Trigonometria 01 02 Sistemas de Medida Angular Sector Circular Intensivo

C EUT P e r Cep PR RO NT E-UNIV ERSIT AR I O TRIGONOMETRÍA TEMA N° 01 Y 02: ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO, SISTEMAS DE MEDIDA ANGULAR Y SECTOR CIRCULAR I. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO Es el ángulo que se genera al girar un rayo alrededor de su origen (en un plano), desde una posición inicial (lado inicial), hasta una posición final (lado final). B III. SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR A. SISTEMA SEXAGESIMAL: (S) UNIDAD PRINCIPAL GRADO: 1º MINUTO: 1' Fi n al La O: Vértice (+) A do SUBUNIDADES SEGUNDO: 1'' o Lado Inicial EQUIVALENCIAS: CARACTERÍSTICAS: a) (-) mR 1 vuelta = 360º 1º = 60' : Indica que la rotación es en sentido 1' = 60'' 1º = 3 600'' antihorario. b) : Indica que la rotación es en sentido horario. c) La medida del ángulo puede ser cualquier número real no negativo. OBSERVACIÓN. Si a un ángulo trigonométrico se le invierte su sentido de rotación, entonces su signo cambia. o o En el sistema sexagesimal los ángulos se pueden expresar en grados, minutos y segundos sexagesimales. II. ÁNGULO DE UNA VUELTA Es aquél ángulo trigonométrico cuyo lado inicial coincide con el lado final por única vez. AºB'C'' = Aº+B'+C'' Los números B y C deben ser menores que 60 . 1v o A 1V = Una vuelta Av. Natalio Sánchez Nº 125 1 CEPRE-UTP 015g 100 10 000 C. SOLUCIÓN. RELACIONES DE CONVERSIÓN GRADOS 60 MINUTOS SEGUNDOS 60 3 600 EJEMPLO. Av. exprese θ en grados sexagesimales. 1g = 10 000s mR 1 vuelta = 400g 1g = 100m 1m = 100s 1g 50g a = 82g + + = 82. Natalio Sánchez Nº 125 2 CEPRE-UTP . 100 10 000 B. SOLUCIÓN.) Radián. θ = 40g + θ en SUBUNIDADES SEGUNDO: 1s 50g 60g + = 40. exprese grados centesimales. SISTEMA RADIAL o CIRCULAR: (R) Unidad principal: El radián (1 rad.5060 100 10 000 EQUIVALENCIAS: Sea a = 80g 200m150s .El radián se define como el ángulo central que limita un arco de circunferencia cuya longitud es igual a la longitud del radio del círculo. exprese a en grados centesimales.C E UT P e r Cep PR RO NT E-UNIV ERSIT AR I RELACIONES DE CONVERSIÓN 3 600 60 60 En el sistema centesimal los ángulos se pueden expresar en grados. SISTEMA CENTESIMAL: (C) UNIDAD PRINCIPAL GRADO: 1g MINUTO: 1m Sea θ = 40g 50m 60s . O AgBmCs = Ag + Bm + Cs Los números B y C deben ser menores que 100 .6125º 60 3 600 EJEMPLOS. minutos y segundos centesimales. Sea θ = 20º36' 45'' . SOLUCIÓN. 10 000 100 100 GRADOS MINUTOS SEGUNDOS 100 θ = 20º + 36'+ 45'' = 20º + 36º 45º + = 20.. 3 θ 2 180º rad. RELACIÓN ENTRE LOS TRES SISTEMAS g 180º 200 rad. C: Número de grados centesimales. 4 rad. SISTEMAS S 9 C 10 R 20 t 20R t S C 9t 10t RELACIÓN ENTRE LOS SEXAGESIMAL Y CENTESIMAL 9º = 10g GRADOS S C = 9 10 27 ' = 50m MINUTOS a b = 27 50 81'' = 250s SEGUNDOS p q = 81 250 FACTORES DE CONVERSIÓN De grados sexagesimales a radianes De grados sexagesimales a centesimales De grados centesimales a radianes De grados centesimales a sexagesimales De radianes a grados sexagesimales S: Número de grados sexagesimales. g 200 9º g 10 180º rad. Natalio Sánchez Nº 125 3 CEPRE-UTP . C: número de grados centesimales. a) θ 2 rad. p: Número de segundos sexagesimales. 180º g 10 9º rad. R: número de radianes de un mismo ángulo. 180º rad. 63º 45º c) 70g 70g 9º 10g Av. EJEMPLOS S 180 C 200 R En cada uno de los siguientes casos convertir a grados sexagesimales. 3 rad. FÓRMULA DE CONVERSIÓN De radianes a grados centesimales rad. 120º Donde: S: número de grados sexagesimales. g 200 rad. b: Número de minutos centesimales. q: Número de segundos centesimales. a: Número de minutos sexagesimales. b) 4 rad.C E UT P e r Cep PR RO NT E-UNIV ERSIT AR I NOTA: La fórmula de conversión en algunos casos conviene expresarla de la siguiente manera S 180 C 200 R S k C R 180k 200k k O EQUIVALENCIA: Equivalentemente: m 1 vuelta 2 rad. Halle el valor de 35o 13 90 g rad 2 3 g 150 20 rad b) 4 rad.4 2S .C E UT P e r Cep PR RO NT E-UNIV ERSIT AR I O En cada uno de los siguientes casos convertir a grados centesimales. IV. 10 De la figura mostrada.57rad.26 = = ab + 1 3 2 son en su donde S y C son los números de grados sexagesimales y centesimales de dicho ángulo respectivamente. 20 10 rad. A) D) 3 rad. 2 57º17' 45'' 1. 20 5 rad.5 C) 0. 4 rad. 1º 1 . a A) 4. 200g 5 rad. 200 rad . rad. 1'' 1s Av.4 75a 4b E) 2. Calcule el complemento de 1 rad. 4 θ 3 200g rad. B) 3. b Halle el valor de . dicho ángulo en radianes. B) E) 7 rad. 1' 1m . VALORES APROXIMADOS PARA Los valores que se atribuyen a mayoría aproximados. Natalio Sánchez Nº 125 4 CEPRE-UTP . A) c) 125 g 5 6 B) 4 6 C) 4 6 D) 5 6 E) 1 125 rad. se cumple 2C . g PROBLEMAS PROPUESTOS 1. C) 4 rad. calcule a m b" b) 12º 12º rad. 180º g 15 rad.3 2. 22 7 13 50 146 Para un cierto ángulo. 180º 3 rad. En 3 355 10 3 2 113 3. g 1 rad.141516 1 4 B) 1 un 30C C) 5 4 D) 2 se E) 3 cumple ALGO PARA RECORDAR cierto ángulo S 33 . 50g 140 9 244o 61 120 g 3 rad c) 27º 27º 10g 9º 30g A) 0. 4 rad .6 D) 1. a) θ 3 rad. b}Ì ¢ + . {a . 8 3.6 1/ 3 En cada uno de los siguientes casos convertir a radianes a) θ 54º θ 54º rad. Natalio Sánchez Nº 125 5 CEPRE-UTP . Halle la medida de dicho ángulo en radianes. calcule el número de radianes que tiene dicho ángulo.66 abc abc o g co g c C) 12. En un triángulo ABC. 10. 45 respectivamente.3 E) 13. 50g 6 rad. en los sistemas sexagesimal y centesimal son números pares consecutivos. rad. A) D) 200 o B) 2 o C) o 2 3 o 13. C) 4 rad . Calcule la B) 12. A) B) C) D) E) 3 o æ ö 100 ÷ E) ç ÷ ç ÷ ç è p ø 5 10 12 15 20 8. 9 10 B) 10 9 C) 5 7 D) 1 E) 2 A) 1 3 B) 3 C) 2 D) 1 E) 1 2 Reduce la siguiente expresión: (3 x )º + (4 x )g + ç ç ç (2x )º A) 12 D) 13. 50º 11. se tiene que la medida de sus ángulos interiores son: x º . A) 80° B) 90° C) 100° D) 110° E) 120° 7. ¿Cuál es la medida de dicho ángulo en radianes? A) 5 27b . entonces es 4 C 10 A) 6 9. Si los números que representan la medida de un ángulo. Dar la respuesta en grados sexagesimales. Calcule el valor de rad. A) rad . D) 6 rad. Si S º C g igual a: 3 S 5 rad . 40g 12 4 rad.6 medida del mayor ángulo. entonces calcule 14. 45º A) 6. entonces el valor de es B) 3 C) 4 D) 5 E) 7 5 2 B) 5 A) 2 C) 4 o D) 18 E) 9 16. rad. Reducir: rad. La medida de un ángulo en el sistema sexagesimal es (k 5)º y en el sistema centesimal es (k 5)g .C E UT P e r Cep PR RO NT E-UNIV ERSIT AR I O 5. Si 4 a b B) 4 a rad C) 3 D) 2 E) 1 Si el número de grados centesimales de un ángulo excede a su número de grados sexagesimales en 8 . . 10x g y 2 x rad. Av. Calcule el valor de 3 4 rad. B) 8 C) 9 D) 10 E) 12 A) 5 15. Si: æo ö ç3 30' ÷ ÷ ÷ x y' z'' = ç ç ÷ ç ÷ ' ç ÷ è 6 ø o ' æ ö'' æ g mö ç ç 2 5 ÷ 31' ÷ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ m '' ç ç ÷ ÷ è30 ø è 5 ø Calcule: x A) 138 y 136 z C) 128 B) D) 109 E) 79 2 B) E) 3 8 rad. Si 3aº 2bg 5a 3b . 3 rad .3 o ab g ab æ pxö ÷ ÷rad ÷ è10 ø 12. el extremo “A” del m n 1.C E UT P e r Cep PR RO NT E-UNIV ERSIT AR I O V. OB : AOB AB L AB R θ : : : : radio del círculo ángulo central arco AB Longitud del arco AB Longitud del radio 2 ) B) 2a C) 3a D) 4a E) 5a a x y : medida del ángulo central (0 5.5a D) a 2a E) 3. 12 p n m 30 º 22m A 2. Del gráfico.5 D) 0. calcule el valor de p. Del gráfico. L A 4. Halle x si L1 L2 A) 0 B) 1 C) 0. está dada por la siguiente relación: 3. halle el perímetro de la región sombreada A) 10a B) 11a C) 12a D) 13a E) 14a 3a a 45º x B B) 9m E) 12m L1 C L2 A) 8m D) 11m C) 10m Av. De la figura. LONGITUD DE ARCO La longitud de arco L que determina un ángulo central de θ radianes en una circunferencia cuya longitud de su radio es R.2 E) 2 rad. Del gráfico. calcular: x + y A) a OA. péndulo recorre los arcos L1 y L2 hasta llegar a “C”.8a rad. Natalio Sánchez Nº 125 6 CEPRE-UTP . En figura mostrada. halle el valor del perímetro de la región sombreada A) B) 10a 3 20a 3 35a 3 L R O R R B C) 1. b : Longitud del arco menor. R: Longitud del radio. : # de radianes de la m ∢ AOB. 90º En un sistema de medida X la unidad es la 98ava parte de un octavo del ángulo de una vuelta. ÁREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR (AT) R-r r O r R-r h b a h (17-5x)º AT (a 2 b) h 2(x-1)g AT : Área del trapecio circular. A) 16 B) 14 C) 2 D) 81 E) 63 Av. ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR A R O B O R rad . ÁREA DEL CÍRCULO (Ac) 1. Natalio Sánchez Nº 125 7 CEPRE-UTP .C E UT P e r Cep PR RO NT E-UNIV ERSIT AR I O VI. HOMEWORK 2 R Ac R Del gráfico. y en otro sistema Y cuya unidad es la 343 ava parte de un cuadrante. VII. a : Longitud del arco mayor. halle una relación entre . La relación de conversión entre estos dos sistemas es: A) D) X Y X Y 4 7 6 7 A= 1 L ×R 2 B) E) X Y X Y 74 7 4 5 C) X Y 7 4 O rad L 1 L2 A= 2 q 3. OTRAS FÓRMULAS R O R L E) 2. y . h = R – r. VIII. Calcule el valor de x a partir del gráfico. 0 2 A) C) 180º 90º B) D) 180º 230º A: Área del sector circular AOB. . 8 2 E) rad . A) D) rad. Se tiene un sector circular en el cual r . B) 6 C) 7 La suma de dos ángulos es 60g y su diferencia es 10 rad. A) 2+ -r B) 4 + . Si el número de grados sexagesimales (S) y grados centesimales (C) de un mismo ángulo cumplen la relación 3S 2C 10 . 5 3º 4 C) 12 rad .4) ù ê ú º ê ú. Obtener x en función de r y .r E) 1 . B) 11 22 7 11. Se construye otro sector circular agregando "x" a cada una de estas cantidades obteniéndose ahora r + x. C) 15 D) 18 E) 22 A) 15° Halle el número de radianes que contiene: 10b g B) 40° C) 70° D) 80° E) 85° 12. L + x y + x.C E UT P e r Cep ángulo.2)º ù é (a . B) 2b C) b 20 A) 7. Halle dicho ángulo en radianes. ¿Cuántos radianes de diferencia existe entre 6 300º y 6 300g ? Considere A) 10 6. A) 6 10 10 10 B) 2 10 E) 10 2 C) 3 10 14 12 9 8 D) 5. respectivamente. rad. Halle la medida del ángulo menor en minutos sexagesimales. y su diferencia es 60°. La suma de las medidas de dos ángulos es 5 rad . sabiendo que sus medidas difieren en 54g . longitud de arco y número de radianes del ángulo central. 13. b 10 D) b 5 E) b A) 180g D) 127g B) 136g E) 100g C) 130g La medida de dos ángulos iguales de un triángulo isósceles son 9xº y 12( x 1)g respectivamente. Determine 9 uno de los ángulos en el sistema sexagesimal. En la m medida de g ' un é(a . La suma de las medidas de dos ángulos es 1° y su diferencia 1g . si PR RO NT E-UNIV ERSIT AR I O 4. 1g Simplifique m 2 D) 1 + ..r C) 8 . Indique el valor de ê ê ú g ú a + 2 º ( ) ê ú ê ú (a + 4) û ë ë û a. 6 9 B) rad.r D) 8 E) 10 A) 5 9. . A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 mayor ángulo en radianes. θ representan a la longitud del radio.r 8. A) B) C) D) E) 10. Natalio Sánchez Nº 125 8 CEPRE-UTP . Calcule la medida del mayor de dos ángulos suplementarios en grados centesimales. L . halle la medida del 14. A) B) 3 2 7 C) 5 D) 3 5 E) 5 9 Av. Halle la medida del tercer ángulo en el sistema radial. 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