37°. Si nos acercamos una distancia igual a la mitad de la altura de la torre, el ángulo de elevación es " ". Calcular "tan " y "θ" Resolución: Graficando: 37º θ A 1 B C 6 3 5 i) ii) Sea: BC = 6 A B = 8 ⇒ 1 Pero: A A = 3.... 2 1 BC 2 tan = = 1,2 θ y = arctan = 50,1944285º θ θ θ = 50º11'40" y tan = 1,2 6 5 6 5 A 2 Determinación del ancho de un río. 4. Un topógrafo puede medir el ancho de un río emplazando su tránsito en un punto "C" en un borde del río y visualizando un punto "A" situado en el otro borde. Véase figura. Después de girar un ángulo de 90° en "C", se desplaza 200 metros hasta el punto "B". Aquí mide el ángulo "β" y encuentra que es de 20°. ¿Cuál es el ancho del río? A B C  = 20° a = 200m b Resolución: Buscamos la longitud del lado "b". Conocemos "a" y "b", por lo que usamos la relación: tan = a b para obtener: tan20° = 200 b ⇒ b = 200tan20° ≈ 72,79 metros el ancho es 72,79 m Determinación de la inclinación del sendero de una montaña. 5. Un sendero recto con inclinación uniforme conduce de un hotel con una elevación de 8000 pies a un mirador, cuya elevación es de 11100 pies. La longitud del sendero es de 14100 pies. ¿Cuál es la inclinación del sendero? Resolución: La figura ilustra la situación, buscamos el ángulo " ", como muestra la figura. 14100 3100 sen · β con una calculadora determinamos que: ° ≈ β 7 , 12 La inclinación del sendero es aproximadamente de 12,7° Determinación de una altura mediante el ángulo de elevación. 6. Para determinar la altura de una torre radiotransmisora, un topógrafo se sitúa a 300 metros de su base. Véase la figura. El topógrafo mide el ángulo de elevación y encuentra que es de 40°. Si el tránsito está situado a 2 metros de altura cuando se hace la lectura, ¿qué tan alta es la torre? Resolución: Hotel sendero 14100 pies mirador 11100 pies 3100 pies elevación 8000 pies Hotel 2m La figura muestra un triángulo que replica la ilustración de la figura dada en el problema. Para encontrar la longitud "b", usamos la relación: tan = b/a. Entonces: b = atan = 300tan40° = 251,73 metros La altura real es: 251,73 + 2 = 253,73 m Determinación de la altura de una estatua sobre un edificio. 7. Sobre la azotea del edificio de la Cámara de Comercio de Chicago, se encuentra una estatua de la diosa griega Ceres, diosa de la agricultura. Se hacen dos observaciones desde el nivel de la calle y a 400 pies desde el centro del edificio. El ángulo de elevación hasta la base de la estatua resulta ser de 45,0° y el ángulo medido hasta la parte superior de la estatua resulta ser de 47,2°. Véase la figura. ¿Cuál es la altura de la estatua? 45° 47,2° β = 45° β’ = 47,2° 400 pies Resolución: 45° 47,2° β = 45° β ’ = 47,2° b b ’ a = 400 pies a = 400 pies La figura muestra dos triángulos que replican la figura anterior. La altura de la estatua será: b' - b. Para encontrar b y b': 400 ' b 2 , 47 tan 400 b 45 tan · ° ∧ · ° b = 400tan45° = 400 b' = 400tan47,2° = 431,96 La altura de la estatua es aproximadamente de 32 pies. Cuando no es posible alejarse de la base del objeto cuya altura se busca, se requerirá de un procedimiento más imaginativo. Determinación de la altura de una montaña 8. Para medir la altura de una montaña, un topógrafo toma dos visuales de la cima desde dos posiciones separadas entre sí 900 metros sobre una línea directa a la montaña. Véase la figura. La primera observación da un ángulo de elevación de 47° y la segunda uno de 35°. Si el tránsito está a 2 metros del suelo, ¿cuál es la altura "h" de la montaña? 35° 900 m h 47° Resolución: 35° 47° 900 m h β’ = 35° β = 47° La figura muestra dos triángulos que replican la ilustración de la figura. A partir de los dos triángulos mostrados, encontramos que: a b 47 tan 900 a b 35 tan a b tan 900 a b ' tan · ° + · ° · β + · β Éste es un sistema de dos ecuaciones con dos variables, "a" y "b". Puesto que buscamos "b", escogemos despejar el valor de "a" en la ecuación de la derecha y sustituir el resultado, a = b/tan47° = bcot47°, en la ecuación de la izquierda. Obtenemos: 900 47 cot b b 35 tan + ° · ° b = (bcot47° + 900)tan35° b = bcot47°tan35° + 900tan35° b(1 - cot47°tan35°) = 900tan35° 1816 47 tan 35 tan 1 35 tan 900 35 tan 47 cot 1 35 tan 900 b · ° ° − ° · ° ° − ° · La altura del pico desde el nivel del suelo es por tanto: 1816 + 2 = 1818 metros Bloque I 1. Desde un punto en tierra ubicado a 40 m de la base de una torre, se divisa su parte más alta con un ángulo de elevación de 40°. ¿Cuál es la altura de la torre? a) 33,56399 m b) 42,5541 c) 38,2172 d) 26,3147 e) 29,1723 2. Desde lo alto de un acantilado se divisa un objeto en el suelo con un ángulo de depresión de 54°, a una distancia de su base aproximadamente igual a 410 m. ¿Cuál es la altura del alcantilado? a) 574,3279 m b) 564,3166 c) 610,1243 d) 528,2631 e) 617,2432 3. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un poste de altura "h" con un ángulo de elevación " ". Si nos acercamos una distancia "D" el ángulo de elevación es " ". Hallar "D". a) h(tan - tan ) b) h(cot - cot ) c) h(cos - cos ) d) h(sen - sen ) e) h(sec - sec ) 4. Desde lo alto de un faro se ven dos barcos en direcciones opuestas con ángulos de depresión " " y " ". Si la altura del faro es "h"; halle la distancia que separa a los barcos. a) h(cos + cos ) b) h(sen + sen ) c) h(tan + tan ) d) h(cot + cot ) e) h(sec + sec ) 5. Desde lo alto de un muro de 3,6 m se ve lo alto de un poste con un ángulo de elevación de 53° y su parte baja con un ángulo de depresión de 37°. ¿Cuál es la altura del poste? a) 10 m b) 12 c) 18 d) 9 e) 8 6. Desde lo alto de un edificio se ve la parte alta y baja de un árbol con un ángulo de depresión de 45° y 53°. Si la altura del edificio es 24 m, calcular la altura del árbol. a) 2 m b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 7. Desde un punto en tierra se ve la parte alta del sexto piso de un edificio con un ángulo de elevación de 37°. Calcular aproximadamente el ángulo de elevación con que se vería lo alto del noveno piso. a) 47°25'32" b) 46°31'28" c) 48°21'59" d) 49°17'38" e) 54°21'38" 8. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un edificio con un ángulo de elevación de 20°. Si nos acercamos una distancia igual a la altura del edificio, el ángulo de elevación es: a) 32°27'45" b) 29°46'50" c) 40°18'35" d) 28°24'18" e) 26°42'50" 9. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un poste con un ángulo de elevación " ". Nos acercamos una distancia igual a la altura del poste y el ángulo de elevación es "90° - ". Calcular: K = cot 2 + tan 2 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 10.Desde el punto medio de la distancia que separa las bases de dos edificios, los ángulos de elevación son complementarios. Calcular el producto de las cotan- gentes de los ángulos de elevación con que se ve lo alto de cada edificio desde la base del edificio opuesto. a) 2 b) 3 c) 4 d) 8 e) 16 Bloque II 1. Desde un punto en tierra ubicado a 18 m de la base de un edificio, se ve su parte más alta con un ángulo de elevación de 70°. ¿Cuál es la altura del edificio? a) 49,4546 m b) 46,3218 c) 39,2872 d) 52,1728 e) 54,3624 2. Desde lo alto de una torre se divisa un objeto en el suelo con un ángulo de depresión de 20°; a una distan- cia de su base igual a 32 m. ¿Cuál es la altura de la torre? a) 8,3216 m b) 11,1220 c) 11,6470 d) 10,2132 e) 14,2136 3. Desde un punto del suelo se ve una torre de altura "h" con un ángulo de elevación " ". Si nos alejamos una distancia "x", el ángulo de elevación es " ". Hallar "x". a) h(cot - cot ) b) h(tan - tan ) c) h(cos - cos ) d) h(sen - sen ) e) h(tan + tan ) Pr obl emas par a l a c l ase 4. Desde lo alto de un poste se ve un móvil, a un lado de él con un ángulo de depresión " "; después de que el móvil recorrió "L" y está ubicado al otro lado del poste el ángulo de depresión es " ". Hallar la altura del poste. a) L(tan + tan ) b) L(cot + cot ) c) β + α cot cot L d) β + α sen sen L e) β + α tan tan L 5. Desde lo alto de un muro de 9 m de altura, se ve las partes alta y baja de un edificio con ángulos de elevación y depresión de 45° y 37° respectivamente. ¿Cuál es la altura del edificio? a) 19 m b) 20 c) 21 d) 23 e) 29 6. Desde lo alto de una torre se ve la parte alta y baja de un muro con ángulos de depresión de 37° y 45° respectivamente. Si la torre mide 16 m, ¿cuánto mide el muro? a) 2 m b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 7. Desde un punto en tierra se ve lo alto de una torre con un ángulo de elevación de 45°. Si nos alejamos una distancia igual al triple de la altura de la torre, el ángulo de elevación sería: a) 14°2'10" b) 16°2'18" c) 13°2'12" d) 10°10'4" e) 8°21'30" 8. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un muro con un ángulo de elevación de 50°. Si nos alejamos una distancia igual al doble de la altura del muro, el ángulo de elevación mide: a) 18°21'42" b) 9°24'13" c) 20°21'43" d) 19°21'42" e) 18°32'14" 9. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un poste con un ángulo de elevación " ". Nos alejamos una distancia igual a la altura del poste y el ángulo de elevación es 90° - . Calcular: K = tan 2 + cot 2 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 8 10.Si desde un punto en tierra se ve las partes altas del cuarto y noveno piso de un edificio con ángulos de elevación "α" y "90° - α" respectivamente, calcular: tanα a) 3 2 b) 2 3 c) 3 4 d) 4 3 e) 3 1 Bloque III 1. La torre Eiffel, terminada el 31 de marzo de 1889, fue la torre más alta hasta que inició la era de las torres de televisión. Encuentre la altura de la torre Eiffel (sin el mástil de televisión instalado en su parte superior) usando la información dada en la figura. 85,361° 50 pies 2. Un barco, cerca de un acantilado vertical de 100 pies de altura, hace una lectura del borde del acantilado. Si el ángulo de elevación es de 25°, ¿qué tan lejos está el barco de la costa? 3. Suponga que se dirige hacia una meseta de 50 metros de altura. El ángulo de elevación a la meseta es de 20°. ¿Qué lejos está usted de la base de la meseta? 4. Un barco se encuentra en la bahía de Nueva York; desde él se toma una visual a la estatua de la libertad, que tiene aproximadamente 305 pies de altura. Si el ángulo de elevación a la parte superior de la estatua es de 20°, ¿qué tan lejos está el barco de la base de la estatua? 5. Para medir la altura de un edificio, se toman dos visuales desde dos puntos situados a 50 pies entre sí. El ángulo de elevación de la primera es de 40° y el de la segunda es de 32°. ¿Cuál es la altura del edificio? 6. Una de las siete maravillas del mundo antiguo, la gran pirámide de Keops fue construida alrededor del año 2580 a.C. Su altura original era de 480 pies 11 pulgadas, pero debido a la pérdida de sus bloques superiores, es ahora algo más baja. Encuentre la altura actual de la gran pirámide a partir la información dada en la figura. 200 pies 40,3° 46,27° 7. Se debe hacer pasar un rayo láser a través de un pequeño agujero en el centro de un círculo de 10 pies de radio. El origen del rayo está a 35 pies del círculo (véase la figura). ¿Con qué ángulo de elevación debe dirigirse el rayo para que pase por el agujero? 8. Dos observadores miden simultáneamente el ángulo de elevación de un helicóptero. Un ángulo resulta de 25° y el otro de 40° (véase la figura). Si los observadores están a 100 pies uno del otro y el helicóptero se encuentra sobre la línea que los une, ¿qué tan alto vuela el helicóptero? 9. Un alambre sujetador de 80 pies de longitud está unida a la parte superior de una torre formando un ángulo de 25° con el terreno. ¿Qué tan alta es la torre? 10.Los ojos de un jugador de baloncesto están a 6 pies del piso. El jugador se encuentra en la línea de tiro libre que está a 15 pies del centro del borde de la canasta. (Véase la figura). ¿Cuál es el ángulo de elevación de los ojos del jugador al centro del borde? (Sugerencia: el borde está a 10 pies arriba del suelo) 11.Un carpintero va a techar un garaje de 20 x 40 x 20 pies. Coloca una columna de soporte de acero de 46 pies de altura en el centro del garaje. Para apoyar el techo, una viga se unirá a la parte superior de la columna (veáse la figura). ¿Qué ángulo de elevación tiene la viga? En otras palabras, ¿qué inclinación tendrá el techo? viga 20 pies 46 pies 40 pies 20 pies 12.Determinación de distancias desde el mar. El navegante de un barco visualiza dos faros separados 3 millas entre sí a lo largo de un tramo recto de la costa. Determina que los ángulos formados entre las dos líneas visuales a los faros y la visual dirigida perpendicularmente a la costa miden 15° y 35°. Véase la figura. a) ¿Qué tan lejos está el barco de la costa? b) ¿Qué tan lejos está el barco del faro "A"? c) ¿Qué tan lejos está el barco del faro "B"? 15° 35° A P B 3 millas PAMER - CIENCIAS TRIGONOMETRIA R. T. de ángul os de c ual qui er magni t ud Capít ul o VI I • Posición de un punto en un plano Antiguamente los egipcios, y más tarde los romanos, señalaban la posición de los edificios dando sus distancias a ciertas rectas determinadas. Esas distancias (a rectas perpendiculares) se conocen hoy bajo el nombre de coordenadas rectangulares. Las dos rectas perpendiculares entre sí reciben el nombre de ejes. El eje horizontal se conoce como eje "X", el eje vertical como eje "Y" y su punto de intersección como origen. Dichos ejes dividen al plano en cuatro cuadrantes que se enumeran como se muestra en la figura. y x cuadrante I cuadrante II cuadrante IV cuadrante III 0 Obsérvese que los cuadrantes se enumeran siempre en el sentido contrario al de las manecillas del reloj. (1) Las medidas se consideran positivas cuando se toman hacia la derecha del eje vertical o hacia arriba del eje horizontal. (2) Las medidas se consideran negativas cuando se toman hacia la izquierda del eje vertical o hacia abajo del eje horizontal. La posición exacta de cualquier punto del plano se acostumbra indicar por medio de dos números reales con signo (es decir, números precedidos por el signo + o el signo -). Debe sobrentenderse que el primero de dichos números indica siempre una medida hacia la derecha o hacia la izquierda del eje vertical, mientras que el segundo número indica una medida hacia arriba o hacia abajo del eje horizontal. Tal como sucede en álgebra, si un número no va precedido de signo se considera positivo. Consecuentemente, una pareja ordenada de números constituye las coordenadas de un cierto punto; cada una de las coordenadas recibe un nombre particular. La primera de estas medidas, hacia la derecha o hacia la izquierda del eje vertical, se conoce con el nombre de abscisa del punto, que es una palabra latina usada para designar un segmento de recta que "corta" a otra recta de longitud indefinida (del latín: ab, "desde" y scindere, "cortar") La segunda de estas medidas, hacia arriba o hacia abajo del eje horizontal, se conoce con el nombre de ordenada del punto. Es posible que a dicha medida se le asignara el nombre de ordenada debido a que se toma paralela al eje vertical (los matemáticos del medievo llamaban a una recta paralela a otra línea applicata ordinata, "recta colocada en orden") y abscisa de P abscisa de S abscisa de Q o r d e n a d a d e R o r d e n a d a d e Q o r d e n a d a d e S x P S R Q abscisa de R o r d e n a d a d e P 0 En un sistema de coordenadas rectangulares: el origen es el punto de intersección de los ejes, la abscisa es la distancia perpendicular trazada desde un punto al eje vertical o eje "Y"; la ordenada es la distancia perpendicular trazada desde un punto al eje horizontal o eje "X". Antes de introducir a la trigonometría esas palabras abscisa y ordenada, debemos comprender claramente los principios establecidos anteriormente. Las figuras nos ilustran sobre ellos y deben ser estudiadas cuidadosamente. Cualquier punto sobre esta recta de trazos interrumpi- dos tendrá de abscisa +2 Cualquier punto sobre esta recta de trazos interrumpi- dos tendrá de ordenada -4 Cualquier punto sobre esta recta de trazos interrumpi- dos tendrá de ordenada +4 Cualquier punto sobre esta recta de trazos interrumpi- dos tendrá de abscisa -3 0 y x P(- 3,+4) Q (+2,+4) R(-3, -4) S(+2, -4) 0 y x 4 -3 2 -4 • El ángulo de cualquier magnitud Para una mejor comprensión de la trigonometría, se requiere una definición más amplia de ángulo que la conocida de la geometría elemental: "es la figura formada por dos rectas que se cortan en un punto llamado vértice". Consideremos un rayo OC girando alrededor de un punto fijo "0" que pertenece también al eje de abscisas (eje x) x x C E 0 0 Figura "a" Figura "b" y y La magnitud del giro de OC, desde su posición original en OX, recibe el nombre de ángulo. Cuando el giro es en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, el ángulo es positivo; cuando el giro es en el sentido de las manecillas del reloj, el ángulo es negativo. La figura "a" muestra un ángulo positivo y la figura "b" muestra un ángulo negativo. El lado del ángulo, a partir del cual empieza el giro, se llama lado inicial. El lado cuyo movimiento genera el ángulo y determina su tamaño por la posición que ocupa al detenerse el giro, recibe el nombre de lado final (OC en la figura "a", OE en la figura "b"). Estos ángulos así obtenidos se van a denominar ángulos en posición normal o en posición canónica. Se dice que un ángulo pertenece a un determinado cuadrante cuando el lado final detiene su movimiento en dicho cuadrante. Si el lado final coincide con uno de los ejes, a 90°, 180°, 270° ó 360°, se dice que es un ángulo cuadrantal. • Ángulos coterminales En trigonometría se trabaja con frecuencia con ángulos mayores de una vuelta (mayor que dos ángulos llanos). Por consiguiente, el lado final de cualquier ángulo coincide con el de muchos otros ángulos. Consideremos un ángulo de 400° como el de la figura. El lado final de dicho ángulo está en la misma posición que el de un ángulo de 40° ó 760° (40° + 360° + 360°) ó 40° más un número cualquiera de revoluciones completas. Tales ángulos reciben el nombre de ángulos coterminales. Se observará que, excepto por el total de revoluciones que intervienen en la generación del ángulo, las propiedades de todos los ángulos coterminales son las mismas. Es fácil ver que un ángulo de -320° es coterminal con los ángulos de 40°, 400° y 760° mencionados arriba. 0 y x • Definición de las razones trigonométri- cas de un ángulo en posición normal. Nota: En trigonometría, se emplean, con frecuencia, letras del alfabeto griego para representar, de un modo general, el número de grados de un ángulo. Cuando se hace uso de ellas, el símbolo de grados (°) no necesita añadirse. Algunas letras griegas son: α(alfa), β(beta), γ(gama), θ(theta), φ(fi), ω(omega) Supongamos una recta OR sobre el eje horizontal, tal como se muestra en la figura "a". Cuando el lado inicial está en dicha posición se dice que el ángulo está en posición ordinaria. Ahora, si se gira en torno de "0", en sentido contrario al de las manecillas del reloj, determinará un ángulo positivo "θ" (figura "b") 0 0 θ R Figura "a" Figura "b" y x y x Desde "R", un punto cualquiera del lado final, trazamos RP perpendicular al eje horizontal, de esta manera se forma un triángulo rectángulo en el cual el lado OP es la abscisa del punto "R", RP es la ordenada y OR se conoce como distancia del origen al punto o como radio vector. Si el punto "R" se tomara en la posición R 1 o R 2 , las longitudes de los lados del triángulo variarían, pero las razones de lados homólogos continuarían siendo las mismas, puesto que los triángulos son semejantes para cualquier ángulo dado, "θ". La figura II muestra un ángulo en cada uno de los cuatro cuadrantes y en cada caso se ha trazado una perpendicular RP desde un punto cualquiera "R" del lado final, al eje horizontal. El triángulo formado por la abscisa, la ordenada y el radio vector, como se muestra en cada uno de los cuadrantes, recibe el nombre de triángulo de referencia. Considerando las razones entre dichos segmentos, definiremos las seis funciones trigonométricas para un ángulo de cualquier magnitud. 0 R R 1 R 2 P P 1 P 2 θ R R R R P P P P 0 0 0 0 θ θ θ θ ) R de ( ordenada vector radio PR OR csc ) R de ( abscisa vector radio OP OR sec ) R de ( ordenada ) R de ( abscisa PR OP cot ) R de ( abscisa ) R de ( ordenada OP PR tan vector radio ) R de ( abscisa OR OP cos vector radio ) R de ( ordenada OR PR sen · ] ¸ · θ · ] ¸ · θ · ] ¸ · θ · ] ¸ · θ · ] ¸ · θ · ] ¸ · θ Estas definiciones nos permiten escribir expresiones para las funciones de ángulos de cualquier magnitud, ya que cualquiera que sea la posición del radio vector se tendrán los mismos valores para la abscisa y la ordenada. • Signos de las razones trigonométricas para cualquier ángulo Tan pronto como aplicamos estas definiciones a ángulos diferentes de los agudos, debemos considerar los signos ya que, con excepción del primer cuadrante, la abscisa, la ordenada o ambas coordenadas son negativas. El radio vector se considera siempre positivo. En el segundo cuadrante la abscisa es negativa, de tal modo que la razón que utilice la abscisa con la ordenada o el radio vector será negativa. En todas las funciones, excepto el seno y la cosecante interviene la abscisa, bien sea en el numerador o en el denominador de la razón. Por consiguiente, en el segundo cuadrante, el seno y la cosecante son positivas y todas las demás funciones son negativas. De modo análogo, en el tercer cuadrante, en el cual tanto la abscisa como la ordenada son negativas, sólo la tangente y la cotangente son positivas. En el cuarto cuadrante, donde sólo la ordenada es negativa, el coseno y la secante son las únicas funciones que son positivas. Las ilustraciones de la figura II muestran los signos del seno, del coseno y de la tangente de ángulos que pertenecen a diferentes cuadrantes. Los signos de la cosecante, de la secante y de la cotangente serán, naturalmente, los mismos que los de sus correspondientes recíprocas seno, coseno y tangente. solamente sen csc + Todos + solamente tan cot solamente cos sec + + Figura I Figura II Figura I sen = + θ sen = - θ sen = + θ sen = - θ cos = - θ cos = - θ cos = + θ cos = + θ tan = - θ tan = + θ tan = + θ tan = - θ 3 5 3 5 3 5 3 5 4 5 4 5 4 5 4 5 3 4 3 4 3 4 3 4 y y y y x x x x +3 -3 +3 -3 +5 +5 +5 +5 -4 -4 +4 +4 Cuadrante I I I Cuadrante I I Cuadrante I V Cuadrante I θ θ θ θ 1. Si el punto P(-3;2) pertenece al lado final de un ángulo canónico "θ"; calcular: A = senθ.cosθ Resolución: i) ii) iii) ordenada = opuesto abscisa = adyacente r.v. = ord + abs 2 2 A = 2 13 -3 x A = 13 ⇒ -6 13 A C B 13 2 -3 θ 2. Si el punto P(-3;-4) pertenece al lado final del ángulo canónico "β", calcular: C = secβ + tanβ Resolución: i) ii) iii) ordenada = opuesto abscisa = adyacente r.v. = abs + ord 2 2 C = 5 -3 -4 C = -3 ⇒ -1 3 A C B 5 -4 -3 β + 3. Si el punto P(2;-5) pertenece al lado final del ángulo canónico "β", calcular: C = tanβ + cotβ Resolución: C = -5 2 2 C = -2,9 -5 ⇒ 29 -5 2 β + 4. Si el punto P(2;-1) pertenece al lado final del ángulo en posición normal "α", calcular: Q = secα.tanα Resolución: Q = 5 2 -1 Q = 2 ⇒ 5 -1 2 α x - 5 4 Pr obl emas r esuel t os Figura II 5. Si: senβ > 0 cosβ < 0, entonces "β" pertenece al: Resolución: i) Como: senβ > 0 → senβ: positivo, por lo tanto: β ∈ 2°C ó 1°C ii) Además: cosβ < 0→ cosβ: negativo, por lo tanto: β ∈ 2°C ó 3°C Como deseamos que ambas condiciones se cumplan, entonces: 2°C 6. Si: cosα < 0 tanα > 0; entonces "α" pertenece al: Resolución: i) Como: cosα < 0 → cosα: negativo, por lo tanto: α ∈ 2°C ó 3°C ii) Además: tanα > 0→ tanα: positivo, por lo tanto: α ∈ 1°C ó 3°C Entonces: α ∈ 3°C 7. Si: , C II , 3 1 sen ∈ β · β calcular "cosβ" Resolución: 3 1 -2 2 β Como: IIC abs = (-) β ∈ → ord = (+) Por lo tanto: cos = β -2 2 3 8. Si: , IVC ; 3 1 cos ∈ β · β calcular "tan " Resolución: 3 -2 2 1 β Como: I VC abs = (+) β ∈ → ord = (-) Por lo tanto: tan = -2 2 β 9. Señale el signo de: ° ° ° ° · 250 cot . 190 sen 310 cos . 200 tan Q Resolución: i) 200° ∈IIIC→ tan200° : (+) ii) 310° ∈IVC→ cos310° : (+) iii) 190° ∈IIIC→ sen190° : (-) iv) 250° ∈IIIC→ cot250° : (+) Por lo tanto: ) ( Q ) ( ) ( ) ( ) ( Q − · ∴ → + − + + · 10.Si: β ∈ IIC; IIIC y θ ∈ IVC Señale el signo de: θ + β β − α · tan tan sen sen C Resolución: i) II C→ sen : (+) tanβ : (-) ii) IIIC→ sen : (-) iii) IVC→ tan : (-) Reemplazando: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( C + · − − · − + − + − − · Bloque I 1. Del gráfico mostrado, calcular: E = senφ.cosφ y x ( 3, y) 0 5 φ a) 2 6 b) 5 3 c) 5 6 d) 10 6 e) 1 2. Del gráfico mostrado, calcular: E = cscα + cotα α y x (-7; -24) Pr obl emas par a l a c l ase a) 4 3 b) - 4 3 c) 3 4 d) - 3 4 e) - 2 3 3. Del gráfico mostrado, calcular: E = tanθ + cotθ θ 6 x y ( 2; y) a) 4 2 3 b) - 4 2 3 c) 2 2 3 d) - 2 2 3 e) 3 2 4. Si el punto P(-12;5) pertenece al lado final de un ángulo c a n ó n i c o " "; calcular: M = sec + tan a) 1 b) 1,5 c) -1,5 d) 2,5 e) -2,5 5. Si el lado final de un ángulo positivo en posición normal "θ" pasa por el punto (-1;2), hallar el valor de: θ + θ · tan sen 5 E a) 4 b) 0 c) -4 d) 2 e) -2 6. Si: cscθ > 0 y secθ < 0. ¿En qué cuadrante está "θ"? a) I b) II c) III d) IV e) Es cuadrantal 7. Señale el signo de: ° ° − ° · 110 tan 200 cos 140 sen J a) (+) b) (-) c) (+) ó (-) d) (+) y (-) e) No se puede precisar 8. Señale el signo de: ° + ° ° ° − ° ° · 216 sen 290 cos 300 sen 140 tan 100 cos 200 sen J a) (+) b) (-) c) (+) ó (-) d) (+) y (-) e) No se puede precisar 9. Si: sen = -0,6; IV C. Calcular: K = sec + tan a) 2 b) -2 c) 2 1 d) - 2 1 e) 3 10 S i : c o t φ = 0,25 φ ∈ IIIC, hallar el valor de: E = 17 cosφ + tanφ a) 5 b) -5 c) -3 d) 3 e) 6 Bloque II 1. Del gráfico mostrado, calcular: E = secθ + tanθ (x; 5) 13 θ a) 2 3 b) - 2 3 c) 4 3 d) - 4 3 e) - 3 4 2. Del gráfico mostrado, calcular: E = cotβ - cscβ β 17 (15; y) a) 2 1 b) - 2 1 c) 4 1 d) - 4 1 e) -4 3. Del gráfico mostrado, calcular: E = senα + cscα (x; 3) 2 α y x a) 4 3 7 b) - 4 3 7 c) 3 6 7 d) 6 3 7 e) - 6 3 7 4. Si el punto (-9;-40) pertenece al lado final de un ángulo negativo en posición normal "α". Hallar el valor de: E = cscα + cotα a) 5 4 b) - 4 5 c) - 5 4 d) 4 5 e) - 3 4 5. Si el punto P(-5; 12) pertenece al lado final del ángulo c a n ó n i c o " "; calcular: K = sec - tan a) 5 1 b) - 5 1 c) 5 d) -5 e) - 5 2 6. En qué cuadrante se ubica " ", si: sen > 0 y cot < 0 a) I C b) II C c) III C d) IV C e) No se puede determinar 7. Señale el signo de: ° ° + ° · 300 tan 110 cos 200 sen J a) (+) b) (-) c) (+) ó (-) d) (+) y (-) e) No se puede precisar 8. Señale el signo de: ° + ° ° − ° ° · 100 cos 290 sen 130 sen 1 200 tan 100 cos J a) (+) b) (-) c) (+) ó (-) d) (+) y (-) e) No se puede precisar 9. Si: senθ = 3 1 ∧ θ ∈ IIC, hallar el valor de: E = tanθ - secθ a) 2 b) 2 2 c) - 2 d) - 2 2 e) 1 10.Si: senβ = - 3 2 β ∈ I VC. Hallar el valor de: ) tan (sec 5 E β − β · a) 1 b) -1 c) -5 d) 5 e) 5 Bloque III 1. "c" es el radio vector de un punto P(a;b) tal que: asenθ + bcosθ = c, si "θ" es la medida de un ángulo en posición normal, hallar: M = tanθ + cotθ a) M = 2 b) M = 4 c) M = 3 d) M = 5 e) M = 1 2. "d" es el radio vector de un punto P(x;y) que pertenece al lado final de un ángulo en posición normal "θ" tal que: x y x cos sec 2 2 − + · θ − θ Reducir: I = tanθ(cscθ + cotθ) a) I = 4 d b) I = 2 d c) I = d d) I = -d e) I = 3 d 3. El punto P(x;y) está en el lado final de un ángulo en posición normal "θ" siendo "d" su radio vector, tal que: senθ + cosθ = d Calcular el radio vector del punto: · · , _ ¸ ¸ − − 2 1 y ; 2 1 x Q a) 2 2 3 b) 2 3 5 c) 2 d) - 2 3 e) 2 2 4. "θ" y "φ" son las medidas de dos ángulos en posición normal situados en diferentes cuadrantes, tal que: tanθ < cosφ < -cosφ < senφ Hallar el signo de: ) csc( ) cot( ) cos( . ) ( sen A ) 270 tan( ) 180 sec( . sen P θ − + φ − φ − θ − · φ + ° φ + ° θ · a) (+),(+) b) (-),(-) c) (+),(-) d) (-),(+) e) N.A. 5. Si: 15 1 2 6 1 2 1 cos 1 · + + + θ y IIC. Hallar "x", si además: x cos x sen cot + θ + θ · θ a) - 13 7 b) - 13 6 c) - 11 5 d) - 15 7 e) 13 7 6. Hallar el signo de la expresión: θ θ θ + θ θ · cos sen csc | sec | tan K 3 a) (+) b) (-) c) (+) o (-) d) (+) y (-) e) N.A. 7. Si se cumple: 0 cos sec 0 tan cot sen 2 < θ − α ∧ > θ − α θ Hallar el signo de: M = senα.cosθ + cotθ.tanα a) (-) b) (+) c) (+) y (-) d) (+) o (-) e) N.A. 8. Dadas las siguientes relaciones: 0 sec csc sec 0 tan cot cot > β − φ β < β − φ φ Obtener el signo de: φ − β β + φ · tan cos sen tan Q a) (+) b) (-) c) (+) y (-) d) (+) o (-) e) N.A. 9. Si: 0 cos .... 35 1 5 1 3 1 sen os min tér " n " < θ ∧ − − − − · θ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ ¸ Hallar el valor de: ) sec (tan 1 n 3 1 n E θ − θ + + · a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2 10.Del gráfico mostrado, hallar "tan tanβ", en términos de "a" y "b", siendo ABCD un cuadrado. β C D A(-a;0) B(0;b) θ y x Rpta: · · , _ ¸ ¸ + + a 2 b b 2 a b a PAMER - CIENCIAS TRIGONOMETRIA R. T. de un ángul o de c ual qui er magni t ud I I Capít ul o VI I I • Ángulo cuadrantal Un ángulo en posición normal se llamará CUADRANTAL cuando su lado final coincide con un semieje. En consecuencia no pertenecen a ningún cuadrante. Los principales ángulos cuadrantales son 0°; 90°; 180°; 270° y 360°; y todo ángulo cuadrantal tiene como medida un múltiplo de 90°. 90° 180° 360° 270° 0° I II III IV Si es cuadrantal = 90º.n; n Z " " θ ⇒ θ ∈ • R.T. de ángulos cuadrantales Como ejemplo vamos a calcular las R.T. de 90°, análogamente se van a calcular las otras R.T. de 0°; 180°; 270° y 360°. o (x;y) Y X 90° r Del gráfico, observamos que: x = 0 r = y; por tanto: o (0;y) Y X 90° y sen90° = r y = y y =1 cos90° = r x = y 0 =0 tan90° = x y = 0 y =no definido cot90° = y x = y 0 =0 sec90° = x r = 0 y =no definido csc90° = y r = y y =1 Análogamente: SEN COS TAN COT SEC CSC 0° 0 1 0 ND 1 ND 90° 1 0 ND 0 ND 1 180° 0 -1 0 ND -1 ND 270° -1 0 ND 0 ND -1 360° 0 1 0 ND 1 ND • Ángulos coterminales Dos ángulos en posición normal se llamarán COTERMINALES o COFINALES si sus lados finales coinciden. Ejemplos: 1. β Y X Y X θ α φ " " " " α β y son coterminales " " " " φ θ y son coterminales 2. Y X Y X 410° y 50° son coterminales 120° y -240° son coterminales 50° 410° -240° 120° Propiedad La diferencia de las medidas de dos ángulos coterminales siempre nos dará como resultado un número entero positivo de vueltas. Si " " y " " son coterminales tal que: > entonces se cumple que: - = k(360°) ; k ZZ Ejemplos: 1. 750° y 30° son coterminales porque: 750° - 30° = 720° = 2 vueltas 2. 330° y -30 son coterminales porque: 330° - (-30°) = 360° = 1 vuelta 3. 2200° y 40° son coterminales porque: 2200° - 40° = 2160° = 4 vueltas 4. 80° y -1000° son coterminales porque: 80° - (-1000°) = 1080° = 3 vueltas 5. 450° y -90° no son coterminales porque: 450° - (-90°) = 540° ≠ # vueltas • Razones trigonométricas de ángulos co- terminales Y X r (x;y) α β " " y " " son coterminales, entonces se cumple que: β · α ⇒ · β ∧ · α β · α ⇒ · β ∧ · α β · α ⇒ · β ∧ · α tan tan x y tan x y tan cos cos r x cos r x cos sen sen r y sen r y sen Análogamente: cot = cot sec = sec csc = csc Ejemplos: 1. 750° y 30° son coterminales sen750° = sen30° 2. 330° y -30° son coterminales cos330° = cos(-30°) 3. 2200° y 40° son coterminales tan2200° = tan40° 4. 80° y -1000° son coterminales cot80° = cot(-1000°) 5. 400° y 20° no son coterminales sec400° ≠ sec20° En general: Si " " y " " son coterminales entonces se cumple que: R.T. ( ) = R.T. ( ) Propiedad Si " " y " " son coterminales, tal que: > entonces: R.T. ( ) = R.T. ( ) ....... (I) pero: - = k(360°) = k(360°) + Reemplazamos en (I): R.T. [k(360°) + ] = R.T.( ) Ejemplos: 1. sen1845° = sen(1800° + 45°) = sen45° = 2 2 2. cos630° = cos(360° + 270°) = cos270° = 0 3. tan900° = tan(720° + 180°) = tan180° = 0 4. sen125 = sen(124 + ) = sen = 0 5. cos23 2 π = · · , _ ¸ ¸ π + π 2 3 10 cos = 2 3 cos π = 0 6. tan12345 = tan(12344 + ) = tan = 0 1. Calcular el valor de: ° ° ° + ° ° − ° · 270 cot 90 sen ) 180 (sec 0 cos 360 tan ) 270 (cos E Resolución: Aplicando las razones trigonométricas de ángulos cuadrantales 1 E ) 1 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 ( E 0 ) 1 ( · ∴ → − + − · 2. Calcular el valor de: )] sen cos[tan( )] 2 (cos sen tan[ E π − π · Resolución: Aplicando las razones trigonométricas de ángulos cuadrantales E = tan[sen(0)] - cos[tan(0)] E = tan[0] - cos[0] E = 0 - (1) ∴ E = (-1) 3. Hallar el mayor de dos ángulos coterminales, si la suma de ambos es 2480° y el menor de ellos está comprendido entre 304° y 430°. Resolución: Como son ángulos coterminales, entonces: - = 360°n por condición: n 360 2480 2 : restando ...(2) n 360 ...(1) 2480 ° − ° · β ¹ ; ¹ ° · β − α ° · β + α entonces: 304° < 1240° - 180°n < 430° ° − ° − < < ° − ° − 180 936 n 180 810 ∴ 4,5 < n < 5,2 n = 5 reemplazando en (1) y (2): ° · α ¹ ; ¹ ° · β − α ° · β + α 2140 : sumando 1800 2480 4. Hallar la medida de dos ángulos coterminales que están en la relación de 3 a 5 y la suma de ambas está comprendida entre 4032° y 4608°. Resolución: Sean los ángulos coterminales " " y " " - = 360°n .... (1); por condición: ) 2 ( .... 5 3 · α β Además: 4032° < + < 4608° .... (3) De (2): = 5 3 , reemplazando en (1): - 5 3 = 360°n = 900°n reemplazando en (3) : 4032°<900°n + 5 3 900°n<4608° 4032° < 1440°n < 4608° 2, ... < n < 3, ... ∴ n = 3 Como: = 900°n = 900°(3) = 2700° = 5 3 = 5 3 (2700°) = 1620° 5. Si: " " y " " son ángulos coterminales y suman 90°. Hallar , " " β α cuando: 220° < < 260° Resolución: ) 3 ...( 45 k 180 : sumando ) 2 ( ... k 360 ) 1 ( ...... 90 ° + ° · α ¹ ; ¹ ° · β − α ° · β + α por condición: 220° < < 260° 220° < 180°k + 45° < 260° ∴ 0, ... < k < 1, ... de donde: k = 1, en (3): = 180° (1) + 45° = 225° ; = -135°, de donde: 3 5 − · β α 6. Siendo " " un ángulo en posición normal del IIC, calcular el valor de: E = 2sen - 3 sec , sabiendo que se cumple: 3 1 4 1 3 1 4 1 2 3 sec 5 , 1 + + + + · θ − Resolución: Reduciendo la fracción ilimitada 3 1 4 1 3 1 4 1 P + + + · Pr obl emas r esuel t os n 180 1240 n 360 2480 2 : restando ...(2) n 360 ...(1) 2480 ° − ° · β ∴ → ° − ° · β ¹ ; ¹ ° · β − α ° · β + α P = 1 4 + 1 3 + P resolviendo la ecuación: P = - 3 2 + 3 P = - - 3 3 2 (absurdo) Luego se tendrá: + + + + + · θ − 3 1 4 1 3 1 4 1 2 3 sec 5 , 1 3 3 2 sec 3 2 3 2 3 sec 5 , 1 − · θ ∴ → · , _ ¸ ¸ + − + · θ − ⇒ Graficando: reemplazando: E = 2sen - 3 secθ θ E = 2 - 3 E = 3 → 1 2 A C B 2 - 3 θ 1 2 - 3 . . 7. En la figura mostrada, ABCD: cuadrado, determinar: K = cot + tan D C B A X Y α β Resolución: (0;a) (b;0) X Y α β (-a;a+b) (-(a+b);b) a b a a b b reemplazando: ) b a ( b b a a K + − + + − · 1 K ) b a ( ) b a ( K − · ∴ → + + − · 8. Si: sec10° = a, entonces: tan(-2060°) es igual a: Resolución: tan(-2060°) = -tan(2060°) = -tan(260° + 1800°) = -tan(260°) = · · · , _ ¸ ¸ − − 1 a 1 2 1 a 1 ) 2060 tan( 2 − − · ° − ∴ 260° (- a -1;-1) 2 1 0 ° a 1 - a-1 2 9. Si: cos3 = b a . ¿A qué es igual: E = csc3 - cot3? Resolución: cos3 = b a , notando que: 3 IIC (a; b -a ) 2 2 3 Y X b E = csc3 - cot3 E = b b - a 2 2 - b - a 2 2 E = a b - a b + a 10.Si " " y " " son dos coterminales y complementarios, tal que " " toma su máximo valor negativo, calcular: · · , _ ¸ ¸ φ θ π · 6 , 0 cos E Resolución: i) por ser coterminales: - = 2n ; ii) + = 2 π sumando: 2 = 2n + 2 π ∴ = n + 4 π * Pero " ", adopta su máximo valor negativo, que se obtiene dando a "n" el primer valor negativo. 4 5 4 3 2 2 ) ii ( en , 4 3 4 1 n π · θ ∴ → · , _ ¸ ¸ π − − π · φ − π · θ π − · π + π − · φ → − · ∴ Reemplazando: 1 E ) ( cos 4 3 4 5 . 5 3 cos E − · ∴ → π − · · · · · · , _ ¸ ¸ π − π π · Bloque I 1. Calcular el valor de: ° ° ° − ° ° + ° · 180 sec 90 csc ) 270 (csc 180 cos ) 270 cot( ) 270 sen ( E a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 2. Calcular el valor de: )] sen cos[tan( )] 2 [tan(cos sen E π − π · a) 2 b) 0 c) -2 d) 1 e) -1 3. La expresión: α − + − α · 2 1 E Es real, hallar el valor de: M = cos - sen - cot cuando " " es ángulo cuadrantal. a) -1 b) -2 c) 2 d) -3 e) 0 4. Si: 1 sen 1 cos cos 1 + φ · − θ + θ − Hallar el valor de: E = tan + cot a) 0 b) -2 c) -1 d) 2 e) 1 5. Reducir: ° ° − + ° + · 270 absen 180 cos ) b a ( 90 sen ) b a ( L 3 2 2 a) 1 b) -1 c) 4 d) -4 e) -ab 6. Hallar el menor de dos ángulos coterminales, si la suma de ambas es 1320° y el mayor de ellos está comprendido entre 900° y 1200°. a) 240° b) 260° c) 300° d) 320° e) 340° 7. Hallar las medidas de dos ángulos coterminales, que están en la relación de 2 a 7 y la diferencia de ambos está comprendida entre 1200° y 1500°. a) 2016° y 576° b) 3600° y 1400° c) 900° y 580° d) 1400° y 100° e) 1500° y 360° 8. Si "k" es un número entero positivo, calcular el valor de: } 4 ) 1 k 16 sec{( } 6 ) 1 k 24 tan{( E π + π + · a) 6 3 b) 3 6 c) 6 6 d) 2 6 e) 4 3 9. Si " " y "φ" son ángulos cuadrantales. Hallar cuántos valores diferentes adopta: )] ( 2 3 cos[ φ + θ a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 10.Del gráfico, calcular: | tan | tan ) cos( | sen | sen sen R β α β − α + α β + α · y x α β Pr obl emas par a l a c l ase a) 3 b) -3 c) 1 d) -1 e) 2 Bloque II 1. S i : a = c o s ( t a n ( s e n 2 )) + sec(sen(cos )) 2 π y P (-a; 5 ) pertenece al lado terminal, del ángulo " " en posición normal, hallar el valor de: A = 3cos + 2 a) 0 b) 1 c) 2 d) 2 3 e) 3 2. Calcular el valor de: ° ° ° + ° ° + ° · 360 3 sen 2 2 270 sen 2 ) 90 (csc 180 cos 90 cot ) 90 sen ( K a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 3. La expresión: θ − + − θ · 4 2 E es real, hallar el valor de: M = sen + tan + cos cuando " " es ángulo cuadrantal. a) 1 b) -1 c) -2 d) 2 e) 3 4. Si: 1 cos 1 sen sen 1 + φ · − θ + θ − " " y " " son positivos y menores que 1 vuelta, calcular: φ − φ + θ · sen 1 cos csc K 2 a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 1 e) 3 2 5. Calcular: ° + ° ° − − ° + · 270 cos b 90 asen 180 cos ) b a ( 90 sen ) b a ( Q 3 4 2 2 2 a) 4ab b) 4 c) 4a d) 4b e) b 6. Halle el mayor de dos ángulos coterminales si su suma es 1520° y el menor está comprendido entre 200° y 250°. a) 1100° b) 1200° c) 1300° d) 1750° e) 1800° 7. Dos ángulos coterminales están en la relación de 10 a 1. Si su diferencia está comprendida entre 1000° y 1200°, ¿cuánto suman los ángulos? a) 1400° b) 1420° c) 1310° d) 1520° e) 1520° 8. Si "n" es un número entero positivo, calcular el valor de: } 4 ) 1 n 56 cos{( } 3 ) 1 n 48 {( sen S π + π + · a) 2 3 b) 2 6 c) 3 6 d) 4 6 e) 6 3 9. Si " " y " " son cuadrantales; cuántos valores toma: sen( + ). a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 10.Del gráfico mostrado, hallar el valor de: E = tan + tan - tan( - ) α (-20;21) β y x a) 2,1 b) -2,1 c) 4,1 d) -4,1 e) 0 Bloque III 1. Sabiendo que " " y " " son ángulos en posición normal mayores no positivos y cumplen la condición: sen + sec = 0 Calcular: 3 sen ) (tan 4 4 sen sec K α − β + ] ¸ β · a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2 2. Calcular la suma de senos y cosenos de todos los ángulos cuadrantales positivos y menores a 7 1110 π a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2 3. Si " " es un ángulo en posición normal del IVC, donde: tan 4 - 7tan 2 + 1 = 0, además " " y " " son ángulos coterminales. Calcular: E = | |tan | - |cot | | a) 2 b) 3 c) 5 d) 6 e) 7 4. Siendo "x", "y", "z" ángulos cuadrantales positivos menores o iguales que 360°; además son distintos entre sí, se cumple: | 3 z cot | | x cos | 3 ) ii y sec y cos 2 y sec y cos senx 1 ) i − · + − − · + + − − Calcular: x + y + z a) 180° b) 360° c) 540° d) 720° e) 1080° 5. Sabiendo que: "a", "b" y "c" son positivos, donde: a > b, además: acot - c = b|cot | Hallar "tan " en términos de "a","b" y "c" a) c b a− b) c a b− c) b c a− d) b a c − e) c b c a − − 6. Siendo: 0 < x < y < 2 , además: cosy + cscx = 0, calcular: x 3 sen x 2 sen senx 2 x sen y 16 tan y 8 tan y 4 tan 4 y tan Q + + + + + + · a) 1 b) 2 c) - 2 d) -1 e) 3 7. Siendo: |tan + cot | = 5|tan | además: " 1 ", " 2 ", " 3 ", " 4 " son los valores de " " que cumplen con la condición anterior, donde: 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 2 Calcular: A = sen 1 cos 2 tan 3 cot 4 a) - 5 2 b) - 5 3 c) 5 2 d) 5 3 e) 5 4 8. D e l a f i g u r a , h a l l a r " t a n ". α y x Q(a;b) a) b a b a − + b) b a b − c) b a a + d) a b a b + − e) b a b a + − 9. Si: cos(- ) = - 3 1 , hallar "cotβ", si: β ∈ IIIC " " y " " son coterminales. a) 2 2 b) 2 c) 3 2 d) 4 2 e) 2 2 10.El lado terminal del ángulo (- ) en posición normal pasa por el punto (-4;-6). Hallar el valor de la expresión: ° + θ − ° − + θ · 420 cos 52 2 ) ( sen ) 30 ( sen 52 2 cos E a) 3 b) -2 c) -1 d) 1 e) 2 Departamento de Publicaciones - Trilce COSI5SLITR1B-04