COLEGIO PRE UNIVERSITARIOCuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Cuarto Año SATÉLITE AMBIENTAL El satélite Nimbus rodea la Tierra en una órbita que pasa por los polos norte y sur varias veces al día, fotografiando la superficie a su paso. Como la Tierra gira, cada paso produce una nueva serie de imágenes y puede reflejar el planeta entero todos los días. La información gráfica sobre la atmósfera terrestre y los océanos se transmite a la superficie, donde se utiliza para controlar los cambios en el medio ambiente. Trigonometría 1 Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO IMPRESIONES Y FOTOCOPIADO V.L.E.B. TELF.: 540–0814 / DPTO. Trigonometría DE PUBLICACIONES 2 Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO TEMA: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD Conceptos Previos Recta Numérica Es una recta dirigida en la cual se han señalado dos sentidos; uno positivo y otro negativo. En donde además a cada punto de esta se le a asignado tan sólo un número real. Veamos un gráfico : H a c ia e l - ... C -3 -2 B 0 -1 0 A 1 H a c ia e l + 3 2 Plano Cartesiano: Es aquel que se forma por la intersección de 2 rectas numéricas perpendiculares entre sí en sus orígenes. Y ( H a c ia e l + ) Segundo C u a d ra n te ( IIC ) ( H a c ia e l ) Te rc e r C u a d ra n te ( IIIC ) Observemos gráficamente: Así se representa el punto P(a,b) en el plano cartesiano. Y P (a ;b ) b X a Veamos un Aplicación: ejemplo de C u a r to C u a d ra n te ( IV C ) Ubique los siguientes puntos en el plano cartesiano. ( E je d e A b s c is a s ) X ( H a c ia e l + ) ( H a c i a ede l rectas se le Nota: A la intersección ) denomina “origen” de- coordenadas. Trigonometría a Abscisa del punto “P” b Ordenada del punto “P” ( E je d e O r d e n a d a s ) P r im e r C u a d ra n te ( IC ) 0 P (a;b) en donde: 3 ... Al punto “0” se le asigna el valor 0 (se le denomina ORIGEN) Al punto “A” se le asigna el 3 : Re al valor 3 Al punto “B” se le asigna el valor -1. Al punto “C” se le asigna el valor -. Coordenada de un punto: A cada uno de los puntos del plano cartesiano se le asocia un par ordenado. El cual se representará de la siguiente manera: a) P (3;2) c) R (-1;3) b) Q (-2;1) d) S (4;2) Resolución: Q (-2 ;1 ) -2 -1 R (-1 ;- 3 ) P (3 ;2 ) 2 1 -1 -2 -3 3 4 3 S (4 ;-2 ) C.b ) b r 0 Trigonometría X a 4 .3 ) 3 rP X a 0 -4 -3 X 1 rR R ( 1 . 3) y R ( 1.Ubicamos los puntos P (-4.b).: Sea el punto P (a. 3) y R (1.b) del I. Resolución: .: r 2 a2 b2 r a2 b2 Veamos un ejemplo de aplicación Calcular el radio vector de los puntos P (-4. Calculemos su valor: rp 42 3 2 rp 16 9 rp 25 5 Y P (a . -3)..3 ) Calculamos rp: Así se representa el radio vector (r) del punto P (a.b) b r 0 P (-4 .Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Por el teorema de Pitágoras calculemos “r”. -3) en el plano: Y Y P(a. Radio Vector (r): Es la distancia del origen de coordenadas a cualquiera del plano cartesiano se representa de la siguiente manera: Ejm. Nota Importante: ¿Cuáles de los ángulos no son ángulos en posición normal? Trigonometría 3 X -4 P (3 . cada uno de los puntos del plano cartesiano poseen infinitos ángulos en posición estándar. entonces pertenece al IIC. entonces pertenece al IIIC. Resolución: De inmediato se nos viene a la mente 2 posibilidades: Y X O Lado F in a l de IIIC IV C Ya que el lado final de se encuentra en el IIC. 5 . Su lado inicial se encuentra en el semieje positivo de las abscisas.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Calculamos rR: 12 rp Y 3 2 rp 1 9 rp 10 q n m Angulo en Posición Normal: Es un ángulo trigonométrico inscrito en el plano cartesiano y que tiene las siguientes particularidades: Su vértice es el origen de coordenadas.: “R y p no son ángulos en posición normal” porque su lado inicial no es el semieje positivo de las abscisas mientras que m y q “si son ángulos en posición normal”. Analicemos Gráficamente Y Lado F in a l de IC IIC E je p o s itiv o d e la s a b s c is a s ( la d o in ic ia l d e t o d o á n g u lo e n p o s ic ió n n o r m a l) X O p Rpta. Su lado final se encuentra en cualquier parte del plano. el cual indicará a que cuadrante pertenece dicho ángulo.-4 ) y son ángulos en posición normal para el punto P (3. -4). -4). Ya que el lado final de se encuentra en el IIIC. Pero …¿son los únicos? … La respuesta es NO. Ejemplo de Aplicación: Trace en posición normal un ángulo cuyo lado terminal pasa por el punto P (3. Y n m X Para ángulos coterminales.Éstos ángulos son de la forma: 6 . Además: = + 1 vuelta .Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO A continuación explicaremos el porque de esto cuando conozcamos los ángulos coterminales. “Para todos los casos se cumple la misma regla” X En la figura se observa: y poseen el mismo lado terminal. Además la diferencia de los ángulos debe dar como resultado un número entero de vueltas o revoluciones. Nota: “Los ángulos cuadrantales no pertenecen a ningún cuadrante” . cuando sus lados finales coincide. y son En General: Si X e Y son COTERMINALES entonces: X – Y = R (vueltas) (n:Entero) Luego: x-y = n(vueltas) = n(2rad) = n(360º) Trigonometría Nota: Si 2 ángulos son coterminales entonces tendrán los mismos valores para sus razones trigonométricas. cuando su lado final coincide con uno de los semiejes del plano cartesiano. Ángulos Coterminales: Dos o más ángulo en POSICIÓN NORMAL se denominan COTERMINALE. Es decir si y son coterminales: Sen + Sen Cos = cos Tg = Tg Sec = Sec Ctg = Ctg Csc = Csc Ángulos Cuadrantales: Un ángulo en posición normal es cuadrantal. También son coterminales: Y Nota: Pero es más práctico y recomendable trabajar con y por ser de menor magnitud. Veámoslo gráficamente: X Ambos con orientación negativa. = 1 vuelta Entonces COTERMINALES. Y Uno con orientación positiva y otro con orientación negativa. : b r n (# Entero) 1 ( 1)90 ó ( 1) rad 90º ó rad 2 2 0 ( 0 )90 ó ( 0 ) rad 2 1 ( 1)90 ó ( 1) rad 2 X a O 0º ó 0 rad 90 º ó rad 2 Donde a2 b2 2 ( 2 )90 ó ( 2 ) rad 180 º ó rad 2 2 r 3 3 ( 3 )90 ó ( 3 ) rad 270 º ó rad 2 2 Sen ordenada de P b Radio Vector r Cos abscisa de P a Radio Vector r Tg Ordenada de P a Radio Vector r 4 ( 4 )90 ó ( 4 ) rad 360 º ó 2rad 2 Valores de las Razones Trigonométricas de Ángulos Cuadrantales Sen Cos Tg Ctg Sec Csc 0 0 1 0 ND 1 ND 90 1 0 ND 0 ND 1 180 0 -1 0 ND -1 ND 270 -1 0 ND 0 ND -1 360 0 1 0 ND 1 ND ND: No definido Razones Trigonométricas de un Ángulo en Posición Normal: Sea “” un ángulo en posición normal y P (a.b) Ejm. de Aplicación: Siendo P (-2. Calcular: A 3 5 Sen Cos Resolución: Trigonometría 7 .b) un punto que pertenece a su lado final.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO n x 90º ó R x Rad 2 Y (n : Entero ) P(a. Definimos las razones trigonométricas de “” de la siguiente manera: Abscisa de P a Ordenada de P b Radio Vector r Sec Abscisa de P a Ctg Csc Radio Vector r Ordenada de P b Ejm. 4) un punto que pertenece al lado final del ángulo en posición normal . Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Y P (-2 ;4 ) 2 A 3 5 4 r X -2 r A = 9 Rpta. O Calculamos: r 1 3(2 1) 5 5 2 2 42 4 16 20 2 5 Signos de las Razones Trigonométricas (R.T.) Presentamos a continuación los respectivos signos de las razones trigonométricas para cada cuadrante en el siguiente cuadro: Calculamos Sen y Cos Sen Ordenada de P 4 2 Radio Vector 2 5 5 Cos Abscisa de P 2 1 Radio Vector 2 5 5 Reemplazamos Trigonometría Y Sen y (+ C sc Las dem ás R .T . S o n (-) Tg y (+ ) C tg Las dem ás R .T . S o n (- ) ) T o d a s la s R .T . S o n p o s it i v a s X C os y (+ ) Sec Las dem ás R .T . S o n (-) 8 Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO PROBLEMAS PARA LA CLASE 01. Si el punto P(5; -3) es un punto que pertenece al lado final del ángulo ““ en posición normal. Calcular: S Sen .Cos .Tg 04. Siendo: Sen Cos <0 y (0<<2). Determine el signo de: P = Tg + Ctg. Rpta.: Rpta.: 05. Del gráfico 02. Si IIC y IVC, al que: Cos = 3 4 Tg = . 5 3 Hallar el valor de: K = Sen. Cos . Cos.Sen Calcular: Rpta.: 03. Del gráfico, hallar Q Sen Sen Cos Cos Y Sen Cos Sen Cos Sen 3 Rpta.: X 06. Siendo Sen < 0 y además (a ;-3 a ) 1-Sen(9Cos+54º). Sec(8Cos+51º) = 0 Rpta.: Trigonometría Calcular el valor de: 9 Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO R = Ctg - Csc 07. De la figura mostrada. Hallar Sen.Sen Rpta.: Y (-a ; b ) X 0 Rpta.: 08. Si |Tg| + Tg = 0 Y : 2 2 Cos 2 2 3 1 1 2 2 Calcular Rpta.: 09. Halle el signo de cada expresión: I. Sen211 . Cos300 II. Tg164 . Sec200 III. Cos120 . Sec370 IV. Tg(405) . Ctg(110) Trigonometría 10 Siendo Cos < 0 y además 13Sen 3 12Sen 1 Tg .3).: 10.: 12. Calcular Tg. siendo: ABCD un cuadrado.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO V.: 11. B C Y X A D Rpta.: Rpta. Si C (-2. Siendo Tg < 0 y además 43 Senx 5 Cscx 1 5 Calcular el valor de: Csc . Tg(220) Rpta.Ctg Rpta.Tg 1 0 7 7 Hallar: Csc + Ctg Nota: Considere Trigonometría 22 7 11 . Cos(150) . Del gráfico.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO M = SenCos + CosSen 13. Siendo “” un ángulo no cuadrantal para el cual se cumple que: 17. Calcular: M X Trigonometría Sen Cos Sen Cos Sen 3 Rpta. Del gráfico: |4Sen+5| = |9Sen| y |Ctg| = -Ctg Calcular el valor de: W = Sec .Tg Calcular: Rpta. Sabiendo que “” es el IIC y P que: 4Cos + 3 = 5K. Calcular: Ctg (P:Centro) Rpta. ¿Cuáles son los límites de X Rpta. De la figura.: 15. calcular: E Tg Tg Tg Tg 12 .: 14.: Y 16.a ) Q 18.: Y (-1 .: “K”? Rpta. Sen 2 Ctg 2 C 3 Sec 2 Rpta. Si es un ángulo negativo de AC y C es punto medio de del tercer cuadrante mayor BD y AC = AO que -rad. De la figura mostrada calcular el valor de M = Tg.: Trigonometría 13 .: P X Rpta.: 19.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Si además B es punto medio 20. Ctg (P es el centro de la circunferencia). Hallar el signo de Y A A B Cos . Y Cos 2 B . Sen C 0 X D Rpta. 75. calcular el valor de la 03. En la figura. . calcular: 02.1) y Q(-1. Si IIIC y 23 Cos 2 30 Tg Ctg Sen Cos = 0.1) pertenece a los lados finales de los ángulos en posición normal y respectivamente. Y calcular el valor de: W X 7 Tg 3Csc a) -2 b) -1 d) 1 e) 2 Trigonometría c) 0 (.3 ) 14 .|Csc| = 2 10 M = Sen + 3Cos3 Calcular: a) 2 c) 2 2 - b) 2 2 W d) 9Tg - 10Ctg. Si los puntos P(1.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO PROBLEMAS PARA LA CASA 01.Sec 2 4 e) = a) 8 b) 7 d) 3 e) 2 c) -3 2 04. Si no un ángulo cuadrantal que cumple: |Sec| + Sec |Tg| .2 .Tg expresión: es 0 0 Csc . Se tiene dos ángulos en posición estándar. C D y B A Sen Cos Y 0 Csc . Determinar el signo de 6 la siguiente expresión. Ctg a) 4 d) 4 Determinar: P = Tg + Ctg Y 5 b) 5 3 e) 5 4 c) 3 4 3 (6 .Csc siendo: Trigonometría 15 . 2 Siendo ABCD un cuadrado además AO = 4AB. Del gráfico determinar Sec. tal que 0 la suma de ellos da un a) 1 6 b) 5 d) 11 6 e) 13 6 c) 7 número entero de vueltas y 6 además Sen > 0 y Cos < 0. 3 ) 5 07.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO a) 3 c) 3 3 2 b) 2 3 2 2 3 d) e) 5 3 2 05. Sec a) - b) + c) + y - d) + ó - e) Faltan datos X 08. Determinar el valor de: L = Tg . Tg Ctg Cos Sen Cos 06. calcular el valor de: E = Sen2 + Cos2 a) 1 3 b) 1 d) 2 e) 2 5 Trigonometría c) 5 6 16 .Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Y 10.Csc B A 0 D X C Además: Sec < 0 a) 5 5 2 Además BC = BD c) 2 5 5 2 33 a) 2 e) 3 5 2 ABC triángulo equilátero. Dada la igualdad: Tg 1 = no Sen donde “” pertenece al II o IV cuadrante. M = Sec . c) 3 1 2 e) 4 32 3 3 3 1 b) 2 2Tg 2 6Tg 2 32Tg 2 Si 2 b) 3 5 2 d) 5 5 3 35 2 d) 09. Si “” IIIC y 14.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 11. Se tienen 2 ángulos cuadrantes negativos que están en la relación de 3 a 4.3Ctg Calcular el valor de: r 7 Tg 3Csc d) 1 e) 2 c) 0 12. Calcular el mayor.75 2 P = Ctg . En la figura calcular 23 Cos 0. a) -720 b) -540 c) -360 d) -180 e) -90 0 b) -1 a) d) 3 4 3 b) 2 3 e) 5 3 c) X a) -2 O W 3 3 13. si la diferencia de éste con el menor es 180º. Calcular M-N de la figura: X Y Z Si M = Sen(x+z) + Senx + Senz N = Cos(x+y) + Cosx + Cosy a) 1 b) 0 d) 2 e) -2 Trigonometría c) -1 17 . 3 2 Cosa a) -7 Trigonometría b) -1 c) 1 18 . Si Sen2a = d) 2 1 y 9 e) 3 Cosa < Cos90. Calcular el menor valor de: M = Csca .Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 15. Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO TEMA: REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE La conservación de una razón I Regla: “Para ángulos positivos trigonométrica (r. se considera un ángulo agudo. . .Para el Seno: Su Co-Razón es el Coseno.Para la secante: Su Co-Razón es la Cosecante.30º) = -Cos 30º 19 .El signo + ó – del segundo miembro depende del cuadrante al cual pertenece el “ángulo a reducir”. Reducir al primer cuadrante: a) Cos 150º b) Tg 200º c) Sen 320º d) Sec 115º e) Csc 240º f) Ctg 345º Resolución: 1a. Ejemplos de Aplicación: 1. Trigonometría R . Cos 150º = Cos (180º .t) de un ángulo menores a una vuelta.T 1 8 0 R T 3 0 6 ”reducción al primer cuadrante” También reducir al primer cuadrante un ángulo significa encontrar los valores de las RT de cualquier ángulo en forma directa mediante reglas prácticas las cuales mencionaremos a continuación recordando antes que: .Para la Tangente: Su CoRazón es la Cotangente. cualquiera en otra razón equivalente de un ángulo del primer cuadrante se llama: R . . T 9 0 c o r t 2 7 0 ¡Importante! . 30º) = .65º) = negativo” .Csc (25º) .Csc (60º) ó Sec 115º = Sec (90º + 25º) = Csc 240º = Csc (270º . por ser son éstas equivalentes” .Sec 65º Csc 25º = Sec 65º al III C. e)Csc 240º = Csc (180º + 60º) = 1d.Csc 25º = . Tg 200º = Tg (180º + 20º) = + Tg 20º. en donde e seno es negativo y se cambia a coseno (Co-razón del seno porque se trabajo con 270º)”. y suman 90º Nota: A éste par de ángulos se les denomina “Ángulo Complementarios”. . Sen 320º = Sen (270º + 50º) = Ya que: sen Cos ta g C tg sec C sc -Cos 50º Donde: “El signo (-) se debe a que el ángulo a reducir (320º) pertenece al IV C. en el cual el coseno es Sec 115º = Sec(180º .Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “El signo (-) se debe a que el Ojo: También se pudo haber ángulo a reducir (150º) pertenece resuelto de la siguiente manera: al II C. 1c. en el cual la tangente es positiva”.Sec (30º) Trigonometría 20 . “El signo (+) se debe a que el ángulo a reducir (200) pertenece “Ambas respuestas correctas.Sec (25º) 1b. Reducir al primer cuadrante: a) Sen (548º) cos(180° + 87°) = -cos87° b) Cos (987º) c) Tg (1240º) Resolución 2a) Sen548° = sen(1 × 360° + 188°) = sen188° Luego: 160°) = Tg160° Luego: Tg1240° = Tg160°.72°) = -cos72° Trigonometría 21 .3) = -sen3° 2c) Tg1240º =Tg(3 × 360° + Ejemplos de Aplicación 2.Tg (75º) ó 2b) Cos987° = cos(2 × 360° + 267º) = cos267° Ct 345º = Ctg (360º . T n Nota: Se eliminan los múltiplos de 360º.Ctg 15º Cos987° = cos267° = II Regla: “Para ángulos positivos mayores de una vuelta.20°) = -Tg20° Sen548° = sen188 = sen(180° + 8°) = -sen8° ó sen548° = sen188° = III Regla: para ángulos negativos: sen(270 . T 3 6 0 n R . R .Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO f) Ctg 345º = Ctg (270º + 75º) = .Tg(90° + 70°) = -ctg70° ó Tg1240° = Tg160° = Tg(180° .15º) = Luego: . ó cos987° = cos267° = cos(270° . se cumple: s e n ta g C tg C s c C o s() S e c() 3c) Ctg(-1120º) = -Ctg(1120°) = -Ctg(3×360° + 40°) sen ta g C tg C sc C os Sec Ctg(-1120°) = -Ctg(40°) 3d) Csc(-2140°) = -Csc(2140°) = -Csc(5×360° + 340°) Csc(-2140°) = -Csc(340°) = Nota: Observamos que para el coseno y secante el signo “desaparece” es decir. Reducir al primer cuadrante: Nota A) cos(-130°) B) sec(-274°) C) Ctg(-1120°) D( Csc(-2140°) Importante: capítulo “Reducción Cuadrante” trabajando Resolución: sistema 3a) cos(-30°) = cos(30°) también 3b) Sec(-274°) = sec(274°) = Sec(270° + 4°) = Csc4° ó Todo se 1er al desarrolló netamente sexagesimal se el pudo en la el cual haber trabajando en el Sistema Radian incluyendo todos los casos reglas y aplicaciones propuestas. solo trabajamos con el valor positivo.Csc (360º 20º) = -[-Csc(20º)] Ejemplo de Aplicación = Csc 20º 3. Veamos ejemplos: -Csc(270 + 70°) = -[-Sec 70º] = Sec 70º ó . Sec(274°) = sec(360°-86°) = sec86° Trigonometría 22 .Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Para todo ángulo .Csc(340º) = . Csc( 210 )º. 07.Cos( 240 º ). Tg ( x ) 2 Sec N Sen A 2B C 2Sen 2 A B 2C SenB Rpta.: Rpta. Tg220 º Sen40 º Rpta.: a) Cos(-60º) = 0. Determine el valor de la 06.: 03. Dado un triángulo ABC P Sen(870 º )Sec ( 300 )º. Marque lo incorrecto: Rpta.: 04. Si x+ y = siguiente expresión: A 2 Sec120 º.Cos( 315 )º Cos2 y Sen2 x Calcular: Csc( 135 º ).Cos 300 º Sen2y Cos2x Rpta. Reducir la expresión M Cos x 2 .: 08.5 b) Tg(-135º) = 1 5.: 02.Tg 330 º.Tg( 210 º ). Si: Senx – Seny = 1 Además: x + y = 360º Trigonometría 23 . Si Cos50º = a c) Sec(-530º) = Sec(-10º) Hallar: d) Csc(-755) = -Csc(35º) e) Ctg(-57º) = -Tg(213º) Rpta.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO PROBLEMAS PARA LA CLASE 01.Cos( 210 )º.: Sen140 º .Csc x 2 3 x .Tg( 225 )º Reducir: Rpta. Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Calcular: Csc2x Rpta. Calcular el valor de: L Ctg 2 570 º Sen 1043 º 2Tg 1125 º Rpta. Sen565º b. –Cos(-65)º Rpta.: 11.: 12.: 10.Sec Trigonometría 24 . Si Tg= - 5 Calcular: 2 F: 3 3 Cos . Ctg 2 x 2 Rpta. Sen65º III. Tg(171)º II. Cos335º a. –Tg(-531) c.: 09. Ctg81º IV. Ctg(-99)º d. Simplificar: 5 Ctg 2 x Tg x 2 B 3 Tg x . Ctg 2 .Tg . Csc 2 2 Sen . Dada las columnas relacionar: I. CosB 2 Rpta.: 15. Si A + B = 180º Simplificar: 2 CosA.: 16. Si ( + ( = 270º Reducir: ﾵﾧ Rpta. Simplificar T 2Sen x Cos x Tg x Cos2 x SenxCos x Rpta.: Trigonometría 25 .: 13.: 14.Ctg B Tg A . Calcular 43 A 2Tg 2Cos147 6Sen61 6 4 Rpta.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Rpta. Tg3.Tg3 Csc Sen6 Rpta. Reducir 19.: Trigonometría 26 . Simplificar la expresión: Sen 73 2 a Sen90 º 2abCos180 º b Sen270 Tg143 T M Cos 581 a 2 Cos0 º 6abTg360 º b 2 Sec 0 º Cot 81 2 Rpta. Reducir: 20.: 2 2 Rpta. Si + = 30º.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 17. reducir A = Cos1º + Cos2º + Cos3º + … …Cos178º + Cos179º + Cos180º E Sen6 .: Rpta.: 18. Cos 2 Ctg. Reducir la expresión: A 04. Si Tga = 2 .Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO PROBLEMAS PARA LA CASA 01. Simplificar: c) 0 1 2 b) 2 Cos 136 º.Sec 145º Sec(100)º Csc125º Csc 134 º Csc(170)º a) Sen46 b) 2Sen46 c) -2Sen46 d) -2 e) 0 06.Ctg.Sec.Csc Trigonometría . Calcular a) P = Sen870º+Sen580º+Sen500º +Cos(-20)º+Cos(160º) a) 2 b) – 1 d) 1 e) M 03. Si Sen(180º+x) = -2/3 Calcular: E = 2Csc(360º-x)+3Cos(90º+x) a) 1 b) -1 d) 3 e) 0 c) -5 e) 2 d) 3 c) 2 2 3 3 05. calcular Sen 450 º x Cos x 180 º Tg 270 º x Ctg 360 º x a) 2Senx b) -Cosx c) Tgx d) -Senx 3 Sen a Cos a 2 F 3 Sec 2 a Csc a 2 e) 2Cosx 02. Si y son complementarios Calcular el valor de: 2 R 27 Csc. Cos 2 M 61 Sec 84 Sen 2 a) -Sen b) Cos d) Sen c) -Tg e) Cos 09.Sec . Calcular el valor de: Calcular M = A + N 5 2 3 .Tg .Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO a) Cos2 c) Tg e) 1 17 17 A Tg Tg x 4 2 2 13 N Ctg Tg13 x 4 2 b) Sen d) Tg 07.Ctg 6 4 3 Cos a) 2 b) 2 2 d) 2 6 e) 6 2 a) 2Tg2x b) 2Sen2x c) 2Csc2x d) 0 2 e) 2Cos x c) 8 2 08.Csc 6 3 4 D 5 3 2 Sen . Reducir la expresión 39 Ctg1997 . Sabiendo que: Trigonometría 28 . Tg(90+x) Calcular: M Calcular: Senx Cscx Ctgx M 3 1 M 2 3 a) 4 b) 1 d) 3 e) 5 c) 2 a) -1 b) -2 d) 2 e) 3 c) 3 14. Si Sen (360-x)+3Cos(270+x) = Sen1230º Sen870º Ctg405º Sen1200º-Cos840º Ctg495º Tg (180-X) . Reducir: 11.Cot 121 3 4 6 a) 1 b) 2 d) 4 e) 5 Trigonometría 3 c) 3 29 3 Tg 2 Ctg .Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 10. Hallar el valor de: T Sec 181 Tg 89 . Reducir: Tg x 2 Sen x Cos x Sen x Sec x R M Sen x Cos x Cot x Cos x Csc x 2 2 2 a) -1 b) -2 d) 1 e) 2 c) 0 a) -2 b) +1 d) -1 e) 2 c) 0 12. Si M 13. Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 15. Indique (V) o (F): I) Sen(360-x) + Senx > 0 a) FFV b) FFF d) VVV e) VFV c) VFF II) Cos(270+x) + Senx < 0 III) Tg(180+x) .Tgx = 0 Trigonometría 30 . 1 ) las M e d id a d e l A r c o P o s itiv o A (1.0) Origen de Arcos B (0. Para un mejor entendimiento de las definiciones posteriores se enuncian P1 siguientes denominaciones a los puntos: Veámosla gráficamente B (0 .El valor de su radio es la .Su centro coincide con el de X Abscisa del Punto Y Ordenada del Punto unidad (R = 1) origen puntos que pertenecen a la coordenadas del plano cartesiano.-1) M e d id a d e l A r c o P o s itiv o P1 y P2 Extremos de Suplementos Arco en Posición Normal: Trigonometría 31 .0) A ra d C (-1.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO TEMA: CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA Definición: Nota: Todos y cada uno de los La circunferencia trigonométrica es una circunferencia inscrita en un sistema de coordenadas rectangulares a la cual hemos denominado Tiene plano como circunferencia trigonométrica (C.T.1) Origen de Complementos (-1 .) la cumplen ecuación siguiente: cartesiano.0 ) C ra d 0 (1.0) Origen de Suplementos P2 (0. x2 + y2 = 1 características principales: Donde: . (es aquel que indica el cuadrante al cual pertenece dicho arco. es (+) y al I C es (-) y al III C Observación: El ángulo central correspondiente a un arco en Posición normal o estándar.71 2 Se observa que: AP AT Trigonometría 32 . Veamos Ejms.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Es aquel arco cuyo extremo Además: inicial es el origen de arcos de la “” y “” son arcos en posición C. y su extremo final cualquier normal o estándar tales que: punto sobre la C.14 = 3 = 4.T.28 X rad T 0 3. Nota: Importante: Del gráfico: Éstos extremos servirán como referencia para ubicar aproximadamente otros arcos en la C.57 B 2 P rad C 0 A C 0 X A 2 = 6. tiene igual medida en radianes que la medida del arco.: Y Y B = 1.T.T. 4.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Ejemplos de Aplicación: Ubique gráficamente N en la circunferencia trigonométrica los extremos de los arcos (en posición standar): : Extremo del arco 4 4 III C Q: Extremo del arco -1 1 IV C Razones Trigonométricas de Arco en Posición Normal o 5 / 6.Y 0) 1 R ad X M: Extremo del arco 5 5 II C 6 6 Trigonometría 33 . Es decir: tendrán su posición inicial en el punto A(1. 1 Standar: Resolución . (ángulo central) B 5 rad 6 Luego entonces: 0 X A 1rad 4 N Q Y 1 P ( X 0 . (arco) = R. éstos C.T.Para Son numéricamente iguales a las que los encuentren arcos en se razones trigonométricas de su posición respectivo ángulo central en la estándar en la C.T.0).T.T. Y 5/6 M C R. sen) Trigonometría 34 . y también al De la observación lado final del ángulo en posición Coordenadas del extremo de arco: normal o standar .T.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Sea P(xo. yo) = P (cos. del ángulo .T. sen y y s e n ra d 1 cos X X C o s ra d 1 Tg Y T g ra d X C tg Sec C sc X 1 X S e c r a d o 1 Y C tg r a d Y C s c ra d o Observación Vemos que: Yo = Sen Xo = Cos Por lo tanto El punto P también se representa de la siguiente manera: P (xo. Calculemos las R. yo) (P IC) que pertenece a la C. Sen) Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Y P’ (cos . opuestas: Trigonometría 35 ) .T. -sen ) Para hallar coordenadas simétricas Nota Importante: .Y B P(Cos . entonces cumplen la ecuación X 2 + y2 = 1 * Para P: Cos2 + Sen2 = 1 Para Q : Cos2 + Sen2 = 1 Se concluye que “para todo arco Para hallar Coordenadas Ortogonales: la suma de los cuadrados de su seno y coseno dará la unidad” Y P (-S e n .Ya que P y Q a la C. sen ) Y X Q’ (-cos .C o s ) P (C o s . X 0 C.T. P’ (cos .T.-sen) C.T.S e n Algunos alcances importantes: Para hallar coordenadas 0 X C . Línea VERSO.Línea COTANGENTE Veamos y analicemos sus representaciones: .Si el segmento de recta está Las principales Líneas Trigonométricas son: dirigido hacia la izquierda o hacia abajo entonces el valor numérico de la línea trigonométrica .Si el segmento de Recta está dirigido hacia la derecha ó hacia arriba entonces el valor numérico de trigonométrica la línea correspondiente será positivo.Línea COVERSO.Línea TANGENTE .Línea COSECANTE . .Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Líneas Trigonométricas Son segmentos dirigidos.Línea COSENO . . un ángulo o número. mediante del arco.Línea EX-SECANTE P 1 rad 0 Trigonometría Q A X 36 .Línea SECANTE Línea Seno: Se Las líneas trigonométricas auxiliares son: representa . el valor numérico de una razón trigonométrica de .Línea SENO correspondiente será negativo. los de cuales Nota Importante: recta nos representan en la circunferencia trigonométrica. . hacia el (Eje X) horizontal (apuntando hacia el extremo del Y arco). la perpendicular trazada desde el extremo diámetro . tangente hacia el geométrica (Eje Y) prolongado de la C. el segmento está dirigido hacia la derecha Línea Tangente entonces el seno es positivo.T.0). que pasa apuntando hacia el extremo del por el extremo del arco. Como en el Ejm. Nota: Como en el Ejm. Apunta arco.0 ) ra d X 0 ra d P Trigonometría radio Y R 0 el X Q 37 . El segmento RP esta dirigido hacia la derecha Nota: entonces el coseno es positivo. diámetro del la vertical Y P A ( 1 . Se observa que RP representa al coseno del Arco Trigonométrico .Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO En el gráfico: En el gráfico: QP Se observa que representa al seno del Arco Trigonométrico . Se mide desde representa por la el origen de arcos y termina en la perpendicular trazada desde el intersección de extremo con arco. Es una parte de la tangente geométrica trazada por el origen Línea Coseno: Se de arcos A(1. hacia la intersección. T. ra d A 38 . Apunta hacia la Y P intersección. Apunta prolongado con hacia dicha intersección. el está dirigido. prolongado de la C. BT segmento está dirigido hacia la izquierda entonces la Línea Cotangente Es una porción de la tangente geométrica que pasa por el origen de complementos B(0. cotangente es negativa. Línea Secante: se empieza a medir desde el Es una porción del diámetro origen de complemento y termina prolongado que pasa por el en la intersección de la tangente origen de arcos A(1.T.T. En el gráfico: Se observa que BT representa a la cotangente del arco trigonométrico . P la ra d 0 0 Trigonometría C . que pasa hasta la intersección del diámetro por el extremo del arco. Nota: Como en el ejemplo el segmento AQ Nota: Como en el ejemplo. hacia abajo entonces la tangente es negativa. geométrica trazada con el T a n g e n te G e o m é t r ic a T tangente por el extremo del arco.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO En el gráfico: Se observa que AQ representa a la tangente del Arco Trigonométrico .0) y que se mencionada radio mide desde el centro de la C.1). hasta el pie de la con geométrica perpendicular trazada desde el trazada por el extremo del arco extremo del arco. del diámetro prolongado que pasa por el Línea Auxiliar verso o seno verso: origen del complemento B(0.1 ) 0 ra d 39 Trigonometría C .T . hacia Línea Cosecante: Es una parte OM abajo está dirigido entonces la cosecante es negativa. hasta la intersección del mide a partir de origen de arcos diámetro prolongado mencionado A(1. apunta la tangente Y B (0 . «Es lo que le falta al coseno de y que se mide desde el centro de un arco para valer la unidad» se la C. En el gráfico: Se observa que OM representa a la cosecante del Nota: Como en el ejemplo. al diámetro apunta hacia la intersección. Nota: Como en el ejemplo. 1). el OR segmento está dirigido arco trigonométrico . 0).T.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO En el gráfico: Se observa que OR representa a la secante del arco trigonométrico . P M . el hacia la derecha entonces la segmento secante es positiva. horizontal del (Eje X) . representa al verso del arco trigonométrico .T. Se observa que Y P NA . Línea Auxiliar Coverso o Coseno Verso: «Es lo que le falta al seno para valer la unidad» el coverso se mide a partir de origen de complementos B(0. 1).1) Y L P rad 0 Trigonometría X 40 . (Eje Y).Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO hacia el origen de arcos es decir En el gráfico: « el verso jamás es negativo».Cos C . Apunta hacia el origen de complementos « el coverso jamás es negativo» B(0. hasta el pie de la perpendicular trazada desde el extremo del arco a diámetro vertical de la C.T . ra d 0 Cumple la fórmula Verso() = 1 . Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO En el gráfico: Se observa que LB representa al arco trigonométrico . Cumple la Fórmula: Coverso() = 1 - Seno Línea Auxiliar Ex-Secante “«Es el exceso de la secante a partir de la unidad ». Se mide a partir del origen de arcos A(1; 0), hasta el punto donde termina la secante de ese arco. apunta hacia el punto donde termina la secante. Y P R Trigonometría A(1;0) X 41 Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO - < Tgx < En el gráfico: Se observa que a la AR Ex-Secante representa del - < Ctgx < arco Para la secante y Cosecante trigonométrico . Cumple la Fórmula: ExSec() = Sec - 1 - Intervalos de variación de los - < Secx -1 v 1 Secx < + - < Cscx -1 v 1 Csc < + Valores de las Líneas Trigonométricas -1 0 + 1 También Para el Seno y Coseno: De lo anterior deducimos que: - 0 -1 + 1 La variación para los valores de las líneas trigonométricas auxiliares son: - 1 Senx 1 0 Versx 2 - 1 Cosx 1 0 Coversx 2 - < Ex-Secx -2 v 0 Ex-Secx Para Tangente y Cotangente: - 0 Trigonometría + < + Ahora en una tabla veamos las variaciones de los valores de las 42 Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO líneas trigonométricas. Indicando que: Crece Decrece Senx Cosx Tgx Ctgx Secx Cscx IC IIC IIIC IVC PROBLEMAS PARA LA CLASE 01. Indique que proposición es verdadera: a) Ctg2 < Ctg3 b) Ctg1 > Ctg4 c) Ctg2 > Ctg4 d) Ctg3 > Ctg4 e) Ninguna es correcta Rpta.: 02. Marcar V o F en cada proposición: Trigonometría 43 Calcular PQ: Tgx > 1 Tgx < 1 4 0 < Tgx < 1 Rpta.: Trigonometría 44 . Sen260º . calcular el valor de “a”. conjunto de Si AQ = 2QT Rpta. Sen350 º 05. Sen170º .: 03.T.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 4 II. Rpta. En la C. Si x > III. que se muestra Rpta.: A Sen80 º .: OM = MA. Si x < 4 I. Ordene en forma creciente el siguiente valores. Si 0 < x < 04.T. En la C. Si 270º < < 315º.: Rpta. Tg2 > Ctg2 Rpta. Vers2.: 07.Ctg| = Ctg Tg 10.: Trigonometría 45 . las 09. Si Senx = proposiciones intervalo de “A” para la cual I. 7 Entonces el intervalo de “K” es: Rpta. Hallar el Área de la región sombreada: 2a 1 . |Tg .Ctg = 1 el “Senx” exista II. Rpta.: IV. Tg >Ctg III. Hallar el 3 11.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 06. Tg . Ordene en forma creciente: Cov1.: 08. Si ¿Cuántas son verdaderas? IIIC y Cos = 3k 2 .: Rpta. ExSec4 Siendo S1 = S2: 1 Tg Calcular Tg 2 Rpta. Rpta.T. En el IIIC el Seno crece II. Afirmar si es V o F: es falsa. De la C.: 13. III.: además se tiene que: 14. Si Csc la 2n 1 4 Trigonometría relación: 2Secx Cosx 1 3 8Tg 7 Calcular el valor de: E = 3Sen + 5Cos 46 . Se tiene que “” es del IIIC y Rpta. I. Determinar el área de la región sombreada. mostrada.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 12. Calcular la suma de los valores enteros que toma “n”. Cuando el Seno crece el Rpta.: 16. hallar la ordenada del punto “M” en términos de “” Rpta. En el IIC el coseno varía de 0 a -1.: 15. Coseno decrece. 4 y además Cos ExSec 4 (Asumir que IC) Rpta.: 17. Calcular el área de la región sombreada en términos de .: 18. Calcular los límites del arco “” si se conoce que 3 4. Rpta.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Rpta.: Trigonometría 47 . : PROBLEMAS PARA LA CASA 01. La función Seno ex creciente y positiva en el 2do cuadrante II.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 19. Hallar el área de la región sombreada. EL Coseno es decreciente y negativa en el 3C. Hallar la extensión de “n” para que se cumplan simultáneamente las igualdades. Rpta. Dadas las preposiciones valor de verdad: siguientes indique el I.: 20. n 1 n 1 | 2Cos 1 | 3 2 2Sen 2 1 Rpta. Trigonometría 48 . Determine la extensión de “n” en la igualdad.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO III. Calcula el área de la región sombreada 03. independientes .5] b) [1.9] d) [2. entre sí.7] valor de: c) [1. Calcular “a+b” a) 0 b) 2 c) 3 d) 5 e) 4 Trigonometría a) Sen b) Cos c) 2Cos d) -Cos 49 . Siendo . Si se tiene a) FFF b) FVF d) VFV e) VVF c) FFV y además: 6 3 |4Sen2-5| = 02.9] 05. Si “a” es el valor máximo de la expresión 2Tg 4 Ctg2 y “b” es el mínimo valor de Sen 2 + Csc2 . La función tangente es creciente y negativa en el IVC.5] E = 2Sen -3Cos + 4Sen + 1 a) -2 y 4 b) -2 y 1 c) -4 . 6 d) -8 y 10 e) -6 y 10 e) [2. 04. n3 2 Hallar el mínimo y máximo a) [1. Si Cos n4 . Hallar la suma de los valores enteros que puede tomar “n”. a) Sen b) 2Sen c) Sen d) 1 + Sen e) 1-Sen 10. 3 2 5 . 3 2 5 2 . calcular: M = (2S + )Ctg S = Área de la región sombreada. b) 5 . Hallar MN: expresión ExSec = 2n 5 4 siempre existe? a) . Calcular PR si Sen = 5 7 06. 3 2 d) . ¿Para qué valores de “n” la 07. Trigonometría 50 . En la C. mostrada.T. 2 e) .Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO e) -Sen 08. 2 c) . IV 6 a)-1 b) -3 d)-7 e) -9 c) -5 a) 5 7 b) 1 d) 11 7 e) c) 9 7 13 7 09. mostrada hallar la ordenada de P.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO B Calcular AT S 0 A X a) 1 b) Sec c) Cos d) Ctg e) Csc b) 1 + Cos + Sen c) 2 + Sen . 12. En la C.Sen . 5] d) [-12 . 6] c) [-13 .Cos d) 1 .Sen + Cos e) 1 . 51 Trigonometría . 6] b) [-14 . Determine el intervalo de “K” si se cumple la siguiente igualdad: 2Cosx 1 K 2 K 1 3 2 3 Cov 1 Tg 3 4 2Sen c Calcular: K = Cov2 + Vers a) 0 b) 1 d) 3 e) -2 c) 2 a) [-14 . 4] d) [-5. -4] 14.Cos 11.T.Cos 13. Siendo un arco positivo y menor que una vuelta para el cual se cumple: Vers 2 a) 1 + Sen . Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 15. y los segundos elementos vienen a ser los correspondientes valores de las razones trigonométricas de dichos ángulos. 5 ] e) ] -4 . los primeros elementos son números reales (ángulos en grados sexagesimales). 5 [ d) ] 4 . Trigonometría 52 . Si 5 x 6 6 indicar la variación de: Senx + 3 a) 3Cos/(1+2Sen) b) 3Cos/(1-2Sen) c) 3Sen/(1-2Cos) d) 3Sen (2Cos-1) a) [ 4 . 5 ] b) ] 4 .y). Consideremos la razón trigonométrica Senx. Rango y también con una gráfica. que por supuesto contará con un Dominio. entonces tendremos. que en conjunto. 5 [ c) [ 4 . de los cuales. si a esta le denominamos “Y”. V a r ia b le D e p e n d ie n t e Y = Cos x V a r ia b le In d e p e n d ie n te R e g la d e C o rr e s p o n d e n c ia Esta regla de correspondencia da lugar a un conjunto de pares ordenados. se les otorga el nombre de función trigonométrica. 5] e) 3Sen/2Cos+1 TEMA: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES Denominaremos “función trigonométrica” al conjunto de pares ordenados (x. Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Dominio de la Función: Llamado también campo de definición o existencia.K (K Z) Ejemplo 2 Hallar el dominio de Y: Y 1 Senx Cosx Senx + Cosx 2 1 Senx Cosx 1 2 Senx 0 Cosx 0 2 1 π π 2 Cos . Es el conjunto de valores que toma la primera componente ó conjunto de valores que toma la variable independiente (valores de “x”).Senx Sen Cosx 0 4 4 Trigonometría 53 . Resolución: Y Cscx Senx 1 Senx 0 K (K Z) x DY = R . Ejemplo 1 Sea Y = Cscx. hallar el dominio. K . K Ζ 4 x Kπ π .COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Cuarto Año π 2 Sen x 0 4 π Sen x 0 4 x π Kπ . .K Ζ 4 DY R . ( K Z ) 4 Trigonometría 54 . Resolución: Y = Tg2x + Cotx Para Tg2x: 2x (2K+1) 2 Para Cotx: x K .5] .5] R [-3. Trigonometría 55 .Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Ejemplo 3 Hallar el Dominio de Y = Tg2x + Cotx. K Z 4 Rango de la Función: Llamado también campo de variación o codominio de una función.4 4Sen(3x) 4 . K .1 Sen(3x) 1 .3 1 + 4Sen3x 5 -3y5 Y [-3. Ejemplo 3 Calcular el rango de Y: 1 + 4Sen3x Resolución: Y = 1 + 4Sen3x Como “X” no tiene restricciones entonces X R 3X R Luego: . Es el conjunto de valores que toma la función o valores que toma la variable dependiente (valores de “Y”). x 2K 1 4 D Y R 2K 1 . 1 R 2 Trigonometría 56 .2Sen2x Cos2x 2x R Y = (Sen2x + Cos2)2 – 2Sen2xCos2x 2 2SenxCosx 2 Y=1(2Senx2Cos2x) = 1 2 2 Y=1- Sen2 x 2 2 Luego: -1 Sen2x 1 0 Sen22x 1 0 1 Sen 2 2x 2 2 1 Sen 2 2 x 0 2 2 1 Sen 2 2 x 1 1 2 2 1 Y1 2 1 .COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Cuarto Año Ejemplo 4 Calcular el rango de: Y = Sen4x + Cos4x Resolución: Y = Sen4x + Cos4x Como “X” no tiene restricciones entonces X R Y = Sen4x + Cos4 + 2Sen2x Cos2x .1 Y 2 1 . Luego entonces: F(x) = F(-x) (x) (-x) DF Es decir para que una función trigonométrica sea considerada función par. Ejemplo 5 Determinar si la función Y = 3Cos(x) es par. Función Par: Se define la función par de la siguiente manera: Sabemos que Y = F(x).Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Análisis de una Función: I. Ejemplo 6 x es par: 2 Determinar si la función Y = |x| Sec Resolución: x x Y = F(x) = |-x| Sec = |x| Sec 2 2 Trigonometría 57 . si “a” pertenece al Dominio de la Función entonces “-a” también debe pertenecer y se debe cumplir que F(a) = F(-a). Resolución: Y = F(x) = 3Cos(x) Reemplazamos –x en x: F(-x) = 3Cos ((-x)) = 3Cos(-x) = 3Cos(x) Es decir: F(-x) = F(x) La función “Y” es par. Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Reemplazamos –x en x: F( x ) | x | Sec x | x | Sec x 2 2 Es decir: F(-x) = F(x) La función “y” es par II. Función Impar Se define la función impar de la siguiente manera: Sabemos que Y = F(x). si “b” pertenece al Dominio de la Función entonces “-b” también debe pertenecer y se debe de cumplir que: F(b) = -F(-b). Luego entonces: (x) (-x) DF F(-x) = -F(x) Es decir para que una función trigonométrica sea considerada impar. Ejemplo 7 3x es impar: 4 Determinar si la función Y = Csc Resolución: 3x 4 Y = F(x) = Csc Reemplazamos –x en x: F(-x) = Csc 3 x Csc 3 x Csc 3 x 4 Es decir F(-x) = -F(+x) 4 4 La función “Y” es impar Trigonometría 58 . x2> Es decir para que una función trigonométrica sea considerada función creciente.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Ejemplo 8 Determinar si la función Y = |3x| Ctg(5x) es impar. Y S e o b s e rv a q u e : F (a ) < F (c ) < F (b ) c a . Resolución: Y = F(x) = |3x| Ctg(5x) Reemplazamos –x en x: F(-x) = |3(-x)| Ctg(5(-x) = |-3x| Ctg(-5x) F(-x) = |3(-x)| (-Ctg5x) = -|3x| Ctg(5x) Es decir F(-x) = . Se debe cumplir: F( x1) F( x 3 ) F( x 2x)3 <x1 . x2> DF. b> DF se tiene que cumplir siempre que F(a) < F(c) < F(b). Función Creciente: Se define la función creciente de la siguiente manera. b F (b ) “F (x ) e s c r e c ie n te ” F (x ) F (c ) F (a ) a Trigonometría c b X 59 . si “a” pertenece al dominio de la función y “b” pertenece al Dominio de la función y además a es menor que b.F(+x) La función “Y” es impar III. Si (x1 x2) R (x1 < x2) Y además <x1 . entonces si tomamos un elemento “c” del intervalo <a . x2> F(x2) < F(x3) < F (x1) Es decir para que una función trigonométrica sea considerada función decreciente. Y F (a ) “F (x ) e s d e c r e c ie n te ” S e o b s e rv a q u e : F (b ) < F (c ) < F (a ) c a . si “a” pertenece al Dominio de la Función y “b” pertenece al Dominio de la función y además a es menor que b. b F (x ) F (c ) F (b ) a Trigonometría c b X 60 . entonces si tomamos un elemento “c” del intervalo <a.b> D F se tiene que cumplir siempre que: F(b) < F(c) < F(a). Función Decreciente: Se define la función decreciente de la siguiente manera: Si (x1 x2) RF (X1 < X2) y además X1 . x 2 DF se debe cumplir X3 <x1.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO IV. II. Indicar los valores de “x” que cumplan la siguiente relación Secx > Tgx en el intervalo [0. 04. Si x 7 4.2] se interceptan en 4 puntos. 2 y = 2Cos2x- 1 11. 2 4 F(x) = 2 Sen x Sen x 10. Indicar el rango siguiente función: F( x ) Calcular: E = Sec4 x + 8Sen2x 02. Calcular el mayor y menor valor que asume la siguiente función trigonométrica F(x). de Senx Cosx | Senx | | Cosx | 09. Si el punto P (x. 4 . La función F(x) = Sen2x en cuántos puntos intercepta al eje horizontal. La función Versx tiene por rango [0. 06. Indicar el rango de la función F(x) = Csc(3x + 7 ). Determinar el Dominio de la siguiente función. Hallar el Dominio y el Rango de la siguiente función trigonométrica F(x) . 7 Cosx) pertenece a la gráfica de la función Y = Senx. La función Tgx tiene por Rango R. también su rango. Tal que: 61 1 4 . Determinar el rango de la siguiente función trigonométrica sabiendo que su dominio es igual a: DF = 6 .Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO PROBLEMAS PARA LA CLASE 01.2[ Trigonometría la 3 Cosx 2 Cos 07. tal que: F( x ) 03.2] III. Indicar el rango de la siguiente función trígonométrica F(x) tal que: F(x) = |Senx+2| + |Senx-3| 08. 05. Indicar (V) o (F): I. Las funciones |Senx| | Cosx| en [0. Hallar el Dominio de la función trigonométrica F dada por la siguiente regla de correspondencia. 12 19. Trigonometría 17. Dada la Función Trigonométrica F(x): tal que F(x) = 3Sen 2 x 4 | Senx | Sen 2 | Sen | El rango de la función es [a. 1 F( x ) Ctgx Tgx funciones x 2 x 2 3 Senx 1 13. Determinar el Rango de la siguiente función trigonométrica. Dadas las trigonométricas: F(x) = Senx + 1 -2 H(x) = 3Cos Calcular : RF ∩ RG ∩ RN 18.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO F(x) = Senx(senx+1) 12. F(x) = Tgx + G(x) = 1 – 2Cos F(x) = Tgx+Ctgx + 5 14.b[ luego el valor de “ab” es: 20. Determinar el rango de la siguiente función trigonométrica sabiendo que su dominio es igual a: DF = 7 5 18 . Determinar el Dominio de la siguiente función trigonométrica F(x). Calcular la suma de los valores mínimos y máximos de las funciones siguientes: F(x) = Cos2x + Cos|x| G(x) = Sen2x + (-|Senx|) 62 . Determinar el Dominio de la siguiente función trigonométrica dada por la regla de correspondencia. 9 15. Determinar el Rango de la siguiente función Trigonométrica F(x) dada por: F(x) = 1 + 4Sen2|2x| Si su dominio es: 3 8 . tal que: Senx Cosx F( x ) Senx Cosx 16. Hallar el dominio de la siguiente función trigonométrica dada por: F(x) = Senx Cosx Tal que x <0. a) R -K . F( x ) . Dada la inecuación: . 2 3 2 . K Z c) R – (2K+1) /2 . 3 Si a + b = .Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO PROBLEMAS PARA LA CASA 2n 1 01. b) 4 3 . K Z b) R -K/2 . 2 2 ½ < Cosx < 0.3] c) [0. calcular 2 valor de “n”. Hallar el Rango de la Función Trigonométrica mostrada F(x). e) 6 . 3 Cosx F(x) = 2 Cosx Si x al intervalo e) b) . 07. 2 .1] d) [0. Determinar el Dominio de la Función Trigonométrica siguiente: a) 2 Cosx F( x ) 1 Cosx Sen x 4Senx 4 Trigonometría d) . Determinar el Rango de la siguiente función Función Trigonométrica: F(x) = 5Sen(x+37º) + 63 . 4 d) 4 3 . c) 4 .1] b) [-3. 4 a) b) -1] c) d) y a e e) el 5. x 2 2 Sen x 6Senx 9el intervalo solución: Hallar 3 . 4 3 . K Z d) R – (2k+1) . pertenecen 7 las funciones Y1 = Senx Y2 = Cosx respectivamente. 2 06. 2 2 . 4 3 4 3 . 7 3n 11 b. 03. K Z e) R 2 [-4. 4 6 4 a) a) [-3. 3 2 1.3] e) {5} 4. 2] a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 02. c) 2 . Los puntos a. 2 2 encontrar el rango de la siguiente función trigonométrica. 4/3] b) [2/3 . 41 b) c) 31. Indicar los valores de “x” que cumplan la siguiente relación (Scx > Ctgx en el intervalo <0. 2] d) [1 . 5/6] d) [2/3 . -2} 2 e) Ø . 4/5] 12. 2 b) [ 1. 3/2] c) [2/5 . R b) R . 2>. {-2. 2> c) <1 . 4/3] e) [1/5 . 41 08. si sabemos que la variable “x” pertenece al intervalo x a) [1/5 . 9 10. Calcular el rango de la siguiente función trigonométrica dada por la siguiente regla de correspondencia. F(x) = Sec( -4x - la 11 ) a) R – [ -1 . 0. { 2 . F( x ) 8sSenx 16 Sen 2 x a) 4 . Indicar el rango de la siguiente función trigonométrica que tiene la regla de correspondencia: 3 Senx F(x) = Senx 4 Trigonometría a) c) e) 2 . 2 > a) R . Determinar el Dominio y el Rango de la Función Trigonométrica siguiente: Tgx Ctgx F(x) = | Tgx | | Ctgx | . 31 d) e) 41.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 2 Cos(x-45º) a) 0. ( 2k 1) 2 c) R – {K} d) Ø e) R 11. a) 1 . Indicar el rango de Función Trigonométrica. 525 10 b) Senx 9 Sen c ) 2x1 d) 4 . 1 ] b) R – { 0 } c) Ø 64 . 2] e) < -1 . 0 . 5 e ) 1.( 2K 1) b) R . d) 0 . 2} K c) R . 0. 13. 5 . Ø 09. a) R . 41 41. 2 b) 2 2. Determinar el 6 6 rango de y = 3 – 2Senx. Determinar el Dominio de la función: F(x) = Ctgx + Cosx 1 . 14. 41 41.{Ø} 2 K d) R . 1> 15.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO d) R – < -1 . Calcular la suma del máximo y mínimo valor de la Trigonometría siguiente función trigonométrica F(x) dada por: F(x) = Cosx (Cosx – 1) a) 7/4 c) 1 e) 7/3 b) 5/4 d) 3/2 65 . 1> e) < -1 . Veamos un ejemplo de función periódica: (Gráficamente). * P e r o ta m b ié n p o d r ía s e r : A b 2b 3b 4b 5b 6b X Ó . Ó * P e ro to m a r e m o s a l m á s p e q u e ñ o .. Ejms de Cálculo de Periodo de Funciones Trigonométricas: a. De lo observado deducimos que el valor más pequeño de repetición de gráfica es b por lo cual la denominaremos “Periodo de F(x)”. entonces F(x+nt) también es igual a F(x) x R y n Z El menor número real T > 0 tal que F(x + T) = F(x) para todo X R se denomina periodo principal de la función F(x). Calcular el Periodo Principal de las siguientes funciones: a. para un mejor entendimiento del uso de las funciones trigonométricas y sus aplicaciones en la vida cotidiana. Como primer punto estudiaremos la definición de una función periódica.. S e o b se rv a q u e : Y F (X ) * L a g r á f ic a s e r e p it e in d e fi n i d a m e n t e e n e l e je “ x ” .. Las funciones trigonométricas son funciones periódicas.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO TEMA: GRÁFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS En el presente capítulo estudiaremos el comportamiento de las curvas (Gráficas de Funciones). Nota: {2b..…} también son periodos de F(x) pero a “b” se le atribuye la denominación: PERIODO PRINCIPAL.1) F(x) = Cos(Senx) Resolución: De la definición: Cos(Senx) = Cos(Sen(x+T)) Luego: Cos(Senx) = Cos(SenxCosT + Cosx SenT) Trigonometría 66 . fundamental en el desarrollo del tema en estudio. 4b. 6b. Función Periódica: Una función F(x) se denomina función periódica si existe un número real r 0 tal que: F (x + T ) = F (x ) x R Se prueba inductivamente que si F(x + t) = F(x). (±1) + Cosx. 2.3.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Para que cumpla la igualdad: Hacemos: CosT = ±1 y SenT = 0 y tendremos: Cos(Senx) = Cos(Senx.(0)) Cos(Senx) = Cos(±Senx) = Cos(Senx) Luego analizamos: CosT = 1 0 – 1 T = K (K Z) SenT = 0 T = K (K Z) Entonces tendremos: T = {… . 3 …} “El menor valor positivo es y es el periodo principal de F(x)” a.2. -. . F(x) = |Sen x x | + |Cos | 2 2 Resolución: x x x x De la definición: Sen 2 Cos 2 Sen x T (x T) (x T) Cos 2 2 x T Luego: Sen 2 Cos 2 Sen 2 2 Cos 2 2 Se observa que: T K 2 2 KZ Recordemos que: Sen a = Cosa 2 Reemplazaremos T menor valor 2 2 posit vo y tendremos: T = . 0. Trigonometría 67 . -2 . Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Sen x x x x Cos Sen Cos 2 2 2 2 2 2 x x x x F(x) = Sen 2 Cos 2 Cos 2 Sen 2 “El periodo principal de F(x) es ” Trigonometría 68 . T.Esta propiedad será de gran ayuda y utilidad para el rápido cálculo del periodo principal de una función trigonométrica. (BX + C) + D .T.T. D y n son constantes. C. B.T . n: impar n: par 2 Sen T T Cos |B| |B| Sec Csc T Tan T Cot |B| Donde “T” es el periodo principal de la función trigonométrica.F.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO PROPIEDAD FUNDAMENTAL PARA EL CÁLCULO DEL PERIODO PRINCIPAL DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA: . siempre y cuando la función tenga la siguiente estructura: Sea F(x) de la forma: F(x) = A.T. Sen N 3 impar 1 1 |B| 6 6 T= Periodo Principal 8 2 12 1 T= 6 Periodo Principal Nota Importante: Trigonometría 69 . Tan x 2 1) Y = Tg 3 4 N 1 impar 1 1 |B | 3 3 π 3π T= 1 Periodo 3 Principal 2) Y = Cos 8 x 1 9 4 x 1 4 6 3) Y = 3Sen3 F. Donde A. Cos N 4 par |B| 8 8 F. Ejemplos de Aplicación: F. Se tendrá el siguiente cuadro: F. F( x ) 2 3 x Cos Sen 2 x a) Y1 Y2 Sean T1 y T2 los periodos de Y1 y Y2 respectivamente: 2 2 T1 T2 2 3 2 . K Z 3 T2 2n. EL periodo de la F.Finalmente se igualan las periodos 2 K 3 K 2n Mínimos Z 3 n 1 Periodo de F será b) F(x) = 2 T1 4 K 3 n 1 2 (3 ) ó 2( 1 ) es decir 2 3 3 4x 5 3x Sen Cos Y1 Y2 2 T2 2 Generalizamos e igualamos 2 2 K 4 K n K y n Z Mínimos Z 4 3 n 3 2 4 ó 2 3 es decir 2 Periodo de F será 4 3 Trigonometría K4 n3 70 . F(x) será el mínimo periodo común de: 2 2 K n K y n Z A B M y N cons tan tes Ejemplo de Aplicación: Determinar el periodo de la siguiente F. n Z .T.T.Se generalizan: 2 T1 K.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO En caso que se tuviera Funciones Trigonométricas de la forma F(x) = MSenAX± NCosBX. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Trigonometría Cuarto Año 71 . Seno: Si tenemos la Función Trigonométrica Y = Senx.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Representación Gráfica de la F.En el IIC “decrece” de 1 hasta 0. 72 2 . al sistema de coordenadas (x Ángulos é Y = Senx): Y C .T.Principal Trigonometría Analicemos el Gráfico: a)El nombre de la curva es “SINUSOIDE” b)Extensión: Del gráfico observamos que el “máximo” valor que toma el seno es “1” y el “mínimo” es “-1”. Es decir: -1 Senx 1 .Periodo: 2 .En el IC “crece” de 0 hasta 1. a partir de 2. c) Periodo: Es claro que la tendencia de la curva es de repetirse en forma completa. .T. . Donde “x” representa a los ángulos trigonométricos que varía de (+ ) a (-) e “y” representa los valores numéricos que toma la función.EN el IVC “crece de -1 hasta 0.En el IIIC “decrece de 0 hasta -1. Para graficar se necesita una serie de puntos (Tabulación): X 0 y Senx 0 Punto A π 6 π 3 π 2 1 2 B 3 1 3 D E 2 C 2π 3 Trasladamos los puntos previamente ubicados en la C. F C (X ) C E D 1 D E B B A M G A 0 I M G 6 3 2 2 3 5 6 7 6 4 3 3 5 2 11 6 3 2 X L H L H (Y = S e n x ) F I K K J J -1 IC IIC II IC IV C El último paso fue unir todos los puntos de la curva que se forma y que adquirió dicha forma (Y = Senx) Se observa: . .T. d)Es una curva “CONTINUA”. para graficar la se necesita una serie de puntos (tabulación) y procedemos: X 0 π 6 π 3 π 2 2π 3 y Cosx 1 3 0 1 Puntos A B 1 2 C 2 D E Trasladamos los puntos ubicados previamente en la C. 73 . c) PERIODO: Se observa claramente que la tendencia de la curva es la de repetirse en forma completa. Coseno: Si tenemos la función trigonométrica Y = Cosx.En el IIC “decrece” de 0 hasta -1 .T.En el IIIC “crece” de -1 hasta 0 . al sistema de coordenadas (como en el caso anterior). d) Es una curva “CONTINUA”. . a partir de 2.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Representación Gráfica de la F.En el IC “decrece” de 1 hasta 0. b) EXTENSIÓN: Del gráfico observamos que el “máximo” valor que toma el coseno es 1 y el “mínimo” es -1.T. (X ) C .T. L A Y 1 A M M B B L C K J (Y = C o s x ) C 0 6 3 2 2 5 3 7 6 4 6 3 3 2 5 3 11 6 2 X I E E H J D D I K F H F G G -1 IC II C II IC IV C Luego de unir los puntos se obtuvo esta gráfica (Y = Cosx) Se observa: . al igual que en el caso anterior.En el IVC “crece” de 0 hasta 1 Es decir: -1 Cosx 1 Periodo Principal: 2 Trigonometría Analicemos el Gráfico: a) El nombre de la curva es “COSINUSOIDE”. (X ) Tgx La tangente del ángulo “x”. (no existe). Tgx .Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Representación Gráfica de la Función Tangente: Si tenemos la función trigonométrica Y = Tgx. Esto se da en todos los cuadrantes. . Por lo que podemos afirmar que la función tangente es netamente creciente. a medida que éste aumenta. al igual que en los casos anteriores bosquejamos su gráfica pero con un análisis diferente: Esta vez realizando lo siguiente: De la C.En el IIC crece de - hasta 0.En el IC crece de 0 hasta +.T . - < Tgx < + Periodo Principal: Bosquejamos la gráfica: Primero obtengamos algunos puntos por tabulación: x 0 y Tgx 0 π π π 2π 5π 6 3 2 3 6 3 3 Trigonometría 3 3 π 3 3 0 7π 4π 3π 5π 11π 6 3 2 3 6 3 3 3 1 3 3 3 2π 0 74 . también aumenta su valor. Nota: Los valores (+) y (-) los adquiere cuando el ángulo “x” es de la forma (2K+1) Es decir: y como estos valores no son valores R 2 decimos que en éstos ángulos la función tangente no esta definida. recordamos que: L ín e a d e T G C .T.En el IIIC crece de 0 hasta +. .En el IVC crece de - hasta 0. . Representación Gráfica de la Función Cotangente Si tenemos la función trigonométrica Y = Ctgx. Es una curva DISCONTINUA pues vemos que esta formada por ramas. PERIODO: Observamos en el gráfico. Analicemos el Gráfico: EXTENSIÓN: La tangente varia de (+ ) hasta (-) pasando por los valores reales. Podemos apreciar que cada rama se encuentra entre 2 rectas llamadas “ASINTOTAS” que son tangentes a la curva en el infinito.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Y (Y = T g x ) 5 0 6 3 2 IC 2 3 IIC (A s in to ta ) 11 6 6 7 6 IIIC 4 3 3 2 5 3 IV C 2 X . la tendencia a repetirse de la gráfica a partir de . al igual que en el caso anterior bosquejamos su gráfico con el mismo análisis ejecutado. Trigonometría 75 ... No pudiendo construirse de un solo trazo. T. Esto se da en todos los cuadrantes. (X ) . Es decir: - < Tgx < + Periodo Principal: Bosquejemos la gráfica: Primero obtengamos algunos puntos por tabulación. .En el IC decrece de + hasta 0.En el IIC decrece de 0 hasta –. . recordamos que: La cotangente del ángulo “x”. Por lo que podemos afirmar que la función cotangente es netamente decreciente.En el IIIC decrece de + hasta 0 . x 0 y Ctgx 6 3 3 3 3 2 2 3 0 5 3 6 7 3 3 6 3 4 3 3 3 0 3 Y (A s in to ta ) Y = C tg x 2 6 3 IC Trigonometría 2 5 3 5 IIC 7 6 4 6 IIIC 6 3 2 3 11 6 2 X IV C 76 5 2 . L ín e a d e C tg Y C tg x C tg x C .T.En el IVC decrece de 0 hasta -. Nota: Los valores (+) y (-) los adquiere cuando el ángulo “x” es de la forma (K) y como éstos valores son R decimos que en éstos ángulos la función cotangente no esta definida (no existe).Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO De la C. esta función disminuye su valor. a medida que éste aumenta. .T.En el IIIC “decrece” de -1 hasta -.En el IC “crece” de 1 hasta +.En el IIC “crece” de – hasta -1.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Analicemos el Gráfico: EXTENSIÓN: El valor máximo de la función cotangente es (+ ) y el mínimo (-) pasando por todos los valores reales. De la C. Representación Gráfica de la Función Secante: Si tenemos la función trigonométrica Y = Secx. . Trigonometría 77 . al igual que en los casos anteriores bosquejaremos su gráfico pero con un análisis diferente: Esta vez realizando lo siguiente: Y C . Es una curva “DISCONTINUA” y decreciente en cada rama que se encuentra limitada por dos ASINTOTAS.En el IVC “decrece de + hasta 1. PERIODO: Cada rama se repite a partir de .T.: (X ) Secx S ecx 0 + Es decir: - <Secx -1 v 1 Secx < Periodo Principal : 2 Se observa que: . . es decir.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Nota: Los valores (+) y (-) los adquiere cuando el ángulo “X” es de la forma (2K+1) (K Z ) y como estos valores no son R decimos que en 2 éstos ángulos la función secante no esta definida (no existe). Bosquejemos la Gráfica: Pero primero obtengamos algunos puntos por tabulación: 6 y Secx 1 2 3 2 x 0 3 3 2 2 5 3 2 3 2 6 7 1 2 3 3 4 6 2 3 Y A s in to t a s 1 Y = Secx 6 3 2 2 3 5 7 6 4 6 3 3 2 5 11 6 3 2 X -1 IC IIC IIIC IV C Analicemos el Gráfico: EXTENSIÓN: La secante siempre es mayor o igual que 1 en la parte positiva y en la negativa siempre es menor o igual -1. cada rama está comprendida entre 2 asíntotas. la secante no abarca el Rango 1 y -1. PERIODO: Las curvas positivas y negativas se repiten cada 2 rad. sino lo que esta a partir de ella. Esta extensión es recíproca a la del Coseno. Representación Gráfica de la Función Cosecante: Trigonometría 3 78 3 . La curva es una curva “Discontinua”. En el IIC “crece” de 1 hasta +. (C s c x ) Bosquejamos la gráfica pero primero obtengamos algunos puntos por tabulación x 0 y Cscx 6 2 2 3 3 2 2 2 3 1 3 5 3 3 6 7 2 11 6 2 6 2 4 2 3 3 Y A s in to t a s 1 Y = C scx 6 3 2 2 3 5 7 6 4 6 3 3 2 5 3 X -1 79 Trigonometría IC IIC IIIC IV C 3 2 1 . De la C. .: Recodamos: Es decir: - < Cosecx -1 v + Y C scx 1 Cosecx < Periodo Principal: 2 Se observa que: .Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Si tenemos la función trigonométrica Y = Cscx.En el IVC “decrece” de -1 hasta -.En el IIIC “crece” de – hasta -1. al igual que en el caso anterior. . lo bosquejaremos su gráfica con el mismo análisis ejecutado.T. . (x ) X Nota: Los valores (+) y (-) los adquiere cuando el ángulo “x” es de la forma (K) (K Z) y como éstos valores no son reales decimos que en éstos ángulos la función cosecante no está definida (no existe).En el IC “decrece” de + hasta 1. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Trigonometría Cuarto Año 80 . Es decir: El cambio de fase “ ”.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Analicemos el Gráfico EXTENSIÓN: El máximo valor que adquiere en los negativos es -1 y el menor valor positivo es igual a 1. PERIODO: Cada rama se repite cada 2rad.) C .B ( + ) es decir a . Sirve para determinar el punto donde se va a iniciar la construcción de la función senoidal.Si es positivo la gráfica se mueve hasta x = . Cuya gráfica es: Y Y = A S e n (B x + C ) + D A D O 2 X B Cambio de fase: Si BX + C = 0 x C B es negativo La gráfica se mueve hasta x = CB ( . Es una curva discontinua cada rama está comprendida entre 2 asíntotas.Si la derecha. Veamos ejemplos para un mejor entendimiento. FORMA GENERAL DE LA SENOIDE En muchos casos nos tomaremos con funciones (Seno o Coseno) que llenen la siguiente estructura: Y = Asen(Bx + C) + D . Trigonometría 81 . 4 Luego graficamos: Y = 3 S e n (2 x + Y 7 3 = | A | 4 1 6 ) + 4 3 D 12 4 12 7 12 10 12 13 12 X D e s fa c e 4 4 4 4 ( P e r io d o ) Trigonometría 82 .3 Resolución a) Y = 3Sen 2 x 3 + 4 Amplitud (|A|) = |3| = 3 2 Periodo ( t ) = 2 b) Posición en el Eje y: 4 Cambio de Fase ( ) 2x 0 x C 3 6 Luego como el periodo es igual . lo dividiremos entre 4 para saber donde crece y decrece la función: .Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Graficar las siguientes funciones: a) y = 3Sen(2x+ )+4 3 b) y = 2Cos 3 x 4 . Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “La gráfica Y = 3Sen(2x+ 2x 3 4 ” b) y = 2Cos 3 x 4 3 Amplitud (A) = |2| = 2 2 Periodo (T) = 3 Posición en el Eje Y (D) = -3 Cambio de Fase ( 3x ): 0x C 4 12 Luego Dividimos al periodo en 4 partes: 2 T 3 4 4 6 Procedemos a Graficar: D e s fa s a je Y 3 12 12 5 7 12 12 9 X 12 -1 2 = |A | D = -3 -5 Y = 2 C o s (3 x 6 6 2 3 Trigonometría 6 4 )-3 6 ( P e r io d o ) 83 . ) entonces: la gráfica se invierte: Trigonometría 84 .COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Cuarto Año “La gráfica Y = 2Cos 3 x 4 -3 Nota: Si A es ( . Trigonometría función gráfico Y 3 X -3 07.5 b) Y = 3Sen 3x + 4 c) Y = 2Sen8x – 10 1 Cosx d) Y = 3 e) Y = 5Cos(-2x) Y dar como respuesta la suma. 05. 3 2 III. Hallar A + B. si 5 T1 + T2 = 4 02. Graficar: a) Y = Senx b) Y = 2Senx 1 c) Y = Senx 2 d) Y = -Senx e) Y = -2Senx 85 . que el . Y 3 4 3 X 04. 2 . 0 0 I. Calcular “n” si el periodo de Y = 3Sen(2nx) es igual al de: Y = 2Cos6x -3 la función coseno crece de -1 a 0. la 2 función seno crece de 0 a 1.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO PROBLEMAS PARA LA CLASE 01.2 [ 03. En el IIIC la función seno decrece. Hallar el valor de a2 + 3a. Indicar determina mostrado. II. Indicar el periodo en cada caso: a) Y = 2Sen 4x . Señale (V) o (F) En 06. En 08. Sea T1 el periodo de la función: F(x) = Senax y T2 el periodo de la función 6(x) = Cos8x. ¿En cuántos puntos corta la gráfica de Y = Senx a la gráfica de Y = Cosx en ] o. Sea F(x) = ACosBX una función cuyo gráfico se muestra en la figura adjunta. Y 6 X 12 -6 11. 2 [ 12. Y Y=ASenBx 4 X 4 -4 10. Y = Senx . Graficar la función F(x) igual a (Fx) = Senx + |Senx| Trigonometría 86 .Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 09. Tgx. Calcular el área de la región sombreada. Encuentre la ecuación de la gráfica .Ctgx para x ] 0 . Luego hallar (A+B). Graficar la siguiente función trigonométrica. III. IV. Determinar el área sombreada en la siguiente gráfica. La Sec crece en el IVC. La Ctg crece en el IIC. El seno decrece en el IC. 6 17. La Csc crece en el IIC. Hallar el área de la región sombreada: Y = S enx Y 1 X -3 0 14. Indicar la suma de ordenadas de los puntos P y Q. VI. V. Y 16. Y Y 4 2 X Y = C tg x P 7 X 4 2 4 X Q -2 -4 15. ¿Cuántas son verdaderas? X P 0 X Q Y = Trigonometría 2Sen( X) I. II. La Tg decrece en el IIIC.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 13. Determinar la ecuación de la gráfica mostrada. Hallar el valor del segmento PQ de la gráfica. El coseno decrece en el IC. Y Y = 2C os 18. 87 . Ctgx se tiene: I. Determinar el periodo de la siguiente función trigonométrica Cos2 x es F(x) = Cos 2 Trigonometría 88 . F(x) tiene periodo 2 III.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 19. Rf = { 1 } Son correctas: 20. Acerca de la función: F(x) = Tgx. II. F(x) es continua. . . a) VFV d) VVV b) FVV c) FVF e) VFF 05. 4 .4 . 4 3 2 4 b) . Indicar el periodo en cada caso: a) Y = 2Sen4x b) Y = 5Sen(-3x) c) Y = 7Sen(8x) Trigonometría 2 . ¿Cuál es la gráfica de: Y = -Sen2x A) B) Y x 2 e) Y = 3Cos(-2x) d) Y = 4Sen Y a) 2 X C) D) Y Y 2 X E) X X 2 . 2 3 4 Y d) X 2 . El gráfico adjunto corresponde a la función Y = ACosBx. 2 . 2 3 4 c) 4. 3 4 2 04. II. El máximo valor del seno es -1.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO PROBLEMAS PARA LA CASA 01. . . . . 2 3 4 e) a) E d) B 02. . Hallar: A + B Y 2 6 -2 X 89 . . . ¿Cuál de funciones periodo? b) C e) D c) A las siguientes tiene menor a) F(x) = 2 + Sen2x b) F(x) = 3 + Cos5x c) F(x) = 7 + Sen18x d) F(x) = 3 – Cos6x e) F(x) = 1 – Sen8x a) C d) A b) E e) B c) D 03. En el IC. el coseno crece. el seno crece. 4. En el IIC. . Señale V o F I. 2 . III. Indicar que función representa el gráfico adjunto: 4 08. Y 5 -5 a) -5Sen 2 x 3 2 x 3 c) -5Sen(2x) e) 5sen 3 x 2 3 X b) 5Sen d) -5Sen(3x) 07. Indicar la ecuación que corresponde a la siguiente gráfica: Y 2 0 4 X -2 Trigonometría 90 . Hallar “H” en el siguiente gráfico.Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO a) Y = 2Sen x a) 2 d) 4 7 3 b) 3 e) 2 3 c) 3 4 b) Y = -2Sen4x c) Y = -2Senx d) Y = -2Sen8x 2 e) Y = -2Sen x 06. Y = C osx COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Cuarto Año H 2 3 11. Hallar el área de la región sombreada: Y = Senx 2 d) 2 b) c) 3 2 e) No tiene periodo. ¿Cuál de las siguientes funciones tiene la mayor amplitud? A) Y = 2senx B) Y = -5Cosx C) Y = 2 2Cosx D) Y = 1 Cosx 3 E) Y = 3 Senx a) B d) C b) E e) D c) A 13.6 09.3Sen 2x 3 91 .4 e) 0.2 d) 0. Calcular el valor de “n” si el n 1 P . Determinar la ecuación de la siguiente gráfica: Y 1 0 Y = C osx 6 7 -2 a) 2 c) 2 2 6 e) 2 10 Trigonometría b) 2 4 d) 2 8 -5 a) b) X 6 3Sen 2x 2 3 . 12.5 b) 0. Determinar el periodo de la siguiente función trigonométrica F(x) = Cos(Cosx) a) a) 0. punto 4 3 pertenece a la función Y = Cosx a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3 10.3 c) 0. 2 3 d) Sen 2x 2 3 e) .3Sen 2x . Graficar: a) C d) B Y = 6Sen4x A) b) A e) D c) E B) -6 Trigonometría -6 2 92 .Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO .3Sen 2x 2 3 c) C) D) -6 14. Calcular “m” si el periodo de Y = 2Cos2mx es igual al de Y = 3Sen6x a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 2 -6 E) -6 15. Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO ÍNDICE Razones Trigonométricas de ángulos………….…… 58 Trigonometría 93 . 03 de cualquier magnitud Reducción al I cuadrante………………………. 17 Circunferencia Trigonométrica………………... 27 Funciones Trigonométricas…………………… 46 Gráficas de Funciones Trigonométricas …..