Carmelo”Consorcio TRIGONOMETRÍA Educativo 137 “El 3er año Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES SISTEMA Sexagesimal Centesimal Radial o circular Donde: 180° = 200g = π rad ….. α 9° = 10g…. β UNIDAD 1° 1g 1rad 1 VUELTA 360° 400g 2π rad SEXAGESIMAL 1° = 60’ 1’ = 60” 1° = 3600” CENTESIMAL 1g = 100m 1m = 100s 1g = 10000s CONVERSIÓN ENTRE SISTEMAS Es el proceso mediante el cual la medida de un ángulo se puede expresar en cualquier otra unidad diferente a la que ya tiene. RESOLVER 1. Convertir: 40° → radianes 10. Convertir 72° → centesimal 2. Convertir: 30° → radianes 30 g + 13° 11. Señale el valor de C = π rad 9 a) 1 d) 4 b) 2 e) 6 c) 3 3. Convertir: πrad → sexagesimal 60 4. Convertir: 50g → radianes 12. ¿Cuántos segundos hay en? 5. Convertir: 30g → radianes θ = 2° 3’ 4” 6. Convertir: 80g → radianes a) 4 d) 7944 b) 384 e) 9426 c) 7384 13. ¿Cuántos minutos centesimales hay en? πrad 7. Convertir: → centesimal 40 θ = 3g 45m a) 45 d) 345 b) 145 e) 445 c) 245 8. Convertir 40g → sexagesimal 14. Hallar “x” en el gráfico 9. Convertir 40g → sexagesimal x° -70g Carmelo” a) 17 b) 13 Consorcio TRIGONOMETRÍA Educativo d) 23 e) 43 138 “El 3er año Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista c) 27 TAREA DOMICILIARIA 1. Convertir 20° a radianes π π rad b) 18 20 π π d) e) 9 24 a) 2. Convertir 36° a radianes c) π 10 6. Convertir 72° a centesimal 70g d) 9g b) 60g e) 100g c) 80g 7. Convertir 120g a sexagesimal a) 108° d) 48° c) b) 118° e) 54° c) 96° π rad 4 π d) 15 a) π 5 π e) 30 b) π 10 8. Calcular: C= π rad + 50g a sexagesimal 4 b) 100° e) 140° c) 90° π 3. Convertir rad a sexagesimal 3 a) 30° d) 75° b) 45° e) 90° c) 60° a) 150° d) 70° 9. Calcular: C = 40g + a) 50° d) 51 π rad 12 b) 48 e) 54° c) 37° 4. Convertir 60g a radianes 3π 3π rad b) 10 20 2π π d) e) 5 20 a) c) π 10 10. ¿Cuántos segundos hay en? α = 2° 4’ 10” a) 10 d) 5420 11. Calcular: C= b) 7410 c) 3850 5. Convertir a) 10g d) 5g π rad a centesimal 40 b) 15g e) 25g c) 20g 4°40' 7' b) 20 e) 50 c) 30 a) 10 d) 40 LONGITUD DE ARCO DE CIRCUNFERENCIA Donde: L: Longitud de arco θ: # de radianes del ∠ central r: radio Además L=θ.r r L θ rad r Hallar la longitud de arco de: a) R = 24cm θ = 30° L A b) 18 cm 40° 18 B L c) 20 cm 20g 20 L d) 15 cm 40g L 2. Calcular “L1” a) b) c) d) L1 7π/3 7π/5 14π/3 14π/5 2 a) 10° d) 40° b) 20° e) 60° c) 30° 5 2π . ¿Cuánto mide el ángulo central correspondiente? a) 10 d) 15 b) 20 e) 5 c) 30 a) 1 rad d) 4 b) 2 rad e) c) 1 rad 2 3. R 54° L = 6π 4. ¿Cuál es la medida sexagesimal del ángulo central? 1 rad 4 5.Carmelo” Consorcio TRIGONOMETRÍA Educativo 139 “El 3er año Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista RESOLVER 1. Hallar el radio si θ = 54° y el arco correspondiente mide 6π m. Del gráfico. Si el arco es el doble del radio. Si el arco mide 3π y el radio mide 9. hallar el radio. En un sector circular.5 MISCELÁNEA DE PROBLEMAS 1. ¿Cuánto mide el arco? a) π d) 2 b) 2π e) ½ c) 1 3. Del gráfico.Carmelo” e) 2π/5 Consorcio TRIGONOMETRÍA Educativo a) b) c) d) e) π /3 π /6 π /9 π/12 π/15 140 “El 3er año Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista 3π θ 2π 6 6.25 5. En un sector circular el radio es el recíproco de la medida radial del ángulo central. ¿Cuánto mide el ángulo central en el sistema sexagesimal? a) 10° d) 45° b) 30° e) 90° c) 60° 10.6 b) 12 e) 1. el arco mide 4π y el ángulo central 45°. el arco mide 4π y el radio 20.5 rad d) 1. En un sector circular el radio y arco están representados por dos números enteros pares y consecutivos. calcular “θ” TAREA DOMICILIARIA 1. señalar la relación correcta: c) α–β–θ = 180 e) β+α–θ = 180 2. Del gráfico. a) 5π m d) 20π b) 10π e) 25π c) 15π 6. Si el perímetro del sector es 14 cm. correspondiente a un ángulo central de 75° en una circunferencia de 24 m de radio. Calcular la longitud de un arco.3 c) 1. Si el perímetro del sector es 13 cm. ¿cuánto mide el radio? a) 16 d) 28 b) 8 e) 32 c)24 4. ¿Cuánto mide el ángulo central dicho sector? a) 1 rad d) 1. En un sector circular. Hallar: β θ α b) α–β+θ = 180 d) β–α–θ = 180 a) α+β+θ = 180 π rad + 30 g C= 4 18° . En un sector circular. En un sector circular el radio y arco están representados por dos números enteros consecutivos. ¿Cuál es la medida centesimal del ángulo central? a) 10g d) 40g b) 20g e) 50g c) 30g 2. ¿Cuánto mide el radio? a) 6 d) 15 b) 9 e) 18 c) 12 9. el arco mide 3π y el ángulo central 60°. En un sector circular. ¿Cuánto mide el ángulo central de dicho sector? a) 1.5 b) 2 e) 3. el arco mide 2π y el radio 6. En un sector circular el arco es la mitad del radio. Calcular la longitud de un arco correspondiente a un ángulo central de 30g en una circunferencia de 40 cm de radio. a) 3π cm d) 8π b) 4π e) 12π c) 6π 7.5 c) 0. ¿Cuanto mide el ángulo central? a) 2 rad d) 4 b) ½ e) ¼ c) 1 8. Del gráfico. dos de sus ángulos miden π/3 rad y π/5 rad. Calcular: C= b) 384 e) 9420 c) 7384 6. En un sector circular el ángulo central mide 10° y el radio mide 36 m. En un π–β π+β π /2 + β π /2 – β 2π + β b) 46 e) 76 c) 56 x β 10. ¿Cuánto mide el arco? a) πm d) 4π b) 2π e) 5π c) 3π En el sistema centesimal a) 150g d) 70g 9. Del gráfico calcular θ en el sistema (5x + 10)g -36° a) 10 d) 40 8. Calcular: C = 50g + b) 20 e) 60 c) 30 a) 18° b) 15° c) 24° d) 36° e) 72° 5 3π θ π sexagesimal π rad 4 15. En el gráfico calcular “L” 7. ¿Cuál es la medida radial del otro ángulo? a) π/10 rad b) π/5 rad d) 3π/10 e) π/3 c) 3π/10 11.Carmelo” Consorcio TRIGONOMETRÍA Educativo 141 “El 3er año Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 3. En un triángulo. Hallar “x” en el gráfico . Simplificar: C = 3° 4’ 4’ a) 36 d) 66 b) 100g e) 140g c) 90g 4. despeje “x” a) b) c) d) e) 5. Calcular “x” del gráfico a) b) c) d) e) 4π 6π 8π 10π 16π 10g 80 L 2π 80 14. Del gráfico se cumple: 2 g 50 m 10 m b) 15 e) 30 c) 20 θ a) 10 d) 25 α a) b) c) d) e) α + θ = 90° θ – α = 90° α – θ = 90° α + θ = 180° α – θ = 180° 13. ¿Cual es la medida sexagesimal del 3er ángulo? a) 84 d) 64° b) 74 e) 54° c) 94 un ∠ agudo mide 40g. ¿Cuantos segundo hay en θ = 2° 3’ 4”? a) 4 d) 7944 12. Del gráfico.Carmelo” a) b) c) d) e) 13° 40° 60° 50° 70° Consorcio TRIGONOMETRÍA Educativo 142 “El 3er año Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista 18. 20π m 2 su radio es de 12 cm.R 2 EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. 30π m2 2. Calcular el área de dicho sector circular. Hallar el área de un sector circular sabiendo que el radio mide 10m y el ángulo central es de 72° Rpta. ¿Cuál es la medida sexagesimal del 3er ángulo? a) 50° d) 40° b) 30° e) 70° c) 60° (7-x)° (x-3)° 16. Calcular: 40 g + a) 50° d) 51° π rad 12 b) 48° e) 54° c) 37° a) π/6 θ π 12 b) π/2 2π c) π/24 d) N. Km2) r S θ rad r L Donde: S: área L: longitud de arco θ: ángulo central r: radio Fórmulas: S = θ r2 2 S = L2 2θ S=L. Hallar “x” en el gráfico a) b) c) d) 10 –10 20 30 –20 (10-8x)g (2x+10)g 19. Rpta. ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR Es la medida del área de un sector circular expresado en unidades lineales al cuadrado (cm 2. En un sector circular se tiene que el ángulo central mide 75° y 3. ¿Cuál es la medida sexagesimal del 3er ángulo? a) 18° d) 36° b) 27° e) 54° c) 9° e) 20. m2. . Hallar el área del sector circular si el radio y la longitud de arco miden 18π cm y 6π cm respectivamente. hallar “θ” 12 17. En un ∆ dos de sus ∠ s interiores miden 70g y π/12 rad. En un ∆ dos de sus ∠ s interiores miden 50g y 5π/12 rad.A. Hallar el área si la longitud de arco mide 5π cm a) 50π cm2 b) 25π cm2 2 d) 100π cm e) 10π cm2 c) 40π cm2 a) 240π cm2 b) 120π cm2 c) 360π cm2 d) 180π cm2 e) N. b) 200π cm2 d) 100π m2 18m a) 24π m2 d) 40π m2 b) 36π m2 e) N. El ángulo central de un sector circular mide 120°. hallar “S” 6m S 60° 6. A partir del gráfico.A. c) 12π m2 9. c) 48π m2 e) 11. hallar A x+1 4m2 (x+1)rad Del gráfico.Carmelo” a) 54π m2 d) 81π m2 Consorcio TRIGONOMETRÍA c) 27π m2 Educativo 143 “El 3er año B Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista b) 108π m2 8. a) 150π m2 b) 50π m2 d) 85π m2 e) 100π m2 c) 75π m2 Hallar el area del sector circular sabiendo que el ángulo central mide 45° y su longitud de arco es de 2π m.A. 7. a) 4π m2 d) 16π m2 b) 8π m2 e) N. 4.A. A partir de la figura. 10. En un sector circular el ángulo central mide 50g. Hallar el área del sector circular si el radio mide 20 cm y el ángulo central mide 120g 5. Hallar “x” A a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 O B (2x+1) cm (3x+4) cm 2 rad 2. Si el radio mide 15 cm a) 150π cm2 c) 75π cm2 N. hallar: S1 + S2 π m2 π/2 m2 2π m2 2π/3 m2 π/3 m2 a) b) c) d) e) S1 1m 30° S2 2m TAREA DOMICILIARIA 1. “x” en: a) 0. Hallar el área del sector circular del radio 20 cm y longitud de arco 12π cm a) 240π cm2 b) 180π cm2 2 c) 120π cm e) 60π cm2 . Hallar el área del sector circular si tiene el ángulo de 30° y el radio de 30 cm.5 b) 1 c) 1. En la figura.A. hallar el área del sector circular.A.5 d) 2 e) N. Carmelo” 3. b) 15π cm2 d) 40π cm2 A partir del gráfico. hallar la longitud de arco a) 12π m b) 6π m c) 10π m d) 8π m e) N.A. Hallar el área de los sectores circulares de los siguientes casos: a) 30 π/6 5m 72 15m S TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES 60° 2K 3R 30° 53° 45° K 5R 37° a a 2 45° . Hallar el área del trapecio circular en la figura: 6m π /3 12m a) 36π b) 18π c) 24π d) 20π 5π a) 25π cm2 c) 100π cm2 c) 15cm 120° b) 50π cm2 d) 60π cm2 a) 150π cm2 c) 80π cm2 d) 72° b) 75π cm2 d) 90π cm2 6. 5. Si el área del sector circular mide 120π m2 y el ángulo central es 108°. 125 a) π cm2 2 d) 125 π cm2 e) 25π cm2 Consorcio TRIGONOMETRÍA Educativo 144 “El 3er año Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista Hallar el área del sector circular de radio 25 cm y el ángulo 40g b) 100π cm d) 75π cm2 2 a) 75π cm2 c) 125π cm2 b) 20 b) 10π cm2 d) 150π cm2 4. 4π Hallar el área del sector circular si el radio y el ángulo mide 10m y 2π/5 a) 40π cm2 c) 20π cm2 e) 80π cm2 b) 30π cm2 d) 15π cm2 a) 20π cm2 c) 25π cm2 8. Hallar “S” a) 20π m2 b) 15π m2 c) 10π m2 d) 30π m2 e) 40π m2 7. Carmelo” K Consorcio TRIGONOMETRÍA Educativo a 145 “El 3er año Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista 3 4R 74° 25K 7K 16° 24K TEOREMA DE PITÁGORAS B c2 = b2 + a2 a c b2 = c2 – a2 a2 = c2 – b2 C b A . 11) En la pared de un edificio se ha apoyado una escalera de 30m de longitud cuya base forma con el piso un ángulo de 60°. a) 48m b) 64m c) 56m d) 40m a) 60 d) 15 b) 60 10) Cuanto mide la sombra proyectada por una torre de 36 metros de altura si el ángulo de elevación es de 30° 3 c) 15 3 e) 15 12) Hallar el valor de “x” en: a) 60 b) 120 c) 150 d) 150 e) 100 53° 37° x a) 36° d) 36 b) 36 3 c) 72° 2 e) 60° .Carmelo” Consorcio TRIGONOMETRÍA Educativo 146 “El 3er año Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1) x a 12 x 2) 20 25 x 9 3) 18 4) 5) x 8 45° 39 x 6) 26 10 53° x 2 7) 53° y x 20 8) y x 53° 60 9) Calcular la altura de una estatua gigante cuyo punto más alto se observa con un ángulo de elevación de 37° y distancia de 80m. hallar la altura de la pared. ¿Cuál es la altura del árbol? a) 32 b) 18 c) 40 d) 36 e) N. Hallar la altura del faro si la distancia observa es 150m. ¿Cuál era la altura del árbol? a) 3m d) 7m b) 4m e) 8m c) 5m 72 a) 25 d) 24 b) 50 e) 40 c) 75 3. a) 26 d) 48 b) 42 e) 13 x c) 52 x _ a) 6 _ b) 9 _ c) 6√2 d) 9√2 e) 6√3 2. calcular a que distancia se encuentra del edificio. Desde un faro se observa un bote con un ángulo de 37°. Carlos observa un edificio con un ángulo de elevación de 37° y una distancia de 360m. Hallar “x” en: 10 x 6. Hallar el valor de “x” en: x 16° del árbol con un ángulo de 53°. 5.A. Desde un punto situado a 24 m del pie de un árbol se observa el extremo superior . a) 288 d) 226 c) 26 b) 216 e) 240 c) 278 24 a) 13 d) 30 b) 12 e) 20 7. la copa hace con el piso un ángulo de 37° y la distancia hasta la base es de 4m.A. Hallar “x” en los siguientes ejercicios: a) 15 x a) 18 d) 6 d) x 39 53° 37° 30° b) 12 26 x c) 9 10 c) 15 x 9 a) 18 d) 6 b) 12 e) 3 c) 15 b) 21 e) 1 e) f) 12 24 a) 40 d) 12 b) 30 c) 21 e) N. Un árbol se ha roto formado con el piso un triángulo rectángulo. a) 90 b) 100 c) 120 4.Carmelo” 90 TAREA DOMICILIARIA Consorcio TRIGONOMETRÍA Educativo 147 “El 3er año Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista 1. Resolver Los siguientes problemas aplicando razones trigonométricas. Sen Grados 30° ½ 37° 45° 43° 60° 3/5 2 3 2 2 Cos 3 2 2 2 Tg 3 3 Ctg 3 Sec 2 3 3 2 Csc 2 5/3 2 Razones Trigonométricas Senα = a. a) y x 37° b) y 24 30° c) 50 8 45° x x x= y= x= y= y x= y= d) y 12 60° e) 45 x 37° f) y x 53° x x= y= x= y= y x= y= 36 d) y 7 14° e) y 8 30° f) 75 x 76° x x= x= x x= y .Carmelo” d) 60 e) 80 Consorcio TRIGONOMETRÍA Educativo 148 “El 3er año Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS Cuadro de Razones Trigonométricas Fun. Secα = c c b Tgα = a. Cscα = c b a 4/5 3/5 ½ ¾ 1 4/3 3 4/3 1 ¾ 3 3 5/4 5/3 2 4/5 5/4 2 3 3 EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Ctgα = b c a c a α b Cosα = b. Evaluar: K = Csc30° + Tg45° Sec60° a) ½ d) 2 b) 1 e) 2/3 c) 3/2 7.A. Hallar x + y en el gráfico: x y a) 25 d) 55 TAREA DOMICILIARIA 1. Calcular: K = (Sec2 45° + Ctg2 30°)Sen53° a) 3 d) 3/5 b) 4 e) 1 c) 4/5 15 37° 9. c) 3/7 8. Evaluar: Sen2 60° + Cos2 60° a) 1 d) ½ b) –1 e) ¼ c) 0 3. Hallar: K = (Sen53° + Cos37°)Sen30° a) 7/10 d) 1/14 b) 10/7 e) N. Evaluar: Sen30° + Cos60° Csc2 45-1 a) 0 d) ½ b) –1 e) 2 c) 1 4. Resolver los siguientes problemas aplicando razones trigonométricas: a) 60 x 37° b) 20 e) 60 c) 45 b) x y 53° c) 8 12 30° d) x x 45° y y y 8 . Calcular: K = Cos2 60° + Ctg53° a) ½ d) 2 b) 1/3 e) 2/3 c) 1 6. Calcular: (Sen60° + Cos30°)2 1+ Sec2 45° a) 1 d) 3 b) 1/3 e) 3 c) 2/3 5.Carmelo” y= Consorcio TRIGONOMETRÍA y= Educativo y= 149 “El 3er año Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista Aprendamos a manejar la tabla de valores 2. Calcular: P = Tg2 60° + Sec45°.7 b) 5.8 c) 2. calcular 15 1 Senθ + 2Cosθ 2 b) 2 e) 5 c) 3 4. Calcular: 48 y M = Tg37° + Csc53° Sec45° + Csc45° a) d) 2 2 /4 b) 2 2 e) 1 c) 2 /2 6. Si: Sec x = 7 . Ctg60° a) 5 d) 2.Carmelo” e) 12 y 60° Consorcio TRIGONOMETRÍA f) 20 37° Educativo g) h) x y 16° 150 “El 3er año 60° Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista x 8 x x 2. Sen x a) 10 b) 12 d) 18 e) 20 c) 14 2. Calcular: E = (Tg60° + Sec30° . Siendo: Tgθ = E= a) 1 d) 4 8 . calcular 4 c) 4 M = 17 (Senα + Cosα) a) 2 b) 3 d) 5 e) 6 . Si Ctg α = 1 .3 e) 2. Si: Secθ = a) 10 d) 18 7 Calcular: P = Tg2 θ + 42 Senθ b) 12 e) 20 c) 14 3. Hallar: “x + y” y 2 30° 7. calcular: E = Tg2 x + 42 . Csc45° a) 1 d) 7 3. Calcular: ∆ = Tg2 45° + Sec2 60° 5 – 3Tg60°.5 b) 5 e) 3 c) 6 y 5.Sen60°) Sec60° a) 25/12 d) 49/12 b) 25/24 e) 7/18 c) 49/12 4. Hallar: “x+y” en el gráfico 53° x y x 32 c) 4+ 3 a) 48 b) 60 c) 64 d) 56 e) 65 a) 1 d) 3 b) 2+ 3 e) 4+2 3 RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS II EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Si: Tgα = Tg 45° Hallar K = Sec2 α + a) 1 d) 3/2 b) 2 e) 3 2 c) 9 2 Senα c) 3 6. Sen53° Calcular: K = 29 Senβ + 2Ctgβ a) 1 d) 5 b) 2 e) 4 c) 3 c) 14 7. Se sabe que: Tgα = Cos60°. calcular P = Sec2 θ + Tg2 θ a) 7 d) 11 b) 8 e) 12 Consorcio TRIGONOMETRÍA Educativo 151 “El 3er año Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista 5. Si: Cosβ = Sen30°. Si Tgα: 2sen30°. Se sabe que: Tgβ = Sen30°. Hallar “x” en la siguiente igualdad: x= a+b+c Siendo: a = Ctg53° + Csc53° b = Cos45°. Sec45° K= a) 1 d) 4 2Csc 2 β + 5Tgβ b) 3 e) 7 c) 5 7. Si Tgθ = 2Cos30° Calcular: Senθ a) 1 d) 2/3 b) 2 e) ½ c) 3 2 9. Cos37° Hallar: a) 4 d) 9 c) 3 E = 41 (Senα + Cosα) b) 5 c) 7 e) 9 41 7 2. Si “θ” es un ángulo agudo y Ctgθ = Cos 8. Determinar el valor de “x” en: 5xCos37° – Csc30° = xSec60° + (Tg60°+Ctg30°)2 c = 2sen60°. Tg30° a) 2 d) 1/3 b) 1 e) 3 c) ½ a) 3 d) 1/3 b) 4 e) 3 3 c) 7 5. calcular K = Csc2 α + 2Ctgα a) 3 d) 8 b) 6 e) 7 c) 9 10. Si: Tgα = Sen37°. Hallar “x” en la igualdad: xCos60° + Csc2 30° = 3xTg53° + Ctg45° a) 1/7 d) 6/7 b) 5/7 e) 3/7 c) 8/7 TAREA DOMICILIARIA 1. Si: Secx = a) 10 d) 18 Calcular: E = Tg2 x + 42 Senx b) 12 e) 20 c) 14 4. Si: Secθ = a) 10 d) 18 Calcular: P = Tg2 θ + 42 Senθ b) 12 e) 20 7 3. Se sabe que: Senα = Tg30° Calcular: K = Tg2 α + Sec2 α a) 1 d) 1/2 b) 2 e) 1/3 6. Csc45° 8.Carmelo” 60°. Csc30° Calcular: K= 4 Sec 2α − 3Ctgα . Sabiendo que: Sen2x . R. T. Si: Ctgα = Sec53° Calcular: K = 34 Senα + 6Ctgα a) 5 d) 11 b) 7 e) 13 c) 9 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS III I. Ctg(x+36) = 1 Calcular: K = Sen(4x+6). Señale el valor de “x” en la igualdad Sen4x . Csc20° = 1 a) 5 b) 10° c) 15 d) 20° e) 4 8. Hallar “x” Tg 4x = Ctg(2x – 30) 9. Hallar “x” en: Tg(3x – 12). Cos5x . Secα = 1 Tgα . Csc(x + 20) = 1 Hallar: “Sen 3x” a) ½ d) 3/5 b) 3 2 e) ¾ c) 3 3 10. Csc27° = 1 d) 7 e) 8 2. Cscα = 1 Cosα . Tg45° Calcular: K = 4Ctgα + 5Senα 10. Recíprocas II. Reducir: K = Sen80° + Tg35° + 2Sec20° Cos10° Ctg55° Csc70° 5. Sec(x +30) = 1 7. Hallar “x” Sen3x . Hallar “x” en: Cos(2x-10)°. Sabiendo que: Tg7x . Se sabe que: Cosα = Sen37°. Hallar “x” Cos4x . R. Ctg(x+38) = 1 a) 10 d) 20 b 15 e) 30 c) 25 a) 2 d) 1 b) 3 e) ½ c) 4 6. Ctgα = 1 Si: x + y = 90° ⇒ Senx = Cosy Tgx = Ctgy Secx = Cscx EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Si: Tg4x = Ctgx Hallar: K = 5Sen(2x+1)° + 3Tg(3x-1) a) 4 b) 5 c) 6 11.Carmelo” a) 11 d) 13 b) 3 e) 5 Consorcio TRIGONOMETRÍA c) 11 Educativo a) 1 d) 7 b) 3 e) 2 152 “El 3er año c) 5 Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista 9. T. de ángulos complementarios Senα . Hallar “x” Tg3x = Ctg 60° 4. Sec(4x – 80) = 1 a) 10° d) 30° b) 20° e) 35° c) 25° 3. Si: Sen 4x. Del gráfico mostrado. Si: Tg3x . En el gráfico CD = 7 D Calcular: 3 Tg θ 60° C 45° D . Sabiendo que: Sen4x . Si: Sec(4x – 20) = Csc7x Hallar “x” a) 5 d) 12 b) 8 e) 15 c) 10 7. Si: Sen(4x+25). Si: Sen(3x +10) = Cos(2x+35) Calcular el valor de “x” a) 7 d) 10 b) 8 e) 12 c) 9 APLICACIONES DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES 1. Sabiendo que: Cos(60-x) Sec2x = 1 Hallar “x” 2. Calcular “Ctg α” α a) 1 b) ½ c) 3 d) 2 e) 4 2. Hallar “x” si se sabe que: Sec(3x-15) = Csc(6x+15) a) 12° d) 6° b) 10° e) 14° c) 8° TAREA DOMICILIARIA 1. Csc40° = 1 Hallar: “Cos6x” a) 10/11 d) 4/5 b) ½ e) 1 c) 3/5 8.Carmelo” a) Consorcio TRIGONOMETRÍA 3 4 Educativo 153 “El 3er año Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista 2 3 b) 2 4 c) d) ¼ e) ½ a) 10° d) 25° b) 15° e) 30° c) 20° 12. Ctg(80 – 5x) = 1 3. Calcular: Hallar “x” a) 5 d) 18 b) 10 e) 12 c) 15 Sen10° + Tg20° Cos80° Ctg70° a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3 b) 15 e) 30 c) 20 5. Csc45° = 1 Hallar el valor de “x” a) 3 d) 10 b) 5 e) 12 c) 8 4. Csc48° = 1 Hallar “x” a) 8 d) 14 b) 12 e) 5 c) 10 a) 10 d) 25 6. Hallar “x” sabiendo que: Sen4x = Cos10° 13. Carmelo” A θ Consorcio TRIGONOMETRÍA Educativo d) 2/5 e) 2/3 154 “El 3er año Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista B 3. a) 9 b) 31 d) 9/13 e) 1 Determine “Tg α” en: 30° 4. Hallar: “Ctg θ” 4 150° 3 θ 37° a) 1/3 b) 3/2 c) 7/2 a) 3 3 d) 3 b) 3 3 /2 e) 3 /2 c) 2 3 /2 TAREA DOMICILIARIA 1. Del gráfico calcular Senθ 3. Del gráfico. calcular “Ctg θ ” a) 3 b) 3 /3 10 150° c) 3 /2 d) 3 /6 θ 5 3 c) 2 e) 3 3 /2 α B a) 3 d) 3 /2 b) 2 3 e) ½ 5. Del gráfico. Del gráfico. hallar “Tg θ ” 135° 10 a) 1/4 b) 1/3 c) ½ d) 1/5 e) 1/6 53° 8 6 θ 21 a) 17/18 d) 5/6 b) 8/17 e) 1 θ c) 6/5 2. Calcular “Tg α” . calcular “Tg β” β 8. a) 1/5 b) ¼ c) 1/9 d) 1/8 e) 1/7 Del gráfico. En el gráfico mostrado. En el gráfico. calcular “Ctg α” 6. calcular Tg λ 15 10 2 45° 22 a) 6/5 d) 11 b) 5/6 e) 11/5 α c) 3 λ 37° 43 c) 31/9 7. 2m divisa lo alto de una torre con un ángulo de elevación de 37°. Un niño de estatura 1. a) 30 3 d) 10 b) 15 3 e) 15 2 c) 15 5. si Tgβ = 2/5 a) 2m c) 6m b) 3m e) 5m c) 4m 3. Calcular “Tg θ” a) 12/13 b) 5/13 c) 8/3 d) 13/8 e) 8/13 127° 8. 45° α Del gráfico mostrado. Del gráfico. calcular “Tg θ” 2 120° θ 8 a) 2 3 /2 b) 3 /3 c) 2/3 d) 1/3 e) 3 /2 5. calcular la altura de la torre. se observa la parte más alta con un ángulo de elevación “β”. a) ½ b) 3/2 c) 2/3 d) ¾ e) 1 En la fig. calcular “Tg θ” a) 3 b) 1/9 c) 2 /9 d) 3 /9 e) N. ¿a qué distancia de sus pies está la bolita?. Desde un punto en tierra ubicado a 10m de una torre. Cuando se encuentra a 16m de el ¿cuál es la altura de la torre? 2. calcular “Tg α” a) ½ ÁNGULOS VERTICALES EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.A. AD = 4DC.Carmelo” α Consorcio TRIGONOMETRÍA Educativo b) c) d) e) ¼ 1/3 1/5 1/6 155 “El 3er año Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista 37° 4. En un triángulo ABC equilátero mostrado.8m de estatura divisa su bolita con un ángulo de depresión “α”. si Tgα = 9/10 a) 1m d) 4m b) 3m e) 1. Del gráfico. θ 60° 7. Un árbol se ha quebrado formando un triángulo rectángulo con un ángulo de .8m c) 2m 4. Hallar la altura de la pared. Un niño de 1. Hallar Tg α α a) 3 /6 b) 3 /7 c) 3 3 /5 d) 2 3 /5 e) 4 3 /5 12 4 10 θ 7 6. En la pared de un edificio se ha apoyado una escalera de 30m de longitud cuya base forma con el piso un ángulo de 30°. una persona de 1. Un observador se encuentra a 10m de la base de un edificio y observa la parte más alta con un ∠ de elevación “α”.45m e) 9. ¿A qué distancia del edificio se halla la señal observada? a) 40m d) 45m b) 42m e) 48m c) 44m 3.4m b) 9.6m de un poste. ¿Cuál es la altura del edificio? Si: Tgα = 2. está ubicado a 6m de una torre y observa su parte más alta con un ángulo de elevación de 53°. a) 24m b) 6m c) 10m d) 20m e) 12m 6. Un niño de 1.5m b) 9.5m c) 10. si la distancia observada es 150m.5m d) 12. ¿Cuál es la altura del poste? a) 15m d) 24m b) 12m e) 25m c) 20m 2. A 9.0m c) 9.5m e) 17. a) 90m d) 60m b) 100m e) 80m c) 120m 9. ¿Cuál es la altura de la torre? a) 175m d) 17 b) 15. la elevación angular para lo alto del mismo es de 37°.8m de estatura divisa lo más alto del poste con un ángulo de elevación de 37°.4. Un punto se encuentra a 80m del pie de un faro desde donde se divisa la parte más alta con un ∠ de elevación de 37°. ¿Cuál es la altura del faro? a) 180m d) 40m b) 120m e) 60m c) 30m 10. ¿cuál era la altura del árbol? a) 6m b) 8m c) 10m d) 12m e) 16m 8. Si Tgβ = 5/3 TAREA DOMICILIARIA 1. Desde un faro se observa un bote con un ángulo de depresión de 37°. ubicada a 32m de una torre de 34m de altura. A 20m del pie de un poste. Hallar la altura del faro.5m de estatura está ubicado a 12m de una torre y observa su parte más alta con un ángulo de elevación de 53°. ¿Cuál es la altura de la torre? a) 8. Desde lo alto de un edificio de 60m de altura se observa una señal en el suelo con un ángulo de depresión de 53°. Una persona de 2m de estatura.Carmelo” Consorcio TRIGONOMETRÍA Educativo 156 “El 3er año Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista depresión 53°. Hallar la altura del poste. Calcular la altura del edificio. Si la distancia de la base del edificio hasta el extremo del árbol es 8m. Un niño de estatura de 1.5m. a) 20 d) 37° b) 15° e) 45° c) 30 4.5m . divisa en parte más alta con un ángulo de elevación de.15m d) 9..6n 6. a) 12m d) 16m b) 15m e) 18m c) 14m 5. el ángulo de elevación para su parte más alta mide 37°. Si desde un punto en tierra ubicado a 20m de la base de un edificio..5 c) 16. Un observador se encuentra a 15m de la base de una torre y observa la parte más alta con un ángulo de elevación “β” ¿Cuál es la altura de la torre?.5m 7. a) 8.5m e) 13. ........... Hallar la dirección en cada caso: a) N B O R A S ____________________ d) P 24° 50° 70° 30° b) N c) N E O R 45° E O R 25° E A S ____________________ e) B N S ____________________ f) N N .......... a) 3.................. De acuerdo al gráfico...... Calcular a que altura vuela el avión.... S: . O S E N: ....8Km e) 2Km c) 2..2Km d) 2............................ O: ......... En el siguiente gráfico hallar la altura del poste...4Km b) 4.4Km 37° c) 12m 8...........Carmelo” Consorcio TRIGONOMETRÍA Educativo h 45° 28 m a) 6m d) 4m b) 8m e) 16m 157 “El 3er año Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista 7..... ÁNGULOS HORIZONTALES Puntos Cardinales N E: ......... TALLER DE APRENDIZAJE 1. Un avión está volando a una cierta altura y 4Km de el observa en tierra con un ángulo de depresión de 53° un tanque. ¿Cuál es el ángulo formado por las direcciones E 20° N y N 10° O? a) 10° d) 70° b) 20° e) 100° c) 80° 4. ¿Cuál es la medida del mayor ángulo formado por las direcciones? N 15° O y S 25° E a) 170° b) 180° c) 190° d) 90° e) 35° 7. ¿Qué ángulo forman E 15° N y O 25° N? a) 140° d) 110° b) 60° e) 130° c) 150° 5.Carmelo” O R Consorcio TRIGONOMETRÍA E O R Educativo E O R 158 “El 3er año E Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista S ____________________ S ____________________ S ____________________ 2. Graficar los siguientes ángulos en cada caso: a) N 10° E N b) N 70° E N c) S 20° E N O E O E O E S S S d) E 40° E N e) O β N N f) N α O N O E O E O E S S S 3. ¿Cuál es la medida del menor ángulo formado por O 10° S y E 40° S? a) 120° d) 150° b) 140° e) 200° c) 130° 6. se divisan dos objetos T y P al este y sur a distancias de 3 y 4 Km respectivamente. Hallar la distancia de separación entre “T” y “P” . Desde un punto “R”. Desde un punto “P” se divisa un objeto “A” al este a 15m y otro punto “B” en la dirección E 45° S y a 10 2 m. ¿Cuál es la distancia entre A y B? .Carmelo” a) 3 Km d) 6 Km b) 4 Km e) 10 Km Consorcio TRIGONOMETRÍA Educativo a) 5 d) 7 5 b) 3 5 e) 6 5 159 “El 3er año c) 5 5 Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista c) 5 Km 8. Graficar los siguientes ángulos en cada caso: a) S 30° E c) O 30° S e) N 27° E b) E 45° N d) S 80° O 4. ¿Qué ángulo forman E 30° N y O 80° N? a) 70 d) 110 b) 90 e) N. ¿Cuál es la distancia entre A y B? a) 8m d) 24m b) 12m e) 16m c) 20m .Carmelo” TAREA DOMICILIARIA Consorcio TRIGONOMETRÍA Educativo 160 “El 3er año Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista 1. a) 11m d) 26m b) 12m e) 15m c) 13m 2.A. Desde un punto “R” se divisa al norte y oeste los puntos “A” y “B” a distancias de 5 y 12m. calcular la distancia de separación de los puntos “A” y “B”. c) 29 3. ¿Cuál es la medida del menor ángulo formado por N 20° E y S 60° O? a) 120 d) 40 b) 140 e) 160 c) 220 5. Desde un punto “P” se divisa un objeto “A” al oeste y a 20m y otro objeto “B” al O 60° S y a 20m.