Triangulo Retangulo Relacoes Metricas e Pitagoras

Triângulo RetânguloRelações Métrica e Teorema de Pitágoras 1. (Pucrj 2013) Uma bicicleta saiu de um ponto que estava a 8 metros a leste de um hidrante, andou 6 metros na direção norte e parou. Assim, a distância entre a bicicleta e o hidrante passou a ser: a) 8 metros b) 10 metros c) 12 metros d) 14 metros e) 16 metros 2. (G1 - ifsp 2013) Um instrumento musical é formado por 6 cordas paralelas de comprimentos diferentes as quais estão fixadas em duas hastes retas, sendo que uma delas está perpendicular às cordas. O comprimento da maior corda é de 50 cm, e o da menor é de 30 cm. Sabendo que a haste não perpendicular às cordas possui 25 cm de comprimento da primeira à última corda, se todas as cordas são equidistantes, a distância entre duas cordas seguidas, em centímetros, é a) 1. b) 1,5. c) 2. d) 2,5. e) 3. 3. (Unesp 2013) A figura, fora de escala, representa o terreno plano onde foi construída uma casa. Sabe-se do quadrilátero ABEF que: ˆ e AFE ˆ são retos. • Seus ângulos ABE • AF mede 9 m e BE mede 13 m. • o lado EF é 2 m maior que o lado AB . Nessas condições, quais são as medidas, em metros, dos lados AB e EF? www.nsaulasparticulares.com.br Página 1 de 15 perpendicular ao diâmetro EC de um círculo de centro O.62 7.56 c) 0. Sendo o ponto D a interseção dos segmentos AB e EC e sabendo que CD = 4cm e ED = 9cm. o segmento AP é perpendicular à diagonal BD. 6.com.60 e) 0. b) 8 2. é igual a a) 8. d) 78. (Fgv 2013) Um triângulo tem lados medindo 1cm. c) 36.58 d) 0.4. em cm2. b) 18. BC  7cm. (Ufsj 2013) Um triângulo isósceles inscrito em um círculo de raio igual a 8 cm possui um lado que mede 16 cm. Seja h a medida da altura relativa ao maior lado. (Uepb 2013) No retângulo ABCD de lado AB  3 cm. (Ufsj 2013) Considere uma corda AB. 2cm e 2. A medida dos outros dois lados do triângulo. d) 16 2.5cm. é igual a a) 27. em cm.54 b) 0. O valor de h2 expresso em cm2 é.br Página 2 de 15 . O segmento BP mede em cm: 9 a) 2 7 b) 4 9 c) 4 3 d) 4 5 e) 4 www. aproximadamente. c) 16. a área do triângulo AED. 5.nsaulasparticulares. igual a a) 0. Assinale a alternativa correta. (Espm 2012) A figura abaixo representa um paralelepípedo reto-retângulo de medidas AF = 4. c) Os catetos desse triângulo medem 5 cm e 12 cm. (Espm 2012) Na figura plana abaixo. d) A área desse triângulo tem 30 cm2.ifal 2012) Considere um triângulo cujas medidas dos lados são: 10 cm. O perímetro do triângulo ABC é igual a: a) 12 b) 14 c) 13 d) 15 e) 11 www. A distância desse ponto P ao ponto A é igual a: a) 6 cm b) 5 cm c) 4 2 cm d) 5 2 cm e) 6 2 cm 9. c) O lado do quadrado mede 10 dm. b) A hipotenusa desse triângulo mede 13 cm. FC = 3 e CE = 2 3. (x + 2)cm e (x + 3)cm. 11. com x > 5.nsaulasparticulares.com. e um quadrado de área igual a 100 cm2. e) Existem dois triângulos nessas condições. (G1 . a) Esse triângulo é escaleno. b) O lado do quadrado mede 50 cm.ifal 2012) Sejam (x – 5)cm. fazendo com que os pontos E e F coincidam com um ponto P do espaço. Os segmentos CE e CF medem 4 cm cada. as medidas dos lados de um triângulo retângulo. 100 mm e 2 dm. 10. (G1 . ABCD é um quadrado de área 10 cm2.8. Assinale a alternativa errada. d) A área do triângulo tem 100 cm2. a) A área do triângulo é igual à metade da área do quadrado.br Página 3 de 15 . sendo B o ponto médio de DE. Essa figura deverá ser dobrada nas linhas tracejadas. e) A área do triângulo é igual ao dobro da área do quadrado. Determine o raio da circunferência (R). A distância máxima (h) da projeção da trajetória da bola à linha de fundo do campo seja 1m. 1 Sabemos que AB mede 1 e que BD mede . (Pucrj 2012) Seja ABC um triângulo retângulo em B. Suponha que neste tipo de gol: 1. Quanto mede o cateto BC ? 2 a) 1 b) 2 3 c) 2 4 d) 3 e) 2 www. (Unesp 2012) No futebol. um dos gols mais bonitos e raros de se ver é o chamado gol olímpico.com. A projeção da trajetória da bola descreva um arco de circunferência no plano do gramado.12. Seja AD a bissetriz de CÂB. marcado como resultado da cobrança direta de um escanteio. em metros. com uma casa decimal de aproximação. A distância (d) entre o ponto da cobrança do escanteio e o ponto do campo em que a bola entra no gol seja 40 m. 2. 13. do arco descrito pela trajetória da bola.nsaulasparticulares. 3.br Página 4 de 15 . uma distância. que foram aproximadas para facilitar as contas. e a uma distância L da passarela. • Largura do gol: 8 metros. (Insper 2012) A figura mostra parte de um campo de futebol.br Página 5 de 15 .: a) 57 b) 111 c) 21  1341 d) 30  6 13  3 97 e) 30  2 13  97 www. que são perpendiculares ao plano do campo. (Ufpa 2012) Uma passarela construída em uma BR no Pará tem um vão livre de comprimento 4L. Considere que a marca do pênalti equidista das duas traves do gol. seguindo uma trajetória reta. • Distância da marca do pênalti até a linha do gol: 11 metros. b) 14.14. Um atacante chuta a bola da marca do pênalti e ela. além das medidas a seguir. A sustentação da passarela é feita a partir de 3 cabos de aço presos em uma coluna à esquerda a uma altura D da passarela. c) 16. 15.com. Supondo L=9m e D=12m.nsaulasparticulares. d) 18. choca-se contra a junção da trave esquerda com o travessão (ponto T). Esta coluna por sua vez é presa por um cabo de aço preso a um ponto na mesma altura da passarela. • Altura do gol: 2. Nessa situação. em que estão representados um dos gols e a marca do pênalti (ponto P). do momento do chute até o choque. comprimento total dos quatro cabos de aço utilizados é. em metros. conforme representa a figura a seguir. a bola terá percorrido. em metros. e) 20.5 metros. aproximadamente igual a a) 12. 60 13 13 13 25 144 c) . 13 25 144 a) .000 cm2 d) 50 dm2 e) 5 dm2 17.cftmg 2010) Na figura seguinte. iguais a a) 10. 60 13 13 1 25 144 b) . 17 e 22. . Os lados do triângulo são. 15 e 20. 21 e 26.16. 23 e 28. 60 13 13 www. e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa diferem de 7 cm. (G1 . (G1 . respectivamente. b) 12. . e) 18. com a  lR*. as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 4 m e 1 m. 20 e 25. mede 12 cm. c) 15. 18.ifce 2011) A altura. as raízes da equação da parábola expressa por y = a (x – x1) (x – x2). baixada sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo.com. x1 e x2 são. 60 13 13 1 25 144 d) .ifal 2011) Num triângulo retângulo. Calcule a área desse triângulo. . (G1 . Os valores de a. são x1 e x2. em centímetros. d) 16. a) 5 cm2 b) 50 cm2 c) 50.nsaulasparticulares.br Página 6 de 15 . respectivamente. (Ufsc 2010) Calcule o valor numérico de t na figura a seguir: 19. . nsaulasparticulares. (Uerj 2010) Observe a figura a seguir. que representa um quadrado ABCD. O retângulo PQRS. Esse quadrado foi dividido em quatro partes para formar um jogo.com.20. resolve o problema proposto no jogo. Calcule a razão PS PQ . com todas essas partes. www. no qual M e N são os pontos médios de dois de seus lados.br Página 7 de 15 . mostrado a seguir. um retângulo cuja base seja maior que a altura. O jogo consiste em montar. de papel. Logo. 2 2 81  AB  4  AB  4  AB  169  AB  21m. segue que a distância pedida corresponde à hipotenusa do triângulo retângulo ABC. Resposta da questão 2: [E] 252 = 202 + (5x)2 625 = 400 + 25x2 25x2 = 225 x2 = 9 x=3 Resposta da questão 3: Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos AFE e ABE.Gabarito: Resposta da questão 1: [B] Sejam A o ponto onde se encontrava inicialmente a bicicleta e B o ponto a 6 metros ao norte de A. pelo Teorema de Pitágoras. AB  21m e EF  23 m. vem 2 2 2 2 BC  AC  AB  BC  82  62  BC  100  BC  10 m. Portanto.com.br Página 8 de 15 . www. Chamando de C o ponto onde se encontra o hidrante. Portanto. reto em A. obtemos 2 AE  92  (AB  2)2 e 2 2 AE  AB  132.nsaulasparticulares. h  6. Resposta da questão 5: [A] EÂC  180 : 2  90 No triângulo retângulo AEC. temos: h2  9  4  h  36. a área do triângulo AED será dada por: A  (6  9) : 2  27cm2 www.br Página 9 de 15 .Resposta da questão 4: [B] ˆ  90. logo: O lado que mede 16 cm é diâmetro da circunferência e a ângulo ACB x 2  x 2  162 2x 2  1256 x 2  128 x  8 2. Logo. Portanto.nsaulasparticulares.com. 85 cm. 4 www.5  x)2 e h2  22  x2. Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos AHC e AHB. com 0  x  2. AB  2.nsaulasparticulares. 1  6.85)2  0. vem: 2 AB  BP  BD  32  BP  4  BP  9 cm. em que AC  1. Portanto.58. Logo.com.25  5x  x 2  4  x 2  5x  9.5 e AH  h. h2  4  (1.25  x  1.Resposta da questão 6: [C] Considere a figura. temos: 2 2 2 2 BD  AB  AD  BD  32  ( 7 )2  BD  4cm. obtemos h2  12  (2. Resposta da questão 7: [C] Pelo Teorema de Pitágoras.br Página 10 de 15 . BC  2.5. Façamos HB  x. Portanto. como o quadrado de um cateto é igual ao produto da sua projeção pela hipotenusa. os lados do triângulo são 5. pois 10 2  2  102  102 . temos que o segmento PA é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos CP  4cm e AC  AB 2 cm. obtemos 2 2 2 2 PA  AC  CP  PA  (AB 2)2  CP 2 2  PA  2  10  42 2  PA  36  PA  6 cm. 2 metade da área de um quadrado de lado 10 cm. ou seja. pelo Teorema de Pitágoras. vem que AB  10cm2 . Resposta da questão 11: [B] www. sua área será 102 .nsaulasparticulares. 12 e 13 e a alternativa incorreta é a [E].br Página 11 de 15 . logo.Resposta da questão 8: [A] 2 Como o quadrado ABCD tem área igual a 10 cm2 . Resposta da questão 9: [E] Aplicando o teorema de Pitágoras temos: 2 2 2 2 (x + 3) = (x + 2) + (x – 5)  x – 10x + 20 = 0  x = 2 (não convém) ou x = 10 Portanto.com. Resposta da questão 10: [A] 100 mm = 10 cm e 2dm  10 2cm  Este triângulo é retângulo. Portanto. De acordo com as informações. Desse modo. pelo Teorema de Pitágoras. Resposta da questão 12: Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo assinalado.c.AC  32  42  25  5     BC  22  2 3 GB  22  2 3 2 2  16  4  16  4 Logo. 6 Portanto. vem 2 2 2 2  1 AC  BC  AB  (2  CD)2   CD    12 2  2 5  3  CD  CD   0 4 5  CD  u. Resposta da questão 13: [D] Pelo Teorema da Bissetriz Interna.com. www.nsaulasparticulares. temos: R2 = (R – 1)2 + 202 R2 = R2 – 2  R + 01 + 400 2  R = 401 R = 200.5 m. o perímetro será: P = 5 + 4 + 4 = 13.br Página 12 de 15 . temos que 1 BD CD CD 2    1 AC AB AC  AC  2  CD. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC.25 x 12m Resposta da questão 15: [D] Considere a figura. Como BC  CD e AC  BD.br Página 13 de 15 .c. vem 2 2 2 AB  BC  AC  92  122  225  AB  15 m. temos: y2 = 42 + 112 y2 = 137 x2 = y2 + 2.25 x2 = 143.BC  BD  CD 1 5  2 6 4  u. segue que AB  AD.com. para os triângulos ACE e ACF. Analogamente. obtemos 2 2 2 AE  CE  AC  182  122  468  AE  6 13 m www.52 x2 = 137 + 6. Queremos calcular 2  AB  AE  AF.nsaulasparticulares. 3  Resposta da questão 14: [A] Considerando x a distância pedida. temos: A altura será calculada por h2 = 1.4  h = 2m. Resposta da questão 18: 60 t= . Logo.e 2 2 2 2 AF  CF  AC  27  122  873  AF  3 97 m. como o triângulo dado é semelhante ao triângulo retângulo de lados 3.nsaulasparticulares.000 cm2 Resposta da questão 17: [C] Considere a figura abaixo. 13 www. Portanto.2  2  5m2 = 50. m  9  7  16 e a  m  n  16  9  25  5  5. segue que b  5  4  20 e c  5  3  15. Sabemos que m  n  7  m  n  7 e que h  12. Das relações métricas no triângulo retângulo. obtemos h2  mn  (n  7)n  144  n2  7n  144  0  n  9 ou n  16.br Página 14 de 15 .com. Resposta da questão 16: [C] A hipotenusa medirá 1 + 4 = 5 m Utilizando que a quadrado da altura é igual ao produto das projeções. b e c são os lados procurados. em que a. 4 e 5. A   5. Logo. o resultado pedido é: 2  AB  AE  AF  2  15  6 13  3 97  (30  6 13  3 97) m. Daí. nsaulasparticulares.h = 12.5  h = logo B(0.br Página 15 de 15 . x 2  13 13 60 13.m  m = logo.com. pode-se obter a razão: PS 2x 5  5 2x PQ 5 www. temos: Resposta da questão 20: 2 2 2 2 CN  NB  BC  CN  x 2  4x 2  CN  x 5 CD  MC  x 2 A seguinte relação é válida para o triângulo ADM: 2x x 5xDE  2x 2  DE  5 MC  Como PQ  DE . 60/13) 13 Substituindo o ponto B na função.Resposta da questão 19: [A] x2 = 52 + 122  x= 13 Utilizando relações métricas no triângulo retângulo. temos: 25 25 52 = 13.m  m = logo. x1   13 13 144 144 2 12 = 13.