Boletín Virtual: Trigonometría1 2 3 4 5 6 7 8 Trigonometría Razones trigonométricas de un ángulo agudo I A) 2 5 3 D) 3 5 5 E) 2 2 NIVEL BÁSICO 1. En un triángulo rectángulo un cateto es la tercera parte de la hipotenusa. Calcule la tangente del mayor ángulo agudo. B) 5 3 5 C) 3 5 5. Según el gráfico, halle tan(a+b) – tana. B) 2 C) 2 5 A) 5 D) 2 2 E) 3 α β 1 2. En un triángulo ABC recto en B, se sabe que 5 13 sen C = Halle secA+tanA. 4 A) 3 B) 1 C) 5 D) 4 E) 2 A) 3 B) 1/3 C) 1/2 D) 1/4 E) 4 3. Si en el gráfico 3(BH)=2(AC), halle tana+tanb. NIVEL INTERMEDIO B α β 6. Si en el gráfico BD=DC, halle 13 sen β + 2 tan α . B A H C 3 A) 2/3 B) 1/3 C) 3/2 D) 3 E) 1/2 4. Según el gráfico, determine secq+cscq. 2 3 θ 1 D α β A 13 C A) 3 B) 1 C) 2 D) 5 E) 4 2 ... E 7. En un triángulo ABC recto en B, se cumple que tanA+tanC=3. Halle (tanA – tanC)2. A) 3 B) 1 C) 5 D) 4 E) 2 2 Trigonometría 8. Si en el gráfico 6(AD)=5(BC), halle A) 3/2 B) 10/3 C) 5/6 D) 9/5 E) 4 cot θ + cot α csc β B 10. Según el gráfico, se tiene una semicircunfeθ α A rencia con centro en O y tangente a BD en C, donde 3(BC)=CD. Halle tanq. β D C B A) 2/5 B) 5/3 C) 3/5 D) 6/5 E) 5/6 C NIVEL AVANZADO 9. Según el gráfico, calcule BC si AE=9, BD=5 y A θ O AB=6. A) 2 C B) 2 2 D B C) E A 3 2 2 3 D) 2 2 E) 2 4 D . halle cotb.. 45º β A A) A D D) M 3 10 10 B) 10 2 10 C) 10 11 10 5 E) 5 10 4 C . Marque la igualdad correcta. Calcule cosq. Si cosq=sen30ºsen45º. Según el cuadrado ABCD. tan (3 x − 7º ) f( x ) = halle f(20º). BM es mediana. halle tanq. De acuerdo al gráfico. halle tanq. 5 4 16. además 11. B C 53º . A) sen 45º = 1 2 A) 5 B) 1 C) 4 D) 3 E) 2 B) tan 30º = 3 C) cos 53º = 5 3 NIVEL INTERMEDIO D) sec60º=2 E) csc 37º = 12. θ 37º A C D B A) 1/4 B) 2/3 C) 3/2 D) 3/4 E) 4/3 θ 14. AM=MC.Trigonometría A) 1/6 B) 1/2 C) 1/4 D) 1/5 E) 1/3 Razones trigonométricas de un ángulo agudo II NIVEL BÁSICO 15. B A) 4/3 B) 9/4 C) 6/5 D) 2/3 E) 4/5 13. sec (3 x ) + tan (2 x + 5º ) . Según el gráfico. Si q es un ángulo agudo. Halle tan 2 θ − 3 . Si en el gráfico AD=DC. 53º B θ A 45º M C A) 1/2 B) 8 C) 2 D) 1/4 E) 4 17. 5 3 B) C) 3 3 A) 5 3 B 5 3 5 3 E) D) 7 2 θ 45º NIVEL AVANZADO A A) 5 B M B) 2 3 C) θ 5 2 D) 3 A 37º C 5 30º C 19. Halle cscq. E) 2 5 D E . halle cotq.Trigonometría 18. Según el gráfico. 2 ( AB) = 3 ( ED ) y BC=CD. 120º A) 5/17 B) 2/7 C) 9/13 D) 6/17 E) 4/17 10 2 θ 20. De acuerdo al gráfico. Si AM=BC. halle tanq. . además sen(90º – x)+sec(90º – y)=3 halle sen2y+sec2x. Si sen(x – 5º)csc(y+55º)=1 halle cos3q. además cos θ A) 2 B) 3 C) 1 D) 1/2 E) 1/3 4. θ θ II. tan cot = 1 2 2 A) 3 5 III. Halle el valor de la expresión sen 20º 3 tan 35º 2 sec 60º + − cos 70º cot 55º csc 30º halle tan (5β ) sec (2β ) + .. 3 A) 5 D) 3. tan(2x – y)=cot(2y – x) halle 2cos(x – y)+tan(x – 2y) 8. A) 3 B) 4 C) 7 D) 2 E) 5 5. sen(x+y)csc(x+y)=1 halle senq. 2 3 10. halle cos(2x+1º)+sen(3x – 1º). además 1. cos30ºsec30º=1 D) 2 5 E) 3 3 A) FVV B) FFF C) VFV D) FVF E) VVV 2. Si x e y son ángulos agudos complementarios. A) D) 6 5 B) 8 C) 2 5 3 +1 E) 1 2 + sec (θ + β ) NIVEL AVANZADO 9. Si q es un ángulo agudo.Trigonometría Razones trigonométricas de un ángulo agudo III NIVEL BÁSICO NIVEL INTERMEDIO 6. Si x es un ángulo agudo. además sen(35º – 2b)csc(4b – 25º)=1. A) 5 B) 2/5 C) 2 D) 4/5 E) 5/2 6 . Si b es un ángulo agudo.. Si se sabe que q es agudo y tan(4q)cot(q+60º)=1. además (tanx)coty=sen45º halle sen2x+cos2y. halle sen (α + β ) csc (α ) A) 3 B) 1 C) 2 D) – 1 E) – 2 4 5 C) 5 6 A) 3 B) 2 C) 2 3 D) E) 1 2 2 1 B) C) 2 2 3 4 E) 2 5 B) 7. Si x e y son ángulos complementarios. Indique la secuencia correcta de verdadero (V) sen θ tan θ csc θ cot θ cos θ = o falso (F) respecto a las siguientes proposiciones. cot (4β ) csc (7β ) A) 1 B) 1/2 C) 1/3 D) 2 E) 3 tan(3x)=cot(72º – 2x). I. Si tan(a+b – 30º)cot(60º – q)=1. Del gráfico. b. determine ED en términos de a y q. m y n. α β n D A C A) msenb+nsena B) msena+nsenb C) mcosb+ncosa D) mcosa+ncosb E) (m+n)sen(a+b) 3 θ 37º C F E A) senq 2. determine AC en términos de a. halle DE en términos de q. B m E) msen2q 4. B) 2senq C) 3senq C D) 4senq θ E) 5senq D 5. halle BE en términos de q y m. determine CD en términos de q y m. Del gráfico. m B m D D θ A) m(senq – cosq) B) msenq C) m(cosq – senq) A D) mcosq θ C 7 E) m(cosq+senq) C . Según el gráfico. E B A) asenq a A A θ B) asen C) acosq 2 B θ D) acos E) asenqcosq 2 E 3.Trigonometría A) msenq Resolución de triángulos rectángulos I B) msenqcosq NIVEL BÁSICO C) mcos2q D) msen2q 1. Del gráfico. Si ABCD es un cuadrado. Trigonometría NIVEL INTERMEDIO 6. En el gráfico, halle x en términos de q y n. x θ θ C) sen θ + 2 cos θ 2 sen θ − cos θ D) 2 sen θ + cos θ sen θ − 2 cos θ E) sen θ − cos θ sen θ + cos θ NIVEL AVANZADO n A) nsenq B) ncosq C) nsen2q D) ncos2q E) nsenqcosq 9. Según el gráfico, AN=2(NC). Halle tanb en términos de q. A 7. Según el gráfico, BD = 2 3. Determine el perímetro del triángulo equilátero ABC en términos de q. B A) 12senq B) 5senq C) 4senq D) 3senq E) 6senq β C D 8. Si en el gráfico BC=2(AB), halle tanb en términos de q. C D) sen θ sen θ E) 2 + sen θ 2 + cos θ B) cos θ sen θ C) 1+ sen θ 1+ cos θ 10. Si en el gráfico AC=4, determine DH en términos de q. B θ H ... sen θ − 2 cos θ A) 2 sen θ + cos θ B) 2 sen θ − cos θ sen θ + 2 cos θ D θ B C cos θ 2 + cos θ β A N A) θ A θ B θ A C A) 2cos3q B) 4cos3q C) 4sen3q D) 2sen3q 8 E) sen3q Trigonometría A) 3(4+3cotq) Resolución de triángulos rectángulos II B) 4(1+4cotq) C) 3(3+4cotq) NIVEL BÁSICO D) 4(4+3cotq) E) 4(3+4cotq) 1. Determine AC en términos de a, b y a. 4. Del gráfico, determine AB en términos de a y a. B D a A B θ β C A) a(cotq+cotb) B) a(tanq+tanb) C) a(tanq+cotb) D) a(cotq+tanb) E) acotqtanb a B) acotasen2a B C) acotasec2a D) acotacos2a 30º E) asecacsc2a C θ m 5. Calcule BD en términos de q, b y . D A C A) atanacsc2a 2. Según el gráfico, halle AB en términos de m y q. A α α B A) 2mtanq B) mtanq C) msecq m D) 2msecq E) tan θ 2 D θ 3. Determine el área de la región ABCD. B A C A) senqtanb 5 B) cosqcotb C) senbtanq 53º D) cosbcotq θ A D 9 E) tanbcotq β C Trigonometría NIVEL INTERMEDIO A) B) 3 secβ C) 3 cscβ 3 D) 3 secβ E) 3secb 6. Si en el gráfico AD=BC, halle sena+seca – cosa. NIVEL AVANZADO B 45º α 3 cscβ 3 9. En el gráfico, determine AB en términos de a, b y m. B A D m C A) 2 B) 1 C) 1/2 D) 1/3 E) 0 β C A) msenacscb B) mcscacscb C) mcosbcsca D) mcosacosb E) mcosacscb C θ k A 7. Halle AB en términos de q, b y k. α 10. En el gráfico, determine la longitud del lado del B cuadrado ABCD en términos de q. β A D A) ktanbsecq B) ksenbtanq C) ksecbtanq D) kcosqtanb E) ksenqtanb 8. En el gráfico, halle DC/BE en términos de b. C A D 5 A) B B 5 1+ sen θ + cos θ 5 1+ tan θ + sec θ 5 C) 1+ sec θ + csc θ 5 D) 1+ tan θ + cot θ B) ... 30º A E D β C E) 5 1+ cot θ + csc θ 10 θ Halle la distancia que existe entre el avión y la isla en el momento de la observación. Si cota=2 y cotb=5. Halle la longitud del asta si la casa tiene una altura de 4. halle tanq. Un niño de 2 m de estatura observa los ojos de su padre con un ángulo de elevación de 37º y sus pies con un ángulo de depresión de 53º. A) 1 A) 120 m B) 160 m C) 200 m D) 240 m E) 300 m 3. Un avión viaja en línea recta y horizontalmente. 21 2 23 2 m m C) 16 16 NIVEL INTERMEDIO 2. A) 2 2 D) B) 2 C) 3 2 2 2 E) 2 4 8. A) 1. observa la parte superior de su casa con un ángulo de elevación de 60º.2 m B) 1. se observa lo alto de una torre que se encuentra en la parte más alta de esta. Desde la parte alta de un edificio se observa dos puntos en la superficie del suelo. los observa con ángulos de depresión a y b. Si la observación de la parte alta y baja de un asta ubicada en la parte superior de una casa. respectivamente. se realiza con ángulos de elevación de 45º y 37º. 1. B) 6 C) 12 2 A) 6 2 D) 8 2 E) 6 3 2 . Cuando pasa sobre A es visto desde B con un ángulo de elevación q. Halle la altura de la torre si en ese instante de la observación la persona se encuentra a 12 m de la base de la torre. Desde lo alto de un edificio se observa un punto en tierra con un ángulo de depresión q y otro punto ubicado en la mitad de la distancia que separa al primer punto y el edificio.6 m C) 2 m D) 1 m E) 1. con ángulos de depresión de 60º y 30. B) B) 1/4 C) 1/2 D) 1/3 E) 1/5 7. Un estudiante de B) 8 3 C) 5 3 A) 6 3 D) 7 3 E) 6 6. Si el estudiante está a 6 m de su casa. con un ángulo de elevación de 45º.4 m 4. se observa una isla con un ángulo de depresión de 37º.Trigonometría Ángulos verticales A) 19 2 m 16 D) 27 2 25 2 m E) m 16 16 NIVEL BÁSICO 3 m de altura.8 m. Halle la estatura del padre. que están en línea recta con el edificio. Al subir por una colina cuya inclinación con respecto a la horizontal es de 15º. con un ángulo de depresión 90º – q. Antes de pasar sobre dos puntos en tierra A y B. halle la altura de su casa. A) 25 3 m B) 50 m C) 100 m D) 25 m E) 50 3 m 5. Halle cotq. Halle la distancia entre estos puntos si la altura del edificio es 25 3 m. Desde un avión que vuela horizontalmente en línea recta a una altura de 120 m. Si la suma parte superior de una torre con un ángulo de de las distancias del pie de la torre a cada elevación igual a 3q/2. el nuevo ángulo de elevación mide 2q. Dos puntos están ubicados al ras del suelo. la torre por el camino. Una persona se desplaza por un camino que el otro punto se observa el punto medio de la hace un ángulo q con la horizontal. Halle la altura de la torre. observa la torre con un ángulo de elevación f. NIVEL AVANZADO Desde uno de ellos se observa la parte alta de una torre con un ángulo de elevación q y desde 9. A) d(2cotq+cotf) B) d(tanq+2tanf) A) dsenqsecq B) dsentanq C) dsen2q D) dcosqcscq E) dsenq C) 2d 2 cot φ + cot φ D) 2d 2 tan θ + tan φ E) d(tanq+2cotf) 3 . Luego al subir d m hacia punto es d m.Trigonometría 10. calcule la altura de la torre. halle a si AB=5 2. X Y B(– 2n. Según el gráfico. 0) 4 5 6 5 C) 5 5 A) 2 5 5 D) 3 5 5 E) 5 5 B) A) 2 B) 3/2 C) – 2 D) – 3/2 E) – 3 NIVEL INTERMEDIO 6. Si AB=BC. 23) E) (– 3. Y NIVEL BÁSICO θ 1. 2a) A(2a. si AM=BM. halle las coordenadas del A(6. Si ABCO es un cuadrado. Y 2. n) B(0.Trigonometría Introducción a la geometría analítica 4. 14) C) (– 3. 0) E) (5. Según el gráfico. – 4) B O A) (5/2. 0) 5. halle n. X M Y A(a. n) B(1 – 2a. 7) B) (– 2. 0) B) (6. 0) C) (3. halle las coordenadas del punto B. Del gráfico. 0) D) (4. 3. 3 ) A) 3/2 B) 2/3 C) 1/6 D) 1/4 E) 1/3 X 60º B(0. halle a+b+c. 0) X A) 3 B) – 3 C) 6 D) – 6 E) 9 C 53º O X A) (– 1. Halle tanq. 2a – 1) θ θ O X A(4. 0) punto B. 3) A(a. 21) 4 . 17) D) (– 4. C(b. c) Y Y B A(12. – 10) 10. 3) C) (0. C(2. A) 4 B) 2 C) 4 2 D) 2 2 E) 3 2 . – 7) B) (4. halle la coordenada del punto A. Del gráfico. Si AM=MB. – 2) E) (0. 1) y B(3. – 9). 45º Y M A 5µ X B A A) (3. – 3). A) (0. – 7) D) (3. – 4) Y O B(7. B(– 2.Trigonometría 7. – 3) 8. 1) y O A) – 1 X B) – 2 C) – 3 D) – 1/2 E) – 3/2 5 M punto medio de AC. halle la abscisa de punto M. 2) B) (0. 4) D) (0. – 10) C) (2. Halle la distancia de M al segmento AB. – 10) E) (9. Halle las coordenadas de un punto P ubicado NIVEL AVANZADO en el eje de ordenadas que equidiste de los puntos A(– 8. – 4) 9. Dados los puntos A(4. NIVEL BÁSICO Y (– m. Si ABCD es un cuadrado. 37º A) 1 B) – 1 C) 0 D) 2 E) – 2 O X NIVEL INTERMEDIO B) 2 5 C) 3 5 D) 4 5 E) 5 5 6. Halle cscq si OP=2 5. n)P A) 7/13 X B) – 7/13 C) 10/13 A D) 17/3 E) –17/13 2. Y O θ A) m B) n C) m+n D) m − n E) m + n X 5. Si OP=13. halle senq+cosq. Si AM=MB. Y 30º A A) − 3 Y C B C α M O θ B X θ Y P(– 2n. halle n sen θ − m cos θ. n ( θ 1. (– 5.Trigonometría Ángulos en posición normal I 4. halle 3tanq+2. 3. Según el gráfico. Si AM=MD y ABCD es un cuadrado. n) A) 5 Y B M –6 O θ X B) 1 C) – 1 D) 3 E) 0 A A) 2/3 β M D X –2 B) 4/3 C) 1 D) – 1 E) 0 6 . halle tana+tanb. halle 1 − 3 tan θ. Halle la distancia entre −5 dichos puntos si cos θ = 13 A) 10 B) 12 C) 8 D) 25 E) 13 . Si AM=MB y BO=OC. 3) A) 2/3 B) 3/2 C) – 2/3 D) – 3/2 E) 1 θ 8. halle cotq. Se sabe que q es un ángulo en posición normal en cuyo lado final se ubican los puntos θ 37º O C A) – 10/9 B) – 9/10 C) – 10/3 D) – 3/10 E) – 3/4 7 X P(– 15.Trigonometría 7. a) y Q(b. A) – 3 Y M A(– 10. 3) X B) – 2 C) – 5 D) – 1/2 E) – 1/3 B 10. halle tanqcotb. NIVEL AVANZADO Y 9. θ 2 β 3 Y X 45º (2. halle tanq. Del gráfico. Según el gráfico. – 24). A) 2 B) 1/2 C) – 2 D) – 1/2 E) – 1/5 8 . –. –. 1. halle el signo de las siguientes ex presiones. cot θ+1 = 27. q ∈IIC. Si se cumple que 3 5 2 C) − 13 13 A) − A) − 5 B) − 2 5 C) − 5 2 5 1 D) E) − 2 2 8. – B) +. halle el signo de tanq+secq. + E) –.Trigonometría Ángulos en posición normal II NIVEL BÁSICO NIVEL INTERMEDIO 5. k) es un punto del lado final del ángulo en posición normal q. Si cscq < 0 y tanq > 0. cscq – tanq III. Si k > 0 y P(–2k. A) IC B) IIC C) IIIC D) IVC E) IIC ∨ IVC 7 4 E) − 13 13 halle cscq. Si tanq=–2. halle senq+cosq. + 3. +. Si tanq < 0 y secq=4. +. tanq+cotq III. Halle 3 cos θ + 2 A) 2 B) − 2 C) 3 D) – 3 E) 0 NIVEL AVANZADO 9. entonces halle secqcscq. Si se cumple que 9sen2q+3senq – 2=0. +. halle el signo de las siguientes expre 3 13 6. A) + o – B) + y – C) + D) – E) no tiene signo 10. halle secq+tanq. tanqsenq+secq A) –. + C) +. – C) –. además. A) IC B) IIC C) IIIC D) IVC E) IIIC ∨ IVC 4. secq+cscq A) –. Si |tanq|=tanq y senq=–3/5. –. Si |cosq|=– cosq y |senq|=– senq. Si q ∈ IIIC. senq+cosq II.4 y q ∈IVC. – D) –. +. – B) +. senq – cosq II. halle el cuadrante al que pertenece q. –. siones. + D) +. I. +. – E) +. Si q ∈ IIC. + D) − B) − A) − 26 B) − 24 C) − 39 D) − 13 E) − 19 2. θ ∈IIIC 7. I. +. halle el cuadrante de q. A) 0 ∨ 1 B) – 1 ∨ 0 C) – 2 ∨ 0 D) 0 ∨ 2 E) – 2 ∨ 2 sen(sen180º)+cos(tan360º) A) 0 B) – 1 C) 1 D) – 2 E) 2 y menores que una vuelta. Simplifique la expresión D) π − π. Si a y b son ángulos cuadrantales positivos y menores que una vuelta. halle tan + sen 2 4 tan 360º + cos180º sen 90º 10. Siendo a y b ángulos cuadrantales positivos 3. Si f(x)=tanx+sen2x+cos4x. Si q y a ∈〈0. Halle el valor de la expresión 5. Si f(x)=x a2 sen 90º + b2 cos180º a cos 360º + b sen 270º A) a – b B) a+b E) a2 b NIVEL AVANZADO 9. que cumplen la condición (sena+1)2=tan180º – (cosb+1)2. sen θ = cos θ = sen α − 1 calcule csca+senq. Si q ∈〈0. Si q es un ángulo cuadrantal positivo y menor que una vuelta. 4. 2 A) 2 B) – 2 C) 1 D) – 1 E) 0 . además. Halle el valor de la expresión NIVEL INTERMEDIO 4 cos 0º + sen 270º + tan 180º sec 360º A) 4 A) – 1 B) 0 C) 2 D) – 2 E) 1 B) – 4 C) 3 D) – 3 E) 2 2. 360º] y se cumple que 1. Halle β csc(a – b)+ sen 2 A) 2 B) – 2 C) 0 D) – 1 E) 1 a2 + b2 C) a+ b a2 + b2 a− b sen[f(3)]+cos[f(2)]+sec[f(4)] 8. 2p〉. halle 2 A) 1 B) – 1 C) 0 D) 2 E) – 2 B) – 1 C) 0 D) 2 E) – 2 θ θ cos2q – 3cosq+2=0. halle q.Trigonometría Ángulos en posición normal III NIVEL BÁSICO 6. halle f(45º). que cumplen las siguientes condiciones A) 90º B) 180º C) 270º D) 360º E) 90º y 270º 9 2sena=1 (I) |2senq+4|=3 –|senq+2| (II) α halle cos(q – a)+cos + θ . A) 1 7. cosa+1=x seca – 1=y A) (x – 1)(y+1)=1 B) (x+1)(y – 1)=1 C) (x – 1)(y+1)=2 a 2 − b2 a 2 − b2 = 1 E) =1 8 16 A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18 A) senq B) cosq C) tanq D) 2senq E) 2cosq a 2 − b2 a 2 − b2 =1 = 1 C) 4 2 2 senq(1+cotq)+cosq(1 – tanq) 4. A) 2 B) – 2 C) 1 D) – 1 E) 0 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Simplifique. LEG Nº 822 2 .Trigonometría D) (x+1)(y –1)=2 E) xy=1 Identidades trigonométricas fundamentales I NIVEL BÁSICO 7. Derechos reservados D. Si senq · cotq+cos3qsec2q=1. Sabiendo que expresiones. tan2q · cosq · cscq. A) 0 B) 1 C) 3 D) 2 E) 5 NIVEL INTERMEDIO 6. expresiones. Simplifique la siguiente expresión. tanq+2cotq=a tanq – 2cotq=b cos θ = tan x − cot x . senθ ángulo agudo. halle q siendo un B) 8. D) csc θ ⋅ cos θ sec θ ⋅ senθ A) sen2q B) cos2q C) tan2q 2 D) cot q E) 1 NIVEL AVANZADO 9. tan x + cot x halle tan2x. Elimine la variable angular de las siguientes 1. Si senq+cscq=4. Si A) 30º B) 60º C) 45º D) 37º E) 53º tan2q+cot2q=2 calcule tan4q+cot4q. Elimine la variable angular de las siguientes 2 halle 1 + sen θ − 2 csc θ . 3. A) senq B) cosq C) tanq D) cotq E) secq A) a2 – b2=1 2. 5. halle tan3q+cotq. A) 1 1+ cos θ B) 1 1− cos θ C) 1 − cos θ 1 + cos θ D) 1 + cos θ 1 − cos θ E) cos θ 1+ cos θ 10. Si tanq+tan2q+tan3q=1. Reduzca la siguiente expresión. A) 1 B) 0 C) – 1 D) 2 E) – 2 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. csc4q – csc2q – cot2q 9. halle acosq – bsenq. 1.Trigonometría Identidades trigonométricas fundamentales II NIVEL BÁSICO NIVEL INTERMEDIO 6. halle 17senq – 6. Simplifique la siguiente expresión. Si 5. sec 2 θ − 1 sen 3θ − cos 3 θ + cos θ 1 + senθ cos θ csc 2 θ − 1 − sec 4 θ + sec 2 θ B) sec2q C) tan4q A) sec4q 2 D) tan q E) – tan2q sen2qcosx+cos2qsenx+cos2qcosx=0 halle sec2q+tanx. Si cos +cos2x=1. Si asenq+bcosq=b.25. Reduzca la siguiente expresión. LEG Nº 822 3 . halle csc4x – tan2x. 1 + tan x sec x + tan x 8. Simplifique la siguiente expresión. Halle la expresión equivalente de A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 csc θ − senθ . Simplifique la siguiente expresión. sec θ − cos θ A) cotq B) cot2q C) cot3q D) tanq E) tan2q 7. Reduzca la siguiente expresión. 2. A) senq B) cosq C) tanq D) cotq E) cscq A) 0 B) 1 C) senx D) cosx E) secx NIVEL AVANZADO 4. Derechos reservados D. A) 1 B) – 1 C) 0 D) 2 E) – 2 1 sec θ − cos θ csc θ − senθ + csc θ senθ cos θ A) senq B) cosq C) secq D) cscq E) 1 3. Si cscq – cotq=0. A) csc2q B) csc4q C) 1 D) cot2q E) cot4q A) a B) b C) – a D) – b E) a+b 10. 8. NIVEL AVANZADO A) 169 30 B) 13 30 9. Simplifique la siguiente expresión. halle secx · cscx. (sen2x – cos2x)(1 – 2sen2xcos2x)+cos8x A) cos8x B) sen8x C) cos4x D) sen4x E) cos2x 4. Si cosq – secq=2. Si 1( A) 4 3 E) − 3.Trigonometría Identidades trigonométricas fundamentales III NIVEL BÁSICO NIVEL INTERMEDIO 6. Simplifique la siguiente expresión. halle m+n+p. Si la expresión C) 160 13 D) 169 60 sen 2θ cos 2 θ + ( ) ( cos θ senθ − cos θ senθ cos θ − senθ ) es idéntica a m+ntanq+pcotq. LEG Nº 822 4 . 3 5 A) 1 B) – 1 C) 2 D) – 2 E) 3 1 1 6 6 4 4 2 2 sen x + cos x ) − ( sen x + cos x )+ sen x cos x 3 4 2 1 12 3 4 7. 2 tan x ( tan x + cot x ) sec 2 θ 1 B) C) 2 2 A) 1 D) 3 E) 3 2 1 1 C) 8 6 D) 1 1 E) 3 5 B) f(x)=senxq+cosxq. halle tanx. halle [f(4) – f(6)]f(2) · f(– 2). Simplifique la siguiente expresión. Si senx = 4 . B) 4 D) − 3 (tanq+cotq)senq+(sec2q+csc2q)sen2qcosq A) 2senq B) 2cosq C) 2secq D) 2cscq E) 2tanq 3 4 C) − 2. Si 5senx+12cosx=13. Derechos reservados D. A) 1+a B) 1 – a C) a – 1 D) a E) – a B) 2 C) 3 D) 5 E) 0 A) 1 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. A) 10. halle tan2q+2secq. 1. calcule sen4x+cos4x+2sen2x. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5 160 E) 169 a 2 5. Si 3tanx – 5secx=4. Simplifique la siguiente expresión. NIVEL BÁSICO A) 3 + 2 B) 2 3 C) 3 + 2 D) 4 + 3 E) 5 + 3 1. 8. Si sen(x – y)cos(z – 45º)=sen(x+y)cos(z+45º). Simplifique la siguiente expresión. 4. halle tan(x+q)cotx. 2sen ( x − 45º ) + cos x 2sen ( x − 30º ) + cos x E) 2 3 3 2m m −1 NIVEL AVANZADO E) − 3 9. halle (senx+seny)2+(cosx+cosy)2. Halle el valor de sen35º cos 25º + cos 35º sen25º cos 65º cos 20º +sen65º sen20º 7. cosx+senycosz=0. Si tanqcotb=m. Derechos reservados D. halle cotxcoty. Si x – y=30º. Si 3cos(x+y)=senxseny. 5. halle 2tany+tanz. sen ( θ + β ) A) m A) 3. LEG Nº 822 5 . Si sen(2x+q)=2senxcos(x+q). halle 3 1 C) 2 2 A) 6 2 B) D) 2 2 E) 1 A) 0 B) 1 C) – 1 D) 2 E) – 2 1 3 4 3 B) 1 m D) 3 1 E) 4 4 C) m −1 m +1 B) 3 C) D) m + 1 m −1 A) 2 3 3 D) B) 3 C) − 3 3 sen ( θ − β ) . 5sen ( x − 37º ) + 3 cos x senx halle tan x tan z . Simplifique la siguiente expresión. cos ( x + y ) sen ( x + y ) − sen ( x − y ) A) 2 B) – 2 C) 4 D) – 4 E) 3 A) – 2 B) – 1 C) 0 D) 1 E) 2 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. tan y A) A) cotx B) tanx C) 4senx D) 5 E) 4 1 2 1 B) − C) 2 2 D) – 2 E) 1 10. Si x+y+z=90º. halle 2.Trigonometría Identidades trigonométricas de ángulos compuestos I NIVEL INTERMEDIO 6. además. Si tany=5 y cotx=– 3. halle tanq. Si tan(q+53º)=4. Simplifique la siguiente expresión. calcule el valor halle tan(x+y+16º). B 53º 4 3 D) 4 3 E) 13 13 x C B) 1 3 C) 13 4 8.Trigonometría Identidades trigonométricas de ángulos compuestos II NIVEL BÁSICO 1. A partir del gráfico se cumple que AM=MB. 4. Simplifique la siguiente expresión. Si tan(53º+x)=4 y tan(37º – y)=3. Halle el valor de tan 80º − tan 20º 1 + tan 80º tan 20º A) 1 2 B) x 3 2 C) 2 2 45º 3 D) 3 E) 3 tan ( 45º +θ ) − 2 tan θ 1 − tan θ A) 0 B) 1 C) tanq D) tanq+1 E) tanq – 1 7. halle tanx si BE=EC. A tan 2 3θ − tan 2 2θ cot 5θ 1 − tan 2 3θ tan 2 2θ A) tanq B) tan5q C) cotq D) cot5q E) cot2q Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. A partir del gráfico. de 13 – 29tan2x. A) 16 13 B) A) 9 32 D) 12 1 E) 41 12 B) − 1 4 C) 41 23 NIVEL INTERMEDIO 13 8 C) 8 13 6. 8 4 D) E) 7 19 B E C 2. A) 19 B) 21 5. LEG Nº 822 6 . Si tan(x – y)=5 y tan(x+y)=6. M A A) C) 23 D) 24 E) 25 D A) – 1 B) – 2 C) – 3 D) – 4 E) – 5 3. Calcule tanx. Derechos reservados D. Trigonometría 10. calcule el valor de K. LEG Nº 822 7 . NIVEL AVANZADO tan ( x + 60º ) tan ( x − 60º ) = 1 − K cos 2 x 1 − Ksen 2 x 9. De la siguiente igualdad. Determine el equivalente de 1 1 − tan 4θ − tan θ cot 4θ − cot θ A) 1 B) 2 C) 3 A) cotq B) cot2q C) cot4q D) tan3q E) cot3q D) 4 E) 5 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. Simplifique la siguiente expresión. sen( A − B) sen( B − C ) sen( C − A) + + cos A cos B cos B cos C cos C cos A A) tanA B) tanB C) tanC D) 1 E) 0 sen 2 x − sen 2 y − tan y sen( x − y)cos x cos y 3 cos 50º E) 1 2 sen 2 x − sen 2 y 2 + cos ( x + y) sen( x − y) NIVEL AVANZADO tan 1º + tan 2º + tan 1º tan 2º tan 3º tan 2º + tan 3º + tan 2º tan 3º tan 5º 10. Calcule el valor de NIVEL BÁSICO 1. Simplifique la siguiente expresión. 3. A) tanx B) tany C) 1 D) – 1 E) 0 B) 3 3 3 sen 50º B) sec 50º C) csc 50º 2 2 2 A) sen(x+y) B) cos(x+y) C) 1 D) – 1 E) senx 4. Simplifique la siguiente expresión. Reduzca la siguiente expresión. A) 4 B) 0 C) – 4 D) 2 E) – 2 5. Reduzca la siguiente expresión. A) 2 4 B) 2 2 2 C) 5 3 2 D) 2 E) 2 5 A) sen20º B) sen70º C) sen10º D) sen30º E) sen60º 7. Simplifique la siguiente expresión. tan 3º tan 4º A) tan 1º tan 2º D) tan 3º tan 2º E) tan 5º tan 5º C) halle tan3q – tanqtan2qtan3q. Halle aproximadamente el valor de cos241º – sen24º. Simplifique la siguiente expresión. sen( A + B) + sen 2 B csc( A − B) (sen220º – sen210º)+(cos270º – sen210º). Si sen3q – 4cos2qcosq=0. tan 1º tan 2º tan 4º + + + tan 1º cos 2º cos 4º cos 8º A) tan1º B) tan2º C) tan4º D) 7 E) 1/7 2 . tan 2º tan 3º D) 9. A) 2 A) – 1 B) 0 C) 1 D) sen2A E) sen2B tan 50º + tan 10º tan 40º + tan 10º 8.Práctica por Niveles Identidades trigonométricas de ángulos compuestos III NIVEL INTERMEDIO 6. 2. A) 3 B) 1 C) 2 D) 4 E) 2 3 N B M 30º A 2 B) 3 C) 1 2 2 E) 1 2 6. Reduzca la siguiente expresión 3 sen 80º − cos 80º cos 40º 3 θ C 10. A) – 13 B) – 5 C) – 12 D) – 11 E) – 7 4. En el gráfico. A) 1/2 B) 1/3 3 C) 1 sen 8º + cos 8º sen 8º − cos 8º 1 2 A) B) C) 3 2 2 3 3 4 D) E) 4 3 3. Simplifique la siguiente expresión cot 22º + cot 23º +1 cot 22º ⋅ cot 23º A) 2 D) θ E) 4/7 2 1 NIVEL AVANZADO 9. Halle el mínimo valor de 12senx+5cosx. Si ABCD es un cuadrado y NC=2(AM). se cumple que tan A tan B tan C = = 1 2 3 Halle senA. Halle el máximo valor de NIVEL BÁSICO 1. halle el máximo valor de MN. D) 5 2 2 Niveles A) – 1 B) 2 C) 1 D) – 2 E) 0 Identidades trigonométricas de ángulos compuestos IV A) por B) 2 5 2 C) 2 7 2 5 3 E) 7 2 5 sen( x + 37º ) + 2 sen( x + 45º ) A) 21 B) 41 C) 31 D) 51 E) 13 8. halle tanq. Reduzca la siguiente expresión.Práctica 7. En un triángulo ABC. NIVEL INTERMEDIO 2 D) 7/4 23 M A 15 37º 15 B) 23 15 C) 13 θ 13 D) D 15 1 E) 5 A) B N C . halle cotq. Según el gráfico. Simplifique la expresión 3sen7º+4cos7º. 2 B) 1 C) 0 A) 2 1 D) – 1 E) 2 5. 2. Reduzca la siguiente expresión M= se n1 4 sen(A+B)=cosA Indique el tipo de triángulo que representa. Si tan(190º)=m. halle la longitud de la hipotenusa. I. halle senq. 3 2 θ sen 170º −4 sen 350º cos 80º A) 3 B) 4 C) 5 D) – 3 E) 2 º 7. A) escaleno B) equilátero C) isósceles D) rectángulo E) obtusángulo 8. B) 1+m2 C) m2 A) 1 – m2 2 D) – m E) m2 – 1 NIVEL BÁSICO 1. En el gráfico. En el triángulo rectángulo mostrado. 2. sen(180º+q)=– senq II. Reduzca la siguiente expresión. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. M= 20 A) sen20º B) cos20º C) sen40º D) cos40º E) 1 sen(180º + x ) + sen( 360º − x ) cos(180º − x ) A) tanx B) cotx C) 2cotx D) 1 E) 2tanx s3 sen( π − θ)cot( 2π − θ) cot( π + θ) A) senq B) – senq C) cosq D) – cosq E) 1 co 0º A) VVF B) FFV C) VFV D) FVF E) VVV 45º A) 2 3 B) − 1 2 C) 3 3 1 1 D) − E) − 3 2 4 .Práctica por Niveles Reducción al primer cuadrante I 5. Halle el valor de M. tan(360º – q)=tanq 3 III. se cumple que 4. cos (150º ) = − 2 NIVEL INTERMEDIO 6. En un triángulo ABC. halle sec2(350º). 3. si AB=BC. NIVEL AVANZADO Y 9. 3) cos(2 A + B + C ) . halle B. Si en un triángulo ABC. sen( A + 2 B + 2C ) B=(3. halle tanq. 10. 1) θ A) 30º B) 60º C) 45º D) 53º E) 90º X C A) – 3 B) – 2 C) – 1 D) 2 E) 3 5 . se cumple que tan C = A=(0. Según el gráfico. 2 2 = 2 sen( x + 45º ) f( x ) halle f π . halle senq. De acuerdo con la siguiente condición. – 12) π 3π cos 2 + x − sen 2 − x . a b D) − b a+ b E) a a− b B) cos 91º − cos 271º sen 46º − cos 46º A) − 2 2 B) halle tan2q+cot2q. Si sec(270º – q) · csc(90º+q)=3. Si (5. A) 3 B) 5 b a C) a b A) − C) 2cosx halle sec(2p – q)+tan(p+q).Práctica por Niveles Reducción al primer cuadrante II 3 +1 2 A) NIVEL BÁSICO B) 3 C) 1 2 3 D) 3 − 1 E) − 2 2 1. b 2 2 D) – 2cosx E) 0 7. Si f(x)=senx+cosx. En la figura. Marque la proposición correcta. A) 1/2 D) – 1/2 B) 2 C) 1 E) – 2 a 3π π 3. 3 12 5 C) 13 12 A) − 12 13 D) − 5 5 E) 13 12 B) − 6 . C) 7 D) 9 E) 11 8. halle f π +x 2 + f 3π −x 2 . E) sec(300º)= – 2 A) 2senx 2. 4. A) sen(90º+x)= – cosx 1 B) cos120º = − 2 C) tan(270º – x)=– cotx D) cot(270º+x)= tanx NIVEL INTERMEDIO 6. Y 2 C) 2 2 X θ D) − 2 E) 1 5. Reduzca la siguiente expresión B) – 2senx sen(270º – q) – cos(90º+q)=3senq halle tanq. Si csc + θ + cot + θ = . halle tanq+cscb. Del gráfico. Si A+B+C=180º. halle 4 A + 3 B + 3C 2A + B + C sen csc 2 2 A+ B+C tan 4 A) – 1 B) 1 C) 0 D) 2 E) – 2 7 θ c β c−b a+ b C) a c A) b+ c a D) b− c a− b E) a c B) . 10. NIVEL AVANZADO b a 9. Simplifique la siguiente expresión. Simplifique la siguiente expresión. sen(720º + x ) − cos(90º + x ) sen(1800º + x ) A) 1 B) – 1 C) 0 D) 2 E) – 2 7. Reduzca la siguiente expresión. A) senq sen 1110º + csc 750º tan 1485º 3 5 B) C) 1 2 2 D) 2 E) 3 A) B) – senq C) cosq D) – cosq E) secq 8. Calcule el valor de A) 1 B) – 2 C) 2 D) 3 E) − 3 A) 1 − 2 B) 1 + 2 5. 2. π cos ( x − π ) − sen x − 2 tan ( 2π + x ) A) p B) 2p C) 3p π 3π D) E) 2 2 8 . sen( 5π + θ)csc( 3π + θ) + tan 2 ( 2π + θ) tan(7π + θ)csc( 4π + θ) sen( 6π + θ) + tan( 24π + θ) 1 + cos(10π + θ) 3 2 D) − A) senq B) cosq C) tanq D) cotq E) 1 B) − 3 13 C) 2 6 11 13 E) 6 6 NIVEL AVANZADO 4. Halle la suma de valores positivos y menores que una vuelta que toma q. Si sen(– q)+2cos(– q)=2senq y. Reduzca la siguiente expresión. Calcule el valor de la expresión 15π 17π tan tan 4 3 9. Simplifique la siguiente expresión. q es agudo. A) 3. además. C) 2 − 1 cos( −α) sen(720º +α) + cos(540º +α) sen( −α) A) 2 B) 0 C) – 2 D) tana E) 2tana NIVEL INTERMEDIO 175π 37π tan + sec 4 4 D) −1 − 2 E) – 2 10. Simplifique la siguiente expresión.Práctica por Niveles A) 0 B) 2 C) – 2 D) – senx E) senx Reducción al primer cuadrante III NIVEL BÁSICO 1. halle sec(– q)+csc(– q). si π sen θ = − cos 5 6. calcule sen2x. C) senx E) secx 4 5 1 2 a2 + b2 2 2a B) a2 + b2 2 2b b2 − a2 C) E) a2 + b2 a2 − b2 2a2 a2 − b2 a2 + b2 Calcule el valor de csc10º − 3 sec10º B) 1 C) 2 E) 3 Si la siguiente igualdad cos4θ=A+Bcos2θ+Ccos4θ es una identidad. A) 2 3 D) 8. calcule A+B – C. calcule tan2θ. C) 1 Calcule sen2x si E) 0 Si sen x − cos x = A) 6. D) cos235º – sen235º θ 2sen10ºcos10º B) 20º C) − E) A) 1 Calcule el valor de θ. Si cos2θ=tan25º. A) tan5º B) tan10º C) tan15º D) tan20º E) tan25º Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. 53º C) 2 B) tanx 9. D) 3. NIVEL INTERMEDIO 15º 15º Calcule el valor de 8 sen cos cos15º 2 2 A) 1 2 B) 2 D) –1 2. calcule x.45º〉. C) 35º E) 70º 5 4 B) 1 8 C) 3 4 E) 2 10. LEG Nº 822 6 2 . D) 30º 5. 1 2 B) 2 . 3 3 2 1 3 A) 4 5 D) 3 5 37º B) 2 7. Derechos reservados D. A) 10º D) 45º 3 5 NIVEL AVANZADO Simplifique la expresión sen 2 x + 1 + cos 2 x sen 2 x + 1 − cos 2 x A) cotx D) cosx B) − A) 3 D) 4 E) 15º sen ( x + 45º ) 1 = sen ( x − 45º ) 2 Si asenx=bcosx. calcule cos2x. C) E) 45º A) 2 4. 3 5 Si cos4x – sen4x=2sen2x y x ∈ 〈0.Trigonometría PRÁCTICA POR NIVELES Identidades trigonométricas del ángulo doble I NIVEL BÁSICO 1. halle el valor de tan2x.. Si tan 4 x = 2 A) n D) 4. Si tanx=3. calcule (1 – n2)tan6x.2 D) 0. tan2x. Si tanx=tan3y.2tanx. 4 B) n 1 C) n 1 E) n2 B) cotx 8. 6. 2x A 1 – tan2θ 2θ 2tanθ A) 45º 45º B) 2 C) 15º D) 30º E) 60º A) 1 2 D) 3 4 x H B) C) 1 4 E) 1 5 10. está en progresión aritmética.5 B) 0. LEG Nº 822 3 1 3 10 C) 0. calcule el valor de θ.3 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra.4 E) 0. E) cosx A partir de la figura. Si tan2x+3tanx=tan45º.6 C . 1 − tan 2 x cot x 1 + tan 2 x tan x A) tanx 5. . A partir del gráfico. calcule tan2x. . calcule 2 sen (2 x + 45º ). calcular cos2x si HC=3(AH). B C) –1 D) senx 1 5 E) A) 1 n2 Simplifique la siguiente expresión. 4n 2 n −4 C) 3 2 E) 2 3 7.PRÁCTICA NIVELESTrigonometría POR Identidades trigonométricas del ángulo doble II NIVEL BÁSICO 1. calcule sen2x. Derechos reservados D. A) 3 B) 1 3 D) 1 3. A) 1 3 D) 1 5 B) − 2 C) − 1 3 2 3 Si la siguiente sucesión 1. A) 0. calcule tan(x+y)cot2y.. A) 1 4 D) 1 2 B) 1 C) 1 8 E) 2 3 Calcule tan2 tan2x si tan tanx+2sec2x=4 B) 2 D) 3 C) 4 E) 1 2 NIVEL AVANZADO 9. NIVEL INTERMEDIO Si tan3x=n. A) n B) 2n C) 3n 2 2 E) n D) 1+n 2. 8. Simplifique la siguiente expresión. Si MNPQ es un cuadrado. NIVEL BÁSICO 1. tanθ+2tan2θ+4tan4θ+8cot8θ A) tan8θ D) cotθ B) cot16θ C) tan16θ E) 0 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra.Trigonometría PRÁCTICA POR NIVELES Identidades trigonométricas del ángulo doble III 7. calcule csc2θ. B) cotx B) 4cscθ 1 4 B) 5. B) − 1 2 C) 1 E) –1 Simplifique la siguiente expresión. 2 csc 2 x − tan x tan x + 2 cot 2 x A) tanx D) –1 Reduzca la siguiente expresión. Reduzca la siguiente expresión. calcular A+B. A) cot4θ Simplifique la siguiente expresión. A) 4. 2. C) 1 E) – tanx C) 4csc2θ E) 4cot2θ A) D) B) 1 sen 6 θ + cos6 θ 1 2 D) 1 4 C) 2 E) 4 = 2. (cot2θ – tan2θ)tan2θ A) csc2θ D) cscθ 3. Derechos reservados D. tan 2 x tan x + 1 sec 2 x Si C) tan2θ E) cot2θ N 1 2 D) 2 A) 0 D) 3 B) tan4θ D) cotθ Si la siguiente igualdad sen4θ+cos4θ+sen6θ+cos6θ=A+Bcos4θ es una identidad. calcule cos4θ. LEG Nº 822 14 4 . csc4θ+2cot8θ+tan4θ Reduzca la siguiente expresión. calcule cos4θ. csc2θ csc2 B P θ E) 4 sen 4 θ + cos4 θ A) 8 + a2 C) 1 NIVEL INTERMEDIO 6. Si cot(45º+θ)+tan(45º+θ)=a. sec2θ · cot2θ – 2cotθ · cot2θ A) 0 D) 3 B) a2 8 + a2 2 C) 8 − a2 2 E) 8 − a2 a2 a2 2 NIVEL AVANZADO 9. B) 1 C) 2 E) 4 A a A) a+ b+ c 2 B) a+ b+ c 2a C) a+ b+ c b D) a+ b+ c 2b E) a+ b+ c 2c M b Q c C 10. = 3 2 A) 1 2 B) − 1 4 E) 3 4 B) 2 C) 3 E) 5 B) 3 4 3 2 C) 4 E) 1 3 NIVEL AVANZADO Si D) − 1 3 Simplifique la siguiente expresión. 1 2 Simplifique la siguiente expresión. 4. 4 cos 25º − 3 cos 25º 3 4 B) 4 3 C) D) 2 3. LEG Nº 822 5 B) 2 B) 5 18 C) 7 E) 1 . D) sen 3 x + sen 3 x 5. 4cos18º – 3sec18º=atan18º A) 1 D) 4 C) –1 E) 9. NIVEL INTERMEDIO 3 +1 2 B) 1 2 6. calcule a+b. Derechos reservados D. 2 C) 2 A) E) 1 Simplifique la siguiente expresión. calcule 1 2 Calcule el valor de a. Hallar el valor de 3sen15º – 4sen315º 3 A) 2 D) 2. A) senx D) cotx C) sen n 3 10º + co cos3 20º sen 10º + cos 20º C) tan2θ E) cotθ cos3 x − cos 3 x 4 3 Si la siguiente igualdad sen 3θ = a cos θ + b sen 2θ − sen θ A) 1 D) 4 E) 1 A) tan3θ D) cot2θ B) sen 3 θ + 4 cos3 θ es una identidad. B) cot3θ 8. B) cosx C) tanx E) 1 sen 3θ sen 2θ . Calcule el valor de 12cos240º – 8sen310º A) 3 D) 9 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra.PRÁCTICA POR NIVELESTrigonometría Identidades trigonométricas del ángulo triple NIVEL BÁSICO 1. 1 4 C) 3 E) 5 10. 3 sen 5º − 4 sen 3 5º 7. calcule cosθ. A) 3 Reduzca la siguiente expresión. 3 cos θ + cos 3θ 3 sen θ − sen 3θ 2 3 sen θ + 4 cos θ D) 5 3 A) Si tan3θ=4. calcule 2 cos (2 x + y ) + cos (2 x − y ) A) 1 D) –1 B) 2 +1 C) 2 − 1 E) 0 NIVEL INTERMEDIO 6. NIVEL BÁSICO 1. sen 4 x + sen 2 x cos 4 x + cos 2 x A) tan2x D) tanx 2. calcule sen (2 x + 30º ) + sen (2 y + 30º ) cos (2 x + 45º ) + cos (2 y + 45º ) 9. C) tan2x E) 1 C) sen 5º 2 C) tan3θ E) cot2θ 45º sen (2 x + y ) + sen (2 x − y ) Si x = .Trigonometría PRÁCTICA POR NIVELES Transformaciones trigonométricas I 7. 8. Si cos 4 x b = cos 2 x a calcule cot3xcotx. sen 3 x + sen 2 x + sen x 2 cos x + 1 A) sen2x D) cot2x 3. Calcule el valor de A) 2 D) – 4 C) 2 E) 2 2 Calcule el valor de A) 2 D) B) 1 2 1 4 C) 1 E) 4 NIVEL AVANZADO E) 0 B) tan2θ θ 1 2 (sen 24º + sen 6º ) (sen 24º − sen 6º ) cos 72º Calcule el equivalente de la siguiente expresión. A) 1 C) tan4x E) 1 Reduzca la siguiente expresión. B) tan3x Si x+y=15º. Calcule θ para que la siguiente igualdad sea una identidad. LEG Nº 822 6 22 . Simplifique la siguiente expresión.90º〉 sen 300º + sen 200º cos 20º sen 40º B) – 2 C) 4 E) 6 A) 15º B) 30º C) 45º D) 60º E) 75º Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. sen 6θ + sen 4θ + sen 2θ cos 2θ + cos 4θ + cos 6θ A) tanθ D) tan4θ B) D) 2 Halle el valor de sen20º+cos50º – cos10º A) 4. Derechos reservados D. sen 3 x + sen x cos x = sen 2 x + sen 4 x cos 2 x + cos θ Dato: θ ∈ 〈0. A) a− b a+ b D) a+ b a− b B) b− a a+ b C) a+ b b− a E) a +1 b +1 10. B) cos2x sen 20º 2 B) sen 10º 2 D) 1 5. NIVEL INTERMEDIO B) 3 A) 1/2 D) – 1/2 C) 1 E) 1/2 7. 8. 1 2 sen ( x + 15º ) cos ( x − 15º ) − 2 sen x cos x B) 3 C) 4 E) 3/2 De la identidad sen11xcos3x – sen9xcos5x=Asen(Bx)cos(Cx). Derechos reservados D. Simplifique la siguiente expresión. Calcule el valor de la siguiente expresión. 6. calcule 2 sen 3θ cos θ − sen 6θ =n 1 + cos 2θ + cos 4θ + cos 6θ A) 1/4 B) 3/2 C) 2 D) 3/4 E) 3 2 Simplifique la siguiente expresión. Determine el equivalente de la siguiente expresión. Simplifique la siguiente expresión. 2 sen 40º cos10º − sen 50º 2 cos 50º cos10º − cos 40º 3 3 D) 2 A) 2. 5θ θ Si 10 cos 2θ + 2 sen sen = 0 . 5. A) 7 B) 9 C) 11 D) 13 E) 15 C) – 1 E) 0 Calcule el valor de la siguiente expresión.Trigonometría PrácticaTransformaciones por Niveles trigonométricas II NIVEL BÁSICO 1. B) 2 C) 1 E) – 1 Si tanqtan2qtan3q=n. 3 csc 20º −2 A) 4 B) D) 4sen50º 3 C) 2 E) 4cos50º Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. A) 11 D) 2/11 B) 12 C) 1/12 E) 1/11 10. LEG Nº 822 6 2 . 2 2 calcule secq+sec3q. calcule A+B+C. cos220º – sen50ºsen10º A) 2 D) 1/2 2 sen 25º + cos 70º A) 1 B) –1 C) 2 D) – 2 E) – 1/2 4. B) 1 cos 2 10º − sen 2 10º cos 5 x cos 2 x − cos 4 x cos 3 x sen 2 x sen x 3. cos20º+cos100º+cos140º A) n/2 D) – n/2 B) – n C) 2n E) n NIVEL AVANZADO 9. A) 3 D) – 2 Calcule el valor de la siguiente expresión. calcule a. T . calcule PH si AH=3(BH). M A) 3 B) D) 1 3 2 C) 3/2 O E) 1/2 C. Y A) 3 u 2 143º B) 2 3 u 2 P O C) 3 2 u 2 D) 3 2 u 4 X C.Práctica por Trigonometría N iveles Circunferencia trigonométrica I A) 1/2 B) 1/4 C) 1/5 D) 3/5 E) 1/3 NIVEL BÁSICO 1. A) 1/2 Y D) 60º P 5. Y C. X B) 1/3 3 4 C) 3 2 E) 1/4 Si BM=MO. Del gráfico. Y 4. Y Q B C. Derechos reservados D.a 5 En el gráfico. T . De la figura. LEG Nº 822 3 10 X . E) 1 2 u 2 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. P 3 . B H A X A) 4/5 D) – 4/5 2. X C. T . calcule PQ. T . calcule el área de la región sombreada. 3. calcule PQ. B) 3/5 C) 1 E) – 3/5 P A partir del gráfico. T . X Y C. calcule PQ. calcule el área de la región sombreada. T . 37º 2 C) 4/5 tan α tan β 4 D) cotacotb A partir del gráfico. D) 3/5 Del gráfico. X A Y B C. B) tanatanb C. calcule AB. Derechos reservados D. 1 A) u 2 2 1 B) u 2 4 C) 1 u Y 1 E) u 2 8 2 D) 2 u 8. 11 B) 1 3 2 + u 4 2 C) 1 3 2 + u 2 4 E) 3 + 1 u2 2 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. En el gráfico calcule el área de la región sombreada. LEG Nº 822 4 . A) Y B) 1/6 tan α tan β 2 cot α cot β E) 2 C) NIVEL AVANZADO 9. α β X A) 1 3 2 + u 2 2 D) 3 1 2 + u 4 4 C. Y X E) 1/2 B 1 P – . M A X C. T . T . A) 1/3 Trigonometría Si AM=MB. 2 2π 3 En la circunferencia trigonométrica mostrada.Trigonometría Anual San Marcos NIVEL INTERMEDIO 6. T .a 8 Q P 7. T . A) 1/2 B) 1/4 C) 1/8 D) 1 E) 1/6 10. calcule el área de la región sombreada. Y θ X B θ P X C. En la circunferencia trigonométrica mostrada. θ A) – senq Y 1 B) − sen θ 2 3 C) − sen θ 2 3 D) − sen θ 4 E) – 2senq X C. θ O C M A X A) – senq D) 1+senq 2. B) 1 – senq C) – 1 – senq E) senq θ En la circunferencia trigonométrica mostrada. T . calcule el área de la región sombreada.Trigonometría Práctica por Niveles Circunferencia trigonométrica II A) (1+senq)2 B) 1+sen2q C) – cos2q D) – 1 – sen2q E) cos2q NIVEL BÁSICO 1. calcule QC. T . A) senq D) – 2senq Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. calcule (1+senq)PB. LEG Nº 822 15 5 C. T . A) sen θ 2 B) 2senq D) 1/2 3. B) – senq C) 2senq E) sen θ 2 . Y 4. X Q C. C) senq 5. T . T . Y C. Y E) 1/4 En la circunferencia trigonométrica mostrada. calcule el área de la región sombreada si OM=MA. Calcule el área de la región sombreada. En la circunferencia trigonométrica. Derechos reservados D. B) 1 C) 3 E) 5 X Determine el área de la región sombreada. O X calcule el área de la región sombreada. T . B) 30º C) 45º E) 53º 10. calcule QH si PQ=PR. B) senq C) 1+senq E) 2 – senq X C. H X θ P Si el área de la región sombreada es igual a 1 2 u . LEG Nº 822 16 6 . Y A M A) 15º D) 60º C. calcule sec2q. Y θ θ A) 2 D) 4 8.o 6 NIVEL AVANZADO C. X A) senq sen θ B) 2 sen θ C) 4 sen θ D) 6 sen θ E) 8 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Y R Material Didáctico N. T .Trigonometría Academia ADUNI NIVEL INTERMEDIO 6. T . A) sen θ 2 sen θ 4 sen θ E) 8 B) senq C) D) 2senq En la figura mostrada. calcule q. Y θ C. En la circunferencia trigonométrica mostrada. Derechos reservados D. T . 8 Y Q θ A) 2senq D) 1 – senq 7. 9. Si AM=MO. T . A) 1 – cosq P B) 1+cosq cos θ 2 B) cosq – 1 C) 2cosq E) 2 – cosq En la circunferencia trigonométrica mostrada. A) 4(senq – cosq) B) 4(cosq+senq) C) 4(cosq – senq) D) 4(cosq – 2senq) E) 4(2senq – cosq) Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. X Y θ θ X C. θ Y θ B D) 3. calcule PQ en términos de q. LEG Nº 822 7 20 . 4. T . calcule el área de la región sombreada. C) – 2cosq cos θ E) − 3 X De la figura. Y cos θ B) − 4 A) – cosq cos θ D) − 2 2. C. A) B) En la circunferencia trigonométrica mostrada. T .Práctica por Trigonometría N iveles Circunferencia trigonométrica III NIVEL BÁSICO 1. (1 + sen θ) cos θ 2 (1 − sen θ) cos θ 2 (1 + cos θ) sen θ 2 (1 − cos θ) sen θ 2 sen θ cos θ 2 En la figura. Y C) 2 – cosq E) 2+cosq Determine el área sombreada en términos de q. Q C. calcule PB. P A) 1+cosq D) 1 – cosq X 5. determine el perímetro de la región sombreada. T . C) Y D) θ E) X C. Derechos reservados D. Trigonometría Anual San Marcos 8. M Y O X θ C. T . Derechos reservados D. Y En la circunferencia trigonométrica mostrada. calcule PB en términos de q. NIVEL INTERMEDIO Trigonometría A partir del gráfico. B) tanq 9. calcule tana+cotq. X θ sen θ (cos θ − 1) 2 sen θ cos θ B) 2 sen θ (1 − cos θ) C) 2 cos θ (1 − sen θ) D) 2 cos θ (sen θ − 1) E) 2 A) 21 A) sen θ 1− cos θ B) cos θ sen θ − 1 C) sen θ cos θ − 1 D) cos θ 1− sen θ E) sen θ − 1 cos θ Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. LEG Nº 822 8 . θ X P A) cscq D) secq C. De la figura. Y 6. calcule el área de la región sombreada. C) cotq E) cosq NIVEL AVANZADO A) 2cosq B) 2senq C) – 2cosq D) – 2senqcosq E) senq – cosq 7. T . calcule OM. En la figura mostrada. Y θ α B X C. T . Derechos reservados D. LEG Nº 822 9 22 Material Didáctico N.Trigonometría Academia ADUNI 10.o 6 . Calcule el área de la región sombreada en términos de q. T . θ D) sen θ cos θ 2 (1 + cos θ) sen θ cos θ 2 (1 + sen θ) sen θ cos θ 2 (1+ sen θ) E) − 2sen θ sen θ + cos θ Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Y A) − B) sen θ cos θ 2 (1+ cos θ) C) − X C. LEG Nº 822 6 2 .1 5 7. 3〉 B) [2. 3] D) [0.1 5 C) 3 3 . 6] C) 〈2. determine sen2q+2senq+3. A) [2. Si q ∈ 〈30º. 150º] A) 〈5. 3] C) [1. calcule la variación de 12 12 2sen2q+1. 5] 4. 5 2 D) 3 . 3] E) 〈2. 12] A) 5 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 5. 12〉 E) [5. 1] Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. 5〉 C) 〈2. π 5π . 150º〉. A) 3 D) 6 2. 5〉 A) 〈–1. Si q ∈ III C. Si q ∈ 〈30º. 1〉 D) [0. C) 5 E) 7 A) [1. B) 〈5. 10〉 calcule C) 〈5. q ∈ II C A) 〈1. 2〉 C) 〈0. q ∈ [80º. 1〉 3. 2] B) [2. 5 2 B) 3 . 4 Calcule la variación de la expresión. 10. Si sen θ = A) 0 D) 3 variación de C) 〈2. 4〉 E) 〈2. 2sen(q – 50º). A) 3 3 . 5] D) 〈3. 120º〉. 12〉 la variación de π 2 sen θ + + 1. calcule la variación de 8senq – 2. 3〉 D) 〈1. 3〉 B) 1 C) 2 E) 4 NIVEL AVANZADO 9.Trigonometría Práctica Circunferencia por Niveles trigonométrica IV NIVEL BÁSICO 1. Si q ∈ II C. 1] E) [2. 2senq+3. NIVEL INTERMEDIO B) 4 6. 4〉 la Determine el número de valores enteros que asume la expresión. . B) 〈2. calcule la suma 10 del máximo y mínimo valor que asume m. 3] E) 〈– 1. A) 〈2. 10] D) 〈5. 2〉 E) [–1. calcule la variación de 4sen2q+8senq. 3] D) 〈0. 6] m+4 y q ∈ [30º. 7] E) 〈3. Determine el número de valores enteros que toma 3senq – 2. Derechos reservados D. 150º〉. Si θ ∈ B) 〈3. 53º]. 4] Calcule la variación de senq si q ∈ 〈37º. 8. 1〉 B) 〈0. . θ ∈ . . 2〉 E) 〈2. 2〉 A) 3 5 . 2〉 Si q ∈ III C. C) [1. 2] C) [0. 1] D) 〈0. 2 2 1 C) 0. B) [0. NIVEL INTERMEDIO B) [1. 3〉 E) 〈1. determine el número de valores Si θ ∈ . calcule la variación de la expresión. 1] NIVEL AVANZADO 9.− 2 2 8. 3 4 B) B) 〈– 1. 2] E) [2. calcule la variación de 12 3 sec22q – 1. 2 2 de 2 E) [–1. 3〉 C) 4 3 . 4 2 enteros que toma 2 2 cos θ + 1. 2 2 E) − 3. Si 2 calcule la 5 2 variación 2 2 . 3] 7. 1〉 D) 〈0. 2 2 D) 2 3 . 1 3 A) − . 3] E) 〈0. 60º]. π 3π . 1] 1 1 B) − . 0 Si q ∈ 〈– 10º.− 2 2 A) 〈2. q ∈ III C A) 〈0. 120º]. 1〉 B) [0. 2 2 B) − C) − 3 1 . 2 1 D) . 2〉 10. 3 3 10 0 . 1] C) [– 1. Calcule la variación de la siguiente expresión. 3 cos θ + 5 2 A) [3. 4. cos θ + 4 cos θ + 3 A) − 2. Determine la variación de la expresión.Práctica por Trigonometría Niveles Circunferencia trigonométrica V NIVEL BÁSICO 1. 2] 1 5 . 4] 2. 3〉 Calcule la variación de la expresión 4cos2q+1 π 2π si θ ∈ . B) − C) 0. 8 8 2 cos(2θ). 1 3 D) − . 3 1 . 3〉 D) 〈– 1. 0〉 C) 〈1. Si θ ∈ A) [0. 5. 3] Si θ ∈ 〈30º. 2 2 D) − 2. Derechos reservados D. 3] π π . determine la variación de cosq. 5 π 2π . 5] 6. A) [0. 3] E) [0. 2 2 3 1 . A) 1 D) 4 B) [1. π cos sen x 3 A) [–1. 5] D) [1. LEG Nº 822 3 C) [2. 3 2 E) 0. 1 2 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. B) 2 C) 3 E) 5 Calcule la variación de la expresión. 2 1 E) − . cosq+2. calcule la variación de 2cosq+1. 1〉 D) 〈2. C) 3p/2 E) p D) 3p/4 2. B) p A) p D) 5p/2 senx=cosx. 8. 2p] satisfacen la ecuación senxcosx – senx+cosx – 1=0. 2p〉 D) p/2 } { { C) ( 2 n + 1) π 2 E) ( 4 n + 1) π 4 } } Señale cuántos valores de x ∈ [0. { } { } { } { } { } A) nπ − π 4 C) nπ + { E) nπ ± D) ( 4 n + 1) π 4 D) ( 2 n + 1) − 9. NIVEL INTERMEDIO Calcule la mayor solución positiva de sen(2x)=1. Calcule la menor solución positiva de la ecuación. A) p/3 3. n ∈ Z A) {np} π B) 2 nπ + 4 5. B) 2p B) 2 C) 3 E) 5 10. C) 3p/4 E) p C) 3p/2 E) p/4 Calcule la suma de soluciones de la ecuación. n ∈ Z. Calcule la suma de soluciones de la ecuación. x ∈ [0. D) ( 2 k + 1) B) {2np} NIVEL AVANZADO π 4 A) {kp} Calcule la solución general de la ecuación. n ∈ Z 4. 2p] B) 2p C) 3p E) 3p/2 Calcule la solución general de la ecuación. 6.Trigonometría Práctica por Niveles Ecuaciones trigonométricas I NIVEL BÁSICO 1. x 〈0. LEG Nº 822 14 4 . Calcule la solución general de la ecuación sen(cosx)=0. x ∈ 〈0. k ∈ Z { B) {2kp} π 2 } C) {(2k+1)p} E) { } kπ 2 2 (senx+cosx) =1. π 4 sen2xcosx – 3cosx=0. A) p/2 B) p/4 cos2x=sen2x. Derechos reservados D. sen2xcosx=cos2xsenx. p〉 B) p/2 D) p/4 7. A) p π 2 A) 1 D) 4 Calcule la solución general de la ecuación. cos2x – 2cosx=3 A) p/2 D) 2p Calcule la suma de soluciones de la ecuación. C) 3p E) 3p/2 A) {2np} { { { } } } B) ( 4 n + 1) π 2 C) ( 2 n + 1) π 2 D) ( 4 n − 1) π 2 E) {np} Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. (senx+cosx)2+sen2x=3. B) 2 Calcula la suma de soluciones de la ecuación. C) 6 6 E) π 5π . π 5π . 4 3 3. NIVEL INTERMEDIO B) 30º B) C) { { { { { 7. x ∈ 〈0. 2p] A) 1 D) 4 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. x ∈ 〈0. Calcule el número de soluciones de la ecuación. (senx – cosx)2=sen2x A) p/4 D) p/6 C) 45º E) 60º Resuelva la ecuación. 4 4 π π . 3 3 D) C) 3 E) 5 { } { } π 7π . . 4cos2xcosx=2cos3x+1. LEG Nº 822 5 B) – p/3 Resuelva la ecuación. B) p/8 A) – p/6 D) – p/2 π 7π . 3 – 5cosx=0 A) 37º D) 53º 2. x ∈ [0. 4 4 8. 4 sen 2 x = 2 − 2 . 2p〉 A) p D) 5p/3 B) 3p/2 C) 4p/3 E) 2p 10. 4 sen x cos x − 2 = 0. p〉 C) p/3 E) p/12 Calcule la mayor solución negativa de la ecuación. 6 2 2 NIVEL AVANZADO 9. 6 6 D) 5π 7π . 3 2 6 π 7π . . sen x + 3 cos x = 3. } } } } } π 3π . 2cos2x+5cosx – 7=0 A) 3π 5π E) . C) B) p/4 C) p E) 2p Resuelva la ecuación 2cos4x – 2sen4x=1. p〉 { } { } π 5π A) . p〉 A) p/2 D) 3p/4 5. 4 4 A) 1 D) 4 4. x ∈ 〈0. 3 3 E) { { { { { C) – p/4 E) – p } } } } } π π 5π . . x ∈ 〈0. x ∈ 〈0.Práctica Trigonometría Niveles por Ecuaciones trigonométricas II NIVEL BÁSICO 1. Calcule la menor solución positiva de la ecuación. x ∈ 〈0. . 2 cos x − 1 = 0. Calcule la suma de soluciones de la ecuación. 6 2 3 π π 5π . sen2x – cosx=0. 6 6 { } π 2π B) . D) 8 4 Calcule la menor solución positiva de la ecuación. 6 6 π π 5π . Derechos reservados D. π. 2p〉 A) 6. 6 2 6 π π 5π . p〉 B) Calcule el número de soluciones de la ecuación. B) 2 18 C) 3 E) 5 . } D) 5.Trigonometría Práctica por Niveles Ecuación trigonométricas III 4. } { } nπ π ± 2 8 B) nπ ± π 8 } { { C) nπ ± π 4 E) 2 nπ ± } π 2 } Resuelva la ecuación tanx – 1=0. π 4 } } Determine la solución general de la siguiente ecuación. 2sen2x+3=7senx. Derechos reservados D. n ∈ Z e indique la solución general. n ∈ Z e indique la solución general. π D) nπ + ( −1) n 6 E) } } D) 3. { { { { { B) nπ + π 3 C) nπ ± π 3 } } π 3 2. tan x 1. { { { { { A) nπ + π 4 B) nπ − π 4 C) D) { { { { { } { { } } C) nπ + π 3 E) nπ + π 12 } } nπ π π + ( −1) n + 2 8 8 π 4 } π π − 8 8 n E) nπ + ( −1) π π − 4 4 } } NIVEL INTERMEDIO 6. 2 sen x − 3 = 0. senx+cosx=1. NIVEL BÁSICO Determine la solución general de la siguiente ecuación. Determine la solución general de la siguiente ecuación. n ∈ Z A) nπ + π 6 } B) nπ + ( −1) n } π 6 C) nπ − nπ π − 2 4 D) nπ − ( −1) n π 6 π 4 E) nπ + ( −1) n π 3 5 nπ π + 2 12 π π + 4 4 nπ π + 2 4 E) nπ ± { D) nπ + ( −1) n { { { { { } } } } } B) nπ π + 2 6 C) nπ ± Determine la solución general de la ecuación. n ∈ Z B) nπ π + ( −1) n 2 6 A) 2 nπ ± π 6 3 6 A) nπ + ( −1) n 2 cos(2 x ) = 2 { { { { A) nπ + A) nπ + ( −1) n = 1 − tan 2 x Resuelva la ecuación π 6 } } } Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. LEG Nº 822 2 . n ∈ Z. { { C) nπ ± π 6 π E) nπ + 4 } } Determine la solución general de la siguiente ecuación. Derechos reservados D.o 8 6 } } . { { { { { } } } { } 10. cos 2 x + 4 = 3 3 cos x . Resuelva la ecuación } } Material Didáctico N. sen x = 2 + 3 cos x. { { A) 2 nπ + π 6 D) 2 nπ ± π 3 B) 2 nπ − } } } } } A) nπ + π 6 B) nπ + π 3 C) nπ + π 12 π 4 π E) nπ − 4 D) nπ + Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. LEG Nº 822 3 π 6 } { { C) 2 nπ ± π 6 E) 2 nπ + π 3 senx+cosx=tanxsecx e indique la solución general (n ∈ Z). Resuelva la ecuación NIVEL AVANZADO sec 2 x − 4 = tan x + 3 e indique una de sus soluciones generales (n ∈ Z). n ∈ Z { { { { { A) nπ + ( −1) n π π + 3 4 π π − B) nπ + ( −1) 3 4 C) n nπ π + ( −1) n 3 4 } D) nπ + ( −1) n π π − 4 3 E) nπ + ( −1) n π π + 4 3 Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica. { } } B) nπ − π 6 } 9.Trigonometría Academia ADUNI 7. { { A) nπ + π 6 π D) nπ + 3 8. B 4 4 5 θ α A A) 8 D) 9 3. b y c. respectivamente. A) 2 B) 1/2 C) 4 D) 1 E) 3 E C x senθ 30º θ En la figura. se cumple sen C cos A . = c a En la figura. 45º D 10 A) 2 B) 1/2 C) 4 D) 1/4 E) 1 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. LEG Nº 822 10 4 . se cumple que abc = 4 y 1 sen A sen B sen C = . NIVEL BÁSICO 1. Derechos reservados D. calcule A. B) 6 3 60º C) 10 E) 12 A De la figura. calcule BC.Trigonometría Práctica por Niveles Resolución de triángulos oblicuángulos I 5. 4. Calcule el circunradio 2 B de dicho triángulo. calcule DE. calcule AB. calcule x. 6. B Según el gráfico. b y c. A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18 A) 15 6 4 D) 14 6 15 B) 15 6 14 C C) 12 6 5 E) 5 6 6 En un triángulo ABC de lados a. A) 90º x x+1 B) 60º C) 45º 30º A) 1 D) 4 2. O C 53º A 7. Si en un triángulo ABC de lados a. 37º B) 2 D) 135º E) 120º C) 3 E) 5 NIVEL INTERMEDIO Si senq=3sena. calcule x. respectivamente. LEG Nº 822 11 5 D 4 C . Si en un triángulo ABC de lados a. Derechos reservados D. En un triángulo ABC de lados a. se cumple A ≠ B. A) 45º D) 120º B) 60º a b = y cos B cos A C) 75º E) 90º A 3 A) 5/3 B) 3/5 C) 12/5 D) 15/16 E) 3/20 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. sen β b cos B + c cos C cos( B − C ) A) a D) 2a B) b Trigonometría B α C) c E) a/2 β 5 4 NIVEL AVANZADO 9. b y c. respectivamente. simplifique 10.Trigonometría Anual San Marcos 8. Calcule sen α . calcule C. b y c. respectivamente. calcule mABC. En la figura mostrada. D C) 39 E) 26 NIVEL INTERMEDIO B 6. 60º B A) 7 B) 11 C) 13 D) 14 E) 21 3 60º 4 7 A 60º A 2. se cumple que a2=b2+c2 – bc. Derechos reservados D. B Según el gráfico. A) 12 D) 18 θ A) 11/13 D) 9/11 En un triángulo ABC de lados a. 7 5 8 A Calcule cosq. 19 B) 2 En la figura. 4. 21 33 A) D) C 6 7 C B) 14 C) 16 E) 20 Según el gráfico. calcule el perímetro de dicho triángulo. calcule BD. LEG Nº 822 6 . es igual a 1/5. A) 30º D) 120º C 7. calcule mBAC. calcule BC. calcule q. A) 16º B) 15º C) 30º D) 60º E) 53º 3. B 1. b y c. A) 30º B) 60º C) 120º D) 127º E) 150º A cos20º cos10º B 8 θ 7 13 15 A C C sen10º A) 10º D) 50º B) 20º C) 40º E) 70º Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. respectivamente. calcule m BAC. 5 3 7 B) 9/14 B) 60º 8.Trigonometría Práctica por Niveles Resolución de triángulos oblicuángulos II 5. NIVEL BÁSICO Del gráfico. C) 9/13 E) 13/14 C) 90º E) 150º Si el coseno del mayor ángulo de un triángulo cuyos lados son tres números enteros y consecutivos. Derechos reservados D. calcule CD.o 8 B A partir del gráfico. B 3 7 5 2 2θ θ A 120º A A) 3 D) 7 C B) 4 D C) 5 E) 6 A) 1 B) 3/2 C) 2 D) 5/2 E) 3 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. NIVEL AVANZADO 9. Material Didáctico N. A partir del gráfico. calcule AC.Trigonometría Academia ADUNI 10. AD=8. LEG Nº 822 7 C 16 . 6 UNMSM 2005 . A) 7π 2 D) 5π 2 B) UNMSM 2005 . Derechos reservados D. halle M=cos22x – sen2x – 1. Calcule la cotangente del ángulo mayor. cos 4 A + cos 4 B . Si senx+cosx=a. A) – 1 B) – 1/3 C) – 1/4 D) – 1/6 E) – 2/3 8. En un triángulo rectángulo PQR recto en Q. Determine la suma de todos los valores de q ∈ [0. B y C los vértices de un triángu- A) – 6.5 D) – 1.I 3. se obtiene sen 31º cos 31º A) de K = cot R + 2 . Si tana y tanb son raíces de 2x2+x – 1=0.II 4. Si tan2x+cot2x=2 y x pertenece al segundo cuadrante. determine el valor de cot 21 x + tan 7 x + cot 6 x A) – 4 D) – 2 Sea A.I UNMSM 2003 NIVEL INTERMEDIO 2. 81 81 E= tan x + cot 7. 6. LEG Nº 822 8 .5 E) 0.I UNMSM 2004 . 2p] que satisfacen la ecuación senq+cosq=– 1. halle tan(a+b). Si se cumple que cscPcscR=2. A) a2(1 – a2) B) a2(1+a2) C) a4 – 1 A) 1 B) 1/2 C) – 1/2 D) 2 E) – 1 D) a2(a2 – 1) E) a – 2(a4 – 1) UNMSM 2005 . A) 2 − 2 Al simplificar la expresión E) E) 2 + 2 3 2 4 UNMSM 2007 .Trigonometría Anual San Marcos SEMANA Trigonometría 37 práctica integral 5. el cuadrado de la hipotenusa es igual a 5/2 del producto de sus catetos.5 C) 2 E) – 6 B) 1.I Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra.II 17 9π 4 C) 3π 2 E) 7π 4 UNMSM 2009 . Si tan( 2C ) = .5 C) 2. sen 4 A + sen 4 B x+4 B) 4 2 3 lo. En un triángulo rectángulo. NIVEL BÁSICO 1. halle el valor de la siguiente expresión.II UNMSM 2005 . calcule el valor D) B) 2 2 2 B) C) 2 2 D) 4 2 C) 1 + 2 5 sen 17º + cos17º . I Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. En un triángulo ABC.o 8 A En el gráfico. halle AC: NIVEL AVANZADO 9. BE=BD=2 y CE=10 u. LEG Nº 822 3 2 2 C 18 .Trigonometría Academia ADUNI 10. Derechos reservados D. 1 6 – 2 B α 60º B E D x 2α A A) 3 u D) 2 u C B) 3u C) 2 u E) 1 u A) 3 +1 2 D) 3 2 1 + 6 2 B) 9 C) 3 −1 2 E) 3 2 UNMSM 2004 .I UNMSM 2004 . AC=8 u. Material Didáctico N. halle x. c 06 .c 04 .d .b Resolución de triángulos rectángulos I 01 .b 10 .a 10 .c 04 .e 06 .c 02 .c 07 .d 03 .a 04 .a Razones trigonométricas de un ángulo agudo III 01 .b 10 .b 03 .a 09 .c 07 .e 05 .Anual SM Razones trigonométricas de un ángulo agudo I 01 .b 02 .e 08 .d 06 .e 02 .c 05 .e 02 .e 07 .a 08 .c 09 .d 03 .e 10 .c 04 .a 09 .d 05 .b 07 .d 06 .a 03 .c 05 .c 09 .c 05 .d 08 .d 06 .d 10 .b 04 .e 09 .e 07 .b 08 .c Resolución de triángulos rectángulos II 01 .d Razones trigonométricas de un ángulo agudo II 01 .c 02 .e 03 .e 08 . E 07 .a 06 .a 10 .D 08 .B 06 .A 10 .a 04 .c 09 .b 04 .e Ángulos en posición normal II 01 .Anual SM Ángulos verticales 01 .e 06 .d 05 .e 03 .a 09 .d 03 .c 06 .E 09 .a 04 .E 07 .e 08 .e 08 .a 10 .d 02 .d Ángulos en posición normal I 01 .C 04 .d 06 .c .d 07 .b 05 .b 10 .c 07 .c 02 .b 02 .c 04 .a 03 .c 07 .c 05 .D 03 .A 02 .d ángulos en posición normal III 01 .a 08 .c 09 .C Introducción a la geometría analítica 01 .E 09 .B 05 .e 08 .c 03 .c 05 .a 02 .b 10 . b 06 .D 06 .c 02 .c Identidades trigonométricas de ángulos compuestos II 01 .d 09 .c 04 .C 03 .d 07 .d 05 .a 03 .A 07 .b 05 .E Identidades trigonométricas de ángulos compuestos I 01 .e 05 .c 03 .d 04 .c 08 .c 10 .c 08 .c 09 .D 07 .a Identidades trigonométricas fundamentales II 01 .e 05 .e 02 .e 02 .e 07 .e 07 .b 10 .e 03 .c 04 .d 02 .Anual SM Identidades trigonométricas fundamentales I 01 .b 10 .C 04 .a 08 .d 02 .b Identidades trigonométricas fundamentales III 01 .a 10 .b 09 .d .a 05 .c 08 .c 03 .e 06 .a 09 .a 10 .d 04 .a 09 .D 06 .c 08 .E 06 . D 04 .A 02 .B 09 .B 04 .C 05 .E Identidades trigonométricas de ángulos compuestos IV 01 .E 05 .A 06 .B Reducción al primer cuadrante II 01 .D 10 .D 07 .D 10 .C .E 04 .C 10 .D 06 .C 07 .B 09 .B 03 .D 05 .D 06 .C 09 .D 09 .B 07 .E 07 .E 08 .B Reducción al primer cuadrante I 01 .A 06 .B 02 .E 02 .D 03 .C 03 .E Reducción al primer cuadrante III 01 .B 04 .D 07 .D 10 .B 08 .B 08 .Anual SM Identidades trigonométricas de ángulos compuestos III 01 .E 09 .A 02 .C 06 .E 04 .C 08 .E 03 .C 05 .C 02 .A 08 .C 03 .D 10 .A 05 . C Transformaciones trigonométricas I 01 .B 02 .A 06 .B 10 .D 07 .D 05 .D 04 .E 04 .A 07 .E 09 .E 05 .D 05 .C 10 .B 08 .D 06 .D 02 .B 03 .B 05 .C 10 .B 03 .C 06 .C 03 .D 09 .D Identidades trigonométricas del ángulo doble II 01 .C 09 .B 06 .D Identidades trigonométricas del ángulo triple 01 .D 02 .A 05 .C 02 .B 08 .B 10 .Anual San Marcos Identidades trigonométricas del ángulo doble I 01 .B 07 .D 09 .E 04 .E 07 .C 03 .B 02 .E 09 .D .C 03 .D 10 .D Identidades trigonométricas del ángulo doble III 01 .D 06 .B 08 .D 07 .A 04 .C 08 .C 04 .B 08 . d 02 .a 09 .a 03 .c 09 .b 04 .a 06 .e 05 .c 07 .d 03 .d Circunferencia trigonométrica I 01 .b 04 .c 03 .c 08 .d Circunferencia trigonométrica III 01 .d 07 .d 05 .b 02 .b 07 .d 08 .c 06 .b 05 .a 10 .c Circunferencia trigonométrica II 01 .d 06 .d 09 .d 06 .d 04 .a 09 .b 07 .e 05 .e 08 .C .Anual San Marcos Transformaciones trigonométricas II 01 .d 03 .a 10 .e 10 .b 02 .c 10 .c 04 .b 02 .d 08 . B 05 .Anual San Marcos Circunferencia trigonométrica IV 01 .C 02 .C 10 .A 07 .B 04 .D 03 .B 08 .E 05 .D 04 .c .C 05 .C 09 .d 10 .C 09 .B 08 .B 06 .b 05 .C 02 .C 07 .D Ecuaciones trigonométricas I 01 .E 10 .B Circunferencia trigonométrica V 01 .B 04 .C Ecuaciones trigonométricas II 01 .E 10 .D 02 .E 04 .D 06 .C 07 .D 03 .b 03 .B 07 .a 06 .E 09 .a 06 .B 08 .E 08 .e 02 .E 03 .e 09 . e 05 .B 05 .A 02 .D 09 .B 04 .A 05 .d 03 .D 05 .C 07 .B 08 .B 06 .b 07 .D 04 .B 08 .E 09 .E 10 .E 07 .c 02 .A 03 .E 03 .C 02 .C 02 .b 08 .E 04 .A 10 .A 08 .D Resolución de triángulos oblicuángulos II 01 .B 04 .D .d 09 .D Resolución de triángulos oblicuángulos I 01 .D 06 .d Práctica Integral 01 .D 09 .e 10 .D 10 .c 06 .Anual San Marcos Ecuación trigonométricas III 01 .C 07 .B 06 .D 03 .