Recuperaçãode Geometria 9º ano Teorema de Tales Retas paralelas (r, s e t) Retas transversais (m e n) Segmentos proporcionais EF DE BC AB = EF DF BC AC = ou ou EF BC DE AB = EF BC DF AC = ou É possível estabelecer outras proporções? 90 m 1. Se um bastão de 1 metro produz uma sombra de 1,50 m e a sombra de uma árvore mede 18 metros, qual a altura da árvore? 2. Na figura ao lado, as retas r // s // t são cortadas pelas transversais a e b. Descubra o valor de x. 3. Exercícios 12 18 5 , 1 1 = ¬ = x x 21 14 4 20 ) 3 2 ( 7 ) 1 5 ( 4 7 1 5 4 3 2 + = ÷ + = ÷ ÷ = + x x x x x x 6 25 25 6 4 21 14 20 = = + = ÷ x x x x 40 60 80 40 90 180 40 20 30 40 180 = = = = = + + z y x x x Teorema de Tales nos triângulos Teorema de Tales nos triângulos Teorema de Tales nos triângulos Teorema de Tales nos triângulos Valem as mesmas relações de proporção do Teorema de Tales, e além disso... O que mais é proporcional? CF AC BE AB = Exercício 4. Qual a medida de no lago da figura? AB 24 5 120 120 1 5 120 15 75 = = ÷ = ÷ = Teorema da bissetriz interna Teorema da bissetriz interna NC AM BN BA = AC AM = Traçamos CM // NA. Pelo Teorema de Tales, Como o ΔACM é isósceles, Logo, NC AC BN BA = Exercício 5. Os lados de um triângulo medem, respectivamente, 18 m, 27 m e 30 m. Calcule a medida dos segmentos que a bissetriz interna determina sobre o maior lado. Teorema da bissetriz interna 27 m 18 m 30 m x 30 - x x x ÷ = 30 27 18 ) 30 .( 18 27 x x ÷ = x x 18 30 . 18 27 ÷ = 30 . 18 18 27 = + x x 30 . 18 45 = x 12 2 . 6 3 2 . 18 45 30 . 18 = = = = x x x Resposta: 12 m e 18 m. ) ( 2 3 2 3 18 27 12 18 V = ÷ = Conferindo: Teorema da bissetriz externa Teorema da bissetriz externa Exercício 6. Num Δ ABC, as medidas dos lados são AB = 6 cm, BC = 4 cm e AC = 5 cm. Calcule quanto é preciso prolongar o lado , para que ele encontre a bissetriz externa do ângulo Â. BC CA CD BA BD = ou b n c m = Teorema da bissetriz externa 5 cm 4 cm 6 cm A B C x 4 6 5 x x = + ) 5 ( 4 6 + = x x 20 4 6 + = x x 20 2 = x 10 = x Resposta: 10 m. ) ( 4 10 6 15 4 10 6 5 10 V = ÷ = + Conferindo: Figuras e polígonos semelhantes Figuras semelhantes têm formas iguais e tamanhos diferentes. Essas figuras são semelhantes? Por que? Figuras e polígonos semelhantes Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais. E a razão entre seus perímetros é igual à razão entre dois lados correspondentes (ou homólogos). Figuras e polígonos semelhantes Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais. E a razão entre seus perímetros é igual à razão entre dois lados correspondentes (ou homólogos). Exercício 7. As pétalas da flor pentágono são congruentes e medem 3 cm aproximadamente. Ao ampliar a foto, as pétalas passaram a medir 5 cm. Calcule a razão de semelhança. O que você pode concluir em relação aos perímetros das duas flores? 3 5 = k k p P P p = = = ÷ ) ` ¹ = = 3 5 15 25 2 2 25 2 15 2 Triângulos semelhantes Teorema fundamental de semelhança Toda paralela a um lado de um triângulo e que intercepta os outros dois lados em pontos distintos determina, com esses lados, um triângulo semelhante ao primeiro. Exercício 8. Determine x e y, sendo . MN BC// 6 12 2 12 3 30 12 10 = = + = + = x x x x x x 24 12 2 1 12 12 6 = = = y y y Casos de semelhança Caso AA: (Ângulo – Ângulo) Caso LAL: (Lado – Ângulo – Lado) Caso LLL: (Lado – Lado – Lado) Exercício 9. Ver livro página ....... Relações métricas (Δ Retângulo) Relações métricas (Δ Retângulo) Relações métricas (Δ Retângulo) Relações métricas (Δ Retângulo) Relações métricas (Δ Retângulo) Relações métricas (Δ Retângulo) Relações métricas (Δ Retângulo) Triângulo Maior ? Triângulo Médio ? Triângulo Menor ? Maior lado ? Lado médio ? Menor lado? Relações métricas (Δ Retângulo) Triângulo ABC Hipotenusa a Catetão b Catetinho c Relações métricas (Δ Retângulo) Triângulo ABC Hipotenusa a Catetão b Catetinho c Relações métricas (Δ Retângulo) Triângulo ABC Triângulo ADC Hipotenusa a b Catetão b m Catetinho c h Relações métricas (Δ Retângulo) Triângulo ABC Triângulo ADC Hipotenusa a b Catetão b m Catetinho c h Relações métricas (Δ Retângulo) Triângulo ABC Triângulo ADC Triângulo ABD Hipotenusa a b c Catetão b m h Catetinho c h n Relações métricas (Δ Retângulo) Triângulo ABC Triângulo ADC Triângulo ABD Hipotenusa a b c Catetão b m h Catetinho c h n Relações métricas (Δ Retângulo) Triângulo ABC Triângulo ADC Triângulo ABD Hipotenusa a b c Catetão b m h Catetinho c h n am b m a b b m b b a = ÷ = ÷ = 2 . . Relações métricas (Δ Retângulo) Triângulo ABC Triângulo ADC Triângulo ABD Hipotenusa a b c Catetão b m h Catetinho c h n an c n a c c n c c a = ÷ = ÷ = 2 . . Relações métricas (Δ Retângulo) Triângulo ABC Triângulo ADC Triângulo ABD Hipotenusa a b c Catetão b m h Catetinho c h n mn h n m h h n h h m = ÷ = ÷ = 2 . . Relações métricas (Δ Retângulo) Triângulo ABC Triângulo ADC Triângulo ABD Hipotenusa a b c Catetão b m h Catetinho c h n c b h a h b c a . . = ÷ = Relações métricas - RESUMO Teorema de Pitágoras Cateto ao quadrado é igual ao produto da sua projeção pela hipotenusa. Altura ao quadrado é igual ao produto das projeções dos catetos. O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura. Lembre-se que cateto, hipotenusa, altura e projeções são medidas! Exercícios 10. Determine as incógnitas indicadas na figura: 11. Num mapa, as cidades A, B e C são os vértices de um triângulo retângulo, e o ângulo reto está em A. A estrada tem 80 km e a estrada tem 100 km. Montanhas impedem a construção de uma estrada que ligue diretamente a cidade A com a cidade B. Por esse motivo, projetou-se uma estrada saindo da cidade A e perpendicular à estrada , para que ela seja a mais curta possível. Calcule o comprimento da estrada que será construída. AC BC 80 100 (3, 4, 5) => (60, 80, 100); temos que AB = 60 km. a . h = b . c => 100.h = 80.60 Logo h = 48 A estrada medirá 48 km. Trigonometria Ela está em todo lugar! Trigonometria – seno, cosseno e tangente Ângulo θ -> ângulo theta (letra do alfabeto grego) Exercícios 14. O triângulo ABC é retângulo. Determine suas razões trigonométricas. ... 923 , 0 13 12 ˆ = = = h co b sen ... 384 , 0 13 5 ˆ cos = = = h ca b ... 384 , 0 13 5 ˆ = = = h co c sen ... 923 , 0 13 12 ˆ cos = = = h ca c 4 , 2 5 12 ˆ = = = ca co b tg ... 416 , 0 12 5 ˆ = = = ca co c tg Exercícios 15. Sabendo o valor do seno, consulte a tabela trigonométrica e determine a medida dos ângulos em graus. 16. Determine o ângulo de elevação do Sol, sabendo que o comprimento da sombra projetada por uma torre com 36 m é de 200 m. º 67 ˆ ... 923 , 0 ˆ = ÷ = b b sen º 67 ˆ ... 384 , 0 ˆ cos = ÷ = b b º 67 ˆ 4 , 2 ˆ = ÷ = b b tg º 23 ˆ = c º 10 ˆ 18 , 0 200 36 ˆ = ÷ = = = o o ca co tg 17. Um foguete é lançado de uma rampa situada no solo, sob um ângulo de 30º. A que altura encontra-se esse foguete após percorrer 8 km em linha reta? 18. Uma escada de 4,8 m está apoiada na parede de um muro, fazendo um ângulo de 76° com o chão. Qual a distância entre o muro e o primeiro degrau da escada? 4 5 , 0 . 8 8 5 , 0 8 º 30 = = = = x x x x sen Resposta: O foguete está a 4 km de altura. 1616 , 1 242 , 0 . 8 , 4 8 , 4 242 , 0 8 , 4 º 76 cos = = = = x x x x Resposta: Aproximadamente 1 m. 6 , 5 07 , 0 . 80 80 07 , 0 80 º 4 = = = = x x x x tg 2 , 52 48 , 3 . 15 15 48 , 3 15 º 74 = = = = x x x x tg Resposta: A altura das nuvens é de 5,6 km. Resposta: O ponta A está a 52,2 m do solo. 19. 20. x Razões trigonométricas de 30°, 45° e 60° x sen x cos x tg x 30° 45° 60° 2 1 2 2 2 3 2 3 3 3 1 3 2 1 2 2 21. De um ponto A um observador vê o topo da Torre Eiffel sob um ângulo de 45°. Se avançar 20 m em direção à torre, o ângulo passa a ser de 60°. Qual a altura da torre? 22. Qual a altura do prédio da figura ao lado? Exercícios x h x h x h tg T T T 3 3 º 60 = = = x 20 + x 3 , 27 10 3 10 ) 1 3 ( ) 1 3 ( . ) 1 3 ( 20 20 ) 1 3 ( 20 3 3 20 ~ + = + + ÷ = = ÷ = ÷ = + x x x x x x 3 , 47 3 , 27 20 20 = + = + = x h T 30 60 2 1 60 º 30 = = = P P P h h h tg Resposta: A altura da torre é 47,3 m aproximadamente. Resposta: A altura do prédio é 30 m. Circunferência e arcos r C d C d C . . 2 . t t t = ÷ = ÷ = d C d C . 14 , 3 ... 14 , 3 = ÷ = r d . 2 = ... 14 , 3 = t a r a C º 360 2 º 360 = ÷ = t Relações métricas na circunferência Exercícios 23. O sino do relógio mais preciso do mundo, o Big Ben, fica na Torre de Santo Estéfano, em Londres, na Inglaterra. Os ponteiros desse relógio são enormes e medem dois metros e setenta centímetros, o das horas, e quatro metros e trinta centímetros, o dos minutos. Qual é a distância que a ponta de cada ponteiro percorre num intervalo de tempo de 6 horas? t t t 4 , 5 7 , 2 . . 2 . 2 = = = H H H H C C r C t t t 6 , 8 3 , 4 . . 2 . 2 = = = M M M M C C r C 5 , 8 7 , 2 2 4 , 5 ~ = = t t H P 162 6 , 51 6 . 6 , 8 ~ = = t t M P Resposta: Aproximadamente 8,5 m o ponteiro das horas e 162m o ponteiro dos minutos. Exercícios 24. Calcule o valor de x nas figuras. 4 4 3 3 4 3 ). 1 ( ). 1 4 ( 2 2 2 = = + = ÷ + = ÷ x x x x x x x x x x x ¹ ´ ¦ + = ÷ = ÷ = ÷ + = ÷ + = ÷ + = + + = + + 2 8 0 ) 2 ).( 8 ( 0 16 6 0 32 12 2 8 . 4 ) 12 2 ( ) 4 4 .( 4 ) 12 .( 2 2 x x x x x x x x x x x x x ¹ ´ ¦ + = ÷ = ÷ = ÷ + = ÷ + = ÷ + = + = + + 4 8 0 ) 4 ).( 8 ( 0 32 4 0 64 8 2 64 ) 8 2 ( 8 ) 8 .( 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x Relações métricas polígonos regulares Apótema Lado Triângulo Quadrado Hexágono 2 3 r a = 2 2 4 r a = 3 2 6 r a = 3 3 r = 2 4 r = r = 6 Exercícios 25. Na figura temos um quadrado inscrito e outro circunscrito a uma circunferência de raio 5 cm. Determine: a medida do lado do quadrado inscrito; a medida do lado do quadrado circunscrito; o apótema do quadrado inscrito; o apótema do quadrado circunscrito. 2 5 4 = 10 4 = L 2 2 5 4 = a 5 4 = A 10 cm Área das figuras planas Polígono regular: S = p.a Exercícios o lado do pentágono regular mede 8 cm e seu apótema mede 2,8 cm; as diagonais do losango medem 12 e 18 cm; o lado do triângulo isósceles mede 5 cm e sua base mede 6; os lados do retângulo e do paralelogramo medem 3 e 10 cm; o ângulo agudo do paralelogramo mede 45°; e o raio da circunferência mede 3 cm. 26. Calcule, em centímetros, a área das figuras, sabendo que: Reptiles – M.C. Escher 2 56 8 , 2 . 20 20 40 5 . 8 2 cm S p p = = = = = 1- Pentágono regular 2- Losango 2 108 2 12 . 18 cm S = = 3- Triângulo isósceles 2 2 2 2 12 2 4 . 6 4 5 3 cm S h h = = = ÷ = + 4- Retângulo 2 30 3 . 10 cm S = = 5- Paralelogramo 2 2 2 2 2 2 2 2 30 2 2 3 . 10 2 2 3 2 3 3 cm S x x x x = = = ÷ = ÷ = + 6- Círculo 2 2 9 3 . cm S t t = = 27. Qual a área da região colorida de cinza na figura, em metros quadrados? 27. Qual a área da região colorida de cinza na figura, se ABCD é um quadrado cuja diagonal mede 12 cm? 04 , 113 4 4 . 36 . 14 , 3 ) 2 6 .( 14 , 3 . 4 1 . º 360 º 90 2 2 = = = = r S SC t 56 , 12 4 . 14 , 3 2 2 2 = = = = t tr S C 2 6 2 12 2 = = = d 36 2 2 6 . 2 6 2 . = = = A h b S ABD 04 , 77 36 04 , 113 = ÷ = ÷ = AABD SC T S S S Resposta: 12,56 m 2 Resposta: 77,04 m 2 FIM Feliz 2010!